Kapitola 1 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY

Kapitola 1

ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY

1.1 �ÍSELNÉ OBORY

1.1.1 Ozna£ení £íselných mnoºin

Mnoºina v²ech p°irozených £ísel :N = {1, 2, 3, . . . , n, n+ 1, . . .}

Základní vlastnost:Kdyº k ∈ N, potom k + 1 ∈ N;Stru£n¥: k ∈ N ⇒ k + 1 ∈ N.

Mnoºina v²ech celých £ísel :Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Základní vlastnosti:a) Mnoºina rozdíl· libovolných dvou p°irozených £ísel,∀j ∈ N, ∀k ∈ N ⇒ j − k ∈ Z;

b) ∀m ∈ Z ∃r ∈ N ∃s ∈ N : r − s = m.

Obrázek 1.1. N je pod-

mnoºina mnoºiny Z

Vysv¥tlení kvanti�kátor· viz odst. 1.2.4.Platí: N ⊂ Z, t.j. N je podmnoºina Z.Znamená to, ºe kdyº p ∈ N, potom p ∈ Z.

Pozor: Implikace p ∈ Z ⇒ p ∈ N je nepravdivý výrok!!t.j. Z není podmnoºina N.

Q - mnoºina v²ech racionálních £ísel (nelze zadat výpisem n¥kolika £len·!)Základní vlastnosti:

a) Kaºdé racionální £íslo lze vyjád°it bu¤ kone£ným nebo nekone£ným pe-riodickým desetinným rozvojem.b) Kaºdé racionální £íslo lze vyjád°it ve tvaru zlomku s celo£íselným £ita-telem a jmenovatelem, t.j. podílem dvou celých £ísel (ve jmenovateli nesmíbýt nula).

2 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY

Nap°íklad:

1) x ∈ Q: x = 2, 3751; x =3

25, x =

22

76= π (!)

2) y ∈ Q: y = 1, 27353535... = 1, 2735 (nekone£ný periodickýdesetinný rozvoj)

Otázka: Jak se li²í £ísla 2, 5 a 2, 499999... ?Odpov¥¤: Jsou to dva r·zné zápisy téhoº racionálního £ísla.Otázka: Je zápis π = 3, 14 správný? Odpov¥¤: Není: π /∈ Q, 3, 14 ∈ Q.

R - mnoºina v²ech reálných £ísel.Základní vlastnosti:

a) Kaºdé reálné £íslo lze vyjád°it desetinným rozvojem (bu¤ kone£nýmnebo nekone£ným).b) Kaºdé reálné £íslo je limitou n¥jaké konvergentní posloupnosti racio-nálních £ísel.c) Kaºdému bodu zvolené p°ímky lze p°i°adit jediné reálné £íslo; p°ímces tímto p°i°azením °íkáme reálná osa resp. osa reálných £ísel.

Obrázek 1.2. Osa reálných

£ísel

Nap°íklad:

1)1

4= 0, 25 je racionální £íslo (kone£ný desetinný rozvoj)

av²ak dále: 0, 25 = 0, 25000... je také reálné £íslo (ne-kone£ný desetinný rozvoj).

2) π ∈ R: π = 3, 1415926579... (nekone£ný neperiodickýdesetinný rozvoj)

1.1 �ÍSELNÉ OBORY 3

R−Q - mnoºina v²ech iracionálních £ísel.Výrok x ∈ R − Q znamená: x ∈ R, a x /∈ Q (x je reálné £íslo a neníracionální £íslo).

Stru£n¥: x ∈ R−Q ⇔ x ∈ R ∧ x /∈ Q.

C - mnoºina v²ech komplexních £ísel.Základní vlastnosti:

a) Uspo°ádaná dvojice reálných £ísel:z ∈ C, t.j. z = [x, y], kde x ∈ R, y ∈ R.b) Kaºdému bodu zvolené roviny lze p°i°adit jediné komplexní £íslo; ro-vin¥ s tímto p°i°azením °íkáme komplexní rovina nebo Gaussova ro-

vina .Zápis : z = x+ iy; i = [0, 1]; i2 = −1;Pozor : zápis i =

√−1 je nesprávný!!

Základní inkluze:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(inkluze: ⊂ znak podmnoºiny)

Obrázek 1.3. Gaussova rovina

Otázka: Které £íslo leºí ve v²ech t¥chto mnoºinách?Odpov¥¤ : Kaºdé p°irozené £íslo.

1.1.2 Operace v £íselných mnoºinách

Vypí²eme, které operace s £ísly lze v daném £íselném oboruprovád¥t, aby výsledek bylo £íslo ze stejného £íselného oboru.


N - s£ítání, násobení, umoc¬ování p°irozeným exponentem;

Z - s£ítání, od£ítání, násobení, umoc¬ování p°irozeným exponentem;

Q - s£ítání, od£ítání, násobení, d¥lení (krom¥ d¥lení nulou!!), umoc¬ování ce-lo£íselným exponentem (s výjimkou 00!);

R - s£ítání, od£ítání, násobení, d¥lení, umoc¬ování nezáporných reálných £íselreálným exponentem;

C - v²echny operace.

Vlastnosti operací s£ítání a násobení / s £ísly

komutativnost a+ b = b+ a a ∗ b = b ∗ a

asociativnost a+ (b+ c) = (a+ b) + c a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c

neutralita a+ 0 = a a ∗ 1 = a

distributivnost a ∗ (b+ c) = a ∗ b+ a ∗ c

Otázky:

1. Jaké je nejv¥t²í reálné £íslo men²í n¥º 1? (neexistuje).

2. Jaké je nejv¥t²í reálné £íslo? (neexistuje).

3. Jaké je nejmen²í reálné £íslo? (neexistuje).

4. Jaké je nejv¥t²í racionální £íslo? (neexistuje).

5. Je "více" racionálních £ísel neº £ísel iracionálních?

6. Je "více" racionálních £ísel neº £ísel p°irozených?

Úloha: Vysv¥tlete "vrchcábovou" záhadu.

1. Myslete si 3 jednomístná p°irozená £ísla.

2. První £íslo vynásobte 2

3. P°i£t¥te k výsledku 5

4. Výsledek vynásobte 5

5. K výsledku p°i£t¥te druhé £íslo

6. Výsledek vynásobte 10

7. K výsledku p°i£t¥te t°etí £íslo

8. Sd¥lte mi výsledek a já vám °eknu £ísla, která £ísla jste si mysleli. Vysv¥t-lení hledejte mezi °e²enými p°íklady tohoto textu.

1.1 �ÍSELNÉ OBORY 5

1.1.3 Mocniny - stru£ný p°ehled

a) a ∈ Q, n ∈ N: an = a · a · a · · · · a︸︷︷︸n £initel·

;

b) a ∈ Q, n ∈ N: a−n =1

an, a 6= 0, a−1 =

1

a;

c) Pro a 6= 0: a0 = 1;! Výraz 00 není algebraicky de�novatelný; lze mu dát smysl (nikoliv jednozna£n¥)pouze jako limita (tzv. neur£itý výraz).

d) am · an = am+n, a ∈ Q, m,n ∈ N;

e) (am)n = amn, a ∈ Q, m,n ∈ N;

f) (ab)m = am · bm, a, b ∈ Q, m ∈ N;

g)(ab

)m=am

bm, a, b ∈ Q, b 6= 0, m ∈ N;

h)am

an= am−n, a ∈ Q, m,n ∈ N, a 6= 0;

n-tá odmocnina z nezáporného reálného £ísla:

i) r = n√a = a

1n , n ∈ N, a ≥ 0, práv¥ tehdy, kdyº a = rn;

Historická poznámka:√

je stylizované písmeno r: v latin¥ radix, v angli£tin¥ root(square root) znamená ko°en.

j) amn =

(a

1n

)m= ( n√a)m

= n√am, m,n ∈ N, a ≥ 0.

Otázka: Pro jaké a platí

a)√a2 = a ?

b)√a2 = −a ?

Poznámka: Platnost pravidel d) − h) m·ºeme roz²í°it i pro a, b ∈ R, m,n ∈ Q (dokonce ina m,n ∈ R), ale neplatí pro v²echna, jak je vid¥t z bod· i), j). Zcela obecn¥ tato pravidlaplatí aº v oboru komplexních £ísel.

Otázka: Umíte de�novat a stanovit nap°íklad:

1π, 3π, (π)π; (1 + 2i)3−i, (i)i ?


1.1.4 Uspo°ádání a nerovnosti

Pro kaºdá dv¥ £ísla x ∈ R, y ∈ R platí práv¥ jeden ze vztah·

x < y, x = y, x > y.

�íkáme, ºe mnoºina reálných £ísel je uspo°ádaná ;U komplexních £ísel neumíme rozhodnout, které ze dvou komplexních £ísel (s nenulovou

imaginární £ástí) je v¥t²í; umíme rozhodnout pouze o rovnosti:

x+ iy = a+ ib ⇐⇒ x = a ∧ x = b.

kde "⇐⇒" je znak ekvivalence, "∧" je znak konjunkce.

Základní vlastnosti nerovnosti (ilustrujte na p°íkladech):a) ∀x, y, z ∈ R : (x < y ∧ y < z) =⇒ x < z;b) ∀x, y, z ∈ R : x < y ⇐⇒ x+ z < y + z;c) ∀x, y, z ∈ R : (x > 0 ∧ y > 0) =⇒ xy > 0; (obrácenáimplikace neplatí!!)

Otázky:

• Co znamená zápis a ≤ b ?

• Co je správn¥ (tj. která nerovnost je pravdivý výrok):3 < 4, 3 ≤ 4, 4 ≤ 4, 4 < 4?

• Jaký je rozdíl mezi rovností a rovnicí?

• Jaký je rozdíl mezi nerovností a nerovnicí?

Úkoly:

• Stanovte x ∈ R takové, aby platilo: 3 + x < 7 .

• Prov¥°te, zda platí 23,14 < 1, 9π ?

1.2 PODMNO�INY R, R2, R3

1.2.1 Sou°adnicové systémy

Mnoºinu R v²ech reálných £ísel ozna£ujeme také R1, resp. (−∞,+∞).

1.2 PODMNO�INY R, R2, R3 7

Obrázek 1.4. Pravoúhlý (kar-

tézský) sou°adnicový systém v

R2

Obrázek 1.5. Kosoúhlý sou°ad-

nicový systém v R2

R2 - mnoºina v²ech uspo°ádaných dvojic reálných £ísel:R2 ≡ {(x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R}

Geometrické interpretace : Dvojici (x, y) nazýváme také bodem v rovin¥ R2; £íslax, y nazýváme sou°adnice tohoto bodu. Bod zna£íme také X = (x, y).

V R2 volíme dv¥ r·znob¥ºné £áry, tzv. sou°adnicové £áry . Jejich pr·se£ík P na-zýváme po£átek ; P = (0, 0). �íkáme, ºe jsme v R2 zvolili sou°adnicový systém nebosoustavu sou°adnic.

V R2 m·ºeme zavést nekone£n¥ mnoho sou°adnicových systém·. Poloha bodu je ur£enanejen dvojicí £ísel (x, y), ale také zvoleným sou°adnicovým systémem.

Vzdálenost d(A,B) bod· A,B je nezáporné £íslo, které závisí na zvoleném sou°adni-covém systému.

Obrázek 1.6. Polární sou°adni-

cový systém v R2

Obrázek 1.7. K°ivo£arý sou-

°adnicový systém v R2

V kartézském sou°adnicovém systému(!) de�nujeme vzdálenost bod· A, B vzor-cem

d(A,B) =√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2; A = (a1, a2), B = (b1, b2)


Obrázek 1.8. Pravoúhlý (kar-

tézský) sou°adnicový systém v

R3

R3 - mnoºina v²ech uspo°ádaných trojic reálných £ísel:

R3 ≡ {(x, y, z) : x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}.

Trojici (x, y, z) nazýváme také bodem v R3. �íslax, y, z jsou sou°adnice tohoto bodu ve zvoleném sou°ad-nicovém systému.

V R3 zvolíme t°í navzájem r·znob¥ºné sou°adnicové£áry se spole£ným pr·se£íkem P , který nazýváme po£á-tek. Na obrázku 1.8 je pravoúhlý sou°adnicový systém.

1.2.2 Intervaly - speciální podmnoºiny R

〈a, b〉 = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} - uzav°ený interval;£teme: mnoºina t¥ch reálných £ísel x, pro které platí uvedená nerovnost.

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} - otev°ený interval;(a, b〉 = {x ∈ R : a < x ≤ b} - polouzav°ený (polootev°ený)

interval;〈a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} - polouzav°ený (polootev°ený)

interval;〈a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}(a,+∞) = {x ∈ R : a < x}(−∞, b〉 = {x ∈ R : x ≤ b}(−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

P°íklad : Ur£it a znázornit na reálné ose:

〈−1, 2) ∪ (0, 5) = 〈−1, 5) ; sjednocení interval·

〈−1, 2) ∩ (0, 5) = (0, 2) ; pr·nik interval·

Otázka: (3, 7) je bod v R2 nebo interval na R?


1.2.3 Omezené £íselné mnoºiny

�íselná mnoºina A ⊂ R je shora omezená , kdyº existuje reálné £íslo c2 ∈ Rtakové, ºe kaºdé £íslo x ∈ A je nejvý²e (rovno) c2, t.j.

∃c2 ∈ R ∀x ∈ A : x ≤ c2.

�íselná mnoºina A ⊂ R je zdola omezená , kdyº existuje reálné £íslo c1 ∈ Rtakové, ºe ºádné £íslo x ∈ A není men²í neº c1,t.j.

∃c1 ∈ R ∀x ∈ A : x ≥ c1.

�íselná mnoºina B ⊂ R je omezená , kdyº∃c1, c2 ∈ R ∀x ∈ B : c1 ≤ x ≤ c2.

Otázka: Jak byste °ekli, ºe mnoºina C ⊂ R je shora neomezená (zdola neomezená)?Jak byste formulovali negaci uvedených výrok·?

Maximum £íselné mnoºiny A ⊂ R je takové £íslo M ∈ A, ºe∀x ∈ A : x ≤M ; ozna£ujeme M = maxA,

(M je nejv¥t²í £íslo mnoºiny A).Minimum £íselné mnoºiny A ⊂ R je takové £íslo m ∈ A, ºe

∀x ∈ A : m ≤ x ; ozna£ujeme m = minA,(m je nejmen²í £íslo mnoºiny A).

