KatsikadelisSerbianEdition Fragmented

GRANINIELEMENTITEORIJA I PRIMENE

D. T. Katsikadelis

GK

GRANINI ELEMENTI

Teorija i primene

Don T. Katsikadelis

Departman za graevinsko inenjerstvo Nacionalni tehniki univerzitet u Atini, Grka

jkatsTypewritten TextCopyrighted MaterialThis a preview. The number of displayed pages is limited

jkatsTypewritten Text







BOUNDARY ELEMENTS

Theory and Applications

John T. Katsikadelis

Department of Civil Engineering National Technical University of Athens

Athens, Greece

2002

Amsterdam London New York Oxford Paris Tokyo

Boston San Diego San Francisco Singapore - Sidney

Don T. Katsikadelis

Departman za graevinsko inenjerstvo Nacionalni tehniki univerzitet u Atini, Grka

GRANINI ELEMENTI Teorija i primene

Prevod sa engleskog jezika i struna redakcija

Dragan T. Spasi

GRAEVINSKA KNJIGA

Beograd, 2010.

Mojoj supruzi Efi za privrenost, strpljenje i

podrku

Predgovor srpskom izdanju

Metod graninih elemenata (MGE) je kao raunarski alat, bez sumnje, postao veoma mono sredstvo za reavanje problema u inenjerstvu i primenjenim naukama. Radi se o alternativi za metode dekompozicije domena kakvi su, na primer, metod konanih razlika i metod konanih elemenata, koja je, kao rezultat marljivog istraivakog rada mnogih istraivaa, sa svih kontinenata, nastala u poslednjih etrdeset godina.

Ova knjiga posveena je graninim elementima i to razumevanju osnovne teorije, numerike implementacije i primene metoda u razliitim inenjerskim disciplinama. Napisana je sa namerom da se nadomesti nedostatak pristupanog, i lakog za razumevanje, polaznog udbenika za uenje MGE, pa je prvenstveno namenjena studentima primenjenih i inenjerskih nauka, mada i profesionalni inenjeri u njoj mogu pronai svoj interes.

Autor je veoma zadovoljan to e knjiga Granini elementi: teorija i primene, objavljena na engleskom jeziku u izdanju izdavake kue Elsevier, 2002. godine, biti prevedena na srpski jezik i to e prevod uraditi profesor Dragan Spasi sa Departmana za tehniku mehaniku Univerziteta u Novom Sadu, linost poznata po svom doprinosu u oblasti mehanike. Autor koristi ovu priliku da prevodiocu izrazi svoje iskreno priznanje i zahvalnost. Za ohrabrenje i pomo tokom prevoenja na srpski jezik autor se takoe zahvaljuje akademiku Nikoli Hajdinu, predsedniku Srpske akademije nauka i umetnosti, profesoru Dragoslavu umarcu sa Graevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu, predsedniku Inenjerske komore Srbije, i akademiku Teodoru Atanackoviu sa Departmana za tehniku mehaniku Univerziteta u Novom Sadu.

Srpskom izdanju prethode izdanja na japanskom (Asakura oten, Tokio, 2004) i ruskom jeziku (Asocijacija visokih kola graevinarstva, Moskva, 2007).

VIII GRANINI ELEMENTI

Autor se nada da e ova publikacija u izvesnoj meri doprineti diseminaciji MGE u Srbiji, te da e biti dobro prihvaena od strane srpskih studenata eljnih znanja sa kojim moe da se krene napred.

Najzad, autor eli da izrazi svoju veoma iskrenu zahvalnost izdavau Graevinska knjiga za korektan izgled srpskog izdanja.

Atina, decembra 2009.

D. T. KATSIKADELIS

Predgovor

Poslednje tri dekade obeleavaju evolucija elektronskih raunara i neobina, iroko rasprostranjena, dostupnost njihovih resursa. To je znaajno doprinelo razvoju raunarskih metoda i njihovoj primeni u inenjerstvu, pre svega u analizi i oblikovanju konstrukcija iz veoma irokog domena, od mostova do aviona, od mainskih elemenata do tunela, ali i pri analizi ljudskog tela. Gotovo u okviru svake inenjerske discipline nastale su nove podoblasti koje sadre atribut raunarski npr. Raunarska mehanika, Raunarska mehanika fluida, Raunarska analiza konstrukcija, Raunarska dinamika konstrukcija, itd. Meu najpopularnijim raunarskim metodama izdvajaju se metod konanih elemenata (MKE) i metod graninih elemenata (MGE). U okviru savremenih metoda numerike analize MKE je ve odavno afirmisan, a uz to je u inenjerskoj zajednici i najpoznatiji. MGE pojavio se neto kasnije i ponudio nove raunarske mogunosti, koje je uz efektivnost i tanost pratila i relativno niska cena upotrebe raunarskih resursa.

Mada se MGE predaje kao redovan kurs na sve veem broju univerziteta, primetan je nedostatak udbenika koji bi, kako studentima tako i profesionalnim inenjerima, mogao da pomogne u razumevanju samog metoda, njegovih teorijskih osnova i primene u reavanju inenjerskih problema. Osnovni razlog za taj nedostatak je to to se MGE uglavnom predaje na viim poslediplomskim kursevima, tako da je dobar deo, za metod fundamentalnih rezultata matematike i mehanike, ostao nepokriven odgovarajuim dodiplomskim kursevima. Zbog toga su postojee knjige o MGE upuene pre akademskoj javnosti i istraivaima koji su na neki nain ve upoznati sa MGE, nego studentima koji MGE sluaju po prvi put, ili pak inenjerima koji programske pakete razvijene za MGE koriste u industriji.

Upravo to opaanje je i stimulisalo autora da napie ovu knjigu. Njegovi rezultati iz oblasti razvoja MGE u poslednjih 30 godina, kao i iskustvo steeno tokom dugo godina predavanja kursa Granini elementi na Departmanu za graevinsko

X GRANINI ELEMENTI

inenjerstvo, Nacionalnog tehnikog univerziteta u Atini, Grka, ine to nastojanje opravdanim. Namera autora bila je da MGE uini dostupnim kako studentima, tako i profesionalnim inenjerima. Iz tog razloga, njegov glavni zadatak bio je da organizuje i predstavi materijal na takav nain da knjiga bude pristupana, laka za razumevanje, i uz to pisana samo na osnovu gradiva matematike i mehanike koje se predaje na dodiplomskim studijama. Taj napor doveo je do, po vie osnova, inovativnog naina prezentacije MGE. Naime, dobijanje fundamentalnih reenja, integralne reprezentacije reenja, integralnih jednaina na granici kao analogiji za razliite parcijalne diferencijalne jednaine i zadate granine uslove, prikazani su na jednostavan nain i uz minimalno pozivanje na rezultate matematike analize sa kojima student verovatno nije upoznat. Indeksna i tenzorska notacija su ovde izostavljene, mada bi autoru sa njima bio olakan posao, npr. preuzimanje gotovih izraza iz literature. I pored toga ukljuen je, sav neophodan pripremni matematiki alat, i to sa ciljem da knjiga bude kompletna i dovoljna za uenje bez upotrebe drugih knjiga.

Tokom pisanja knjige, zbog dubokog i potpunog razumevanja MGE, posebno su naglaavane teme koje zahtevaju detaljno prouavanje. Radi se o sledeim temama.

(i) Formulacija fizikog problema.

(ii) Formulacija matematikog problema u obliku parcijalne diferencijalne jednaine i odgovarajuih graninih uslova, tj. problema graninih vrednosti.

(iii) Prevoenje parcijalnih diferencijalnih jednaina u integralne jednaine na granici, tj. integralne jednaine po nepoznatim graninim veliinama. Ovaj deo slui da italac upozna specijalna partikularna reenja, tzv. fundamentalna reenja, nain na koji se ona koriste, kao i da prepozna njihovo singularno ponaanje.

(iv) Transformacija integrala po oblasti u linijske integrale po granici te oblasti, ili njihova eliminacija, da bi se dobile samo integralne jednaine po nepoznatim graninim veliinama i tako naglasio granini karakter metoda.

(v) Numeriko reavanje dobijenih integralnih jednaina po nepoznatim graninim veliinama. Ova tema, koja pokriva znaajan deo knjige, bavi se numerikom implementacijom MGE, predstavljajui ga kao snaan raunarski alat za reavanje realnih inenjerskih problema. Radi se o diskretizaciji granice integracije deljenjem u elemente, izboru geometrijskog modela elemenata, izboru modela aproksimacije granine veliine du elementa, kao i tehnikama za izraunavanje regularnih i singularnih linijskih integrala, a uopteno govorei procedurama za aproksimaciju aktuelnog problema sistemom linearnih algebarskih jednaina.

(vi) Detaljan opis FORTRAN programa koji implementiraju numerike procedure za razliite probleme. itaocu se pruaju sve neophodne informacije, znanje i vetina, tako da bude osposobljen za samostalno pisanje kompjuterskog koda zasnovanog na MGE i za probleme koji nisu ukljueni u ovu knjigu.

Predgovor XI

(vii) Upotreba pomenutih kompjuterskih programa za reavanje reprezentativnih problema i analiza dobijenih rezultata o ponaanju odgovarajuih fizikih sistema.

Od poetka do kraja knjige svaki pojam je propraen ilustrativnim primerima reavanja problema i to detaljno sa svim potrebnim objanjenjima. Pored toga, svako poglavlje je dopunjeno problemima koji se, u svojstvu vebanja, preporuuju za samostalan rad. Ovi problemi treba da ispune tri zahteva. Neki od njih su jednostavni i slue za bolje razumevanje izloene teorije. Drugi su tei i imaju za cilj proirenje teorije na specijalne sluajeve koji zahtevaju potpunije razumevanje ideja, dok preostali predstavljaju male projekte ija je namena upoznavanje itaoca sa programiranjem u oblasti MGE i programima sadranim na prateem kompakt disku.

Poslednja klasa problema je veoma vana, jer pomae studentu da shvati korisnost i efektivnost metoda kroz reavanje praktinih inenjerskih problema. Kroz te probleme italac uvia da je MGE moan raunarski alat, a ne alternativni teorijski pristup kojim se moe baviti fizikim problemima. Iskustvo autora steeno tokom predavanja MGE govori da je ba ta trea klasa problema najomiljenija meu studentima, koji svoje zadovoljstvo, kada ih ree, povezuju sa objedinjavanjem svog znanja i oseanjem sigurnosti u savladavanju MGE.

Kompakt disk koji je priloen uz ovu knjigu sadri izvorni kod svih kompjuterskih programa razvijenih u knjizi, tako da ga italac, student ili inenjer, moe upotrebljavati za reavanje iroke klase problema. Meu njima su opti problemi potencijala, zatim problemi uvijanja, toplotne provodljivosti, ugiba membrana i ploa, strujanja nekompresibilnih fluida, strujanja kroz porozne sredine, izotropna ili neizotropna, homogena ili kompozitna tela, najzad i ravanski problemi elastostatike u jednostruko ili viestruko povezanim oblastima. Imajui u vidu raznovrsnost aplikacija lako se zakljuuje da knjiga moe da koristi inenjerima gotovo svih disciplina. Autor se nada da e ova knjiga predstaviti itaocu MGE na prihvatljiv, lak i prijatan nain, te da e doprineti njegovoj diseminaciji u oblasti reavanja inenjerskih problema kao novog i snanog raunarskog alata.

Najzad, autor eli da izrazi svoju iskrenu zahvalnost svom studentu, sada gostujuem profesoru na Univerzitetu A&M u Teksasu dr Filisu Kokkinosu, za paljivo itanje rukopisa i veoma korisne sugestije. Njegova kritika i komentari su veoma cenjeni. Isto tako, autor se zahvaljuje svom doktorandu mr G. C. Tsiatasu, za proveru numerikih rezultata i izvoenje nekoliko izraza.

