Kapitel 5 - Learnify

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 5

Kapitel 5.1

5101, 5102 Exempel som löses i boken 5103 a) Rektangelns omkrets = 2(b + h)

Rektangelns area = b · h

2 2

6, 4 cm3,5 cm

Omkretsen är 2( ) 2(6, 4 3,5) cm 19,8 cmArean är 6, 4 3,5 cm 22, 4 cm

bh

b hb h

= →=

+ = + =

⋅ = ⋅ =

Svar: Rektangelns omkrets är 19,8 cm och area är 22 cm2

b) Triangelns omkrets = summan av sidlängderna

Triangelns area = 2

bh

2 2

4,3 cm7,0 cm6,3 cm3,8 cm

Omkretsen är (4,3 6,3 7,0) cm 17,6 cm7,0 3,8Arean är cm 13,3 cm

2 2

abch

b h

= = →= =

+ + =⋅ ⋅

= =

Svar: Triangelns omkrets är 17,6 cm och area är 13 cm2

5104 a) Omkretsen är (22,5 + 13,5 + 18,0) cm = 54,0 cm,

arean är 18,0 13,52 2

bh ⋅= cm2 = 121,5 cm2 ≈ 122 cm2

b) Omkretsen är (3,5 + 2,0 + 2,3) cm = 7,8 cm,

arean är 2,3 1,92 2

bh ⋅= cm2 = 2,185 cm2 ≈ 2,2 cm2

5105 a) Omkretsen är 2(4,1 + 5,6) cm = 19,4 cm,

arean är 5,6 3,6bh = ⋅ cm2 = 20,16 cm2 ≈ 20 cm2

b) Omkretsen är (4,0 + 5,2 + 4,1 + 8,0) cm = 21,3 cm,

arean är ( ) 3,8(5,2 8,2 2

h a b+=

0)+ cm2 = 25,08 cm2 ≈ 25 cm2

6,4

3,5

(cm)

h

b

ac

(cm)

Höjden h och basen b

måste vara vinkelräta

för att areaformeln

2bhA = skall gälla

© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002


5106 a) Omkretsen är 4 · 1,9 cm = 7,6 cm, arean är 1,9 · 1,9 cm2 = 3,61 cm2 ≈ 3,6 cm2

b) Omkretsen är 2 · (4,8+9,7) cm = 29 cm, arean är 4,8 · 9,7 cm2 = 46,56 cm2 ≈ 47 cm2

5107 a) Omkretsen är (4,3 + 3,4 + 4,9) cm = 12,6 cm,

arean är 4,9 2,92 2

bh ⋅= cm2 = 2,755 cm2 ≈ 2,8 cm2

b) Omkretsen är (3,6 + 7,4 + 5,2) cm = 16,2 cm,

arean är 5, 2 3,32 2

bh ⋅= cm2 = 8,58 cm2 ≈ 8,6 cm2

5108 Omkretsen är 2(3,1 + 5,5) cm = 17,2 cm,

arean är cm5,5 2,8bh = ⋅ 2 = 15,4 cm2 ≈ 15 cm2

5109 Omkretsen är (7,1 + 12,0 + 6,4 + 18,0) cm = 43,5 cm,

arean är ( ) 6,0(12,0 18,0)2 2

h a b+ += cm2 = 90 cm2 ≈ 90 cm2

5110 Se facit

5111 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera din lösning.

5112 Gräsmattan är kvadratisk Alla fyra sidor

är lika långa och alla hörn är vinkelräta. Omkretsen är 72 m. Arean är b · b 4 72 18

18 18 324 320b b

b b= → =

⋅ = ⋅ = ≈

Svar: Gräsmattans area är 320 m2

5113 Beräkna arean för den ”murade” rektangeln och arean av den streckade triangeln var för sig. Husgavelns totala area är summan av rektangelns area och triangelns area. Rektangelns area: 8,2 · 3,7 m2 = 30,34 m2 Triangelns area: 1. triangelns höjd h är (7,8 − 3,7) m = 4,1 m

2. Arean 8,2 4,12 2

bhA ⋅= = m2 = 16,81 m2

Totala arean: 30,34 m2 + 16,81 m2 = 47,15 m2 ≈ 47 m2. Svar: Husgavelns area är 47 m2

5114 Tak: 2 22 1,9 3,2 m 12,16 m⋅ ⋅ =Sidor: 2 22 3,2 0,8 m 5,12 m⋅ ⋅ =

Gavlar: 2 22 3,2 1,12 3,2 0,8 m m2

⋅ ⋅⋅ ⋅ + = 8,64 m2

Totalarea: (12,16 + 5,12 + 8,64) m2 = 25,92 m2 ≈ 26 m2 Svar: Den minsta mängden tyg är 26 m2.

b

b



5115 Se bokens ledning samt lösningen i facit.

5116 Se facit.

5117 Tomtens area: 37 · 26 m2 = 962 m2 Husets area: 15 · 6 m2 + 5,5 · 5 m2 = 117,5 m2

Huset upptar 117, = 12% av tomten. 5 0,12962

≈

Svar: 12% av tomten upptas av huset

5118 Flaggans längd L = (60 + 24 + 108) cm = 192 cm Flaggans höjd H = (48 + 24 + 48) cm = 120 cm Flaggans totala area A = 192 · 120 cm2 = 23040 cm2

Korsets area är ( (Kan räknas ut på fler sätt) 224 120 24 192 24 24) cm 6912 cm⋅ + ⋅ − ⋅ = 2

Korset upptar 6912 0,3023040

=

Svar: Korset upptar 30% av flaggans area.

5119, 5120 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5121, 5122, Se facit. 5123, 5124 5125 Omvandla så att det blir samma enhet på de areor som skall jämföras med varandra.

5126 Omvandla så att det blir samma enhet på de areor som skall multipliceras med varandra.

a) 20 m = 2000 cm Arean = 2000 cm · 2 cm = 4000 cm2 b) 2 cm = 0,02 m Arean = 2 m · 0,02 m = 0,04 m2

5127 a) 1 ha = 100 m · 100 m = 10000 m2

b) Skogsområdet är 1500 m · 350 m = 525000 m2 = 52500010000

ha = 52,5 ha

5128 Exempel som löses i boken

5129 Cirkelns omkrets är dπ där d är cirkelns diameter.

OBS! I många formelsamlingar finns formeln 2 rπ där r är cirkelns radie Cirkelns area är 2A rπ= där r är cirkelns radie.

a) Omkretsen är 8π cm ≈ 25 cm Arean är 2 2 24 cm 16rπ π= = π cm2 ≈ 50 cm2

b) Omkretsen är 10π cm ≈ 31 cm Arean är 2 2 25 cm 25rπ π= = π cm2 ≈ 79 cm2

Det är bra att kunna göra enhetsomvandling själv på det sätt som visas i exemplet på sidan 213.



5130 a) Arean är hälften av cirkelns area 2 2

2 2 220 cm 200 cm 628 cm 630 cm2 2rA π π π→ = = = ≈ ≈ 2

Omkretsen är halva cirkelns omkrets plus diametern

20 cm 40 cm 103 cm2d d r dπ π π→ + = + = + ≈

Svar: Omkretsen är 103 cm och arean är 630 cm2 .

b) Arean är 1 av cirkelns area 42 2

2 2 225 cm 156,25 cm 491 cm 490 cm4 4rA π π π→ = = = ≈ ≈ 2

Omkretsen är en fjärdedel av cirkelns omkrets plus diametern 252 cm 2 25 cm 89 cm

4 2 2d rd rπ π π

→ + = + = + ⋅ ≈

Svar: Omkretsen är 89 cm och arean är 490 cm2.

5131 Se facit. Cirkeln omkrets kan också beräknas med formeln 2 rπ .

5132 Cirkelns omkrets är dπ där d är cirkelns diameter. OBS! I många formelsamlingar finns formeln 2 rπ där r är cirkelns radie Cirkelns area är 2A rπ= där r är cirkelns radie.

a) Omkretsen är 10π cm ≈ 31 cm Arean är 2 2 25 cm 25rπ π= = π cm2 ≈ 79 cm2

b) Omkretsen är 2 1,5π⋅2 21,5

cm ≈ 9,4 cm Arean är 2 cm 2,25rπ π π== cm2 ≈ 7,1 cm2

5133 Räkna på samma sätt som 5130 a).

5134 Skivan kostar 240 kr/m2.

Skivans area är . 2 2 20,62 m 1,2076 mrπ π= ≈ 2

Skivan kostar 1,2076 · 240 kr ≈ 289,8 kr ≈ 290 kr Svar: Skivan kostar 290 kr.

