klnjiga sa fona
249
1. JEDNODIMENZIONALNE SLU^AJNE PROMENLJIVE Proučavanje pojava u prirodi ili društvu, bazirano je na uspostavaljanju i otkrivanju relacija između događaja vezanih za datu pojavu. Potpunije izučavanje dovodi do tri kategorije događaja: nemogući; sigurni i slučajni događaji. Za opisivanje pojava ili eksperimenata koji generišu slučajne događaje koriste se probabilistički modeli zasnovani na Teoriji verovatnoće. Najširu, i za praksu najvažniju klasu probabilističkih modela, čini klasa slučajnih promenljivih. Slučajne promenljive proučavaju one eksperimente čiji rezultati se mogu izraziti numeričkom vrednošću: U svakom "izvođenju" eksperimenta "nešto" se prebrojava ili meri. Rezultat eksperimenta je broj iz konačnog, beskonačnog i prebrojivog ili beskonačno- neprebrojivog skupa realnih brojeva. Drugim rečima, rezultat eksperimenta je tačka na realnoj osi. Takvu klasu slučajnih promenljivih predstavljaju jednodimenzionalne slučajne promenljive. Ako se rezultat eksperimenta može izraziti sa više numeričkih karakteristika, onda se probabilistički modeli, koji proučavaju te
-
Upload
svetlana-jaksic -
Category
Documents
-
view
612 -
download
0
Transcript of klnjiga sa fona
1. JEDNODIMENZIONALNE SLU^AJNE PROMENLJIVE
Proučavanje pojava u prirodi ili društvu, bazirano je na uspostavaljanju i otkrivanju relacija između događaja vezanih za datu pojavu. Potpunije izučavanje dovodi do tri kategorije događaja:
nemogući;
sigurni i
slučajni događaji.
Za opisivanje pojava ili eksperimenata koji generišu slučajne događaje koriste se probabilistički modeli zasnovani na Teoriji verovatnoće.
Najširu, i za praksu najvažniju klasu probabilističkih modela, čini klasa slučajnih promenljivih. Slučajne promenljive proučavaju one eksperimente čiji rezultati se mogu izraziti numeričkom vrednošću: U svakom "izvođenju" eksperimenta "nešto" se prebrojava ili meri. Rezultat eksperimenta je broj iz konačnog, beskonačnog i prebrojivog ili beskonačno-neprebrojivog skupa realnih brojeva. Drugim rečima, rezultat eksperimenta je tačka na realnoj osi. Takvu klasu slučajnih promenljivih predstavljaju jednodimenzionalne slučajne promenljive.
Ako se rezultat eksperimenta može izraziti sa više numeričkih karakteristika, onda se probabilistički modeli, koji proučavaju te eksperimente, nazivaju višedimenzionalne slučajne promenljive.
Potrebno je upoznati se sa osnovnim elementima teorije verovatnoće jednodimenzionalnih i višedimenzionalnih slučajnih promenljivih. To su oni elementi ove teorije, koji su neophodni za primenu u statističkim zaključivanjima - a to je glavni cilj statističkih proučavanja prirode i društva.
1.2. RASPODELA SLU^AJNIH PROMENLJIVIH
Kad se baca kocka na ravnu površinu, onda je skup mogućih rezultata skup brojeva
{ , , , , , }1 2 3 4 5 6 (1.1)
Ako sa X označimo rezultat eksperimenta, onda kažemo da promenljiva veličina X može uzeti jednu vrednost iz skupa realnih brojeva (1.1), i to na slučajan način.
Neka je dat statistički skupod N elemenata i neka obeležje X ima raspodelu datu tabelom
X x1 x2 ... xn
f f1 f2 ... fn
(1.2)
pri čemu su brojevi
{ , ,..., }x x xn1 2
moguće vrednosti obeležja X na elementima statističkog skupa, a brojevi
{ , ,..., }f f f n1 2
su frekvencije pojavljivanja pojedinih vrednosti X u posmatranom skupu. Ako na slučajan način biramo jedan element iz posmatranog skupa i utvrđujemo vrednost obeležja X kod tog elementa, tada je promenljiva veličina X slučajna promenljiva koja uzima jednu vrednost iz niza mogućih
vrednosti statističkog skupa i to na slučajan način.
Na telefonskoj centrali se posmatra broj poziva u vremenskom intervalu. Promenljiva veličina, koja predstavlja broj poziva, može uzeti jednu od vrednosti iz niza realnih brojeva.
š0, 1, 2, ... ć (1.3)
i to na slučajan način.
Pri obradi jednog proizvoda, na tačnost neke dimenzije utiče niz faktora. Zna se da će dimenzija X biti u nekim utvrđenim granicama, recimo u intervalu
(x1; x2)(1.4)
Kod svakog obrađenog proizvoda, dimenzija X će na slučajan način uzeti jednu vrednost iz intervala (1.4).
Posmatra se vek trajanja jednog uređaja. Rezultat može biti bilo koji realan broj iz intervala
( , )0 (1.5)
Svaki slučajni događaj, vezan za ovakve pojave, može se izraziti preko promenljive X. Tako se, na primer, u bacanju kocke, slučajni događaj A: "Pao je broj ne manji od 3", može izraziti sa
A X 3 3 4 5 6, , ,
Verovatnoća događaja A može se odrediti lako ako se zna verovatnoća sa kojom X uzima pojedine vrednosti iz
skupa mogućih vrednosti 1 2 3 4 5 6, , , , , .
Ako je telefonska centrala ograničenog kapaciteta, recimo najviše 100 poziva u datom intervalu, onda se slučajni događaj A: "Telefonska centrala neće biti zauzeta", može izraziti preko promenljive X sa
A X 0 100
pri čemu je X broj poziva u posmatranom vremenskom intervalu. Ako znamo verovatnoću pojedinih vrednosti promenljive X, lako ćemo odrediti verovatnoću slučajnog događaja A.
U svakom eksperimentu, rezultatima eksperimenta pridružujemo promenljivu veličinu X koja u jednom izvođenju eksperimenta može uzeti samo jednu vrednost iz datog skupa realnih brojeva. Unapred ne znamo koju će vrednost uzeti X. Jedino što možemo utvrditi je skup mogućih vrednosti za tu promenljivu.
U daljim razmatranjima ovakvih promenljivih veličina, prvi zadatak je utvrditi kako često, odnosno sa kojom verovatnoćom će promenljiva X uzimati pojedine vrednosti iz datog skupa mogućih vrednosti.
U praksi se posmatraju dve kategorije slučajnih promenljivihi to prekidnog i neprekidnog tipa. Posmatraćemo prvo slučajne veličine prekidnog tipa i na osnovu njihove definicije i osnovnih osobina utvrditi potrebne elemente za definiciju i izučavanje neprekidnih slučajnih promenljivih.
Zakon verovatnoća prekidne slučajne promenljive
Definicija 1.1: Promenljiva veličina X je slučajna promenljiva prekidnog tipa, ako vrednosti, koje ona može uzeti, obrazuju konačan ili prebrojiv niz realnih brojeva
{ , , ,...}x x x1 2 3 (1.6)
a uzimanje svake od ovih vrednosti je slučajan događaj sa određenom verovatnoćom.
Posmatrajmo niz slučajnih događaja
D1=(X=x1), D2=(X=x2), D3=(X=x3), ... (1.7)
i označimo sa
p1, p2, p3, ... (1.8)
odgovarajuće verovatnoće događaja D1, D2, ..., pri čemu je pi verovatnoća da će X uzeti vrednost xi, tj.
pi=P(X=xi),
za i=1,2, ... .
Slučajni događaji (1.7) se međusobno isključuju. Njihova unija je siguran događaj, jer se u jednom izvođenju eksperimenta realizuje tačno jedan od njih. Zato niz odgovarajućih verovatnoća (1.8) predstavlja niz nenegativnih brojeva čiji je zbir jednak jedinici, tj. niz je takav da je
pi
i
11 .
(1.9)
U slučaju kada je niz mogućih vrednosti slučajne promenljive (1.6) konačan niz od n brojeva, zbir u (1.9) biće zbir od 1 do n, tako da je
pii
n
11 (1.10)
Definicija 1.2: Skup mogućih vrednosti slučajne promenljive X i odgovarajućih verovatnoća nazivamo zakon verovatnoćaslučajne promenljive X i najčešće ga prikazujemo u vidu tabele
X x1 x2 x3 ...
p(x) p1 p2 p3 ...
pri čemu je
i p P X xi i{ , , , } ( )1 2 3 .
Kažemo da je zakonom verovatnoća određena raspodela slučajne promenljive.
Raspodela slučajne promenljive X sadrži maksimalnu količinu informacija o posmatranom eksperimentu, odnosno, o posmatranoj pojavi ili procesu. Pored toga, ova raspodela omogućava
kompletnu analizu posmatrane pojave. Drugim rečima, u raspodeli slučajne veličine X sadržana je dovoljna količina informacija o posmatranoj pojavi.
Na primer, bacaju se istovremeno dva novčića i registruje broj pojavljivanja "pisma". Ako označimo sa X rezultat eksperimenta, onda će X biti slučajna promenljiva sa mogućim vrednostima
š0,1, 2ć
i odgovarajućim verovatnoćama
1
4
2
4
1
4, ,
.
Zakon verovatnoća slučajne promenljive X je dat tabelom:
X 0 1 2
p(x)
0.25
0.50
0.25
Ako se, na primer, gađa neki cilj sve do momenta njegovog pogađanja, može se posmatrati broj izvršenih gađanja X. Neka je, u svakom gađanju, verovatnoća pogotka cilja jednaka p, pri čemu je 0<p<1. Tada je, zbog nezavisnosti, verovatnoća da broj gađanja X bude jednak, recimo k, jednaka
P X k p pk
( )
11
,
jer će se događaj
D=(X=k)
realizovati jedino ako je u (k-1) gađanja cilj promašen, a pogođen u k-tom gađanju. Zakon verovatnoća slučajne promenljive X je dat sledećom tabelom:
X 1 2 3 ...
p(x p (1- (1- ...
) p)p p)2p
Posmatrajmo statistički skup od N elemenata i raspodelu obeležja X na tom skupu, datu tabelom
X x1 x2 ... xn
f f1 f2 ... fn
Ako na slučajan način iz posmatranog skupa biramo jedan elemenat, tad je vrednost obeležja X na izabranom elementu slučajna promenljiva sa raspodelom
X x1 x2 ... xn
p(x)
f1/N f2/N ... fn/N
Ova raspodela nije ništa drugo nego raspodela relativnih frekvencija obeležja X na posmatranom statističkom skupu. Zato se svaki zaključak koji izvedemo za slučajnu promenljivu X odnosi i na raspodelu obeležja X na statističkom skupu.
Sa druge strane, u izučavanjima statističkih skupova i pojava masovnog karaktera, služimo se određenom metodologijom i određenim načinom zaključivanja, i to u skladu sa realnim pojavama koje nas okružuju. Zato ćemo slučajne promenljive proučavati na isti takav način, tj. u skladu sa zahtevima koji proističu iz realnosti, a to će omogućiti široku primenu izvedene teorije. Istovremeno rezultati opšte teorije potpunije će opisati posmatrane skupove, odnosno pojave masovnog karaktera.
Raspodela slučajne promenljive X predstavlja se grafički u vidu histograma prikazanog na sl 1.1. Na osi X se nanose moguće vrednosti slučajne promenljive X, a zatim se iznad svake tačke konstruiše pravougaonik čija je površina jednaka odgovarajućoj verovatnoći.
Slika 1.1. Zakon verovatnoća slučajne promenljive X Pošto je
pii
n
11 ,
na histogramu raspodele slučajne promenljive, cela površina između ose X i krive kojom je ograničen histogram, treba da je jednaka jedinici.
Na osnovu raspodele slučajne promenljive X prekidnog tipa, moguće je odrediti raspodelu bilo koje slučajne promenljive Y koja je definisana preko X.
Ako između slučajnih promenljivih X i Y postoji veza
Y = g(X),
tada je zakon verovatnoća Y dat u sledećoj tabeli
Y y1=g(x1)
y2=g(x2)
y3=g(x3)
...
p(y)
p1 p2 p3 ...
Najčešće se posmatra linearna funkcija
Y = aX + b,
pri čemu je a0 . Tada je zakon verovatnoća slučajne promenljive Y dat tabelom.
Y ax1+b
ax2+b
ax3+b
...
p(y) p1 p2 p3 ...
Ako se zna zakon verovatnoća slučajne promenljive X, moguće je lako odrediti verovatnoće bilo kog slučajnog događaja vezanog za taj eksperiment. Naime, slučajni događaj je podskup skupa mogućih vrednosti, tj. podskup skupa realnih brojeva
x x x1 2 3, , ,...
Kada odredimo podskup koji odgovara događaju, na osnovu verovatnoća pojedinih tačaka tog podskupa, lako se određuje verovatnoća posmatranog događaja.
Na primer, ako se smatra da je rađanje devojčice slučajan događaj sa verovatnoćom 0.5, a dečaka takođe, sa verovatnoćom 0,5, kolika je verovatnoća da će u porodici sa četvoro dece biti bar dve devojčice? Označimo sa X broj devojčica u porodici sa četvoro dece. Tada X može uzeti jednu vrednost iz skupa
š0, 1, 2, 3, 4ć,
sa verovatnoćama
š0,0625; 0,2500; 0,3750; 0,2500; 0,0625ć.
Tako je zakon verovatnoća za X dat tabelom
X 0 1 2 3 4
p(x) 0.0625
0.2500
0.3750
0.2500
0.0625
Posmatrani događaji će se realizovati ako se realizuje jedna od vrednosti iz podskupa
š2, 3, 4ć.
Tražena verovatnoća je jednaka
P X P X P X P X2 4 2 3 4
odnosno,
P(2 X 4) = 0,3750 + 0,2500 + 0,0625
= 0,6875.
Ako, u posmatranom primeru, znamo da u porodici ima jedan dečak i jedna devojčica kolika bi bila verovatnoća da će u toj porodici biti bar dva dečaka? Tražena verovatnoća je uslovna verovatnoća
P(A/B),
pri čemu je
A X
B X
0 2
1 3
Pošto je
A B = (1 X 2)
iz definicije uslovne verovatnoće sledi da je
P A B
P A B
P B/
, .
, , ,, .
0 2500 0 3750
0 2500 0 3750 0 25000 7143
Uzmimo sledeći primer. Radi utvrđivanja kvaliteta u velikoj seriji, uzima se jedan proizvod i vrši kompletna analiza. Ako izabrani proizvod, u potpunosti, odgovara željenom kvalitetu, dalja analiza se ne vrši, a ako ne odgovara, bira se sledeći i vrši njegova analiza, itd. Neka je verovatnoća za svaki proizvod, da odgovara željenom kvalitetu, jednaka 0.8, a troškovi analize su 2000 dinara. Interesuje nas verovatnoća da će troškovi kontrole serije biti manji od 5000 dinara.
Označimo sa X broj proizvoda koji će u kontroli serije, biti analizirani. Tada X ima zakon verovatnoće
X 1 2 3 ...
p(x)
0.8 0.20.8
0.040.8
...
Označimo sa Y troškove kontrole serije. Tada je
Y = 2000X,
tako da je zakon verovatnoća za troškove Y dat tabelom:
Y 2000
4000
6000 ...
p(y) 0.8 0.16 0.032
...
Troškovi kontrole će biti manji od 5000, ako je analiziran jedan ili dva proizvoda, pa je verovatnoća da troškovi kontrole budu manji od 5000, jednaka
P(Y < 5000) = P(X=1) + P(X=2),
odnosno,
P(Y < 5000) = 0.96.
Zakon verovanoća neprekidne slučajne promenljive
Pri gađanju mete meri se udaljenost pogotka od centra. Promenljiva veličina X biće jedan od realnih brojeva iz intervala (0;a), a pri jednom "izvođenju" eksperimenta (u jednom gađanju), X će uzeti samo jednu vrednost iz tog intervala.
Vek trajanja sijalice je promenljiva veličina koja će
uzeti vrednost iz intervala 0; + . Za jednu sijalicu (jedno "izvođenje" eksperimenta), vek trajanja će biti samo jedan broj iz ovog intervala.
U ovakvim eksperimentima, posmatrana promenljiva veličina X može uzeti jednu vrednost iz
nekog intervala. Smatraćemo da je to beskonačni interval
(- , + ) (1.11)
Ako je u eksperimentu interval konačan tada ćemo smatrati da su tačke izvan tog intervala nemogući događaji sa verovatnoćama jedanakim nuli.
Slučajnu promenljivu neprekidnog tipa treba da odredimo tako da nam je moguće tačno utvrditi njenu raspodelu, kao i kod promenljivih prekidnog tipa.
Po analogiji sa slučajnim promenljivim prekidnog tipa, i ovde moramo definisati zakon verovatnoća tako da nam je moguće da za svaki slučajni događaj vezan za taj eksperiment, odredimo njegovu verovatnoću.
U ovom slučaju, interval (- ; + ) , podelimo na podintervale proizvoljno male dužine x . Umesto tačaka
x (- ; + )posmatraćemo intervale x-
x;x+
x 2 2
. Za
tako određene intervale moguće je odrediti jednu funkciju f(x), preko koje ćemo definisati verovatnoće.
Definicija 1.3: Za promenljivu veličinu X kažemo da je slučajna promenljiva neprekidnog tipa ako
uzimanje bilo koje vrednosti iz intervala (- ; + )
predstavlja slučajan događaj i ako postoji funkcija f(x) takva da je verovatnoća, da će se X naći u prizvoljno maloj okolini tačke x, tj. u intervalu
x -x
2; x +
x
2
(1.12)
jednaka proizvodu f(x) x ; tj ako je
P x -x
2< X x +
x
2= f(x) x
(1.13)
Funkcija f(x) naziva se zakon verovatnoća slučajne promenljive X.
Prema tome, slučajna promenljiva neprekidnog tipa biće određena funkcijom f(x), odnosno, zakonom verovatnoća.
Zakon verovatnoća f(x) mora zadovoljavati sledeća dva uslova:
1. f(x) 0, za svako x (- , + );
2. f(x)dx = 1
. (1.14)
Prvi uslov sledi iz (1.13) i osobine nenegativnosti verovatnoća.
Pošto se u posmatranom eksperimentu realizuje
tačno jedna vrednost x iz (- ; + ) , onda je "zbir" verovatnoća za sve tačke u tom intervalu jednak jedinici (vidi sl. 1.2), a taj "zbir" nije ništa drugo do integral (1.14). Geometrijski, to je površina između X ose i zakona verovatnoća f(x).
Slika 1.2. Zakon verovatnoća slučajne promenljive X.
Najčešće nas interesuje određivanje verovatnoća da će se slučajna promenljiva naći u nekom intervalu, recimo intervalu (x1; x2). Traženu verovatnoću ćemo naći tako što ćemo, za sve tačke iz intervala (x1; x2), "sabrati" odgovarajuće verovatnoće date sa (1.13). Taj zbir nije ništa drugo do određeni integral funkcije f(x) u granicama (x1; x2). Na slici 1.3. to je šrafirana površina.
Slika 1.3. Verovatnoća da se X nađe u intervalu (x1; x2).
Tražena verovatnoća jednaka je
P x <X x = f x
xx dx
1 21
2
(1.15)
Svaki slučajni događaj, vezan za posmatrani eksperiment, može se izraziti preko intervala, a verovatnoće intervala odredićemo preko (1.15). Zato ćemo, na osnovu zakona verovatnoća f(x), moći odrediti i verovatnoće bilo kog slučajnog događaja.
Na primer, proizvođač automobilskih guma tvrdi da su njegove gume veoma pouzdane. Zna se da je za svaku gumu njen "vek trajanja" slučajna promenljiva sa zakonom verovatnoća
0xza0
0xzae1025f(x)=
x10256 6
(1.16)
Funkcija (1.16) je, zaista zakon verovatnoća. Zadovoljava uslove:
1. f(x) 0
2. .
f x dx e dxx
25 10 16 25 10 6
Traži se verovatnoća da će kupljena guma izdržati
40.000 km, odnosno, 4 104 km. To će se realizovati kada
je X 4 10 4 , tako da je tražena verovatnoća jednaka
P(X > 40000) = 25 10 e dx
0.3678789,
-6 -25 10-6 x
4 104
a verovatnoća da će guma izdržati 20.000 km, je
P(X > 20.000) = 0.6065
Uzmimo još jedan primer. Neka X ima zakon verovatnoća
f(x)2(b x)
b2
za x 0;b . Potrebno je odrediti z tako da, sa verovatnoćom 0.5, tvrdimo da će slučajna promenljiva X uzeti vrednost veću od z.
Tražena vrednost z je broj za koji je
P(X>z) = 0,5
odnosno,
f(x) dx .z
b
0 5
Rešenje integrala daje jednačinu
z - b
b
2
0,5
odakle se dobija da je
z 1 - 0,5b
Funkcija raspodele slučajne promenljive
U praktičnim određivanjima verovatnoća slučajnih događaja vezanih za slučajne promenljive, često smo zainteresovani za jednu klasu događaja koji se formulišu na sledeći način: "Slučajna veličina X uzeće vrednost ne manju od z", pri čemu je z unapred određen broj iz
intervala (- , + ) .
Na primer, interesuje nas događaj da će tražnja za jednim proizvodom biti manja od jedne određene vrednosti, recimo 1.000 jedinica u datom vremenskom intervalu.
Ili nas interesuje događaj da će, u automatskoj centrali broj poziva biti manji od nekog broja, koji predstavlja kapacitet centrale.
Za lakše određvanje verovatnoća ovakvih događaja, služi funkcija raspodele slučajne promenljive X, koja se definiše na sledeći način:
Definicija 1.4.: Funkcija raspodele slučjane promenljive X je funkcija F(z) koja, za svako
z - ;+ (1.17)
predstavlja verovatnoću da slučajna promenljiva X neće uzeti vrednost veću od z, tj.
F z = P X z . (1.18)
Pošto su vrednosti funkcije raspodele F(z) verovatnoće, to znači da će ta funkcija imati vrednosti
između nula i jedan, tj. za svako z - ;+
0 F z 1 (1.19)
Funkcija raspodele slučajne promenljive X je funkcija sa sledećim osobinama:
Osobina 1. F - =0.
F - je verovatnoća da će X biti manje od , a to je nemoguć događaj čija je verovatnoća jednaka 0.
