Josip Kli cinovi c - A1 Hrvatskakjosip.net.amis.hr/radovi/diplomski_JosipKlicinovic.pdf ·...

Sveuciliste u Zagrebu

PMF - Matematicki odjel

Josip Klicinovic

Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog

Diplomski rad

Zagreb, srpanj 2009.

Sveuciliste u Zagrebu

PMF - Matematicki odjel

Josip Klicinovic

Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog

Diplomski rad

Voditelj rada:

prof.dr.sc. Zeljka Milin-Sipus

Zagreb, srpanj 2009.

Ovaj diplomski rad obranjen je dana pred nastavnickimpovjerenstvom u sastavu:

1. , predsjednik

2. , clan

3. , clan

Povjerenstvo je rad ocijenilo ocjenom .

Potpisi clanova povjerenstva:

1.

2.

3.

Zahvaljujem se prof.dr.sc. Zeljki Milin-Sipus na svesrdnoj pomoci i vodstvu pri izradiovog rada, svim profesorima i asistentima sa Fakulteta prirodoslovno-matematickih zna-nosti i odgojih podrucja Sveucilista u Splitu gdje sam zapoceo svoje visokoskolsko obra-zovanje, kao i svim profesorima i asistentima sa Prirodoslovno-matematickog fakulteta-Matematicki odjel Sveucilista u Zagrebu na kojem sam uspjesno zavrsio skolovanje.

Velika zahvala ide mojoj obitelji i prijateljima na pomoci, strpljenju i potpori tijekomstudiranja.

Kraj jednog puta znaci pocetak drugog. Nadam se da cu svoje znanje prenositi novimgeneracijama sa jednakom strascu i sposobnoscu kao sto su ga drugi prenijeli meni.

Sadrzaj

Sazetak iii

Uvod iv

I Prostor Minkowskog 11 Definicija i osnovna svojstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Pseudonorma vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Baza prostora R3

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Krivulje u prostoru Minkowskog 101 Definicija i reparametrizacija krivulja u prostoru Minkowskog . . . . . . . . 102 Frenetov trobrid. Frenetove formule. Fleksija.

Torzija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IIIPlohe u prostoru Minkowskog 181 Definicija plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Tangencijalna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Prva fundamentalna forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Druga fundamentalna forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Gaussova i srednja zakrivljenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog 311 Definicija pravcastih ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Primjeri pravcastih ploha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Jednoplosni hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Cilindar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Hiperbolicki paraboloid (hipar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Minimalne plohe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Literatura 56

i

Popis slika

1.1 Svjetlosni stozac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Prostorna hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Vremenska hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Svjetlosni pravac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Sfera i tangencijalna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Hiperbolicki paraboloid i tangencijalna ravnina . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Prostorna ploha - dvoplosni hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Vremenska ploha - jednoplosni hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Izotropna ploha - svjetlosni stozac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Pravcasta ploha - jednoplosni hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Pravcasta ploha - cilindar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Pravcasta ploha - hipar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Minimalna pravcasta ploha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Minimalna pravcasta ploha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Minimalna pravcasta ploha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7 Minimalna pravcasta ploha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ii

Sazetak

U prvom se poglavlju ovog rada izgraduje osnova prostora Minkowskog. Zadaje se pse-udonorma te se definiraju razliciti tipovi vektora. Definira se pseudonorma vektora ivektorski produkt. Takoder se definira baza prostora R3

1.

U drugome se poglavlju definiraju krivulje u prostoru Minkowskog, specijalno regularnekrivulje te se daju osnovni rezultati diferencijalne geometrije prostora Minkowskog.

U trecem se poglavlju definiraju plohe te se prostor Minkowskog detaljnije obraduje krozdiferencijalnu geometriju. Posebno se definiraju fundamentalne forme te Gaussova i sred-nja zakrivljenost ploha.

U cetvrtom, posljednjem poglavlju ovog rada se posebno promatraju pravcaste plohe.Poglavlje zapocinje definicijom pravcastih ploha, a nakon toga su dani primjeri pravcastihploha, uz poseban naglasak na cetiri minimalne pravcaste plohe u prostoru Minkowskog.

iii

Uvod

Prije nekoliko tisucljeca je slavni Euklid u 13 knjiga sakupio svo dotadasnje znanje izgeometrije. Nazvao ih je Elementi. U prvoj od navedenih knjiga Euklid je naveo 5 ak-sioma geometrije, medu njima mozda i najpoznatiji aksiom paralelnosti. Aksiomi, kaotemeljne istine, moraju zadovoljiti princip neovisnosti (odnosno da se ne mogu izvesti izdrugih aksioma), princip neproturjecnosti i princip potpunosti (odnosno da postoji dovo-ljan broj aksioma da se moze izgraditi svaka matematicka teorija). Matematicari su jakodugo vremena pokusavali pokazati da je aksiom paralelnosti zbilja aksiom. Na temeljimatih pokusaja i pogresaka se 2 tisucljeca nakon izdavanja Elemenata izgradila jedna novageometrija. Geometriju koju je Euklid ”sagradio” pocela se nazivati euklidska geome-trija, a sve ostale koje su lisene aksioma paralelnosti su nazvane neeuklidske geometrije.Iako nepravedno ”optuzivane” da su apstraktne i da ne mogu opisati zivi svijet oko nas,zapravo jako lijepo opisuju nasu stvarnost. Na primjer, poznato je u da u euklidskojgeometriji vrijedi da je zbroj kutova u trokutu jednak 180◦. U sfernoj geometriji (jed-noj vrsti neeuklidske geometrije) to nije tako. Najjednostavnije je to vidjeti na primjeruglobusa: ukoliko na globusu nacrtamo dovoljno veliki trokut, primjetit cemo da je zbrojunutrasnjih kutova tog trokuta veci od 180◦. Danas je poznato mnogo vrsta neeuklidskegeometrije: hiperbolicka geometrija, projektivna geometrija, sferna geometrija, taxicabgeometrija...

Kada je Albert Einstein 1905. izdao svoje djelo o teoriji relativnosti, Minkowski je pri-mjetio da se moze matematicki opisati prostor u kojem bi teorija relativnosti ”zivjela”.Svoj rad je temeljio na vec prije objavljenim radovima Lorentza i Poincarea. Minkowskije svoj rad najbolje opisao slijedecim rijecima: ”Od sada su vrijeme i prostor kao takviosudeni na propast i jedino ce njihovo zajednistvo ocuvati neovisnu stvarnost”. Naime, usvom radu je Minkowski predlozio 4D sustav, odnosno, poznati nam 3D prostor spojen savremenom (3+1)D. Zbog jednostavnosti se obicno promatra (2+1)D sustav. S obziromda je sada svakom elementu prostora pridodana i vremenska komponenta uobicajeno je dase u prostoru Minkowskog tocka ne naziva tocka, vec dogadaj. Ima smisla! Ne putujemosamo kroz prostor, mi ujedno putujemo i kroz vrijeme. Ipak, jednostavnosti radi, u raduse nece govoriti o dogadajima, nego o tockama.

Popularizaciji ideje da je prostor oko nas ustvari ”slijepljen” s vremenom, odnosno da seradi o prostorno-vremenskom kontinuumu najvise su pridonijele znanstveno-fantasticneemisije, filmovi i serije. Najpoznatija je Zvjezdane staze u kojoj se cesto spominje nave-deni kontinuum. Stovise, mnogi znanstvenici smatraju da Zvjezdane staze i nisu tolikodaleko od istine i da je takozvani warp pogon, odnosno putovanje brze od brzine svje-tlosti, moguc jedino u prostoru Minkowskog. U Zvjezdanim stazama se cesto spominju i

iv

singulariteti, tocke u kojima se prostor-vrijeme jako izoblici i kroz njih ili je nemoguce ilije jako opasno putovati. Podsjetimo se, u geometriji je sigularna tocka ona u kojoj prvaderivacija iscezava, odnosno u kojoj nema tangente, pa nema ni brzine.

Cilj ovog rada je postepeno ”izgraditi” prostor Minkowskog, obuhvatiti opci pregled di-ferencijalne geometrije krivulje u prostoru Minkowskog i opsirniji pregled diferencijalnegeometrije ploha u prostoru Minkowskog. Zatim se svi dobiveni rezultati primjenjuju napravcastim plohama, a posebno je zanimljivo vidjeti minimalne plohe u prostoru Min-kowskog. Naime, u Euklidskom prostoru postoje samo dvije minimalne pravcaste plohe -ravnina i helikoid. U prostoru Minkowskog postoje cak cetiri minimalne pravcaste plohe.

v

Poglavlje I

Prostor Minkowskog

1 Definicija i osnovna svojstva

Definicija I.1. Prostor definiran kao uobicajeni trodimenzionalni realni vektorski prostorkoji se sastoji od uredenih trojki {(x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R} i na kojemu je definiranaoperacija

< x, y >1:= −x1y1 + x2y2 + x3y3 (1.1)

zove se prostor Minkowskog ili Lorentzov prostor.

Prostor Minkowskog oznacavamo sa R31.

S obzirom da smo prostor R31 definirali kao realni vektorski prostor slijedi da zbrajanje

dvaju vektora i mnozenje vektora skalarom provodimo na uobicajeni nacin, tj. vrijedi

• + : R31 × R3

1 → R31; a+ b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) a, b ∈ R3

1

• · : R× R31 → R3

1;λa = (λa1, λa2, λa3) ∀λ ∈ R,∀a ∈ R31

U prostoru R3 definiramo skalarni produkt < x, y >:= x1y1 + x2y2 + x3y3. U daljnjemrazmatranju cemo vidjeti da tako definirani skalarni produkt i nas produkt (I.1) nemajujednaka svojstva. Zbog toga relaciju (I.1) zovemo pseudoskalarni produkt.

Podsjetimo se koja svojstva mora zadovoljiti operacija da bismo je nazvali skalarnimproduktom (u prostoru R3):

(i) pozitivna definitnost :

< x, x >≥ 0 ∀x ∈ R3

< x, x >= 0⇔ x = 0

(ii) komutativnost :

< x, y >=< y, x > ∀x, y ∈ R3

(iii) kvaziasocijativnost :

< αx, y >= α < x, y > ∀α ∈ R, ∀x, y ∈ R3

1

(iv) distributivnost zbrajanja:

< x+ y, z >=< x, z > + < y, z > ∀x, y, z ∈ R3

Pogledajmo svojstva pseudoskalarnog produkta:

(i) komutativnost :

< x, y >1 = −x1y1 + x2y2 + x3y3 =

= −y1x1 + y2x2 + y3x3 =

=< y, x >1 ∀x, y ∈ R31

(ii) kvaziasocijativnost :

< αx, y >1 = −αx1y1 + αx2y2 + αx3y3 =

= α(−x1y1 + x2y2 + x3y3) =

= α < x, y >1 ∀α ∈ R,∀x, y ∈ R31

(iii) distributivnost zbrajanja:

< x+ y, z >1 = −(x1 + y1)z1 + (x2 + y2)z2 + (x3 + y3)z3 =

= −x1z1 − y1z1 + x2z2 + y2z2 + x3z3 + y3z3 =

= (−x1z1 + x2z2 + x3z3) + (−y1z1 + y2z2 + y3z3) =

=< x, z >1 + < y, z >1 ∀x, y, z ∈ R31

(iv) pozitivna definitnost :

opcenito ne vrijedi!