Supremum £íselné mnoºiny A ⊂ R je takové reálné £íslo S ∈ R (!), kteréspl¬uje tyto dva poºadavky:

a) ∀x ∈ A : x ≤ S;b) ∀x′ ∈ R : x′ < S ∃x′′ ∈ A : x′′ > x′;

(pro kaºdé £íslo x′ men²í neº S existuje v mnoºin¥ A £íslo x′′, které je v¥t²íneº x′).Zna£í se S = supA.In�mum £íselné mnoºiny A ⊂ R je takové reálné £íslo s ∈ R (!), které spl¬ujetyto dva poºadavky:

a) ∀x ∈ A : x ≥ s;b) ∀x′ ∈ R : x′ > s ∃x′′ ∈ A : x′′ < x′;

(pro kaºdé £íslo x′ v¥t²í n¥º s existuje v mnoºin¥ A £íslo x′′, které je men²í neºx′).Zna£í se s = inf A;

Nap°íklad:max 〈−2, 1〉 = 1; sup 〈−2, 1〉 = 1;max 〈−2, 1) neexistuje; sup 〈−2, 1) = 1;max 〈−5,+∞) neexistuje; sup 〈−5,+∞) neexistuje;


Otázka: Je maximum (minimum) vºdy supremem (in�mem)?

Je supremum (in�mum) vºdy maximem (minimem)?

Absolutní hodnota reálného £ísla x ∈ R je v¥t²í z £ísel x a −x;Zna£íme:

|x| = max{x,−x}.

D·sledky de�nice:

D·sledek 1: Absolutní hodnota |x| £ísla x je vºdy nezáporné £íslo,t.j. |x| ≥ 0.

D·sledek 2:Pro x > 0 je |x| = x;Pro x < 0 je |x| = −x;Pro x = 0 je |x| = 0.

D·sledek 3: Mnoºina B ⊂ R je omezená, práv¥ tehdy, kdyº

∃c > 0 ∀x ∈ B : |x| ≤ c.

D·sledek 4: ∀a, b ∈ R: |a+ b| ≤ |a|+ |b|, trojúhelníková nerovnost.

D·sledek 5: ∀a, b ∈ R: ||a| − |b|| ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|

D·sledek 6: ∀a ∈ R:|a|2 = a2;√a2 = |a|

|ab| = |a||b|;∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|, b 6= 0.

1.2.4 Logické symboly, výroky, výrokové formy

Výrok V je sd¥lení, u n¥hoº má smysl hovo°it o pravdivosti £i nepravdivosti, p°i£emº platípráv¥ jedna moºnost, tj. výrok nem·ºe být sou£asn¥ pravdivý i nepravdivý.

Negace výroku V zna£íme V , non V ,V ′, ¬V ).

Axiom dvouhodnotové logiky: V je pravdivý práv¥ tehdy, kdyº V je nepravdivý."Tercium non datur".

P°íklad.V : x ∈ A, "x je prvkem mnoºiny A".V : x /∈ A; "x není prvkem mnoºiny A", není pravda, ºe x je prvkem mnoºinyA.


Sloºené výrokyKonjunkce V1∧V2 je pravdivá práv¥ tehdy, kdyº jsou pravdivé oba výroky

V1, V2; v ostatních p°ípadech je konjunkce nepravdivá.Slovn¥: V1 a V2.Disjunkce V1 ∨ V2 je pravdivá, je-li pravdivý alespo¬ jeden z výrok· V1,

V2,Slovn¥: V1 nebo V2.Implikace V1 =⇒ V2 je nepravdivá, je-li V1 pravdivý a V2 nepravdivý; v

ostatních p°ípadech je implikace pravdivá.Slovn¥: z V1 plyne V2,

V1 je posta£ující pro V2,V2 je nutné pro V1.

Ekvivalence V1 ⇐⇒ V2 je pravdivá, jsou-li oba výroky pravdivé nebo obanepravdivé.

Slovn¥: V1 práv¥ tehdy, kdyº V2,V1 je nutné a sta£í pro V2,V2 je nutné a sta£í pro V1.

P°íklad. Vytvo°te nové výroky pomocí logických operací.V1: Daný trojúhelník je pravoúhlý.V2: V daném trojúhelníku platí Pythagorova formule a2 + b2 = c2,kde a, b jsou délky odv¥sen, c je délka p°epony.

V1 V2 V 1 V 2 V1 ∧ V2 V1 ∨ V2 V1 ⇒ V2 V2 ⇒ V1 V1 ⇔ V2

1 1 0 0 1 1 1 1 11 0 0 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1 1 0 00 0 1 1 0 0 1 1 1


Logické zákony1. V1 ∧ V2 ⇔ V 1 ∨ V 2 negace konjunkce je ekvivalentní disjunkci

negací2. V1 ∨ V2 ⇔ V 1 ∧ V 2 negace disjunkce je ekvivalentní konjunkci

negací3. V1 ⇒ V2 ⇔ V1 ∧ V 2 negace implikace - princip d·kazu sporem4. V1 ⇒ V2 ⇔ V 2 ⇒ V 1 princip nep°ímého d·kazu5. V1 ⇒ V2 ⇔ V 1 ∨ V2 princip nep°ímého d·kazu6. V ⇔ V zákon dvojí negace ("negace negace")

7.V ∨ VV ∧ V ,V ⇔ V

vºdy pravdivé výroky;tautologicky pravdivé výroky

Kvanti�kované výroky a jejich negace1. Zápis: ∀x ∈M : V (x)

�teme: pro kaºdý prvek x ∈ M platí V (x) (kaºdý prvek x ∈ M má vlastnostV (x)).2. Zápis: ∃x ∈M : V (x)

�teme: existuje prvek x ∈M s vlastností V (x).3. Zápis: ∃ ! x ∈M : V (x)

�teme: existuje práv¥ jeden prvek x ∈M s vlastností V (x).


P°íklady :

a) ∀x ∈ N : x > 0"kaºdé p°irozené £íslo x je kladné" - pravdivý výrok;b) ∀x ∈ Q : x < 5"kaºdé racionální £íslo je men²í neº 5" - nepravdivý výrok;c) ∃x ∈ N : x > 0

"existuje p°irozené £íslo, které je kladné" - pravdivý výrok;d) ∃x ∈ Q : x < 5

"existuje racionální £íslo, které je men²í neº 5" - pravdivý výrok;e) ∃x ∈ R : x2 + 1 = 0

"existuje reálné £íslo x takové, ºe jeho druhá mocnina je -1" - nepravdivývýrok;

Negace kvanti�kovaných výrok·:

∀x ∈M : V (x) = ∃x ∈M : V (x).Slovn¥: Není pravda, ºe pro v²echna x ∈M platí V (x) ≡

≡ existuje x ∈M , pro které V (x) neplatí.

∃x ∈M : V (x) = ∀x ∈M : V (x).Slovn¥: Není pravda, ºe existuje x ∈M takové, ºe platí V (x) ≡

≡ pro v²echna x ∈M je V (x) nepravdivý ≡≡ pro ºádné x ∈M V (x) neplatí.

1.2.5 Mnoºiny a operace s nimi

Sjednocení : A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}Pr·nik : A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}Jestliºe dv¥ mnoºiny X a Y nemají ºádné spole£né prvky, °íkáme, ºe tytomnoºiny jsou disjunktní a ºe jejich pr·nik je prázdná mnoºina : X ∩Y = ∅(znak prázdné mnoºiny).Rozdíl : A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.Dopln¥k mnoºiny A ⊂ E do mnoºiny E : AE = E − A,

x ∈ AE ⇐⇒ x ∈ E ∧ x /∈ A.

Platí: A ∪B = B ∪ AA ∩B = B ∩ AA ∪ A = AA ∩ A = A


Kartézský sou£in mnoºin A, B:A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}

je mnoºina uspo°ádaných dvojic prvk· a ∈ A, b ∈ B}.Speciáln¥: A× A = A2; A× A× A = A3, atd.R2 = R×R.

Kartézský sou£in není komutativní: A×B 6= B × A, pokud A 6= ∅, B 6= ∅ a A 6= B.Úkol: Znázor¬te sjednocení, pr·nik, rozdíl mnoºin geometricky (Vennovy diagramy).

Uv¥domte si souvislost sloºených výrok· V1 ∨ V2, V1 ∧ V2, V 2, V1 ⇒ V2, V1 ⇔ V2 s mnoºi-novými operacemi V1 : x ∈ A, V2 : x ∈ B.

Kapitola 2

JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ

SYSTÉMY

2.1 POSLOUPNOST JAKO �E�ENÍ DIFEREN�NÍ ROV-

NICE

2.1.1 Di�erence a posloupnosti diferencí

Pro kaºdou posloupnost (yn)+∞n=1 = {y1, y2, y3, ...} m·ºeme stanovit posloup-

nost diferencí, tj.posloupnost rozdíl· sousedních £len·.

24 JEDNODUCHÉ DISKRÉTNÍ SYSTÉMY

Ozna£íme

4yn = yn+1 − yn, ∀n ∈ N.

Posloupnost prvních diferencí

(4yn)+∞n=1 = {4y1,4y2,4y3, ...}.

Z takto vzniklé posloupnosti m·ºeme op¥t stanovit posloupnost diferencí ,

tj. diverencí z diferencí

Druhá diference: 42yn = 4yn+1 −4yn =

= 4(4yn) = (yn+2−yn+1)−(yn+1−yn) = yn+2−2yn+1+yn

T°etí diference: 43yn = 42yn+1 −42yn = 4(42yn)

Obecn¥

k-tá diference: 4kyn = 4(4k−1yn) = 4k−1yn+1 −4k−1yn

P°íklad: Pro danou posloupnost vypí²eme n¥kolik prvních £len· posloup-

ností diferencí.

2.1 POSLOUPNOST JAKO �E�ENÍ DIFEREN�NÍ ROVNICE 25

(yn)+∞1 = {3, 5, 7, 9, ...} ⇒ yn+1 = yn + 2

(4yn)+∞1 = {2, 2, 2, ...} posloupnost prvních diferencí,

(42yn)+∞1 = {0, 0, 0, ...} posloupnost druhých diferencí,

(43yn)+∞1 = {0, 0, 0, ...} posloupnost t°etích diferencí.

Obrázek 2.1.

2.1.2 Rekurentn¥ dané posloupnosti vyjád°ené pomocí diferencí

Nap°íklad posloupnost (yn)+∞n=1 ur£enou rekurentní formulí

yn+1 = 3yn (geometrická posloupnost s q = 3)

lze upravit na vztah prvních diferencí:

yn+1 − yn = 3(yn − yn−1) tj. 4 yn = 34 yn−1.


To znamená, ºe kaºdá diference je trojnásobkem p°edchozí diference. Je vi-

d¥t, ºe posloupnosti diferencí jsou op¥t geometrické posloupnosti se stejným

kvocientem 3:

3 =yn+1

yn=4yn4yn−1

=42yn42yn−1

= atd.

P°íklad:

(yn)+∞1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...} = (2k−1)+∞

1 :

yn+1 = 2yn, tj. yn+1 − yn = yn.

(4yn)+∞1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...}

(42yn)+∞1 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...}

Pozorování:

42n−1 = 2n − 2n−1 = 2n−1(2− 1) = 2n−1

=⇒ (42n−1)∞1 = (2n−1)+∞1 .

2.1.3 Jednoduché diskrétní modely v ekonomických a p°írodních

v¥dách

Celá °ada technických, biologických, ekonomických, ekologických zákonitostí

má charakter rekurencí.


P°íklad: P°edpov¥¤ ekonomického r·stu: V roce n = 1 je HDP dán hodno-

tou y1 = 250 (mil. K£). Kaºdým rokem se HDP zvy²uje p krát, kde p = 0, 08

tj. 8%.

a) Jaký bude HDP za n let?

b) Za kolik let dosáhne HDP 2000 milion· K£?

�e²ení: Kaºdým rokem se p°edchozí ("lo¬ská") hodnota HDP zvý²í o p ná-

sobek, tj. o hodnotu (diference)

4yn = 0, 08yn, y1 = 250.

Máme tedy rekurenci

yn+1 − yn = 0, 08yn,

neboli (geometrická posloupnost)

yn+1 = (1 + 0, 08)yn = 1, 08yn.

Potom za n let bude hodnota HDP dána n-tým £lenem

yn = (1, 08)n−1 · 250.

Na konci 1.roku, tj. na za£átku 2.roku je HDP dán 2.£lenem y2.

Nap°íklad, za n = 8 (na konci 8.roku) let bude HDP

y9 = (1, 08)8 · 250 = 462, 7325... .


Chceme-li ur£it n, p°i kterém HDP dosáhne 2000, musíme °e²it exponen-

ciální rovnici 2000 == (1, 08)n−1 · 250. Vypo£teme

n− 1 =ln 2000

250

ln 1, 08.= 77, 85.

2.1.4 Odvození rekurentní formule

V odstavci 2.1.1 jsme uvedli, ºe pro teoretickou analýzu i pro aplikace jsou

nejvhodn¥j²í dva zp·soby zadání (de�nování) posloupnost:

a) vzorcem pro m-ty £len (tzv. funk£ní p°edpis),

b) rekurentn¥ (m-ty £len se ur£uje z p°edcházejících £len·).

Pouze pro dv¥ nejjednodu²²í posloupnosti se pouºívají oba zp·soby

zadání a jsou navzájem jednodu²e p°evoditelné:

Geometrická posloupnost

a) ym = aqm; m-tý £len,

b) ym+1 = qym, y1 = aq; rekurence.

Je evidentní, jak p°ejít od jednoho tvaru k druhému.

Aritmetická posloupnost

a) ym = dm+ c; m-tý £len,

b) ym+1 = ym + d, y1 = d+ c; rekurence.


Také zde jsou vzájemné p°evody elementární.

U v²ech ostatních posloupností jiº vzájemné p°evody nejsou tak jednoduché

a u v¥t²iny posloupností se musíme spokojit z jedním zp·sobem (z uvedených

dvou) zadání a ten druhý v·bec neumíme stanovit nebo, v tom lep²ím p°ípad¥,

pouze na základ¥ ra�novaných manipulací.

