VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

JOSEF WEIGEL

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

GE04_M01 MĚŘICKÉ CHYBY

TCHVP – Měřické chyby

Tento text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. Za jazykovou stránku odpovídá autor

© Doc. Ing. Josef Weigel, CSc., Brno 2004

- 2 (26) -

Obsah

OBSAH

1 Úvod 5 1.1 Cíle ........................................................................................................5 1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5 1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5 1.4 Klíčová slova.........................................................................................6 1.5 Metodický návod na práci s textem ......................................................6

2 Měření a zdroje jeho chyb ...........................................................................7 2.1 Měření a jeho fáze.................................................................................7 2.2 Podmínky ovlivňující měřický proces ................................................10

2.2.1 Metoda měření ......................................................................10 2.2.2 Podmínky při měření.............................................................11

3 Měřické chyby.............................................................................................15 3.1 Definice chyb ......................................................................................15 3.2 Rozdělení chyb a jejich struktura........................................................18

3.2.1 Omyly a hrubé chyby............................................................19 3.2.2 Systematické chyby ..............................................................20 3.2.3 Náhodné chyby .....................................................................21 3.2.4 Úplné chyby..........................................................................22

4 Charakteristiky přesnosti měření .............................................................23 4.1 Charakteristiky polohy a proměnlivosti ..............................................23

4.1.1 Střední hodnota .....................................................................24 4.1.2 Základní a výběrová střední chyba .......................................24

5 Závěr ............................................................................................................25 5.1 Shrnutí .................................................................................................25 5.2 Studijní prameny .................................................................................25

5.2.1 Seznam použité literatury .....................................................25 5.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury ...................................26

5.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .........................................26 5.4 Klíč......................................................................................................26

- 3 (26) -

Úvod

1 Úvod

1.1 Cíle

Cílem modulu Měřické chyby je objasnit studentům oboru Geodézie a kartografie základní pojmy z teorie měření a měřických chyb a zdroje těchto chyb. Studenti budou seznámeni se vzorci a způsoby používanými při stanovení charakteristik přesnosti výsledků měření. V závěru budou seznámeni se zákony (vztahy, pravidly) podle kterých se přesnosti (nejistoty) vstupních veličin projeví na výsledcích funkčních vztahů, tj. na přesnostech (nejistotách) výsledků nějakých výpočtů. Student musí pochopit teoretický význam nadbytečných měření, naučí se rozlišovat různé způsoby vyjádření přesnosti měřených a vypočtených veličin. Po nastudování tohoto modulu by měl získat předpoklady pro rozlišování pojmů vnitřní a vnější přesnost měření.

1.2 Požadované znalosti

Při studiu tohoto modulu se studenti neobejdou bez základních znalostí z předmětu Matematika I a některých pasáží i z předmětu Matematika II. Pochopit musí zejména kapitoly týkající se derivací jednoduchých funkcí, rozvojů funkcí pomocí řad, především Taylorovy řady. Rovněž základní znalosti z teorie jednoduchého integrálu budou nezbytné. Souběžně s tímto předmětem probíhá ve stejném semestru i výuka v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Bez nadsázky lze říci, že teorie chyb a metody používané ve vyrovnávacím počtu jsou zcela založeny na principech a teoriích definovaných v teorii pravděpodobnosti a v matematické statistice. Matematické základy budou okamžitě aplikovány v tomto předmětu a proto se doporučuje studovat tento modul souběžně s texty předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika. Znalosti z předmětu Geodézie I jsou nutné především k pochopení praktických příkladů.

1.3 Doba potřebná ke studiu

Obsah modulu je sestaven tak, že je pak v plné míře využíván v navazujícím předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet II. Protože se jedná o úvodní modul těchto dvou předmětů jsou jeho znalosti klíčové pro pochopení navazujících informací. V prezenční formě studia je předmětu Teorie chyb a vyrovnávací počet I věnován týdenní rozsah výuky 2 hod přednášek a 2 hodiny cvičení, po dobu 13 až 14 týdnů.

Celková časová náplň pro nastudování tohoto modulu je asi 50 hodin, z toho se předpokládá 20 hodin na studium teorie a 30 hodin na procvičování příkladů. Časový rozsah jednotlivých kapitol tohoto modulu je uveden vždy u příslušné kapitoly.

- 5 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

1.4 Klíčová slova

Měření, měřické chyby, náhodné chyby, systematické chyby, hrubá chyba, omyl, charakteristiky přesnosti, variance, kovariance, směrodatná odchylka, střední chyba, jednotková střední chyba, váhy měření, zákony hromadění chyb.

1.5 Metodický návod na práci s textem

Text a příklady v něm uvedené jsou seřazeny tak, aby se postupovalo od jed-nodušších příkladů k příkladům složitějším. Vzorové příklady jsou ve většině případů doplněny postupem výpočtu. Výpočty jsou sestaveny tak, aby mohly být počítány na kalkulačkách. Doporučuji studentům, aby si každý příklad nej-prve vypočítali ručně (na kalkulačce se zápisem mezivýsledků na papír) a te-prve potom jej realizovali například v tabulkovém procesoru Excel. Cílem totiž není jen vypočítat správný výsledek, ale pochopit detailně jeho jednotlivé fáze. Zvláště doporučuji, aby si student všímal velikosti každého čísla, počtu jeho cifer a jak se které číslo uplatní ve výsledku. V některých příkladech je možno sledovat vliv zaokrouhlování na celkový výsledek. Počet platných cifer má velký význam při výpočtech charakteristik přesnosti – středních chyb a vah. Musíme si uvědomit, že se jedná o čísla přibližná, neboť střední chyby střed-ních chyb (charakteristiky druhého řádu) bývají u těchto empirických odhadů dosti pesimistické.

Pokud student ovládá nějaký programovací jazyk, nebo pracuje s programovacími systémy typu MATCAD, MATLAB a pod., je vhodné vě-novat tvorbě programů v těchto systémech více času, neboť si tak student ušetří čas při výpočtech jednotlivých aplikací vyrovnávacího počtu v navazujících odborných předmětech. Samozřejmě orientační čas uvedený ve stati 1.3 pro studium tohoto modulu pak bývá překročen i vícenásobně.

- 6 (26) -

Měření a zdroje jeho chyb

2 Měření a zdroje jeho chyb

Cílem této kapitoly je objasnit pojem měření v širších souvislostech než je jen realizace vlastního procesu měření. Dále budou uvedeny hlavni zdroje způsobující rozdílnost výsledků v opakovaných měřeních.