Osobina 2. F(+) = 1
F(+) je verovatnoća da će X biti manje od + , a to je siguran događaj sa verovatnoćom jednakom jedan.
Osobina 3. Funkcija F(z) je monotono neopadajuća funkcija.
Zaista, ako su z' i z" dve vrednosti, takve da je z' z", onda događaj
D' = - X z'
implicira događaj
D" = - X z '' ,
što znači da je
P(D ) P(D )' '' . (1.20)
Pošto je
P(D') = F(z')
P(D") = F(z"),
onda, iz (1.20) sledi da je
F z' F z" (1.21)
Nejednakost (1.21) određuje monotonost funkcije.
Osobina 4. Kod slučajne promenljive X prekidnog tipa, funkcija raspodele F(z) je stepenasta funkcija koja u tačkama
1 2 3x ,x ,x ,...
ima skokove jednake odgovarajućim verovatnoćama.
Naime, za svako
z (- ; x ) F(z) ,
z x ;x ) F(z) P(X=x )=p ,
z x ;x ) F(z) P(X=x )+P(X=x )=p p
z x ;x ) F(z) P(X=x )= pk k+ ii=
k
ii=
k
1
1 2 1 1
2 3 1 2 1 2
11 1
0
(
(
(
(1.22)
U ovom slučaju, funkcija raspodela F(z) je funkcija koja ima oblik prikazan na slici 1.4.
Na osnovu izraza (1.22) može se lako odrediti funckija raspodele F(z), kada se zna zakon verovatnoća slučajne promenljive X.
Obrnuto, ako je poznata funkcija raspodela F(z), onda se iz (1.22) dobija da je
, ................... ................
))-F(F(
...................................
))-F(F(
))-F(=F(
)=F(
xxp
xxpxxp
xp
1k-kk
233
122
11
(1.23)
sa čime je potpuno određen zakon verovatnoća slučajne promeljive X.
1
F(z)
Slika 1.4. Funkcija raspodele slučajne promenljive X prekidnog tipa.
Osobina 5. Ako je X neprekidna slučajna promeljiva sa zakonom verovatnoća f(x), tada je, za
svako z - ;+
F(z)= f(x) dx-
z
. (1.24)
Funkcija raspodele F(z) je neprekidna i monotono neopadajuća funkcija, ili je prekidna za konačno mnogo tačaka prekida.
Funkcija raspodele neprekidne slučajne promenljive X ima oblik krive, prikazane na slici 1.5.
Slika 1.5. Funkcija raspodele neprekidne slučajne promenljive X.
F(z)
Kada nam je poznat zakon verovatnoće f(x) jedne slučajne promenljive, rešavanjem integrala u (1.24), odredićemo njenu funkciju raspodele.
Obrnuto, ako nam je poznata funkcija raspodele F(z), zakon verovatnoća f(x) odredićemo preko izvoda
funkcija F(z). Tada je za svako z - ;+
f(x) =dF(z)
dz z x (1.25)
Zaključak: Pod raspodelom slučajne promenljive X treba podrazumevati, ili njen Zakon verovatnoća, ili Funkciju raspodele. Kada znamo zakon verovatnoća, lako određujemo funkciju raspodele, i obrnuto, kada znamo funkciju raspodele slučajne promeljive X, lako određujemo njen zakon verovatnoća. Raspodelom slučajne promenljive određena je maksimalna količina informacija o eksperimentu sa slučajnim ishodima.
Posmatrajmo sledeći primer. Poznato je da je svaka četvrta osoba alergična na antibiotike. Radi provere novog leka, na slučajan način je izabrana grupa od sedam lica. Odredićemo zakon verovatnoća slučajne promenljive X, koji predstavlja broj izabranih lica koji su alergični na antibiotike.
Slučajna promenljiva X je prekidnog tipa i može uzeti jednu od vrednosti:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Za svaku izabranu osobu, verovatnoća da bude alergična na antibiotike, je
p = 0.25,
a izbor osoba vršimo nezavisno. Znači, sedam puta "ponavljamo" eksperiment, i u svakom "ponavljanju " posmatramo slučajni događaj A: "Izabrano lice je alergično na antibiotike". Događaj A se, u svakom "ponavljanju" realizuje sa verovatnoćom 0,25. Slučajna
promeljiva X predstavlja broj "ponavljanja eksperimenta" u kojima se događaj A realizovao. Zato je verovatnoća da X uzme neku vrednost k jednaka
P(X=k)=P (k)=7 ( ) 0.25 0.75k7 k 7-k
tj. verovatnoće za pojedine vrednosti slučajne promeljive X su tzv. binomne verovatnoće P7(k).
Zakon verovatnoća slučajne promenljive X dat je tabelom:
X 0 1 2 3 4 5 6 7
p(x)
0.133
0.311
0.311
0.173
0.057
0.011
0.001
0.0001
Njegov histogram je prikazan na slici 1.6.(a).
Slika 1.6. Zakon verovatnoća i funkcija raspodele.
Funkcija raspodele ove slučajne promenljive je data sa:
za z - ; F(z) ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
za z ; F(z) , ;
0 0
0 1 0 1335
1 2 0 4450
2 3 0 7565
3 4 0 9295
4 5 0 9872
5 6 0 9987
6 7 0 9999
7 1 000
Ova funkcija prikazana je na Slici 1.6 (b).
Na sličan način, posmatraćemo primer neprekidne slučajne promeljive X sa zakonom verovatnoća
f(x)=( x) za <x<
za x , x
1
43 0 2
0 0 2
(1.26)
Funkcija raspodele F(z) je određena na sledeći način:
za z ; 0 F(z) = 0 ;
za z 0;2 F(z) =1
4 (3 - x)dx =
z
4(3 -
z
2)
0
z
;
za z 2;+ F(z) =1
4 (3 - x)dx = 1
0
2
.
Prema tome, funkcija raspodele F(z), za slučajnu promeljivu X, sa zakonom verovatnoća (1.26), data je funkcijom
F(z)=
za z
z-
z za <z<
za z .
0 0
43
20 2
1 2
(1.27)
Funkcije (1.26) i (1.27) prikazane su na slici 1.7. (a) i (b).
Slika 1.7. Zakon verovatnoća i funkcija raspodele slučajne promenljive.
z
1.3. ANALIZA SLU^AJNIH PROMENLJIVIH
Karakterisitke jedne slučajne promenljive X sadržane su u njenoj raspodeli datoj zakonom verovatnoća ili funkcijom raspodele. Zato se, u upotrebi slučajnih promenljivih, mora raditi sa raspodelom, a to otežava primenljivost teorije verovatnoće baziranoj na slučajnim promenljivim.
Sa druge strane, u praksi, najčešće ne znamo raspodelu slučajne promenljive. U takvim slučajevima se pokazalo da je poznavanje određenih numeričkih karakteristika dovoljno za rešavanje praktičnih problema primene teorije verovatnoća. Zato je potrebno odrediti numeričke karakteristike po unapred određenim pravilima, pa umesto celog zakona verovatnoća, odnosno funckije raspodele slučajne promenljive, posmatrati određeni broj parametara, koji će, u dovoljnoj meri, opisivati posmatranu promenljivu.
Kao što se, pre upotrebe nekog građevinskog materijala, prvo moraju utvrditi njegove karakteristike, i to tako što će se izvršiti merenje vrednosti posmatranih karakteristika, tako se i u upotrebi slučajnih promenljivihprvo moraju "izmeriti" određene karakteristike. Prethodno se mora obezbediti procedura ili način na koji se vrši "merenje" željenih karakteristika.
Određivanje pojedinih karakteristika, odnosno parametara slučajne promenljive X, vrši se preko očekivane vrednosti ili matematičkog očekivanja. Zato ćemo se, ukratko, upoznati sa ovim pojmom, a zatim ćemo preći na određivanje pojedinih parametara slučajnih promenljivih.
Očekivana vrednost
U analizi statističkih podataka na pojavama masovnog karaktera, služili smo se raspodelom frekvencija i mogućim vrednostima posmatranog obeležja. Pri tome smo posmatrali pojedine vrednosti, ili njihove funkcije posmatranog obeležja, i njih smo množili apsolutnim frekvencijama, zatim sabirali i delili sa ukupnim brojem elemenata statističkog skupa. Tako smo, na primer odredili aritmetičku sredinu
x= x p ,i ii=
n
1 (1.28)
pri čemu su pi relativne frekvencije (p
f
Nii).
Pošto se raspodela statističkog skupa može smatrati raspodelom slučajne promenljive X, onda aritmetička sredina može predstavljati "prosečnu vrednost"slučajne promenljive, pa će nam (1.28) poslužiti i za definiciju očekivane vrednosti slučajne promenljive.
Definicija 1.5: Neka je data raspodela slučajne promenljiveX
X x1 x2 x3 ...
p(x) p1 p2 p3 ...
Ako red
x pi ii=1
konvergira, njegovu sumu nazivamo očekivanom vrednošću, ili kraće očekivanjem slučajne pomenljive X i označavamo ga sa E(X), pa je
E(X) = x pi ii=1
. (1.29)
Definicija 1.6: Neka je f(x) zakon verovatnoćaslučajne promenljive X. Ako postoji integral
xf(x) dx,
njegova vrednost se naziva očekivanom vrednošću, ili kraće, očekivanjem slučajne promenljive X i označava se sa E(X), tako da je
E(X)= xf(x) dx.
(1.30)
Ako se, preko slučajne promenljive X, definiše nova slučajna promenljiva Y funkcijom
Y = g(X)
tada je očekivana vrednostpromenljive Y određena preko raspodele promenljive X, kao suma reda
E g(X) = g(x )pi ii=1
(1.31)
odnosno, kao integral
E g(X) = g(x) f(x) dx
(1.32)
Očekivanje slučajne promenljive X i očekivanje funkcija slučajne promenljive X, je osnovni aparat u analizi slučajnih promenljivih. Mada se pojam očekivane vrednosti, u početku, vezao za hazardne igre, njegova velika upotreba je proširila ovaj pojam toliko da je postao svakodnevni termin. Sada se donošenje najjednostavnijih poslovnih odluka ne može ni zamisliti bez upotrebe očekivanja vezanih za rezultate određenih akcija.
Na primer, tipičan problem zaliha je problem određivanja broja jedinica nekog artikla. Tražnja za tim artiklom se može smatrati slučajnom promenljivom.
Potražnje su nam alternative za nabavku, ali nam nisu poznati troškovi, odnosno, zarade za pojedine alternative. Očekivani troškovi, odnosno, očekivana zarada će nam poslužiti kao kriterijum za izbor najbolje alternative.
Predpostavimo da prodavnica treba da kupi 50, 60 ili 70 sezonskih haljina, a da je njena zarada 100 dinara po komadu. Na kraju sezone neporodate haljine se mogu prodati po sniženoj ceni koja će dovesti do gubitaka od 75 dinara po neprodatoj haljini. Neka se zna da je verovatnoća da se proda 50 haljina, 0.30, a da se proda 60, je 0.50, dok je verovatnoća prodaje 70 haljina 0.20. U Tabeli 1.1. date su očekivane zarade za posmatrane odluke.
Tabela 1.1. Računanje očekivane zarade
Alternative
Traž-
nja
Verovat-noća
Nabaviti 50 haljina
Nabaviti 60 haljina
Nabaviti 70 haljina
Uslovna
zarada
Očekivana
zarada
Uslovna
zarada
Očekivana
zarada
Uslovna
zarada
Očekivana
zarada
50 0,30 5000 1500 4250 1275 3500 1050
60 0,50 5000 2500 6000 3000 5250 2625
70 0,20 5000 1000 6000 1200 7000 1400
Ukupna očekivana zarada
5000 5475 5075
Iz poslednje vrste Tabele 1.1, vidi se da je najbolja alternativa nabaviti 60 haljina. Kod nje je očekivana zarada 5475 dinara.
Ako slučajna veličina X ima raspodelu
X 10 20 30 40
p(x) 0.1 0.3 0.5 0.1
tada je njeno očekivanje jednako
E(X) = 10 0.1 + 20 0.3 + 30 0.5 + 40 0.1 =
= 26
a očekivana vrednost funkcije
g(X) = 2X - 9002
jednaka je
E g(X) (2 10 - 900) 0.1+ (2 20 - 900) 0.3 + (2 30 - 900)
0.5 + (2 40 - 900) 0.1
560.
2 2 2
2
Za slučajnu promenljivu X, kod koje je zakon verovatnoća
f x =x za <
za x , x> .( )
1
500 1 10
0 0 10
očekivanje je jednako
E(x) x dx
.
1
50
20 3
2
0
10
Očekivana vrednost funkcije
g(x) = 2X - 42
je jednaka integralu
1.4. ZADACI
1. Slučajna promenljiva X ima zakon verovatnoća
f x =
1
x + 1 za x > 0
0 za x 0.
2
Neka su dati sledeći događaji:
A - < X < 0
A 0 X
A 0 X 1
A - 6 X 0
1
2
3
4
Naći verovatnoće sledećih slučajnih događaja:
a) A ;
b) A A ;
c) A A ;
1
1 2
2 3
d) A A ;
e) A A ;
f) A A ;
3 1
1 2
1 4
g) (A A )(A A );
h) A ;
i) A A .
3 4 1 2
3
1 3
2. Za slučajnu promenljivu X čiji zakon verovatnoća je
f(x) =e za x > 0
0 za x 0,
-x
odrediti funkciju raspodele. Nacrtaj f(x) i funkciju raspodele, a zatim odredi verovatnoću slučajnih događaja datih u zadatku 1.
3. Automatski strug iseca kružnu limenu pločicu. Dijametar isečena pločica je slučajna promenljiva sa zakonom verovatnoća
f(x) =c(x - 0.24) (x - 0.26) za 0.24 x 0.26
0 za x 0.24 x > 0.26.
2 2
a) Odrediti konstantu c.
b) Pločice se moraju dorađivati ako je njihov dijametar odstupio od propisane vrednosti 0.25 za više od 0.008. Koliki se može očekivati procenat pločica za doradu?
4. Baca se novčić sve dok ne padne pismo. Odredi raspodelu slučajne promenljive koja predstavlja broj bacanja novčića.
5. Igrač A ima 2 dinara a igrač B 1 dinar. Jedan od igrača baca novčić, a drugi pogađa stranu novčića koja će pasti u bacanju. Ukoliko pogodi, dobija dinar od drugog igrača. U protivnom, plaća dinar. Igra se završava kada jedan od igrača dobije sva 3 dinara. Odredi raspodelu slučajne promenljive koja predstavlja broj bacanja novčića do završetka igre.
6. Mašina proizvodi eksere sa 1% defektnih u ukupnoj proizvodnji. Kako izgleda raspodela broja neispravnih eksera u uzorku od 60 komada.
7. Pravilna kocka se baca sve dok se ne pojavi 6. Odredi verovatnoću da će se kocka bacati više od pet puta.
8. Zakon verovatnoća slučajne promenljive X je funkcija
f(x)cx za 0 < x < 1
0 za x 0; x 1
3
a) Odrediti konstantu c.
b) Odredi onu vrednost X za koju će verovatnoća da slučajna promenljiva X bude veća od nje, biti jednaka verovatnoći da će X biti manje od te vrednosti.
c) Odredi broj A tako da sa verovatnoćom 0.05 tvrdimo da će slučajna promenljiva biti veća od A.
9. Slučajna promenljiva X ima tzv. Gama raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x)( )
x e za x 0
0 za x 0.
-1 - x
Ispitaj funkciju f(x) i proveri da je to zaista funkcija koja predstavlja zakon verovatnoća.
10. Na osnovu modela iz zadatka br. 9.
a) a) za 640, 20, proveri da je
P(X = 30) = 0.057 .
b) Ako je 20, a verovatnoća
P(X 30) = 0.01 ,
koliko treba da je ?
11. Odredi paramtre raspodele slučajne veličine X sa zakonom verovatnoća
f(x) = ce , b > 0.-
x-ab
12. Apsolutna vrednost brzine kretanja molekula je slučajna promenljiva sa tzv. Maksvelovom raspodelom datom funkcijom
f(x) =4x
ae za x > 0.
2
3
- 2
2x
a
Naći srednju brzinu molekula i njenu varijansu.
13. Slučajna promenljiva X može uzeti samo dve vrednosti: 1 i 2. Njena očekivana vrednost je 3/2. Odrediti zakon verovanotće za X.
14. Pravilan novčić se baca 10 puta. Odredi očekivanje broja pojavljivanja "pisma", funkciju generatrisu za taj broj, a zatim odredi parametre raspodele iz funkcije generatrise.
15. Ako je funkcija generatrisa definisana preko očekivane vrednosti funkcije
Y = e ,t (X-m)
šta će biti k-ti izvod te funkcije u tački t=0?
16. Proveri da slučajna veličina X, koja ima tzv. Cauchyjevu raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x) =1 1
1+ x ,2
nema očekivanu vrednost.
17. Da li, za Cauchyjevu raspodelu, postoji funkcija generatrisa?
18. Oderedi funkciju generatrisu za raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x) =
x za 0 < x < 1
- x + 2 za 1 < x < 2
0 za x 0, x 2.
19. Slučajna veličina X ima tzv. log-normalnu raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x) =1
x 2e za x 0
0 za x 0.
-2
2(ln x- )
2
Naći očekivanu vrednost i varijansu ove slučajne promenljive.
20. Ako X ima tzv. Normalnu raspodelu datu zakonom verovatnoće
f(x) =1
2e
-2
2(x-m)
2
,
odredi njenu funkciju generatrisa, a zatim, iz nje, odredi parametre slučajne promenljive X.
21. Odredi paramtre raspodele slučajne veličine X sa zakonom verovatnoća
f(x) = ce , b > 0.-
x-ab
22. Apsolutna vrednost brzine kretanja molekula je slučajna promenljiva sa tzv. Maksvelovom raspodelom datom funkcijom
f(x) =4x
ae za x > 0.
2
3
- 2
2x
a
Naći srednju brzinu molekula i njenu varijansu.
23. Slučajna promenljiva X može uzeti samo dve vrednosti: 1 i 2. Njena očekivana vrednost je 3/2. Odrediti zakon verovanotće za X.
24. Pravilan novčić se baca 10 puta. Odredi očekivanje broja pojavljivanja "pisma", funkciju generatrisu za taj broj, a zatim odredi parametre raspodele iz funkcije generatrise.
25. Ako je funkcija generatrisa definisana preko očekivane vrednosti funkcije
Y = e ,t (X -m)
šta će biti k-ti izvod te funkcije u tački t=0?
26. Proveri da slučajna veličina X, koja ima tzv. Cauchyjevu raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x) =1 1
1+ x ,2
nema očekivanu vrednost.
27. Da li, za Cauchyjevu raspodelu, postoji funkcija generatrisa?
28. Oderedi funkciju generatrisu za raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x) =
x za 0 < x < 1
- x + 2 za 1 < x < 2
0 za x 0, x 2.
29. Slučajna veličina X ima tzv. log-normalnu raspodelu datu zakonom verovatnoća
f(x) =1
x 2e za x 0
0 za x 0.
-2
2(ln x- )
2
Naći očekivanu vrednost i varijansu ove slučajne promenljive.
30. Ako X ima tzv. Normalnu raspodelu datu zakonom verovatnoće
f(x) =1
2e
-2
2(x-m)
2
,
odredi njenu funkciju generatrisa, a zatim, iz nje, odredi parametre slučajne promenljive X.
funkcija generatrisa, 53, 55očekivana vrednost, 53, 55zakon verovatnoća, 50, 52
2. VI[EDIMENZIONALNE SLU^AJNE PROMENLJIVE
Osnovu statističke analize čini onaj deo Teorije verovatnoće koji razmatra višedimenzionalne slučajne promenljive. Zato ćemo, ukratko, u ovoj glavi izložiti najosnovnije pojmove koji će se kasnije koristiti. Radi lakšeg razumevanja posmatraćemo prvo, dvodimenzionalne slučajne promenljive i koristiti se geometrijskim interpretacijama i objašnjenjima nekih rezultata. Tako prihvaćeni osnovni pojmovi za dve dimenzije, omogućiće da se dosta lako shvate uopštenija i na višedimenzionalne slučajeve.
višedimenzionalne slučajne promenljive, 71
2.2. RASPODELE VI[EDIMENZIONALNIH SLU^AJNIH
PROMENLJIVIH
Posmatrajmo neki statistički skup. Na primer, skup država u Evropi, skup preduzeća u Srbiji, zaposlene u SRJ, i sl. Kod svakog elementa statističkog skupa posmatraćemo dva obeležja. Označićemo ih sa X i Y.
Na primer, kod preduzeća, posmatraćemo sledeća obeležje:
X - broj zaposlenih;
Y - ostvareni dohodak.
Slično možemo uraditi i za zemlje Evrope i posmatrati obeležja:
X - izvoz
Y - uvoz.
Kod svakog elementa posmatranog statističkog skupa, obeležja X i Y će uzeti određene vrednosti. Tako će se, za statistički skup od N elemenata, dobiti skup parova vrednosti obeležja X i Y. Reći ćemo da taj skup vrednosti određuje raspodelu dvodimenzionalnog obeležja (X,Y) na posmatranom skupu.
Da bi potpunije odredili raspodelu ovog obeležja (X,Y), prvo ćemo pretpostaviti da su obeležja X i Y prekidnog tipa.
Neka je
x x xn1 2, , ...,
skup mogućih vrednosti X, pri čemu je
x xi i 1
za svako i n 1 2 3 1, , , ..., - . Pored toga, neka je skup mogućih različitih vrednosti obeležja Y skup
y y ym1 2, , ...,
pri čemu je
y yj j 1 ,
za svako j m 1 2 3 1, , , ..., - .
Označićemo sa f ij broj elemenata statističkog skupa kod kojih obeležje X ima vrednost xi , a obeležje Y
vrednost y j . Sad se sve vrednosti posmatranog obeležja (X,Y) mogu prikazati u vidu sledeće dvodimenzionalne tabele:
Tabela 2.1. Raspodela obeležja (X,Y)
Y X
Y1 y2 ... ym
x1 f11 f12 ... f1m
x2 f21 f22 ... f2m
xn fn1 fn2 ... fnm
Tabela 2.1. predstavlja raspodelu apsolutnih frekvencija dvodimenzionalnog obeležja (X,Y) na posmatranom statističkom skupu. Brojevi unutar tabele predstavljaju frekvencije i njihov zbir je jednak broju elemenata statističkog skupa. Zato je
f Nijj
m
i
n
11.
