1

Karakteristike sistemaautomatskog upravljanja

•Do sada je glavna tema bila matematičko modelovanjefizičkih sistema. Sada je potrebno ideju modelovanja, odnosno modele, proširiti i uključiti (obuhvatiti) karakteristikesistema automatskog upravljanja u prelaznom režimu i stacionarnom stanju. Neke od tih karakteristika su: greškerada u stacionarnom stanju, osjetljivost na promjeneparametara (nesigurnost modela), karakteristike prelaznogrežima u zavisnosti od ulaznog signala, reagovanje naporemećaje (sposobnost da se njihovo dejstvo eliminiše) itd.

•Veliku pažnju je potrebno posvetiti ulozi signala greške u sistemu (veoma važno!!!). Ovaj signal se koristi zaupravljanje sistemom (procesom) i paralelno sa njim se uvodii pojam povratne sprege. Uopšteno posmatrajući, ciljupravljanja jeste minimizacija (i ako je moguće eliminacija) signala greške.

U analizi kontinualnih sistema koriste se četiri grupespecifikacija za definisanje performanse sistema:

1. Vremenski domen – preskok, vreme uspona, vreme kašnjenja, vreme smirenja, faktorrelativnog prigušenja

2. Frekvencijski domen – propusni opseg, učestanost preteka faze i preteka pojačanja,pretek faze, pretek pojačanja, rezonantnaučestanost, rezonantni vrh

3. Kompleksni domen – broj i raspored polova i nula funkcije prenosa

4. Stacionarno stanje – konstante greške

2

Sistemi automatskog upravljanja sa otvorenomi zatvorenom povratnom povratnom spregom

(sa i bez povratne sprege)

•SAU je definisan kao skup međusobno povezanih(interaktivnih) elemenata koji obezbjeđuju da se postigne željeni odziv (izlaz) sistema. Pošto je željeni odziv sistema poznat, moguće je generisatisignal proporcionalan razlici između stvarnog i željenog odziva sistema, odnosno signal proporcionalan grešci rada sistema. Upotrebaovog signala u upravljanju procesom rezultujezatvaranjem kruga operacija i formiranjem sistemakoji se naziva sistem sa (zatvorenom) povratnomspregom (slika 1).

3

•Da bi se pokazale osobine i prednosti sistema sapovratnom spregom posmatraće se jednostavansistem sa jednostrukom povratnom spregom, iakoveliki broj fizičkih sistema posjeduje više od jednepovratne sprege. Temeljno proučavanje i dobrorazumijevanje prednosti povratne sprege se najbolje i najočiglednije može izvesti na sistemimasa jednom povratnom spregom, što se kasnijejednostavno proširuje na sisteme sa višestrukimpovratnim spregama.

• Sistem bez povratne sprege se često zove direktansistem ili sistem sa otvorenom petljom (slika 2). Ovajsistem se definiše na sledeći način: sistem otvorenepetlje (direktan sistem) funkcioniše bez povratne sprege(upoređivanja željenog sa stvarnim odzivom) i direktnogeneriše izlazni signal kao odziv na ulazni. Primjeriovakvih sistema su: prženje hleba u tosteru, pranje vešau veš mašini, regulacija saobraćaja semaforom i sl.

4

• Za razliku od prethodnog, sistem sa zatvorenom petljom, odnosno sistem automatskog upravljanja sa negativnompovratnom spregom je prikazan na slici 3, i definisan nasledeći način: sistem sa zatvorenom petljom koristimjerenje izlaznog signala i upoređivanje sa njegovomželjenom vrijednošću u cilju generisanja signala greške, koji se dalje prosleđuje do regulatora (aktuatora).

• Na slici 3 se uočavaju dva bloka, čije su funkcije prenosaG(s) i H(s). G(s) generalno predstavlja proces, a H(s) senzor povratne sprege. Blok G(s) bi se još mogao raščlanitina upravljački dio (regulator) i sam proces (objekatupravljanja), dok bi se regulator mogao podijeliti na samregulator (upravljački, “inteligentni” dio) i aktuator(pokretački, energetski) dio, što je prikazano na slici 4.

