Kleinert Chap20

Quandoquidem inter nos sanctissima divitiarum maiestas

Since the majesty of wealth is most sacred with us

Juvenal (55120), Sat. 1, 113

20

Integrales de Trayectoria y Mercados Financieros

Una aplicacion importante de las integrales de trayectoria se encuentra en los mer-cados financieros. El precio de los valores fluctua como funcion del tiempo y si elnumero de participantes en el mercado es alto, las fluctuaciones son muy azarosas.Luego, la dependencia temporal de los precios puede modelarse mediante las fluc-tuaciones de las trayectorias.

20.1 Propiedades de las Fluctuaciones de los ValoresFinancieros

Sea que S(t) representa el precio de una accion o algun otro valor financiero. Paratiempos muy grandes, i.e., si la recopilacion de datos es lenta, el promedio sobre elprecio de las acciones tiene un comportamiento temporal que se puede aproximar porpartes mediante el uso de exponenciales. Esta es la razon por la cual, generalmente,los precios de las acciones se grafican en una escala logartmica. Esto se ilustramejor con ayuda de la grafica del ndice industrial Dow-Jones de los ultimos 60 anosen la Fig. 20.1. Las fluctuaciones del ndice tienen cierto ancho medio llamado lavolatilidad del mercado. Para tiempos grandes, la volatilidad no es constante sinoque cambia estocasticamente, como se muestra en la Fig. 20.2 [3] para el caso de losdatos del ndice S&P 500 en el intervalo de 1984-1997. En particular, por otro lado,hay grandes cambios luego de un colapso mercantil.

En un principio, en la teora a desarrollar, ignoraremos estas fluctuaciones ysupondremos que la volatilidad es constante. En la literatura se pueden encontrarvarias propuestas que intentan incluir estas fluctuaciones [3][79], en la Seccion 20.4discutiremos un modelo que ha llamado la atencion.

La volatilidad tiene aproximadamente la forma de una distribucion tipo Gama,como se observa en la Fig. 20.3.

En General, una accion individual sera mas volatil que un ndice mercantil prome-dio, particularmente cuando la compana asociada es pequena y solo se comercializanalgunas acciones diarias.

1507

1508 20 Integrales de Trayectoria y Mercados Financieros

1940 1960 1980 2000

10000

100

200

500

1000

2000

5000

Figure 20.1 Grafica logartmica del ndice industrial Dow Jones en los ultimos 80 anos.

Hay cuatro secciones aproximadamente lineales, dos con crecimiento exponencial y dos

con estancamiento [1].

1.0

5.0

a

b

100

500

S&P 500

Volatility 103

1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

Figure 20.2 (a) Indice S&P 500 para un perodo de 13 anos, desde el 1o. de Enero

de 1984 hasta el 14 de Diciembre de 1996, almacenado cada minuto y (b) volatilidad en

intervalos de 30 minutos (tomado de la Ref. [2]).

20.1.1 Aproximacion Armonica a las Fluctuaciones

En la aproximacion de menor orden, el precio de las acciones S(t) obedece unaecuacion diferencial estocastica con crecimiento exponencial

S(t)

S(t)= rS + (t), (20.1)

20.1 Propiedades de las Fluctuaciones de los Valores Financieros 1509

0.000 0.001 0.002 0.0030.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Probability distribution x 10-3

Normalized volatility

Empirical volatility Gauss distr. fit

Log-normal distr. fit

Gamma distr. fit

Figure 20.3 Comparacion del ajuste Gaussiano, logartmico normal y distribucion Gama

de la volatilidad en un intervalo de 300 minutos (tomado de la Ref. [80]). La distribucion

log-normal normalizada tiene la forma Dlognormal(z) = (22z2)1/2e(log z)2/22 . La

distribucion Gama sera discutida mas tarde en la Subseccion 20.1.5.

donde rS es la razon de crecimiento y (t) es una variable de ruido blanco definidapor las funciones de correlacion

(t) = 0, (t)(t) = 2(t t). (20.2)

La desviacion estandar es una medida exacta de la volatilidad del precio de lasacciones. El cuadrado de la volatilidad v 2 se conoce como la varianza.

La cantidad dS(t)/S(t) es la llamada la renta de los activos. De los datos fi-nancieros, normalmente, la renta se obtiene para intervalos temporales finitos ty no para intervalos infinitesimales dt, esto en virtud de que los precios S(t) seobtienen para intervalos temporales discretos tn = t0 + nt. Como ejemplo, haynumerosas tablas de precios diarios S(tn) al cierrre del mercado, de los cuales se ob-tiene la renta diaria S(tn)/S(tn) = [S(tn+1)S(tn)]/S(tn). El conjunto disponiblede valores S(tn) se conoce como la serie temporal de los precios.

Para una eleccion apropiada de las escalas temporales a ser estudiadas, lahipotesis de un ruido blanco cumple muy bien con las fluctuaciones actuales delos precios de los bienes, como se ilustra en la Fig. 20.4.

Para el logaritmo del precio de las acciones o activos1

x(t) log S(t) (20.3)

esto implica una ecuacion diferencial estocastica con crecimiento lineal [14, 15, 16, 17]

x(t) =S

S 1

22 = rx + (t), (20.4)

donde

rx rS 1

22 (20.5)

1En la construccion del logaritmo, se supone que el precio de las acciones o activos S(t) no tienedimensiones, i.e., usamos solo el valor numerico del precio en la moneda relevante.


[sec1]

S()

Figure 20.4 Espectro de fluctuacion de la razon de cambio DM/Dolar EUA como funcion

de la frecuencia, en unidades de 1/seg, mostrando que el ruido que regula la ecuacion

diferencial estocastica (20.1) es aproximadamente blanco (tomado de la Ref. [13]).

es el termino de deriva del proceso [comparemos con la Ec. (18.405)]. En la Fig. 20.5se muestra un conjunto tpico de soluciones de la Ec. (20.4).

x(t) logS(t)

t2 4 6 8 10

-1

1

2

3

4

5

6

Figure 20.5 Comportamiento logartmico del precio de las acciones de acuerdo a la

ecuacion diferencial estocastica dada por la relacion (20.3).

Las diferencias finitas x(tn) = x(tn+1)x(tn) y los diferenciales correspondien-tes dx se conocen como el logaritmo de la renta.

En las funciones de la variable estocastica x(t), el termino extra 2/2 hallado enla Ec. (20.5), se obtiene del Lema de Ito, Ec. (18.413). Recordemos que el desarrolloformal en terminos de potencias de dt:

dx(t) =dx

dSdS(t) +

1

2

d2x

dS2dS2(t) + . . .

=S(t)

S(t)dt 1

2

[

S(t)

S(t)

]2

dt2 + . . . (20.6)

puede tratarse en la misma forma que el desarrollo de la Ec. (18.426), utilizando laregla nemotecnica dada por la Ec. (18.429), de acuerdo con la cual podemos hacerla sustitucion x2dt x2dt = 2, y por lo tanto

[

S(t)

S(t)

]2

dt x2(t)dt = 2. (20.7)


Las potencias de orden superior en dt no contribuyen a las fluctuaciones Gaussianasdebido a que estas fluctuaciones son de orden superior en dt. La razon es la mismapor la cual las tasas constantes rS y rx, halladas en las expresiones S(t)/S(t) y x(t),no aparecen en la relacion [S(t)/S(t)]2 dt= x2(t)dt.

En la lista del precio de las acciones, la relacion (20.5) implica que si hacemosun ajuste mediante una lnea recta al logaritmo de los precios, cuya pendiente es rx,el crecimiento promedio del precio de las acciones sera

S(t) = S(0) erSt = S(0)erxt+ t

0dt (t) = S(0) e(rx+2/2)t. (20.8)

Por supuesto, este resultado es una consecuencia directa de la Ec. (18.425).

La descripcion del logaritmo del precio de las acciones mediante fluctuacionesGaussianas alrededor de una lnea es solo una aproximacion burda al precio real delas acciones. La volatilidad depende del tiempo. Observandola a intervalos tem-porales pequenos, por ejemplo cada minuto o cada hora, la volatilidad tiene unadistribucion en la cual los eventos frecuentes muestran una distribucion exponencial[ver la Subseccion 20.1.6]. Por otro lado, los eventos excepcionales muestran unaprobabilidad mucho mayor que la obtenida mediante una distribucion Gaussiana.La distribucion de probabilidad observada tiene un decreciento abrupto comparadocon el decrecimiento suave de las distribuciones Gaussianas. Este fenomeno fue ob-servado por primera vez por Pareto en el siglo XIX [18], retomado por Mandelbroten los anos 1960s [19] y estudiado recientemente por varios autores [20, 22]. Lateora necesita un refinamiento considerable. Como una generalizacion intermedia,ademas de los decrecimientos abruptos en terminos de alguna potencia, introducire-mos los llamados decrecimientos semi-abruptos, los cuales decrecen mas rapido quetoda potencia tal como ex

axb, para valores arbitrariamente pequenos de a > 0 y

para todo b > 0. Veremos mas tarde, en la Seccion 20.4, que los decrecimientossemi-abruptos de la distribucion financiera pueden verse como una consecuencia delas fluctuaciones Gaussianas con fluctuaciones en las volatilidades. Antes de estodebemos ajustar los datos fenomenologicamente utilizando varias distribuciones noGaussianas y explorar las consecuencias.

20.1.2 Distribuciones de Levy

Siguiendo a Pareto y Mandelbrot podemos intentar ajustar las distribuciones delcambio de los precios Sn = S(tn+1) S(tn), la renta Sn/S(tn) y el logaritmo dela renta xn = x(tn+1) x(tn) para un cierto intervalo temporal t = tn+1 tn enforma aproximada y con ayuda de las distribuciones de Levy [19, 22, 23, 24]. Porbrevedad, a partir de este momento, para representar cualquiera de las diferenciasanteriores usaremos la variable generica z. Las distribuciones de Levy se definenmediante la transformada de Fourier

L2(z)

dp

2eipz L2(p), (20.9)


donde

L2(p) exp[

(2p2)/2/2]

. (20.10)

Para una distribucion arbitraria D(z), la descomposicion de Fourier tendra la forma

D(z) =

dp

2eipzD(p) (20.11)

donde las componentes de Fourier D(p), tendran la forma exponencial

D(p) eH(p), (20.12)

aqu H(p) tiene un significado similar al Hamiltoniano de las intregrales de trayec-toria de la estadstica cuantica. Por analoga definimos tambien H(z) tal que

D(z) = eH(z). (20.13)

Una definicion equivalente del Hamiltoniano es

z/

1/x1+

z/

P (z)

P (z)1 + 2.7

1 + 4

Figure 20.6 Izquierda: decrecimiento de Levy del ndice S&P 500 (logaritmo de la renta

al minuto) graficado en funcion de z/. Derecha: Grafica logaritmo-logaritmo mostrando

un decrecimiento siguiendo una ley de potencias del ndice S&P 500 (logaritmo de la renta

al minuto) (tomado de la Ref. [23])

eH(p) eipz. (20.14)

Para las distribuciones de Levy dadas en la Ec. (20.9), el Hamiltoniano es

H(p) =1

2(2p2)/2. (20.15)

La distribucion Gaussiana se recobrara en el lmite 2 donde el Hamiltonianosera igual a 2p2/2.


