Jovan Karamata

7/21/2019 Jovan Karamata

http://slidepdf.com/reader/full/jovan-karamata 1/27

ovan Karamata

Poreklo i koreni

U traganju za porodičnim korenima Jovana Karamate, utvrdili smo da potiče iz stare, ugledne imućne grčko -cincarske porodice, koja se među prvim grčkim i cincarskim trgovcima iz sela

Katranice (danas Pirg), iz okoline Mavrova, doselila u Zemun, tadašnju Habsburšku monarhiju,ubrzo pretopila u Srbe. Grčko -cincarska kolonija u Zemunu je u drugoj polovini 18. veka

mala 76 porodica, koje su većinom došle iz Moskopolja i Katranice, početkom 19. veka okoosam stotina duša, a krajem 19. veka ih je ostalo jako malo. (D. J. Popović, O Cincarima Beograd 1937, s. 50.) Iz Katranice su se, po nekim autorima, sredinom 18. veka odselila tribrata Karamate od kojih je jedan otišao u Požun (danas Bratislava), drugi je otišao u Lajpcig areći je ostao u Zemunu. (D. J. Popović, navedeno delo, s. 83.) Po drugim podacima Dimitrije

Karamata je sa sobom u Zemun doveo i brata Anastasa, (Isidor Stojčić, Znameniti zemunskiSrbi u XIX veku , Deo I, Zemun 1913, s. 20-24.) što potvrđuju zemunski sudski akti iz 1799.godine u kojima se spominje Anastas Matheo Karamata iz Makedonije, (R. Jeremić, Porekltanovnika u Zemunu , Glasnik Istorijskog društva u Novom Sadu, 1937, s. 416.) i Slavko

Gavrilović (Prilog istoriji trgovine i migracije Balkan- Podunavlje u XVIII i XIX stoleću , Beograd1969.) koji navodi da je Atanasije (Anastas) Karamata, star 30 godina, došao u Zemun 1756.godine, a da u Putincima kraj Rume stanuje od 176 7. godine, bavi se krojačkim zanatom,arendira spahijsku krčmu i trguje turskom i bečkom robom. Dimitrije Karamata, star 34godine, došao je u Zemun 1755. godine, nastavio je da živi u Putincima i trguje nemačkom imađarskom robom i volovima. Anastas je imao više dece, od kojih se ćerka Jelisaveta udala zaNikolića spahiju od Rudne. Njihov sin Jovan Nikolić je za ženu imao Perku Obrenović, kćerkneza i vladara srpskog Miloša Obrenovića. (I.Stojčić, navedeni tekst.) Današnji članoviporodice Karamata potiču od Dimitrija i njega smatraju začetnikom te slavne cincarsko -srpskeporodice.

Po dolasku u tada vrlo prometan i narastajući Zemun, Dimitrije je počeo da se bavi vrlounosnim poslom. Postao je vlasnik krčme koja je ubrzo po otvaranju stekla dobar glas imatrala se jednim od tri najpoznatija mesta u Zemunu gde je moglo udobno da se prespava i

dobro da se obeduje. (Ignaz Soppron, Monographie von Semlin und Umgebung , Semlin (Zemun)1890, s. 381.) Stekavši zavidan imetak, Dimitrije Karamata i njegova žena Marija Grujić,Srpkinja koja je, preobučena u muško odelo i sa jednim ženskim detetom, pobegla u Zemun izKonstantinopolja, (D. T. J. Popović, navedeno delo, s. 100, Glasnik Istorijskog društva u NovomSadu IX, s. 259-260. Ignaz Soppron u pomenutoj monografiji o Zemunu na strani 81 netačnokaže da mu je žena bila Grkinja.) 1772. godine za tadašnjih 4000 forinti kupuju od KupineKuzmanove, imućne udovice trgovca Kuzmana Jovanovića, veliku i masivnu jednospratnukuću nedaleko od Nikolajevske crkve. Ta kuća, koja je već osam generacija dom porodiceKaramata, sazidana je 1763. godine i danas predstavlja vredan arhitektonski i umetničkipomenik. Građena je u baroknom stilu u koji se uklopio i nadograđeni deo iz 1827. godine.



Šupljikac, a levo Atanasije Karamata. Isidor Stojčić, Znameniti zemunski Srbi u XIX veku , Deo IZemun 1913, s. 20-24.) U Karamatinoj kući se u jesen 1848. godine nastanio, zajedno saGlavnim odborom za borbu protiv Mađara, srpski patrijarh Josif Rajačić, crkveni, politički ivojni starešina vojvođanskih Srba toga vremena. (Petar St. Marković, Zemun od najstarijihvremena pa do danas , Zemun 1896, s. 125. Ova knjiga je štampana u štampariji JovanaKaramate, strica našeg Jovana Karamate.) Atanasije se po završetku bune bavio trgovinom i bioe član "varoškog zastupstva". Bio je jedan od pokretača "Zemunskog glasnika" i važio je začoveka plemenita srca i vrlo zauzimljivog za javne stvari. (Isto, s. 131.)

Atanasije je sa ženom Marijom, rođenom Jovica, imao četvoro dece - Kostu (Konstantina),ovana, Stevana i Ozrena.

z generacije u generaciju porodica je po većavala svoje bogatstvo. No, možda na vrhuncu njenogmaterijalnog blagostanja, šezdesetih godina prošlog veka, svinjska kuga im je opustošila obore,a filoksera uništila skoro sve vinograde, što je došlo nekako u isto vreme kada je izbila i opštavetska ekonomska kriza. U to vreme kada su nesreće potresale finansije porodice, umro je iovanov deda Atanasije. Porodica Karamata nije više nikada posle toga dostigla pređašnji nivo

materijalnog bogatstva. Kako nije bilo nikoga da imovinu dovede u red, određen i su tutori kojiu likvidirali vinograde i trgovinu svinjama, a udovicu Mariju, Jovanovu baku, ostavili samo sa

već pomenutom i opisanom kućom u Karamatinoj ulici. Marija se izdržavala iznajmljivanjemtanova svoje velike kuće a sama je često menjala stan da bi onaj u kome je bila, izdala novimtanarima. Njena sestra Sofija Veselinović, koja je bila bogata udovica iz Sombora, pomogla joje, na svu sreću, da iškoluje decu. (Na ovim podacima, kao i onim koji slede o Jovanovom ocuStevanu Karamati, dugujem zahvalnost gospodinu Michaelu Shaskevichu, sinu Jovanoveestre Smiljke, koji je takođe matematičar i živi u SAD. Pismo mi je upućeno 12. avgusta 1998.

godine.)

Stevan Karamata, Jovanov otac, završivši trgovačku školu, pokazao je veliku sposobnost uposlu; bogatiji srpski trgovci su ga pozvali da sa njima osnuje Srpsku banku u Zagrebu. Bankae brzo razvijala, i postala je druga po veličini u Hrvatskoj (posle Prve hrvatske štedionice), a

ubrzo je osnovana i filjala u Bud impešti za čijeg je direktora postavljen Stevan. Ovde je, dakle,važno naglasiti da Karamatini nisu bili vlasnici odlučujućeg kapitala u Srpskoj banci, većsamo" sposobna i radna dobro stojeća građanska porodica čiji je jedan član, Stevan, bio viši

bankar ski službenik.

ovanov stric Kosta Karamata (1862-1920) bio je gimnazijski profesor matematike u Zemunu,cenjen i uvažavan ne samo kao nastavnik već i kao naučnik, (Kosta Karamata je objavio radPrilog odnosima opisana kruga prema dodirnim krugovima kod trokuta , u časopisu RAD JAZU,knj.128, Zagreb 1896.) a stric Jovan je, pored toga što je bio vlasnik poznate štamparije, biodirektor zemunske štedionice i član ugarskog sabora, (Najmlađi Atanasijev sin Ozren (1868) jekao artiljerijski kapetan umro 1912. g odine. I. Stojčić, navedeni tekst.). U takvom okruženju,građanskom i bogatom materijalno i duhovno, u Zagrebu se 1. februara 1902. godine rodioovan Karamata kao šesto dete od oca Stevana i majke Desanke, rođene Vukomanović. (Prvdete Atanasije je umrlo rano, a zatim dolaze Ozren, Srđan, Smiljka i Kosta (Konstantin)) Kakou se ubrzo po njegovom rođenju preselili u Zemun, Jovan Karamata je uvek Zemun smatrao

za svoj rodni grad. Osnovnu školu je počeo pohađati u Budimpešti 1909. godine, a nastavio izavrš io u Zemunu 1913. godine. Te iste godine je upisao Zemunsku gimnaziju, ali je predpočetak Prvog svetskog rata, 1914. godine, pošto je Zemun bio na nemirnom i opasnomgraničnom području između Austro -Ugarske i Srbije, napustio Zemun i školovanje nastavio nSušaku pored Rijeke. To mu je izgleda vrlo teško palo, kako zbog napuštanja roditeljskog domaako i zbog odlaska iz Zemuna koga je uvek veoma voleo, pa je bio blizu ponavljanja trećegazreda gimnazije. Iz tih razloga, kao i zbog ratnih prilika, Jovanov otac ga sa ostalom braćom iestrom vraća u Zemun i šalje u Švajcarsku, tačnije u Lozanu gde će 1915. godine upisati



Kantonalnu gimnaziju (Gymnase scientifique), a potom i maturirati 1920. godine. To je bilaprirodno- naučna gimnazija u kojoj nije imao prilike da stekne afinitete prema književnosti,likarstvu ili muzici. Zato se isticao marljivošću i znanjem ne samo iz matematike već i iz fizike.

Tako je napisao i jedan mali rad o prelamanju svetlosti, kada je eksperimentalno i računskizračunao granični prelaz prelamanja svetlosti, što je doduše tada bilo poznato, ali on je do toga

došao potpuno samostalno. U protestantskoj Švajcarskoj je stekao solidno srednjoškolskomatematičko znanje, ali i preciznost, pedantnost, sistematičnost i marljivost, što se ka snije unjegovom radu i delima jasno očitovalo.

Godine 1920. vraća se u Beograd i upisuje studije tehnike na Tehničkom fakultetu Univerzitetau Beogradu. Postoji priča koju je profesor Jakov Hlitčijev (1886 -1963) više puta pričao uprisustvu Karamatinom i po kojoj ga je jednom prilikom u njegovom stanu potražio izvestanlegantan mladić koji je uporno zahtevao da ga profesor primi. Hlitčijev je pomislio da se radi oednom studentu koji iz razloga što nije posećivao predavanja, traži potpis. Jedan od onih, kakoHlitčijev reče, koji nikada neće završiti tehničke nauke. (M. Tomić, Spomenica posvećenapreminulom akademiku Jovanu Karamati , SANU, posebna izdanja knj. CDXXIII, 37, 1968, s. 6.)Taj mladić je bio Jovan Karamata, a reči profesora Hlitčijeva su se po kazale istinite. BogdanGavrilović koji je prvi zapazio talenat za matematiku mladoga Karamate, preporučio ga jeMihailu Petroviću, i kada je 1922. godine položio pripremni ispit na Građevinskom odseku

Tehničkog fakulteta, (To je bio ispit koji se polagao posle odslušane druge godine studija, uokviru kojeg se polagala nacrtna geometrija, matematika, fizika, mehanika i otpornostmaterijala. Tek po njegovom polaganju moglo se nastaviti studiranje i polaganje ispita iz usko-tručnih predmeta.) Karamata se prebacio na studije matematike na Filozofskom fakultetu

Univerziteta u Beogradu gde je slušao prvu grupu nauka (teorijska matematika, primenjenamatematika i eksperimentalna fizika).

