Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama

5/28/2018 Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama

1/13

2. Kinematika ravnih polunih mehanizama

Odreivanje poloaja lanova i putanja (trajektorija) taaka mehanizma

Postupak pri konstruisanju zadatog poloaja sloenog mehanizma slian je

postupku pri proirivanju osnovnog mehanizma dodavanjem novih lanova. Ako je naprimer zadan poloaj krivajea1mehanizma (slika 2.1) moe da se odredi poloaj takeC

tek kada je poznat poloaj lana 3 koji pripada osnovnom mehanizmu OAABOC. Stoga se

ako je poznat poloaj krivaje a odreuje najpre poloaj lanova b ica potom poloaj

lanovaeid.

Poloaj lana a

49

28

111

3

10

5

6

7

0a)

b)

OC

Oa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

I II III IV

s

c

b

1234

6

7

8

910

11

0

5

012

11 9

8

7

6

54

3

2

1A

a

kC

10

kA

kBD

B

C

Slika 2.1.

Poto su dimenzije lanova mehanizma poznate ucrtavaju se poloaji nepokretnih

taaka OA i OC i pravac x- kretanja radnog lana d. Iz take OA se opisuje krug

poluprenika 2l koji predstavlja geometrijsko mesto take A u toku kretanja. Na tom

krugu se nanose poloaji 1, 2, 3,K takeAza koje treba da se odrede poloaji svih ostalih

lanova mehanizma. Poloaji take B odreuju se opisivanjem iz A krunog luka

poluprenika AB i iz takeOC krunog luka poluprenika .CO B Kako se vidi takaBzajedan pun obrtaj krivaje 2 se kree po krunom luku izmeu taakaB4 doB10. Taj kruni

luk predstavlja putanju takeB. Na slian nain se nalaze i poloaji takeC. Crta se luk

poluprenika AC iz odgovarajue takeA i luk poluprenika BC iz njoj odgovarajue

takeB. U njihovom preseku se nalazi takaC. Kao to se sa slike vidi putanja takeC je

zatvorena petlja. Poloaji lanova 5 i 6 odnosno takeDodreen je poloajem takeC i

ose .x- Ako se iz odgovarajue takeCopie luk poluprenika CD u preseku tog luka i

ose x x- dobija se odgovarajua takaD.

Odreivanje poloaja lanova mehanizma svodi se dakle na postepeno odreivanje

poloaja dopunskih lanova za koje se uvode zadati poloaji krajnjih elemenata

kinematikih parova. Posmatrani primer pokazuje da se postavljeni zadatak reava

1Ovde su lanovi mehanizma na slici 1, radi preglednosti, oznaeni slovima.


2/13

konstruisanjem najjednostavnijih geometrijskih mesta i odreivanja njihovih preseka. Ako

u dopunski mehanizam ulaze samo rotacioni zglobovi geometrijska mesta gde se nalaze

presene take su krunice. Ako ti lanovi sadre i translatorne kinematike parove

geometrijska mesta putanja su i krunice i prave.

Ako se na opisani nain odrede poloaji lanova mehanizma za dovoljan broj

zadatih poloaja pogonske krivaje mogu lako da se konstruiu putanje koje opisujupojedine take mahanizma.

Putanje taaka mehanizma i dijagrami kretanja. Krive sprezanja.

Pri kinematikom prouavanju mehanizma esto je potrebno konstruisati putanje

(trajektorije) odreenih taaka i dijagrame tih ili drugih taaka. Pri tome se obino nadijagramu prikazuje promena pomeranja gonjenog ili radnog lana u zavisnosti od od

odgovarajuih pomeranja pogonskog lana. Ako take pripadaju sprenom lanu njihoveputanje se nazivaju sprene krive (krive sprezanja). Oblik ovih krivih u nekim sluajevima

je pogodan za ostvarenje nekog radnog procesa.

Kao primer za konstruisanje krive sprezanja na slici 1. je prikazana ema Atkinson-ove gasne maine, koja je zastarela ali je njen mehanizam u kinematikom pogledu

zanimljiv.

Putanja take C koja pripada spojnoj poluzi 3 mora da se odredi na prethodno

opisani nain, tj., odreivanjem poloaja lana 3 koji odgovaraju odreenim poloajima

lana 2. Stoga se pri konstrukciji krive sprezanja 4k koju opisuje takaC, krug 2kpodeli na

12 jednakih delova a zatim se pomou preseka sa sa radijusom ACucrtaju odgovarajui

poloaji takeC.