Kad se apsolutne frekvencije, u Tabeli 2.1, podele sa N, dobićemo tabelu raspodela relativnih frekvencija obeležja (X,Y):
Tabela 2.2. Raspodela obeležja (X,Y)
YX
y1 y2 ... ym
x1 p11 p12 ... p1m
x2 p21 p22 ... p2m
xn pn1 pn2 ... pnm
Pri tome smo označili sa
pf
Nij
ij
za svako i n 1 2 3, , ,..., i j m 1 2 3, , , ..., .
Jasno je da relativne frekvencije u Tabeli 2.2, zadovoljavaju sledeća dva uslova:
pij 0 za svako i n 1 2 3, , , ..., i j m 1 2 3, , , ..., , (2.1)
pij
j
m
i
n
111.
(2.2)
Reći ćemo da je Tabelom 2.2. data raspodela dvodimenzionalnog obeležja (X,Y), na posmatranom statističkom skupu.
Zakon verovatnoća dvodimenzionalnih slučajnih promenljivih
Sad ćemo posmatrati sledeći eksperiment: iz statističkog skupa biramo na slučajan način jedan elemenat i utvrđujemo kod njega vrednosti obeležja X i Y. Neka svaki elemenat skupa ima podjednaku verovatnoću da bude izabran. Označićemo sa X vrednost prvog posmatranog obeležja kod izabranog elementa, a sa Y vrednost drugog obeležja. Tada, svaki par brojeva
x yi j, ,
za i n 1, ..., i j m 1, ..., , ima odgovarajuću verovatnoću da to bude vrednost posmatranih obeležja kod izabranog elementa. Drugim rečima, X i Y mogu imati vrednosti
X i j= x , Y = y ,
i pri tome je verovatnoća da se to realizuje, jednaka pij , tj.
P X x y pi j ij= , Y = (2.3)
za svako i n 1, ..., i j m 1, ..., .
U ovom eksperimentu, par promenljivih (X,Y), predstavlja dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu.
Skup tačaka ( , )x yi j je skup tačaka u ravni, a (X,Y) može, u jednom “izvođenju” eksperimenta biti samo jedna tačka, i to sa odgovarajućom verovatnoćom.
Možemo umesto statističkog skupa i ovog eksperimenta vezanog za statistički skup, posmatrati bilo kakav eksperiment čiji će rezultat biti par promenljivih (X,Y). Na primer, ako se bacaju dve kocke istovremeno i beleži broj tačkica na prvoj kocki X, a broj tačkica na drugoj Y. Tada je rezultat eksperimenta jedan od parova vrednosti
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ili, možemo na ravni XOY birati na slučajan način jednu tačku, tako što bacamo beskonačno malu kuglicu i beležimo koordinate tačke u kojoj će se kuglica
zaustaviti. Tada je svaka tačka (x,y) ravni XOY mogući rezultat eksperimenta.
U ovakvim eksperimentima može se unapred odrediti skup mogućih vrednosti jedne promenljive i skup mogućih vrednosti druge promenljive. Skup parova ovih mogućih vrednosti predstavljaće skup mogućih rezultata dvodimenzionalne promenljive (X,Y). U jednom izvođenju eksperimenta, promenljiva (X,Y) će uzeti samo jedan par mogućih vrednosti.
Uzimanje bilo kog para mogućih vrednosti promenljive (X,Y), predstavlja slučajni događaj sa određenom verovatnoćom realizacije. Par promenljivih (X,Y), ovakvog tipa, predstavlja dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu.
Slično kao i kod jednodimenzionalnih promenljivih, posmatraćemo dve kategorije: prekidne (diskretne) i neprekidne (kontinuirane) dvodimenzionalne slučajne promenljive.
Neka je skup mogućih rezultata promenljive X skup realnih brojeva
x x1 2, , ... ,
a skup mogućih rezultata promenljive Y je skup
y y1 2, , ... ,
pri čemu su to konačni skupovi brojeva, ili beskonačni, ali prebrojivi.
Tada je skup mogućih rezultata eksperimenta skup parova vrednosti
( , ), ( , ), ...1 1 1 2x y x y ;
( , ), ( , ), ...2 1 2 2x y x y ;
……………………,
a to istovremeno skup mogućih vrednosti dvodimenzionalne promenljive (X,Y).
Da bi se mogli proučavati ovakvi eksperimenti potrebno je odrediti verovatnoće za svaki mogući rezultat, odnosno, potrebno je odrediti raspodelu promenljive (X,Y).
Označimo sa pij verovatnoću da će rezultat
eksperimenta biti par ( , )x yi j , tj. pij je verovatnoća slučajnog događaja
D X x yi j , , Y (2.4)
Može se napisati u obliku
p P X x yij i j , Y (2.5)
za svako i 1,2, ... i j 1,2, ... .
Ove verovatnoće možemo dati u vidu sledeće tabele:
Tabela 2.3. Zakon verovatnoće slučajne promenljive (X,Y)
Y X
y1 y2 ... yj ...
x1 p11 p12 ... p1j ...x2 p21 p22 ... p2j ...
xi pi1 pi2 ... pij ...
.. ... ... ... ... ...
Tabela 2.3. određuje zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) prekidnog tipa. Pri tome su verovatnoće sadržane u tabeli takve da je
pij 0, (2.6)
za svako i 1,2, ... i j 1,2, ... , a njihov zbir je jednak
pijji
111
(2.7)
Na osnovu zakona verovatnoća datog Tabelom 2.3, moguće je odrediti verovatnoću bilo kog slučajnog događaja D, vezanog za ovaj eksperiment.
Zakon verovatnoća promenljive (X,Y) prekidnog tipa, može se prikazati grafički kao na Slici 2.1.
Slika 2.1. Zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive prekidnog tipa.
Oko svake tačke xi j, y konstruiše se paralelopiped, čija
će zapremina biti jednaka verovatnoći pij , a njihova ukupna zapremina jednaka je jedinici.
Na primer, ako bacamo istovremeno dve kocke, onda je zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y), koja predstavlja broj tačkica na prvoj i drugoj kocki, dat tabelom:
Tabela 2.4. Primer raspodele (X,Y)
2.2. RASPODELE VI[EDIMENZIONALNIH SLU^AJNIH
PROMENLJIVIH
Posmatrajmo neki statistički skup. Na primer, skup država u Evropi, skup preduzeća u Srbiji, zaposlene u SRJ, i sl. Kod svakog elementa statističkog skupa posmatraćemo dva obeležja. Označićemo ih sa X i Y.
Na primer, kod preduzeća, posmatraćemo sledeća obeležje:
X - broj zaposlenih;
Y - ostvareni dohodak.
Slično možemo uraditi i za zemlje Evrope i posmatrati obeležja:
X - izvoz
Y - uvoz.
Kod svakog elementa posmatranog statističkog skupa, obeležja X i Y će uzeti određene vrednosti. Tako će se, za statistički skup od N elemenata, dobiti skup parova vrednosti obeležja X i Y. Reći ćemo da taj skup vrednosti određuje raspodelu dvodimenzionalnog obeležja (X,Y) na posmatranom skupu.
Da bi potpunije odredili raspodelu ovog obeležja (X,Y), prvo ćemo pretpostaviti da su obeležja X i Y prekidnog tipa.
Neka je
x x xn1 2, , ...,
skup mogućih vrednosti X, pri čemu je
x xi i 1
za svako i n 1 2 3 1, , , ..., - . Pored toga, neka je skup mogućih različitih vrednosti obeležja Y skup
y y ym1 2, , ...,
pri čemu je
y yj j 1 ,
za svako j m 1 2 3 1, , , ..., - .
Označićemo sa f ij broj elemenata statističkog skupa kod kojih obeležje X ima vrednost xi , a obeležje Y
vrednost y j . Sad se sve vrednosti posmatranog obeležja (X,Y) mogu prikazati u vidu sledeće dvodimenzionalne tabele:
Tabela 2.1. Raspodela obeležja (X,Y)
Y X
Y1 y2 ... ym
x1 f11 f12 ... f1m
x2 f21 f22 ... f2m
xn fn1 fn2 ... fnm
Tabela 2.1. predstavlja raspodelu apsolutnih frekvencija dvodimenzionalnog obeležja (X,Y) na posmatranom statističkom skupu. Brojevi unutar tabele predstavljaju frekvencije i njihov zbir je jednak broju elemenata statističkog skupa. Zato je
f Nijj
m
i
n
11.
Kad se apsolutne frekvencije, u Tabeli 2.1, podele sa N, dobićemo tabelu raspodela relativnih frekvencija obeležja (X,Y):
Tabela 2.2. Raspodela obeležja (X,Y)
YX
y1 y2 ... ym
x1 p11 p12 ... p1m
x2 p21 p22 ... p2m
xn pn1 pn2 ... pnm
Pri tome smo označili sa
pf
Nij
ij
za svako i n 1 2 3, , ,..., i j m 1 2 3, , , ..., .
Jasno je da relativne frekvencije u Tabeli 2.2, zadovoljavaju sledeća dva uslova:
pij 0 za svako i n 1 2 3, , , ..., i j m 1 2 3, , , ..., , (2.1)
pij
j
m
i
n
111.
(2.2)
Reći ćemo da je Tabelom 2.2. data raspodela dvodimenzionalnog obeležja (X,Y), na posmatranom statističkom skupu.
Zakon verovatnoća dvodimenzionalnih slučajnih promenljivih
Sad ćemo posmatrati sledeći eksperiment: iz statističkog skupa biramo na slučajan način jedan elemenat i utvrđujemo kod njega vrednosti obeležja X i Y. Neka svaki elemenat skupa ima podjednaku verovatnoću da bude izabran. Označićemo sa X
vrednost prvog posmatranog obeležja kod izabranog elementa, a sa Y vrednost drugog obeležja. Tada, svaki par brojeva
x yi j, ,
za i n 1, ..., i j m 1, ..., , ima odgovarajuću verovatnoću da to bude vrednost posmatranih obeležja kod izabranog elementa. Drugim rečima, X i Y mogu imati vrednosti
X i j= x , Y = y ,
i pri tome je verovatnoća da se to realizuje, jednaka pij , tj.
P X x y pi j ij= , Y = (2.3)
za svako i n 1, ..., i j m 1, ..., .
U ovom eksperimentu, par promenljivih (X,Y), predstavlja dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu.
Skup tačaka ( , )x yi j je skup tačaka u ravni, a (X,Y) može, u jednom “izvođenju” eksperimenta biti samo jedna tačka, i to sa odgovarajućom verovatnoćom.
Možemo umesto statističkog skupa i ovog eksperimenta vezanog za statistički skup, posmatrati bilo kakav eksperiment čiji će rezultat biti par promenljivih (X,Y). Na primer, ako se bacaju dve kocke istovremeno i beleži broj tačkica na prvoj kocki X, a broj tačkica na drugoj Y. Tada je rezultat eksperimenta jedan od parova vrednosti
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Ili, možemo na ravni XOY birati na slučajan način jednu tačku, tako što bacamo beskonačno malu kuglicu i beležimo koordinate tačke u kojoj će se kuglica zaustaviti. Tada je svaka tačka (x,y) ravni XOY mogući rezultat eksperimenta.
U ovakvim eksperimentima može se unapred odrediti skup mogućih vrednosti jedne promenljive i skup mogućih vrednosti druge promenljive. Skup parova ovih mogućih vrednosti predstavljaće skup mogućih rezultata dvodimenzionalne promenljive (X,Y). U jednom izvođenju eksperimenta, promenljiva (X,Y) će uzeti samo jedan par mogućih vrednosti.
Uzimanje bilo kog para mogućih vrednosti promenljive (X,Y), predstavlja slučajni događaj sa određenom verovatnoćom realizacije. Par promenljivih (X,Y), ovakvog tipa, predstavlja dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu.
Slično kao i kod jednodimenzionalnih promenljivih, posmatraćemo dve kategorije: prekidne (diskretne) i neprekidne (kontinuirane) dvodimenzionalne slučajne promenljive.
Neka je skup mogućih rezultata promenljive X skup realnih brojeva
x x1 2, , ... ,
a skup mogućih rezultata promenljive Y je skup
y y1 2, , ... ,
pri čemu su to konačni skupovi brojeva, ili beskonačni, ali prebrojivi.
Tada je skup mogućih rezultata eksperimenta skup parova vrednosti
( , ), ( , ), ...1 1 1 2x y x y ;
( , ), ( , ), ...2 1 2 2x y x y ;
……………………,
a to istovremeno skup mogućih vrednosti dvodimenzionalne promenljive (X,Y).
Da bi se mogli proučavati ovakvi eksperimenti potrebno je odrediti verovatnoće za svaki mogući rezultat, odnosno, potrebno je odrediti raspodelu promenljive (X,Y).
Označimo sa pij verovatnoću da će rezultat
eksperimenta biti par ( , )x yi j , tj. pij je verovatnoća slučajnog događaja
D X x yi j , , Y (2.4)
Može se napisati u obliku
p P X x yij i j , Y (2.5)
za svako i 1,2, ... i j 1,2, ... .
Ove verovatnoće možemo dati u vidu sledeće tabele:
Tabela 2.3. Zakon verovatnoće slučajne promenljive (X,Y)
Y X
y1 y2 ... yj ...
x1 p11 p12 ... p1j ...x2 p21 p22 ... p2j ...
xi pi1 pi2 ... pij ..... ... ... ... ... ...
Tabela 2.3. određuje zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) prekidnog tipa. Pri tome su verovatnoće sadržane u tabeli takve da je
pij 0, (2.6)
za svako i 1,2, ... i j 1,2, ... , a njihov zbir je jednak
pijji
111
(2.7)
Na osnovu zakona verovatnoća datog Tabelom 2.3, moguće je odrediti verovatnoću bilo kog slučajnog događaja D, vezanog za ovaj eksperiment.
Zakon verovatnoća promenljive (X,Y) prekidnog tipa, može se prikazati grafički kao na Slici 2.1.
Slika 2.1. Zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive prekidnog tipa.
Oko svake tačke xi j, y konstruiše se paralelopiped, čija
će zapremina biti jednaka verovatnoći pij , a njihova ukupna zapremina jednaka je jedinici.
Na primer, ako bacamo istovremeno dve kocke, onda je zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y), koja predstavlja broj tačkica na prvoj i drugoj kocki, dat tabelom:
Tabela 2.4. Primer raspodele (X,Y)
Y X
1 2 3 4 5 6
1 p p P p p p2 P p p p p p3 P p p p p p4 P p p p p p5 P p p p p p
6 P p p p p p
pri čemu je p = /1 36 . Ako nas interesuje verovatnoća da će zbir tačkica biti jednak 8, onda je to
P = P X = , Y = + P X = , Y = + P X = , Y = + P X = , Y = + P X = , Y=2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 .
odnosno,
P p = = / .6 1 6
Na sličan način, iz Tabele 2.4, mogli bi odrediti verovatnoće događaja:
* Zbir tačkica je paran broj;
* Zbir tačkica nije manji od 5;
* Količnik broja tačkica je ceo broj, i sl.
Drugoj kategoriji slučajnih promenljivih pripadaju promenljive neprekidnog tipa.
Neka je moguća vrednost za promenljivu X bilo koji broj iz konačnog ili beskonačnog intervala ( , )a b . Pored toga, neka je interval ( , )c d skup mogućih vrednosti promenljive Y. Tada je svaka tačka pravougaonika, određenog sa ova dva intervala, moguća vrednost dvodimenzionalne promenljive (X,Y).
Interval ( , )a b podelićemo u podintervale
a a0 1, , a a1 2, ,... , , ,a an n 1
tako da je a a0 , a bn .
Slično ćemo uraditi i za interval ( , )c d . Podelićemo ga na podintervale
c c0 1, , c c1 2, , ... , , ,c cm m 1
tako da je c c0 , c dm .
Posmatraćemo slučajne događaje
D a X a Y cij i i j j= < ; c < 1 1 .
za i n 1,2, ..., i j m 1,2, ..., . Ustvari, Dij su događaji da će rezultat eksperimenta biti tačka u pravougaonicima datim na Slici 2.2.
Označimo njihove verovatnoće sa pij . Tako ćemo imati
p a X a Y cij i i i i= < ; c < 1 1 ,
za svako i n 1,2, ..., i j m 1,2, ..., .
Slika 2.2. Podela pravougaonika na podintervale.
Podela intervala ( , ) i ( , )a b c d može se vršiti na proizvoljne načine. Postavlja se pitanje, šta će se desiti ako podela intervala (a,b) bude takva da se oko svake tačke
x a b( , )
posmatra podinterval, proizvoljno male dužine dx, a interval ( , )c d podelimo tako da oko svake tačke
y c d( , )
m
konstruišemo podintervale proizvoljno male dužine dy. Tako ćemo, oko svake tačke ( , )x y , imati pravougaonik dužine dx i širine dy (Slika 2.3).
Slika 2.3. Raspodela (X,Y).
Posmatraćemo događaj da će rezultat eksperimenta biti tačka u ovom pravougaoniku, tj. događaj
D x dx
X x dx dy dy
= - < + ; y - < Y y + 2 2 2 2
(2.8)
Ako postoji funkcija f(x,y) takva da je granična vrednost količnika
limdxdy
P D
dx dyx y
00
= f , ,
(2.9)
tada kažemo da je f x y( , ) zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y). Pri tom je verovatnoća događaja D jednaka
P xdx
X xdx dy
Y ydy
x y dxdy
2 2 2 2
+ ; y + = f ( , ) (2.10)
Funkcija f x y( , ) je zakon verovatnoća ili funkcija gustine dvodimenzionalne slučajne promenljive ( , )X Y , a verovatnoća
f x y dx dy, (2.11)
naziva se elementarna verovatnoća. Ona predstavlja zapreminu paralelograma oko tačke (x,y), kao što je prikazano na Slici 2.3.
Ako za sve tačke ( , )x y u ravni XOY, “saberemo” odgovarajuće verovatnoće, dobiće se
f x y dx dyc
d
a
b
( , ) 1 (2.12)
Posmatrajmo neki slučajni događaj D vezan za ovaj eksperiment. Tada događaju D odgovara jedan skup tačaka S u ravni XOY. Verovatnoća događaja D biće određena preko integrala
P D f x yS
, dx dy (2.13)
Najčećše, događaj D je skup tačaka u ravni, određen intervalima ( , ) i ( , )x x y y1 2 1 2 , tj.
D x X Y = x ; y y .1 2 1 2
Verovatnoća ovog događaja jednaka je dvostrukom integralu
P x X x Y y f x yx
x
y
y
1 2 1 2
2
1
2
; y , dx dy 1
Geometrijski, funkcija f x y( , ) predstavlja neku površinu u trodimenzionalnom prostoru, kao što je na primer površina na Slici 2.4.
Cela zapremina ispod površine, određena zakonom verovatnoća f x y( , ) i ravni XOY, jednaka je jedinici. Verovatnoća nekog događaja, određena je
zapreminom ograničenom površinom S u ravni XOY i funkcijom koja predstavlja zakon verovatnoća.
Slika 2.4. Zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive.
Zakon verovatnoća k-dimenzionalne slučajne promenljive
Zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive može se lako uopštiti i na višedimenzionalnu promenljivu.
Pretpostavimo da na svakom elementu statističkog skupa posmatramo više obeležja X X X k1 2, , ..., . Tada će, svakom elementu posmatranog skupa, odgovarati jedna tačka u k-dimenzionalnom prostoru.
Na sličan način, u jednom eksperimentu, rezultat eksperimenta može biti samo jedna tačka k-dimenzionalnog prostora, pri čemu je događaj da će rezultat eksperimenta biti određena tačka, slučajan
događaj. Tada kažemo da je ( )X X X k1 2, , ..., , višedimenzionalna slučajna promenljiva.
Neka rezultatu eksperimenta odgovara konačan ili prebrojiv skup tačaka u k-dimenzionalnom prostoru. Ako svakoj tački iz tog skupa
( ),x xi i kik1 1 2 2, x ,...,
odgovara verovatnoća
pi i1 2 ik ,
pri čemu je to verovatnoća da će se realizovati događaj
D X x x X xi i k kik 1 1 1 2 2 2
, X ,..., ,
tj.
P P X x X x X xi i ik i i k kik1 2 1 1 1 2 2 2... , ,...,
tada se skup tačaka ( , ,..., )x x xi i kik1 1 2 2 i odgovarajućih
verovatnoća Pi i1 2 k i naziva Zakon verovatnoća k-dimenzionalne slučajne promenljive ( )X X k1 2, X ,..., .
Pretpostavimo da je rezultat eksperimenta bilo koja tačka u k-dimenzionalnom prostoru. Neka postoji funkcija f x x xk( , ,..., )1 2 , takva da je
lim
, ... ,
, , ... ,
, , ... ,
dxi
P xdx
X xdx
xdx
X xdx
dx dx dx
f x x x
kk
k kk
k
k
11
1 11
1 2
1 2
2 2 2 2
i = 1, .... , k
(2.14)
za svaku tačku ( , ,..., )x x xk1 2 . Tada se funkcija f x x xk( , ,..., )1 2 naziva zakonom verovatnoće višedimenzionalne slučajne promenljive. Pri tome je
P xdx
X xdx
xdx
X xdx
xdx
X xdx
f x x x dx dx
kk
k kk
k k
11
1 11
22
2 22
1 2 1
2 2 2 2 2 2
, ,...,
( , ,..., ) ... (2.15)
tj. verovatnoća da će se tačka ( )X X k1 2, X ,..., , kao rezultat eksperimenta, naći u beskonačno maloj okolini tačke ( , ,..., )x x xk1 2 jednaka je proizvodu vrednosti funkcije f x x xk( , ,..., )1 2 u toj tački, i odgovarajućih diferencijala dx dx dxk1 2, ,..., .
Marginalni zakoni verovatnoća
U proučavanjima i primeni višedimenzionalnih promenljivih, potrebno je, često, posmatrati samo jednu komponentu promenljive, bez obzira na vrednosti ostalih komponenti, tj. potrebno je posmatrati
marginalne promene jedne komponente višedimenzionalne promenljive.
Za ovakve analize treba odrediti tzv. marginalni zakon verovatnoća. Neka je (X,Y) dvodimenzionalna slučajna promenljiva prekidnog tipa sa zakonom verovatnoće:
Tabela 2.5. Zakon verovatnoća promenljive (X, Y)
YX
y1 y2 ...
x1 p11 p12 ...x2 p21 p22 ...... ... ... ...