Studije i prvi radovi

Te 1922. godine, kada je upisao studije matematike, na Beogradskom univerzitetu su, poodlasku profesora dr Mladena Berića (1885 -1935) i Sime Markovića (1888 -1937), ostali kao

profesori matematike samo Bogdan Gavrilović na Tehničkom fakultetu i Mihailo Petrović naFilozofskom fakultetu. Oni su uz Petra Živkovića (1847 -1924) bili i jedini naši matematičaričlanovi Srpske Kraljevske Akademije nauka. Primenjenom matematikom se bavio ugledniakademik profesor Milutin Milanković (1879 -1958). Početkom dvadesetih godina, 1920.odnosno 1922. godine, u Beograd i na Un iverzitet, dolaze i dva ruska emigranta, tada većstaknuta matematičara, dr Anton Bilimović (1879 -1970) i dr Nikola Saltikov (1866-1961).

Mihailo Petrović, koji je pravilno procenio da bez mladih snaga nema pravog napretka u novim iavremenim oblastima matematike, prilazi osposobljavanju mlađih saradnika. Iz posleratne

generacije matematičara za svog asistenta izabira Tadiju Ž. Pejovića (1892 -1982), suplentaDruge muške gimnazije u Beogradu. U okviru Petrovićevog Matematičkog seminaraUniverziteta u Beog radu pored Gavrilovića, Milankovića, Bilimovića, Saltikova, PetraZajančkovskog i Vjačeslava Žardeckog, aktivno je delovao Radivoj Kašanin (1892 -1989), kaomlađi matematičar koji je studirao van Beograda i diplomirao 1921. godine u Parizu. Svi su oni,tud irajući po raznim univerzitetima širom Evrope, doneli u Beograd široko i raznovrsno ali i

kvalitetno matematičko znanje iz mnogih oblasti matematike.

Uskoro se javljaju i prvi rezultati tako organizovanog nastavnog i naučnog rada na Univerzitetuu Akade miji. Novi naraštaji mladih naučnika matematičara počinju da ispoljavaju svoj

opstveni interes za najsavremenije grane matematike i u toj interakciji starih i novihhvatanja, puteva i metoda, naša matematika postiže velike uspehe. Tadašnju atmosferu među

matematičarima u Beogradu možda je najlepše oslikao upravo akademik Radivoj Kašanin uvojim sećanjima koje je saopštio 1974. godine Dragoslavu Andriću, autoru knjige Razgovori sa



avremenicima , gde je taj tekst i objavljen. On kaže: "Pored visoke stručne spreme i originalnihnaučnih radova, sva trojica (M.Petrović, B.Gavrilović i M.Milanković, prim.aut.) su se odlikovalanečim što najviše cenim, što smatram za ljudsku vrednost najvišeg ranga: ljubav premamladim generacijama, razumevanje mladih ljudi, nes ebičnost i iskrena pomoć mladim,alentovanim ljudima u njihovom napredovanju. Umeli su da se raduju i da uživaju kad se

mladi ljudi uzdižu. Imao sam sreću da se razvijam i radim pored njih, velikih autoriteta nauke imorala. Da se ponosim njihovim prijateljstvom. Ne verujem da je igde postojao takav ambijentkakav su stvorili Gavrilović, Petrović i Milanković." Zaista divno i dirljivo! Među najmlađim

matematičarima, još studentima, posebno su se isticali Miloš Radojčić (1903 -1975) i JovanKaramata, mada po tpuno različitih priroda, životnih i matematičkih stremljenja, dva velikaprijatelja tokom celog života.

Karamata nije poklanjao mnogo pažnje formalnom školskom znanju, već je još kao studentežio samostalnom istraživačkom radu. Prvi učitelj, primer i uzor u naučnom radu, čovek kogae celog života poštovao, bio je Mihailo Petrović. Od njega je primio veliku i iskrenu ljubavprema nauci, širinu pogleda, želju za čistim naučničkim radom, ideje oslobođene formalnihtega i pravce u kojima treba tražiti rezultate. Tako će Karamata za oblast svog rada izabratieoriju funkcija, jednu od oblasti u kojoj je Petrović dao lepe i značajne rezultate i koji su

Petrovićevo ime učinili poznatim. Sam Karamata je, po svedočenju akademika Miodraga

Tomića, često govorio da je veliki uticaj na njega odigralo poznanstvo a kasnije i prijateljstvo saRadivojem Kašaninom. Svojim bogatim i širokim znanjem matematike koje je stekao nauniverzitetima u Beču i Parizu, Kašanin je proširio matematičke vidike i kod mladog Karamate.Omogućio mu je, kako Karamata sam priznaje, da uvidi značaj novih oblasti matematikeeorije skupova, mere i integrala, a posebno značaj strogog dokaza koji je karakterističan za

nemačku matematičku školu.

No i pored neospornog uticaja Petrovića i Kašanina na razvoj Karamate kao matematičara ičoveka, za Karamatu važi da je bio samouk, da nije bio sledbenik ni jedne matematičke škole i,može se dodati, nikada nije imao iza sebe neko već provereno matematičko ime koje bi muotvaralo put u društvo vrhunskih matematičara. To je uspeo potpuno samostalno zahvaljujući

vrednosti svojih radova. Za uspeh na takvom putu, kao pratioci neophodne su mu bile knjige iadovi najvećih matematičara. Matematička literatura je jedan od najvažnijih Karamatinihučitelja. Kao student je proučavao do najsitnijih detalja poznati rad H.Vejla O ravnomernomasporedu brojeva modula jedan (H.Weyl, Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins , Math

Annalen 77, 1916, s. 313- 352), a inspiraciju i ideju za svoju tezu dobio je rešavajući problemez čuvene, i za razvoj klasične matematičke analize u Beogradu vrlo važne, zbirke zadataka ieorijskih problema Polje i Segea (G.Pólya, G.Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis

Springer, Berlin, 1925). Zahvaljujući jednoj drugoj knjizi, Landauovoj monografiji Prikaz obrazloženje nekih novih rezultata iz teorije funkcija (E.Landau, Darstellung und Begründunginiger neuer Ergebnisse der Funktionentheorie , 1. izdanje 1916, 2. izdanje 1929), Karamata seusreo sa Tauberovim teoremama Hardi-Litlvuda (G. H. Hardy-J. E. Littlewood), koje je odmah

počeo i sam da proučava i što će mu ubrzo doneti veliko priznanje u svetskoj matematici.

Prva pojavljivanja tekstova Jovana Karamate u matematičkoj literaturi, odmah po diplomiranju1925. godine, bil i su referativni osvrti na radove njegovog profesora Mihaila Petrovića. Tako uahrbuch über die Fortschritte der Mathematik referiše radove Produkti jednaki zbiru svojihinilaca (B. 51, s. 91), Diferencijalne jednačine prvog reda sa oscilatornim integral ima (B. 51, s.

332) i Transmutacije funkcija predstavljenih potencijalnim redovima (B. 52, s. 297).

ula iste godine kada je diplomirao, postavljen je za neukaznog (dnevničara) asistenta kodprofesora M.Petrovića, a januara 1929. godine za ukaznog asisten ta za matematiku naFilozofskom fakultetu Univerziteta u Beogradu.



Prvo javno istupanje je imao u Srpskoj Kraljevskoj Akademiji 14. decembra 1925. godine, dakleu 23. godini, sa naučnim saopštenjem o svom prvom radu iz teorije redova O izračunavanjugranica vezanih za dvostruke nizove brojeva , primljenog za objavljivanje u GLASU SKA nakupu Akademije Prirodnih nauka 1. februara 1926. godine. O raspravi su pozitivno referisali

Mihailo Petrović i Bogdan Gavrilović. Sadržaj tog rada je ušao i u njegovu dokto rsku disertacijuO jednoj vrsti granica sličnih određenim integralima koja je primljena za doktorski ispit naednici Filozofskog fakulteta Univerziteta u Beogradu 9. marta 1926. godine prema referatu

članova ispitnog odbora Mihaila Petrovića, Nikole Saltikova i Antona Bilimovića. Pred tom

komisijom je 26. marta 1926. godine položio doktorski ispit i promovisan za doktora filozofije.Karamata je u tezi ponovio rezultate prethodnog rada, u kome je dao uslove koje morajuzadovoljavati funkcija f(x) i niz < an,n > pa da postoji granična vrednost A(f) niza

Zbog toga je uveo pojam funkcije rasporeda dvostrukog niza brojeva an,n koju je označio san(x) gde je

za a ≤ x ≤ b, odnosno r n (x) označava broj a n,n ne većih od x za fiksirano n.

Kao rezultate je dobio potrebne i dovoljne uslove pod kojima će za jedan opšti niz oblika a n,npostojati funkcija rasporeda kao i na koji način se ta funkcija može izračunati. Glavna primenaih rezulta ta je određivanje oblasti konvergencije redova polinoma oblika

gde su Pn (x) polinomi n-tog stepena sa realnim korenima. Taj se problem uglavnom svodi nazračunavanje funkcije rasporeda korena posmatranih polinoma i Karamata ga je potpuno rešio

za slučaj kada ta funkcija postoji i nije jednaka nuli za sve konačne vrednosti od x, kao i zazvesne slučajeve kada je ona jednaka nuli za sve konačne vrednosti od x. Napomenim o da je

do istih rezultata, koji su štampani 1928. godine, u časopisu Mathematische Zeitschrift t.28, s.177- 199, u skoro isto vreme, došao i poznati matematičar I. Šenberg (Schönberg). Šteta je štoKaramatina teza nije nikada u celosti prevedena i objavlj ena u inostranstvu. Nažalost to nije

bio usamljeni slučaj iz tog vremena!Prvi radovi bili su referisani (FdM. B.52, s. 222) i zapaženi po rezultatima koji su vrlo brzo našlipotvrdu i primenu zbog specifične matematičke simbolike, prvenstveno zbog oznake L zgraničnu vrednost niza funkcija i oznake za graničnu vrednost supremuma ili infimumaniza funkcija n (x). U zaostavštini Milutina Milankovića postoji pismo Mihaila Petrovića upućenoprofesoru Milankoviću 26. maja 1926. godine iz Pariza, u kome mu šalje primerak Note deKaramata iz koje se vidi da mu je ne samo izlaganje već "i ideja u tezi odista bila dobra."Zanimljiv je i jedan detalj sa odbrane teze kada je, po usmenom kazivanju akademika MiodragaTomića, profesoru Antonu Bilimoviću zasmetala suma jedinica ∑1 bez indeksa, na šta mu jemladi Karamata odgovorio da se samo jedinice i sabiraju.



