Kafes Sistemler - DEUkisi.deu.edu.tr/mehmet.zor/muhmeksoru/SUNU5_Kafes_Sistemler.pdf · Kafes...
Transcript of Kafes Sistemler - DEUkisi.deu.edu.tr/mehmet.zor/muhmeksoru/SUNU5_Kafes_Sistemler.pdf · Kafes...
Birbirlerine uç noktalarından bağlanmış çubuk elemanların oluşturduğu sistemlerdir.
Kafes Sistemler
Birçok uygulama alanları vardır. • Çatı sistemlerinde, • Köprülerde, • Kulelerde, • Ve benzeri bir çok yapılarda kullanılır.
Kafes Sistemler
Kafes Sistemler
Başlıca Özellikler ve Kabuller:
Bağlantı noktalarında (düğümlerde) sadece tekil
kuvvetler oluşur. Bağlantılardaki moment tepkisi
ihmal edilir.
Herbir çubuğa ekseni doğrultusunda kuvvet düşer.
Tüm çubuklar çift kuvvet elemanıdır.
Çubuk ağırlıkları ihmal edilir.
Sisteme sadece bağlantı noktalarından dış
kuvvetler etki eder.
Herbir bağlantı noktasına «düğüm noktası» ismi verilir.
Kafes Sistemler
Ders kapsamında amacımız: Dış kuvvetler belli iken, herbir çubuğa veya belirli çubuklara düşen kuvvetleri hesaplamaktır. Ders kapsamında sadece düzlem kafes sistemler incelenecektir.
1- Uzay Kafes Sistemleri: 3 Boyutlu sistemlerdir.
Tipleri:
2- Düzlem Kafes Sistemleri: 2 boyutlu sistemlerdir.
(3 boyutlu olmasına rağmen, geometri, yükleme ve dış bağlantıların
simetrikliliği söz konusu ise 2 boyutta incelenebilen sistemler de olabilir.)
Kafes Sistemler
Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetler ve Hesaplama Yöntemleri :
• Kafes sistemlerde herbir düğüm noktasına ve çubuklara düşün
kuvvetleri daha net görebilmek için yandaki örneği inceleyelim.
• Dikkat edilirse herbir düğüme, bağlı olduğu çubukların herbirinden bir kuvvet gelir.
• Çubuklara ise eşit şiddette-zıt yönde bağlı olduğu herbir düğümden bir tepki kuvveti gelir (etki-tepki).
• Tüm düğüm ve çubuk kuvvetleri sistemin iç kuvvetleri olarak isimlendirilir ve toplamları sıfırdır.
• Bir iç kuvvetin ( örn: ) doğrultusu mutlaka çubuğa paraleldir. Yönü sağa mı sola mı seçilmeli? Bu sorunun cevabı ise:
İlk kez bu kuvvet yerleştirilirken sağ veya sol yönden birisi keyfi seçilir. Ancak aynı kuvvetin yönü 2., 3., yerleştirmede keyfi seçilemez. İlk yerleştirmeye bağlı olarak
seçilir. Örneğin kuvveti ilk kez yerleştirilirken keyfi olarak A düğümüne sola doğru etki ettirlimiş. AC çubuğunun A ucuna mecburen sağa olmalıdır (etki-tepki). AC
çubuğunun C ucuna sola doğru olmaldır ki çubuk dengede olsun. C düğümüne ise sağa olmalıdır (etki-tepki). Hesaplar sonucu kuvvetin işareti «-» çıkarsa seçtiğimiz
yönün tersine yönde olduğunu gösterir. Ancak bu durumda kuvvetin yönü çevrilmez, hesaplarda «-» işareti ile birlikte kullanılır.
30kN
Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetleri Hesaplama Yöntemleri :
Aynı örneğe devam edersek:
Öncelikle bağlantı noktalarındaki kuvvetler
tüm sistemin dengesinde hesaplanır. Bu
hesaplamada sistem
𝐹𝑥=0 → −𝐸𝑥 + 𝑇. cos 30𝑜 = 0
𝐹𝑦=0 → 𝐸𝑦 + 𝑇. 𝑠𝑖𝑛 30𝑜 − 30 − 20 = 0
𝑀𝐸=0 → −𝑇. 5 + 20.5 + 30.10 = 0
T= 80kN
𝐸𝑥= 69.28kN
𝐸𝑦=10 kN
bulunur.
Çubuk veya Düğümlere Düşen Kuvvetleri Hesaplama Yöntemleri :
Şimdi iç kuvvet ismi verdiğimiz çubuk ve düğümlere
düşen kuvvetleri hesaplayacağız. Bunun için 2
yöntem vardır:
1. Yöntem : Düğüm Yöntimi
• Bu yöntemde herbir düğümün dengesi yazılır ve
kuvvetler hesaplanır.
• Herbir düğüm için 𝐹𝑥=0 , 𝐹𝑦=0 olmak üzere
2 denklem yazılabilir. Tüm kuvvetler aynı
noktadan geçtiği için moment denklemi
yazılamaz. Bu nedenle bir düğümde 2
bilinmeyen olması gerekir. Çözüm aşamasında
düğüm sırası önemlidir. Örnekten bu durum
daha iyi anlaşılacaktır.
Çözüm: A düğümünden başlanabilir. Çünkü 2 bilinmeyen kuvvet vardır.