Průměrný čas k nastudování druhé kapitoly je 3,5 hodiny

Objekt, znak, náhodná proměnná, fáze měření, měřický proces, zpracovatelský proces, pravé chyby, skutečné chyby, opravy,

Předměty a jevy v přírodě a společnosti existují a uskutečňují se nezávisle na našem vědomí a neustále se mění a vyvíjejí. Jejich zkoumáním se zabývají jednotlivé vědní obory a disciplíny. Nezbytnou složkou tohoto zkoumání jsou kvantitativní stránky předmětů a jevů. I tyto existují nezávisle na našem vědo-mí. Měření je důležitý prostředek v procesu poznání právě kvantitativních strá-nek předmětů a jevů. Oborů a vědních disciplín ve kterých se provádí měření je velké množství. Zeměměřictví (geodézie a kartografie) je jedním z oborů v jehož činnosti hraje měření dominantní roli. S pojmem měření jsou úzce spja-ty pojmy chyba měření a přesnost měření.

2.1 Měření a jeho fáze

Zkoumané předměty či jevy nazýváme objekty. Na každém objektu je nutno definovat jeho znaky, které chceme měřit (pozorovat). Je-li objektem např. ně-jaká osoba, je poměrně snadné definovat a změřit takové znaky jako je její výška, hmotnost, aj.. Poněkud obtížnější může být definovat a změřit její IQ nebo oblíbenost a téměř nemožné např. zbabělost, smysl pro spravedlnost apod.. V technických disciplínách, mezi které zeměměřictví patří, bývá vyme-zení jednotlivých znaků obvykle jednoznačnější než v disciplínách humanit-ních. Ze znaků, přiřazených k určitému objektu nebo jevu budou dále vybrány jen ty, které jsou měřitelné.

V praxi má mnoho znaků proměnný charakter a proto je nazýváme proměnný-mi. Základní dělení proměnných je na proměnné vyjádřené číselnými hodno-tami (kvantitativní proměnné) a na proměnné vyjádřené slovním popisem (kva-litativní proměnné). Při dalším zpracování se kvalitativním proměnným obvyk-le přiřazuje stanovený číselný kód.

Podle počtu sledovaných znaků rozdělujeme proměnné na:

1. Jednorozměrné proměnné, když je na objektu zkoumán (měřen, pozo-rován) jen jeden znak

2. Vícerozměrné proměnné, když jsou zkoumány (měřeny, pozorovány) dva a více znaků

- 7 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

Veličinou budeme nazývat proměnnou, kterou lze vyjádřit matematicky (sku-pinou čísel, funkcí aj.).

Podle počtu hodnot, kterých proměnná nabývá rozdělujeme proměnné na:

1. Spojité proměnné, které mohou nabýt nespočetně nekonečného počtu hodnot

2. Diskrétní proměnné (nespojité), které nabývají konečného nebo nejvýše spočetného nekonečného počtu hodnot.

Měřením budeme nazývat:

a) proces, ve kterém se určité veličině přiřazuje její hodnota neboli vý-sledek měření.

b) jednotlivý výsledek měření

Hodnota veličiny je její kvantitativní vyjádření v nějakém zvoleném vztažném systému – měřické jednotce. Hodnota se vyjadřuje reálným číslem doplněným rozměrem veličiny. Rozměry veličin bývají uváděny v měřických jednotkách nebo jejich násobcích. Existují samozřejmě i veličiny, jejichž hodnoty jsou bezrozměrné.

Pokud lze hodnoty veličin přímo změřit, nazýváme takové výsledky přímá měření, pokud jsou hodnoty určeny prostřednictvím známého funkčního vztahu k jiné nebo k jiným, obvykle přímo měřeným veličinám, nazýváme je nepřímá měření

Příkladem přímého měření je třeba úhel, jehož hodnota je určena pomocí vhodného přístroje na měření úhlů, např. úhloměru, teodolitu aj. Dalšími typickými příklady přímých měření jsou: vzdálenost naměřená pásmem, tep-lota teploměrem, čas hodinkami, hmotnost váhami aj,

Mezi nepřímo měřené veličiny můžeme zařadit např. obsahy ploch, objemy těles, vzdálenosti a směrníky počítané ze souřadnic, výšky bodů počítané z přímo měřených převýšení, převýšení počítaná ze známých výšek apod..

Otázka 2.1:

a) Lze délky naměřené elektronickým tachymetrem (totální stani-cí) zařadit do kategorie přímých měření?

Odpověď 2.1: b) Ve většině případů považujeme za přímá měření ta měření, která

jsou výstupem z nějakého měřícího přístroje, tj. i elektronického tachymetru. Bude-li výstupem naměřená „šikmá vzdálenost“, pak by bylo možno tuto hodnotu považovat za výsledek procesu přímého měření délek. Bude-li výstupem „vodorovná vzdále-nost“, bylo by ji možno zařadit mezi nepřímá měření, neboť k převodu ze šikmé délky na vodorovnou musel přístroj naměřit i další veličinu - svislý úhel a k převodu použít nějakou matema-tickou funkci, vztah nebo tabulku. Rovněž by měla být k tomuto převodu v přístroji k dispozici přímo změřená výška přístroje i výška odrazného systému, a případně známy i některé další veli-činy (poloměr Země aj.).

- 8 (26) -

Měření a zdroje jeho chyb

V uvedených příkladech je vidět, že zařazení nějakého výsledku mezi přímá nebo nepřímá měření může být někdy dosti komplikované. Exaktní vymezení přímých a nepřímých měření je uvedeno např. v [9] na str. 12.

Nejprve se budeme detailněji věnovat hlavně přímým měřením. Z hlediska teorie chyb doplníme měřický proces ještě o zpracovatelský proces. Měřický proces se dále rozdělí na přípravnou fázi měření a vlastní měření a zpracova-telský proces na fázi určení hodnoty měřené veličiny a na fázi úpravy hodnoty. Schématicky jsou tyto fáze ukázány na obr. 2.1.

Příprava měření

Měřický proces

Vlastní měření

Přímé měření

Určení hodnoty

Zpracovatelský proces

Úprava hodnoty

Obrázek 2.1 Schéma přímého měření

Moderní měřické přístroje a systémy v sobě slučují, ve větší či menší míře, měřický i zpracovatelský proces. Příkladem veličiny získané pomocí složi-tého měřicího systému, ve kterém lze pro uživatele jen obtížně oddělit mě-řický proces od zpracovatelského procesu, je určování polohy bodů meto-dou GPS.

