kalkulus

”BARISAN DAN DERET”

I. Berisan yang konvergen / divergen

Barisan konvergen jika sukunya menuju limit, contoh :

1. , , , , ... = konvergen ke 0

2. , , , , ... = konvergen ke 1

3. 3, 6, 9, 12, ... = {3n} divergen

Untuk (1) un = = 0

Untuk (2) un = = 1

Untuk (3) un = 3n=

Soal : Tentukan konvergensi dari barisan berikut :

1. 0, , , , ...

2. , , , , ...

3. , , , , ...

II. Deret

Deret tak hingga adalah jumlah dari barisan tak hingga.

Jenis deret :

1. Deret Positif

1 + + + + ... + + ... = un =

2 + 4+ 6 + 8+ ... + 2n + ... = un = 2n

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Muchsinah M.SiKALKULUS LANJUT

2. Deret Negatif = (deret positif)

1 – – ... ...

4 8 12 16 ... 4n ...

3. Deret Alternating

3 – 3 + 3 – 3 + ... + (1)n-1 3 + ...

1 + ... + (1)n-1 + ...

Konvergensi deret positif :

Pandang deret :

+ + + + ... (*)

S1 = U1 = = 0,3

S2 = U1 + U2 = + = = 0,33

S3 = U1 + U2 + U3 = + + = = 0,333

...

S = 0.333... =

S1, S2, S3, ... disebut jumlah sebagian / partial sum dari deret.

Deret konvergen jika jumlah sebagiannya menuju limit atau Sn = S dan S

disebut jumlah dari deret. Tetapi jika Sn = maka deret divergen.

Pandang deret

1 + + + + ... + + ... (**)

S1 = U1 = 1

S2 = U1 + U2 = 1 + = 1

S3 = U1 + U2 + U3 = 1 + + = 1

S4 = U1 + U2 + U3 + U4 = 1 + + + = 2


S =

Pada (*) Sn = dikatakan deret konvergen serta jumlah (*) =

Pada (**) Sn = dikatakan deret divergen serta jumlah (**) adalah

Ingat!!

1. Teorema deret harmonis orde p (deret hiperharmonis) deret = 1 +

+ + + ...

konvergen untuk p > 1 dan divergen untuk p < 1

Contoh :

1 + + + ... + + ... p = divergen

1 + + + ... + + ... p = 1 divergen

1 + + + ... + + ... p = 2 konvergen

2. Teorema Deret Geometri / deret ukur

Deret arn = a + ar + ar2 + ar3 + ...

konvergen untuk | r | < 1 atau 1 < r < 1 serta jumlahnya = arn =

dan divergen untuk | r | > 1 r < 1 atau r > 1

Bukti :

Sn =

Sn = = jika | r | < 1 karena rn 0

= jika | r | > 1

Contoh :


5 + + + + + ... a = 5 ; r = < 1 konvergen

Un = jumlah deret = = = 10

4 + 6 + 9 + + ... a = 4 ; r = > 1 divergen Un =

Beberapa cara menguji konvergensi deret positif :

1. Tes banding untuk konvergensi

untuk divergensi

2. Tes integral

3. Tes rasio / perbandingan

TES BANDING

Teorema : (Tes banding untuk konvergensi)

Jika an < bn untuk n = 1, 2, 3, ... dan bn konvergen

maka an konvergen

Contoh : Tentukan konvergensi deret

n = 1 < 1

n = 2 <

n = 3 <

dst


Diketahui konvergen, maka juga konvergen.

Teorema : (Tes banding untuk divergensi)

Jika an > bn > 0 untuk n = 1, 2, 3, ... dan bn divergen

maka an divergen.

Contoh : Tentukan konvergensi deret

n = 2 >

n = 3 >

dst

Diketahui divergen, maka juga divergen.

TES INTEGRAL

Teorema : (Tes Integral)

Misalkan y = f (x) positif dan memenuhi syarat sebagai berikut :

(1) f (x) tertentu dan kontinu untuk c < x <

(2) f (x) menurun untuk x bertambah dan f (x) = 0

(3) f (n) = un


Maka deret un konvergen atau divergen sesuai dengan integral tak

wajar dx konvergen atau divergen, dengan c adalah bilangan bulat

positif.