5135 Cykelhjulet är 28 tum i diameter. 1 tum är 2,54 cm

Cykelhjulets diameter är 28 2,54π⋅ cm ≈ 223,43 cm

1 km = 1000 m = 100000 cm

Cykel hjulet snurrar 100000 varv ≈ 447,57 varv på 1 km. 223,43

Svar: Cykelhjulet surrar 448 varv på 1 km.



5136 Gräsmattans ursprungliga area: 2 218 12 m 216 mA bh= = ⋅ =Area för en rabatt:

2

2 23 m 9 m/ 2 6,0 / 2 m 3,0 m

A rA

r dπ

π π=→ = =

= = = 2

Rabatternas totala area: 18 2 mπ

Rabatterna upptar 18 0,26216π≈ = 26 % av ytan.

Svar: Rabatterna upptar 26% av gräsmattans ursprungliga area

5137 a) Kvadratens omkrets: 4 · 4,2 cm = 16,8 cm Cirkelns omkrets: 5 cm 15,7π ≈ cm Svar: Kvadraten har den största omkretsen

b) Kvadratens area: 4,2 · 4,2 cm2 = 17,64 cm2 Cirkelns area: cm2 22,5 cm 19,6π ≈ 2 Svar: Cirkeln har den största arean.

5138 Området kan delas in i flera delområden. Den totala arean är summan av de ingående delarnas areor.

Området delas enklast in i en rektangel, 3,6 cm x 2,6 cm, och två halvcirklar med radien 1,3 cm.

Rektangelns area är 3 2 2,6 2,6 cm 9,36 cm⋅ =

Arean för två halvcirklar är2

2 2 22 1,3 cm 5,309 cm2r rπ π π⋅ = = ⋅ ≈ 2

Sammanlagda arean är 9,36 cm2 + 5,309 cm2 ≈14,67 cm2 ≈ 15 cm2

Svar: Områdets area är 15 cm2

5139, 5140, 5141 Se bokens ledning samt lösningen i facit

Kapitel 5.2


5202 a) Kubens sidlängd är a. Kubens volym är Kuben area är 6

3 3 3 3 36,0 cm 216 cm 220 cma = = ≈2 2 2 2 26 6,0 cm 216 cm 220 cm= ⋅ = ≈a

b) Rätblockets sidlängder är a, b och c. Rätblockets volym är Rätblockets area är

3 34,5 3,4 2,6 cm 39,78 cm 40 cmabc = ⋅ ⋅ = ≈)ab ac bc

3

2( + + →2 2 23, 4 2,6) cm 71,68 cm 72 cm+ ⋅ = ≈

2(4,5 3,4 4,5 2,⋅ + ⋅ 6



5203 a) V r 2 2 3 33,0 7,0 cm 198 cm 200 cmhπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ≈ 3

2

2

2

2

3

3

2

2

3

2

3

b) 2 2 mantel 2 6,0 7,0 cm 131,9 cm 130 cmA rh dhπ π π= = = ⋅ ⋅ ≈ ≈

c) Totala arean är mantelytans area plus bottenytan plus toppen.

2 2 2 2 2

botten topp

2 2 2 total

3,0 cm 28,27 cm 30 cm

(42 9,0 9,0 ) cm 60 cm 188 cm 190 cm

A A r

A

π π

π π π π

= = = ⋅ ≈ ≈

= + + = ≈ ≈

5204 a) I Kubens bottenarea är 8,

II Rätblockets bottenarea är 9

2 20 cm 64 cm=,0 6,8 cm⋅ =2 261,2 cm 61 cm≈

b) I Kubens volym är II Rätblockets volym är

3 3 38,0 cm 512 cm 510 cm= ≈9,0 6,8 5,2 cm 318,24⋅ ⋅ =3 3 cm 320 cm≈

5205 I Kuben area är II Rätblockets area är 2(9

2 2 26 8,0 cm 384 cm 380 cm⋅ = ≈,0 6,8 9,0 5,2 6,8 5,⋅ + ⋅ + ⋅ 2 22) cm 286,72 cm 290 cm= ≈

5206 a) Basytans area är 2 2 2 2 220 cm 1256 cm 1300 cmrπ π= ⋅ ≈ ≈

b) V r 2 2 3 320 70 cm 87964 cm 88000 cmhπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ≈

5207 a) 2 2 2 mantel 2 40 70 cm 8796 cm 8800 cmA rh dhπ π π= = = ⋅ ⋅ ≈ ≈

b) Totala arean är mantelytans area plus bottenytan plus toppen.

2 2 2 2 2

botten topp

2 2 2 total

20 cm 28,27 cm 30 cm

(2800 400 400 ) cm 3600 cm 11309,7 cm 11000 cm

A A r

A

π π

π π π π

= = = ⋅ ≈ ≈

= + + = ≈ ≈

5208 2 2 3 30,15 180 m 12,72 m 13 mV r hπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ≈ Svar: Röret tar upp 13 m3.

5209 2 2 3 36, 4 3,6 m 463,2 m 460 mV r hπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ≈ 3 Svar: Brunnen innehåller 460 m3 gödsel.

5210 Mjölkförpackningen har samma form som ett rätblock. Arean är 2 22(9,5 6,4 9,5 16,4 6,4 16,4) cm 643,12 cm 640 cm⋅ + ⋅ + ⋅ = ≈ 2

5211 Rummets mått: 19 m 31 m 5,0 m× ×

Luftens densitet är 1,3 kg/m3.

Rummets volym (tomt) är 19 3 331 5,0 m 2945 m⋅ ⋅ =Luften väger 3 32945 m 1,3 kg/m 3828,5 kg 3800 kg⋅ = ≈

Svar: Luften i lagerlokalen väger 3800 kg.



Låt till exempel den lilla lådan ha måtten a = 1 cm, b = 2 cm och c = 3 cm. Eftersom alla motsvarande sidor på den stora lådan är dubbelt så långa har du A = 2 cm, B = 4 cm, C = 6 cm.

a) Lilla lådans area är 2

2 2

2( ) 2(1 2 1 3 2 3) cm2(2 3 6) cm 22 cmab ac bc+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + =

Stora lådans area är

2

2 2

2( ) 2(2 4 2 6 4 6) cm2(8 12 24) cm 88 cmAB AC BC+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + =Svar: Den stora lådans area är fyra gånger

så stor som den lilla lådans area.

5212

b) Lilla lådans volym är 3 31 2 3 cm 6 cmabc = ⋅ ⋅ =

Stora lådans volym är 3 32 4 6 cm 48 cmABC = ⋅ ⋅ =

Svar: Den stora lådans volym är åtta gånger så stor som den lilla lådans volym.

Vill man visa detta på ett mer generellt sätt gör man så här:

Låt den lilla lådans sidlängder vara a, b, och c L L, 2( )V abc A ab ac bc→ = = + +Stora lådans sidlängder är då 2a, 2b och 2c

S L

S L

2(2 2 2 2 2 2 ) 4 2( ) 4

2 2 2 8 8A a b a c b c ab ac bc AV a b c abc V

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + =→ = ⋅ ⋅ = =

a) Den stora lådans area är fyra gånger så stor som den lilla lådans area. b) Den stora lådans volym är åtta gånger så stor som den lilla lådans volym.

5213 Låt cylinder A t ex ha följande mått: r = 4 cm h = 5 cm

Volymen blir då 2 2 34 5 cm 80 cmV r hπ π π= = ⋅ ⋅ = 3 3

Då får cylinder B ha följande mått: r = 2 cm h = 10 cm

Volymen blir då 2 2 32 10 cm 40 cmV r hπ π π= = ⋅ ⋅ =

Svar: Cylinder B har mindre volym än cylinder B.

Vill du visa det generellt gör du så här: Cylinder A har radien r och höjden h. Cylinder B har då radien r/2 och höjden 2h. Volymen för cylinder A är V r . 2

A π= h

Volymen för cylinder B är 2 2 2

AB

222 4 2

Vr r h r hπ ππ = ⋅ = = = 2

V h .

Cylinder B har hälften så stor volym som cylinder A.

b

c a

B

C A



5214 Den yta som skall målas är mantelarean (”väggen”) och toppen (taket). Cisternen är 25 m hög och har en radie på 25 m. 1 liter färg täcker 10 m2, man skall måla två lager.