Primjecujemo da se skalarni i pseudoskalarni produkt razlikuju upravo u tome je li funkcijapozitivno definitna uvijek ili nije. Pokazimo to na primjeru.

Primjer I.1.

a = (3, 2, 1)→< a, a >1= −4

b = (1, 2, 3)→< b, b >1= 12

c = (2, 0, 2)→< c, c >1= 0

Primjerom I.1 smo pokazali da pseudoskalarni produkt nije uvijek pozitivno definitan. Sobzirom na rezultat tog produkta razlikujemo tri vrste vektora:

• prostorni vektor je vektor x za kojega vrijedi < x, x >1> 0

• vremenski vektor je vektor x za kojega vrijedi < x, x >1< 0

• svjetlosni vektor ili izotropni ili nul vektor je vektor x za kojega vrijedi< x, x >1= 0

2

Napomena: U daljnjem radu se nece govoriti o uredenoj trojci (x1, x2, x3) ∈ R31, vec o

uredenoj trojci (x, y, z) ∈ R31.

Skup svih svjetlosnih vektora u R31 naziva se svjetlosni stozac, te je predstavljen impli-

citnom jednadzbom{(x, y, z)|x2 = y2 + z2, x 6= 0}

Slika 1.1: Svjetlosni stozac

3

2 Pseudonorma vektora

Prirodno nas zanima na koji cemo nacin u prostoru R31 mjeriti duljinu vektora. Prije cemo

se podsjetiti mjerenja vektora u prostoru R3 te cemo onda analogijom izvesti formulu zaduljinu vektora u prostoru Minkowskog.

Podsjetimo se: za svaki je vektor x ∈ R3 njegov skalarni produkt sa samim sobom(odnosno skalarni kvadrat) nenegativan, tj. < x, x >≥ 0, pa je dobro definiran broj‖x‖ :=

√< x, x >, gdje treba uzeti pozitivnu vrijednost korijena. Taj broj nazivamo

norma vektora x.

Osnovna svojstva norme su:

(i) pozitivna definitnost : ‖x‖ ≥ 0 ∀c ∈ R3

(ii) strogost : ‖x‖ = 0⇔ x = 0

(iii) homogenost : ‖αx‖ = |α| · ‖x‖ ∀α ∈ R,∀x ∈ R3

(iv) nejednakost trokuta: ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ ∀x, y ∈ R3

Vec smo prije vidjeli da u prostoru Minkowskog opcenito ne vrijedi pozitivna definitnostpseudoskalarnog produkta, sto je sada smetnja za uspjesno definiranje norme. Medutim,ukoliko zahtjevamo apsolutnu vrijednost pseudoskalarnog produkta, dobit cemo trazenupozitivnu definitnost:

‖x‖1 :=√| < x, x >1 | (2.1)

Relaciju 2.1 nazivamo pseudonorma vektora.

Ovako definirana norma u R31 ima slijedeca svojstva:

(i) pozitivna definitnost : ‖x‖1 ≥ 0, sto slijedi izravno iz definicije

(ii) strogost :

‖x‖1 = 0⇔ | < x, x >1 | = 0

⇔< x, x >1= 0

< x = 0

Vektor c u primjeru I.1 je primjer vektora koji nije nul-vektor, a pseudoskalarni produkt(a samim time i pseudonorma vektora) je 0.

(iii) homogenost :

‖αx‖1 =√| < αx, αx >1 | =

=√|α2| · | < x, x >1 | =

= |α| · ‖x‖1 ∀α ∈ R, ∀x ∈ R31

4

(iv) nejednakost trokuta: u prostoru Minkowskog nejednakost trokuta opcenito ne vrijedisto cemo pokazati primjerom.

U euklidskom prostoru R3 nejednakost trokuta se dokazuje uz pomoc nejednakosti Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog. U prostoru R3

1 nejednakost Cauchy-Schwarz-Bunjakovskog opcenitone vrijedi, pa ne vrijedi ni nejednakost trokuta.

Primjer I.2.

x = (1, 2, 3), y = (2, 3, 4)

| < x, y >1 | = 18

‖x‖1 =√

12

‖y‖1 =√

21

| < x, y >1 | ≤ ‖x‖1 · ‖y‖118 ≤

√12 ·√

21 ≈ 15.87

Dobivena relacija nije istinita te smo ovim primjerom pokazali da postoje vektori u R31 za

koje nejednakost C-S-B ne vrijedi, pa time ne vrijedi ni nejednakost trokuta.

Pogledajmo sada primjer kada to vrijedi:

Primjer I.3.

x = (1, 0, 5), y = (1, 2, 1)

| < x, y >1 | = 4

‖x‖1 =√

24

‖y‖1 = 2

| < x, y >1 | ≤ ‖x‖1 · ‖y‖14 ≤ 2 ·

√24 ≈ 9.8

Ovim smo primjerom pokazali da postoje vektori u R31 za koje nejednakost C-S-B vrijedi,

pa time vrijedi i nejednakost trokuta.

Definirajmo jos i okomitost vektora i jedinicni vektor u R31:

Definicija I.2. Neka su x, y ∈ R31. Kazemo da je x ortogonalan na y ako je < x, y >1= 0.

Uocimo da je u prostoru R31 svaki izotropan vektor okomit na samog sebe.

Definicija I.3. Za vektor x ∈ R31 kazemo da je jedinicni ako vrijedi | < x, x >1 | = 1.

5

3 Vektorski produkt

Definicija I.4. Vektorski produkt u R31 je funkcija ×1 : R3

1 × R31 → R3

1 koja paru vektoraa, b ∈ R3

1 pridruzuje vektor a×1 b ∈ R31 odreden zahtjevom

< a×1 b, c >1= det(a, b, c) ∀c ∈ R31 (3.1)

Ukoliko stavimo:

a = (a1, a2, b3)

b = (b1, b2, b3)

c = (c1, c2, c3)

a×1 b = (x1, x2, x3)

tada je< a×1 b, c >1= −x1c1 + x2c2 + x3c3. (3.2)

S druge strane, razvojem determinante po trecem retku dobijemo:

det(a, b, c) =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = c1(a2b3 − a3b2)− c2(a1b3 − a3b1) + c3(a1b2 − a2b1). (3.3)

Izjednacavajuci relacije (3.2) i (3.3) dobijemo:

x1 = −(a2b3 − a3b2)x2 = −(a1b3 − a3b1)x3 = a1b2 − a2b1

Uocimo da ovaj modificirni vektorski produkt odgovara uobicajenom vektorskom pro-duktu u euklidskom prostoru, samo sto je prva koordinata suprotna predznaka.

Ukoliko kanonsku bazu vektorskog prostora R31 (o tome vise u 4. dijelu ovog poglav-

lja) oznacimo sae1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) (3.4)

tada vektorski produkt mozemo izracunati na slijedeci nacin:

a×1 b =

∣∣∣∣∣∣−e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ (3.5)

Uocimo da je a ×1 b = 0 ako i samo ako je a = 0 ili b = 0 ili su a i b kolinearni, tj. akopostoji λ ∈ R takav da je a = λb.

Iz definicije vektorskog produkta i okomitosti vektora proizlazi da je vektor a×1 b okomitna vektor a i b.

Zaista,

< a×1 b, a >1=

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3a1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ = 0

6

Analogno< a×1 b, b >1= 0.

Prisjetimo se da u euklidskom prostoru vrijedi Lagrangeov identitet, odnosno:

‖a× b‖2 = ‖a‖2‖b‖2 − (a · b)2

Prirodno nas zanima vrijedi li nesto slicno u prostoru R31. Uocimo najprije da je ‖a×1 b‖1

zapravo modul pseudoskalarnog kvadrata u R31, pa kako bismo izbjegli modul necemo

gledati pseudonormu vec pseudoskalarni kvadrat.

Imamo:

< a×1 b, a×1 b > = −x21 + x22 + x23 =

= −(a2b3 − a3b2)2 + (a1b3 − a3b1)2 + (a1b2 − a2b1)2

S druge strane imamo:

< a, a >1 · < b, b >1 − < a, b >21 = (−a21 + a22 + a23) · (−b21 + b22 + b23)− (a1b1 + a2b2 + a3b3)

2 =

= a21b21 − a21b22 − a21b23 − a22b21 + a22b

22 + a22b

23 − a23b21 + a23b

22+

+ a23b23 − a21b21 − a22b22 − a23b23 + 2a1b1a2b2 + 2a1b1a3b3 − 2a2b2a3b3 =

= −(a1b2 − a2b1)2 − (a1b3 − a3b1)2 + (a3b2 − a2b3)2

Usporedujuci prethodne dvije relacije dobivamo:

< a×1 b, a×1 b >1= −[< a, a >1 · < b, b >1 − < a, b >21]

< a×1 b, a×1 b >1=< a, b >21 − < a, a >1 · < b, b >1

tj. dobili smo Lagrangeov identitet za R31. Koristeci Lagrangeov identitet cemo pokazati:

ako su vektori a i b jedinicni i ortogonalni, onda je i vektor c = a×1 b takoder jedinican.

Propozicija I.1. Neka je ε, η ∈ {−1, 1} i neka je < a, a >1= ε,< b, b >1= η, a⊥b. Tadaje < c, c >1= −εη, gdje je c = a×1 b.

Dokaz. Primjenimo Lagrangeov identitet:

< c, c >1 =< a×1 b, a×1 b >1=

=< a, b >21 − < a, a >1 · < b, b >1=

= −εη

Kako iz pretpostavke propozicije znamo da je ε, η ∈ {−1, 1}, to nam slijedi da je i nji-hov umnozak takoder iz {−1, 1}, tj. koristenjem Lagrangeovog identiteta smo pokazali:ukoliko su vektori a i b jedinicni i ortogonalni, onda je i njihov vektorski produkt takoderjednicni vektor.

7

4 Baza prostora R31

U prethodnom potpoglavlju (3.4) smo napisali da vektori e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)cine kanonsku bazu prostora R3

1. Sada cemo to i pokazati.

Teorem I.1. Ortonormirani skup {e1, e2, e3} u R31 cini jednu ortonormiranu bazu.