Odredićemo marginalni zakon verovatnoća slučajne promenljive X. Iz Tabele 2.5, vidi se da X uzima vrednosti iz niza brojeva
x x1 2, , ...
Potrebno je da odredimo verovatnoće sa kojima X uzima pojedine vrednosti iz ovog niza. Događaj
D X x = = ,1
može se izraziti preko unije disjunktnih događaja
,...,=,=X= , =,== 212111 yYxDyYxXD
tj.
... =,= =,== 21111 yYxXyYxXxX (2.16)
Na osnovu aksioma kojima je definisana verovatnoća, sledi da je verovatnoća događaja na levoj strani izraza (2.16), jednaka zbiru verovatnoća događaja na desnoj strani, tj.
... =,=+=,=P== 21111 yYxXPyYxXxXP (2.17)
Ako označimo sa p1 verovatnoću događaja D X x= = ,1 onda se iz (2.17), dobija da je
p p p1 11 12 = + ...
Sličnim zaključivanjem dobiće se da je
p p p2 21 22 = + ...,
pri čemu je p2 verovatnoća događaja D X x= = ,2 itd.
Zbog toga je marginalni zakon verovatnoća slučajne promenljive X, dat sa
X x1 x2 ...
p p p jj
1 11
p p jj
2 21
...
(2.18)
pri čemu su pij verovatnoće date u Tabeli 2.5.
Iz (2.18) se vidi da je marginalni zakon verovatnoća promenljive X dobijen kao zbir verovatnoća datih po vrstama u Tabeli 2.5.
Na sličan način, iz Tabele 2.5, dobili bi i marginalni zakon verovatnoća slučajne promenljive Y:
Y y1 y2 ...
p p pii
1 11
p pii
2 21
...
(2.19)
U stvari, marginalni zakon verovatnoća promenljive Y dobija se kao zbir verovatnoća datih u kolonama Tabele 2.5.
Pri određivanju verovatnoća događaja vezanih za vrednosti samo jedne promenljive, služimo se marginalnim zakonima verovatnoća (2.18) i (2.19).
Na primer, posmatra se 1.000 domaćinstava i ispituje prihod i ušteđevina domaćinstva. Raspodela frekvencija data je u Tabeli 2.6.
Pretpostavimo da na slučajan način biramo jedno domaćinstvo. Interesuje nas kolika je verovatnoća da će izabrano domaćinstvo biti sa prihodima manjim od 3.000 dinara.
Tabela 2.6. Raspodela prihoda (X) i ušteđevine (Y)
YX
0 1-500
501-2000
2001-5000
5001-
-1000 63 20 16 6 5
1001-3000
117
56 41 22 14
3001-5000
72 94 71 25 18
5001- 28 100 102 67 63
Iz Tabele 2.6, dobija se sledeća marginalna raspodela za X:
X -1000
1001-3000
3001-5000
5001-
p 0,110 0,250 0,280 0,360
Verovatnoća traženog događaja je p = . + . ,0110 0 250
odnosno p = .0 360 .
A sada ćemo posmatrati dvodimenzionalnu slučajnu promeljivu (X,Y) neprekidnog tipa sa zakonom verovatoća f x y( , ).
Marginalni zakon verovatnoća neprekidne slučajne promenljive X je funkcija f x1 ( ), dobijena preko integrala
f x f x y dy1( ) = ( , ) ,
a marginalni zakon verovatnoća promenljive Y je funkcija f y2 ( ) , dobijena preko integrala
f x f x y dx2 ( ) = ( , )
.
Na primer, ako je zakon verovatnoća promenljive (X,Y) dat funkcijom
f x ye
y
x y
,,
= za x > i y
za ostale vrednosti x i
0 0
0
tada je marginalni zakon verovatnoće promenljive X jednak
f x f x y dy e e dy e ex y x y1
00
( ) = ( , )
odnosno,
f xe x
1
0
0 0( ) =
za x >
za x
Na sličan način ćemo dobiti i marginalni zakon verovatnoća promenljive Y
f y f x y dx e dxy x2
0( ) = e( , ) ,
odnosno,
f ye y
2
0
0 0( ) =
za y >
za y
.
Posmatraćemo, sad, k-dimenzionalnu slučajnu promenljivu ( )X X k1 2, X ,..., prekidnog tipa sa zakonom verovatnoća
( , ,..., ); ,...X X Xi i kik i ik1 1 2 2 1 p
pri čemu je
p P X x X xi ik i k kik1 1 1 1... ,...,
za i ik1 21 2 1 2 1 2 , ,... ; , ,... ,..., , ,... . i
Možemo posmatrati (k-1)-dimenzionalnu promenljivu ( ) X ,...,2 X k , i odrediti njen zakon verovatnoća. To će biti
( ,..., ); ,...x xi kik i ik2 2 2 p
pri čemu je
p pi k i li
2 1 21 1
i i i... ...
.
Na sličan način bi mogli, “zanemarujući” bilo koju komponenetu, sabiranjem zajedničkih verovatnoća po odgovarajućem indeksu, dobiti odgovarajući marginalni zakon verovatnoća preostalih komponenti.
Pored toga, možemo “zanemarivati” više komponenti. Sabiranjem verovatnoća po odgovarajućim indeksima, dobili bi marginalne zakone verovatnoća preostalih komponenti.
Za neprekidnu k-dimenzionalu slučajnu promenljivu ( )X X k1 2, X ,..., sa zakonom verovatnoća
f x xk( )1 2, x ,..., ,
marginalni zakon verovatnoća (k-r)-dimenzionalne slučajne promenljive, dobiće se preko integrala
f x x f x x x dx dx dxrk r k k r k r k
( ),,..., ... , ,..., ...
.
1 1 2 1 2
za svako r 1,2,..., k - 1
Uslovni zakoni verovatnoća
Kad se posmatraju višedimenzionalne slučajne promenljive, najčešće se posmatra uzajamna povezanost pojedinih komponenti slučajne promenljive. Prva etapa u proučavanjima takve vrste, zasniva se na tzv. uslovnim zakonima verovatnoća.
Posmatraćemo, prvo, dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (X,Y) prekidnog tipa. Neka je njen zakon verovatnoća dat tabelom
YX
y1 y2 ...
x1 p11 p12 ...x2 p21 p22 ...... ... ... ...
Interesuju nas promene slučajne promenljive X, pod uslovom da Y ima jednu određenu vrednost, recimo Y y= j . Treba da odredimo koje će vrednosti promenljive
X uzimati i sa kojim verovatnoćama. Ozančimo sa pi j/ , (čitaj pi pod uslovom j), verovatnoću da će biti X x= i ,
pod uslovom da je Y y= j .
Posmatrajući događaje X x= i i Y y= j , a na
osnovu definicije uslovne verovatnoće slučajnih događaja, dobiće se tražena verovatnoća
p
P X x y
P yi j
i j
j
/
,
Y
Y.
Sa pij smo označili verovatnoću brojioca, a sa p j označena je marginalna verovatnoća slučajne promenljive Y, tj.
p P X x yij i j ( = , Y = )
p P Y yj j ( = ) ,
tako da je uslovna verovatnoća
pp
pi j
ij
j/ ,
odnosno,
pp
pi j
ij
iji
/ 1 .
Sada možemo napisati uslovni zakon verovatnoća u sledećem obliku
X/Y=yi x1 x2 ...pi j/ p
p
pj
j
j1
1
/
pp
pj
j
j2
2
/
...
(2.20)
Ovakvih zakona verovatnoća biće onoliko koliko ima mogućih vrednosti promenljive Y, jer za svaku njenu vrednost možemo odrediti odgovarajući uslovni zakon verovatnoća promenljive X.
Na sličan način se određuju i uslovni zakoni verovatnoća promenljive Y, pod uslovom da promenljiva X ima jednu određenu vrednost. Tako ćemo dobiti sledeći uslovni zakon verovatnoća.
Y/X=xi y1 y2 ...
p j i/ pp
pii
11
1/
pp
pii
22
2/
...
(2.21)
Na primer, posmatra se promenljiva (X, Y) sa zakonom verovatnoća
YX
0,1 1 2
100 0,15 0,05 0,00
200 0,15 0,25 0,05
350 0,05 0,15 0,15
Da bi odredili uslovni zakon verovatnoća slučajne promenljive Y, pod uslovom da je X = 350, prvo ćemo odrediti marginalni zakon verovatnoća za X. Iz tabele se dobija da je
X 100
200
350
pi 0,20
0,45
0,35
Uslovni zakon verovatnoća biće određen verovatnoćama
P Y X( = . / = ) =0.05
0.35= .01 350 01428
P Y X( = / = ) =0.15
0.35= .1 350 0 4286
P Y X( = / = ) =0.15
0.35= .2 350 0 4286
tako da je traženi zakon verovatnoća
Y/X=350
0,1 1 2
p j i/ 0,1428
0,4286
0,4286
Sada ćemo posmatrati dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu ( , )X Y neprekidnog tipa. Neka je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
f x y, ,
a marginalni zakoni verovatnoća su
f x y1 2 i f
Pretpostavimo da želimo ispitati slučjnu promenljivu X, pod uslovom da Y ima jednu određenu vrednost, recimo Y=y. (Sl. 2.5).
Slika 2.5. Uslovni zakon verovatnoća
Uslovni zakon verovatnoća promenljive X biće predstavljen u ravni paralelnoj ZOX ravni, koja prolazi kroz tačku Y=y. To će biti kriva određena jednačinom
f x y( / ) .
Ako je f y2 ( ) 0, tada je uslovni zakon verovatnoća promenljive X dat funkcijom
f x yf x y
f y( / ) =
( , )
( )2 (2.22)Na sličan način se određuje i uslovni zakon
verovatnoća promenljive Y, pod uslovom da je X=x . Taj zakon verovatnoća je dat funkcijom
f x yf x y
f x( / ) =
( , )
( )1
,
(2.23)
pod uslovom da je f x1 ( ) 0 .
Nije teško proveriti da funkcije (2.22) i (2.23) zadovoljavaju sledeće uslove:
a) f x y f y x( / ) , ( / ) 0 0
b)f x y dx f y x dy( / ) = , ( / ) = .1 1
Primer. Neka je zakon verovatnoća promenljive (X,Y) dat funkcijom
f x yx x y x y
( , )( ) ,
1
102 0 1 0 6
0
za
za ostale tacke
Marginalni zakoni verovatnoća se dobijaju iz integrala
f x x x y dy10
61
102( ) ( ) ,
f y x x y dy20
11
202( ) ( ) .
Uslovni zakoni verovatnoća su dati funkcijama
f x yf x y
f y
x x y
x( / )
( , )
( )
( ),
2
3 2
1 3
f y xf x y
f x
x y
x( / )
( , )
( ) ( )
1
2
6 6
Uslovni zakoni verovatnoća mogu se lako uopštiti i na k-dimenzionalne slučajne promenljive. Uopštenije se vrši analogno dvodimenzionalnoj slučajnoj promenljivoj, s tim što se posmatraju količnici zajedničkih zakona verovatnoća i odogovarajućih marginalnih zakona verovatnoća.
Nezavisne slučajne promenljive
Posmatrajmo dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (X,Y). Neka je Dx bilo kakav slučajni
događaj koji se odnosi na vrednosti promenljive X, a Dy slučajni događaj koji se odnosi na vrednosti promenljive Y. Ako je verovatnoća istovremenog ostvarenja
događaja Dx i Dy , jednaka proizvodu njihovih
verovatnoća, onda kažemo da su Dx i Dy nezavisni događaji.
Ako je ovaj uslov zadovoljen za bilo koja dva
događaja Dx i Dy , reći ćemo da su promenljive X i Y međusobno nezavisne.
Naravno, nezavisnost slučajnih promenljivih može biti, na pogodniji način, izražena preko njihovih zakona verovatnoća.
Neka je data dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) prekidnog tipa sa zakonom verovatnoća
Y
X
y1 y2 ...
x1 p11 p12 ...x2 p21 p22 ...... ... ... ...
Označili smo marginalne zakone verovatnoća za X i Y sa
X x1 X2 ...
pi p1 p2 ...
Y y1 Y2 ...
p j p1 p 2 ...
Reći ćemo da su X i Y nezavisne slučajne
promenljive, ako je, za svako i , , ... 1 2 i za svako j , , ... 1 2 , zajednička verovatnoća pij jednaka
proizvodu odgovarajućih marginalnih verovatnoća, tj. ako je
p p pij i j . (2.24)
Posmatrajmo, sad, dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (X,Y) neprekidnog tipa. Označili smo sa
f x y( , ) njen zakon verovatnoća, a sa f x y1 2( ) i f ( ) marginalne zakone verovatnoća promenljivih X i Y.
Rećićemo da su X i Y nezavisne slučajne promenljive, ako je njihov zajednički zakon verovatnoća jednak proizvodu marginalnih zakona verovatnoća, tj. ako je
f x y f x f y( , ) = ( ) ( ),1 2 (2.25)
i to za svaku tačku (x,y) u ravni XOY.
Primer. Slučajna promenljiva (X,Y) ima zakon verovatnoća dat funkcijom
f x yc xy x y x y
( , )( ) ,
2 2 1 0 1 0 1 za
0 za ostale tacke.
Da bi funkcija f x y( , ) bila zakon verovatnoća, potrebno je da je
f x y dxdy( , ) =
1,
odnosno,
0
1
0
1
2 2 1 c xy x dxdy( + + y + ) = 1.
Odavde se dobija da je
c =1
3.
Marginalni zakoni verovatnoća su
f xx
1
2 1
2( ) ,
f y y2
2
31( ) ( ).
Vidi se da je
f x y f x f y( , ) = ( ) ( ),1 2
što znači da su X i Y nezavisne slučajne promenljive.
Ako su slučajne promenljive X i Y međusobno nezavisne, onda su uslovni zakoni verovatnoća, f x y y x( / ) i f ( / ) , jednaki marginalnim zakonima verovatnoća, tj. onda je
f x y f x( / ) = ( )1
f y x f y( / ) = ( ).2
Obrnuto, ako su uslovni zakoni verovatnoća jednaki marginalnim, onda su X i Y međusobno nezavisne slučajne promenljive.
Pojam nezavisnih slučajnih promenljivih može se lako uopštiti i na k-dimenzionalne slučajne promenljive.
Neka je f x x xk( , ,..., )1 2 zakon verovatnoća promenljive ( , ,..., )X X X k1 2 , a f x1 1( ) , f x2 2( ) , ..., f xk k( ) , marginalni zakoni verovatnoća.
Rećićemo da su X X X k1 2, ,..., međusobno nezavisne slučajne promenljive ako, i samo ako je
f x x x f x f x xk k k( , ,..., ) = ( ) ( ) ... f ( ),1 2 1 1 2 2
i to za svaku tačku ( , ,..., )x x xk1 2 k-dimenzionalnog prostora.
^esto se posmatra zavisnost jedne slučajne promenljive Y i k-dimenzionalne promenljive ( , ,..., )X X X k1 2 .
Neka je njihov zajednički zakon verovatnoća funkcija
f y x x xk( , , ,..., ),1 2
a marginalni zakoni verovatnoća su
f y x x xk1 2 1 2( ) i f ( , ,..., ).
Rećićemo da su Y i ( , ,..., )X X X k1 2 nezavisne ako i samo ako je
f y x x x f y f x x xk k( , , ,..., ) = ( ) ( , ,..., ).1 2 1 2 1 2
funkcija gustine, 81marginalni zakoni
verovatnoća, 92, 96, 97nezavisne slučajne
promenljive, 95, 96, 97slučajnih promenljivih, 74,
79, 94, 96statistički skup, 72, 75uslovna verovatnoća, 90uslovni zakoni
verovatnoća, 91, 96višedimenzionalne slučajne
promenljive, 84, 89zakon verovatnoća, 77, 78,
81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 95, 96, 97
2.3. PARAMETRI RASPODELA VI[EDIMENZIONALNIH SLU^AJNIH PROMENLJIVIH
Kompletne karakteristike jedne slučajne promenljive sadržane su u njenom zakonu verovatnoća, čije poznavanje je dovoljno za dobijanje svih potrebnih informacija o slučajnoj promenljivoj, njenim komponentama i karakteristikama višedimenzionalne slučajne promenljive.
Međutim, u praksi najčešće nismo u stanju da odredimo tačan zakon verovatnoća, pa samim tim ne možemo doći do potrebnih informacija o slučajnoj promenljivoj.
Pored toga često je zakon verovatnoća određen funkcijama koje zavise od jednog ili više parametara. Za konkretnu analizu potrebno je, pre svega, utvrditi vrednosti tih parametara. Takav je slučaj sa najčešće korišćenom tzv. Normalnom raspodelom kod koje je potrebno prethodno utvrditi sredine, varijanse i kovarijanse posmatrane višedimenzionalne slučajne promenljive.
I na kraju, čak i u retkim slučajevima, kad nam je potpuno poznat zakon verovatnoća, potrebna je prilično komplikovana matematička aparatura za jednostavnu analizu.
Zato slučajne promenljive i njihove raspodele moramo proučavati preko određenog broja numeričkih karakteristika, kojima ćemo u dovoljnoj meri moći da opišemo posmatranu slučajnu promenljivu. Kao i kod jednodimenzionalnih slučajnih promenljivih, i ovde je potrebno prvo odrediti Očekivane vrednosti slučajnih promenljivih i njihovih funkcija.
Očekivana vrednost
Očekivana vrednost neke funkcije slučajne promenljive definiše se kao i kod jednodimenzionalnih promenljivih, preko vrednosti te funkcije i zakona verovatnoća.
Tako je, na primer, kod dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) sa zakonom verovatnoća
YX
y1 y2 ...
x1 p11 p12 ...x2 p21 p22 ...
očekivana vrednost funkcije g X Y( , ) jednaka
E g X Y g x y pi j ijji
( , ) ( , ) . (2.26)
Za neprekidne slučajne promenljive (X,Y), sa zakonom verovatnoća f(x,y), očekivana vrednost funkcije g(X,Y) data je integralom
E g X Y g x y f x y dxdy, , , .
(2.27)
Posmatrajmo, sad, k-dimenzionalnu slučajnu
promenljivu X X X k1 2, ,..., . Neka je to promenljiva neprekidnog tipa sa zakonom verovatnoća.
x x xi i kik i ik1 1 2 2 1 2, ,..., ; ,... p i
pri čemu je
i ik1 1 2 1 2 , ,... ,..., , ,... .
Očekivana vrednost funkcije g X X X k1 2, ,..., jednaka je višestrukom zbiru
E g X X X g x x x pk i i kik i i ikikii1 2 1 1 2 2 1 2
21
, ,..., ... , ,..., ....
Ako je slučajna promenljiva X X X k1 2, ,..., .
neprekidnog tipa sa zakonom verovatnoća f x x xk1 2, ,..., ,
tada je očekivana vrednost funkcije g X X X k1 2, ,..., jednaka višestrukom integralu
E g X X X g x x x f x x x dx dx dxk k k k1 2 1 2 1 2 1 2, ,..., ... , ,..., , ,..., ... .
Posmatrajmo dve funkcije slučajnih promenljivih
g X X1 1, , ..., X i h ..., X k k
koje imaju očekivane vrednosti. Tada je očekivana vrednost linearne kombinacije ovih funkcija, jednaka linearnoj kombinaciji njihovih očekivanih vrednosti, tj.
E ag X X bh X X
aE g X X bE h X X
k k
k k
1 1
1 1
,..., ,...,
,..., ,..., .,
Specijalno, očekivana vrednost zbira ili razlike slučajnih promenljivih jednaka je zbiru ili razlici njihovih očekivanih vrednosti.
Ako su komponente slučajne promenljive međusobno nezavisne, onda je očekivana vrednost njihovog proizvoda jednaka proizvodu njihovih očekivanih vrednosti, tj.
E X X X E X E X E Xk k1 2 1 2... ... .
Kod dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) očekivana vrednost zbira, ili razlike, jednaka je zbiru, ili razlici, očekivanih vrednosti. Ako su X i Y nezavisne, tada je očekivana vrednost njihovog proizvoda jednaka proizvodu njihovih očekivanih vrednosti.
Momenti slučajnih promenljivih
U analizi slučajnih promenljivih najčešće se koriste očekivane vrednosti specijalnih funkcija g(x,y), preko kojih se definišu tzv. Momenti.
Neka su r i s dva nenegativna cela broja.
Obični momenat, reda (r,s), dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y), predstavlja očekivanu vrednost funkcije.
g X Y X Yr s( , ) = .
Za neprekidnu slučajnu promenljivu, običan momenat, reda (r,s) biće
m E X Y x y prsr s
ir
js
ijji
. (2.28)
Ako je (X,Y) neprekidna slučajna promenljiva, onda je njen obični moment reda (r,s) dat integralom
m E X Y x y f x y dxdyrsr s r s
( , ) . (2.29)
Specijalno, obični momenat, reda (1,0), nije ništa drugo nego očekivana vrednost slučajne promenljive X. Označavamo ga sa
m m E Xx = = ( ).10
Slično je za promenljivu Y: običan momenat, reda (0,1) je očekivana vrednost slučajne promenljive Y. Označićemo ga sa
m m E Yy = = ( ).01
Očekivanu vrednost za X možemo odrediti iz marginalnog zakona verovatnoća. Ona je data zbirom
m x px i ii
za prekidnu slučajnu promenljivu, odnosno, integralom
m x f x dxx
1 ( )
za neprekidnu promenljivu X.
Na sličan način se može odrediti i očekivana vrednost promenljive Y. Biće to zbir
m y py j jj
,
odnosno, integral
m y f y dyy
2 ( )
Tačka u ravni XOY, predstavlja težište
raspodele slučajne promenljive (X,Y). U stvari, to je ona tačka ravni XOY oko koje se “najčešće” grupišu pojedine vrednosti promenljive (X,Y).
Drugu klasu momenata slučajnih promenljivih (X,Y) čine tzv. centralni momenti.
Centralni momenat, reda (r,s), je očekivana vrednost funkcije
.
Za prekidnu slučajnu promenljivu (X,Y), centralni momenat reda (r,s) određuje se preko zbira
(2.30)
a za neprekidnu slučajnu promenljivu centralni momenat, reda (r,s), dat je integralom
(2.31)
U praksi se najčešće koriste centralni momenti reda (1,0), (0,1), (2,0), (0,2) i (1,1).