Njegov sledeći rad Sur certaines limites rattachées aux intégrales de Stieltjes (Comptes Rendusdes séances de l'Academie des Sciences de Paris, 182, 1926, s. 833-835) prikazan je na skupuPariske Akademije nauka 29. marta 1926. godine, u kome je rezultate dobijene u prethodnimadovima povezao sa Stieltjesovim integralima. Čuveni francuski matematičar Adamar (Jacques

Hadamard), osvrćući se i na prethodno prikazani rad francuskog matematičara Levija (PaulLévy), propratio je njegov rad sledećim rečima: "Oštroumne ideje gospodina Karamate delimičnoe poklapaju sa nekim od onih koje je izložio Pol Levi. S druge strane, tako različit način iz koga

dva autora izvlače rešenje polazne tačke pokazuje plodnost nove vrste razmišljanja." (Les

ngénieuse idées de M.Karamata se rencontrent partiellement avec certains de celles qu'émetd'autre part M. Paul Lévy. La manière si différente dont, d'autre part, les deux auteurs tirentparti du même point de départ montre la fécondité du nouvel ordre de considêrations).Primedba na kraju teksta rada.)

Tokom 1926. godine aktivan je član i učesnik Matematičkog seminara, i redovno referiše ueferativnim časopisima radove Mihaila Petrovića, objavljuje nove radove, a decembra 1927.

godine odlazi, kao stipendista Rokfelerovog fonda, na usavršavanje u Pariz, gde ostaje doeptembra 1928. godine. Za vreme boravka u Parizu učestvuje i na svom prvom kongresu (52.

Kongres francuskog udruženja za unapređenje nauka - AFAS), održanom u julu mesecu u LaRošelu, sa radom Une question de minimum relative aux ensembles et son rapport avec

'analyse .Najvažniji period naučnog rada

Po povratku sa usavršavanja, iz Pariza, u Beograd, 1928. godine, počinje najznačajniji inajplodniji period naučnog rada Jovana Karamate. Svoje najčuvenije i najoriginalnije radove,koji su njegovo ime učinili poznatim u skoro svim matematičkim krugovima Ev rope, napisao jeu periodu od 1929- 1933. godine, mada se snažna matematička, naučna i nastavna, aktivnostnastavila bez prekida do početka Drugog svetskog rata. Iako ga je u tom periodu života poredmatematike interesovala i antroposofija, pa je za Jugoslo vensko antroposofsko društvoosnovano 1927. godine preveo delo osnivača antroposofije Rudolfa Štajnera Praktično

vaspitanje mišljenja (Beograd, 1930) i za prvi broj časopisa za antroposofiju i umetnost Upoznaebe (Beograd, 1931) napisao kratak originalan tekst Upoznavanje sebe kao osnov saznanja pak mu je matematika postala ne samo ljubav i profesija, već i opsesija.

Da bi imao što više vremena za promišljanja o matematici i za pisanje radova koji su odmah poobjavljivanju bili zapaženi i visoko ocenjeni, i da u tome ne bi bio ometan, organizovao je i držaovu svoju nastavu na Univerzitetu u samo jednom danu, od osam ujutru do osam uveče. On je

grozničavo radio sa jednom skoro nadljudskom energijom. U to vreme je Karamata gradi o novuporodičnu kuću, i dane i noći provodio na gradilištu, gde je sa svojim učenikom i saradnikomVojislavom Avakumovićem (1910 -1990) razgovarao skoro samo o matematičkim problemimakojima se tada najintenzivnije bavio. To su bili problemi teorije redova , tačnije teoremeTauberove prirode.

N.H. Abel je, baveći se problemima konvergencije i zbirljivosti redova, iskoristio PoasonovaS.T.D. Poisson) istraživanja zbirljivosti trigonometrijskih redova, 1826. godine formulisao

eoremu po kojoj ako red konvergira ka s, tj. ako je , gde je , i akotavimo



Dokaz Litlvudovog rezultata ostao je veoma komplikovan uprkos naporima mnogihmatematičara (Landau, Hardi, R. Šmid itd.) sve do 1930. godine kada se u časopisuMathematische Zeitschrift pojavila Karamatina rasprava Über die Hardy-LittlewoodscheUmkehrungen des Abelschen Stätigkeitssatzes od svega dve strane, koja je izazvala ne maloznenađenje u matematičkim krugovima i svom autoru odmah donela svetsku slavu. Veoma je

zanimljivo svedočenje profesora Vojislava Marića o tome: "Prilikom posete Univerzitetu St.Andrews u Škotskoj, predstavljen sam uglednom matematičaru Kopsonu (E. T. Copsonu) iz čijeu knjige mnogi iz moje generacije učili teoriju funkcija kompleksne promenljive. Već prilično

tar i ne mnogo zainteresovan za posetioce, umesto uobičajenih konvencionalnosti rekao jeamo ovo: "Do sada sam čuo za samo jednog jugoslovenskog matematičara - Jovana Karamatu.Kada sam tridesetih godina učio kod Hardija zatekao sam ga jednom prilikom kako nervoznohoda po kabinetu. Bez pozdrava mi je vidno uzbuđen rekao "Dobio sam pismo od jednogmladog čoveka iz Beograda koji tvrdi da je dokazao Hardi -Litlvudovu teoremu na svega dvetrane. To je prosto nemoguće." Taj Karamatin rad doneo je ne samo nov, kratak i posebnolegantan ("We shall give an extremely elegant (naglasio autor) proof which has recently been

obtained by Karamata." (E.C.Titchmarsh, The Theory of Functions , 1939, s.226.)) dokaz poznateeoreme, već i novu metodu koja je omogućila mnoge dalje rezultate i primene, i koja je kaoakva našla svoje mesto u poznatim mon ografijama Knopa (K.Knopp), Theorie und Anwendung

der unendlichen Reihen , 1931; Deča (G. Doetsch), Theorie und Anwendung der Laplace

Transformation , 1937; Videra (D. V. Widder), The Laplace Transformation , 1946; Hardija (G. H.Hardy), Divergent Series , 1949; Favara (J. Favard), Course d'Analyse. Compléments et Exercicesd'Analysis , 1962-1963.

Da bi iskoristio Hardijev stav po kome uz dodatni uslov nan = O(1), iz Čezarove zbirljivosti reda

sledi i njegova konvergencija, Karamata je najpre pokazao ekvivalenciju Abelove iČezarove zbirljivosti za pozitivne nizove, i u tom cilju je formulisao i dokazao sledeći, ključnitav:

Ako je red , Abel zbirljiv tj. ako je

ako je niz , j ednostrano ograničen, tj.

ada važi

za svaku funkciju f(t) koja je ograničena i Riman integrabilna u intervalu (0,1).

Nova i kasnije plodotvorna metoda koju je u dokazu ovog stava uveo Karamata, sastoji se iz dveednostavne ideje. Prva je, da taj stav očevidno važi za stepen tj. kada je , paako i za svaki polinom proizvoljnog stepena. Druga ideja je u direktnoj primeni poznate

Vajerštrasove (Karl Weierstrass) teoreme o uniformnoj aproksimaciji neprekidnih funkcijapolinomima, na funkciju f(t) za 0 ≤ t ≤ 1.



Ako se u dokazani rezultat specijalno stavi , tada je

ako se izabere takva funkcija f(t) da je

dobija se

to znači da je red zbirljiv u Čezarovom smislu. (Hardi i Litlvud su stav o ekvivalentnostiČezarove i Abelove zbirljivosti za nizove sa pozitivnim č lanovima formulisali i dokazali 1913. i1914. godine (G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Tauberian theorems concerning series of positiveerms , Messenger (2)42, 1913, s. 191-192; Tauberian theorems concerning power series and

Dirichlet's series whose coefficients are positive , Proc. Lond. Math. Soc. (2)13, 1914, s. 174-191), ali je dokaz bio dugačak, nepročišćen, prilično težak i daleko od očiglednog (K. Knopp,Theory and application of infinite series , 1937, s. 501; E.C.Titchmarsh, The Theory of Functions 1939, s. 227; J. Karamata O inverznim stavovima zbirljivosti beskrajnih nizova , s. 14 i s. 17.))

To međutim uz pomenuti Hardijev stav daje i konvergenciju reda, čime je Litlvudova teoremadokazana. Viland (H.Wielandt) je 1952. godine u radu Zur Umkehrung des AbelschenStätigkeitssatzes (Mathematische Zeitschrift, 56, sv.2, 1952, s.206- 207), koristeći Karamatinumetodu, pokazao da se taj međukorak preko Čezarove zbirljivosti može izostaviti.

Mada je veliki američki matematičar i tvorac kibernetike No rbert Viner (N.Wiener) dao 1932.godine opštu teoriju inverznih teorema koja sadrži i gore pomenuti rezultat Hardi -LitlvudaKaramatina metoda nije izgubila svoj značaj i korišćena je u dokazima niza novih rezultata.Zanimljivo je da je redakcija časopisa Mathematische Zeitschrift povodom 60- godišnjicezlaženja u svom izboru od 50 najznačajnijih radova između više hiljada objavljenih, navela i taj

Karamatin rad.

Ubrzo po objavljivanju još nekoliko radova vezanih za funkcije Tauberove prirode, kao idobij anja priznanja od strane tada najvećih matematičara iz iste oblasti, 29. septembra 1930.godine izabran je na mesto docenta za matematiku na Filozofskom fakultetu Univerziteta uBeogradu. Maja meseca 1937. godine izabran je za vanrednog profesora pri katedri teorijskematematike na istom Fakultetu. Redovni profesor Prirodno- matematičkog fakultetaUniverziteta u Beogradu je postao 1950. godine.

To je bio redovan put fakultetskog napredovanja skoro svakog univerzitetskog radnika, pa jeprvo pravo priznanje n jemu i njegovom naučnom radu, u tadašnjoj Jugoslaviji, bio izbor zadopisnog člana Jugoslovenske akademije znanosti i umjetnosti u Zagrebu, 31. maja 1933.godine. Referat o Karamati je podneo, 20. februara iste godine, akademik dr Vladimir Varićak1865-19 42). U njemu je, pored kraće biografije i spiska od 37, do tada objavljenih radova,

napisano: "Mada je još mlad dr. Karamata, ima on već vrlo lijep glas u matematičkom naučnom

vijetu...Erst kürzlich, veli K.Knop na 520. strani 3. izdanja svoje knjige o be skonačnimedovima, ist von J.Karamata ein überraschend einfacher Beweis desselben gefunden



worden...I. Titchmarsch prenio je u svoju teoriju funkcija taj Karamatin dokaz, za koji veli da jextremely elegant...I profesor matematike u Göttingenu E.Landau, koji zauzima odlično mjesto

među matematičarima, neobično visoko cijeni te radove Karamatine. Naš kandidat danas je većpoznata i ugledna ličnost u matematičkom svijetu."

Krajem dvadesetih i početkom tridesetih godina Karamata je osim Tauberovih teorema,ntenzivno proučavao i jednu novu klasu funkcija - pravilno promenljive funkcije. Ako su muadovi vezani za problematiku teorema Tauberove prirode odmah doneli slavu i ime u

matematičkom svetu, radovi o pravilno promenljivim funkcijama su tek kasnijim raz vojemmatematike, prvenstveno teorije verovatnoće, dobili na pravoj vrednosti.