Den yta som skall målas är 2 2 2

vägg tak 2 (2 25 25 25 ) m 5890,5 mA A rh rπ π π π+ = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ≈ 2

Eftersom ytan skall målas två gånger måste detta svar fördubblas → 211781 m

Färgen skall alltså räcka till 11781 m2 11781 liter 1187,1 liter 1200 liter10

→ = ≈ .

Svar: Man behöver 1200 liter färg.

5215

3 3LÅDA

15,4 cm6,5 33,0 15,4 cm 3303,3 cm

cV abc=

= = ⋅ ⋅ =

2 2CYL

9,0 cm9,0 81

rV r h h hπ π π

=

= = ⋅ =

För att vattnet skall rymmas i cylindern måste VLÅDA = VCYL, det vill säga 381 3303,3 cm

3303,3 cm 12,98 cm 13 cm81

h

h

π

π

= →

= ≈ ≈

Svar: Cylinderns höjd måste vara minst 13 cm hög.


5217 Stapelns längd är 18 m och dess bredd är 3,0 m.

Stapelns medelhöjd är 1,51 1,70 1,49 1,62 1,73 1,68 1,56 1,57 1,43 1,59 m 1,588 m

10+ + + + + + + + +

≈

Stapelns volym är 18 3 33,0 1,588 m 85,752 m 86 m⋅ ⋅ ≈ ≈ 3

Svar: Vedstapelns volym är ca 86 m3.

5218, 5219 Se bokens ledning samt lösningen i facit 5220, 5221 Se facit. 5222, 5223

5224 Omvandla så att alla volymerna har samma enhet, t ex dm3

600 liter = 600 dm3, 0,45 m3 = 450 dm3, 500 000 ml = 500 liter = 500 dm3

Svar: 0,45 m3, 500 000ml, 560 dm3, 600 liter

6,5 cm33,0 cm

ab==

a

c h=?

r

Det är bra att kunna göra enhetsomvandling själv på det sätt som visas i exemplet på sidan 213.

b



5225 Tankens mått är 16 3 3 320 50 cm 1,6 2,0 5,0 dm 16 dm 16 liter⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =Svar: Tanken rymmer 16 liter

5226 Tanken rymmer 3,2 m3 = 3200 liter. Förbrukningen är 20 liter per dygn.

Innehållet räcker 3200 l 160 dygn20 l/dygn

=

Svar: Tankens innehåll räcker 160 dygn.


5228, 5229 Exempel som löses i boken. 5230 a) Konens basarea är 2rπ

I II

2 2 23,0 cm 3,0 cm 28 cmπ π= → = ⋅ ≈2 2 248 cm 48 cm 7238 cmπ π= → = ⋅ ≈

2

2

r rr r 2 7200 cm≈

b) Konens volym är 2

3r hπ

6,0 c90 cm

I II

2 2 33,0 cm, m / 3 3,0 6,0/3 cm 57 cmr h r hπ π= = → = ⋅ ⋅ ≈2 2 348 cm, / 3 48 90/3 cm 217147 cmr h r hπ π= = → = ⋅ ⋅ ≈

3

33 210000 cm≈

5231 r = 13 cm

Klotets volym beräknas med formeln 34

3rV π

=

24A r

Klotets area beräknas med formeln π=

33 3 34 13 cm 9202,8 cm 9200 cm 9,2 dm

3V π ⋅= ≈ ≈ = 3

2

2 2 2 24 13 cm 2123,7 cm 2100 cm 21 cmA π= ⋅ ≈ ≈ =

Svar: Klotets volym är 9200 cm3 och klotets area är 2100 cm2.

5232 r = 16 cm

Halvklotets area är ”hälften av klotets area” + ”basytan” (den plana ytan). 2

2 2 2 2 2 klot cirkel

4 3 3 16 cm 2413 cm 24 dm2 2

A rA A r rπ π π π= + = + = = ⋅ ≈ ≈ 2

Svar: Halvklotets area är ca 24 dm2.

5233 Se facit.

5234 a) Konens basarea är 2rπ I II

2 2 2 28,0 cm 8,0 cm 201 cm 200 cmπ π= → = ⋅ ≈ ≈2 2 2 230 mm 30 mm 2827 mm 28 cmπ π= → = ⋅ ≈ ≈

2

2

r r r r



b) Konens volym är 2

3r hπ

8,0 c60 m= =

I II

2 3 3 3 38,0 cm, m / 3 8,0 /3 cm 536 cm 540 cmr h r hπ π= = → = ⋅ ≈ ≈2 2 330 mm, m / 3 30 60/3 mm 56549 mm 57r h r hπ π→ = ⋅ ⋅ ≈ 3 cm≈ 3

5235 r = 8,0 cm

a) Hälften av klotets volym 3 3 3

3 34 3 2 2 8,0 cm 1072 cm2 3 3r rV π π π ⋅

→ = = = ≈

2 2 2 2 2 8,0 cm 201 cm 200 cmA rπ π→ = = ⋅ ≈ ≈

b) Arean för en cirkel

c) Hälften av klotets area 2

2 2 2 24 2 2 8,0 cm 402 cm 4002rA rπ π π→ = = = ⋅ ≈ ≈

2 2 2 2 22 3 3 8,0 cm 600A r r rπ π π π= + = = ⋅ ≈

24A r

2

2

cm

cm

d) Summan av areorna i b) och c)

5236 r = 673 mil Jordklotets area beräknas med formeln π=

2 2 2 2 6 2637 mil 5099044 mil 5100000 mil 5,10 10 milπ= ⋅ ≈ ≈ = ⋅

4A

Svar: Jordens area är ca 5,10 miljoner mil2. (OBS! Fel enhet i bokens facit)

5237 Diametern ä 8,4 cm r = 4,2 cm

Apelsinens volym beräknas med formeln 34

3rV π

=

33 34 4,2 cm 310 cm

3π ⋅

= ≈V

Svar: Klotets volym är 9200 cm3 och klotets area är 2100 cm2.

5238 r = 5,2 cm

Stålets densitet är 33 3 3

7,8 ton 7,8 1000 kg 7,8 1000000 g 7,8 g/cmm 1000000 cm 1000000 cm

⋅ ⋅= = =

Kulans volym beräknas med formeln 34

3rV π

=

33 34 5,2 cm 588,997 cm

3V π ⋅= ≈

Multiplicera volymen med densiteten för att beräkna hur mycket kulan väger. 37,8 4 7,8 588,997 g 4594 g 4,6 kg

3rπ⋅

→ ≈ ⋅ ≈ ≈

Svar: Kulan väger 4,6 kg

5239 Konens volym är

2

3r hπ

2 23 34,0 6,04,0 cm, 6,0 cm cm 101 cm 101 ml 10 cl

3 3r hr h π π ⋅ ⋅

= = → = ≈ = ≈

Svar: Glaset rymmer 10 cl.



5240 3,0 cm, 10 cmr h= = Glassen är sammansatt av en kon och ett halvt klot

Konens volym är2 2

3 33,0 10 cm 94,25 cm3 3r hπ π ⋅ ⋅

= ≈

Hälften av klotets volym 3 3 3

3 34 3 2 2 3,0 cm 56,55 cm2 3 3r rV π π π ⋅

→ = = = ≈

Totala volymen blir (94,25 + 56,55) cm3 ≈ 150,80 cm3 ≈ 150 cm3.

Svar: Glassens volym är 150 cm3 .


5242 Exempel som löses i boken.

5243 Tips: Det är oftast enklast att göra enhetsomvandlingarna före man beräkningarna.

Cylinderns mått omvandlas till mm för att få samma volymsenhet som droppen.

1. Cylinderns volym

24 mm 36 mm

rh==

2CYL

2

3

24 3620736 mm

V r hπ

π

π

=

= ⋅ ⋅

=

2. Droppens volym

r = 1,5 mm

Droppens volym 3

3 34 1,5 mm 4,5 mm3

V π π⋅= =

Cylindern rymmer 20736 20736 droppar droppar 4608 droppar 4600 droppar4,5 4,5

ππ

= = ≈

Svar: Cylindern rymmer 4600 droppar.


5245 Rymdkapseln är sammansatt av en kon och ett halvt klot Halvklotets diameter är 4,0 m radien är 2,0 m

den koniska delen är (5,0 − 3,0) m = 3,0 m lång.

