KHAI THÁC TỪ MỘT S BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂ · vật hiện tượng và ngay trong...

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

-------------------------

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ

BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THỊ KIỀU NGA

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ

điển” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của

các thầy cô và bạn bè.

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo

hướng dẫn – TS. Nguyễn Thị Kiều Nga đã tận tình giúp đỡ em trong quá

trình hoàn thành khóa luận.

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong

tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa

luận tốt nghiệp này.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn

tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga.

Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tài

nào khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung

thực.

Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình.

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 3

1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức ................................................... 3

1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức ........................................................ 3

1.3. Hàm số lồi, hàm số lõm .......................................................................... 4

1.3.1. Định nghĩa tập lồi ............................................................................. 4

1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm .................................................. 4

1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi ........................................................... 4

1.3.4. Hàm afin ........................................................................................... 5

CHƢƠNG 2. KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ

ĐIỂN ................................................................................................................ 6

2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) ......................................................... 6

2.1.1. Định nghĩa ........................................................................................ 6

2.1.2. Chứng minh ...................................................................................... 6

2.1.3. Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy .................................................. 7

2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski ................................................................ 25

2.2.1. Định nghĩa ...................................................................................... 25

2.2.2. Chứng minh .................................................................................... 26

2.2.3. Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski ....................................... 27

2.3. Bất đẳng thức Jensen ............................................................................ 35

2.3.1.Định nghĩa ....................................................................................... 35

2.3.2. Chứng minh .................................................................................... 36

2.3.3. Khai thác từ bất đẳng thức Jensen .................................................. 37

2.4.1. Định nghĩa ...................................................................................... 54

2.4.2. Chứng minh. ................................................................................... 55

2.4.3. Khai thác từ bất đẳng thức Chebyshev ........................................... 56

KẾT LUẬN ................................................................................................... 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 69

MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHÓA LUẬN

1 2 1 3 1 2 3 2 4 2 1

1

... ... ...i j n n n n

i j n

a a a a a a a a a a a a a a a a

1 2( , ,..., )n

cyc

f a a a : tổng hoán vị theo n biến số a1, a2,..., an

( , , ) , , , , , ,cyc

f a b c f a b c f b c a f c a b

Ví dụ: 2 2 2 2

cyc

a b a b b c c a

GTLN: Giá trị lớn nhất

GTNN: Giá trị nhỏ nhất

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Nói chung, cuộc sống của mỗi con người luôn có sự tìm kiếm và

khẳng định giá trị bản thân. Mỗi vật có chỗ đứng trong thế giới luôn thay

đổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta thường không nhận ra rằng

mọi vật chỉ có thể nhận giá trị trong quan hệ so sánh. Chính quan hệ đó

đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống.

Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đúng đắn đến

mức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá – so sánh.

Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộng

của các phép toán. Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm

là “Các kết quả cơ bản của toán học thường được biểu thị bằng những

bất đẳng thức chứ không phải bằng những đẳng thức”. Điều đó cũng

giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sự

vật hiện tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biến

đổi theo từng giây phút. Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn

sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp,

hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân

hàng....Vì thế để phát triển tư duy và đánh giá tốt các sự biến đổi trong

cuộc sống thì cần phải có tư duy tốt về bất đẳng thức toán học.

Nói riêng, trong chương trình toán phổ thông các bài toán về bất

đẳng thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú vị

song chúng cũng là những bài toán khó. Chúng thường có mặt trong các

đề thi học sinh giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học. Để giải quyết chúng

đòi hỏi phải có sự sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán.

2

Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa

chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là

việc rất quan trọng. Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng

các bất đẳng thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được

giải quyết một cách nhanh chóng.

Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga

cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện

khóa luận với đề tài “Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển.

3. Đối tƣợng nghiên cứu

Một số bài tập về bất đẳng thức.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, so sánh, phân tích và tổng hợp.

3

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Quan hệ thứ tự trên và bất đẳng thức

Trên tập số thực xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau:

Với mọi ,a b thuộc , ta có

a b nếub a là số dương. Ta kí hiệu a b nếu a b hoặc a b

a b còn được viết là b a

a b còn được viết là b a

Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương.

Cho hai biểu thức A và B . Nếu xảy ra các quan hệ

, , , A B A B B A B A thì ta gọi đó là một bất đẳng thức. A gọi là vế

trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức đó.

1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Với các biểu thức A và B theo định nghĩa ta có

A B khi và chỉ khi – 0B A

A B khi và chỉ khi – 0B A

Cho , , , A B C D là các biểu thức. Khi đó ta có các tính chất sau đây:

A B và B C thì A C

A B và C D thì A C B D

A B khi và chỉ khi A C B C

A B khi và chỉ khi 0mA mB m

A B khi và chỉ khi 0mA mB m

A B khi và chỉ khi A B

A B và C D thì – –A C B D

A B và , , , , 0 C D A B C D thì AC BD

, , 0, A B A B *n thì n nA B

4

, , A B A B cùng dấu thì 1 1

A B

, , 0,A B A B *n thì n nA B

1.3. Hàm số lồi, hàm số lõm

1.3.1. Định nghĩa tập lồi

Tập A X được gọi là tập lồi nếu:

1 2 1 2, ; 0,1 1x x A x x A

Ví dụ: các nửa khoảng, tam giác, đường tròn đơn vị trong mặt phẳng là

các tập lồi.

1.3.2. Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm

Hàm số f x được gọi là lồi trên ,a b nếu với mọi 1 2, ,x x a b với

mọi , 0 thỏa mãn 1 ta có 1 2 1 2f x x f x f x

Hàm f x được gọi là hàm lõm trên ,a b nếu f x

là hàm lồi

trên [a, b].

1.3.3. Tính chất cơ bản của hàm lồi

Tính chất 1. Cho D là tập lồi trong . Giả sử 1 2, ,..., nf x f x f x là

các hàm lồi xác định trên D. Cho 0i , với mọi 1,2,...,i n . Khi đó

hàm số 1 1 2 2 ... n nf x f x f x cũng lồi trên D.

Tính chất 2. (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi)

Cho D là tập lồi trên 2. Hàm f : D là hàm lồi trên D khi và

chỉ khi 1 1 2 2, , ,x y x y thuộc D thì

1 2 1 2 ( (1 ) ; (1 ) ) x f x x y y là hàm lồi trên 0; 1

Tính chất 3. Cho 2D là tập hợp lồi, hàm số f : D là hàm lồi

trên D. Khi đó với mọi số thực α thuộc thì các tập

, : ,

, : ,

oN x y D f x y

N x y D f x y

5

là các tập lồi trong 2.

Chú ý: Các tập , oN N gọi là các tập hợp mức của hàm lồi ,f x y . Ta

quan niệm tập là tập lồi.

Tính chất 4. Giả sử :f D . D là tập lồi trong

Đặt , : ,epif x y f x y x D epif được gọi là tập lồi trên

đồ thị. Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epif là tập lồi trong 2.

Tính chất 5. Cho f x là hàm xác định trên [a, b] và có đạo hàm cấp 2

tại ,x a b . Nếu 0f x , ,x a b thì f x là hàm lồi trên , .a b

Nếu 0f x , ,x a b thì f x là hàm lõm trên ,a b .

1.3.4. Hàm afin

Cho hàm số :f D . Hàm f là hàm afin khi và chỉ khi f x vừa

là hàm lồi, vừa là hàm lõm.

Chú ý: Hàm f x có dạng f x ax b trong đó a, b là những số thực

được gọi là afin.

6

CHƢƠNG 2

KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN

2.1. Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM)

2.1.1. Định nghĩa

Với mọi số thực không âm 1 2, ,..., na a a ta có

1 21 2

.... ...n n

n

a a aa a a

n

()

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .na a a

2.1.2. Chứng minh

Trước hết ta chứng minh rằng: với 0, *a n ta có

1 1 0na n a n (1)

Thật vậy,

1 11 0n na n a n a na a n

1

1 2

1

1

2 1 2 3

1

1 1

1 ... 1 1

1 ...

1 1 1 ... 1

1 2 3 ... 1 0

n

n

n n

n n

n n

n n n

a a n a

a a n a

a a a a n a

a a a a n

a a a a

a a a a n a n

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp theo n.

Với 1:n bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với n số thực không âm, tức là

1 21 2

.... ...n n

n

a a aa a a

n

ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với 1n số thực không âm

7

Đặt 1 2 1...

1

n na a a ab

n

, 1 2 ... na a a

cn

áp dụng (1) với b

ac

ta có

1

1 1

1 1

1

1 2 1 1 21 1 1 2

1 0

1 0

1 1

... ......