Nije teško proveriti da su momenti , jednaki
0.
Centralni momenat reda (2,0) nije ništa drugo do varijansa slučajne promenljive X. Označićemo ga sa
Kad se izraz u zagradi kvadrira i iskoriste osobine očekivane vrednosti, varijansa slučajne promenljive X biće jednaka
odnosno,
pri čemu je , obični momenat reda (2,0).
Varijansa slučajne promenljive Y je u stvari centralni momenat reda (0,2), tj.
Varijansa promenljive Y, takođe, se može izraziti preko običnih momenata. Naime, varijansa promenljive Y je jednaka
pri čemu je obični momenat reda (0,2).
U analizi višedimenzionalnih promenljivih, specijalnu ulogu ima centralni momenat reda (1,1). To je tzv. kovarijansa slučajnih promenljivih.
Kovarijansa slučajnih promenljivih (X,Y) definiše se preko očekivane vrednosti
a određuje se preko zbira
(2.32)
odnosno, preko integrala
(2.33)
Iz (2.32) ili (2.33) lako se dobija da je kovarijansa jednaka
odnosno,
tako da je
,
pri čemu je obični momenat reda (1,1).
Parametri predstavljaju mere
varijabiliteta dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y).
Varijansa je pokazatelj rasturanja oko sredine
, vrednosti promenljive X u pravcu ose X, dok je
varijansa pokazatelj rasturanja promenljive Y, oko
sredine , u pracu ose Y.
Kovarijansa sadrži rasturanja X-a i Y-a
pojedinačno, ali isto tako i zajednička rasturanja promenljivih X i Y.
Pretpostavimo da su X i Y nezavisne slučajne promenljive. Tada je njihov zajednički zakon verovatnoća jednak proizvodu odgovarajućih marginalnih zakona verovatnoća, tj.
odnosno,
pa kovarijanse imaju vrednosti
Sad možemo konstatovati sledeće:
Ako su X i Y nezavisne slučajne promenljive, onda je njihova kovarijansa jednaka nuli.
Sa druge strane ako kovarijansa nije jednaka
nuli, onda to znači da su rasturanja promenljivih X i Y na neki način, međusobno povezana. Drugim rečima, značiće to da među promenljivim X i Y postoji izvesna zavisnost.
Koeficijent korelacije
Jedan od osnovnih problema analize višedimenzionalnih slučajnih promenljivih je problem merenja uzajamne zavisnosti pojedinih komponenti slučajne promenljive.
Posmatrajmo, prvo, dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (X,Y). Pretpostavimo da njen zakon verovatnoća ima vrednosti različite od nule samo u onim tačkama (x,y) za koje je y jednoznačno određena funkcija od x i obrnuto. Drugim rečima, neka za svaku vrednost X = x, postoji samo jedna vrednost y, za koju je verovatnoća različita od 0. Za takve slučajeve je zajednički zakon verovatnoća jednak marginalnim zakonima verovatnoća, tj.
(2.34)
Tada kažemo da su X i Y potpuno (funkcionalno) zavisne slučajne promenljive.
Pretpostavimo sada da je zajednički zakon verovatnoća slučajne promenljive (X,Y) jednak proizvodu marginalnih, tj.
(2.35)
U tom slučaju, za svaku vrednost X=x, verovatnoća pojedinih vrednosti promenljive Y određuje se iz marginalnog zakona verovatnoća i ne zavisi
uopšte od vrednosti x. Drugim rečima, za svaku vrednost x, promene slučajne promenljive Y su potpuno nezavisne od te vrednosti x.
Tada kažemo da su X i Y (stohastički) nezavisne slučajne promenljive.
U svim drugim slučajevima međusobnog odnosa komponenti slučajne promenljive (X,Y), kažemo da su X i Y međusobno korelirane promenljive. Drugim rečima:
Ako zakon verovatnoća slučajne promenljive (X,Y) nema osobine
kažemo da su X i Y međusobno korelirane slučajne promenljive.
Na primer, u n dana se meri obim padavina u dva mesta A i B. Neka je X dnevna količina padavina u mestu A, a Y količina padavina u mestu B. Ako su A i B veoma blizu jedan drugom, tada su X i Y potpuno zavisne promenljive, tj. svakoj vrednosti X odgovaraće tačno jedna vrednost Y, i obrnuto.
Ako su A i B na suprotnim stranama Zemlje, možemo očekivati da će X i Y biti stohastički nezavisne promenljive.
Međutim, kada sa A i B udaljeni međusobno nekoliko stotina kilometara, neće se desiti nijedan od prethodnih ekstremnih slučajeva. Tada ćemo posmatrati izvesnu korelacionu vezu između X i Y.
Sada se postavlja problem utvrđivanja jednog parametra, koji zavisi od zakona verovatnoća i koji predstavlja meru korelacione zavisnosti promenljivih X i Y.
U statističkim ispitivanjima koristi se veoma veliki broj parametara kao mera korelacionih veza. Ipak, najčešće se koristi tzv. koeficijent korelacije, koji služi kao mera linearne zavisnosti pormenljivih X i Y.
Koeficijent korelacije je definisan preko varijansi i kovarijansi slučajnih promenljivih X i Y. Videli smo da kovarijansa sadrži u sebi varijabilitet promenljive X,
varijabilitet promenljive Y i uzajamne promene X i Y.
Da bi dobili čist pokazatelj zajedničkih odstupanja promenljivih X i Y, potrebno je da u kovarijansi eliminišemo onaj deo koji je posledica pojedinačnih odstupanja promenljive X i promenljive Y.
Pojedinačna odstupanja promenljivih X i Y merimo standardnim devijacijama . Zato ćemo
kovarijansu podeliti sa .
Tako ćemo dobiti izraz za koeficijent korelacije
2.4. REGRESIONA ANALIZA
U svakoj naučnoj disciplini osnovni problem je utvrđivanje veza između promenljivih veličina. Te veze mogu biti potpuno određene. Na primer, u fizici se može utvrditi tačna funkcionalna zavisnost između udaljenosti objekata od zemlje i gravitacione sile, ili između gasa u zatvorenoj posudi i temperature.
Međutim, u biološkim i društvenim naukama moramo se suočiti sa mnogo komplikovanijom situacijom. Ovde imamo daleko manje razloga da očekujemo otkrivanje tačno određene veze između promenljivih veličina. Zato su se, u ovim naučnim disciplinama, morala koristiti statistička izučavanja koja mere prosečne promene jedne veličine izazvane promenama druge veličine. Regresiona analiza upravo ima za cilj da utvrđuje i meri veze takvog tipa.
Regresione krive
Prvo ćemo posmatrati dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (X,Y) sa zakonom verovatnoća f(x,y). Ako fiksiramo vrednost slučajne promenljive X, tj. stavimo da je X=x, onda će slučajna promenljiva Y uzimati
vrednosti iz intervala ; i imaće zakon verovatnoća izražen preko uslovnog zakona verovatnoća
f y x
f x y
f x/
,,
1
kao što je prikazano na Sl. 2.6.
Možemo smatrati da je x “nezavisna” promenljiva, tako da svakoj vrednosti x odgovara jedna slučajna promenljiva Y sa svojim uslovnim zakonom verovatnoća f(y/x).
Da bi ispitali promene slučajne promenljive Y u zavisnosti od promena X, možemo posmatrati jednu vrednost slučajne promenljive Y kao “predstavnika” cele uslovne raspodele za Y. Naravno, to može biti neki od parametara centralne tendencije slučajne promenljive Y, kao na primer modus, medijana, aritmetička sredina i slično.
Slika 2.6. Uslovni zakoni verovatnoća.
U praksi, se uglavnom, uzima kao “predstavnik” očekivana vrednost slučajne promenljive Y. Tako ćemo, za svaku vrednost x, dobiti odgovarajuću očekivanu
vrednost E Y x/ , koju ćemo označiti sa
m x E Y x2 /
Skup tačaka
x y m x; , 2 (2.44)
u ravni XOY, predstavljaće krivu liniju koja se naziva regresiona kriva za slučajnu promenljivu Y u odnosu na X.
Na osnovu oblika regresione krive mogu se utvrditi tačne promene sredine (očekivane vrednosti) slučajne promenljive Y u zavisnosti od promena druge slučajne promenljive X. To će nam predstavljati polaznu informaciju u analizi promena same slučajne promenljive Y.
Regresiona kriva, data skupom tačaka (2.44), prikazana je na Sl. 2.7. krivom (a).
Slika 2.7. Regresione krive
A sad možemo posmatrati Y kao “nezavisnu” promenljivu. Svakoj vrednosti Y= y, odgovaraće slučajna promenljiva X sa uslovnim zakonom verovatnoća
f x y
f x y
f y/
,
2
Kad za svaku vrednost y odredimo očekivanu vrednost X koju ćemo označiti sa
m y E X y1 / ,
tada će skup tačaka
x m y y 1 ; (2.45)
predstavljati krivu liniju, koja se naziva regresiona kriva za slučajnu promenljivu X u odnosu na Y (Slika 2.7. (b)).
U opštem slučaju, regresione krive (2.44) i (2.45) neće se poklopiti.
Kod nekih modela raspodele regresione krive (2.44) i (2.45) su prave linije.
U specijalnom slučaju kad su promenljive X i Y međusobno nezavisne, uslovni zakon verovatnoća za promenljivu Y svodi se na marginalni zakon verovatnoća
f y x f y/ , 2
tako da je
E Y x m/ . 2
U tom slučaju regresiona kriva je skup tačaka
x y m; , 2
a to su tačke na pravoj paralelnoj X osi, koja seče osu Y
u tački y m 2 .
Na sličan način se može zaključiti da će i druga regresina kriva biti skup tačka
x m y 1;
a to je prava linija paralelna Y osi, koja seče osu X u
tački x m 1 .
Očigledno je da su regresione krive, u ovom slučaju prave koje su normalne jedna na drugu i koje se
seku u težištu raspodele m m1 2, .
U drugom ekstremnom slučaju, kad su X i Y potpuno zavisne slučajne promenljive očekivana vrednost Y pod uslovom da je X=x, mora se poklopiti sa vrednošću Y koja odgovara potpunoj zavisnosti. Analogan zaključak se može izvesti i za uslovnu očekivanu vrednost X. Tako imamo sledeće tvrđenje.
Ako su X i Y potpuno zavisne slučajne promenljive, tada se obe regresione krive poklapaju međusobno i predstavljaju krivu koja odgovara vezi promenljivih X i Y.
Na sličan način se mogu definisati i regresione krive i u slučaju kad je (X,Y) prekidna slučajna promenljiva.
Za svaku vrednost promenljive X xi i druga
slučajna promenljiva Y uzimaće vrednosti y y1 2, ,... sa uslovnim zakonom verovatnoća
pp
pj i
ij
i/ .
Uslovnu očekivanu vrednost označićemo sa m xi2 .To će biti
m x y pp
y pi j j ij i
jj
ij2
1 / .
Tako ćemo dobiti skup tačaka
x y m xi i i; , 2 i=1,2,... (2.46)
kojim će biti predstavljena regresiona veza Y, u odnosu
na X. Pri tome je m xi2 uslovna očekivana vrednost Y,
pod uslovom da je X xi .
Na sličan način će skup tačaka
x m y yj j j 1 , ,j=1,2,... (2.47)
predstavljati regresionu vezu X, u odnosu na Y. Pri tome
je m y j1 uslovna očekivana vrednost za X pod uslovom
da je Y y j .
U oba slučaja, posmatrane tačke možemo spojiti pravim linijama i na taj način dobiti regresione krive prekidne slučajne promenljive (X,Y).
Regresione krive imaju jedno veoma važno optimalno svojstvo na osnovu koga se mogu smatrati
kao “najbolje moguće” ocene jedne promenljive preko vrednosti druge promenljive.
Naime, ako želimo da za pojedine vrednosti X, predvidimo vrednost Y, onda to možemo učiniti tako što ćemo odrediti neku funkcionalnu vezu oblika
Y g Xp ,
pri čemu smo označili saYp , vrednost Y određenu iz funkcije g a na osnovu vrednosti X.
Naše predviđanje će biti bolje ukoliko je
odstupanje pojedinih predviđenih vrednosti Yp i pravih vrednosti Y, što manje. Pošto odstupanje merimo varijansom, onda to znači da treba da minimiziramo očekivanu vrednost kvadrata razlika pravih i predviđenih vrednosti. Prema tome, naše predviđanje je “najbolje” ako
E Y Y E Y g Xp 2 2
(2.48)
ima najmanju moguću vrednost.
Dakle, naš cilj bi bio da se, od svih funkcija g(X), nađe ona funkcija kod koje će (2.48) imati minimalnu vrednost.
Izraz (2.48) predstavlja srednje kvadratno odstupanje pravih i predviđenih vrednosti za Y, a postupak kojim se minimizira srednje kvadratno odstupanje, naziva se metod najmanjih kvadrata.
Uverićemo se da regresiona kriva
x y m x; , 2
minimizira srednje kvadratno odstupanje.
Neka je f(x,y) zakon verovatnoća za promenljivu (X,Y). On se može izrazti preko uslovnog zakona verovatnoća
f x y f x f y x, / . 1
Srednje kvadratno odstupanje funkcije g(X) biće
E Y g X y g x f x y dxdy
f x y g x f y x dy dx
22
1
2
,
/
Pošto je f x1 , za svako x, nenegativno (kao zakoni
verovatnoća), onda će srednje kvadratno odstupanje imati minimum za onu vrednost za koju izraz
y g x f y x dx
2/
(2.49)
ima minimum.
U srednjoj zagradi izraza (2.49) možemo dodati i oduzeti uslovnu očekivanu vrednost promenljive Y, pod
uslovm da je X=x. Nju smo označavali sa m x2 . Posle
kvadriranja i rastavljanja na tri integrala dobiće se da je
y g x f y x dy y m x f y x dy m x g x
2
2
2
2
2/ / .
Odavde se vidi da će srednje kvadratno odstupanje imati minimum kad funkcija g(x) zadovoljava uslov
m x g x2
20 ,
odnosno, kad je
g x m x 2 .
Minimalna vrednost posmatranog srednjeg kvadratnog odstupanja biće jednaka
y m y f y x dy
2
2/ ,
a to nije ništa drugo nego uslovna varijansa promenljive Y, pod uslovom da druga promenljiva X ima vrednost x.
Tako smo došli do sledećeg zaključka: srednje kvadratno odstupanje slučajne promenljive Y i bilo koje funkcije druge slučajne promenljive X,
E Y g X2,
imaće najmanju vrednost ako se za funkciju g(X) uzme regresiona kriva
y m X 2 ,
a ta minimalna vrednost biće jednaka uslovnoj varijansi 2 Y x/ .
Naravno, osobinu “najbolje moguće” ocene poseduje i druga regresiona kriva vezana za slučajnu promenljivu X u odnosu na Y.
Kad je (X,Y) prekidna slučajna promenljiva, onda se, sličnim postupkom, može zaključiti da će skup tačaka (2.46) i (2.47), koji predstavljaju regresione krive, biti “najbolji” mogući skup tačaka preko koga se mogu izraziti vrednosti jedne promenljive u odnosu na promene druge slučajne promenljive.
Regresione hiperpovršine
Pojam regresionih krivih može se proširiti i na k-dimenzionalne slučajne promenljive
X X X k1 2, , ... , .
Najčešće nas interesuje kakve su promene jedne
komponente recimo X1 , u zavisnosti od promena ostalih
komponenti X X X k2 3, , ... , . .
Za svaku fiksnu vrednost komponenti
X x X x X xk k2 2 3 3 , , ... ,
možemo odrediti uslovnu raspodelu za X1 , a zatim iz nje odrediti očekivanu vrednost. Neka je to
m x x E X x x xk k1 2 1 2 3,..., / , ,...,
Tada skup tačaka u prostoru
x m x x x xk k1 1 2 2 , ... , , , ... ,
obrazuju hiperpovršinu koju nazivamo regresiona
hipeprovršina X1 u odnosu na X X X k2 3, , ... , .
Regresione hiperpovršine imaju istu osobinu kao i regresione krive.
Srednje kvadratno odstupanje promenljive X1 i bilo
koje funkcije promenljivih X X k2 , ... , , tj.
E X g X X X k1 2 3
2 , , ... , ,
ima minimalnu vrednost ako je funkcija g X X k2 , ... , , u stvari, regresiona hiperpovršina, tj. ako je
x g x x x m x x xk k1 2 3 1 2 3 , , ... , , , ... ,
Pored toga, regresione hiperpovršine poseduju sledeću osobinu.
Posmatrajmo slučajnu promenljivu X1 i bilo koju funkciju
Z g X X X k 2 3, , ... ,
preostalih komponenti X X X k2 3, , ... , , kao drugu slučajnu promenljivu.
Tada će koeficijent korelacije između X1 i Z imati najveću vrednost ako je funkcija g regresiona hiperpovršina tj. ako je
g X X X m X X Xk k2 3 1 2 3, , ... , , , ... ,
Na kraju, da napomenemo da je minimum srednjeg kvadratnog odstupanja
E X g X X k1 2
2 , ... ,
jednak uslovnoj varijansi promenljive X1 , pod uslovom
da ostale komponente imaju vrednosti x x xk2 3, , ... , .
Srednje kvadratne regresione prave
^esto je regresione krive teško odrediti, a i izrazi kojima su određene najčešće su komplikovani, pa je njihova upotreba ograničena. Zato je potrebno da na neki način utvrdimo jednostavnije veze između promenljivih.
Postupak utvrđivanja jednostavnijih veza je sledeći: umesto bilo kakve funkcije
Y g X
posmatraćemo samo linearne funkcije
Y X ,
pa ćemo na osnovu nekog kriterijuma izabrati “najbolju” linearnu vezu.
Naravno, za kriterij izbora “najbolje” veze poslužiće nam srednje kvadratno odstupanje, tj. poslužiće nam funkcija
F E Y , , X 2
(2.50)
koja predstavlja očekivanu vrednost kvadrata odstupanja slučajne promenljive Y i procenjene njene
vrednosti, preko X, linearnom vezom X . Naš je cilj
da odredimo i iz funkcije (2.50) tako da F , ima minimalnu vrednost.
Dokazaćemo sledeće tvrđenje:
Linearna funkcija y X , koja minimizira srednje
kvadratno odstupanje F , , je funkcija
odnosno, funkcija
(2.51)
pri čemu su i očekivane vrednosti za X i Y, a i
su njihove varijanse, dok je koeficijent korelacije
između X i Y.
Dokaz. Funkciju napisaćemo u obliku
Kvadrirajući izraz u srednjoj zagradi i koristeći osobine očekivane vrednosti, funkciju možemo izraziti u
obliku
(2.52)
jer je i
Funkcija imaće ekstremnu vrednost u onoj
tački u kojoj su njeni parcijalni izvodi jednaki nuli. To će biti tačka koja zadovoljava jednačine
odnosno,
(2.53)
Rešenje sistema linearnih jednačina (2.53) po i je sledeće
Pošto je varijansa za X jednaka
varijansa za Y
a kovarijansa između X i Y
onda se izraz za i može napisati u obliku
(2.54)
Uvrštavanjem ovih vrednosti za i u jednačinu prave
dobiće se jednačina
odnosno,
jer je koeficijent korelacije
Time je navedeno tvrđenje dokazano.
Minimalna vrednost srednjeg kvadratnog odstupanja jednaka je
(2.55)
i naziva se rezidijumska varijansa, a označava se sa
2.5. ZADACI
1. Odredi marginalne i uslovne zakone verovatnoća kod dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y), čiji zakon verovatnoća je
Y
X
0 1
-1 0,1 0,2
0 0,2 0,3
1 0,0 0,2
2. Istovremeno se bacaju dve kocke. X predstavlja broj tačkica na prvoj a Y broj tačkica na drugoj kocki:
a) a) Odredi verovatnoću da je X Y+ = 8 .
b) b) Odredi uslovni zakon verovatnoća za X, pod uslovom da je Y = 4 .
c) c) Da li su X i Y nezavisne?
3. Na statističkom skupu od 100 elemenata merena su obeležja X i Y. Dobijeni su sledeći rezultati :
par (0.1: 100) pojavio se kod 15 elemenata;
par (0.1: 200) pojavio se kod 15 elemenata;
par (0.1: 350) pojavio se kod 5 elemenata;
par (0: 100) pojavio se kod 5 elemenata;
par (0: 200) pojavio se kod 25 elemenata;
par (0: 350) pojavio se kod 15 elemenata;
par (-0.2: 100) pojavio se kod 0 elemenata;
par (-0.2: 200) pojavio se kod 5 elemenata;
par (-0.2: 350) pojavio se kod 15 elemenata;
a) a) Odredi dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (X,Y) i njen zakon verovatnoća;
b) b) Da li su obeležja X i Y nezavisna?
c) c) Odredi uslovni zakon verovatnoća za X, pod uslovom da je Y = 200 .
4. Raspodela broja otkaza mašina u prvoj smeni (X) i broja otkaza u drugoj smeni (Y), data je tabelom
Y
X
0 1 2
0 0,10 0,20 0,20
1 0,04 0,08 0,08
2 0,06 0,12 0,12
a) a) Da li su otkazi u smenama nezavisni?
b) b) Ako je broj otkaza u prvoj smeni 1, kakva će biti raspodela broja otkaza u drugoj smeni?
5. Mašina proizvodi dnevno 5 proizvoda. Neka je X broj neispravnih proizvoda, a Y broj zastoja mašine. Raspodela za (X,Y) je sledeća
YX
0 1 2 3 4 5
0 0,15 0,09 0,08 0,07 0,06 0,051 0,15 0,05 0,04 0,03 0,02 0,012 0,10 0,05 0,02 0,01 0,01 0,01
a) a) Nađi zakon verovatnoća broja neispravnih proizvoda;
b) b) Odredi verovatnoće da će biti 2 neispravna proizvoda, ako se zna da nije bilo otkaza mašine;
c) c) Ispitaj nezavisnost X i Y.
6. 6. Prodavac prodaje dva stana po ceni 1000000 i 3000000. U toku dana prvi stan se može prodati sa verovatnoćom 0.6, a drugi sa verovatnoćom 0.2. Ako je X broj prodatih stanova, a Y zarada, kako izgleda raspodela za (X,Y)?
Da li su to nezavisne slučajne promenljive?
