Klausur - TFD · Hydrodynamik 2(1) Die Bernoulli-Gleichung in der Form 1 2 ru 1 + p 1 +rgh 1 = 1 2...
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Lösung
KlausurStrömungsmechanik 1
Frühjahr 2013
06. März 2013, Beginn 15:00 Uhr
Prüfungszeit: 90 Minuten
Zugelassene Hilfsmittel sind:
• Taschenrechner (nicht programmierbar)• TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen)• Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex)• mitgebrachtes Papier
Andere Hilfsmittel, insbesondere:
• alte Klausuren• Übungen der Vorlesung• Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner
sind nicht zugelassen.
Weitere Hinweise:Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu verwendendenIndizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen.
Aufgabe Punkte
1. Verständnisfragen 152. Kurzrechnungen 113. Inkompresible Strömung 18
Gesamt 44
Name, Vorname: ...........................................................
Matrikelnummer: ...........................................................
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!Jun.-Prof. K. MullenersB. Drechsel, V. Köpplin
!!Alle Aufgabenteile (X.X) sind unabhängig voneinander lösbar!!
Lösung
Klausur Strömungsmechanik 1 Name, Vorname: .............................................Sommersemester 2012 Matrikelnummer: .............................................
1. Verständnisfragen (16 Punkte) 00Kreuzen Sie richtige Aussagen an. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein.(Nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet.)
Fluideigenschaften (1)Der Druck in einem Fluid wirkt stets
� ...aufwärts.
� ...abwärts.
� ...in Strömungsrichtung.
� ...in alle Richtungen.
Strömungsvisualisierung (1)Wann fallen Stromlinien, Bahnlinien und Streichlinien zusammen?
� Nie.
� Wenn die Strömung zweidimensional ist.
� Wenn die Strömung laminar ist.
� Wenn die Strömung stationär ist.
Hydrostatik (1)Der Druck 1m unterhalb des Meeresspiegels ist ungefähr
� ... 103 Pa .
� ...104 Pa .
� ...105 Pa .
� ...106 Pa .
Venturidüsen (1)
� ...sind nur mit kompressiblen Medien verwendbar.
� ...messen den dynamischen Druck.
� ...dienen zur Massenstrombestimmung.
� ...sind frei von Reibungsverlusten.
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Ausfluss aus Behälter (1)Der Behälter ist geschlossen und unendlich groß. Der Untergrund ist reibungsfrei.
� c1 > c2.
� Das Gefäß bewegt sich in positive x-Richtung.
� c1(Fluid=Wasser) > c1(Fluid=Ethanol)
Fluid
c1�
c2�
pIpamb
x-
y
6
Interne Strömungen (2)Rohr A Länge: L, Dicke: D
Rohr B Länge: L, Dicke: 2D
Rohr C Länge: 2L, Dicke: 2D
Geben Sie „>,< oder =“ an.
Der Druckverlust in Rohr A > der Druckverlust in Rohr B
Der Druckverlust in Rohr A, laminar > der Druckverlust in Rohr C, laminar
Der Druckverlust in Rohr A, laminar < der Druckverlust in Rohr A, turbulent
Der Druckverlust in Rohr A, glatt < der Druckverlust in Rohr A, rau
Hydrodynamik 1 (2)Geben Sie „>,< oder =“ an.
u1 > u2
p1 < p2
ρa < ρb
λD1 > λD2
V
ρb
ρa
1 2 V
g
D1 D2
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Lavaldüse (1)Ordnen Sie die Geschwindigkeitsverläufe den entsprechenden Lavaldüsen A bis D zu.
A B
C D
A D
B C
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Prandtl-Sonde (1)
� Massenstrom durch Öffnung A ist Null.
� An B wird der statische Druck gemessen.
� B ist der Staupunkt der Sonde.
� Dynamischer Druck = Druck A - Druck B
A@@R
B
?
Zylinderumströmung (2)Bei welchen Punkten A bis E stellen sich die dargestellten Strömungen ein?
C A
B E
D
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Oberflächenspannung (1)
� Der sich einstellende Kontaktwinkel eines Fluidtropfens auf einer festen Oberfläche hängt ausschließlichvon den Eigenschaften des Fluids und der Luft ab.
