8/26/2013

1

การวเคราะหขอมลเบองตน - การวดคากลางของขอมล

นางสาวกชพรรณ แซหยอง

คากลางของขอมลมหลายชนด เชน -คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean) -คาเฉลยเรขาคณต (geometric mean) -คาเฉลยฮารมอนก (harmonic mean) -คากงกลางพสย (mid - range) -มธยฐาน (median) -ฐานนยม (mode)

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

2

คากลางแตละชนดมขอด ขอเสย และมความเหมาะสมในการน าไปใชแตกตางกน ขนอยกบลกษณะการแจกแจงของขอมล และวตถประสงคนนๆ

คากลางของขอมลทนยมม 3 ชนด -คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean) -มธยฐาน (median) -ฐานนยม (mode)

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

3

-คาเฉลยเลขคณต (arithmetic mean)

เหมาะทจะใชเปนคากลางของขอมล

เมอขอมลนนๆ ไมมคาใดคาหนงหรอหลายๆคา

ทสงหรอต ากวาคาอนๆมาก

- คาเฉลยเลขคณตของขอมลทไมไดแจกแจงความถ

1.1.1 คาเฉลยเลขคณต

n

x

n

x

X

n

i

i 1

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

4

ตวอยาง จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลจากตวอยางตอไปน 6, 8, 12, 25, 19 วธท า เนองจากขอมลจากตวอยางมทงหมด 5 จ านวน ดงนน

145

70

5

19251286

X

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของขอมลดงกลาวเทากบ 14

ตวอยาง ในคายนกมวยแหงหนงมนกมวยทงหมด 10 คน โดยทนกมวยแตละคนมน าหนกคดเปนปอนด ดงน 125, 303, 163, 175, 181, 190, 215, 178, 163, 178 จงหาคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกมวยในคายน

วธท า ให x แทนน าหนกของนกมวยในคาย N แทนจ านวนนกมวยในคาย ดงนน µ =

1.18710

1871

10

178163178215190181175163303125

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกมวยในคายนเทากน 187.1 ปอนด

=

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

5

แบบฝกหดในชท บทท 1 ขอ 1-7

- คาเฉลยเลขคณตของขอมลทแจกแจงความถ

n

fx

f

xf

XK

i

i

K

i

ii

1

1

1.1.1 คาเฉลยเลขคณต

k คอ จ านวนอนตรภาคชน

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

6

ตวอยาง จากการสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยน 10 คนจากตวอยาง ปรากฏผลวา นกเรยนแตละคนไดคะแนนสอบดงน 32, 32, 32, 47, 47, 47, 47, 47, 50, 50 จงหาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบดงกลาว

X10

50504747474747323232

1.4310

431

วธท 1 ให x แทนคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนทงหมด 10 คน

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 43.1 คะแนน

วธท า

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

7

X253

)250()547()232(

1.4310

431

10

10023596

วธท 2

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 43.1 คะแนน

คะแนน (x) ความถ (f) fx

X1 = 32 X2 = 47 X3 = 50

f1 = 3 f2 = 5 f3 = 2

f1X1 = 96 f2X2 = 235 f3X3 = 100

X

3

1

10i

if

3

1

431i

ii xf

หมายเหต นกเรยนสามารถสงเกตคาตางๆทท าใหเกด

จากตารางตอไปน

1.4310

4313

1

3

1

i

i

i

ii

f

xf

X

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

8

น าหนก (กก.) จ านวนนกเรยน

45 46 47 48 49 50

5 7 9 3 5 1

ตวอยาง ในการชงน าหนกของนกเรยนจ านวน 30 คน ปรากฏผลดงน

จงหาคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกเรยน

วธท า จากขอมลทก าหนดมาใหอยในรปของการแจกแจงความถ ดงนน ถาให x แทนน าหนกของนกเรยน และ f แทนความถ

6

1

6

1

i

i

i

ii

f

xf

153975

)50(1)49(5)48(3)47(9)46(7)45(5

97.4630

1409

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกเรยน เทากบ 46.97 กโลกรม

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

9

ตวอยาง ก าหนดตารางการแจกแจงความถของอายการใชงานของหลอดไฟฟาจ านวน 40 หลอด ดงน

อาย (ชวโมง) จ านวน 118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

2 8

15 11 3 1

จงหาคาเฉลยเลขคณตของอายของหลดไฟฟา ดงกลาว

อาย (ชวโมง) จดกงกลางชน (xi) จ านวน

118-122 123-127 128-132 133-137 138-142 143-147

120 125 130 135 140 145

2 8 15 11 3 1

6

1

6

1

i

i

i

ii

f

xf

13111582

)145(1)140(3)135(11)130(15)125(8)120(2

13140

5240

นนคอ คาเฉลยเลขคณตของอายของหลอดไฟฟาเทากบ 131 ชวโมง

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

10

ตวอยาง จากการส ารวจคนไขจ านวน 30 คน เมอศกษาการเตนของหวใจ พบวาการเตนของหวใจของคนไขทง 30 คน มดงน

