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LÓGICA  DE  PREDICADOS  5.  IDENTIDAD  Y  FUNCIONES  (PARTE  1)  

 Juan  Carlos  León  Universidad  de  Murcia  

Esquema  del  tema  

§  5.1.  La  noción  lógica  de  identidad  §  5.2.  Reglas  de  deducción  natural  para  “=”  §  5.3.  Cuantificadores  numéricos  §  5.4.  Descripciones  definidas  §  5.5.  Extensión  del  método  de  árboles  §  5.6.  Funciones.  Términos  §  5.7.  Árboles  con  letras  funcionales  

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   5.1.  La  noción  lógica  de  identidad  

Lógica  de  predicados    5.  Identidad  y  funciones  

Igualdad  e  identidad  

§  En  matemáticas,  la  identidad  se  representa  por  el  (engañosamente  llamado)  signo  de  igualdad  

§  “2+2=4”  no  significa  que  2+2  sea  igual  que  4,  sino  que  2+2  es  el  mismo  número  que  4:  una    identidad  (numérica),  o  mismidad  

§  En  contextos  no  matemáticos,  la  identidad  se  expresa  mediante  el  verbo  “ser”  ú  por  ejemplo,  “Juan  Carlos  es  el  profesor  de  Lógica”  

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Proposiciones  de  identidad  

§  Compárese:    1)  Sócrates  es  un  filósofo  3)          Sócrates  es  el  maestro  de  Platón  

 2)  París  es  una  ciudad  4)          París  es  la  capital  de  Francia  

§  (1)  y  (2)  son  proposiciones  de  sujeto-­‐predicado:  la  partícula  “es”  significa  que  el  objeto  a  que  refiere  el  sujeto  tiene  la  propiedad  expresada  por  el  predicado  (se  trata  de  un  “es”  predicativo)  

§  En  cambio,  (3)  y  (4)  son  proposiciones  de  identidad:  la  partícula  “es”  significa  “es  el  mismo  objeto  que”:  es  un  “es”  de  identidad  

El  “es”  de  identidad  

§  Algunas  claves  para  reconocer  un  “es”  de  identidad:  ú  ¿Puede  reemplazarse  por  “es  el  mismo  objeto  que”?  

ú  ¿Puede  invertirse  el  orden  de  las  expresiones  que  flanquean  al  verbo  “es”,  sin  que  resulte  lingüísticamente  forzado?  

§  Respuestas  afirmativas  son  signo  de  que  tenemos  una  proposición  de  identidad  

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Extensión  del  lenguaje  

§  Añadimos  al  alfabeto  un  nuevo  símbolo:  ú  El  signo  de  identidad:    “=”  

§  Y  añadimos  una  nueva  cláusula  a  la  definición  de  fórmula  atómica:  ú  k=j    es  una  fórmula  atómica  para  cualesquiera  

constantes    k    y    j  

§  Ejemplos  ú  a=b    c=a    b=b  

§  Esta  extensión  constituye  el  lenguaje  de  la  llamada  lógica  de  predicados  con  identidad  

El  predicado  de  identidad  

§  “=”  es  como  una  letra  predicativa  diádica  (que  expresa  una  relación  binaria)  ú  pero  seguimos  la  costumbre  matemática  de  escribirla  

entre  las  dos  constantes  y  no  delante  de  ambas  ú  y,  a  diferencia  de  las  restantes  letras  predicativas,  “=”  

tiene  una  interpretación  fija  

§  Teniendo  en  cuenta  las  reglas  de  formación  de  cfs,  “=”  podrá  aparecer  en  expresiones  complejas  del  mismo  modo  que  lo  hacen  las  letras  predicativas.  Por  ejemplo,  son  cfs  ú  ∀x    x=x      ∀x∀y  (Fx  ∧  Fy  →  x=y)  

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   5.2.  Reglas  de  deducción  natural  para  “=”  

Lógica  de  predicados    5.  Identidad  y  funciones  

Introducción  de  “=”  (I=)  

§  Para  cualquier  constante    k,    podemos  introducir    k=k    en  cualquier  línea  de  una  prueba,  sin  depender  de  ningún  supuesto  

§  Esquema  metalingüístico      ├    k=k  

§  El  efecto  de  esta  regla  es  como  el  de  introducir  un  teorema:  siempre  podemos  hacerlo,  y  sin  depender  de  ningún  supuesto  

§  Intuitivamente,  la  idea  es  que,  por  pura  lógica,  un  objeto  será  siempre  idéntico  a  sí  mismo  