� Der Kontaktwinkel kann nur Werte zwischen 0° und 90° annehmen.
� Die Oberflächenspannung wirkt in der Grenzfläche zweier Fluide.
� Für eine Seifenblase ist die Differenz zwischen Innen und Außendruck gleich 4σ
R , wobei σ die Oberflä-chenspannung und R der Radius der Seifenblase ist.
Umströmte Platte (1)
x2x1
Geben Sie „>,< oder =“ an.
x1 x2
Wandschubspannung τW : >
Grenzschichtdicke: <
Rex: <
Navier-Stokes-Gleichung (1)
∂u∂ t︸︷︷︸A
+u∂u∂x︸︷︷︸B
+v∂u∂y︸︷︷︸C
+w∂u∂ z︸︷︷︸D
= gx︸︷︷︸E
− 1ρ
∂ p∂x︸ ︷︷ ︸F
+µ
ρ
∂ 2u∂x2︸︷︷︸
G
+∂ 2u∂y2︸︷︷︸
H
+∂ 2u∂ z2︸︷︷︸
I
� für stationäre Strömungen ist A = 0.
� für den Fall einer laminaren, geschichteten Strömung zwischen zwei ebenen Platten in x-Richtung istC = D = 0.
� C beschreibt die Fluidzusammensetzung.
� Die Navier-Stokes-Gleichungen sind Impulsgleichungen.
Hydrodynamik 2 (1)
Die Bernoulli-Gleichung in der Form12
ρu1 + p1 +ρgh1 =12
ρu2 + p2 +ρgh2 darf nicht verwendet werden,wenn die Strömung
� ...turbulent ist.
� ...instationär ist.
� ...reibungsfrei ist.
� ...kompressible ist.
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Grenzschicht an umströmtem Zylinder (1)Ordnen Sie die dargestellten Geschwindigkeitsprofile den Positionen A bis F zu.
C B
E D
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2. Kurzrechenaufgaben (11 Punkte) 00Hinweis: Die Ergebnisse der Kurzaufgaben (mit Einheiten) sind in die dafür vorgesehenen Kästen ein-
zutragen. Geben Sie zusätzlich den Rechenweg an.
2.1. Schalenkreuzanemometer (4 Punkte) 00Gegeben ist ein Schalenkreuzanemometer zur Messung von Windgeschwindigkeiten. Es besteht aus 4 Halb-schalen, die jeweils mit dem Abstand R mit einer Welle verbunden sind. Die Welle dreht mit der Winkelge-schwindigkeit ω .
Draufsicht:
R
III
II
IV
I
c∞ c∞
Hinweis
c∞ c∞
cw = 1.42 cw = 0.38
Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω in Abhängigkeit der Strömungsgeschwindigkeit c∞.
Gegeben: R, c
Hinweis: Die Umströmung der Halbschalen III und IV kann vernachlässigt werden. Auch die Gewichtskraft istnicht zu berücksichtigen.
Drehrichtung x �
ω = c∞
R ·0,318
LösungMrecht = Mlinks,Summe aller Momente gleich null, rotierendes aber nicht beschl. System
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cw,i =FW
ρ
2 ·w2∞ ·A
Mrechts = R · 12·ρ · (ω ·R− c∞)
2 ·A · cw,1, Relativgeschw. w einsetzen
Mlinks = R · 12·ρ · (ω ·R+ c∞)
2 ·A · cw,2, Relativgeschw. w einsetzen
cw,1 · (c∞−ω ·R)2 = cw,2 · (c∞ +ω ·R)2 mit cw,1 = 3,74 · cw,2
3,74 · (c∞−ω ·R)2 = (c∞ +ω ·R)2
±√
3,74 · (c∞−ω ·R) = (c∞ +ω ·R)
ω ·R ·(
1+±√
3,74)= c∞ ·
(±√
3,74−1)
ω =c∞ ·(±√
3,74−1)
R ·(1+±
√3,74
)Das negative Vorzeichen vor der Wurzel macht physikalisch keinen Sinn. ω ·R kann nicht größer als c∞ sein.