7. Marginalni zakon verovatnoća slučajne promenljive X dat je funkcijom
f xe x
1
22
0 0( )
,
za x > 0
za x
a uslovni zakon verovatnoća slučajne promenljive Y dat je funkcijom
f y xxe yxy
( / ).
za > , x >
za y
0 0
0 0
Odredi marginalni zakon verovatnoća za slučajnu promenljivu Y.
8. Ako se, iz grupe od 8 ispravnih i 2 neispravna proizvoda, biraju na slučajan način 4 proizvoda, odredi zakon verovatnoća za (X,Y), pri čemu je X broj neispravnih proizvoda u izabranoj grupi a Y broj ispravnih.
9. Iz skupa brojeva (1,2,3,4,5) bira se na slučajan način jedan broj. Neka je to X. U drugom biranju se bira jedan od brojeva 1,2,...,X. Neka je to Y. Odredi zakon verovatnoća za (X,Y).
10. Slučajna promenljiva X je jedna od cifara (0,1,2,...,9), a Y je dato na sledeći način.
Y
0
1
ako je X paran broj;
ako je X neparan broj.
Ispitaj zavisnost promenljivih X i Y.
11. Veličina X predstavlja slučajno izabranu cifru iz
skupa cifara 0 1 2 9, , , ... , , a Y predstavlja slučajni broj iz skupa brojeva
X , , , , X X X X 1 2 3 4
Odredi zakon verovatnoće slučajne promenljive (X,Y) parametre i koeficijent korelacije.
12. Slučajni događaji A A Ak1 2, , ... , u jednom eksperimentu se međusobno isključuju. Verovatnoće realizacije svakog od ovih događaja jednake su p p pk1 2, , ... , , respektivno. Pri tome je p p pk1 2 1 ... .
Kad se eksperiment ponovi n puta, možemo posmatrati slučajne promenljive X X X k1 2, , ... , , koje predstavljaju broj ponavljanja eksperimenta u kojima su se realizovali događaji A A Ak1 2, , ... , . Odredi zakon verovatnoće za k-
dimenzionalnu slučajnu promenljivu X X X k1 2, , ... , , a zatim nađi korelacionu matricu.
13. Iz cifara 0 1 9, ,... , bira se slučajno jedna cifra. Promenljive X X X1 2 3, , su određene na sledeći način
Xje izabran j
n neparan broj1
0
1
ako paran bro
ako je izabra
Xizabrani broj nije deljiv sa
izabrani broj jeste deljiv sa2
0 3
1 3
ako
ako
Xni broj manji od
broj nije manji od 3
5
5
0 ako je izabra
1 ako izabrani
Odredi korelacionu matricu za X X X1 2 3, , . Objasni dobijene vrednosti koeficijenata korelacije.
14. Dva strelca gađaju, nezavisno jedan od drugog, metu po tri puta. Verovatnoće pogodaka su 0,5, za prvog strelca i 0,4 za drugog. X predstavlja broj pogodaka prvog strelca, a Y broj pogodaka drugog strelca. Odredi raspodelu za (X, Y).
15. Neka su X X X k1 2, , ... , nezavisne slučajne promenljive sa sredinama jednakim 0 i varijansama jednakim 1. Pokaži da je
P x ki
k
22
1
1
.
16. Ako su koeficijenti korelacije kod k-dimenzionalne slučajne promenljive jednaki međusobno i imaju vrednost , tada je
1
11
k .
Dokaži da je to tačno.
17. Neka su X X X m1 2, , ... , nezavisne slučajne
promenljive sa varijansom 1, a Y Y Yn1 2, , ... , , takođe nezavisne sa varijansom 1. Neka je kovarijansa između X i
3.3. MODELI NEPREKIDNIH RASPODELA
Normalna raspodela
Prilikom rešavanja problema granične funkcije Binomne raspodele, De Moivre je 1733. godine otkrio Normalnu raspodelu, što je ostalo dosta nezapaženo sve do radova C.F.Gauss-a 1809. godine i P.S.Laplace-a 1812. godine. Ova dva autora su razvili teoriju grešaka opservacija i došli do Normalne raspodele. La Place je dokazao tzv. centralnu graničnu teoremu i dao odgovore na različita pitanja iz teorije verovatnoće.
Pod njihovim uticajem, dugo se smatralo da statističke raspodele, praktično, svih vrsta podataka približavaju se Normalnoj raspodeli kao idealnom obliku samo ako se obezbedi dovoljno veliki broj tačnih opservacija. Devijacije svake slučajne varijable od njene očekivane vrednosti, posmatrane su kao "greške", a na osnovu "zakona greški" opisane su Normalnom raspodelom. Pokazalo se da je to tačno u mnogim fizičkim, astronomskim, demografskim i biološkim merenjima, a takođe i u tehničkim i ekonomskim naukama.
Treba još napomenuti da se veliki deo statističkog zaključivanja i donošenja odluka, bazira na modelima koji su generisani Normalnom raspodelom.
Definicija: Za slučajnu promenljivu X kažemo da ima Normalnu raspodelu ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
f xb
ex a
b
1
2
2
2 2
za x ,
(3.20)
Vrednosti a i b su parametri modela, a je bilo koji realan broj, a b je takođe realan pozitivan broj. Normalnu raspodelu označavaćemo sa
X N a b: ; .
Funkcija (3.20) je simetrična u odnosu na pravu x=a. Ima maksimum u tački x=a. Maksimalna vrednost funkcije je jednaka:
f ab
1
2
Grafički prikaz funkcije (3.20) dat je na slici:
Slika 3.1. Normalna raspodela
Očekivana vrednost Normalne raspodele dobiće se preko integrala:
m E Xb
xe dxx a
b
1
2
2
2 2
.
Uvodeći smenu y
x a
b
i parcijalnom integracijom, dobiće se da je
m a . (3.21)
Varijansu slučajne promenljive X sa Normalnom raspodelom dobićemo preko integrala
2 2 2
2
2 21
2
E X mb
x a e dxx a
b
.
Uvodeći smenu y
x a
b
, i parcijalnom integracijom, dobiće se
2 b . (3.22)
Iz (3.21) i (3.22) vidi se da su a i b, ustvari, očekivana vrednost i varijansa slučajne veličine X. Zato se i najčešće Normalna raspodela označava sa
X N m: ; 2
,
a njen zakon verovatnoća dat je u obliku:
f x ex m
1
2
2
2 2
Specijalno za m 0 1 i 2 , dobićemo Standardizovanu normalnu raspodelu sa zakonom verovatnoća datim tzv. Gaussovom krivom.
f x ex
1
2
2
2
čije vrednosti su date u tabelama ili u statističkim paketima programa.
Vrednosti funkcije raspodele F(x), za standardizovanu Normalnu raspodelu, date su u tabelama i označene su sa x .
Za određivanje verovatnoća da će se X naći u
intervalu x x1 2; , koristimo tabele, odnosno, funkciju raspodele standardizovane Normalne raspodele. Naime, iz jednačine
P x X x e dxx m
x
x
1 2
2
2 2
1
21
2
posle smene
yx m
,
dobiće se da je
P x X x e dxx m x mx
x m
x m
1 2
2
2
1
2
2 11
2
Funkcija generatrisa Normalne raspodele je funkcija
g t etm
t
2 2
2
Nalazeći obične i centralne momente preko funkcije g(t), lako je proveriti da je
1
2
0
3
iz čega se zaključuje da je to simetrična raspodela sa normalnom spljoštenošću.
Gama raspodela
Gama funkcija ili Ojlerova funkcija druge vrste jeste funkcija oblika:
( ) ,p t e dtp t
1
00 p
Gama funkcija poseduje sledeće osobine:
1. ( ) ( )p p p 1
Ako je p prirodan broj, p=n, onda je:
( ) ( ) ( ) ( ) ... !n n n n n n n 1 1 1
pri čemu se za velike vrednosti n može koristiti Stirlingova formula
( ) ! ,n n n n en n 1 2
2.
1
2
1
0
te dtt
Iz prethodnih rezultata sledi:
3
2
1
21
1
2
1
2
1
2
5
2
3
21
3
2
3
2
3
2
1
2
i, uopšte:
nn n
1
2
2 1
2
2 3
2...
3. ( ) ( )
sin,p p
pp 1 0 1
4. Za n<0 gama funkcija je jednaka:
nn
n
1
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Gama raspodelu, ako je njen zakon verovatnoće funkcija:
f x aa
x e a x
( , , )
,
( ),
0
1
za x < 0
za x > 0
gde su parametri 0 0 i a .
Za različite vrednosti parametara zakon verovatnoća Gama raspodele ima oblik:
Slika 3.2. Gama raspodela
Funkcija generatrise Gama raspodele jednaka je:
g t E e
ae a x e dx
ax e dxtx tx a x a t x( ) ( )
( )( )
1
0
1
0
zamenjujući a t x sa y, za t a , imamo:
g t
a
a ty e dy
a
a t t
a
y( )
1
0
1
1
Osnovni parametri Gama raspodele jednaki su :
E X ga
( ) 0
Ako je >1, gama raspodela ima modus jednak
Mao 1
.
2 2 2 2
20 0 E X E X g ga
Teorema: Ako nezavisne slučajne promenljive X1 , X2 , ...Xn imaju Gama raspodele sa parametrima
i i n, , , ..., ,1 2 i a onda slučajna
promenljiva Y X i
i
n
1 ima Gama raspodelu s
parametrima i
i
n
1 i a
.
Dokaz: Kako je funkcija generatrisa slučajne promenljive Y jednaka proizvodu funkcija generatrisa slučajnih promenljivih X1 , X2 , ...Xn dobija se:
g tt
a
t
ay i
ii
n
i
n
1
1
1 1
1
(3.23)
Dobijena funkcija jeste funkcija generatrisa Gama
raspodele. Odavde sledi da slučajna promenljiva Y X i
i
n
1
ima Gama raspodelu sa parametrima
ii
n
1 i a
.
Specijalno, Gama raspodela s parametrima
n
2
1
2 i a
biće funkcija:
f yn
ny e
ny
, ,
,
,1
2 2
01
2
2
1
2
21
2
za y < 0
za 0 < y <
poznata kao Hi-kvadrat raspodela.
Studentova raspodela
Studentovu raspodelu definisao je W.S. Gosset u radu objavljenom pod pseudonimom "Student".
Definicija: Za slučajnu promenljivu X kažemo da ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
f x
n
nn
x
nxn
n
1
2
2
12
1
2
Na slici je prikazana funkcija fn(x), za n=3i n=45:
Slika 3.3. Studentova raspodela
Zakon verovatnoća Studentove raspodele dat je simetričnom funkcijom sa maksimalnom vrednošću za x=0. Očekivana vrednost je
m E x 0 .
Obični i centralni momenti su međusobno jednaki. Varijansa je jednaka:
2
2
n
n ,
koeficijent asimetrije
1 0 ,
a koeficijent spljoštenosti je jednak
2 36
4
n .
Kad n Studentova raspodela teži standardizovanoj Normalnoj raspodeli.
Necentralna Studentova raspodela
Necentralna Studentova raspodela je uopštenija Studentova raspodela.
Definicija: Za slučajnu promenljivu Y kažemo da ima necentralnu t raspodelu ako je njen zakon verovatnoća funkcija:
f tn
n
y e e dyn n
n y ty
n
;
1
22
1
2
1
2 2
1
2
2
0
gde je parametar necentralnosti.
F-raspodela
Definicija: Za slučajnu promenljivu X kažemo da ima F-raspodelu sa n1 i n2 stepeni slobode, ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
f x
n n n
n
n nx
n x
n
f x
n n
n
nn n
n n
1 2
1 2 1
2
12
1 2
12
1 1
2
1 22
1 2
2
2 2
1 0
0 0
,
,
za x
i
za x
Grafik zakona verovatnoća F-raspodele za različite vrednosti parametara prikazani su na sledećim slikama:
Slika 3.4. F-raspodela
Očekivana vrednost F-raspodele jednaka je
E Xn
n
2
2 2 ,
a varijansa je
2 22
1 2
1 2
2
2
2 2
2 4
n n n
n n n .
Pri određivanju verovatnoća slučajne promenljive sa F-raspodelom koristimo tabelu, koja sadrži vrednosti F0 za koje je funkcija raspodele jednaka 1 0 95 , i 1 0 99 , , a za različite stepene slobode.
Teorema: Neka je slučajna promenljiva X definisana kao količnik
XY
nZ
n
n Y
n Z 1
2
2
1,
pri čemu su Y i Z nezavisne slučajne promenljive koje imaju Hi-kvadrat raspodele sa n n1 2 i stepeni slobode,
respektivno. Tada X ima F-raspodelu sa n n1 2 i stepeni slobode.
Necentralna F-raspodela
Definicija: Necentralna F-raspodela je definisana kao raspodela sa r, s stepeni slobode i m parametra necentralnosti, koju ima slučajna promenljiva
FX r
Y s
/
/
pri čemu su X i Y nezavisne slučajne promenljive. Pri tome X ima necentralnu Hi-kvadrat raspodelu sa r stepeni slobode i parametra necentriranosti m a Y ima Hi-kvadrat raspodelu sa s stepeni slobode.
Cauchy-jeva raspodela
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Košijevu raspodelu za x ako je njen zakon verovatnoća jednak:
f x
x( )
12 2
Grafik date funkcije prikazan je na slici:
Slika 3.5. Cauchy-jeva raspodela
Ova raspodela je unimodalna i simetrična u tački x , koja ujedno predstavlja i modus i medijanu. Momenti i sredina nisu konačnog oblika. Kvartili su u tačkama .
Ako slučajna promenljiva X ima Košijevu raspodelu, bilo koja linearna funkcija aX b ima istu
raspodelu, sa parametrima ' a i ' a b .
Najčešći oblik Cauchy-jeve raspodele je zakon verovatnoća:
f xx
x
1 1
1 2 za
.
Ovo je primer raspodele za koju ne postoji funkcija generatrise, tj. ne postoji očekivana vrednost funkcije etX za realne vrednosti t.
Pareto raspodela
U nekim oblicima ekonomske statistike često se sreću krnje (sa tupim vrhom) raspodele. Na primer, u statistici zarada potrebni podaci izražavaju raspodelu zarada lica čije zarade prelaze izvesnu granicu x0 fiksiranu poreskom politikom. Takvi i slični podaci su veoma dobro aproksimirani Pareto raspodelom definisanom preko funkcije:
P X xx
xx x
00 0
, ,
Zakon verovatnoća ove raspodele dat je funkcijom
f xx
x
xx
x
;
0
01
0
00
za x
za x
Grafik zakona verovatnoća Pareto raspodele dat je na slici:
Slika 3.6. Pareto raspodela
Za 1, očekivana vrednost je konačna
E X x
1 0
a medijana je data sa
M xe 21
0
Eksponencijalna raspodela
Eksponencijalna raspodela koristi se za opisivanje pojava kao što su:
* dolazak kupaca u samouslugu
* pojava telefonskih poziva
* pojava kvarova na mašini
Grafik Eksponencijalne raspodele je sledećeg oblika:
ti predstavlja vreme između dva susedna događaja ei
Pretpostavke:
1) 1) Vreme nastupanja događaja ne zavisi od prethodnog događaja
2) 2) Verovatnoća da događaj nastupi u malom intervalu vremena proporcionalna je dužini tog intervala.
Označimo sa T vreme između ostvarenja dva događaja. To je slučajna promenljiva sa funkcijom raspodele
F t P T t
Iz druge pretpostavke sledi da je
P T t t T t t / ,
gde je koeficijent proporcionalnosti. Na osnovu definicije uslovne verovatnoće dobija se
P T t t T t
P t T t t
P T tt
/ ,
odnosno
F t t F t
F tt
1
Kad t 0 , dobiće se diferencijalna jednačina
F t F t 1
čije rešenje daje funkciju raspodele slučajne promenljive T
F t e t 1 0 , za t .
Zakon verovatnoća je dat funkcijom
f t
t( )t
e t
0
0 0
Matematičko očekivanje je:
E T t e dtt( )
1
0
Srednje ili prosečno vreme između dva događaja je:
TD
1
Ova raspodela ima jednu izuzetnu osobinu. Pošto je
P t T P T t e
P t T t e e e e
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 0 1
1 11 22 1 1 2
t
t t t t
tada je verovatnoća P T t T t( ) 2 1 , gde je 0 1 2 t t jednaka:
P T t T tP t T t
P T t
e e
ee
tt t( )
( )
( )( )
2 11 2
1
1 2
12 11
t
t
Vidimo da uslovna verovatnoća P T t T t( ) 2 1 zavisi samo od razlike t t2 1 . Ako je ova razlika jednaka pozitivnoj konstanti k onda je:
P T t k T k e k( ) 1
za proizvoljno T. Drugim rečima, ako je poznato da je T t 0 , raspodela verovatnoća slučajne promenljive t t 0 takođe je eksponencijalna:
f t e t tt t( ) ,( ) 00 0
Hi-kvadrat raspodela (c2)
Hi-kvadrat raspodela predstavlja specijalan slučaj Gama raspodele. Definiše se kao raspodela sume kvadrata nezavisnih slučajnih promenljivih koje imaju Normalnu raspodelu, sa srednjom vrednošću 0 i standradnom devijacijom 1. Ova raspodela je važna u statistici jer opisuje raspodelu verovatnoća koje se koriste u nekoliko najčešćih statističkih procedura, uključujući Pirsonov Hi-kvadrat test, a koristi se i za ispitivanje validnosti modela.
Definicija: Za slučajnu promenljivu X kažemo da ima Hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
k xc x e
nn
n x
2
12
0
,
,
za x > 0
za x 0
pri čemu je n prirodan broj, a konstanta cn je data sa
cx e dx
nn n x n
1 1
22
21
2
0
2
Zakon verovatnoće za Hi-kvadrat raspodelu prikazan je na slici:
Slika 3.7. Hi - kvadrat raspodela
Lako je videti iz Gama raspodele da je
f xn
nx e
nx
, ,
,
, .1
2 2
01
2
2
1
2
21
2
za x < 0
za 0 < x <
Slučajnu promenljivu sa Hi-kvadrat raspodelom, označavaćemo sa
X xn: c2
.
Funkcija raspodele ove slučajne promenljive označava se sa
K z C x e dxn n
n xz
21
2
0
Njene vrednosti su date tabelama za stepene slobode od 1 do 30. Za veće stepene slobode mogu se koristiti približne vrednosti iz Normalne raspodele.
Očekivana vrednost slučajne promenljive sa Hi-kvadrat raspodelom jednaka je
E x n ,
a varijansa je
2 2 2 E x m n .
Običan momenat reda k dat je izrazom
m n n n n kk 2 4 2 2... ,
tako da je
3
4
8
12 4
n
n n
Koeficijent asimetrije ima vrednost
1
8
n ,
a koeficijent spljoštenosti je
2 312
n .
Iz formule za koeficijent asimetrije se vidi da Hi-kvadrat raspodela teži simetričnoj raspodeli kad n , a iz formule za koeficijent spljoštenosti se vidi da ona teži raspodeli sa normalnom spljoštenošću.
Necentralna Hi-kvadrat raspodela (c2)
Ako nezavisne slučajne promenljive X X Xn1 2, ,...,
imaju normalnu raspodelu N mk ;1 tada suma kvadrata
x Xn kk
n2 2
1
ima necentralnu c2 raspodelu sa n stepeni slobode i
parametrom necentralnosti:
mkk
n2
1
koja pri 0 (odnosno m m mn1 2 0 ... ) prelazi u običnu,
centralnu c2 raspodelu, sa n stepeni slobode.
Beta raspodela
Beta funkcija B p q, je Ojlerova funkcija prve vrste i definiše se integralom:
B p q t t dt qp q, ; , 1 1
0
1
1 0 0 p
Gama i beta funkcije povezane su relacijom:
qp
qpqpB
,
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Beta raspodelu, ako je njen zakon verovatnoća funkcija:
f x p q
B p qx x xp q
, ,
,
,,
za x 0 i x 1
za 0 < < 1
0
111 1
Parametri ove raspodele su pozitivni brojevi p i q. Ako je p>1 i q>1, onda funkcija f(x,p,q) postaje jednaka nuli na krajevima intervala (0,1), a dostiže maksimum u
tački x M
p
p qo
1
2 . Za p<1 i q<1 funkcija f(x,p,q) opada od do 0. Za p>1 i 0<q<1 funkcia f(x,p,q) raste od 0 do . Ako je 0<p<1 i 0<q<1, onda funkcija
f(x,p,q) dostiže minimum u tački x
p
p q
1
2 , i njen grafik ima oblik slova U.
Zakon verovatnoća za p i q > 1 ima sledeći izgled:
Slika 3.8. Beta raspodela
Ako, na primer, slučajna promenljiva X ima Beta raspodelu s parametrima p=q=2, onda je zakon verovatnoće jednak:
f xx x x
, ,,
,2 2
0
6 1
za x 0 i x 1
za 0 < < 1
Momenti Beta raspodele imaju oblike
m
B p qx x dx
p q p k
p p q kkp k q
1
11 1
0
1
,
,
odakle se dobija
E X mp
p q
1
Necentralna Beta raspodela
Zakon verovatnoća necentralne Beta raspodele sa parametrom necentralnosti , dat je funkcijom:
g x e
k
kB n k n s x
k
1
22
2
0
1
2 1
2
1
2!, ;
Laplace-ova raspodela
Laplace-ova raspodela naziva se još i dupla eksponencijalna, a predstavlja specijalni slučaj Košijeve raspodele.
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Laplace-ovu raspodelu ako je njen zakon verovatnoća dat izrazom:
f xa
ex b
a( ) ,
1
20 a
, gde su a i b parametri modela.
Slika 3.9. Laplace-ova raspodela
Raspodela je unimodalna i simetrična u odnosu na tačku X=b koja istovremeno predstavlja modus, medijanu i očekivanu vrednost (sredinu raspodele).
Logistička raspodela
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Logističku raspodelu ako je njen zakon verovatnoće:
f x
e
e
x
x( )
12
Grafik zakona verovatnoće Logističke raspodele prikazan je na slici:
Slika 3.10. Logistička raspodela
Varijansa je:
2
3
U literaturi se može pronaći veliki broj radova koji su pokušali da uspostave transcedentalni "Zakon logističkog rasta". Mereni odgovarajućim jedinicama, praktično svi procesi rasta bi trebalo da budu
predstavljeni ovom funkcijom. Dugačke tabele sa c2
testovima podržavale su ovu tezu iz oblasti ljudske populacije, kolonija bakterija, razvoja železnice itd. Pronađeno je da visina i težina ljudi i životinja prati logistički zakon iako je teorijski jasno da ove dve promenljive ne mogu pripadati istoj raspodeli. Međutim, i laboratorijski eksperimenti na bakterijama pokazali su da čak ni namerni poremećaji ne mogu promeniti rezultat.