Na příkladu měření délky elektronickým tachymetrem budou ve zjednoduše-né podobě ukázány jednotlivé fáze měření. V přípravné fázi je nutno ověřit správnou funkci dálkoměru a na srovnávací základně, nebo jinou vhodnou metodou, stanovit konstanty přístroje a odrazného systému (hranolu). Řa-díme sem též rektifikaci přístroje a pomocných zařízení (seřízení libel, cent-rovačů atd.) a nastavení dalších konstant a parametrů v přístroji. Při vlast-ním měření dbáme na kvalitní centraci a horizontaci přístroje a odrazného systému, dále změříme výšky přístroje a odrazného zařízení, rovněž změříme teplotu vzduchu, případně i vlhkost a atmosférický tlak. Délku změříme ně-kolikrát (opakovaně) a zaznamenáme jednotlivé výsledky. Současně s měřenou délkou měříme a zaznamenáváme i hodnoty svislého úhlu, nejlé-pe v obou polohách dalekohledu. Ve zpracovatelské fázi se nejprve zavedou k opakovaně měřeným délkám jejich korekce z komparace a z vlivu atmo-sféry a pak se vypočte pro šikmou délku její průměrná hodnota Při násled-né úpravě této hodnoty se prostřednictvím matematických redukcí převede šikmá délka na vodorovnou délku v nulové nadmořské výšce a podle potře-by se převede i do roviny kartografického zobrazení (např. S-JTSK).

- 9 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

2.2 Podmínky ovlivňující měřický proces

Z hlediska teorie chyb považujeme měření za pokus. Obecně je pokus jakákoliv činnost nebo proces, které jsou libovolně opakovatelné a uskutečňují se za pře-dem vymezených podmínek. Pokusy rozdělujeme na deterministické a stochas-tické. Jako deterministické pokusy jsou označovány pokusy, které za vymeze-ných podmínek vedou při jejich opakování vždy ke stejným výsledkům. Jako stochastické (náhodné) pokusy jsou označovány pokusy, kdy na výsledek po-kusu působí ještě další podmínky (vlivy), které jsou obvykle náhodného cha-rakteru a způsobují, že se výsledky opakovaných pokusů liší.

Pod pojmem předem vymezené podmínky zde rozumíme především metodu měření. Metoda měření v sobě zahrnuje předepsané měřicí zařízení a požado-vaný (doporučený) postup měření. Součástí metody měření bývá i vymezení vhodných podmínek pro měření.

Podmínky působící na přímé měření:

2. Metoda měření (deterministické podmínky)

měřicí zařízení

postup měření

3. Podmínky při měření (stochastické podmínky)

skutečný stav měřícího zařízení

vliv prostředí na měření

vliv lidského faktoru při měření

2.2.1 Metoda měření

Každá metoda měření vyžaduje:

měřicí zařízení, což je komplex měřicích přístrojů s jejich přídavnými zaříze-ními a dalšími nezbytnými pomůckami a doplňky. Měřicí zařízení musí splňo-vat parametry požadované kvality. Kvalitou se z hlediska teorie chyb rozumí u přístrojů především

citlivost – nejmenší diference hodnot měřené veličiny, která korespon-duje s příslušným dílkem stupnice přístroje,

replikovatelnost, (schopnost opakovat údaje), stálost distribuční funkce chyb měření při opakování měření

přesnost (vnitřní a vnější).

Do parametrů kvality patří i řada dalších, např. složitost obsluhy, poruchovost, energetická náročnost aj. Zvláštní pozornost si zaslouží zejména možnost pra-videlné kontroly některých parametrů kvality měřícího zařízení , např. porov-návání měřicího zařízení s předepsanými etalony tzv. komparace.

postup měření (technologický postup), což je souhrn postupů, pravidel a pod-mínek předepsaných pro danou metodu měření. Postup měření vyžaduje ze-jména použití všech předepsaných přístrojů a pomůcek v souladu s návodem či předpisem pro jejich používání. Důležité je dodržení pořadí a návazností jed-

- 10 (26) -

Měření a zdroje jeho chyb

notlivých úkonů, dodržení předepsaného či přiměřeného tempa měření, důsled-ná registrace všech požadovaných údajů atd.

V dalším budeme předpokládat, že použitá metoda měření je teoreticky správ-ná a za doporučených podmínek realizovatelná.

2.2.2 Podmínky při měření

Každé reálné měření se koná v konkrétních vnějších podmínkách (teplota, tlak a vlhkost vzduchu, sluneční svit, vítr apod.) a ve většině případů se na vlastním měření podílí i lidský faktor (měřič a jeho pomocníci). Z toho je zřejmé, že při měření nelze obecně oddělovat deterministické podmínky (vyžadované meto-dou měření) od podmínek náhodných, daných.skutečným stavem celého sys-tému.

1. Vliv měřícího zařízení Vliv měřícího zařízení (jeho skutečného stavu) na výsledky měření záleží na:

celkovém stavu přístrojů, zařízení a pomůcek, zejména na kvalitě pro-váděné i provedené údržby (seřízení přístrojů, rektifikace libel aj.),

"okamžitém" stavu (urovnání přístrojů a měřických latí, zaostření dale-kohledu, vnitřní pnutí v přístrojích a stojanech, vliv nastavení indexů a stupnic a jejich osvětlení, vliv tzv. mrtvých chodů ustanovek, vliv napě-tí v bateriích aj.). Velké riziko pro okamžitý stav přináší rovněž nešetr-ný transport přístrojů a pomůcek na lokalitu a zpět. I dobře v laboratoři seřízený přístroj může být transportem znehodnocen.

2. Vliv prostředí Prostředí ve kterém se měření uskutečňuje se řadí k jedněm z nejvýznamněj-ších faktorů ovlivňujících výsledky měření:

Ovlivnění měřického paprsku nebo signálu. Velká část geodetických měření využívá některého z druhů elektromagnetické záření (světelné vlny, radiové vlny), které je výrazně ovlivňováno prostředím, kterým se šíří. Rychlost a směr šíření elektromagnetických vln jsou závislé na in-dexech lomu daného prostředí, kde zejména okamžitý stav atmosféry (troposféry, případně i ionosféry) způsobuje celou řadu jevů (např. re-frakci, difrakci, zpoždění signálu aj.), které jsou proměnlivé s časem a místem. Vlivem jiných elektromagnetických zdrojů záření působí pro-středí na elektromagnetický signál a způsobuje jeho zašumění, rušení či degradaci. Nezanedbatelný může být i vliv falešných odrazů signálu, či ohyb světelného paprsku vlivem blízkých objektů a překážek. Mohou nastat situace, kdy při snížené viditelnosti (opar, smog, déšť, sněžení, mlha či silné chvění obrazu) se zmenší dosah měřícího zařízení nebo je měření zcela znemožněno.

Působení prostředí na měřící zařízení. Prostředí dále působí přímo na měřící přístroje a některé pomůcky, např. při osvitu přístroje či stojanu přímým sluncem nebo za mrazu v nich nastávají různá pnutí. Teplota vzduchu ovlivňuje teplotu měřidel (pásem, latí,..) a tím mění i jejich délku. Silnější vítr způsobuje chvění přístrojů a latí, zvětšuje průhyb pásma, způsobuje kývání olovnice, či znemožňuje použití slunečníku

- 11 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

pro ochranu přístroje před přímým slunečním zářením. Rovněž málo únosný terén (bláto, sníh, led, rozměklý asfalt, oranice, tráva apod.) vý-razně snižuje stabilitu přístrojů a pomůcek v průběhu měření. Podobný charakter mají i vibrace v průmyslových závodech či silný dopravní ruch, které způsobují chvění přístrojů a snižují jejich stabilitu.