Dokaz. Dokazimo najprije da dani vektori cine bazu, odnosno da su nekomplanarni.U tu svrhu cemo prvo pokazati da su okomiti vektori u prostoru R3

1 nekolinearni, odnosno< e1, e2 >1= 0⇒ e1 i e2 nekolinearni.Pretpostavimo suprotno, tj. da su vektori e1 i e2 kolinearni, odnosno da postoji α 6= 0takav da je e2 = αe1.

0 =< e1, e2 >1=< e1, αe1 >1= α < e1, e1 >1⇒ α = 0 ��

cime smo dobili kontradikciju. Dakle, u prostoru Minkowskog nam vrijedi da su okomitivektori nekolinearni.

Nadalje, kako je e3 = e1 ×1 e2 vrijedi:

< e1, e3 >1=< e2, e3 >1= 0

Imamo, dakle, da su vektori e1, e2, e3 medusobno okomiti. Pokazimo sada da su nekom-planarni u prostoru Minkowskog.

Pretpostavimo:αe1 + βe2 + γe3 = 0. (4.1)

Moramo pokazati da je α = β = γ = 0.

Pomnozimo relaciju (4.1) pseudoskalarno sa e1:

< αe1, e1 >1 + < βe2, e1 >1 + < γe3, e3 >1= 0

α < e1, e1 >1 +β < e2, e1 >1 +γ < e3, e1 >1= 0

Vec prije smo pokazali

< e2, e1 >1=< e3, e1 >1= 0

< e1, e1 >1= 1 ili− 1(jer je vektor e1 normiran)

Slijedi da je α = 0.

Analogno dobijemo:

β = 0

γ = 0

Po Propoziciji I.1 je jasno da su vektori e1, e2, e3 normirani, a sada smo pokazali da su imedusobno okomiti i cine linearno nezavisan skup. Iz toga slijedi da cine ortonormiranubazu prostora R3

1.

8

Napomena: Vazno je primjetiti da se ortonormirana baza prostora R31 sastoji od jednog

vremenskog vektora i dva prostorna vektora.

Svaki vektor x ∈ R31 mozemo na jedinstveni nacin prikazati kao linearnu kombinaciju

vektora ortonormirane baze {e1, e2, e3}, odnosno:

x = αe1 + βe2 + γe3 (4.2)

Izracunajmo α, β, γ.

Znamo (Propozicija I.1):

< e1, e1 >1= ε

< e2, e2 >1= η

< e3, e3 >1= −εη

Pomnozimo relaciju (4.2) pseudoskalarno sa e1:

< x, e1 >1=< αe1, e1 >1 + < βe2, e1 >1 + < γe3, e1 >1

te iskoristimo svojstvo da je pseudoskalarni produkt dvaju okomitih vektora jednak 0. Ukonacnici dobijemo:

< x, e1 >1= α < e1, e1 >1= αε

Znamo da je vektor e1 normiran, odnosno da je ε ∈ {−1, 1}, pa je ε = 1ε

te je

α = ε < x, e1 >1

Analognim postupkom dobijemo:

β = η < x, e2 >1

γ = −εη < x, e3 >1

9

Poglavlje II

Krivulje u prostoru Minkowskog

1 Definicija i reparametrizacija krivulja u prostoru

Minkowskog

Definicija II.1. Krivulja u R31 je glatko preslikavanje c : I → R3

1 (odnosno: funkcija c jeklase C∞ na I), gdje je I ⊆ R otvoreni interval.

Napomena: Krivulja c je zadana parametarski sa c(t) = (c1(t), c2(t), c3(t)), t ∈ I.

Definicija II.2. Za krivulju c : I → R31 kazemo da je regularna ako je c(t) 6= 0,∀t ∈ I.

Definicija II.3. Regularna krivulja c : I → R31 naziva se:

prostorna krivulja ako je < c, c >1> 0 svugdjevremenska krivulja ako je < c, c >1< 0 svugdjesvjetlosna ili izotropna ili nul-krivulja ako je < c, c >1= 0 svugdje

Primjer II.1. Hiperbola

{x2 − y2 = 1z = 0

ima parametrizaciju c(t) = (cosh t, sinh t, 0).

c(t) = (sinh t, cosh t, 0)

< c, c >1 = − sinh2 t+ cosh2 t = 1

Pokazali smo da je ova hiperbola prostorna krivulja.

Slika 2.1: Prostorna hiperbola

10

Primjer II.2. Hiperbola

{x2 − y2 = −1z = 0

ima parametrizaciju c(t) = (sinh t, cosh t, 0).

c(t) = (cosh t, sinh t, 0)

< c, c >1 = − cosh2 t+ sinh2 t = −1

Pokazali smo da je ova hiperbola vremenska krivulja.

Slika 2.2: Vremenska hiperbola

Primjer II.3. Pravac

{x = yz = 0

ima parametrizaciju c(t) = (t, t, 0).

c(t) = (1, 1, 0)

< c, c >1 = −t2 + t2 = 0

Pokazali smo da je ovaj pravac svjetlosna krivulja.

Slika 2.3: Svjetlosni pravac

11

Fizicari postojanje ovih tri vrsta krivulja definiraju na slijedeci nacin: ukoliko se gibamopo vremenskoj krivulju putujemo brzinom vecom od brzine svjetlosti; ukoliko se gibamopo svjetlosnoj krivulji putujemo brzinom jednakom brzini svjetlosti; ukoliko se gibamo poprostornoj krivulji putujemo brzinom manjom od brzine svjetlosti.

U diferencijalnoj je geometriji neke rezultate lakse dobiti ako krivulju reparametriziramona nacin da je njena tangenta u svakoj tocki jedinicna. Sada cemo pokazati da je tomoguce za svaku krivulju u prostoru Minkowskog.

Definicija II.4. Kazemo da je krivulja c : I → R31, I ⊆ R, reparametrizacija krivulje

c : I → R31 ako postoji glatka bijekcija ϕ : I → I kojoj je inverz gladak (tj. funkcija je

glatki difeomorfizam) i za koju vrijedi c(t) = c(ϕ(t)) = c(t).

Napomena: Ocito je reparametrizacija c opet krivulja u R31 i graf od c se podudara sa

grafom od c, odnosno, vrijedi c(I) = c(I).

Napomena: Funkcija s(t) =

∫ t

t0

‖c(t)‖1dt naziva se funkcija duljine luka.

Definicija II.5. Kazemo da je krivulja c parametrizirana duljinom luka (PDL) ako vrijedi| < c, c >1 | = 1.

Primjetimo: Ako je krivulja parametrizirana duljinom luka, odnosno ako je | < c, c >1 | = 1,

onda je duljina luka izmedu tocaka a i b jednaka s(t) =

∫ b

a

‖c‖1dt =

∫ b

a

dt = b− a.

Lema II.1. Svaka se regularna krivulja c : I → R31 moze reparametrizirati duljinom luka.

Preciznije:

• ako je c : I → R31 regularna krivulja koja je prostorna, tada postoji reparametrizacija

c : I → R31 od c koja je takoder prostorna, odnosno < ˙c(s), ˙c(s) >1= 1,∀s ∈ I

• ako je c : I → R31 regularna krivulja koja je vremenska, tada postoji reparametrizacija

c : I → R31 od c koja je takoder vremenska, odnosno < ˙c(s), ˙c(s) >1= −1,∀s ∈ I

Dokaz. Za pocetak dokazimo da je reparametrizacija regularne krivulje ponovno regularnakrivulja:

˙c(u) =d

dt(c ◦ ϕ)(u) · d

duϕ(u) =

d

dtc(t) · d

duϕ(u) =

dc

dt(t) · dϕ

du(u) = c(t) · ϕ(u),

a s obzirom je krivulja c regularna i da smo funkciju ϕ birali na nacin da bude regularna,zakljucujemo da je i reparametrizacija takoder regularna krivulja.

Nadalje, treba pokazati da je reparametrizacija prostorne krivulje ponovno prostornakrivulja i da je reparametrizacija vremenske krivulje ponovno vremenska krivulja. Dokazcemo provesti samo za slucaj prostornih krivulja, a dokaz za vremenske krivulje se provodianalogno.

12

Daljni dokaz provodimo provodimo u 3 koraka:

1. Definiramo

s(t) =

∫ t

t0

‖c(t)‖1dt,

pri cemu je t0 ∈ I proizvoljan, fiksan. Vrijedi:

ds

dt= ‖c(t)‖1 > 0,

jer je c regularna, pa je s strogo rastuca.

2. Stavimo s : I → J . Promotrimo inverz funkcije s, t = t(s). Vrijedi:

dt

ds=

(ds

dt

)−1=

1

‖c(t)‖1> 0.

Dakle, t je glatka strogo rastuca funkcija. Njome cemo reparametrizirati!

3. Stavimo c(s) = (c ◦ t)(s) = c(t(s)). Tvrdimo da je c trazena reparametrizacija, tj.< ˙c, ˙c >1= 1.

Uvjerimo se u to direktnim racunom:

< ˙c, ˙c >1 =< (c ◦ t)′, c ◦ t)′ >1=

=< c(t(s))t′(s), c(t(s))t′(s) >1=

= [t′(s)]2 < c(t(s)), c(t(s)) >1=

=

(1

‖c(t)‖1

)2

‖c(t)‖1 =

=1

‖c(t)‖1=

= 1

Ovime smo pokazali da je i krivulja d prostorna krivulja.

13

2 Frenetov trobrid. Frenetove formule. Fleksija.

Torzija.

U svakoj je tocki P prostorne krivulje, s iznimkom singularnih tocaka, moguce definiratitri pravca i tri ravnine, koje su medusobno okomite i sijeku se u tocki P .

Definicija II.6.

1. Tangenta je granicni polozaj sekante PN kada N → P

2. Normalna ravnina je ravnina koja prolazi tockom P i okomita je na tangentukrivulje u tocki P . Sve pravce koji leze u normalnoj ravnini i prolaze tockom Pnazivamo normalama krivulje u tocki P

3. Oskulacijska ravnina u tocki P je granicni polozaj ravnine koja prolazi kroz tribliske tocke krivulje P,N i M , kada N → P,M → P

4. Glavna normala krivulje u tocki P je presjecnica normalne i oskulacijske ravnineu P

5. Binormala krivulje u tocki P je onaj pravac koji prolazi tockom P i okomit je naoskulacijsku ravninu

6. Ravnina rektifikacije je ona ravnina koja sadrzi tangentu i binormalu krivulje utocki P

Primjetimo da tangenta krivulje c u tocki P lezi u oskulacijskoj ravnini. Nadalje, oskula-cijska ravnina je razapeta glavnom normalom i tangentom; normalna je ravnina razapetabinormalom i glavnom normalom, a ravnina rektifikacije je razapeta tangentom i binorma-lom. Primjetimo takoder da su navedene ravnine medusobno okomite te da su navedenipravci medusobno okomiti.

Definirajmo poblize Frenetov trobrid ili trobrid pratilac.