5

• Funkcija prenosa bloka H(s) (slika 3) u velikom brojuslučajeva ima vrijednost H(s)=1 ili H(s)=const.≠1. Ta “konstanta” fizički vrši pretvaranje veličina (na primjertahometar vrši pretvaranje brzine [rad/sec] u napon [V]). Za početak će se razmatrati sistem sa jediničnompovratnom spregom H(s)=1, (slika 5) i tada je Ea(s)=E(s).

Prema izrazu (3), da bi se greška smanjila moduo [1+G(s)] mora da bude veći od 1 za cio interval promenljive s koji se razmatra.

6

• Neka je sada H(s)≠1 (slika 3). Izlaz Y(s) je opisanjednačinom:

Y(s)=Ea(s)G(s)=G(s)[U(s)-H(s)Y(s)], (4)

Iz izraza (6) se vidi da je uslov smanjenja greške, da moduo[1+GH(s)] bude veći od 1 za cio interval s koji se razmatra

• Signal Ea(s) predstavlja mjeru greškeE(s). Vidi se da tačnost mjerenja rastekako dinamika H(s) postaje zanemarljivija i pojačanje se bliži jedinici (H(s)≈1), naintervalu s koji se posmatra. U daljemizlaganju će se detaljnije posmatratigreška rada sistema u stacionarnomstanju.

7

Greška rada sistema u stacionarnom stanju•Posmatra se odziv sistema na odskočnu pobudu, tokomvremena što je prikazano na slici 8. Kriva odziva se vremenski može podijeliti na dva dijela: prelazni režim i stacionarno stanje (slika 8). Prelazni režim traje od početkadelovanja pobude do trenutka kada se vrednosti izlaznog(posmatranog) signala ustali. Tada nastupa stacionarnostanje, koje traje do promjene pobudnog signala i/ili dejstvaporemećaja.

Vrijednost nekog signala x(t) u stacionarnom stanju se izračunava kao:

ili primjenom druge granične teoreme Laplace-ove transformacije:

Dalje će se razmatrati greške rada u stacionarnom stanjusistema sa i bez povratne sprege. Greška rada sistema u stacionarnom stanju je greška rada nakon što u sistemuiščeznu svi prelazni procesi.

8

Za sistem bez povratne sprege (slika 2) je:

E0(s)=U(s)-Y(s)=[1-G(s)]U(s). Neka je sistem pobuđen jediničnom odskočnom funkcijom, odnosno neka je U(s)=1/s. Tada je:

Da bi sistem bez povratne sprege eliminisao grešku u stacionarnom stanju mora biti ispunjen uslov G(0)=1.

Za sistem sa jediničnom povratnom spregom važi izraz (3), odnosno ako je U(s)=1/s:

Iz izraza se vidi da eC(∞)→0 kada G(0)→∞. Vrijednost G(s) kada je s=0 se često naziva jednosmerno pojačanje i obično je veće od 1. Na osnovu dobijenih izraza se može zaključiti dasistem bez povratne sprege ima grešku značajno velikeamplitude (modula) dok sistem sa povratnom spregom ima svemanju i manju grešku rada u stacionarnom stanju kako |G(0)| raste.

9

•Sada se postavlja pitanje gdje je prednost povratnesprege ako je moguće podesiti da bude G(0)=1 i realizovati SAU bez povratne sprege kod koga je e0(∞)=0? •Naravno, u sistemu bez povratne sprege može se izvesti kalibracija i podesiti da bude G(0)=1. Ali... U toku rada sistema njegovi parametri se mijenjaju, djeluju spoljni poremećaji, odnosno mijenja se G(s) usled dejstva različitih faktora. Ovo sve za sobompovlači i promjenu G(0), odnosno e0(∞) će biti različitood 0 sve dok se ne izvrši servis i rekalibracija cijelogsistema. •e0(∞) će biti veće, što je G(s) osjetljivije na promjenunekog od parametara. Na sve ovo se dodaje i činjenicada je G(0)=1 uslov koji se praktično u najvećem brojuslučajeva može ispuniti jako teško ili nikako.

