1

Kære selvstuderende i matematik A

rslag til

materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag.

Eksaminationsgrundlaget for matematik C og nationsgrundlaget for selvstu-

- s-

C-, B- og A-niveau. Du kan enten repetere det pågældende stof ved at læse i de bøger du

selv har brugt på tidligere inveauer, eller du kan læse i Matema10k B der ud over B-niveau indehol-

der en kort repetition af C-niveauet.

til emneopgaver eller projekter, som du skal lave. Disse kan du se til sidst i materialet.

Tidligere eksamenssæt til den skriftlige eksamen kan findes her (se dem som om- handler Matema-

tik A, STX). http://www.uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale-uddannelser/Proever-og-

eksamen/Skriftlige-opgavesaet/Opgavesaet-for-stx

lærerplanen.

http://www.uvm.dk/Uddannelser/Gymnasiale-uddannelser/Studieretninger-og-fag/Fag-paa-

stx/Matematik-stx

Du skal bruge en lommeregner med CAS værktøj eller et program til computeren med CAS. Jeg

kan anbefale TI-nSpire da det er ret let at finde ud af, der findes også en gratis udvidelse til word

der hedder wordmath der er frit valg, men der kommer opgaver til den skriftlige eksamen der ikke

kan løses uden CAS-værktøj.

nSpire kan enten købes som en håndholdt lommeregner, som app til iPad (muligvis også til android)

eller som software til computeren (sidstnævnte kan lejes for et år). Kan f.eks. skaffes via denne

hjemmeside: http://ef.praxis.dk/Forside-EF/250080__Texas-TI-Nspire-CAS-elevsoftware.aspx

Wordmat kan hentes her: http://www.eduap.com/wordmat/

Du kan finde vejledninger til begge programmer på you tube.

Mvh Pernille Postgaard

2

Eksaminationsgrundlag

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Termin Vinter 2014 sommer 2015

Institution 414 Københavns VUC

Uddannelse stx

Fag og niveau Matematik A

Selvstuderende

eksaminator Pernille Postgaard pp@kvuc.dk

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Titel 1 Vektorer og analytisk geometri i 2d

Titel 2 Vektorer og analytisk geometri i 3d

Titel 3 Mere om differentialregning, integralregning samt trigonometriske funktio-

ner

Titel 4 Differentialligninger

Titel 5 Statistik

3

Titel 1

Vektorer og analytisk geometri i 2d

Indhold Kernestof

Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007

Siderne 13-42 + 47-67 Emner:

Definition, koordinater, skalarprodukt, projektion, tværvektor, parameterfremstil-ling og ligning for ret linie, afstandsformler, skæring og cirklens ligning

Supplerende stof

intet særligt men mere vægt på bevisførelse end der forventes i kernestoffet

Særlige fokus-

punkter

Kompetencer

Forståelse af begrebet herunder forskel på regning med tal og med vekto-

rer

Forståelse af den deduktive opbygning

Progression

God tid til bearbejdning af beviserne

Titel 2

Vektorer og analytisk geometri i 3d

Indhold Kernestof

Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007

Siderne 72-122 Emner:

Koordinater, skalarprodukt, projektion, krydsprodukt, liniens parameterfrem-stilling, afstandsformler, skæring mellem figurer Supplerende stof: Planens parameterfremstilling

Særlige fokus-

punkter

Kunne give en analytisk beskrivelse af geometriske figurer i koordinatsystemer. Matematisk bevisførelse

4

Titel 3

Mere om differentialregning, integralregning samt trigonometriske funkti-

oner

Indhold Kernestof

Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007

Siderne 157-189 + 191-200

Supplerende stof

Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007

Overgangsformler bla. s. 160, additionsformler s. 162

Materiale: Math through the Ages, Berlinghoff & Gouvêa, Oxton House Publishers, 2004

Siderne 185-190

Sinusfunktionens historie

Særlige fokus-

punkter

forståelse af CAS's muligheder til bevisførelse ved "regnetunge" beviser

ræsonnement og bevisførelse inden for infinitesimalregning

forståelse af matematikken i samspil med historisk, videnskabelig og kulturel ud-

vikling

læsning af matematisk stof på engelsk

Titel 4

Differentialligninger

Indhold Kernestof

Emner:

