Universitas JemberJurusan Matematika - FMIPA

MAM 1516 Analisis Kompleks

Deadline: Wednesday, 29–10–2014; 23:55 Tugas 2 – Template Jawaban

Nama Kelompok: Group JNama Anggota:1. Darul Afandi (111810101041)2. Wahyu Nikmatus Sholihah (121810101010)3. Irawati NIM (121810101021)4. Kiki Kurdianto (121810101041)5. Reyka Bella Desvandai (121810101080)

1 Nama Anggota 1:Darul Afandi (111810101041)

Jawaban soal No 40.———————————————————————————————————————-

Soal no.40:Hitunglah Hitung

∮(5z4 − z3 + 2)dz disekeliling (a) Lingkaran |z | = 1, (b) bujur sangkar

dengan titik-titik sudut (0,1),(1,0),(1,1) dan (1,0), (c) kurva yang dibatasi parabola y = x2

dari (0,0) ke (1,1) dan y = x2 dari (1,1) ke (0,0)

Solusi:

a. Hitung∮

(5z4 − z3 + 2)dz disekelilingLingkaran |z | = 1Penyelesaiaan:

|z| = 1√x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1 → r = 1

x = r cos θ = cos θ → dx = − sin θ dθ

y = r sin θ = sin θ → dy = cos θ dθ

0 ≤ θ ≤ 2π

z4 = re4πθ

z4 = 1(cos 4θ + i sin4θ)

z3 = (cos 3θ + i sin3θ)

=

∮c

(5z4 − z3 + 2)dz

=

∫ 2pi

0

5(cos 4θ + isin4θ)− (cos 3θ + i sin3θ) + 2(dx + idy)

=

∫ 2pi

0

(5 cos 4θ + 5i sin 4θ − cos 3θ − i sin 3θ + 2)(− sin θ dθ + i cos θ dθ)

=

∫ 2pi

0

−5 cos 4θ sin θ + 5i cos 4θ cos θ − 5i sin 4θ sin θ − 5 sin 4θ cos θ + cos 3θ sin θ

− i cos 3θ cos θ + i sin 3θ sin θ + sin 3θ cos θ − 2 sin θ + 2i cos θ dθ∫−5

2(sin 5θ − sin 3θ)− 5

2(sin 5θ + sin 3θ) +

1

2(sin 4θ − sin 2θ) +

1

2(sin 4θ + sin 2θ)

+ 2 cos θ dθ + i

∫5

2(cos 5θ + cos 3θ)− 5

2(cos 5θ − cos 3θ)− 1

2(cos 4θ + cos 2θ)

− 1

2(cos 4θ − cos 2θ) + 2 sin θ dθ

=

∫−5

2sin 5θ +

5

2sin 3θ − 5

2sin 5θ − 5

2sin 3θ +

1

2sin 4θ − 1

2sin 2θ +

1

2sin 4θ +

1

2sin 2θ

+ 2 cos θ dθ + i

∫5

2cos 5θ +

5

2cos 3θ − 5

2cos 5θ +

5

2cos 3θ − 1

2cos 4θ − 1

2cos 2θ

− 1

2cos 4θ − 1

2cos 2θ + 2 sin θ dθ

=

∫−5 sin 5θ + sin 4θ + 2 cos θ dθ + i

∫5 cos 3θ − 4 cos 4θ − cos 2θ + 2 sin θ dθ

= [5.1

5cos 5θ − 1

4cos 4θ + 2 sin θ + i(5.

1

3sin 3θ − 1

4sin 4θ − 1

2sin 2θ − 2 cos θ)]2θ

0

= [cos 5θ − 1

4cos 4θ + 2 sin θ + i(

5

3sin 3θ − 1

4sin 2θ − 2 cos θ)]2π

0

= [cos 10π − 1

4cos 8π + 2 sin 2π + i(

5

3sin 6π − 1

4sin 8π − 1

2sin 4π − 2 cos 2π)]

− [cos 0− 1

4cos 0 + 2 sin 0 + i(

5

3sin 0− 1

4sin 0− 1

2sin 0− 2 cos 0)]

= [1− 1

4+ 0 + i(0− 0− 0− 2)]− [1− 1

4+ 0 + i(0− 0− 0− 2)]

2

=3

4− 2i)− (

3

4− 2i)

=3

4− 2i− 3

4+ 2i

b. Bujursangkar dengan titik-titik sudut (0, 0), (1, 0), (1, 1), dan (0, 1)

C1=Pada titik (0, 0) ke (1, 0) memiliki persamaan y = 0, dy = 0

∫ 1,0

0,0

(5z4 − z3 + 2)dz =

∫ 1

0

5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)

=

∫ 1

0

5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)

=

∫ 1

0

(5(x + 0)4 − (x + 0)3 + 2)dx

=

∫ 1

0

5x4 − x3 + 2dx

= [x5 − (1

4)4 + 2x]10

= [1− (1

4) + 2]

=11

4

C2=Pada titik (1, 0) ke (1, 1) memiliki persamaan x = 1, dx = 0

3

∫ 1,1

1,0

(5z4 − z3 + 2)dz =

∫ 1

0

5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)

=

∫ 1

0

5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)

=

∫ 1

0

(5(1 + iy)4 − (1 + iy)3 + 2)idy

= i

∫ 1

0

5(1 + 4iy − 6y2 − 4iy3 + y4)