Ukaºme si to na posloupnosti. o které jsme se zmínili v odst. 2.1.1

M¥jme posloupnost, jejíº m-ty £len je

ym =m

m+ 1

Chceme najít rekurentní formuli

Z m-tého £lenu dostaneme vztah

m =ym

1− ym.

Vyjád°íme m+ 1-ty £len a s ním provedeme uvedené manipulace

ym+1 =m+ 1

m+ 2=m+ 2− 1

m+ 2= 1− 1

m+ 2.

Do posledního výrazu dosadíme za m:

ym+1 = 1− 1ym

1−ym+ 2

.


Nyní po jednoduchých úpravách dostaneme rekurenci

ym+1 =1

2− ym

Tato posloupnost bude totoºná s tou, která byla dánam-tým £lenem pouze

tehdy, p°ipojíme-li po£áte£ní (startovací) podmínku

y1 =1

2.

V odstavci 3.2. uvedeme základní principy postupu, ve kterém naopak z

dané rekurence chceme ur£it vzorec pro n-ty £len. Této úloze se obecn¥ °íká

diferen£ní rovnice.

2.2 DIFEREN�NÍ ROVNICE

2.2.1 Diferen£ní rovnice 1.°ádu (jednokroková rekurence)

P°íklady jednokrokových rekurencí:

• yn+1 = ayn, a je konstanta;

• yn+1 = yn + d, d je konstanta;

• yn+1 = yn(1− yn);

• yn+1 = 2yn + 1n ;

• yn+1 = ϕ(n, yn), ϕ je n¥jaký funk£ní výraz.

2.2 DIFEREN�NÍ ROVNICE 31

Automaticky se p°edpokládá, ºe p°í volb¥ y1 máme za úkol postupn¥ vy-

po£ítat y2, y3, . . ., atd.

M¥jme dánu jednokrokovou rekurenci.

Úlohu najít posloupnost (yn)+∞n=1 spl¬ující tuto rekurenci pro kaºdé

n ∈ N nazýváme diferen£ní rovnice 1.°adu.

Posloupnost (yn)+∞n=1, jejíº £leny danou rekurenci spl¬ují se nazývá

°e²ení diferen£ní rovnice.

�e²ení je ur£eno jednozna£n¥ po£áte£ní (startovací) hodnotou y1.

P°íklad. Stanovme posloupnost (yn)+∞n=1,která je °e²ením diferen£ní rovnice

1.°ádu (jednokrokové rekurence)

yn+1 = 2yn + 3

y1 = 1

Výpo£et: Postupným dosazováním dostaneme

y2 = 2 + 3 = 5,

y3 = 2y2 + 3 = 2 · 5 + 3 = 13 = 22y1 + 2 · 3 + 3,

y4 = 2y3 + 3 = 29 = 23y1 + 22 · 3 + 3,

y5 = 2y4 + 3 = 61 = 24y1 + 23 · 3 + 22 · 3 + 3.

P°i jisté intelektuální námaze stanovíme vzorec pro k-tý £len

yk = 2k−1 · 1 + 3(2k−2 + 2k−3 + ...+ 2 + 1)


P°íklad. Pokusíme se zobecnit postup z p°edchozího p°íkladu.Chceme °e²it

diferen£ní rovnici 1. °adu

yn+1 = ayn + b,

kde a, b jsou dané konstanty.

Postupn¥ dosazujeme:

y2 = ay1 + b,

y3 = ay2 + b = a(ay1 + b) + b = a2y1 + ab+ b,

y4 = ay3 + b = a(a2y1 + ab+ b) + b = a3y1 + a2b+ ab+ b,

indukcí odvodíme

yk = ak−1y1 + b(ak−2 + ak−3 + ...+ a+ 1) = ak−1y1 + bak−1 − 1

a− 1.

2.2.2 Diferen£ní rovnice 2.°ádu (dvoukroková rekurence)

P°íklady dvoukrokových rekurencí:

• yn+2 = ayn+1 + byn, a, b jsou konstanty;

• yn+2 = 2yn+1 + yn;

• yn+2 = yn+1 + yn (Fibonacci);

• yn+2 = ϕ(yn+1, yn, n), ϕ je n¥jaký funk£ní výraz.


Diferen£ní rovnice 2.°ádu je úloha najít posloupnost (yn)+∞n=1,

která pro kaºdé n ∈ N spl¬uje dvoukrokovou rekurenci. Posloupnost

(yn)+∞n=1 je °e²ení diferen£ní rovnice. Je ur£eno jednozna£n¥ dv¥ma

po£áte£ními (startovacími) hodnotami y1, y2.

P°íklady (uºite£né pro analýzu tzv. numerických proces·).

(a) Stanovme °e²ení diferen£ní rovnice yn+2 = 103 yn+1 − yn s po£áte£ními

hodnotami y1 = 1, y2 = 13 .

Výsledek: (yn) = ( 13n−1 ).

Úkol: Pomocí kalkula£ky °e²te tuto rovnici s po£áte£ními hodnotami

y1 = 1, y2 = 0, 333. Ur£íte nap°. y100 a porovnejte s hodnotou(

1

3

)99

.

(b) Stanovme °e²ení diferen£ní rovnice yn+2 = 103 yn+1 − yn s po£áte£ními

hodnotami y1 = 1, y2 = 3.

Výsledek: (yn) = (3n−1).

(c) Úloha spo°ení: K po£áte£ními vkladu 1000 K£ ukládáme ke konci kaº-

dého m¥síce 100 K£ s 10% úrokem. Stanovme velikost uspo°ené £ástky

na konci m-tého m¥síce.

Výsledek: Kaºdý m¥síc se £ástka ym zv¥t²uje o úrok 0, 1ym a o vklad 100.

Máme tedy diferen£ní rovnici

ym+1 = ym + 0, 1ym + 100 =11

10ym + 100, y1 = 1000.


Podle obecného vzorce ym = ak−1y1 + bak−1 − 1

a− 1dostaneme (a = 0, 1,

b = 100),

ym =

(11

10

)m−1

· 1000 + 100 · 1, 1m−1 − 1

0, 1.

Za dva roky (m = 24) bude uspo°ena £ástka y24 = 16908, 60466.

Poznámka: V na²i bankách je v²ak ro£ní úrok nejvý²e 2%, tj. m¥sí£ní

úrok je 0, 02/12.= 0, 017. Takºe ym+1 = 1, 017ym + 100,

tj. ym = 1, 017m−1 ·1000+100 · 1,017m−1−10,017 . Tedy y24 = 4259, 535663 (£istý

vklad byl 3400K£).

(d) Samuelson·v model dynamiky národního d·chodu: Ve známé

knize ekonomického experta Samuelsona najdeme zákon r·stu národního

d·chodu ve tvaru

Ym+2 = a(1 + b)Ym+1 − abYm +G,

kde Ym ozna£uje národní d·chod v roce m,

a je koe�cient minimální tendence spot°eby

b je tzv. ekonomický akcelerátor,

G jsou vládní(státní) výdaje (=náklady).

Výsledek: Pro Y1 = G1−a , Y2 = G

1−a je Ym = G1−a , m ≥ 3.


2.2.3 Lineární diferen£ní rovnice

Lineární diferen£ní rovnice 1.°ádu se zapisuje ve tvaru

yn+1 = ayn + b,

kde a, b jsou dané konstanty; konstanta b se nazývá absolutní

£len nebo také nehomogenita rovnice.

Lineární diferen£ní rovnice 2.°ádu se zapisuje ve tvaru

yn+2 = ayn+1 + byn + c,

kde a, b, c jsou dané konstanty; konstanta c se nazývá absolutní

£len nebo také nehomogenita rovnice.

Z p°edcházejících p°íkladech jsme vid¥li, ºe °e²ení diferen£ních rovnic to-

hoto typu obsahuje v sob¥ vºdy n¥jakou geometrickou posloupnost. Na tomto

poznatku je zaloºena metoda charakteristické rovnice pro rovnice bez ab-

solutního £len·:

Hledáme proto °e²ení rovnice

yn+2 = ayn+1 + byn

ve tvaru geometrické posloupnosti

yn = qn,


a hledáme q takové, aby pro v²echna n ∈ N platilo

qn+2 = aqn+1 + bqn.

Ko°eny q1, q2 kvadratické rovnice, které se °íká charakteristická rovnice,

ur£í dv¥ geometrické posloupnosti (qn1 )∞n=1, (qn2 )+∞n+1, které jsou °e²ením dané

diferen£ní rovnice, a proto i jejích lineární kombinace

yn = C1qn1 + C2q

n2 , C1, C2 jsou libovolné konstanty,

je °e²ením dané rovnice.

�ást I

SPOJITÉ SYSTÉMY

Kapitola 3

RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ

Sv¥t, který nás obklopuje je zapln¥n objekty. Jsou to objekty konkrétní

(lidé, zví°ata, t¥lesa, rostliny, p°ístroje, bu¬ky, atd.) a objekty abstraktní

(£ísla, body, teplota, £as, hustota, ekonomické veli£iny, atd.), které si £lov¥k

vymyslel, aby mohl zkoumat a vyuºívat vztahy (≡ relace) mezi konkrétními

objekty.

3.1 RELACE A USPO�ÁDANÉ DVOJICE

3.1.1 Motivace

(A) Následující mnoºina obsahuje 6 prvk·: matku, otce, dv¥ dcery a dva syny.

F = {matka, otec, Katka, Bar£a, Tomá², Mirek }.

Chceme zkoumat speciální typ vztahu (relace) mezi uvedenými prvky (tj.

£leny rodiny). Tento vztah de�nujeme jako "je sestrou". Máme tedy tyto

40 RELACE, FUNKCE, ZOBRAZENÍ

vztahy:

Katka je sestrou Tomá²e,

Katka je sestrou Mirka,

Katka je sestrou Bar£i,

Bar£a je sestrou Tomá²e,

Bar£a je sestrou Mirka,

Bar£a je sestrou Katky.

Tento seznam vztah· zapisujeme ve tvaru ²esti dvojic:

(K,T), (K,M), (K,B), (B,T), (B,M), (B,K).

Je evidentní, ºe dvojice (K,T) není totoºná s dvojicí (T,K), nebo´ Tomá²

není sestrou Katky. Tedy v uvedených dvojicích záleºí na po°adí. �í-

káme, ºe tyto dvojice jsou uspo°ádané.

Úkoly: Sestavte uspo°ádané dvojice z prvk· mnoºiny F pro vztahy (re-

lace):

"je bratrem",

"je matkou",

"je otcem",

"je sourozencem".

3.1 RELACE A USPO�ÁDANÉ DVOJICE 41

(B) Uvaºujme vztah mezi teplotou T (ve stupních C) pacienta a £asem t (ho-

diny m¥°ení teploty b¥hem dne). Tuto relace nazveme "pr·b¥h teploty

T pacienta b¥hem dne"

t (hod) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T (0C) 37 37,5 37,8 38 39 39,8 40,3 41,5 42,3 37 33 23

Úkoly:

(a) Zjist¥te, zda uspo°ádané dvojice £ísel (11,38), tj. t = 11, T = 38,

(45,6), tj. t = 45, T = 6, pat°í do dané relace.

(b) Zjist¥te, zda uspo°ádané dvojice £ísel (9;42,3), t = 9, T = 42, 3,

pat°í do dané relace. Vlastn¥ se ptáme, zda v 9 hodin m¥l pacient

teplotu 42, 3 oC.

3.1.2 De�nice

Mnoºina v²ech prvních prvk· relace se nazývá de�ni£ní obor re-

lace. Budeme ji zna£it písmenem D. Mnoºina v²ech druhých prvk·

relace se nazývá obor hodnot relace. Budeme ji zna£it H.

Relaci, tj. mnoºinu uspo°ádaných dvojic prvk· pak nap°íklad zna-

£íme D ×H, tj, jako kartézský sou£in mnoºin D a H.

V relaci "je sestrou" je D = {K,B}, H = {T,M,B,K}, tj. pouze K a B

mohou být sestrou, av²ak T,M,B,K mají sestry.


Relaci "pr·b¥h teploty . . . " máme dánu tabulkou:

D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

H 37 37,5 37,8 38 39 39,8 40,3 41,5 42,3 37 33 23

Poznámka: V 9 hodin z°ejm¥ pacient zem°el a od tohoto okamºiku teplota

jeho t¥la klesá.

3.2 REÁLNÉ FUNKCE

3.2.1 Pojem funkce - de�nice

a) M¥jme mnoºinu D = Df reálných £ísel a mnoºinu H = Hf také

reálných £ísel. Zobrazení (relace, p°i°azení) f , které kaºdému £íslu

x ∈ Df ⊂ R p°i°adí práv¥ jedno £íslo y ∈ Hf ⊂ R se nazývá

reálná funkce jedné reálné prom¥nné.

Zna£íme

f : Df → Hf ,

nebo

f : x→ y = f(x), x ∈ Df .

Poznámka: Indexem f u Df a Hf rozli²ujeme obory jednotlivých funkcí.

Nap°íklad g : Dg → Hg.

3.2 REÁLNÉ FUNKCE 43

b) M¥jme mnoºinu D = Df n-tic reálných £ísel (vektor·) a mnoºinu

H = Hf reálných £ísel. Zobrazení (relace, p°i°azení) f , které kaºdé

n-tici x ∈ Df ⊂ Rn p°i°adí práv¥ jedno £íslo u ∈ Hf ⊂ R se

nazývá reálná funkce n reálných prom¥nných. Zna£íme op¥t

f : Df → Hf ,

kde v²ak

f : x→ u = f(x1, x2, , . . . , xn); x = (x1, x2, , . . . , xn).

c) Relace f = Df × Hf (mnoºina dvojic (x, f(x))) se tedy nazývá

reálná funkce, kdyº ve dvojicích (x, f(x)), x ∈ Df se x vy-

skytuje pouze jednou, tj. v ºádných dvou dvojicích (x1, f(x1)),

(x2, f(x2)) nemáme totéº £íslo na prvních místech.

Vysv¥tlení: Funkce f je pravidlo, podle kterého se dvojice (x, f(x)) ∈

Df ×Hf vytvá°ejí.

Tabulka názv·

prvky D f prvky H

argument funkce funk£ní hodnota

nezávisle prom¥nná relace závisle prom¥nná

závislost

vstup, vzor p°i°azení výstup, obraz


Obrázek 3.1. Kybernetický symbol funkce

3.2.2 Ilustrativní p°íklady

(a) Stanovme mnoºinu °e²ení lineární rovnice

3x− y − 1 = 0, x ∈ R.