2,0 m, 3,0 mr h= =

Konens volym är2 2

3 3 32,0 3,0 12 m m 4 m 12,566 m3 3 3r hπ π π π⋅ ⋅

= = = ≈ 3

Hälften av klotets volym 3 3 3

3 34 3 2 2 2,0 16m m2 3 3 3r rV π π π π⋅

→ = = = = 316,755 m≈

Totala volymen blir ( 3 3 312 16 28 m m 29,32 m 33 3 3

30 m( )π π π+ = ≈ ≈

Svar: Rymdkapselns volym är 30 m3 .

h

r



5246 Konens radie är 60 mm och höjden 90 mm.

Konens volym är2 2

3 360 90 mm 108000 mm3 3r hπ π π⋅ ⋅

= = .

Droppens radie är 1,5 mm

Volymen för en droppe är 3

3 34 1,5 mm 4,5 mm3

π π⋅=

Konen rymmer 108000 108000 droppar droppar 24000 droppar4,5 4,5

ππ

= =

Svar: Konen rymmer 24000 droppar.

5247, 5248, 5249 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5250 Exempel som löses i boken.

5251 a) Prismats basyta är

Prismats höjd är 4,8 cm Prismats volym är 11

2 25,6 4,0/2 cm 11,2 cm⋅ =3 3, 2 4,8 cm 53,76 cm 54 cm⋅ = ≈ 3

Svar: Prismats volym är 54 cm3.

b) Pyramidens basyta är 15 Pyramidens höjd är 18 cm Pyramidens volym är 120

2 216/2 cm 120 cm⋅ =3 318/3 cm 720 cm⋅ =

Svar: Pyramidenss volym är 54 cm3.

5252 a) Prismats basyta är en triangel med längden 3,6 cm och höjden 2,0 cm. Prismats basyta är 2 23,6 2,0/2 cm 3,6 cm⋅ =

Svar: Prismats basyta är 3,6 cm2.

b) Prismats höjd är 4,0 cm Prismats volym är 3 3 3,6 4,0 cm 14,4 cm 14 cm⋅ = ≈ 3

Svar: Prismats volym är 14 cm3.

5253 a) Pyramidens basyta är en rektangel med längden 16 cm och höjden 8 cm. Pyramidens basyta är 2 216 8 cm 128 cm 130 cm⋅ = ≈ 2

Svar: Pyramidens basyta är 130 cm2.

b) Höjden är 9 cm Pyramidens volym är 128 3 3 39/3 cm 384 cm 380 cm⋅ = ≈Svar: Pyramidens volym är 190 cm3.

5254 Se figuren i facit.

Tältets volym är 3

Bh=V , där B är basarean och h är höjden.

2 23 32,80 2,80 m 2,80 1,80 m 4,7 m

31,80 mB

Vh

= ⋅ ⋅→ = ≈

=

Svar: Tältets volym är 4,7 m3.



5255 Toppens volym är TOPP 3

Bh=V , där B är basarean och h är höjden.

2 23

TOPP1, 4 1, 4 dm 1, 4 1,15 dm

31,15 dmB

Vh

= ⋅ ⋅→ =

=

Lådans volym är V 3LÅDA 1,4 1,4 1,6 m= ⋅ ⋅

Holkens totala volym är 1 3 2 3 3, 4 1,4 1,6 dm 1,4 1,15/3 dm 3,9 dm 3,9 liter⋅ ⋅ + ⋅ ≈ =

Svar: Holken rymmer (tom) 3,9 liter luft (om givna mått är innermått).

5256, 5257 Se bokens ledning samt lösningen i facit.

Kapitel 5.3


5302 Vinkelsumman i en triangel är 180 . a) V b) inkel 180 80 40 60C = − − = Vinkel 180 120 25 35E = − − =

5303 Vinkelsumman i en rektangel är 360a) V inkel 360 106 2 62 130A = − − ⋅ =b) Vinkel 360 100 70 110 80M = − − − =

5304 a) 1 08 30 138+ =b) eller v Vinkel 180 138 42B = − = inkel 180 108 30 42B = − − =

5305 a) 2 114 44 272⋅ + =b) eller v Vinkel 360 272 88D = − = inkel 360 2 114 44 88D = − ⋅ − =

5306 180 55 27 98x = − − = Svar: Man ser sträckan AB under synvinkeln . 98

5307 Vinkelsumman i en rektangel är 360Vinkel 360 84 2 118 40A = − − ⋅ = Svar: Vinkeln vid drakens svans är . 40

5308 Ta kontakt med din lärare om du vill diskutera din lösning.

5309 En trubbig vinkel är större än . Det betyder att summan av två trubbiga vinklar blir större än 180 . Eftersom en triangel har vinkelsumman 180 kan det bara finnas en trubbig vinkel i en triangel.

90

En rektangel kan ha två trubbiga vinklar, se t ex figurerna i uppgift 5303.

5310 Se bokens ledning samt lösningen i facit




5312 a) v 28 22 50= + =b) 105 60 45v = − =

5313 a) v 33 49 82= + =b) 137 25 112v = − =

5314 47 18 29x = − = Svar: Båten syns från fönstret under höjdvinkeln 29 OBS! I bilden står det x , därför tas inte gradtecknet med i uträkningen

5315, 5316 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5317 Exempel som löses i boken.

5318 Vinkelsumman i en triangel är 180 .

a) V inkel 180 2 70 40A = − ⋅ =

b) 180 38Vinkel Vinkel 712

E F −= = =

5319 Vinkelsumman i en triangel är 180 . Vinkel Vinkel 38 Vinkel 180 2 38 104M L K= = → = − ⋅ =

5320 Vinkelsumman i en triangel är 180 . a) V b) inkel 180 90 23 67C = − − = Vinkel 180 90 59,3 30,7K = − − =

5321 En rätvinklig triangel är likbent om de två andra vinklarna är 180 90 45

2−

=

5322 Om vinkeln A är rät i en triangel ABC är vinkelsumman för vinklarna B och C 90

a) 3 4 66 100 90+ = ≠Svar: Triangeln är inte rätvinklig

c) 42,5 48,5 91 90+ = ≠Svar: Triangeln är inte rätvinklig

b) 1 7 73 90+ =Svar: Triangeln är rätvinklig

d) 9 ,1 80,9 90+ =Svar: Triangeln är rätvinklig

uz

Vinkeln u ligger utanför triangeln. En vinkel som ligger på detta sätt har en speciell benämning: yttervinkel. Yttervinkeln u är alltid lika stor som summan av vinklarna z och w.

u = z + ww



5323 Vinkelsumman i en triangel är 180 högst en trubbig vinkel i triangeln. →a) 2 25 130 180⋅ + = Svar: Triangeln är likbent

c) 2 35 115 185 180⋅ + = ≠ Svar: Triangeln är inte likbent

b) 2 45 80 170 180⋅ + = ≠ 2 80 45 205 180⋅ + = ≠ Svar: Triangeln kan inte vara likbent.

d) 2 38 104 180⋅ + = Svar: Triangeln är likbent

5324 a) Basvinklarna är 180 24 78

2−

=

b) Basvinklarna minskar med totalt . För att triangeln skall fortsätta vara likbent måste ändringen vara lika stor för båda vinklarna, dvs

66 / 2 3=

c) Om de två basvinklarna ökar 6 vardera blir den totala ökningen 12 . Därför måste toppvinkeln minska 12 eftersom triangelns vinkelsumma är konstant.

5325 Se facit.


Låt vinkeln vid triangelns spetsvara . En basvinkel är då uu 9+

Vi har alltså 2( 9) 180

3 18 18054 9 63

u uu

u u

+ + =+ == → + =

Svar: Triangelns vinklar är 54 , 63 och 63


a) Basvinkeln är 180

115 65− =5 50⋅ =180 2 6x = −

Svar: Vinkeln är

50

b) Med hjälp vad vi vet om yttervinkeln från detta facit till uppgift 5311 ser vi att 2 110 55x x= → =

Svar: Vinkeln är 55

5328, 5329 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5330 Exempel som löses i boken.