Definicija II.7. Neka je c prostorna ili vremenska krivulja u R31 koja je parametrizirana

duljinom luka i koja zadovoljava uvjet < c, c >1 6= 0. Frenetov trobrid ili trobrid pratilacje uredena trojka {T,N,B}, gdje su elementi T,N,B odredeni sa:

T (s) = c(s)

N(s) =c(s)√

| < c(s), c(s) >1 |B(s) = T (s)×1 N(s)

Primjetimo da smo ustvari definirali polje tangenti, glavnih normala i binormala krivuljec. Primjetimo nadalje da uredena trojka {T,N,B} odreduje jednu ortonormiranu bazuu R3

1, sto slijedi iz definicije II.6, komentara na tu definiciju te cinjenice da je vektorskiprodukt jedinicnih vektora jedinicni vektor koji je okomit na dane vektore.

14

Sada cemo, bez dokaza, izreci teorem o Frenetovim formulama u prostoru Minkowskog.

Teorem II.1 (Frenetove formule). Za polja T,N,B (definirana kao u definiciji II.7 vri-jedi:

T ′(s) = κ(s)ηN(s)

N ′(s) = −κ(s)εT (s)− κ(s)εηB(s)

B′(s) = −τ(s)ηN(s),

pri cemu su funkcije κ(s) i τ(s) fleksija i torzija krivulje, a |η| = | < N,N >1 | = 1.

Primjetimo da navedene formule formalno mozemo zapisati u slijedecoj formi: TNB

′ = 0 κη 0−κε 0 −τεη

0 −τη 0

TNB

Definirajmo sada zakrivljenosti prostornih krivulja u prostoru Minkowskog.

Fleksija

Iz Frenetovih formula (Teorem II.1) imamo

T ′ = ηκN. (2.1)

Pomnozimo li jednadzbu (2.1) pseudoskalarno da N dobivamo

< T ′, N >1 = ηκ < N,N >1=

= η2κ =

= κ

Iz Frenetovih formula i defincijije Frenetovog trobrida (Teorem II.1 i Definicija II.7)mozemo zakljuciti slijedece:

T ′ = κηN

c = κηc√

| < c, c >1 |κη =

√| < c, c >1 |

κ = η√| < c, c >1 | = η‖c‖1

Time smo dobili trazenu formulu za racunanje fleksije krivulje.

Primjetimo da fleksija κ moze biti negativna ili pozitivna, a ovisi o psudoskalarnom pro-duktu vektora normale (< N,N >1= η ∈ {−1, 1}). Ukoliko je on vremenski, onda jefleksija negativna, a ukoliko je prostorni, onda je fleksija pozitivna.

Geometrijska interpretacija fleksije je slijedeca: fleksijom se brojcano odreduje mjera od-stupanja krivulje od pravca u nekoj maloj okolini tocke P , odnosno, fleksija mjeri brzinupromjene jedinicnog tangencijalnog polja.

15

Torzija

Izvedimo formulu za torziju iz Defincije II.7 i Teorema II.1.

Znamo da vrijedi:

c = T

c = T ′ = κηN...c = (κηN)′ =

= κ′ηN + κηN ′ =

= κη(−εκT − εητB) =

= −εκ2ηT − εη2κτB =

= −εκ2ηT − εκτB

Izracunajmo det(c, c,...c ):

det(c, c,...c ) = det(T, κηN,−εκ2ηT − εκτB) =

= det(T, κηN,−εκ2ηT ) + det(T, κηN,−εκτB) =

= det(T, κηN,−εκτB) =

= −εκ2ητdet(T,N,B) =

= −εκ2ητ < T ×1 N,B >1=

= −εκ2ητ < B,B >1=

= /*Propozicija I.1*/ =

= −εκ2ητ(−εη) =

= (−εη)2κ2τ =

= κ2τ

Vrijedi:

τ =det(c, c,

...c )

κ2=det(c, c,

...c )

| < c, c >1 |Time smo dobili formulu za racunanje torzije krivulje.

Geometrijska interpretacija torzije je slijedeca: torzijom se brojcano odreduje mjera ot-klona krivulje, u maloj okolini tocke P , od ravninske krivulje. Odnosno: torzijom se mjeriotklon krivulje od oskulacijske ravnine ILI torzija mjeri brzinu promjene polja binormala.

16

Za kraj ovog poglavlja cemo definirati ravninske krivulje, te izreci (bez dokaza) propozicijukoja kaze kada je krivulja ravninska.

Definicija II.8. Za krivulju c : I → R31 kazemo da je ravninska krivulja ako postoji

ravnina π ⊆ R31 takva da je c(I) ⊆ π.

Propozicija II.1. Neka je c : I → R31 regularna krivulja parametrizirana duljinom luka

bez singularnih tocaka 1. reda. Krivulja je ravninska ⇔ τ = 0.

Primjetimo da je ovaj rezultat zapravo ocit iz geometrijske interpretacije torzije krivulje.

17

Poglavlje III

Plohe u prostoru Minkowskog

1 Definicija plohe

Plohe su u prostoru Minkowskog definiraju na isti nacin kao i u Euklidskom prostoru.Vidjet cemo da je vecina rezultata analogna onima iz Euklidskog prostora, s razlikomdefiniranog (pseudo)skalarnog produkta.

Definicija III.1. Podskup S ⊂ R31 je ploha ako za svaku tocku P ∈ S postoji otvorena

okolina V ∈ R31 i preslikavanje x : U → V ∩ S s otvorenog skupa U ∈ R2

1 koje je

(i) neprekidna bijekcija, kao sto je i njegov inverz (tj. preslikavanje je homeomorfizam)

(ii) neprekidno derivabilno (tj. glatka funkcija)

Ako je i diferencijal preslikavanja x injektivan, za plohu kazemo da je regularna.

Preslikavanje x zovemo parametrizacijom ili kartom okoline tocke P plohe S.

Promotrimo diferencijal preslikavanja x. Diferencijal je linearan operator dx : R21 → R3

1

u paru kanonskih baza prikazan Jacobijevom matricom∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∂z∂u

∂z∂v

.

Diferencijal je injektivan ako i samo ako je je njegova jezgra trivijalna, odnosno ako i samoako je njegova slika dvodimenzionalna (ranga 2), odnosno ako i samo ako su vektori:

xu :=∂x

∂u; xv :=

∂x

∂v

linearno nezavisni. To ce biti ako i samo ako vrijedi xu ×1 xv 6= 0. Taj uvjet ce namomoguciti definiranje tangencijalne ravnine.

Plohu mozemo prikazati na razlicite nacina, npr. implicitnom, eksplicitnom, vektorskom,parametarskom jednadzbom. Primjetimo da je u prethodnom razmatranju i definiranjuplohe upotrijebljena parametarska jednadzba plohe: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),gdje je (u, v) ∈ U ⊂ R2

1.

18

Implicitno cemo plohu zadati na slijedeci nacin:

Definicija III.2. Skup S = {(x, y, z) ∈ R31 : g(x, y, z) = c} gdje je c ∈ R, S ⊂ R3

1,g : S → R glatka funkcija nazivamo plohom ako je funkcija g takva da je ∇g 6= 0,∀P ∈ S.

Napomena: Gradijent funkcije je definiran na slijedeci nacin: ∇g := ( ∂g∂x, ∂g∂y, ∂g∂z

).

Eksplicitno plohu definiramo na slijedeci nacin:

Definicija III.3. Skup S = {(x, y, z) ∈ R31 : z = f(x, y)}, f : U → R, U ⊂ R2

1 otvoren ipovezan, je regularna ploha.

Definirajmo jednostavne plohe.

Definicija III.4. Ploha koju je moguce pokriti samo jednom kartom naziva se jednos-tavna ploha.

Jasno je da su plohe koje se u cijelosti mogu prikazati eksplicitnom jednadzbom jednos-tavne plohe. Naime, mozemo definirati kartu x = (u, v, f(u, v)) i ta karta pokriva cijeluplohu.

19

2 Tangencijalna ravnina

Ako u danoj tocki P plohe S povucemo sve moguce krivulje na plohi onda tangente nate krivulje u tocki P leze u jednoj ravnini koju nazivamo tangencijalna ravnina na plohuS u tocki P . Izuzetak su singularne tocke plohe.

Za prakticne potrebe nije potrebno promatrati sve moguce krivulje. To je u ostalomnemoguce jer ih ima beskonacno mnogo. Dovoljno je promatrati dvije posebne krivulje,u−krivulju i v−krivulju koju dobijemo na nacin da fiksiramo parametar u i v u para-metarskoj jednadzbi plohe. Jasno je da cemo promatrajuci te dvije krivulje dobiti dvijetangente. Tangencijalna je ravnina razapeta tim vektorima, a oznacavamo je sa TPS. Izovoga je jasno da je dimTPS = 2.

Promotrimo vektorsku jednadzbu plohe:

−→r (u, v) = x(u, v)−→i + y(u, v)

−→j + z(u, v)

−→k .

Tangencijalna je ravnina razapeta vektorima

−→r 1 =∂−→r∂u

=∂x

∂u

−→i +

∂y

∂u

−→j +

∂z

∂u

−→k

−→r 2 =∂−→r∂v

=∂x

∂v

−→i +

∂y

∂v

−→j +

∂z

∂v

−→k

Ako je ploha zadana svojom implicitnom jednadzbom F (x, y, z) = c, onda je jednadzbatangencijalne ravnine u tocki (x0, y0, z0) dana sa(

∂F

∂x

)0

(x− x0) +

(∂F

∂y

)0

(y − y0) +

(∂F

∂z

)0

(z − z0) = 0.

Ako je ploha zadana svojom parametarskom jednadzbom x = x(u, v), y = y(u, v), z =z(u, v), onda je jednadzba tangencijalne ravnine u tocki (x0, y0, z0) dana sa∣∣∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0(∂x∂u

)0

(∂y∂u

)0

(∂z∂u

)0(

∂x∂x

)0

(∂y∂v

)0

(∂z∂v

)0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Napomena: U daljnjem cemo radu, zbog jednostavnosti, umjesto ∂x∂u

pisati xu. Analognoi za ostale parcijalne derivacije.

20

Primjer III.1. Sfera radijusa 1 ima implicitnu jednadzbu x2+y2+z2 = 1. Tangencijalnaravnina u tocki P = (

√33,√33,√33

) ima jednadzbu x+ y + z =√

3.

Slika 3.1: Sfera i tangencijalna ravnina

Primjer III.2. Hiperbolicki paraboloid ima parametarsku jednadzbu (u + v, u − v, uv).Tangencijalna ravnina u tocki P (u = 2, v = 1) ima jednadzbu 3x− y − 2z = 4.