Na slian nain su odreeni odgovarajui poloaji take D, a pomou njih je

konstruisan dijagram ( )2 ,s f q= koji predstavlja grafiki prikaz kretanja segmenta 6

zavisno od poloaja lana 2.Pri konstruisanju ove maine konstruktori su nastojali da pri jednom obrtaju lana 2

dobiju etiri hoda tako da hodovi ekspanzije (I) i izduvavanja (II) budu dui od hodovausisavanja (III) i kompresije (IV).

Odreivanje brzina i ubrzanja ravnih polunih mehanizama

Ovo je itaocima dobro poznato iz kinematike kretanja krutog tela u ravni.

Odreivanje vektora brzine i ubrzanja take B konstrukcijom je prikazano na slici 2.2. Sa

slike 2.2 sledi sledea vektorska jednaina:

,B A BAV V Vr r r

gde je BAVr

relativna brzina takeBu odnosu na takuA. Ona je normalna na pravu AB i

njen intezitet je:

BAV AB w

Vektorska jednaina za odreivanje ubrzanja takeBglasi:

,n tB A BA A BA BAa a a a a a =r r r r r r


3/13

gde je nBAar

normalna komponenta ubrzanja ,BAar

a tBAar

tangencijalna komponenta ubrzanja

.BAar

Intenzitet normalnog ubrzanja je:

2,

n n

BA BAa a AB w= r

a intenzitet tangencijalnog ubrzanja je:

.t t

BA BAa a AB e= r

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B VA

VA

VBA

w

w

e

VBA

VA

VA

VB

PV

A

B

aA

aA

aBA

aBAt

aBAn

aBAaA

aA

aB

Slika 2. 2.

Normalno ubrzanje nBAar

lei uvek na pravcu AB i usmereno je od take B ka taki A.

Tangencijalno ubrzanje tBAar

je uvek normalno na pravu AB i ima smer u pravcu obrtanja

ugaone brzine w .

Trenutni centar brzine (pol brzine)

Trenutni centar brzine je trenutni poloaj para podudarnih taaka dva razliita kruta

tela ije su apsolutne brzine jednake.

Sa slike 2. 2 sledi:

2

w A

PA

Vr

rrr

= (2.1)

Poto je:


4/13

1

2

3

P12 P13

VP2

VP3

23

42 12

23

13

14

2

www

AAPAAPAAP

VVrVVVV

rrrrrrrrrr

+=+=+= (2.2)

Razvijanjem dvostrukog vektorskog proizvoda u jednaini (2.2) dobija se:

22 2

0A A A

P A A A A

V V VV V V V V

w w w w w

w w

= = = =r rr r r r r

r r r r r (2.3)

Teorema o trenutnim centrima

Ova teorema se naziva i teorema tri centra ili prema autorima Aronhold-Kennedy-

jeva teorema tri centra. Ona glasi:

Tri zajednika trenutna centra za tri kruta tela sa relativnim kretanjem (jednog

tela u odnosu na drugo) bilo da su ova tela medjusobno povezana ili ne, uvek lee na

zajednikoj pravoj.

Dokaz teoreme se izvodi kontradikcijom (suprotnim tvrenjem), (slika 2.3).

Slika 2.3.Dokaz teoreme

Slika 2.4.Trenutni centri zglobnog etvorougaonika.


5/13

23

124

34

14

14

24

14

Postupak odredjivanja trenutnih centara za mehanizam zglobnog etvorougla je

prikazan na slici 2.4. Trenutni centar (13) prema Aronhold-Kennedy-jevoj teoremi mora da

lei negde na pravcu trentnih centara (12) i (23). Sa druge strane trenutni centar (13) mora

da lei i na pravoj povuenoj kroz trenutne centre (14) i (24). U preseku ovih pravih nalazi

se trenutni centar (13).

Kod krivajno klipnog mehanizma (slika 2.5) odreivanje trenutnih centara se

zasniva na poznavanju poloaja trenutnog centra 14 translatornog kinematikog para.Poto kliza4 se kree translatorno po voici 1, njegov trenutni centar (14) se nalazi na

pravoj normalnoj na voicu 1 i beskonano je udaljen od nje. Na osnovu toga lako moe dase odredi trenutni centar (24), kao to je prikazano na slici 5.

Slika 2.5.Trenutni centri krivajno-klipnog mehanizma.