Prostředí působí i na měřiče a jeho pomocníky, zejména je-li nepříznivé (velké vedro či chlad, silný vítr, mrholení, déšť, sníh, hluk apod.).

Slapové změny. Mezi vlivy prostředí řadíme i působení dalších jevů, jako jsou změny v tíhovém poli vyvolané např. proměnlivou polohou Slunce a Měsíce, působení magnetického pole Země, vlnění zemské ků-ry aj., které mají velmi často periodický charakter.

Při studiu vlivu prostředí na výsledky měření se zkoumají vlivy jednot-livých jejich složek pokud možno odděleně. Toto studium má obvykle jak teoretickou, tak i experimentální část, která může mít laboratorní nebo terénní charakter.

3. Vliv lidského faktoru. Měřič a jeho pomocníci vnášejí do procesu měření lidský faktor. Ten se může projevit příznivě i nepříznivě. Především se od měřiče očekává, že umí měřit. K tomu účelu musí být vybaven schopnostmi, znalostmi a zkuše-nostmi:

Schopnost. Ne každý člověk je schopen kvalitně měřit. Například při vyhodnocování fotogrammetrických snímků musí být měřič obdařen schopností stereoskopického vidění. Při náročných měřeních v kom-plikovaném terénu musejí být měřiči i pomocníci přiměřeně fyzicky zdatní apod. S pojmem schopnost bezprostředně souvisí i pojem do-vednost. Dovednost je zjednodušeně řečeno rozvinutá a využitá schopnost. Schopnost a dovednost ovlivňují výsledky měření obvyk-le přímo.

Znalosti se získávají především studiem, ať již řádným, v rámci pří-slušného odborného vzdělávání, tak i studiem při řešení teoretických a praktických problémů. Znalosti působí na kvalitu měření velmi často nepřímo, většinou se projeví již při volbě vhodné metody mě-ření či postupu měření.

Zkušenosti jsou nezbytné zejména při řešení nestandardních problé-mů. Měřické zkušenosti obvykle přinášejí efektivní a někdy i netra-diční řešení. Nejsou-li zkušenosti dostatečně doplněné znalostmi, mohou někdy působit i negativně, neboť svádí k přeceňování praxe na úkor teorie.

Aktuální fyzický a psychický stav. Člověk je ovlivňován nejen svoji povahou, ale též okamžitým psychickým stavem a fyzickou kondicí. Může být zatížen aktuálními starostmi, problémy, povinnostmi a po-třebami. Určitou roli hraje i motivace k získávání kvalitních výsled-ků.

Z uvedeného vyplývá, že při správnosti metody měření ovlivňují vlastní měření především náhodné podmínky, které jsou v neustálém pohybu a změně a v každém okamžiku vytvářejí více či méně odlišnou situaci.

- 12 (26) -

Měření a zdroje jeho chyb

Je-li měřický proces dostatečně citlivý (přesný), pak je schopen změny podmínek registrovat ve výsledcích měření. Důsledkem je, že při opako-vaném měření za vymezených podmínek obdržíme rozdílné výsledky mě-ření, které se navzájem v malých mezích liší.

Vývoj metod měření dlouhodobě směřuje ke zkvalitňování přístrojů, pomůcek a postupů měření. Objevují se nové teorie, metody, přístroje a technologie. Podrobně jsou studovány i podmínky měření, zejména vlivy prostředí. U mno-ha podmínek při měření lze považovat jejich vliv na výsledek měření spíše za systematický (lze jej popsat nějakou funkční závislostí) než za náhodný. Po-znání těchto zákonitostí (systematičností) a eliminace jejich vlivu na měřené výsledky je významných prostředkem zvyšování přesnosti a vývoje metod mě-ření. Lidský faktor je prostřednictvím automatizace a elektronizace postupně z celého procesu měření vytěsňován. Limitujícími pro zvyšování přesnosti měře-ní se tak u řady metod stávají především vlivy prostředí.

Kontrolní otázky 2.2: a) Můžeme předem předvídat jakou hodnotou ovlivní prostředí naměře-

nou hodnotu ?

b) Je výhodněji měřit pomalejším tempem, ale o to pečlivěji, nebo při měření přiměřeně spěchat ?

c) Můžeme zvýšit přesnost přímého měření zvýšením přesnosti některých částí použitých přístrojů a pomůcek, např. u teodolitu nebo nivelační latě doplněním citlivější přídavnou libelou apod. ?

d) Je vhodnější z hlediska proměnlivosti přírodních podmínek měřit za stejných klimatických podmínek, nebo je výhodnější podmínky pro-středí vhodně prostřídat ?

e) Co si představujete pod pojmy vnitřní a vnější přesnost měření ?

Odpovědi na otázky 2.2: Na žádnou z uvedených otázek neexistuje jednoznačná odpověď. Jedním z cílů studia tohoto předmětu je získat teoretické a částečně i praktické po-znatky pro kvalifikovanější odpověď na uvedené otázky. Proto doporučuji studentům zapsat si nyní své názory na problematiku nastíněnou v otázkách a průběžně je konfrontovat s poznatky získanými při studiu.

- 13 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

- 14 (26) -

Charakteristiky přesnosti měření

3 Měřické chyby

3.1 Definice chyb

Každá fyzikální veličina vyjadřuje určitou vlastnost (znak) hmotného objektu. Každý hmotný objekt je v neustálém pohybu a podléhá neustálým změnám, proto i příslušná veličina nabývá v různých časových okamžicích různou veli-kost. Tyto velikosti nazveme pravými hodnotami. Je zřejmé, že pravé hodnoty většiny veličin jsou proto proměnlivé. Velmi často však považujeme objekt a jeho znaky za neměnné a pravou hodnotu proto za stálou. Procesem měření se pokoušíme.určit tuto hodnotu pravé veličiny.

Pravé hodnoty (bezchybné hodnoty) jsou známy obvykle pouze v matematic-kých či geometrických vztazích.

Pravou hodnotou je např. součet n vnitřních úhlů v uzavřeném rovinném mnohoúhelníku, který se rovná právě hodnotě (n - 2)180o. Pro n = 3 (součet úhlů v trojúhelníku) je to všeobecně známých 180o. Jiným příkladem je veli-kost rozdílu dvojího měření téže veličiny (např. rozdílu měření „TAM a ZPĚT“). Tento rozdíl by měl být přesně nulový.