Godine 1930. pored već pomenutog rada o funkcijama Tauberove prirode, pojavila se, ovogaputa u malo poznatom rumunskom časopisu Mathematica (Cluj), rasprava Sur une mode decroissance régulière des fonctions u kojoj su date definicija i osnovne osobine pravilne, odnosnoporo promenljive funkcije. Cilj i ideja te rasprave su bili da se uopšte Tauberovski uslovi u

nekim inverznim teoremama. Ubrzo se videlo da se te funkcije mogu uspešno primeniti umnogim granama matematičke analize i u teoriji verovatnoće, gde god nije potrebna samačinjenica konvergencije već i druge dodatne informacije. Time je Karamatina teorija izrasla uogromnu matematičku zgradu čiji je značaj i dalje u usponu i kojoj su posvećene, između

ostalog i tri poznate monografije o pravilnoj promenljivosti funkcija - Seneta (E. Seneta),Regularly varying functions , Lecture notes in Mathematics 508, Springer Verlag, Berlin,Heidelberg, New York, 1976; Bingam, Goldi, Tojgels (N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L.Teugels), Regular Variation , Encyclopedia of Mathematics and its applications, Vol. 27,Cambridge Univ. Press, 1987; Geluk, de Han (J. L. Geluk, L. de Haan), Regular Variationxtensions and Tauberian Theorems , CVVI, Tract 40, Amsterdam, 1987 - a u novije vreme je

proširena i na funkcije više promenljivih.

Poreklo ideje o Karamatinim sporo promenljivim funkcijama treba tražiti kod nemačkihmatematičara Šmida (Schmidt) u već citiranom vrlo važnom radu Über divergente Folgen undineare Mittelbildungen (Mathematische Zeitschrift 31, 1925, 89- 152) i Šura (I. Schur) u radu

Zur Theorie der Cesàroschen und Hölderschen Mittelwerte (Mathematiche Zeitschrift 31, 1929,. 391- 407). S druge strane na Karamatu su značajno ut icali i radovi Landaua Sur les valeursmoyennes de certains fonctions arithmétiques (Bulletin de l'Académie royale de Belgique, 1911,. 443- 472), koji je za neopadajuću funkciju L(x) posmatrao graničnu vrednost

Polje Über eine neue Weise, bestimmte Integrale in der analytischen Zahlentheorie zugebrauchen (Göttingen Nachrichten, 1917, s.149-159) u kome je uveo pojam regularnosti

monotono rastućeg niza q n ako za njega važi gde je N(r) broj elemenata niza manjihli jednak r, a L(r) Landauova funkcija, i Bemerkungen über unendliche Folgen und ganzeFunktionen (Mathematische Annalenn 88, 1923, s. 169-183) u k ome je određene monotoneporo promenljive funkcije nazvao "sporo rastućim" i "sporo opadajućim" (langsam wachsende,angsam abnhmende). Seneta je u pomenutoj monografiji (s. 46) primetio da je malo poznato dae neki elementi Karamatine teorije pojavljuju još u radovima H. Petrinija (1916), i G.Fabera1917) koji je definisao jednu funkciju koja je u suštini sporo promenljiva. Kako Karamata

njihove radove nije citirao, može se pretpostaviti da mu oni nisu bili poznati.

Pojam Karamatinih funkcija vezan je za proučavanje graničnih vrednosti tipa



gde je funkcija f(x) pozitivna i neprekidna za x > 0. Pokazuje se da ako ta granična vrednostpostoji i različita je od nule za neki razmak t Î [a,b] tada ona postoji za sve t > 0 i , gdee r realan broj. To je dovelo Karamatu do formulacija dve definicije:

Za pozitivnu neprekidnu funkciju r(x) definisanu na intervalu [a, ¥ ), a > 0 se kaže da je pravilnopromenlj iva (u beskonačnosti) ako za sve t > 0 važi

gde se broj r naziva indeks pravilnosti.

Ako je r iz prethodne definicije nula tada se za pozitivnu neprekidnu funkciju L(x) definisanuna intervalu [a,¥ ), a > 0 kaže da je sporo promenljiva (u beskonačnosti) ako za svako t > 0 važi

z te dve definicije se vidi da svaka pravilno promenljiva funkcija ima oblik . Ona jedakle uopštenje stepena, gde sporo promenljiva funkcija ima osnovnu ulogu. Navešćemo i nekeprimere spor o promenljivih funkcija: sve pozitivne funkcije koje teže ka pozitivnoj konstanti,

unkcija gde je xn realan broj a lnn x označava n-tu iteraciju logaritma, funkcije log

og x, , . Nav edene, kao i mnoge druge sporopromenljive funkcije, se veoma čestoavljaju u analitičkoj teoriji brojeva i to u glavnom članu ili u ostatku asimptotskih formula.

Takođe za svako a > 0 i za x ® ¥ važi i . To pokazuje da funkcija L(x)porije raste (opada) od bilo kog stepena od x, odnosno da sporo promenljiva funkcija

popunjava praznine između svaka dva stepena od x.

Kada je uveden pojam sporo promenljive funkcije, prirodno je definisati i brzo promenljivuunkciju. Dok spora (pravilna) promenljivost najviše odgovara Abelovom po stupku zbirljivosti,

Borelovom postupku zbirljivosti (niz sn je Borel zbirljiv ako postoji granična vrednost

) više odgovara brže rašćenje (brža promenljivost) funkcije. Bekeši je 1957. godine

dao sledeću definiciju brzo promenljive funkcije:Pozitivna neprekidna funkcija g(x) definisana na intervalu [a,¥), a > 0 se naziva brzopromenljiva (u beskonačnosti) ako za svako t > 1

Napomenućemo da je Karamata u radu Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autresommabilités s'y rattachant (Mathematica (Cluj), vol. IX, 1932, s.164- 178) već dao jednu

definiciju brzo promenljive funkcije, gde su tako definisane funkcije činile potklasu funkcijakoje zadovoljavaju Bekešijevu definiciju.



Polazeći od tih jednostavnih definicija, Karamata je razvio čitavu teoriju pravilno promenljivihunkcija koja je obuhvatila većinu najvažnijih osobina. Ovde na prvom mestu navodimo dvaezultata koji su osnovni za teoriju i za različite primene. To su:

1] Teorema o uniformnoj konvergenciji koja kaže da za svaku sporo promenljivu funkcijuL(x) količnik L(tx)/L(x) teži u t uniformno ka 1, kada x ® ¥ , za svaki fiksiran konačni intervala,b], odnosno za svaki kompaktni t-skup iz intervala (0,¥),

2] Teorema o reprezentaciji koja kaže da je L(x) sporo promenljiva funkcija, ako i samo akomože biti napisana u obliku

za neko a > 0, gde je c(x) neprekidna funkcija koja za x ® ¥ teži ka poziti vnoj konstanti, a e ® 0.Ako je c(x) konstanta tada se funkcija L(x) naziva normalizovana.

Ova dva rezultata su osnovno oruđe u dokazivanju različitih osobina sporo promenljivihunkcija.

Koristeći koncept pravilne promenljivosti funkcija i generalizacij u Abelovih i Tauberoviheorema u Laplas- Stieltjesovoj transformaciji, Karamata je dobio još jedan čuveni rezultat kojie dat u radu Neuer Beweis und Verallgemeinerung der Tauberschen SÄtze welche die Laplascheund Stieltjesche Transformationen betreffen (Journal für die reine und angewandte Mathematik164, 1931, 27- 39). O tom rezultatu Seneta u pomenutoj monografiji na strani 59 kaže: "One ofhe most famous and very widely useful theorems in probabilistic (amongst other) context is theamous theorem of Karamata (naglasio autor) which we prove first."

Formulisaćemo dve glavne teoreme iz tog rada. Prva od njih, koja se danas često naziva HardiLitlvud- Karamatina teorema, je sledeća:

Neka su L(x) i L(1/x) sporo promenljive funkcije, i neka je A(x) neopada juća funkcija nantervalu [a,¥) takva da funkcija

konvergira za svako x > 0. Tada važe sledeća tvrđenja:

Ako za x ® +0, r ≥ 0 tada za x ® ¥.

Ako za x ® ¥ tada za x ® +0.

Ova teorema proširuje Hardi -Litlvudov rezultat za Laplasovu transformaciju kada je L(x) = 1.

Druga glavna teorema je da, ako su L(x) i L(1/x) sporo promenljive funkcije i ako je A(x)neopadajuća funkcija na intervalu [a, ¥) takva da postoji integral



Tada iz

ledi

gde je

g(t) proizvoljna ograničena Riman integrabilna funkcija.

Važnost ovih teorema je u tome što je u njima sadržana, kao specijalni slučajevi, većinaTauberovih teorema.

deja da se stepen zameni sa nekom opštijom funkcijom je prirodna i nije bila potpuno novaer je već bilo pokušaja u tom pravcu. Ali Karamata je bio onaj koji je rešio taj problem unajopštijem smislu. Jednostavno i elegantno ga je formulisao i dokazao uvodeći sporopromenljive funkcije.

Vojislav Avakumović je 1947. godine u radu Sur l'equation differentielle de Thomas-Fermi Publications de l'Institut mathématique de l'Académie serbe, Beograd, 1, 1947, s. 101-113)

prvi uveo sporo promenljive i regularno promenljive funk cije u proučavanje asimptotskogponašanja rešenja određenih nelinearnih diferencijalnih jednačina Tomas -Fermijevog tipa, zavelike vrednosti promenljive, a V .Marić i M. Tomić su 1990. godine u radu A classification ofolutions of second order linear differential equations by means of regularly varying functions Publications de l'Institut mathématique de l'Académie serbe, Beograd, 48(62), 1990. s. 199-

207) formulisali teoreme o primeni sporo promenljivih i regularno promenljivih funkcija nainearne dife rencijalne jednačine.

Neočekivano i za samog Karamatu, sporo promenljive i pravilno promenljive funkcije su sepokazale od izuzetnog značaja u primeni na teoriju verovatnoće što je po prvi put došlo dopotpunog izražaja u knjizi V. Felera Uvod u verovatno ću (W. Feller, An Introduction to ProbabilityTheory and its Applications I i II , Willey, New York, 1969-1971). Pravilna promenljivost imavažnu ulogu u teoremama u kojima se pretpostavlja slaba konvergencija niza funkcijaaspodele, kao što su slabi zakon velikih brojeva i centralno granična teorema, a što je tesno

povezano sa teorijom privlačenja i teorijom obnavljanja.

Navešćemo i dve generalizacije Karamatinih funkcija. Jedna je još iz 1935. godine, koju je uadu Sur une extension de la condition de convergence des théorèmes inverses de sommabilité C. R. Acad. Sci. Paris 200, 1935, s. 1515- 1517) dao V. Avakumović uvodeći klasu R -0 funkcija

za proširenje nekih tauberijanskih uslova. Drugu je izneo de Han iz koje se razvila teorijaparalelna Karamatinoj i sa primenom prvenstveno na uopštene stohastičke procese. De Hanovaeorija dala je novi podsticaj proučavanju Karamatinih funkcija i njihovoj daljoj primeni kojoj je

posvećen ogroman broj radova.

U tom najvažnijem periodu naučnog rada Karamata je dobio jednako lepe i ne manje značajneezultate i iz nekih drugih oblasti matematičke analize. Tako se u radovima O uopštenjima

Mercerovog stava (GLAS SKA, Beograd, 146(72), 1931, s. 87-120) i Sur quelques inversions



d'une proposition de Cauchy et leur généralisations (Tôhoku Math. Journ. 36, 1932, s. 22-28)bavi stavovima iz zbirljivosti beskrajnih nizova koje je podelio u dve grupe: jednu koja sadržiuopštenja klasičnog Merserovog stava i drugu koja sadrži uopštenja Poljaovog stava. Zatim jeormulisao i dokazao dva opšta stava od kojih jedan sadrži većinu Poljaovih, a drugi skoro sve

Merserove stavove. Taj njegov metod se mnogo koristio u novim dokazima i često je citiran.Takođe je iz Koši - Jensenove teoreme skoro direktno izveo kao posledicu više elementarniheorema Merserove prirode.