Lognormalna raspodela
Poslednjih godina u raznim problemima biologije, tehnike, ekonomije i teoriji pouzdanosti značajnu primenu nalazi i tzv. logaritamski normalna raspodela.
Definicija: Za nenegativnu slučajnu promenljivu X kažemo da ima Lognormalnu raspodelu ako njen logaritam ima normalnu raspodelu, odnosno ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom:
f xx
e x
x m
( ) , ,
(ln )
1
20 0
2
2 2
Zakon verovatnoća Lognormalne raspodele, za različite vrednosti parametara, prikazan je na slici:
Slika 3.11. Lognormalna raspodela
Slučajna promenljiva y
x m
(ln )
ima normalnu raspodelu N(0;1) te se mogu koristiti tablice za ovu poslednju.
Obični momenti reda k: m ekkm k ( / )2 2 2
odakle dobijamo:
E X e
Var X e e
m
m
( )
( )
( / )
( / )
2 2
2 2 2 21
smenom mX/ez može se eliminisati parametar m.
)(ln),;(
mxmXF
Iz centralne granične teoreme može se dobiti sledeći rezultat: Ako je X X1 2, ... niz nezavisnih, jednako raspoređenih slučajnih promenljivih, za koje je
E X m i Va Xk k(ln ) (ln ) r 2
, tada proizvod Xk
k
n
1 ima
normalnu raspodelu sa parametrima n m i n 2
.
Isto tako, ako pretpostavimo da se stanje nekog slučajnog procesa karakteriše slučajnom promenljivom x(t) u trenutku t, i ako pretpostavimo da je promena x(t) za vreme od ti do ti1 proporcionalna dostignutom stanju, tj.
x t x t x ti i i i( ) ( ) ( ) 1
pri čemu je koeficijent proporcionalnosti i slučajna
promenljiva nezavisna od ostalih j i od veličina x t j( )
, to pri velikom t, x t( ) ima asimptotski normalnu raspodelu.
Uniformna raspodela
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Uniformnu raspodelu ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom:
f xx
x
( )
1
0
,
, za ostale
Verovatnoća da će se X nalaziti u intervalu dužine h
jednaka je
1
( ) h .
Teorema: Bilo koju raspodelu neprekidne promenljive X možemo transformisati u uniformnu raspodelu definišući slučajnu promenljivu
Y G X
gde je G(X) funkcija raspodele slučajne promenljive X, tj.
G x P X x .
Karakteristike ove raspodele su sledeće:
Matematičko očekivanje:
E Xa b
( ) 2 .
Varijansa:
22
12
( )b a
.
Centar simetrije: a b
2 Weibull-ova raspodela
W.Weibull je proučavao 50-ih godina ovog veka otpornosti materijala koristeći ovu raspodelu. Najčešće karakteriše vek trajanja elemenata električnih aparata.
Definicija: Slučajna promenljiva X ima Weibull-ovu raspodelu ako je njen zakon verovatnoća:
f xmx
e x mm
xm
( ) , ,
1
0 0
Grafik zakona verovatnoća za različite vrednosti
parametara je na slici:
Slika 3.12. Weibull-ova raspodela
Matematičko očekivanje i varijansa za m=2:
E x
3
2
13
2
1
2
2
2
Dvodimenzonalna Normalna raspodela
Definicija: Dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y), neprekidnog tipa, čije vrednosti su sve tačke ravni XOY, imaće Normalnu raspodelu ako je zakon verovatnoća dat funkcijom:
f x y ex y
x mx
x
x mx
x
y my
y
y my
y,
1
2 1 2
1
2 1 2
2
22
2
2
(3.24)
pri čemu su mx i my
očekivane vrednosti x2
i y2
varijanse, a koeficijent korelacije promenljivih X i Y.
Tačka m mx y, predstavlja težište raspodele. To je
tačka u kojoj funkcija ima maksimum.
Zapremina ograničena XOY ravni i površinom f(x,y) jednaka je dvostrukom integralu
f x y dxdy,
1.
Potrebno je odrediti marginalne zakone verovatnoća. Marginalni zakon verovatnoća za X jednak je integralu
f x f x y dy1 ( ) ( , )
Eksponent izraza (3.24) može se napisati u obliku
1
2
1
2 1
2
2 2
2x m y m x mx
x
y
y
x
x
,
tako da je
f xe
e dy
x mx
x
x y
y my
y
x mx
x
1
1
2
2
2
2
1
2 1 2
2
2 1
( )
.
Uvodeći smenu
ty m x my
y
x
x
1
1 2
gornji integral se svodi na
f xe
e dt
x mx
x
x y
y
t
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2 11
(3.25)
odnosno,
f x ex
x mx
x1
1
2
2
21
2
jer je
e dtt
2
2 2.
Na sličan način bi dobili i marginalni zakon verovatnoća za Y. To bi bila funkcija
f y ey
y my
y2
1
2
2
21
2
(3.26)
Na osnovu (3.25) i (3.26) možemo tvrditi: Ako dvodimenzionalna slučajna promenljiva (X,Y) ima Normalnu raspodelu datu zakonom verovatnoća (3.24), tada i X i Y imaju marginalne Normalne raspodele sa
parametrima mx x, i
my y,
.
Za dalju analizu potrebno je utvrditi uslovne zakone verovatnoća. Videli smo da je uslovni zakon verovatnoća za slučajnu promenljivu X, pod uslovom da je Y=y, dat količnikom
f x y
f x y
f y/
,
2
Za slučaj Normalne raspodele, ovaj uslovni zakon verovatnoća imaće oblik
f x y ey
x y
x mx
x
x mx
x
y my
y
y my
y
y my
y/
2
2 1 2
1
2 1 2
2
22
2
21
2
2
2
Posle skraćenja i sređivanja izraza u eksponentu dobiće se
f x y e
x
xx mx
x
yy my
/
1
1 22
1
2 2 1 2
2
(3.27)
Ako sa x y/2
označimo uslovnu varijansu za
promenljivu X, pod uslovom da je Y=y, a sa m y1 uslovnu očekivanu vrednost, onda iz uslovnog zakona verovatnoća (3.27) sledi da je
x y x/2 2 2
1
m y m y mxx
yy1
.
Sada se uslovni zakon verovatnoća za promenljivu X može napisati u obliku
f x y ex y
x m y
x y//
/
1
2
1
21
2
2
Tako smo dobili sledeći rezultat: Uslovna raspodela za slučajnu promenljivu X, pod uslovom da je Y=y, je Normalna raspodela sa uslovnom sredinom
m y m y mxx
yy1
(3.28)
i uslovnom varijansom
x y x/2 2 21
(3.29)
Na sličan način se može zaključiti da će uslovna raspodela za slučajnu promenljivu Y, pod uslovom da je X=x, biti Normalna raspodela sa uslovnom sredinom
m x m x my
y
xx2
(3.30)
i uslovnom varijansom
y x y/2 2 21
(3.31)
Znamo od ranije da je, u slučaju da su slučajne promenljive X i Y međusobno nezavisne, koeficijent korelacije
0.
A sad ćemo pretpostaviti da X i Y imaju Normalnu raspodelu i da je
0. Onda je njihov zajednički zakon
verovatnoća funkcija
f x y ex y
x mx
x
y my
y,
1
2
1
2
2
2
2
2
a to se može napisati u obliku
f x y f x f y, 1 2 ,
pri čemu su f x1 i f y2 marginalni zakoni verovatnoća
za X i Y. To znači da su X i Y nezavisne slučajne promenljive. Možemo to iskazati sledećim tvrđenjem: Ako (X,Y) ima Normalnu raspodelu, tada je za njihovu nezavisnost potrebno i dovoljno da je koeficijent korelacije jednak nuli.
Parametri dvodimenzionalne Normalne raspodele
U funkciji f x y, , koja predstavlja zakon verovatnoća dvodimenzionalne slučajne promenljive
(X,Y), pojavljuju se sledeći parametri: m mx y x y, , , 2 2 i .
Marginalni zakon verovatnoća za X je funkcija
f x ex
x mx
x1
1
2
2
21
2
odakle se može zaključiti da je mx očekivana vrednost
slučajne promenljive X , a x2
njena varijansa.
Iz marginalnog zakona verovatnoća f y2 može se
takođe zaključiti da je my
očekivana vrednost Y, a y2
njena varijansa.
Za osnovne analize dvodimenzionalne Normalne raspodele potrebno je još utvrditi njenu kovarijansu.
Na osnovu definicije kovarijanse imaćemo
xy x yx m y m f x y dxdy
,,
što se, u slučaju Normalne raspodele, svodi na
xy x y
Q
C x m y m e dxdy
1
2 1 2
, (3.32)
pri čemu smo, radi kratkoće, označili sa
C
Qx m x m y m y m
x y
x
x
x
x
y
y
y
y
1
2 1
2
2
2
2
2
2
,
Da bi rešili integral (3.32), prvo ćemo uvesti smenu
x mu
y mvx
x
y
y
,
tako da je
xy
x yu uv v
u v e du dv
2 1 2
1
2 1 22 2 2
.
Uvodeći smenu
u vt v s
1 2
čiji Jakobijan je
J
1
2
1
1
izraz za kovarijansu svodimo na integral
xy
x yt s
e s e dsdt
2
2
2 2
2
2
odnosno,
xy x y ,
jer je
e dt s e dst s
2
2 2
2
2 2.
Na osnovu definicije koeficijenta korelacije, vidi se da parametar , koji se pojavljuje u zakonu
verovatnoće f x y, , predstavlja koeficijent korelacije.
Sad možemo rezimirati:
Težište raspodele je u tački
T m mx y,,
a dispersiona matrica je matrica
Wx x y
x y y
2
2
Inverzna matrica dispersione matrice W je matrica
W x x y
x y y
12
2
2
1
1
1
1
Označimo sa Q kvadratnu formulu
Q x m y m Wx m
y mx y
x
y
, 1
Zamenjujući W 1 i množeći, dobiće se da je
Q
x m x m y m y mx
x
x
x
y
y
y
y
1
122
2
2
2
2
.
Determinanta dispersione matrice W je
detW x y 2 2 21 .
Sad se zakon verovatnoće dvodimenzionalne slučajne promenljive (X,Y) može napisati u obliku
f x yW
eQ
,det
1
2
1
2
.
Ovaj rezultat ukazuje na to da višedimenzionalnu Normalnu raspodelu treba proučavati preko matrice i odgovarajućih kvadratnih formi.
Regresione krive kod Normalne raspodele
Da bi se odredila regresiona kriva za Y u odnosu na X, treba iz uslovnog zakona verovatnoća
f y x e
y
y
y myy
xx mx
/
1
1 22
1
2 2 1 22
odrediti očekivanu vrednost. Kako je to zakon verovatnoća Normalne raspodele, onda je očekivana vrednost jednaka
m x m x my
y
xx2
,
tako da je regresiona kriva skup tačaka
xy m x my
y
x
x
;
,
a to su tačke na pravoj koja nije ništa drugo nego srednja kvadratna regresiona prava.
Na sličan način bi odredili i drugu regresionu krivu za promenljivu X u odnosu na Y.
Ako X Y, ima Normalnu raspodelu, tada se regresione krive svode na srednje kvadrate regresione prave.
y m x m
y m x m
y
y
x
x
y
y
x
x
i
1
,
Pored toga rezidijumske varijanse su jednake
y x y
x y x
/
/
2 2 2
2 2 2
1
1
Vidi se da rezidijumska varijansa za Y, pod uslovom da je X=x, ne zavisi od vrednosti x i ista je za svaku vrednost. Ako je
0, rezidijumska varijansa za Y je
jednaka čistoj varijansi promenljive Y, a to znači da nam poznavanje vrednosti za X, neće dati nikakvu informaciju o vrednosti promenljive Y. U tom slučaju X i Y su stohastički nezavisne.
Sa druge strane, ako je 2 1 , tada je rezidijumska
varijansa za Y jednaka nuli, a to znači da ćemo, na osnovu vrednosti X, moći tačno da odredimo vrednost Y. U tom slučaju između X i Y postoji linearna zavisnost.
Naravno, analogni zaključci na osnovu rezidijumske varijanse, važe i za drugu promenljivu X, pod uslovom da je Y=y.
Višedimenzionalna Normalna raspodela
Označimo sa b vektor kolonu sa k konstantnih elemenata
b
b
b
bk
1
2
a sa A pozitivno definitnu (simetričnu) matricu reda k x
k.
A
a a
a a
k
k kk
11 1
1
...
... ... ...
...
Za slučajnu promenljivu X X X k 1 ,..., rećićemo da ima k-dimenzionalnu Normalnu raspodelu, ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
f x x Kek
x b A x b
1
1
2,...,
,
pri čemu je x vektor kolona
x
x
xk
1
a K je tako izabrana konstanta da je integral po celom k-dimenzionalnom prostoru jednak jedinici.
Funkcija f x xk1 ,..., je nenegativna za svako x Rk . Pošto je matrica A pozitivno definitna, onda je kvadratna forma za svako x nenegativna, pa je
f x x Kk1 ,..., ,
što znači da je funkcija f x xk1 ,..., ograničena.
Da bi odredili konstantu K, prvo ćemo rešiti integral
K e dx dx
x b A x b
k* ... ...
1
21
Za svaku pozitivno definitnu matricu A postoji
jedna matrica C, takva da je C AC I
pri čemu je I jedinična matrica. Izvršićemo smenu promenljivih preko transformacije određene matricom C.
x b C y ,
gde je y vektor kolona
y
y
yk
1
novih promenljivih.
U tom slučaju, kvadratna forma u eksponentu podintegralne funkcije svodi se na oblik
x b A x b y C ACy y y '
Jakobijan ove transformacije je
J Cmod det
Tada se posmatrani integral svodi na
K C e dy dyy y
k* mod det ... ,...,
1
21
,
odnosno
K C e dy
C e dy
C
yi
i
k
i
yi
ii
k
* mod det ...
mod det
mod det (
1
22
1
2
2
1
2 )k / 2
Iz relacije C AC I ,
sledi da jedet det det C A C 1,
odnosno
detdet
CI
A2
,
tako da je
mod detdet
CA
1
Posmatrani integral će imati vrednost
KA
k* /
det
12 2
Tražena konstanta K je recipročna vrednost ovog integrala, tj.
KK
A k 12 2
*/det
Sada zakon verovatnoća k-dimenzionalne Normalne raspodele možemo napisati u obliku
f x xA
ek k
x b A x b
1 2
1
2
2,...,
det/
(3.33)
U zakonu verovatnoće (3.33) pojavljuje se vektor b i matrica A. Utvrdićemo šta, ustvari, predstavljaju ove vrednosti i to tako što ćemo odrediti prve i druge
momente slučajne promenljive X X X k 1 ,..., .
Očekivana vrednost X jednaka je
E X E X E X x e dx dxk
x b A x b
k
1
1
21,..., ... ...
Uvodeći smenux Cy b ,
očekivana vrednost postaje
E XA C
Cy b e dy dyk
y y
k
det mod det... .../2 2
1
21 .
Očekivana vrednost i-te komponente Xi biće
E X y b e dy dy
be dy dy
b
i k i i
y jj
k
k
ik
y jj
k
k
i
1
2
2
2
1
22
11
2
1
22
11
/
/
... ...
... ...
Zato je očekivana vrednost
E X b b bk 1 2, ,..., .
Da bi odredili dispersionu matricu promenljive X X X k 1 ,..., , posmatraćemo očekivanu vrednost
matrice
X E X X E X X E X X E Xi i j j
( )( ),
kao matricu očekivanih vrednosti njenih elemenata.
Uvodimo smenu X CY E X ,
pri čemu je C matrica takva da je C AC I .
Tada se zakon verovatnoća slučajne promenljive Y Y Yk 1 ,..., svodi na
f y y e ek k
y jj
kyi
i
k
1 2
1
22
1
2
2
1
1
2
1
2, ... , /
Odavde se može odrediti očekivana vrednost
E Y Y y y e dy dyi j i j
yl
kl
k
... ...1
2
2
21
1 .
Ako je i=j, onda je očekivana vrednost
E Yi2 1 ,
a ako je i j , onda je
E YYi j 0,
tako da je očekivana vrednost slučajne promenljive Y Y Yk 1 , ... , jednaka jediničnoj matrici, tj.
E Y Y I .
Pošto je
X E X CY ,
onda je
E x E X X E X C E Y Y C C C
.
Iz relacije C AC I
sledi da je
A C C 1 1
,
odnosno,
A C C 1,
tako da je, konačno, tražena matrica, ustvari, jednaka inverznoj matrici matrice A, tj.
E X E X X E X A
1
.
Kako smo sa W označavali dispersionu matricu, onda znači da je
W A 1.
Dobijene rezultate ćemo sumirati u sledeće tvrđenje:
Ako je zakon verovatnoća k-dimenzionalne slučajne promenljive dat funkcijom
f x x Kek
x b A x b
1
1
2, ... ,
,
onda je
K
Ak
det/2 2 ,
očekivana vrednost slučajne veličine X je vektor b, a dispersiona matrica je matrica A 1 . Obrnuto, ako je dat vektor očekivanih vrednosti
E X E X E X k 1 ,..., ,
i pozitivno definitna dispersiona matrica W, tada postoji višedimenzionalni zakon verovatnoća dat funkcijom
f x x
Wek k
x E X W X E X
1 2
1
211
2, ... ,
det /
tako da je očekivana vrednost vektora X jednaka očekivanoj vrednosti E(X), a dispersiona matrica je matrica W, f x xn( , )1 je zakon verovatnoće višedimenzionalne Normalne raspodele.
funkcija generatrisa, 176funkcija raspodele, 179gama raspodela, 175koeficijent korelacije, 195,
198, 199, 201marginalni zakoni
verovatnoća, 199nezavisne slučajne
promenljive, 175, 180, 187, 199
normalna raspodela, 191očekivana vrednost, 172,
181, 182, 199, 202, 207, 208, 209, 210
regresione krive, 203slučajnih promenljivih, 176,
185, 192uslovna verovatnoća, 184zaključivanja, 170zakon verovatnoća, 170, 172,
174, 177, 178, 180, 181, 185, 188, 190, 191, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 202, 204, 206, 208, 209, 210
zakon verovatnoća k-dimenzionalne slučajne promenljive, 209
3.4. MODELI RASPODELA SLU^AJNIH PROMENLJIVIH U SPSS PAKETU
Binomna raspodela
Na primeru modela Binomne raspodele pokazaćemo kako možemo lako odrediti verovatnoće iz raspodele. Na identičan način, samo birajući odgovarajuću funkciju, možemo to činiti i za ostale raspodele.
Po startovanju SPSS programa, vidimo da na ekranu pored standardnog Windows menija imamo i dva prozora !Output1 i Newdata.
U Newdata prozor smeštamo podatke, dok ćemo u "Output1" prozoru posmatrati izvršenje komandi koje zadajemo SPSS-u, a zatim i dobijati izveštaje o
rezultatima obrade. Podaci u SPSS paketu se predstavljaju u obliku tabele, s tim što kolone predstavljaju promenljive, dok redovi predstavljaju slučajeve.
Binomnu raspodelu obeležavamo sa X: B(n;p), dakle možemo videti da binomna raspodela traži dva parametra,
n - broj ponavljanja i
p - verovatnoća uspeha u svakom pojedinačnom ponavljanju.
Recimo da želimo da predstavimo model raspodele 10 bacanja novčića, a kako je novčić pravilan, to je i verovatnoća pojavljivanja "pisma" 0.5. Dakle posmatramo raspodelu B(10, 0.5).
Ovaj problem rešavamo u SPSS-u na sledeći način.
1. 1. Definišemo varijablu ”k-broj uspeha”
2. 2. Upisujemo vrednosti u kolonu ”k-broj uspeha”
3. 3. Zadajemo izračunavanje nove varijable koja će predstavljati kumulativnu vrednost binomne raspodele
4. 4. Podešavanje načina prikazivanja rezultata
5. 5. Grafički prikaz rezultata
1. korak: Prvo treba da definišemo varijablu koja će sadržati vrednosti za ”k-broj uspeha”. U meniju Data biramo opciju Define variable.... Upisujemo naziv
promenljive ”k-broj uspeha” i kliknemo na OK. Tako se kreirala prva varijabla.
2. korak: U kolonu “k-broj uspeha” upisujemo vrednosti od 1 do 10.
3. Korak: Iz menija Transformations biramo opciju Compute (Izračunaj). Upisujemo naziv promenljive u koju želimo da smestimo rezultat izračunavanja. Sa liste funkcija biramo funkciju CDF.BINOM(q,n,p) koja izračunava vrednost binomne raspodele. Prefiks CDF označava funkciju raspodele (CDF - cummulative distribution function). Upisujemo parametre funkcije i klikom na OK zadajemo izračunavanje izraza. U ovom slučaju to su 10, 0, 4
4. Korak: Dobili smo vrednosti raspodele u novoformiranoj koloni. Međutim, one su prikazane kao celi brojevi. Moramo podesiti format novoformirane kolone. Ponovo biramo opciju Define variable, a zatim sa Type biramo izgled kolone. Upisaćemo širinu polja 10 (Width) sa 8 decimalnih mesta.
Sada možemo pogledati konačan rezultat koji smo dobili.
5. Korak: Ukoliko dobijene vrednosti želimo grafički da predstavimo, iz menija Graphs biramo jedan od mnoštva tipova grafikona koji su nam dostupni u SPSS-u.
Ostale diskretne raspodele
Za izračunavanje binomne raspodele koristili smo funkciju CDF.BINOM. Za sve funkcije raspodele važi da prefiks CDF označava kumulativnu funkciju raspodele, prefiks IDF (inverse distribution functions) inverznu funkciju s tim da to ne važi za diskretne raspodele. Takođe prefiks RV (random value) se koristi da bi se na slučajan način generisale vrednosti koje odgovaraju određenoj raspodeli. Još imamo i prefiks NCDF koji označava ne-centralne raspodele i to samo za beta, hi-kvadrat, F i Studentovu raspodelu.