Para valores grandes de z, la distribucion de Levy dada por la Ec. (20.9) decrecesiguiendo la ley de potencias caracterstica

L2(z) A2

|z|1+ . (20.16)

Este comportamiento, es el decrecimiento abrupto de la distribucion discutido an-teriormente. Tambien se le conoce como ley de potencias del decrecimiento (de-crecimiento Paretiano o decrecimiento de Levy). La magnitud del decrecimiento seencuentra aproximando la integral de la Ec. (20.9) en el lmite de valores grandesde z, donde solo contribuyen los valores pequenos de los momenta en la forma:

L2(z)

dp

2eipz

[

1 12(2p2)/2

]

z

A2

|z|1+ , (20.17)

donde

A2 =

2

0

dp

p cos p =

2sin(/2) (1 + ). (20.18)

Los datos obtenidos en el mercado de las acciones se ajustan mejor con un valorde entre 1.2 y 1.5 [13], por simplicidad, la mayor parte del tiempo usaremos elvalor = 3/2, de donde obtenemos

A3/22 =

1

4

3/22

. (20.19)

El desarrollo de Taylor de la transformada de Fourier de la Ec. (20.10) dara la serieasintotica

L2(z) =

n=0

(1)nn!

0

dp

npn

2ncos pz =

n=0

(1)n+1n!

n

2n(1 + n)

sin 2

|z|1+ . (20.20)

Para fines practicos esta serie no es util, puesto que diverge. En particular, seencuentra que la serie no puede reproducir la distribucion Gaussiana en el lmite 2.

Hay tambien una distribucion asimetrica de Levy cuyo Hamiltoniano es

H,,(p) =1

2|p| [1 i(p)F,(p)], (20.21)

donde (p) es la funcion escalon definida en la Ec. (1.316), tambien

F,(p) =

{

tan(/2) para 6= 1,(1/) log p2 para = 1. (20.22)

El comportamiento para valores grandes de |z| de esta distribucion esta dado una vezmas por la Ec. (20.17), con la excepcion de que el prefactor dado por la Ec. (20.18)estara multiplicado por el termino (1 + ).


20.1.3 Distribuciones Truncadas de Levy

Matematicamente una propiedad no deseable de las distribuciones de Levy es queel ancho de las fluctuaciones diverge para valores donde < 2, esto se debe al hechode que el segundo momento

2 = z2

dz z2 L2(z) =

d2

dp2L2(p)

p=0

(20.23)

es infinito. Si deseamos describir datos que muestran un decrecimiento abrupto paravalores grandes del logaritmo de la renta pero que tienen un ancho finito, debemoshacer que el comportamiento de estos datos sea al menos el de un decrecimientocuasi abrupto para valores grandes del logaritmo de la renta. Ejemplos de esto sonlas llamadas distribuciones truncadas de Levy [22]. Las cuales se definen como

L(,)2 (z)

dp

2eipz L

(,)2 (p) =

dp

2eipzH(p) , (20.24)

donde el Hamiltoniano, que generaliza al Hamiltoniano de Levy dado en laEc. (20.15), sera

H(p) 2

2

2

(1 )[

( + ip) + ( ip) 2]

= 2(2 + p2)/2 cos[ arctan(p/)]

2(1 ) . (20.25)

El comportamiento asintotico de la distribucion truncada de Levy difiere de laley de potencias de la distribucion de Levy, dada en la Ec. (20.17), por el factorexponencial ez, el cual garantiza que tanto el ancho como todos los momentosson finitos. Una estimacion burda de los terminos principales se obtiene nuevamentede la transformada de Fourier del termino de menor orden del desarrollo de la funcionexponencial eH(p):

L(,)2 (z) e2s

dp

2eipz

{

1 s[

( + ip) + ( ip)]}

z

e2s

(1 + )sin()

se|z|

|z|1+ , (20.26)

donde

s 2

2

2

(1 ) . (20.27)

La integral se obtiene directamente de las formulas [25]

dp

2eipz ( + ip) =

(z)

()ez

z1+,

dp

2eipz ( ip) = (z)

()e|z|

|z|1+ ,(20.28)


y de la identidad de la funcion Gama2

1

(z) = (1 + z) sin(z)/. (20.29)

El desarrollo completo se integra con ayuda de la formula [26]

dp

2eipz (+ ip)( ip)

= (2)/2+/21

|z|1+/2+/2

1

()W()/2,(1++)/2(2z)1

()W()/2,(1++)/2(2z)para

z > 0,

z < 0,(20.30)

donde las funciones de Whittaker W()/2,(1++)/2(2z) se pueden expresar enterminos de la funcion hipergeometrica confluente de Kummer 1F1(a; b; x), dadaen la Ec. (9.45), en la forma

W,(x) =(2)

(1/2 )x+1/2ex/21F1(1/2 + ; 2+ 1; x)

+(2)

(1/2 + )x+1/2ex/21F1(1/2 ;2+ 1; x), (20.31)

como puede verse de las Ecs. (9.39), (9.46) y la Ref. [27]. Para = 0, solo el casoz > 0 en las Ecs. (20.30) dara una integral diferente de cero, la cual, con ayuda dela expresion W/2,1/2+/2(z) = z

/2ez/2, se reduce a la relacion del lado izquierdode la Ec. (20.28). Usando el valor = encontramos

dp

2eipz (2 + p2) = (2)/2

1

|z|1+1

()W0,1/2+(2|z|). (20.32)

Usando la sustitucion

W0,1/2+(x) =

2z

K1/2+(x/2), (20.33)

tendremos

dp

2eipz (2 + p2) =

(

2

|z|

)1/2+1

()K1/2+(|z|). (20.34)

Para el caso = 1, donde K1/2(x) = K1/2(x) =

/2xex, este resultado sereduce a la expresion

dp

2eipz

1

2 + p2=

1

2e|z|. (20.35)

2M. Abramowitz and I. Stegun, op. cit., ver la Formula 6.1.17.


Sumando sobre todos los terminos en el desarrollo de la funcion exponencial eH(p):

L(,)2 (z) e2s

dp

2

{

1 +

n=1

(s)nn!

[

( + ip) + ( ip)]n

}

eipz (20.36)

obtenemos el verdadero comportamiento asintotico

L(,)2 (z) z e

(22)s(1 + )sin()

se|z|

|z|1+ , (20.37)

el cual difiere de la estimacion hallada en la Ec. (20.26) por un factor constante(para mayores detalles ver el Apendice 20A) [28]. As los decrecimientos son semi-abruptos.

Contrario a las distribuciones Gaussianas, las cuales estan completamentedefinidas por el ancho , las distribuciones truncadas de Levy contienen tresparametros , y . El ajuste optimo a las fluctuaciones de dos conjuntos deprecios del mercado se muestran en la Fig. 20.7. Para el ndice S&P 500 graficamoslas distribuciones acumulativas

P(z) =

zdz L

(,)2 (z

) = 1 P


z z

P> 0 la distribucion Student-Tsallis tiene decrecimientos abruptos queobedecen la ley 1/z1/ = 1/z1/(q1). Un ajuste al logaritmo de la renta para lasacciones 10 NYSE se muestra en la Fig. 20.13.

Es de notar que la exponencial dada en la Ec. (20.84) se puede escribir comouna superposicion de distribuciones Gaussianas. Con ayuda de la formula integraldada en la Ec. (2.499) encontramos

ez2/22 =

1

(1/)

0

ds

ss1/eses z

2/22 . (20.94)

Luego de un cambio apropiado de variables, podemos reescribir

ez2/22 =

1/

(1/)

0

dv

vv1/evevz

2/2 , = 2/. (20.95)

Este resultado es una superposicion de funciones Gaussianas evz2/2, cuyas varianzas

inversas v = 1/2 tienen como funcion de peso la distribucion Gama de la variablev, donde = 1/:

DGama,1/ (v) =1

(1/)1/vev. (20.96)

5Ver la Formula 0.154.6, en I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, op. cit..


- 4 - 2 2 4

- 10

- 8

- 6

- 4

- 2

0

Probability

z

= 0.43

= 0.44

= 0.41

log D(z)

z

logD(z)

Figure 20.13 Izquierda: Grafico logartmico de la exponencial normalizada dada en

la Ec. (20.84) (distribucion Student-Tsallis) para = 0 (Gaussiana), 0.2, 0.4, 0.6, para

todo = 1. Derecha: Ajuste del logartmico de la renta de las acciones 20 NYSE para

escalas temporales de 1 a 3 minutos de la distribucion (tomado de la Ref. [60]). La lnea

punteada representa la distribucion Gaussiana.

20.1.8 Distribucion de Tsallis en el Espacio del Momentum

Cuando hicimos el ajuste de la volatilidad para las distribuciones de los ndicesS&P 500 en la Fig. 20.3, observamos que el ajuste optimo se obtuvo mediante unadistribucion Gama. Siguiendo la discusion de la ultima seccion, observamos que enel espacio del momentum la exponencial dada en la Ec. (20.86) es

eH,(p) ep2/2 =(

1 + p2/2)1/

, (20.97)

misma que tiene la descomposicion de una distribucion Gama. En analoga con laEc. (20.94), reescribimos la expresion en la forma

ep2/2 =

1

(1/)

0

ds

ss1/eses p

2/2 , / = 1/, (20.98)

y cambiamos las variables de integracion para obtener

ep2/2 =

()

0

dv

vvevevp

2/2, = 1/, = / = 1/. (20.99)

Este resultado es una superposicion de distribuciones Gaussianas cuyas varianzas,v = 2, estan pesadas por la distribucion Gama dada en la Ec. (20.69):

ep2/2 =

0dv DGama, (v)e

vp2/2, = 1/, = / = 1/. (20.100)

El promedio de la distribucion Gama es v = / = [recordemos la Ec. (20.71)],

de tal forma que el lado izquierdo se puede escribir como evp2/2 .


Los cumulantes de menor orden en el Hamiltoniano H,(p) =12!c2 p

2 14!c4 p

4 +. . . son

c2=

, c4=3

2, c6=

5!!

3

(

2+3223)

, c8=7!!

3

(

2+32+3+nu4)

.(20.101)

Para el caso donde = 1/2T 2 y = 1, estos cumulantes se reducen a la distribucionde Boltzmann dada en la Ec. (20.80).

La superposicion dada en la Ec. (20.99) tiene la siguiente transformada de Fourier

D,(z) =1/

(1/)

0

dv

vv1/ev

12v

ez2/2v , = 1/. (20.102)

la cual es una superposicion de Gaussianas cuyas varianzas, v = 2, tienen la formade la distribucion Gama dada en la Ec. (20.69) centrada alrededor de v = 1/ y conancho (v v)2 = 1/2. As esta dada por la razon = (v v)2/v2. Recordandola Ec. (20.71), podemos ver que determina la kurtosis de la distribucion, la cualsera = 6.

En la Ec. (20.102), la integral sobre v se puede hallar utilizando la Formula(2.559), de donde obtenemos

D,(z) =

(1/)

12

(

z2

2

)1/21/42K1/1/2(

2z), = 1/.(20.103)

Si = 1 y = 1/2T 2, utilizando la Ec. (1.349) recobramos la distribucion deBoltzmann dada en la Ec. (20.83).

El comportamiento de K(z) para valores pequenos de z es (1/2)() (z/2) ,

donde Re > 0 [recordemos la Ec. (1.351)]. Si suponemos que < 2, de laEc. (20.103) obtenemos el valor de la funcion de distribucion en el origen:

D,(0) =

(1/ 1/2)

(1/). (20.104)

Se puede obtener el mismo resultado directamente de la Ec. (20.102). Este valordiverge en = 2/(1 2n) (n = 0, 1, 2, . . .).

