04.05.2006

Kapitel 2: Gruppenoperationen und Quotienten

[das richtige Symbol für die Vereinigung disjunkter Mengen wird hier durchUersetzt]

De�nition:Eine Gruppe G operiert von links auf einer Menge M falls maneine Abbildung

� : G�M !M (g;m) 7�! � (g;m) (1)

hat, die folgende Bedingungen erfüllt:i)

� (gh;m) = � (g; � (h;m)) 8g; h 2 G 8m 2M! Assoziativität

ii)� (e;m) = m 8m 2MDabei sei e das neutrale Element der Gruppe.

� heißt dann die Operationsabbildung oder die Operation.Man sagt auch "M ist G-Menge" statt "G operiert auf M"

Bemerkung & Beispiele:

1)Statt � (g;m) schreibt man fast immer einfacher g �m oder g �m oder gm

i) wird dann zu (gh)m = g (h �m) 8g; h 2 G 8m 2Mii) em = m 8m 2M

2)G = GLn (k) ; M = kn�n

�1 : G�M !M(g;A) 7�! g �1 A := gAg�1| {z }

�1(g;A)

ist linksoperation

�2 : G�M !M(g;A) 7�! g �2 A := gA|{z}

�2(g;A)

Manchmal ist die Notation gm zu kurz!

1

3)M = beliebige MengeG = S (M) = symmetrische Gruppe vonM M := ff jf :M !M; f bijektivgGruppe bezüglich Komposition von Abbildungen. eS(M) = idMG�M !M (f;m) 7�! f (m) =: f �m ist Operation

4)Zu jeder linksoperation � gehört rechtsopoeration �op de�niert durch

mg := g�1m 8g 2 G 8m 2M

umgedreht auch.

Fazit: links- und rechtsoperationen sin völlig gleichberechtigt.Hier fast immer von links.

5)zu � : G�M !M gehört einHomomorphismus '� : G! S (M) de�niert durch g 7�! '� (g) :M !M

mit�'� (g)

�(m) := gm

Es ist '� (gh) = '� (g) � '� (h), denn 8m 2M gilt:�'� (gh)

�(m) = (gh)m = g (hm) = g

�'� (h) (m)

�=

= '� (g)�'� (h) (m)

�= '� (g) � '� (h) (m)

'� (e) = id� , denn:�'� (e)

�(m) = em = m = id� (m) 8m 2M

Also ist '� (g) bijektiv für jedes g 2 G und '� : G! S (M) ein Hom.Sei umgekehrt : G! S (M) ein Hom.Dazu gehört eine Operation � � : G�M !M � (g;m) := ( (g)) (m)

Dies liefert eine Bijektion:

fG-Mengen Mg ~ !n' : G

hom! S (M)o

� 7�! '�� 7�!

6)G operiere auf M =) G operiert auf M �M; 2M = Potenzmengen viag (m;m0) = (gm; gm0) (m;m0) 2M �Mg �N = fgn jn 2 N g N �M

2

7)G operiert auf M = G viai) Linkstransaltion: g � h := ghii) Rechtstranslation: g � h := hg�1

iii) Konjugation: g � h := ghg�1

Assoziativitäthg�1

(g1g2) � h?= g1 � (g2 � h)

(g1g2) � h := h (g1g2)�1= h

�g�12

�g�11 = g1 �

�hg�12

�= g1 � (g2 � h)

8)M ist G-Menge, H Untergruppe von G H � G=)M ist H-Menge

De�nitionen:G operiere auf Ma)Die Isotropiegruppe (oder Stabilisator) von m 2M ist de�niert als

Gm = IsoG (m) = StabG (m) := fg 2 G jgm = mg � G (2)

b)Die Bahn (oder der Orbit) von m ist de�niert als

Gm := fgm jg 2 Gg �M (3)

Mit M=G bezeichnet man die Menge aller BahnenMit � :M !M=G die natürliche Projektion �m := Gm

Bemerkungen & Beispiele:

1)Gm ist Untergruppe von G, denn:

e �m = m =) e 2 Gm

g; h 2 Gm =) gm = m = hm=) (gh)m = g (hm) = gm = m =) gh 2 Gm

3

g 2 Gm =) gm = m =) g�1 (gm) = g�1m =) g�1 2 Gm

(gm)m = em =�g�1g

�m

2)G = GLn operiere auf M = kn�n via

i) g �A = gAg�1

ii) g �A = gA

GA =�g��gAg�1 = A

= fg jgA = Ag g = fg jg vertauscht mit Ag

Bahnen bei i)Bahn von A! Ähnlichkeitsklassen von AFür #k =1 =) 9 unendlich viele Bahnen

