Julien Lambert

Nouvelle Equation du potentiel gravitationnel pour les disques minces autosimilaires axisymétriques

Julien Lambert

PlanLes disques en Astrophysiques

Les disques Plats

Les disques minces

Description et intérêt

Potentiel dans un disque Axisymétrique

Mise en Equation

Schéma de résolution, Résultats

Mise en EquationSchéma de résolution,

Résultats

Approximation du paramètre k

Intérêt des disques en

AstrophysiqueLes Disques Astrophysiques sont présents à de nombreuses échelles

Potentiel dans un disque Plat

Mise en Equation du Potentiel sous forme intégrale

Comme en Electromagnétisme, l’équation du potentiel Gravitationnel peut s’écrire sous la forme d’une équation locale

dite de Poisson, au constantes de couplages prés

4 Gy p rD =

La résolution numérique de cette équation impose un maillage de l’espace

Il n’y a pas de solution analytique simple de cette équation pour une géométrie tel que les disques

TEMPS DE CALCUL IMPORTANT

SOLUTION ACCESIBLE NUMERIQUEMENT

Bord externe

Bord interne

Point de champ

Point sourceR

a



Lors de cette étude, nous travaillerons avec un profil en loi de puissance de la forme:

( ) 0s

ext

aa as æ ö÷çS = ÷ç ÷çè ø

Ce profil de densité est justifié aussi bien par l’observation que par des considérations théoriques.



Sachant que le potentiel créé par une masse à la distance d vaut d’après la loi de Newton:

( )dm a ds= åGdmd dy = -

On peut facilement montrer que le potentiel intégré sur tout le disque vaut à une distance R du centre :

Où: et

2 aRm a R= +( )

( )2

2 20 1 sindm

m

p ff

=-òK

( ) ( ) ( )K2 out

in

a

a

aR G a m m daRy = - Sò



La difficulté est que la fonction K(m) présente une divergence en m=1, le problème est donc d’arriver à intégrer une singularité pour

0 1 2 3 4 5

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

[ ];in outR a aÎ

( ) ( )

32, 2

out

a af a R G m mR a

-æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø K

inR a=

outR a=

ina a=

outa a=


Mise sous la forme d’une équation différentielle

En dérivant : on peut montrer (Huré & Hersant, 2007) que le potentiel est solution d’une équation différentielle ordinaire de première ordre (ODE) de la forme:

( ) ( ) ( )K2 out

in

a

a

aR G a m m daRy = - Sò

( ) ( )[ ]1 1d s Sdy y vv v= + -

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]K K3

0 22 , ,in in out out

s ina a a a

out out

G R aS m m m m eta av vv+æ öS ÷ç ÷= D - = D =ç ÷ç ÷çè ø

où

Résolution numérique Résolution numérique de l’ODE

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

psi odePsi Nobones

Rayon

Pote

ntie

l nor

mal

isé

par

le p

o-te

ntie

l Cen

tal

Disque (densité surfacique)

Potentiel dans un disque

minceApproximation du paramètre k

Dans un disque mince, le potentiel est :

( ) ( )( ) ( )K2 ,out a

in a

a z

a z

aR G a z k k dzdaRy r+

-= - ò òOù: ( )2 2

2 aRka R z

=+ +

Jean-Marc Huré a montré (2007,en préparation) que si le disque est mince, c’est-à-dire que h/a<<1, ce potentiel peut s’écrire :

( ) ( ) ( )K* *2 out

in

a

a

aR G a k k daRy = - Sò( )

*2 2

2 aRka R l

=+ +

Où:


minceApproximation du paramètre k

( ) ( ) ( )K* *2 out

in

a

a

aR G a k k daRy = - Sò( )

*2 2

2 aRka R l

=+ +

Avec:

Où est solution de l’équation: ( ) ( ) ( )22 2211 1 4

ehh e R el é ù-ê ú» -ê úë û

Pour simplifier (éviter que soit une fonction de R, on prendra :

( )2 21 hh e el l» Þ »


minceMise en équation

( ) ( ) ( )K* *2 out

in

a

a

aR G a k k daRy = - SòLe potentiel est donc:

On vois que la forme de l’équation est la même que celle d’un disque plat avec seulementOn obtient donc la même équation différentielle:

( ) ( )*, , ,m f a R k f a R h= ® =

( ) ( )*1 1d s Sdy y vv v

é ù= + -ë û

( ) ( ) ( ) ( ) ( )K K3

0* * * * *22 , ,in in out out

s ina a a a

out out

G R aS k k k k eta av vv+æ öS ÷ç é ù é ù÷= D - = D =ç ÷ë û ë ûç ÷çè ø

Résolution numérique

Algorithme de Thomas, et Mapping de l’espace

Afin de trouver le potentiel jusqu’à l’infini, où l’on sait qu’il est nul, on va transformer l’espace pour ramener l’infini en un point donné (ces le mapping). Pour faire ça, on change la variable d’espace:On pose donc:

( )1arctanr A v=%

L’équation différentielle deviens donc dans notre nouvel espace:

( ) ( ) ( )( )*2 1 tansin 2d A s S Ardr Ary yé ù= + -ë û%% %



On pourrai calculer le potentiel par Euler ou Runge-Kutta, mais le potentiel ne peut pas être calculé jusqu’à l’infini avec ces méthodes.

Cependant, on connait deux conditions aux limites pour résoudre notre équation : le potentiel central qui peut être calculer analytiquement, et le potentiel à l’infini qui est nul de plus, grâce au mapping de l’espace, l’infini est accessible.

Nous prendrons comme schéma numérique:

1 1i i i i i i ia b c dy y y- ++ + =



peut se mettre sous la forme d’un système matriciel tridiagonale fermé à condition de disposer de deux conditions aux limites.

Dans ce cas, le système peut être résolu simplement par l’algorithme de Thomas

1 1i i i i i i ia b c dy y y- ++ + =

1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3

1

0 0

0 0

0 0n

n n n n

b c da b c d

a b dc

a b d

yyy

y-

æ öæ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç=÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè øè ø è ø

LO MO

M O O O M ML

Résolution numérique Résultats

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Psi NobonesPsi ODE

Rayon

pote

ntie

l nor

mal

isé


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.51E-8

1E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

1E-2

1E-1

1E+0

1E+1

s=-1,5s=-2

Rayon

Erre

ur r

elat

ive

(%)


2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 f(x) = − 1.00093681865595 x + 2.30466430205072Ln(Psi)=f(Ln(R))

Ln(Psi)=f(Ln(R))Regression lineaire

Ln(R)

Ln(P

si)

Conclusion

Cette nouvelle forme pour le potentiel nous donne accès au potentiel de manière rapide et avec une bonne précision.

Pour améliorer le calcul du potentiel, il serait intéressant de pouvoir améliorer la précision du paramètre l

Il serait aussi intéressant de chercher une solution à l’ODE sous forme de série entière à condition que cette dernière converge

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