Atina, januara 2002.

D. T. KATSIKADELIS







jkatsTypewritten TextCopyrighted MaterialThis is a preview. The number of pages displaced is limited






Sadraj

Predgovor srpskom izdanju .............................................................................VII

Predgovor ..................................................................................................... IX

Glava 1 Uvod .............................................................................................. 1 1.1 Cilj i obim knjige ................................................................................... 1 1.2 Granini elementi i konani elementi ..................................................... 2 1.3 Istorijski razvoj MGE ............................................................................ 5 1.4 Struktura knjige ..................................................................................... 7 1.5 Sadraj prateeg kompakt diska ............................................................. 8 1.6 Reference .............................................................................................. 9

Glava 2 Pripremni matematiki rezultati ................................................ 13 2.1 Uvod ................................................................................................... 13 2.2 Gaus-Grinova teorema ......................................................................... 13 2.3 Gausova teorema o divergenciji ........................................................... 15 2.4 Druga Grinova formula ........................................................................ 16 2.5 Adjungovani operator .......................................................................... 17 2.6 Dirakova delta funkcija ........................................................................ 18 2.7 Reference ............................................................................................ 23 Problemi ...................................................................................................... 24

XIV BOUNDARY ELEMENTS

Glava 3 MGE za dvodimenzijske probleme potencijala.......................... 25 3.1 Uvod ................................................................................................... 25 3.2 Fundamentalno reenje ........................................................................ 26 3.3 Direktni MGE za Laplasovu jednainu ................................................. 28 3.4 Direktni MGE za Poasonovu jednainu ................................................ 34 3.4.1 Primena druge Grinove formule ................................................. 34 3.4.2 Transformacija Poasonove u Laplasovu jednainu ..................... 34 3.5 Transformacija integrala po oblasti u integrale po granicama oblasti .... 37 3.6 MGE i problemi potencijala za anizotropna tela ................................... 39 3.6.1 Integralna reprezentacija reenja ................................................ 40 3.6.2 Fundamentalno reenje .............................................................. 40 3.6.3 Integralna jednaina na granici .................................................. 43 3.7 Reference ............................................................................................ 44 Problemi ...................................................................................................... 46

Glava 4 Numerika implementacija MGE............................................... 47 4.1 Uvod ................................................................................................... 47 4.2 MGE za konstantne granine elemente ................................................. 49 4.3 Izraunavanje linijskih integrala ........................................................... 53 4.4 Izraunavanje povrinskih integrala ..................................................... 57 4.5 Metod dualnog reciprociteta za Poasonovu jednainu ........................... 58 4.6 Program LABECON za reavanje Laplasove jednaine sa konstantnim graninim elementima .................................................. 61 4.7 Domeni sa vie granica ........................................................................ 85 4.8 Program LABECONMU za domene sa vie granica ............................. 86 4.9 Metod subdomena ................................................................................ 96 4.10 Reference .......................................................................................... 102 Problemi .................................................................................................... 104

Glava 5 Tehnologija graninih elemenata ............................................. 105 5.1 Uvod ................................................................................................. 105 5.2 Linearni elementi ............................................................................... 107 5.3 MGE sa linearnim graninim elementima........................................... 111 5.4 Izraunavanje linijskih integrala du linearnih elemenata ................... 115 5.4.1 Integracija spolja ..................................................................... 116 5.4.2 Integracija unutra ..................................................................... 118 5.4.2.1 Integrali sa singularitetom logaritamskog tipa ............. 118

Table of Contents XV

5.4.2.2 Integrali sa Koijevim tipom singulariteta ................... 126 5.4.3 Indirektno odreivanje dijagonalnih uticajnih koeficijenata ...... 127 5.5 Elementi vieg reda ............................................................................ 129 5.6 Skorosingularni integrali .................................................................... 136 5.7 Reference .......................................................................................... 140 Problemi .................................................................................................... 142

Glava 6 Primene ..................................................................................... 143 6.1 Uvod ................................................................................................. 143 6.2 Uvijanje tapa proizvoljnog poprenog preseka .................................. 143 6.2.1 Funkcija deplanacije poprenog preseka tapa ......................... 143 6.2.2 Izraunavanje komponenti tenzora napona ............................... 155 6.2.3 Program TORSCON za reavanje problema uvijanja sa konstantnim elementima ...................................................... 157 6.2.4 Uvijanje anizotropnih tapova .................................................. 171 6.3 Ugibi elastinih membrana ................................................................. 174 6.4 Savijanje slobodno oslonjenih ploa ................................................... 178 6.5 Problemi prostiranja toplote ............................................................... 181 6.6 Problemi strujanja fluida .................................................................... 187 6.7 Zakljuak ........................................................................................... 193 6.8 Reference .......................................................................................... 197 Problemi .................................................................................................... 198

Glava 7 MGE za dvodimenzijske probleme elastostatike ..................... 201 7.1 Uvod ................................................................................................. 201 7.2 Jednaine ravanske teorije elastinosti................................................ 201 7.2.1 Ravansko stanje deformacije.................................................... 201 7.2.1.1 Kinematike relacije ................................................... 202 7.2.1.2 Konstitutivne relacije .................................................. 203 7.2.1.3 Jednaine ravnotee .................................................... 205 7.2.1.4 Granini uslovi ........................................................... 206 7.2.1.5 Inicijalni naponi i deformacije .................................... 208 7.2.2 Ravansko stanje napona ........................................................... 209 7.3 Betijev identitet reciprociteta ............................................................. 211 7.4 Fundamentalno reenje ...................................................................... 213 7.5 Naponsko stanje usled jedinine koncentrisane sile ............................ 219 7.6 Povrinsko optereenje na granici usled jedinine koncentrisane sile .. 220 7.7 Integralna reprezentacija reenja ........................................................ 221

XVI BOUNDARY ELEMENTS

7.8 Integralne jednaine na granici ........................................................... 224 7.9 Integralna reprezentacija naponskog stanja ......................................... 228 7.10 Numeriko reavanje integralnih jednaina na granici ........................ 230 7.10.1 Odreivanje nepoznatih graninih veliina ............................. 230 7.10.2 Izraunavanje pomeranja taaka unutar tela ........................... 232 7.10.3 Izraunavanje naponskog stanja u takama unutar tela ........... 233 7.10.4 Izraunavanje naponskog stanja na granici oblasti .................. 233 7.11 Zapreminske sile ................................................................................ 234 7.11.1 Direktni numeriki postupci................................................... 234 7.11.2 Izraunavanje pomou partikularnog reenja .......................... 235 7.11.3 Transformacija povrinskih integrala u linijske integrale po granici to boundary integrals............................... 238 7.12 Program ELBECON za reavanje ravanskih problema elastostatike sa konstantnim graninim elementima ............................ 241 7.13 Reference .......................................................................................... 279 Problemi .................................................................................................... 281

Dodatak A Izvodi od r.............................................................................. 285

Dodatak B Gausov metod integracije ..................................................... 289 .1 Gausova integracija regularne funkcije ............................................... 289 .2 Integrali sa singularitetom logaritamskog tipa .................................... 298 .3 Dvostruki integrali regularne funkcije ................................................ 298 .3.1 Gausov metod integracije za pravougaoni domen ..................... 298 .3.2 Gausov metod integracije za trougaoni domen ......................... 299 .4 Dvostruki singularni integrali ............................................................. 305 .4.1 Integrali po oblasti fundamentalnog reenja Laplasove jednaine ................................................................ 305 .4.2 Integrali po oblasti za fundamentalno reenje Navijeovih jednaina ............................................................... 307 B.5 Reference .......................................................................................... 307

Dodatak C Reenja izabranih problema ................................................. 309

Registar imena ............................................................................................... 321

Indeks pojmova ............................................................................................... 325

Glava 1 Uvod

1.1 Cilj i obim knjige Metod graninih elemenata (MGE) je privukao panju istraivaa pre tridesetak godina. Od tog vremena, o metodu je objavljeno nekoliko knjiga [115], koje uglavnom prikazuju teorijske podloge i numerike primene ovog modernog alata matematike analize. Zato je ispravno postaviti pitanje koja je svrha pisanja jo jedne knjige o toj temi. Odgovor je prilino jednostavan. Gotovo sve postojee knjige, premda metod opisuju sveobuhvatno, su u velikom delu pisane koncizno, tako da se moe rei, da su pre namenjene akademskoj zajednici, tj. istraivaima koji su ve upoznati sa metodom, nego studentima koji prvi put ue MGE. Pored toga, treba uzeti u obzir da je MGE, kao nov alat za reavanje inenjerskih problema, namenjen pre svega inenjerima, te da ga treba prikazati na nain koji je njima pristupaan, imajui stalno na umu injenicu da obimnija upotreba vie matematike moe autora da udalji pa da prikaz metoda vie odgovara objektu primenjene matematike analize, nego prihvatljivom alatu za reavanje inenjerskih problema. Na primer, iako upotreba tenzorske notacije obezbeuje koncizne i elegantne formulacije, ona ne oduevljava mnogo ni studente ni inenjere. Zato se u ovoj knjizi i predstavlja MGE i daje izvoenje svih neophodnih jednaina samo na osnovu fundamentalnih rezultata diferencijalnog i integralnog rauna, te osnovnih postupaka numerike integracije. Poto je cilj knjige da MGE prikae na razumljiv nain, ne ulazei duboko u sve njegove mogunosti, primena metoda e se ograniiti na jednostavne probleme. Radi se o problemima graninih vrednosti opisanih Laplasovom ili Poasonovom jednainom u dve dimenzije i problemima ravanske teorije elastinosti. Znatan deo knjige je posveen numerikoj implementaciji metoda i primeni na inenjerske probleme. U svim sluajevima, kompjuterski programi su napisani u jeziku FORTRAN. Mada reavaju vane inenjerske probleme, ti programi nemaju profesionalni, ve edukativni karakter, jer uglavnom predstavljaju logike korake, neophodne za njihovu konstrukciju, a uz to i upoznaju itaoca sa razvojem programskih paketa za MGE.

2 GRANINI ELEMENTI

Autor oekuje da e studenti i inenjeri razliitih profesija, pomou ove knjige razumeti MGE i primenjivati ga u reavanju problema sa kojima se sreu, bilo kroz ovde priloene kompjuterske programe, bilo kroz one koje sami napiu. Pored toga, autor vrsto veruje da e ova knjiga doprineti irem prihvatanju MGE kao najsavremenijeg raunarskog metoda.

1.2 Granini elementi i konani elementi Metod graninih elementa (MGE) predstavlja tehniku za analizu ponaanja mehanikih sistema i, posebno, inenjerskih konstrukcija izloenih dejstvu spoljanjeg optereenja. Izraz optereenje je ovde uzet u optem smislu, i odnosi se na spoljanji izvor, ili samo izvor, usled koga nastaje netrivijalna funkcija polja koja opisuje odziv sistema (temperatursko polje, polje pomeranja, polje naponskog stanja, itd.). Optereenje u ovom smislu moe biti toplota, sile na povrinama, zapreminske sile ili pak, kao na primer pri sleganju oslonaca, nehomogeni granini uslovi. Umesto izvor, ponekad e se koristiti rei pobuda ili generiui lan.

Danas se prouavanje ponaanja konstrukcija obavlja pomou raunara. Razlog je sasvim oigledan, niske cene numerikih nasuprot skupim eksperimentalnim simulacijama. Naime, primenom raunara, tj. modeliranjem i upotrebom numerikih procedura za reavanje jednaina dobijenih modela, mogu se obaviti potrebna ispitivanja za veoma irok varijetet u optereenju i geometriji, da bi se odredilo optimalno reenje konstrukcije, pre nego to se pristupi izgradnji.