5331 Ett halvt varv är 180 . a) 2 180

3 18060 2 120

x xx

x x

+ =

=

= → =

Svar: Vinklarna är 60 och 120

b) 42 1802 138

69 42 111

x xx

x x

+ + =

=

= → + =





a) 16 58 1802 180 58 16

53 16 69

x xx

x x

+ + + =

= − −

= → + =

Svar: Vinklarna är 53 , 58 och 69

b) 2 2 1805 180

36 72

x x xx

x x

+ + =

=

= → =


5333 Vinkelsumman i en rektangel är 360

a) 100 108 2 3602 152

76

xx

x

+ + =

=

=

Svar: 76 , 76 , 100 och 108

b) 80 70 20 90 3602 300 150

80 70 och 20 130

x xx x

x x

− + + − + =

= → =

→ − = − =

Svar: 70 , 70 , 90 och 1305334 Ett halvt varv är 180 .

a) 4 1805 180

36 4 144

x xx

x x

+ =

=

= → =


b) 26 1802 26 180

77 26 103

x xx

x x

+ + =

+ =

= → + =



a) 80 45 180180 12555

xxx

+ + =

= −

=

Svar: Vinkeln x är 55

b) 90 35 180180 12555

xxx

+ + =

= −

=



a) 20 50 1802 180 50 20

55 20 75

x xx

x x

+ + + =

= − −

= → + =


b) 2 93 1803 180 93 87

29 2 58

x xx

x x

+ + =

= − =

= → =


5337 Vinkelsumman i en rektangel är 360

a) 105 115 10 3602 360 230 130

65

x xx

x

+ + + + =

= − =

=

Svar: 65 , 75 , 105 och 115

b) 82 58 3602 360 82 58 220

110

x xx

x

+ + + =

= − − =

=

Svar: 58 , 82 , 110 och 110



5338 Vinkelsumman i en triangel är 180 . Se även uppgift 5311

a) 3 15 1805 180 15 165

33

x x xx

x

+ + + =

= − =

=


b) 1242 124

62

x xx

x

+ =

=

=


5339 Vinkelsumman i en triangel är 180 . Se även uppgift 5311

a) Vinkel B är 2x. 2 75

3 7525 2 50

x xx

x x

+ =

=

= → =

Svar: Vinkeln B är 50

b) Vinkel B är x. 94 32 94

47

x xx

x

+ =

=

=

Svar: Vinkeln B är 47

5340 Låt den vinkeln vid triangelns topp vara x. Basvinkeln är då 2x. 2 2 180

5 18036 2 72

x x xx

x x

+ + =

=

= → =

Svar: Triangeln vinklar är 36 . Se figuren i facit. , 72 och 72

5341 4 5 6 18015 180

12 4 48

x x xx

x x

+ + =

=

= → =

Svar: Triangelns minsta vinkel är . Se figuren i facit. 48

5342, 5343 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5344 a) 40 110 50x x+ = → =

b) 30 3 2 30 15x x x x+ = → = → =



5347 Bågen är 50 5360 36

= av omkretsen., omkretsen är 2 rπ , r = 2,5 cm

Bågens längd är 5 10 252 cm .36 36 36

rr 2,18 cmπ ππ⋅ = = ≈

Svar: Bågens längd är 2,2 cm



b) Sektorn är 50 5

360 36= av arean., arean är 2A rπ= , r = 2,5 cm

Sektorns area är 25 5 2,5 c m .

36 36r ππ ⋅

⋅ =2 2m 2,73 c≈ 2

Svar: Sektorns area är 2,8 cm2.

5348 Sektorn är 72 1

360 5= av hela cirkeln.,

Omkretsen för en cirkel är 2 rπ , Arean för en cirkel är 2A rπ= , r = 12 cm

Bågens längd är 1 2 242 cm 4,8 cm 15,08 cm.5 5 5

rr π ππ π⋅ = = = ≈

(12 12 4,8 ) cm 39,08 cm 39 cm

Sektorns omkrets är π+ + ≈ ≈

Sektorns area är 2

2 21 12 cm 90,48 cm .5 5

r ππ ⋅⋅ = ≈ 2

Svar: Sektorns omkrets är 39 cm och sektorns area är 90 cm2.

5349 a) Bågen är 38

360 av omkretsen., omkretsen är 2 rπ , r = 6,2 cm

Bågens längd är 38 76 76 62 4,11 cm.360 360 360

rr , 2 cmπ ππ ⋅⋅ = = ≈

Svar: Bågens längd är 4,1 cm

b) Sektorn är 38360

av arean., arean är 2A rπ= , r = 6,2 cm

Sektorns area är 2

2 2, 2 cm 238 38 6 12,75 cm .360 360

r ππ ⋅⋅ = ≈

Svar: Sektorns area är 13 cm2.

5350 a)

2 4,5 4,5 360 52360

2 5,05,0

v rv

r

ππ

⋅ = ⋅→ = ≈ ⋅=

Svar: Medelpunktsvinkeln är 52

b)

2

2

16204,510 11 cm

2360

v rAvA r

π

π

= → = ≈

= ⋅

Svar: Cirkelsektorns area är 11 cm2.

5351, 5352, 5353 Se bokens ledning samt lösningen i facit.



Kapitel 5.4

5401, 5402, 5403 Exempel som löses i boken

5404 Se facit. a) Exempel:

Ett föremål som är 1 cm i verkligheten är 1 1 cm 0,02 cm 0,2 mm50

⋅ = = på bilden.

Ett föremål som är 20 m i verkligheten är 1 20 m 0,4 m50

⋅ = på bilden.

b) Exempel:

Ett föremål som är 1 cm i verkligheten är 8 1⋅ cm på bilden. Ett föremål som är 52 mm i verkligheten är 8 52 mm 416 mm 42 cm⋅ = ≈ på bilden.

5405 Se facit.

5406 a) Eiffeltorns

b) Eiffeltorns

5407 Skottkärremod

dvs den riktiga

40 4,5 cm 1⋅ =

Svar: Skottkä

5408 Se facit och up

5409 Racketen är 17

a) 17 4 cm⋅b) 17 4 cm⋅ = Svar: Rack

5410 Se facit.

5411 Skala 2:1 bety

Verklighetens

Svar: Tärning

Skalan uttrycks som bild : verklighet

om förstoringx y> →

© NATIONELLT CENTRUM F

x

modellen blir 1 300 m 3 m100

⋅ = hög.

modellen blir 1 300 m 0,6 m500

⋅ = hög.

ellen är 140

av verklighetens skottkärra,

skottkärran är 40 gånger större än modellen.

80 cm 1,8 m=

rran är 1,8 m i verkligheten

pgift 5405.

gånger större i verkligheten än på bilden

68 cmeten är 68 cm i verkligheten.

der att bilden är 2 gånger större än verkligheten.

tärning är hälften så stor som bildens, dvs 1,5 cm/2 = 0,75 cm.

ssidan är i verkligheten 0,75 cm.

x : y kan tolkas y

om förminskningx y< →

ÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002


5412 Skala 1:5 betyder att bildens längd är 1

5 av verklighetens längd.

Verklighetens boll är fem gånger så stor som bildens, dvs 5 4,9 cm 24,5 cm⋅ = .

Svar: Bollens diameter är i verkligheten 24,5 cm.

5413 Se facit.

5414, 5415 Exempel som löses i boken. 5416 Längd i verkligheten: 24 mm

Skala är bild : verklighet

a) Längd i bild: 12 mm 12 112 : 24 1: 224 2

= = =

Svar: Skalan är 1:2

5417 Längd i verkligheten: 8,5 mm Skala är bild : verklighet

a) Längd i bild: 34 mm 34 434 :8,5 4 :18,5 1

= = =


5418 Skala är bild : verklighet

Längd i bild: 5 cm Längd i verkligheten: 175 cm

5 15 :175 1: 35175 35

= = =

Svar: Skalan är 1:35.

5419 Skala är bild : verklighet

Längd i bild: 76 mm Längd i verkligheten: 19 mil = 190 km

7676 :190 000 000190 000 000 2 5

= =

Svar: Skalan är 1:2 500 000

5420, 5421 Exempel som löses i boken. 5422 50000 35 mm 1750000 mm 1750⋅ = =

Svar: Det är 1,8 km mellan Björkudd


Till skalor används endast heltal

b) Längd i bild: 48 mm 48 248 : 24 2 :124 1

= = =


b) Längd i bild: 1,7 mm 1,7 11,7 :8,5 1: 58,5 5

= = =


= 190 000 m = 190 000 000 mm 1 1: 2 500 000

00 000=

m 1,75 km 1,8 km= ≈ en och Granbo.

Det måste vara samma längdenhet för bilden och verkligheten för att man skall få rätt skala.

02


5423

1 2400 m 0,048 m 4,8 cm50000

⋅ = =

Svar: På kartan är det 4,8 cm mellan Enbacken och Granbo.

5424 200000 6,5 cm 1300000 cm 13000 m 13 km⋅ = = = Svar: Dagsetappen var 13 km.

5425 I verkligheten är detaljen . 3 72 mm 216 mm⋅ =

På den andra ritningen är detaljen 1 216 mm 54 mm4⋅ =

Svar: Detaljen är 54 mm på en ritning i skala 1:4.