ω =c∞ ·(√
3,74−1)
R ·(1+√
3,74) = 0,318 · c∞
R
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2.2. Ausströmen aus einem Druckbehälter (7 Punkte) 00An einem Druckbehälter, in dem sich Luft unter einem Druck von pI = 1.5bar und einer Temperatur vonTI = 300K befindet, ist eine Laval-Düse angeschlossen. Der Außendruck beträgt pA = 1bar.R = 287JK/kgund κ = 1.4
(a) welches Druckverhältnis liegt vor?
(b) Wie groß ist die Dichte der Luft im Drückbehälter?
(c) Welche Geschwindigkeit cA herrscht am Austritt der Düse?
(d) Welche Temperatur TA herrscht am Austrittsquerschnitt?
pApI
= 23
(1)
ρI = 1.742kg/m3 (1)
cA = 256.78m/s (2)
TA = 267.18K (3)
LösungBestimmen des kritischen Druckverhältnisses:(
pA
pI
)∗=
(2
κ +1
) κκ−1
= 0,582 (1)
Vorliegendes Druckverhältnis: (pA
pI
)=
11,5
=23
(2)
Es liegt eine unterkritische Strömung vor –> im engsten Querschnitt gilt Ma < 1.Bestimmung der Dichte im Behälter nach dem idealen Gasgesetz:
ρI =pI
R ·TI= 1,742
kgm3 (3)
Bestimmen der Geschwindigkeit am Austritt über Gleichung in der Formelsammlung auf Seite 6:
pA
p1=
(1− κ−1
2κ
ρ1
p1
(c2
A− c21)) κ
κ−1(4)
mit c1 = 0.
cA =
√√√√[1−(
pA
pI
) κ−1κ
]2κ
κ−1pI
ρ1(5)
cA = 256,78ms
(6)
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Bestimmung der Temperatur am Austritt über:
TI
TA= 1+
κ−12
Ma2 (7)
mit
Ma =ca
(8)
unda =√
κRT (9)
Einsetzen und nach TA auflösen führt auf:
TA = TI−κ−1
2c2
AκR
= 267.18K (10)
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3. Rohrsystem (18 Punkte) 00In einem Rohrsystem wird Wasser mit einer Pumpe gefördert. Am U-Rohr-Manometer (gefüllt mit Quecksil-ber) wird bei der eingestellten Strömung eine Höhendifferenz von ∆h abgelesen. In den Steigrohren am Anfangund am Ende des Rohrleitungs-Systems wird jeweils die gleiche Füllhöhe abgelesen. Die beiden Krümmerhaben jeweils einen Verlustbeiwert ξK .
Hinweise: Verluste durch Strömungserweiterungen und -verengungen werden nicht berücksichtigt. Verlustedurch Rohrreibung werden nur in den Rohren mit dem kleinern Durchmesser d2 berücksichtigt. Druckverlustin Rohrströmungen:
∆p =ρ
2u2
(∑
iξi +∑
kλk
Lk
Dk
)
Gegeben:
d1 = 1m d2 = 0.5m L2 = 4m∆h = 0.3m h1 = 1.8m h2 = 0.8mg = 9.81m/s2 η = 0.95 ξK = 0.2ρW = 1000kg/m3 ρHg = 13500kg/m3 νW = 1.75×10−6 m2/sλlaminar = 0.03 λturbulent = 0.02
(a) Berechnen Sie die Änderung des statischen Druckes p12 − p9 mit Hilfe des Höhenunterschiedes derQuecksilbersäule. Der Druckverlust durch Reibung zwischen den Punkten 9 und 12 kann vernachlässigtwerden.
Symbolschreibweise Wert
p12− p9 g ·∆h(ρHg−ρW ) 36.8kPa
(b) Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit u2.
Symbolschreibweise Wert
u2
√√√√ 2g·∆h(ρHg−ρW )
ρW
[1−(
d22
d21
)2]
8.857m/s
(c) Herrscht laminare Strömung im Rohr mit dem Durchmesser d2?
Die Strömung ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , weil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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(d) Wie groß ist der Volumenstrom durch das Rohrsystem?