Bahnen bei ii)GA = Bahn vonA = fB jB entsteht aus A durch endlich viele elementaren

Zeilentransformationen unendlich viele Bahneng

3)H � G operiere auf G viai)Linkstranslation (h � g := hg)Bahn Hg = fhg jh 2 H g = Rechstnebenklasse von g bzgl. H

ii)Rechtstranslation

�h � g := hg�1

�Bahn H � g =

�hg�1 jh 2 H

= fgh jh 2 H g = Hg|{z}

=gH

= Linksnebenklasse

von g bzgl. H

Lemma 1Sei M eine G-Menge. Dann wird durch

m � m0 :() 9g 2 G : gm = m0 (4)

eine Äquivalenzrelation auf M de�niert mit den Bahnen alsÄquivalenzklassen.Insbesondere ist M die disjunkte Vereinigung

4

der Bahnen.

Beweis:i) z.z. m � m

trivial denn: em = m

ii) z.z. m � m0 =) m0 � mBeweis: 9g : gm = m0 =) g�1 (gm) = g�1m0

m = em =�g�1g

�m

iii) z.z. m � m0 ^m0 � m00 =) m � m00

Beweis: 9g : gm = m0 9h : hm0 = m00

m00 = h (gm) = (hg)m

sei m 2M�A (m) = Äquivalenzklasse von m = fm0 jm0 2M ;m � m0g

= fm0 j9g : gm = m0 g = Gm also die Bahn von m

De�nitionen:sei M eine G-Mengea)Eine Teilmenge R von M heißt Repräsistantensystem, falls R jede Bahnin genau einem Element tri¤t.

b)Eine Teilmenge Q von M heißt Querschnitt, falls Q \B 6= 0 aberendlich 8 Bahnen B ist

Allgemeines Problem der AlgebraBestimme bei gegebenen, G und M ein Repräsistantensystem oderQuerschnitt. (ist nur in wenigen Fällen vollständig lösbar)

Beispiel:G = GLm (C) ; M = Cn�n g �A = gAg�1

R = fR jR ist RNFg = RepräsistantensystemQ = fY jY ist JNFg = Querschnitt

08.05.2006

Beispiel:H = Untergruppe von G operiere auf G via Rechtstranslation

5

Bahnen sind die LinksnebenklassengH := fgh jh 2 H g � G8g 2 G : gH g � H ist bijektive Abbildungh 7�! (gh)

=) #gh = #H 8g 2 G

G = disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen

Wähle jetzt ein Repräsistantensystem R für die Linksnebenklasse.(funktioniert mit dem Auswahlaxiom)

G =]x2R

xH

Lemma 2 Satz von Lagrange:

#G endlich, H � G =) #H j #G (5)

Insbesondere ist die Ordnung jedes Elementes g von G ein Teilerder Gruppenordnung.

Erinnerung:O (g) = Ordnung von g = # < g >j #G< g >= von g erzeugte Untergruppe =

�gi ji 2 Z

Beweis:sei R ein Rep-System =) G =

Ux2R

xH =) #G =Px2R

#xH = #R �#H

Bemerkung:p Prim =) Z=pZ hat nur feg ; Z=pZ als Untegruppe

Beispiel:V = Euklid VR(o.B.d.A V = Rn mit (x; y) =

Pi xiyi und kxk =

p(x; x) =

pPni=1 x

2i )

G = Bewegungsgruppe von VG 3 f = Bewegung :() f erhält Abstände,d.h. kfx� fyk| {z }

d(fx;fy)

= kx� yk| {z }d(x;y)

8x; y 2 V

Bewegungen: Translationen, Drehungen, Spiegelung, Schraubung, ...