Kontrolní otázky 3.1:

a) Jaký bude součet vnějších úhlů v n-úhelníku?

b) Lze za pravou hodnotu považovat chybu vzniklou zaokrouhlením nějaké-ho čísla?

c) Nalezněte alespoň jeden další příklad na pravou hodnotu.

Odpovědi jsou uvedeny v závěrečné kapitole v klíči.

Zdálo by se nesmyslné, a zejména neekonomické, pravé veličiny získávat mě-řením, když jejich hodnoty již známe. V geodézii a kartografii existuje mnoho situací, kdy přesto takové hodnoty určujeme. Obvykle je to z důvodu kontroly našich měření.

Měřením nelze pravou hodnotu určit neboť:

a) každé měření je ovlivněno proměnlivými podmínkami za kterých je realizováno

b) pravé hodnoty chyb způsobené proměnlivostí podmínek jsou nepozna-telné

c) tyto chyby ovlivňují výsledek měření

Skutečnou hodnotou nějaké veličiny budeme označovat číslo μ , které se do-statečně málo liší od její pravé hodnoty, a jímž se pravá hodnota nahrazuje. Skutečná hodnota je měřením poznatelná a představuje obvykle tu hodnotu, která byla získána nejdokonalejšími metodami měření s použitím nejlepších přístrojů a co nejlepší eliminací nepříznivých vlivů vyvolaných proměnlivým charakterem podmínek při měření. Opakováním měření lze řadu těchto nepříz-nivých vlivů snížit či výrazně eliminovat. Skutečná hodnota je proto obvykle určována z velmi rozsáhlých měřických souborů.

- 15 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

Je zřejmé, že získání skutečných hodnot měřených veličin je velmi kompliko-vané a nákladné. Velký význam mají pravé a skutečné hodnoty ve vlastní teorii měření a v teorii chyb.

Chybou měření budeme v teorii chyb nazývat rozdíl mezi zvolenou refe-renční hodnotou a její naměřenou hodnotou.

Podle volby referenční hodnoty budeme rozeznávat různé druhy chyb:

Pravá chyba je rozdíl pravé hodnoty. veličiny od její naměřené hodnoty

Skutečná chyba je rozdíl skutečné hodnoty. veličiny od její naměřené hodnoty

Student může v naprosté většině případů považovat oba pojmy za identic-ké.

Mějme n výsledků opakovaných měření veličiny X, které označíme . Skutečné chyby jednotlivých měření vypočítáme nxxx ,...,, 21

,ii x−= με (3.1)

kde i = 1,2,...,n

V praxi z kontrolních a jiných důvodů měření několikrát opakujeme. Neurčíme při tom skutečnou hodnotu měřené veličiny μ , ale z těchto opakovaných mě-ření jen její vyrovnanou hodnotu, (nejpravděpodobnější hodnotu) x . Vyrov-naná hodnota se ke skutečné hodnotě obvykle blíží.

Byla-li opakovaná měření vykonána stejnou metodou měření, za obdobných podmínek při měření a jsou-li vzájemně nezávislá, je možno vyrovnanou hod-notu vypočítat jednoduchým aritmetickým průměrem (viz stať 3.1.1 textu [12]):

nx

n

xxxx

nx

n

ii

n∑

∑==+++= =1

21 )...(1 . (3.2)

Oprava je rozdíl vyrovnané hodnoty a měřené hodnoty.

.ii xxv −= (3.3)

Opravy se též nazývají nejpravděpodobnější chyby, domnělé chyby, rezidua.

Pro opravy vypočítané podle (3.3) platí důležitý kontrolní vztah

0∑ =v . (3.4)

Důkaz vztahu (3.4) je velmi jednoduchý a vyplývá přímo z (3.3) a (3.2). Jeho odvození je rovněž ve stati 3.1.1 textu [12] Jaký je vztah mezi skutečnou chybou a opravou?

xiiii xxxxv εμμε =−=−−−=− )()( . (3.5)

- 16 (26) -

Charakteristiky přesnosti měření

Vidíme, že rozdíl mezi pravými (skutečnými) chybami a příslušnými opravami je konstantní pro všechna měření xi (i = 1, 2, ... , n). Skutečnou hodnotu mě-řené veličiny obvykle neznáme, víme jen, že všechny opravy jsou od svých skutečných chyb odchýleny o konstantu xε . Této hodnotě říkáme skutečná chyba aritmetického průměru.

Poznámka 3.1

Vzorec (3.2) je rozepsán ve třech podobách. Při použití značky sumy by měly být formálně uváděny indexy sčítanců (viz. druhý vztah). V dalším textu budeme používat neformální zápis a označení indexů bude vynecháváno (viz.třetí vztah).

Poznámka 3.2

V případě výpočtu oprav je referenční hodnotou vyrovnaná hodnota (např. jednoduchý aritme-tický průměr) a jednotlivá měření se od něj odečítají. Podobně u pravých a skutečných chyb. V teorii pravděpodobnosti a v řadě dalších vědních disciplín je tomu právě naopak. Naším důvodem je požadavek, abychom při vyrovnání opravy k měřeným veličinám přičítali a tak jsme získali vyrovnané hodnoty (hodnotu). Je to však jen otázkou konvence znamének oprav a znamének pravých či skutečných chyb. V teorii chyb a vyrovnávacím počtu se vžilo pravidlo, že znaménko chyby se určuje podle hesla „má býti - mínus jest“. Má býti vyjadřuje vyrovna-nou, pravou či skutečnou hodnotu, jest měřenou hodnotu.

Poznámka 3.3

V praxi se občas porovnávají výsledky měření získané dvěma metodami, z nichž jedna je mno-hem přesnější (minimálně o jeden řád přesnější). Rozdíly mezi výsledky získanými oběma metodami se často považují za skutečné chyby, tj. jako by přesnější metoda byla bezchybná.

Úkol 3.1

Délka mezi dvěma body byla měřena třemi různými metodami – krokováním, pásmem a elektronickým dálkoměrem vždy 10 krát. Jednotlivá měření jsou uvedena v tab. 3.1. Kroky byly přibližně metrové. Vypočítejte:

- průměrné hodnoty pro jednotlivé metody a také příslušné opravy k těmto průměrným hodnotám

- skutečné chyby jednotlivých výsledků z metody krokování. Považujte pro tuto metodu průměrnou hodnotu určenou dálkoměrem za skutečnou hodnotu měřené délky. Určete průměrnou délku kroku.

