Kerstin E. Kunze and Ruth Durrer- Anisotropic 'hairs' in string cosmology
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8/3/2019 Kerstin E. Kunze and Ruth Durrer- Anisotropic 'hairs' in string cosmology
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A n i s o t r o p i c ' h a i r s ' i n s t r i n g c o s m o l o g y
K e r s t i n E . K u n z e a n d R u t h D u r r e r
D e p a r t e m e n t d e P h y s i q u e T h e o r i q u e , U n i v e r s i t e d e G e n e v e , 2 4 q u a i E r n e s t A n s e r m e t , C H - 1 2 1 1 G e n e v e 4 , S w i t z e r l a n d
I n t h i s l e t t e r w e i n v e s t i g a t e w h e t h e r t h e i s o t r o p y p r o b l e m i s n a t u r a l l y s o l v e d i n i n a t i o n a r y c o s -
m o l o g i e s i n s p i r e d b y s t r i n g t h e o r y , s o c a l l e d p r e - b i g - b a n g c o s m o l o g i e s . W e n d t h a t , i n c o n t r a s t t o
w h a t h a p p e n s i n t h e m o r e c o m m o n ' p o t e n t i a l i n a t i o n ' m o d e l s , i n i t i a l a n i s o t r o p i e s d o n o t d e c a y
d u r i n g p r e - b i g - b a n g i n a t i o n .
P A C S N u m b e r s : 9 8 . 8 0 . C q , 9 8 . 8 0 . E s
I n m o s t m o d e l s , i n a t i o n i s d r i v e n b y t h e p o t e n t i a l
e n e r g y o f a s c a l a r e l d . T h i s h a s s i m i l a r e e c t s a s a d d i n g
v a c u u m e n e r g y o r , e q u i v a l e n t l y , a p o s i t i v e c o s m o l o g i c a l
c o n s t a n t . F o r t h e s e m o d e l s W a l d 1 ] p r o v e d a c o s m i c
n o h a i r t h e o r e m , w h i c h i m p l i e s t h a t a n i n i t i a l s h e a r i s
i n a t e d a w a y 2 ] .
A c o u p l e o f y e a r s a g o , a n e w m e c h a n i s m o f i n a t i o n
h a s b e e n p r o p o s e d , w h e r e i n a t i o n i s d u e t o t h e k i n e t i c
t e r m o f t h e d i l a t o n w h i c h i s a l w a y s p r e s e n t i n t h e l o w
e n e r g y e e c t i v e a c t i o n f r o m a s t r i n g t h e o r y . T h e s e s t r i n g
c o s m o l o g i e s a r e s y m m e t r i c u n d e r t h e d u a l i t y t r a n s f o r m a -
t i o n , t ! ? t a n d a ! 1 = a . H e r e t i s c o s m i c t i m e a n d
a i s t h e s c a l e f a c t o r . A n e x p a n d i n g s o l u t i o n a t n e g a t i v e
t i m e s i s i n a t i n g 3 ] . H e r e , w e w a n t t o s t u d y w h e t h e r
a ' n o h a i r ' t h e o r e m i s a l s o v a l i d f o r t h e s e p r e - b i g - b a n g
i n a t i o n a r y s o l u t i o n s .
W e i n v e s t i g a t e e s p e c i a l l y s p a t i a l l y h o m o g e n e o u s , b u t
a n i s o t r o p i c c o s m o l o g i e s i n t h e p r e - b i g - b a n g s c e n a r i o .
T h e a i m i s t o d e t e r m i n e t h e e v o l u t i o n o f a p o s s i b l e p r i -
m o r d i a l s h e a r . T h e p r e - b i g - b a n g u n i v e r s e s t a r t s o a t
t ! ? 1 i n a n e a r l y M i n k o w s k i s p a c e t i m e . B u t t h e h y -
p o t h e s i s o f l o w c u r v a t u r e a n d l o w c o u p l i n g i n t h e p r e - b i g -
b a n g s c e n a r i o d o e s n o t s a y a n y t h i n g a b o u t t h e p o s s i b i l i t y
o f s t a r t i n g w i t h a n a n i s o t r o p i c s p a c e t i m e .