6

De�nitionen:a)Eine Figur F ist eine Teilmenge von VFigur := GF = fg 2 G jgF = F g

b)G operiert auf V und damit auch auf 2V = P (V ) = Potenzmenge von V

c)sym F := Symmetriegruppe einer Figur

Konkrete Beispiele:dimV = 2

F = (ein Achsenkreuz)sym F =

�Drehung um n�2

Spiegelung an Achse der Winkelhalbierendeng

F 0 = = regelmäßiges Viereck

o¤ensichtlich gilt:F 6= F 0 aber sym F = sym F 0

Dn := Symmetriegruppe des regelmäßigen n�Eck= Gruppe mit 2n Elementen= Diedergruppe

De�nitionen:a)Eine Abbildung ' : G! H zwischen Gruppen heißt Homomorphismus falls' (xy) = ' (x)' (y) 8x; y;2 G

b)' heißt Isomorphismus falls ' bijektiv ist.Dann ist auch '�1 ein Hom.

c)Eine Abbildung ' :M ! N zwischen zwei G�Mengen M;N heißtG�Morphismus oder G�Äquivariant, falls' (g;m) = g' (m) 8m 2M 8g 2 G

d)' heißt Isomorphismus von G�Mengen, falls ' bijektiv ist.

7

Bemerkungen:1)H � G =) G operiert auf G=HG=H = fgH jg 2 Gg = Menge der Linksnebenklassen

gH = g0H () g�1g0 2 H () 9h : gh = g0 denn:g0 2 gH =) 9h0 2 H mit gh0 = g0 =) g�1g0 = h0 2 H

=) G operiert G=H via g0 � gH := (g0g)H

2)M sei G�Mengegm = m0 für geeignete m;m0 2M g 2 G

Gm0 = gGmg�1; denn:

sei h 2 Gm�ghg�1 jh 2 G

= gGg�1

=)�ghg�1

�m0 =

�ghg�1

�gm =

�ghg�1g

�m = (gh)m = ghm = gm = m0

Also Ggm � gGmg�1

Aus Symmetriegründen folgt gleichheit: Gm0 = gGmg�1

Spezialfallzwei Elemente m;m0 in der gleichen Bahn haben konjugierteIsotropiegruppen, also insbesondere isomorphe Isotropiegruppen

ÜbungGm

'! Gm0 (gm = m0)h 7�! ' (h) = ghg�1

ist Isomorphismus

Lemma 3: Bahnenlemmasei M eine G�Menge, m 2M:Dann ist ' : G=Gm g�! Gm mit ' (gGm) := gm ein Isomorphismusvon G�Mengen.Insbesondere gilt für #G <1; dass die Länge der Bahnen #Gm einTeiler von #G ist.genauer gilt: #G = #(Gm)#Gm

8

Beweis:triviale Veri�kationi) ' ist wohlde�niert, d.h.

gGm = g0Gm!=) ' (gGm) = ' (g0Gm)

gGm = g0Gm =) g = g � e 2 g0Gm , d.h. g = g0h mit h 2 Gmgm|{z}

='(gGm)

= (g0h)m = g0 (hm) = g0m|{z}='(gGm)

ii) ' ist surjektiv, da 8g 2 G giltgm = ' (gGm) =) ' (G=Gm) = Gm

iii) ' ist injektiv, denn:sei ' (gGm) = ' (g0Gm) ; d.h.gm = g0m =) g0�1 (gm) = g0�1 (g0m)=)

�g0�1g0

�m = em = m

=) g0�1g 2 Gm = gGm = g0Gm

iv) ' ist G�äquivariant, denn:' (g0 � (g �Gm)) = ' (g0gGm) = (g

0g)m = g0 (gm) = g0' (gGm)

Beispiel:sei G eine endliche Untergruppe von SO3 =

�A��ATA = E3; detA = 1

Erinnerung:24cos' � sin' 0sin' cos' 00 0 1

35 = D (')

Jedes A 2 SO3 ist zu einem D (') konjugiert.Jedes A 2 SO3 hat Drehachse!

SO3 3 g = id , x mit kxk = 1 und gx = x =) x = �v DrehachseP = P (G) :=

�v 2 V = R3 jkvk = 1; gv = v für ein g 2 G, g 6= id

P (G) = "Pole von G"

Jedes g hat mindestens 2 Pole

Betrachte:

X := f(g; v) jkvk = 1; g 6= id; gv = vg (6)

pr1 : (g; v) �! G n f1g de�niert durch fg; vg 7�! gp�1r1 (g) = f(g; v jkvk = 1; gv = v)g = Menge der 2 Pole von gpr2 = � : G �! P = P fGg g 2 G

9

=) X =x!yUg=y

f�1 (y) =) #X =Py2Y

#f�1 (y)

