Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
-
Upload
ballari-taj -
Category
Documents
-
view
83 -
download
0
description
Transcript of Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
Kap 2 – Förändringshastigheter och derivator
1
GENOMGÅNG 2.1
2
• Ändringskvoter• Begreppet derivata
HASTIGHET
Vad menas med begreppet hastighet?
Ex. 80 km/h
80km
1h
HASTIGHET
h
km
t
s
1
80
Jämför med Räta linjens k-värde!!
Ändringskvot
Förändring i y-led
Förändring i x-led Ändringskvot
Ändringskvot
Ändringskvoty
x
Var har du sett detta förr?
Ändringskvot
y
xk
Ändringskvot
y mkx
LINJERS LUTNING
9
•
•(1,5)
(0,3)
2 steg i y-led
1 steg i x-led
LINJERS LUTNING
10
•
•(1,5)
(0,3)
∆y = 2
∆x = 1
Linjens lutning =
21
2
x
y
RÄTA LINJENS EKVATION
11
mkxy k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
RÄTA LINJENS EKVATION
12
k = linjens lutningk = linjens derivata
DERIVATANEn introduktion
Begreppet derivata
(x + h)
Begreppet derivata
h
xfhxf
hxf
)()(
0
lim)('
)()( xfhxf
hx
y
KURVORS LUTNING
16
VILKEN LUTNING HAR X-AXELN???
VILKEN LUTNING HAR Y-AXELN???
Posi
tiv
+Lutning = 0
Negativ -Lutning = 0
Posi
tiv
+
Begreppet derivata
Derivative Tracer (GeoBra)
GENOMGÅNG 2.2
20
• Gränsvärde• Derivatans definition• Deriveringsregler
Sekant
seka
nt
Tangent
tangent
Begreppet derivata
hx
)()( xfhxfy
)( hxf
x
)(xf
hx
)()( xfhxf
h
h
xfhxf
x
y )()(
Begreppet derivata
h
xfhxf
hxf
)()(
0
lim)('
Begreppet derivata
DERIVATANS DEFINITION
yx
Derivatans definition
Boken sidan 81
Deriveringsregler
f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2
x4 4x3
x5 5x4
xa axa-1
Ser Du mönstret?
Var hittar du detta i formelbladet?
Deriveringsregler, exempel14)( xxf 4)´( xf
xxxf 24)( 18)´( xxf
xxxxf 234)( 1212)´( 2 xxxf
34
3)(
2 xxxf
3
1
2
3
3
1
4
6)´(
xxxf
5
2
35,0)(
34 x
xxf 232
3 23
32)´( xx
xxxf
Vad hände med5
2?
Kurva med derivata
Kurva med derivataVid vilka värden på x är kurvans lutninglika med noll?
23)( 3 xxxf
33)´( 2 xxf
Kurvans funktion är:
Kurvans derivata är:
Vi sätter derivatan lika med noll:
033 2 x
1133 22 xxx11 x 12 x
Kurva med derivataVilka värden har y vid kurvans extrem-punkter?
Kurva med derivata
3( ) (1 3 )1 1) ( 2f
Vi sätter in x = -1
231)1( f
1( 1) 4 4yf
3( ) (1 3 )1 1) ( 2f
Vi sätter in x = +1
231)1( f
2( 1) 0 0yf
1 4y
2 0y
Vilka värden har y vid kurvans extrem-punkter?
Extrempunkternas koordinater: 1,4 och 1,0
Deriveringsregler, exempel23)( 3 xxxf 33)´( 2 xxf
4)( xf 0)´( xf
xxxxf 343)( 1312)´( 23 xxxf
64
6)(
4 xxxf
6
16
6
1
4
24)´( 3
3
xx
xf
5
2
35,0)(
34 x
xxf 232
3 23
32)´( xx
xxxf
DESMOS
› Graf 1
› Graf 2
› Graf 3
› Graf 4
GENOMGÅNG 2.3
35
Deriveringsregler 1
Funktion
Derivata
Funktion och derivata
Deriveringsregler
f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2
x4 4x3
x5 5x4
xn nxn-1
Deriveringsregler
f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x-1 -x-2 (-1*x-2)x-2 -2x-3
x-3 -3x-4
x-4 -4x-5
x-5 -5x-6
xn nxn-1
Vi deriverar…
3xy 23' xy 2xy 1' 2y x1xy 01' xy
Fundering
Hur kan en funktion se ut som hardetta utseende på derivatan?
' 0y
y
Fundering
Hur kan en funktion se ut som hardetta utseende på derivatan?
' 2y x
y
Fundering
Hur kan en funktion se ut som hardetta utseende på derivatan?
' 2y x
y
Vi deriverar…
0xy 10' xy
1xy 21' xy
2xy 32' xy
1y 0'y2' xy
Vi deriverar…
44
1 xx
y
54´ xyOBS!
Vi deriverar…
52
)( xxf Beräkna f´(2)
352
(́ )5
f x x
264,025
2)2´( 5
3
f
Uppgift 2332, sid 95
Matematik 3c-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
2 31
5 5
Vi deriverar…
5
2
)( xxf Beräkna f´(2)
3
52(́ )
5f x x
3
52 22
(́ ) 0,2645
f
Uppgift 2332, sid 95
Matematik 3c-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Vi deriverar…Uppgift 2333, sid
95Matematik 3c-
boken
Bestäm f´(x) omx
xxf5
3)(
1
2
1
21
2
1
25 5
( ) 3 3 3 5f x xx
x x
x
x
1 3
2 21 1
'( ) 3 ( 5 )2 2
f x x x
2
3
2
1
2
5
2
3)('
xxxf 31
2 2
3 5'( )
2 2x
f x
x
3 5'( )
2 2xf
x xx 3 1 1 1 2 1 1
2 2 2 2 2 2 2
5 5 5 5 5
22 2 2 2
x xx x x x x x x x
Vi deriverar…Uppgift 2333, sid
95Matematik 3c-
boken2
3
2
1
2
5
2
3)('
xxxf
2
3
2
1
2
5
2
3)('
xx
xf
xxxxf
2
5
2
3)(' xxxxxxxxx 2
1
2
1
2
1
2
3
GENOMGÅNG 2.4
54
Deriveringsregler 2
Uppgift 2130
A (1,2)
X Y k2 51,5 3,251,1 2,211,01 2,02011 2
2 1y x y
x
2 1y x ' 2y x
?2
2'y x
Deriveringsregler
f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2
x4 4x3
x5 5x4
xn nxn-1
Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x 1x2 2xx3 3x2
x4 4x3
x5 5x4
xa axa-1
Deriveringsregler (Repetition)
f(x) [funktion] f’(x) [derivata]x-1 -x-2 (-1*x-2)x-2 -2x-3
x-3 -3x-4
x-4 -4x-5
x-5 -5x-6
xa axa-1
Vi deriverar…(Repetition)
5
2
)( xxf Beräkna f´(2)
5
3
5
2)´(
xxf
3
52(́2) 2 0,264
5f
Uppgift 2332, sid 98
Matematik 3bc-boken
(2/5) × 2^(-3/5) = 0,263901582155…
Hur ser derivatan ut?
2 2 1y x x
Hur ser derivatan ut?
3 24 2 1y x x x
Deriveringsregler
Vi deriverar…xaxf )(
aaxf x ln)´(
xxf 5)( 5ln5)´( xxf
Derivatan av funktionen y = ax
ln e
ln eVad visar din räknare om du slår in ln ?e
ln 1e
lg10 1J ln lg10ämför med e
ln e & lg 10
ln 1e
Vi deriverar…xexf )(
eexf x ln)´( VAD INNEBÄR DETTA?
Vi deriverar…xexf )(
eexf x ln)´( VAD INNEBÄR DETTA?
Vi deriverar…xexf )(
eexf x ln)´(
xexf 2)( eexf x ln2)´( 2
VAD INNEBÄR DETTA?
xy e
Naturliga logaritmer
Logaritmlagar
Logaritmer ett exempel
Uppgift 2419, sid 105
Matematik 3bc-boken
GENOMGÅNG 2.5
75
2.5 Grafisk och numerisk derivering
lg10 1J ln lg10ämför med e
ln e & lg 10 (rep.)
ln 1e
Uppgift 2130 (rep.)
A (1,2)
X Y k2 51,5 3,251,1 2,211,01 2,02011 2
2 1y x y
x
2 1y x ' 2y x
?2
2'y x
Hur ser derivatan ut? (rep.)
2 2 1y x x
Hur ser derivatan ut? (rep.)
3 24 2 1y x x x
Grafisk och numerisk derivering
Sid 113Matematik 3bc-
boken
Grafisk och numerisk derivering
' 3 1,2 ln1,2
3 1,2x
x
y
y
Grafisk och numerisk derivering
Sid 113Matematik 3c-
boken
Grafisk derivering med räknare
)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då
.
Svar: 42,0)2´( f
Tryck [2ND] + CALC
Numerisk derivering med räknare
)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då
.
Med räknare
9,11,2
)9,1()1,2()2´(
ff
f
2,0
)9,1()1,2()2´(
fff
Svar: 42,0)2´( f
Derivering med räknarens inbyggda funktion
)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då
.
Tryck <MATH> + 8
Med räknare
Mata in värden enligt nedan
Tryck <Enter>
Svar: 42,0)2´( f
nDeriv(3x*0,7^x,x,2)
Derivering med räknarens inbyggda funktionTI-82, Äldre TI-84 etc.
)2('f xxxf 7,03)( Bestäm ett närmevärde med 2 decimaler till då
.
Tryck <MATH> + 8
Med räknare
Mata in värden enligt nedan
Tryck <Enter>
Svar: 42,0)2´( f
nDeriv(3X*0,7^X,X,2)
Vi jämför…