R e c e n t l y , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f t h e p r e - b i g - b a n g s c e -
n a r i o h a v e b e e n c r i t i c i z e d n o t t o b e n a t u r a l 4 ] . B u o -
n a n n o e t a l . 5 ] h a v e a d d r e s s e d t h i s i s s u e a n d h a v e
s h o w n t h a t t h e p r e - b i g - b a n g i n a t i o n a r y p h a s e i n t h e
s t r i n g f r a m e i s e q u i v a l e n t t o g r a v i t a t i o n a l c o l l a p s e i n t h e
E i n s t e i n f r a m e . T h e y t h e r e f o r e h a v e c o n c l u d e d t h a t t h e
i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r p r e - b i g - b a n g i n a t i o n a r e a s n a t u r a l
a s t h o s e f o r g r a v i t a t i o n a l c o l l a p s e . H o w e v e r , t h e p r e - b i g -
b a n g b u b b l e p i c t u r e s u g g e s t e d i n t h i s w o r k 5 ] s e e m s t o
f a v o r a n i s o t r o p i c K a s n e r s o l u t i o n s . I t i s t h u s i m p o r t a n t
t o i n v e s t i g a t e w h e t h e r s u c h i n i t i a l a n i s o t r o p i e s a r e i n -
a t e d a w a y d u r i n g t h e s u b s e q u e n t i n a t i o n a r y e v o l u t i o n .
B e l o w w e s h o w t h a t t h i s i s n o t t h e c a s e . W e n d t h a t
t h e b e h a v i o u r o f s h e a r i n p r e - b i g - b a n g c o s m o l o g y i s q u i t e
d i e r e n t f r o m i t s b e h a v i o r i n o r d i n a r y p o t e n t i a l i n a t i o n
a n d p r i m o r d i a l s h e a r i s n o t i n a t e d a w a y .
W e r s t b r i e y r e c a l l t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e R i c c i t e n -
s o r o f s p a t i a l l y h o m o g e n e o u s m o d e l s i n t h e o r t h o n o r m a l
f r a m e . ( L a t i n i n d i c e s r u n f r o m 0 . . 3 a n d G r e e k i n d i c e s
f r o m 1 . . 3 . ) T h e m e t r i c ( g
a b
) o f s p a t i a l l y h o m o g e n e o u s
m o d e l s c a n b e w r i t t e n a s
d s
2
=
?d t
2
+ h
( t ) !
!
( 1 )
w h e r e f !
g i s a n i n v a r i a n t b a s i s o f o n e - f o r m s s a t i s f y i n g
t h e a l g e b r a
d !
=
1
2
C
!
!
;
w h e r e C
a r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s o f t h e s y m m e t r y
g r o u p o f t h e c o r r e s p o n d i n g h o m o g e n e o u s m o d e l . B i a n c h i
m o d e l s a r e d i v i d e d i n t o c l a s s A a n d B d e p e n d i n g o n p r o p -
e r t i e s o f t h e g r o u p s t r u c t u r e c o n s t a n t s . H e r e w e r e s t r i c t
o u r s e l v e s t o B i a n c h i c l a s s A m o d e l s w h i c h a r e c h a r a c t e r -
i z e d b y
C
= 0 :
F o r t h e s e m o d e l s h
( t ) i s d i a g o n a l a n d t h u s o f t h e f o r m
h
( t ) = d i a g
?
a
2
1
( t ) ; a
2
2
( t ) ; a
2
3
( t )
: ( 2 )
W e a l s o c h o o s e a n o r t h o n o r m a l f r a m e
( a )
, s o t h a t
d s
2
=
( a ) ( b )
( a )
( b )
; ( 3 )
w h e r e
( a ) ( b )
= d i a g (
?1 ; + 1 ; + 1 ; + 1 ) . I n d i c e s i n p a r e n -
t h e s e s r e f e r t o t h e o r t h o n o r m a l f r a m e .
T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e b a s i s o n e - f o r m s a n d t h e o r -
t h o n o r m a l f r a m e i s g i v e n b y ,
( )
= a
( t ) !
( n o s u m
o v e r ) .
T h e p a r a m e t e r t i s c h o s e n s u c h t h a t g
a b
n
a
n
b
= ? 1 ,
w h e r e n = ?