=) #X =P

g2Gnf1g#p�1r1 (y) = 2 (#G� 1) #G = n

G operiert auf P , denn:

sei v 2 P; h 2 Gv 2 P =) 9g 6= 1; g 2 G mit gv = v�hgh�1

�(hv) = hgh�1hv = hv

1 6= hgh�1 2 G; hv ist Pol von G

sei P = B1 ]B2 ] : : : Br in G�Bahnen zerlegt.sei x 2 Bi��1 (x) = f(g; x) jgx = x; g 6= id; kxk = 1g = (Gx n f1g)� fxg#��1 (x) = (#Gx)� 1

(: : : ) =) 2� 2n =

Pri=1

�1� 1

ni

�(hat nur 5 Lösungen)

n = #Gni = #Gxi

11.05.2006

Beispiel:V = R3 mit SKPv 2 V heißt Pol einer Abbildung g 6= id; g 2 SO3 falls gv = v und kvk = 1Falls v Pol von g so ist g eine Drehung um die Achse RvJedes g 2 SO3 n fidg hat genau zwei Pole

sei jetzt G eine endliche Untergruppe von SO3 #G = n

X = f(g; v) jg 2 G; g 6= id; v Pol von Gg (7)

pr1 : (g; v) �! G n fidg 3 g de�niert durch (g; v) 7�! g

pr2 : gpr2�! P = fv jv ist Pol eines g 6= 1 g 2 Gg g 2 G

pr1; pr2 sind surjektive Abbildungen

#p�1r1 (g) = 2 8g 2 G n fidgX =

Ug2Gnfidg

p�1r (g) =) #X =P

1 6=g2G#p�1r1 (g) = 2 (n� 1)

(n� 1) :Gruppenordnung

10

��1 (v) = f(g; v) jgv = v; g 2 G n fidgg = f(g (v)) jg 2 Gv n fidggist isotropie Gruppe=) #��1 (v) = (#Gv)� 1

G operiert auf P via G� P �! P; mit (g; v) 7�! gv; denn:

v 2 P =) 9h 6= 1; h 2 G mit hv = vFür ghg�1| {z }

6=1

2 G gilt�ghg�1

�gv = ghv = gv

Also ist gv 2 P

P = B1UB2UB3 � � � Br Bi sind Bahnen

Für x; y 2 Bi sind die Isotropiegruppen Gx und Gy konjugiert, habenalso gleiche Anzahl von Elementen ni

G=Gm g�! GmNach dem Bahnenlemma gilt #Bi = n

niEs folgt:

x =Ux2P

��1 (x) =rUi=1

Ux2Bi

��1 (x)

!=) #X =

Pri=1

Px2Bi

#��1 (x)

8x 2 Bi gilt #��1 (x) = ni � 1

#x =Pri=1

Xx2Bi

#��1 (x)| {z }nni(ni�1)

=Pri=1

nni(ni � 1)

alsoPri=1

nni(ni � 1) = 2n� 2

=) 2� 2n=

rXi=1

�1� 1

ni

�ni � 2 8i = 1; : : : r (8)

Es folgt sofort r � 3O.B.d.A 2 � n1 � n2 � n3

a) r = 1 :2� 2

n = 1�1n1

1� 2n = �

1n1

1 + 1n1= 2

n =) n = 1 ^ n1 = 1aber ni � 2 8i also keine Gruppe

b) r = 2 :2n =

1n1+ 1

n2ni � n =) n1 = n2 = n

11

r = 2 =) P = B1SB2 #Bi = 1

G = hgi ' Z=nZ

g = Drehung um Achse v mit Winkel 2�n

c) r = 31n1+ 1

n2+ 1

n3= 1 + 2

nn1 � 3 geht nicht. also: n1 = 2

sei n2 = 2 =) n = 2n3 das liefert unendlich viele GruppenG ' Dn = Diedergruppe

sei n1 = 2; n2 = 31n3= 1

6 +2n =) 3 � n3 � 5

n3 = 3 =) n = 12! Tetraedern3 = 4 =) n = 24! Oktaeder, Würfeln3 = 5 =) n = 60! Ikosaeder

jetzt sei n1 = 2; n2 = 3; n3 = 3; n = 12 und #B3 = nn3= 4

G operiert auf B3=) 9' : G! S (B3) ' S4; g 7�! ' (g) (' (g)) (b) = gb

B3 besteht aus 4 PolenB3 = fv1; v2; v3; v4g

' ist injektiv, da ker' = fidg denn:g 2 ker' =) ' (g) = idS4 =) g lässt 4 Pole fest =) g = id=) G g�! Im ' = A4 bijektiv

sei v1 2 B3 Gv1 3 g 6= 1#Gv1 = n3 = 3 hgi = Gv1 =) O (g) = 3

' (g) =

�1 2 3 41 3 4 2

�= (234)