Tabulka 3.1

i

krokování

xi [počet kroků]

pásmo

yi [m]

dálkoměr

zi [m] i

krokování

xi [počet kroků]

pásmo

yi [m]

dálkoměr

zi [m]

1 126 125,65 125,640 6 128 125,66 125,647

2 133 125,63 125,647 7 133 125,67 125,646

3 144 125,64 125,641 8 124 125,66 125,657

4 117 125,67 125,653 9 139 125,64 125,652

5 127 125,60 125,650 10 130 125,69 125,647

- 17 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

3.2 Rozdělení chyb a jejich struktura

Jednou z hypotéz o vzniku měřických chyb je představa, že chyba měření vzniká jako algebraický součet tzv. elementárních chyb δ . Obecně je měření složitý proces s mnoha dílčími činnostmi a vlivy, z nichž každý může být zdro-jem jiné chyby. Elementární chyby mají v každém okamžiku různou velikost i znaménko a výsledná chyba je součtem velkého množství těchto elementárních chyb.

∑= δε i . (3.6)

Při měření úhlů teodolitem lze za elementární chyby považovat chyby v zacílení, chyby v koincidenci, chyby dělení stupnic, chyby z dalších kon-strukčních nedokonalostí přístroje, z kroucení stativu v průběhu měření, z vlivu refrakce atd.

Takto definované elementární chyby lze dále dělit např. na chyby v zacílení na levý směr a na pravý směr atd. Z příčin uvedených ve stati 2.2 nelze obecně podchytit všechny elementární chyby.

Úkol 3.2

Pokuste se vyjmenovat hlavní elementární chyby vznikající při měření délek pásmem.

Proměnlivost velikosti i znaménka jednotlivých elementárních chyb způsobuje, že se z velké části vzájemně eliminují. Velikost každé elementární chyby je omezená, tzn. že nepřekročí určité limitní hodnoty. Pokud při měření nedošlo k nějakému omylu, chyby jednotlivých měření prakticky nepřekročí v absolutní hodnotě limitní hodnotu danou součtem limitních absolutních hodnot jednotli-vých elementárních chyb. Z čistě teoretického hlediska může být elementárních chyb nekonečně mnoho a limitní hodnota chyby měření by proto mohla být nekonečně velká. Naše zkušenosti však tomu nenasvědčují. Naopak, vyskytne-li se v nějakém měření „velká chyba“, předpokládáme že došlo při měření k nějakému omylu.

Na měření působí nejen uvedené vlivy náhodné ale i vlivy systematické. Proto dělíme chyby principiálně na náhodné chyby a systematické chyby . Uvedené typy doplňme o chyby, které se při měření rovněž vyskytují. Jsou to hrubé chyby a omyly. Schéma rozdělení jednotlivých měřických chyb podle jejich typu je na obr. 3.1.

Základním kritériem pro rozhodnutí, zda je měření zatíženo hrubou chybou nebo omylem, je překročení objektivně stanovené meze, která je definována tzv. mezní chybou εmez .

Platí-li pro i-té měření

mezi εε > , (3.7)

pak takové měření z dalšího procesu vylučujeme a obvykle nahrazujeme měře-ním novým. Stanovení mezních chyb je poměrně komplikovaná záležitost a bude jí věnována pozornost později.

- 18 (26) -

Charakteristiky přesnosti měření

Náhodné chyby Δ i

Menší než objektivně stanovená mezní chyba

| εi | < εmez

Systematické chyby ci

Měřické chyby

εi

Hrubé chyby

Větší než objektivně stanovená mezní chyba

| εi | > εmez

Omyly

Obrázek 2.2 Typy měřických chyb

3.2.1 Omyly a hrubé chyby

Omyl vznikne nejčastěji lidskou nepozorností nebo při selhání nějaké funkce měřícího přístroje. Pozná se obvykle tak, že výsledky zatížené omylem se ná-padně liší od předpokládané hodnoty nebo hodnot získaných při opakovaných měřeních.

Hrubá chyba je chyba která sice překročí mezní chybu, ale její příčinou nebyl omyl. Za zatížené hrubou chybou považujeme ta měření, ve kterých se soustře-dily elementární chyby převážně se stejným znaménkem, takže ve svém souč-tu jejich velikost překročila mezní chybu. Velikost mezní chyby bývá stanove-na obvykle tak, že ji překročí 1% až 5 % ze všech „správných“ měření. Dalšími příčinami vzniku hrubých chyb bývají: nedodržený postup měření, nedokonale seřízený přístroj, nepříznivé podmínky při měření apod.. V uspořádaném sou-boru opakovaných měření zaujímají měření zatížená hrubou chybou nebo omy-lem nápadně krajní pozice a říkáme jim proto odlehlé hodnoty.

Proti omylům a hrubým chybám se zabezpečujeme opakovanými a kontrolními měřeními. Příkladem kontrolního měření je změření nadbytečného třetího úhlu v trojúhelníku, oboustranné připojení a orientace polygonového pořadu apod.

V geodézii platí známé pravidlo:

Jedno měření – žádné měření

Odlehlé hodnoty z dalšího procesu vylučujeme a vyloučené měření obvykle nahrazujeme měřením novým.

Příklady typických omylů způsobených měřičem či jeho pomocníky jsou: za-cílení na jiný bod, opomenutí nebo zanedbání nějakého úkonu (koincidence, urovnání libely), záměny bodů, čísel, znamének, chybná čtení, chybný zápis a mnoho dalších. Rovněž přístroje a měřící systémy mohou vykazovat bě-hem měření nějaké poruchy či vady, které zatíží výsledky mylnými údaji.

- 19 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

Hrubé chyby mohou být také způsobeny např. silným větrem, ozářením pří-stroje sluncem, vibracemi přístroje, chvěním vzduchu, nedostatečným osvět-lením stupnic, neseřízenými nebo neurovnanými libelami na přístrojích a latích, neseřízeným centrovacím zařízením, menší pečlivostí, spěchem nebo přílišným otálením při měření, únavou měřiče a obdobnými příčinami. I když budeme měřit velmi pečlivě, kvalitním přístrojem a za ideálních pod-mínek, určité procento výsledků bude zatíženo hrubými chybami.

3.2.2 Systematické chyby

Systematické chyby – jsou chyby, které systematicky ovlivňují výsledky měře-ní. Příčinou jsou různé faktory (známé i neznámé), na kterých jsou výsledky závislé. Někdy lze formulovat zákon (pravidlo), kterým se systematické chyby řídí, či definovat funkci vlivu faktoru na výsledek měření. V mnoha případech tyto faktory ani funkce jejich působení neznáme.

Systematické chyby rozdělujeme na:

konstantní (stálé), které se vyznačují stejným znaménkem a přibližně stejnou velikostí,

jednostranné, které mají stejné znaménko ale proměnlivou velikost,

proměnlivé, jejichž znaménka jsou různá a velikosti proměnlivé.

V literatuře se můžeme setkat s dalšími kategoriemi systematických chyb. Např. skupinové chyby působí ve skupině měření jako konstantní a jejich veli-kost se liší skupinu od skupiny. Periodické chyby se opakují v rámci určité pe-riody. Osobní chyby příslušející určitému měřiči. Jako chyby teorie se nazývají chyby vzniklé při zjednodušení matematických vztahů (rozvoje v řady, některá numerická řešení apod.).

Příklady jevů které způsobují konstantní systematické chyby: nesprávná dél-ka měřidla, posunutý počátek stupnice latě, chybná konstanta odrazného hranolu, indexová chyba svislého kruhu teodolitu aj.

Příklady jevů které způsobují jednostranné systematické chyby: vybočení pásma ze směru, nevodorovnost pásma, nesvislost měřické latě, chybná ná-sobná konstanta dálkoměru aj..

Příklady jevů které způsobují proměnlivé systematické chyby: nepravidelné dělení stupnic, refrakce, proměnlivá teplota měřidla, slapové jevy aj..

Systematické chyby se v procesu měření snažíme eliminovat, nebo snížit jejich vliv na únosnou míru. Z časového hlediska existují tři způsoby eliminace:

před měřením: správnou funkci přístroje a příslušných pomůcek zabez-pečujeme pomocí jejich rektifikace, komparace apod. (tzv. konstrukční eliminace). Do této skupiny patří i zaškolení a výcvik měřické skupiny nebo kontrolní měření.

při měření (tzv. technologická eliminace): jedná se o: použití vhodného postupu měření (např. měření ve dvou polohách dalekohledu), volbu vhodné doby a příznivých podmínek pro měření - při opakovaných mě-řeních se podle potřeby střídají doby i podmínky, registraci všech poža-dovaných prvků pro následné zavádění korekcí či oprav apod..

- 20 (26) -

Charakteristiky přesnosti měření

po měření (tzv. matematická eliminace): zavádění oprav a korekcí, ana-lýza naměřených dat, zpracování nadbytečných měření aj.

Každý přístroj a každá metoda má své specifické zdroje systematických chyb. Zbytkové systematické chyby které se nepodařilo dostatečně eliminovat z procesu měření a zpracování jsou pro většinu metod limitujícím faktorem zvyšování jejich přesnosti.

3.2.3 Náhodné chyby

Náhodné chyby zatěžují výsledky měření náhodně, neboť jejich velikost a znaménko závisí na náhodě. Velikost i znaménko jsou dány náhodnou kombi-nací většího počtu elementárních chyb. V jednotlivých případech se neřídí žád-ným zákonem, proto je nelze předvídat ani určit a nelze je proto z měření vy-loučit. Teprve v souboru chyb se chovají podle zákonů pravděpodobnosti. Tyto zákony nám poskytují o projevech, charakteru a účinku náhodných chyb in-formace, které se využívají ve zpracovatelském procesu. Jednotlivé náhodné chyby považujeme za vzájemně nezávislé.

Typické náhodné chyby vznikají při cílení, urovnání libely, při koincidenci stupnic, odhadu části nejmenšího dílku čtení, při centraci, provážení, přiřa-zení apod. Rovněž i chyby v poloze jednotlivých dílků stupnic mohou mít ná-hodný charakter.

Vlastnosti náhodných chyb:

náhodné chyby oscilují kolem nulové střední hodnoty,

pravděpodobnost výskytu kladné i záporné chyby určité velikosti je stejná,

pravděpodobnost výskytu náhodné chyby je funkcí její velikosti, při-čemž malé chyby jsou četnější než chyby velké,

pravděpodobnost, že absolutní hodnota chyby překročí určitou limitní hodnotu je prakticky nulová.

Teoreticky mají náhodné chyby normální rozdělení pravděpodobnosti s nulovou střední hodnotou E(ε) = 0 a rozptylem. σ2. Symbolicky to zapí-šeme ε ~ N( 0 ; σ2). Funkce hustoty pravděpodobnosti bude v tomto přípa-dě

22 2/

21)( σε

πσε −= ef . (3.8)

Úkol 3.2

Vypočítejte jednotlivé hodnoty a vykreslete graf funkce (2.8) pro parametr σ = 1 a proměnlivou veličinu ε v intervalu (-5,0 ; +5,0) s krokem 0,1. Do stejného grafu vykreslete tutéž funkci s parametrem σ = 1,5. Úkol vypracujte v Excelu nebo v obdobném programu.

Výsledný graf je na obrázku 3.2

- 21 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5ε

f(ε)

σ = 1 σ = 1,5

Obrázek 3.2 Grafy funkce f(ε) pro dva různé parametry σ

3.2.4 Úplné chyby

Označíme-li pro skutečnou chybu ε její náhodnou složku jako Δ a systema-tickou složku jako c , můžeme psát:

εi = Δi + ci (3.9)

Protože je nemožné jednoznačně oddělit náhodné a systematické působení jed-notlivých elementárních chyb, je teoreticky nemožné jednoznačně oddělit ná-hodnou a systematickou složku skutečné chyby. Při praktických experimentech se systematická složka obvykle popisuje nějakým matematickým modelem.

Působí-li při měření pouze náhodné vlivy bude pro jednotlivé elementární chy-by platit E(δi) = 0 a s uvážením vztahu (3.4) bude

0)( =εE , (3.10)

respektive

0lim =∑∞→ nn

ε, μ==

∞→∞→

∑ xn

xnnlimlim . (3.11)

Symbolem E(.) bude označována střední hodnota.

Působí-li při měření systematické chyby bude

)()( cEE =ε . (3.12)

Chyby úplné se též nazývají celkové chyby nebo totální chyby.

Kontrolní otázka 3.1:

Které měření z úkolu 3.1 je přesnější? a) Měření x5 nebo x10 ?, b) y1 nebo z8 ? c) kolikrát je měření dálkoměrem přesnější než měření pásmem ? Od-povědi na tyto otázky budou objasněny v následující kapitole.

- 22 (26) -

Závěr

4 Charakteristiky přesnosti měření

Cílem této kapitoly je definovat pojmy, které vyjadřují přesnost měření jednou hodnotou (střední chybou, směrodatnou odchylkou). Podrobněji bude využito normální rozdělení pravděpodobnosti. Student se naučí počítat pravděpodobnosti výskytu chyb na určitém intervalu (konfidenčním intervalu). Tato kapitola velmi úzce navazuje na předmět Pravděpodobnost a matematická statistika.

Průměrný čas k nastudování této kapitoly je odhadnut na 12 hodin

Přesnost měření. Základní a výběrový soubor. Základní a výběrové střední chyby. Váhy měření. Váhové koeficienty. Kovarianční matice. Vnitřní a vnější přesnost měření.

Jednotlivé chyby nemohou dostatečně spolehlivě vyjádřit přesnost měření, ne-boť mají převážně náhodný charakter. Za přesnější proto nebudeme považovat jednotlivý výsledek měření, který má menší skutečnou chybu (opravu) než výsledek jiný, ale taková měření, která vykazují menší rozptyl kolem skutečné hodnoty (pravé hodnoty) v celém souboru. Veličiny, které charakterizují veli-kost tohoto rozptylu nazýváme charakteristiky (míry) přesnosti. V této kapitole se proto budeme zabývat soubory měření.