− (1 + 3iy − 3y2 − iy3) + 2dy

= i

∫ 1

0

(5 + 20iy − 30y2 − 20iy3 + 5y4)

− 1− 3iy + 3y2 + iy3 + 2dy

= i

∫ 1

0

(6 + 17iy − 27y2 − 19iy3 + 5y4)dy

= i[6y +17

2iy2 − 9y3 − 19

4iy4 + y5]10

= i[(6 +17

2i− 9− 19

4i + 1)− 0]

= i[−2 +15

4]

= −15

4− 2i

C3=Pada titik (1, 1) ke (1, 0) memiliki persamaan x = 1 dx = 0

4

∫ 1,0

1,1

(5z4 − z3 + 2)dz =

∫ 0

1

5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)

=

∫ 0

1

5((x + iy)4 − (x + iy)3 + 2)d(x + iy)

=

∫ 0

1

(5(1 + iy)4 − (1 + iy)3 + 2)idy

= i

∫ 0

1

5(1 + 4iy − 6y2 − 4iy3 + y4)

− (1 + 3iy − 3y2 − iy3) + 2dy

= i

∫ 0

1

(5 + 20iy − 30y2 − 20iy3 + 5y4)

− 1− 3iy + 3y2 + iy3 + 2dy

= i

∫ 0

1

(6 + 17iy − 27y2 − 19iy3 + 5y4)dy

= i[6y +17

2iy2 − 9y3 − 19

4iy4 + y5]01

= i[0− (6 +17

2i− 9− 19

4i + 1)]

= i[2− 15

4]

= 2i +15

4

C4=Pada titik (1, 0) ke (0, 0) memiliki persamaan y = 0, dy = 0

∫ 0,0

1,0

(5z4 − z3 + 2)dz

=

∫ 0

1

(5(x + 0)4 − (x + 0)3 + 2)dx

=

∫ 0

1

5x4 − x3 + 2dx

= [x5 − (1

4)4 + 2x]01

= [0− (1− (1

4) + 2)]

= −11

4

Penyelesaiannya yang diinginkan adalah :

C1 + C2 + C3 + C4 = (11

4) + (−15

4− 2i) + (2i +

15

4) + (−11

4)

= 0

c. Kurva Pada Parabola y = x2 dari(0, 0) ke (1, 1) dan y2 = x dari (1, 1) ke (0, 0)

5

1). Lintasan C1, y = x2 → dy = 2x dx∮c

(5z4 − z3 + 2) dz

=

∮c

[5(x + iy)4 − (x + iy)3 + 2] (dx + idy)

=

∮c

5(x4 + y4 − 6x2y2 + 4ix3y − 4ixy3)− (x3 − 3xy2 + 3ix2y − iy3) + 2(dx + i2x dx)

=

∮c

5x4 + 5y4 − 30x2y2 + 20ix3y − 20ixy3 − x3 + 3xy2 − 3ix2y + iy3 + 2 (dx + i dy)

=

∮c

5x4 + 5(x2)4 − 30x2x4 + 20i x3x2 − 20ix− x6 − x3 + 3xx4 − 3ix2x2 + ix6

+ 2 (dx + i2x dx)

=

∮c

5x4 + 5x8 − 30x6 + 20ix5 + 20ix7 − x3 + 3x5 − 3ix4 + ix6 + 2 (dx + i2x dx)

=

∫5x4 + 5x8 − 30x6 − x3 + 3x5 + 2− 40x6 + 40x8 + 6x5 − 2x7 dx + i

∫10x5 + 10x9

− 60x7 + 20x5 − 20x7 − 2x4 + 6x6 − 3x4 + x6 + 4x dx

=

∫45x8 − 2x7 − 70x6 + 9x5 + 5x4 − x3 + 2 dx

+ i

∫(10x9 − 80x7 + 7x6 + 30x5 − 5x4 + 4x) dx

= [45

9x9 − 2

8x8 − 70

7x7 +

9

6x6 +

5

5x5 − 1

4x4 + 2 dx

+ i(10

10x10− 80

8x8 +

7

7x7 +

30

6x6 +

5

5x5 +

4

2x2)]10

= [5x9 − 1

4x8 − 10x7 +

3

2x6 + x5 − 1

4x4 + 2x + i(x10− 10x8 + x7 + 5x6 − x5 + 2x2)]10

= [5− 1

4− 10 +

2

3+ 1− 1

4+ 2 + i(1− 10 + 1 + 5− 1 + 2)]− 0[

20− 1− 40 + 6 + 4− 1 + 8

4

+ i(−2)] =−4

4− 2i

= −1− 2i

6

2). Lintasan C2, x = y2 → dx= 2y dy∫ 0

1

(5x4 + 5y4 − 30x2y2 + 20ix3y − 20ixy3 − x3 + 3xy2 − 3ix2y + iy3 + 2) (dx + idy)

=

∫ 0

1

(5y8 + 5y4 − 30y8y2 + 20iy6y − 20iy2y3 − y6 + 3y2y2 − 3iy4y + iy3 + 2) (2y dy + i dy)

=

∫ 0

1

(5y8 + 5y4 − 30y6 + 20iy7 − 20iy5 − y6 + 3y4 − 3iy5 + iy3 + 2) (2y dy + i dy)

=

∫ 0

1

(5y8 + 20iy7 − 31y6 − 23iy5 + 8y4 + iy3 + 2) (2y dy + i dy)

