Kolmé hranoly,Kolmé hranoly, ichich objem a povrch objem a povrch

Kolmé hranolyKolmé hranolya a ichich vlastnosti vlastnosti

bočné steny

Kolmé hranoly majú štvorcové aleboobdlžníkové bočné steny

Kolmé hranolyKolmé hranolya ich vlastnostia ich vlastnosti

hrany podstavy

bočné hrany

Kolmé hranoly majú bočné hrany navzájom rovnobežné

a kolmé k podstavám

Pravidelný hranolPravidelný hranol- - hranol, ktorého podstavu tvorí pravidelný hranol, ktorého podstavu tvorí pravidelný

mnohouholníkmnohouholník

Pravidelný štvorboký kolmý hranol

Pravidelný šesťbokýkolmý

hranol

Na obrázku je štvorboký kolmý hranol Na obrázku je štvorboký kolmý hranol ABCDEFGH. Urč jeho:ABCDEFGH. Urč jeho:

1.1. dolnú podstavudolnú podstavu2.2. hornú podstavuhornú podstavu3.3. hrany dolnej podstavyhrany dolnej podstavy4.4. bočné hranybočné hrany5.5. bočné stenybočné steny

6.6. stenové uhlopriečkystenové uhlopriečky

7.7. telesové uhlopriečkytelesové uhlopriečky

A

E

H G

F

D C

B

ABCDEFGH

AB,BC,CD,DAAE, BF, CG,

DHABFE, BCGF, CDHG, ADHE

AF, BE, CF, BG, CH, DG, AH, DE AG, BH, CE,

DF

Sieť hranolaSieť hranolaSieť hranola zostrojíme tak, že všetky Sieť hranola zostrojíme tak, že všetky jeho steny zakreslíme do jednej roviny jeho steny zakreslíme do jednej roviny

takým spôsobom, že napr. po takým spôsobom, že napr. po vystrihnutí z papiera bude možné vystrihnutí z papiera bude možné

vytvoriť model príslušného hranola.vytvoriť model príslušného hranola.

Kolmé hranolyKolmé hranolya ich vlastnostia ich vlastnosti

horná podstava

dolná podstava

Kolmé hranoly majú dve rovnobežné podstavy

tvaru mnohouholníka

Úlohy na Úlohy na precvičenieprecvičenie1.1. Zostrojte sieť kocky s hranou dĺžky 3 cm.Zostrojte sieť kocky s hranou dĺžky 3 cm.2.2. Zostrojte sieť kvádra s dĺžkami hran Zostrojte sieť kvádra s dĺžkami hran 3 cm; 4 cm a 5 cm.3 cm; 4 cm a 5 cm.3.3. Zostrojte sieť pravidelného štvorbokého Zostrojte sieť pravidelného štvorbokého

hranola s podstavou štvorca so stranou 4 cm hranola s podstavou štvorca so stranou 4 cm a výška hranolu je 6 cm.a výška hranolu je 6 cm.

4.4. Zostrojte sieť hranola vysokého 3,5 cm Zostrojte sieť hranola vysokého 3,5 cm s podstavou na obrázku:s podstavou na obrázku:

4 cm

3 cm2,5 cm

Povrch hranolaPovrch hranola- súčet obsahov všetkých jeho stien- súčet obsahov všetkých jeho stien

- obsah jeho siete- obsah jeho siete

S = 2 . SS = 2 . Sp p + S+ Splpl

Sp – obsah podstavySpl – obsah plášťa

Steny hranola:- horná a dolná podstava- bočné steny = plášť hranolu

1.1. Vypočítajte povrch kocky s hranou dĺžky 2,5 cm.Vypočítajte povrch kocky s hranou dĺžky 2,5 cm.2.2. Vypočítajte povrch kvádra s dĺžkami hrán 2 dm; Vypočítajte povrch kvádra s dĺžkami hrán 2 dm;

3 dm a 6 dm.3 dm a 6 dm.3.3. Podstava kolmého hranola je pravouhlý Podstava kolmého hranola je pravouhlý

trojuholník s dĺžkami odvesien 5 cm a 12 cm trojuholník s dĺžkami odvesien 5 cm a 12 cm a preponou 13 cm. Výška hranola je 30 cm. a preponou 13 cm. Výška hranola je 30 cm. Vypočítajte povrch hranola.Vypočítajte povrch hranola.