1

n

n n n

n n n n

n n

n n nn n n

b bn n

c c

b n c b nc

b n c b nc c n b nc

a a a a a a aa a a a a

n n

(theo giả thiết quy nạp)

suy ra 1 2 1 11 2 1

......

1

n nn

a a aa a a

n

hay bất đẳng thức đúng với 1n số thực dương.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2 11 2 1 1 2

...a ... ... .

1

nn n

a a aa a a a a

n

2.1.3. Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy

2.1.3.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1.Với , , 0a b c . Chứng minh rằng:

5 5 5 2 3 2 3 2 3a b c a b b c c a (1)

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

5 5 5 5 5 2 35aa a b b b b

5 5 5 5 5 2 35b b c c c b c

5 5 5 5 5 2 35c c a a a c a

8

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

5 5 5 2 3 2 3 2 3a b c a b b c c a

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c .

Ví dụ 2. Với , , 0a b c . Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3 2 2 2a b b c c a abc ab bc ca (2)

Giải:

Chia 2 vế của (2) cho 3 3 3 0a b c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng

minh tương đương với

3 3 3 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b b c c a


3 3 3 2

1 1 1 3

a b c a b

3 3 3 2

1 1 1 3

b b c b c

3 3 3 2

1 1 1 3

c c a c b


3 3 3 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b b c c a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.


33 3 31 1 1a b c a bc

Giải:

Chia cả 2 vế cho 3 3 0b c ta được

3

3

3 3

1 1 1 11 1 1 1a a

b c b c

9

Đặt x a , 1

yb

,1

zc

. Khi đó bất đẳng thức tương đương với

33 3 3

3 3 33

3 3 3

33 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1

1 1 1 1

11

1 1 1 1 1 1

x y z xyz

x y z xyz

x y zP

x y z x y z


3 3 3

3 3 3 3 3 3

1 1 1

1 1 1 1 1 11

3 3

x y z

x y z x y zP

Vậy ta có điều phải chứng minh.


3 3 3 2 2 2(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )a b c ab bc ca

Giải:

Với , , 0x y z ta có

3 3

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 11

3 3

xyz

x y z x y z

x y z

x y z x y z

suy ra 33 1 1 1 1x y z xyz

hay 3

31 1 1 1x y z xyz

Với 3 3,x a y z b ta có

2 3

3 3 21 1 1a b ab

Tương tự ta có 2 3

3 3 21 1 1b c bc

10

2 33 3 21 1 1c a ca

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được

3 3 3 3 3 3

3 3 3 2 2 21 1 1 1 1 1a b c ab bc ca

hay 3 3 3 2 2 21 1 1 1 1 1a b c ab bc ca


Ví dụ 5.Với 0ia , 1,2,...,i n thỏa mãn điều kiện 1

1n

i

i

a

. Chứng

minh rằng: 1 2 2 1

ni

i i

a n

a n

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần cho n số thực dương ta có:

1

1

2 2n

ni i

i

a n a

1

1

1 1

2 2

n n

i i i

na a

Suy ra

2

1 1

12

2

n n

i

i i i

a na

Vì 1

1n

i

i

a

nên ta có

2

1

12 1

2

n

i i

n na

2

1

2 2

2 2 1

n

i i

n

a n

1

2

2 2 1

n

i i

nn

a n

hay 1 1

21

2 2 1

n n

i ii

n

a n

1

21

2 2 1

n

i i

n

a n

tức là 1 2 2 1

ni

i i

a n

a n

11


Ví dụ 6. Với 0ia 1,2,...,i n thỏa mãn điều kiện1

1n

i

i

a

. Chứng

minh rằng:

1

11 1

nn

i i

na

Giải:

Đặt 1

n

i

i

S a

ta có1

1 i i

i i i i

S a S a

a a a a

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1n số dương ta có

11 2 1 11 ... ...1

1n

i i ni

i i i

n a a a a aS a

a a a

1,2,...,i n

Nhân vế với vế của n bất đẳng thức trên ta được

1

11 1

nn

i i

na

Ví dụ 7. Với 1,2,...,ia i n là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2

1

1

1n

ni i

i

i

n

aa

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .na a a

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho n số thực dương ta có

1

1 1

nn n

i i

i i

a n a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a

12

Ta có

1

1 1

1 1nn n

i ii i

na a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a

suy ra 2

1 1

1n n

i

i i i

a na

hay 2

1

1

1n

ni i

i

i

n

aa

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .na a a

Bài tập tƣơng tự

Bài 1.Với , , , 0a b c d thỏa mãn 1. a b c d Chứng minh rằng:

41 1 1 11 1 1 1 5

a b c d

Hƣớng dẫn:

251 5 d1

a a b c d a bc

a a a

Tương tự

251 5 d1

b ac

b b

251 5 abd1

c

c c

251 51

d abc

d d

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

13

Bài 2. Cho , , , 0a b c d thỏa mãn điều kiện 1a b c d

Chứng minh rằng: 4

.2 2 2 2 7

a b c d

a b c d

Hƣớng dẫn:

Sử dụng kết quả của ví dụ 5 với 4n

Sử dụng ví dụ 7 để chứng minh các bất đẳng thức sau:

Bài 3.Với , , 0a b c . Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 13 .

2 2 2a b c a b b c c a

Bài 4. Với , , 0a b c . Chứng minh rằng:

1 4 9 36.

a b c a b c

Bài 5. Với , , , 0a b c d . Chứng minh rằng:

1 1 4 16 64.

a b c d a b c d

Bài 6. Với ,i ia b 1,2,...,i n là những số thực dương. Chứng minh rằng:

1 1

1 1 1

1 1 .

n

n n nn n

i i i i

i i i

a b a b

Hƣớng dẫn:

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

11

1 1 1

n n nn n n

i i i i

i i i

n n nn n ni i

i i ii i i i i i

a b a b

a bP

a b a b a b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

n n ni i

i i ii i i i i i

a bP

n a b n a b n a b

14

hay 1

11 1

n

i

nP

n n


2.1.3.2. Xây dựng bất đẳng thức và áp dụng

Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất đẳng

thức trung gian dạng phân thức. Sử dụng các bất đẳng thức trung gian đó

chúng ta chứng minh được một số bất đẳng thức khó.

Ví dụ 1.Với , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2 2 2 2.

2

a b c a b c

a b b c a c

Giải:

Ta có

2 2

2 2 23

2 2 2 2 2 2 2 2

22

a ba a b ba ab b

a b a b aa b a b a b a b

hay

3

2 2 2

a ba

a b

Tương tự ta có

3

2 2 2

b cb

b c

3

2 2 2

c ac

c a


3 3 3

2 2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a b b c a c


Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay. Sử dụng bất đẳng

thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau.

15

Ví dụ 2.Với , , 0a b c , , , 0 . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1 .2 2 2

a b b c c aa b c

a b b c c a

a b c

Giải:

Ta có

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

11

2 2

a b ba a

a b a b

ab b a b ba b a a

a b a b

Tương tự ta có

2 2

2 2

2 2

2 2

1

2

1

2

b c cb b

b c

c c ac c

c a

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Ví dụ 3. Với 0, , 1a b c . Chứng minh rằng:

2 3 2 2 3 2 2 3 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2.

a a b b b b c c c c a aa b c

a b b c c a

Giải:

Từ kết quả của ví dụ 2, chọn 2 1 , 2 1 , 2 1b c a

ta có điều cần chứng minh.


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3.

b a c b a ca b c a b c

a b c b a c

16

Giải:

Sử dụng kết quả của ví dụ 2 với 4 ta được

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3a b b c c aa b c a b c

a b b c c a

hay 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3b a c b a ca b c a b c

a b b c c a


Chọn 1, 2 ta có bài toán sau:


3 3 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2.

2

a b c b c ca

a b b c c a c a

Ví dụ 6. Với , , 0, 0a b c . Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2 2 2 2.

2

a b c a b cP

a b ab b c bc c a ca

Giải:

Thật vậy, với 0 ta có:

3 3 3

2 2 2 22 2 2 2

2

2

2

a a a

a b ab a ba b a b

Tương tự ta có

3 3

2 2 2 2

2

2

b b

b c bc b c

3 3

2 2 2 2

2

2

c c

c a ca c a

Suy ra

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

a b c a b c a b cP

a b b c c a

Vậy ta có điều cần chứng minh.

17

Sử dụng kết quả của ví dụ 6 với 1 ta có bài toán sau:

Ví dụ 7. Với , , 0a b c .Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2 2 2 2.