=

∫ 0

1

10y9 − 20y7 − 62y7 + 23y5 + 16y5 − y3 + 4y dy + i

∫(5y8 + 40y8 − 31y6

− 46y6 + 8y4 + 2y4 + 2 dy

=

∫ 0

1

10y9 − 82y7 + 39y5 − y3 + 4y dy + i

∫(5y8 + 40y8 − 31y6 − 46y6 + 8y4 + 2y4 + 2 dy

= [10

10y10− 82

8y8 +

39

6y6 − 1

4y4 + 2y2 + i(

45

9y9 − 77

7y7 +

10

5y5 + 2y)]01

= [y10− 41

4y8 +

13

2y6 − 1

4y4 + 2y2 + i(5y − 11y7 + 2y5 + 2y)]01

= (1− 41

4+

13

2− 1

4+ 2 + i(5− 11 + 2 + 2))

= −(4− 41 + 26− 1 + 8 + i

4(−2)) = (

−4

4− 2i) = 1 + 2i

∴ Jadi, C1 + C2

= (−1− 2i) + (1 + 2i)

= −1 − 2i + 1 + 21

= 0

2 Nama Anggota 2: Wahyu Nikmatus sholihah (121810101010)

Jawaban soal no.39———————————————————————————————————————-

Soal No.39Hitunglah

∮C

z2dz disekeliling lingkaran (a) |z| = 1 dan (b) |z − 1| = 1

7

Jawab(a)

|z| = 1√x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1

x = rcosθ dx = −sinθdθ 0 ≤ θ ≤ 2π

y = rsinθ dy = cosθdθ

∮C

z2dz

=∮C

(x− iy)2(dx + idy)

=∮C

(x2 − y2 − 2ixy)(dx + idy)

=∫ 2π

0(cos2 θ − sin2 θ − 2i cos θ sin θ)(− sin θdθ + i cos θdθ)

=∫ 2π

0(cos2 θ − sin2 θ − i sin 2θ)(− sin θdθ + i cos θdθ)

=∫ 2π

0(− cos2 θ sin θ + sin3 θ + i sin 2θ sin θ + i sin3 θ − i sin2 θ cos θ + i sin 2θ cos θ)dθ

=∫ 2π

0(sin3 θ − cos2 θ sin θ + sin 2θ cos θ)dθ + i

∫ 2π

0(cos3 θ − sin2 θ cos θ + sin 2θ sin θ)dθ

= ((− cos θ + 13cos3 θ) + (1

3cos3 θ) + (−1

3cos 3θ − cosθ))|2π

0

+ i((sin θ − 13sin3 θ)− (1

3sin3 θ) + (2

3sin 3θ))|2π

0

= ([(−1 + 13) + 1

3+ (−1

3− 1)]− [(−1 + 1

3) + 1

3+ (−1

3− 1)])− i(0)

= ([−2 + 13]− [−2 + 1

3])− 0

= 0− 0= 0Hasil yang didapat adalah 0

(b)

|z − 1| = 1√(x− 1)2 + y2 = 1

(x− 1)2 + y2 = 1

(x− 1) = rcosθ

y = rsinθ

x = rcosθ − 1 dx = −sinθdθ 0 ≤ θ ≤ 2π

y = rsinθ dy = cosθdθ

∮C

z2dz

=∮C

(x− iy)2(dx + idy)

=∮C

(x2 − y2 − 2ixy)(dx + idy)

=∫C

x2dx−∫C

y2dx− 2i∫C

xydx + i∫C

x2dy − i∫C

y2dy + 2∫C

xydy

=∫C

x2dx−∫C

y2dx + 2∫C

xydy + i(∫C

x2dy −∫C

y2dy − 2∫C

xydx)∫C

x2dx−∫C

y2dx + 2∫C

xydy ...... persamaan (1)

i(∫C

x2dy −∫C

y2dy − 2∫C

xydx) ...... persamaan (2)

8

Persamaan (1)∫C

x2dx−∫C

y2dx + 2∫C

xydy

=∫ 2π

0(cos θ + 1)2(− sin θdθ)−

∫ 2π

0sin2 θ(− sin θdθ) + 2

∫ 2π

0(cos θ + 1)(sin θ) cos θdθ

=∫ 2π

0(cos2 θ + 2 cos θ + 1)(− sin θdθ) +

∫ 2π

0sin3 θdθ + 2

∫ 2π

0(cos θ + 1)(sin θ) cos θdθ

= −∫ 2π

0(cos2 θ sin θ + 2 cos θ sin θ + sin θ)dθ+

∫ 2π

0sin3 θdθ+2

∫ 2π

0(cos2 θ sin θ + cos θ sin θ)dθ

=∫ 2π

0(cos2 θ sin θ)dθ −

∫ 2π

0sin θdθ +

∫ 2π

0sin3 θdθ

= (13cos3 θ)|2π

0 − (12sin2 θ)|2π

0 + (− cos θ + 13cos3 θ)|2π

0

= 0− 0 + 0= 0

Persamaan (2)i(

∫C

x2dy −∫C

y2dy − 2∫C

xydx)

= i[∫ 2π

0(cos θ + 1)2(cos θdθ)−

∫ 2π

0sin2(cos θdθ)− 2

∫ 2π

0(cos θ + 1)(sin θ)(− sin θdθ)]

= i[∫ 2π

0(cos3 θ + 2 cos2 θ + cos θ)dθ −

∫ 2π

0sin2 cos θdθ + 2

∫ 2π

0(sin2 θ cos θ + sin2 θ)dθ]