U kratkom radu Sur inégalité relative aux functions convexes (Publications mathématiques de'Université de Belgrade, 1, 1932, s. 145-148) formulisao je i dokazao teoremu po kojoj su zavaženje nejednakosti

za sve funkcije f(x) koje su konveksne nad intervalom (a,b), potrebni i dovoljni uslovi

za svako k = 1, 2, 3, ..., n-1, i

gde su brojevi xn i Xn poređani po rastućem redosledu tj.

Ova teorema za

adrži kao specijalan slučaj Jensenovu nejednakost za konveksne funkcije. Mada je Karamatamislio da su Hardi i Litlvud pre njega, 1929. godine, dokazali ovu teoremu, što je i dopisao uvom već objavljenom radu, ovaj rezultat je kao značajan, citiran u dve poznate monografije o

nejednakostima - G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G.Pólya, Inequalities , 1934, s.89, iE.F.Beckenbach, R.Bellman, Inequalities , 1961, s. 30-32 - kao dopuna Hardi-Litlvudovomdokazu, a ne kao ponovljen dokaz. Nejednakost je nazvana Karamatinim imenom i detaljno jedokazana.

Kalderon i Zigmund u poznatom radu o singularnim integralima (A. P. Calderón, A. Zygmund,On singular integral , Amer. Journ. Math., 78, 1956, s. 289-309) pominju Karamatin rad EiKonvergensatz für trigonometriche Integrale (Crelle Journal für die reine und angewandteMathematik, 178, 1937, s. 29- 33) kao značajan za početak kasnijeg razvoja vrlo komplikovaneeorije trigonometrijskih i singularnih integrala, kao i njenog prirodnog nastavka, važne teorijeingularnih integralnih operatora i pseudodiferencijalnih operatora, koja je otvorila novo poljestraživanja u savremenoj matematičkoj analizi.

U radu Sur le théorème tauberien de N. Wiener (Publications de l'Institut mathématique de'Académie serbe, Beograd, 3, 1950, s. 201-206), Karamata je dao kratak i vrlo direktan dokaz

Tauberove teoreme N. Vinera pod različitim Tauber ovskim uslovima. Dokaz se bazira na Pit-

Vinerovoj centralnoj teoremi i Karamatinim radovima Über einen Satz von Vijayaraghavan Mathematische Zeitschrift, 34, 1932, s. 737-740), Sur les théorèmes inverses des procédés de



ommabilité (Actualités scientifiques et industrielles, 450, Hermann et Comp. Paris, 1937) i EiKonvergenzsatz für trigonometrische Integrale .

Naravno, u tom periodu od desetak godina, od kraja dvadesetih godina do početka Drugogvetskog rata, Karamata je učestvovao na, za ono vreme, velikom broju naučnih skupova i

kongresa, na kojima je bio rado viđen gost, i kao predavač, i kao cenjen naučnik. Bio je,akođe, poštovan i na mnogim univerzitetima širom Evrope. Do 1939. godine je, pored već

pomenutog kongresa u La Rošelu, učestvovao na još 9 kongresa, na kojima je uvek prikazao

neke od svojih rezultata.To su bili sledeći kongresi:

1] 1. nacionalni kongres rumunskih matematičara u Klužu, 9 -12. maj 1929. godine (rad 14),

2] 53. kongres AFAS u Le Havru, 25-31. juli 1929. godine (11),

3] 1. kongres slovenskih matematičara u Varšavi, 23 -27. septembar 1929. godine (10),

4] 54. kongres AFAS u Alžiru 1930. godine (12),

5] 55. kongres AFAS u Nansiju 1931. godine (16),

6] 2. nacionalni kongres rumunskih matematičara u Turn -Severinu, 5-9. maj 1932. godine26),

7] Internacionalni kongres matematičara u Cirihu, 1 -12. septembar 1932. godine (25), (boravioe kao delegat Jugoslavije pri Internacionalnoj komisiji za usavršavanje nastave matematike),

8] 2. kongres slovenskih matematičara u Pragu, 23-28. septembar 1934. godine (41, 46),

9] Međunarodni kongres matematičara u Oslu 1936. godine (60).Kao gostujući profesor održao je predavanja na Univerzitetima u Poljskoj (Lavov, Varšava,Poznanj) i Rumuniji (Černanc) početkom 1933. godine, u Nemačkoj (Hamburg i Getingen) uunu 1936. godine, Švajcarskoj (Lozana Ženeva) i Belgiji (Brisel - Institut des Hautes Etudes deBelgique) i opet u Nemačkoj (Štutgart, Getingen, Kil, Berlin, Hamburg, Gisen, Lajpcig, Jena) uoku 1937. godine. Na poziv nem ačkog Ministra prosvete, u toku zimskog semestra školske

1937- 38. godine na Univerzitetu u Tibingenu držao je specijalni kurs iz teorije funkcija. Pozvane bio da održi niz predavanja i na Sorboni u Parizu, na više univerziteta u Indiji i da učestvujeu r adu Italijanske akademije nauka Convegni Volta, ali ga je u tome sprečilo izbijanje Drugogvetskog rata.

Zahvaljujući svom naučnom ugledu Jovan Karamata je decembra meseca 1935. godine biopredložen za prijem u Češko kraljevsko naučno društvo, gde je 8. januara 1936. godine izabranza njegovog dopisnog člana. Pristupni rad pod naslovom Un théorème relatif aux sommabilités

de la forme (Vĕstnik Královské České Společnosti Nauk, II, 1936, Praha 1937,.1-5) prikazan je 11. novembra 1936. godine.

Kao vrhunac priznanja za rezultate nj egovog celokupnog dotadašnjeg, prvenstveno naučnog, alipedagoškog rada, Jovan Karamata je, na glavnom godišnjem skupu Srpske kraljevske

akademije održanom 16. februara 1939. godine, izabran, a na svečanom godišnjem skupuodržanom 7. marta iste godine, i proglašen za dopisnog člana Srpske kraljevske akademije. Na



2. skupu Akademije prirodnih nauka Srpske kraljevske akademije, 22. maja 1939. godine, "..primljeno je k znanju da je član dopisnik g -din dr Jovan Karamata poslao svoju biografiju izjavio zah valnost na izboru za dopisnog člana". U Godišnjaku SKA za 1938. godinu, štampanae biografija i spisak radova Jovana Karamate, ali ne i referat pri izboru.

Za redovnog člana Srpske akademije nauka izabran je na glavnom godišnjem skupu SAN -a, 18.marta 1948. godine, a rukom pisani Referat za izbor se nalazi u Arhivu SANU-a, u okviruDosijea 35 (J.Karamata).

Tada je već bio član sledećih naučnih društava: Société mathématique suisse, Sociétémathématique de France, Association francaise pour l'avancement des Sciences i DeutscheMathematiker Vereinigung, kao i stalni referent referativnih časopisa Zentralblatt fürMathematik und ihre Grenzgebiete (Gisen) i Jahrbuch über die Fortschritte der MathematikBerlin, Pruska akademija nauka). Koliko smo uspeli da vidimo, Karamata je referisao u tim

časopisima oko 60 radova, među kojima i radove najistaknutijih matematičara tog vremena.Često su te kratke zabeleške predstavljale prave male matematičke bisere, a neke se i navode udrugim radovima i monografijama. Tako je L. Biberbah (Bieberbach) u knjizi Predavanja oAlgebri (Vorlesungen über Algebra , Leipzig, B. G. Teubner, 1928), naveo jednu takvu zabelešku.

U tom najplodnijem periodu bavljenja naučnim radom, Karamata bi se, slobodn ijprocenjujući, mogao svrstati u onu grupu svetskih matematičara koja je dolazila odmah posleanalista ranga Hardija i Vinera. U svakom slučaju njegov ugled u matematičkom svetu bio jevrlo visok i rastao je naročito posle pojave pomenute Felerove knjige Uvod u verovatnoću . Nžalost u svojoj zemlji, gde je i proveo svoje najplodnije dane, među najširim matematičkimkrugovima, dugo nije uživao takav ugled.

Karamata je u to vreme bio i u odboru za očuvanje Zadužbine Luke Ćelovića -Trebinjca,beogradskog tr govca, iz čijeg fonda se, između ostalog, jednim delom finansiralo i štampanječasopisa Publications Mathématique Univerziteta u Beogradu, kao i u Odboru za zaštitu odvazdušnih napada grada Beograda.

Takođe je bio i redakcijski saradnik za matematiku i astronomiju, pri izradi našeg prvogSveznanja , a odrednica sa njegovim imenom je na strani 999.

Godine 1931. pokrenuo je inicijativu za izdavanje časopisa Matematički list za srednju školu,čiji je bio i vlasnik. Urednik časopisa je bio R. Kašanin, a u uređivačkom odboru su poredKaramate bili i V. Varićak, R. Župančić, J. Mihajlović, B. Živković, V. Mišković, M. Nedić i M.Lipovac. Do 1932. godine kada je list prestao da se štampa, izašlo je 10 brojeva. U tomčasopisu Karamata je objavio i dva stručno -peda goška rada Praktične mogućnosti matematičkihešenja i Elementarno iznalaženje maksimuma i minimuma .

Oko 1937. godine, kako piše M. Tomić, žar i zanos iz mladih dana se polako stišavaju. On piše iadi. Nezadovoljan, videvši da to nije neki napredak, on baca i ostavlja po strani nedovršeneadove. Tada nailaze godine iskušenja, godine kada svaki naučni rad postaje nemoguć i

besmislen. U to vreme, pred rat, već oženjen Emilijom Nikolajević (1906 -1959), sa troje dece,dva sina i jednom ćerkom, porodica Karamata nije lako živela.

Drugi svetski rat, kao i period neposredno pre i posle njega, bio je, možda i najteži periodnjegovog života i naučnog rada. Skoro desetogodišnje odsustvo sa glavne matematičke scene,doprinelo je da izgubi sve veze i kontakte sa nau čnicima ali i prijateljima širom Evrope. Što suviše prolazile godine i što se više udaljavao od savremenih matematičkih tokova, to je i sam svemanje pokušavao da se bori i skoro je sasvim zapostavio naučni rad. O tome je i sam jednomprilikom 1945. godin e izjavio: "Zaboravio sam ne samo ono šta sam ja radio, već i mnoge opšte



poznate matematičke činjenice. Više ne znam šta se dalje dešavalo u oblasti koju sam nekadaznao tako dobro."

Ali to nije značilo da se potpuno odvojio i iz lokalnog, beogradskog matematičkog života. Doamog izbijanja Aprilskog rata 1941. godine, on je i dalje učestvovao u radu sednica Akademije

prirodnih nauka na kojima je, od 1939. godine, zajedno sa M. Petrovićem, B. Gavrilovićem ili A.Bilimovićem, podneo 7 referata o radovima podnetim za štampanje u GLASU SKA. To su radoviBožidara Popovića i Jordana Petrovića (18. decembra 1939. godine), Jovana Voučka (21.

oktobra 1940. godine), M. Radojčića (16. decembra 1940. godine, dva rada), V. Avakumovića31. marta i 15. juna 1941. godin e). Pored toga zajedno sa Mihailom Petrovićem, TadijomPejovićem i Nikolom Saltikovim, referiše 27. juna 1938. godine o Milošu Radojčiću pri njegovomzboru za docenta Filozofskog fakulteta Univerziteta u Beogradu. U tom periodu radio je,

zajedno sa Mihail om Petrovićem, i na sređivanju i sistematizaciji Petrovićevih matematičkihadova. U jesen 1940. godine je osmislio i prvi počeo da drži kurs iz teorije verovatnoće na

Filozofskom fakultetu koji je trajao samo jedan semestar zbog izbijanja Aprilskog rata 1941.godine.

Krajem 1941. godine ponuđena mu je od strane nemačkog Ministarstva prosvete, katedra nanekom Univerzitetu u Nemačkoj, što je Karamata odbio.

Za Mihaila Petrovića je vezan još jedan događaj čiji je inicijator bio Jovan Karamata i koji jema o srećan završetak. Petrović je, sticajem okolnosti, odmah po izbijanju Aprilskog rata 1941.

godine zarobljen i odveden u Nirnberški logor. Početkom maja Karamata je posetio ĐorđaKarađorđevića i tom prilikom ukazao na mogućnost Petrovićevog povratka iz zarobljeništva. Priome je mislio na Jelenu, Kraljicu Italije i tetku Đorđa Karađorđevića. Ova inicijativa je donelaezultata i Mihailo Petrović se u junu iste godine vratio u zemlju.

Na žalost dve godine po povratku u Beograd Mihailo Petrović je preminuo , pa je na sedniciAkademije prirodnih nauka od 6. jula 1943. godine, formiran odbor za pregled Petrovićevihukopisa u koji su, pored Jovana Karamate, ušli A. Bilimović, V. Mišković, N. Saltikov, R.

Kašanin i M. Radojčić.Rat je završio jedno poglavlje njegovog života, ali i naučnog i stvaralačkog rada i to ono najlepše

najznačajnije.

Pedagoški rad

Ovo poglavlje je napisano prvenstveno zahvaljujući sećanjima akademika Miodraga Tomića,ednog od prvih Karamatinih đaka, i nosioca prve doktorske titule do deljene na Srpskojakademiji nauka, 24. marta 1950. godine rađene pod rukovodstvom profesora Karamate.Većina tih sećanja je i objavljena u Tomićevim radovima o Jovanu Karamati.

Posle rata, porušen životnim olujama, umoran i izgubljen, daleko od nauke koj u skoro desetgodina nije pratio, Karamata traži nove oblike rada gde bi mogao da se zapali onim zanosom izmladih dana u kome se sve zaboravlja. On počinje da radi sa svojim učenicima. I pre rata on jepokazao da ume na jedan poseban način da radi sa mlađima. To je bila neka vrsta zajedničkogada. Oni koji su bili te sreće da uđu u krug njegovih učenika i da istraju u toj školi, sećaće se

celog života tih dana. Njima je kapao znoj sa lica, jer se počinjalo za stolom oko 2 po podne iustajalo oko 10 uveče. Od njegovih oštrih kritika njima su suze navirale. Njegove prve reči subile: da vidimo te vaše gluposti. Ali ako bi primetio zrno istine, on se oduševljavao, on je klesaozajedno sa njima i radovao se svakom uspehu kao da je njegov.



Za one koji su ga bl iže poznavali, za njegove prijatelje, drugove i učenike on je bio čovek kogau voleli zbog jedne srdačne drugarske atmosfere koju je donosio. Njegovi učenici sećaće se neamo rada na polju nauke, već i časova veselja koje su sa njime provodili, zaboravljajući da je

on profesor a oni đaci. U takvoj atmosferi oni su lakše dočekivali sutrašnji dan napora i rada iželjno očekivali veče zaborava i odmora.

Karamatina nastavna karijera na Beogradskom univerzitetu počinje 1930. godine njegovimzborom za docenta Filozofskog fakulteta Univerziteta u Beogradu, i traje, igrom sudbine,

upravo do njegovog izbora za redovnog profesora Univerziteta u Beogradu, 1950. godine.Početkom tridesetih godina njegove kolege na Filozofskom fakultetu i na tehnici već su znatnoun apredili nastavu matematike učinivši je savremenijom. Oni su to radili postupno. Karamatae bio najradikalniji u zavođenju novih predmeta i načina njihovog izlaganja. Taj njegov pokušajzavršio se nekom vrstom studentskog protesta 1933. godine. U ono vreme to se objašnjavalonjegovom nečuvenom strogošću na ispitima i kolokvijumima. Možda je u tome donekle i bilostine, ali je i činjenica da je sigurno većina studenata teško prihvatala nove naučne discipline.

Treba se setiti da je nešto slično doživeo i Mihailo Petrović na početku svoje nastavne karijere.Novi naučni pojmovi i nove teorije su teška stvar, a već naviknuto mišljenje se opire novimdejama. Karamata je hteo da stara shvatanja istisne iz glava studenata, a to je naišlo na otpor.

U to vreme se n ije mnogo raspravljalo o tome, da li je fakultet samo škola za obrazovanjenastavnika ili prvenstveno naučna ustanova. Karamata je smatrao da je cilj fakulteta samonauka i svoja predavanja, pa čak i ona uvodna, tako je podešavao. Nije čudo da ga onda veći natudenata nije razumela.

Profesor Karamata je imao običaj da održi sva svoja predavanja u jednom danu. Niz potpunoazličitih kurseva: elementarna algebra, viša algebra, uvod u analizu, teorija nizova i redova i

nacrtna geometrija - smenjivali su se jedan za drugim. Za vreme odmora njegov kabinet je biopun studenata koji su donosili zadatke i tražili savete za svoje seminarske radove. Napredavanjima on je davao i probleme. Neki su bili tako teški da ih u prvi mah studenti nisu nihvatali. On je ponav ljao često čitava predavanja želeći da ukaže na značaj pojedinih pojmova i

tavova. Bilo je studenata koji su danima pokušavali da reše neke probleme. Rezultati takvogaada osetili su se kasnije. Neki su posvećivali sav rad tumačenju njegovih predavanja. Druginaprotiv, nisu više ni dolazili na njegova predavanja. Kako je sam držao veliki broj kurseva naprvoj godini, to broj onih koji su posle nekoliko njegovih predavanja pobegli sa matematikeigurno nije bio mali. On je neka svoja predavanja detaljno spremao i bilo je trenutaka kada sea njegovih časova izlazilo ozarena lica. Prvi korak ka izradi seminarskih radova bio je

upoznavanje sa inostranom literaturom, bez koje se seminarski rad nije mogao ni zamisliti. Akoe ima u vidu ne veliko znanje iz matematike i stranog jezika sa kojim se dolazilo iz gimnazije,

može se zaključiti koliko je napora zahtevalo takvo studiranje. Onda se može i shvatiti gnevponekog od mladih. Na kraju, Karamata je rušio iluzije mnogih koji su kao obdareni došli datudiraju m atematiku. Umesto talenta videli su da je naporan rad važniji od svega.

Đaci koji su cenili i mogli da prate njegov način predavanja i rada, ali koji su imali intelektualne mogućnosti da prihvate probleme koje je pred njih profesor Karamata postavljao,

u mnogome su doprineli nastavku njegovog naučnog delovanja. A kakvi su to bili đaci, ali ikakav je Jovan Karamata bio čovek, možda najbolje govori jedna kratka izjava "On je menepretekao", upućena Vojislavu Avakumoviću, jednom od njegovih učenika.

Ne sa mo u našoj zemlji, već i u inostranstvu Karamata je od svojih učenika stvorio veliki brojmatematičara. Mnogi od njih su upravo i doprineli današnjem uspehu i aktuelnosti njegovihadova tako što su u svoje radove, iz novih oblasti matematike, preneli i ug radili i njegoveezultate.



U posleratnom periodu bavio se pedagoškom aktivnošću, pa se iz te faze može navesti nekolikopredavanja koje je održao na sastancima društava matematičara i fizičara Srbije i Hrvatske:

1] Rad Mihaila Petrovića u oblasti teori je funkcija, 10.6.1948,

2] Trigonometrijski polinomi, 17.11.1948, Matematičko -fizička sekcija Hrvatskogprirodoslovnog društva, Zagreb,

3] O aproksimaciji eksponencijalne funkcije nizom racionalnih funkcija, 22.2.1949,4] Vinerova metoda predviđanja pojava, 18.4.1952,

tručno -pedagoški radovi objavljeni u Vesniku Društva matematičara i fizičara Srbije ( Oaproksimaciji eksponencijalne funkcije nizom racionalnih funkcija i Neki specijalni slučajevi prvogtava o srednjim vrednostima ), Biltenu Društva matematičara i fizičara Makedonije ( Nek

primene kompleksnog broja u geometriji ), i u zagrebačkom Glasniku matematičko -fizičko astronomskom ( Mihailo Petrović, 24.6.1868 -8.6.1943. (in memoriam) ), kao i u njima postavljeniproblemi i zadaci za samostalno re šavanje čitalaca tih časopisa.

Karamata je smatrao da udžbenike treba pisati na kraju svoje naučne karijere. Posle rataobjavio još 50 naučnih radova, od kojih 17 kao koautor. (M. Tomić, P. Erdeš, S.Aljančić,V.Marić, B. Bajšanski, M. Vijmije, R. Bojanić. Od radova nastalih pre rata samo su tri nastala uaradnji, i to sa V. Avakumovićem, H. Vendelinom (Wendelin) i M. Petrovićem. Zajednički rada Petrovićem je jedini rad u kome se Petrović javlja kao koautor.) Bio je duboko svestan da je

ono što će ostati zabeleženo u istoriji i razvoju matamatike, već uradio. To je sigurno i bio jedanod razloga što se odmah posle rata i posvetio pisanju udžbenika, iako su i pre rata štampanari spisa nastala prvenstveno zahvaljujući Jovanu Karamati, ali i trudu i aktivnosti Udruženjatudenata matematike Beogradskog univerziteta. To su Rešenja diplomskih zadataka izeorijske matematike, Dedekindovi preseci i teorija iracionalnih brojeva i Teorija nizova sa

primerima i zadacima .

Posl e rata su izašla dva zvanična univerzitetska udžbenika. To su Kompleksan broj i Teorija primena Stiltjesova integrala , koji, mada danas skoro zaboravljeni, imaju sve odlike njegovogada - od originalnosti do sadržajnosti. Kada mu je nemački matematičar, profesor Kamke (E.

Kamke), predložio da monografiju o Stiltjesovom integralu izda na nemačkom, Karamata jeražio dozvolu Akademijskog saveta SAN da se ona prevede, ali kako je bio nezadovoljan sa

njom, smatrao je da je treba tako preraditi da bi to bila nova knjiga. Na žalost, kako više nijemao volje za takav rad, to nije urađeno.

Pored tih zvaničnih udžbenika, Karamata je bio autor ili koautor još 7 knjiga. Godine 1947.tudenti Beogradskog univerziteta su izdali Algebru I , Algebru II i Kurs opšte mat ematike , 1948.u izašli Elementi matematičke analize , 1949. godine je štampana Algebra I u dva dela, kao ipriručnik Pregled elementarne matematike , nastao u saradnji sa Mirkom Stojakovićem (1915

1985) i Tatomirom Anđelićem (1903- 1993) i prvenstveno namenjen da svršenim učenicimagimnazije olakša pripremanje ispita iz matematike na tehničkim školama i 1950. godine Teorijunkcija . Konačno 1956. godine objavljena je knjiga Predavanja iz analize , napisana u saradnjia Bogolju bom Stankovićem. To su bile i poslednje Karamatine knjige, sa kojima je on i

okončao rad u našoj nastavi.

Aktivnost u Matematičkom institutu i odlazak u Ženevu

Posleratni period života i rada Jovana Karamate karakteriše i njegova izuzetna aktivnost u radunovoosnovanog Matematičkog instituta pri SAN. U periodu od 1946. godine pa do 1951. godine,



kada je otišao u Ženevu, imao je 29 saopštenja svojih naučnih radova. Zbog česte odsutnostina sednicama Instituta, njegove radove su prikazivali njegovi najbliži saradnici. Od 1951.godine pa do 1961. godine, kada je Matematički institut izdvojen iz SANU, 15 puta suaopštavani njegovi naučni rezultati. Donosimo pregled svih saopštenja koja je Karamata

održao u Matematičkom institutu:

1] Primedbe na saopštenje Vojislava Avakumovića Asimptotsko ponašanje integrala jedne klasenelinearnih diferencijalnih jednačina, 8.11.1946.

2] O asimptotskom ponašanju integrala jedne klase diferencijalnih jednačina drugog reda,2.4.1947.

3] O balističkoj jednačini, 25.6.1947.

4] O izvesnim nejednačinama koje se odnose na količnik i razliku integrala tipa òfj i òf òj3.9.1947.

5] Geometrijska ispitivanja trigonometrijskih suma, 19.11.1947

6] O granicama realnih korena, 24.12.1947.7] O aproksimaciji eksponencijalne funkcije racionalnim funkcijama, 14. 1. 1948.

8] O prvom stavu o srednjim vrednostima, 4.2.1948.

9] O Furijeovim redovima, 5.5.1948.

10] O približnim kvadraturama, 19.5.1948.

11] Zapremina piramide, 23.6.1948.

12] O jednom problemu Ramanudžana, 4.8.1 948.

13] O verižnim razlomcima za tangens i tangens hiperbolikus, 6.10.1948.

14] Teorija i praksa Stieltjesovih integrala, 20.10.1948.

15] Jedna primedba o korenima. Primedba u vezi saopštenja Dragoljuba MarkovićaUopštavanje jednog problema Landaua, 27.10.1948.

16] O nulama polinoma, 19.1.1949.

17] Postupak za ubrzavanje konvergencije redova, 2. 3. 1949.

18] Upoređivanje reda beskonačno malih veličina (sa A. Bilimovićem), 2. 3. 1949.

19] Primedba na saopštenje M. Tomića O Ojlerovom postupku z birljivosti, 4.5.1949.

20] O Bernštajnovoj zbirljivosti, 18.5.1949.

21] O jednom Fragmenovom stavu iz teorije Dirihleovih radova, 22.6.1949.

22] O jednom približnom obrascu, 20.7.1949.



23] Izveštaj o putu u Švajcarsku, 16.11.1949.

24] O teoremi o srednjoj vrednosti, 18.1.1950.

25] O Ležendrovim polinomima, 25.1.1950.

26] O Milankovićevom postupku geometrijske interpretacije konvergencije geometrijskihedova, 1.2.1950.

27] O približnim kvadraturama, 8.3.1950.

28] O jednom Avakumovićevom st avu, 26.7.1950.

29] O kriterijumima konvergencije Furijeovih radova koji se odnose na regularno rastućeunkcije, 18.10.1950.

30] Asimptotski raspored nula izvesnog niza polinoma, 2.4.1952.

31] O Košijevom stavu, 26.12.1952.

32] Elementarne metode u teoriji brojeva (sa R.Bojanićem), 17.2.1954.

33] Elementarna procena k- tih tipičnih Rizovih suma, 29.11.1954.

34] Algebra torzora, 5.1.1955.

35] Brzina rašćenja funkcija kao relacija poretka, 16.3.1955.

36] O skupovima koji su totalno uređeni s o bzirom na asimptotsku relaciju, 12.10.1955.

37] O C-majorabilnosti i nekim Tauberovim stavovima u teoriji brojeva, 21.12.1955.38] Pravilno promenljive funkcije i Frulanijev integral (sa S.Aljančićem), 20.6.1956.

39] Problem poboljšanja konvergencije jedne klase beskonačnih redova (sa R.Bojanićem),19.3.1958.

40] O jednoj klasi rešenja jednačine y'' = F(x)y(x), (sa V.Marićem), 3.10.1960.

41] Generalizacija Helerove teoreme (sa B.Bajšanskim), 7.12.1960.

Početkom maja 1949. godine otpočeli su u Matematičkom institutu, pod rukovodstvom JovanaKaramate, stručni sastanci na kojima su se držala predavanja vezana za metodiku nastaveavremene matematike na Univerzitetu. Prvi ciklus predavanja je bio posvećen problemima

konvergencije, brzine i pravilnosti rašćenja redova i funkcija.

U tom periodu je biran u mnogobrojne uprave, odbore i komisije, što je prvenstveno vezanoupravo za rad na Matematičkom institutu i SAN. Pokušaćemo da ih sve navedemo:

Veće i Naučni savet Matematičkog instituta (1946. godine) , Odbor za publikacije (1946), Odborza univerzitetsku nastavu (1946), Komisija za matematičku terminologiju (1946), Odbor za vezua inostranstvom (1946), Uprava Društva matematičara i fizičara Srbije (1948), Odbor

astronomsko- numeričke sekcije (1949), Uprava Saveza Društava matematičara i fizičara FNRJ



1949), Komisija stručnjaka kao stručnog organa Saveta Matematičkog instituta (1949), Stručniodbor Komisije za organizaciju naučno -istraživačkog rada Akademijskog saveta FNRJ zamatematiku (1950), Redakcioni odbor biltena Akademijskog saveta FNRJ (1951), Nacionalnikomitet za teorijsku i primenjenu mehaniku (1951). Bio je i glavni urednik časopisaMatematički vesnik Društva matematičara i fizičara Srbije (1949), član Redakcionog odboračasopisa Publications de l'Institut Mathématique (1952), kao i upravnik Matematičkog institutapredložen je 12. februara 1949. godine na 2. skupu OPMN SAN, a 4.maja je na 9. sednicinstitutske komisije SAN Komitet za naučne ustanove, univerzitet i velike škole je dao

aglasn ost da se Jovan Karamata postavi za upravnika Matematičkog instituta).U periodu od 1945. godine do odlaska u Ženevu 1951. godine, Karamata je učestvovao na 5kongresa:

1] 63. Kongres AFAS u Bijaricu, 1947. godine (rad 76),

2] Kongres međunarodne unij e Akademija u Briselu, 1947. godine,

3] Kongres francuskih matematičara u Ženevi, 1948. godine (77),

4] 1. kongres matematičara i fizičara Jugoslavije na Bledu, od 8. do 12. novembra 1949.godine (81),

5] Internacionalni kongres matematičara u Kembridžu (SAD) od 30. avgusta do 6.septembra1950. godine (84),

U toku aprila 1950. godine boravio je na studijskom putovanju u Švajcarskoj gde je održao nizpredavanja na univerzitetima u Ženevi, Cirihu i Lozani.

Zbog ekonomskih i političkih prilika u posler atnoj Jugoslaviji, Karamata, ali i mnogi njegoviaradnici, napustili su Beograd i Jugoslaviju, a oni koji se nisu odlučili za odlazak često su

adili pod pritiscima, a i na nematičnim fakultetima. Karamatinim odlaskom u Švajcarsku, gdee za redovnog prof esora Univerziteta u Ženevi izabran 1951. godine, počinje poslednji periodnjegovog života i rada.

Za nastavak svoje univerzitetske i naučne karijere Karamata je izabrao Ženevu, verovatno izviše razloga. Jedan od veoma značajnih je taj što je u Švajcarskoj završio gimnazijskokolovanje, znao je savršeno francuski jezik, a ukazalo se i upražnjeno mesto profesora na

Univerzitetu, na koje su ga pozvali njegove kolege matematičari, pre svih, Ram (Georges DeRahm), Karamatin poznanik iz školskih dana, i Fer (Henri Fehr), jedan od osnivača časopisaL'Enseignement Mathématique, čiji će član redakcionog odbora i direktor postati i Karamata ia kojim se upoznao još preko Mihaila Petrovića. Na Univerzitetu u Ženevi je držao preda vanjaz diferencijalnog i integralnog računa i mehanike, kao i kurseve iz analize čiji su se sadržajimenjali.

Odlaskom u Ženevu, Karamata nije prekinuo i rad sa svojim učenicima. Do 1958. godine jeedovno dolazio u Beograd i još intenzivnije radio sa mladim talentima. Sa njima je najčešćeadio grupno na Matematičkom institutu SAN, ali ponekad i individualno, obično u hotelu

Mažestik. Jednom takvom prilikom Karamata je nagovestio vezu između postojanjaFrulanijevog integrala i spore promenljivosti funkc ija. I još pre njegovog sledećeg dolaska uBeograd ta veza je pronađena u obliku nove karakterizacije sporo -promenljivih funkcija. Tajezultat je objavljen u zajedničkom radu sa S. Aljančićem Pravilno promenljive funkcije i

Frulanijev integral (Zbornik ra dova Matematičkog Instituta SANU Beograd, 50, 1956, s.239248).



U tom radu je ukazano na tesnu vezu između Frulanijevog integrala oblika

klase regularno promenljivih funkcija. Još je Koši (A. -L. Cauchy) 1823. godine pokazao dantegral tog oblika postoji kada je funkcija f(x) integrabilna u svakom konačnom intervalu koji

ne sadrži koordinatni početak i ako granične vrednosti i postoje. Iyengar je1940. godine pokazao da je zbirljivost-C potreban i dovoljan uslov za egzistenciju Frulanijevogntegrala za svako pozitivno a i b, što se u suštini svodi na sledeći stav:

Neka je funkcija f(x) integrabilna u svakom konačnom intervalu ( a,b), $a > 0. Potreban idovoljan uslov da postoji granična vrednost

za svako l > 0 je da f(x) bude zbirljiva-C kada x® ¥ . Ako sa L označimo njen C -zbir, tada je J(l) =L log l.

Aljančić i Karamata su pokazali da je ovaj Iyengarov stav samo specijalan slučaj osnovnihezultata iz teorije regularno promenljivih funkcija, jer se u njemu radi o regularno

promenljivim funkcijama specijalne strukture. Naime, ako se uzme da je

ada je i

Poslednj integral, iz definicije i osobina regularno promenljivih funkcija, konvergira za l > 0kada x® ¥ ako i samo ako je funkcija p(x), koja ovde ima specijalnu strukturu, regularnopromenljiva u tački x= ¥. Tako J(l) iz Iyengarovog stava postaje

gde je a indeks regularnosti regularno promenljive funkcije p(x) koji je jednak C-zbiru funkcije(x) kad x ® ¥.

U toku svojih dolazaka u Beograd držao je i mnogobrojne specijalne kurseve na Matematičkomnstitutu SAN: Račun torzora, Opšti postupci zbirljivosti Furijeovih redova, Sporo -promenljiveunkcije i primena.