5426 Höjden mäts på bilden till 25 mm. Skalan är 1:30. Räcket skall vara minst 1000 mm högt i verkligheten.

I verkligheten är räcket 30 25 mm 750 mm⋅ =750 mm < 1000 mm

Svar: Räcket är inte tillräckligt högt eftersom det är lägre än 1000 mm. 5427 Se bokens ledning samt lösningen i facit.


a) Sidan DE c) Sidan EF 5429

b) 8 24= Svar: 2 gångers förstoring. d) 2 2 4x = ⋅ =

5430 a) 6 215 9 3

2 15 103

x

x

= =

⋅= =

Svar: 10x =

b) 30 512 18 3

5 12 203

x

x

= =

⋅= =

Svar: 20x =

c) 58 4

5 8 104

x

x

=

⋅= =

Svar: 10x =

5431 a) 10 512 8 4

5 12 154

x

x

= =

⋅= =

Svar: Sidan är 15 cm.

b) 30 518 24 4

5 18 22,54

x

x

= =

⋅= =

Svar: Sidan är 22,5 cm.

5432 20 215 30 3

2 15 103

x

x

= =

⋅= =

30 320 2

3 17 25,5 262

y

y

= =

⋅= = ≈

17

Svar: Sidan 10x = cm och sidan 26y ≈ cm.



5433 21,10,7 0,82

21,1 0,7 180,82

x

x

=

⋅= ≈

Svar: Flaggstången är 18 m hög.

5434, 5435 Se bokens ledning samt lösningen i facit. 5436, 5437 Exempel som löses i boken. 5438 a) längdskalan är 2:3 (bild : verklighet)

b) areaskalan = längdskalan2 2 2

2

2 23 3

= =

c) volymskalan = längdskalan3 3 3

3

2 23 3

=

5439 a) Den stora triangelns bas är 12,0 3

4,0= gånger stö

det vill säga längdskalan är 3:1

areaskalan = längdskalan2 = 23 9 9 :1

1 1 = =

Arean i den stora triangeln är 29 5,0 cm 45 c⋅ = Svar: Den stora triangelns area är 45 cm2.

b) Den lilla rektangelns bas är 2,0 0,45,0

= av den

det vill säga längdskalan är 2:5

areaskalan = längdskalan2 = 22 4 0,1

5 25 = =

Arean i den lilla rektangeln är 0 2,16 10,0 cm⋅ = Svar: Den lilla rektangelns area är 1,6 cm2.

5440 Samma typ av uppgift 5439a).

T2 är avbildningen. Den längsta sidan i T2 är 15/45 = 1/3 av motsvaraLängdskalan är 1:3 areaskalan är 1:9

Arean för T2 är 756 cm2/9 = 84 cm2.

Svar: Arean av T2 är 84 cm2.


Till skalor används heltal

4 4 : 99= Areaskalan är 4:9

8 8 : 2727

= = Volymskalan är 8:27

rre än den lilla triangelns bas,

2m

lilla triangelns bas,

6

21,6 cm

nde sida i T1.


5441 a) Det stora rätblockets kant är 8,0 2

4,0= gånger större än det lilla rätblockets

motsvarande kant, det vill säga längdskalan är 2:1

volymskalan = längdskalan3 = 32 2 2 2 8 :1

1 1 1 1⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

Volymen för det stora rätblocket är 8 2 3 30,0 cm 160 cm⋅ =

Svar: Det stora rätblockets volym är 160 cm3.

b) Det lilla prismats kant är 3,0 1,0 0,2512,0 4,0

= = av det stora prismats


volymskalan = längdskalan3 = 31 1 1 1 1: 64

4 4 4 4⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

Volymen för det stora prismat är 3 31 320,0 cm 5,0 cm64

⋅ =

Svar: Det stora prismats volym är 5,0 cm3.


5443 Det stora prismats kant är 12 4

9 3= gånger så stort det lilla prismats


volymskalan = längdskalan3 = 34 4 4 4 64 : 27

3 3 3 3⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

Volymen för det stora kärlet är 64 1,08 liter 2,56 liter 2,6 liter27

⋅ = ≈

Svar: Det stora kärlets volym är 2,6 liter.


Kapitel 5.5

5501, 5502 Exempel som löses i boken. 5503 a) kvadraten på 5,7 skrivs 5 . Beräkningen är 52,7 ,7 5,7⋅ .

25,7 32,49=

b) kvadraten på 0,41 skrivs . Beräkningen som skall göras är . 20, 41 0,41 0,41⋅

20, 41 0,1681=

Om du har en miniräknare med x2-knapp trycker du 5,7 för att beräkna 5,72 x2



a) 35 När du räknar med miniräknare behöver du inte ta med det led som står inom parentes.

2 246 (1225 2116) 3341+ = + =

c) 94

2 227 (8836 729) 8107− = − =5504

b) 86 2 257 10645+ = d) 345 2 2145 98000− =

5505 Hypotenusan i kvadrat är 250 2500=Summan av kvadraterna på kateterna är 2 248 14 2500+ =

Eftersom hypotenusan i kvadrat är lika med summan av kvadraterna på kateterna stämmer Pythagoras sats.

5506 Hypotenusan i kvadrat är 10 2 100=Summan av kvadraterna på kateterna är 8 2 26 100+ =Pythagoras sats stämmer.

5507 a) 2 2

2

5 6 61 61 64

8 64

+ = ≠ →=

Triangeln är inte rätvinklig.

b) 2 2

2

5 12 169 169 169

13 169

+ = = →=

Triangeln är rätvinklig.

a) 5 5 2 5 2= ⋅ = 5 c) 12 2,5 12,5 12,5 156,25= ⋅ =5508

b) 7, 21 7,1 7,1 50,41= ⋅ =

d) 20,55 0,55 0,55 0,3025= ⋅ =

5509 a) 17 2 17 17 289= ⋅ =b) 13 c) 17

2 13 13 169= ⋅ =2 213 289+ = 169 458+ =

5510 Se facit och lösningen till uppgift 5504. Kontakta din lärare om du behöver hjälp.

a) 2 2

2

11 25 746 746 841

29 841

+ = <=

c) 2 2

2

15 28 1009 1009 1681

41 1681

+ = <=

5511

b) 2 2

2

96 70 4316 4316 3364

13 3364

− = >=

d) 2 2

2

134 39 16435 16435 14400

120 14400

− = >=

5512 a) Hypotenusan i kvadrat är 15 . 2 225=

Summan av kvadraterna på kateterna är . 2 29 12 225+ =Pythagoras sats stämmer.

c) Hypotenusan i kvadrat är . 229 841=Summan av kvadraterna på kateterna är

. 2 220 21 841+ =Pythagoras sats stämmer.



b) Hypotenusan i kvadrat är . 212,5 156,25=

Summan av kvadraterna på kateterna är 12 . 2 2,0 3,5 156,25+ =Pythagoras sats stämmer.

d) Hypotenusan i kvadrat är . 220,8 432,64=

Summan av kvadraterna på kateterna är . 2 219,2 8,0 432,64+ =

Pythagoras sats stämmer.

a) 2 2

2

7 19 410 410 441

21 441

+ = ≠ →=

Triangeln är inte rätvinklig.

c) 2 2

2

9 40 1681 1681 1681

41 1681

+ = = →=


5513

b) 2 2

2

12 16 400 400 400

20 400

+ = = →=


d) 2 2

2

2 2 8 8 9

3 9

+ = ≠ →=

Triangeln är

inte rätvinklig.

5514 Triangeln är rätvinklig. Det betyder att Pythagoras sats gäller. Hypotenusan i kvadrat är 160 2 25600=

Lisas resultat ger 101 2 2128 26585+ =Tommys resultat ger 94 2 2128 25220+ =Anns resultat ger 96 vilket är lika med hypotenusan i kvadrat. 2 2128 25600+ =

Svar: Ann har bestämt avståndet korrekt.

5515 Detta kan även visas generellt. Triangeln är rätvinklig, då gäller att 2 2a b+ = . I uppgiften är . 4 , 3 och 5a x b x c= = = x

2x

2

2

Kvadraten på hypotenusan är 2 2(5 ) 5 5 25c x x x= = ⋅ = .

Summan av kvadraterna på kateterna är 2 2 2 2 2 2(4 ) (3 ) 16 9 25a b x x x x x+ = + = + = .

Vi har alltså att 225 25x x= . Det är sant för alla värden på x.