Jak jsme uvedli v odst. 1.3.2, mnoºinu °e²ení dostaneme tak, ºe jednu

neznámou volíme a druhou neznámou dopo£ítáme. Touto metodou, tj.

postupným dosazováním dostaneme (zápis do tabulky)

x 0 1 -1 . . . x . . .

f(x) -1 2 -4 . . . 3x− 1 . . .

Tím jsme dostali zobrazení f : y = 3x− 1, x ∈ R, y ∈ R.

(b) Stanovme mnoºinu °e²ení rovnice xy − 12 = 0. Pro názornosti si ana-

logicky jako v p°edchozím p°íkladu postupným dosazováním sestavíme

tabulku

x 1 -1 2 -2 . . . x . . .

f(x) 12 -12 6 -6 . . .12

x. . .


Máme tak zobrazení

f : y =12

x, x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞), y ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

(c) Zvolme D mnoºinu dn· v m¥síci, resp. mnoºinu £ísel ozna£ující datum

a ozna£me H mnoºinu �nan£ních £ástek ve vlastní pen¥ºence studentky

Kate°iny vºdy ve 22 hodin ve£er.

D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 30 31

H 500 400 200 150 120 70 40 0 0 0 . . . 0 0

Funkce f je práv¥ dána touto tabulkou. Pouze ve zcela

speci�ckých situacích se tato funkce dá zapsat n¥jakou "formulkou".

3.2.3 Gra�cké znázor¬ování reálné funkce jedné reálné prom¥nné

(a) Zvolíme v rovin¥ systém dvou navzájem kolmých p°ímek. Jednu dvojici

ozna£íme jako sou°adnicové osy. Pr·se£ík zvolených os nazveme po£átek.

Kaºdou dvojici (x, f(x)) pak zobrazujeme jako bod v této rovin¥ zná-

mým zp·sobem. Mnoºina t¥chto bod· se nazývá kartézský graf funkce

f .

(b) Zvolíme v rovin¥ bod P a systém polop°ímek vycházejících z tohoto bodu.

Dvojici (v, g(v)), kde g(v) ≥ 0 pak zobrazujeme jako bod v této rovin¥


Obrázek 3.2.

podle obrázku:

Obrázek 3.3.

mnoºina t¥chto bod· se nazývá polární graf funkce g.

3.2.4 Zp·soby zadání reálné funkce jedné reálné prom¥nné

(a) analyticky, tj. (algebraickou) formulí pro výpo£et f(x). Nap°íklad:

f(x) = x2; f(x) =1

x+ 1; g(t) =

√t+ 1; h(s) =

√s2.

De�ni£ní obor D tvo°í pak pouze ta reálná £ísla, která je moºné pouºít

k výpo£tu jediné reálné funk£ní hodnoty; °íkáme, ºe D obsahuje ta £ísla,

pro která má daná formule smysl.


(b) Tabulkou hodnot : Pro jistý výb¥r £ísel xi ∈ D stanovíme dvojice

[xi, f(xi]; £ísla f(xi) jsou obvykle výsledky m¥°ení n¥jaké závislosti.

(c) Gra�cky : Dvojice (x, f(x)), x ∈ D, f(x) ∈ H zobrazujeme jako body

v sou°adnicové rovin¥ se sou°adnicovým systémem(!) :

• kartézským,

• polárním.

Viz odst. 4.2.3.

(d) Uºitím n¥kolika algebraických formulí. Nap°íklad:

f =

f1(x) = x, x ∈ 〈0, 1〉,

f2(x) =√

1− (x− 1)2, x ∈ (1, 2〉, Df = R.

f3(x) = 0, x /∈ 〈0, 2〉.

Poznámka: Grafem funkce f1 je úse£ka, grafem funkce f2 je £ást kruº-

nice se st°edem v bod¥ (1, 0) a polom¥rem 1, grafem funkce f3 jsou dv¥

polop°ímky leºící v ose x (ud¥lejte obrázek).

(e) Implicitn¥: Jak v matematice, tak v aplikacích se studují funkce, které

jsou de�novány jako °e²ení funkcionálních rovnic, nej£ast¥ji tzv. rov-

nic diferenciálních. Do této kategorie lze za°adit i funkce, které jsou

de�novány prost°ednictvím tzv. integrál· závislých na parametru.


Úkol: Pro formule f(x) = x−2, g(x) =1

x, h(x) = x2 identi�kujte (stanovte)

následující funk£ní hodnoty:

f(1) g(1) h(1)

f(0) g(−1) h(−1)

f(x2) g(0) h(0)

f(x2 + 1) g(x+ 1) h(x+ 1)

f(−1) g(x2) h(x2)

f(x+ 1) g(x2 + 1) h(x2 + 1)

f(x2) + 1 g(x2) + 1 h(2x) + 2x

f(2x) + 2x g(2x) + g(x2) h(2x) + h(2x)

f(2x) + f(2x) g(−x)− g(x) h(−x) + h(x)

Návod: Máme-li nap°. pro f(x) = x− 2 stanovit hodnotu f(x2 + 1), p°e-

zna£íme na f(z) = z−2 a bereme z = x2 +1. Takºe f(x2 +1) = (x2 +1)−1.

3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

3.3.1 Lineární funkce

Lineární funkce je de�nována takto:

f : y = a1x+ a0,

x ∈ Df ≡ R ≡ (−∞,+∞) (de�ni£ní obor),

y ∈ Hf ≡ R, a0, a1 jsou daná (reálná) £ísla a jednozna£n¥ ur£ují

danou funkci.

3.3 ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 49

Grafem je p°ímka (viz. obr 3.4).

Obrázek 3.4.

Vlastnosti: Lineární funkce

je neomezená zdola , tj. neome-

zen¥ klesá pro klesající x;

je neomezená shora , tj. neome-

zen¥ roste pro rostoucí x;

a pro a1 > 0 je ost°e rostoucí na D, tj. platí implikace

∀x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2),

a pro a1 < 0 je ost°e klesající na D, tj. platí implikace

∀x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Poznámka: Uvedené vlastnosti se dají "vy£íst" z dané formule ale student se

musí nau£it "vid¥t" je v obr. 3.4, resp. v obr. 3.5.

Úloha(!!): Stanovme lineární funkci f , známe-li koe�cient a1 a víme-li, ºe

v bod¥ x0 ∈ R funkce nabývá hodnoty f(x0) = y0.

Odpov¥¤: Pro y = a1x + a0 musí platit y0 = a1x0 + a0. Ode£tením t¥chto


dvou výraz· dostaneme

y − y0 = a1(x− x0).

Obrázek 3.5.

Pr·se£íky grafu s osami:

Pro x = 0 : y = y0 − a1x0

Pro y = 0 : −y0 = a1(x− x0) ⇒ x = x0 −y0

a1;

Úkol(!!): Nakreslete a porovnejte grafy funkcí

y = a1x,

y = a1(x− x0),

y − y0 = a1x,

y − y0 = a1(x− x0),

y = a0.

a1, x0, y0, a0 volte, x ∈ R.


3.3.2 Kvadratická funkce

Kvadratická funkce je de�nována takto:

f : y = a2x2 + a1x+ a0, x ∈ Df = R ≡ (−∞,+∞),

a0, a1, a2 6= 0 jsou daná reálná £ísla a jednozna£n¥ ur£ují danou

kvadratickou funkci.

Grafem je k°ivka, které se °íká parabola ; koe�cienty a0, a1, a2

ur£ují její polohu v sou°adnicovém systému. (obr. 3.6, obr. 3.7)

Obrázek 3.6. Obrázek 3.7.


Vlastnosti:

Pro a2 > 0

• je kvadratická funkce omezená zdola, Hf = 〈min f(x),+∞);

• je kvadratická funkce neomezená shora,tj, neexistuje max f(x);

• kvadratická funkce neomezen¥ roste pro x → +∞ i pro

x → −∞; poslední vlastnost (neomezený r·st) zapisujeme

symbolicky takto:

” limx→−∞

(a2x2 + ax + a0) = +∞”,

” limx→+∞

(a2x2 + ax + a0) = +∞”

Pro a2 < 0

• je kvadratická funkce omezená shora, Hf = (−∞,max f(x)〉;

• je kvadratická funkce neomezená zdola, tj. neexistuje min f(x);

• kvadratická funkce neomezen¥ klesá jak pro x→ +∞ tak i pro

x → −∞; poslední vlastnost (neomezený pokles) zapisujeme

symbolicky takto:

” limx→−∞

(a2x2 + ax + a0) = −∞”,

” limx→+∞

(a2x2 + ax + a0) = −∞”.


Úkol:(!!) 5 Nakreslete grafy funkcí f : y − y0 = a2(x − x0)2, pro r·zné

volby x0, a2.

P°íklad:(!) Je dána kvadratická funkce f : y = 2x2 − 5x + 7. Upravte

funk£ní p°edpis na tvar z p°edcházejícího úkolu.

Odpov¥¤: Vyjád°íme y = 2x2 − 5x + 7 = 2(x2 − 52x) + 7 a výraz x2 − 5

2x

doplníme na úplný £tverec:

y = 2

[(x− 5

4

)2

− 25

16

]+ 7 = 2

(x− 5

4

)2

− 25

8+ 7 = 2

(x− 5

4

)2

+31

8.

Výsledek: f : y = 2(x− 5

4

)+ 31

8 . Vidíme, ºe y0 = −318 , a2 = 2, x0 = 5

4 .

3.3.3 Obecná polynomiální funkce

Obecný tvar:

f : y = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a2x2 + a1x

1 + a0︸︷︷︸Pn(x)−polynom stupn¥ n

,

an 6= 0, n ∈ N, x ∈ R, ai reálné koe�cienty.

Taylor·v tvar:

f : y − y0 = bn(x− x0)n + bn−1(x− x0)

n−1 + . . .+ b1(x− x0),

bi jsou reálné koe�cienty, y0 = f(x0).

Mocninná funkce (Speciální p°ípad):

f : y = xn, x ∈ R, n ∈ N.


Úkol(!): Nakreslete si grafy mocninných funkcí pro n = 3, 4, 5; formulujte

chování t¥chto funkcí pro x→ +∞ a pro x→ −∞.

3.3.4 Racionální lomená funkce - p°íklady

(A) f : y =a

x, Df = R− {0}, a je daný koe�cient.

Grafem je k°ivka, které se °íká rovnoosá hyperbola .

viz. obr. 3.8, obr. 3.9.



Vlastnosti pro a > 0

Kdyº x→ +∞ pak y → 0+ ,

x→ −∞ ⇒ y → 0− ,

x→ 0+ ⇒ y → +∞ ,

x→ 0− ⇒ y → −∞ .

Funkce ost°e klesá pro x < 0 a

také pro x > 0

Vlastnosti pro a < 0

Kdyº x→ +∞ pak y → 0− ,

x→ −∞ ⇒ y → 0+ ,

x→ 0− ⇒ y → −∞,

x→ 0− ⇒ y → +∞ .

Funkce ost°e roste pro x < 0 a

také pro x > 0.

V²imneme si, ºe výrok ∀x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2), a < 0 ne-

platí, tj. uvedená funkce z obr. 3.9 není ost°e rostoucí na de�ni£ním oboru Df .

P°íklady(!): Zkoumejte (analyzujte) funkce (graf, vlastnosti) dané formu-

lemi:

(a) f : y =1

x− 1,

(b) f : y =x

x+ 1, návod:

x

x+ 1=x+ 1− 1

x+ 1= 1− 1

x+ 1

(c) f : y = 2 +1

x,


(B) f : y =a

x2 , Df = R− {0}, a je daný koe�cient.

(viz. obr. 3.8, obr. 3.9).


Vlastnosti pro a > 0

Kdyº x→ +∞ pak y → 0+ ,

x→ −∞ ⇒ y → 0+ ,

x→ 0+ ⇒ y → +∞ ,

x→ 0− ⇒ y → +∞ .

Pro x < 0 funkce ost°e roste,

pro x > 0 funkce ost°e klesá.

Vlastnosti pro a < 0

Kdyº x→ +∞ pak y → 0+ ,

x→ −∞ ⇒ y → 0+ ,

x→ 0− ⇒ y → −∞ ,

x→ 0− ⇒ y → −∞ .

Pro x < 0 funkce ost°e klesá,

pro x > 0 funkce ost°e roste.

P°íklady: Zkoumejte (analyzujte) funkce (graf, vlastnosti) dané formulemi:

(a) f : y =x2 + 2x+ 3

x+ 1,

Návod:x2 + 2x+ 3

x+ 1=

(x+ 1)2 + 2

x+ 1= x+ 1 +

2

x+ 1


Daná funkce f je sou£tem dvou funkcí, lineární funkce f1 : y = x + 1 a

jednoduché racionální lomené funkce f2 : y =2

x+ 1.

Graf f bude sou£tem (sloºením) graf· funkcí f1, f2. Nakreslete si pe£livé

obrázek! (obr. 3.12)

Obrázek 3.12.

3.3.5 Speciální funkce elementárního typu

(A) f : y =√x, x ∈ Df = 〈0,+∞), y ∈ Hf = 〈0,+∞).

Grafem je £ást paraboly o rovnici y2 − x = 0 (viz obr. 3.13)

Vlastnosti: 1) x→ +∞ ⇒ y → +∞;

2) ost°e roste na celém de�ni£ním oboru.


Obrázek 3.13.

(B) g : y = 3√x, x ∈ Dg = (−∞,+∞), y ∈ Hf = (−∞,+∞).

Vlastnosti: zformulujte sami!

Grafem je k°ivka, které se °íká kubická parabola (viz obr. 3.14)

Obrázek 3.14.


(C) ϕ : y =√x− 3, x ∈ Dϕ = 〈3,+∞), y ∈ Hϕ = 〈0,+∞).

Vlastnosti: zformulujte sami! (v²imneme si, ºe graf funkce ϕ nakreslíme

kdyº graf funkce f z (A) (obr. 3.13) posuneme o 3 vpravo po ose x

(viz obr. 3.15).

Obrázek 3.15.

(D) Funkce jednotkového skoku (Heavisideova funkce)

η : y = η(x) =

1, pro x ≥ 0,

0, pro x < 0,Dη = R; Hη = {0, 1}.

(viz obr. 3.16)


Obrázek 3.16.