20.1.9 Distribucion de Boltzmann para Partculas Relativistas

Una distribucion importante, desde el punto de vista fsico, en el espacio del momen-tum es la distribucion de Boltzmann eE(p) para partculas con energas relativistas,E(p) =

p2 +M2 , donde es el inverso de la temperatura 1/kBT . La exponencial

se puede expresar como una superposicion de distribuciones Gaussianas

e

p2+M2 =

0dv (v)e

v(p2+M2)/2 (20.105)

con funcion de peso

(v)

2v3e/2v. (20.106)


Este es un caso especial de la distribucion de Weibull

DW(x) =b

(a/b)xa1ex

b

, (20.107)

la cual tiene los momentos

xn = ((a+ n)/b)/(a/b). (20.108)

20.1.10 Distribuciones de Meixner

Se pueden obtener ajustes muy razonables a los datos financieros mediante las distribuciones deMeixner [34, 35], las cuales en el espacio del momentum estaran dadas por:

M(z) =[2 cos(b/2)]

2d

2a(2d)| (d+ iz/a) |2 exp [bz/a] , (20.109)

M(p) =

{

cos(b/2)

cosh [(ap ib)/2]

}2d

. (20.110)

Estas distribuciones tienen el mismo comportamiento de decrecimiento semi-abrupto que elmostrado por las distribuciones truncadas de Levy

M(z) C|z|e|z| para z , (20.111)

donde

C =[2 cos(b/2)]

2d

2a(2d)

2

a2d1e2d tan(b/2), = 2d 1, ( b)/a. (20.112)

Los momentos son

= ad tan(b/2), 2 = a2d/2 cos2(b/2), s =

2 sin(b/2)/d, = [2 cos b]/d, (20.113)

de tal forma que, de los momentos podemos calcular los parametros en la siguiente forma:

a2 = 2(

2 3s2)

, d =1

s2 , b = 2 arcsin(

s

d/2)

. (20.114)

Como un ejemplo de un conjunto de parametros de la distribucion, encontramos que utilizandoel conjunto de valores

a = 0.029828, b = 0.12716, d = 0.57295, z = 0.0011243. (20.115)

se obtiene un buen ajuste a los datos diarios del ndice Nikkei-225. La curva tiene que desplazarsela cantidad z en el eje z para que z + sea igual a z. Esta distribucion de Meixner se hautilizado como una valoracion de las opciones en la Ref. [35].

Las distribuciones de Meixner se pueden ajustar muy bien a la distribucion truncada de Levy enel intervalo de valores grandes de la probabilidad. En el ajuste observamos que tanto la varianza2 como la kurtosis no son los mejores parametros que ayudan a que ambas distribucionescoincidan. En el caso simetrico, las distribuciones coincidiran si en el intervalo de valores grandesde la probabilidad utilizamos el mismo valor y curvatura al origen para ambas curvas, tal comopuede verse en la Fig. 20.14.


En el caso asimetrico tambien necesitamos que tanto la primera como la tercera derivadacoincidan. Las derivadas de la distribucion de Meixner son:

M(0) =22d12(d)

a(2d),

M (0) = b22d12(d) [1 d(d)]

a2(2d),

M (0) = 22d2(d)(d)

a3(2d),

M (3)(0) = b2

22d2(d)[

6(d) 6d2(d) d(3)(d)]

a4(2d),

M (4)(0) =22d2(d)

[

62(d) + (3)(d)]

a5(2d), (20.116)

donde (n)(z) dn+1 log (z)/dzn+1, son las funciones Poli-gama.

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 20

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

z/

M(z)

Figure 20.14 Comparacion del ajuste optimo de la distribucion de Meixner con la

distribucion truncada de Levy. Una de ellas (curva en trazos cortos) tiene la misma

volatilidad y kurtosis . La otra (curva en trazos largos) tiene la misma ordenada y

curvatura al origen. Los parametros son 2 = 0.280 y = 12.7, como en el cumulativo

del lado izquierdo de la Fig. 20.7. La distribucion de Meixner con el mismo 2 y tiene

los parametros a = 2.666, d = 0.079 y b = 0, los parametros de las distribuciones con el

mismo valor y curvatura al origen son a = 0.6145, d = 1.059 y b = 0. Sin embargo, el

intervalo de valores muy grandes de no se puede ajustar muy bien, como puede verse en

las distribuciones cumulativas para valores de z del orden de 10 graficadas en la Fig. 20.7.


20.1.11 Distribuciones Hiperbolicas Generalizadas

Otra distribucion no Gaussiana propuesta en la literatura es la llamada distribucion hiperbolicageneralizada.6 Lo mismo que la distribucion truncada de Levy y la distribucion Meixner, estadistribucion tiene una forma analtica simple tanto en el espacio z como en el espacio p:

HG(z) =

(

2 2)/2

e z

1/2

2

[

2+ z2]/21/4K1/2

(

2+ z2

)

K

(

2 2) (20.117)

y

G(p) =

(

2 2)

K

(

2 2)

K

(

2 ( + ip)2)

[

2 ( + ip)2]

, (20.118)

la ultima expresion define al Hamiltoniano

HG(p) logG(p). (20.119)

A diferencia de la primera distribucion, este conjunto de funciones no es cerrado como funcion de laevolucion temporal. Las distribuciones para un tiempo posterior t se obtienen de la transformadade Fourier de la funcion eH(p)t. Para la distribucion truncada de Levy y la distribucion Meixnerel factor t se puede absorver en los parametros de las funciones (2 t2 en el primer caso yd td en el segundo). Para las distribuciones hiperbolicas generalizadas, esto ya no es valido, yaque la funcion eHG(p)t = [G(p)]t incluye potencias de orden superior de las funciones de Bessel,para las cuales no se puede hallar analticamente la transformada de Fourier. Por lo tanto, paradescribir la evolucion temporal completa debemos cerrar el conjunto de funciones agregando todaslas transformadas de Fourier de la funcion eHG(p)t. En la practica, esto no es un problema serio,simplemente nos encontramos que al calcular la transformada numerica de Fourier los calculosnumericos son muy lentos.

El comportamiento asintotico de las funciones hiperbolicas generalizadas tiene un decrecimientosemi-abrupto. Del comportamiento para valores grandes de z de la funcion de Bessel K(z)

/2zez, obtenemos

HG(z)

2

(

2 2)/2

e z

1/2

2

1

K

(

2 2)z1ez. (20.120)

Utilizando la variable

2 2, podemos hallar un nuevo desarrollo en una serie depotencias de p tal como el hallado en la Ec. (20.54), de donde obtenemos los primeros dos cumu-lantes:

c1 = 2

K1+()

K(); (20.121)

c2 =2

K1+()

K()+24

2

{

K2+()

K()[

K1+()

K()

]2}

. (20.122)

Utilizando la identidad [50]

K+1(z) K1(z) =2

zK(z), (20.123)

6Ver las Refs. [36][74].


el ultimo resultado se puede expresar totalmente en terminos de

= () =K1+()

K()(20.124)

en la forma

c2 =2

+

24

3[

+ 2 (1 + ) 2]

. (20.125)

En general, la asimetra de la distribucion es mnima, lo cual implica que los valores de c1 sonpequenos y a la vez obtenemos que tambien es pequena. Por lo tanto, resulta muy util introducirla varianza simetrica

2s 2/, (20.126)

con lo cual tendremos

c1 = s, c2 = 2 = 2s +

2

[

4

2+ 2 (1 + )

2

2s 2s

]

. (20.127)

Los cumulantes c3 y c4 se pueden escribir en forma mas compacta en la forma

c3 =

[

34

2+ 6 (1 + )

2

22s 34s

]

+ 3{

2 (2+)6

4+[

4 (1+) (2+) 22] 4

42s 6 (1 + )

2

24s + 2

6s

}

(20.128)

y

c4 = 4 =

34

2+

62

2(1 + ) 2s 34s

+ 62{

2 (2+)6

4+[

4 (1+) (2+) 22] 4

42s 6 (1 + )

2

24s + 2

6s

}

+ 4{

[

4 (2+) (3 + ) 2] 8

6+[

4 (1+) (2+) (3 + ) 2 (5 + 4) 2] 6

62s

2[

(1 + ) (11 + 7) 22] 4

44s + 12 (1 + )

2

26s 38s

}

. (20.129)

El primer termino del cumulante c4 es igual al producto de 4s por la kurtosis de la distribucion

simetrica

s 34

24s+

62

22s(1 + ) 3. (20.130)

Sustituyendo el valor de 2s hallado en la Ec. (20.126), obtenemos

s 3

r2()+ (1 + )

6

r() 3. (20.131)

Dado que para todas las funciones K(z) de Bessel el comportamiento para valores grandes de zes K(z)

/2zez, mientras que el comportamiento para valores pequenos de z sera K(z) ()/2(z/2), para = 0 la kurtosis tendra el valor inicial de 3/ y disminuye monotamente a0 para . De esta forma, un valor alto para la kurtosis se puede obtener solo con un valorpequeno del parametro .

El primer termino en el cumulante c3 es s4s y los primeros dos terminos en el cumulante c4

son s4s + 6

(

c3/ s4s)

. Para una distribucion simetrica con una cierta varianza 2s y kurtosiss utilizamos el parametro < 3/s, mientras que de la solucion de la Ec. (20.131) hallamos elvalor de . El resultado lo sutituimos en la Ec. (20.126) para hallar

2 =2s

(). (20.132)


Si los valores de la kurtosis son grandes, entonces esta no es un buen parametro para determinar ladistribucion hiperbolica generalizada. Obtendremos un mejor ajuste reproduciendo correctamenteel tamano y forma de la distribucion cerca del maximo y permitiendo algunas desviaciones de losdecrecimientos de la distribucion, de los cuales depende sensitivamente la kurtosis.

Para distribuciones que son solo ligeramente asimetricas, lo cual resulta ser normalmente elcaso, basta con resolver las ecuaciones asimetricas anteriores y determinar aproximadamente elvalor del parametro , usando para ello la distorsion s = c3/

3, de la primer lnea de la Ec. (20.128)tenemos

sss

. (20.133)

Esta aproximacion puede mejorarse interativamente reintroduciendo en la segunda ecuacion dela relacion (20.127) para determinar, de la varianza 2 de los datos, un valor mejor de 2s . Luego,con la Ec. (20.129) y con la kurtosis de los datos, determinamos un mejor valor para s, y asde manera sucesiva.

Para el ajuste optimo cerca del origen, donde las probabilidades son grandes, utilizamos lasderivadas

G(0) =

(

)1/2

k, (20.134)

G(0) = G(0), (20.135)

G(0) = (

)3/2

k+ +

(

)1/2

2(

1 2 22)

k,

G(3)(0) = 2

[

3

(

)3/2

k+ +

(

)1/2

2(

3 6 22)

]

k, (20.136)

donde hemos usado la abreviatura

k 12

K1/2()

K(). (20.137)

La distribuciones hiperbolicas generalizadas donde = 1, se conocen como distribucioneshiperbolicas . Los precios de las opciones de estas distribuciones se pueden calcular utilizando losparametros apropiados en forma interactiva en una pagina electronica (ver la Ref. [51]). Otrocaso especial utilizado frecuentemente en la literatura es = 1/2, en cuyo caso hablamos de ladistribucion Gaussiana normal inversa, abreviada normalemte NIGs.