= i[∫ 2π

0(cos3 θ + 2 cos2 θ + cos θ)dθ +

∫ 2π

0sin2 cos θdθ + 2

∫ 2π

0(sin2 θ)dθ]

= i[((sin θ + 13sin3 θ) + 2( θ

2+ 1

2sin θ) + (sin θ))|2π

0 + (13sin3 θ)2π

0 + ( θ2− 1

2sin θ)2π

0 ]= i[(0 + 2((π + 0)− 0) + 0 + 0 + 2((π − 0)− 0)]= i[2π + 2π] = 4iπ

Persamaan (1) + Persamaan (2)= 0 + 4iπ= 4iπ

Hasil yang didapat adalah 4iπ

3 Nama Anggota 3:Irawati (121810101010)

Jawaban soal no 42 dan 46.———————————————————————————————————————Soal No.42Hitunglah

∫C

z2dz + z2dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z2 + 2z z + z2 = (2− 2i)z +

(2 + 2i)z dari titik z=1 ke z=2+2i

Solusi∫C

z2dz + z2dz

didefinisikan oleh :

z2 + 2zz + z2 = (2− 2i)z + (2 + 2i)z dari titik z = 1 ke z = 2 + 2i

9

∫C

(x− iy)2d(x + iy) + (x + iy)2d(x− iy)

=

∫C

(x2 − 2ixy − y2)(dx + idy) + (x2 + 2ixy − y2)(dx− idy)

=

∫C

(x2 − 2ixy − y2)dx + i(x2 − 2ixy − y2)dy + (x2 + 2ixy − y2)dx + i(x2 + 2ixy − y2)dy

=

∫C

x2 − 2ixy − y2 + x2 + 2ixy − y2)dx + i(x2 − 2ixy − y2 − x2 − 2ixy + y2)dy

=

∫C

(2x2 − 2y2)dx + i(−4ixy)dy

=

∫C

(2x2 − 2y2)dx + (4xy)dy..............................................P ers(1)

Misal z = x + iy dan z = x− iy, maka:

z2 + 2zz + z2 = (2− 2i)z + (2 + 2i)z

x2 + 2ixy − y2 + 2(x + iy)(x− 2y) + x2 − 2ixy − y2 = (2− 2i)(x + iy) + (2 + 2i)(x− iy)

2x2 − 2y2 + 2x2 + 2y2 = 2x + 2iy − 2ix + 2y + 2x− 2iy + 2ix + 2y

4x2 = 4x + 4y

x2 = x + y

y = x2 − x............................................................................................pers(2)

dy = (2x− 1)dx...................................................................................pers(3)

Persamaan (2) dan (3) disubtitusikan ke persamaan (1):∫C

(2x2 − 2(x2 − x))dx + 4x(x2 − x)(2x− 1)dx

=∫C

2x− 2(x4 − 2x3 + x2)dx + 4x(2x3 − 3x2 + x)dy

=∫C

(2x2 − 2x2 + 4x3 − 2x2)dx + (8x4 − 12x3 + 4x2)dx

=∫ 2

0(6x4 − 8x3 + 4x2)dx

= 65x5 − 2x4 + 4

3x3]21

= 65(31)− 2(15) + 4

3(7)

= 24815

10

Jadi∫C

z2dz + z2dz sepanjang kurva yang didefinisikan oleh z2 + 2zz + z2 = (2− 2i)z +

(2 + 2i)z dari titik z = 1 ke z = 2 + 2i adalah 24815

Soal No.46Hitunglah

∮(5x + 6y − 3)dx(3x− 4y + 2)dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xy dengan

titik sudut (0,0), (4,0) dan (4,3)

Solusi∮(5x + 6y − 3)dx(3x− 4y + 2)dy

menggunakan teorema Green :

pada titik(0, 0)(4, 3)

y − y1

y2− y1=

x− x1

x2− x1y − 0

3− 0=

x− 0

4− 0(y − 0)4 = (x− 0)3

4y = 3x

y =3

4x

∮Pdx + Qdy =

∫ ∫R

(dQ

dx− dP

dy)dxdy

=

∫ ∫R

(d

dx(3x− 4y + 2)− d

dy(5x + 6y − 3))dxdy

=

∫ ∫R

(3− 6)dxdy

=

∫ ∫R

(−3y)dydx

=

∫ 4

0

∫ 34y

0

(−3y)dydx

=

∫ 4

0

(−3y)]340 ydx

=

∫ 4

0

(−3(3

4y)− 0)dx

=

∫ 4

0

(−9

4x)dx

= −9

8x2]40

= −9

8.42 − 0

= −9

8.16

= −18

11

Jadi∮

(5x + 6y − 3)dx(3x− 4y + 2)dy di sekeliling suatu segitiga di bidang xydengan titik sudut (0, 0) , (4, 0) dan(4, 3) adalah − 18

4 Nama Anggota 4:Kiki Kurdianto (121810101041)

Jawaban soal no 50 dan 72———————————————————————————————————————

Soal No 50:Periksa teorema green di bidang untuk

∮C

x2ydx + y3 − xy2dy dimana C batas daerah yang

dikelilingi suatu lingkaran x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 16.