Ako se napie tablica u obliku matrice svih trenutnih centara nekog mehanizma sa6 lanova:

11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 32

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

Trenutni centri ispod glavne dijagonale ove matrice mogu da se zanemare jer su ve

pobrojani iznad glavne dijaonale, na primer 21 12 . Takoe elementi na glavnojdijagonali mogu da se zanemare jer segment mehanizma ne moe da ima relativno kretanje

u odnosu na samog sebe. Vidi se da je broj trenutnih centara ovog mehanizma iznosi:

6 515

2

= . Odnosno, ako mehanizam ima n pokretnih lanova broj njegovih trenutnihcentara iznosi:

12

n n .


6/13

Na slici 2.6 prikazano je odreivanje trenutnih centara proirenog zglobnog

etvorougaonika.

16 16 16 16 15

34

23

26

25

46

45

3536

24 12 14

13

56

5

6

2

3 4

1 1 1

Slika 2.6. Trenutni centri proirenog zglobnog etvorougaonika.

Odreivanje trenutnih centara mehanizma nije krajni cilj, ve trenutni centri slue

da se pomou njih odrede brzine (i ubrzanja) lanova mehanizma. Korienjem trenutnih

centara moe da se izvri kompletna kinematika analiza mehanizma. Ovo e da se

demonstrira na nekoliko primera.

Primer.Pri obrtanju krivaje OA r= mehanizma prikazanog na slici 2.7., tap ACpreko obrtnog mufa prolazi kroz nepominu taku .B Sa mufom je vrsto vezan tap

BD = l koji je upravan na tap AC. Za prikazani poloaj mehanizma odrediti brzinu takeD.


7/13

O

2

A

w0

B

C

D3

4

23

1211

30o

r

l

P(13)

Slika 2.7.

Reenje:Brzina takeAje poznata po pravcu (normalna na OA ) i smeru (u smeru

ugaone brzine 0w ) a njen intenzitet je

0w=AV r .

Brzina takeB je:

B A BAV V V= +r r r

2sin30

o

rAB r= =

Poto je OAB BAP D D sledi2

4 ; cos30 2 3sin30

o

o

rAP r BP AB r= = = =

0 0

3 .4 4

A rV

rAP

w ww = = = Poto je 3 4w w= bie

( ) 03

2 3.

4D

r lV PD

w

w

+

= =

Primer.Odrediti brzine i ubrzanja mehanizma na slici 2.8.


8/13

1 1

1

2

34

56

A

B

C

DE

F G

w

Slika 2.8.

Reenje:

P(14)

1 1

1

2

34

56

A

B

C

DE

F G

w2

P(13)

Slika 2.9.

Reenje:Brzina take B je poznata po pravcu (normalna naAB ) i smeru (u smeru

ugaone brzine 2w ) a njen intenzitet je:

2 ;B BV AB V ABw ^r

Brzina takeC je:

( ); ; 14C B CB CB C V V V V BC V P C = + ^ ^r r r r r


9/13

Vektor brzine takeB je poznat po intenzitetu i pravcu a vektor brzine takeCu

odnosu na taku B je poznat po pravcu. Meutim brzina takeCje poznata po pravcu.

Naime takaC pripada segmentu 4 i obre se oko trenutnog centra ( )14 .P Prema tome

brzina takeC je normalna je na pravac .PC Odreivanje brzina taakaD iEna planu

brzina je trivijalan zadatak:

DCCD VVVrrr += i .ECCE VVV

rrr +=

Treba primetiti da je trougao CDE na crteu mehanizma slian trouglu cde na

planu brzina. Ugaone brzine segmenata 4, 5 i 6 je lako odrediti a za odreivanje ugaone

brzine 3w koristi se sledee relacije:

23 13BV P Bw= ili 23 14 .CV P Cw=Plan brzina je prikazan na slici 2.10.

e

d

c

b

p, a, f, g

Slika 2.10.Plan brzina.

Odreivanje ubrzanja ide sledeim redom:2

2; ; ;n t n n t

B B B B B Ba a a a AB a AB a ABw = ^r r r r r

24; 14 ;n t nC C C C a a a a P C w = r r r2

3; .n t n

C B CB B CB CB CBa a a a a a a BC w = = r r r r r r

Ubrzanje nCBar

lei u pravcu BC i usmereno je od take C ka taki B. Ubrzanje tCBar

je

normalno na pravac BC.2

2

4;n t n DC

D C DC DC DC

Va a a a a CD CDw = =r r r r

22

5; ; .n t n t D

D DG DG DG DG

Va a a a DG a DG

DGw = = ^r r r r

n t

E C EC ECa a a ar r r rn t

E EF EFa a ar r r

Primer. Odrediti brzine sloenog mehanizma na slici 2.11.