4.4. Vypočítajte povrch hranola Vypočítajte povrch hranola na obrázku, rozmery sú v m.na obrázku, rozmery sú v m.

Poradíte si?Poradíte si?

86

5

54

Riešenie úlohy č. Riešenie úlohy č. 11

a = 2,5 cma = 2,5 cmS = 6 . a . aS = 6 . a . aS = 6 . 2,5 . 2,5S = 6 . 2,5 . 2,5S = 37,5 cmS = 37,5 cm22

Riešenie úlohy č. Riešenie úlohy č. 22

a = 2 dma = 2 dmb = 3 dmb = 3 dmc = 6 dmc = 6 dmS = 2 . (a . b + a . c + b . S = 2 . (a . b + a . c + b .

c)c)S = 2 . (2 . 3 + 2 . 6 + 3 . S = 2 . (2 . 3 + 2 . 6 + 3 .

6)6)S = 2 . 36 =S = 2 . 36 = 72 dm72 dm22

Riešenie úlohy č. 3Riešenie úlohy č. 3Sp =

Sp =

Sp = 30 cm2 Spl = a . v + b . v + c . vSpl = 5 . 30 + 12 . 30 + 13 .

30Spl = 150 + 360 + 390Spl = 900 cm2 S = 2 . Sp + Spl = 2 . 30 +

900S = 930 cm2

2a.b

25.12

a bv

Riešenie úlohy č. 4Riešenie úlohy č. 4Kváder:Kváder:a = 6 m; b = 8 m; c = 5 ma = 6 m; b = 8 m; c = 5 mSS11 = a . b + 2 . a . c + 2 . b . c = a . b + 2 . a . c + 2 . b . cSS11 = 6 . 8 + 2 . 6 . 5 + 2 . 8 . = 6 . 8 + 2 . 6 . 5 + 2 . 8 .

55SS11 = 48 + 60 + 80 = 48 + 60 + 80SS11 = 188 m = 188 m22

2 2 trojuholníky:trojuholníky:SS22 = a . v = a . vaa

SS22 = 6 . 4 = 6 . 4SS22 = 24 m = 24 m22

2 2 obdlžníkyobdlžníky::SS33= 2 . 8 . 5= 2 . 8 . 5SS33 = 80 m = 80 m22

Celkom:Celkom:S = SS = S11 + S + S22 + S + S33

S = 188 + 24 + 80S = 188 + 24 + 80S = 292 mS = 292 m22

86

5

54

Objem hranolaObjem hranola= obsah podstavy . výška hranolu= obsah podstavy . výška hranolu

V = SV = Spp . v . v

Sp Sp

Vyskúšajte sa…Vyskúšajte sa…1.1. Vypočítajte objem štvorbokého hranola, ktorého Vypočítajte objem štvorbokého hranola, ktorého

podstavou je kosoštvorec s uhlopriečkami 8 cm a podstavou je kosoštvorec s uhlopriečkami 8 cm a 5,2 cm. Výška hranola je 7 cm.5,2 cm. Výška hranola je 7 cm.

2.2. Podstavou trojbokého hranola je pravouhlý Podstavou trojbokého hranola je pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky 6 dm a trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky 6 dm a 0,8 m. Výška hranola je 200 cm. Vypočítajte 0,8 m. Výška hranola je 200 cm. Vypočítajte objem hranola.objem hranola.

3.3. Kolmý rez trámu je lichobežník, ktorého základne Kolmý rez trámu je lichobežník, ktorého základne majú rozmery 16 cm a 20 cm a výška má 1,5 dm. majú rozmery 16 cm a 20 cm a výška má 1,5 dm. Vypočítajte objem trámu, dlhého 10 m.Vypočítajte objem trámu, dlhého 10 m.

Riešenie úlohy č. 1Riešenie úlohy č. 1Podstava –

kosoštvorec:u1 = 8 cm ; u2 = 5,2 cm

Sp =

Sp =

Sp = 20,8 cm2

2.uu 21

28.5,2 V = Sp . v

V = 20,8 . 7V = 145,6 V = 145,6

cmcm33

8 cm5,2 cm

Objem daného hranola je 145,6 cm3.

Riešenie úlohy č. 2Riešenie úlohy č. 2Podstava – pravouhlý

trojuholník:a = 6 dm; b = 8 dmSp =

Sp =Sp = 24 dm2

26.8

2a.b

V = Sp . vV = 24 . 20V = 480 dm3

Objem daného hranola je 480 dm3.