20.1.12 Factor de Debye-Waller para FluctuacionesNo Gaussianas

Al final de la Seccion 3.10 calculamos el valor esperado de la funcion exponencialePz de una variable Gaussiana, la cual nos permite hallar el factor de Debye-Waller de la dispersion de Bragg (3.311). Este factor fue introducido en la fscadel estado solido para describir la intensidad de los picos de Bragg obtenidos delas fluctuaciones termicas de las posiciones atomicas. El factor se obtiene de larepresentacion de Fourier

ePz

dz122

ez2/22ePz =

dz

dp

2e

2p2/2eipz+Pz = e2P 2/2.(20.138)


Hay una generalizacion simple de esta relacion a las distribuciones no Gaussianas,la cual tiene la forma

ePz

dz

dp

2eH(p)eipz+Pz = eH(iP ). (20.139)

20.1.13 Integral de Trayectoria para una DistribucionNo Gaussiana

Calculemos las propiedades del proceso mas simple, cuyas fluctuaciones obedecenuna distribucion general no Gaussiana. Consideremos la ecuacion diferencial es-tocastica del logaritmo del precio de los valores

x(t) = rx + (t), (20.140)

donde la variable de ruido (t) obedece una funcion de distribucion arbitraria. Enla Ec. (20.140), la constante de deriva rx esta definida de manera unica solamente siel promedio de la variable de ruido es cero: (t) = 0. Las distribuciones generalesdiscutidas anteriormente pueden tener un promedio distinto de cero x = c1, elcual tendra que sustraerse de (t) para obtener rx. La discusion subsecuente seramas simple si imaginamos que en las distribuciones anteriores rx sustituye a c1, i.e.,si la serie de potencias del Hamiltoniano dado en la Ec. (20.54) se reescribe en lasiguiente forma:

H(p) Hrx(p) H(p)H (0)p+ irxp H(p) + irxp

irx p +1

2c2 p

2 i 13!c3p

3 14!c4 p

4 + i1

5!c5p

5 + . . . . (20.141)

As podemos trabajar simplemente con el desarrollo original dado en la Ec. (20.54)y al final hacemos el reemplazo

c1 rx. (20.142)

Podemos suponer que la ecuacion diferencial estocastica dada por la Ec.(20.140) es

x(t) = (t). (20.143)

Teniendo en mente el posterior reemplazo dado por la Ec. (20.142), la distribucionde probabilidad de los puntos extremos xb = x(tb) para las trayectorias que inicianen un cierto punto xa = x(ta) esta dada por una integral de trayectoria de la formavista en la Ec. (18.342):

P (xbtb|xata) =

D x(tb)=xb

x(ta)=xaDx exp

[

tb

tadt H((t))

]

[x ]. (20.144)

La funcion H() es el negativo del logaritmo de la distribucion de la renta [recorde-mos la Ec. (20.13)]

H() = log D(). (20.145)


Por ejemplo, para la distribucion truncada de Levy, de la Ec. (20.24) H() estara

dado por log L(,)2 () o para la distribucion de Boltzmann, de la Ec. (20.77) sera log B().

En la literatura matematica y en la integral de trayectoria, la norma sobre elruido

D D P [] = D e tbta

dt H((t))(20.146)

de la distribucion de probabilidad dada en la Ec. (20.144), se conoce como la normadel proceso x(t) = (t). La integral de trayectoria

x(tb)=xb

x(ta)=xaDx [x ] (20.147)

es llamada el filtro, el cual determina la distribucion de xb al tiempo tb para todaslas trayectorias x(t) que inician en xa al tiempo ta.

Una norma que difiere por la dada en la Ec. (20.146) solo por el termino dederiva

D = D P [ r] = D e tbta

dt H((t)r)(20.148)

es llamada norma equivalente. El cociente

D/D = e tbta[H(r)H()] (20.149)

es llamado la derivada de Radon-Nikodym. Para un ruido Gaussiano, tendremos

D/D = e tbta[r(t)r2t/2]. (20.150)

Si deseamos calcular el valor esperado de una funcion arbitraria f(x(t)), tenemosque hallar la separacion del filtro en el producto

[

x(tb)=xb

x(t)=xDx [x ]

]

[

x(t)=x

x(ta)=xaDx [x ]

]

, (20.151)

y evaluar una integral sobre f(x) con este filtro en la integral de trayectoria de laEc. (20.146). Usando las probabilidades P (xbtb|xata), obtenemos la integral

f(x(t)) =

dxP (xbtb|x t)f(x)P (x t|xata). (20.152)

Las funciones de correlacion de la variable de ruido (t), en la integral de trayec-toria de la Ec. (20.144), estan dadas por una generalizacion funcional directa de lasformulas dadas en las Ecs. (20.56). Para este proposito, expresamos la distribucion

de ruido P [] exp[

tbta dt H((t))]

en la Ec. (20.144) como una integral de trayec-toria de Fourier

P [] = Dp

2exp

{ tb

tadt [ip(t)(t)H(p(t))]

}

, (20.153)


y hacemos notar que las funciones de correlacion pueden obtenerse de la derivadasfuncionales

(t1) (tn) = (i)n

D Dp

2

[

p(t1)

p(tn)ei tbta

dt p(t)(t)

]

e tbta

dtH(p(t)).

Luego de n integraciones parciales, obtenemos

(t1) (tn) = in

D Dp

2ei tbta

dt p(t)(t)

p(t1)

p(tn)e tbta

dtH(p(t))

= in[

p(t1)

p(tn)e tbta

dtH(p(t))

]

p(t)0. (20.154)

Desarrollando la exponencial e tbta

dtH(p(t))en una serie de potencias, utilizando la

Ec. (20.54), encontramos inmediatamente las funciones de correlacion de menororden

(t1) Z1

D (t1) exp[

tb

tadt H((t))

]

= 0, (20.155)

(t1)(t2) Z1

D (t1)(t2) exp[

tb

tadt H((t))

]

= c2(t1 t2) + c21, (20.156)

(t1)(t2)(t3) Z1

D (t1)(t2)(t3) exp[

tb

tadt H((t))

]

= c3(t1t2)(t1t3)+ c2c1[(t1t2) + (t2t3)+(t1t3)] + c31, (20.157)

(t1)(t2)(t3)(t4) Z1

D (t1)(t2)(t3)(t4) exp[

tb

tadt H((t))

]

= c4(t1t2)(t1t3)(t1t4)+ c3c1[(t1t2)(t1t3) + 3 permutaciones cclicas]+ c22[(t1t2)(t3t4)+(t1t3)(t2t4)+(t1t4)(t2t3)]+ c2c

21[(t1t2) + 5 terminos pares] + c41, (20.158)

donde

Z

D exp[

tb

tadt H((t))

]

. (20.159)

Las funciones de correlacion de orden superior son una generalizacion obvia de laEc. (20.44). Las diferentes contribuciones del lado derecho de las Ecs. (20.156)(20.158) se distinguen por su estructura de interrelacion.

Notese que el termino proporcional a c3 en la funcion de correlacion de trespuntos dada en la Ec. (20.158) y los terminos proporcionales a c3 y c4 en la funcionde correlacion de cuatro puntos de la Ec. (20.158), no obedecen la regla de Wickdada en la Ec. (3.305) ya que contienen contribuciones que provienen de los terminosno Gaussianos ic3p3/3! c4p4/4! del Hamiltoniano de la Ec. (20.141).


20.1.14 Evolucion Temporal de la Distribucion

La funcional en la Ec. (20.144) puede representarse por una integral de Fourier,lo cual conduce a la integral de trayectoria

P (xbtb|xata)=

D

Dx Dp

2exp

{ tb

tadt

[

ip(t)x(t)ip(t)(t)H((t))]

}

. (20.160)

La integracion sobre la variable de ruido (t) implica hallar la transformada inversade Fourier de la forma dada por la Ec. (20.24) para cada instante temporal. Dedonde obtenemos

P (xbtb|xata) =

Dx Dp

2exp

{ tb

tadt [ip(t)x(t)H(p(t))]

}

. (20.161)

La integracion sobre todos los x(t) con puntos extremos fijos impone la condicion deque el momentum sea constante a lo largo de la trayectoria, con lo cual obtenemosuna sola integral sobre el momentum

P (xbtb|xata) =

dp

2exp [ip(xb xa) (tb ta)H(p)] . (20.162)

Dada una distribucion de ruido arbitraria D(z), obtenida de los datos financierospara una cierta frecuencia 1/t, identificamos el Hamiltoniano H(p) de la repre-sentacion de Fourier

D(z) =

dp

2eikzH(p), (20.163)

luego, para hallar la dependencia temporal de la distribucion sustituimos H(p) enla Ec. (20.162). El tiempo se medira entonces en unidades del intervalo t.

Para una distribucion truncada de Levy, el resultado sera

P (xbtb|xata) = L(,)2(tbta)(xb xa). (20.164)

Obtenemos entonces una distribucion truncada de Levy con ancho creciente. Elresultado para otras distribuciones es analogo.

Dado que la distribucion de la Ec. (20.162) depende solo de t = tb ta y x =xb xa, podemos reescribirla brevemente usando la forma

P (x, t) =

dp

2exp [ipx tH(p)] . (20.165)

20.1.15 Teorema del Lmite Central

Para valores grandes de t, la distribucion P (x, t) se parece cada vez mas a unadistribucion Gaussiana (ver la Fig. 20.18 para la distribucion de Boltzmann). Esteefecto es una consecuencia del teorema del lmite central de la mecanica estadstica,el cual afirma que la convolucion de un numero inifinitamente grande de funcionesde distribucion con ancho finito tiene como lmite una distribucion Gaussiana. Este


teorema se demuestra facilmente. Notemos simplemente que luego de un numeroentero t de convoluciones, la distribucion de probabilidad D(z), cuyo Hamiltonianoes H(p), tendra las componentes de Fourier [D(p)]t = etH(p), de tal manera que ladistribucion de probabilidad estara dada por

D(z, t) = dp

2eipzetH(p). (20.166)

Para valores grandes de t, la integral puede evaluarse en la aproximacion del puntode inflexion hallada en la Ec. (4.51). El momentum que extremiza la distribucionlo denotamos por pz, el cual estara determinado implcitamente por tH

(pz) = iz, yusando la notacion 2 = H (pz) obtenemos la distribucion Gaussiana

D(z, t) t grande

eipzztH(pz)

dp

2ei(ppz)zt

2(ppz)2/2=eipzztH(pz)

22ez

2/2t2

=e

2p2z/2tH(pz)22

e(zt2pz)2/2t2 . (20.167)

El mismo procedimiento se puede aplicar a la integral dada en la Ec. (20.165).

En la Fig. 20.15 se muestra la transicion de una distribucion de Boltzmann auna Gaussiana para el ndice S&P 500.

Si una distribucion tiene un decrecimiento abrupto |z|1, donde < 2,de tal forma que la volatilidad es infinita, el primer termino del Hamiltoniano,para valores pequenos de p, sera de la forma |p| y la aproximacion del punto deinflexion es regulada por este termino y no por el termino cuadratico p2. Para unadistribucion asimetrica los terminos principales en el Hamiltoniano son los de ladistribucion asimetrica de Levy dados en la Ec. (20.21), mas un posible terminolineal irp que tiene en cuenta la deriva, y el comportamiento asintotico respecto a zestara dado por la Ec. (20.17) incluyendo el factor extra (1 + ) [21].

