k=5 +j 1 3 ) +1 1 k=5 0cifra.studentmiv.ru/.../12/CHH-tipovyih-zvenev_teoriya.pdf © И.В....

http://cifra.studentmiv.ru/tau-1-6-teoriya/

© И.В. Музылева, 2017 Страница 1

Частотные характеристики типовых элементарных звеньев

П-звено

Передаточная функция данного звена имеет вид

W p k .

Отсюда АФЧХ

ω 0.W j k j

Следовательно, действительная частотная характеристика

ωR k ,

а мнимая –

ω 0I .

Очевидно, что 2 2ω ω ωA R I = k – независимо от часто-

ты соотношение амплитуд будет неизменным, равным k (рис. 1).

Сдвига фаз нет:

φ(ω) = 0.

Иными словами, при прохождении через П-звено сигнал остается

неизменным по форме, но амплитуда его изменяется в соответствии

со значением коэффициента усиления k. Годограф данного звена

представляет собой точку с координатами (k; 0) – рис. 1, б.

А

ω

1

k=5

0

А(ω )

φ (ω ) +1

+j

k=511

а) б)

Рис. 1. АЧХ, ФЧХ и годограф для П-звена с k = 5




Апериодическое звено (А-звено)

Для данного звена уравнение передаточной функции имеет вид

1

kW p

Tp

,

откуда заменой p на jω получаем уравнение АФЧХ:

ω1 ω

kW j

j T

.

Умножая на величину, комплексно сопряженную со знаменателем,

выделяем действительную и мнимую части АФЧХ:

2 2 2 2 2 2

1 ω ωω

1 ω 1 ω 1 ω 1 ω

k j Tk k kTW j j

j T T T T

.

Таким образом, действительная частотная характеристика А-звена

описывается уравнением

ωR =2 21 ω

k

T,

а мнимая частотная характеристика:

2 2

ωω

1 ω

k TI

T

.

Поскольку в ТАУ рассматриваются только положительные зна-

чения частоты, годограф данного звена будет располагаться в четвер-

том квадранте комплексной плоскости. Докажем математически, что

полный годограф (получаемый при изменении ω от -∞ до +∞) пред-

ставляет собой окружность. Для этого осуществим ряд искусствен-

ных математических построений. Сначала сложим действительную и

мнимую частотные характеристики:

2 2

1 ωω ω

1 ω

k TR I

T

.

Затем возведем в квадрат левую и правую части полученного равен-

ства:




2 2 2 222

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 2ω ω1 ωω ω

1 ω 1 ω

1 ω 2ω.

1 ω 1 ω

k T Tk TR I

T T

k T Tk

T T

Окончательно получим

2 22 2

22 2 2 2

2ωω 2 ω ω ω

1 ω 1 ω

ω 2 ω ω .

k TkR R I I

T T

kR R I

Взаимное уничтожение слагаемого 2 (ω) (ω)R I в правой и левой ча-

стях полученного выражения позволяет записать его в виде

2 2ω ω ωR I kR

или

2 2ω ω ω 0R I kR .

Добавим к правой и левой частям последнего равенства

2

2

k

:

2 2

2 2ω ω ω2 2

k kR I kR

.

Преобразуем левую часть полученного выражения:

2 2

2 2ω 2 ω ω2 2 2

k k kR R I

или

2 2

2ω ω2 2

k kR I

.

Очевидно, что это уравнение окружности радиусом 2

k

с цен-

тром в точке ;02

k

.

Характерные точки для построения годографа:




R(0) = 0, I(0) = 0.

При росте частоты ω точка годографа смещается вниз от оси абс-

цисс в силу того, что мнимая ЧХ I(ω) становится отрицательной. Так,

для сопрягающей частоты 0

1ω

T –

0 0ω ; ω2 2

k kR I .

Конечная точка годографа, получаемая при ω = +∞, совпадает с

началом координат:

0; 0R I .

Учет всего вышеизложенного позволяет заключить, что годограф

апериодического звена при изменении ω от 0 до +∞ представляет со-

бой полуокружность радиусом 2

k

с центром в точке ;02

k

, лежа-

щую в четвертом квадранте (рис. 2).