X :=P4i=1 vi erfüllt gx = x 8g 2 G

angenommen x 6= 0=) x

kxk Pol für alle g 2 G=) Alle g sind Drehungen des gleichen Pols x

kxk=) G kommutativ. Aber das ist einWiderspruch, denn:G ' A4 ist nicht kommutativ. Also x = 0=) B3 = Menge der Eckenpunkte eines regelmäßigen Tetraeders

12

De�nition:Eine Operation heißt transitiv, falls es nur eine Bahen gibt.

Allgemeines Problem:Sei M eine Menge, G eine Gruppe� :M �!M=G = Menge der Bahnen � die kanonische ProjektionFalls M zusätzliche Struktur hat (z.B. Gruppe, Vektorraum, topologischerRaum, metrischer Raum, etc.) kann man dann auf M=G eine analogeStruktur so de�nieren, dass � strukturerhaltend ist?

Konkret beudeutet dassM = G = Gruppe H � G operiere via RechtstranslationG=H = fgH jg 2 Gg = Menge der Linksnebenklassen

Frage: Gibt es eine Gruppenmultiplikation auf G=H so dass G ��! G=Hein Gruppenhomomorphismus wird?

De�nitionen:a)sei ' : G �! G0 ein Gruppenhomomorphismus.Dann ist ker' de�niert als '�1 (eG0) = fg j'g = eg

b)Eine Untegruppe U von G heißt normal (U E G) ; falls8g 2 G gilt gUg�1 = U

Bemerkungen:1)gUg�1 = U () gU = Ug also U E G bedeutet:Linksnebenklasse = RechtsnebenklassegU = Ug 8g 2 G

2)ker' E G, denn:' (e) = e =) e 2 ker'x; y 2 ker' =) ' (xy) = ' (x)' (y) = e � e =) x; y 2 ker''�x�1

�= (' (x))

�1= e�1 = e =) x�1 2 ker'

=) ker' E G

sei x 2 ker'; g 2 G beliebig'�gxg�1

�= ' (g)' (x)| {z }

=e

'�g�1

�= ' (g)'

�g�1

�= '

�gg�1

�= ' (e) = e

=) gxg�1 2 ker'

13

Also: g ker'g�1 � ker' 8g 2 GInsbesondere gilt 8g 2 G :g�1 ker'g � ker' =) ker' � g ker'g�1 =) g ker'g�1 = ker'

3)Angenommen, dass �� : G �! G0�klappt=) ker� E G=) ker� = fg j�g = e = �eg = fg jgH = eH = H g = H E G

15.05.2006

Lemma 4 und De�nitionsei G eine Gruppe mit einer normalen Untergruppe H EG.Dann gibt es genau eine Multiplikation auf G=H , fallsdie G=H eine Gruppe ist und � : G �! G=H ein Gruppenhomomorphismuswird.G=H mit dieser Multiplikation heißt Faktorgruppe von G nach H.Faktorgruppe oder Quotientengruppe oder Restklassengruppe sind dabeiäquivalent.

Beweis:Damit � : G �! G=H ein Homomorphismus wird, muß8x; y 2 G gelten:

� (x; y) = (�x) (�y) d:h: : xyH = (xH) (yH) (9)

Also ist die "De�nition" (xH) (yH) := xyH unsere einzige Möglichkeit.

Es bleibt zu überlegen, dass das wohlde�niert ist, d.h.:sei xH = x0H; yH = y0H dann ist z.z. xyH = x0y0HBeweis:xH = x0H () x0�1x 2 H () x�1x0 2 HyH = y0H () y0�1y 2 H () y�1y0 2 H

xyH = x0y0H () (x0y0)�1xy = y0�1x0�1xy 2 H

x0�1x 2 H HEG=) y�1

�x0�1x

�y 2 H

=)�y0�1y

� �x�1x

�2 H

�x�1x

�= y0�1x0�1xy

also gilt xyH = x0y0H

bleibt noch das Überprüfen der Axiome:(xH) ((yH) (zH)) = (xH) ((yz)H) = (x (yz))H((xH) (yH)) (zH) = ((xy)H) (zH) = ((xy) z)H(x (yz)) = ((xy) z) 8x; y; z 2 H multiplikation ist Assoziativ