-5 0 5

-4

-3

-2

-1

-5 0 5-4

-3

-2

-1

-5 0 5

-3

-2

-1

z in % z in % x in %

logP (z) logP (z) logP (z)

Figure 20.15 Ajuste mediante una distribucion Gaussiana al logaritmo de la renta S&P

500, los datos se han almacenado en intervalos de 60 min, 240 min y 1 da.

Si la distribucion no tiene segundos momentos, el teorema del lmite central noes valido. Estas distribuciones tienden a otro lmite, llamado distribucion estable de


Pareto-Levy . El Hamiltoniano tiene la forma generica dada en la Ec. (20.21), conla excepcion de un posible termino lineal de deriva adicional [21]:

H(p) = irp +H,,(p). (20.168)En este contexto, el parametro de Levy se conoce como el parametro de estabilidad .El parametro tiene que estar acotado en el intervalo (0, 2]. El parametro seconoce como el parametro de distorsion. En la Ref. [75] pueden verse ejemplosgraficos de D(z, 1).

La convergencia de variables que obedecen una distribucion con decrecimientoabrupto esta contenida en el teorema generalizado del lmite central .

20.1.16 Propiedad Aditiva del Ruido y del Hamiltoniano

Observemos ahora que a cada termino en el Hamiltoniano de la Ec. (20.141) lepuede corresponder un termino de ruido independiente en la ecuacion diferencialestocastica (20.140). De hecho, si la ecuacion diferencial tiene dos terminos de ruido

x(t) = rx + 1(t) + 2(t) (20.169)

cuyas fluctuaciones estan reguladas por dos Hamiltonianos diferentes, la distribucionde probabilidad dada en la Ec. (20.144) se reemplaza por

P (xbtb|xata)=

D1

D2

Dx exp[

tb

tadt[H1(1(t))+H2(2(t))

]

[xrx12].

Luego de una descomposicion de Fourier de la funcional , obtenemos

P (xbtb|xata) =

Dp1

Dp2

D1

D2

Dx

Dpe tbta

dt [ip(xrx12)]

exp{

tb

tadt [H1(p1) ip11(t) +H2(p2) ip22(t)]

}

,

de donde las integrales de trayectoria sobre 1(t) y 2(t) dan origen a

P (xbtb|xata)=

Dp

Dx exp{ tb

tadt [ipx irxpH1(p)H2(p)]

}

. (20.170)

Este resultado es la representacion integral de la Ec. (20.161), donde utilizamos elHamiltoniano combinado H(p) = irxp + H1(p) +H2(p), el cual se puede reescribircomo la integral dada en la Ec. (20.162). Reescribiendo esta integral como

P (xbtb|xata) =

dp12

dp22

eip1(xbxc)(tbta)[irxp+H1(p1)]eip2(xcxa)(tbta)H2(p2),(20.171)

vemos que la distribucion de probabilidad asociada con la suma de los dos Hamil-tonianos es la convolucion de las distribuciones de probabilidad individuales:

P (xbtb|xata) =

dxdxcP1(xbtb|xcta)P2(xctb|xata). (20.172)

De esta forma, podemos calcular, en forma separada, la distribucion de probabilidadasociada con las variables de ruido 1(p) y 2(p) y al final combinar los resultadosmediante una convolucion.


20.1.17 Formula de Levy-Khintchine

Algunas veces es de utilidad representar el Hamiltoniano en la forma integral de Fourier

H(p) =

dz eipzF (z). (20.173)

Debido al significado especial del termino lineal en H(p), el cual controla la deriva, este terminose elimina de la integral al reescribir la Ec. (20.173) como

Hr(p) = irp+

dz(

eipz 1 ipz)

F (z). (20.174)

La primer sustraccion asegura la propiedad Hr(0) = 0, la cual garantiza la normalizacion unitariade la distribucion. Esta representacion sustraida se conoce como la formula de Levy-Khintchine,mientras que la funcion F (z) es llamada el peso de Levy de la distribucion. Algunos autoreseliminan tambien el termino cuadratico, con lo cual

Hr(p) = irp+2

2p2 +

dz(

eipz 1)

F (z). (20.175)

Estos autores utilizan la funcion de peso F (z), la cual no tiene ni primer ni segundo momento, i.e.,

dz F (z)z = 0,

dz F (z)z2 = 0, para evitar la redundancia en la representacion.Notese que de acuerdo con el teorema del lmite central, dado en la Ec. (20.167), para tiempos

muy grandes la distribucion de probabilidad para x sera una Gaussiana. As, en la descomposicionde Levy-Khintchine dada en la Ec. (20.175) para el Hamiltoniano H(p) y para valores grandes det, solo los primeros dos terminos contribuyen a la distribucion:

P (x, t) t grande

e(xtr)2/2t2

22

. (20.176)

La norma de Levy se ha calculado explcitamente para muchas distribuciones no Gaussianas.Como un ejemplo observemos que el caso hiperbolico generalizado, donde 0, tiene la normade Levy [76]

F (z) =ez

|z|

{

1

2

0

dy

y

e

y+2|z|

J2(y) + Y 2 (

y)

+ e|z|

}

, (20.177)

donde J(z) y Y(z) son las funciones estandar de Bessel.La descomposicion del Hamiltoniano de acuerdo a la formula de Levy-Khintchine y la aditividad

del ruido asociado forman la base del teorema de Levy-Ito, el cual asegura que una ecuaciondiferencial estocastica arbitraria con Hamiltoniano dado por la Ec. (20.175) puede descomponerseen la forma

x = rxt+ G + 1 + >1, (20.178)

donde G es un ruido Gaussiano

1 =

|x|1

dz(

eipz 1)

F (z) (20.179)

i.e., es una superposicion de ruidos discretos llamado proceso puntual de Poisson, con discon-tinuidades menores o iguales a la unidad, y

>1 =

|x|1

dz(

eipz 1)

F (z) (20.180)

un ruido con una discontinuidad mayor que la unidad.


Consideremos el ruido mas simple del tipo 1, el cual se obtiene usando la funcion de peso deLevy FZ(z) = Z(z + Z), donde 0 < Z 1, en la Ec. (20.179), de tal forma que el Hamiltonianoes HZ(p) = Z(e

iZp 1). De acuerdo a la Ec. (20.11), la funcion de distribucion asociada DZ(z),sera

DZ(z) =

dp

2eipzeZ(e

ipZ1). (20.181)

Usando el desarrollo en potencias de eipZ de la segunda exponencial, obtenemos

DZ(z) =

dp

2eipz

n=0

eZnZn!nZe

ipnZ =

n=0

eZnZn!(z nZ). (20.182)

Esta funcion posee discontinuidades en nZ (n = 0, 1, 2, 3, . . .), cuya probabilidad obedece la dis-tribucion de Poisson

P (n, Z) = eZ

nZ

n!, (20.183)

la cual estara apropiamente normalizada a la unidad:

n=0 P (n, Z) = 1. Los valores esperadosde las potencias del numero asociado a la discontinuidad son

nk =

n=0

nkP (n, Z) = eZ (Zz)

keZ

n=0

P (n, Z) = eZ (Zz)

keZ =(Z + k)

(Z).

(20.184)As, n = Z , n2 = Z(Z +1), n3 = Z(Z +1)(Z +2), n4 = Z(Z +1)(Z +2)(Z +3),de tal forma que 2 = Z , s = 2/

Z y = 6/Z .

En la Fig. 20.16 se muestra una curva tpica del ruido. Una funcion de peso arbitraria de Levy

t

Figure 20.16 Ruido tpico de un proceso de Poisson.

F (z) para 1, puede verse siempre como la superposicion F (z) = 1

1dZ F (Z)(z Z), de tal

forma que la funcion de distribucion es una superposicion de ruidos de Poisson:

D(z) =

1

1

dZ F (Z)

n=0

eZnZn!(z nZ). (20.185)

20.1.18 Propiedades de Semi-grupo de las Distribuciones de losBienes

Una propiedad importante de la probabilidad dada en la Ec. (20.144) es que cumplecon la ecuacion de semi-grupo

P (xctc|xata) =

dxb P (xctc|xbtb)P (xbtb|xata). (20.186)


En el contexto estocastico esta propiedad se conoce como la ecuacion de Chapman-Kolmogorov o ecuacion de Smoluchowski . Es una propiedad general de un procesoque no tiene memoria. Estos procesos son llamados Markovianos [12]. Notese quela propiedad de semigrupo de la Ec. (20.186) implica la condicion inicial

P (xcta|xata) = (xb xa). (20.187)En la Fig. 20.17 mostramos que la propiedad dada por la Ec. (20.186) se cumple

razonablemente bien para las distribuciones experimentales de los activos, exceptopor pequenas desviaciones en la zona de baja probabilidad.

z

P> 0. La lnea a trazos es el contorno de

integracion desplazado para cruzar sobre el punto de inflexion ps.

tH(p,t). Para determinar su posicion notemos que, en el plano complejo p lassingularidades de la funcion H(p,t), hallada en la Ec. (20.348), seran cuando elargumento del logaritmo se anula. Estos puntos estan localizados en el eje imagi-nario p y se muestran en la Fig. 20.26. Las singularidades relevantes son aquellasque estan cerca del eje real. Estas singularidades estan localizadas en los puntos p+1y p1 , donde encontramos que el argumento del segundo logaritmo de la Ec. (20.348)se anula. Cerca de estos ceros podemos aproximar la funcion H(p,t) mediante eltermino singular:

H(p,t) 2v2t

log(p p1 ). (20.365)

En esta aproximacion, la posicion del punto de inflexion ps = ps(x) se determinapor la ecuacion

ix = tdH(p,t)

dp

p=ps

2v2

1

ps p+1, x > 0,

1

ps p1, x < 0.

(20.366)

Las soluciones se indican mediante cruces en la Fig. 20.26. Puede verse que la aproxi-macion dada por la Ec. (20.366) puede utilizarse dado que para valores grandes de|x| se cumple la condicion |xp1 | v/2, i.e., el punto de inflexion ps esta muy


cercano a las singularidades. Sustituyendo la aproximacion hallada en la Ec. (20.366)en la integral de Fourier dada en la Ec. (20.347), obtenemos la expresion asintoticapara la distribucion de probabilidad

P (x t |xata) {

ex q+t , x > 0,

e|x| q

t , x < 0,(20.367)

donde qt ip1 (t) son reales y positivos. Luego, el decrecimiento de la dis-tribucion de probabilidad P (x t |xata) para valores grandes de |x| es exponen-cial para todo valor de t. Las pendientes de los graficos logartmicos, paraq d log(x t |xata)/dx, estan determinadas por las posiciones p1 de las singulari-dades cercanas al eje real.

Las posiciones p1 dependen del intervalo temporal t. Para tiempos muchomenores que el tiempo de relajacion (t 1), las singularidades estan lejos del ejereal. Cuando aumenta el tiempo, las singularidades se acercan al eje real. Paratiempos mucho mayores que el tiempo de relajacion (t 1), las singularidadesse acercan a los puntos lmite p1 iq , los cuales se han marcado con las crucesencerradas en crculos en la Fig. 20.26. Los valores lmite son

q = p0 +

01 2 para t 1. (20.368)

Las pendientes q(t) se aproximan a estos valores de manera monotona en exceso.El comportamiento se muestra en la Fig. 20.24. Por supuesto, las pendientes dadasen la Ec. (20.368) estan de acuerdo con la Ec. (20.361) en el lmite t 1. Enel lmite opuesto, para tiempos cortos (t 1), encontramos el comportamientotemporal analtico

q(t) p0 +

p20 +4

2(1 2)t para t 1. (20.369)

Esta aproximacion se muestra con la curva en puntos en la Fig. 20.24.