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Eliminación  de  “=”  (E=)  §  Si  tenemos  como  premisas  un  enunciado  de  identidad  

del  tipo  k=j  y  una  cf  que  contenga  apariciones  de  una  constante  k,  podemos  sustituir  en  la  cf  una  o  más  apariciones  de  k  por  j,    dependiendo  de  todos  los  supuestos  de  ambas  premisas  

§  Esquema  metalingüístico:      Γ  ├    k=j  

   Δ  ├    P(k)      ⎯⎯⎯⎯      Γ,Δ  ├    P(j)  donde  P(j)  es  el  resultado  de  sustituir  k  por  j,  

     al  menos  en  una  de  sus  apariciones  en  P(k)  

§  O  sea,  si  un  objeto  es  el  mismo  que  otro,  cualquier  cosa  que  digamos  del  uno,  podemos  decirla  del  otro  

Demostración  de  5.01  y  5.02  

5.01    a=b  ├    b=a          (conmutatividad)  1   (1)   a=b   S  

(2)   a=a   I=  1   (3)   b=a   E=  1,2  

5.02    a=b,    b=c  ├    a=c          (transitividad)  1   (1)   a=b   S  2   (2)   b=c   S  

1,2   (3)   a=c   E=  1,2  

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Demostración  de  5.03  

5.03    Fa    ┤├    ∃x  (x=a  ∧  Fx)  

 (a)    Fa  ├    ∃x  (x=a  ∧  Fx)  

1   (1)   Fa   S  

(2)   a=a   I=  

1   (3)   a=a  ∧  Fa   I∧  1,2  

1   (4)   ∃x  (x=a  ∧  Fx)   I∃  3  

 (b)    ∃x  (x=a  ∧  Fx)  ├    Fa  

1   (1)   ∃x  (x=a  ∧  Fx)   S  

2   (2)   b=a  ∧  Fb   S  

2   (3)   b=a   E∧  2  

2   (4)   Fb   E∧  2  

2   (5)   Fa   E=  3,4  

1   (6)   Fa   E∃  1,2,5  

Regla  derivada  

§  Usaremos  únicamente  una  regla  derivada,  que  es  una  generalización  del  esquema  5.01  

§  Conmutativa  de  la  identidad  (C=):      Γ  ├    k=j      ⎯⎯⎯⎯      Γ  ├    j=k  

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Teoremas  

5.04    ├    ∀x    x=x          (reflexividad)  

     (1)    a=a      I=  

     (2)    ∀x    x=x    I∀  1  

 

5.05    ├    ∀x∀y  (x=y  →  y=x)          (simetría)  

5.06    ├    ∀x∀y∀z  (x=y  ∧  y=z  →  x=z)          (transitividad)  

§  Ambos  se  obtienen  fácilmente  a  partir  de  5.01  y  5.02  

5.07    ├    ∃x    x=a  

     (1)    a=a      I=  

     (2)    ∃x    x=a    I∃  1  

¿Nombres  sin  referencia?  

§  Como  muestra  5.07,  en  el  lenguaje  científico  (cuyas  proposiciones  pretenden  tener  un  valor  de  verdad),  no  caben  los  nombres  vacíos  (sin  referencia),  pues  el  mero  uso  de  un  nombre  nos  compromete  con  la  existencia  del  objeto  nombrado  

§  Cuando  los  científicos  descubrieron  que  el  hipotético  planeta  intramercuriano  Vulcano  no  existía,  no  pasaron  a  negar  todas  las  proposiciones  que  hasta  el  momento  habían  afirmado  sobre  él.  Simplemente,  su  nombre  fue  eliminado  del  lenguaje  científico  

§  En  cambio,  el  lenguaje  científico  puede  usar  predicados  vacíos,  y  sostener  por  ejemplo  que  “no  existen  unicornios”.  (Hay  incluso  un  tratado  de  Compuestos  químicos  inexistentes)  

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Formalización  (ejercicio  5.20)  

§  Sólo  Pérez  y  el  centinela  sabían  la  contraseña.  Alguien  que  sabía  la  contraseña  robó  el  arma.  Luego  el  arma  fue  robada  por  Pérez  o  por  el  centinela  

§  Convenciones  simbólicas  

   a:  Pérez    Fx:  x  sabía  la  contraseña  

   b:  el  centinela    Gx:  x  robó  el  arma  §  La  primera  premisa  significa  “Pérez  y  el  centinela  sabían  la  

contraseña,  y  cualquiera  que  la  supiera  será  Pérez  o  el  centinela”.  Donde  la  partícula  “será”  es  un  “será”  de  identidad  

§  Formalización:    (Fa  ∧  Fb)  ∧  ∀x  (Fx  →  x=a  ∨  x=b),    ∃x  (Fx  ∧  Gx)  ├    Ga  ∨  Gb  

Demostración  de  5.08  (1)  