3

a b c a b c


Sử dụng kết quả của ví dụ 6 và chọn 1

0a

ta có bài toán sau:

Ví dụ 8. Với , , 0a b c .Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2 22 2.

1 2

a b c aa ab c

a b b c a c aa b c bc


0abc

ta có bài toán sau


3 3 3

2 2 2 2 2 2.

1 21 1 1

ca ab bc a b cabc

abcc a b a b c b c a


4 4 4

3 3 3 3 3 3

1.

a b c b b c c a aa b c

a b b c c a a a b c

Giải:

Ta có

3 3 34 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

a a b ba ab b b a ba a

a b a b a b a ba

18

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có

3 33 3 3 3 3 32

2

a ba b a b a b

Suy ra 4 3 3 4

3 3 3 3 3 32 2

a b b a b a b ba a

a b a b a ba a

Tương tự ta có

4

3 3

4

3 3

2

2

b c cb

b c b

c a ac

c a c

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần

chứng minh.


5 5 5 2 2 2

4 4 4 4 4 4

1

2

a b c b c aa b c

a b b c c a a b c

Giải:

Ta có

4 4 45 4 2 2 2

4 4 4 4 4 4 4 4

a a b ba ab b a ba a

a b a b a b a a b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 4 4,a b ta có

4 42 2

2

a ba b

suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 4 42 2

b a b b b a b ba a

a a b a a a b a

Vậy

5 2

4 4 2

a ba

a b a

Tương tự ta có 5 2

4 4 2

c ac

c a c

19

5 2

4 4 2

b cb

b c b


5 5 5 2 2 2

4 4 4 4 4 4

1

2

a b c b c aa b c

a b b c c a a b c

hay5 5 5 2 2 2

4 4 4 4 4 4

1

2

a b c b c aa b c

a b b c c a a b c



3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

2

2 2 2 3

a a b b b c c c aa b c

a b b c c a

Giải:

Ta có

3 3 3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3

2 3

2 2 2 2

a b ca a b a a b b ab

a a ba b a b a b a b

suy ra 3 3

3 32 3

a a b ba

a b

Tương tự

3 3

3 3

3 3

3 3

2 3

2 3

b b c cb

b c

c c a ac

c a

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần

chứng minh.

Nhận xét: Với 0 ta có

3 3 223

a b ab

20

suy ra

3 3 3 3 3 3

3 3 2 3 33 3 3 3

3.

2 3 22 2

3

a a b a a b a a b

a b ab a ba b a b

Do dó ta có bài toán sau:

Ví dụ 13. Với , , 0a b c Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

3 3 2 3 3 2 3 3 2

2

2 2 2 3



Giải:

Ta có:

3 3 3 3 3 3

3 3 2 3 3 2 3 3 22 2 2

a a b b b c c c aP


3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

3

3 2 2 2

a a b b b c c c a

a b b c c a

3 2 2

3 3 3a b c a b c


Sử dụng kết quả của ví dụ 13 và chọn 1 ta có bất đẳng thức sau:

Ví dụ 14. Với , , 0a b c thì

3 3 3 3 3 3

3 3 2 3 3 2 3 3 2.

2 2 2 2

a a b b b c c c a a b c



abc ta có bất đẳng thức

sau:

Ví dụ 15. Với , , 0a b c . Chứng ming rằng:

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

2

1 32 2 2

ac a b ab b c bc a b abc a b c

abcc a b b a b c c b c a c

21


5 5 5 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a b b c c a

Giải:

3 2 2 25

2 2 2 2

3 23

2 2

23 2 3

2 2

3 3 3 33 3

2

2

6 3 6

a a b ba

a b a b

a ba

a b

ab a ba a b a

a b

a a b ba a

Tương tự ta có

5 33

2 2

5 33

2 2

2

3 6

2

3 6

b cb

b c

c ac

c a


5 5 5 3 3 3

2 2 2 2 2 2.

2

a b c a b c

a b b c c a

Ví dụ 17. Áp dụng kết quả của ví dụ 16 ta chứng minh được bất đẳng

thức sau: Với , , 0a b c . Chứng minh rằng:

7 7 7 5 5 5

2 2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a b b c c a

Giải:

5 2 2 27 5 25

2 2 2 2 2 2

a a b ba a ba

a b a b a b

45 4 5

2 2 2

ab a ba a b a

a b

5 5 5 5 55 1

2 5

a a a a ba

5 55 5 51 4 3 1

2 5 5 10

a ba a b

22

Tương tự ta có

75 5

2 2

75 5

2 2

3 1

5 10

3 1

5 10

ab c

b c

cc a

c a


7 7 7 5 5 5

2 2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a b b c c a


5 5 2

3 3 3

2 2 2 2 2 2

1

2

a b cP a b c


Giải:

Ta có

5 5 5

2 2 2 22 2 2 2

2

2

2

a a a

a b ab a ba b a b

Suy ra

5 5 5 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

a b c a b c a b cP

a b b c c a


Sử dụng kết quả của ví dụ 18 với 1 ta được bất đẳng thức sau:

Ví dụ 19. Với , , 0a b c thì

5 5 2 3 3 3

2 2 2 2 2 2 3

a b c a b c


Sử dụng kết quả của ví dụ 18 với 1

abc ta có bất đẳng thức sau:


3 3 35 5 5

2 2 2 2 2 2 1 21 1 1

abc a b cca ab bc

abcc a b a b c b c a

23



2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2

b c a

a b ca a b b b c c c a

Hƣớng dẫn:

2 2 2 2

2 22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2

b a b a a ab

a a b a b a ba a b a a b a a b

Suy ra

2

2 2

1 1

2

b

a ba a b

Tương tự ta có

2

2 2

2

2 2

1 1

2

1 1

2

c

b cb b c

a

c ac c a



2 2 2

2 2 2 3 1 1 1

4

b b a c c b a a c

a b ca a b b b c c c a

Hƣớng dẫn:

Ta có

2 2

21 1 1 1 1 1

4 4

b b aab

a b a b a ba b a a b

Tương tự ta có

2

2 1 1

4

c c b

b cb b c

2

2 1 1

4

a a c

c ac c a

24



2 2 2

2 2 2

2 2 2 3

4


a b b c c a

Hƣớng dẫn:

Ta có:

2

2 2

2

4 4

a a bab b ba b a a

a b a b

Tương tự ta có

2

2

2

2

2

4

2

4

b b c cb

b c

c c a ac

c a



2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 21 1 1

b c c a a b ab bc ca

abca ca cb b ab ac c bc ba

Hƣớng dẫn:

Ta có

2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

2

2

2

b b b

a a b ab a a ba a b a b

Tương tự ta có

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

c c

b c b bc b c b

a a

c c a ca c c a

25

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

1 1 1 1

2

b c a

a a b ab b b c bc c c a ca

b c a

a a b b c b c c a

a b c

Chọn 1

0abc

ta thu được điều cần chứng minh.

2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski


Cho hai dãy số thực1 2, ,..., na a a và

1 2, ,..., nb b b . Khi đó ta có

22 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

... .n

n

a a a

b b b

(Quy ước nếu 0jb thì 0ja ).

2.2.2. Chứng minh

Xét tam thức bậc hai

22 2

1 1 2 2( ) ... n nf x b x a b x a b x a

Rõ ràng 0f x với mọi x

Dễ thấy f x có thể viết lại dưới dạng sau

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

2 2 2

1 2

( ) ... 2 ...

...

n n n

n

f x b b b x a b a b a b x

a a a

(1)

do 0f x nên từ (1) ta suy ra

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ... 0n n n na b a b a b a a a b b b

26

hay 22 2 2 2 2 2


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0.

Hay phương trình 0f x có nghiệm khi và chỉ khi

1 2

1 2

... n

n

a a a

b b b


Sau đây là một dạng phát biểu khác của bất đẳng thức Bunhiacopski

Dạng cộng mẫu số:

22 2 2

1 21 2

1 2 1 2

......

...

nn

n n

a a aa a a

x x x x x x

,

1 2, ,..., 0nx x x

Về mặt toán học có thể hiểu là dạng cộng mẫu số bởi vì: Vế trái là

tổng của n phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận

được một phân số có mẫu số là tổng của n mẫu số ở vế trái. Về mặt lịch

sử bất đẳng thức này có tên gọi là Engel.

2.2.3. Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski

2.2.3.1. Bài toán cực trị của hàm số

Phƣơng pháp:

Cho A f x có miền xác định là D, để sử dụng bất đẳng thức

Bunhiacopski trong việc giải bài toán cực trị của hàm số ta thực hiện

cácbước sau:

Bước 1: Chỉ ra chặn trên và chặn dưới f x , nghĩa là chứng minh

hai bất đẳng thức (nếu có) ,m f x M trong đó m, M là hai hằng số.