20.4.7 Calculo de la Integral de Trayectoria

En lugar de resolver la ecuacion (20.330) de Fokker-Planck, podemos estudiar di-rectamente la integral de trayectoria de la distribucion de probabilidad utilizandoel Hamiltoniano dado en la Ec. (20.321). Comparando con el operador dado en laEc. (20.319) notemos que ahora tenemos dos terminos extra. Estos terminos tienenen cuenta el operador de orden simetrico implicado en la integral de trayectoria. Ladistribucion Pp(vb, tb|vata) introducida en la Ec. (20.329), para el momentum fijo,tiene la siguiente representacion en terminos de la integral de trayectoria

Pp(vb, tb|vata) =

Dv Dpv2

eAp[pv,v], (20.370)

20.4 Origen de los Decrecimientos SemiAbruptos 1579

donde la accion es

Ap[pv, v] = tb

tadt [ipvv H (p, pv, v)] . (20.371)

La integral de trayectoria de la Ec. (20.370) es una suma sobre todas las trayectoriaspv(t) y v(t), cuyas condiciones de frontera son v(ta) = va y v(tb) = vb.

Conviene integrar por partes el primer termino en la Ec. (20.371) y separar eloperador H (p, pv, v) en una parte independiente de v ivpv i/2 ip/2 y untermino lineal [H (p, pv, v) /v]v, con lo cual tenemos

Ap[pv, v] = i[pv(tb)vb pv(ta)va] iv tb

tadt pv(t)(tb ta)

tb

tadt

[

ipv(t) +H

v(t)

]

v(t). (20.372)

Dado que en esta expresion la trayectoria v(t) aparece linealmente, podemos evaluarla integral y obtener la funcional [pv(t) pv(t)], donde pv(t) es la solucion para laecuacion del Hamiltoniano pv(t) = iH/v(t). Sin embargo, este resultado coin-cide exactamente con la ecuacion diferencial caracterstica (20.336), misma que fueresuelta mediante la Ec. (20.337), donde utilizamos la condicion de frontera pv(tb) =pv. Evaluando la integral de trayectoria sobre Dpv eliminamos la funcional delta yhallamos

Pp(vb, tb|vata) =+

dpv2

J ei[pvvpv(ta)va]i t

0dt pv(t)+(ip)(tbta)/2, (20.373)

donde J representa el Jacobiano

J = Det1(

it +2H(p, pv, v)

pvv

)

. (20.374)

De la Ec. (20.321) vemos que

2H(p, pv, v)

pvv= i + p. (20.375)

De acuerdo con la formula (18.254), esta expresion es igual a

J = e(ip)(tbta)/2,, (20.376)

con lo cual se cancela el ultimo termino en el exponente del integrando de laEc. (20.373). Por lo tanto, el resultado para Pp(vb, tb|vata) es el mismo al obtenidopara la ecuacion de Fokker-Planck (20.331), cuya transformada de Fourier esta dadapor la Ec. (20.335).


20.4.8 Distribucion Martingala Natural

Calculemos las martingalas naturales asociadas con el Hamiltoniano de laEc. (20.348). Reinsertando el termino de deriva rs removido inicialmente, el Hamil-toniano total sera

Htot(p,t) = H(p,t) + irSp. (20.377)

Para construir la martingala de acuerdo a la regla de la Subseccion 20.1.11, necesi-tamos conocer el valor de H(p,t) para el momentum p = i. La expresion es algocomplicada, pero el analisis de los datos Dow-Jones del Apendice 20C muestra queel parametro , que determina la magnitud de las correlaciones entre las funcionesde ruido (t) y v(t) [ver la Ec. (20.310)], es pequeno. Por lo tanto basta con hallarsolo los primeros dos terminos de la serie en potencias de del desarrollo de Taylorde H(i,t):

H(i,t) vt

(

1et)

+v

4t

[

3 2et (1+2t) e2t]

2. (20.378)

De lo cual obtenemos

H(i,t) = H(i,t) + c1(t). (20.379)

El analogo a la martingala dada en la Ec. (20.291) estara dado por la integral deFourier hallada en la Ec. (20.292), donde Hrx(p) se reemplaza por el HamiltonianoHtotrx(t)(p,t) dado en la Ec. (20.350):

P (M,rS)(xbtb|xata) = er(t)t

dp

2exp

[

ip(xb xa)tHtotrx(t)(p,t)]

.(20.380)

Ahora, el termino lineal irx(t)p del Hamiltoniano Htotrx(t)

(p,t) sera dependientedel tiempo:

rx(t) = rS + c1(t) + H(i,t). (20.381)

De esto encontramos que la razon en el prefactor exponencial, de donde obtenemosque la distribucion es una martingala, es una cantidad dependiente del tiempo:

r(t) = rS + c1(t). (20.382)

En analoga con la Ec. (20.293), hay una familia entera de martingalas naturales lascuales se obtienen reemplazando rS por una razon de crecimiento r arbirtraria, encuyo caso r(t) sera igual a r + c1(t).

20.5 Series Temporales

Los verdaderos precios del mercado no son una funcion temporal continua, sino quese almacenan en intervalos temporales discretos. Para las acciones que tienen un

20.6 Descomposicion Espectral del Comportamiento del Rendimiento 1581

bajo volumen, solo se almacenan los precios al da. Mientras que las acciones que secomercializan en grandes cantidades, los precios cambian por minuto. Estos casosse almacenan en una serie temporal S(tn). En el ano 2003, Robert Engle recibioel premio Nobel por su descripcion de la serie temporal con ayuda de los llamadosmodelos ARCH (del ingles autoregressive conditional heteroskedasticity model) y lageneralizacion propuesta por Tim Bollerslev [85], los modelos GARCH. El primermodelo contiene un parametro entero q y se define por una modificacion discretade la pareja de ecuaciones diferenciales estocasticas (20.306) y (20.308), para ellogaritmo de la renta y la varianza, respectivamente

x(tn) =

v(tn1)(tn), v(tn) = v0 +q

k=1

k(tnk)x2(tnk), (20.383)

mediante la variable de ruido blanco (tn). El termino de deriva se ha omitido,de tal forma que x(tn) = 0. Este es el llamado modelo ARCH(q). El segundomodelo es una generalizacion de este, en el cual la ecuacion de la varianza contieneun termino extra que involucra los anteriores p-valores de 2:

v(tn) = v0 +q

k=1

k(tnk)x2(tnk) +

p

k=1

k(tnk)v(tnk). (20.384)

El proceso ARCH(1) tiene valores esperados independientes del tiempo tanto dela varianza como de la kurtosis

2 = v(tn) =v0

1 1, =

x4(tn)cx2(tn)2c

=621

1 321. (20.385)

Para el proceso GARCH(1,1), estas cantidades son

2 = v(tn) =v0

1 1 1, =

x4(tn)cx2(tn)2c

=621

1 321 211 21. (20.386)

20.6 Descomposicion Espectral del Comportamientodel Rendimiento

La representacion grafica de la curva del logaritmo de la renta para el caso de inter-valos temporales cortos revela mayor estructura que los modelos simples discutidoshasta ahora. De hecho, suena razonable distinguir diferentes tipos de acciones deacuerdo al caracter de los inversionistas. Por ejemplo, la burbuja de las acciones delas computadoras fue causado parcialmente por gente inexperta que no estaba in-teresada en el desarrollo de la industria, sino que deseaba ganar dinero facil. Por otrolado, hubo tambien una parte substancial de inversionistas institucionales quienesinvirtieron en forma mas estable. As, debemos distingir las fuentes del ruido, lascuales provienen de diferentes grupos de inversionistas.


-0.2 -0.1 0 0.1 0.210-2

10-1

100

101

102

Real dataGARCH process

Heston model

Gaussian

x/x

P (x)log10 P (x)

Figure 20.27 Izquierda: Comparacion del proceso GARCH(1,1), donde v0 = 2.3105,1 = 0.091 y = 0.9, con el ndice S&P 500 (datos al minuto). Derecha: Comparacion

de los modelos GARCH(1,1), Heston y Gaussiano, para un mismo valor de , con los

datos diarios del mercado. Los parametros del proceso GARCH son v0 = 7.7 106,1 = 0.07906 y 1 = 0.90501 y los del modelo Heston son = 4.5102, v = 8.62108,rS = 5.67 104 y = 10.3 103 [79, 81, 82].

Por lo tanto, mejoramos la ecuacion diferencial estocastica dada por la Ec. (20.4)extendiendola en la forma

x(t) = rx +

(t), (20.387)

donde la suma se calcula sobre los diferentes grupos de inversionistas, cada uno delos cuales produce un ruido (t), cuya distribucion de Levy decae con diferentepotencia |x|1i. Su distribucion de probabilidad asociada sera

P[] = exp[

tb

tadt H((t))

]

= Dp

2exp

{ tb

tadt [ip(t)(t)H(p(t))]

}

,

(20.388)

donde el Hamiltoniano es [comparemos con la Ec. (20.10)]

H(p) 2 |p|

2. (20.389)

La probabilidad del rendimiento dado por la Ec. (20.144) sera entonces

P (xbtb|xata)=

{

D

Dx exp[

tb

tadt H((t))

]}

[x

]. (20.390)

Si sustituimos ahora la representacion de Fourier de la funcional , obtenemos

P (xbtb|xata) =

Dp2

[

D]

Dx e tbta

dt [ip(t)x(t)H((t))]ei

dt p(t)(t).

(20.391)

20.7 Valorizacion de las Opciones 1583

Hallando las integrales de trayectoria sobre (t), tendremos

P (xbtb|xata) =

Dp2

Dx e tbta

dt [ip(t)x(t)H(p)], (20.392)

donde el Hamiltoniano total es la suma del grupo de Hamiltonianos

H(p)

H(p). (20.393)

La generalizacion continua de este resultado sera

H(p) = H(|p|)

0d2|p|. (20.394)

La funcion espectral 2 debe de extraerse de los datos hallando la integral

2 = i

i

d log |p|2i

pH(p). (20.395)

20.7 Valorizacion de las Opciones

Historicamente, el uso mas importante de las integrales de trayectoria en los mer-cados finacieros se ha hecho en el contexto de determinar un precio justo de losderivados financieros, en particular las opciones.12Las opciones son herramientasfinancieras antiqusimas. Se han utilizado con fines especulativos o para prevenirtransacciones mayores que puedan afectar al mercado por cambios inesperados delambiente bursatil. En el ambiente bursatil algunas veces pueden observarse cam-bios dramaticos en los precios o erosiones y se espera que las opciones eviten ladestruccion de grandes cantidades de capital. Los antiguos Romanos, Griegos yFenicios manejaron opciones contra cargos de exportacion de sus puertos locales. Enlos mercados financieros, las opciones son contratos entre dos partes, en los cualesuna de ellas tiene el derecho pero no la obligacion de hacer algo, generalmente decomprar o vender algun activo subyacente. Tener derechos sin obligaciones es unvalor, de tal forma que el poseedor de las opciones debe pagar un precio por suadquisicion. El precio depende del valor del bien asociado, por lo cual se les llamaactivos derivados o brevemente derivados . La opcion de compra son contratos quedan al poseedor de la opcion el derecho de comprar algo, mientras que la opcion deventa autoriza al poseedor a vender algo. El precio de una opcion se llama prima.Generalmente, las opciones estan asociadas a las acciones, almacenes o mercancastal como el petroleo, metales o algunos otros materiales escasos. En lo que sigue ypara ser especficos, consideraremos los derechos de venta sobre las acciones.