14

feh jh 2 H g = eH = H ist neutrales Element, denn:(xH) (eH) = (xe)H = xH = (ex)H = (eH) (xH) 8x 2 HAlso existiert ein neutrales Element e

(xH)�1= x�1H; denn:

(xH)�x�1H

�=�xx�1

�H = eH = x�1xH =

�x�1H

�(xH)

Bemerkungen und Beispiele:1)f : G �! H sei Homomorphismus also gilt f (eG) = eHz = f (eG) = f (eG � eG) = f (eG) � f (eG)=) z = zz =) z�1z = eH = z�1 (zz) =

�z�1z

�z = eHz = z

also z = eH

2)G kommutativ =) Jede Untegruppe H ist normalnormal: gHg�1 = gg�1H = g�1gH = H 8g 2 Gdann ist G=H erst recht kommutativ

3)G = S3 = fid; (12) ; (13) ; (23) ; (123) ; (132)g = ff jf f1; 2; 3g �! f1; 2; 3g ; f bijektivgH = fid; (12) ; (12) ; (23)g ist keine Gruppe!

sei #H = 1 =) H = fidg ist normalsei #H = 2

=) H = h(12)i = fid; (12)g _ h(13)i _ h(23)i ist nicht normalsei #H = 3

=) H = h(123)i = A3 = ker sgn = f� jsgn� = �1g ist normalsei #H = 6 =) H = G ist normal

sei #H = 2 ist H dann normal ?(13) (12) (12) = ghg�1 für g = (13) = g�1; h = (12) 2 H = h(12)iaußerdem (13) (12) (12) = (32) =2 HH ist also nicht normal für #H = 2

S3=A3 = fA3; (12)A3g ' Z=2Z (12)A3 = (13)A3 = (23)A3 denn:(12) (13)

�1= (12) (13) = (132) 2 A3

also A3 = eS3=A3

3�) Bemerkung am Rande:ist G endlich, dann gilt #G=H = #G

#H denn:

15

G =Ux2R

xH R := Reprästistant für H�Nebenklasse

#xH = #H 8x 2 GG =

Ux2R

xH =) #G =Px2R#xH = #R#H also #R = #G=H

4)H � G; mit (G : H) = 2; d.h. 9 2 Nebenklassen =) H E G; denn:

sei g =2 H=) gH 6= H =) G 6= H

UgH =) gH = G nH

=) Hg 6= H =) G = HUHg =) Hg = G nH

=) gH = Hg

sei g 2 H =) gH = H = Hg

Lemma 5: Homomoprhiesatz für Gruppensei ' : G �! H ein Homomorphismus.Dann ist ker' E G; Im' � H und 9! Isomorphismus �' : G=ker'g�! Im'so dass

G��! G= ker'

�'g�! Im' i,! H

' � G (10)

kommutiert. Also gilt ' = i � �' � �

Beweis:i)sei x; y 2 Im'; d.h. x = 'g; y = 'h für g; h 2 G=) xy = ' (g)' (h) = ' (gh) 2 Im'

e = 'e 2 Im'x�1 = '

�g�1

�2 Im'

ii)Damit das Diagramm kommutiert, muss 8g 2 G gelten:' (g) = (i � �' � �) (g) = (i � �') (� (g)) = (i � �') (g ker') =

= (i) (�' (g ker')) = �' (g ker')

im folgende k := ker'

Also muss �' (gk) := ' (g) 8g 2 G gelten:

z.z. ist noch die Wohlde�niertheit:gk = g0k =) g0�1g 2 k = ker'g0�1g = '

�g0�1g

�| {z }e

= '�g0�1' (g)

�| {z }=('(g))�1'(g)

=) ' (g0) = ' (g)

16

z.z. �' ist Homomorphismus:�' ((xk) (yk)) = �' (xyk) = ' (xy) = ' (x)' (y) = �' (xk) �' (yk) 8xk; yk=) �' ist Hom

�' ist surjektiv, denn:sei y 2 Im' d.h. 9g 2 G mit ' (g) = yDann ist �' (gk) = ' (g) = yalso �' surjektiv

�' ist injektiv (d.h. ker' =�eG=k

), denn:

sei also �' (gk) = e; d.h. ' (g) = ed.h. g 2 ker (') ; d.h. gk = k = eG=kalso ker' =

�eG=k

Bemerkung und Beispiele:1)falls ' surjektiv ist gilt insbesondere:' : G �! H G= ker' g�! Im' = H

z.B.G = Gln (k)H = k� = fx 2 k jx 6= 0g = multiplikative Gruppe des Körpers

detn : Gln (k) �! k�

surjektiv: detn

266664x 0 � � � 0

0 1 0...