Geometrijska raspodela
Izborna funkcija:
CDF.GEOM(q,a)
RV.GEOM(a)
i parametra:
a - verovatnoća postizanja uspeha u pojedinačnom pokušaju
dobićemo željene vrednosti za geometrijsku raspodelu
Hiper-geometrijska raspodela
Funkcijama:
CDF.HYPER(q,a,b,c)
RV.HYPER(q,a,b,c)
i parametrima:
a - ukupan broj objekata u modelu crne-kutije
b - broj objekata slučajno izvučenih iz crne-kutije bez zamene
c - broj objekata sa različitim osobinama
q - broj objekata sa različitim osobinama između izvučenih objekata.
odredićemo Hiper-geometrijsku raspodelu
Svi parametri moraju biti celi brojevi. Parametri b i c moraju biti manji ili jednaki a.
Negativna Binomna raspodela
Biramo funkcije:
CDF.NEGBIN(q,a,b)
RV.NEGBIN(a,b)
i parametre:
a - broj uspešnih pokušaja
b - verovatnoća postizanja uspeha u pojedinačnom pokušaju
q - broj pokušaja potrebnih pre a uspešnih.
Poisonova raspodela
Biramo funkcije:
CDF.POISSON(q,a)
RV.POISSON(a)
i parametar:
a - mora biti pozitivan
Poisonova raspodela se koristi u modeliranju raspodela prebrojavanja, npr. u saobraćaju, broj vozila, biologiji broj insekata itd.
Funkcije neprekidnih raspodela
Postupak dobijanja neprekidnih raspodela u SPSS-u je veoma sličan kao kod diskretnih raspodela. Prikazaćemo ga na primeru Normalne raspodele.
1. 1. Definišemo varijablu q
2. 2. Upisujemo vrednosti u kolonu q
3. 3. Zadajemo izračunavanje nove varijable koja će predstavljati kumulativnu vrednost Normalne raspodele
4. 4. Podešavanja načina prikazivanja rezultata
5. 5. Grafički prikaz rezultata.
1. korak: Iz menija Data biramo opciju Define variable, upisujemo naziv promenljive.
2. korak: Upisujemo vrednosti promenljive.
3. korak: Iz menija Transformations biramo opciju Compute (Izračunaj). Upisujemo naziv promenljive u koju želimo da smestimo rezultat izračunavanja, u našem slučaju naziv varijable je ”normalna”.
4. korak: Dobili smo vrednosti raspodele za zadate vrednosti u novoformiranoj koloni ”normalna”. Kao i kod ostalih raspodela moramo podesiti format nove kolone da bi prikazivala više od 2 decimale. Kada to učinimo dobijamo ovakav izgled ekrana.
5. korak: Kako su u pitanju neprekidne raspodele, za grafički prikaz je sada neodgovarajući tip grafikona ”bar”, već ćemo koristiti tip ”line”.
Na slici vidimo kako izgleda ekran SPSS-a kada izaberemo opciju Line iz menija Graph. Trebamo da odredimo šta će nam biti X, a šta Y osa. Za X određujemo promenljivu ”vrednost”, dok linija na grafikonu predstavlja vrednosti promenljive ”normalna”.
Normalna raspodela
Biramo funkcije:
CDF.NORMAL(q,a,b)
IDF.NORMAL(p,a,b)
RV.NORMAL(a,b)
i parametre:
a - parametar lokacija, bilo koji realan broj
b - parametar veličine, pozitivan realan broj
Normalna raspodela je simetrična oko srednje vrednosti i najšire se koristi u statistici.
Beta raspodela
Biramo funkcije:
CDF.BETA(q,a,b)
IDF.BETA(p,a,b)
RV.BETA(a,b)
NCDF.BETA(q,a,b,c)
i parametre:
a, b - parametari oblika, oba pozitivna
c - parametar necentralnosti, mora biti veći ili jednak 0
Košijeva raspodela
Biramo funkcije:
CDF.CAUCHY(q,a,b)
IDF. CAUCHY(p,a,b)
RV. CAUCHY(a,b)
i parametre:
a - parametar lokacije
b - parametar veličine
Košijeva raspodela je simetrična u odnosu na parametar lokacije a, i ima sporo opadajući kraj.
Hi -kvadrat raspodela ( c 2 )
Biramo funkcije:
CDF.CHISQ(q,a)
IDF. CHISQ(p,a)
RV. CHISQ(a)
NCDF.CHISQ(q,a,c)
i parametre:
a - stepen slobode
c - parametar necentralnosti, mora biti veći ili jednak 0
Hi-kvadrat je specijalni slučaj Gama raspodele.
Eksponencijalna raspodela
Biramo funkcije:
CDF.EXP(q,a)
IDF.EXP(p,a)
RV.EXP(a)
i parametar:
a - parametar veličine
Eksponencijalna raspodela je specijalni slučaj Gama raspodele i koristi se za predviđanje dužine života.
Gama raspodela
Biramo funkcije:
CDF.GAMMA(q,a,b)
IDF. GAMMA(p,a,b)
RV. GAMMA(a,b)
i parametre:
a - parametar oblika
b - parametar veličine
Gama raspodela se koristi u teoriji redova i kontroli zaliha.
Laplasova raspodela
Biramo funkcije:
CDF.LAPLACE(q,a,b)
IDF. LAPLACE(p,a,b)
RV. LAPLACE(a,b)
i parametre:
a - parametar lokacije
b - parametar veličine
Laplasova raspodela je simetrična oko 0 sa eksponencijalno opadajućim krajevima. Naziva se još i dupla eksponencijalna raspodela.
Logisti č ka raspodela
Biramo funkcije:
CDF.LOGISTIC(q,a,b)
IDF. LOGISTIC(p,a,b)
RV. LOGISTIC(a,b)
i parametre:
a - parametar lokacije
b - parametar veličine
Lognormalna raspodela
Biramo funkcije:
CDF.LNORMAL(q,a,b)
IDF. LNORMAL(p,a,b)
RV. LNORMAL(a,b)
i parametre:
a, b - parametri moraju biti pozitivni
Koristi se za modele raspodela veličine čestica, veličine protoka voda, koncentracije vazdušnih zagađivača i vremena otkaza uređaja.
Pareto raspodela
Biramo funkcije:
CDF.PARETO(q,a,b)
IDF. PARETO(p,a,b)
RV. PARETO(a,b)
i parametre:
a - parametar početka
b - parametar oblika
Oba parametra moraju biti pozitivni. Pareto raspodela se koristi u ekonomiji.
Uniformna raspodela
Biramo funkcije:
CDF.UNIFORM(q,a,b)
IDF. UNIFORM(p,a,b)
RV. UNIFORM(a,b)
i parametre:
a, b - parametar a mora biti manji ili jednak b
Pored ostalih primena koristi se za prikazivanje greške zaokruživanja.
Studentova raspodela
Biramo funkcije:
CDF.T(q,a)
IDF. T(p,a)
RV. T(a)
i parametre:
a - stepen slobode (parametar oblika)
F-raspodela
Biramo funkcije:
CDF.F(q,a,b)
IDF.F(p,a,b)
RV.F(a,b)
i parametre:
a, b - stepeni slobode, mora biti pozitivan broj
Weibull-ova raspodela
Biramo funkcije:
CDF.WEIBULL(q,a,b)
IDF. WEIBULL(p,a,b)
RV. WEIBULL(a,b)
i parametre:
a, b - moraju biti pozitivni.
binomna raspodela, 211SPSS, 211
4. RASPODELE NEKIH FUNKCIJA SLU^AJNIH PROMENLJIVIH
Osnovu primene teorije verovatnoće u rešavanju realnih problema, predstavljaju određene funkcije slučajnih promenljivh i njihove raspodele. Mi ćemo se ovde, ukratko, upoznati sa nekim od tih funkcija i njihovim raspodelama.
Error! No index entries found.
4.2. LINEARNE FUNKCIJE
Razmatraćemo k-dimenzionalnu slučajnu promenljivu
X X X= ( ,..., )1 k
Linearnom funkcijom slučajnih promenljivih zovemo funkciju datu u obliku
L X X Xk k= a + a +...+ a ,1 1 2 2
pri čemu su a a a1 2 k, ,..., , određene konstante.
Označimo sam mk1 2, m ,..., (4.1)
očekivane vrednosti slučajnih promenljivih X X X k1 2, , ..., , a sa
W ij= ,
i = 1, 2,..., k
j = 1, 2,..., k,
njihovu dispersionu matricu. Pri tome je
ij i i j jE X m X m
Prvo ćemo odrediti očekivanu vrednost i varijansu linearne funkcije L date sa (4.1).
Kad je ( )X X k1 , ..., prekidna slučajna promenljiva sa zakonom verovatnoća
( , ,..., ); ... ,x x xi i kik i i ik1 1 2 2 1 2 p
gde je i1 2 k = , ,...; i = , ,...; i = , ,...,1 2 1 2 1 2 onda je očekivana vrednost linearne funkcije
E L a x pi
j ijj
k
ii i i
k
k( ) ... ...
1
1 21 11
a x pi i i i ikiki1 1 1 2 1 1 211 1
... ...
... ... ... ak kik i i i ikikik
x p2 1 1 2
1 11
a m a mk k1 1 ...
odnosno,
E L a mi ii
k
( ) 1 (4.2)
Kad je ( )X X k1 ,..., neprekidna slučajna promenljiva sa zakonom verovatnoća
f(x1, ..., xk),
očekivana vrednost linearne funkcije će biti
E L a x x x dx dxi ii
k
k k( ) ... ( ) ( ,..., ) ...
11 1 f
a mi i
i
k
1
Tako smo dobili sledeći rezultat:
Očekivana vrednost linearne funkcije slučajnih promenljivih X X X k1 2, ,..., je jednaka istoj linearnoj funkciji njihovih očekivanih vrednosti.
Varijansa linearne funkcije L je jednaka
2 2( ) ( ) ,L E L E L
odnosno,
2
1 1
2
( )L E a X a mi ii
k
i ii
k
E a X mi ii
k
i( )1
2
Kad izraz u zagradi kvadriramo i iskoristimo osobine očekivane vrednosti dobićemo da je
2 2 2
1 1 1( ) ( ) ( )( )L a E X m a a E X m X mi i i
i
k
i
k
i j i i j jj
k
(4.3)
a ai ii
k
i j
k
ij iji j
k2 2
1
Specijalno, ako su X X X k1 2, ,..., nezavisne slučajne promenljive onda je varijansa linearne funkcije jednaka
2 2 2
1( ) ,L ai i
i
k
tj. varijansa linearne funkcije promenljivih, jednaka je linearnoj funkciji njihovih varijansi.
Pretpostavimo da su X i Y dve nezavisne slučajne promenljive. Tada je njihov zajednički zakon verovatnoća jednak proizvodu marginalnih
f x y x y( , ) = f ( ) f ( ).1 2
Očekivana vrednost proizvoda ove dve funkcije biće jednaka
E X Y xyf x y dxdy( ) ( , )
xf x dx yf y dy E X E Y1 2( ) ( ) ( ) ( )
Lako se uveriti da će ova osobina važiti i za proizvod bilo koje dve funkcije nezavisnih slučajnih promenljivih:
Očekivana vrednost proizvoda dve funkcije nezavisnih slučajnih promenljivih jednaka je proizvodu njihovih očekivanih vrednosti, tj.
E g X L Y E g X E L Y( ) ( ) ( ) ( ) . (4.4)
Metodom potpune indukcije se lako zaključuje da ova osobina važi i za proizvod k-nezavisnih promenljivih.
Rezultat (4.4) primenićemo na funkciju generatrisu. Neka su g t t1 2( ) i g ( ) funkcije generatrise nezavisnih slučajnih promenljivih X i X1 2 tj.
g t E e tX1
1( ) =
g t E e tX2
2( ) =
Tada je funkcija generatrisa zbira ovih promenljivih X + X1 2 jednaka
g t E e E e eX X t X t X t( ) = ( )1 2 1 2
E e E e g t g tX t X t1 21 2( ) ( )
Potpunom indukcijom, ovaj se rezultat može proširiti i na k nezavisnih slučajnih promenljivih.
Funkcija generatrisa zbira k nezavisnih slučajnih promenljivih jednaka je proizvodu njihovih funkcija generatrise.
Posmatrajmo slučajnu promenljivu Xi koja ima
Normalnu raspodelu sa parametrima mi i i2
. Funkcija generatrisa za promenljivu
Y i i= X - m
imaće oblik
g t e e dyity
y
i( )
1
2
2
2 2
g t ei
t i( ) 1
22 2
(4.5)
za i=1,2,...,k
Sad ćemo posmatrati nezavisne slučajne promenljive X X X k1 2, ,..., sa Normalnim raspodelama. Funckija generatrisa za
Y a X m a X m X mk k k 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ... ( ) a
biće jednaka proizvodu funkcija generatrisa (4.5)
g t g a t g a t g a tk k( ) ( ) ( )... ( ) 1 1 2 2
exp ...1
22
1 12
2 22 2t a a ak k
Očekivana vrednost slučajne promenljive Y je jednaka nuli, a njena varijansa je
21 1
22 2
2 2 a a k k a...
pa se funkcija generatrisa može napisati u obliku
g t et
( ) 1
22 2
odakle sledi tvrđenje: Slučajna promenljiva Y ima Normalnu raspodelu.
Linearna funkcija slučajnih promneljivih X X X k1 2, ,...,
L a X Xk k 1 1 ... , a
ima očekivanu vrednost
E L a m mk k( ) ... , 1 1 a
i varijansu
212
12 2 2( ) ...L a k k a
Slučajna promenljiva L E L- ( ) se svodi na funkciju
L E L a X m X mk k k ( ) ( ) ... ( ),1 1 1 a
Ako su X X X k1 2, ,..., , nezavisne slučajne promenljive sa Normalnim raspodelama, onda smo videli da će njena funkcija generatrisa imati oblik
g t et L
( )( )
1
22 2
što znači:
Linearna funkcija
L a X Xk k 1 1 ... a
k nezavisnih slučajnih promenljivih sa Normalnom raspodelom, imaće takođe Normalnu raspodelu sa očekivanom vrednošću
E L a m mk k 1 1 ... a
i varijansom
212
12 2 2( ) ...L a k k a
gde smo sa m mk k1 ,.., i ,..,12 2 označili očekivane
vrednosti i varijanse slučajnih promenljivih X X X k1 2, ,..., .
funkcija generatrisa, 241, 242, 243
linearne funkcije, 238, 239, 240
nezavisne slučajne promenljive, 240, 242, 243
očekivana vrednost, 238, 239slučajnih promenljivih, 238,
239, 241, 243zakon verovatnoća, 240
4.3. KVADRATNA FUNKCIJA
Poznato je da je Hi-kvadrat raspodela određena zakonom verovatnoća
k x C x en n
n x
( ) ,
21
2 0 za x
pri čemu je Cn konstanta, tako određena da je integral
k x dxn ( ) .0
1
Funkcija generatisa, za ovakvu slučajnu promenljivu je funkcija
g t E e C e x e dxtXn
tXn x
( ) ( )
21
21
0
C x e dxn
n t x
21
1 2
2
0
( )
Uvodeći smenu
y t x= ( - ) ,1 2
posmatrani integral se svodi na
g t t C dyn
n
n y
( ) = ( - ) y e ,2 2 2
01 2
1
odnosno,
g t tn
( ) = ( - ) ,-21 2
jer je
C dyn
n y
y e2 2
0
1
1
Dakle, funkcija generatrisa slučajne promenljive X koja ima Hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode data je funkcijom
g t tn
( ) = ( - )-21 2 (4.6)
Posmatraćemo, sad, n nezavisnih slučajnih
promenljivih X X n1 ,..., koje imaju standardizovanu Normalnu raspodelu N(0;1). Sa X ćemo označiti slučajnu promenljivu koja predstavlja zbir kvadrata slučajnih
promenljivih X X n1 ,..., .
Kad su X X X n1 2, ,..., nezavisne slučajne promenljive sa Normalnom raspodelom N(0;1), onda slučajna promenljiva
X X X X n 12
22 2...
ima Hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode.
Dokaz. Potražićemo funkciju generatrisu za slučajnu promenljivu
Y X i 2 .
To će biti funkcija
g t E e e e dxiY t x t
x
( ) ( )
1
2
22
2
1
2
1 2 2
2
e dx
t x
( )
Uvodeći smenu ( - ) =1 2t x y i koristeći činjenicu da je integral
1
21
2
2
e dx
x
lako se dobije da je
g t ti ( ) ( )
1 21
2
odakle se zaključuje: Slučajna promenljiva Y i= X 2
ima Hi-kvadrat raspodelu sa jednim stepenom slobode.
Po pretpostavci su X X X n1 2, ,..., nezavisne sa
Normalnom raspodelom, a to znači da su i X X X n12
22 2, ,..., ,
takođe nezavisne promenljive. Funkcija generatrisa njihovog zbira biće jednaka proizvodu njihovih funkcija generatrisa. Zato je, za slučajnu promenljivu
X X X X n 12
22 2...
funkcija generatrisa jednak
g t g t g t tn( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 2 g
( ) ,1 2
1
2
1t
i
n
odnosno,
g t tn
( ) ( ) ,
1 2 2
a to je ustvari funkcija generatrisa Hi-kvadrat raspodele. Time je dokazano navedeno tvrđenje.
Pretpostavimo da dve promenljive X i Y imaju Hi-kvadrat raspodelu sa n i m stepeni slobode i da su međusobno nezavisne. Tada njihov zbir
Z = X + Y
ima takođe Hi-kvadrat raspodelu sa (n+m) stepeni slobode.
Dokaz. Neposredno iz funkcije generatrisa za Z, sledi navedeno tvrđenje.
funkcija generatrisa, 245, 246
nezavisne slučajne promenljive, 245
slučajnih promenljivih, 245zbir kvadrata, 245
4.4. STUDENTOV KOLI^NIK
Za slučajnu promenljivu X kažemo da ima Studentovu t-raspodelu, ako je njen zakon verovatnoća dat funkcijom
s x Cx
nn n
n
( ) ( ) , ( ; ).
12 1
2 za x
Posmatraćemo slučajnu promenljivu Y sa Normalnom raspodelom N(0;1) i slučajnu promenljivu Z koja ima Hi-kvadrat raspodelu sa n stepeni slobode. Neka su to nezavisne slučajne promenljive.
Tada slučajna promenljiva
X nY
Z
ima Studentovu t-raspodelu sa n stepeni slobode.
Dokaz. Zakon verovatnoća za dvodimenzionalnu slučajnu promenljivu (y,z), dat je funkcijom
f y z C y e en y y
( , )
21
2 2
2
(4.7)
Funkcija raspodele slučajne promenljive X definisana je preko verovatnoće
F x P X x( ) ;
Za posmatrani slučaj, to će biti funkcija
F x P nY
Zx P Y
x Z
n( )
f y z dydz( , ) ,
yx z
n
pri čemu y uzima vrednosti iz intervala ( ; ) , z iz
intervala (0; ) . Zamenjujući u gornji interval funkciju f(y,z) datu sa (4.7), dobićemo
F x C y e e dzn y z
x yn
( )
21
2
2
2
0
dy
Uvodeći smenu
zt y
ny
n , dz dt
dobija se
F x C y e e dtn y t y
nx
( )
1
2 2
2
0
2 dy
odnosno
F x C y e dyn yx t
n( )( )
1
2 2
2
0
1 dt
Posle smene
uy t
n
t
ndy
21
1
21
2 2
( ), ( ) du
dobiće se
F x Ct
nu e du
n nu
x
( ) ( ) ,
1
2 1
21
1
2
01 dt
F x C
tn
nx
( ) ( ) ,
1
2
2 1
21 dt
jer integral
u d dun
u
1
2
0
ima konačnu vrednost. Funkcija raspodele može se
napisati u oblik F x C
tn
nx
( ) ( ) ,
1
2
2 1
2 dt
a to nije ništa drugo nego funkcija raspodele slučajne promenljive koja ima Studentovu t-raspodelu sa n stepeni slobode. Time je završen dokaz navedenog tvrđenja.
Neka su slučajne promenljive
Y X n, X , X ,...,1 2
nezavisne slučajne promenljive sa Normalnom raspodelom N(0;1).
Studentov količnik je slučajna promenljiva
X
Y
nX X n
112 2...
koja ima Studentovu t-raspodelu sa n stepeni slobode.
funkcija raspodele, 249funkcija raspodele slučajne
promenljive, 249nezavisne slučajne
promenljive, 247, 249zakon verovatnoća, 247
4.5. FISHER - SNEDEKOROV F - KOLI^NIK
Slučajna promenljiva X ima F-raspodelu sa n1 2 i n stepeni slobode ako je njen zakon verovatnoće dat funkcijom.
f C x n n xn n n n
n n n
1 2 1 2
12
1
2 1
1 22
10; ; ( ) , ( ; )
za x
Pretpostavimo da su slučajne promenljive Y i Z
nezavisne i da imaju Hi-kvadrat raspodelu sa n1 2 i n stepeni slobode. Posmatraćemo slučajnu promenljivu kao količnik ove dve promenljive
Xn
n
Y
Z 2
1
Zajednički zakon verovatnoća za (Y, Z) biće funkcija
f y z C y z en n y z
( , )
12
1 22
12
Uvodeći smenu
xn
n
y
zz 2
1
, , u
u posmatrani zakon verovatnoća dobiće se
g x u C x u en n n u n
nx
,
1
12
1 1 22 2
1 1
2
koji predstavlja zajednički zakon verovatnoća za X i U. Integrišući ovu funkciju po u u granicama od nula do beskonačnosti, dobićemo marginalni zakon verovatnoća za promenljivu X u obliku
f C x n n xn n n n
n n n
1 2 1 2
12
1
2 1
1 22 0; ; ( ) , ( ; )
za x
tako da se može tvrditi:
Ako su Y i Z dve nezavisne slučajne promenljive sa Hi-kvadrat raspodelama, onda količnik
Xn
n
Y
Z 2
1
ima F-raspodelu sa n i n1 2
stepeni slobode.
Posmatrajmo dve grupe nezavisnih slučajnih promenljivih
X , X ,...,1 2 X n1
Y Yn1 2, Y ,...,2
Neka svaka od njih ima Normalnu raspodelu N(0;1). Tada količnik
Xn
X X
nY Y
n
n
1
11
12 2
212 2
1
2
( )
( )
ima F-raspodelu sa n1 2 i n stepeni slobode.
nezavisne slučajne promenljive, 251
slučajnih promenljivih, 251zakon verovatnoća, 250