Solusi:Perhitungan dengan Teorema Green

MisalP = x2y maka ∂P/∂y = x2

Q = y3 − xy2 maka ∂Q/∂x = −y2

∮C

x2ydx + y3 − xy2dy =

∫ ∫∂Q

∂x− ∂P

∂xdA

=

∫ 2π

0

∫ 2

4

(−y2 − x2)rdrdΘ

=

∫ 2π

0

∫ 2

4

(−r2 sin2 Θ− r2 cos2 Θ)rdrdΘ

=

∫ 2π

0

((−r4/4) sin2 Θ− (r4/4) cos2 Θ)]24dΘ

=

∫ 2π

0

(−4 sin2 Θ− 4 cos2 Θ− (−64 sin2 Θ− 64 cos2 Θ))dΘ

=

∫ 2π

0

(60 sin2 Θ + 60 cos2 Θ)dΘ

= 60

∫ 2π

0

(sin2 Θ + cos2 Θ)dΘ

= 60

∫ 2π

0

(1)dΘ

= 60.Θ]2π0

= 60.2π − (−60).0

= 120π

Perhitungan dengan menggunakan Integral Garis

Untuk x2 + y2 = 16x = 4cost → maka∂x = −4 sin tdty = 4sint → maka∂y = 4 cos tdt

12

dengan 0 < t < 2π

Maka,

∫ 2π

0

((4 cos t)2(4 sin t))d(4 cos t) + ((4 sin t)3 − (4 cos t)(4 sin t)2)d(4 sin t)dx

=

∫ 2π

0

((16 cos2 t.4 sin t)(−4 sin t))d(t) + ((64 sin3 t− 64 sin2 t cos t)(4 cos t)2)d(t)dx

=

∫ 2π

0

((−256 cos2 t sin2 t + 256 cos t sin3 t− 256 cos2 t sin2 t))d(t)

=

∫ 2π

0

((−512 cos2 t sin2 t + 256 cos t sin3 t))d(t)

=

∫ 2π

0

(−512 cos2 t sin2 t)d(t) +

∫ 2π

0

(256 cos t sin3 t)d(t)

∫ 2π

0

(−512 cos2 t sin2 t)d(t) = −512

∫ 2π

0

(cos2 t sin2 t)d(t)

= −512

∫ 2π

0

(1 + cos 2t

2

1− cos 2t

2)d(t)

=−512

4

∫ 2π

0

((1 + cos 2t)(1− cos 2t))d(t)

= −128

∫ 2π

0

((1− cos 2t + cos 2t− cos2 2t))d(t)

= −128

∫ 2π

0

(1− cos2 2t)d(t)

= −128

∫ 2π

0

(1− cos2 2t)d(t)

= −128

∫ 2π

0

(1− 1

2(1 + cos 4t))d(t)

= −128

∫ 2π

0

(1− 1

2− cos 4t

2)d(t)

= −128

∫ 2π

0

(1

2− cos 4t

2)d(t)

= −128[

∫ 2π

0

(1

2)dt− 1

2

∫ 2π

0

(cos 4t)dt]

= −128([1

2t]2π

0 − 1

2

∫ 2π

0

(cos w)dw

4)

= −128([1

2t]2π

0 − [1

8sin 4t]2π

0 )

= −128(π − (1

8sin 8π − 1

8sin 0))

= −128π + 16sin8π

= −128π

13

∫ 2π

0

(256 cos t sin3 t)d(t) = 256

∫ 2π

0

(cos t sin3 t)d(t)

= 256

∫ 2π

0

((1− cos2 t)(cos t)(sin t))d(t)

= 256

∫ 2π

0

(cos t− cos3 t)(sin t))d(t)

= 256[

∫ 2π

0

(cos t sin t)dt−∫ 2π

0

(cos3 t sin t)dt]

= 256[

∫ 2π

0

(u sin t)du

− sin t−

∫ 2π

0

(u3 sin t)du

− sin t]

= 256([−1

2u2 +

1

4u4]2π

0 ]

= 256([−1

2cos2 t +

1

4cos4 t]2π

0 ]

= 256[(−1

2+

1

4)− (

−1

2+

1

4)]

= 0

Sehingga,∫ 2π

0((4 cos t)2(4 sin t))d(4 cos t) + ((4 sin t)3 − (4 cos t)(4 sin t)2)d(4 sin t)dx = −128π

Untuk x2 + y2 = 4x = 2 cos t → maka∂x = −2 sin tdty = 2 sin t → maka∂y = 2 cos tdtdengan −2π < t < 0

Maka,

∫ 0

−2π

((2 cos t)2(2 sin t))d(2 cos t) + ((2 sin t)3 − (2 cos t)(2 sin t)2)d(2 sin t)dx

=

∫ 0

−2π

((4 cos2 t.2 sin t)(−2 sin t))d(t) + ((8 sin3 t− 8 sin2 t cos t)

(2 cos t)2)d(t)dx

=

∫ 0

−2π

((−16 cos2 t sin2 t + 16 cos t sin3 t− 16 cos2 t sin2 t))d(t)

=

∫ 0

−2π

((−32 cos2 t sin2 t + 16 cos t sin3 t))d(t)

=

∫ 0

−2π

(−32 cos2 t sin2 t)d(t) +

∫ 0

−2π

(16 cos t sin3 t)d(t)

14

∫ 0

−2π

(−32 cos2 t sin2 t)d(t) = −32

∫ 0

−2π

(cos2 t sin2 t)d(t)

= −32

∫ 0

−2π0

(1 + cos 2t

2

1− cos 2t

2)d(t)