U poslednjih tridesetak godina, za numeriku analizu konstrukcija, uglavnom se koristio metod konanih elemenata (MKE). Realni inenjerski problemi koji ukljuuju analizu elemenata konstrukcija proizvoljne geometrije, proizvoljnog optereenja, sa razliitim konstitutivnim jednainama, linearnog ili nelinearnog tipa, u dve ili tri dimezije su reavani tim metodom. Ima puno razloga to je u pomenutom periodu MKE, vrednovan kao moderan raunarski alat.

Opet, opravdano je postaviti pitanje zato nam treba MGE kada za reavanje inenjerskih problema ve imamo MKE. Odgovor je da za odreenu klasu problema primena konanih elementa moe biti neefikasna i teka. Naime, uprkos veoma irokoj primeni u reavanju inenjerskih problema MKE ima svoje nedostatke, od kojih su najvaniji:

(i) Diskretizacija se obavlja u itavoj oblasti koju zauzima posmatrano telo. Zbog toga je generisanje i ispitivanje mree konanih elementa tee, moe biti naporno i dugotrajno, posebno u sluaju tela sloene geometrije. Na primer, za tela sa otvorima, zaobljenjima, zasecima, ispustima, ili prelomnim takama, potrebna je sloenija mrea sa veim brojem elemenata, da bi se u tim kritinim zonama utvrdile velike i nagle promene ispitivanih veliina (videti Sl. 1.1a).

(ii) Modifikacije diskretizovanog modela koje bi popravile tanost ili pokazale efekte promene oblika, mogu biti teke i zahtevati dosta napora i vremena.

Glava 1 Uvod 3

(iii) Za neograniene oblasti, npr. poluprostor ili domen koji je komplementaran za neki konani, primena MKE zahteva uvoenje fiktivne zatvorene granice. To smanjuje tanost, a ponekad moe dovesti do neodgovarajuih ili netanih reenja.

(iv) Za probleme opisane diferencijalnim jednainama etvrtog i vieg reda (npr. jednaine ploa i ljuski estog, osmog i vieg reda) uslovi konformnosti zahtevaju prilino zametan posao tako da MKE moe postati nepraktian.

(v) Iako MKE tano izraunava nepoznatu funkciju polja, nedelotvoran je u nalaenju njenih izvoda. Tanost znaajno opada u oblastima velikih i naglih promena.

(a) MKE

(b) MGE

Slika 1.1 Diskretizacija domena za MKE (a) i granice za MGE (b).

4 GRANINI ELEMENTI

Nedostaci (i) i (ii) se mogu prevazii upotrebom novijih verzija profesionalnog softvera koji sadre automatske i adaptivne generatore mree konanih elemenata. Takav je na primer NASTRAN, program za analizu metodom konanih elemenata koji je u kasnim ezdesetim godinama prologa veka razvijen za potrebe amerike agencije za kosmika istraivanja NASA. U osnovi zadatak generisanja mree ili sistema konanih elemenata je teak geometrijski problem koji ponekad moe biti mnogo tei nego sam fiziki problem koji MKE treba reiti. Otud jo jedan nedostatak. Naime, softverski kod za generisanje mree MKE je obino zatvorenog tipa, a bilo kakav napor da se taj kod napravi zahteva specijalistiko znanje iz razliitih oblasti nauke. Pokuaj inenjera da naui neophodan materijal bi ga samo udaljio od njegovog primarnog cilja, a to je reavanje postavljenog fizikog problema.

Nasuprot tome metod graninih elemenata (MGE) ima mnoge prednosti od kojih su najvanije:

(i) Diskretizuje se samo granica posmatranog tela, to numeriko modeliranje sa MGE ini lakim (videti Sl. 1.1b) jer za jedan redukuje dimenziju problema. Remodeliranje koje odraava promene u obliku je jednostavno.

(ii) Za neograniene oblasti, problem se formulie jednostavno kao spoljanji. Oigledno je da tada fundamentalno reenje treba da zadovolji neke uslove u beskonanosti, kakav je za dinamike probleme, na primer Zomerfeldov uslov radijacije. Na taj nain, kompjuterski programi razvijeni za konane domene, sa nekoliko modifikacija, mogu da se koriste i za sluaj beskonanih domena. To nije mogue u sluaju MKE.

(iii) Metod je posebno efikasan u raunanju izvoda funkcije polja (npr. fluksa, deformacija, naponskog stanja, momenata). Lako se radi sa koncentrisanim silama i spregovima, koji deluju bilo unutar, bilo na granici oblasti.

(iv) MGE omoguava izraunavanje reenja problema i njegovih izvoda u bilo kojoj taki oblasti u bilo kom trenutku vremena. To je izvodljivo jer metod koristi integralnu reprezentaciju reenja koja ima svojstvo neprekidnosti, a koja se moe diferencirati i koristiti kao matematiki izraz. Ni to nije mogue u sluaju MKE poto se reenje dobija samo u vornim takama.

(v) Metod je dobro prilagoen za reavanje problema koji ukljuuju domene sa geometrijskim imperfekcijama, kakve su na primer prsline.

S druge strane, u sadanjoj fazi razvoja, glavni nedostaci MGE su:

(i) Primena MGE zahteva tzv. fundamentalno reenje. Metod se ne moe koristiti za reavanje problema ije se fundamentalno reenje ili ne zna ili se ne moe odrediti. Takvi su, na primer, problemi opisani diferencijalnim jednainama sa varijabilnim koeficijentima. Metod oigledno nije primenljiv ni na nelinearne probleme za koje ne vai princip superpozicije. U tom sluaju MGE daje integrale po oblasti koji se mogu izraunavati diskretizacijom domena ali se naravno, u tom sluaju, naruava ist granini

Glava 1 Uvod 5

karakter metoda. Poslednjih godina, sprovodi se intenzivno istraivanje sa nastojanjem da se prevaziu spomenuti nedostaci.

(ii) Numerika implementacija MGE dovodi do sistema linearnih algebarskih jednaina ije su matrice koeficijenta potpuno popunjene i nesimetrine. Meutim u modelu generisanom MKE odgovarajue matrice imaju neka veoma korisna svojstva, one su trakaste i simetrine. Ovaj nedostatak MGE kompenzuje mnogo nii red ukljuenih matrica. Opti format matrica koeficijenta linearnih sistema za MKE i MGE je grafiki prikazan na Sl. 1.2.

MKE MGE

Sl. 1.2 Matrice koeficijenata za MKE i MGE.

1.3 Istorijski razvoj MGE Sve do poetka osamdesetih godina prologa veka MGE je bio poznat kao metod integralnih jednaina na granici (MIJG). Kao metod za reavanje problema matematike fizike on potie iz rada G. Grina [16]. On je 1828. godine formulisao integralnu reprezentaciju reenja Laplasove jednaine za probleme Dirihlea i Nojmana, uvoenjem tzv. Grinove funkcije za te probleme. Godine 1872. Beti [17] prikazuje opti metod integracije jednaina teorije elastinosti i izvodi njihovo reenje u integralnoj formi. U osnovi to se moe smatrati kao direktno proirenje Grinovog pristupa na Navijeove jednaine u teoriji elastinosti. Koristei Betijevu teoremu reciprociteta, Somilijana je 1885. izveo integralnu reprezentaciju reenja problema elastinosti koji ukljuuje zapreminske sile, pomeranja na granicama i povrinsko optereenje.

Medjutim, status tvorca metoda graninih elemenata se moe pripisati Fredholmu. Naime, da bi odredio nepoznate granine veliine u problemima teorije potencijala on je, poetkom dvadesetog veka, kao prvi koristio singularne integralne jednaine na granici oblasti [19]. U stvari, metod je korien kao matematiko sredstvo za odreivanje neophodnih graninih uslova za dobro postavljen problem matematike fizike, a ne kao metod za reavanje problema. To se ini potpuno opravdanim poto ni tada, a ni sada, nije mogue nai analitiko reenje za

6 GRANINI ELEMENTI

izvedene singularne integralne jednaine. U navedenim metodama nepoznate granine veliine imaju direktno fiziko ili geometrijsko znaenje i iz tog razloga se na njih referie kao na direktni MGE. Pored tih, razvijene su i formulacije MGE kod kojih nepoznate granine veliine nemaju direktno fiziko ili geometrijsko znaenje, pa su zato dobile ime indirektni MGE [20, 21, 22]. Detaljan pregled tih metoda se moe nai u referenci [23]. erman [24, 25], Mihlin [26] i Mushelivili [27] su koristili kompleksne funkcije da bi razvili metode integralnih jednaina na granici za reavanje problema ravanske teorije elastinosti.

Reenja integralnih jednaina u zatvorenoj formi su data samo za neke oblasti sa geometrijski veoma jednostavnom granicom. Naalost, rad Fredholma je mnogo prethodio kompjuterima koji su njegove ideje mogli uiniti praktinim. Iz tog razloga, sve do kraja pedesetih godina prologa veka metod integralnih jednaina na granici bio je zanemaren. Tek tada, sa dolaskom kompjutera, metod se vratio u iu interesovanja kao numeriki metod za reavanje inenjerskih problema. Razvijene su numerike metode za reavanje integralnih jednaina po nepoznatim graninim veliinama, pa su teki fiziki problemi sa geometrijski kompleksnom granicom, koji se nisu mogli reavati drugim metodama, reeni po prvi put. Prvi radovi koji lee u osnovi MGE kao raunarske tehnike pojavili su se u ranim ezdesetim. Jasvon [28] i Sim [29] su koristili Fredholmove jednaine za reavanje nekih dvodimenzijskih problema teorije potencijala [30, 31]. Dobra svojstva MGE, o kojima je bilo rei u prethodnoj sekciji, privukla su istraivae i motivisala ih da i dalje razvijaju metod. Rizo [32] i Kruz [33] su primenili metod na redom, dvo- i trodimenzijske probleme teorije elastinosti. Rizo i ipi [34] su proirili njegovu primenu na anizotropna tela, a Kruz i Rizo [35] na reavanje problema elastodinamike. Ignjaak i Novacki [36] su opisali integralne jednaine termoelastinosti, a Mendelson [37] je integralnim metodom prouavao probleme elastoplastinog uvijanja.

Svi navedeni problemi se modeliraju parcijalnim diferencijalnim jednainama drugog reda. Drugu grupu problema predstavljaju oni koji se opisuju biharmonijskom jednainom. U tom sluaju integralna reprezentacija reenja se dobija iz Rejli-Grinovog identiteta [38], a taj pristup je primenjen na izvijanje ploa i ravansku elastinost koja je formulisana preko Erijeve naponske funkcije. Ta formulacija sadri dve integralne jednaine na granici, po jedna za svaku nepoznatu graninu veliinu. Prva nastaje iz graninog karaktera integralne reprezentacije funkcije polja, dok se druga dobija iz integralne reprezentacije ili Laplasijana funkcije polja ili njenog izvoda du normale na granicu. Taj drugi prilaz, prikazan u radu Katsikadelis i dr. [39] je postao preovlaujui i kasnije, od strane Bezina [40] i terna [41], izabran za reavanje problema savijanja ploa. Obiman i detaljan prikaz problema savijanja ploa analiziranih MGE se moe nai u referenci [42]. Ve u kasnim osamdestim prologa veka, u literaturi se mogu nai brojne publikacije u kojima se MGE primenjuje na iroku klasu inenjerskih problema. Meu njima su statiki i dinamiki, linearni i nelinearni problemi teorije elastinosti, problemi savijanja ploa i ljuski, problemi elastodinamike, prostiranja talasa i zemljotresnog inenjerstva, geomehanike i fundiranja, interakcije tla i

Glava 1 Uvod 7

konstrukcija, interakcije fluida i konstrukcija, dinamike fluida, unilateralnog kontakta, mehanike loma, elektriciteta i elektromagnetizma, provoenja toplote, akustike, aerodinamike, korozije, optimizacije, analize osetljivosti, inverzni problem, problemi identifikacije, itd. Danas se moe rei da je MGE sazreo i postao snano orue za analizu inenjerskih problema kao i alternativa za metode dekompozicije domena. Metod je afirmisan pod imenom MGE (metod graninih elemenata) to se pripisuje pristupu korienom za reavanje integralnih jednaina po nepoznatim graninim veliinama, kome prethodi diskretizacija granice u elemente. Raunarski programi zasnovani na MGE razvijeni su za raunare jednostruke ili paralelne arhitekture. Takoe razvijeni su i profesionalni programski paketi visokih performansi, na primer BEASY [43]. Prvu internacionalnu konferenciju o MGE organizovao je C. Brebia 1978. godine i od tada se, od strane Meunarodnog drutva za granine elemente (ISBE) i Meunarodne asocijacije za granine elemente (IABEM), svake godine odravaju konferencije o MGE. Pored toga, gotovo sve konferencije o raunarskoj mehanici, sadre sekcije posveene MGE. Detaljan pregled tog ogromnog polja rada okupirao bi veliki prostor i naravno izlazi iz okvira ove knjige. Meutim, zainteresovani italac se upuuje na pregledne radove navedene pod brojem [44, 45] u spisku literature, na Zbornike radova sa konferencija (BEM, IABEM) i na brojne reference izdavaa Raunarska mehanika, Publikacije Sauthempton.