จ านวนครงทเตนตอวนาท จ านวนคน 58-67 68-77 78-87 88-97 98-107 108-117

4 6 9 10 0 1

จงหาคาเฉลยเลขคณตของอตราการเตนของหวใจของคนไข

อนตรภาคชน จดกงกลาง (xi) จ านวนคน(fi) xifi

58-67 68-77 78-87 88-97 98-107

108-117

62.5 72.5 82.5 92.5 102.5 112.5

4 6 9

10 0 1

250 435

742.5 925 0

112.5 30 2465

วธท า

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

11

6

1

6

1

i

i

i

ii

f

xf

17.8230

2465

จากตารางจะได

นนคอ คนไขมการเตนของหวใจโดยเฉลย 82.17 ครงตอวนาท

สมบตทส ำคญของคำเฉลยเลขคณต

N

i

ix1

0)(

n

i

i Xx1

0)( และ

N

i

i kx1

2)( มคานอยสด เมอ k = µ

n

i

i kx1

2)( Xมคานอยสด เมอ k =

ให x1, x2, x3, … , xN และ y1, y2, y3, … , yN เปนขอมล 2 ชด โดยท yi = axi + b จะไดวา µy = aµx + b ในท านองเดยวกน ถาเปนขอมลจากตวอยาง bxay

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

12

210

1

i

i Mx

10

1

52i

ix

ถา x1, x2, x3, … , x10 เปนขอมลชดหนงซง

มคานอยทสดเมอ M=15 แลว จงหา

ตวอยาง

วธท า 210

1

i

i Mx มคานอยทสดเมอ M=15

จากคณสมบตของคาเฉลยเลขคณตจะได µ = 15 จากโจทย ก าหนดให N = 10 และ µ = 15

เนองจาก 150)15(1010

1

Nxi

i

ดงนน

10

1

10

1

210

1

5252ii

i

i

i xx

= 2(150) + 10(5) = 350

ตวอยาง

บรษทแหงหนงตองการก าหนดเบยประกนอบตเหตรถยนตโดยค านวณจากความสมพนธ Y = 0.73X + 2500 เมอ Y เปนตวแปรแทนเบยประกนอบตเหตรถยนตมหนวยเปนบาท และ X เปนตวแปรแทนอายการใชงานของรถยนตมหนวยเปนป จากการส ารวจในปทผานมา พบวาอายการใชงานของรถยนตสวนมากเปน 2, 3.5, 5, 6.5, 7, 8, 9, 6, 8.5 และ 10 ป จงหาคาเฉลยเลขคณตของเบยประกนอบตเหตรถยนตของบรษทน

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

13

วธท า จากโจทย Y เปนตวแปรแทนเบยประกนภยอบตเหตรถยนตมหนวยเปนบาท และ X เปนตวแปรแทนอายการใชงานของรถยนตมหนวยเปนป จากความสมพนธของ X และ Y คอ

Y = 0.73X + 2500 ในทน yi = 0.73xi + 2500 ดงนน 250073.0 XY

10

105.869875.655.32 X

2500)55.6(73.0 Y

= 6.55 ดงนน

แต

= 2504.78

แบบฝกหด บทท1 ขอ 8-13 Kochapan S

aehyong

8/26/2013

14

คาเฉลยเลขคณตรวม ( รวม ) X

ในการวเคราะหขอมลของตวแปรเดยวกนจากตวอยาง

หลายๆชด ทสมมากจากประชากรเดยวกนและหาคาเฉลยเลข

คณตของตวอยางแตละชดไวแลว หากผวเคราะหตองการทราบ

คาเฉลยเลขคณตของขอมลทงหมด โดยนบรวมเปนชดเดยวกนก

สามารถหาไดจากคาเฉลยเลขคณตของขอมลแตละชดทค านวณ

ไวแลว

n

Xn

n

Xn

nnn

XnXnXnk

i

i

k

i

ii

k

kk

1

1

21

2211

...

... X รวม

X คอ คาเฉลยเลขคณตของขอมล

n คอ จ านวนคาจากการสงเกตในขอมล

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

15

ตวอยาง

ในการสอบวชาสถต นกเรยนหอง ก จ านวน 20 คน สอบไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 75 คะแนน นกเรยนหอง ข จ านวน 30 คน สอบไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน นกเรยนหอง ค จ านวน 25 คน สอบไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 65 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณตของวชาสถตของนกเรยนทง 3 หอง

253020

)65)(25()60)(30()75)(20(

67.6575

162518001500

วธท า จากโจทยก าหนดให N1 = 20, µ1 = 75 N2 = 30 µ2 = 60 N3 = 25 µ3 = 65

µรวม =

แสดงวา คะแนนเฉลยของนกเรยนรวมทง3หองเทากบ 65.67 คะแนน

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

16

ตวอยาง ก าหนดใหอตราสวนระหวางจ านวนนกเรยนชายตอจ านวนนกเรยนหญงของนกเรยนหองหนงเทากบ 3 : 2 ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองนทงหองเทากบ 43 คะแนน และคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายมากกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหญงเทากบ 5 คะแนนแลว จงหาอตราสวนระหวางคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายตอคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหญง

กลมนกเรยนชาย กลมนกเรยนหญง

µ1 N1

µ2 N2

วธท า ก าหนดให อตราสวนของจ านวนนกเรยนชายตอจ านวนของนกเรยนหญงเทากบ 3 : 2 ดงนน จ านวนนกเรยนชายตอจ านวนนกเรยนหญง เทากบ 3N : 2N จากขอมลทก าหนดให สรปไดดงน

เนองจากคะแนนเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบทงหองเทากบ 43 คะแนน

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

17

21

2211 NN

NN

NN

aNaN

23

)(2)5(3

แสดงวา µรวม =

43

43 = 5

2)5(3 aa

215 = 3a + 15 + 2a a = 40 แสดงวา µ1 = a + 5 = 40 + 5 = 45 µ2 = a= 40 ดงนน อตราสวนของ µ1 ตอ µ1 = 45 : 40 = 9 : 8

ตวอยาง ในการสอบวชาสถตของนกเรยนโรงเรยนปราณวทยา ปรากฏวา นกเรยนชน ม.6/1 จ านวน 40 คน ไดคาคะแนนเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 70 คะแนน นกเรยนชน ม.6/2 จ านวน 35 คน ไดคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 68 คะแนน นกเรยนชนม.6/3 จ านวน 38 คน ไดคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 72 คะแนน จงหาคาเฉลยเลขคณต ของคะแนนสอบของนกเรยนทง 3 หองรวมกน

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

18

เฉลย 70.05 คะแนน

ตวอยาง โรงงานอตสาหกรรมแหงหนงมคนงานท างาน 2 ผลด คอผลดเชาและผลดบาย คาเฉลยเลขคณตของอายของคนงานทงหมด เทากบ 38 ป ถาคนงานผลดเชาจ านวนจ านวน 60 คน มคาเฉลยเลขคณตของอายเทากบ 40 ป จงหาคาเฉลยเลขคณตของอายของคนงานผลดบายจ านวน 40 คน

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

19

เฉลย 35 ป

แบบฝกหด ใบงาน ถงขอ 17 หนา 4

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

20

คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก ( Xw )

w

wx

w

xw

XN

i

i

N

i

ii

w

1

1

ใชในกรณขอมลแตละคามความส าคญไมเทากน

iw = น าหนกของขอมล ix = คาของขอมล

ตวอยาง ในการสอบประจ าปของชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนง ประกอบดวยวชาคณตศาสตร วทยาศาสตร สงคมศกษา ภาษาองกฤษ โดยใหน าหนกซงในเรองของระบบของการคดคะแนนของเราเรยกวา หนวยกจ ไวดงน 4, 4, 3, 3, ตามล าดบ ถานกเรยนคนหนงในชน ม.6 สอบ 4 วชาไดเกรด 3, 4, 2, 3 ตามล าดบ

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

21

วธท า ให x เปนเกรดวชาตางๆ ทนกเรยนสอบได x1 คอ เกรดของวชาคณตศาสตร x2 คอ เกรดของวชาวทยาศาตร x3 คอ เกรดของวชาสงคมศกษา x4 คอ เกรดของวชาภาษาองกฤษ

4321

44332211

wwww

xwxwxwxw

3344

)3)(3()2)(3()4)(4()3)(4(

จากขอมลทก าหนดให x1 = 3 , x2 = 4 , x3 = 2 , x4 = 3 w1 = 4 , w2 = 4 , w3 = 3 , w4 = 3 ดงนน µ =

= 3.07 แสดงวา นกเรยนสอบไดเกรดเฉลยเทากบ 3.07

Kochapan S

aehyong

8/26/2013

22

ตวอยาง ในการสอบชงทนไปประเทศญปน ซงตองสอบทงหมด 4 วชา โดยทแตละวชามคะแนนเตม 100 คะแนน ปรากฏวา น.ส. เทพธดา สวรรคเบยง สอบไดคะแนนในแตละวชาดงน วชาภาษาองกฤษ ได 60 คะแนน วชาคณตศาสตร ได 75 คะแนน วชาฟสกส ได 59 คะแนน ความรรอบตว ได 70 คะแนน ในแตละวชากรรมการพจารณาผลสอบไดใหน าหนกความส าคญของแตละวชาเรยงตามล าดบวชา ภาษาองกฤษ คณตศาสตร ฟสกส ความรรอบตว ไวเทากบ 2, 2, 2 และ 1 ตามล าดบ จงหาคะแนนเฉลยท น.ส. เทพธดา สวรรคเบยง สอบได

เฉลย 65.43 คะแนน Kochapan S

aehyong

8/26/2013

23

การเปลยนแปลงคาใดคาหนงใน

ขอมลจะมผลท าใหคาเฉลยเลขคณต

เปลยนแปลไปดวย

คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดใดๆ จะตองอย

ระหวางคาจากการสงเกตทนอยทสดและคาจาก

การสงเกตทมากทสดในขอมลชดนน

Xmin < X < Xmax

Xmin < < Xmax µ

Kochapan S

aehyong