Bước 2: Chứng minh dấu bằng có thể xảy ra, nghĩa là chứng minh

1 2,x x D sao cho: 1

2

( )

( )

m f x

M f x

Bước 3: Kết luận: GTLN của A là M.

GTNN của A là m.

27

Ví dụ 1. Tìm GTLN và GTNN của sin cosA x x , 0;2

x

Giải:

Với mọi 0;2

x

ta có sin ,cos 0;1x x

suy ra 2 2sin cos sin cosx x x x

hay 1 A

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

sin cos 2 sin cos 2 2 sin4

x x x x x

Suy ra 2 2A

Cho 0: 1x A

Cho π 2 2 2

: 2 2 24 2 2 2

x A

Kết luận:

GTLN của A = 2 2

GTNN của A = 1

Ví dụ 2. Cho 2 2

0

1

xy

x y

Tìm GTLN và GTNN của 1 1 .S x y y x

Giải:


2 2 2 22 2 2 2

2 2

S x y x y x y x y

S

28

Vậy S đạt giá trị lớn nhất là 2

2 2 .2

S x y

Chú ý rằng 1, 1x y

+ Trường hợp 1: 0, 0x y thì 0S

+ Trường hợp 2: 1 0, 1 0x y

2 2 1x y x y x y

suy ra 1x y

2 2 2 2 1 1S x y x y

hay 1 1S . Vậy S đạt GTNN bằng 1 khi 1, 0.x y

Ví dụ 3. Cho2 236 16 9x y

Tìm GTLN và GTNN của 2 5.S y x

Giải:


2 1

2x 6x 46 4

y y

2 21 12x 36x 16

9 16y y

52x

4y

Vậy

5 52x

4 4

5 55 5

4 4

15 25

4 4

y

S

S

29

Cho

8

20

9

20

x

y

ta được 25

4S . Vậy giá trị lớn nhất của

25

4S

Cho

8

20

9

20

x

y

ta được

15

4S . Vậy giá trị nhỏ nhất của

15

4S

Ví dụ 4. Cho 3 4 7x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 23 4 .S x y

Giải:


2

2 23 3 + 2 2y 3+4 3 +4yx x

Suy ra 49 7S . Hay 7S

Cho 1, 1x y ta được 7.S

Ví dụ 5. Cho2 2

16 91

m n

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 .S m n

Giải:


22 2

2 2

16 94 3m n

m n

Vì 2 2

16 91

m n

nên ta có

2 2

2 2

49

7

m n

m n

Hay 7S Cho 21n , 28m

30

Ta được 2 2

16 91

7

m n

S

Vậy giá trị nhỏ nhất của 7.S

Ví dụ 6. Cho, , 0a b c

ax by c

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

.x y

Ta b

Giải:


2

22 x yc ax by a a b b

a b

2 2 2

2 3 3

3 3

x y cc a b T

a b a b

2

2 3 32

3 3 22

3 3

ax by ccaax by c xx

c a bT a a x aa

a b cby yy bb b

a bb

Vậy GTNN của 2

3 3

cT

a b

Ví dụ 7. Cho 2 2 2 2

0

1

x y z t

x y z t

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .T xy yz zt tx

Giải:


2 2 2 2xy yz zt tx x y z t

1 1T T

31

Cho1

2x z ,

1

2y t ta được 1T

Vậy giá trị nhỏ nhất của 1.T

Ta có .T x y z z y t x z y t

Lại có x z y t

suy ra 2

0T x z

Cho1

2x y ,

1

2z t ta được 0T

Vậy giá trị lớn nhất của 0.T


Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y sin 4cos .x x

Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

2( ) 2004 2006 .f x x

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y sin cos cos sin .x x x x

Bài 4. Cho 2 2 2

1 2 1 1x y z

Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3 8 .T x y z

Bài 5. Cho2 2 2 4 2z 0x y z x

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 3 2z.F x y

2.2.3.2. Sáng tạo bất đẳng thức

Đặt vấn đề: Từ bất đẳng thức Nesbit với vế trái gồm 3 số hạng của tổng:

3

2

a b c

b c c a a b

với mọi , , 0a b c

32

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta mở rộng bất đẳng thức

Nesbit như sau:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

2 , , , 0a b c d

a b c db c c a a b a b

(Bất đẳng thức Nesbit với 4 số hạng của tổng)

Giải:


2

a b c da b c b c d c d a d a b

b c c d d a a b

a b c da b c b c d c d a d a b

b c c d d a a b

2

a b c d

suy ra

2

.a b c da b c d

b c c d d a a b a b c b c d c d a d a b

Ta có

22

4a b c d a d b c a d b c

22

4a b c d a b c d a b c d


2

2 4a b c d a b c b c d c d a d a b

Suy ra

2

42

2

a b c d

a b c b c d c d a d a b


Ta mở rộng bất đẳng thức Nesbit với vế trái gồm 5 số hạng của tổng

33


1 2 3 4 5

2 3 3 4 4 5 5 1 1 2

5

2

a a a a a

a a a a a a a a a a

với mọi 0ia

Giải:

Đặt 1 6 2 7,a a a a sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

5 5

2

1 2 1 2 3 4 5

1 1 1 2

kk k k

k k k k

aa a a a a a a a

a a

25

1 2 3 4 5

1 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 1 5 1 2

k

k k k

a a a a aa

a a a a a a a a a a a a a a a a a

Ta sẽ chứng minh vế phải của bất đẳng thức trên lớn hơn hoặc bằng 5

2 (2)

Thật vậy

2

1 2 3 4 5

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 1 5 1 2

5

2

a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

2

1 2 3 4 5 1 2 3 2 3 4 3 4 5

4 5 1 5 1 2

5

2

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a

2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

2 2 2 2 2

1 2 3 4 5

5

4a a a a a a a a a a

a a a a a

22 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 55 a a a a a a a a a a

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 1 2 3 4 51 1 1 1 1 a a a a a a a a a a

Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopski. Từ đó suy ra

điều cần chứng minh.

Ta mở rộng bất đẳng thức Nesbit với 6 số hạng của tổng:


1 2 3 4 5 6

2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 1 2

3a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

với mọi 0ia .

34

Giải:

Đặt 7 1 8 2, .a a a a Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

6 6

2

1 2 1 2 3 4 5 6

1 1 1 2

kk k k

k k k k

aa a a a a a a a a

a a

Suy ra

6

1 1 2

k

k k k

a

a a

2

1 2 3 4 5 6

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 1 6 1 2

a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Ta sẽ chứng minh

2

1 2 3 4 5 6

1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 1 6 1 2

3a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Thật vậy,

6

2

1 2 3 4 5 6 1 2

1

3 k k k

k

a a a a a a a a a

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 1 2 3 2 3 4 3 4 5

4 5 6 5 6 1 6 1 2 1 4 5 2 3 62 2 2



2

2

1 4 2 3 5 6 2 3 5 6

1 30

2 4a a a a a a a a a a

Bất đẳng thức luôn đúng. Suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ 4. Cho , , 0.a b c Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 23

4

a b c a b c


Giải:

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski dạng Engel ta có

35

2 2 2 4 4 4

2 2 22 2 2

a b c a b c

b c c a a b a b c b c a c a b

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 ( )

a b c a b c

a b b c c a abc a b ca b c b c a c a b

Ta sẽ chứng minh

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3

42 2

a b c a b c

ab bc caa b b c c a abc a b c

2 2 2 2 2 2 2 2 22 3 3a b c ab bc ca a b b c c a abc a b c

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

3

ab a b bc b c ca c a

a b b c c a abc a b c

(2)

Ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4ab a b bc b c ca c a a b b c c a

(3)

Nhưng

2 2 22 2 2 2 2 2 1

02

a b b c c a abc a b c ab bc bc ca ca ab

suy ra

2 2 2 2 2 2a b b c c a abc a b c (4)

Từ (3) và (4) suy ra (2) đúng. Vì vậy

2 2 2 2 2 23

4

a b c a b c


2.3. Bất đẳng thức Jensen

2.3.1.Định nghĩa

Cho f x là hàm lồi trên D. Giả sử 1 2, ,..., nx x x thuộc D, 0;1i ,

1,i n sao cho 1

1n

i

i

. Khi đó ta có:

36

1 1

n n

i i i i

i i

f x f x

(1)

2.3.2. Chứng minh

Với 1n thì (1) là đẳng thức đúng.

Với 2n thì (1) đúng theo định nghĩa của hàm lồi.