Opstilling af differentialligning

Løsning vha. cas

Eksakt løsning

Materialer

Matema10k for gymnasiet A niveau (Thomas Jensen m.fl.), frydenlund 2007

s. 203-211 nederst, 236-248

Projekt om HIV epedimien i Vancover LE

Projektbeskrivelse sendes til censor

Særlige fokus-

punkter

forståelse af begrebet

opstilling af model

bevisførelse

5

Titel 5

Statistik - repetition

Indhold Kernestof

Deskriptiv statistik og statistiske modeller (grupperede og ikke-grupperede observationer, deskriptorer, boksplot)

Chi i anden Materiale

Gyldendals gymnasiematematik grundbog C,Clausen m.fl., Gyldendal, 2005 s. 97-113 Vejen til Matematik B2, Nielsen og Fogh, HAX, 2. udgave, 2011 s. 158-163+165, 167-174 (chi i anden) Supplerende stof

En anden statistisk model formodes gennemgået på B-niveau da dette er et suppleringskursus fra B-A og alle derfor har bestået mat B.

Særlige fokus-

punkter

Opgaveregning med chi i anden

6

Geometriprojekt

A. Den retvinklede trekant I skal redegøre for definition af cosinus, sinus og tangens (enhedscirklen)

B. Beviser for cosinus og sinus relationerne I skal finde beviser for både cosinus- og sinusrelationerne og redegøre for disse

beviser.

(Hvis man har brug for ekstra udfordring: Der findes f.eks. nogle beviser hvor man

bruger vektorer se evt. i A-bogen)

C. Bevis for Pythagoras sætning Der findes mange beviser for Pythagoras sætning, I skal finde et bevis og redegøre

for det.

I kan lede på nettet (f.eks. på www.matematiksider.dk eller via Google ). Eller i an-

dre matematikbøger.

7

DIFFERENTIALREGNING 1.

Definition af differentialkvotient

Forklar hvad det vil sige at en funktion er differentiabel i et punkt x0 med differentialkvotienten

)( 0xf . Forklaringen skal indeholde en grafskitse med sekanter og tangent. Tegn den meget gerne

” ”

Giv også et (grafisk) eksempel på en funktion der ikke er differentiabel i et punkt.

Og forklar hvorfor den ikke er differentiabel.

2.

Tretrinsreglen.

Gør rede for tretrinsreglen og vis et eksempel på brug af tretrinsreglen. I kan f.eks. vælge at finde

differentialkvotienten for 2)( xxf eller xxf )( eller x

xf1

)( .

3.

Monotoniforhold.

Forklar hvordan man kan finde monotoniforholdene for en funktion )(xf ved hjælp af dens aflede-

de funktion )(xf .

Find desuden monotoniforholdene og de lokale ekstrema for funktionerne

296)( 23 xxxxf og 5126)( 23 xxxxg og 4835,0)( 23 xxxxh

Illustrér grafisk.

Hvor mange vandrette tangenter kan et tredjegradspolynomium have?

8

HIV epidemien i Vancouver’s Lower East side Frit oversat efter University of British Columbia UBC Calculus Online Course Notes

(kilde http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/mordifeqs/hiv.html)

Aviscitat fra 8 okt 97

” Der er god grund til den fortvivlelse der hænger over Vancouver’s Downtown Eastside

.... Forskere har konstateret at de 6000 til 10000 heroin misbrugere, som bor i dette slum

kvarter har udviklet den vestlige verdens højeste hiv smitte transmission – 18,6 % !

Oversat: Hvis 1000 narkomaner er Hiv negative vil 186 af dem efter et år være smittet.”

Avisen beskrev gennem en serie artikler den alvorlige Hiv epidemi der raserede i kvateret

(VLE) og truede med at sprede sig til de omliggende områder.

De smitteramte var mest stiknarkomaner ,som levede under kummerlige forhold i slumlejligheder.

Smitten blev hovedsagelig overført ved brug af fælles nåle, selvom ubeskyttet sex sandsynligvis også

var medvirkende årsag. Smitten ud af området foregik selvfølgelig

primært ved ubeskyttet sex.

I det følgende vil vi prøve at opstille en differentialligningsmodel på baggrund af denne epidemi for at

se, hvordan de matematiske metoder kan indgå i diskussionen af sygdommens udbredelse og evt fore-

byggende foranstaltninger.