Na poziv d r Branka Horvata, tadašnjeg direktora Ekonomskog instituta u Beogradu, zajedno saBranislavom Ivanovićem i S.Aljančićem je organizovao i vodio kurseve verovatnoće i opštematematike, sa idejom da se ekonomske nauke što više matematizuju.

Takođe je bio i mentor pri izradi doktorskih disertacija Miodraga Tomića ( O trigonometrijskimzbirovima , 1950. godine), Slobodana Aljančića ( O asimptotskom razvijanju neapsolutnokonvergentnih linearnih operacija , 1953), Ranka Bojanića ( Asimptotska rešenja linearmihdifere ncijalnih jednačina , 1953), kao i član komisije za ocenu teze Vladete Vučkovića ( O nekim



tavovima Tauberove prirode sa proširenim uslovima konvergencije , 1953), Bogoljuba StankovićaO jednoj klasi singularnih integralnih jednačina , 1954), Šefkije Raljevića ( O izvesnim klasama

polinoma i rasporedu njihovih nula , 1954), Bogdana Bajšanskog ( Opšta klasa postupakazbirljivosti Ojler- Borelovog tipa i njihova primena na analitičko produženje , 1956). Zajedno saNikolom Saltikovim i Tadijom Pejovićem je 24. februa ra 1950. godine Savetu Prirodno-matematičkog fakulteta u Beogradu podneo referat na osnovu koga je Miloš Radojčić izabran uzvanje vanrednog profesora za predmet geometrija pri Katedri matematike istog fakulteta, a 29.eptembra 1959. godine je u referatu napisanom sa Radivojem Kašaninom Radojčića predložio

za dopisnog člana SAN -u.Odlaskom na Univerzitet u Ženevi, Karamata je intenzivirao i svoja putovanja na kongrese inaučne skupove, održao je veliki broj predavanja u SAD, Francuskoj, Rumuniji, Mađarsko jSSSR- u i svuda gde je odlazio bio je rado viđen gost, priman je sa poštovanjem koje je izasluživao i uvek je imao zapažena izlaganja. U tom periodu je učestvovao u radu sledećihnaučnih skupova:

1] Kongres C.C.I.R. u Ženevi 1952. godine (rad 94),

2] Međunarodni kongres matematičara u Amsterdamu od 2. do 9. septembra 1954. godine

97),3] 79. kongres Sociétés Savantes u Alžiru 1954. godine (98),

4] Kongres sovjetskih matematičara u Moskvi 1956. godine,

5] Skup o teoriji redova održanom u Brisel u od 18. do 20. decembra 1957. godine, u Parizu i uLuvenu 1958. godine (108).

Takođe je više puta boravio kao gostujući istraživač u Matematičkom istraživačkom centru uMedisonu (Mathematical Research Center in Madison, Wisconsin, USA) i to od decembra 1960.

godine do avgusta 1961. godine i od jula do septembra 1962, 1963. i 1964. godine. Rezultatistraživanja dobijeni tokom tih boravaka su dati u radovima koji su uglavnom nastali uaradnji sa Rankom Bojanićem i Bogdanom Bajšanskim, matematičarima koji su krajem

pedesetih godina napustili Jugoslaviju i otišli na Državni univerzitet u Ohaju (Columbus), i saM. Vijmije (Monique Vuilleumier) njegovom vernom saradnicom iz Ženeve, koja se krajemezdesetih godina pridružila Bojaniću i Bajšanskom na Univerzite tu u Ohaju.

Karakteristika naučnog rada, u posleratnom periodu života i rada Jovana Karamate, je prevega veća raznovrsnost oblasti matematike kojima se bavio. Imao je i dalje radove iz klasične

analize - teorije funkcija i redova, ali i iz teorije broje va, geometrije, matematičke verovatnoće,mehanike i istorije matematike. Iz tih radova se vidi, ne samo kolika je bila Karamatinaoriginalnost pristupa različitoj problematici, već i široko matematičko obrazovanje i svestranimatematički interes. Proučavajući klasične i već istorijske rezultate najvećih svetskihmatematičara, nalazio je u njima mogućnosti za neke dopune, proširenja ili makar samo zauprošćavanje i "ulepšavanje" njihovih dokaza.

U proleće 1966. godine, na inicijativu akademika Jovana Karamate, Radivoja Kašanina iMiodraga Tomića datoj početkom 1965. godine, u Beograd je došao Kazimir Kuratovski (KazimirKuratowski), redovni član i potpredsednik Poljske akademije nauka. Poseti SANU, 13. aprila1966. godine, prisustvovali su, pored Karamate, M . Tomić i S. Aljančić. To je bio i poslednjiboravak Jovana Karamate u Beogradu.



Poslednjih godina svog života Karamata je putovao od Ženeve do Beograda, od Pariza doČikaga. Išao je od nekadašnjih drugova, prijatelja i učenika do novih poznanstava. Lutao je i pomatematici, kako sam priznaje. Umoran i bolestan, Akademik Jovan Karamata je umro uŽenevi 14. avgusta 1967. godine, kada je ponovo trebalo da putuje u SAD, gde je planirao daodrži niz predavanja na nekoliko univerziteta. Kremirani ostaci su pren eti u Jugoslaviju ipočivaju na Zemunskom groblju.

Na spisku preminulih članova Akademije na strani 35 Godišnjaka SANU u knjizi LXXIV za

1967. godinu stoji:ovan Karamata, matematičar (Zagreb 1. februar 1902 - Ženeva 14. avgust 1967). Profesor

Univerziteta u Ženevi. Dopisni član Akademije od 7. marta 1939. godine, redovni član od 18.marta 1948. godne.

22. septembra 1967. godine na 5. skupu OPMN SAN minutom ćutanja je odata poštapreminulom akademiku, a 18. novembra 1967. godine je održana komemorativna sednicaposvećena uspomeni na Jovana Karamatu. Prigodni govor je održao Miodrag Tomić, tadašnjiekretar Odeljenja prirodno- matematičkih nauka. Krajem decembra je data u štampu

Spomenica.

ovanu Karamati, najjačem srpskom matematičaru, svetsku slavu su doneli njegovi originalnimatematički rezultati, ali za istoriju naše matematike jednaku važnost imaju poznataKaramatina škola matematike i njegovi đaci, kasnije i ugledni matematičari -saradnici. Čini seda i danas, nakon vi še od 30 godina od smrti Jovana Karamate i više od 40 godina odnapuštanja zemlje i odlaska u Ženevu, njegovo delo i njegovi đaci daju specifičan pečat razvojunaše vrhunske matematike.

Na kraju donosimo mišljenje o naučnom radu Jovana Karamate koje je u okviru istorije razvojanauke u SANU izneo akademik M.Tomić:

Naučni rezultati iz matematike uglavnom nemaju trajnu vrednost. Kasnije dolaze novi rezultatikoji obuhvataju prethodne ili sam problem nije više od interesa. Neke oblasti matematike otišleu d alje u svom razvitku, jer se nauka brzo razvija, dok matematičar ne može više da raste.

Stručnjaci čiji su radovi bili često citirani, koji su bili poznata imena u svojoj oblasti vremenomzlaze iz toka naučnih zbivanja. Ipak svi rezultati ne iščezavaju, j er tada nauke ne bi ni bilo.

Ostaju neki kristali koji se ne rastvaraju, oko kojih se gradi dalje nauka i koji donose stvarninapredak u nauci. To su rezultati od trajne naučne vrednosti. Ideal svakog matematičara je dapostigne bar jedan takav rezultat. T o je pošlo za rukom Jovanu Karamati. Dva njegova rada izridesetih godina su danas poznatija nego u doba svog postanka. To je njegov dokaz Abelovognverznog stava odnosno nov dokaz Hardi-Litlvudovog stava i njegova teorija sporo promenljivihunkcija. Kl asična matematička analiza kod nas, koju je započeo još D. Nešić, na kojoj je delomadio i M. Petrović, dostiže svoj vrhunac sa Karamatom, i to u vreme kad je ona umatematičkom svetu bila na glasu. Karamata je bio đak M. Petrovića, ali je naučno radio svuprotno od učitelja. Radio je skoro isključivo u jednoj oblasti. Iako je bio francuski đak i po

maturi i po studijama u inostranstvu, on je pripadao pre nemačkoj i engleskoj nego francuskojkoli. Bio je plodan pisac, i uz sve to mnogo je pazio na formu i stil naučnog iskaza i nije

posmatrao probleme koje nije mogao da savlada. Štaviše, on nije ni tražio probleme, a novedeje je posmatrao kao neostvarene želje. Ali ono što je uradio niko više nije morao ni mogao

doterivati. Njegovo naučno otkriće - kako ga je nazvao R. Šmid - nov dokaz Hardi-Litlvudovogtava, ušao je u sve udžbenike i monografije iz teorije redova. Veliki američki matematičar,vorac kibernetike N. Viner dao je opštu teoriju inverznih stavova koja sadrži i Hardi -Litlvudovtav, ali svi i dalje koriste Karamatin dokaz. Uopštenje toga stava sa tzv. ostatkom, koji su dali

Frojd, Korevar i Viland, koriste Karamatinu ideju za dokaz. I zato nije čudo što je redakcija



časopisa Mathematische Zeitschrift, povodom 60 godina njegovog izlaženja, u s vom izboru 50najznačajnijih rezultata između nekoliko hiljada objavljenih priloga navela i taj rad. Možda jošepši primer njegovog naučnog uspeha predstavlja njegova teorija sporo promenljivih, odnosno

pravilno promenljivih, funkcija. Reč teorija ne potiče od njega, nju su izmislili strani autoriposle njegove smrti. Prvobitno zamišljena sa jedinim ciljem da uopšti Hardi -Litlvudov stav, beznekih naročitih ambicija, objavljena prvi put u jednom beznačajnom rumunskom časopisu, onae već u svojoj prvoj verziji bila potpuno izgrađena. Tek nakon njegove smrti doživela je potpuniuspeh. Mnogo godina kasnije, ušla je u mnoge grane analize. Ipak, njen pravi značaj se

pokazao u računu verovatnoće. Poznati američki naučnik V. Feler posvetio je čitavu glavu, uvojoj obimnoj monografiji, sporo promenljivoj funkciji i od tada ona se stalno izvodi u brojnimproblemima računa verovatnoće tzv. graničnim teoremama, Markovljevim i specijalnimprocesima. Sigurno je Karamata i danas mnogo citiran, jer i svako ko u računu verovatnoćeupotrebi izraz L(t) za sporo promenljivu funkciju ne pozivajući se na njegovo ime, u stvari citiraKaramatu, jer sve osobine koje se koriste potiču iz njegovog rada. To sigurno nisu i jediniezultati po kojima je on poznat. Veliki broj radova je objavio i u raznim brojevima Glasa

Akademije nauka. Glas CXLIII (1931) sadrži prve nagoveštaje ovih značajnih rezultata. Kako jemnogo publikovao u inostranstvu, on je imao tu retku sreću da bude poznatiji tamo, nego uvojoj zemlji, u kojoj se ipak razvi jao najznačajniji period njegovog stvaralačkog rada u vremenu

od 1926. do 1938. godine.

Priredio Aleksandar NikoliAutor je ovaj tekst pripremio za izdanje Život i delo srpskih naučnika , knjiga 4, SANU

Preuzeto iz Spomenice 130 godina Matematičkog fakulteta

Jovan Karamata

Documents

Transcript of Jovan Karamata