=−32

4

∫ 0

−2π

((1 + cos 2t)(1− cos 2t))d(t)

= −8

∫ 0

−2π

((1− cos 2t + cos 2t− cos2 2t))d(t)

= −8

∫ 0

−2π

(1− cos2 2t)d(t)

= −8

∫ 0

−2π

(1− cos2 2t)d(t)

= −8

∫ 0

−2π

(1− 1

2(1 + cos 4t))d(t)

= −8

∫ 0

−2π

(1− 1

2− cos 4t

2)d(t)

= −128

∫ 0

−2π

(1

2− cos 4t

2)d(t)

= −8[

∫ 0

−2π

(1

2)dt− 1

2

∫ 0

−2π

(cos 4t)dt]

= −8([1

2t]0−2π −

1

2

∫ 0

−2π

(cos w)dw

4)

= −8([1

2t]0−2π − [

1

8sin 4t]0−2π)

= −8(−π − (1

8sin 0− 1

8sin(−2π)))

= 8π

15

∫ 0

−2π

(16 cos2 t sin3 t)d(t) = 16

∫ 0

−2π

(costsin3t)d(t)

= 16

∫ 0

−2π

((1− cos2 t)(cos t)(sin t))d(t)

= 16

∫ 0

−2π

(cos t− cos3 t)(sin t))d(t)

= 16[

∫ 0

−2π

(cos t sin t)dt−∫ 0

−2π

(cos3 tsint)dt]

= 16[

∫ 0

−2π

(u sin t)du

− sin t−

∫ 0

−2π

(u3 sin t)du

− sin t]

= 16([−1

2u2 +

1

4u4]2π

0 ]

= 16([−1

2cos2 t +

1

4cos4 t]0−2π]

= 16[(−1

2+

1

4)− (

−1

2+

1

4)]

= 0

Sehingga,∫ 0

−2π((2cost)2(2sint))d(2cost) + ((2sint)3 − (2cost)(2sint)2)d(2sint)dx = 8π

jadi nilai yang diinginkan adalah C1 + C2 = −128π + 8π = −120π

soal no 72Tunjukkan secara langsung bahwa

∫ 3+4i

4−3i(6z2 + 8iz)dz memiliki nilai sama sepanjang lintasan

C yang menghubungkan titik-titik 3+4i dan 4-3i untuk (a) suatu garis lurus, (b) garis lurus dari3+4i ke 4+4i dan kemudian dari 4+4i ke 4-3i. (c) lingkaran |z| = 5.

a. Suatu garis lurus

3 + 4i → (3, 4)4− 3i → (4,−3)

Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y = −7x + 25

16

∫ 3+4i

4−3i

(6z2 + 8iz)dz =

∫ 4

3

6(x + iy)2 + 8i(x + iy)d(x + iy)

=

∫ 4

3

6(x2 − y2 + 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)

=

∫ 4

3

6(x2 − (−7x + 25)2 + 2xi(−7x + 25)) + 8ix− 8(−7x + 25)

(dx− 7idx)

=

∫ 4

3

6(x2 − (49x2 − 350x + 625)− 14x2i + 50xi) + 8ix + 56x− 200

(dx− 7idx)

=

∫ 4

3

6(x2 − 49x2 − 350x + 625− 14x2i + 50xi) + 8ix + 56x− 200

(dx− 7idx)

=

∫ 4

3

−288x2 + 2100x− 3750− 84x2i + 308xi + 81x + 56x− 200

(dx− 7idx)

=

∫ 4

3

(−288x2 + 2156x− 3950) + i(84x2 + 308x)(dx− 7idx)

=

∫ 4

3

(−288x2 + 2156x− 3950− 588x2 + 2100x)dx+

i

∫ 4

3

7(288x2 − 2156x + 3950) + (−84x2 + 308x)dx

=

∫ 4

3

(−876x2 + 4312x− 3950)dx + i

∫ 4

3

(1932x2 − 14784x + 27650)dx

= [292x3 + 2156x2 − 3950]43 + [644x3 − 7392x2 + 27650x]43= (−18688 + 34496− 15800 + 7884− 19404 + 11850)+

i(41216− 118272 + 17388 + 66528− 829950)

= 388− 266i

(b) garis lurus dari 3+4i ke 4+4i dan kemudian dari 4+4i ke 4-3i

C1=garis lurus dari 3+4i ke 4+4i

3 + 4i → (3, 4)4 + 4i → (4, 4)

Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah y=4 maka ∂y = 0∂x

17

C1 =

∫ 3+4i

4−3i

(6z2 + 8iz)dz =

∫ 4

3

6(x + iy)2 + 8i(x + iy)d(x + iy)

=

∫ 4

3

6(x2 − y2 + 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)

=

∫ 4

3

6(x2 − (4)2 + 2xi(4)) + 8i(x + i4)(dx + idy)

=

∫ 4

3

6x2 − 96 + 48xi + 8ix− 32(dx + idy)

=

∫ 4

3

(6x2 − 128) + i(56x)(dx + idy)

=

∫ 4

3

(6x2 − 128)dx− 56xdy+

i

∫ 4

3

(6x2 − 128)dy − 56xdx

=

∫ 4

3

(6x2 − 128)dx + i

∫ 4

3

56xdx

= [2x3 − 128x]43 + i[28x2]34= (128− 512− 54 + 384) + i(448− 252)