Formålet er ikke at producere en fuldstændig beskrivelse af dette komplicerede social-medicinske pro-

blem , men blot at bruge forenklede antagelser til at opstille en matematisk model. Ved at løse de op-

stillede ligninger kan vi så få en fornemmelse

af , hvorledes sygdommen spreder sig. Altså

Formål

a) Få indsigt i dynamikken i HIV epidimien

b) Foreslå forebyggende midler

c) Træne opstilling af modeller og løsning af differentialligninger

Kendsgerninger:

antal stiknarkomaner i VLE : 6000-10000

heraf allerede Hiv positive : 1500 og tallet er voksende

en sprøjte kokain misbruger tager 15-20 fix om dagen

40% af stiknarkomanerne deles om sprøjter

9

fattigdommen og de hygieniske tilstande giver væsentlig forøget dødelighed for de Hiv/Aids ramte. Dødeligheden per år er ca 15% dvs ud af 100 inficerede dør ca 15 i lø-bet af et år.

I VLE ville 186 ud af 1000 hiv negative blive smittet af de allerede

Hiv /Aids ramte på et år.

Modelering:

Vi vil starte med at indføre nogle variable , som vil være velegnede til at beskrive epidemiens udvik-

ling.

I(t) = antal stiknarkomaner som er Hiv/Aids inficeret til tiden t

U(t) = antal stiknarkomaner som er uinficeret til tiden t

N(t) = antal stiknarkomaner ialt i kvarteret til tiden t = I(t) +U(t)

For at forenkle situationen gør vi følgende antagelse

Antagelse 1: N(t) er en konstant N altså I(t) + U(t) = N

Dette er rimeligt,da boligsituationen i kvateret er sådan at når en

misbruger dør eller flytter , flytter en anden ind i lejligheden .

Antagelse 2 : Beboerne er homogene

Det betyder vi antager alle har samme vaner, lever under samme

vilkår og har samme egenskaber. ( Dette er langtfra realistisk, men

tillader os at nøjes med at arbejde med en ”gennemsnitsperson”)

Antagelse 3 : Beboerne er fuldstændigt ”mixet” sammen

Med dette menes, at enhver smittet person har lige tæt kontakt med

alle de andre beboere. (Også denne antagelse er urealistisk , idet

det sociale netværk helt sikkert har betydning , for om man

deler nåle )

Opstilling af en differentialligning

Vi ønsker at finde ud af hvordan I (t) antallet af Hiv inficerede udvikler sig.

Betragter vi dI/dt , dvs tilvæksten per år i antallet af Hiv inficerede, må den afhænge af hvormange

nye der smittes per år samt hvormange allerede smittede, der forsvinder pga dødsfald eller andet.

Vi har altså en differentialligning af formen

dt

dI nysmittede per år - forsvundne smittede per år

10

så mangler vi ”blot” at finde udtryk for , hvormange nysmittede og forsvundne der er per år. Det er her

antagelse 2 og 3 kommer ind i billedet.

Nysmittede per år:

Vi indfører en parameter a defineret ved

a = gennemsnitssandsynligheden for at en smittet person overfører Hiv til

en uinficeret blandt beboerne per år

så bliver aU = gennemsnits antal uinficerede der bliver smittet af kontakt med en

given smittet

og da der ialt er I smittede, som hver i gennemsnit smitter aU , fås ialt

aUI = nysmittede per år

Eller sagt på anden vis så er antallet af nysmittede per år proportionalt med både antallet

af smittebærere og antallet af folk , der kan modtage smitten.

Forsvundne smittede per år:

Her antager vi proportionalitet mellem antallet der dør og antallet af smittede, proportionalitetskon-

stanten kaldes b

b = gennemsnitssandsynlighed for at en smittet dør i løbet af et år

bI = gennemsnitsantal smittede der dør om året

Dette er også en forenkling, idet vi ved ,det tager lang tid før Hiv udvikler sig til sygdommen Aids. Der

er altså en betydelig forsinkelse fra smittetidspunktet til død, og

i en forbedret model ville man skulle tage hensyn til fordelingen mellem Hiv og Aids patienter blandt

de inficerede.

Differentialligningen er da dt

dI aUI - bI

Denne differentialligning indeholder to ukendte funktioner af tiden U og I , så der skal arbejdes lidt

med den, før den kommer på en form, vi kan løse:

Øvelse 1

Udnyt antagelse 1 og vis at dt

dI aUI – bI kan omskrives til en differentialligning af typen

dt

dI a I ( M-I )

hvis vi indfører en ny konstant M , der er lig med N-b/a

Hvilken type vækst beskrives ved en sådan differentialligning ?

Er konstanten M positiv eller negativ eller kan den være begge dele ?

11

Under hvilke betingelser er M positiv ? Forklar hvordan fortegnet afhænger af

antallet af stiknarkomaner ?