5516, 5517 Exempel som löses i boken. 5518, 5519, 5520, 5521 Se exemplen 5516 och 5517. 5522, 5523, 5524, 5525 Kontakta din lärare om du 5526, 5527, 5528 behöver mer hjälp med detta. 5529 a) 2

2

2

8 1717 8 9

93

xx

xx

+ =

= − =

==

b) 2

2

2

24 2525 24 49

497

xx

xx

− =

= + =

==

2cc

a

b

På de flesta moderna miniräknaretrycker man först -knappen, sedan matar man in det tal man skall bestämma kvadratroten till.



5530 a) 2

2

2

15 1015 10 25

255

xx

xx

= −

= + =

==

b) 2

2

2

100 64100 64 36

366

xx

xx

= +

= − =

==

5531 a) 2 2 2

2

2

6 836 64 100

10010

xx

xx

= +

= + =

==

b) 2 2 2

2 2 2

2

17 817 8 225

22515

xx

xx

= +

= − =

==

5532 Se facit.

5533 a) 2

2

2

1 4949 1 50

507,07

xx

xx

− =

= + =

=≈

b) 2

2

2

86 486 4 90

909,47

xx

xx

= −

= + =

=≈

5534 a) Kvadrater på följande heltal ligger mellan 100 och 200: 11 ( , 12 ( , 13 ( och 14 . 211 121)= 212 144)= 213 169)= 2(14 196)=

b) Kvadratrötterna av följande heltal ligger mellan 10 och 20: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324 och 361.

5535 Löses enklast med miniräknare men man kan lösa det genom lite tankearbete. Eftersom måste roten ur 73 vara större än 8 men mindre än 9. 8 8 64 73 och 9 9 81 73⋅ = < ⋅ = >

Svar: 73 ligger mellan 8 och 9.

5536 Sätt in värdet på x i formeln för y. 14 14 31 77,95 7831

y x yx

= → = ≈ ≈=

Svar: Bilens hastighet var 78 km/h.

5537 a) Arean är x2 cm2.

2 47,5

6,892xx

=≈

Svar: Sidan är 6,89 cm lång.

b) Omkretsen är 4x cm. 4 4 47,5 27,57x = ≈ Svar: Omkretsen är 27,6 cm.


x

Arean 47,5 cm2 x



5541, 5542 Exempel som löses i boken. 5543 Trianglarna är rätvinkliga. Därför kan Pythagoras sats användas för att lösa uppgifterna.

a) 2 2 2

2

2

20 15400 225 625

62525

xx

xx

= +

= + =

==

c) 2 2 2

2

2

3,1 9,79,61 94,09 103,7

103,710,2

xx

xx

= +

= + =

=≈

b) 2 2

2

2

12,0 13,0144 168 313

31317,7

xx

xx

= +

= + =

=≈

2

d) 2 2 2

2

2

10,2 10,2104,04 104,04 208,08

208,0814,4

xx

xx

= +

= + =

=≈

5544 Se facit.

5545 2 2

2

2

20,0 21,0400 441 841

84129

xx

xx

= +

= + =

==

2

Svar: Hypotenusan är 29 m lång.

5546 a) 2 2 2

2

2

150 8022500 1600 28900

28900170

dx

xx

= +

= + =

==

Svar: Diagonalen är 170 cm lång.

b) 2 2 2

2

2

4,1 6,716,81 44,89 61,70

61,707,854

xx

xx

= +

= + =

=≈

Svar: Diagonalen är 7,9 dm lång.

5547 Se facit. Man går 7 rutor (motsvarar 7 cm) i sidled och 3 rutor vinkelrätt i höjdled för att komma från A till B.

5548 Det är vinkel mellan rakt norrut och rakt österut. 90Avståndet mellan Britta och Anders är x m.

2 2 2

2

85 92 15689

15689125

x

xx

= + =

=≈

Svar: Avståndet mellan Britta och Anders är 125 m.



5549 Fågelvägen är det x m till toppen. 2 2 2

2

1250 420 1738900

17389001318,7 1320

x

xx

= + =

=≈ ≈

Svar: Fågelvägen till toppen är 1320 m.


a) 2 2 2

2 2 2

2 2

4 55 4

5 43

xx

xx

+ =

= −

= −=

Svar: Kateten är 3 cm.

c) 2 2

2 2

2 2

12 1313 12

13 125

xx

xx

+ =

= −

= −=

2

2


5551

b) 2 2 2

2 2

2 2

6 1010 6

10 68

xx

xx

+ =

= −

= −=

2

Svar: Kateten är 8 mm.

d) 2 2

2 2

2 2

24 2525 24

25 247

xx

xx

+ =

= −

= −=

2

2

Svar: Kateten är 3 m.

5552 Sträckan BC är x m. 2 2

2 2

2 2

720 840840 720

840 720432,7 430

xx

xx

+ =

= −

= −≈ ≈

2

2

Svar: Det är 430 m mellan B och C.

5553 Se facit. I en rätvinklig triangel måste det finnas en vinkel som är . 90

5554 Den okända kateten är x cm. 2 10 26

26 104

x

xx

+ =

= −=


Det sparar tid och knapptryckningar på miniräknaren att direkt kunna beräkna till exempel 27,5 2,7−

2 22,7−

2 utan att först räkna ut vad är. 7,5För att det skall bli rätt räknat behövs parenteser runt uttrycket under rottecknetTryck alltså ( 7,5 2x − 2,7 2x )



5555 Kortaste vägen mellan två punkter (i ett plan) är en rät linje (fågelvägen), i detta fall hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängderna 120 m respektive 40 m.

Tillbakavägen är x m. Totalt simmar hon . (120 40 ) mx+ +

2 2 2

2 2

120 40

120 40 120 40 287 290127

x

x xx

= += + → + + ≈ ≈≈

Svar: Ingrid simmar 290 m.


5557 Den del av stammen fällts motsvaras av hypotenusan i en rätvinklig triangel med katetlängderna 1,4 m respektive 14,5 m. Denna del av stammen är x m lång. Trädet totala höjd var (1, 4 )x+ m.

2 2 2

2 2

1, 4 14,5

1,4 14,5 1,4 14,57 1614,57

x

xx

= += + → + ≈≈

Svar: Trädet var 16 m högt.


Kapitel 5.6


Förstå problemet: 5602

Vad frågar man efter? Vilka fakta finns? Uppskatta burkens volym:

Burkens volym efterfrågas. Burkens höjd och burkens rymddiagonal. 30 cm hög och 34 cm rymddiagonal är som en liten hink, ca 5-8 liter

Att ha en bra strategi för att lösa problem är viktigt och det gäller inte bara inom matematikens område. Tag för vana att använda denna stegmetod i så stor utsträckning som möjligt, det vinner du på i längden.

1. Förstå problemet 2. Gör upp en plan 3. Följ din plan

Kontrollera ditt svar (är det orimligt börjar du om vid steg 2)



Gör upp en plan: Tänk: Skriv: Rita: Det finns en formel för en cylinders volymV . 2rπ= h

Volymen V: ? cm3

Eftersom burkens radie inte finns given i problemet måste den bestämmas på något sätt.

Höjden h: 30,0 cm Diagonalen D: 34,0 cm Diametern d: ? cm

Med hjälp av Pythagoras sats kan diametern räknas ut och därmed även radien (som ju är hälften av diametern). När radien har räknats ut kan volymen beräknas.

2 2 2

2 2

2 2

2 2

D d h

d D h

d D hr

= +

= −

−= =

Följ din plan: Beräkna radien: 2 234 30 cm 8 cm

2r −= =

Beräkna volymen: 2 2 3 38 30 cm 6032 cm 6,0 dmV r hπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ≈ 3

Kontrollera svaret: Volymen uppskattades till mellan 5 och 8 liter och beräknades till 6,0 liter. Eftersom det var god överensstämmelse mellan det uppskattade (förväntade) resultatet och det beräknade är vi nöjda och behöver inte göra någon ny plan.

5603 Förstå problemet: Områdets area skall beräknas. Uppskatta svaret: Halvcirkeln ser ut att vara något mindre än triangeln. Totalarean bör därför vara mer än för en triangel men mindre än arean för två trianglar.

Gör upp en plan: Området kan delas in i två delar: en triangel och en halvcirkel .

TOTAL TRIANGEL HALVCIRKELA A A= + där 2

TRIANGEL HALVCIRKEL och 2 2

bh rA A π= =

För att använda formlerna för triangelns area måste man veta basens och höjdens längd, för att använda formel för halvcirkelns area måste man veta radien eller diametern. Triangelns höjd h är lika med halvcirkelns diameter, fås med hjälp av Pythagoras sats. Följ din plan:

2 2 TRIANGEL

2 22 2

2 2 HALVCIRKEL

2 TOTAL TRIANGEL HALVCIRKEL

15 8 cm 60 cm2 217 15 cm 8 cm

4 cm 25 cm2 2

85 cm

bhAh

rA

A A A

π π

⋅ = = == − = → ⋅ = = ≈

= + ≈

h D

d



Kontrollera ditt svar: Den beräknade arean ligger i intervallet 60-120 cm2 som vi förväntade oss.