(E) Znaménková funkce (signum)

sgn : y = sgn(x) =

1, pro x > 0,

0, pro x = 0,

−1, pro x < 0,

Ds = R; Hs = {−1, 0, 1}.

(viz obr. 3.17)

Obrázek 3.17.Úkol: Nakreslete grafy funkcí: ψ : y = η(x− a), a ∈ R.

h : y = sgn(x− a), a ∈ R.


(F) Impulsní funkce

f : y = f(x) =

0, pro x < a,

1, pro a ≤ x ≤ b,

0, pro x > b,

Df = R; 〈a, b〉 daný interval.

(viz obr. 3.18)

Obrázek 3.18.

(G) Po £ástech konstantní funkce

f : y = Ci, x ∈ 〈xi, xi+1), i = 1, 2, 3, . . . , n; Df =

〈x1, xn), Hf = {Ci}ni=1, tj. oborem hodnot je kone£ná posloup-

nost £ísel Ci (viz. obr. 3.19).


Obrázek 3.19.

(H) Po £ástech lineární funkce

f : y = aix+ bi, x ∈ 〈xi, xi+1〉, i = 1, 2, 3, . . . , n;

Df = 〈x1, xn〉, Hf = 〈min f(xi),max f(xi)〉.

Grafem je lomená £ára.

Obvykle se p°edpokládá, ºe aixi + bi = ai−1xi + bi−1,

pro i = 2, 3, . . . , n− 1 (viz obr. 3.20).

Obrázek 3.20.


3.3.6 Obecná mocninná funkce

Pro pevné r ∈ R de�nujeme mocninnou funkci p°edpisem

f : y = xr, x ∈ (0,+∞) ≡ Df , y ∈ (0,+∞) ≡ Hf .

Poznámka. Pro n¥která speciální r lze stejným p°edpisem de�novat moc-

ninnou funkci na ²ir²ím de�ni£ním oboru. Nap°íklad pro n ∈ N viz odst.

4.3.1-4.3.3.

Úkol. Posu¤te náro£nost výpo£tu funk£ních hodnot mocninné funkce

f : y = x2,371 pro x = 2; 3; 3, 14; π. Jste schopni vypo£ítat tyto funk£ní

hodnoty bez kalkulátoru?

P°íklady:

(A) f1 : y = x−3 =1

x3 ; Df = (−∞, 0)∪(0,+∞), Hf = (−∞, 0)∪(0,+∞);

Obrázek 3.21.


(B) f2 : y = x23 =

3√x2 ; Df = R, Hf = 〈0,+∞);

Obrázek 3.22.

(C) f3 : y = x32 =√x3 ; Df = 〈0,+∞), Hf = 〈0,+∞);

Obrázek 3.23.


(D) f4 : y = x13 = 3√x ; Df = R, Hf = R;

Obrázek 3.24.

(E) f5 : y = x−13 =

3√x−1 =

13√x

; Df = (−∞, 0) ∪ (0,+∞), Hf =

(−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Obrázek 3.25.


3.3.7 Exponenciální funkce

Pro a > 0, a 6= 1 de�nujeme

f : y = ax, Df = R, Hf = (0,+∞).

Obrázek 3.26.Celou °adu p°írodov¥dných závislostí lze popsat exponenciální funkcí

y = ex, kde e = limn→+∞

(1 +

1

n

)n= 2, 718281825 . . . .

P°íklady:

(A) g1 : y = 2x, x ∈ R;


Obrázek 3.27.

Poznámka: P°i výpo£tu funk£ních hodnot pro libovolné reálné £íslo

x si student musí poloºit otázku, jak vypo£ítat 2x.

Jist¥ umíme (?) vypo£ítat 25, 2−3, 223 , 2−

23 , 21,4 =

(10√

214), 2−3,14 = (1

100√

2314). Av²ak jak stanovit nap°. 2

√2.

Na tuto otázku není lehké odpov¥d¥t v tuto chvíli a v této

(p°edpokládané) matematické kvali�kaci. Student si musí

po£kat na náro£n¥j²í a hlub²í výklad matematické ana-

lýzy. Zde pouze °ekneme, ºe obecné mocniny (viz také

odst. 4.3.6) se de�nují jako limity jistých konvergentních

posloupností.


(B) g2 : y = 2−x, x ∈ R;

Obrázek 3.28.

(C) g3 : y = 12(4x), x ∈ 〈−3, 3〉;

Obrázek 3.29.

(D) g4 : y = 10e0,5x, x ∈ 〈−3, 3〉;

Obrázek 3.30.

(E) g5 : y = 10e−0,5x, x ∈ 〈−3, 3〉.

Obrázek 3.31.


3.3.8 Základní goniometrické funkce

(A) g1 : y = sinx, Df = R, Hf = 〈−1, 1〉.

Obrázek 3.32.

(B) g2 : y = cosx, Df = R, Hf = 〈−1, 1〉.

Obrázek 3.33.

Ze st°ední ²koly víme, ºe funk£ní hodnoty sinx a cosx se ur£ují z jed-

notkové kruºnice, v níº x je délka oblouku v radiánech - viz obrázek.

Obrázek 3.34.


(C) g3 : y = tgx =sinx

cosx, Df = R− {(2k + 1)

π

2}, k celé £íslo, Hf = R.

Obrázek 3.35.

(D) g4 : y = cotgx =1

tgx=

cosx

sinx, Df = R−{kπ}, k celé £íslo, Hf = R.

Obrázek 3.36.


3.3.9 Uºite£né vzorce pro goniometrické funkce

Níºe uvedené vzorce platí pro argumenty z de�ni£ního oboru.

sin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y,

cos(x+ y) = cos x cos y sinx sin y,

tg (x+ y) =tgx+ tg y1− tgxtg y

.

sin2 x+ cos2 x = 1,

1 + tg 2x =1

cos2 x,

1 + cotg 2x =1

sin2 x.

sin 2x = 2 sin x cosx,

cos 2x = cos2x− sin2 x,

tg 2x =2tgx

1− tg 2x.

sin(−x) = − sinx (lichost),

cos(−x) = cos x (sudost),

tg (−x) = −tgx (lichost),

cotg (−x) = −cotgx (lichost).


1− cosx = 2 sin2 x2 ,

1 + cos x = 2 cos2 x2 ,

tg 2x2 =

1− cosx

1 + cos x,

sinx+ sin y = 2 sin x+y2 cos x−y

2 ,

cosx+ cos y = 2 cos x+y2 cos x−y

2 ,

cosx− cos y = −2 sin x+y2 sin x−y

2 .

sin(x− π

2) = − cosx, [sinus posunutý o

π

2vpravo je -kosinus],

sin(x+π

2) = cos x, [sinus posunutý o

π

2vlevo je kosinus],

cos(x− π

2) = sin x, [kosinus posunutý o

π

2vpravo je sinus],

cos(x+π

2) = − sinx, [kosinus posunutý o

π

2vlevo je -sinus],

sin(x− π) = sin x, [sinus posunutý o π vpravo je sinus],

sin(x+ π) = − sinx, [sinus posunutý o π vlevo je -sinus],

cos(x− π) = − cosx, [kosinus posunutý o π vpravo je -kosinus],

cos(x+ π) = − cosx, [kosinus posunutý o π vlevo je -kosinus].


3.3.10 Hyperbolické funkce

(A) h1 : y = coshx =ex + e−x

2, Df = R, Hf = (0,+∞)

hyperbolický kosinus - grafem je tzv. °et¥zovka.

Obrázek 3.37. Graf funkce h1 Obrázek 3.38. Graf funkce h2

(B) h2 : y = sinhx =ex − e−x

2, Df = R, Hf = R.

(C) h3 : y = tghx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x, Df = R, Hf = (−1, 1).

Obrázek 3.39. Graf funkce h3

(D) h4 : y = cotghx =coshx

sinhx=ex + e−x

ex − e−x,

Df = (−∞, 0) ∪ (0,+∞), Hf = (−∞,−1) ∪ (−1,+∞).


Obrázek 3.40.3.3.11 Uºite£né vzorce pro hyperbolické funkce

cosh2 x− sinh2 x = 1,

tgh x =1

cotgh x,

tgh x · cotgh x = 1,

1− tgh2 x =1

cosh2 x,

cotgh2 x− 1 =1

sinh2 x,

sinh(x+ y) = sinh x cosh y + coshx sinh y,

cosh(x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y,

sinh(−x) = − sinhx , lichá funkce

3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ(REÁLNÉ) PROM�NNÉ 75

cosh(−x) = cosh x , sudá funkce

sinh 2x = 2 sinh x coshx,

cosh 2x = sinh2 x+ cosh2 x,

tgh 2x =2 tgh x

1 + tgh2 x,

sinh x2 =

√coshx−1

2 ,

cosh x2 =

√coshx+1

2 ,

sinhx+ sinh y = 2 sinh x+y2 cosh x−y

2 ,

coshx+ cosh y = 2 cosh x+y2 cosh x−y

2 ,

coshx− cosh y = 2 sinh x+y2 sinh x−y

2 .

3.4 VLASTNOSTI REÁLNÝCH FUNKCÍ JEDNÉ

(REÁLNÉ) PROM�NNÉ

3.4.1 Restrikce (zúºení) funkce a rovnost funkcí

(A) Je dána funkce f : y = f(x), x ∈ Df a interval I ⊂ Df .

Funkce g : y = g(x), x ∈ I se nazývá restrikce funkce f na

I, jestliºe platí

g(x) = f(x) pro x ∈ I.


Nap°íklad, funkce g : y = x2, x ∈ 〈−1, 2〉 je restrikcí funkce f : y =

x2, x ∈ R (viz. obr. 3.41).

Obrázek 3.41. Funkce g je restrikce

funkce f na interval 〈−1, 2〉

Obrázek 3.42. Funkce f

(B) Funkce ϕ a ψ jsou si rovny (pí²eme ϕ = ψ), kdyº

1. Dϕ = Dg,

2. ϕ(x) = ψ(x) pro kaºdé x spole£ného de�ni£ního oboru.

P°íklad: Z následujících funkcí


ϕ1(x) = x2, x ∈ (−∞,+∞),

ϕ2(z) = z2, z ∈ (0,+∞),

ϕ3(s) = s2, s ∈ 〈0,+∞),

ϕ4(t) = t2, t ∈ (0,+∞),

pouze ϕ2 = ϕ4 !


3.4.2 Funkce monotónní, injektivní, bijektivní na intervalu

M¥jme funkci f : Df → Hf a nech´ interval I ⊂ Df obsahuje aspo¬ dva

body x1, x2 ∈ I.

1. Funkce f je ost°e rostoucí na I, kdyº:

∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

2. Funkce f je rostoucí na I, kdyº:

∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).

3. Funkce f je ost°e klesající na I, kdyº:

∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

4. Funkce f je klesající na I, kdyº:

∀x1, x2 ∈ I : x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2).

Úkol: Rozhodn¥te, která z funkcí odst. 4.3.5, 4.3.6, 4.3.10 jsou rostoucí a

které jsou ost°e rostoucí.


5. Funkce f ost°e monotónní na I, kdyº je bud' ost°e rostoucí

nebo ost°e klesající na I.

6. Funkce f monotónní na I, kdyº je bud' rostoucí nebo klesa-

jící na I.

7. Funkce f : I →do R je prostá v I (injektivní), kdyº:

∀x1, x2 ∈ I : x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2).

8. Funkce f : I →na Hf je prostá na Hf (bijektivní ≡ vzá-

jemn¥ jednozna£ná), kdyº má tyto vlastnosti:

(a) ∀x1, x2 ∈ I : x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2),

tj. r·zné vzory mají r·zné obrazy;

(b) ∀y ∈ Hf ∃x ∈ I : f(x) = y,

tj. kaºdý prvek z Hf je obrazem n¥jakého prvku z I.

Úkoly: Zjist¥te který z následujících výrok· je pravdivý?

a) Je-li funkce f ost°e monotónní na I, potom je prostá v I.

b) Je-li funkce f prostá v I, potom je ost°e monotónní na I.

c) Existuje funkce, která je prostá a není ost°e monotónní.


Úkol: K výroku z bodu 7 formulujte výrok ekvivalentní a poté jeho negaci.

Vyuºijte zákony z odst. 1.2.4.

Odpov¥¤ 1: Výrok ekvivalentní:

∀x1, x2 ∈ I : f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2 .

Odpov¥¤ 2: Negace:

∃x1, x2 ∈ I : x1 6= x2 ∧ f(x1) = f(x2) ;

funkce není prostá, kdyº alespo¬ ve dvou r·zných bodech nabývá

stejné hodnoty.

3.4.3 Omezenost, sudost, lichost, periodi£nost

M¥jme funkci f : Df → Hf a interval I ⊂ Df .

1. Funkce f je omezená zdola na I, kdyº:

∃K > 0 ∀x ∈ I −K ≤ f(x).

2. Funkce f je omezená shora na I, kdyº:

∃K > 0 ∀x ∈ I f(x) ≤ K.

3. Funkce f je omezená na I, je-li omezená zdola i shora, tj. kdyº:

∃K > 0 ∀x ∈ I |f(x)| ≤ K.

Ilustrativní p°íklady:

Funkce omezené (pouze) zdola: f(x) = x2, f(x) = x4, f(x) = ex, f(x) = 1x


pro x > 0;

funkce omezené (pouze) shora: f(x) = −x2, f(x) = 1x pro x < 0;

funkce omezené: f(x) = sinx, f(x) = cos x, f(x) = arctg x, f(x) = arccotg x.

4. Funkce f je sudá na symetrickém oboru Df , kdyº:

∀x ∈ Df : f(−x) = f(x).

5. Funkce f je lichá na symetrickém oboru Df , kdyº:

∀x ∈ Df : f(−x) = −f(x).

Poznámka: De�ni£ní obor Df je symetrický, má-li tuto vlastnost:

x ∈ Df ⇒ −x ∈ Df .

Ilustrativní p°íklad : funkce y = x2 je sudá na (−∞,+∞), funkce y = x3

je lichá na (−∞,+∞).

6. Funkce f je periodická na Df , kdyº existuje takové £íslo T > 0,

ºe platí:

a) ∀x ∈ Df je x+ T ∈ Df , x− T ∈ Df ,

b) ∀x ∈ Df : f(x+ T ) = f(x).

Nejmen²í £íslo T spl¬ující tyto podmínky se nazývá základní pe-

rioda.