For hvilke værdier af I fås en stabil tilstand dvs I konstant (ingen ændring i antallet af inficere-de) Giv en fortolkning af de to mulige tilstande ?

(facit til øv 1 findes i appendiks)

Løsning af den opstillede ligning

Vi har nu lavet en matematisk model. På baggrund af denne , kan vi bestemme I(t) antallet af Hiv smit-

tede til tiden t , som løsning til differentialligningen:

dt

dI a I ( M-I )

dvs aMtce

MtI

1)(

For at finde de forskellige konstanter der indgår, må vi vende tilbage til kendsgerningerne på side 2

Øvelse 2 .

Bestem a , M og c

Opskriv løsningen I(t)

Undersøg hvad der sker når t går mod uendelig

Skitser grafen for I(t)

Dynamikken i modellen:

Vi vil undersøge hvorledes løsningen til dt

dI a I ( M-I ) afhænger af parameterne

Hvis M 0 var løsningen aMtce

MtI

1)( og hvis M = 0 fås løsningen I(t) =

cat

1

M = N- b/a vi ser der er 2 muligheder:

M 0 så vil I(t) gå mod 0 for t dvs sygdommen vil dø ud

Dette sker når N b/a aN b

M > 0 så vil I(t) gå mod M for t

Dette sker når aN > b

Øvelse 3. Overvej hvordan uligheden aN b kan fortolkes

12

13

Konsekvenser af forskellige indgreb

Hvis målet er at få færrest mulige smittede på langt sigt, gælder det ifølge ovenstående

om at gøre M = N-b/a så lille som muligt helst negativ.

Øvelse 4

A. Diskuter de mulige konsekvenser af følgende ændringer i stiknarkoman samfundet

1) Lade flere narkomaner flytte ind i området så det bliver mere overfyldt end det

allerede er.

2) Sørge for en stor gratis forsyning af sterile nåle, så narkomanerne ikke deler

nåle så ofte. Hvilken parameter vil dette påvirke ? Hvordan påvirkes parameteren ?

Hvad ville virkningen være ?

3) Sørge for bedre pleje og tilbyde den nye generation af medicin, der

holder Aids patienter i live længere. Hvilken parameter vil dette påvirke ? Hvordan

påvirkes parameteren ? Hvad ville virkningen være ? Diskuter derefter indgrebet

udfra et etisk synspunkt.

B Kom med forslag til bekæmpelse af epidemien.

C Modellen vi har diskuteret er ret forenklet (tænk på de antagelser vi har gjort

undervejs) . Hvilken konsekvens har det for vores konklusioner ?

14

Appendiks: Facit Øvelse 1. I det følgende skrives blot U og I i stedet for U(t) og I (t)

Antagelse 1 (si 2) giver U+ I = N U = N-I dette indsættes i dt

dI aUI – bI

dt

dI a(N-I) I –bI

Der er forskellige måder at foretage omskrivningerne på . En mulighed er

dt

dI a (N-I)I – bI sæt I udenfor parentes

dt

dI I( a(N-I) – b ) sæt a udenfor parentes

dt

dI a I ( N - I -

a

b ) byt om på ledene

dt

dI a I ( N-

a

b - I ) Husk I står for den funktion I(t) vi ønsker at finde ,

mens N , a , b er konstanter .

N- a

b er derfor også en konstant ,kalder vi den M fås

dt

dI a I ( M - I ) den ønskede differentialligning.

Denne type differentialligning beskriver en logistisk vækst.

M = N- a

b a , b , N er positive konstanter . M kan være både positiv og negativ

M > 0 N > a

b og M < 0 N <

a

b

M er positiv (hhv.negativ) , hvis antallet af stiknarkoman er større (hhv.mindre) end sandsynligheden

for at en smittet dør divideret med sandsynligheden for at en smittet smitter en rask

Et tilpas stort antal stiknarkomaner vil altså resulterer i positiv M , mens et tilpas lille antal gør M nega-

tiv.