Giả sử (1) đúng với *n ta phải chứng minh (1) đúng với 1n

Xét 1 2, ,..., nx x x D và 1 2 1, ,..., 0;1n với

1

1

1n

i

i

Giả sử 1 2, ,..., 0,0,...,0n Đặt1 2 1... 1 0 n n

Và 1 1 2 2 ... n no

x x xx D

sử dụng định nghĩa hàm lồi của f ta

có:

1 1 2 2 1 1 0 1... 1n n n n nf x x x x f x x

1 21 1 2 1 11 ... n

o n n n nf x x f x x x f x

1 21 2 1 1... n

n n nf x f x f x f x

1 1 2 2 1 1... n n n nf x f x f x f x

Vậy (1) đúng với 1n nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) đúng với

mọi *n . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Trường hợp đặc biệt:

+ f x là hàm số lồi trênD , mọi 1 2, ,..., nx x x D ta có

1 21 2...... nn

f x f x f xx x xf

n n

Với n là số dương bất kỳ.

37

+ f x là hàm lõm trên D, mọi 1 2, ,..., nx x x D ta có

1 21 2...... nn

f x f x f xx x xf

n n

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... .nx x x

2.3.3. Khai thác từ bất đẳng thức Jensen

2.3.3.1. Dùng bất đẳng thức Jensen để chứng minh một số bất đẳng thức

kinh điển

a) Bất đẳng thức AM – GM

Chứng minh rằng:

Với mọi số thực không âm1 2, ,..., na a a ta có:

1 21 2

.... ...n n

n

a a aa a a

n

Giải:

Nếu 1 2, ,..., 0nmin a a a thì 1 2. .... 0na a a . Suy ra điều phải chứng

minh.

Xét trường hợp 1 2, ,..., 0nmin a a a

Đặt lnf x x với 0x ta có 2

1 1, 0f x f x

x x

Suy ra f x là hàm lồi với 0x Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có

1 21 21 2

ln ln ... ln...ln ln ...nn n

n

a a aa a aa a a

n n

1 21 2

......n n

n

a a aa a a

n

với mọi 1 2, ,..., 0na a a


38

b)Bất đẳng thức Bunhiacopski

Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và

1 2, ,..., nb b b .Chứng minh rằng:

22 2 2 2 2 2


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

... .n

n

a a a

b b b

Giải:

Đặt 2f x x x 2x, 2 0f f x vậy f x là hàm lồi trên

Sử dụng bất đẳng thức Jensen với 1 2, ,..., 0n ta có

1 21 2

1

1 1 1 1

...n

n kn kn n n n

ki i i i

i i i i

f x x x f x

Từ đó suy ra

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

2

1 21 2

... ...

......

n n n n

nn

x x x x x x

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n n nx x x x x x

Đặt 2 , ii i i

i

ab x

b và thế vào đẳng thức trên ta có

22 2 2 2 2 2


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... nx x x hay 1 2

1 2

... .n

n

a a a

b b b


c) Bất đẳng thức Holder

Cho 1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0n na a a b b b , , 0p q và 1 1

1p q . Chứng minh

rằng:

39

1 1

1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...p p p q q qp qn n n na a a b b b a b a b a b

Giải:

Do , 0p q và 1 1

1p q

nên , 1max p q . Giả sử 1p

đặt pf x x với 0, 1x p ta có 1x pf x p

21 0pf x p p x với mọi 0, 1x p suy ra f x là hàm lồi với

mọi 0.x

Đặt

1 21 2

1 1 1

, , ..., q q q

nnn n n

q q q

k k k

k k k

b b b

b b b

0,1i và 1

1n

i

i

Đặt 1 1 1

1 1 1 2 2 2, , ..., q q q

n n nx a b x a b x a b suy ra 1 2, ,..., 0nx x x

Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có

1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nf x x x f x f x f x

hay 1 1 2 2 1 1

1 2 1 2

... ...

... ...

pp p q pq p p q pq

n n n n

q q q q q q

n n

a b a b a b a b a b

b b b b b b

Do 1 1

1 0p q pqp q . Khi đó bất đẳng thức trên tương đương

với

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

... ...

... ...

pp p p

n n n

q q q q q q

n n

a b a b a b a a a

b b b b b b

hay 1

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...pp p p p q q q

n n n na b a b a b a a a b b b

1 1

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...p

p p p q q qp pn n n na b a b a b a a a b b b

40

Vì 1 1

1p q

nên bất đẳng thức tương đương với

1 1

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...p p p q q qp qn n n na b a b a b a a a b b b


d) Bất đẳng thức Minkowski

Cho1 2 1 2, ,..., , , ,..., 0n na a a b b b . Chứng minh rằng:

1 2 1 2 1 1 2 2... ... ... .n n nn n n na a a bb b a b a b a b

Giải:

Bất đẳng thức tương đương với

1 1 2 21 2

1 2 1 2

......1

... ...

n nnnn

n n

a b a b a bbb b

a a a a a a

hay

1 11 1 1 1

1 2 1 2

1 2 1 2

1 ... 1 1 ... 1n nn n n n

n n

n n

b b b b b b

a a a a a a

Đặt 1 21 2

1 2

ln , ln , ..., ln nn

n

b b bx x x

a a a thì bất đẳng thức trên tương

đương với

1 2 2 1 2

11 1 1 1 1

1 . ... 1 . 1 ... 1 nxx x x x x nn n n n ne e e e e e

hay 1 2

1 2

1...

1 1 1 ... 1 .n

n

x x x

xx x nne e e e

Lấy ln hai vế ta được

1 21 2 ... ln 1 ln 1 ... ln 1ln 1

nnxx xx x x

ne e e

en

Xét hàm số: ( ) ln 1 xf x e

suy ra f x là hàm lồi trên

1 21 2...... nn

f f f xx xx x xf

nn

41

hay

1 21 2 ... ln 1 ln 1 ... ln 1ln 1

nnxx xx x x

ne e e

en


2.3.3.2. Chứng minh các bất đẳng thức đại số

Ví dụ 1. Cho 0;ix với mọi 1,2,...,i n . Chứng minh rằng:

1 1

1 1sin sin sin

n n

i i

i i

x xn n

(1)

Giải:

Đặt sinf x x , 0;x . Khi đó cosf x x , sinf xx

Ta có 0f x với mọi 0;x

Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có

1 1

1 1sin sin

n n

i i

i i

x xn n


Ví dụ 2. Cho 0ix với mọi 1,2,...,i n . Chứng minh rằng:

1 1 2

1

1 1 ...

n

ni i n

n

x x x x

Giải:

Đặt it

ix e . Khi đó bất đẳng thức tương đương với

1

11

1 1 1

11

ni

i

i

n

tti

nn e

e

(2)

42

Đặt 1

1 xf x

e

ta có

2

,1

x

x

ef x

e

2 x

4 3

2e1 1 10

1 1

x x xx x x

x x

e e ee e ef x

e e

0x .

Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có bất đẳng thức (2) đúng.

Ví dụ 3. Cho 1 2, ,..., 0na a a . Chứng minh rằng:

1 2

1 2

...

1 21 2

.... ...

n

n

a a a

aa a nn

a a aa a a

n

Giải:

1 2

1 2

...

1 21 2

.... ...

n

n

a a a

aa a nn

a a aa a a

n

Lấy ln hai vế của bất đẳng thức trên ta được

1 2 1 21 2 1 2

...ln . ... ... lnnaa a n

n n

a a aa a a a a a

n

1 1 2 2 1 2 1 2ln ln ... ln ... ...

lnn n n na a a a a a a a a a a a

n n n

Suy ra 1 lnf x x với 0x , 1

0, 0f x xx

.Vậy f x là hàm

lồi với mọi 0x

Xét hàm số lnf x x với 0x . Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có

1 2 1 2... ...n n

f f f aa a a a af

n n

1 1 2 2 1 2 1 2ln ln ... ln ... ...

lnn n n na a a a a a a a a a a a

n n n

hay 1 2

1 2

...

1 21 2

...... .

n

n

a a a

aa a nn

a a aa a a

n

Ví dụ 4. Cho 1 và 1 2, ,..., 0n . Chứng minh rằng:

43

1 1 1 2... ...n n

a a a a a a

n n

Giải:

Xét hàm số f x x với 0x và 1

Ta có 1f xx , 21 0f xx

với mọi 0x và 1

Suy ra f x là hàm lồi với mọi 0.x

Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có

1 2 1 2... ...n n

f f f aa a a a af

n n

1 2 1 2... ...n n

a a a a a a

n n


1 2

2 2 2

1 2 2 2 3 3 1 1

...2

n

n

x x x nT

x x x x x x x x x, 0 kx

Giải:

Đặt 1

kk

k

xu

x

trong đó 1 1 1 2. ... 1n nx x u u u

Đặt lnk kt u . Suy ra t1 + t2 +…+tn = 0

Xét 1

t

t

ef t

e

, 0f t suy ra f t là hàm số lồi trên

1 1 2

1 1 1

1

...