... 0. . . 0

0 � � � 0 1

377775 = x (detnAB = detnAdetnB)

ker detnA = fA jdetnA = 1g =: Sln (k) E Gln (k)

der Homomorphiesatz sagt: Gln=Sln g�! k�

Beispiel:G = Sn; sgn : Sn �! f�1g sgn (��) = sgn (�) � sgn (�)ker sgn =: An E Snsgn ist surjektiv, da sgn (12) = �1

Sn=An = Z=2Z

2)G = (Z;+) = h1i additive Gruppe der ganzen Zahlen

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G � H = nZ = fnz jz 2 Zg = hniG=H = Z=nZ =

�0; 1; : : : n� 1

mit �x := x+ nZ = fx+ zn jz 2 Zg

Z =U

x=0;:::n�1x =

Ur2R

r + nZ mit R = Repräsentantensystem

Als Menge gilt:G=H g�! R � G ist bijektiv

! Es gibt kein Repräsentantensystem im obigen Fall, daseine Untergruppe von Z ist.

! Quotienten sind naturbedingt.

18.05.2006

De�nition:Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls ein Element g 2 G existiert mitG = hgi =

�gi ji 2 Z

, dann heißt g erzeugendes Element.

Bemerkung und Beispiele1)(Z;+) die additive Gruppe von Z ist zyklisch.Z = h1i = h�1i

2)Z=nZ ist zyklischZ=nZ =

�0; 1; : : : ; n� 1

= die Menge der ganzen Zahlen, die bei

Division durch n den Rest x lassen.Z=nZ =

1�=n� 1

�Behauptung:Z; Z=nZ n 2 N n � 1, sind gerade bis auf Isomorphiealle zyklischen Gruppen.

Betrachte: ' : Z �! G i 7�! ' (i) = gi i 2 Z' ist Homomorphismus wegen: gi+j = ' (i+ j) = ' (i)' (j) = gigj

Im' = G gilt, da g Erzeuger von G (' ist also surjektiv)

Homomorphiesatz: Z=nZ g�! Im' = G

ker' = Untergruppe von Z = nZ = hni ; wobei n die kleinstenatürliche Zahl 6= 0 in ker'

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1.Fall ker' = 0 =) Zg�! Z=0Z g�! G2.Fall ker' : : :

sei U 6= 0 Untergruppe von Zsei n kleinste natürliche Zahl in U

sei jetzt x 2 U beliebig, also x 2 Zalso x = p � n+ r mit p 2 Z 0 � r � n

wäre r 6= 0 so wäre x� pn = r 2 Udas ist o¤ensichtlich einWiderspruch, denn: x; pn; (x� pn) 2 Ualso ist r = 0; x 2 hni = nZ

3)S1 = fz 2 C jjzj = 1g ist GruppeS1 � C� = multiplikative Gruppe C n f0gS1 nicht zyklisch!

G =De2�in

En 2 N G g�! Z=nZ

neues Beispiel:V = k V.R mit k U.V.R UG = U (+) operiere auf M = V durch Translation(V kommutativ =) linkstranslation = rechtstranslation)M = V V ist Gruppe bzgl (+)V=U = fMenge der Nebenklasseng ist eine abelsche Gruppe via (+)

zwischen Bemerkung: Allgemein mit (�)(gH) (g0H) = gg0H (gH)

�1= g�1H

gH = gH 0 () g0�1g 2 H () g�1g0 2 Hx+ U| {z }2V=U

= fx+ u ju 2 U g

(x+ U) + (y + U) := (x+ y) + U� (x+ U) = (�x) + U0V=U = 0 + U = U

V=U ist sogar ein Vektorraum via � (x+ U) = (�x) + Uwas ist mit der Wohlde�niertheit?x+ U = x0 + U () x� x0 2 U U.V.R

=) � (x� x0) 2 U=) �x� �x0 2 U () (�x) + U = (�x0) + Ualso wohlde�niert

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nun: Vektorraumaxiome für V=U testen:

� ((x+ U) + (y + U))1= � ((x+ y) + U)

2= (� (x+ y)) + U =

3= (�x+ �y) + U

1= (�x+ U) + (�y + U) = � (x+ U) + � (y + U)

