1

UNIVERZA V MARIBORU

PEDAGOŠKA FAKULTETA ODDELEK ZA FIZIKO

KARTEZIJSKI PLAVAČ

Povzetek: V seminarju je najprej podana fizikalna razlaga delovanja kartezijskega plavača, kjer je

poudarjena dualnost razlage, ki je odvisna od izbire opazovanega sistema. V nadaljevanju pa

sledi opis delovanja in lastnosti nekaterih najzanimivejših izvedb kartezijskih plavačev. Na koncu

pa so navedene še smernice za nadaljnje raziskovanje.

Avtor: Dimec Robert Mentor: dr. Marko Marhl

Maj 2005

2

KAZALO 1 UVOD 3 2 DELOVANJE KARTEZIJSKEGA PLAVAČA 3 2. 1 Sile, ki delujejo na kartezijski plavač 4 2.2 Dualnost razlage delovanja kartezičnega plavača 4 2.2.1 Vzgon se spreminja 5 2.2.2 Teža se spreminja 5 3 PRIMERI IZVEDB KARTEZIJSKIH PLAVAČEV 6 3. 1 Vžigalice kot kartezijski plavač 6 3. 2 Arašid kot kartezijski plavač 6 3. 3 Solarni kartezijski plavač 8 3. 4 Izjemno občutljiv kartezijski plavač 9 3. 5 Dvotekočinski kartezijski plavač 10 4 ZAKLJUČEK 11 5 LITERATURA 11

3

1 UVOD Kartezijski plavač je priprava, s katero lahko demonstriramo Arhimedov, Boylov in Guy-Lusacov zakon in ima že dolgo zgodovino. Ime je dobil po francoskem fiziku Reneju Descartesu (1596-1650). Že pred stoletji je bil pogost v fizikalnih kabinetih, še danes pa ostaja zanimiva igrača in pripravni eksperimentalni pripomoček: »Kartezijski plavač spada med najzanimivejše enostavne eksperimente. Vedno ga je zanimivo opazovati, tudi če si ga videl že mnogokrat. Poleg tega ponuja različna zanimiva vprašanja, pri iskanju odgovorov pa med študenti spodbuja razmišljanje in diskusijo«. 1

Preprost kartezijski plavač si lahko naredimo doma; epruveto z mehurčkom zraka potopimo v plastenko vode, ki jo zamašimo. Sprva plavač plava, vendar potone, če plastenko stisnemo. Plavač priplava nazaj na površje, če pritisk popustimo. Tudi v naravi najdemo pojave, ki delujejo na principu kartezijskega plavača. Podmornice v rezervoarje načrpajo ali izčrpajo vodo, odvisno od tega ali se želijo potopiti ali priplavati na površje. Podobno svoje gibanje s pomočjo zračnega mehurja regulirajo kiti in ribe. Med prebiranjem revij sem naletel na številne članke 1-6, ki so opisovali kartezijske plavače, kar priča o zanimivosti teme. Namen seminarja je podati fizikalno razlago delovanja (poglavje 2) in opisati nekatere najzanimivejše izvedbe kartezijskih plavačev (poglavje 3). Povedali bomo, kako lahko vžigalice in arašide obravnavamo kot kartezijski plavač in opozorili na nekatere nepravilne razlage. V nadaljevanju pa sledi opis delovanja in lastnosti solarnega, izjemno občutljivega in dvotekočinskega kartezijskega plavača. 2 DELOVANJE KARTEZIJSKEGA PLAVAČA Kot smo že omenili, si preprost kartezijski plavač lahko izdelamo doma. V plastenko potopimo epruveto z mehurčkom zraka in jo zamašimo. Sprva plavač plava, ko pa plastenko stisnemo, potone na dno. Ko stisk popustimo, priplava plavač nazaj na površje. Če smo pozorni na mehurček v epruveti ujetega zraka, opazimo, da se s spreminjanjem pritiska na plastenko, spreminja njegov volumen. Sprva je tlak v tekočini in ujetem zraku enak normalnemu zračnemu tlaku p0 =101,3 kPa. Ko plastenko stisnemo, povečamo tlak v tekočini za Dp, zato se mehurček zraka stisne, tako da je tlak v mehurčku zraka enak tlaku v tekočini p0+Dp. Zvezo med tlakom in volumnom pri konstantni temperaturi opisuje Boylov zakon, ki pravi, da je produkt tlaka in volumna konstanten:

p0V0= (p0+Dp)V' , (1) kjer je V0 začetni volumen ujetega zraka pri tlaku p0 in V' volumen ujetega zraka po spremembi tlaka za Dp. Če stisk popustimo, se tlak v tekočini in ujetem zraku zmanjša, volumen mehurčka pa poveča. V enačbi (1) pri zmanjšanju tlaka upoštevamo, da je Dp negativen. Stisljivost tekočine v prvem približku zanemarimo.

4

2. 1 Sile, ki delujejo na kartezijski plavač Ali plavač plava, lebdi ali potone, je odvisno od dveh sil: ker je plavač potopljen v vodo, nanj poleg teže Fg deluje še vzgon Fvzg. Sprva je vzgon večji od teže, zato rezultanta R teh dveh sil kaže proti gladini (slika 1a). Plavač priplava na površje, kjer ga ustavi zamašek. Če je rezultanta R enaka nič (vzgon je enak teži) plavač lebdi oz. miruje (slika 1b), potone pa (slika 1c), ko rezultanta sil R kaže proti dnu (vzgon je manjši od teže). Smer rezultante R je na sliki 1 označena z rdečo puščico. 2. 2 Dualnost razlage delovanja kartezijskega plavača Da lahko delovanje natančno razložimo, je pomembno definirati opazovani sistem, na kar opozarja tudi L. Borghi 2. Enkrat v sistem štejemo le epruveto in mehurček ujetega zraka (slika 2a), drugič pa epruveto, mehurček zraka in vodo v epruveti (slika 2b). Meja opazovanega sistema je na sliki 3 označena s črtkano črto.

Slika 1: Ali plavač plava, lebdi ali potone, je odvisno od rezultante teže in vzgona, ki je na sliki označena z rdečo puščico. a) Vzgon je večji od teže, rezultanta teh dveh sil kaže proti gladini, zato priplava plavač na površje, kjer ga ustavi zamašek; b) Če je vzgon enak teži, je rezultanta enaka nič, zato plavač lebdi (miruje); c) če pa je teža večja od vzgona, kaže rezultanta proti dnu in plavač potone.

Slika 2: Za razlago delovanja kartezijskega plavača je pomembno, kako izberemo opazovani sistem, ki je na sliki označen s črtkano črto: a) v opazovani sistem štejemo epruveto in mehurček zraka, b) v opazovani sistem poleg epruvete in mehurčka zraka štejemo še vodo v epruveti.2

pred po stiskom stisku

a) b) c)

R

R

R=0

a)

b)

5

2. 2. 1 Vzgon se spreminja, teža plavača je konstantna Opazovani sistem sestavljata epruveta (steklo) in ujeti zrak (slika 2a). Masa sistema je konstantna. K njej prispeva le masa stekla m, maso zraka mzr pa zanemarimo. Konstantna je tudi teža plavača Fg= mg, kjer je g težni pospešek. Vzgon Fvzg je enak teži izpodrinjene tekočine:

Fvzg=rgVzr , (2) kjer je r gostota izpodrinjene tekočine, Vzr volumen mehurčka zraka, volumen stekla pa zanemarimo. Na volumen mehurčka zraka lahko vplivamo s spreminjanjem tlaka, s tem pa na vzgon. Z upoštevanjem enačb (1) in (2) dobimo:

Fvzg= rvgV0( ) ,

(3)

kjer je V0 volumen mehurčka zraka pri tlaku p0. Iz enačbe (3) vidimo, da s povečanjem tlaka zmanjšamo vzgon. Ker je teža plavača konstantna, ta potone (slika 1c). Da priplava nazaj na površje (slika 1a), je potrebno povečati vzgon, oz. zmanjšati tlak. 2. 2. 2 Teža plavača se spreminja, vzgon je konstanten Sedaj v izbrani opazovani sistem štejemo še vodo v plavaču (slika 2b). V tem primeru je konstanten volumen sistema, ki je enak volumnu epruvete V oz. vsoti volumna mehurčka zraka Vzr in volumna vode v epruveti Vv (enačba (4)). Zato je konstanten tudi vzgon:

Fvzg= rgV=rg(Vzr+Vv) . (4) Masa sistema je enaka vsoti mas epruvete (stekla) m in mase vode mv. Masa vode je enaka produktu njene gostote in volumna: mv= rvVv, volumen vode v epruveti Vv pa je enak razliki volumna epruvete V in volumna mehurčka zraka Vzr: Vv= V-Vzr. Če upoštevamo še enačbo (1), dobimo odvisnost teže plavača Fg od tlaka:

Fg= (m+ (V- V0[ ])rv)g ,

(5)

Pri povečanju tlaka deluje na mehurček tlačna sila, njegov volumen se zmanjša (enačba (1)), zato nekaj vode vdre v epruveto. Poveča se teža plavača (enačba (5)), ki zaradi tega potone. Če želimo, da priplava nazaj na površje, je potrebno toliko zmanjšati tlak, da je vzgon večji od teže.

pppD+00

pppD+00

6

3 PRIMERI IZVEDB KARTEZIJSKIH PLAVAČEV 3. 1 Vžigalice kot kartezijski plavač Tudi koščke vžigalic lahko obravnavamo kot kartezijski plavač. V plastenki, ki je napolnjena z vodo in zamašena, fosforna glavica najprej plava, ko pa s stiskom na plastenko povečamo tlak, opazimo, da potone. Za nas je ta primer še posebej zanimiv, ker so pogoste napačne razlage 3, ki pravijo, da se zaradi povečanja tlaka zmanjša volumen v lesu in fosforju ujetega zraka. Tako se zmanjša tudi vzgon (masa ostaja nespremenjena) in koščki vžigalic potonejo. V resnici pa moramo upoštevati mehurčke zraka, ki se prilepijo na vžigalico (slika 3). Mehurčki znatno vplivajo na vzgon, na maso pa le zanemarljivo malo. S spreminjanjem tlaka spreminjamo volumen mehurčkov in s tem vzgon (enačba (3)); razmerje med njim in težo pa vpliva na to ali vžigalica potone, lebdi ali plava. Slika 3: Pri vžigalici ne igra odločilne vloge v lesu in fosforju ujeti zrak, ampak mehurčki, ki se prilepijo na vžigalico. S spreminjanjem tlaka znatno spremenimo njihov volumen, s tem pa vzgon. Tako vplivamo na razmerje med tema silama in na to, ali vžigalica plava, lebdi ali potone.

3. 2 Arašid kot kartezijski plavač V tem poglavju bom pokazal, kako lahko tudi arašidi nastopajo v vlogi kartezijskega plavača 4. Primer je nekoliko neklasičen in zato toliko bolj zanimiv. Arašid v gazirani pijači najprej potone (slika 4a). Teža arašida, ki se med eksperimentom ne spreminja, je sprva večja od vzgona. Ker po določenem času priplava arašid na površje (slika 4b), je teža zagotovo manjša od vzgona. Slednjega zagotavljajo mehurčki ogljikovega dioksida (CO2), ki se prilepijo na arašid, podobno kot pri vžigalicah v prejšnjem poglavju. Na gladini se odlepijo, zato arašid ponovno potone (slika 4c). Ta proces poteka ciklično, dokler je v pijači dovolj CO2. V tem primeru se volumen zraka ne spreminja zaradi spremembe tlaka, ampak zaradi spreminjanja števila na arašid prilepljenih mehurčkov.

7

Samo po sebi se poraja vprašanje, če lahko na ta način na površje priplavajo tudi telesa, ki so znatno gostejša od vode. Odločilno je spet razmerje med vzgonom in težo. Slednja je vseskozi konstantna, saj se masa potopljenega telesa ne spreminja, maso mehurčkov zraka pa ponovno zanemarimo, zato je teža enaka:

Fg=mg=Vrg , (6) kjer je V volumen, r pa gostota potopljenega telesa. Drugače je z vzgonom, ki ga zagotavljajo tudi prilepljeni mehurčki zraka s skupnim volumnom Vm:

Fvzg= (V + Vm)rvg . (7) Poglejmo, kako izračunamo volumen prilepljenih mehurčkov zraka. Relativno enostavno je oceniti debelino plasti mehurčkov d, saj je ta neodvisna od velikosti in oblike potopljenega telesa. Mehurčki se vedno naberejo le v eni plasti (mehurček se prilepi le na telo, ne pa tudi na drug mehurček). Prav tako obstaja neka maksimalna velikost mehurčka (približno 1mm), ki še ostane prilepljen 4, 6. Celoten volumen mehurčkov Vm je odvisen tudi od površine potopljenega telesa S. Večja kot je ta površina, več mehurčkov se prilepi. Volumen mehurčkov zraka, ki se prilepijo na telo, je enak produktu površine potopljenega telesa S in premera mehurčkov zraka d:

Vm=Sd . (8) Če združimo enačbi (7) in (8), dobimo, da je vzgon odvisen od površine potopljenega telesa S:

Fvzg= (V + Sd)rvg . (9) Če želimo, da potopljeno telo priplava na površje, mora veljati Fvzg > Fg. Iz enačb (7) in (9) dobimo pogoj:

8

Sedaj je očitno, da je pri potopljenih telesih, za katera želimo, da priplavajo na površje, pomembno razmerje med površino in volumnom le-teh. S površino opazovanca je posredno povezan volumen mehurčkov (enačba (8)), ki odločilno vpliva na vzgon (enačba (9)), z volumnom opazovanca pa je posredno povezana teža (enačba (6)). Teoretično na površje priplavajo materiali poljubne gostote, če zagotovimo dovolj veliko razmerje med površino in volumnom telesa, tako da je izpolnjena enačba (10). Kot primer lahko navedemo plastelin, katerega gostota znaša 1,4 g/cm3. Krogla plastelina v mineralni vodi potone, če je njen premer večji od 7,5mm. Pogoj (10) ni izpolnjen, saj je (glede na gostoto plastelina) razmerje med površino in volumnom krogle Skr/Vkr premajhno. Enačba (11) kaže, da to razmerje narašča, če zmanjšujemo polmer krogle r:

.

(11)

V praksi tega ne moremo početi v nedogled, sploh če potopimo telesa, ki so nekajkrat gostejša od vode. Bolje je, če kroglico plastelina preoblikujemo v tanek valj. V tem primeru razmerje med površino Sval in volumnom Vval valja narašča, če je višina v majhna v primerjavi s polmerom rval:

.

(12)

Za plastelin z gostoto 1,4 g/cm3, lahko s pomočjo enačb (11) in (12) izračunamo, da na površje priplava valj z višino manj kot 5 mm. 3. 3 Solarni kartezijski plavač V notranjosti solarnega kartezijskega plavača7 (epruvete) je v mehurčku zraka nameščena črna kovinska ploščica (slika 5), ki se zaradi absorbcije infrardečih žarkov segreje. Zaradi sevanja in prevajanja toplote s ploščice se zrak v epruveti segreje za DT, zato se poveča tudi volumen zraka. Odvisnost volumna in temperature idealnega plina (pri konstantnem tlaku) opisuje Guy – Luscasov zakon:

,

(13)

V0 je začetni volumen zraka pri temperaturi T0, V' pa volumen zraka po spremembi temperature za DT. Pri zmanjšanju temperature upoštevamo, da je DT v enačbi (13) negativen. Zaradi absorbcije toplote se segreje tudi voda. Ker pa ima voda skoraj petkrat večjo specifično toploto kot zrak (specifična toplota zraka pri konstantnem volumnu je cv=850 J/kgK, specifična toplota vode cv=4200 J/kgK), se voda segreje manj kot zrak. Tudi, če bi se voda segrela za enak DT kot zrak, bi bil njen raztezek zanemarljiv, saj je koeficient raztezka vode (b =3,8∙10-4K-1) zanemarljivo majhen.

rr

rVS

kr

kr 3

344

3

2

==p

p

vvrvr

VS

val

val

val

val 2)(2 »+

=

TTV

TV

D+=

00

0 '

9

Slika 5: Ali solarni kartezijski plavač plava, lebdi ali tone je odvisno od temperature mehurčka ujetega zraka. Pred obravnavo sil definiramo opazovani sistem. Vanj štejemo epruveto (steklo), mehurček zraka in vodo v epruveti, zato je vzgon konstanten (enačba (4)), spreminja pa se teža:

Fg= (m+ (V-V0[ ])rv)g .

(14)

Mehurček zraka se zaradi absorbirane toplote segreje. Ker se mu volumen poveča (enačba (13)), izpodrine iz plavača nekaj vode. Slednjemu se zmanjša teža (enačba (14)), zato priplava na površje. Na površju z oviro preprečimo ujetemu zraku absorbcijo toplote, zato se ohladi, s čimer se mu zmanjša volumen (enačba (13)). Poveča se teža plavača (enačba (14)), zato ponovno potone. 3. 4 Izjemno občutljiv kartezijski plavač Posebnost izjemno občutljivega kartezijskega plavača je v njegovi občutljivosti, saj reagira na majhne temperaturne in/ali tlačne spremembe. Vzrok za tako veliko občutljivost se skriva v natančni izdelavi; povprečna gostota plavača mora biti le malo manjša od gostote vode. Za izdelavo izjemno občutljivega kartezijskega plavača potrebujemo podrobna navodila, saj v tem primeru namesto plastenke uporabimo steklenico, ki ima skoraj neupogljive stene (elastičnost stekla 70 000 MPa). Pomembna je izbira steklenice; ta naj ima ravne in paroma vzporedne stene, zamašena pa je s premičnim gumijastim čepom in kovinskim pokrovom. S privijanjem in odvijanjem pokrova določamo lego čepa, s tem pa tlak v tekočini in ujetem zraku. S spreminjanjem tlaka (enako kot v poglavju 2) vplivamo na razmerje med težo in vzgonom, s tem pa na to, ali plavač plava ali potone. Pri spremembi temperature si pomagamo z ugotovitvami iz poglavja 3.3. Tudi v tem primeru so volumen ujetega zraka, teža in gibanje plavača odvisni od spremembe temperature. Pri višji temperaturi se volumen mehurčka ujetega zraka poveča, zato iz epruvete izrine nekaj vode. Plavač priplava na površje, saj se njegova teža zmanjša (enačba (14)). Če se temperatura zniža, se mehurček zraka zmanjša in plavač potone. Raztezanje stekla lahko pri sobni temperaturi zanemarimo, saj je koeficient raztezka vode osemkrat večji od koeficienta raztezka stekla 5.

0

1TTD

+

Ščit

Ploščica

Svetilo

10

3. 5 Dvotekočinski kartezijski plavač Poznamo tudi t.i. dvotekočinski kartezijski plavač 1, ki je potopljen v plastenko, v kateri se nahajata dve tekočini različnih barv in gostot, podobnih viskoznosti, med sabo pa se ne mešata (slika 7). Uporabimo lahko tekočino za pranje avtomobila (Sonax rs =0,91 gcm-3) in parafinsko olje (ro =0,86 gcm-3). Če nimamo na voljo teh sestavin, lahko uporabimo tudi vodo in kuhinjsko olje. Spodnji del plastenke zaseda gostejša tekočina, zgornjega pa redkejša. Tokrat izdelamo dva plavača iz prepognjenih slamic (v katerih je ujet zrak), ki jih obtežimo s kovinskima »krokodilčkoma«. V slamici rdečega plavača je mehurček zraka nekoliko manjši kot v slamici modrega plavača, zato modri plavač plava v parafinskem olju, rdeči pa na meji med tekočinama (slika 7a). Ko povečamo tlak, potone rdeči plavač na dno, modri pa se ustavi nekje na meji med tekočinama; njegov spodnji del je potopljen v gostejšo tekočino, ki zagotavlja tolikšen vzgon, da plavač lebdi (slika 7b). Po dodatnem zvečanju tlaka potone na dno plastenke tudi modri plavač (slika 7c). Če pritisk manjšamo, se proces obrne, zato priplava na mejo tekočin najprej modri plavač. Po dodatnem zmanjšanju tlaka pa na mejo priplava rdeči plavač, modri pa priplava na površje redkejše tekočine (Sonaxa).

Slika 6: Pri izjemno občutljivem kartezijskem plavaču namesto plastenke uporabimo steklenico. Tako veliko občutljivost dosežemo z natančno izdelavo; povprečna gostota plavača je le malce večja od gostote vode, zato plavač reagira na majhne tlačne in temperaturne spremembe. 5

Slika 7: a) Sprva modri plavač plava v parafinskem olju, rdeči pa na meji tekočin; b) ko povečamo tlak, rdeči plavač potone na dno, modri pa se ustavi nekje na meji med tekočinama; c) po dodatnem zvečanju tlaka potone na dno plastenke tudi modri plavač.1

11

4 ZAKLJUČEK Namen tega seminarja je bil podati fizikalno razlago delovanja kartezijskega plavača ter zbrati in opisati nekatere najzanimivejše primere le-teh. V različnih fizikalnih revijah avtorji opisujejo različne izvedbe kartezijskih plavačev; jaz sem opisal, kako lahko vžigalice in arašidi v določenih okoliščinah nastopajo v vlogi kartezijskega plavača, sledi pa še opis in razlaga solarnega, posebno občutljivega in dvotekočinskega kartezijskega plavača. S tem pa delo še ni končano. Za nadaljnjo analizo so odprte še nekatere druge posebnosti delovanja kartezijskega plavača. V seminarju smo povsem obšli hidrostatični tlak, ki je v plastenki ali steklenici zanemarljivo majhen. Če pa plavača potopimo v več metrsko cev, ki je napolnjena z vodo, pa hidrostatični tlak znatno vpliva na gibanje plavača. Zato bom v diplomski nalogi napravil podrobno analizo dinamike kartezijskega plavača upoštevajoč tudi hidrostatični tlak. 5 LITERATURA 1. G. Planinšič, Two-liquid Cartesian diver, Physics education 39, 58-64 (Januar 2004). 2. L. Borghi, Developing relevant teaching strategies during in-service training, Physics education 31, 41-46 (Januar 2003). 3. I. Grosu in O. Baltag, A simple but tricky experiment, Physics teacher 36 , 32-33 (April 1995). 4. Sean M. Cordry, Finicky Clay Divers, Physics teacher 36, 82-83 (Februar 1998). 5. Robert M. Graham, An extremely sensitive Cartesian diver, Physics teacher 32, 182-183 (Marec 1994). 6. G. Planinšič, Fizziology, Physics education 39, 65-68 (Januar 2004). 7. http://www.genuineideas.com/hall_of_inventions. b.) a.) Slika 2:

Za razlago delovanja kartezijskega plavača je pomembno, kako izberemo opazovani sistem, ki je na sliki označen s črtkano črto: a.) v opazovani sistem štejemo epruveto in mehurček zraka, b.) v opazovani sistem poleg epruvete in mehurčka zraka