•Za razliku od prethodnog slučaja u sistemima sapovratnom spregom mjeri se signal greške i preduzima odgovarajuće upravljanje u ciljusmanjenja vrijednosti tog signala. Odavde se vidiprednost SAU sa povratnom spregom. Kod SAU sa povratnom spregom greška rada sistemamnogo manje zavisi od spoljnjih uticaja, osjetljivosti na promjenu parametara, kalibracije i sl. nego kod sistema bez povratne sprege. Ovo ćese ilustrovati sledećim primjerom.

10

Primjer 2: Posmatra se proces sa funkcijom prenosa

Ovo je funkcija prenosa (u opštem obliku) nekog termičkog procesa, regulacije napona ili nivoa tačnosti u rezervoaru. Neka je željena vrijednost -ulazni signal konstanta (želi se da proces ima konstantnu temperaturu, napon ili nivo), što se može opisati odskočnom funkcijom, a da se ne komplikuje puno neka to bude jedinična odskočna funkcija, odnosnou(t)=h(t) (U(s)=1/s).

Za sistem bez povratne sprege je: e0(∞)=1-G(0)=1-K, i ako se podesi da je K=1, slijedi e0(∞)=0, i to se može učiniti.

Za sistem sa povratnom spregom je:

Idealno bi bilo da K→∞, jer bi tada eC(∞)→0. To se naravno ne može postići, ali se K može postaviti na neku veliku vrijednost, i neka je K=100. Sada je:

Neka se sada K promijeni za 10%.

11

12

Cijena povratne sprege•Očigledno je da dodavanje povratne sprege sasobom donosi i određene prednosti. Naravno, prednosti sa sobom donose i određenu cijenu. •Prvo, uvođenjem povratne sprege raste brojkomponenti i složenost sistema. Da bi se ostvarilapovratna veza potrebno je u sistem postavitiodređene komponente povratne veze, od kojih je najvažnija senzorsenzor –– mmjjeraeračč izlaznogizlaznog signalasignala. Senzor je često najskuplja komponentaregulacionog sistema, a osim toga uvodi šum i netačnost u sistem.

• Drugo, uvođenjem povratne sprege dolazi do gubitka pojačanja (prenosa). U sistemu bezpovratne sprege prenos je G(s) i on se redukujena G(s)/(1+G(s)) zatvaranjem jediničnenegativne povratne sprege.

• Redukcija pojačanja zatvorene povratne spregeje 1/(1+G(s)), i to je tačno faktor koji smanjujeosjetljivost sistema na promjene parametara i djelovanje poremećaja.

Cijena povratne sprege

13

Cijena povratne spregeIz dosada navedenog slijedi da se otvorenom povratnomspregom štedi, ali se ta ušteda žrtvuje u korist kvalitetnijegupravljanja sistemom primjenom zatvorene povratne sprege. Takođe se primjećuje da je pojačanje signala između ulaza i izlaza manje, ali da je u suštini očuvano pojačanje snage(aktuatora) što je veoma bitno (i u potpunosti iskorišćeno) u sistemima sa zatvorenom povratnom spregom. Konačno, cijena povratne sprege može biti gubitak stabilnosti sistema. Sistem koji je bez povratne sprege bio stabilan može nakonzatvaranja povratne sprege postati nestabilan.Postoji još problema vezanih za projektovanje sistema sa

povratnom spregom, ali generalno gledano, prednosti ovakvihsistema preovlađuju nad teškoćama i njihovim lošimosobinama te se široko primjenjuju.