1 : hier geht die De�nition von +V=Uein2 : hier geht die De�niton von �V=Uein3 : hier braucht man die Vektorraumstruktur

sind also alle triviale Veri�kationen

V��! V=U V 3 x 7�! x+ U

� ist eine surjektive lineare Abbildung mitker� =

�x���x = 0V=U = fx jx+ U = U g = U

Beispiele und Bemerkungen1)V = R2; U = Ursprungsgerade

2)V = V.R. U = U.Rdann existiert ein Komplement H d.h. V = H � UDie Komposition ' : H

i,! V

��! V=U ist ein Isomorphismus, denn:

� � i ist linear und injektiv, denn:i; � linearsei (� � i) (h) = 0 für ein h 2 HAlso ist � (h) = h+ U = 0V=U = Ud.h. h 2 U also h 2 H \ U = f0g

� � i ist surjektiv, denn:sei (x+ U) 2 V=U beliebigwegen V = H � U gilt x = h+ u für geeignete h 2 H; u 2 Ux+ U = (h+ u) + U = h+ U + u+ U = h+ U + U = h+ U = (� � i) (h)

dimV=U = dimH = dimV � dimU falls V endlich dimensional

V =Uh2H

h+ U

H = Repräsentantensyste, bzgl. (+; �) abgeschlossen

Lemma 6: Homomorphiesatz für Vektorräume

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sei f : V �!W lineare AbbildungDann 9! �f : V=ker f g�! Im f so dass

V��! V= ker f

�fg�! Im f i,!W (11)

kommutiert. Es gilt f = i � �f � �i := Inklusionsabbildung

Beweis:V;W sind insbesondere kommutative Gruppenf ist ein Gruppenhomomorphismus

nach dem Homomorphiesatz für Gruppen 9 genau so ein �f alsbijektiver Gruppenhomomorphismus

bleibt zu zeigen: �f (� (x+ ker f)) = � �f (x+ ker f) 8� 2 k; 8x 2 V

�f (� (x+ ker f)) = �f ((�x) + ker f)!= f (�x)

!�= �f (x) = � �f (x+ ker f)

! : �f (y + ker f) = f (y) 8y 2 V!�: : f ist Homomorphismus

1. Folgerung ist der Rangsatz:f : V �!W linear, V;W endlich dimensional=) dimV = dimker f + dim Im f oder dimV � dimker f = Rang f

Beweis:V=ker f ' Im f ist nach Homomorphiesatz isomorph=) dimV= ker f = dim Im f=) dim Im f = Rang f = dimV= ker f = dimV � dimker f

2. Folgerung:sei V V.R. mit Unterraum U;W dann gilt:

U=U \Wg�! (U +W ) =W (12)

insbesondere gilt für dimV <1

dimU � dim (U \W ) = dim (U +W )� dimW (13)

Beweis:U

i,! (U +W )

��! (U +W ) =W g � U=U \W ' � U(U +W ) =W = Im'

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es gilt Im' = (U +W ) =W; denn:sei x 2 (U +W )=W d.h. x = u+ w +W für u 2 U; w 2W(u+ w +W ) = (u+W ) + (w +W )| {z }

=0

= u+W = ' (u)

ker' = fu ju 2 U; ' (u) = 0g = fu ju 2 U; u+W =W gaber u 2W ^ u 2 U also u 2 U \W=) ker' = U \W

Beispiel:G = S4 = f� j� Permutationen von f1; 2; 3; 4ggG operiert auf M = ffA1; A2g jAi � f1; 2; 3; 4g = A1 \A2; #Ai = 2; gA1; A2 liefern die Aufteilung von f1; 2; 3; 4g in zwei 2�elementige Teilmengen

ff1; 2g ; f3; 4gg| {z }=m1

; ff1; 3g ; f2; 4gg| {z }=m2

; ff1; 4g ; f2; 3gg| {z }=m3

M = fm1;m2;m3g #M = 3

S4 3 g � fA1; A2g := fgA1; gA2g

Dazu gehört ein Homomorphismus ' : S4 �! S (M) ' S3

Im' = S3S4 D ker' = V = fid; (12) (34) ; (12) (24) ; (14) (23)g � A4V ist Kleinsche 4-er Gruppe

S3 wird erzeugt von Transpositionen' (23) = (12) ; ' (34) = (23) ; ' (24) = (13)=) Im' enthält alle Transpositionen in S3 =) S3 = Im'

nach Homomorphiesatz gilt: S4=ker' ' S3 =) #ker' = 4

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