Ilustrativní p°íklady: goniometrické funkce - a dal²í (bude dopln¥no).

Úkol: Pro funkci y = sin(3x− 7) stanovte základní periodu.

Výsledek:[2π

3

].

3.4.4 Rovnice o jedné neznámé

Úvodní informace o rovnicích najde £tená° v odst. 1.3.

Je dána funkce f : Df → R a £íslo y ∈ R.

Úloha najít x ∈ Df takové, ºe platí rovnost f(x) = y se nazývá rovnice

o jedné neznámé a zapisuje se

f(x) = y .

�íslo x se nazývá ko°en nebo také °e²ení rovnice (úlohy).


Podmínky °e²itelnosti rovnice f(x) = y, y je dané £íslo, f je daná

funkce.

Nech´ Hf ⊂ R je obor hodnot funkce f : Df → R.

1. Kdyº y ∈ Hf , potom rovnice f(x) = y má aspo¬ jeden ko°en

x ∈ Df (viz. obr. 3.43).

2. Kdyº f je ost°e monotónní na Df , potom rovnice f(x) = y, y ∈ R

má nejvý²e jeden ko°en x ∈ Df .

3. Kdyº f je ost°e monotónní na Df a y ∈ Hf , potom rovnice f(x) =

y má práv¥ jeden ko°en x ∈ Df .

3′. Kdyº f je prostá (bijektivní) na Df a y ∈ Hf , potom rovnice

f(x) = y má práv¥ jeden ko°en x ∈ Df (zobecn¥ní bodu 3)

(viz. obr. 3.44).


Nap°íklad:

a) rovnice ex = −2 nemá °e²ení (ko°en) v R;

b) rovnice x2 = −2 nemá °e²ení (ko°en) v R;

c) rovnice x2 = 5 má dv¥ °e²ení v R;

d) rovnice sinx = 2 nemá °e²ení (ko°en) v R;

e) rovnice cosx = 12 má nekone£né mnoho °e²ení (ko°en·) v R;

f) rovnice cosx = 12 nemá °e²ení (ko°en) v 〈π2 , π〉;

g) rovnice cosx = y, y ∈ 〈−1, 1〉 má práv¥ jedno °e²ení (ko°en) na Df =

〈0, π〉.

Obrázek 3.43. Obrázek 3.44. Funkce f je prostá, ale

není ost°e monotónní


3.4.5 Inverzibilní a inverzní funkce

Závislosti £i p°i°azení popisované reálnou funkcí jedné reálné prom¥nné nemají

navºdycky stanoveno, která prom¥nná je nezávisle prom¥nná a která závisle

prom¥nná.

Nap°íklad m·ºeme vy²et°ovat závislost vý²e mzdy pracovníka (závisle pro-

m¥nná) na po£tu jím vyrobených výrobk· za den (nezávisle prom¥nná).

Stejn¥ tak nás m·ºe zajímat závislost po£tu výrobk· (závisle prom¥nná)

na vý²i mzdy pracovníka, který je vyrábí (nezávisle prom¥nná).

Hovo°íme o inverzních závislostech, resp. o inverzních funkcích.

Schematicky:

Obrázek 3.45.

Úkol: Hledejte ve svém okolí p°íklady inverzibilních závislostí, tj. tako-

vých závislostí, které mají smysl "ob¥ma sm¥ry". Nap°íklad p°em¥ny energie,

závislost tlaku na hustot¥ v n¥jakém prost°edí, atd.

Abychom inverzibilní závislosti mohli zkoumat matematickými metodami,

musíme (bohuºel) p°edev²ím p°esn¥ formulovat pojmy.


P°edev²ím:

• Inverzní funkce je vztah k jiné funkci a nikoliv vlastnost!

• Inverzibilita je vlastnost dané funkce!

3.4.6 Matematická de�nice inverzní funkce

M¥jme prostou funkci f : Df →na Hf , Df ⊂ R, Hf ⊂ R, tj. takovou, která

zobrazuje de�ni£ní obor Df na obor hodnot Hf vzájemn¥ jednozna£n¥.

Funkce f−1 : Hf →na Df , která kaºdému £íslu y ∈ Hf p°i°azuje

jediný ko°en x ∈ Hf rovnice f(x) = y se nazývá inverzní

funkce k funkci f .

Zápisy:

y = f(x) ←→ x = f−1(y),

f : Df →na Hf ←→ f−1 : Hf →na Df .

De�ni£ní obor inverzní funkce je obor hodnot p·vodní funkce

Obor hodnot inverzní funkce je de�ni£ní obor p·vodní funkce

Funkce f a f−1 jsou navzájem inverzní.

3.4.7 P°íklady

K dané funkci budeme sestrojovat funkci inverzní.


(A) Je dána funkce (restrikce lineární funkce)

f : y = 2x+ 1, x ∈ 〈−1, 2〉 ≡ Df , y ∈ 〈−1, 5〉 ≡ Hf .


Vidíme, ºe funkce f je ost°e rostoucí naDf (x1 < x2 ⇒ 2x1+1 < 2x2+1).

Rovnice 2x+ 1 = y má pro kaºdé y ∈ Hf jediný ko°en x ∈ Df a dokonce jej

umíme vypo£ítat:

x =y − 1

2=y

2− 1

2.

Inverzní funkce je tedy de�nována takto:

f−1 : x =y

2− 1

2.

P°ipome¬me, ºe u f−1 x zna£í závisle prom¥nnou a y nezávislé prom¥nnou.


3.4.8 Logaritmická funkce

(A) P°irozená logaritmická funkce je dána p°edpisem

f : y = lnx, Df = (0,+∞), Hf = R,

kde p°i°azení

x −→ y

je dáno rovnicí

ey = x, e = 2, 718281825...,

tj. kaºdému x ∈ (0,+∞) je p°i°azen jediný ko°en y ∈ R dané

rovnice. Tento ko°en se nazývá logaritmus £ísla x p°i základu

e.

P°irozená logaritmická funkce je tedy de�nována jako inverzní funkce k

p°irozené exponenciální funkci z odst. 4.3.7.

Graf:


Obrázek 3.48.

(B) Obecná logaritmická funkce je dána p°edpisem

f : y = loga x, Df = (0,+∞), Hf = R, a > 0, a 6= 1,

kde p°i°azení

x −→ y

je dáno rovnicí

ay = x,

tj. kaºdému x ∈ (0,+∞) je p°i°azen jediný ko°en y ∈ R dané

rovnice. Tento ko°en se nazývá logaritmus £ísla x p°i základu

a.

Obecná logaritmická funkce je tedy de�nována jako inverzní funkce k

obecné exponenciální funkci z odst. 4.3.7.

Graf:


Obrázek 3.49.

3.4.9 Vlastnosti logaritm· a logaritmických funkcí

1. loga a = 1; ln e = 1; loga 1 = 0.

2. loga x1x2 = loga x1 + loga x2.

3. logax1

x2= loga x1 − loga x2.

4. loga xr = r loga x, r ∈ R.

5. ab = eb ln a, a > 0, b ∈ R.

6. loga x = logb xlogb a

.

Odvo¤te tyto vlastnosti z vlastností mocnin.


Vlastnosti logaritmické funkce

• Pro a > 1 funkce ost°e rostoucí na Df .

• Pro 0 < a < 1 funkce ost°e klesá na Df ,

Zd·vodn¥te tyto vlastnosti z vlastností mocnin.


3.4.10 Cyklometrické funkce

(A) Funkce arkussinus je dána p°edpisem

f : y = arcsinx, Df = 〈−1, 1〉, Hf = 〈−π2 ,

π2 〉,

kde p°i°azení

x −→ y

je ur£eno rovnicí

sin y = x, x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈−π2 ,

π2 〉,

tj. kaºdému x ∈ 〈−1, 1〉 je p°i°azen jediný ko°en y ∈ 〈−π2 ,

π2 〉

dané rovnice.

Funkce arkussinus je tedy de�nována jako inverzní funkce k restrikci

funkce sinus na interval 〈−π2 ,

π2 〉.

Graf:

Obrázek 3.50.


(B) Funkce arkuskosinus je dána p°edpisem

f : y = arccosx, Df = 〈−1, 1〉, Hf = 〈0, π〉,

kde p°i°azení

x −→ y

je ur£eno rovnicí

cos y = x, x ∈ 〈−1, 1〉, y ∈ 〈0, π〉,

tj. kaºdému x ∈ 〈−1, 1〉 je p°i°azen jediný ko°en y ∈ 〈0, π〉 dané

rovnice.

Funkce arkuskosinus je tedy de�nována jako inverzní funkce k restrikci

funkce kosinus na interval 〈0, π〉.

Graf:

Obrázek 3.51.


(C) Funkce arkustangens je dána p°edpisem

f : y = arctg x, Df = (−∞,+∞) Hf =(−π

2 ,π2

),

kde p°i°azení

x −→ y

je ur£eno rovnicí

tg y = x, x ∈ (−∞,+∞), y ∈(−π

2 ,π2

),

tj. kaºdému x ∈ (−∞,+∞) je p°i°azen jediný ko°en y ∈(−π

2 ,π2

)dané rovnice.

Funkce arkustangens je tedy de�nována jako inverzní funkce k restrikci

funkce tangens na interval(−π

2 ,π2

).

Graf:

Obrázek 3.52.


(D) Funkce arkuskotangens je dána p°edpisem

f : y = arccotg x, Df = (−∞,+∞) Hf = (0, π),

kde p°i°azení

x −→ y

je ur£eno rovnicí

cotg y = x, x ∈ (−∞,+∞), y ∈ (0, π),

tj. kaºdému x ∈ (−∞,+∞) je p°i°azen jediný ko°en y ∈ (0, π)

dané rovnice.

Funkce arkuskotangens je tedy de�nována jako inverzní funkce k restrikci

funkce kotangens na interval (0, π).

Graf:

Obrázek 3.53.

P°íklady: BUDE DOPLN�NO!!!


3.4.11 Algebraické operace s funkcemi a superpozice funkcí

Nech´ funkce f a g mají de�ni£ní obor D. De�nujeme

1. Sou£et f+g je funkce, která kaºdému x ∈ D p°i°azuje funk£ní hod-

notu y = f(x) + g(x);

2. Rozdíl f−g je funkce, která kaºdému x ∈ D p°i°azuje funk£ní hod-

notu y = f(x)− g(x);

3. Sou£in f · g je funkce, která kaºdému x ∈ D p°i°azuje funk£ní hod-

notu y = f(x) · g(x);

4. Podílf

gje funkce, která kaºdému x ∈ D p°i°azuje funk£ní hod-

notu y = f(x)g(x) , g(x) 6= 0;

5. Násobek

£íslem αf je funkce, která kaºdému x ∈ D p°i°azuje funk£ní hod-

notu y = αf(x), α ∈ R;

6. Mocnina f g je funkce, která kaºdému x ∈ D p°i°azuje funk£ní hod-

notu y = f(x)g(x), f(x) > 0.

P°íklady:(!) Analyzujte následující funkce a na£rtn¥te jejich grafy.

a) y = x sinx;

b) y =sinx

x;


c) y = x+ sinx;

d) y = e−x cosx;

e) y = x− arctanx;

f) y = x arctanx;

g) y =arctanx

x;

h) y = xx = ex lnx;

i) y =

(1 +

1

x

)x; [Df = (−∞,−1) ∪ (0,+∞); Hf = (1, e) ∪ (e,+∞) ;(

1 +1

x

)x= ex ln(1+ 1

x).

x→ −∞ ⇒ y → e+,

x→ −1− ⇒ y → +∞,

x→ 0+ ⇒ y → 1+,

x→ +∞ ⇒ y → e−].

Obrázek 3.54.


Superpozice funkcí

Superpozice f = f2 ◦ f1 funkcí f1 : D1 → H1, f2 : D2 → H2 je de�nována

t¥mito vlastnostmi:

(a) H1 ⊂ D2;

(b) f1 : y = f1(x), x ∈ D1, y ∈ H1;

f2 : z = f2(y), y ∈ D2, z ∈ H2;

(c) f : z = f2(f1(x)), x ∈ D1 ≡ Df .

Funkci f také se °íká sloºená funkce.

Funk£ní hodnota y vnit°ní funkce f1 je argumentem vn¥j²í funkce f2.

Matematické znázorn¥ní:

Obrázek 3.55.


Kybernetické znázorn¥ní:

Obrázek 3.56.

Technologické znázorn¥ní:

Obrázek 3.57.

P°íklady:(!!) - ilustrativní:

(a) f : z = sin√x+ 1, f2 : z = sin y, f1 : y =

√x+ 1;

D2 = R, D1 = 〈−1,+∞),

H2 = 〈−1, 1〉, H1 = 〈0,+∞).

(b) bude dopln¥no


(c) bude dopln¥no

Úkoly:

1) Analyzujte funkci f : y = arcsin(sinx) a sestrojte její graf.

2) Analyzujte funkci f : y = sin(arcsinx) a sestrojte její graf.

3) Analyzujte funkci f : y = elnx a sestrojte její graf.

4) Analyzujte funkci f : y = ln(ex) a sestrojte její graf.

Poznámka (d·leºitá). Jsou-li f a f−1 navzájem inverzní funkce, tj.

f : y = f(x), x ∈ D, y ∈ H,

f−1 : x = f−1(y), y ∈ H, x ∈ D,

potom

f ◦ f−1: y = f(f−1(y)), je identická funkce na H,

f−1 ◦ f : x = f−1(f(x)), je identická funkce na D,

tj.

f ◦ f−1 : H → H; f−1 ◦ f : D → D.

P°íklad: y = ex; x = ln y ⇒ y = eln y, x = ln ex.

3.4.12 Funkce dvou a více prom¥nných

Motiva£ní p°íklady.


(a) Obsah S obdélníka závisí na délkách stran a je ur£en jejich sou£inem, tj.

S = x · y, x > 0, y > 0.

(b) Objem V kvádru je ur£en sou£inem délek stran, tj.

V = xyz, x > 0, y > 0, z > 0.

(c) Objem V p°ímého kruhového válce je ur£en vý²kou h a polom¥ru r pod-

stavy podle vzorce

V = πr2h.

(d) Vzdálenost bodu A = (x, y) v rovin¥ od po£átku P = (0, 0) je dána

formulí

d(x, y) =√x2 + y2.