Slika 3.2: Hiperbolicki paraboloid i tangencijalna ravnina

21

3 Prva fundamentalna forma

Prije definiranja prve fundamentalne forme podsjetimo se da je tangencijalni prostor ploheu bilo kojoj tocki P plohi M dvodimenzionalni prostor razapet vektorima xu i xv. Stoganam slijedi da se bilo koji vektor tog prostora moze prikazati kao linearne kombinacijatih dvaju vektora. Jasno, zbog regularnosti plohe u svakoj tocki je definiran tangencijalniprostor TPS.

Promotrimo bilo koja dva vektora X, Y ∈ TPS. Oni su oblika

X = a · fu(u, v) + b · fv(u, v)

Y = c · fu(u, v) + d · fv(u, v).

Prvu fundamentalnu formu cemo definirati analogno kao u euklidskom prostoru.

Definicija III.5. Prva fundamentalna forma je simetricno bilinearno preslikavanjeI : TPS × TPS → R. Odnosno, to je restrikcija danog pseudoskalarnog produkta natangencijalnu ravninu TPS I(X, Y ) :=< X, Y >1.

Napomena: Forma je simetricna ako vrijedi I(X, Y ) = I(Y,X), a bilinearna je ako jelinearna u svakom argumentu.

Definicija III.6. Neka je ploha M zadana parametarski sa f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Tada za plohu M definiramo funkcije E,F,G : U → R na slijedeci nacin:

E :=< fu, fu >1= −x2u + y2u + z2uF :=< fu, fv >1= −xuxv + yuyv + zuzv

G :=< fv, fv >1= −x2v + y2v + z2v

Velicine E,F,G definirane na navedeni nacin nazivamo Gaussovim osnovnim (fundamen-talnim) velicinama prvog reda ili koeficijentima prve fundamentalne forme.

Prvu fundamentalnu formu mozemo opisati slijedecom simetricnom matricom:

I =

(E FF G

)Fundamentalne velicine imaju vaznu ulogu u diferencijalnoj geometriji ploha jer u pot-punosti odreduju unutarnju geometriju plohe. Naime, ako su one poznate u svakoj tockiplohe S, onda je u potpunosti odredena metrika te plohe, tj. sve one velicine koje jemoguce mjeriti na plohiS, neovisno o njenom obliku ili polozaju u prostoru. Konkretno,takve velicine su:

• duljina luka bilo koje krivulje na plohi S

• kut izmedu bilo kojih dviju krivulja na plohi koje se sijeku u nekoj tocki

• povrsina podrucja omedenog nekom zatvorenom krivuljom na plohi.

22

Kako u ovom radu nece biti rijeci striktno o unutarnjoj metrici plohe, vec samo o nekimspecificnostima pravcastih ploha, zadrzat cemo se na prvoj fundamentalnoj formi samotoliko da definiramo razlicite vrste ploha.

Pokazali smo da u prostoru Minkowskog zbog postojanja razlicitih vrsta vektora pos-toje razlicite vrste krivulja. Postoji i vise vrsta ploha. To je svojevrstan analogon, buducije nazivlje slicno.

Definicija III.7. Ploha S je:

• prostorna ako joj je prva fundamentalna forma pozitivno definitna

• vremenska ako joj je prva fundamentalna forma indefinitna

• izotropna ako je rang njene prve fundamentalne forme 1

Podsjetimo se (djelomicno) definitnosti kvadratne forme.

Definicija III.8. Kvadratna forma je

• pozitivno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednosti matrice strogo po-zitivne

• indefinitna ako i samo ako postoje barem dvije svojstvene vrijednosti matrice razliciteod nula i suprotnog predznaka.

23

Primjer III.3. Dvoplosni hiperboloid ima parametrizaciju (coshu, sinhu cos v, sinhu sin v).Odredimo fundamenantalne velicine prvog reda:

E =< fu, fu >1=

= −x2u + y2u + z2u =

= − sinh2 u+ cosh2 u cos2 v + cosh2 u sin2 v =

= − sinh2 u+ cosh2 u(cos2 v + sin2 v) =

= − sinh2 u+ cosh2 u =

= 1

F =< fu, fv >1=

= −xuxv + yuyv + zuzv =

= −(sinhu · 0) + (coshu cos v · (− sinhu sin v)) + (coshu sin v · sinhu cos v) =

= − sinhu coshu cos v sin v + sinhu coshu cos v sin v =

= 0

G =< fv, fv >1=

= −x2v + y2v + z2v =

= −0 + sinh2 u sin2 v + sinh2 u cos2 v =

= sinh2 u(cos2 v + sin2 v) =

= sinh2 u

Zapisimo diferencijalnu formu matricno

I =

(1 00 sinh2 u

)Ocito je prva diferencijalna forma pozitivno definitna, stoga zakljucujemo da je dana plohaprostorna ploha.

Slika 3.3: Prostorna ploha - dvoplosni hiperboloid

24

Primjer III.4. Jednoplosni paraboloid ima parametrizaciju (sinhu, coshu cos v, coshu sin v).Odredimo fundamenantalne velicine prvog reda:

E =< fu, fu >1=

= −x2u + y2u + z2u =

= − cosh2 u+ sinh2 u cos2 v + sinh2 u sin2 v =

= − cosh2 u+ sinh2 u(cos2 v + sin2 v) =

= − cosh2 u+ sinh2 u =

= −1

F =< fu, fv >1=


= −(coshu · 0) + (sinhu cos v · (− coshu sin v)) + (sinhu sin v · coshu cos v) =

= − sinhu coshu cos v sin v + sinhu coshu cos v sin v =

= 0

G =< fv, fv >1=

= −x2v + y2v + z2v =

= −0 + cosh2 u sin2 v + cosh2 u cos2 v =

= cosh2 u(cos2 v + sin2 v) =

= cosh2 u


I =

(−1 00 cosh2 u

)Ocito je prva diferencijalna forma indefinitna, stoga zakljucujemo da je dana ploha vre-menska ploha.

Slika 3.4: Vremenska ploha - jednoplosni hiperboloid

25

Primjer III.5. Svjetlosni stozac ima parametrizaciju (u, v,±√u2 + v2).

Odredimo fundamentalne velicine prvog reda:

E =< fu, fu >1=

= −x2u + y2u + z2u =

= −1 + 0 + (±1

2(u2 + v2)−

12 · 2u)2 =

= −1 +u2

u2 − v2F =< fu, fv >1=


= −(1 · 0) + (0 · 1) +

(±u√u2 − v2

· ±v√u2 − v2

)=

=uv√u2 − v2

G =< fv, fv >1=

= −x2v + y2v + z2v =

= −0 + 1 +

(±1

2(u2 − v2)−

12 · (−2v)

)2

=

= 1 +v2

u2 − v2


I =

−1 + u2

u2−v2uv

u2−v2

uvu2−v2 1 + v2

u2−v2

Nakon kraceg racuna je vidljiv rezultat da je rang dane matrice jednak 1, pa zakljucujemoda je svjetlosni stozac zbilja izotropna ploha.

Slika 3.5: Izotropna ploha - svjetlosni stozac

26

Plohu mozemo klasificirati i na slijedeci nacin.

Lema III.1.

1. Ploha S je prostorna ako i samo ako u svakoj tocki P ∈ S postoji vremenski vektorX 6= 0 koji je okomit u pseudoskalarnom produktu na tangencijalnu ravninu TPS.

2. Ploha S je vremenska ako i samo ako u svakoj tocki P ∈ S postoji prostorni vektorX 6= 0 koji je okomit u pseudoskalarnom produktu na tangencijalnu ravninu TPS.

3. Ploha S je izotropna ako i samo ako u svakoj tocki P ∈ S postoji izotropni vektorX 6= 0 koji je okomit u pseudoskalarnom produktu na tangencijalnu ravninu TPS.

Primjetimo da je u iskazu leme spomenut vektor okomit na tangencijalnu ravninu. Kakoje tangecijalna ravnina razapeta tangentama krivulje u nekoj tocki, onda je spomenutivektor okomit i na tangente. Radi se, dakle, o normali krivulje u nekoj tocki.

Znamo da cemo vektorskim produktom dvaju vektora dobiti vektor koji je okomit nadane vektore. Ukoliko za tangente krivulje u tocki P uzmemo vektore fu i fv, slijedi daje normala odredena sa fu(u, v)×1 fv(u, v).

U definiranju tangencijalne ravnine nismo zahtjevali da tangente budu normirani vek-tori. Stoga ni ovako definirana normala nece biti normirani vektor. Medutim, mozemo gadefinirati na nacin da bude normiran:

ν =fu(u, v)×1 fv(u, v)

‖fu(u, v)×1 fv(u, v)‖1=fu(u, v)×1 fv(u, v)√

|detI(u, v)|.

U slijedecem potpoglavlju cemo je definirati poblize.

27

4 Druga fundamentalna forma

Za prostorni ili vremensku plohu u R31 postoji (do na predznak) jedinstvena jedinicna nor-

mala. Ta jedinstvena jedinicna normala moze biti upotrijebljena za definiranje Gaussovogpreslikavanja.

Definicija III.9.Gaussovo preslikavanje za prostornu plohu (kojoj je vektor normale vremenski vektor) jeoblika

ν : U → S2(1) = {(x, y, z) ∈ R31 : −x2 + y2 + z2 = 1}.

Gaussovo preslikavanje vremenske plohe (kojoj je vektor normale prostorni vektor) jeoblika

ν : U → S2(−1) = {(x, y, z) ∈ R31 : −x2 + y2 + z2 = −1}.

Gaussovo preslikavanje je definirano formulom

ν =fu ×1 fv‖fu ×1 fv‖1

.

Lema III.2.Neka je f : U → R3

1 ploha cije je Gaussovo preslikavanje definirano kao u definiciji III.9.Za svaku u ∈ U slika ravnine linearnog preslikavanja

Dν|u : TuU → Tν(u)R31

je paralelna sa tangecijalnom ravninom Tuf . Stoga mozemo identificirati Tν(u)R31∼= R3

1∼=

Tf(u)R31 i mozemo zapisati da je u svakoj tocki dobro definirano prelikavanje

Dν|u : TuU → Tuf.

Nadalje, restrikcijom na sliku, preslikavanje Df |u je linearni izomorfizam

Df |u : TuU → Tuf.

U tom je slucaju i inverzno preslikavanje (Df |u)−1 takoder izomorfizam.

Definicija III.10.Preslikavanje L := −Dν ◦ (Df)−1 zove se Weingartenovo preslikavanje ili operator oblikaplohe.

Napomena: Zbog jednostavnosti prikaza cemo u slijedecem dijelu pisati u1 za parame-tar u, a u2 za parametar v.

Prisjetimo se da je prva fundamentalna forma definirana na slijedeci nacin:

I = gij =

⟨∂f

∂ui,∂f

∂uj

⟩1

.