ω =0

ω =1/T

ω =∞ k =5

-k/2 =-2,5

k/2 =2,5

Рис. 2. Построение годографа А-звена




АЧХ данного звена рассчитывается как

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

ω (1 ω )ω

(1 ω ) (1 ω ) 1 ω

k k T k T kA

T T T

.

Характерные точки для эскизного построения (рис. 3):

2 2

01 0

kA k

T

;

02

2

(ω ) 0,721

1

k kA k

TT

;

2 2

01

kA

T

.

Уравнение ФЧХ имеет вид

φ

ω ωω ω

ω

I k Tarctg arctg arctg T

R k

.

Характерные точки для эскизного построения ФЧХ (рис. 3):

φ (ω) 0 0arctg T .

φ 1

ω 14

arctg T arctgT

.

φ ω2

arctg T arctg

.




Рис. 3. АЧХ и ФЧХ А-звена с параметрами k = 5 T = 1

И-звено

ИИ-звено

Передаточная функция данного звена описывается уравнением

k

W pp

.

Отсюда заменой p на jω получаем уравнение АФХ:

ωω ω

k kW j j

j .

Следовательно, действительная и мнимая частотные характеристики:

R(ω) = 0, ωω

kI .




Очевидно, что АЧХ ωω

kA представляет собой гиперболу. Для ее

эскизного построения нужно посчитать несколько точек, например

для ω = 1; 2; 3 и 4 (рис. 4).

Сдвиг фаз φ(ω)= ( )ω 0 2

karctg arctg

.

Иными словами, независимо от частоты ω выходной сигнал отстает

от входного на угол 2

(рис. 4).

Рис. 4. АЧХ и ФЧХ ИИ-звена с k = 5

Поскольку действительная ЧХ нулевая, годограф данного звена

совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис. 5).




+1

+j

k=511

ω =0

-1

ω =5

ω =∞

Рис. 5. Годограф ИИ-звена с k = 5

РИ-звено

Передаточная функция данного звена описывается как

1

kW p

p Tp

.

Следовательно, уравнение АФЧХ имеет вид

2 2 2 2

2 2 2 2

1 ω ωω

ω ω 1 ω 1 ω ω 1 ω

ω.

ω 1 ω ω 1 ω

k j Tk jk k TW j

j j T j T T

k T kj

T T

Отсюда действительная и мнимая ЧХ:

2 2

ωω

ω 1 ω

k TR

T

;

2 2ω

ω 1 ω

kI

T

.

Характерные точки для эскизного построения годографа (рис. 6):

2 2

00

0 1 0

k TR

T

;

2 20

0 1 0

kI

T

;




2

2

11

21 11

k TkTTR

TT

T T

;

2

2

1

21 11

k kTI

TT

T T

.

2 2

01

k TR

T

;

2 20

1

kI

T

.

Рис. 6. Годограф РИ-звена с k = 5 и Т = 1

АЧХ описывается уравнением

2 2 2 2

2 2 2 2 2

ωω

ω 1 ω ω 1 ω

k T k kA

T T

.

Характерные точки для эскизного построения (рис. 7):




2 2

00 1 0

kA

T

;

2

2

1

21 11

k kTA

TT

T T

;

2 2

01

kA

T

.

Рис. 7. АЧХ и ФЧХ РИ-звена с k = 5 и Т = 1

При выводе ФЧХ нужно учесть, что R(ω) и I(ω) имеют одинаковые

(отрицательные) знаки. Следовательно, точки годографа располага-

ются в третьем квадранте. Этот факт учитывается добавлением сла-

гаемого π:

1

ω π π π ωω ω

π 3 π= π ω π ω ω .

2 2 2

karctg arctg arcctg T

k T T

arctg T arctg T arctg T




Характерные точки для эскизного построения ФЧХ (рис. 7):

π π

0 02 2

arctgT ;

1 π 1 π π 3π

2 2 4 4arctgT

T T

;

π π π

π2 2 2

arctgT .

Анализ выражения для ФЧХ позволяет сделать вывод, что на малых

частотах сдвиг фаз РИ-звена практически совпадает с 2

, то есть

со сдвигом фаз, обеспечиваемым ИИ-звеном. С ростом частоты ω

сдвиг фаз увеличивается и асимптотически приближается к величине

π .

Д-звено

ИД-звено


W p kp .

АФЧХ при этом

ω ωW j j k .

Отсюда его действительная и мнимая характеристики:

R(ω) = 0 и I(ω) = kω.