Contoh : (1) Selidiki konvergensi dengan tes integral

Jawab : =

= 50

= 50

= 50 50

= 50 50 + 50 2

= 50 2

konvergen

(2) Selidiki konvergensi

Jawab : f (x) =

f (x) dx =

=

=

=

divergen


TES RASIO

Tes rasio : Misal = L

Jika L < 1, maka un = konvergen

Jika L > 1, maka un = divergen

Jika L = 1, tes tak memberi hasil

Contoh-contoh soal :

1. Selidiki konvergensi dari deret

+ + + + ...

Jawab : un un+1 =

= .

= = divergen

2. Selidiki deret : 1 + + +...

Jawab : un =

Un+1 =

= = < 1 konvergen

3. 1 + + + + ... selidiki!

Jawab : un = un+1 =


= . =

= = 1 tes tak memberi hasil

coba dengan test yang lain! Akan dicoba dengan tes banding

Kita ketahui bahwa deret (deret harmonis) adalah divergen

Suku ke n deret yang diselidiki= un = > untuk n = 1, 2, ...

menurut tes banding untuk divergensi deret dengan

un = juga divergen deret divergen

4. 1 + + + + ... + + ... selidiki!

Jawab : Tes rasio tidak berhasil karena

= = 1

Akan dicoba dengan tes integral :

un = f (n) = f (x) =

f (x) tertentu dan kontinu untuk 1 < x <

f (x) menurun untuk x bertambah dan

f (x) = 0 maka =

. d (2x 1) = ln (2x 1)]

= ln ln

= deret divergen

Konvergensi Deret Alternating

I. Teorema


Deret alternating u1 u2 u3 u4 + ... = (1)n1 un konvergen jika dipenuhi :

(1) un > un+1 suku-sukunya menurun dalam nilai absolut

(2) un = 0

Contoh :

+ + ... + (1)n1 selidiki

(1) un > un+1 terpenuhi

(2) un = = 0 terpenuhi Deret konvergen

3 – 2 + + ... + (1)n1

(1) un > un+1 terpenuhi

(2) un = = 1 tak terpenuhi deret divergen

II. Konvergen absolut

Deret un = u1 + u2 + u3 + u4 + ... dengan suku berganti-ganti tanda disebut

konvergen absolut jika | un | = | u1 | + | u2 | + ... + | un | + ... konvergen

Contoh :

1 + + ... selidiki menurut Teorema I konvergen

deret dimutlakkan menjadi :

1 + + + + ... +

= . = =

< 1 deret positif konvergen

deret di atas = (1)n1 konvergen absolut

III. Konvergen bersyarat

Jika un (alternating) konvergen sedangkan | un | divergen maka un disebut

konvergen bersyarat.


Contoh :

1 + + ... +(1)

(1) un > un + 1

(2) un = = 0 } konvergen

Deret dimutlakkan menjadi

1 + + + ... + divergen (sudah dibuktikan dengan tes banding).

deret (1)n1 konvergen bersyarat

IV. Tes Rasio Untuk Konvergen Absolut

Deret alternating konvergen absolut jika < 4 dan divergen

jika > 1 Jika limitnya = 1, tes tak memberikan hasil.

Contoh :

Selidiki deret : 2 + + ...

Jawab : un = (sebelumnya deret dimutlakkan)

Un+1 =

= = = 0 < 1 deret konvergen absolut

LATIHAN

1. Tunjukkan konvergen atau divergen deret-deret berikut dengan tes integral.

a. c.

b. d.


2. Tunjukkan konvergen atau divergen deret-deret berikut dengan tes banding.

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k. l.

3. Tunjukkan konvergen atau divergen deret-deret berikut dengan tes rasio.

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

i. j.

4. Selidiki deret alternating berikut ini apakah konvergen atau divergen

a. (1)n-1 b. (1)n-1

c. (1)n-1 d. (1)n-1

e. (1)n-1 f. (1)n-1

5. Selidiki apakah deret alternating di bawah ini konvergen absolut atau konvergen

bersyarat

a. (1)n-1 b. (1)n-1

c. (1)n-1 d. (1)n-1

e. (1)n-1 f. (1)n-1


g. (1)n-1


kalkulus

Documents

Transcript of kalkulus