(e) Vzdálenost bodu A = (x, y, z) v R3 od po£átku P = (0, 0, 0) je dána

formulí

d(x, y, z) =√x2 + y2 + z2.

(f) Celková cena p°epravy zboºí ze v²echm sklad· do v²ech n obchod· závisí

na mnoºství xij dopravovaného zboºí z i-tého skladu do j-tého obchodu

a je dána vzorcem

C =m∑i=1

n∑j=1

cijxij,

kde cij jsou koe�cienty ur£ující náklady na p°epravu jednotky zboºí z

i-tého skladu do j-tého obchodu (C je tzv. ú£elová funkce)


(g) V jednoduchých ekonomických úvahách bereme tzv. nákladovou funkci

ve tvaru

N = a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn,

kde x1, x2, . . . , xn jsou prom¥nné parametry výroby (mnoºství pot°eb-

ného materiálu, energetické náklady, mnoºství pracovník· jednotlivých

profesí, náklady na reklamu, atd., a a1, a2, . . . , an) jsou dané (nem¥nné)

ceny jednotky materiálu, hodinová mzda, atd.

Kapitola 4

SPOJITÉ A NESPOJITÉ FUNKCE

4.1 LOKÁLNÍ VLASTNOSTI FUNKCÍ

4.1.1 Okolí bodu a hromadné body

P°ipome¬me si d·leºitou ekvivalenci

|x− x0| < δ ⇐⇒ x0 − δ < x < x0 + δ

Obrázek 4.1.

104 SPOJITÉ A NESPOJITÉ FUNKCE

Okolí bodu x0 ∈ R: Uδ(x0) = {x ∈ R : |x− x0| < δ} .

Prstencové okolí bodu x0 ∈ R:

Pδ(x0) = Uδ(x0)− {x0} = (x0 − δ, x0) ∪ (x0, x0 + δ)

("okolí bodu bez bodu").

Pravostranné okolí bodu x0 ∈ R : U+δ (x0) = 〈x0, x0 + δ)

Pravostranné prstencové okolí bodu x0 ∈ R:

P+δ (x0) = (x0, x0 + δ)

Levostranné okolí bodu x0 ∈ R : U−δ (x0) = (x0 − δ, x0〉

Levostranné prstencové okolí bodu x0 ∈ R :

P−δ (x0) = (x0 − δ, x0)

Okolí bodu x = [x1, x2] ∈ R2:

Uδ(x) ={x ∈ R2 :

√(x1 − x1)2 + (x2 − x2)2 < δ

}

4.1 LOKÁLNÍ VLASTNOSTI FUNKCÍ 105

Obrázek 4.2.

Hromadný bod de�ni£ního oboru Df funkce f je takový bod

x0 ∈ R (m·ºe být x0 /∈ Df !), jehoº kaºdé okolí Uδ(x0) obsahuje

aspo¬ jeden bod x ∈ Df .

Odtud uº plyne, ºe:

Hromadný bod de�ni£ního oboru je takový bod, v jehoº kaºdém

okolí leºí nekone£n¥ mnoho bod· de�ni£ního oboru

Lze tedy °íci, ºe hromadný bod mnoºiny je vºdy limitou n¥jaké konver-

gentní posloupnosti bod· z dané mnoºiny.

Izolovaný bod (de�ni£ního oboru Df) je takový bod x0 ∈ Df ,

který není hromadný, tj. existuje okolí Uδ(x0), které krom¥ bodu

x0 neobsahuje ºádné dal²í body de�ni£ního oboru.


Bod x0 ∈ Df se nazývá vnit°ní bod de�ni£ního oboru Df , kdyº

existuje okolí Uδ(x0), které leºí celé v Df , tj.

∃δ > 0 : Uδ(x0) ⊂ Df .

Bod x0 ∈ Df se nazývá hrani£ní bod de�ni£ního oboru Df , kdyº

kaºdé jeho okolí obsahuje jak body Df , tak body, které do Df ne-

pat°í.

U intervalu jsou to koncové body.

4.1.2 Ilustrace lokálních vlastností funkcí

Termínem lokální vlastnost , resp. lokální chování funkcí ozna£ujeme ta-

kové vlastnosti, které se týkají p°edev²ím okolí n¥jakého bodu.

Pon¥kud paradoxn¥ se tyto vlastnosti nazývají nap°. takto:

• limita v bod¥

• spojitost v bod¥

• monotónnie v bod¥


• konvexnost (konkávnost) v bod¥

• derivace v bod¥

(a) Na obrázku 4.3 je graf funkce f a vidíme, ºe pro x ∈ (x0−δ, x0+δ), x 6=

x0 se funk£ní hodnoty f(x) málo li²í od b, tedy:

Obrázek 4.3.

Pro x ∈ (x0 − δ, x0) má funkce f tuto vlastnost:

Kdyº x→ x0−, pak f(x)→ b−.

Pro x ∈ (x0, x0 + δ) má funkce f tuto vlastnost:

Kdyº x→ x0+, pak f(x)→ b+.

Matematický zápis této vlastnosti:

limx→x0

f(x) = b .

Je t°eba si uv¥domit, ºe pokud pro funkci f platí limx→x0

f(x) = b, nelze nic

°íci o funk£ní hodnot¥ funkce f v bod¥ x0 (tj. o f(x0)). M·ºe nastat kterákoliv

z moºností: f(x0) = b, f(x0) = c 6= b, f(x0) neexistuje.


(b) Na obrázku 4.4 vidíme, ºe lokální vlastnost funkce f v okolí bodu x0

je jiná, neº vlastnost funkce z obr. 4.3. Je z°ejmé, ºe pro x ∈ (x0 − δ, x0) se

funk£ní hodnoty f(x) málo li²í od b1, pro x ∈ (x0, x0 + δ) se funk£ní hodnoty

f(x) málo li²í od b2, tedy:

Obrázek 4.4.


Kdyº x→ x0−, pak f(x)→ b1− (z men²ích hodnot).

Matematický zápis:

limx→x0−

f(x) = b1 .


Kdyº x→ x0+, pak f(x)→ b2+ (z v¥t²ích hodnot).


limx→x0+

f(x) = b2 .


(c) Na obrázku 4.5 máme dal²í z moºných situací:

Obrázek 4.5.


Kdyº x→ x0−, pak f(x)→ b1+.


limx→x0−

f(x) = b1.


Kdyº x→ x0+, pak f(x)→ −∞ (klesá pod v²echny meze).


limx→x0+

f(x) = −∞.


4.1.3 Matematické de�nice limity funkce.

(A) Reálná funkce f má v hromadném bod¥ x0 de�ni£ního

oboru Df limitu b, kdyº existuje £íslo b ∈ R takové, ºe pro kaº-

dou posloupnost (xn)+∞n=1, xn ∈ Df , xn 6= x0 konvergující k £íslu

x0, v²echny posloupnosti funk£ních hodnot (f(xn))+∞n=1 konvergují

k £íslu b.

Stru£n¥: ∃b ∈ R ∀xn ∈ Df : xn → x0 =⇒ f(xn)→ b.

Zápis:

limx→x0

f(x) = b.

�íslu b se °íká oboustranná limita funkce f v bod¥ x0.

P°íklady. Pouºíváme výsledky z odst. 2.3.6.

(a) Stanovme limx→0

2x2−1x−1 , x 6= 1.

�e²ení: Zvolíme libovolnou posloupnost bod· xn ∈ Df takovou, ºe

xn → 0 (nap°íklad xn = 1n).

Potom pro x2n → 0 je (2x2

n − 1)→ −1, (xn − 1)→ −1, a tedy

2x2n − 1

xn − 1→ −1

−1= 1.

Takºe limx→0

2x2−1x−1 = 1.


(b) Stanovme limx→2

√x2 + 1, Df = R.

�e²ení: Pro libovolnou posloupnost, pro níº xn → 2, je x2n → 4, (x2

n +

1)→ 5,√x2n + 1→

√5, a tedy

limx→2

√x2 − 1 =

√5.

(B) Reálná funkce f má v hromadném bod¥ x0 de�ni£ního oboru

Df limitu zleva b1 (levostrannou limitu), kdyº existuje £íslo

b1 ∈ R takové, ºe pro kaºdou posloupnost (xn)+∞n=1, xn ∈ Df ,

xn < x0 konvergující k £íslu x0, v²echny posloupnosti funk£ních

hodnot (f(xn))+∞n=1 konvergují k £íslu b1.

Stru£n¥:

∃b1 ∈ R ∀xn ∈ Df : (xn → x0, xn < x0)⇒ f(xn)→ b1 .

Matematický zápis: limx→x0−

f(x) = b1 nebo f(x0−) = b1.

Kdyº f(xn) > b1, pí²e se b1+, (hodnoty f(xn) konvergují k b1 shora), kdyº

f(xn) < b1 pí²e se b1− (hodnoty f(xn) konvergují k b1 zdola).


(C) Reálná funkce f má v hromadném bod¥ x0 de�ni£ního oboru

Df limitu zprava b2 (pravostrannou limitu), kdyº existuje £íslo

b2 ∈ R takové, ºe pro kaºdou posloupnost (xn)+∞n=1, xn ∈ Df ,

xn > x0 konvergující k £íslu x0, v²echny posloupnosti funk£ních

hodnot (f(xn))+∞n=1 konvergují k £íslu b2.

Stru£n¥:

∃b2 ∈ R ∀xn ∈ Df : (xn → x0, xn > x0)⇒ f(xn)→ b2.

Matematický zápis: limx→x0+

f(x) = b2.

Kdyº f(xn) > b2, pí²e se b2+, kdyº f(xn) < b2, pí²e se b2−.

(D) Reálná funkce f nemá v hromadném bod¥ x0 de�ni£ního

oboru Df limitu (rozumí se oboustrannou), kdyº není spln¥na

podmínka (A) tohoto odstavce, tj.

∀b ∈ R ∃xn ∈ Df : xn → x0 ∧ f(xn) 6→ b .

N¥které z moºných situací máme na obr. 5.3, 5.5.


4.1.4 De�nice limity funkce v tzv. "nevlastních bodech"

(A) Reálná funkce f má v "nevlastním bod¥ +∞" limitu b1, kdyº exis-

tuje £íslo b1 ∈ R takové, ºe pro kaºdou posloupnost (xn)+∞n=1,

xn ∈ Df , xn → +∞ (divergující k +∞), v²echny posloupnosti

funk£ních hodnot (f(xn))+∞n=1 konvergují k £íslu b1 (Obr. 4.6).

Stru£n¥:

∃b1 ∈ R ∀xn ∈ Df : (xn → +∞)⇒ f(xn)→ b1.

Matematický zápis: limx→+∞

f(x) = b1.

(B) Reálná funkce f má v "nevlastním bod¥ −∞" limitu b2, kdyº exis-

tuje £íslo b2 ∈ R takové, ºe pro kaºdou posloupnost (xn)+∞n=1,

xn ∈ Df , xn → −∞ (divergující k −∞), v²echny posloupnosti

funk£ních hodnot (f(xn))+∞n=1 konvergují k £íslu b2 (Obr. 4.7).

Stru£n¥:

∃b2 ∈ R ∀xn ∈ Df : (xn → −∞)⇒ f(xn)→ b2.

Matematický zápis: limx→−∞

f(x) = b2.

Ilustrace:


a) limx→+∞

f(x) = b1

Obrázek 4.6.

b) limx→−∞

f(x) = b2

Obrázek 4.7.

4.1.5 De�nice tzv. "nevlastní limity" funkce

Poznámka. V následujících dvou odstavcích budeme pod symbolem " limx→x0

"

rozum¥t kterýkoliv z t¥chto symbol·:

limx→x0

, x0 ∈ R, limx→x0+

, x0 ∈ R, limx→x0−

, x0 ∈ R, limx→+∞

, limx→+∞

,

ale v rámci jednoho tvrzení vºdy pouze jeden.


�íkáme, ºe funkce f má vlastnost "nevlastní limita"

Kdyº pro kaºdou posloupnost (xn)+∞n=1, xn ∈ Df jednoho z typ· :

• xn → x0,

• xn → x0−,

• xn → x0+,

• xn → −∞,

• xn → +∞,

pro posloupnost funk£ních hodnot (xn)+∞n=1 platí:

a) f(xn)→ +∞ (diverguje k +∞),

matematický zápis limx→x0

f(x) = +∞;

b) f(xn)→ −∞ (diverguje k −∞),

matematický zápis limx→x0

f(x) = −∞;

Zmín¥né vlastnosti jsou ilustrovány na obr. Obr. 4.8, 4.9

Ilustrace:


Obrázek 4.8.

limx→x0+

f(x) = −∞,

limx→+∞

f(x) = +∞.

Obrázek 4.9.

limx→0−

f(x) = +∞,

limx→0+

f(x) = 0,

limx→+∞

f(x) = −∞,

limx→−∞

f(x) = 0,

P°íklady

Formulací "stanovte limitu..." se (obvykle) rozumí tyto úkoly (úlohy):

� rozhodnout, zda existuje limita, pokud ano, pak ji najít;

� pokud neexistuje oboustranná limita, pak p°ípadn¥ ur£it limitu

jednostrannou;

� p°ípadn¥ rozhodnout o chování typu f(x) → +∞ resp. f(x) → −∞

("nevlastní limita").

1. Stanovte limx→0+

e1x , lim

x→0−e

1x .

Postup: Zvolíme libovolnou posloupnost (xn), která pro n→ +∞:


xn → 0+ =⇒ 1xn→ +∞ =⇒ e

1xn → +∞;

xn → 0− =⇒ 1xn→ −∞ =⇒ e

1xn → 0+.

Výsledky : limx→0+

e1x = +∞,

limx→0−

e1x = 0,

limx→0

e1x neexistuje; obr. 4.10

Obrázek 4.10.

2. Stanovte limx→0

sin 1x .

Postup: Zvolíme dv¥ r·zné posloupnosti:

Pro xn = 1nπ → 0, (n→ +∞) je f(xn) = sinnπ = 0,

Pro yn = 1(4n+1)π → 0,(n→ +∞) je f(yn) = sin(4n+ 1)π2 = 1.

tj. f(xn)→ 0, f(yn)→ 1.

Výsledek: limx→0

sin 1x neexistuje (ani jednostranná), nebo´ není spln¥na

podmínka (A) z odst.1.1.3 (rozmyslete si to!).


3. (bude dopln¥no)

4. (bude dopln¥no)


4.1.6 Teoretické poznatky

(A) Existuje-li £íslo limx→x0

f(x) = b, potom je jediné.