5604 Förstå problemet: Beräkna totala arean. Arean kan delas in enligt figuren till höger. Resultatuppskattning: Arean är mellan 15h och 25h.

Gör upp en plan: Det finns en formel för parallelltrapetsets area.

( )2

a b hA += där a = 15 cm och b = 25 cm (5+15+5)cm

Höjden h cm kan beräknas med Pythagoras sats. 2 2 2 213 5 13 5h h= + → = − 2

Följ din plan: 2 2

2 2

13 5 cm 12 cm(15 25) 12 cm 240 cm

2

h

A

= − =+ ⋅

→ = =

Kontrollera ditt svar: 15h = 180 < 240 < 25h = 300. Svaret ligger i det intervall vi förväntade oss.

5605 Förstå problemet: Räkna ut hur lång tid det tar att gå runt fältet. Camilla går med hastigheten 75 m/min. Uppskattning av resultatet: Omkretsen är ca 1 km vilket tar ca en kvart

Gör upp en plan: 1. Räkna ut den sneda sidan x med hjälp av Pythagoras sats. 2. Räkna ut figurens omkrets (summan av sidlängderna).

3. Räkna ut tiden med formeln stv

=

där t är tid, s är sträcka och v är hastigheten.

Följ din plan: 1. ”Överhänget” på fältets övre kant = triangelns bas = 80

m. 2 2 2 2 2150 80 150 80 170x x= + → = + = .

2. Omkretsen är ( . 150 405 170 325) m 1050 m+ + + =

3. 1050 min 14 min75

stv

= = =

Kontrollera ditt svar: Svaret 14 min stämmer väl med uppskattningen.


5 15 5

13 13h

(cm) 15

405

(m)

x 150

325

h



5607 Sökt: Burkens volym Känt: d = 3,00 dm Mantelarea = 18,0 dm2

Användbara formler: MANTEL

22

CYLINDER

2

4

A rh

d hh

π π

π

= =

= =

Kombinera ihop formlerna ovan 3 3 MANTEL 18,0 3,00 dm 13,5 dm

4 4A d ⋅

= =

Svar: Burkens volym är 13,5 dm3.

5608 Den höga, smala burken har radien r och höjden 2h . 2 2HÖG 2 2V r h rπ π→ = ⋅ = h

r hDen låga, breda burken har radien 2r och höjden h . 2 2 LÅG (2 ) 4V r hπ π→ = =

24 r hπ är dubbelt så mycket som det vill säga 22 r hπden låga burken rymmer dubbelt så mycket sylt som den höga burken.

5609, 5610 Se förklaringen i bokens facit. Kontakta din lärare om du vill ha mer hjälp. 5611, 5612, 5613, 5614, Se bokens ledning samt lösningen i facit 5615, 5616, 5617

h

d

dh

V rπ

CYLINDERV→ =

Kapitel 5.7


5702, 5703, 5704, 5705, 5706, Se facit. Kontakta din lärare om du behöver hjälp. 5707 a) H, M, O, T, U, V, W, X, Y, Å, Ä, Ö (och A)

b) C, D, E, H, I, K, X (och B)

5708, 5709, 5710, 5711, 5712, 5713, 5714 Se facit. Kontakta din lärare om du behöver hjälp.

a) 47 3,61513

≈ c) 55 0,618

89≈ 5715

b) 68 0,88377

≈ d) 89 1,618

55≈

5716 I en gyllene rektangel är förhållandet mellan långsidan och kortsidan 1,618:1

Förhållandet mellan Parthenons långsida och kortsida är 29,6 1,618 1,618 :118,3 1

≈ = .



a) 15 1,25 1,25 :112 1

BCAB

= = =

Ej gyllene rektangel

c) 93 1,899 :149

BCAB

= ≈

Ej gyllene rektangel

5717

b) 55 1,618 1,618 :134 1

BCAB

= ≈ =

Gyllene rektangel

d) 144 1,618 :189

BCAB

= ≈

Gyllene rektangel

5718

AB är 1,0 längdenhet. BM = MF som är 0,5 längdenhet MP är lika lång som MC

Triangeln MFP är rätvinklig, därför kan Pythagoras sats användas

2 2 2r 1,0 0,5 1,2

1,25r

= + =

=

5

Sträckan MC är 1, 25 längdenheter.

Sträckan BC är 0,5 1, 25+ längdenheter

BC 0,5 1,25 1,618 :1AB 1

+= ≈

dvs det gyllene snittets proportioner.

5719 Förhållandet mellan ett A4-arks långsida och kortsida är 297 1,414 :1

210≈ .

För att få förhållandet 1,618:1 måste kortsidan bli mindre (eftersom långsidan inte kan öka i detta fall). Antag att kortsidan skall vara x mm. Då får vi följande ekvation att lösa 297 1,618 1,618 184

1 297x

x= → = ≈

Eftersom kortsidan är 210 mm från början måste man klippa bort (210−184) mm = 26 mm längs med långsidan.

5720, 5721 Se facit. Kontakta din lärare om du vill diskutera dina resultat.

A

B C

P D

M F



Tema: Trigonometri

a)

motstående katet 35sin 0,574hypotenusa 61

v = = ≈

b) närliggande katet 50cos 0,820

hypotenusa 61v = = ≈

1

c) motstående katet 35tan 0,70närliggande katet 50

v = = =

2 Se facit.

3 Vinkeln v och

motstående k

motsttannärlig

v =

Svar: Flaggs

4 Vinkeln v ochnärliggande k

närligcoshyp

AC AB co

v =

= ⋅

Svar: Avstån

Vinklar kan mätas med olika enheter. I denna kurs används bara den enhet som innebär att det är på ett varv. 360 Den typ av miniräknare som används när man räknar trigonometri kan ställas in för att kunna användas för olika vinkelenheter. För att få rätt svar när du räknar de följande uppgifterna är det viktigt att din räknare är rätt inställd. Du kan testa detta genom att undersöka vad blir. sin 90

Får du resultatet sin 90° = 1 är din räknare rätt inställd.

© NATIONELLT CENTR

På de flesta moderna miniräknare beräknas genom att man sin 35

1. först trycker på [sin]-knappen,

2. sedan matar man in 35,

3. därefter trycker man

4. [EXE] (Casio) eller [ENTER] (Texas) eller [=].

närliggande katet AB är kända och man frågar efter höjden BC som är en atet. Problemet löses med hjälp av tangens (tan).

ående katet BC BC AB tan 18,2 tan 40 15,3gande katet AB

v= → = ⋅ = ⋅ ≈

tången är 15,3 m hög.

hypotenusan AB är kända och man frågar efter avståndet AC som är en atet. Problemet löses med hjälp av cosinus (cos). gande katet ACotenusan AB

s 625 cos 27 557v

=

= ⋅ ≈

→

det över viken är 557 m.

UM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2002


5 Vinkeln v och hypotenusan AB är kända och man frågar efter avståndet BC som är en motståendende katet. Problemet löses med hjälp av sinus (sin).

motstående katet BCsinhypotenusan AB

BC AB sin 29 sin 32 15

v

v

= =

= ⋅ = ⋅ ≈

→

Svar: Masten är 15 m hög.

6

7

Se facit

8 Vill man beräkna hur stor en vinkel v är och man vet hur lång den motstående kateten och närliggande katet används inversfunktionen arctan v. På miniräknaren betecknas detta tan-1, hur man gör beskrivs ovan.

motstående katet 1,8tan arctan (1,8 / 4,7) 21närliggande katet 4,7

v v= = → = ≈ `

Svar: Vinkeln v är 21

9 a) Ledning: sin 56 / 70v = b) Ledning: ta n 45 / 72v =

10 a) Ledning: tan 20 / 32v = b) Ledning: cos 28 / 36v =

Om du skall bestämma vinkeln v är då tan v = 1319

gör du så här

Casio (de flesta nya modeller): Tryck [SHIFT][tan](13/19)[EXE]

Texas (de flesta nya modeller): Tryck [2nd][tan](13/19)[ENTER]


Kapitel 5 - Learnify

Documents

Transcript of Kapitel 5 - Learnify