11

k

n n nk k n

kkk k kk

k

x

x u t t tT f t nf

x nu

x

02

nnf


44


Bài 1. Chứng minh rằng:

2

3

a b c

a b cb c c a a b a b c

với mọi , , 0.a b c

Bài 2.Chứng minh rằng:

3

2

a b c

b c c a a b


Bài 3. Cho , , , 0a b c d . Chứng minh rằng:

5 5 5 52 2 2d 2a

42a 2 2 2d

b c d c d a a b b c

c d b d a c a b b c

Bài 4. Cho 1 2, ,..., 0nx x x thỏa mãn

1 2 ... 1nx x x 2 .n Chứng

minh rằng:

211

211

1 11

1

1

nni

nnij ii

ij i

x

xnx

x

2.3.3.3. Chứng minh các bất đẳng thức hình học

Ví dụ 1. Cho đa giác lồi 1 2. ... nA A A . Đặt 1 i i iA A a (quy ước 1 1 nA A ).

Với 1,2,...,i n . Cho M là điểm bất kỳ trong đa giác. Gọiir là bán kính

đường tròn nội tiếp1i iMA A , 1,2,...,i n . Chứng minh rằng:

1

2 cot4 2

ni

i i

an

r n

Giải:

Gọi Ti là tâm đường tròn ngoại tiếp1i iMA A . Kẻ

1 i i i iT N A A ta có

1 1 1 1cot coti i i i i i i i i i i i i ia A A A N N A r T A A T A A

Từ đó

45

1 1 1 1

1 1

cot cot cot cotn n

i ii i i i i i i i i i i i

i ii i

a aT A A T A A T A A T A A

r r

(1)

Xét hàm số cotf x x với 02

x

Vì 3

2cos0

sin

xf x

x với mọi 0;

2x

nên f x là hàm lồi trên

0;2


1 1

11 1

1

1cot cot cot

2 2

n

i i i i i ini

i i i i i i

i

T A A T A A

T A A T A An n

(2)

Vì Ti là tâm đường tròn ngoại tiếp 1 i iMA A nên

1 1 1 1

1

2i i i i i i i i i iT A A T A A MA A MA A

Do vậy 1 1 1 1

1 1

1

2

n n

i i i i i i i i i i

i i

T A A T A A MA A MA A

(3)

Chú ý rằng vế phải của (3) chính là nửa tổng các góc trong của đa giác

lồi 1 2. ... nA A A . Từ (3) suy ra

1 1

1

12

2

n

i i i i i i

i

T A A T A A n

(4)

Kết hợp (1), (2) và (4) ta có

1

12 cot 2 2 cot

4 4 2

ni

i i

an n n

r n n

Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh.

Ví dụ 2. Cho , ,A B C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh rằng:

a)3 3

sin sin sin2

A B C

46

b) tan tan tan 32 2 2

A B C

Giải:

a) Đặt sin , 0;f x x x

Ta có

cos

sin

0, 0;

f x x

f x x

f x x

Theo bất đẳng thức Jensen ta có:

1 3 3

sin sin sin 3sin 3sin3 3 2

A B C A B C


b) Đặt tan , 0;2

f x x x

Ta có

2

2

1 tan

2tan 1 tan

0, 0; 2

f x x

f x x x

f x x

Theo bất đẳng thức Jensen ta có:

1tan tan tan 3tan 3tan 3

2 2 2 3 2 2 2 6

A B C A B C


Ví dụ 3. Cho đa giác n cạnh 4n . M là một điểm nằm trong đa giác

sao cho 12

i iAMA

với mọi 1,i n . Trong đó1 2, ,..., nA A A là các đỉnh

47

của đa giác.Giả sử 1 i i ia A A , i ix MA , 1,2,...,i n . Chứng minh

rằng:

21 2

1 2 2 3 1

... 4 sinn

n

a a an

x x x x x x n

Giải:

Xét hàm số cosf x x ta có

sin , cos 0f x f xx x , 0;2

x

Suy ra f x là hàm lồi trên 0;2

Theo bất đẳng thức Jensen ta có

1 2 1 2cos cos ... cos ...

cosn n

n n

hay 1 2 1 2cos cos ... cos ...

cos .n n

n n

Do đó 1

2cos cos

n

i

i

nn

, 1i i iAMA (1)

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác 1 i iMA A

ta có

2 2 2 2

1

1 1

cos 12 2

i i i ii

i i i i

x x a a

x x x x

2

1 1 1

cos2

n ni

i

i i i i

an

x x

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

2

1 1

2cos

2

ni

i i i

an n

x x n

(ta hiểu 1 1nx x )

2

1 1

2cos

2

ni

i i i

an n

n x x

48

hay 2

2

1 1

4 sinn

i

i i i

an

n x x


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đa giác đã cho đều.

2.3.3.4. Sử dụng bất đẳng thức Jensen để sáng tạo bất đẳng thức

Ví dụ 1. Đặt T = 6x. Khi đó 0T với mọi 0x

Ta có 2 2

16 3 3xdx x C x (chọn C1 = 0)

2 3 3

23x dx x C x (chọn C2 = 0)

Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi 3f x x trên (0, +) với

, , 0a b c ta có

3

3 3 22

a ba b

Tương tự ta có

3

3 3 22

b cc b

3

3 3 22

a ca c

Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta được

3 3 33 3 3 3 3 3

64

a b b c c aa b b c c a

Cách giải khác

Ta chứng minh kết quả sau:

33 3

4

a ba b

(∗)

Thật vậy, bất đẳng thức (∗) tương đương với

33 34 a b a b

3 33 3 .a b ab a b (1)

49

Do , 0a b , chia hai vế của bất đẳng thức (1) cho 3 a b ta được

2 2a b ab ab 2

0a b

là bất đẳng thức đúng. Do đó (∗) đúng.

Tương tự ta có

3

3 3

4

c bc b

,

3

3 3

4

a ca c

Nhân vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c .

Ví dụ 2. Đặt 2

1T

x

, ta có 0T với mọi x , 0x

12

1 1 1dx C

x x x

(chọn C1 = 0)

2

1ln lndx x C x

x (chọn C2 = 0)

Ta thấy hàm lnf x x có 2

10f x

x

với mọi 0;x

nên

f x là hàm lõm trên (0, +). Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm

f x ta có

2

2

ln ln 2ln2

2

2

a b b ca b b c

a b ca b b c

Tương tự ta có:

2

2

2

a c ba c b c

,

22

2

b a ca b a c

Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

8 2 2 2a b b c c a a b c b c a c a b

Vậy ta có bài toán sau:

50

Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng:

8 2 2 2 . a b b c c a a b c b c a c a b

Cách giải khác


2

2

2

a b ca b b c

2

2

2

b c ab c c a

2

2a

2

b cc a a b

Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

2 2 2 2 2 2a

64

a b c b c a b ca b b c c a

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b b c c a hay a b c .


Ví dụ 3. Đặt

2

1

1T

x

khi đó 0T với mọi 1x

Ta có

12

1 1 1

1 11dx C

x xx

(chọn C1 = 0)

2

1ln 1 ln 1

1dx x C x

x

(chọn C2 = 0)

Vậy ln 1f x x là hàm lõm với mọi ; 1x


ln 1 ln 1 ln 1 3ln 13

a b ca b c

hay

3 3

644ln 1 1 1 1

3 273

a b ca b c

nếu 1a b c

51

Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 1 1A a b c là64

27khi

1

3a b c

Vậy ta có bài toán sau:

Cho , , 1a b c thỏa mãn 1a b c

Tìm giá trị nhỏ mhấy của 1 1 1A a b c

Cách giải khác

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 1 , 1 , 1a b c ta có

64

1 1 1 1 1 1

273a b

a cc

b

vì 1a b c

hay 64

27A . Ta có

641 1 1

27A a b c hay

1

3a b c

Vậy giá trị nhỏ nhất của64

.27

A

Ví dụ 4. Đặt 2

10

sinT

x

với mọi 0;x

Ta có 12

1cot cot

sindx x C x

x

(chọn C1 = 0)

2cot d lnsin lnsinx x x C x (chọn C2 = 0)

Suy ra hàm ( ) lnsinf x x là hàm lõm trên (0; π)

Với mọi , 0;A B . Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có

lnsin lnsin 2ln 2lnsin cos2 2

A B CA B

hay 2sin sin cos

2

CA B

Tương tự ta có

2sin sin cos2

AC B

52

2sin sin cos2

BA C

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

2 2 2sin sin sin sin sin sin cos cos cos2 2 2

A B CA B C B C A

Vậy ta có bài toán:

Cho ABC đều. Chứng minh rằng:

2 2 2sin sin sin sin sin sin cos cos cos2 2 2

A B CA B C B C A

Cách giải khác

Ta có

2sin sin cos cos cos 1 cos2

CA B A B A B C

cos 1A B

đây là bất đẳng thức đúng.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B

Tương tự ta có2sin sin cos

2

AC B

2sin sin cos2

BA C

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A B C hay ABC đều.