Nova istraivanja u oblasti MGE imaju za cilj otklanjanje uoenih nedostataka metoda. Njihov predmet su sloeni problemi koji ukljuuju vremenski zavisne procese, linearne probleme za koje nije poznato fundamentalno reenje, i nelinearne probleme. Za sve te tipove problema rezultujue integralno reenje ukljuuje integrale po oblasti, koji komplikuju primenu metoda. Tehnike koje najvie obeavaju u prevazilaenju veine uoenih nedostataka, i u isto vreme uvaju isto granini karakter MGE, su metod dualnog reciprociteta (MDR) [46], koji ipak ima odreene nedostatke, i metod analogne jednaine (MAJ) [47, 48]. MAJ je optiji i bez ogranienja koja prate MDR.

1.4 Struktura knjige Kao to je reeno u Sekciji 1.1, cilj ove knjige je da MGE uini razumljivim za studenta inenjerskih nauka. Zbog toga, njegova primena e biti ograniena na jednostavne ali najreprezentativnije probleme. Tako zamiljena, knjiga zajedno sa uvodnim sadri sedam poglavlja i tri dodatka. Svako poglavlje prate izbor iz bibliografije i reference preporuene za nastavak uenja. Na kraju svakog poglavlja daje se nekoliko problema koje treba reiti u svojstvu samostalnog vebanja.

Poglavlje 2 sadri pripremne matematike rezultate koji su neophodni za razvoj MGE. To su Gausova teorema o divergenciji, Grinov indentitet reciprociteta (druga Grinova formula), te definicija i osnovna svojstva delta funkcije (ili delta distribucije, odn. uoptene delta funkcije).

8 GRANINI ELEMENTI

U Poglavlju 3 razvijen je direktni MGE za izabrane probleme teorije potencijala, tj. za probleme graninih vrednosti za dvodimenzijske jednaine Laplasovog i Poasonovog tipa. Metod je proiren i na opte parcijalne diferencijalne jednaine drugog reda sa konstantnim koeficijentima, koje opisuju homogena ortotropna, ili generalno, anizotropna tela.

Poglavlje 4 opisuje numeriku implementaciju MGE i numeriko reavanje singularnih integralnih jednaina na granici. Iz pedagokih razloga, reenje se izvodi samo za konstantne granine elemente i realizuje kroz kompjuterski program koji je napisan u kodu programskog jezika FORTRAN. Program je detaljno objanjen, a njegova struktura sistematino izloena, tako da italac upozna logiku pisanja softvera za MGE. Metod je primenjen i na oblasti koje sadre otvore. I za taj sluaj je obezbeen raunarski program. Najzad tu se nalazi i metod subdomena (deljenja originalne oblasti) jer se i to odnosi na MGE.

Poglavlje 5 se bavi tehnologijom graninih elemenata. Singularne integralne jednaine su reavane numerikom integracijom pomou graninih elemenata. Elementi mogu biti subparametarski, izoparametarski ili superparametarski a naglasak je stavljen na linearne i paraboline elemente. Znaajan deo poglavlja posveen je odreivanju vrednosti singularnih i hipersingularnih integrala.

Primene MGE na inenjerske probleme koji se mogu svesti na probleme graninih vrednosti za Laplasovu ili Poasonovu jednainu predmet su Poglavlja 6. Specijalno, MGE je primenjen na Sen-Venanov problem uvijanja za izotropne i anizotropne materijale, na ugibe membrana i slobodno oslonjenih ploa, u provoenju toplote i na nevrtlono strujanje nekompresibilnog fluida. Za svaki od tih problema, itaocu su na raspolaganju kompjuterski program i reprezentativni primeri.

Poglavlje 7 bavi se prouavanjem problema ravanske teorije elastinosti. Pri tome su fundamentalno reenje i odgovarajue integralne jednaine po nepoznatim graninim veliinama, izvedeni na jednostavan nain tako da je student u mogunosti da razume predmet i isprati sve korake. Kompjuterski program je napisan i za ovu klasu problema. Prikazano je i nekoliko numerikih aplikacija koje, sa jedne strane upoznaju studenta kako se program koristi, a sa druge demonstriraju efektivnost metoda.

U Dodatku A navedene su korisne relacije sa kojima se jezgra izvedenih integralnih jednaina lake diferenciraju. Gausove kvadraturne formule (numerika integracija) za regularne i singularne, linijske i integrale po oblasti, prikazane su u Dodatku B. Najzad, reenja i/ili preporuke za reavanje problema navedenih na kraju svakog od est poglavlja, dati su u Dodatku C.

1.5 Sadraj prateeg kompakt diska Uz ovu knjigu priloen je i kompakt disk koji sadri kompjuterske programe iji je izvorni kod opisan u poglavljima ove knjige. Specijalno, na kompakt disku nalaze se sledei programi:

Glava 1 Uvod 9

1. LABECON.FOR, RECT-1.FOR i ELLIPSE-1.FOR. Prvi program reava Laplasovu jednainu upotrebom konstantnih elemenata, dok druga dva formiraju datoteke za pravougaoni i eliptini domen.

2. LABECONMU.FOR i RECT-2.FOR. Prvi program reava Laplasovu jednainu za nekonveksni domen, a drugi priprema datoteku za sluaj viestruko povezanih domena (Primer 4.3).

3. TORSCON.FOR, RECT-3.FOR i ELLIPSE-3.FOR. Prvi reava problem uvijanja tapa, a druga dva kreiraju datoteke za pravougaoni i eliptini popreni presek respektivno.

4. FLUIDCON.FOR. Analizira nevrtlono strujanje nekompresibilnog fluida.

5. ELBECON.FOR, RECT-4.FOR i RECTEL-MU.FOR. Prvi reava problem ravanske teorije elastinosti (za ravansko stanje deformacije i ravansko stanje napona). Drugi formira datoteku za pravougaoni domen, a trei datoteku za domen sa vie od jedne granice (Primer 7.3).

1.6 Reference

[1] Brebbia, C.A., 1978. The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London.

[2] Banerjee, P.K. and Butterfield, R., 1981. Boundary Element Methods in Engineering Science, McGraw-Hill, New York.

[3] Brebbia, C.A., Telles, J.C.F. and Wrobel, L.C., 1984. Boundary Element Techniques, Computational Mechanics Publications, Southampton.

[4] Hartmann, F., 1989. Introduction to Boundary Elements, Springer-Verlag, Berlin.

[5] Becker, A.A., 1992. The Boundary Element Method in Engineering: A Com-plete Course, McGraw-Hill, New York.

[6] Beer, G. and Watson, J.O., 1992. Introduction to Finite and Boundary Ele-ment Methods for Engineers, John Wiley and Sons, New York.

[7] Chen, G. and hou, J., 1992. Boundary Element Methods, Academic Press, London.

[8] El-Zafrany, A., 1993. Techniques of the Boundary Element Method, Prentice Hall PTR.

[9] Banerjee, P.K., 1994. The Boundary Element Methods in Engineering, McGraw-Hill, London.

[10] Hall, W.S., 1994. The Boundary Element Method, Kluwer Academic Publish-ers, Dordrecht.

10 GRANINI ELEMENTI

[11] Kane, J.H., 1994. Boundary Element Analysis in Engineering Continuum Mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[12] revelyan, J., 1994. Boundary Elements for Engineers: Theory and Applica-tions, Computational Mechanics Publications, Southampton.

[13] Gaul, L. and Fiedler, C., 1997. Methode der Randelemente in Statik und Dynamik, Vieveg-Verlag, Baunschweig/Wiesbaden.

[14] Paris, F. and Canas, J., 1997. Boundary Element Method: Fundamentals and Applications, Oxford University Press.

[15] Brebbia, C.A. and Dominguez, J., 2001. Boundary Elements: An Introductory Course, 2nd edition, Computational Mechanics Publications, Southampton.

[16] Green, G., 1828. An Essay on the Application on Mathematical Analysis to the Theories of Electricity amd Magmetism, Notingham.

[17] Betti, E., 1872. Theoria dell Elasticita, il Nuovo Cimento, Ser. 2, pp.7-10.

[18] Somigliana, C., 1885. Sopra l Equilibrio di un Corpo Elastico Isotropo, Il Nuovo Comento, Ser. 3, pp.17-20.

[19] Fredholm, I., 1903. Sur une Classe d Equations Fonctionelles, Acta Mathe-matica, Vol.27, pp.365-390.

[20] Kupradze, V.D., 1965. Potential Methods in the Theory of Elasticity, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem.

[21] Kellog, O.D., 1967. Foundations of Potential Theory, Springer-Verlag, Berlin.

[22] Jaswon, M.A. and Symm, G.T., 1977. Intergal Equation Methods in Poten-tial Theory and Elastostatics, Academic Press, London.

[23] Katsikadelis, J.T., 1982. The Analysis of Plates on Elastic Foundation by the Boundary Integral Equation Method, Ph.D. Dissertation, Polytechnic Univer-sity of New York, N.Y.

[24] Sherman, D.I., 1940. On the Solution of the Plane Static Problem of the Theory of Elasticity for Displacements Given on the Boundary, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Vol.27, pp.911-913.

[25] Sherman, D.I., 1940. On the Solution of the Plane Static Problem of the Theory of Elasticity for Given External Forces, Dokl. Akad Nauk SSSR, Vol.28, pp.25-28.

[26] Mikhlin, S.G., 1957. Integral Equations, Pergamon Press, London.

[27] Muskhelishvili, N.I., 1963. Some Basic Problems of the Theory of Elasticity, Noordhoff, Holland.

[28] Jaswon, M.A., 1963. Integral Equation Methods in Potential Theory I, Pro-ceedings of the Royal Society, Ser. A, Vol.275, pp.23-32.

Glava 1 Uvod 11

[29] Symm, G.T., 1963. Integral Equation Methods in Potential Theory II, Pro-ceedings of the Royal Society, Ser. A, Vol.275, pp.33-46.

[30] Jaswon, M.A. and Ponter, A.R., 1963. An Integral Equation Solution of the Torsion Problem, Proceedings of the Royal Society, Ser. A, Vol.275, pp.237-246.

[31] Symm, G.T., 1966. An Intergal Equation Solution in Conformal Mapping, Numerische Mathematik, Vol.9, pp.250-258.

[32] Rizzo, F.J., 1967. An Integral Equation Approach to Boundary Value Prob-lems of Classical Elastostatics, Quarterly of Applied Mathematics, Vol.25, pp.83-95.

[33] Cruse, T., 1969. Numerical Solutions in Three-Dimensional Elastostatics, International Journal of Solids and Structures, Vol.5, pp.1259-1274.