Karakteristične pobudne funkcije – test signali

•Karakteristike rada sistema u vremenskom domenu su jakobitne, pošto se i ponašanje SAU prati u toku vremena. Iz tog razloga odziv sistema u vremenskom domenu je od primarnogznačaja, a sa njim i određene karakteristike. Prije svega, potrebno je utvrditi da li je sistem stabilan. Ako jeste, pobuđujese određenim pobudnim signalom, mjeri se (registruje) odziv i na taj način se dolazi do podataka o određenim mjeramaperformansi. Pošto je stvarni pobudni signal nekog sistemaunaprijed nepoznat, to se za određivanje mjera performansikoriste standardni pobudni – test signali. Postoji nekolikorazloga koji opravdavaju ovakav postupak:

– postoji korelacija između odziva na test signal i ponašanja sistema u realnim uslovima;

– koristeći iste ulazne signale moguće je uporediti različita rešenja nekogproblema i izabrati najbolje;

– realni ulazni signali su veoma slični standardnim test signalima.

14

15

Od navedenih test signala posebno je interesantanδ(t), jer je U(s)=1. Prema definiciji funkcijeprenosa sistema (G(s)) izlaz (Y(s)) je, zapobudni delta impuls:

Y(s)=G(s)U(s)=G(s), što je u vremenskom domenu:

y(t)=L-1{G(s)}=g(t).

Greška rada SAU sa povratnom spregom, u stacionarnom stanju

Posmatra se sistem sa povratnom spregom, prikazan na slici

Pokretački signal u sistemu Ea(s) je u stvari mjera greškeE(s)=U(s)-Y(s), i ako je H(s)=1, tada je Ea(s)=E(s), odnosno:

16

Greška rada sistema u stacionarnom stanju, prema poslednjem izrazu je

Uobičajeno je, a i veoma korisno, da se ess određuje za tri standardna test signala oblika

u(t)=A tn h(t), gde je n=0,1,2.

Prvi je odskočni, drugi nagibni a treći parabolični signal.

•Odskočna pobudaNeka su svi polovi (pk) i nule (zi) funkcije prenosa G(s) poznati. Pošto se posmatra sistem sa jediničnom negativnompovratnom spregom, na osnovu slike 8 se vidi da je G(s)=W(s), odnosno funkcija prenosa G(s) je funkcijapovratnog prenosa, te će se u daljem izlaganju pisati W(s) umesto G(s). Neka W(s) poseduje r polova u koordinatnompočetku (realni i imaginarni dio im je jednak nuli). Sada se W(s) može napisati u obliku:

17

gdje je r+t=n. r se naziva red astatizma i fizički predstavlja broj integratora u direktnojgrani sistema (funkciji prenosa G(s)). •Za odskočnu pobudu u(t)=Ah(t) ⇒ U(s)=A/s, slijedi:

SadaSada se se definidefiniššee konstantakonstanta polopoložžajaaja kaokao: :

pa je pa je

18

•• Na Na osnovuosnovu prethodnogprethodnog izlaganjaizlaganja i i izrazaizrazase se zakljuzaključčujeuje dada ććee sistemsistem pobuđenpobuđenodskoodskoččnimnim signalomsignalom raditiraditi bezbez gregrešškeke u u stacionarnomstacionarnom stanju stanju akoako posedujeposedujeminimalnominimalno astatizamastatizam prvogprvog redareda. .

19

••NagibnaNagibna pobudapobuda -- ramparampaZa nagibnu pobudu u(t)=Ath(t) ⇒ U(s)=A/s2, slijedi:

Sada se definiše brzinska konstanta kao:

20

•• Na Na osnovuosnovu prethodnogprethodnog izlaganjaizlaganja se se zakljuzaključčujeuje dada ććee sistemsistem pobuđenpobuđennagibnimnagibnim signalomsignalom (rampa funkcijom) (rampa funkcijom) raditiraditi bezbez gregrešškeke u u stacionarnomstacionarnom stanjustanjuakoako posedujeposeduje minimalnominimalno astatizamastatizamdrugogdrugog redareda. .