𝐹𝑥=0
𝐹𝑦=0
→ −𝐹𝐴𝐶+𝐹𝐴𝐵 cos 60𝑜=0
-30+𝐹𝐴𝐵 sin 60𝑜=0 →
→ 𝐹𝐴𝐶= 17.32𝑘𝑁, 𝐹𝐴𝐵= 34.64kN
𝐹𝑥=0 → −𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 34.64 cos 60
𝑜=0
𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 − 34.64. 𝑠𝑖𝑛 60𝑜=0
→ 𝐹𝐵𝐶= 34.64𝑘𝑁, 𝐹𝐵𝐷= 34.64kN
𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐶𝐷 cos 60
𝑜=0
𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 𝐹𝐶𝐷 𝑠𝑖𝑛 60
𝑜-20 = 0
→ 𝐹𝐶𝐷= 57.74𝑘𝑁, 𝐹𝐶𝐸= 63.51kN
Benzer şekilde E veya D düğümlerinin dengesinden 𝐹𝐷𝐸= 11.55𝑘𝑁 𝑏𝑢𝑙𝑢𝑛𝑢𝑟.
2. Yöntem : Kesim Yönetimi
Bu yöntem mekaniğin önemli bir prensibi olan ayırma prensibine
dayanır.
Ayrıma prensibi: dış kuvvetlerin etkisindeki bir sistem dengede
ise, hayâli bazda ayırdığımız bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin
etkisiyle ayrı ayrı dengededir.
İncelediğimiz örnekteki kafes sistem dış kuvvetlerin etkisi ile
dengededir. O halde hayali olarak yaptığımız I-I kesiminden
sonra sol veya sağ parçası da dengededir.
Bu parçalara, kesilen bölgeden çubuk kuvvetleri dış kuvvet gibi
etki ettirilir. Ve 3 denge denklemi ( 𝐹𝑥=0, 𝐹𝑦=0, 𝑀𝐸=0 )
yardımıyla bu çubuk kuvvetleri bulunur.
I - I kesiminde sol tarafın SCD si ve dengesi
𝐹𝑥=0 → 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 − 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐴𝐶=0
𝐹𝑦=0 → −𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜-30 = 0
𝑀𝐶=0 → 𝐹𝐵𝐷. 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜-30x5= 0
𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷=− 34.64𝑘𝑁,
işaretinin negatif «-» çıkması seçtiğimiz yönün tersine olduğunu gösterir.
Kuvvet yönleri ilk defa keyfi seçilir. 3 denklemden 3 bilinmeyen bulanabileceği için genelde ilk kesimde 3 çubuk kesilir..
I - I kesiminde sağ tarafın SCD si ve dengesi
𝐹𝑥=0 → − 𝐹𝐵𝐶cos 60𝑜 + 𝐹𝐵𝐷 − 𝐹𝐴𝐶 - 69.28 + 80. cos 30𝑜 =0
𝐹𝑦=0 → 𝐹𝐵𝐶 . 𝑠𝑖𝑛 60𝑜 + 80. sin 30𝑜 − 20 + 10 = 0
𝑀𝐸=0 → 𝐹𝐵𝐷 . 5. 𝑠𝑖𝑛60𝑜 + 𝑇. 5 − 20.5 + 𝐹𝐵𝐶 . sin 60𝑜= 0
𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐵𝐷= − 34.64𝑘𝑁,
Diğer çubuk kuvvetlerini bulmak için II-II kesimi yapılabilir
II
II
Örnek Problem: Verilen kafes
sistemindeki çubuk kuvvetlerini düğüm
metodunu kullanarak bulunuz.
𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝐴𝐷.sin 𝜃 = 𝑆𝐴𝐵 − 𝑆𝐴𝐷.3
5
𝑆𝐴𝐷.𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 20 = 𝑆𝐴𝐷.4
5 − 20
𝑆𝐷𝐸 − 𝑆𝐴𝐷.sin 𝜃 + 𝑆𝐷𝐵 Sin 𝜃 = 𝑆𝐷𝐸 − 25.3
5+𝑆𝐷𝐵
3
5
−𝑆𝐴𝐷.Cos 𝜃 +𝑆𝐷𝐵 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 25.4
5+𝑆𝐷𝐵
4
5
Örnek: Şekildeki kafes sistemde GE, GC ve BC çubuklarındaki kuvvetleri bulunuz
Çözüm: a
a
G
BC
BC
M 0
300(4) 400(3) F (3) 0
F 800 N (T)
C
GE
GE
GE
M 0
300(8) F (3) 0
F 800 N
F 800 N (C)
y
GC
GC
F 0
3300 F 0
5
F 500 N (T)
Örnek: CF çubuğundaki kuvveti bulunuz.
Çözüm:
Mesnet tepkileri bulunur. a
a
O
o
CF
CF
M 0
F sin45 12m 3kN 8 m 4.75kN 4m 0
F 0.589kN C
Örnek: EB çubuğundaki kuvveti bulunuz.
a
a b
b
B
oED
ED
ED
M 0
1000(4) 3000(2) 4000(4)
F sin 30 (4) 0
F 3000 N
F 3000 N (C)
x
o oEF
EF
EF
y
o oEF EB
EB
F 0
F cos30 3000cos30 0
F 3000 N
F 3000 N (C)
F 0
F sin 30 3000sin 30 1000 F 0
F 2000 N (T)
a-a kesimi
b-b kesimi