@
@ t
i s t h e n o r m a l t o t h e ( s p a c e - l i k e ) h o m o -
g e n e o u s h y p e r - s u r f a c e s . T h e e x p a n s i o n a n d s h e a r t e n -
s o r s ,
a b
a n d
a b
r e s p e c t i v e l y , o f t h e h y p e r - s u r f a c e s f t =
c o n s t . g a r e d e n e d b y 6 ]
n
a ; b
=
a b
( 4 )
a b
=
a b
?
1
3
( g
a b
+ n
a
n
b
) ; ( 5 )
w h e r e =
a
a
i s t h e e x p a n s i o n . I n t e r m s o f t h e s c a l e -
f a c t o r s =
P
3
= 1
_a
a
. A d o t i n d i c a t e s d e r i v a t i v e w i t h
r e s p e c t t o t . T h e s h e a r
a b
i s t r a c e - f r e e . I t i s c o n v e n i e n t
t o d e n e
2
1
2
a b
a b
: ( 6 )
W i t h t h i s n o t a t i o n t h e n o n - v a n i s h i n g c o m p o n e n t s o f t h e
R i c c i t e n s o r f o r B i a n c h i c l a s s A m o d e l s i n t h e o r t h o n o r -
m a l f r a m e a r e g i v e n b y ( f o r u s e f u l f o r m u l a e s e e 7 ] 8 ] )
1
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8/3/2019 Kerstin E. Kunze and Ruth Durrer- Anisotropic 'hairs' in string cosmology
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R
( 0 ) ( 0 )
= ?
_
?
1
3
2
? 2
2
R
( ) ( )
= _
( ) ( )
+
( ) ( )
+
1
3
_
+
1
3
2
+ F
( ) ( )
( 7 )
w h e r e t h e r e i s n o s u m o v e r a n d F
( ) ( )
i s a f u n c t i o n
o f t h e s c a l e f a c t o r s d e n e d b y
F
( ) ( )
=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
?
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
?
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
:
T h e R i c c i r o t a t i o n c o e c i e n t s , a r e g i v e n b y
( )
( ) ( )
=
1
2
a
a
a
C
?
a
a
a
C
+
a
a
a
C
=
( ) ( ) ( )
=
( ) ( )
( )
= : : : :
T h e g r o u p s t r u c t u r e c o n s t a n t s C
f o r t h e d i e r e n t
B i a n c h i m o d e l s c a n b e f o u n d , f o r e x a m p l e , i n 8 ] .
F o r B i a n c h i c l a s s B m o d e l s t h e R i c c i t e n s o r h a s o -
d i a g o n a l c o m p o n e n t s a n d a d d i t i o n a l t e r m s i n t h e d i a g -
o n a l c o m p o n e n t s ( s e e f o r e x a m p l e 9 ] ) . H o w e v e r , a l l
t h e s e s c a l e w i t h t h e s c a l e f a c t o r s i n s u c h a w a y t h a t
t h e y b e c o m e s u b - d o m i n a n t d u r i n g i n a t i o n a r y e x p a n -
s i o n . T h e r e f o r e , t h e d i s c u s s i o n o f B i a n c h i c l a s s A m o d e l s
p r e s e n t e d h e r e i s s u c i e n t .
L e t u s n o w d e r i v e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r p r e - b i g -
b a n g i n a t i o n i n t h i s b a c k g r o u n d . T h e l o w e n e r g y e e c -
t i v e a c t i o n o f s t r i n g t h e o r y i s g i v e n b y
S = ?
1
1 6 G
Z
d
4
x
p
? g e
?
( R + @
@
) + S
m a t t e r
: ( 8 )
A s m a t t e r s o u r c e w e i n c l u d e a p e r f e c t u i d . T h e e q u a -
t i o n s o f m o t i o n d e r i v e d f r o m ( 8 ) a r e t h e n g i v e n b y 1 0 ]
R
+ r
r
= 8 G e
T
( 9 )
R ? ( r
)
2
+ 2 r
r
= 0 ( 1 0 )
_ + ( + p ) = 0 : ( 1 1 )
T h e l a s t e q u a t i o n a l r e a d y u s e s t h e f o r m o f t h e e n e r g y
m o m e n t u m t e n s o r T
a b
= ( t ) n
a
n
b
+ p ( t ) ( g
a b
+ n
a
n
b
) .
W e a s s u m e t h a t t h e p e r f e c t u i d s a t i s e s t h e e q u a t i o n o f
s t a t e p = .
