Kansdefinitie van Laplace
description
Transcript of Kansdefinitie van Laplace
Kansdefinitie van Laplace
P(gebeurtenis) =
je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn
bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje
dus P(oranje) is niet gelijk aan ⅓bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even
waarschijnlijkdus P(meer dan 4 ogen) = 2/6 = ⅓
hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstigrond kansen af op 3 decimalen, tenzij anders wordt gevraagd
aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten
De complementregel
P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1
P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)
P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte)
11.1
Het vaasmodel
bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel
11.1
a P(geen wagens met dezelfde lampen) =
b P(minstens twee met defecte lampen) = 1 – (P(geen) + P(één)) =
= 1 –
c P(meer dan drie met goede lampen) = P(4) + P(5) =
=
30 5
24 5
≈ 0,298
30 5
24 5
6 1
30 5
24 4
.
+ ≈ 0,254
24 4
30 8
6
1
. 24 5
30 5
+ ≈ 0,746
a P(niets wint) =
b P(100 euro) = P(1 x € 100) + P(2 x € 50) =
c P(20 euro) = P(2 x € 10) =
d P(minstens 30 euro) = 1 – P(minder dan 30 euro) = 1 – P(niets) – P(10 euro) – P(20 euro) =
= 1 -
50 3
43 3
≈ 0,630
1
150 3
43 2
. 2
250 3
43 1
.
+ ≈ 0,048
4 2
50 3
43 1
.
≈ 0,013
50 3
43 3
4
150 3
43 2
.
-
4
250 3
43 1
.
- ≈ 0,173
KansbomenBij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken.Je gaat als volgt te werk:– Zet de uitkomsten bij de kansboom.– Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt.– Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt
van START naar de betreffende uitkomst.
11.2
opgave 19
a Vul in.b P (Sander wint in 3 beurten) = P (rswrrs)
=
c Vul in.
2 2 1
4 5 40,05
2
4
2
5
1
4
opgave 24
a Vul in.b P(Anton pakt zwarte knikker) =
P(mz) = = 0,2
c P(Anton pakt rode knikker) =
P(krI) + P(mrII) = ≈ 0,586
d P(Anton pakt twee keer wit) =
P(kwkw) = ≈ 0,036
e) P(Anton pakt twee keer rood) =P(krIkrII) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII) =
≈ 0,318
1 2
2 5
1 4
2 7
1 3
2 5+
1 3 1 2
2 7 2 6
1 4 1 3
2 7 2 6 +
1 4 1 3
2 7 2 5 +
1 3 1 4
2 5 2 7 +
1 3 1 2
2 5 2 4
1
2
1
2
4
7
3
7
3
5
2
5
2
6
3
6
2
4
0,01 0,99
0,70 0,30 0,20 0,80
0,007 0,003 0,7920,198
opgave 26
0,01 0,99
0,70 0,30 0,20 0,80
70 30 79201980
100 9900
opgave 26
In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn.
a P(rr) =
b P(rode en witte) = 2 · P(rw) =
21 ( 1)
50 49 50 49 2450
p p p p p p
De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers,
waarvan er p – 1 rood zijn.
250 2 (50 ) (50 ) 502
50 49 2450 1225 1225
p p p p p p p p
Er zijn 50 – p witte knikkers
Toevalsvariabelen
Bij het kansexperiment uit opgave 31 wordt aselect (= willekeurig)een leerling uit de klas gekozen. X = de leeftijd van de leerling.Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele.
complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0)somregel P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)
11.3
In een grabbelton zitten 20 doosjes.In 8 van deze doosjes zit een briefje van 10 euro,de overige 12 doosjes zijn leeg.Arjan pakt 2 doosjes uit de grabbelton.X = het totale bedrag in de 2 doosjes.a P(X = 20)
= P(2 doosjes met 10 euro)
= ≈ 0,147
b P(X > 0)= 1 – P(X = 0)= 1 – P(2 lege doosjes)
= 1 - ≈ 0,653
82
202
122
202
voorbeeld
Kansverdelingen
De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waardevan X de bijbehorende kans is vermeld.
De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1.
kanshistogram
11.3
opgave 38
a P(X = 0) =
P(X = 1) =
P(X = 2) =
P(X = 3) =
P(X = 4) =
84
124
41
124
42
124
43
124
44
124
83
82
81
≈ 0,141
≈ 0,453
≈ 0,339
≈ 0,065
≈ 0,002
·
·
·
x 0 1 2 3 4
kans 0,141 0,453 0,339 0,065 0,002
x
kans
O 0 1 2 3 4
b) P(Y = 3) = P(rrr) = 6 5 6 180
12 11 10 13
3
2220 --
De verwachtingswaarde
Werkschema : het berekenen van de verwachtingswaarde E(X)1 Stel de kansverdeling van X op.2 Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans.3 Tel de uitkomsten op.
a U = uitbetaling per lot
E(U) = 0 · 0,96 + 10 · 0,03 + 50 · 0,01 = 0,80De verwachtingswaarde van de uitbetaling per lot is € 0,80.
b W = winst = uitbetaling - 2E(W) = E(U) – 2 = 0,80 – 2 = -1,20Dus de verwachtingswaarde van de winst is - € 1,20 per lot.
c W = winst = uitbetaling - 0E(W) = E(U) – 0 = 0,80 – 0 = 0,80Een lot moet dan € 0,80 kosten.
u 0 10 50
kans 0,96 0,03 0,0196
100
3
100
1
100
W = winst = 0,50 – uitbetaling
P(W = -0,50) = P(2 bellen) = = 0,1875
P(W = -1) = P(2 bananen) = = 0,140625
P(W = -2) = P(2 appels) = = 0,03125
P(W = 0,50) = 1 – 0,1875 – 0,140625 – 0,03125 = 0,640625
E(W) = -2 · 0,03125 + -1 · 0,140625 + -0,50 · 0,1875 + 0,50 · 0,640625 = -0,02De verwachtingswaarde van de winst per spel voor de eigenaar is € 0,02.
w -2 -1 -0,50 0,50
kans 0,03125 0,140625 0,1875 0,640625
totaal 8 8
3 4
8 8
2 1
8 8
3 3
8 8
Succes en mislukking
De complement-gebeurtenis van succes.
De kans op succes geven we aan met p.
11.4
Binomiaal kansexperimentBij een binomiaal kansexperiment is :• n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd• X het aantal keer succes• p de kans op succes per keer• De kans op k keer succes is gelijk aan
P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk
11.4
a p = P(2 rode en 1 witte) = = 0,5
b p = P(3 rode) + P(3 witte) = = 0,2
62
103
41·
63
103
43
103
+
Binomiaal kansexperimentBij een binomiaal kansexperiment is :• n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd• X het aantal keer succes• p de kans op succes per keer• De kans op k keer succes is gelijk aan
P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk
a n = 6 en p = = 0,4
P(X = 4) = · 0,44 · 0,62 ≈ 0,138
b n = 12 en p = = 0,9
P(Y = 10) = · 0,910 · 0,12 ≈ 0,230
8
20
64
18
20
1210
Toevalswandelingen
opgave 58
a X = aantal keer in de richting ‘links’.X is binomiaal verdeeld met n = 9 en p = ½.
P(X = 4) = ≈ 0,246
b P(X = 6) = ≈ 0,164
c P(via postk. bij museum) = ≈ 0,117
d P(via postk. bij kerk) = ≈ 0,020
94
12
12
_ _4 5
96
12_ 6 1
2_ 3
52
12_ 1
2_2 3 4
212_ 2 1
2_ 2
· · · ·
52
12_ 1
2_2 3 4
412_ 4
· · · ·
4
5
6
3
· ·
· ·2
3
2
2
2
3
4
__·
De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)
11.4
11.4
opgave 60
a X = het aantal keer banaan.P(X = 5) = binompdf(10, 0.4, 5) ≈ 0,201
b X = het aantal keer appel.P(X = 3) = binompdf(18, 0.2, 3) ≈ 0,230
c X = het aantal keer appel.P(X ≤ 2) = binomcdf(20, 0.2, 2) ≈ 0,206
d X = het aantal keer banaanP(X = 4) = binompdf(5, 0.4, 4) ≈ 0,077
0,42
5
0,21
5
Binomiale kansen berekenen
Werkschema : het maken van opgaven over binomiale kansexperimenten1 Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X.2 Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met
binompdf of binomcdf.3 Bereken de gevraagde kans met de GR.
P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)
P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7)
11.5
opgave 74a Om in A uit te komen moet je 3 keer rechts.
X = het aantal keer rechts.P(X = 3) = binompdf(9, ¼, 3) ≈ 0,234
b Om via C in B uit te komen moet je eerst2 van de 4 keer naar rechts en dan nog eens4 van de 6 keer naar rechts.X = het aantal keer rechts.P(X = 2) · P(X = 4) = binompdf(4, ¼, 2) · binompdf(6, ¼, 4) ≈ 0,007
3
2
42
26
opgave 77a X = het aantal personen uit de klasse ’65 plus’.
P(X > 20) = 1 – P(X ≤ 20) = 1 – binomcdf(80, 0.13, 20) ≈ 0,001
b X = het aantal personen uit de klasse 20-39 jaar.P(X ≤ 15) = binomcdf(80, 0.31, 15) ≈ 0,010
c 0,20 · 80 = 160,40 · 80 = 32X = aantal personen uit de klasse 40-64 jaar.P(X tussen 16 en 32) = P(X ≤ 31) – P(X ≤ 16)
= binomcdf(80, 0.31, 31) – binomcdf(80, 0.31, 16) ≈ 0,926
p = 0,13
p = 0,31p = 0,31
De binomiale en de normale verdeling combineren
opgave 88a X = het aantal handelingen dat langer dan 3 minuten duurt.
X is binomiaal verdeeld met n = 80 enp = normalcdf(180, 1099, 160, 15) ≈ 0,091 …P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – binomcdf(80, 0.091 … , 9) ≈ 0,192
b 2 en een halve minuut is 150 secondenopp = normalcdf(-1099, 150, 160, 15) ≈ 0,2525De kans dat een handeling korter duurt dan 2½ minuut is 0,2525.180 · 0,2525 ≈ 45 handelingen minder dan 2½ minuut.
c X = het aantal handelingen dat langer dan 2 min. en 45 sec. duurt.Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0,99 metp = normalcdf(165, 1099, 160, 15) ≈ 0,369 … ? TI
1 – binomcdf(n, 0.369 … , 4) > 0,99
Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.369 … , 4).
Maak een tabel en lees af
voor n = 27 is y1 ≈ 0,989
voor n = 28 is y1 ≈ 0,992.
Dus minstens 28 remmen.
Casio
1 – P(X ≤ 4) > 0,99
Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,01
Proberen geeft
voor n = 27 is P(X ≤ 4) ≈ 0,011
voor n = 28 is P(X ≤ 4) ≈ 0,008.
Dus minstens 28 remmen.
150
11.5
Kansschaal
6.1
opgave 3
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
a de som van de ogen 10 is3 gunstige uitkomsten36 mogelijke uitkomstenP(som is 10) = 3/36 ≈ 0,083
b som is minstens 815 gunstige uitkomstenP(som minst. 8) = 15/36 ≈ 0,417
c rood meer dan geel15 gunstige uitkomstenP(rood meer dan geel) = 15/36 ≈ 0,417
Samengestelde kansexperimenten
het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van een kansexperimentkenmerkend voor een kansexperiment is dat de uitkomst niet vante voren vastligtvoorbeelden zijn:het gooien met een dobbelsteen en een geldstukhet gooien met 2 dobbelstenenhet gooien met 3 geldstukkenhet kopen van 3 loten in een loterij
het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteld kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij:2 kansexperimenten met een rooster3 of meer experimenten met systematisch noteren en/of
handig tellen
6.1
Samengestelde kansexperimenten
heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan bereken jekansen als volgt :bereken het aantal mogelijke uitkomstentel het aantal gunstige uitkomsten door deze systematisch te noteren
en/of handig te tellendeel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten
zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de gebeurtenis‘som van de ogen is 15’aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 = 216aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk
555663 , 636 , 366654 , 645 , 546 , 564 , 456 , 465
dus P(som is 15) = ≈ 0,0461 + 3 + 6
216
10
216=
6.1
opgave 12
v
dc
dc
500
50
50
50
50
500
dc
dc
v
a de vliegreis wintP(vliegreis) = 1/36 = 0,028
b de troostprijs wintP(troostprijs) = 12/36 = 0,333
c prijswaarde minstens 550 euroP(minstens 550 euro) = 5/36 = 0,139
d niets wintP(niets) = 13/36 = 0,361
Empirische en theoretische kansen
wet van de grote aantallendoor een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen
1 empirische kansenv.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog)empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruikenempirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken
2 theoretische kansenbij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een gebeurtenis is v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is 1/6je gebruikt de kansdefinitie van Laplace
3 subjectieve kanshoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de 100m.? onmogelijk
6.2
opgave 18
aantal fietsers per minuut 5 6 7 8 9 10
frequentie 15 20 8 10 4 3
a de telling duurde 15 + 20 + 8 + 10 + 4 + 3 = 60 minutenb totaal = 5×15 + 6×20 + 7×8 + 8×10 + 9×4 + 10×3 = 397 fietsersc P(er passeren 5 per minuut) empirische kans
schatting = 15/60 = 0,25
opgave 18
aantal per minuut 5 6 7 8 9 10
kans 0,25 0,333 0,133 0,167 0,067 0,05
d
20/60 =
aantal per minuut 5 6 7 8 9 10
frequentie 15 20 8 10 4 3
8/60 = 10/60 = 4/60 = 3/60 =
0 6 7 8 9 10
0,10
0,20
0,30
0,40
5
kans
aantal fietsers per minuut
e de som van alle kansen is 1je hebt alle mogelijke uitkomsten
opgave 19
b P(meer dan 3 minuten te laat) ≈ 0,2 + 0,2 = 0,4c P(minstens 2 minuten, niet meer dan 4 minuten) ≈ 0,15 + 0,25 + 0,2 = 0,6
a
0 1 2 3 4 5
0,10
0,20
0,30
0,40
0
kans
3/20 = 0,15
1/20 = 0,05
2/20 = 0,15
0,25
0,20 0,20
0,15
0,05
0,15
aantal minuten te laat
Simuleren
door een kansexperiment voortdurend te herhalen kun je kansen schattendat is echter een tijdrovend karweib.v. : de kans dat bij een vliegtuig de automatische piloot uitvaltdit soort kansexperimenten gaat men simuleren (nabootsen) met de computerdoor vervolgens relatieve frequenties te berekenen, schat je kansende grafische rekenmachine heeft opties om toevalsgetallen te genereren
6.2
Simuleren met de GR
TI
MATH-PRB-menu randIntmet randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele toevalsgetallen van 1 t/m 6
Casio
OPTN-NUM-menu Intg enOPTN-PROB-menu Ran#met Intg(4Ran# + 1) krijg je 1 van de getallen van 1, 2, 3 of 4
6.2
opgave 26
Bij een spel kan Rob per keer € 2 winnen, € 1 winnen, quitte spelen, € 1 verliezen en € 2 verliezen
elke mogelijkheid heeft dezelfde kans
Rob begint met € 20
Schat m.b.v. een simulatie de kans dat Rob na 10 spelletjes minstens € 25 bezit
selecteer de Random generator en kies bij instellingenvan -2tot 2aantal getallen per experiment 10vink gemiddelde aanvoer het experiment een aantal keren uit en tel hoeveel keer het gemiddelde minstens gelijk is aan 0,5de relatieve frequentie van deze gebeurtenis geeft een schatting van de gevraagde kans
43 + 4 + 1
voorbeeld 1 kruistabel
82151849
3351018geen
14716overige
162410supermarkt
191315krantenwijk
171615
leeftijda P(geen bijbaantje) = ≈ 0,402
b P(ouder dan 15) = ≈ 0,402
c P(krantwijk+16) = ≈ 0,037
d P(Een 16 jarige heeft krant) = ≈ 0,167
e P(Een supermarktwerker is 15) = ≈ 0,625
f P(jonger dan 17 en geen krantenw.) = ≈ 0,731
g P(Een 16 jarige met bijbaan, werkt in supermarkt) = ≈ 0,500
33
8218 15
+
82
382
3
82
318
3
181016
10 16
10 + 4 + 6 + 1 + 18 + 1049 + 18
er geldt P(Rh + onder de voorwaarden A) = P(Rh+)
dus
x =
170
200
x
60
voorbeeld 2 kruistabel
A niet A totaal
Rh+ x 170
Rh- 30
totaal 60 140 200
bloedgroepa
=
60 · 170200
= 51
51
9
b P(bloedgroep A en Rh-) = ≈ 0,045
c P(met Rh+ heeft A) = ≈ 0,3
9
20051
170
Kansbomen
bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruikenje gaat als volgt te werk :
– zet de uitkomsten bij de kansboom
– bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt
– vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst
6.3
Draaiende schijven
Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom
6.3
Onafhankelijke kansexperimenten
we gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten onafhankelijk zijndat betekent dat ze elkaar niet beïnvloedenalleen dan mag je de kansen in de kansboom vermenigvuldigenals de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de kansboom niet vermenigvuldigen
afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor
6.3
opgave 39
a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4= 2/24 ≈ 0,083
b P(ke,ke,ke) = 1/4 × 1/3 × 1/2 = 1/24 ≈ 0,042
c P(ci,ci,ba) = 1/4 × 1/3 × 1/2= 1/24 ≈ 0,042
d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0= 0
opgave 40
a empirische kansb P(soep,vlees,ijs) = 0,6 × 0,5 × 0,8 = 0,24c P(salade,vegetarisch,pudding) = 0,4 × 0,2 × 0,2 = 0,016d P(soep,vis,ijs) = 0,6 × 0,3 × 0,8 = 0,144
dus naar verwachting 500 × 0,144 = 72
De somregel
als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebbendus als de gebeurtenissen elkaar uitsluitenhebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan
geldt de somregel niet zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aanP(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’
en ‘product is 4’ hebben de uitkomst gemeenschappelijk
voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel:
P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)
6.4
opgave 46
a P(geen banaan) = P(bbb)
= 2/4 × 2/3 × 3/5= 12/60 = 0,2
b P(2 citroenen en 1 banaan)= P(ccb) + P(cbc) + P(bcc)= 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 2/4 × 1/3 × 2/5= 8/60 ≈ 0,133
c P(3 dezelfde) = P(bbb) + P(ccc) + P(kkk)= 2/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 2/5 + 1/4 × 1/3 × 1/5= 7/60 ≈ 0,117
d P(2 keer kersen) = P(kkk) + P(kkk) + P(kkk)= 1/4 × 1/3 × 4/5 + 1/4 × 2/3 × 1/5 + 3/4 × 1/3 × 1/5= 9/60 = 0,15
e P(1 banaan) = P(bbb) + P(bbb) + P(bbb)= 2/4 × 2/3 × 3/5 + 2/4 × 1/3 × 3/5 + 2/4 × 2/3 × 2/5= 26/60 ≈ 0,433
opgave 49
a P(3 rode) = P(r r r)= 2/5 × 2/5 × 2/5 = 0,064
b P(geen rode) = P(r r r)= 3/5 × 3/5 × 3/5 = 0,216
c P(2 rood en 1 blauw) = P(r r b) + P(r b r) + P(b r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 1/5 = 0,096
d P(2 rood) = P(r r r) + P(r r r) + P(r r r)= 3 × 2/5 × 2/5 × 3/5 = 0,288
2 rood van de 53 niet rood van de 52 rood van de 5
1 blauw van de 5
2 rood van de 5
3 niet rood van de 5
opgave 55
jaarlijks 15% van de Nederlanders op vakantie naar Spanjevoor een onderzoek worden willekeurig 10 Nederlanders gevraagd
a P(niemand) = 0,8510 ≈ 0,197
b P(precies 2) = × 0,152 × 0,858 ≈ 0,276
In een klas krijgen alle 23 leerlingen de opdracht om willekeurig 10 Nederlanders te ondervragen.
c P(precies 2) = 0,276Dus de verwachting is dat het bij 0,276 × 23 ≈ 6 leerlingen is.
10 2