U Euklidskom prostoru drugu fundamentalnu formu definiramo kao II(X, Y ) = I(LX, Y )i jednostavno promotrimo matricu koja se sastoji od drugih derivacija. Jednostavnost(nasuprot definiranju druge fundamentalne forme u prostoru Minkowskog) je u tome stou Euklidskom prostoru postoji samo jedna vrsta vektora. U prostoru Minkowskog postojetri vrste vektora, pa moramo posebno obratiti pozornost na vrstu jedinicnog vektoranormale ν.

28

Definicija III.11. Neka je f : U → R ploha cije je Gaussovo preslikavanjeν : U → S2 ⊂ R3

1. Za tangencijalne vektore X, Y definiramo drugu diferencijalnu formuII plohe f sa

< II(X, Y ), ν >1=< LX, Y >1,

odnosnoII(X, Y ) =< LX, Y >1< ν, ν >1 ν.

Vazno je primjetiti da je navedena defincija opcenitiji slucaj definicije druge fundamen-talne forme u Euklidskom prostoru, pa s toga vrijedi i u Euklidskom prostoru.

Zapisano koordinatno:

II

(∂f

∂ui,∂f

∂uj

)= hijν = ε

⟨∂2f

∂ui∂uj, ν

⟩1

ν,

gdje je ε =< ν, ν >1∈ {−1, 1}.

Definirajmo Gaussove osnovne velicine drugog reda.

Definicija III.12. Neka je ploha M zadana parametarski sa f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Tada za plohu M definiramo funkcije L,M,N : U → R na slijedeci nacin:

L := ε ·⟨∂2f

∂u2i, ν

⟩1

= ε · h11

M := ε ·⟨

∂2f

∂ui∂uj, ν

⟩1

= ε · h12 = ε · h21

N := ε ·⟨∂2f

∂u2j, ν

⟩1

= ε · h22

Velicine L,M,N definirane na navedeni nacin nazivamo Gaussovim osnovnim (funda-mentalnim) velicinama drugog reda ili koeficijentima druge fundamentalne forme.

Prema tome, drugu fundamentalnu formu mozemo prikazati na slijedeci nacin:

II =

(L MM N

).

29

5 Gaussova i srednja zakrivljenost

Podsjetimo se: kroz bilo koju tocku P plohe S prolazi beskonacno mnogo krivulja. Svete krivulje u toj tocki imaju definiranu fleksiju. Kada nam je poznata fleksija krivulje,poznat nam je i polumjer zakrivljenosti te krivulje. Promatramo samo dva polumjerazakrivljenosti, minimalni i maksimalni. U Euklidskom prostoru se Gaussova zakrivljenostracuna kao umnozak tih dvaju polumjera zakrivljenosti, a srednja se zakrivljenost ploheracuna kao aritmeticka sredina tih polumjera zakrivljenosti. Na slican cemo nacin defini-rati zakrivljenosti plohe u prostoru Minkowskog, ali moramo posebnu pozornost obratitina predznak!

Definicija III.13. Gaussova zakrivljenost plohe u prostoru Minkowskog definirana je re-lacijom

K =< II(X,X), II(Y, Y ) >1 − < II(X, Y ), II(Y,X) >1

I(X,X) · I(Y, Y )− I(X, Y ) · I(Y,X)=det(hij)

det(gij)· ε =

LN −M2

EG− F 2· ε,

gdje je ε =< ν, ν >1, a X, Y proizvoljni vektori iz tangencijalne ravnine.

Definicija III.14. Srednja zakrivljenost plohe u prostoru Minkowskog definirana je rela-cijom

H =GL− 2FM + EN

2(EG− F 2)· ε,

gdje je ε =< ν, ν >1 .

Klasifikacija ploha u prostoru Minkowskog s obzirom na Gaussovu i srednju zakrivljenostje analogna klasifikaciji u Euklidskom prostoru. Ogranicit cemo se (za sada) samo nadefiniranje minimalne plohe, sto ce nam biti od posebne vaznosti u poglavlju IV.

Definicija III.15. Ploha f : U → R31 je minimalna ako je njena srednja zakrivljenost

jednaka nuli, odnosno ako vrijedi H = 0.

30

Poglavlje IV

Pravcaste plohe u prostoruMinkowskog

1 Definicija pravcastih ploha

Pravcasta se plohe u prostoru Minkowskog definira kao i u Euklidskom prostoru buducije pravac u prostoru R3 pravac i u prostoru R3

1. Stoga vrijedi:

Definicija IV.1. Ploha f : U → R31 se naziva pravcastom plohom ako se moze zapisati

slijedecom parametrizacijom

f(u, v) = c(u) + v ·X(u),

gdje je c diferencijabilna (ali ne nuzno regularna) krivulja i X vektorsko polje duz krivuljec koje nigdje ne iscezava.

Ocito je v Euklidski pravac u prostoru. Intuitivno zakljucujemo da je ploha rezultat gi-banja pravca u prostoru, slicno kao sto krivulju mozemo zamisliti kao trag koji ostavljatocka kada se giba u prostoru. Pravci na polju X se nazivaju generatrise ili izvodnicepravcaste plohe, a krivulja c se naziva direktrisa pravcaste plohe. Mozemo reci i ovako:ploha je pravcasta ako i samo ako u svakoj tocki te plohe postoji pravac takav da lezi naplohi.

Pogledajmo na koji nacin mozemo reparametrizirati pravcastu plohu.

Lema IV.1. Neka je f(s, t) = c(t) + s · X(t) pravcasta ploha za koju vrijedi dXdt6= 0 u

intervalu t1 < t < t2. Tada se ploha f moze reparametrizirati na jedinstveni nacin:

f∗(u, v) = c∗(u) + v ·X∗(u),

tako da vrijedi: X∗ = X‖X‖1 , ‖X∗‖1 = 1 i < c′∗, X

′∗ >1= 0.

Kako je najavljeno u prethodnom poglavlju, provest cemo dodatnu klasifikaciju pravcastihploha.

31

Definicija IV.2.

• Pravcasta ploha kojoj je Gaussova zakrivljenost u svakoj tocki jednaka nuli (K = 0)naziva se razvojna ploha.

• Pravcasta ploha kojoj je Gaussova zakrivljenost u svakoj tocki razlicita od nule(K 6= 0) naziva se vitopera ploha.

Geometrijska interpretacija ove definicije je slijedeca: razvojna ploha je ona ploha kojase dade razviti u ravninu; vitopera je ploha ona ploha koja se ne moze razviti u ravninu(njena dva neizmjerno bliska pravca su mimosmjerna).

Ovom diobom smo pravcaste plohe ”razbili” u dvije klase pravcastih ploha. Razvojneplohe dalje mozemo podijeliti na cilindricne, konusne, tangentne, normalne i binormalneplohe.

Cilindricne plohe su plohe parametrizacije f(u, v) = c(u) + vX, gdje je c regularna krivu-lja, a X konstantno jedinicno polje duz krivulje c.

Konusne plohe su plohe parametrizacije f(u, v) = p + vX(u), gdje je p fiksna tocka(krivulja c je degenerirala u tocku. Konusne plohe nisu regularne u vrhu.

Tangentne plohe su plohe parametrizacije f(u, v) = c(u) + vc′(u), gdje je c regularnakrivulja (bez smanjenja opcenitosti mozemo pretpostaviti da je parametrizirana duljinomluka), a c′ njezino tangencijalno polje. Tangente plohe nisu regularne duz krivulje c. Onase naziva grebenom tih ploha. Ovdje je zanimljivo primjetiti da je tangentna ploha ustvariploha koja sadrzi sve tangente krivulje c.

Na slican nacin kao tangentne plohe mozemo definirati normalnu i binormalnu plohu.One, naime, su razapete svim vektorima normale, odnosno binormale, duz krivulje c.

U slijedecem cemo potpoglavlju navesti primjere pravcastih ploha te izracunati Gaussovui srednju zakrivljenost za svaki primjer. Posebna ce se pozornost, kako je najavljeno uUvodu ovog rada, posvetiti minimalnim pravcastim plohama.

32

2 Primjeri pravcastih ploha

2.1 Jednoplosni hiperboloid

Parametrizacija jednoplosnog hiperboloida je f(u, v) = (v, cosu− v sinu, v cosu+ sinu).Primjetimo da smo to mogli zapisati i na sljedeci nacin: f(u, v) = (0, cosu, sinu) + v ·(1,− sinu, cosu), cime smo pokazali da je to zbilja pravcasta ploha.

fu = (0,− sinu− v cosu,−v sinu+ cosu)

fv = (1,− sinu, cosu)

fuu = (0,− cosu+ v sinu,−v cosu− sinu)

fuv = (0,− cosu,− sinu)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= 0 + sin2 u+ 2v sinu cosu+ v2 cos2 u+ cos2 u− 2v sinu cosu+ v2 sin2 u =

= (sin2 u+ cos2 u) + v2(sin2 u+ cos2 u) + 2v sinu cosu− 2v sinu cosu =

= 1 + v2

F =< fu, fv >1=

= 0 + sinu(sinu+ v cosu) + cosu(cosu− v sinu) =

= sin2 u+ v sinu cosu+ cos2 u− v sinu cosu =

= 1

G =< fv, fv >1=

= −1 + sin2 u+ cos2 u =

= −1 + 1 =

= 0

I =

(1 + v2 1

1 0

)Programom Wolfram Mathematica (verzija 7.0) nalazimo da navedena matrica ima dvijesvojstvene vrijednosti od kojih je jedna pozitivna, a druga negativna, pa zakljucujemoda je dana ploha vremenska ploha. Isti rezultat smo dobili u prethodnom poglavlju, alikoristeci drugaciju parametrizaciju ove plohe!

Kako je jednoplosni hiperboloid vremenska ploha slijedi da je ε =< ν, ν >1= 1.

33

Prije racunanja fundamentalnih velicina drugog reda, moramo izracunati ν!

fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j k0 − sinu− v cosu −v sinu+ cosu1 − sinu cosu

∣∣∣∣∣∣ =

= (v, cosu− v sinu, sinu+ v cosu)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fv ×1 fu, fv ×1 fu >1 | =

=√| < v, cosu− v sinu, sinu+ v cosu, v, cosu− v sinu, sinu+ v cosu >1 | =

=√| − v2 + cos2 u− 2v sinu cosu+ v2 sin2 u+ sin2 u+ 2v sinu cosu+ v2 cos2 u| =

=√| − v2 + 1 + v2| =

= 1

Primjetimo da je vektor normale vec normiran!

L =< fuu, ν >1=

=< (0,− cosu+ v sinu,−v cosu− sinu), (v, cosu− v sinu, sinu+ v cosu) >1=

= −1− v2

M =< fuv, ν >1=

=< (0,− cosu,− sinu), (v, cosu− v sinu, sinu+ v cosu) >1=

= −1

N =< fvv, ν >1=

=< (0, 0, 0), (v, cosu− v sinu, sinu+ v cosu) >1=

= 0

Izracunajmo Gaussovu i srednju zakrivljenost!