[34] Rizzo, F.J. and Shippy, D., 1970. A Merhod for Stress Determination in Plane Anisotropic Elastic Bodies, Journal of Composite Materials, Vol.4, pp.36-61.

[35] Cruse, T. and Rizzo, F.J., 1968. A Direct Formulation and Numerical Solu-tion of the Transient Elastodynamic ProblemI, International Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.22, pp.244-259.

[36] Ignaczak, J. and Nowacki, W., 1968. Singular Integral Equations in Thermo-elasticity, International Journal of Engineering Sciences, Vol.4, pp.53-68.

[37] Mendelson, A., 1973. Solution of the Elastoplastic Torsion Problem by Boundary Integral Method, NASA, TN D-7418.

[38] Bergman, S. and Schiffer, M., 1953. Kernel Functions and Elliptic Differen-tial Equations in Mathematical Physics, Academic Press, New York.

[39] Katsikadelis, J.T., Massalas, C.V. and Tzivanidis, G.J., 1977. An Integral Equation Solution of the Plane Problem of the Theory of Elasticity, Mechan-ics Research Communications, Vol.4, pp.199-208.

[40] Bezine, G., 1978. Boundary Integral Equations for Plate Flexure with Arbi-trary Boundary Conditions, Mechanics Research Communications, Vol.5, pp.197-206.

[41] Stern, M., 1979. A General Boundary Integral Formulation for the Numerical Solution of Plate Bending Problems, International Journal of Solids and Structures, Vol.15, pp.769-782.

[42] Beskos, D.E. (ed.), 1991. Boundary Element Analysis of Plates and Shells, Springer-Verlag, Berlin.

[43] Trevelyan, J., 1993. Applications of the BEASY Boundary Element Software in Engineering Industry, in: Aliabadi, M.H. (ed.), Industrial Applications of the Boundary Element Method, Computational Mechanics Publications, Southampton.

12 GRANINI ELEMENTI

[44] Beskos, D.E., 1987. Boundary Element Methods in Dynamic Analysis. Part I, Applied Mechanics Reviews, Vol.40, pp.1-23.

[45] Beskos, D.E., 1997. Boundary Element Methods in Dynamic Analysis. Part II, Applied Mechanics Reviews, Vol.50, pp.149-197.

[46] Partridge, P.W., Brebbia, C.A. and Wrobel, L.C., 1992. The Dual Reciprocity Method, Computational Mechanics Publications, Southampton.

[47] Katsikadelis, J.T. and Nerantzaki, M.S., 1998. A Boundary-Only BEM for Linear and Nonlinear Problems, in: Kassab, A., Brebbia, C.A. and Chopra, M. (eds.), Boundary Elements XX, pp.309-320, Computational Mechanics Publications, Southampton.

[48] atsikadelis, J.T. and Nerantzaki, M.S., 1999. The BEM for Nonlinear Prob-lems, Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol.23, pp.365-373.

Glava 2 Pripremni

matematiki rezultati

2.1 Uvod U ovom poglavlju navodi se nekoliko matematikih relacija neophodnih za razvoj i razumevanje metoda graninih elemenata (MGE). Iako su mogle biti ukljuene u dodatak, one su postavljene ovde da bi se itaocu naglasila njihova znaajna uloga u teorijskom utemeljenju i razvijanju MGE. One e se u knjizi koristiti i dugo i esto, posebno za transformaciju diferencijalnih jednaina koje opisuju odziv fizikog sistema unutar posmatrane oblasti u integralne jednaine na granici oblasti. Razumevanje ovih matematikih rezultata e itaocu stvoriti oseanje sigurnosti u njihovoj daljoj upotrebi.

2.2 Gaus-Grinova teorema Gaus-Grinova teorema je osnovni identitet koji povezuje integral izvoda funkcije po oblasti sa integralom te funkcije raunatim na granici oblasti . Oblast, ili domen, moe biti deo dvo- ili trodimenzijskog prostora. Radi jednostavnosti prezentacije ovaj rezultat e se izvesti za dvodimenzijski sluaj. Posmatra se ravanski domen koji ograniava kriva, ili granica, . Prvo e se posmatrati parcijalni izvod funkcije ( , )f f x y po x . Integral po oblasti se moe zapisati kao dvostruki, ili povrinski integral, kod koga e se prvo sprovesti integracija po x a zatim i po y . Prema tome, moe se pisati

2 2 21 1 1

2 1( , ) ( , ) ,y x y

y x y

f fd dx dy f x y f x y dyx x

(2.1) gde je

1 1( )x x y , i 2 2( )x x y . (2.2)

14 GRANINI ELEMENTI

d1s

2y

1y

2ss

1x 2x

dy

y

x

ds

dxi

j

dy

dx

t n

ds

Slika 2.1 Integracija po ravanskom domenu ogranienom krivom .

Iz detalja sa Sl. 2.1, nalaze se geometrijske relacije

cos ,x xdy n dy n dsds

(2.3a)

sin ,y ydx n dx n dsds

(2.3b)

gde su xn i yn projekcije jedininog vektora normale n na granicu oblasti . Negativni znak u jednaini (2.3b) je zbog injenice da dx i sin imaju suprotan znak kada se ugao meri u pozitivnom matematikom smeru u odnosu na pozitivni smer x ose (v. detalj na Sl. 2.1).

Na osnovu toga, jednaina (2.1) postaje

21 2 1

2 1 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .y

x xy s s

f x y f x y dy f x y n ds f x y n ds (2.4) U poslednjem izrazu, promeni y od 1y do 2y , odgovara integracija du luka 1s koja se izvodi u negativnom matematikom smeru (u smeru kretanja kazaljke na asovniku). Koristei isti smer za integraciju du s , oba lana u jednaini (2.4) se mogu zapisati jednim izrazom, to daje

.xf d f n dsx

(2.5) Zamena x sa y u izrazu (2.5), dovodi do

.yf d f n dsy

(2.6)

Glava 2 Pripremni matematiki rezultati 15

Ako je g neka druga funkcija nezavisno promenljivih x i y , tada iz izraza (2.5) i (2.6), i Lajbnicove formule o invarijantnosti diferencijala, slede jednakosti

( )

.

x

x

fg f gd fg n ds g d f dx x x

f gg d f d fg n dsx x

(2.7)

( )

.

y

y

fg f gd fg n ds g d f dy y y

f gg d f d fg n dsy y

(2.8)

Izrazima (2.7) i (2.8) formulie se pravilo parcijalne integracije u dve dimenzije poznato kao Gaus-Grinova teorema.

2.3 Gausova teorema o divergenciji

Primenom Gaus-Grinove teoreme lako se izvodi teorema o divergenciji. Posmatra se vektorsko polje u v u i j , gde su i i j redom jedinini vektori x i y ose, a

( , )u u x y i ( , )v v x y njegove komponente. Primenom izraza (2.5) sa f u , i (2.6) sa f v , te sabiranjem, dobija se

( ) .x yu v d u n v n dsx y

(2.9)

Ako se koordinate x i y oznae, redom, sa 1x i 2x , tada su komponente vektorskog polja u date sa iu ( 1, 2)i , a projekcije vektora n sa in . Tada se jednakost (2.9) moe zapisati u formi

1 2 1 1 2 21 2

( ) ,u u d u n u n dsx x

(2.10)

ili upotrebom konvencije o sabiranju lanova sa ponovljenim indeksima

, ( 1,2).i i ii

u d u n ds ix

(2.11)

Upotrebom notacije vektorske analize izrazi (2.9), (2.10) i (2.11) se mogu zapisati u obliku

,d ds u u n (2.12)

16 GRANINI ELEMENTI

gde je simboliki vektor , poznat kao Hamiltonov nabla operator, definisan sa

1 21 2

,x y x x

i j i i (2.13)

i predstavlja diferencijalni operator koji daje gradijent skalarnog polja.

Veliina u , tj. skalarni proizvod simbolikog vektora i vektorskog polja u , je divergencija vektorskog polja u u taki unutar domena , dok je veliina u n fluks vektorskog polja u taki na granici oblasti . Ovaj drugi skalarni proizvod predstavlja projekciju u na pravac n . Izraz (2.12) povezuje ukupnu divergenciju i ukupni fluks vektorskog polja i poznat je kao Gausova teorema o divergenciji. To je jedna od najvanijih teorema u integralnom raunu.

2.4 Druga Grinova formula Posmatraju se funkcije ( , )u u x y i ( , )v v x y sa neprekidnim parcijalnim izvodima do drugog reda u oblasti i neprekidnim parcijalnim izvodima prvog reda na granici oblasti . Primena izraza (2.7) sa g v , u

xf kao i (2.8) sa

g v , uyf , te sabiranje dobijenih izraza dovodi do

2 2

2 2

.x y

u u u v u vv d dx x y yx y

u uv n n dsx y

(2.14)

Slino, sabiranjem izraza (2.7) ovaj put sa g u , vxf i (2.8) ali sa g u , vyf dolazi se do jednakosti

2 2

2 2

.x y

v v u v u vu d dx x y yx y

v vu n n dsx y

(2.15)

Oduzimanje jednaine (2.15) od (2.14) daje

2 2 ,u vv u u v d v u dsn n

(2.16)

gde 2 stoji za Laplasov ili harmonijski operator koji je definisan izrazom

2 2

22 2

,x y x y x y

i j i j (2.17)

18 GRANINI ELEMENTI

0B D E . Sluaj 0F ne utie na jednainu (2.16) jer se podintegralnoj funkciji leve strane te jednaine moe dodati i oduzeti lan oblika Fuv . Kada su koeficijenti , ,A B C konstantni i kada je 0D E , izraz (2.22) postaje

2 2 2

2 2( ) 2 .v v vL v A B C Fv

x yx y

(2.25)

Naime, tada je operator ( )L identian sa operatorom ( )L pa se u tom sluaju ( )L zove samoadjungovani operator.

Svojstva reenja jednaine (2.19), ali i tip problema koji se reava, zavise od veliine 2B AC . Tako se razlikuju tri tipa jednaina: (a) eliptiki, za 0 , (b) paraboliki, za koji vai 0 , i (c) hiperboliki, ako u vai, 0 .

2.6 Dirakova delta funkcija U problemima mehanike vrstog tela vrlo esto se nailazi na koncentrisano dejstvo, tj. optereenje koje deluje u veoma maloj oblasti, teorijski u taki, gledano ili u prostoru ili u vremenu.

A

( )f x

2( )

1( )

1F

A

RO

y

x

Slika 2.2 Kruti disk i vertikalno koncentrisano jedinino optereenje F .

Slika 2.3 Raspored kontaktnih sila na granici tela.

Na primer, neka se posmatraju ravansko elastino telo 1 konstantne debljine h , koje zauzima poluravan x , 0y (Sl. 2.2), i kruti disk 2 , iste debljine h , radijusa R . Pri tome, neka se kontakt diska i slobodne granice polubeskonanog tela ostvaruje u taki , 0,0x y , i neka na disk deluje vertikalno jedinino koncentrisano optereenje F , tj. optereenje za koje se moe

Glava 3 MGE za dvodimenzijske probleme

potencijala

3.1 Uvod U ovom poglavlju obrauje se metod graninih elementa za reavanje inenjerskih problema koji se opisuju jednainom za potencijal

2 ( , ), ( , ).u f x y x y (3.1)

Ovo je osnovna jednaina teorije potencijala, poznata kao Laplasova za 0f , a kao Poasonova jednaina za 0f . Njeno reenje ( , )u u x y predstavlja potencijal koji nastaje u taki ( , )x y oblasti usled izvora ( , )f x y rasporeenog po . Jednaina za potencijal (3.1) opisuje odgovor mnogih fizikih sistema. Ona se pojavljuje u problemima ustaljenog strujanja fluida, toplote, elektriciteta, kao i uvijanja prizmatinih tapova, ugiba membrana, itd. Saglasno definicijama iz Sekcije 2.5, jednaina (3.1) je eliptikog tipa jer je 0 . Njeno reenje se trai u zatvorenom ravanskom domenu sa granicom na kojoj su specificirani ili funkcija u ili njen izvod u n du normale na . To znai da reenje treba da zadovolji granine uslove problema na granici oblasti . Problemi graninih vrednosti za jednainu potencijala se mogu klasifikovati na sledei nain:

(i) Dirihleov problem

2 ,u f unutar , (3.2a)

,u u na . (3.2b)

(ii) Nojmanov problem


26 GRANINI ELEMENTI

,nu un

na . (3.3b)

(iii) Kombinovani problem


,u u na 1, (3.4b)

,nu un

na 2, (3.4c)

pri emu je 1 2 i 1 2 { } . (iv) Robinov problem


( ) 0,uu k sn

na . (3.5b)

Veliine oznaene sa u , nu i ( )k s su poznate funkcije definisane na granici.