5.08    (Fa  ∧  Fb)  ∧  ∀x  (Fx  →  x=a  ∨  x=b),    ∃x  (Fx  ∧  Gx)  ├    Ga  ∨  Gb  

1   (1)   (Fa  ∧  Fb)  ∧  ∀x  (Fx  →  x=a  ∨  x=b)   S  

2   (2)   ∃x  (Fx  ∧  Gx)   S  

3   (3)   Fc  ∧  Gc   S  

1   (4)   ∀x  (Fx  →  x=a  ∨  x=b)   E∧  1  

1   (5)   Fc  →  c=a  ∨  c=b   E∀  4  

3   (6)   Fc   E∧  3  

3   (7)   Gc   E∧  3  

1,3   (8)   c=a  ∨  c=b   MP  5,6    

(continúa)  

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Demostración  de  5.08  (2)  

9   (9)   c=a   S  

3,9   (10)   Ga   E=  7,9  

3,9   (11)   Ga  ∨  Gb   I∨  10  

12   (12)   c=b   S  

3,12   (13)   Gb   E=  7,12  

3,12   (14)   Ga  ∨  Gb   I∨  13  

1,3   (15)   Ga  ∨  Gb   E∨  8,9,11,12,14  

1,2   (16)   Ga  ∨  Gb   E∃  2,3,15  

   5.3.  Cuantificadores  numéricos  

Lógica  de  predicados    5.  Identidad  y  funciones  

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Hay  al  menos  dos  

§  Con  la  identidad  podemos  expresar  proposiciones  como  “sólo  a  y  b  son  F”,  que  hubiéramos  sido  incapaces  de  representar  sin  ella  

§  Tampoco  puede  expresarse  sin  la  identidad  la  afirmación  de  que  “hay  al  menos  dos  objetos  que  son  F”  

§  Es  fácil  comprobar  la  equivalencia  entre  estas  dos  cfs:      ∃x  Fx    ∃x∃y  (Fx  ∧  Fy)  

 con  lo  que  usar  dos  variables  distintas  no  garantiza  que  haya  dos  objetos  diferentes  

§  Para  decir  “hay  al  menos  dos  Fs”  necesitamos  esto  

   ∃x∃y  (Fx  ∧  Fy  ∧  x≠y)    (escribimos  “x≠y”  en  lugar  de  “¬x=y”)  

Hay  al  menos  n  

§  Similarmente,  podemos  decir  “hay  al  menos  tres  cosas  que  son  F”  escribiendo      ∃x∃y∃z  (Fx  ∧  Fy  ∧Fz  ∧  x≠y  ∧  x≠z  ∧  y≠z)  

§  En  general,  resultará  obvio  que  para  cualquier  número  n  podemos  decir  que  al  menos  hay  n  cosas  que  son  F,  con  el  concurso  esencial  del  signo  de  identidad  

§  ¿Pero  podremos  expresar  “hay  exactamente  n  cosas  que  son  F”?  

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Hay  a  lo  sumo  uno  

§  Decir  “hay  exactamente  una  cosa  que  es  F”  equivale  a  decir  “hay  al  menos  una  y  a  lo  sumo  una  cosa  que  es  F”  

§  Ya  sabemos  que  para  decir  “hay  al  menos  un  F”  basta  escribir  

   ∃x  Fx  

§  Y  afirmar  “hay  a  lo  sumo  un  F”  es  lo  mismo  que  decir  “si  dos  cosas  cualesquiera  son  F,  serán  la  misma  cosa”:  

   ∀x∀y  (Fx  ∧  Fy  →  x=y)  

§  Esta  cf  permite  que  no  haya  nada  que  sea  F,  y  que  haya  una  sola  cosa  que  sea  F;  pero  si  más  de  una  fuera  F,  la  cf  resultaría  falsa  

Hay  exactamente  uno  

§  Para  decir  “hay  exactamente  un  F”  escribiremos  pues      ∃x  Fx  ∧  ∀x∀y  (Fx  ∧  Fy  →  x=y)  

§  Esa  cf  es  equivalente  a  estas  otras  más  breves  y  nítidas  

   ∃x  (Fx  ∧  ∀y  (Fy  →  x=y))  

   ∃x  (Fx  ∧  ¬∃y  (Fy  ∧  x≠y))  

§  Indicamos  incluso  un  tercer  equivalente  más  simple  aún,  aunque  menos  claro  

   ∃x∀y  (Fy  ↔  x=y)  

§  Podemos  convenir  en  usar  la  notación  “∃1x  Fx”  como  abreviatura  de  cualquiera  de  esas  cfs  y  llamar  a  este  nuevo  símbolo  “cuantificador  numéricamente  definido”  