I n o r d e r t o d i s c u s s B i a n c h i c l a s s A s p a c e - t i m e s w e u s e
t h e R i c c i t e n s o r g i v e n i n E q . ( 7 ) . I n t h e o r t h o n o r m a l
f r a m e d e n e d a b o v e , t h e s e e q u a t i o n s t h e n r e a d
_
( ) ( )
+ ( ?
_
)
( ) ( )
= ? F
( ) ( )
+
1
3
X
F
( ) ( )
( 1 2 )
_
+ ( ?
_
) = ?
X
F
( ) ( )
+ 8 G e
3 ( 1 3 )
+ (
?
_
)
_
= 8 G e
( 3
?1 ) ( 1 4 )
_ + ( + 1 ) = 0 ( 1 5 )
1
3
2
?
2
?
1
2
( 2 ?
_
)
_
= ?
1
2
X
F
( ) ( )
+ 8 G e
: ( 1 6 )
I t i s e a s y t o s e e t h a t f o r = F
( ) ( )
= 0 t h i s s y s t e m i s
i n v a r i a n t u n d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n
a
! 1 = a
; t ! ? t a n d
_
! 2 ?
_
; ( 1 7 )
t h e s o c a l l e d s c a l e f a c t o r d u a l i t y . U n d e r t h e s e c h a n g e s , a n
e x p a n d i n g d e c e l e r a t i n g s o l u t i o n i n t h e p o s t - b i g - b a n g e r a
( t > 0 ) t r a n s f o r m s i n t o a n i n a t i n g e x p a n d i n g s o l u t i o n i n
t h e p r e - b i g - b a n g e r a ( t ? 1 . A s w e s h a l l c h e c k a t
t h e e n d , i t i s t h e n j u s t i e d t o n e g l e c t t e r m s i n v o l v i n g .
F u r t h e r m o r e , t h e t e r m s F
( ) ( )
c a n b e n e g l e c t e d . A l s o
t h i s h y p o t h e s i s w i l l b e c h e c k e d l a t e r f o r c o n s i s t e n c y .
W i t h t h e s e a p p r o x i m a t i o n s , E q s . ( 1 2 ) t o ( 1 6 ) r e d u c e
t o
_
( ) ( )
+ (
?
_
)
( ) ( )
'0 ( 1 9 )
_
+ ( ?
_
) ' 0 ( 2 0 )
+ ( ?
_
)
_
' 0 ( 2 1 )
1
3
2
?
2
'
1
2
( 2 ?
_
)
_
: ( 2 2 )
B u t t h i s s e t o f e q u a t i o n s c a n b e r e a d i l y s o l v e d a n d w i t h
s c a l e f a c t o r s o f t h e f o r m a
= ( t = t
0
)
?
w h i c h i m p l i e s
= ?
P
t
;
_
= ?
P
+ 1
t
: ( 2 3 )
S i n c e t i s n e g a t i v e i n o u r d o m a i n o f i n t e r e s t a n d w e w a n t
p o s i t i v e s c a l e f a c t o r s , w e c h o o s e a l s o t
0
n e g a t i v e . E x p a n -
s i o n i n a l l d i r e c t i o n s i s t h e n g a r a n t e e d i f
> 0 .
T h e e v o l u t i o n o f
( ) ( )
i s g i v e n b y
( ) ( )
=
1
3
P
?
t
( 2 4 )
T h e c o n s t r a i n t e q u a t i o n ( 2 2 ) y i e l d s t h e K a s n e r c o n s t r a i n t
X
2
= 1 :
W e h a v e t h u s f o u n d t h a t t h e q u a n t i t i e s w e a r e i n t e r -
e s t e d i n , t h e r e l a t i v e a m p l i t u d e s o f s h e a r , i . e .
( ) ( )
a n d
2
2
r e m a i n c o n s t a n t . A p r i m o r d i a l s h e a r i s n o t i n a t e d
a w a y d u r i n g p r e - b i g - b a n g i n a t i o n ,
( ) ( )
= c o n s t .
2
2
= c o n s t . ( 2 5 )
T h i s i s o u r m a i n r e s u l t .