Symbolschreibweise Wert
V π
4 d22 ·u2 1.74m3/s
(e) Welcher Druckanstieg muss durch die Pumpe erzeugt werden? Nur Reibungsverluste im Rohr mit demDurchmesser d2 werden berücksichtigt.
Symbolschreibweise Wert
∆pPumpeρg(h1 +h2)+
ρ
2 u22
(2ξK + L2
d2λt
) 47.462kPa
(f) Welche Wellenleistung (Wirkungsgrad η) muss an der Pumpe dafür aufgebracht werden?
Symbolschreibweise Wert
P V ·∆pPumpeη
86.88kW
(g) Tragen Sie qualitativ den Verlauf des statischen Druckes entlang eines Stromfadens zwischen den Punk-ten 1 und 12 in das gegebene Diagramm ein.
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x
y
pm
in
p0
pm
ax
12
34
56
78
910
1112
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LösungFür die Zahlenwerte gibt es anteilig insgesamt 2 Punkte.
a) Änderung des statischen Drucks p12− p9Hydrostatik am U-Rohr-Manometer
p9 +∆h ·ρHg ·g = p12 +∆h ·ρW ·g (11)p12− p9 = ∆h ·ρHg ·g−∆h ·ρW ·g (12)
p12− p9 = ∆h ·g · (ρHg−ρW ) j1 (13)= 36787.5Pa (14)
b) Strömungsgeschwindigkeit u2Bernoulli 9−→ 12
u22
2+
p9
ρW+���g · z9 =
u21
2+
p12
ρW+���g · z12
j1 (15)
u22
2− u2
12
=p12
ρW− p9
ρW(16)
Konti:
m12 = m9 (17)u1 ·A12 ·��ρW =u2 ·A9 ·��ρW (18)
u1 = u2A9
A12= u2
d22
d21
j1 (19)
Einsetzen in Bernoulli
u22
2− u2
12
=p12−p9
ρW(20)
u22
2− u2
22
(d2
2
d21
)2
=p12− p9
ρW(21)
u22
2
[1−(
d22
d21
)2]=
p12− p9
ρW(22)
u22 =
2ρW
p12− p9[1−(
d22
d21
)2] (23)
u22 =
2ρW
∆h ·g · (ρHg−ρW )[1−(
d22
d21
)2] (24)
u2 =
√√√√√ 2ρW
∆h ·g · (ρHg−ρW )[1−(
d22
d21
)2] j1 (25)
u2 = 8.859m/s (26)
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c) laminar oder turbulent?
Re =u2 ·d2
ν(27)
= 2.5×106 > 2300 j1 (28)⇒ turbulent (29)
d) Volumenstrom V
V = u2 ·A9 (30)
= u2 ·π
4d2
2j1 (31)
= 1.74m3/s (32)
d) Druckanstieg durch die PumpeBernoulli 1−→ 12
���c21
2+���
p1
ρ+���
g · z1
0+P12
ρ ·V=���c2122
+���
p12
ρ+g · z12 +
∆pV 12
ρ
j1 (33)
c1 = c12 , da gleicher Querschnittp1 = p12 , da gleicher Höhenstand in der Wassersäule (siehe Aufgabenstellung)
Definition der Höhen:
z1 = 0z12 = h1 +h2
P12
ρ= ρW ·g · z12 +∆pV 12 (34)
∆pV 12 gemäß gegebener Formel
∆p =ρ
2u2
(∑
iξi +∑
kλk
Lk
Dk
)
u = u2 , da Reibung nur um dünnen Rohr (35)λk = λt , da Strömung turbulent (siehe Aufgabenteil c ) (36)
∆pV 12 =ρ
2u2
2
(2 ·ξk +λt
L2
D2
) j1 + j1P12
V= ∆pPumpe = ρW ·g · (h1 +h2)+
ρ
2u2
2
(2 ·ξk +λt
L2
D2
) j1 (37)
= 47481Pa (38)
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Lösung
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f) Wellenleistung P12
P12 =V ·∆pPumpe
η
j1 (39)
= 86965W (40)
g) DruckverlaufInsgesamt 5 Punkte. Je Teilstück 0,5 Punkte; Anfang und Ende zusammen 0,5 Punkte.
x
y
pmin
p0
pmax
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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