ParaboliParaboliččnana pobudapobudaZa paraboličnu pobudu u(t)=At2h(t)/2 ⇒

U(s)=A/s3, slijedi:

Sada se definiše konstantakonstanta ubrzanjaubrzanja kao:

21

•• Na Na osnovuosnovu prethodnogprethodnog izlaganjaizlaganja se se zakljuzaključčujeuje dada ććee sistemsistem pobuđenpobuđenparaboliparaboliččnimnim signalomsignalom imatiimatibeskonabeskonaččnono velikuveliku gregrešškuku odzivaodziva zazatt→∞→∞, , akoako je red je red astatizmaastatizma manjimanji odod dvadva, , a a imaimaććee konstantnukonstantnu gregrešškuku zaza tt→∞→∞ akoakoposedujeposeduje astatizamastatizam drugogdrugog redareda. .

22

IndeksiIndeksi performanseperformanse•U prethodnom izlaganju su uočeni i izvedeniparametri koji određene karakteristike sistemaprevode u brojne vrijednosti. •Navedeni parametri su opisivali ponašanjesistema u prelaznom režimu i stacionarnomstanju. Broj tih parametara nije mali, pa se izpraktičnih razloga ukazala potreba zauvođenjem veličine (pokazatelja) koja će u sebisadržati sve bitne dinamičke karakteristikesistema. Takve veličine se nazivaju indeksiperformanse.

23

• Definicija: Indeks performanse je kvantitativnamjera osobine (performanse) sistemaodabrana tako da što bolje istakne određenu(tehničku) karakteristiku.

• Sistem se naziva optimalni SAU ako su njegoviparametri podešeni tako da indeks performansedostiže ekstremnu vrijednost (najčešće je to minimum). Indeksi performanse se najčešćezadaju u obliku integrala čija je pod integralnafunkcija neka funkcija greške sistema. U daljemizlaganju će se definisati indeksi performansenajčešće korišćeni u praksi.

Integral greške (Integral of Error):

• Praktično se ne koristi jer daje loše rezultate zaoscilatorne procese, zbog promjene znaka greške(primer – srednja vrijednost naizmjenične struje je nula)

24

Integral kvadrata greške (Integral of Square Error):

• Gornja granica integrala T je izabrana kao vrijednostkada iščezavaju sve prelazne pojave u sistemu i greškapada na nulu. T je najčešće vrijeme smirenja sistema(Ts). Ovaj kriterijum ima jako velike vrijednosti zasisteme sa ekstremno velikim ili ekstremno malimprigušenjem (ξ), pa je njegova minimizacija uslovljenaodređivanjem nekog kompromisnog (srednjeg) rešenjaza prigušenje. Ovaj indeks se lako mjeri (postoje kola zakvadriranje signala),a pogodan je i za matematičku, računarsku obradu. Slika 9 ilustruje postupakodređivanja ISE.

25

Integral apsolutne greške (Integral of Absolute Error):

• Ovaj indeks se uglavnom koristi priračunarskim simulacijama ponašanjasistema.

Integral proizvoda apsolutne greške i vremena(Integral of Time multiplied Absolute Error):

• Definiše se da bi smanjio uticaj velike početnevrijednosti greške (na početku posmatranja radasistema) a podvukao (istakao) uticaj greške kojusistem ima kasnije u odzivu.

26

Integral proizvoda kvadrata greške i vremena(Integral of Time multiplied Square Error):

• Sličan je prethodnom indeksu (ITAE) i njihovazajednička osobina je dobra selektivnost, takoda se veoma lako uočava koji parametri sistemau kojoj mjeri utiču na njihovu minimizaciju.

• Prethodno definisani indeksi performansenisu i jedini koji se primenjuju. Opšti oblikindeksa performanse bi se mogao napisatikao:

• gde je f(.) funkcija koja zavisi od greškee(t), ulaza u sistem u(t), izlaza iz sistemay(t) i vremena t.