2
-
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I t r e m a i n s t o c h e c k t h a t i t i s j u s t i e d t o n e g l e c t t e r m s
i n v o l v i n g e
a n d t h e F
( ) ( )
. T h e r s t e x p r e s s i o n i s
g i v e n b y
e
t
t
0
P
? 1
: ( 2 6 )
C o n s i s t e n c y r e q u i r e s ( c f . e q u a t i o n s ( 1 3 ) , ( 1 4 ) ) t h a t ,
w i t h i n c r e a s i n g t i m e , t h i s t e r m b e c o m e s l e s s a n d l e s s i m -
p o r t a n t i f c o m p a r e d , f o r e x a m p l e , w i t h
_
. I n o t h e r w o r d s ,
P
? 1 > ? 2 : F o r p o s i t i v e t h i s i s a l w a y s s a t i s e d
s i n c e
> 0 . F o r ? 1 .
L e t u s n o w d i s c u s s t h e b e h a v i o u r o f t h e f u n c t i o n s
F
( ) ( )
. I n p a r t i c u l a r , w e w a n t t o a d d r e s s t h e q u e s t i o n
h o w t h e s h e a r c a n b e e e c t e d b y a c o n t r i b u t i o n f r o m
t h e F
( ) ( )
. F o r s e l f c o n s i s t e n c y , w e j u s t h a v e t o c h e c k
t h a t f o r a s o l u t i o n c l o s e t o K a s n e r , t h e F
( ) ( )
' s m a y b e
n e g l e c t e d . T h e d o m i n a n t c o n t r i b u t i o n t o t h e R i c c i r o -
t a t i o n c o e c i e n t s c o m e s f r o m a f a c t o r
a
a
a
2
w h e r e
a
e x p a n d s f a s t e s t a n d a
a n d a
e x p a n d s l o w e s t . F o r a
K a s n e r s o l u t i o n t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e R i c c i r o t a t i o n c o -
e c i e n t s g r o w s l i k e
a
a
a
2
/ t
2 (
+
?
)
. T h e t e r m
w i t h m i n i m a l
+
?
=
m i n
g r o w s f a s t e s t . B u t
t h e K a s n e r c o n d i t i o n r e a d i l y i m p l i e s t h a t 0 <
? 1 . T h e r e f o r e , i f t h e d e v i a t i o n f r o m t h e
' K a s n e r s o l u t i o n ' i s s m a l l , i t d e c r e a s e s w i t h t i m e a n d w i l l
e v e n t u a l l y b e n e g l i g i b l e . I f a t s o m e g i v e n t i m e d u r i n g
p r e - b i g - b a n g i n a t i o n , t h e u n i v e r s e i s c l o s e t o a a K a s -
n e r s o l u t i o n , i t w i l l a p p r o a c h t h e K a s n e r s o l u t i o n d u r i n g
s u b s e q u e n t e v o l u t i o n . I n t h a t s e n s e t h e K a s n e r s o l u t i o n s
a r e ( l o c a l ) a t t r a c t o r s o f t h e B i a n c h i t y p e A m o d e l s w i t h
o r d i n a r y m a t t e r c o n t e n t .
N o t e a l s o t h a t , i f t h e s o l u t i o n i s r e a s o n a b l y c l o s e t o
i s o t r o p i c ,
1 =
p
3 ,
m i n
i s e v e n p o s i t i v e a n d t h e
F
( ) ( )
a r e v e r y s t r o n g l y s u p p r e s s e d . T h i s m e a n s t h a t
o u r a r g u m e n t a p p l i e s a n d s u b s e q u e n t p r e - b i g - b a n g e v o -
l u t i o n d o e s n o t ' i s o t r o p i z e ' t h e s o l u t i o n .
A s a s i m p l e e x a m p l e w e c o n s i d e r a B i a n c h i I I s t r i n g
c o s m o l o g y . W e n e g l e c t a p o s s i b l e a d d i t i o n a l c o n t r i b u t i o n
f r o m m a t t e r , = 0 . T h e e x a c t 7 p a r a m e t e r f a m i l y o f s o -
l u t i o n s c a n b e f o u n d i n 1 1 ] . T h e e v o l u t i o n o f t h e r a t i o s
( ) ( )
f o r a p a r t i c u l a r c h o i c e o f p a r a m e t e r s i s s h o w n i n
F i g . 1 . W e h a v e c h o s e n t h e p a r a m e t e r s s u c h t h a t t h e s o -
l u t i o n c o n v e r g e s t o t h e K a s n e r s o l u t i o n w i t h s c a l e f a c t o r s
a
1
/(
?t )
?