K =LN −M2

EG− F 2= 1

H =GL− 2FM + EN

2(EG− F 2)= 1

Iz ovoga mozemo zakljuciti da je jednoplosni hiperboloid vitopera ploha.

34

Slika 4.1: Pravcasta ploha - jednoplosni hiperboloid

Na slici se lijepo moze vidjeti da je jednoplosni hiperboloid pravcasta ploha.

Stovise, jednoplosni hiperboloid spada u grupu dvostruko pravcastih ploha (u koju josspadaju samo hipar i ravnina), sto znaci da na njemu ”zive” dvije familije pravaca.

35

2.2 Cilindar

Parametrizacija cilindra je f(u, v) = (v, sinu, cosu). Primjetimo da smo to mogli zapisatii na sljedeci nacin: f(u, v) = (0, sinu, cosu)+v · (1, 0, 0), cime smo pokazali da je to zbiljapravcasta ploha, i to cilindricna ploha (vektorsko je polje konstantno).

fu = (0, cosu,− sinu)

fv = (1, 0, 0)

fuu = (0,− sinu,− cosu)

fuv = (0, 0, 0)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= −0 · 0 + cosu · cosu+ (− sinu) · (− sinu) =

= cos2 u+ sin2 u =

= 1

F =< fu, fv >1=

= −0 · 1 + 0 · cosu+ 0 · (− sinu) =

= 0

G =< fv, fv >1=

= −1 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 =

= −1

I =

(1 00 −1

)Ocito je da navedena matrica ima dvije svojstvene vrijednosti od kojih je jedna pozitivna,a druga negativna, pa zakljucujemo da je dana ploha vremenska ploha.

Kako je cilindar vremenska ploha slijedi da je ε =< ν, ν >1= 1.

36


fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j k0 cosu − sinu1 0 0

∣∣∣∣∣∣ =

= (0,− sinu,− cosu)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fu ×1 fv, fu ×1 fv >1 | =

=√| < (0,− sinu,− cosu), (0,− sinu,− cosu) >1 | =

=√| sin2 u+ cos2 u| =

=√

1 =

= 1

Primjetimo da je vektor normale vec normiran!

L =< fuu, ν >1=

=< (0,− sinu,− cosu), (0,− sinu,− cosu) >1=

= sin2 u+ cos2 u =

= 1

M =< fuv, ν >1=

=< (0, 0, 0), (0,− sinu,− cosu) >1=

= 0

N =< fvv, ν >1=

=< (0, 0, 0), (0,− sinu,− cosu) >1=

= 0


K =LN −M2

EG− F 2= 0

H =GL− 2FM + EN

2(EG− F 2)=

1

2

Iz ovoga mozemo zakljuciti da je cilindar razvojna ploha.

37

Slika 4.2: Pravcasta ploha - cilindar

Na slici se lijepo moze vidjeti da je cilindar pravcasta ploha.

38

2.3 Hiperbolicki paraboloid (hipar)

Parametrizacija hipara je f(u, v) = (u, v, uv). Primjetimo da smo to mogli zapisati i nasljedeci nacin: f(u, v) = (u, 0, 0) + v · (0, 1, u), cime smo pokazali da je to zbilja pravcastaploha.

fu = (1, 0, v)

fv = (0, 1, u)

fuu = (0, 0, 0)

fuv = (0, 0, 1)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= −1 · 1 + 0 · 0 + v · v =

= −1 + v2

F =< fu, fv >1=

= −1 · 0 + 0 · 1 + v · u =

= uv

G =< fv, fv >1=

= −0 · 0 + 1 · 1 + u · u =

= 1 + u2

I =

(−1 + v2 uvuv 1 + u2

)Programom Wolfram Mathematica (verzija 7.0) nalazimo da navedena matrica ima dvijesvojstvene vrijednosti od kojih su obje funkcije od u i v, ali su bez obzira na to pozitivnena cijeloj domeni. Stoga zakljucujemo da je hipar prostorna ploha.

Kako je hipar prostorna ploha slijedi da je ε =< ν, ν >1= −1.

39


fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j k1 0 v0 1 u

∣∣∣∣∣∣ =

= (v,−u, 1)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fu ×1 fv, fu ×1 fv >1 | =

=√| < (v,−u, 1), (v,−u, 1) >1 | =

=√| − v2 + u2 + 1|

Dakle,

ν =

(v√

| − v2 + u2 + 1|,

−u√| − v2 + u2 + 1|

,1√

| − v2 + u2 + 1|

).

L = ε < fuu, ν >1=

= ε < (0, 0, 0), ν >1=

= 0

M = ε < fuv, ν >1=

= ε < (0, 0, 1), ν) >1=

= − 1√| − v2 + u2 + 1|

N = ε < fvv, ν >1=

= ε < (0, 0, 0), ν >1=

= 0


K = −LN −M2

EG− F 2= − 1

(v2 − u2 − 1)√|u2 − v2 + 1|

=1

(−v2 + u2 + 1)√|u2 − v2 + 1|

H = −GL− 2FM + EN

2(EG− F 2)= − 2uv

(v2 − u2 − 1)√|u2 − v2 + 1|

Iz ovoga mozemo zakljuciti da je hipar ploha koja nema konstantnu ni Gaussovu ni sred-nju zakrivljenost. Stovise, nijedna od njih nije pozitivna ili negativna na cijeloj plohi, vecsu na dijelovima negativne, na dijelovima pozitivne, a na dijelovima jednake nuli.

40

Slika 4.3: Pravcasta ploha - hipar

Na slici se lijepo moze vidjeti da je hipar pravcasta ploha.

Stovise, hipar spada u grupu dvostruko pravcastih ploha (u koju jos spadaju samo jedno-plosni hiperboloid i ravnina), sto znaci da na njemu ”zive” dvije familije pravaca.

41

2.4 Minimalne plohe

U Uvodu ovog rada je najavljen znacajan rezultat pravcastih ploha u prostoru Minkow-skog. Podsjetimo se, u Euklidskom prostoru postoje samo dvije minimalne pravcasteplohe, ravnina i helikoid. U prostoru Minkowskog postoje cak cetiri minimalne pravcasteplohe. Sve te cetiri plohe su helikoidalne pravcaste plohe, sto znaci da nastaju helikoidal-nim gibanjem pravca u prostoru. U nastavku cemo dati rezultate za te plohe.

Minimalna ploha 1

Zadan je ploha parametrizacije f(u, v) = (au, v cosu, v sinu), a 6= 0 proizvoljan. Tu plohumozemo zapisati u obliku f(u, v) = (au, 0, 0) + v(0, cosu, sinu) cime smo pokazali da jeto pravcasta ploha.

fu = (a,−v sinu, v cosu)

fv = (0, cosu, sinu)

fuu = (0,−v cosu,−v sinu)

fuv = (0,− sinu, cosu)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= −a · a+ (−v sinu)2 + (v cosu)2 =

= −a2 + v2 sin2 u+ v2 cos2 u =

= −a2 + v2(sin2 u+ cos2u) =

= −a2 + v2

F =< fu, fv >1=

= −a · 0 + cosu · (−v sinu) + sinu · (v cosu) =

= −v sinu cosu+ v sinu cosu =

= 0

G =< fv, fv >1=

= −0 · 0 + cos2 u+ sin2 u =

= 1

I =

(−a2 + v2 0

0 1

)Primjecujemo da svojstvene vrijednosti matrice prve fundamentalne forme ovisi o para-metru v, pa ce u ovisnosti o tom parametru ploha biti prostorna (za |v| > a) ili vremenska(za |v| < a).

O tome nam naravno ovisi i ε. Stoga cemo sada izvesti daljnji racun, a potom disku-tirati ovisnost rjesenja o tipu plohe.

42

Prije racunanja fundamentalnih velicina drugog reda, moramo izracunati ν.

fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j ka −v sinu v cosu0 cosu sinu

∣∣∣∣∣∣ =

= (v,−a sinu, a cosu)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fv ×1 fu, fv ×1 fu >1 | =

=√| < (v,−a sinu, a cosu), (v,−a sinu, a cosu) >1 | =

=√| − v2 + a2 sin2 u+ a2 cos2 u| =

=√| − v2 + a2|

Dakle,

ν =

(v√

| − v2 + a2|,−a sinu√| − v2 + a2|

,a cosu√| − v2 + a2|

).

L = ε < fuu, ν >1=

= ε

⟨(0,−v cosu,−v sinu),

(v√

| − v2 + a2|,−a sinu√| − v2 + a2|

,a cosu√| − v2 + a2|

)⟩1

=

= ε0 · v − v cosu · (−a sinu)− v sinu · a cosu√

| − v2 + a2|= 0

M = ε < fuv, ν >1=

= ε

⟨(0,− sinu, cosu),

(v√

| − v2 + a2|,−a sinu√| − v2 + a2|

,a cosu√| − v2 + a2|

)⟩1

=

= ε0 · v − sinu · (−a sinu) + cosu · a cosu√

| − v2 + a2|

= εa√

| − v2 + a2|

N = ε < fvv, ν >1=

= ε < (0, 0, 0), ν >1=

= 0

43


K = εLN −M2

EG− F 2=

= ε0 · 0− a2

|−v2+a2|

−a2 + v2=

= −ε a2

(−a2 + v2) · | − v2 + a2|

H = εGL− 2FM + EN

2(EG− F 2)=

= ε1 · 0− 2 · 0 · ε a√

|−v2+a2|+ (−a2 + v2) · 0

2(−a2 + v2)=

= 0

Kako smo dobili da ova ploha u svakoj tocki ima minimalnu zakrivljenost H = 0, za-kljucujemo da je minimalna ploha! Stovise, to vrijedi za svaki a ∈ R\{0}.

Ostaje nam jos diskutirati Gaussovu zakrivljenost plohe.

Vec smo naveli da u slucaju kada je |v| > a, ploha je prostorna. U tom slucaju znamo daje ε = −1. Jasno je da je apsolutna vrijednost nekog broja pozitivan broj. Broj −a2 + v2

ce u slucaju |v| > a biti pozitivan broj. Iz toga nam slijedi da je za |v| > a Gaussovazakrivljenost veca od nule.

Analogno provedemo postupak za slucaj |v| < a te kao rezultat dobijemo slijedece:

K =

{> 0, |v| > a< 0, |v| < a

Primjetimo kako je Gaussova zakrivljenost ove plohe K 6= 0 iz cega jos zakljucujemo daje rijec o vitoperoj plohi.

44

Slika 4.4: Minimalna pravcasta ploha 1

Na slici se lijepo mogu vidjeti pravci na ovoj minimalnoj plohi.

45

Minimalna ploha 2

Zadan je ploha parametrizacije f(u, v) = (v sinhu, v coshu, au), a 6= 0 proizvoljan. Tuplohu mozemo zapisati u obliku f(u, v) = (au, 0, 0)+v(sinhu, coshu, 0) cime smo pokazalida je to pravcasta ploha.

fu = (v coshu, v sinhu, a)

fv = (sinhu, coshu, 0)

fuu = (v sinhu, v coshu, 0)

fuv = (coshu, sinhu, 0)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= −v2 cosh2 u+ v2 sinh2 u+ a2 =

= −v2(cosh2 u− sinh2 u) + a2 =

= −v2 + a2

F =< fu, fv >1=

= −v coshu sinhu+ v sinhu coshu =

= 0

G =< fv, fv >1=

= − sinh2 u+ cosh2 u =

= 1

I =

(a2 − v2 0

0 1

)Primjecujemo da svojstvene vrijednosti matrice prve fundamentalne forme ovisi o para-metru v, pa ce u ovisnosti o tom parametru ploha biti prostorna (za |v| < a) ili vremenska(za |v| > a).


46


fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j k

v coshu v sinhu asinhu coshu 0

∣∣∣∣∣∣ =

= (a coshu, a sinhu, v)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fv ×1 fu, fv ×1 fu >1 | =

=√| < (a coshu, a sinhu, v), (a coshu, a sinhu, v) >1 | =

=

√| − a2 cosh2 u+ a2 sinh2 u+ v2| =

=

√| − a2(cosh2 u− sinh2 u) + v2| =

=√| − a2 + v2|

Dakle,

ν =

(a coshu√| − a2 + v2|

,a sinhu√| − a2 + v2|

,v√

| − a2 + v2|

).

L = ε < fuu, ν >1=

= ε

⟨(v sinhu, v coshu, 0),

(a coshu√| − a2 + v2|

,a sinhu√| − a2 + v2|

,v√

| − a2 + v2|

)⟩1

=

= ε−v sinhu · a coshu+ v coshu · a sinhu+ 0 · v√

| − a2 + v2|= 0

M = ε < fuv, ν >1=

= ε

⟨(coshu, sinhu, 0),

(a coshu√| − a2 + v2|

,a sinhu√| − a2 + v2|

,v√

| − a2 + v2|

)⟩1

=

= εcoshu · a coshu+ sinhu · a sinhu+ 0 · v√

| − a2 + v2|

= ε−a√

| − a2 + v2|

N = ε < fvv, ν >1=

= ε < (0, 0, 0), ν >1=

= 0

47


K = εLN −M2

EG− F 2=

= ε0 · 0− a2

|−a2+v2|

−v2 + a2=

= −ε a2

(−v2 + a2) · | − a2 + v2|


2(EG− F 2)=

= ε

1 · 0− 2 · 0 ·(ε −a2√|−a2+v2|

)+ (−v2 + a2) · 0

2 · (−v2 + a2)=

= 0


Ostaje nam jos diskutirati Gaussovu zakrivljenost plohe.

Vec smo naveli da u slucaju kada je |v| < a, ploha je prostorna. U tom slucaju znamo daje ε = −1. Jasno je da je apsolutna vrijednost nekog broja pozitivan broj. Broj −v2 + a2

ce nam u slucaju |v| < a biti pozitivan broj. Iz toga nam slijedi da je za |v| < a Gaussovazakrivljenost veca od nule.

Analogno provedemo postupak za slucaj |v| > a te kao rezultat dobijemo slijedece:

K =

{> 0, |v| < a< 0, |v| > a

Primjetimo kako je Gaussova zakrivljenost ove plohe K 6= 0 iz cega jos zakljucujemo daje rijec o vitoperoj plohi.

48



49

Minimalna ploha 3

Zadan je ploha parametrizacije f(u, v) = (v coshu, v sinhu, au), a 6= 0 proizvoljan. Tuplohu mozemo zapisati u obliku f(u, v) = (0, 0, au)+v(coshu, sinhu, 0) cime smo pokazalida je to pravcasta ploha.

fu = (v sinhu, v coshu, a)

fv = (coshu, sinhu, 0)

fuu = (v coshu, v sinhu, 0)

fuv = (sinhu, coshu, 0)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= −v2 sinh2 u+ v2 cosh2 u+ a2 =

= v2(− sinh2 u+ cosh2 u) + a2 =

= v2 + a2

F =< fu, fv >1=

= −v coshu sinhu+ v sinhu coshu =

= 0

G =< fv, fv >1=

= − cosh2 u+ sinh2 u =

= −1

I =

(a2 + v2 0

0 −1

)Primjecujemo da je za svaki a ∈ R\{0} ova forma uvijek indefinitna, odnosno ploha jevremenska.

Kako je ploha vremenska, slijedi da je ε = 1.

50


fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j k

v sinhu v coshu acoshu sinhu 0

∣∣∣∣∣∣ =

= (a sinhu, a coshu,−v)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fv ×1 fu, fv ×1 fu >1 | =

=√| < (a sinhu, a coshu,−v), (a sinhu, a coshu,−v) >1 | =

=

√| − a2 sinh2 u+ a2 cosh2 u+ v2| =

=

√|a2(− sinh2 u+ cosh2 u) + v2| =

=√a2 + v2

Dakle,

ν =

(a sinhu√a2 + v2

,a coshu√a2 + v2

,−v√a2 + v2

).

L = ε < fuu, ν >1=

= ε

⟨(v coshu, v sinhu, 0),

(a sinhu√a2 + v2

,a coshu√a2 + v2

,−v√a2 + v2

)⟩1

=

=−av sinhu coshu+ va coshu sinhu+ 0 · (−v)√

a2 + v2

= 0

M = ε < fuv, ν >1=

= ε

⟨(sinhu, coshu, 0),

(a sinhu√a2 + v2

,a coshu√a2 + v2

,−v√a2 + v2

)⟩1

=

=− sinhu · a sinhu+ coshu · a coshu+ 0 · (−v)√

a2 + v2

=a√

a2 + v2

N = ε < fvv, ν >1=

= ε < (0, 0, 0), ν >1=

= 0

51


K =LN −M2

EG− F 2=

=0 · 0− a2

a2+v2

−v2 − a2=

=a2

(v2 + a2)2

H =GL− 2FM + EN

2(EG− F 2)=

=−1 · 0− 2 · 0 · a√

a2+v2+ (v2 + a2) · 0

2(−v2 − a2)=

= 0

Kako smo dobili da ova ploha u svakoj tocki ima minimalnu zakrivljenost H = 0, za-kljucujemo da je minimalna ploha! Stovise, to vrijedi za svaki proizvoljni a ∈ R\{0}.

Primjetimo kako je Gaussova zakrivljenost ove plohe K > 0, za svaki proizvoljni a 6= 0 izcega zakljucujemo da je rijec o vitoperoj plohi.



52

Minimalna ploha 4

Zadan je ploha parametrizacije f(u, v) =(a(u3

3+ u)

+ uv, a(u3

3+ u)− uv, au2 + v

),

a 6= 0 proizvoljan. Tu plohu mozemo zapisati u obliku f(u, v) =(a(u3

3+ u), a(u3

3− u), au2

)+

v(u, u, 1) cime smo pokazali da je to pravcasta ploha.

fu = (au2 + a+ v, au2 − a+ v, 2au)

fv = (u, u, 1)

fuu = (2au, 2au, 2a)

fuv = (1, 1, 0)

fvv = (0, 0, 0)

E =< fu, fu >1=

= −(au2 + a+ v)2 + (au2 − a+ v)2 + (2au)2 =

= −a2u4 − a2 − v2 − 2a2u2 − 2au2v − 2av + a2u4 + a2 + v2 − 2a2u2 + 2au2v − 2av + 4a2u2 =

= −4av

F =< fu, fv >1=

= −au3 − au− uv + au3 − au+ uv + 2au =

= 0

G =< fv, fv >1=

= −u2 + u2 + 1 =

= 1

I =

(−4av 0

0 1

)Primjecujemo da svojstvene vrijednosti matrice prve fundamentalne forme ovisi o para-metru v i proizvoljnom a, pa ce u ovisnosti o tom parametru ploha biti prostorna (zaav < 0) ili vremenska (za av > 0).


53


fu ×1 fv =

∣∣∣∣∣∣−i j k

au2 + a+ v au2 − a+ v 2auu u 1

∣∣∣∣∣∣ =

= (a+ au2 − v,−a+ au2 − v, 2au)

‖fu ×1 fv‖1 =√| < fv ×1 fu, fv ×1 fu >1 | =

=√| < (a+ au2 − v,−a+ au2 − v, 2au), (a+ au2 − v,−a+ au2 − v, 2au) >1 | =

=√| − (a+ au2 − v)2 + (−a+ au2 − v)2 + (2au)2| =

=√|4av| =

= 2√|av|

Dakle,

ν =

(a+ au2 − v

2√|av|

,−a+ au2 − v

2√|av|

,2au

2√|av|

).

L = ε < fuu, ν >1=

= ε

⟨(2au, 2au, 2a),

(a+ au2 − v

2√|av|

,−a+ au2 − v

2√|av|

,2au

2√|av|

)⟩1

=

= ε−2a2u− 2a2u3 + 2auv − 2a2u+ 2a2u3 − 2auv + 4a2u

2√|av|

= 0

M = ε < fuv, ν >1=

= ε

⟨(1, 1, 0),

(a+ au2 − v

2√|av|

,−a+ au2 − v

2√|av|

,2au

2√|av|

)⟩1

=

= ε−a− au2 + v − a+ au2 − v

2√|av|

= ε−a√|av|

N = ε < fvv, ν >1=

= ε < (0, 0, 0), ν >1=

= 0

54


K = εLN −M2

EG− F 2=

= ε0 · 0− a2

|av|

−4av=

= ε−a2

4av|av|


2(EG− F 2)=

= ε1 · 0− 2 · 0 · ε −a√

|av|+ (−4av) · 0

−8av=

= 0


Promotrimo sto se dogada sa Gaussovom zakrivljenoscu. Vec smo pokazali da je danaploha za av < 0 prostorna, pa je ε = −1. U slucaju av > 0 dana ploha je vremenska, paje ε = 1. Za ovu nam plohu vrijedi:

K < 0,∀a ∈ R\{0},∀v

U svakom se slucaju radi o vitoperoj pravcastoj plohi.



55

Literatura

[1] W. Kuhlen. Differential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds. American mathe-matical society, Providence, 2002.

[2] F. Manhart. Affine Geometry of Minkowski Minimal Surfaces in R31. Hrvatsko drustvo

za geometriju i grafiku, Zagreb, 2007.

[3] B. Zarinac Francula. Diferencijalna geometrija. Skolska knjiga, Zagreb, 1990.

56

Josip Kli cinovi c - A1 Hrvatskakjosip.net.amis.hr/radovi/diplomski_JosipKlicinovic.pdf ·...

Documents

Transcript of Josip Kli cinovi c - A1 Hrvatskakjosip.net.amis.hr/radovi/diplomski_JosipKlicinovic.pdf ·...