Следовательно, АЧХ описывается уравнением

A(ω) = kω.

Для эскизного построения необходимо задать одно значение частоты,

например ω = 1, и провести прямую через полученную точку и начало

координат, поскольку A(0) = 0 при любом значении коэффициента

усиления (рис. 8).

Фазочастотная характеристика

ω π

ω0 2.

karctg arctg .

Следовательно, чем больше частота входных колебаний, тем в боль-

шей степени они усиливаются звеном, а при малых частотах сигнал

через идеальное Д-звено не проходит. При этом независимо от часто-




ты ω выходной сигнал опережает входной по фазе на угол π

2 . По-

скольку действительная частотная характеристика равна нулю,

а мнимая растет пропорционально частоте ω, годограф ИД-звена сов-

падает с положительной мнимой полуосью. При этом с ростом ω точ-

ка годографа перемещается вверх от начала координат (рис. 9).

Рис. 8. АЧХ и ФЧХ ИД-звена с k = 5

+1

+j

k=5

11ω =0

5ω =5

ω =∞

Рис. 9. Годограф ИД-звена с k = 5

А

ω

1

k=5

0

ФЧХ

АЧХφ

π /2

1 2 3




Реальное дифференцирующее звено


1

kpW p

Tp

.

Отсюда АФЧХ

2 2

ω 1 ωω ω

ω 1 1 ω

kj jTW j jk

jT T

2

2 2 2 2

ω ω.

ω 1 1 ω

T k kj

T T

Следовательно, действительная ЧХ описывается как 2

2 2

ωω

1 ω

TkR

T

,

а мнимая – уравнением 2 2

ωω

ω 1

kI

T

.

Уравнение АЧХ:

2 2 4 2 2

22 2

ω ωω

1 ω

T k kA

T

2 2

1ω

1 ωk

T

;

ФЧХ:

2

ω 1ω

ω ω

karctg arctg

Tk T

πω ω

2arcctg T arctg T .

На больших частотах РД-звено ведет себя как усилительное звено с

коэффициентом усиления k (рис. 10).

Действительная и мнимая характеристики положительны, сле-

довательно, годограф располагается в первом квадранте. Получим

уравнение годографа. Для этого сложим действительную и мнимую

ЧХ:

22

2 2 2 2 2 2

ω ω ω ω 1ω ωω ω

1 ω 1 ω 1 ω

k T k TTk kR I

T T T

.

Затем возведем в квадрат левые и правые части данного выражения:

2 2 2 2

2 2

22 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

ω 1 2 ω ωω ω 2 ω ω

1 ω

ω 1 2 ω ωω ω 2ω ω

1 ω 1 ω 1 ω

k T TR I R I

T

k T Tk k TI k

T T T




ω 2 ω ω 2 ω ω ω ω .I R k R I I k

Рис. 10. АЧХ и ФЧХ РД-звена с k = 5 и Т = 1

Слагаемые 2 R(ω) I(ω) в левой и правой частях уничтожаются:

2 2

2 2

2 2

ωω ω ω ω ω

1 ω

k kR I k I R

T T

.

Далее, прибавив к левой и правой части

2

2

k

T

, получим:

2 2

2 2 2ω ω ω

2 2 2

k k kR I R

T T T

или

2 2

2 ω ω2 2

k kI R

T T




– это уравнение окружности с радиусом 2

k

T и с центром в точке с ко-

ординатами ;02

k

T

. 1

Анализ для эскизного построения (рис. 11):

поскольку (0) 0R и (0) 0I , годограф берёт своё начало в

точке с координатами (0;0);

в силу того, что действительная и мнимая ЧХ положительны

при ω > 0, то при изменении частоты ω от 0 до +∞ точка годографа

смещается вверх по окружности;

конечная точка годографа при частоте ω = +∞ находится в точке

с координатами (k/T; 0).

Рис. 11. Годограф РД-звена с k = 5 и Т = 1


k=5 +j 1 3 ) +1 1 k=5 0cifra.studentmiv.ru/.../12/CHH-tipovyih-zvenev_teoriya.pdf © И.В....

Documents

Transcript of k=5 +j 1 3 ) +1 1 k=5 0cifra.studentmiv.ru/.../12/CHH-tipovyih-zvenev_teoriya.pdf © И.В....