1
, a
2
/(
?t )
?
2
, a n d a
3
/(
?t )
?
3
, w h e r e
1
= 0 : 6 8 ,
2
= 0 : 6 1 , a n d
3
= 0 : 4 2 . T h e s e s a t i s f y t h e
s t r i n g K a s n e r c o n d i t i o n
P
3
1
2
i
= 1 . T h e e v o l u t i o n o f t h e
s h e a r p a r a m e t e r s
( ) ( )
f o r t h i s p a r t i c u l a r p r e - b i g - b a n g
i n a t i o n a r y s o l u t i o n i s s h o w n i n F i g . 1 . C l e a r l y ,
( ) ( )
=
a p p r o a c h e s t h e K a s n e r v a l u e ,
( ) ( )
=
t ! 0
?
? !
?
1
3
P
P
:
F I G . 1 . E v o l u t i o n o f t h e r a t i o s
( ) ( )
i n a B i a n c h i I I
m o d e l . T h e p a r a m e t e r s a r e c h o s e n i n o r d e r t o a d m i t a n
p r e - b i g - b a n g i n a t i o n a r y s o l u t i o n w i t h
1
0 6 8 ,
2
0 6 1
a n d
3
0 4 2
T h e s i t u a t i o n i n p r e - b i g - b a n g i n a t i o n c a n b e c o n -
t r a s t e d w i t h o r d i n a r y s l o w r o l l i n a t i o n . T h e r e t h e s c a l e
f a c t o r i s e x p a n d i n g c l o s e t o e x p o n e n t i a l l y a n d c o n s t .
T h e e q u a t i o n f o r
( ) ( )
i n s l o w r o l l i n a t i o n i s o b t a i n e d
f r o m ( 1 2 ) b y s e t t i n g t h e d i l a t i o n t e r m ,
_
= 0 . N e g l e c t i n g
a g a i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 1 2 ) , w e n d i n t h i s c a s e
( ) ( )
e
? t
:
P r i m o r d i a l s h e a r d e c a y s e x p o n e n t i a l l y a n d v e r y s o o n i t
b e c o m e s n e g l i g i b l e .
I n c o n t r a r y , i n p r e - b i g - b a n g i n a t i o n t h e s h e a r p a r a m -
e t e r i s e s s e n t i a l l y d e t e r m i n e d b y i t s i n i t i a l v a l u e . T h i s
b e h a v i o u r c a n a l s o b e u n d e r s t o o d b y l o o k i n g a t t h e e v o -
l u t i o n i n t h e E i n s t e i n f r a m e i n w h i c h u s u a l g e n e r a l r e l a -
t i v i t y i s r e c o v e r e d . T h e d i l a t o n p r o v i d e s a m a t t e r c o n t e n t
w h i c h b e h a v e s a s a s t i p e r f e c t u i d ( p = ) w h o s e e n -
e r g y d e n s i t y e v o l v e s l i k e a
? 6
. T h e s h e a r
2
a l s o e v o l v e s
a s a
? 6
, a n d a g a i n t h e i r r a t i o i s a c o n s t a n t .
I t i s k n o w n i n v a c u u m g e n e r a l r e l a t i v i t y t h a t t h e s i n g u -
l a r i t y a t t = 0 i n s p a t i a l l y h o m o g e n e o u s m o d e l s i s e i t h e r
a s y m p t o t i c a l l y v e l o c i t y t e r m d o m i n a t e d 1 2 ] ( K a s n e r -
l i k e ) o r M i x m a s t e r l i k e 1 3 ] . A d d i n g a m a s s l e s s s c a l a r
e l d d e s t r o y s t h e M i x m a s t e r b e h a v i o u r a f t e r a n i t e n u m -
b e r o f o s c i l l a t i o n s l e a v i n g j u s t t h e K a s n e r b e h a v i o u r 1 4 ] .
T h u s a t s u c i e n t l y l a t e t i m e s , t ! ? 0 t e r m s d u e t o s p a -
t i a l c u r v a t u r e l i k e t h e F
( ) ( )
t e r m s i n t h e s t r i n g f r a m e
b e c o m e n e g l i g i b l e .