= −54 + 196i

C2=garis lurus dari 4+4i ke 4-3i

4 + 4i → (4, 4)4− 3i → (4,−3)

Persamaan garis dari kedua titik tersebut adalah x=4 maka ∂x = 0∂y

18

C2 =

∫ 3+4i

4−3i

(6z2 + 8iz)dz =

∫ −3

4

6(x + iy)2 + 8i(x + iy)d(x + iy)

=

∫ −3

4

6(x2 − y2 + 2xiy) + 8i(x + iy)d(x + iy)

=

∫ −3

4

6((4)2 − y2 + 2(4)iy) + 8i(4 + iy)(dx + idy)

=

∫ −3

4

96− 6y2 + 48yi + 32i− 8y(dx + idy)

=

∫ −3

4

(96− 6y2 − 8y) + i(48y + 32)(dx + idy)

=

∫ −3

4

(96− 6y2 − 8y)dx− (48y + 32)dy+

i

∫ −3

4

(96 + 6y2 − 8y)dy − (48y + 32)dx

=

∫ −3

4

(−48y − 32)dy + i

∫ −3

4

96− 6y2 − 8y

= [−24y2 − 32y]−34 + i[96y − 2y3 − 4y2]−3

4

= (−216 + 96 + 384 + 128) + i(−288 + 54− 36− 384 + 128 + 64)

= 392− 462i

Jadi, nilai yang diinginkan adalah C1 + C2 = (−54 + 196i) + (392− 462i) = 338− 266i

(c) lingkaran |z| = 5 x2 + y2 = 5x = 5 cos ty = 5 sin tDimana 0 ≤ t ≤ 2π

5 Nama Anggota 5:Reyka Bella Desvandai (121810101080)

Jawaban soal no 38 dan 61.———————————————————————————————————————Soal No.38Hitunglah:

∫ 2−i

i

(3xy + iy2)(dx + idy)

a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z = i dan z = 2-ib. sepanjang kurva

x = 2t− 2, y = 1 + t− t2

jawab :a. sepanjang garis lurus yang menghubungkan z = i dan z = 2-i

19

batas dari (i) sampai dengan (2-i)maka titik bergerak dari (0,1) sampai (2,-1)

x = (x(1)− x(0))t + x(0)

x = (2− 0)t + 0

x = 2t

dx = 2

y = (y(1)− y(0))t + y(0)

y = (−1− 1)t− 1

y = −2t− 1

dy = −2

maka batas t dari :

0 ≤ t ≤ 1 ∫ 1

0

(6t(−2t + 1) + i(−2t + 1)2(2− 2i)dt∫ 1

0

(−12t2 + 6t + i(4t2 − 4t + 1))(2− 2i)dt∫ 1

0

(−12t2 + 6t + 4t2i− 4ti + i)(2− 2i)dt∫ 1

0

(−24t2 + 24t2i + 12t− 12ti + 8t2i + 8t2 − 8ti− 8t + 2i + 2)dt∫ 1

0

(−16t2 + 32t2i + 4t− 20ti + 2i + 2)dt

= −16

3t3 +

32

3t3i + 2t2 − 10t2i + 2ti + 2t

= (−16

3+

32

3i + 2− 10i + 2i + 2)− 0

= (−16

3+ 2 + 2) + (

32

3− 10 + 2)i

= (12− 16

3) + (

32− 24

3)i

= −4

3+

8

3i

b. sepanjang kurva

x = 2t− 2, y = 1 + t− t2

x = 2t− 2 y = 1 + t− t2 (1)

dx = 2 dy = −2t + 1 (2)

(3)

20

mencari batas t terlebih dahulu x =2t-2batas bawah = imaka melalui titik (0,1)ketika x = 0, maka diperolehx = 2t-20 = 2t-22 = 2tt = 1batas atas = 2-imaka melaui titik (2,-1)ketika x = 2, maka diperoleh2 = 2t-24 = 2tt = 2

1 ≤ t ≤ 2 ∫ 2

1

(3xy + iy2)(dx + idy)∫ 2

1

(3(2t− 2)(1 + t− t2) + i(1 + t− t2)2)(2 + (−2t + 1)i)∫ 2

1

((6t3 + 12t2 − 6 + i(t4 − 2t3 − t2 + 2t + 1))(2))dt+∫ 2

1

((6t3 + 12t2 − 6 + i(t4 − 2t3 − t2 + 2t + 1))(i− 2ti))dt∫ 2

1

(−12t3 + 24t2 − 12 + 2t4i− 4t3i− 2t2i + 4ti + 2i)dt +

∫ 2

1

(−6t3i + 12t4i)+

(12t2i− 24t3i− 6i + 12ti− t4 + 2t5 + 2t3 − 4t4 + t2 − 2t3 − 2t + 4t2 − 1 + 2t)dt∫ 2

1

(2t5 − 5t4 − 12t3 + 29t2 − 13 + i(14t4 − 34t3 + 10t2 + 16t− 4))dt

=1

3t6 − t5 − 3t4 +

29

3t3 − 13t + i(

14

5t5 − 34

4t4 +

10

3t3 + 8t2 − 4t)

t=2

=64

3− 32− 48 +

232

3− 26) + i(

448

5− 136 +

80

3+ 32− 8)

=64

3− 106 + (

232

3+ i(

1344− 1680 + 400

15)

=−22

3+ i(

64

15)

t=1

21

=1

3− 1− 3 +

29

3− 13− i(

14

5− 34

4+

10

3+ 8− 4)