Sva etiri problema se mogu izraziti jedinstvenom formulacijom


,uun

na , (3.6b)

gde su ( )s , ( )s i ( )s zadate funkcije definisane na granici . Oigledno se svaki od etiri gore navedena problema graninih vrednosti (relacije 3.2 3.5), moe dobiti iz formulacije (3.6) pogodnim izborom funkcija , i . Za reavanje etiri navedena problema graninih vrednosti razvijena su dva metoda graninih elemenata: direktni i indirektni. U ovoj knjizi prikazae se samo direktni metod graninih elemenata.

3.2 Fundamentalno reenje Posmatra se takasti izvor, koji deluje u taki ( , )P x y u xy ravni. Njegova gustina u taki ( , )Q se matematiki moe izraziti delta funkcijom

( ) ( ).f Q Q P (3.7)

Glava 3 MGE za dvodimenzijske probleme potencijala 27

Potencijal ( , )v Q P koji nastaje u taki Q , usled izvora koji se nalazi u taki P , zadovoljava jednainu

2 ( ).v Q P (3.8)

Singularno partikularno reenje jednaine (3.8) se naziva fundamentalno reenje jednaine za potencijal (3.1). Da se nae to reenje jednaina (3.8) e se zapisati u polarnim koordinatama, sa koordinatnim poetkom u taki P .

( , )Q

( , )P x y

r

( )

n

Slika 3.1 Kruni domen radijusa sa izvorom P u centru.

Naime, zbog simetrije reenja u odnosu na taku izvora, ono ne zavisi od polarnog ugla , pa izraz (3.8) postaje

1 ( ),d dvr Q Pr dr dr

(3.9)

sa

2 2( ) ( ) .r Q P x y (3.10)

Desna strana jednaine (3.8) je jednaka nuli u svakoj taki ravni osim u koordinatnom poetku 0r , gde tei beskonanosti. Osim take 0r , jednakost (3.9) se svodi na

1 0,d dvrr dr dr

odakle se posle dve integracije dobija

v A nr B ,

28 GRANINI ELEMENTI

gde su A i B proizvoljne konstante. Poto se trai partikularno reenje moe se staviti da je 0B , a druga konstanta, A , se moe odrediti na sledei nain.

Zbog oigledne simetrije u problemu (v. Sl. 3.1), vai

1 ,v v An r r

i .ds rd (3.11)

Primena Grinove formule (2.16) za 1u i v A nr , daje

2 vv d dsn

gde je krug radijusa , sa centrom u taki P . Vodei rauna o jednaini za potencijal (3.8) i izrazima (3.11), uz napomenu da za take na granici vai r , gornja relacija se moe napisati u obliku

2

0

1( ) ,Q P d A d

to primenom svojstva dvodimenzijske delta funkcije (2.34b) ne levu stranu jednakosti i neposrednom integracijom desne strane daje 1 2 ,A odakle se dobija

1 .2

A

(3.12)

Dakle, fundamentalno reenje je

1 .2

v nr

(3.13)

Na osnovu geometrijske relacije (3.10) evidentno je da se fundamentalno reenje ne menja kada take P i Q zamene uloge. To znai da potencijal v ima svojstvo simetrije sa obzirom na te dve take, naime

( , ) ( , ).v Q P v P Q (3.14)

Fundamentalno reenje (3.13) je u literaturi poznato i kao Grinova funkcija za impulsnu pobudu.

3.3 Direktni MGE za Laplasovu jednainu U ovoj sekciji izvodi se reenje Laplasove jednaine

2 0,u u , (3.15)

Glava 3 MGE za dvodimenzijske probleme potencijala 29

sa kombinovanim graninim uslovima (v. Sl. 3.2)

,u u na 1, (3.16a)

,nu un

na 2, (3.16b)

pri emu je 1 2 . Uslov (3.16a) se u literaturi obino naziva esencijalni ili kinematiki, a uslov (3.16b) prirodni. Umesto graninih uslova (3.16), moe se koristiti opti uslov (3.6b), ali se, zbog jednostavnosti, to ovde izostavlja.

Upotrebom druge Grinove formule (2.16), za fukcije u i v koje zadovoljavaju jednaine (3.15) i (3.8) respektivno, a pod pretpostavkom da se izvor nalazi u taki P, dobija se

( ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( ) ,Q qq q

u q v q Pu Q Q P d v q P u q dsn n

(3.17)

gde ,P Q a q . U prethodnim izrazima, a i u onome to sledi, take unutar domena e se oznaavati velikim slovima, npr. P , Q , dok e se take na granici oznaavati malim slovima, kao p , q . Donji indeksi u oznakama diferencijala, npr. Qd , qds , i parcijalnih izvoda, kao na primer ( ) qn , oznaavaju take koje se menjaju tokom integracije ili diferenciranja respektivno.

u un

u un

1

2

( )

Slika 3.2 Oblast sa kombinovanim graninim uslovima.

Na osnovu definicije dvodimenzijske delta funkcije (2.33) i svojstva simetrije potencijala (3.14), jednaina (3.17) se moe zapisati u obliku

( ) ( , )( ) ( , ) ( ) .qq q

u q v P qu P v P q u q dsn n

(3.18)

Glava 4 Numerika implementacija MGE

4.1 Uvod Ovo poglavlje sadri opis numerike realizacije MGE za reavanje problema potencijala analiziranih u prethodnom delu. Za realne inenjerske primene ne vredi ni razmatrati tano reenje integralne jednaine (3.29). Meutim, numeriko reenje iste jednaine se uvek moe dobiti primenom MGE.

Neka je proizvoljna oblast, ili domen, sa granicom . Sutina MGE je da se granica razloi na konaan broj, ne obavezno jednakih, segmenata, koji se nazivaju granini elementi. Pri tome se, za svaki element u diskretizaciji granice, uine dve aproksimacije. Jedna se bavi geometrijom granice, a druga oblikom varijacije nepoznate granine veliine du samog elementa. Obino se kao granini elementi koriste konstantni element, linearni element i parabolini, ili kvadratni, element. Na svakom elementu, razlikuju se najudaljenije, ili krajnje take, koje lee na granici oblasti, kao i vorovi, ili vorne take, koje lee na samom elementu. Svakom voru dodeljuje se vrednost granine veliine.

U sluaju konstantnih elemenata, granini segment je du koja spaja krajnje take elementa. Kod ovih elemenata se pretpostavlja da, du elementa, granina veliina ima konstantnu vrednost. Ta vrednost je jednaka vrednosti u vornoj taki, koja se postavlja na sredini dui, videti Sl. 4.1a. Za linearne elemente granini segment je opet du, ali element ima dva vora obino postavljena u krajnjim takama, Sl. 4.1b. Za graninu veliinu du linearnog elementa pretpostavlja se linearna promena izmeu vrednosti u vorovima. Najzad, za paraboline elemente geometrija dela granice se aproksimira lukom parabole, element ima tri vora, od kojih su dva na krajevima a trei negde izmeu, obino u srednjoj taki, v. Sl. 4.1c.

Za linearne i paraboline elemente, geometrija segmenta se opisuje izopara-metarski, tj. i geometrija elementa i granina veliina du elementa se aproksimiraju polinomom istog stepena.

48 GRANINI ELEMENTI

element

vorovi

krajnja taka

vor

krajnja taka

Konstantni elementi

element

vorovi

krajnji vor

krajnji vor

Linearni elementi

element

vorovi

krajnji vor

krajnji vor

sredinji vor

Parabolini elementi

Slika 4.1 Razliiti tipovi graninih elemenata.

Registar imena

A Abramowitz, M., 141, 307 Aliabadi, M.H., 12, 45 Armenakas, A.E., 103, 140, 142, 280

B Banerjee, P.K., 9, 10, 44, 45, 102,

103, 140, 141, 280 Basler, K., 197 Becker, A.A., 9, 281 Beer, G., 9, 281 Bergman, S., 11 Beskos, D.E., 12, 140, 197 Betti, E., 5, 10 Bezine, G., 6, 11 Bialecki, R., 198 Boversi, A.P., 280 Brebbia, C.A., 7, 9, 10, 12, 44, 45, 58,

102, 103, 140, 141, 198, 280, 281, 308

Butterfield, R., 9, 44, 45, 102, 103, 140, 141, 280

C Canas, J., 10 Carslaw, H.S., 197, 198 Chen, C.S., 103 Chen, G., 9, 281 Chopra, M., 12 Christiansen, S., 44, 45 Connor, J.J., 141 Cruse, T., 6, 11

D Davis, P., 308 De Leon, S., 180, 197 Doblare, M., 140, 141 Dominguez, J., 10, 44, 45, 102, 103,

140, 141, 281 Duff, G.F.D., 23

E Eisenberg, M.A., 308 El-Zafrany, A., 9

322 GRANINI ELEMENTI

F Fenster, S.K., 280 Fiedler, C., 10, 281 Fredholm, I., 5, 6, 10, 44, 45 Friemann, H., 197 Fung, Y.C., 280

G Gallagher, R.H., 302, 308 Gaul, L., 10, 281 Gipson, G.S., 44, 45 Golberg, M.A., 103 Goodier, J.N., 197, 280 Green, G., 5, 10 Greenberg, ., 23 Guiggiani, M., 140, 142 Gupta, A., 141

H Hackbusch, W., 142 Hall, W.S., 10, 140, 141 Hammer, P.C., 303, 308 Hartmann, F., 9 Hayami, K., 140, 141 Hildebrand, F.B., 23 Hirsch, C., 197, 198

I Ignaczak, J., 6, 11

J Jaeger, J.C., 197, 198 Jaswon, M.A., 6, 10, 11, 44, 45, 102,

103

K Kallivokas, L.F., 103, 140

Kandilas, C.V., 281 Kane, J.H., 10, 102, 104, 137, 140,

141, 281 Kassab, A., 12 atsikadelis, J.T., 6, 10, 11, 12, 44,

45, 103, 107, 140, 142, 180, 197, 235, 280, 281, 308

Kellog, O.D., 10, 44, 45 Kokkinos, F.T., 140, 281 Kollbrunner, C., 197 Kreyszig, E., 23 Krishnasamy, G., 142 Kupradze, V.D., 10, 280

L Lachat, J.C., 137, 141 Lass, H., 280 Lefeber, D., 141 Lekhnitskii, S.G., 197

M Mackerle, J., 45 Malvern, L.E., 280, 308 Marcus, H., 180, 197 Marlowe, O.J., 308 Massalas, C.V., 11 Mendelson, A., 6, 11, 44, 45 Mikhlin, S.G., 6, 10, 44, 46 Muskhelishvili, N.I., 6, 11, 197, 280

N Nardini, D., 58, 103 Naylor, D., 23 Nerantzaki, M.S., 12 Novozhilov, V.V., 197, 280 Nowacki, W., 6, 11

Registar imena 323

P Paris, F., 10, 180, 197 Partridge, P.W., 12, 58, 103, 198 Ponter, A.R., 11, 44, 45

R Rabinowitz, P., 308 Reddy, J.N., 140 Rizzo, F.J., 6, 11, 142, 281 Roach, G.F., 23 Roark, R.J., 198 Robertson, J., 102 Rudolphi, T.J., 142

S Saigal, S., 141 Sapountzakis, E.I., 44, 45, 140 Sauer, E., 197 Scheid, F., 307 Schiffer, M., 11 Secrest, D., 123, 141, 307 Sherman, D.I., 6, 10 Shippy, D., 6, 11 Sladek, J., 140, 141, 280, 308 Sladek, V., 140, 141, 280, 308 Smirnow, W.I., 23 Sokolnikoff, I., 197, 281 Somigliana, C., 5, 10 Sommerfeld, A., 23 Stegun, I., 141, 307

Stern, M., 6, 11 Stroud, A.H., 123, 141, 307, 308 Symm, G.T., 6, 10, 11, 44, 45, 102,

103

T Telles, J.C.F., 9, 137, 141, 281 Theocaris, P.S., 140, 142 Timoshenko, S., 197, 280 Trevelyan, J., 10, 12, 281 Tzivanidis, G.J., 11

U Ugural, A.C., 280 Uzisik, M.N., 197, 198

W Wang, C.T., 280 Watson, J.O., 9, 137, 141, 281 Woinowsky-Krieger, S., 197 Wolfram, S., 102 Wrobel, L.C., 9, 12, 103, 141, 198,

281

Y Young, W.C., 198

Z Zauderer, E., 44, 45, 103 hou, J., 9, 281

Indeks pojmova

A adjungovani operator, 17 anizotropna elastinost, 6 anizotropna tela, 8, 171

problem potencijala, 39 fortran program, 104 fundamentalno reenje, 40, 42 integralna jednaina na granici,

43 integralna reprezentacija

reenja, 40 uvijanje, 171

B Betijev identitet reciprociteta, 211

ravansko stanje deformacije, 212, 238

ravansko stanje napona, 213 Betijeva teorema, 5, 212 Beti-Maksvelov zakon, 219 bezdimenzijski moduli klizanja, 173,

174 bezvrtlono strujanje, 8, 187, 196 biharmonijska jednaina, 6, 178

biharmonijski operator, 178, 215

C centar uvijanja, 143, 149, 151, 157

vor u kome deluje izvor, 113, 116,

118, 123 vorne take, (v. vorovi) vorovi, 47,48

elije, 57, 234, 235

D Darsijeva brzina, 196 Darsijev zakon, 193, 196 delta funkcija, (v. Dirakova delta

funkcija) diferencijalne jednaine, 8

eliptinog tipa, 18, 44, 58, 83 hiperbolinog tipa, 18, 58


parabolinog tipa, 18, 58 difuzija jona, 193 diskretizacija:

domena (MKE), 3, 58 eliptini domen, 80, 107, 108, 164 granice (MGE), 3 granini elementi, (v. granini

elementi) kombinovani granini uslovi, 51,

75, 92, 114 kompozitni domen, 97 oznaavanje elemenata, 110 pravougaoni domen, 75, 93

Dirakova delta funkcija, 8, 18, 20, 23, 26, 35, 213 dvodimenzijska, 20, 21

izvod, 23 Jakobijan transformacije, 22, 41 jednodimenzijska, 20

izvod, 22 transformacija u:

krivolinijske koordinate, 22 polarne koordinate, 24

Dirihleov problem, 5, 25, 154, 176, 180, 183

divergencija (vektorske funkcije), 16 domeni sa vie granica, 85 druga Grinova formula, 8, 16, 17

opta forma, 17, 39 primene, 28, 29, 31, 33, 34, 37, 38,

147, 152, 240, 305 viestruko povezane oblasti, 85

dugi i tanki homogeni domeni, 102 dvostruki integrali, (v. Gausova

integracija)

E efektivne konstante elastinosti, 204 elastini oslonac, 175 elastoplastino uvijanje, 6 ELBECON.FOR, 9, 241

dijagram toka izvravanja, 242 listing, 248 nizovi, 243 potprogrami:

ABMATREL, 241, 247, 255 GMATREL, 241, 244, 251 HMATREL, 241, 246, 253 INPUTEL, 241, 244, 250 LEQS, 248, 256 OUTPUTEL, 241, 248, 263 REORDEREL, 241, 248, 257 RLINTG, 248, 252 RLINTH, 246, 248, 254 SLINTH, 259 SOLVEQ, 241, 248, 256 STRESSB, 241, 248, 261 STRESSIN, 241, 248, 259 UVINTER, 241, 248, 258

promenljive, 241, 243 primeri, 263, 273

elektrini skalar potencijal, 196, (v. Maksvelova jednaina)

eliptini domen, 79, 164 eliptini problemi, (v. diferencijalne

jednaine) ELLIPSE-1.FOR, 9, 81 ELLIPSE-3.FOR, 9, 165 energija deformacije, 175 Erijeva naponska funkcija, 6

F Fikov zakon, 193 FLUIDCON.FOR, 9, 189

listing, 189 potprogrami:

DERIV, 189, 190 OUTPUT, 189, 192

primer, 193 fluks vektora, 16, 40, 98, 193

neprekidnost, (v. uslovi neprekidnosti)

fundamentalno reenje, 4 integrali po oblasti, 305

Indeks pojmova 327

izvodi, 52 Laplasova jednaina, 26 jednaina za potencijal, 28 problemi potencijala u

anizotropnim telima, 40 ravanska teorija elastinosti, 217,

218 integrali po oblasti, 307

funkcija deplanacije, (v. uvijanje) funkcija rasporeda izvora, 58, 61 funkcije forme, 111, 116

kubni element, 142 linearni element, 111, 118 neprekidnost, 135 parabolini (kvadratni) element,

131, 135 Furijeov zakon, 98, 181, 193, 196

G Galerkinov vector, 215, 236, 237 Galerkinove funkcije, 215 Gausova eliminacija, 63, 241 Gausova integracija, 8, 53, 57, 65,

116, 133, 246, 289 apscise, 53, 57, 295, 297 dvostruki integrali, 57, 298

elije, 57, 234, 235 diskretizacija domena, 57 pravila mnoenja, 298 pravougaoni domeni, 298

tabele koordinata i teinskih faktora, 299

trougaoni domeni, 300 integracija po trouglu, 302 koordinatni sistem trougla,

300, 302 primer, 304 tabele koordinata i teinskih

faktora, 303 Gaus-Leandrova integracija, 293

greka, 294 Leandrovi polinomi, 294 primer, 296

tabele apscisa i teinskih faktora, 295

Gausove take, 53, 116, 289, 293, 299, 303

integrali sa singularitetom logaritamskog tipa, 298 tabele apscisa i teinskih

faktora, 297 integracija regularne funkcije, 289 kvadratura sa etiri take, 65, 246 metod konanih sektora, 298 podintervali, 125, 138, 139 taka integracije, (v. Gausove

take), 123 tanost, 117 teinski faktori, 53, 57, 123, 289,

293, 295, 297, 299, 303 Gausove kvadrature, (v. Gausova

integracija) Gaus-Grinova teorema, 13, 15, 23 Gaus-Leandrova integracija, (v.

Gausova integracija) Gausova teorema o divergenciji, 7,

15, 23, 147, 153 generalisani Hukov zakon, 171

konstitutivne relacije, 171 generatori mree, 4 generisanje toplote, 181, 196 gradijent (skalarne funkcije), 16

gradijent temperaturskog polja, 181 granini elementi, 47

vor u kome deluje izvor, 113, 116, 118, 123

vorne take, (v. vorovi) vorovi, 47, 48 duina, 54, 120 element za integraciju, 113, 116,

118 hibridni elementi, 108 kategorije:

izoparametarski, 106, 107, 111, 129, 132

subparametarski, 49, 105, 106 superparametarski, 49, 106, 107


konstantni elementi, 47, 48, 49, 84 diskretizacija, 49, 50, 75, 80, 93 transformacija koordinata, 54

krajnje take, 47, 48, 54 krivolinijski elementi, 129 linearni element, 47, 48, 105, 107

ugao izmeu elemenata, 111 granini uslovi (promene u), 114 neprekidni, 107, 109, 111, 112,

119 transformacija koordinata, 118 prelomne take, 114 prekidni, 108, 109, 115, 118,

119, 120 ocena linijskih integrala, 115 modeli, 112 sistemi koordinatnih osa, 109,

118 najudaljenije take, (v. krajnje

take) neprekidni elementi, 106, 107, 108 neprekidnost meu elementima, 49 numerika integracija, 56, 116,

123, 125 oznaavanje, 110, 111 parabolini (kvadratni) element,

47, 48, 84, 129 diskretizacija, 133 neprekidni, 130 prekidni, 134 prelomne take, 134 preslikavanje na du, 131

pravougaoni domen, 75 prekidni elementi, 49, 106, 107,

108 prelomne take, 49, 114, 134 referentna taka, 50 taka integracije, 50 tehnologija, 105

granini uslovi po silama, 208 granini uslovi za povrinsko

optereenje, 146 Grinov identitet reciprociteta, (v.

druga Grinova formula) Grinov tenzor, 218

Grinova funkcija za impulsnu pobudu, 28

Grinova funkcija, 5 gustina materijala, 181 gustina toplotnog fluksa, 181

H harmonijski operator, 16

polarne koordinate, 24, 27, 37, 306 Hermitovi polinomi, 135 hidrostatiki pritisak, 198 hiperbolini problemi, (v.

diferencijalne jednaine) hipersingularni integrali, 140, 235,

305 Hukov zakon, 196

I idealni fluid, 187 identitet reciprociteta, (v. Betijev

identitet reciprociteta) indeksna notacija, 217, 220, 221, 223,

228 integralna jednaina na granici:

Laplasova jednaina, 33, 196 problemi potencijala u

anizotropnim telima, 43 ravanska teorija elastinosti, 224

integrali po oblasti: numerika ocena, (v. Gausova

integracija) ocena, 57 prevoenje u integrale po granici,

36, 37, 60, 152, 153, 305, 307 polinom, 37 proizvoljna funkcija, 38, 58

singularni, 305 teorija elastinosti, (v. zapreminske

sile) integralna reprezentacija reenja:

Laplasova jednaina, 30 Poasonova jednaina, 34

Indeks pojmova 329

ravanska teorija elastinosti, 5, 221 naponsko stanje, 228

problemi potencijala u anizotropnim telima, 39

interpolacioni polinomi, 105, 111, 129, 135 Hermitovi, 135

izvodi rastojanjar , 52, 216, 221, 285 izvor, 25, 26 izvod du normale, 17, 53, 286

J Jakobijan transformacije, 22, 55, 132 jedinini vektor normale, 14, 64, 86,

97 jedinini vektor tangente, 52 jednaina kontinuiteta, 187, 196 jednaina za potencijal, 25

fundamentalno reenje, 27, 305 jednaine ravnotee, 145, 205

K kanonska forma, 40 Kelvinovo reenje, 213 kinematiki uslov, 29 koeficijent termike dilatacije, 209 koeficijenti uticaja:

diagonalni elementi ,56, 118, 122

indirektna ocena, 127, 133 elementi van dijagonale, 53

Laplasova jednaina, 49, 53 kombinovani granini uslovi, 28, 75,

83, 92, 114, kombinovani problem, 26, 83, 92 komponente povrinskog optereenja,

146, 208, 209 komponente tenzora deformacije, 145,

175 kompozitni domen, 96

diskretizacija, 97 uslovi neprekidnosti, 98

konane razlike, (v. numeriko diferenciranje)

koncentrisano optereenje, 18, 19, 214

konstante elastinosti, 203, 210 konstantni elementi, (v. granini

elementi) konstitutivna matrica, 182, 193 konstitutivne relacije, 171, 196 konvencija o sumiranju, 15 koordinatni sistemi:

globalni, 54, 108, 109, 118 lokalni, 54, 108, 109, 118 trougla, 300, 302

Koijev tetraedar, 208 Koijevi uslovi, 208 kosinusi pravca, 146, 208, 213 kretanje tela kao krute celine, 207,

