1

情報統計学

1変量データの分析

2データをとったら• まず，思い浮かべるのは，データがどうなっているか調べる

簡単な方法• 数値を出す？？

– 平均とか最高点とか

もっと簡単にデータの構造がわかる

グラフを描いてみる• 統計グラフ

3ヒストグラム

• 「ヒストグラム」(histogram) 「棒グラフ」と似ている

• 棒グラフはデータの数値を棒の高さで表したもの

• ヒストグラムは各階級の度数（データの個数）を棒の高さで表したものである

• ヒストグラムは各階級（小区間）に入っている個数であるので、隣の階級

とは接することになる。

160cmに向かって山がある単調型一般には中央あたりに山が一つある「単峰型」の分布をしている違う場合は・・・

だいたいどんな値でどのぐらいばらついているか。どの値が多いだろうか。中心はどこだろうか。

4階級の個数

• データの大きさに対して， 階級を多く取りすぎてしまうと

• 各階級に属する度数は少なくなってしまい，分布の特徴を捉えにくい

逆に少なすぎると• 大雑把過ぎて，データが持っている特長を見逃してしまう

• 階級の個数をいくつにするか　（目安）

5主な分布形状

(a)単峰型 (b)双峰型 (b) 多峰型

6共通一次試験 (1980年 ) 民間給与実態統計調査（平成 9年）

7データの縮約

• 特性値 もとのデータの持っている特性を一つの数値で表したもの

大別して代表値，散布度• 代表値

– データ全体を一つの数値で代表させたもの» 平均値，メディアン（中央値），モード（最頻値），最大値，最小値など

• 散布度– データの散らばり具合を測る物差し

» レンジ（範囲），平均偏差，分散，標準偏差

8 平均値 (mean)

• 最小２乗法の意味で最良

9中央値（median）

中央値と平均値の関係

•平均値と中央値の値が近い場合

•その値を中心として左右対称

•この 2つの値が離れているとき

•対称性が崩れて右または左に歪んでいる

•外れ値がある

ことが多い

10平均値と中央値

• 一般的に外れ値に弱い（影響を受けやすい）• 中心の代表値

• 中央値は外れ値に頑健 (robust)中央値と平均値の関係• アプリケーション

http://case.f7.ems.okayama-u.ac.jp/ テキストにある関数 P14

• boxplot.app()– Windowsのみで動作– http://www.mikawaya.to/appstat/

平均値の改良としてTrimmed mean（切り捨て平均）などもある

平均値 中央値

11トリムド・ミーン（ trimmed mean）　切り捨て平均

• 大きい方から 100α％，小さいほうから 100α％のデータをないものとして，平均値を再計算 これにより，外れ値の影響をできるだけ除外

平均値

平均値

12最大値，最小値

• 代表値として，最大値，最小値を使うことも多い 最大震度，最低気温，スポーツの新記録

• 最大値 大きさの順（小さいほうから）に並べ替えたとき，一番大きな値

• 最小値 大きさの順（小さいほうから）に並べ替えたとき，一番小さな値

13演習問題

• 次のデータについて，

5, 4, 3, 6, 4, 8, 5, 5

1. データの大きさ nを求めよ。

2. 平均，メディアン，最大値，最小値を求めよ。

3. データの最後に新たに 2が加わった。メディアンを求めよ。

145数要約

15箱ひげ図• 分布の概形を知りたい場合，グラフ表現としては前節のヒストグラムが有効 この形の特徴を数値的に表現するため

• 四分位点 n 個のデータを大きさの順に

n/4個づつ４つに分割する 分点は３個

• 小さい方から– 「第１四分位点」– 「第２四分位点」– 「第３四分位点」

箱の高さから 1.5 倍以内

の最大値

第 3 四分位点

第 1 四分位点

第 2 四分位点

中央値

箱の高さから 1.5 倍以内

の最小値

外れ値

16ヒストグラムと箱ひげ図

箱ひげ図からヒストグラムを

思い浮かべる

17レポート• riversデータ

data()

• riversデータに対して，分析を行い，結果を考察せよ。 図も張り付けて分析する。 ならった統計量も出そう。 対数をとった値でもやってみよう

• log.rivers<-log(rivers)

18ばらつきの尺度

• hist(height)• hist(height2)

を比べてみよう。平均はほぼ同じだが，データの散らばり具合が異なる

19並行はこひげ図

> boxplot(height, height2, names = c("height", "height2"))

20散布度　（バラツキの尺度）

• 代表値 データをひとまとめにしてそれを代表する値

• 通常，データは，広がりを持っている。 散らばりの程度を計る物差し

21ばらつきの尺度

• 範囲 (range)• 四分位範囲 (quartile range)

• 平均偏差 (mean deviation)• 分散 (variance)• 標準偏差 (standard deivation)

22範囲

• 範囲とは　（ Rで表わすことにする） データの最大値から最小値を引いた値

• 計算は楽• 欠点

上の例でも，明らかなように• 一つでも他と大きく離れたものがあると，直接その影響を受けてしまう

23

新しい関数の作り方

24四分位範囲

• 四分位範囲 両端から， 25%ずつデータを除いて，残った 50%分のデータでの範囲

Q1 Q3Q2

Median（中央値）と一致

25四分位範囲

• 範囲は外れ値の影響を受けやすい• 四分位範囲

小さい方の 25%のデータ，大きい方の 25%のデータを捨てて残った中央部の半分（ 50%）のデータの範囲を求めた値

26平均偏差 d

• 偏差

– 個々の偏差の和をデータ全体についてとれば，全体の散布度が得られるはず

» しかし，和をとると０になる。• 平均偏差

偏差 diの絶対値をとり，平均した値

27平均偏差

28 分散 s2

• 平均偏差は 絶対値の取り扱いが面倒（数学的に） 符号をなくすため，今度は絶対値の代わりに 2乗を考える

• 分散とは

29分散，不偏分散

> var(height)[1] 53.95604> sum((height-mean(height))^2)/length(height)[1] 50.10204> sum((height-mean(height))^2)/(length(height)-1)[1] 53.95604

nで割るか、 n-1で割るか

30 標準偏差 s

• 標準偏差 sは 分散 s2 の正の平方根を取る 分散を計算して，平方根を計算すればよい