= 10− 17 + i(168− 510 + 200 + 240

60)

= −7 + i(98

60)

hasil pengintegralan (t=2)-(t=1)

= (−22

3+ i(

64

15))− (−7 + i(

98

60))

= (−22

3+ 7) + i(

64

15− 98

60))

= −1

3+ i

79

30

Soal No.61:Periksa Teorema Cauchy untuk fungsi

z3 − iz2 − 5z + 2i

jika C adalaha. lingkaran

|z| = 1

b. lingkaran

|z − 1| = 2

c. ellips

|z − 3i|+ |z + 3i| = 20

jawab :

z3 − iz2 − 5z + 2i ∮C

z3 − iz2 − 5z + 2idz

z = x + iy ∮C

(x + iy3 − i(x + iy2)− 5(x + iy) + 2i)dz∮C

(x3 − 3xy2 + 2xy − 5x + 3x2yi− iy3 − x2i + iy2 − 5yi + 2i)dz∮C

(x3 − 3xy2 + 2xy − 5x) + i(3x2y − y3 − x2 + y2 − 5y + 2)dz

22

u = x3 − 3xy2 + 2xy − 5x

∂u

dx= 3x2 − 3y2 + 2y − 5

∂u

dy= −6xy + 2x

v = 3x2y − y3 − x2 + y2 − 5y + 2

∂v

dx= 6xy − 2x

∂v

dy= 3x2 − 3y2 + 2y − 5

a.

|z| = 1√x2 + y2 = 1

x2 + y2 = 1

x = cost dx = −sint

y = sint dy = cost

0 ≤ t ≤ 2π

untuk menunjukkan suatu fungsi berlaku teorema Cauchy yaitu :∮C

f(z)dz = 0

karena f(z) = u + iv analitik dan memiliki turunan yang kontinu, mengakibatkan

∂u

dx=

∂v

dy(4)

∂v

dx= −∂u

dy(5)

(6)

kontinu di dalam dan pada C. sehingga teorema Green dapat digunakan dan diperoleh :∫ 2π

0

(−∂v

dx− ∂u

dy)dxdy + i(

∫ 2π

0

(∂u

dx− ∂v

dy))dxdy = 0

23

∂u

dx= 3x2 − 3y2 + 2y − 5

= 3(cost)2 − 3(sint)2 + 2(sint)− 5

= 3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5

∂u

dy= −6xy + 2x

= −6(cost)(sint) + 2cost

= −6costsint + 2cost

∂v

dx= 6xy − 2x

= 6costsint− 2cost

∂v

dy= 3x2 − 3y2 + 2y − 5

= 3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5

∫ 2π

0

(−∂v

dx− ∂u

dy)dxdy + i(

∫ 2π

0

(∂u

dx− ∂v

dy))dxdy = 0

=

∫ 2π

0

(−(6costsint− 2cost)− (−6costsint + 2cost))− sintcost+

i

∫ 2π

0

(3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5− (3cos2t− 3sin2t + 2sint− 5)− sintcost

=

∫ 2π

0

0 + i

∫ 2π

0

0

= 0

Berdasarkan persamaan diatas terbukti bahwa fungsi

|z| = 1

terbukti analitik

b.

|z − 1| = 2√x2 + y2 + (−1)2 = 2

x2 + y2 + 1 = 4

x2 + y2 = 3

x =√

3cost dx = −√

3sint

y =√

3sint dy =√

3cost

0 ≤ t ≤ 2π

karena f(z) analitik maka pada kasus ini harus dibuktikan :∫ 2π

0

(−∂v

dx− ∂u

dy)dxdy + i(

∫ 2π

0

(∂u

dx− ∂v

dy))dxdy = 0

24

∂u

dx= 3x2 − 3y2 + 2y − 5

= 3(√

3cost)2 − 3(√

3sint)2 + 2(√

3sint)− 5

= 9cos2t− 9sin2t + 2√

3sint− 5

∂u

dy= −6xy + 2x

= −6(√

3cost)(√

3sint) + 2(√

3cost)

= −18costsint + 2√

3cost

∂v

dx= 6xy − 2x

= 6(√

3cost)(√

3sint)− 2(√

3cost)

= 18costsint− 2√

3cost

∂v

dy= 3x2 − 3y2 + 2y − 5

= 3(√

3cost)2 − 3(√

3sint)2 + 2(√

3sint)− 5

= 9cos2t− 9sin2t + 2√

3sint− 5

∫ 2π

0

(−∂v

dx− ∂u

dy)dxdy + i(

∫ 2π

0

(∂u

dx− ∂v

dy))dxdy = 0∫ 2π

0

((−(18costsint− 2√

3cost)− (−18costsint + 2√

3cost))−√

3sint√

3cost+

i

∫ 2π

0

((9cos2t− 9sin2t + 2√

3sint− 5)− (9cos2t− 9sin2t + 2√

3sint− 5))−√

3sint√

3cost∫ 2π

0

0 + i

∫ 2π

0

0

= 0

c.

|z − 3i|+ |z + 3i| = 20√x2 + y2 + (−3i)2 +

√x2 + y2 + (3i)2 = 20

2√

x2 + y2 − 9 = 20

4(x2 + y2 − 9) = 400

x2 + y2 − 9 = 100

x2 + y2 = 109

x =√

109cost dx = −√

109sint

y =√

109sint dy =√

109cost

25