Khảo sát tính ổn định của hệ...

110/31/2014

Chương 4

4.1_ Khái niệm tính ổn định

4.2_ Tiêu chuẩn ổn định đại số

(Routh, Hurwitz)

4.3_ Tiêu chuẩn ổn định tần số

(Nyquist, Bode)

4.4_ Phương pháp quỹ đạo nghiệm

Khảo sát tính ổn định

của hệ thống

210/31/2014

4.1 Khái niệm tính ổn định

Ổn định là yêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ.

Ổn định BIBO: (Bound Input- Bound Output, vào chặn ra chặn)

Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn

thì tín hiệu ra cũng hữu hạn. Tức là nếu |r(t)|< thì |y(t)|< .

Ví dụ: hệ ổn định BIBO với r(t) = 1(t) thì y() = const.

Hệ thốngr(t) y(t)

Hệ ổn định không ổn định giới hạn ổn định

310/31/2014


Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệ ổn định tiệm cận nếu

như khi có nhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái

cân bằng thì sau đó hệ có khả năng tự quay về trạng thái

cân bằng ban đầu.

Hệ ổn định giới hạn ổn địnhkhông ổn định

Với hệ tuyến tính thì hai khái niệm ổn định nêu trên là

tương đương. Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thì cũng

sẽ ổn định tiệm cận và ngược lại.

410/31/2014


Xét hệ thống tuyến tính có PTVP:

y0(t)_ là nghiệm riêng của PTVP.

yqđ(t)_ Là nghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0.

y(t) = y0(t) + yqđ (t)

1 1

1 0 1 01 1

n n

n nn n

m m

m mm m

d y d y d r d ra a ... a y(t) b b ... b r(t)

dt dt dt dt

Đáp ứng của hệ cũng là nghiệm PTVP:

Ta thấy nếu r(t) hữu hạn thì y0(t) cũng hữu hạn, nên:

Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ yqđ(t).

VD1, xét hệ có ptvp: 5 ( ) ( ) 2 ( )y t y t r t

Với r=1(t) thì y(t)= 2-2e-t/5 trong đó y0(t)=2 ; yqđ(t)=-2e-t/5

VD2, xét hệ có ptvp: ( ) 2 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( )y t y t y t r t r t

y(t)= 1-e-tcos2t+2e-tsin2t = 1-(1/2+j)e(-1+2j)t - (1/2-j)e(-1-2j)t

510/31/2014


Từ nhận xét nêu trên ta có thể định nghĩa cách khác về ổn định:

Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quá trình quá

độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng

dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao

động với biên độ không đổi .

Tổng quát:

Ci _là hằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu.

si _là nghiệm của phương trình đặc tính:

si cũng gọi là cực của hệ thống.

si có thể là số thực (=i) hay số phức (=i ji)

1

1 0... 0n nn na s a s a

Hệ ổn định 1

0i

ns t

it t

i

lim (t) lim C e

qñy

1

( ) i

ns t

i

i

y t C e

qñ

610/31/2014


Hệ ổn định Không ổn định Giới hạn ổn định

- Hệ ổn định Mọi si có phần thực<0 Mọi si là nghiệm trái.

- Hệ không ổn định si có ph.thực>0 si là nghiệm phải.

- Hệ ở giới hạn ổn định si có i = 0, các si còn lại có i <0.

si nằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại là nghiệm trái.

Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm si của PTĐT.

Xét các trường hợp cụ thể, ta có:

710/31/2014


Ví dụ, xét hệ có hàm truyền:

2(s 8)(s 6s 13) 0 Phương trình đặc tính:

2

2s 5G(s)

(s 8)(s 6s 13)

PTĐT có 3 nghiệm: s1= -8 và s2,3= -3 2j

Cả 3 nghiệm đều có phần thực âm nên hệ thống ổn định.

Để tránh phải giải PTĐT, ta có các phương pháp

xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn. Đó là:

- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz.

- Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode.

- Phương pháp quỹ đạo nghiệm.

- …

810/31/2014

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

- Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số

của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định.

- Áp dụng được cho cả hệ hở và hệ kín.

Ví dụ, xét hệ có PTĐT:3 2s 4s 5s 7 0 4 2s 5s 6s 2 0 4 3 2s 4s 5s 6s 2 0

Không ổn định vì hệ số a2<0

Không ổn định vì hệ số a3=0

Chưa kết luận được,

mới thoả ĐK cần

4.2.1 Điều kiện cần

ĐK cần để hệ ổn định là Tất cả các hệ số của PTĐT đều >0.

PTĐT: ansn + an-1s

n-1 +…+a0=0 ĐK cần: a0,a1,…,an >0

910/31/2014


4.2.2 Tiêu chuẩn Routh

Xét hệ có phương trình đặc tính:1

1 0... 0n nn na s a s a

Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng:

1010/31/2014


Phát biểu tiêu chuẩn Routh:

- Cần và đủ để hệ thống ổn định là các hệ số ở cột một

bảng Routh đều dương.

- Số lần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương

trình đặc tính có phần thực dương (=số nghiệm phải).