W e c o n s i d e r o u r r e s u l t a s q u i t e i m p o r t a n t f o r t h e
p r e - b i g - b a n g m o d e l . I t i m p l i e s t h a t t h e p r o b l e m o f
3
-
8/3/2019 Kerstin E. Kunze and Ruth Durrer- Anisotropic 'hairs' in string cosmology
4/4
i s o t r o p i z a t i o n c a n n o t b e s o l v e d i n t h e s i m p l e s t v e r s i o n
o f p r e - b i g - b a n g i n a t i o n . E s p e c i a l l y , i t c a n n o t b e s o l v e d
i n t h e e a r l y , c l a s s i c a l , l o w c o u p l i n g r e g i m e . W e a l s o d o u b t
t h a t t h i s p r o b l e m c a n b e s o l v e d b y q u a n t u m p a r t i c l e p r o -
d u c t i o n b a c k - r e a c t i o n , a m e c h a n i s m , w h i c h c a n b e u s e d
t o s o m e e x t e n t t o d a m p a n i s o t r o p i e s i n t h e v e r y e a r l y
p o s t - b i g - b a n g u n i v e r s e 1 5 ] . I n o u r c a s e , t h e a n i s o t r o p i e s
a r e a v e r y l o n g r a n g e , l o w e n e r g y p h e n o m e n a a n d i t s e e m s
u n l i k e l y t o u s t h a t t h e y c a n b e c u r e d b y p a r t i c l e c r e a t i o n
a t v e r y n e g a t i v e t i m e s .
A s t ! ? t
s t r i n g
c o p i o u s p a r t i c l e p r o d u c t i o n a n d a l s o
o t h e r m e c h a n i s m s , l i k e h i g h e r o r d e r c o r r e c t i o n s t o t h e a c -
t i o n a s c o n j e c t u r e d i n 1 6 ] m a y d a m p a n i s o t r o p i e s . B u t
t h e s e c o r r e c t i o n s o n l y b e c o m e i m p o r t a n t c l o s e t o t h e
P l a n c k t i m e . D u r i n g t h e e n t i r e p r e - b i g - b a n g i n a t i o n
t h e u n i v e r s e r e m a i n s a s a n i s o t r o p i c a s i n t h e i n i t i a l c o n -
d i t i o n s . T h i s h a s s i g n i c a n t i m p l i c a t i o n s o n q u a n t u m
p a r t i c l e c r e a t i o n d u r i n g t h e p r e - b i g - b a n g p h a s e a s h a s
b e e n i n v e s t i g a t e d i n 1 6 ] .
W i t h i n s t r i n g c o s m o l o g y , c o s m o l o g i c a l u c t u a t i o n s a r e
d u e t o c o h e r e n t q u a n t u m p a r t i c l e p r o d u c t i o n i n t h e p r e -
b i g - b a n g p h a s e 1 7 ] . I t i s s t i l l a n o p e n p r o b l e m , t o w h a t
e x t e n t a n i s o t r o p i c c o s m o l o g i c a l u c t u a t i o n s w o u l d b e v i s -
i b l e i n t h e p e r t u r b a t i o n s o f t h e p o s t - b i g - b a n g u n i v e r s e ,
l i k e e . g . a s a p r e f e r r e d d i r e c t i o n i n t h e a n i s o t r o p i e s o f t h e
c o s m i c m i c r o w a v e b a c k g r o u n d . A s t u d y o f t h i s p r o b l e m
i s i n p r e p a r a t i o n .
A c k n o w l e d g m e n t s W e w o u l d l i k e t o t h a n k G . V e n e z i a n o
f o r d i s c u s s i o n s . T h i s w o r k i s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e
S w i s s N S F .
1 ] R . M . W a l d , P h y s . R e v . D 2 8 , 2 1 1 8 ( 1 9 8 3 ) ; J . D . B a r r o w ,
G . G o t z , P h y s . L e t t . B 2 3 1 , 2 2 8 ( 1 9 8 9 ) .
2 ] M . S . T u r n e r , L . M . W i d r o w , P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 2 2 3 7
( 1 9 8 6 ) ; L . G . J e n s e n , J . A . S t e i n - S c h a b e s , P h y s . R e v . D 3 4 ,
9 3 1 ( 1 9 8 6 ) .