(B) Existují-li £ísla limx→x0

f(x) = b, limx→x0

g(x) = c, potom

limx→x0

[f(x)± g(x)] = b± c,

limx→x0

f(x)g(x) = b · c,

limx→x0

f(x)g(x) = b

c , c 6= 0.

(C) Existuje-li limx→x0

f(x), limx→x0

g(x) a f(x) ≤ g(x), x ∈ Uδ, po-

tom

limx→x0

f(x) ≤ limx→x0

g(x) .

(D) Platí-li f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), x ∈ Uδ a existuje-li

limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x), potom

limx→x0

h(x) = limx→x0

f(x) = limx→x0

g(x) .

Tomuto tvrzení se °íká v¥ta o sev°ení ("v¥ta o dvou policaj-

tech")

(E) Nutná a posta£ující podmínka existence limity:

limx→x0+

f(x) = limx→x0−

f(x).

D·kazy v²ech t¥chto tvrzení najdete nap°. v


4.1.7 Výsledky k zapamatování

(1) limx→0

sinx

x= 1; lim

x→0

tgxx

= 1; limx→0

arcsinxx

= 1; limx→0

arctgxx

= 1;

(2) limx→+∞

(1 +1

x)x = e; lim

x→−∞(1 +

1

x)x = e; lim

x→0+(1 + x)

1x = e;

(3) limx→+∞

(1 +a

x)x = ea; lim

x→+∞(1− 1

x)x =

1

e;

(4) limx→0

ex − 1

x= 1; lim

x→0

ax − 1

x= ln a;

(5) limx→0

ln (1 + x)

x= 1; lim

x→0

loga(1 + x)

x=

1

ln a, a > 0;

(6) limx→x0+

f(x) = limx→x0−

f(−x) (pokud ob¥ limity existují);

(7) limx→+∞

f(x) = limt→0+

f(1

t) (pokud ob¥ limity existují);

(8) limx→x0

f(x) = limh→0

f(x0 + h).

4.2 Lokáln�i spojitost (spojitost v bod¥) 121

4.2 Lokální spojitost (spojitost v bod¥)

4.2.1 De�nice

(A) Funkce f : Df → R je spojitá v hromadném bod¥ x0 ∈ Df

kdyº platí

limx→x0

f(x) = f(x0) ⇔

limx→x0

[f(x)− f(x0)] = 0,

limh→0

[f(x0 + h)− f(x0)] = 0,

lim∆x→0

∆f = 0; ∆x = h = x− x0,

∆f = f(x0 + h)− f(x0);

(B) Funkce f : Df → R je spojitá zprava v hromadném bod¥

x0 ∈ Df kdyº platí

f(x0+) = f(x0);

f(x0+) je zna£ka pro limitu zprava.

(C) Funkce f : Df → R je spojitá zleva v hromadném bod¥

x0 ∈ Df kdyº platí

f(x0−) = f(x0);

f(x0−) je zna£ka pro limitu zleva.

(D) Funkce f : Df → R je spojitá v izolovaném bod¥ x0 ∈ Df

je-li v n¥m de�novaná.


4.2.2 Kritérium lokální spojitosti (nutná a posta£ující podmínka

lokální spojitosti)

(a) teoretické: ∀xn ∈ Df : (xn → x0) ⇒ f(xn)→ f(x0).

(b) praktické: f(x0+) = f(x0−) = f(x0).

(c) Cauchyovo: ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 ∀x ∈ Df :

|x− x0| < δ(ε) ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

4.2.3 Body nespojitosti (singulární body funkce)

Jestliºe pro bod x0, který je hromadným bodem funkce f , neplatí podmínky

de�nice spojitosti z odst. 5.2.1, (tj. funkce není de�nována v bod¥ x0, nebo

neexistuje limx→x0

f(x), nebo limx→x0

f(x) 6= f(x0)), nazýváme bod x0 bod nespo-

jitosti funkce f .

Klasi�kace bod· nespojitosti :

(a) Bod x0 je pro funkci f bod nespojitosti prvního druhu, existuje-li v bod¥

x0 ( kone£ná) limita zprava i zleva (tj. existuje f(x0+) a f(x0−)) a je

f(x0+) 6= f(x0−). �íslu f(x0+)− f(x0−) °íkáme skok funkce f v bod¥

x0 (funkce má v bod¥ x0 "kone£ný skok").


(b) Jestliºe v bod¥ x0 neexistuje alespo¬ jedna z jednostranných limit (nebo

je nevlastní), nazýváme bod x0 bod nespojitosti druhého druhu (funkce

má v bod¥ x0 "nekone£ný skok").

(c) Existuje-li kone£ná limita limx→x0

f(x), ale funkce f není v bod¥ x0 de�-

nována nebo je limx→x0

f(x) 6= f(x0), nazývá se bod x0 bod odstranitelné

nespojitosti.

Vlastnosti bod· nespojitosti funkce f : Df → R lze ilustrovat následují-

cími obrázky:

(a) x0 /∈ Df � funkce není v bod¥ x0 de�novaná (obr.5.8):

Nespojitost 2.druhu Nespojitost 1.druhu Odstranitelná nespojitost

Obrázek 4.11.

neex. (vlastní) f(x0−), f(x0+) f(x0−) 6= f(x0+) f(x0−) = f(x0+)


(b) x0 ∈ Df , av²ak neexistuje limx→x0

f(x), p°ípadn¥ f(x0) 6= limx→x0

f(x).

Nespojitost 2.druhu Nespojitost 1.druhu Nespojitost 1.druhu

Obrázek 4.12.

f(x0−) = f(x0) f(x0−) = f(x0) f(x0−) 6= f(x0)

f(x0+) =∞ f(x0+) 6= f(x0) f(x0+) 6= f(x0)

P°íklad: Funkce f : x → sinxx , x 6= 0 má v hromadném bod¥ x0 = 0

nespojitost odstranitelnou, nebo´ f(x0−) = f(x0+) = 1. Lze de�novat funkci

g : g(x) =

sinxx , x 6= 0,

1, x = 0.

Funkce g de�novaná tímto zp·sobem je spojitá v bod¥ x = 0. Funkce g se od

funkce f li²í tím, ºe je v bod¥ x = 0 de�novaná a spojitá.

4.2.4 Spojitost elementárních funkcí

Následující funkce jsou spojité v kaºdém bod¥ svého de�ni£ního oboru.

P°ipojené implikace se pokuste zd·vodnit (tj. prov¥°it jejich pravdivost).


Obrázek 4.13.

a) Polynomiální funkce : f(x) = Pn(x) je spojitá v kaºdém bod¥ svého

de�ni£ního oboru;

nebo´ nap°íklad

pro h→ 0 platí[(x0 + h)2 − x2

0]→ 0,

platí[(x0 + h)3 − x3

0]→ 0,

atd.

b) Goniometrické funkce jsou spojité v kaºdém bod¥ svého de�ni£ního

oboru, nebo´

pro h→ 0 platí sin(x0 + h)− sinx0 → 0,

platí cos(x0 + h)− cosx0 → 0,

platí tg(x0 + h)− tgx0 → 0,

platí cotg(x0 + h)− cotgx0 → 0,

c) Cyklometrické funkce jsou spojité v kaºdém bod¥ svého de�ni£ního

oboru, nebo´


pro h→ 0 platí arcsin(x0 + h)− arcsinx0 → 0,

. . . atd . . .

d) Exponenciální a logaritmické funkce jsou spojité v kaºdém bod¥

svého de�ni£ního oboru, nebo´

pro h→ 0 platí ex0+h − ex0 → 0,

platí ln(x0 + h)− lnx0 → 0,

4.2.5 Manipulace se spojitými funkcemi

Jsou-li funkce f a g spojité v bod¥ x0 ∈ Df , x0 ∈ Dg a okolí Uδ(x0)

pat°í do obou de�ni£ních obor·, potom:

f + g, f − g, f · g, cf, |f |, fg, kdyº g(x) 6= 0

jsou také spojité v bod¥ x0.

D·kazy t¥ch tvrzení proberte na KMT/MSB.

Poznámka. M·ºeme samoz°ejm¥ s£ítat, od£ítat, násobit, d¥lit i nespojité

funkce. Výsledek operace v²ak m·ºe být i spojitá funkce.

Ilustrativní p°íklady: (bude dopln¥no)


4.2.6 Spojitost superpozice funkcí

M¥jme superpozici f = f2 ◦ f1 (odst. 4.4.10) funkcí f1 a f2.

Kdyº f1 je spojitá v bod¥ x0 ∈ D1 a f2 je spojitá v bod¥ y0 =

f1(x0) ∈ D2, potom superpozice f = f2 ◦ f1 je spojitá v bod¥ x0 a

platí

f2(f1(x0)) = f2(y0).

Zd·vodn¥ní tvrzení je nap°íklad poºadováno u zákonu.

P°íklad. Funkce f je dána p°edpisem

f(x) = sin(x2 + 1); Df = R.

Ozna£me: z = f2(y) = sin y,

y = f1(x) = x2 + 1.

Funkce f1 je spojitá v kaºdém bod¥ x ∈ D1 = R,

funkce f2 je spojitá v kaºdém bod¥ y ∈ D2 = R,

proto funkce f : z = sin(x2 + 1) je spojitá v kaºdém bod¥ x ∈ D1

Poznámka: Vý²e uvedený výsledek se vyuºívá p°i ur£ování limit superpozice

f = f2 ◦ f1 v p°ípad¥, ºe "vnit°ní" funkce f1 je spojitá . Podrobn¥jí viz MAI,

str.78 (v¥ta 4.9).


4.3 Globální spojitost (spojitost na intervalu)

4.3.1 De�nice

(A) Funkce f : I → R je spojitá na intervalu I ⊂ R, je-li spojitá v

kaºdém bod¥ x ∈ I (v p°ípadných koncových bodech jednostrann¥).

Stru£n¥:

∀ x ∈ I (∀ xn ∈ I : xn → x ∧ ∀ x′n ∈ I : x′n → x) ⇒

|f(xn)− f(x′n)| → 0.

(B) Funkce f : I → R je stejnom¥rn¥ spojitá na intervalu I ⊂ R,

kdyº

∀ xn ∈ I ∧ ∀ x′n ∈ I : |xn − x′n| → 0 ⇒ |f(xn)− f(x′n)| → 0.

(C) Funkce f : I → R je lipschitzovská na I, kdyº existuje £íslo

L > 0 (Lipschitzova konstanta) takové, ºe

∀ x, x′ ∈ I : |f(x)− f(x′)| ≤ L|x− x′|.

Ilustrativní p°íklady:

1) Funkce f(x) = 1x je spojitá v kaºdém bod¥ x ∈ (0,∞), tj. na intervalu

(0,∞), ale není na tomto intervalu stejnom¥rn¥ spojitá. Zvolíme-li totiº

posloupnosti xn = 1n , x

′n = 1

2n , pak evidentn¥

|xn − x′n| =∣∣∣∣1n − 1

2n

∣∣∣∣ =1

n→ 0,

4.3 Globáln�i spojitost (spojitost na intervalu) 129

av²ak

|f(xn)− f(x′n)| = |n− 2n| = n→ +∞.

2) Funkce f(x) = lnx není na intervalu stejnom¥rn¥ spojitá, nebo´ pro

xn = e−n, x′n = e−2n je

|xn − x′n| = |e−n − e−2n| = |e−n(1− e−n)| → 0;

|f(xn)− f(x′n)| = | − n+ 2n| = n→ +∞.

3) Funkce f(x) = x+ sinx, x ∈ R je na R stejnom¥rn¥ spojitá.

Protoºe platí | sinx| ≤ |x|, | cosx| ≤ 1, x ∈ R, pak odtud plyne

nerovnost

| sinx− sinx′| = |2 sinx− x′

2cos

x+ x′

2| ≤ |x− x′|.

Dal²í argumentace je evidentní.

4) Funkce f(x) =√x je spojitá pro x ∈ 〈0,+∞), ale není na tomto inter-

valu lipschitzovská.

Vyjdeme z evidentní rovnosti

√x−√x′ =

x− x′√x+√x′.

Pokud má platit Lipschitzova podmínka

|√x−√x′| ≤ L|x− x′|,


musí být výraz 1√x+√x′omezený pro kaºdé x, x′ ∈ 〈0,+∞).

To v²ak spln¥no být nem·ºe.

Spojitost v bod¥ x0 > 0 plyne z nerovnosti |√x−√x0| ≤ |x−x0|√

x0

5) Funkce f : y = tgx je spojitá na intervalu(−π

2 ,π2

), ale není spojitá na⟨

−π2 ,

π2

⟩protoºe v koncových bodech neexistují jednostranné limity.

6) Funkce f : y = arcsinx je spojitá na (−1, 1), ale také na 〈−1, 1〉.

Poznámka. V aplikacích se místo r£ení "funkce f je spojitá pro x ∈ I"

°íká, ºe "veli£ina f spojit¥ závisí na parametru x" nebo také, ºe "systém f

je stabilní vzhledem k parametru x".

4.3 Globáln�i spojitost (spojitost na intervalu) 131

4.3.2 D·leºité d·sledky spojitosti na uzav°eném intervalu

(A) Existence nulové hodnoty :

Jestliºe pro spojitou funkci f : 〈a, b〉 → R platí nerovnost

f(a) · f(b) < 0 ,

potom existuje ξ ∈ (a, b) takové, ºe f(ξ) = 0.

(B) Existence ko°ene :

Je-li funkce f : 〈a, b〉 → R spojitá a f(a) 6= (b), potom pro kaºdé

£íslo y mezi hodnotami f(a) a f(b) existuje ko°en x ∈ (a, b) rovnice

f(x) = y.

(C) Nabývání globálního extrému

Je-li funkce f : 〈a, b〉 → R spojitá, potom

1. existuje £íslo K > 0 takové, ºe

∀x ∈ 〈a, b〉 → R : |f(x)| ≤ K (omezenost);

2. existují body xm, xM ∈ 〈a, b〉 takové, ºe

f(xm) = minx∈〈a,b〉

f(x); f(xM) = maxx∈〈a,b〉

f(x).

D·kazy uvedených tvrzení lze najít v MAI, str. 91, 92.

Ilustrace:

Kapitola 1 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY

Documents

Transcript of Kapitola 1 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY