Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan
-
Upload
agma-tinoe-mauludy -
Category
Documents
-
view
781 -
download
24
Transcript of Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan
OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN
Oleh : Hafidh Munawir
BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK
I. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2
Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2
II. Bentuk Non- Linier:II. Bentuk Non- Linier:2.1. Fungsi Kuadrat :
Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 – 2X2
2
2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1X1.a2
X2
Y = 5. 0,8X1. 0,4X2
Lanjutan:
2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2
a2
Contoh: Y = 50.X10,7.X2
0,4
2.4. Fungsi Transedental : 2.4. Fungsi Transedental :
Y = ao.X1a1.X2
a2 .eb1X1.eb2X2
Y = 50.X10,7.X2
0,4. e 0,6X1.e.0,5X2
BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA
Fungsi Tak Berkendala
Fungsi Berkendala
PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA
Contoh : Fungsi Keuntungan :
),( 21 QQf
π = KeuntunganQ1 = Output Q1Q2 = Output Q2
2221
2121 2.21812 QQQQQQ
Dari fungsi ini :Variabel Q1 dan Q2 independen
(tidak saling tergantung)(tidak saling tergantung)Besaran Q1 dan Q2 tidak ada
pembatasTitik optimum fungsi adalah titik
”Optimum Bebas”
Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0
)1....(..........04120Q 21
)2...(..........04180
)1....(..........04120Q
212
211
QQQ
Substitusi (1) & (2), didapat :
4*
2*
2
1
Q
Q *)*,(* 21 QQf
asOptimumBebQQ **,2*,1
PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA
Fungsi Berkendala:
Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas
),( 21 QQf ……… Fungsi Tujuan
Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas
Perusahaan memproduksi 2 macamproduksi (Q1&Q2) dengan tujuanmemaksimumkan keuntungan;
Lanjutan:
Masalah yang dihadapi adalah terbatasnyamodal, sehingga jumlah produksi dibatasi(kuota produksi) 950 satuan.Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?
Lanjutan:
Keuntungan Maksimum tersebutdisebut ‘Titik Optimum Terkendala”atau “Maksimum Terkendala”atau “Maksimum Terkendala”Salah satu Cara menentukan titik
optimum terkendala yaitu denganMetode pengali Lagrange (LagrangeMultipliers)
Persamaan dengan kendala U = f (x, y)………Fungsi Tujuan
ax + by = c…...Pers.Kendala.
Persamaan lagrange
Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange
Persamaan Lagrange:Z = f(x,y) + λ (c – ax – by)
Langkah2 metode lagrange Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan
lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx =
0, Zy = 0, dan Zλ = 0 Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga
mendapatkan nilai x0, y0, dan λ0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, λ0
ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle pointa. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimumb. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0maksimumc. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)
Contoh Soal :
Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya):C = 6x2 + 3y2
Dengan Kendala:x + y = 18x + y = 18Tentukan :a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya
Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.
Jawaban:Fungsi Lagrange:
C = 6x2 + 3y2 + λ ( 18 – x – y)
Turunan Pertama = 0dC/ dx = Zx = 12x – λ = 0……….(1)dC/ dy = Zy = 6y - λ = 0…………(2)dC/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0 .....…(3)
MENENTUKAN TITIK KRITIS
Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4):(1) Zx=0=12x-λ(2) Zy=0=6y-λJadi : 12x-6y=0 ..............(4) (3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6x – 6y = 0(3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6x – 6y = 0(4) 12x-6y = 0 x 1 12x – 6y = 0Jadi : 108-18x = 0
x = 6 ; y = 12, λ = 72f(x,y) = 6x2 + 3y2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648Titik kritis (6,12,648)
Menentukan maks/min/saddle Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 – 0*0 = 72
Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)
Lanjutan: Fungsi Utilitas
Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala:
Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas :U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas)Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2.dan Q2.
Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60.
Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?
Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas):
6024.. 212211 QQMQPQP QQ
BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)
Q2
I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)
BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)
Q1Q1*
Q2*
0
Metode Pengali LagrangeMenentukan Fungsi Lagrange:
U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2).
Turunan Petama Fungsi = 0.dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1)dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...….(2)dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)
Subtitusikan (1) ke (2):
Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ :(1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1)(2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ = 0 ……...(x2)Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0
(2)....2Q1 - 4 λ = 0.jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0 Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)
Substitusikan (a) ke Persamaan kendala:
Substitusikan (a) ke persamaan (3):dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3)Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 060 – 8Q + 4 = 0………Q * = 8.60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8.
(3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 028 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.
II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL
Formulasi Masalahnya adalah:Meminimisasi biaya:C = P1.X1 + P2.X2………Fungsi Tujuan
(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)
Dengan Kendala Quota Produksi:Q0 = f ( X1, X2 )…………Pers.Kendala
(Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)
Fungsi Lagrange:
C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo – f (X1,X2)]Menentukan Turunan Pertama Fungsi:dC/dX1 = f1 = 0 …………..(1)dC/dX2 = f2 = 0 …………..(2)dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)
SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA
1. Minimisasi biaya dengan kendala output:
Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2;
dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;Tentukan:a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum minimum.
Lanjutan: soal latihan
2. Minimisasi Biaya Kendala Output:
Diketahui TC = 6Q12 + 3Q2
2; dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum
minimum.
Lanjutan: soal latihan
3. Minimisasi Biaya kendala output:Diketahui fungsi tujuan: TC=Q1
2+2Q22-Q1.Q2;
dengan kendala: Q1+Q2=8. Tentukan:
a.Jumlah Q dan Q yang meminimum a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
Lanjutan: Soal latihan
4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X1
2 +10X1.X2-7X22+40X1; kendala
X1+X2=1. Tentukan:a.Jumlah Q dan Q yang memaksimum TP;a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan5. Maksimisasi produksi kendala Biaya:Diketahui fungsi tujuan: TP=X1
2+5X1.X2-4X22, dengan
kendala: 2X1+3X2=74. Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran:
Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut
adalah optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala:2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan :
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan8. Optimasi utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 – 2Q12 –
Q22. dengan kendala: Q1+Q2 = 9.Tentukan:a.Jumlah Q dan Q yang memaksimum Utilitas;a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
Lanjutan: soal latihan
9. Optimasi utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2 – Q12 –
Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26.Tentukan:Tentukan:a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
Lanjutan: Soal jawab
10. Optimum Utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2.
Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan:a. Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Tentukan U optimum;c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.
Lanjutan: soal latihan
11. Optimasi utilitas kendala anggaran:Fungsi Utilitas :U = 4Q1Q2 – Q1
2 – 3Q22
Fungsi Anggaran :Fungsi Anggaran :2Q1 + 3Q2 = 45Tentukan:a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitasb. Tentukan U optimum,buktikan bahwa Uoptimum adalah optimum maksimum.