Ví dụ 5. Đặt 21 tan 0T x với mọi 0;2

x

Ta có

2

11 tan tan tanx dx x C x (chọn C1 = 0)

2tan d lncos lncosx x x C x (chọn C2 = 0)

53

Suy ra lncosf x x là hàm lõm trên 0;2


33

1 1ln cos cos cos 3ln cos cos cos

2 8

A B Cf A f B f C f

A B C A B C

Vậy ta có bài toán sau: Cho ABC đều. Chứng minh rằng:

1cos cos cos

8A B C (1)

Cách giải khác

2

1cos cos cos 4 1cos cos cos

8

4cos 4cos cos 1 0

A B C A B A B C

C A B C

Ta coi vế trái của bất đẳng thức trên là tam thức bậc 2 ẩn cosC

Ta có 4a

24cos ( ) 4 0A B với mọi , 0;2

A B

Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 suy ra (2) là bất đẳng thức

đúng.

Suy ra (1) đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

.3

A B C


Hãy sáng tạo các bài toán sau:

Bài 1. Trong ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của

tan tan tan (sin sin sin ).P A B C A B C

54

Hƣớng dẫn: Đặt 2sin 2tan 1+tan 0T x x x với mọiπ

0;2

x

Bài 2. Cho ABC nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của

cos cos cos cos cos cos 8sin sin sin .2 2 2

A B CP A B B C C A

Hƣớng dẫn: Đặt cos 0T x với mọi 0;2

x

Bài 3. Cho ABC với chu vi 2 p . Chứng minh rằng:

8 .abc p a p b p c

Hƣớng dẫn: Đặt

3

20H

p x

với mọi x ( p là nửa chu vi)

Bài 4. Cho ABC với các cạnh có độ dài là , ,a b c và chu vi là 1. Chứng

minh rằng: 3

.1 1 1 4

a b c

a b c


20

1T

x

với mọi 0x

Bài 5. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng:

.2

a b

a ba bb a


2

10T

a b x

với mọi x , x a b .

2.4. Bất đẳng thức Chebyshev


1. Bất đẳng thức trên 2 dãy đơn điệu cùng chiều

Cho 2ncác số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b . Khi đó:

55

Nếu 1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

hoặc

1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

Thì 1 1 2 2 1 2 1 2... ... a ...n n n na b a b a b a a b b b

n n n

(1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

Chú ý: Bất đẳng thức (1) còn được sử dụng dưới dạng tương đương

1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n nn a b a b a b a a a b b b

2. Bất đẳng thức Chebyshev trên hai dãy đơn điệu ngược chiều

Cho hai dãy hữu hạn các số thực 1 2, ,..., na a a và

1 2, ,..., nb b b . Khi đó:

Nếu 1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

hoặc

1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

Thì 1 1 2 2 1 2 1 2... ... a ...n n n na b a b a b a a b b b

n n n

(2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi1 2

1 2

...

...

n

n

a a a

b b b

Chú ý: Bất đẳng thức (2) còn được sử dụng dưới dạng tương đương


2.4.2. Chứng minh.

Ta có 1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n

i i i i i i j j

i i i j i j i

n a b a b a b a b

1 1

i i j j i j j i i j i j

i j n i j n

a b a b a b a b a a b b

Đặt 1

i j i j

i j n

S a a b b

Nếu hai dãy số 1

n

ka , 1

n

kb là 2 dãy đơn điệu cùng chiều thì 0S

suy ra

56


Nếu hai dãy số 1

n

ka , 1

n

kb là 2 dãy đơn điệu ngược chiều thì 0S

suy ra


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

0 0i j i jS a a b b với mọi1 i j n

1 1 2

1 1

1 1 2

...0

...

n n

n n

n n

a a a a aa a b b

b b b b b

2.4.3. Khai thác từ bất đẳng thức Chebyshev

2.4.3.1.Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev trong chứng minh các bất

đẳngthứcđại số

Ví dụ 1. Cho n số dương 1 2, ,..., na a a sao cho

1 2. ... 1na a a . Chứng minh

rằng với mọi số tự nhiên n ta có

1 1 1

1 2 1 2... ...m m m m m m

n na a a a a a

Giải:

Không giảm tổng quát ta có thể giả sử

1 20 ... na a a

1 20 ...m m m

na a a (1)

Mặt khác 1 21 1 ... 1na a a (2)

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev với 2 dãy đơn điệu tăng (1) và (2) ta

có

1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 ... 1

1... 1 1 ... 1

m m m

n n

m m m

n n

a a a a a a

a a a a a an

(3)

57

Ta có 1 2 1 21 1 ... 1 ...n na a a a a a n

Theo bất đẳng thức Cauchy thì

1 2 1 2... ...nn na a a n a a a n

Từ (3) suy ra 1 1 2 21 1 ... 1 0m m m

n na a a a a a

hay 1 2 1

1 2 1 2... ...m m m m m m

n na a a a a a



Ví dụ 2. Cho dãy số dương 1 2, ,..., nx x x . Chứng minh rằng:

1

1

1 1

n

i

ii

xn nn

x

i i

i i

x x

(1)

Giải:

Ta có 1

1

1 1 11 1

1ln ln

n

i

ii

xn n n n nn

x

i i i i i i

i i ii i

x x x x x xn

(2)

Giả sử 1 2 ... nx x x

Ta có 1 2ln ln ... ln nx x x . Áp dụng bất dẳng thức Chebyshev cho 2

dãy trên ta có

1 1 1

ln lnn n n

i i i i

i i i

x x n x x

Suy ra (2) đúng. Vậy (1) đúng.

Ví dụ 3. Cho dãy số dương 1 2, ,..., na a a . Đặt 1

Sn

i

i

a

Chứng minh rằng: 1 2 2

ni

i i

a n

S a n

Giải:

58

Giả sử 1 2 ... na a a

Suy ra 1 2

1 1 1...

2a 2a 2anS S S

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy trên ta có

1 1 1

1 1

2a 2a

n n ni

i

i i ii i

aa

S n s

Ta có1

Sn

i

i

a

. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

2

1

1

2a 2

n

i i

n

S nS S

suy ra

2

1

1

2a 2 2

ni

i i

a n nS

S n S n n

Vậy 1

.2a 2

ni

i i

a n

S n

Ví dụ 4. Chứng minh rằng:3

2

a b c

b c c a a b


Giải: Không mất tổng quát ta giả sử a b c

Suy ra

b c c a a b

a b c

b c c a a b

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều ta có

3

3 3

2 2

a b cb c c a a b

b c c a a b

a b cb c c a a b

b c c a a b

a b ca b c

b c c a a b a b c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 0a b c .

59


Ví dụ 5. Cho , , 0a b c

Chứng minh rằng: 3

2

a b c a b c

b c c a a b a b c

(1)

Giải:

Không mất tính tổng quát ta giả sử a ≥ b ≥ c > 0

b c c a a b

a b c

b c c a a b

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều ta có

a b c

b c c a a b

1

2

a b cb c c a a b

a b c b c c a a b

13

2

3

2

a b cb c c a a b

a b c b c c a a b

a b c

a b c

Ví dụ 6. Cho các số thực , , 0a b c thỏa mãn 1abc . Chứng minh rằng

3 3 3

1 1 1 3

2a b c b c a c a b

(1)

Giải:

Đặt 1

xa

, 1

yb

, 1

zc

suy ra

, , 0

1

x y z

xyz

Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với

2 2 2 3

2

x y z

y z z x x y

(2)

Không mất tổng quát ta giả sử 0x y z suy ra

60

0

0

x y z

x y z

y z z x x y

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Cauchy ta có

2 2 2

3

1

3

1

6

13

6

31 3

2 2 2

x y z x y zx y z

y z z x x y y z z x x y

x y zy z z x x y

y z z x x y

x y zy z z x x y

y z z x x y

xyzx y z

Suy ra bất đẳng thức (2) đúng. Vậy (1) đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a b c .