I konstant når dt

dI 0 de to muligheder er :

I = 0 ingen smittede , ingen udvikling

I = M hvilket , hvis vi vender tilbage til den oprindelige ligning på si 3 betyder

Antal nysmittede per år = antal smittede der dør per år

Kort sagt der kommer præcis lige så mange nye til , som der dør , og det totale

. antal er derfor konstant (dynamisk ligevægt)

15

facit øvelse 2:

a = gennemsnitssandsynligheden for at en inficeret person overfører Hiv til en uinficeret

blandt beboerne per år

Vi ved at de 1500 inficerede ialt per år smitter 186 ud af 1000 uinficerede dvs i gennemsnit er sandsyn-

ligheden

a = 15001000

186

= 0,000124

M = N-b/a . hvor

N = stiknarkomaner ialt = 6000 (hvis vi bruger det lave skøn)

b = gennemsnitssandsynligheden for at en smittet dør i løbet af et år = 15 % = 0,15

M = 6000- 0,15/0,000124 4800

c bestemmes udfra startværdien af I , der gjaldt I(0) = 1500

1500 = c1

4800 c = 2.2

så løsningen er te

tI5952.02.21

4800)(

som vil gå mod 4800 for for t

0 5 10 15 20

år efter 1997

Hiv inficerede i Vancouver Lower East

0

1000

2000

3000

4000

5000antal personer

Fortolkning: Hvis der ikke sker indgreb vil antallet af inficerede med Hiv/Aids blive ved med at vok-

se indtil det efter ca 10 år stabiliserer sig på 4800.

Facit øvelse 3:

Svar: N var befolkningens størrelse, a smittesandsynligheden per person per år og b dødeligheden per

år for en smittet.

aU =a(N-I) er gennemsnits antal raske som en given inficeret smitter per år.

Nu gælder a(N-I) < aN b dvs sandsynligheden for at en Hiv/Aids smittet dør er

større end sandsynligheden for at vedkommende smitter en rask og så er det jo meget naturligt at syg-

dommen efterhånden dør ud.

Man kan også udtrykke det som : at antallet af smittede der forsvinder (dør) er større end antallet af

nysmittede.

Hvis I har lyst til nærmere at se på hvorledes løsningskurverne afhænger af M ligger der

en interaktiv graf på hjemmesiden nævnt i starten (blot er M her kaldt K).

16

Ændringer kan forekomme da spørgsmålene skal godkendes af censor.

1. Trigonometri Du skal specielt gøre rede for sinusrelationerne for en vilkårlig trekant.

Du kan inddrage dit projekt i geometri.

2. Trigonometri Du skal specielt gøre rede for cosinusrelationerne for en vilkårlig trekant.

Du kan inddrage dit projekt i geometri.

3. Trigonometri Du skal specielt gøre rede for følgende trigonometriske funktioner og differentiation af mindst

en af disse.

, , ,

4. differentialregning Du skal specielt gøre rede for regneregler for differentiable funktioner. Herunder skal du bevise

produktreglen.

5. Differentialregning Du skal specielt gøre rede for tretrinsreglen samt give eksempler på hvordan den kan bruges til

differentiation af en eller flere valgfrie funktioner.

Du kan inddrage dit projekt i differentialregning.

6. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D samt vinklen mellem to

egentlige vektorer.

7. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 2D samt projektion af vek-

tor på vektor.

8. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for parameterfremstilling og ligningen for en ret linje i 2D, herunder

skæring og vinklen mellem to linjer.

9. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for cirklens ligning, herunder afstandsformlen i 2D og tangent til en

cirkel.

10. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for skalarproduktet mellem to vektorer i 3D, vinklen mellem to

egentlige vektorer samt projektion af vektor på vektor.

17

11. Vektorer og analytisk geometri

Du skal specielt gøre rede for krydsproduktet mellem to vektorer i 3D, samt hvad krydsproduk-

tet kan anvendes til.

12. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt gøre rede for linjer i 2D og i 3D. Herunder skal du komme ind på afstanden fra

et punkt til en linje i 2D.

13. Vektorer og analytisk geometri Du skal specielt redegøre for planer i 3D. Herunder skal du komme ind på afstanden fra et

punkt til en plan.

14. Vækstmodeller Du skal gøre rede for eksponentiel vækst. Herunder skal du komme ind på differentiation af ek-

sponentialfunktioner.

Hvis det er muligt kan du inddrage dit projekt om differentialregning.

15. Integralregning Du skal redegøre for arealbestemmelse ved hjælp af integraler. Herunder skal du komme ind på

sætningen om arealfunktionen.

16. Integralregning Du skal specielt gøre rede for integral som grænseværdi for summer, herunder skal du komme

ind på rumfang af omdrejningslegeme.

17. Differentialligninger Du skal specielt gøre rede for den lineære differentialligning:

18. Differentialligninger Du skal specielt gøre rede for den logistiske differentialligning:

Du kan inddrage dit projekt i differentialligninger.

19. Statistik Du skal redegøre for chi i anden tests, gerne ved hjælp af et eller flere eksempler.