232 krivolinijske granice, 129 Kronekerova delta, 50 kvadrature, (v. numerika integracija)

L LABECON.FOR, 9, 61, 67, 189

dijagram toka izvravanja, 62 listing, 67 nizovi, 63, 64 primeri, 74, 79, 177 potprogrami:

ABMATR, 63, 66, 71 DALPHA, 65, 71 GMATR, 63, 64, 69 HMATR, 63, 65, 70 INPUT, 61, 64, 68 LEQS, 66, 72 OUTPUT, 63, 66, 74 REORDER, 63, 66, 73 RLINTC, 65, 69 SLINTC, 65, 70


SOLVEQ, 63, 66, 72 UINTER, 63, 66, 73

promenljive, 63 LABECONMU.FOR, 9, 86

listing, 87 potprogrami:

GMATR, 86, 89 HMATR, 86, 90 INPUT, 86, 88 UINTER, 86, 91

primer, 92 Lameove konstante, 145, 203, 210 laminarno strujanje, 189 Laplasov operator (v. harmonijski

operator) Laplasova jednaina, 5, 8, 25, 196

direktni BEM, 28 fundamentalno reenje, 26

izvodi, 52 integrali po oblasti, 305

glatka granica, 32, 33 granini uslovi, 25, 26 integralna jednaina na granici, 33 integralna reprezentacija reenja,

30 take na granici, 32 take u oblasti, 30

integralna reprezentacija izvoda reenja, 46, 52, 104

izvodi reenja, 53, 104, 189 koeficijenti uticaja, 49, 52, 122

izvodi, 53 numerika ocena, 55, 56, 127

kombinovani granini uslovi, 28, 75, 83, 92, 114

kompozitni domeni, 96 matrine jednaine, 50 podela matrice na blokove, 51 prelomna taka, 30, 32 primeri, 74, 79 programi:

LABECON.FOR, 61 LABECONMU.FOR, 86

subdomeni, 96, 102 viestruko povezani domen, 85

Leandrovi ortogonalni polinomi, 293, 294

linearni elementi, (v. granini elementi)

linijski integrali, 53 numerika integracija, (v. Gausova

integracija) ocena du linearnih elemenata, 115

Lopitalovo pravilo, 124, 126

M Maksvelova jednaina, 196 matrice, 5

podela na blokove, 51 problemi potencijala, 50 singularne, 83, 245

matrica fleksibilnosti, 205 matrica krutosti, 205, 211 matrica popustljivosti, 205, 211 matrica provodljivosti, 182 membrane (ugib), 8, 196

elastino oslanjanje, 175 energija deformacije, 175 komponente tenzora deformacije,

175 prednapregnutost, 175 primer, 176 problem graninih vrednosti, 176 trougaona membrana, 176

analitiko reenje, 177 povr ugiba, 176

ukupna potencijalna energija, 196 modul krutosti opruge, 175 moment inercije preseka pri uvijanju,

(v. konstanta uvijanja) monoklini materijal, 171 Metod analogne jednaine (MAJ), 7 Metod dualnog reciprociteta (MDR),

7, 61, 181 Poasonova jednaina, 58, 196

Metod graninih elemenata (MGE), 2, 5, 7

Indeks pojmova 331

direktni, 6, 8, 26, 28, 34 diskretizacija, 3, 49, 75, 80, 93 fundamentalno reenje, (v.

fundamentalno reenje) indirektni, 6, 26 istorijski razvoj, 5 konstantni elementi, (v. granini

elementi) konvergencija, 78, 84, 169, 273 matrice koeficijenata, 5 nedostaci, 4, 37 neogranieni domeni, 4 numerika implementacija, 8, 47 prednosti, 4 problemi elastostatike, 201 problemi potencijala, 25 tanost, 169, 196

Metod integralnih jednaina na granici (MIJG), 5, 6, 7

Metod konanih elementa (MKE), 2, 235, 272, 273 diskretizacija, 3 matrice koeficijenta, 5 nedostaci, 2 neogranieni domeni, 2

metod podele elementa, 137, 139, 245 metod subdomena, 96

dugi i tanki homogeni domeni, 102 metod transformacije koordinata, 137 meoviti granini uslovi, (v.

kombinovani granini uslovi)

N Navijeove jednaine ravnotee, 5, 206 Navijeov operator, 213, 238, 239

fundamentalno reenje, 217 integrali po oblasti, 307

integralna reprezentacija reenja, 221

partikularno reenje, 235, 236, 238 neglatka granica, 30, 224 nekompresibilni fluid, 8, 187 neogranieni domeni, 2, 4

neprekidni elementi, (v. granini elementi)

neviskozno strujanje fluida, 187 niz baznih funkcija radijusa, 58

multikvadratne, 61 oblika splajna, 61 polinomijalne, 61

Nojmanov problem, 5, 25, 79, 83, 148, 150, 183 uslov egzistencije, 83, 146

numeriko diferenciranje, 155, 234, 248 centralne razlike, 156 razlike unapred, 156 razlike unazad, 157

numerika integracija: Gausove kvadrature, (v. Gausova

integracija) integracija regularne funkcije, 289 integrali sa singularitetom

logaritamskog tipa, 123, 298 Njutn-Kotesove formule, 116, 138,

289 Simpsonovo pravilo, 116, 138, 289 trapezoidno pravilo, 116, 138, 289

O optereenje, 2 otvoreni domen, 64

P parabolini elementi, (v. granini

elementi) parabolini problemi, (v.

diferencijalne jednaine) parcijalna integracija, 15, 175 partikularno reenje:

Navijeove jednaine, 235, 236, 238 Poasonove jednaine, 34, 37, 60,

177 permitivnost materijala, 196 Poasonova jednaina, 8, 25, 176, 196


direktni BEM, 34 granini uslovi, 25 integrali po oblasti, 57, 305 integralna reprezentacija reenja,

34 Grinov identitet, 34

kombinovani granini uslovi, 34 Metod dualnog reciprociteta, 58 transformacija u Laplasovu

jednainu , 34 homogeno reenje, 36, 177 partikularno reenje, 34, 36, 176

Poasonov koeficijent, 178 povrinski integrali, (v. integrali po

oblasti) Prandtlova naponska funkcija, (v.

uvijanje) pravila integracije, (v. numerika

integracija) prednapregnutost membrane, (v.

membrane) prekidni elementi, (v. granini

elementi) prelomne take, 30, 49, 114, 224 prevoenje integrala po oblasti u

linijske integrale po granici, (v. integrali po oblasti)

problem elastodinamike, 6 problemi graninih vrednosti, 1, 8

funkcija deplanacije (uvijanje), 148 jednaina za potencijal, 25 ravanska teorija elastinosti, 201 ugib membrane, 175, 176

problemi teorije elastinosti, 5, 6, 8, 201 anizotropni, 6 elastina deformacija, 208 granini uslovi, 206 inicijalno naponsko stanje, 208

promena temperature, 209 initialno stanje deformacije, 208

promena temperature, 209, 211 integralna reprezentacija reenja, 5 jednaine ravnotee, 196, 205, 210

Navijeove jednaine ravnotee, 206, 211

naponska funkcija, (v. Erijeva) povrinsko optereenje na granici,

208, 209 prelomna taka, 224 ravanska teorija elastinosti, 201

granine veliine, 230 fundamentalno reenje, 213,

217, 218 integrali po oblasti, 307

integralna jednaina na granici, 224, 228 inicijalno stanje deformacije,

281 integralna reprezentacija

napona, 228 integralna reprezentacija

reenja, 221, 223 izraunavanje elementa matrica:

na dijagonali, 245, 247 osim dijagonale, 244, 246

naponsko stanje na granici, 233 naponsko stanje u telu, 233 naponsko stanje usled jedinine

koncentrisane sile, 219 numeriko reavanje integralne

jednaine na granici, 230 pomeranje u telu, 232 povrinsko optereenje na

granici usled koncentrisane sile, 220

program ELBECON.FOR, 241 ravansko stanje deformacije, (v.

ravansko stanje deformacije) ravansko stanje napona, (v.

ravansko stanje napona) zapreminske sile, (v.

zapreminske sile) reciprocitet pomeranja, 219 termoelastinost, 6 ukupna deformacija, 208 uslovi ravnotee za telo, 207 zapreminske sile, 206, 209

primeri:

Indeks pojmova 333

ugib elastine trougaone membrane, 176

ELBECON.FOR, 263, 273 ELLIPSE-1.FOR, 81 ELLIPSE-3.FOR, 165 strujanje fluida, 192, 196 FLUIDCON.FOR, 193 Gaus-Leandrova integracija, 296 Gausova integracija po trougaonom

domenu, 304 prostiranje toplote, 184, 196 ponaanje integranda za razliite

lokacije izvora 116 LABECON.FOR, 74, 79, 177, 184 LABECONMU.FOR, 92 skorosingularni integrali ocena

metodom podele domena, 138 skorosingularno ponaanje

podintegralnih funkcija, 136 Nojmanov problem, 79 partikularno reenje Navijeovih

jednaina, 237 partikularno reenje Poasonove

jednaine, 36 ravansko stanje deformacije (cev sa

unutranjim pritiskom, 273 ravansko stanje napona (ukljetena

greda), 263 problemi potencijala:

dvostruko povezani domen, 92, 184

eliptini domen, 79 kvadratni domen, 74

RECT-1.FOR, 74 RECT-2.FOR, 92 RECT-3.FOR, 169 RECT-4.FOR, 264 RECTEL-MU.FOR, 273 singularni koeficijenti uticaja, 125 TORSCON.FOR, 164, 169 problem uvijanja:

eliptini popreni presek, 164 kvadratni popreni presek, 169

prirodni uslov, 29, 183 projekcija vektora, 16 prostiranje toplote, 8, 98, 181

temperatura ambienta, 183 granini uslovi, 183 matrica provodljivosti, 182, 183

izotropni materijal, 182 ortotropni materijal, 182

jednaine, 181 izotropno telo, 183 ortotropno telo, 183

primer, 184 koeficijent provoenja toplote, 183 unutranja energija, 182 specifina toplota, 182 toplotni fluks, 181

protok toplote, 99, 196, 197 provoenje toplote, (v. prostiranje

toplote)

R Raunarski aspekti, 140, 141 ram sa dva stuba, 282

lateralna krutost, 282 ravan materijalne simetrije, 171 ravansko stanje deformacije, 201

efektivne konstante elastinosti, 204

granini uslovi, 207 identitet reciprociteta, 212, 238 inicijalno naponsko stanje zbog

promene temperature, 209 inicijalno stanje deformacije, 281 jednaine modela, 206 jednaine ravnotee, 205 kinematike relacije, 202 konstitutivne relacije, 203, 204 matrica krutosti, 205 matrica popustljivosti, 205 povrinsko optereenje na granici,

208 primer (cev sa unutranjim

pritiskom), 273 deformisani popreni presek

cevi, 278 izolinije komponenti naponskog

stanja, 278, 279


program ELBECON.FOR, 241 tensor deformacije, 202, 204 tenzor napona, 203 vektor napona, 205

ravansko stanje napona, 201, 209 zapreminske sile, 209 povrinsko optereenje na granici,

209, 211 matrica popustljivosti, 211 konstitutivne relacije, 210, 211 efektivne konstante elastinos

KatsikadelisSerbianEdition Fragmented

Documents

Transcript of KatsikadelisSerbianEdition Fragmented