Ví dụ 7. Cho , , , , 0a b c d e thỏa mãn

1 1 1 1 11

4 4 4 4 4a b c d e


2 2 2 21

4 4 4 4

a b c d

a b c d

Giải:

2 2 2 2 21

4 4 4 4 4

a b c d e

a b c d e

Vì 1 1 1 1 1

14 4 4 4 4a b c d e

nên bất đẳng thức trên tương

đương với

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

a b c d e

a b c d e a b c d e

61

2 2 2 2

2

1 1 1 1

4 4 4 4 4 4 4 4

10

4 4

a b c d

a a b b c c d d

e

e e

Không mất tổng quát giả sử a b c d e

Suy ra 1 1 1 1 1

4 4 4 4 4

a b c d e

a b c d e

Và 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

4 4 4 4 4a b c d e

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có

2 2 2

1 1 1 1 1 1 5. 1 0

(4 )(4 ) 5 4 4 5 4 4cyc cyc cyc cyc cyc

a a

a a a a a a

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a b c d e .

Ví dụ 8. Cho , ,a b c là các số thực sao cho 1 1 1

, ,a b c

là độ dài ba cạnh của

một tam giác. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 26

ab ac bc ab bc ca ca cb ab

a bc b ac c ab

(1)

Giải:

2 2 2

2 2 26

ab ac bc ab bc ca ca cb ab

a bc b ac c ab

2 2 2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )0

a b c a b a c b c a b c

a bc b ac c ab

(2)

Giả sử 2 2 2a b c b c a a c b b c a . Vì 1 1 1

, ,a b c

là độ

dài ba cạnh của một tam giác ta có

0ab ac bc ab bc ac bc ca ab

Dẫn đến

62

2 2 2 2

( )( )0

( )( )

a b a b bc ca ab

a bc b ac a bc b ac

hay 2 2

a b

a bc b ac

Tương tự ta có:

2 2 2

a b c

a bc b ac c ab


2 2 2

2 2 2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

( 2 2 2 ) 0

a b c a b a c b c a b c

a bc b ac c ab

a b cb c a c a b a b c

a bc b ac c ab

Như vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .a b c

Ví dụ 9. Cho , , 0a b c và 3a b c . Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 11

c a b a b c b c a

(1)

Giải:

2 2 2

1 1 1 1 (1 )

3 3 3 3( 3)

c c

c a b c c c c

Suy ra

2 2 2 2 2 2

1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)1 0

3 3 3

a a b b c c

c a b a b c b c a a a b b c c

1 1 10

3 3 31 1 1

a b c

a b ca b c

Giả sử a b c thì 1 1 1a b c

Từ 3a b c suy ra , , 3ab bc ca , ta có

63

1 1 1

3 3 31 1 1a b c

a b c


1 1 1 1 1 1( 1 1 1)

3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1

a b ca b c

a b c a b ca b c a b c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1a b c .Vậy ta có điều phải chứng

minh.


Bài 1. Cho , , 0a b c và n . Chứng minh rằng:

1

2

( ).

2.3

n n n n

n

a b c a b c

b c c a a b

Bài 2. Cho , , , 0a b c d và 2 2 2 2 1a b c d . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2.

3

a b c d

b c d c d a d a b a b c

Bài 3. Cho , , , 0a b c d thỏa mãn 1ab bc cd da . Chứng minh rằng:

3 3 3 3 1.

3

a b c dS

b c d a c d a b d a b c

Bài 4. Cho các số thực , , 0a b c thỏa mãn điều kiện 2 2 2 1.a b c

Chứng minhrằng:

2 2 2 3.

2

a b c

b c c a a b

Bài 5. Chứng minh rằng:

2 2 2 3 2

2

a bc b ca c ab

b c c a a b

, , 0.a b c

Bài 6. Cho , , , 0a b c d thỏa mãn 4a b c d . Chứng minh rằng:

64

1 1 1 11.

5 5 5 5abc bcd cda dab

Bài 7. Cho , , 0a b c . Chứng minh rằng:

4( ).

( )( )( )

a b b c c a a b c

c a b a b b c c a

2.4.3.2. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev trong chứng minh các bất

đẳng thức hình học và lượng giác.

Ví dụ 1. Cho ABC là tam giác có ba góc nhọn và , ,a b c là độ dài ba

cạnh. Chứng minh rằng:

a) ( ) 3( )a b c aA bB cC

b)3( )a b c

a b cA B C

Giải:

a) Giả sử a b c A B C . Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho

hai dãy trên, ta có

( )( ) 3( )

( ) 3( )

A B C a b c aA bB cC

a b c aA bB cC

b) Giả sử: a b c (1)

Đặt sin

( )x

f xx

với (0; )

2x

2 2

cos sin cos ( tan )( )

x x x x x xf x

x x

Do tan x x với mọi (0; )2

x

nên ( ) 0f x suy ra

sin sin sinA B C

A B C (2)

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy (1) và (2) ta có:

65

sin sin sin3(sin sin sin ) ( )

A B CA B C A B C

A B C

2 sin 2 sin 2 sin3.2 (sin sin sin ) ( )

R A R B R CR A B C A B C

A B C

3( ) ( )a b c

a b c A B CA B C

hay 3( )a b c

a b cA B C


Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng:

sin sin sin tan tan tan

cos cos cos 3

A B C A B C

A B C

(1)

Giải:

Ta có: tan tan tan tan tan tanA B C A B C

Suy ra (1) tương đương với

3(sin sin sin ) (cos cos cos )(tan tan tan )A B C A B C A B C (2)

Giả sử tan tan tanA B C A B C và cos cos cosA B C .

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có

3(tan cos tan cos tan cos )A A B B C C

(cos cos cos )(tan tan )A B C A B tanC

Suy ra

3 sin sin sin cos cos cos tan tan tanA B C A B C A B C

Suy ra (2) đúng. Vậy (1) đúng.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng

tan tan tantan tan tan

3

A B CA B C

A B C

66

Giải:

Giả sử

tan tan tan

tan tan tan

A B C

A B C A B C

A B C

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số cùng chiều ta có:

tan tan tan tan tan tan

3A B C A B C

A B C A B CA B C A B C

tan tan tan

3 tan tan tanA B C

A B CA B C

Hay tan tan tan

tan tan tan3

A B CA B C

A B C


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có

cos cos cos 1

2

a A b B c C

a b c

Giải:

Giả sử a b c ta có cos cos cosA B C A B C .

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số ngược chiều ta có:

3( cos cos cos ) ( )(cos cos cos )a A b B c C a b c A B C

mà trong tam giác ABC ta luôn có bất đẳng thức cơ bản:

3cos cos cos

2A B C

nên:

cos cos cos 3 1

2.3 2

a A b B c C

a b c


67

Dấu “=” xảy ra cos cos cos

a b c

A B C

A B C

hay ABC đều.


Bài 1. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng:

sin2 sin2 sin2 sin sin sin .A B C A B C

Bài 2.Cho ABC nhọn. Chứng minh

cos cos cos cot cot cot.

sin sin sin 3

A B C A B C

A B C

Bài 3.Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng là 1 2, ,.... 1

na a a và chu

vi p thỏa mãn

2 2 2

1 2

1 1 1...... 1

1 1 1n

a a a


1 2

1 1 1..... .

1n

p

a a a n

Bài 4. Cho 1 2, ,...,

na a a là các cạnh của một đa giác lồi n cạnh, p là chu

vi. Chứng minh rằng:

1 2

1 2

..... .2 2 2 2

n

n

a a a n

p a p a p a n

68

KẾT LUẬN

Bất đẳng thức là phần kiến thức quan trọng trong Đại số, hay nhưng

rất khó. Bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi đại học, kỳ thi học

sinh giỏi ở phổ thông, olimpic toán học. Trong khóa luận của em đưa ra

một số ứng dụng của các bất đẳng thức cổ điển như: Bất đẳng thức

Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jenssen và bất đẳng

thức Chebyshev.

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa hoc. Mặc

dù rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng những do thời gian và

năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót.

Vì vậy em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và

các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Phạm Kim Hùng, (2012), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội

2. Trần Đức Huyên, (2012),Chuyên đề bất đẳng thức và bài toán min –

max, NXB Giáo Dục Việt Nam.

3. Trần Phương, (2009), Những viên kim cương trong giải tích toán học,

NXB Tri thức.

4. “Tạp chí toán học tuổi trẻ”.

KHAI THÁC TỪ MỘT S BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂ · vật hiện tượng và ngay trong...

Documents

Transcript of KHAI THÁC TỪ MỘT S BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂ · vật hiện tượng và ngay trong...