10/13

P(13)

O2(13) O6(16)

A(23)

C(34)

q2

E(46)

36

D(56)

B(35)

Slika 2.11.Trenutni centri sloenog mehanizma.

Brzina takeAje poznata. Brzina takeBkao i u prethodnom primeru je:

.B A BAV V Vr r r

Sa druge strane je:

.BV PBr

Odavde je lako na planu brzina odrediti vektor brzine takeB. Za odreivanje brzine take

Cmoe da se iskoristi sledea jednaina:

CAAC VVVvvv

+=

Brzina takeCkoja pripada lanu 4 CVv

je normalna na pravac .PC Takoe, brzina CAVv

je

normalna na pravac .AC Odreivanje brzina taakaEiDkoje pripadaju lanu 6 i koji se

obre oko osloncaO6izvodi se pomou jednaina:

DBBD

CECE

VVV

VVV

rrr

rrr

+=

+=

.


11/13

Grafoanalitika metoda za odreivanje kinematike ravanskih polunih mehanizama

Ova metoda se zasniva na korienju kinematikih relacija poznatih iz kinematike

kretanja krutog tela u ravni i konstrukcije planova brzina i brzanja. Odavde se odreuju

brzine i ubrzanja taaka mehanizma za zadati poloaj mehanizma. Postupak odreivanja

brzina i ubrzanja bie prikazan na sledeem primeru:

Primer: Odrediti brzine i ubrzanja taaka mehanizma na slici 2.12. Duine

segmenata su: 2 4102 , 203 , 76.2 , 152 .O A AC mm AB mm O B mm BC mm= = = =Ugaona brzina krivaje u posmatranom trenutku iznosi: 12 30, .sw

=

Slika 2.12.

Intezitet vektora brzine takeA je: .,1006.3 1322-

== mmsAOVA w Smer vektora

AVv

je normalan na pravac AO2 i poklapa se sa smerom obrtanja ugaone brzine .2w Sada

moe da se napie:

BAAB VVVvvv

+=

Donje dve crtice u prethodnoj jednaini znae da je vektor brzine AVv

poznat po

intenzitetu i po pravcu. Vektor brzineBAV

vje poznat po pravcu ( normalan je na AB ). Sa

druge strane vektor BVv je normalan i na pravac 4 .O B Povlaenjem normale na AB iz kraja

vektora AVv

i normale na 4O B iz poetka plana brzina VP nalazimo brzinu .BVv


12/13

Slika 2.13.Plan brzina.

Mnoenjem dui BPV sa usvojenom razmerommm

mmsUV

1

251-

= dobija se intenzitet vektora

11800, .BV mms=r Na slian nain se nalaze i brzine CV

r i .DV

r Sa plana brzina je

1,3175 -= mmsVC i1,2050 -= mmsVD . Ugaone brzine su: ,,89.15

1

3

-== sABVBw i

.,62.23 144-

== sBOVBw

Za crtanje plana ubrzanja (slika 2.13) se koriste sledee relacije:

.0;,126.46; 21

2

===+= -

eABamsAB

Vaaaa

t

AAn

A

t

A

n

AA

rrr

2 2

4; 42.5,n t n

B B B B B

n t

B A BA BA

a a a a V BO ms

a a a a

= = ==

r r r

r r r r

t

CB

n

CBBC

t

CA

n

CAAC

aaaa

aaaarrrr

vrrr

++=

++=


13/13

Slika 2.14.Plan ubrzanja.

Izraunate brzine i ubrzanja odgovaraju samo za posmatrani poloaj mehanizma.

Za jedan obrtaj krivaje 2 da bi se tano odredile brzine i ubrzanja potrebno je konstruisati

vie planova brzina i ubrzanja. Na primer ako se uzme podela za svakih 30ougla krivaje 2q

potrebno je konstruisati 12 planova brzina i 12 planova ubrzanja. Za tanije izraunavanjepotrebna je podela kruga krivaje na 24 ili 36 taaka i isto toliko planova brzina i ubrzanja.

To je veoma obiman posao i to je osnovni nedostatak grafoanalitike metode odreivanjakinematike mehanizma.

Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama

Documents

Transcript of Kinematika Ravnih Poluznih Mehanizama