6 dm

8 dm

Riešenie úlohy č. 3Riešenie úlohy č. 3

Lichobežník:a = 20 cm c = 16 cmv = 15 cmSp = Sp =Sp = 270 cm2

2.vca

2.151620

V = Sp . vV = 270 . 1000V = 270 000 cm3 V = 270 dm3

Objem trámu je 270 dm3.

20 cm

16 cm

15 cm

Hmotnosť telesaHmotnosť telesa- vypočítame tak, že jeho objem vynásobíme - vypočítame tak, že jeho objem vynásobíme

hustotou látky, z ktorej je teleso zhotovenéhustotou látky, z ktorej je teleso zhotovené

m = V . m = V .

m … hmotnosť telesam … hmotnosť telesaV … objem telesaV … objem telesa - hustota látky- hustota látky

Opäť malá rozcvička…Opäť malá rozcvička…1.1. Hala má rozmery 50 m, 12 m a 6,4 m. Aká je hmotnosť Hala má rozmery 50 m, 12 m a 6,4 m. Aká je hmotnosť

vzduchu v hale, ak hmotnosť 1 mvzduchu v hale, ak hmotnosť 1 m33 vzduchu vzduchu je 1,293 kg?je 1,293 kg?

2.2. Vypočítaj hmotnosť dreveného kvádra s rozmermi Vypočítaj hmotnosť dreveného kvádra s rozmermi 4,5 dm, 35 cm a 0,2 m, ak je hustota dreva 700 kg/m4,5 dm, 35 cm a 0,2 m, ak je hustota dreva 700 kg/m33..

3.3. Vypočítaj hmotnosť skleneného trojbokého hranola, Vypočítaj hmotnosť skleneného trojbokého hranola, ktorého podstavu tvorí rovnoramenný trojuholník so ktorého podstavu tvorí rovnoramenný trojuholník so základňou 5,6 cm a k nej prislúchajúcej výške 6,5 cm, základňou 5,6 cm a k nej prislúchajúcej výške 6,5 cm, ak je výška hranola 8,9 cm. Hustota skla je 2,2 g/cmak je výška hranola 8,9 cm. Hustota skla je 2,2 g/cm33..

4.4. Vypočítaj hmotnosť štyroch betónových kvádrov, na Vypočítaj hmotnosť štyroch betónových kvádrov, na ktorých je postavený most. Rozmery kvádra sú 0,8 m, ktorých je postavený most. Rozmery kvádra sú 0,8 m, 1,1 m a 2,5 m. Hustota betónu je 2 000 kg/m1,1 m a 2,5 m. Hustota betónu je 2 000 kg/m33..

Riešenie úlohy č. 1Riešenie úlohy č. 1Kváder:a = 50 mb = 12 mc = 6,4 mV = a . b . cV = 50 . 12 . 6,4V = 3 840 m3

= 1,293 kg/m3

m = V . m = 3 840 .

1,293m = 4 965,12

kg

Hmotnosť vzduchu v hale je približne 5 ton.

Hmotnosť dreveného kvádra je 22,05 kg.

Riešenie úlohy č. 2Riešenie úlohy č. 2Kváder:a = 0,45 mb = 0,35 mc = 0,2 mV = a . b . cV = 0,45 . 0,35 .

0,2V = 0,0315 m3

= 700 kg/m3

m = V . m = 0,0315 . 700m = 22,05 kg

Riešenie úlohy č. 3Riešenie úlohy č. 3Podstava:a = 5,6 cmva = 6,5 cmSp =

Sp =

Sp = 18,2 cm2

2a.va

25,6.6,5

v = 8,9 cmV = Sp . vV = 18,2 . 8,9V = 161,98 cm3 m = V . m = 161,98 . 2,2m = 356,356 g

Hmotnosť skleneného kvádra je 356,356 gramov.

Riešenie úlohy č. 3Riešenie úlohy č. 3Kváder:a = 0,8 mb = 1,1 mc = 2,5 mV = a . b . cV = 0,8 . 1,1 .

2,5V = 2,2 m3

1 kváder: = 2 000 kg/m3

m = V . m = 2,2 . 2 000m = 4 400 kg4 kvádre:4 . 4 400 = 17 600

kgHmotnosť betónových kvádrov je 17

600 kg.

Dovidenia!Dovidenia!