3 ] G . V e n e z i a n o , P h y s . L e t t . B 2 6 5 ( 1 9 9 1 ) 2 8 7 ; M .
G a s p e r i n i a n d G . V e n e z i a n o , A s t r o p a r t . P h y s . 1 ,
3 1 7 ( 1 9 9 3 ) ; M o d . P h y s . L e t t . A 8 , 3 7 0 1 , ( 1 9 9 3 ) ;
P h y s . R e v . D 5 0 , 2 5 1 9 ( 1 9 9 4 ) . A n u p d a t e d c o l l e c t i o n
o f p a p e r s o n t h e p r e - b i g - b a n g s c e n a r i o i s a v a i l a b l e a t
h t t p : / / w w w . t o . i n f n . i t / ~ g a s p e r i n
4 ] M . S . T u r n e r , E . J . W e i n b e r g , P h y s . R e v . D 5 6 , 4 6 0 4
( 1 9 9 7 ) ; N . K a l o p e r , A . L i n d e a n d R . B o u s s o , P h y s . R e v .
D 5 9 , 0 4 3 5 0 8 ( 1 9 9 9 ) .
5 ] A . B u o n a n n o , T . D a m o u r a n d G . V e n e z i a n o , N u c l . P h y s .
B 5 4 3 , 2 7 5 ( 1 9 9 9 ) .
6 ] G . F . R . E l l i s , M . A . H . M a c C a l l u m , C o m m . m a t h . P h y s .
1 2 , 1 0 8 ( 1 9 6 9 ) .
7 ] S . C h a n d r a s e k h a r , \ T h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f B l a c k
H o l e s " , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , O x f o r d ( 1 9 9 2 ) .
8 ] M . P . R y a n , L . C . S h e p l e y , \ H o m o g e n e o u s R e l a t i v i s t i c
C o s m o l o g i e s " , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n
( 1 9 7 5 ) .
9 ] H . H . v . B o r z e s z k o w s k i , V . M u l l e r , A n n . P h y s . ( L e i p z i g )
3 5 , 3 6 1 ( 1 9 7 8 ) ; A . H a r v e y , D . T s o u b e l i s , P h y s . R e v . D
1 5 , 2 7 3 4 ( 1 9 7 7 ) .
1 0 ] M . G a s p e r i n i , G . V e n e z i a n o , A s t r o p a r t . P h y s . 1 , 3 1 7
( 1 9 9 3 ) .
1 1 ] N . A . B a t a k i s , A . A . K e h a g i a s , N u c l . P h y s . B 4 4 9 , 2 4 8
( 1 9 9 5 ) .
1 2 ] D . E a r d l e y , E . L i a n g , R . S a c h s , J . M a t h . P h y s . 1 3 , 9 9
( 1 9 7 2 ) ; J . A . I s e n b e r g , V . M o n c r i e f , A n n . P h y s . ( N . Y . )
1 9 9 , 8 4 ( 1 9 9 0 ) .
1 3 ] V . A . B e l i n s k i i , E . M . L i f s h i t z , I . M . K h a l a t n i k o v , S o v .
P h y s . U s p . 1 3 , 7 4 5 ( 1 9 7 1 ) ; C . W . M i s n e r , P h y s . R e v . L e t .
2 2 , 1 0 7 1 ( 1 9 6 9 ) .
1 4 ] V . A . B e l i n s k i i , L . M . K h a l a t n i k o v , S o v . P h y s . J E T P 3 6 ,
5 9 1 ( 1 9 7 3 ) .
1 5 ] B . L . H u , L . P a r k e r , P h y s . R e v . D 1 7 , 9 3 3 ( 1 9 7 8 ) ; E r r a t u m
i b i d . 1 7 , 3 2 9 2 ( 1 9 7 8 ) .
1 6 ] M . G i o v a n n i n i , P h y s . R e v . D 5 9 , 1 2 3 5 1 8 ( 1 9 9 9 ) .
1 7 ] R . D u r r e r , M . G a s p e r i n i , M . S a k e l l a r i a d o u a n d G .
V e n e z i a n o , P h y s . R e v . D 5 9 , 0 4 3 5 1 1 ( 1 9 9 9 ) .
4