Las tecnicas modernas de la valorizacion de las opciones tienen su origen enel trabajo inicial de Charles Castelli, quien en 1877 publico el libro titulado The

12En el sitio electronico http://bradley.bradley.edu/~arr/bsm/model.html se puede hallaruna introduccion al modelo.


Theory of Options in Stocks and Shares. Este libro presenta una introduccion alos aspectos de la prevencion y especulacion de las opciones. Veinte y tres anosmas tarde Louis Bachelier, en su disertacion en la Sorbonna [86], ofrecio la primeraevaluacion analtica conocida de las opciones. Es de notar que Bachelier descrubrioel tratamiento del fenomeno estocastico cinco anos antes del famoso trabajo sobreel movimiento Browniano presentado por Einstein [87] y veinte y tres anos antesdel desarrollo matematico de Wiener [88]. Las ecuaciones diferenciales estocasticasconsideradas por el tienen el defecto importante de permitir valores negativos delos precios de seguridad de los valores, lo mismo que permiten que la opcion delos precios excedan el valor de los bienes subyacentes. El trabajo de Bachelier fuecontinuado por Paul Samuelson, quien en 1955 escribio un artculo, no publicado,titulado Brownian Motion in the Stock Market. En aquel mismo ano, RichardKruizenga, estudiante de Samuelson, cito el trabajo de Bachelier en su disertaciontitulada Put and Call Options: A Theoretical and Market Analysis. En 1962, A.James Boness en su disertacion titulada A Theory and Measurement of Stock Op-tion Value, desarrollo un modelo de precios mas satisfactorio, el cual fue mejoradomas tarde por Fischer Black y Myron Scholes. En 1973 estos autores publicaron elfamoso Modelo Black y Scholes [89] el cual, junto con las mejoras introducidaspor Robert Merton, les merecio el premio Nobel en 1997.13

Como se ha discutido anteriormente, la distribucion Gaussiana subestima seria-mente la probabilidad en el caso de cambios importantes en el precio de los bienes yesta fue la principal razon del error catastrofico, en el invierno de 1998, del fondo deinversion libre Long Term Capital Management, el cual tena a Scholes y Mertonen la junta directiva (as como accionistas). El fondo contena derivados con valorde referencia de 1,250 miles14 de Millones de dolares Norteamericanos. El fondodesconto el 2% por gastos administrativos y 25% de ganancias, e inicialmente fuemuy lucrativo. En 1995 ofrecio a sus accionistas ganancias del 42.8%, 40.8% en 1996y aun en el ano desastrozo de la crisis Asiatica de 1997 ofrecio el 17.1% en ganancias.Pero en Septiembre de 1998, luego de apostar erroneamente a una convergencia detasas de interes, se fue casi a la bancarrota. Diversos bancos internacionales einstituciones de Wall Street tuvieron que apoyar al fondo con 3.5 miles de Millonesde dolares Norteamericanos. para evitar una reaccion en cadena de incumplimientoscrediticios.

Apesar de este error, el modelo se usa aun como una orientacion aproximada delo razonable del precio de una opcion.

20.7.1 Modelo Black-Scholes de la Valorizacion de las Opciones

Al inicio de los anos setentas, Fischer Black estaba trabajando en un modelo devaloracion de garanta de las acciones y observo que sus formulas se parecan a lasecuaciones de transferencia de calor. Luego de esto, Myron Scholes se unio a Black

13Para F. Black el premio llego muy tarde, ya que murio dos anos antes.14N. del T.: En la nomenclatura inglesa se utiliza el termino Billon para indicar miles de Millones.


y juntos descubrieron un modelo aproximado para la valorizacion de las opciones,el cual aun se usa ampliamente.

El modelo de Black y Sholes supone los siguientes terminos:

1. Las ganancias se distribuyen de manera normal.

Los errores de esta hipotesis se han discutido en la Seccion 20.1. Las mejorasapropiadas al modelo se desarrollaran mas adelante.

2. Los mercados financieros son eficientes.

Esta hipotesis implica que los mercados operan continuamente con preciosjustos, siguiendo un proceso estocastico continuo sin memoria. Esto implicatambien que los diferentes mercados tienen el mismo precio de los valores.

Esto no es completamente cierto. En general, los diferentes mercados fi-nancieros tienen precios ligeramente diferentes. Las diferencias son muypequenas por la existencia de arbitrajes. Existen tambien correlaciones enescalas de corto tiempo las cuales, en principio, ayudan a obtener ganaciassin riesgo a partir de los llamados arbitrajes estadsticos . Sin embargo, estaposibilidad esta fuertemente limitada por las costos de las operaciones.

3. No hay comisiones.

Esta hipotesis no se cumple. Generalmente, los mercados participantes tienenque pagar una comision para comprar o vender bienes. Aun los operadoresde piso pagan algun tipo de comision, aunque esta comision suele ser muypequena. Las comisiones pagadas por inversionistas individuales son mas im-portantes y pueden alterar el resultado del modelo.

4. Las tasas de interes se mantienen constantes y conocidas.

El modelo de Black y Scholes supone la existencia de una tasa de interes librede riesgo, para representar esta tasa constante y conocida. En realidad noexiste tal tasa libre de interes. Como una aproximacion, se utiliza la tasa dedescuento de los Bonos del Tesoro del Gobierno de los Estados Unidos con30 das de vencimiento. En los perodos de cambios rapidos de las tasas deinteres, a menudo las tasas a 30 das estan sujetas a cambios, violando de estaforma una de las hipotesis del modelo.

5. Las acciones no pagan dividendos durante la validez de la oferta.

La mayora de las companas pagan dividendos a sus accionistas, esto es unalimitacion del modelo ya que altos dividendos significan menos ganancias. Sinembargo, hay una posibilidad simple de ajustar el modelo a la situacion realrestando el valor descontado de un futuro dividendo del precio de las acciones.

6. Utilizacion de los Terminos de Ejercicio Europeos.

Los terminos de uso Europeos implican el ejercicio de una opcion solo enla fecha de vencimiento. Esto es contrario a los terminos Norteamericanos


que permiten el ejercicio en todo momento de validez de la opcion. Estagran flexibilidad hace que una opcion Norteamericana sea mas valiosa que unaEuropea.

Sin embargo, en la practica la diferencia no es tan dramatica dado a que muypocas ofertas se ejercen antes de los ultimos das de vigencia, dado que unejercicio previo significa derrochar el tiempo restante de la oferta. Diferentestiempos de ejercicio hacia el final de la vigencia de una oferta son irrelevantes,ya que el tiempo restante de la oferta es muy pequeno y el valor intrnsecotiene una pequena dependencia temporal, excepto si hay un evento dramaticojusto antes de la fecha de vencimiento.

Desde 1973, el modelo original de la valorizacion de las opciones de Black yScholes se ha mejorado y ampliado considerablemente. En el mismo ano, RobertMerton [90] incluyo el efecto de los beneficios. Tres anos mas tarde, JonathanIngerson relajo la hipotesis de no impuestos o costos de transaccion y Merton eliminola restriccion de tasas de interes constante. En anos recientes, el modelo se hageneralizado para poder determinar los precios de las opciones con muchas maspropiedades.

En 1998 el fsico teorico J.W. Dash reconocio la relevancia de las integralesde trayectoria en este campo y escribio dos artculos no publicados sobre el tematitulados Path Integrals and Options I and II [91]. Desde entonces muchos fsicosteoricos han participado en el campo y los artculos sobre este tema han empezadoa aparecer en el servidor de los Alamos [13, 92, 93].

20.7.2 Ecuaciones de Evolucion de la Cartera de Valorescon Opciones

El precio de la opcion O(t) tiene fluctuaciones mayores comparadas con el precio delas acciones asociadas. La variacion de las fluctuaciones se representa generalmentemediante la pendiente O(S(t), t)/S(t), la cual normalmente se escribe en la forma(S(t), t) y se le llama la Delta de la opcion. En el caso donde las fluctuacionessiguen el comportamiento Gaussiano ideal, si (S(t), t) depende solo ligeramentetanto de S(t) como de t se puede garantizar un crecimiento estable de la cartera devalores. Unicamente hay que combinar un numero NS(t) apropiado de acciones conNO(t) opciones y bonos de corto plazo, cuyo numero se denota por NB(t). Comose menciono anteriormente, estos bonos son tpicamente los Bonos del Tesoro delGobierno de los Estados Unidos con 30 das de vencimiento, los cuales tienen solopequenas fluctuaciones en el precio. La composicion [NS(t), NO(t), NB(t)] se conocecomo la estrategia del director de la cartera. La riqueza total tiene el valor

W (t) = NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NB(t)B(t). (20.396)

La meta es hacer crecer W (t) como una curva exponencial suave sin fluctuaciones

W (t) rWW (t). (20.397)


Como una idealizacion, se supone que los bonos de corto plazo crecen determistica-mente sin fluctuaciones:

B(t) rBB(t). (20.398)

La razon rB es la tasa de interes libre de riesgo, encontrada en los mercados realescuando no hay eventos que cambien excesivamente el valor de los bonos a cortoplazo.

La existencia de arbitrajes asegura que la razon de crecimiento rW es igual a lade los bonos de corto plazo

rW rB. (20.399)

De otra forma los operadores deben cambiar de una inversion a otra.En la descomposicion de la Ec. (20.396), el crecimiento deseado, dado por la

Ec. (20.397), sera

NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NB(t)B(t) + NS(t)S(t) + NO(t)O(S, t) + NB(t)B(t)

= rW [NS(t)S(t) +NO(t)O(S, t) +NB(t)B(t)] . (20.400)

Debido a las Ecs. (20.398) y (20.399), los cantidades NB(t) sin devirada temporal,se eliminan. Mas aun, si no se introduce o extrae dinero del sistema, i.e., si lasacciones, las opciones y los bonos solo se intercambian unos por otros, esto nocambia la riqueza total, ademas suponemos que no hay comosiones. Esto se conocecomo la estrategia del auto-financiamiento, la cual se expresa por la ecuacion

NS(t)S(t) + NO(t)O(S, t) + NB(t)B(t) = 0. (20.401)

De tal forma que la ecuacion de crecimiento (20.397), sera

W (t) = NSS +NOO +NBB = rW (NSS +NOO +NBB) . (20.402)

Debido a la igualdad de las tasas rW = rB y a la Ec. (20.398), la contribucion totalde B(t) se elimina, y obtenemos

NSS +NOO = rW (NSS +NOO) . (20.403)

Es importante notar ahora que existe una razon optima entre el numero de accionesNS y el numero de opciones NO, la cual es igual a la pendiente negativa de (S(t), t):

NS(t)

NO(t)= (S(t), t) = O(S(t), t)

S(t). (20.404)

Utilizando esta relacion, la Ec. (20.403) sera

NSS +NOO = NOrW

(

Ox

+O

)

. (20.405)


Los dos terminos en el lado izquierdo se analizan en la siguiente forma: primerousamos la relacion (20.404), con lo cual podemos reescribir

NSS = NOO(S, t)

SS = NO

O(S, t)

x

S

S. (20.406)

En el segundo termino del lado izquierdo de la Ec. (20.405), hallamos la dependenciatemporal total del precio de las opciones mediante un desarrollo en series de Taylor

dO

dt=

1

dt

[

O(x(t) + x(t) dt, t+ dt) O(x(t), t)]

=O

t+

O

xx+

1

2

2O

x2x2 dt+

1

3!

