Journée régionale de l’APMEPMercredi 17 mars 2004

On trouvera ci-dessous le diaporama utilisé par Michèle Artigue (Université Paris 7 et IREM), lors de

la conférence qu’elle a donnée le 17 mars 2004

à l’IUFM de Grenoble.

On pourra également se reporter au numéro 449 du bulletin vert de l’APMEP (Novembre-Décembre

2003), dans lequel Michèle Artigue traite des aspects voisins de ceux qu’elle a évoqués à cette occasion.

Enseigner les mathématiques aujourd’hui,

pourquoi? Pour qui ? Comment ?

Michèle Artigue

Université Paris 7 et IREM

Plan

Une question récurrente mais sans cesse renouvelée

Des tendances générales convergentes :– Mathématiques pour tous– Mathématiques et citoyenneté– Mathématiques et autres disciplines– Compétences / Contenus

Mais aussi une réelle diversité :– Au niveau des cultures – Au niveau des contenus : le cas de l’algèbre

Une interrogation récurrente…

Alain (1932) : « Un grand homme d’état a exprimé en deux mots ce que chaque être humain doit savoir le mieux possible : géométrie et latin… La géométrie est la clef de la nature. Qui n’est point géomètre ne percevra jamais bien ce monde où il vit et dont il dépend. Mais plutôt il rêvera selon la passion du moment, se trompant lui-même sur la puissance antagoniste, mesurant mal, comprenant mal, comptant mal, nuisible et malheureux… Il n’en faut pas plus mais il n’en faut pas moins. Celui qui n’a aucune idée de la nécessité géométrique manquera l’idée même de nécessité extérieure. Toute la physique et toute l’histoire naturelle ensemble ne la lui donneront point… Le beau de la géométrie est qu’il y a des étages de preuves, et quelque chose de net et de sain dans toutes »

Une interrogation récurrente…NCTM Standards (2002)

« Nous vivons dans un monde mathématique, où chaque fois que nous décidons un achat, que nous choisissons une assurance ou un plan de santé, que nous utilisons un tableur, nous nous appuyons sur une compréhension mathématique.Internet, les cédéroms et les autres média diffusent de grandes quantités d’information. Le niveau de pensée mathématique et les capacités de résolution de problèmes requises au travail se sont accrues dramatiquement. Dans un tel monde, ceux qui comprennent et peuvent faire des mathématiques auront des opportunités que les autres n’auront pas. Les compétences mathématiques ouvrent des portes. L’absence de celles-ci les ferme. »

Des réponses récurrentes

La transmission d’une culture, patrimoine de l’humanité

La formation de l’esprit à travers raisonnement et rigueur

L’apprentissage de connaissances « utiles » voire nécessaires pour la vie sociale

Le développement du capital mathématique et scientifique des sociétés

Mais des équilibres, des interprétations changeantes liées

Aux évolutions culturelles, sociales, scientifiques et technologiques

Mais aussi : Aux conceptions de l’apprentissage et à

l’évolution de nos connaissances sur les processus associés

L’intérêt d’un regard extérieur

Questionner certaines « évidences » Elargir notre champ de référence Nous aider à mieux comprendre notre

situation particulière en mettant en évidence des convergences et différences avec d’autres contextes culturels et institutionnels

Quelques tendances générales

• Des mathématiques pour tous• Des mathématiques au service d’une

citoyenneté démocratique • Des mathématiques plus ouvertes sur

l’extérieur

• Et, au service de ces tendances, de nouvelles approches curriculaires où les compétences tendent à prendre le pas sur les contenus.

Des mathématiques pour tous

Le premier principe à la base des NCTM Standards : le principe d’équité :– Tous les élèves, quels que soient leurs caractéristiques

personnelles, culturelles et physiques doivent avoir les mêmes possibilités d’étudier et d’apprendre des mathématiques…

– On doit avoir des ambitions élevées en termes d’apprentissage pour tous les élèves

Mais dans le même temps, des difficultés à mettre en œuvre ce principe provoquant des tensions évidentes : le cas du programme « No child left behind ».

Mathématiques et citoyenneté

Une éducation promouvant des valeurs démocratiques

Une société de plus en plus numérisée

Quantitative literacy

Mathematics and Democracy (NCED)

La notion de « quantitative literacy » La capacité à gérer les aspects quantitatifs de la

vie. Une capacité inséparable des contextes et qui se

développe plus « horizontalement » que « verticalement ».

Une vision où les statistiques, le raisonnement sur l’incertain jouent un rôle essentiel.

Mais une question essentielle, celle des rapports entre :

« quantitative literacy » et mathématiques

Des mathématiques ouvertes sur l’extérieur

Des mathématiques recherchant le dialogue avec les autres disciplines scolaires.

Des mathématiques ouvertes sur l’extérieur de l’école :– le développement d’une pédagogie de

projets, – l’exemple des pays nordiques.

De nouvelles approches curriculaires: compétences /contenus

Une importance croissante accordée à l’identification des compétences que l’éducation mathématique doit développer.

Une organisation curriculaire qui reflète cette évolution.

Le projet Danois KOM (www.nvfaglighed.emu.dk)

Utiliser la notion de compétence pour structurer le curriculum :– la compétence mathématique est définie

comme la capacité d’un individu à agir de façon mathématiquement appropriée face à une situation problématique,

– personne n’est totalement compétent (respectivement incompétent).

Les raisons d’un tel choix: lutter contre la « syllabusitis » Syllabusitis : Penser que la maîtrise d’un

domaine peut être identifiée à celle des contenus d’un programme.

Une approche qui rend difficile, selon les auteurs du projet :– de clarifier ce qu’est la formation mathématique,– de faire une place au travail essentiel de

mathématisation,– de prendre en compte des types et des niveaux

différents de besoins mathématiques.

Une classification des compétences autour de 8 pôles

Penser mathématiquement Poser et résoudre des problèmes mathématiques Analyser et construire des modèles mathématiques Raisonner mathématiquement Représenter des entités mathématiques Manipuler des symboles et formalisations

mathématiques Communiquer en, avec et à propos de

mathématiques Savoir utiliser aides et instruments, dont les TIC

Les compétences (suite)

Des compétences déclinables ensuite suivant les domaines mathématiques et les niveaux, et évaluées selon trois dimensions :

le niveau d’approfondissement, le rayon d’action, le niveau technique.

Et, complétant ces 8 pôles…

Des vues d’ensemble et avis sur :– les applications actuelles des

mathématiques dans d’autres disciplines et dans les pratiques,

– le développement historique des mathématiques,

– la nature des mathématiques comme discipline.

Un exemple de problème

10 = 44 Une vitesse élevée tue ! Une voiture conduit à la vitesse de 50km/h est

dépassée par une voiture roulant à 60 km/h. Quand les deux voitures sont juste côte à côte, une petite fille s’engage sur la route quelques mètres devant. Les deux conducteurs pilent au même instant et leurs voitures ont des capacités de freinage identiques. La première voiture s’arrête juste à temps, la seconde heurte la petite fille à 44 km/h. 7 enfants sur 10 meurent dans un tel accident.

Mais aussi des diversités indéniables reflétant la diversité

des cultures

L’influence de systèmes de valeurs très différents qui dépassent le seul monde de l’éducation

Des organisations et choix curriculaires très divers :– curriculum intégré ou non,– équilibres entre les domaines,– stratégies didactiques.

Le cas de l’entrée dans le monde de l’algèbre

Trois stratégies principales : l’entrée par le monde des équations, l’entrée par la recherche de « patterns »

et les formules, l’entrée par les fonctions.

Trois stratégies principales

Privilégiant chacune un certain rapport à la lettre.

Posant de façon différente les rapports arithmétique / algèbre.

Exploitant des fonctionnalités différentes de l’algèbre.

Induisant des dynamiques d’apprentissage différentes.

L’entrée par patterns et formules

Nombre généralisé, généralisation

Equations Fonctions

Pays anglo-saxons

La bordure (IREM de Poitiers)

Combien de carreaux dans la bordure pour un carré de côté 4, de

côté 10 ?

Comment trouver le nombre de carreaux pour n’importe quel

carré ?

N+N+N+N+4, 4N+4

4(N+2)-4

2(N+2)+2N

(N+2)2-N2

Patterns et formules : vers fonctions et équations

Si je double le côté du carré, que se passe-t-il

pour la bordure ?

Est-ce qu’il y a des bordures de 200, 210,

1000 carreaux ?

Patterns et formules : l’articulation de registres sémiotiques

N 4N+4 D11 82 12 43 16 44 20 45 24 46 28 47 32 48 36 49 40 4

10 44 411 48 412 52 413 56 414 60 415 64 416 68

0

5

1015

20

25

30

3540

45

50

0 5 10 15

Côté

Bo

rdu

re

Série1

Patterns et formules : l’articulation de registres sémiotiques

N 4N+41 82 123 164 205 246 287 328 369 40

10 4411 4812 5213 5614 6015 6416 68

N*N D214 39 5

16 725 936 1149 1364 1581 17

100 19121 21144 23169 25196 27225 29256 31

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12

N

Bo

rdu

re e

t ai

re

Série1

Série3

L’entrée par formes et formules

Une entrée qui privilégie un parcours :– Nombre généralisé – Variable – Inconnue– Généralisation – Fonctions – Equations

Une entrée qui adoucit la transition arithmétique / algèbre.

Une entrée qui est généralement associée à des enseignements précoces de l’algèbre.

Une entrée qui réhabilite le travail sur les formules.

Les entrées dans le monde algébrique

Equations

France

Hongrie

Israel

Italie

Hong Kong

Fonctions

Les entrées dans le monde algébrique

La modélisation fonctionnellede situations

Equations

Pays Bas

Japon

Les Pays Bas : Realistic Mathematics Education

Une entrée par des situations fonctionnelles « réalistes », en utilisant divers registres sémiotiques

Une entrée dès le début du collège avec une grande attention accordée à la modélisation et à la progressivité du symbolisme

Une routinisation des procédures qui ne s’effectue que plus tardivement (grade 10)

La diversité curriculaire en algèbre

Des choix sensiblement différents pour l’entrée dans le monde algébrique : – Entrée précoce ou non – Généralisation, Equations, Fonctions

Mais aussi La répercussion des structures générales :

curriculum intégré ou non Des attentes très différentes dans la maîtrise

technique

Que retirer de ces comparaisons ?

L’entrée dans le monde algébrique : une entrée reconnue universellement comme problématique et dont on comprend mieux la complexité aujourd’hui du fait des nombreuses recherches menées dans ce domaine.

Diverses stratégies possibles. L’intérêt au début du collège d’un travail sur patterns

et formules qui peut aider à mettre en place de façon moins brutale le symbolisme algébrique tout en faisant vivre une valeur essentielle de l’algèbre : sa valeur d’outil de généralisation.