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Hay  exactamente  n  §  Para  decir  “hay  exactamente  dos  cosas  que  son  F”  quizá  

lo  más  sencillo  sea  escribir  

   ∃x∃y  (Fx  ∧  Fy  ∧  x≠y  ∧  ∀z  (Fz  →  x=z  ∨  y=z))  

§  También  podríamos  usar  el  cuantificador  numérico  “∃1x”  y  escribir  

   ∃x  (Fx  ∧  ∃1y  (Fy  ∧  x≠y))  §  Ahora  podemos  abreviar  cualquiera  de  las  dos  cfs  

anteriores  con  un  segundo  cuantificador  numéricamente  definido  “∃2x  Fx”  

§  Y,  obviamente,  este  procedimiento  puede  extenderse  de  modo  que  para  cualquier  número  finito  n  tendremos  una  cf  que  afirme  que  “exactamente  n  cosas  son  F”  

Ejercicios:  del  5.09  al  5.15  

5.09    a=b,    a=c  ├    b=c  5.10    a=b  ├      a=c  ↔  b=c  5.11    a=b  ├    Fa  ↔  Fb  5.12    Fa    ┤├    ∀x  (x=a  →  Fx)  5.13  ├    ∀x∀y  (Fx  ∧  x=y  →  Fy)  5.14    ∀x  (Fx  →  Gx),    Fa,    a=b  ├    Gb  5.15    ∀x  (Fx  →  ¬Gx),    Fa,    Gb  ├    a≠b  

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Ejercicios:  del  5.16  al  5.19  

5.16    ∀x  (Fx  →  x=a  ∨  x=b),    Ga  ∧  Gb                  ├    ∀x  (Fx  →  Gx)  5.17    ∀x∀y  (Fx  ∧  Fy  →  x=y),    Fa,    a≠b  ├    ¬Fb  5.18    ∃x  Fx    ┤├    ∃x∃y  (Fx  ∧  Fy)  5.19    ∃x  (Fx  ∧  ∀y  (Fy  →  x=y))    ┤├                        ∃x  Fx  ∧  ∀x∀y  (Fx  ∧  Fy  →  x=y)  

   5.4.  Descripciones  definidas  

Lógica  de  predicados    5.  Identidad  y  funciones  

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Nombres  y  descripciones  

§  Hasta  aquí  hemos  tratado  por  igual  nombres  de  objetos  y  descripciones  de  objetos  (como  expresiones  que  refieren  a  un  objeto),  y  los  hemos  simbolizado  mediante  constantes  

§  Pero  hay  argumentos  cuya  validez  depende  de  la  composición  interna  de  una  descripción,  ya  que  ésta  se  construye  a  base  de  indicar  que  una  cierta  propiedad  le  corresponde  a  un  único  objeto  

§  Por  esa  razón  las  denominamos  “descripciones  definidas”  

Ejemplo  (ejercicio  5.27)  

§  El  autor  de  La  Ilíada  escribió  La  Odisea;  luego,  alguien  escribió  tanto  La  Ilíada  como  La  Odisea  

§  El  argumento  es  obviamente  válido,  pero  esa  validez  no  se  manifiesta  si  tratamos  la  descripción  “el  autor  de  La  Ilíada”  como  si  fuera  un  nombre,  y  lo  representamos  mediante  una  constante:      Ga  ├    ∃x  (Fx  ∧  Gx)    (a:  el  autor  de  La  Ilíada;  Fx:  x  escribió  La  Ilíada;  Gx:  x  escribió  La  Odisea)  

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Formalización  

§  Lo  que  afirma  la  premisa  es  que  exactamente  una  persona  escribió  La  Ilíada,  y  que  esa  misma  persona  escribió  La  Odisea:      ∃x  (Fx  ∧  ∀y  (Fy  →  x=y)  ∧  Gx)  

§  El  contenido  de  la  descripción  está  captado  por  los  dos  primeros  miembros  de  la  conjunción:  alguien  escribió  La  Ilíada  y  es  el  único  que  lo  ha  hecho  

§  La  conclusión  se  sigue  entonces  obviamente  

La  teoría  de  las  descripciones  

§  Este  tratamiento  de  las  descripciones  se  debe  a  B.  Russell  (1905)  

§  Las  dos  proposiciones  ú  El  actual  rey  de  Francia  es  calvo  ú  El  actual  rey  de  Francia  no  es  calvo  

 son  ambas  falsas  (y  sólo  aparentemente  contradictorias),  ya  que  no  existe  actualmente  un  rey  de  Francia  

§  La  teoría  de  las  descripciones  definidas  de  Russell  suscita  problemas  filosóficos  que  se  abordan  mejor  en  el  ámbito  de  la  filosofía  del  lenguaje  

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Bertrand  Russell