3O

x3x3 dt2 + . . . . (20.407)

Aqu hemos usado la variable logartmica del precio de las acciones x(t) en lugar deS(t). En matematicas financieras, las derivadas de menor orden del lado derechose denotan mediante letras Griegas especiales. Ya hemos utilizado la varible Deltapara la pendiente O/S. La curvatura 2O/S2 = (2O/x2 O/x)/S2se conoce como la Gama de una opcion. Otra derivada con un nombre estandares la Vega V O/. La derivada temporal parcial O/t se denota por . Elconjunto de estas cantidades se conoce normalmente como las Griegas [94].

En general, el desarrollo dado por la Ec. (20.407) se calcula hasta potenciasarbitrarias de x, tal como en la Ec. (20.273). Es claro que se trata de una notacionabreviada del mismo desarrollo hallado en la Ec. (20.273), pero ahora en potenciasde la variable estocastica. Luego de sustituir en el lado izquierdo de la Ec. (20.405)las Ecs. (20.407) y (20.406), obtenemos

NSS +NOO= NOO

x

S

S

+ NO

(

O

t+

O

xx+

1

2

2O

x2x2dt +

1

3!

O

xx3dt+ . . .

)

(20.408)

=NO

[

O

t+

(

x SS

)

O

x+

1

2

2O

x2x2dt+

1

3!

3O

x3x3dt+ . . .

]

.

Sustituyendo luego en el lado izquierdo el resultado obtenido anteriormente en ellado derecho de la Ec. (20.405), tendremos

O

t= rWO

(

x SS+ rW

)

O

x 1

2

2O

x2x2dt 1

3!

3O

x3x3dt+ . . . = 0. (20.409)

Lo que llevo a Black y Scholes a hacerse merecedores del premio Nobel fue elnotar la sencillez de la Ec. (20.409), cuando las fluctuaciones Gaussinas obedecenun Hamiltoniano de la forma H(p) = 2p2/2. En primer lugar de la relacion de Ito(20.4), el prefactor del termino O/x sera una constante

rW 2

2 rxW , (20.410)


donde la notacion rxW se escoge para establecer una analoga con el termino rxobtenido en la relacion de Ito (20.5). Con lo cual, no hay mas fluctuaciones en elprefactor de O/x.

Mas aun, las fluctuaciones de todos los terminos restantes

12

2O

x2x2 dt 1

6

3O

x3x3 dt2+. . . (20.411)

se pueden ignorar debido al resultado dado por la Ec.(18.429) y a las estima-ciones de la Ec. (18.431), lo cual permite truncar la serie (20.411) y obtenemos(2/2) 2O/x2. Con esto la Ec. (20.409) pierde su caracter estocastico y se en-cuentra que el precio razonable de la opcion O(x, t) obedece la ecuacion diferencialde the Fokker-Planck

O

t= rWO rxW

O

x

2

2

2O

x2, (20.412)

Al mismo tiempo, la riqueza total dada por la Ec. (20.402) pierde su caracterestocastico y crece de acuerdo con la tasa libre de riesgo rW , obedeciendo la ecuaciondeterminstica dada en la Ec. (20.398). La cancelacion de las fluctuaciones es unaconsecuencia de elegir que la tasa entre opciones y acciones este en acuerdo con laEc. (20.404). La cartera de valores esta ahora protegida contra fluctuaciones.

La ecuacion de Fokker-Planck (20.412) se puede expresar completamente enterminos de las Griegas de la opcion, utilizando la relacion (20.410) tendremos:

= rWOrxWS2

2

(

SO

S+S2

2O

S2

)

= rWOrWS2

2S2. (20.413)

La estrategia de hallar una cartera libre de riesgos balanceando las fluctuacionesde NS acciones con NO opciones, que cumplen con la Ec. (20.404), se conoce como laproteccion Delta. La proteccion es, por supuesto, imperfecta. Dado que (S(t), t)depende del precio de las acciones, la proteccion Delta requiere de un rebalancefrecuente de la cartera, de ser necesario varias veces al da. Luego de un perodo detiempo t, la Delta ha cambiado por

=d

dt

2O(S(t), t)

S(t)t =

[

t

O(S(t), t)

S(t)+

2O(S(t), t)

S(t)2

]

t =

[

S+

]

t.

(20.414)De tal forma que en la Ec. (20.404) necesitamos reajustar la tasa entre las accionesy las opciones, mediante la cantidad

NSNO

= = (

S+

)

t. (20.415)

Este proceso se conoce como proteccion -dinamica. Dado que comprar y venderimplica dinero, t no puede ser muy pequena, de otra forma la proteccion dinamicasera demasiado costosa.


En principio es posible comprar un tercer bien para proteger tambien la curvaturaGama. Este procedimiento no es muy popular, debido a los costos de la operacion.

Para ruido no Gaussiano, la ecuacion diferencial (20.409) sigue siendo estocasticadebido a las fluctuaciones residuales de los terminos del desarrollo hallado en laEc. (20.411). Este hecho es un obstaculo para construir una cartera libre de riesgoscon crecimiento determinista de la riqueza total W (t). Como en la Ec. (20.255) solopodemos hallar la ecuacion de movimiento para el valor promedio

1

2

2O

x2x2 dt+

1

6

3O

x3x3 dt2+. . .

= H(ix)O. (20.416)

As, un precio razonable de la opcion se puede calcular solo en promedio utilizandola ecuacion diferencial de Fokker-Planck

tO =

[

rW rxW

x+ H(ix)

]

O , (20.417)

donde, en analoga con las Ecs. (20.268) y (20.410), hemos definido el parametroauxiliar

rxW rW + H(i). (20.418)

Sin embargo, como se comenta en la Subseccion 20.2.2, para datos almacenadosen tiempos discretos, si ademas los decrecimientos de las distribuciones de ruidono son Gaussianas de decrecimientos semi-abruptos, entonces esta limitacion no esrealmente estricta. Luego, en forma aproximada, los terminos de orden superior deldesarrollo hallado en la Ec. (20.411) se cancelan por el factor

t y los valores

esperados en las Ecs. (20.416) y (20.417) se pueden omitir.Para fluctuaciones Gaussianas, se puede hallar facilmente la solucion de la

ecuacion de Fokker-Planck (20.412). Si, por razones de simetra, renombramost ta y x xa, entonces al tiempo tb una solucion inicial de la forma (xa xb),tiene la representacion de Fourier

P (M,rx)(xbtb|xata)=erW (tbta)

dp

2eip(xbxa)e(

2p2/2+irxW p)(tbta). (20.419)

Para el caso tb > ta, la integal converge.Para fluctuaciones no Gaussianas con decrecimientos semi-abruptos, tenemos

una solucion aproximada cuya representacion de Fourier es

P (M,rx)(xbtb|xata)=erW (tbta)

dp

2eip(xbxa)e[H(p)+irxW p](tbta), (20.420)

donde H(p) esta dado en la Ec. (20.141).Recordando la discusion dada en la Seccion 20.3, observamos que esta funcion de

distribucion es un miembro de la familia de distribuciones martingalas equivalentes,hallada en la Ec. (20.293), para el precio de las acciones S(t) = ex(t). Esta es ladistribucion particular en la cual el factor de descuento r coincide con la tasa deinteres libre de riesgo rW .


20.7.3 Valorizacion de las Opciones para FluctuacionesGaussianas

Para fluctuaciones Gaussianas donde H(p) = 2p2/2, la integral de la Ec. (20.419)es facil de evaluar y para el caso tb > ta obtenemos la distribucion martingala

P (M,rx)(xbtb|xata) =erW (tbta)

22(tb ta)exp

{

[xb xa rxW (tb ta)]2

22(tb ta)

}

. (20.421)

Esta distribucion es la martingala de riesgo neutro hallada en la Ec. (20.289), dondeusamos r = rx.

Es claro que esta distribucion de probabilidad es la solucion de la integral detrayectoria

P (M,rx)(xbtb|xata) = erW (tbta)

Dx exp{

122

tb

ta[x rxW ]2

}

. (20.422)

Para un cierto precio de ejercicio, E representa la opcion de las acciones. Elvalor de la opcion en la fecha de vencimiento tb estara dado por la diferencia entreel precio de la accion en la fecha de vencimiento y el precio de ejercicio:

O(xb, tb) = (xb xE)(exb exE), (20.423)

donde

xE logE. (20.424)

En la Ec. (20.423) la funcion de Heaviside tiene en cuenta el hecho que la opcion essolo util en el caso Sb > E.

Mediante la Ec. (20.423) calculamos el precio de la opcion para un cierto tiempoprevio arbitrario, para ello utilizamos la probabilidad de evolucion temporal dadapor la Ec. (20.421)

O(xa, ta) =

dxb O(xb, tb)P

(M,rW )(xb tb|xata). (20.425)

Sustituyendo en esta expresion la Ec. (20.423), obtenemos la siguiente suma

O(xa, ta) = OS(xa, ta)OE(xa, ta), (20.426)

donde

OS(xa, ta) =erW (tbta)

22(tbta)

xEdxb e

xb exp

{


22(tb ta)

}

, (20.427)

y

OE(xa, ta) = EerW (tbta) 1

22(tbta)

xEdxb exp

{


22(tb ta)

}

.

(20.428)


En la segunda integral utilizamos la relacion

x xa + rxW (tb ta) = xa +(

rW 1

22

)

(tb ta), (20.429)

y obtenemos

OE(xa, ta) = EerW (tbta)

22(tb ta)

xExdxb exp

{

x2b

22(tb ta)

}

. (20.430)

Luego de reescalar la variable de integracion xb tb ta, obtenemos

OE(xa, ta) = erW (tbta)EN(y), (20.431)

donde N(y) es la funcion de distribucion Gaussiana acumulativa

N(y) y

d2

e2/2 =

1

2

[

1 + erf

(

y2

)]

, (20.432)

evaluada en

y x xE

2(tb ta)=

log[S(ta)/E] + rxW (tb ta)

2(tb ta)

=log[S(ta)/E] +

(

rW 122)

(tb ta)

2(ta tb). (20.433)

En el precio de la opcion, la primera contribucion a la integral dada en laEc. (20.427) se puede hallar luego de completar la cuadratura en el exponente,en la forma:

xb [xb xa rxW (tb ta)]2

22(tb ta)

= [xb xa (rxW + 2)(tb ta)]2 2rW2(tb ta) 2xa2(tb ta)

22(tb ta).(20.434)

Reescribiendo

x+ xa +(

rxW + 2)

(tb ta) = xa +(

rW +1

22

)

(tb ta), (20.435)

y reescalando xb, como se hizo anteriormente, obtenemos

OS(xa, ta) = S(ta)N(y+), (20.436)

donde

y+ x+ xE

2(ta tb)=

log[S(ta)/E] + (rxW + 2) (tb ta)

2(ta tb)

=log[S(ta)/E] +

(

rW +122

)

(tb ta)

2(ta tb). (20.437)


La combinacion de resultados,

O(xa, ta) = S(ta)N(y+) erW (tbta)E N(y), (20.438)

es la famosa formula de Black-Scholes de la valorizacion de las opciones.La Fig. 20.28 muestra como cambia el precio de rescate de las acciones respecto

del tiempo de la oferta tb ta para diferentes volatilidades .Los operadores de piso del mercado de valores utilizan la formula de Black-

Scholes para evaluar que tan elevadas son las opciones, de tal forma que puedandecidir entre comprar o vender. Para una tasa

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