Ví dụ 1. Xét ổn định hệ thống có PTĐT: 4 3 2s 2s 7s 4s 3 0

Ví dụ 2. Xét ổn định hệ có PTĐT: 5 4 3 2s 4s 5s 4s 7s 8 0

Ví dụ 3. Xét hệ thống có sơ đồ khối:

Hãy tìm khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định.

2

1G(s)

s(3s 2)(s 4s 1)

rG(s)

yK

1110/31/2014


1 K.G(s) 0

3 11 K

14 2 0

K 0

0

K

Giải. Phương trình đặc tính của hệ:

3 2s(3s 14s 11s 2) K 0

2

K1 0

s(3s 2)(s 4s 1)

4 3 23s 14s 11s 2s K 0

74 49K

37

Điều kiện để hệ ổn định:

74 49K 0

K 0

740 K

49

Bảng Routh:

74 / 7

1210/31/2014


Ví dụ 4. Xét hệ thống có sơ đồ khối:

a) Cho KD=2; KP= 38. Tìm khoảng giá trị của KI để hệ thống

luôn ổn định.

rI

P D

KK + +K s

s

y

2

16

s 12s 20

b) Cho KD=2. Tìm biểu thức quan hệ giữa KP và KI để hệ thống

luôn ổn định.

I P0 K 44K 55

Đáp số:

a)

b)

I0 K 1727 I

I

(44)(628) 16K 0

K 0

P I

I

44(20 16K ) 16K 0

K 0

1310/31/2014

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số

4.3.1 Nguyên lý góc quay

Xét PTĐT bậc n có các nghiệm si ( i=1,2,…,n) :n n 1

n n 1 0A(s) a s a s ... a 0

Đa thức đặc tính: n 1 2 nA(s) a (s s )(s s )...(s s )

Thay s=j ta được đa thức đặc tính tần số:

n 1 2 nA(j ) a ( j s )( j s )...( j s )

Biểu diễn trên mặt phẳng phức:

1410/31/2014


m

i

i 1

arg ( j -s ) -m

n m

i

i 1

arg ( j -s ) (n-m)

4.3.1 Nguyên lý góc quay (tt)

Dùng ký hiệu arg để chỉ góc quay, ta có:

i-

arg ( j -s )=

0

Nếu si là nghiệm trái

Nếu si là nghiệm phải

Nếu si ở trên trục ảo

n

i

i 1

arg A( j ) arg ( j -s ) (n-2m)

Nếu PTĐT có m nghiệm phải và (n-m) nghiệm trái thì:

Góc quay của A(j) = tổng góc quay của các véctơ (j-si).

1510/31/2014


Trong thực tế ta chỉ cần xét

thay đổi từ 0 đến +. Khi đó:

m

i0i 1

arg ( j -s ) -m2

n m

i0i 1

arg ( j -s ) (n-m)2

0

arg A( j ) (n-2m)2

Suy ra:

1610/31/2014


4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist

Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín hồi tiếp âm

(hình a) dựa vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b).

Tiện dụng vì đáp ứng tần số có thể thu được từ thực nghiệm.

Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ e-s .

RG(s)

Y

H(s)

RG(s)

Y

H(s)Yht

a) Hệ kín b) Hệ hở (vòng hở)

kh

G GG

1 GH 1 G

hG GH

4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114)

1710/31/2014

4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Phát biểu tiêu chuẩn:

Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn định hay ở giới hạn ổn định và

đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0).

Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở

bao điểm (-1,j0) một góc bằng m theo chiều ngược kim đồng

hồ khi thay đổi từ 0 đến ; trong đó m là số nghiệm của PTĐT

có phần thực dương (nghiệm phải).

Hệ kín ở giới hạn ổn định

nếu đường Nyquist hệ hở

đi qua điểm (-1,j0) .

Chứng minh:

Ứng dụng nguyên lý góc quay.

(xem GT. ĐKTĐ trang 116-117)

1810/31/2014


2) Đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)

Tổng góc quay của véctơ 1+G(j) bằng 0.

1) Góc bao điểm (-1,j0) của đường

Nyquist cũng chính là tổng góc

quay của vectơ 1+G(j).

Chú ý:

- A->B : 1+G(j) quay -1

- B->C: quay +1

- C->D: quay +2

- D->O: quay -2

Tổng góc quay bằng 0

Không bao (-1,j0)

1910/31/2014


Ví dụ:

Góc bao = ?

2010/31/2014


Ví dụ 4.9. (trang 118)

Cho hệ hở có hàm truyền:

5

10G(s)

(s 3)(s 1,24)

và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên

cạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist xét

tính ổn định của hệ kín tương ứng.

Giải. PTĐT của hệ hở:5(s 3)(s 1,24) 0

- PTĐT có một nghiệm s=-3 và năm nghiệm s= -1,24

- Các nghiệm này đều là nghiệm thực, âm nên hệ hở ổn định.

- Hệ hở ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0)

nên hệ kín tương ứng cũng ổn định.

Khảo sát tính ổn định của hệ...

Documents

Transcript of Khảo sát tính ổn định của hệ...