Každé metodě měření přísluší jiný počet a jiné střední velikosti elementárních chyb. Takto je dán pro každou metodu a průměrné podmínky základní soubor možných výsledků měření a tudíž i skutečných chyb s určitými parametry roz-dělení. Praktická měření jsou však omezena svým rozsahem (opakovaných měření je vždy omezený počet). Souboru výsledků měření s konečným počtem hodnot pak říkáme výběrový soubor.

Při opakovaném měření téhož znaku na nějakém objektu provedených stejnou metodou měření a za „stejných“ podmínek měření, lze předpokládat, že jednot-livé výsledky měření jsou náhodné veličiny se stejným rozdělením pravděpo-dobnosti. Pokud jsou jednotlivá měření dále vzájemně nezávislá a jejich počet je n, říkáme jim náhodný výběr o rozsahu n . Výběrový soubor je vlastně jed-nou konkrétní realizací náhodného výběru.

4.1 Charakteristiky polohy a proměnlivosti

Předpokládejme, že náhodná veličina je popsána příslušným zákonem rozdělení (rozložení) pravděpodobnosti (pravděpodobnostní funkcí pro diskrétní veličiny nebo funkcí hustoty pravděpodobnosti pro spojité veličiny). Dalším možným vyjádřením náhodné veličiny je distribuční funkce. Všechny uvedené pojmy byly vysvětleny v předmětu Pravděpodobnost a matematická statistika a stu-dent je najde např. v [7]. V geodetických aplikacích pracujeme většinou s naměřenými hodnotami, které mají sice obecně spojitý charakter, ale jsou vyjádřeny číselnými hodnotami v diskrétních bodech daných citlivostí přístroje (obvykle nejmenším dílkem stupnice přístroje). Ve většině aplikací předpoklá-dáme, že měřené veličiny mají normální rozdělení pravděpodobností.

- 23 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

Předpokládejme nyní, že existuje náhodná veličinu X , kterou definuje konkrét-ní metoda měření aplikovaná na konkrétní znak objektu. Předpokládejme, že tento znak má pravou hodnotu, kterou označíme μ . Tuto hodnotu obvykle neznáme a pokoušíme se ji danou metodou měření zjistit.

4.1.1 Střední hodnota

Střední hodnotu označujeme znakem E(.) a vypočítá se pro spojité náhodné veličiny vztahem (4.1) a pro diskrétní náhodné veličiny vztahem (4.2)

dxxxfXE ∫Ω

= )()( , (4.1)

∑Ω∈

=x

xxpXE )()( , (4.2)

kde Ω je základní prostor, f(x) distribuční funkce a p(x) pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny.

Praktická realizace vzorců pro výpočet střední hodnoty vyžaduje znalost rozdě-lení pravděpodobnosti. V případě konkrétní metody měření můžeme pouze předpokládat určitý teoretický typ rozdělení pravděpodobností anebo rozsáh-lými experimenty tento typ empiricky určíme. Takovému rozsáhlému souboru měření říkáme základní soubor.

Při opakovaných měřeních dostáváme náhodný výběr (X1 , X2 ,..., Xn) - náhod-ný vektor o rozsahu n , jehož každý prvek je náhodnou veličinou se stejným rozdělením pravděpodobnosti.

Nestranným odhadem střední hodnoty bude

4.1.2 Základní a výběrová střední chyba

Nejvhodnější mírou koncentrace náhodné veličiny X je střední kvadratická odchylka od střední hodnoty.

- 24 (26) -

Závěr

5 Závěr

5.1 Shrnutí

Tento studijní text je prvním modulem zajišťujícím předmět Teorie chyb a vyrovnávací počet I. Studijní text Měřické chyby seznamuje studenta se zá-klady úlohou vyrovnávacího počtu a sice vyrovnáním zprostředkujících mě-ření. Tomuto druhu vyrovnání je věnována až čtvrtá kapitola. Předcházející třetí kapitola, zabývající se vyrovnáním přímých měření, je vlastně jednodu-chým případem (variantami) vyrovnání zprostředkujících měření. Má pomoci studentovi postupně proniknout do odborné terminologie, takže vlastní pocho-pení textu by již nemuselo být tak obtížné. Obě druhy vyrovnání vycházejí z metody nejmenších čtverců oprav, která je stručně uvedena v 2. kapitole. Doporučuji, aby se student po prostudování 4. kapitoly vrátil k předcházejícím dvěma kapitolám a pokusil se pochopit a interpretovat předložený text a pří-klady z pohledu znalostí vyrovnání zprostředkujících měření. Na tento modul by měl navazovat modul Základní druhy vyrovnání – 2. část, který zpracovává vyrovnání podmínkových měření, které patří s oběma předcházejícími do skupiny základních druhů vyrovnání. Obsahově je však již zařazen do předmě-tu Teorie chyb a vyrovnávací počet II.

Studium teorie vyrovnání není možné bez praktických příkladů. Bohužel úspornost této formy výkladu neumožňuje uvést více konkrétních příkladů a variant řešení. Zde musím bohužel studenta odkázat na některé sbírky příkladů a studijní texty. Rozsah textu rovněž neumožňuje věnovat se některým speci-fickým otázkám podrobněji. Řada méně významnějších informací musela být z textu vypuštěna. Čtenáře proto odkazuji na některé učebnice a odborné texty.

5.2 Studijní prameny

5.2.1 Seznam použité literatury

[1] Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet 10 skripta Vydavatelství ČVUT , Praha 1997, 159 stran,

[2] Chmelík, M.:Vyrovnávací počet – Přehled vyrovnání metodou nejmen-ších čtverců, skripta Vojenská akademie, Brno 1996, 14 stran.

[3] Vykutil, J.: Teorie chyb a vyrovnávací počet, skripta ES VUT, Brno 1988, 309 stran.

[4] Wolf, P.R. Ghilani, - Ch.D.:Adjustment Computations – Statistics and Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley & Sohn, Inc. , 1997, 564 pp.

- 25 (26) -

TCHVP – Měřické chyby

5.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury

[5] Hampacher, M.- Radouch V.: Teorie chyb a vyrovnávací počet (příkla-dy a návody ke cvičením), skripta Vydavatelství ČVUT , Praha 1995, 164 stran

[6] Koch, K. R.: Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models. Springer 1999, 333 pp.

[7] Koutková, H. – Moll,I.:Úvod do pravděpodobnosti a matematické sta-tistiky, skripta CERM, Brno 2000, 192 stran.

[8] Koutková, H. – Dlouhý, O.: Sbírka příkladů z pravděpodobnosti a ma-tematické statistiky, skripta CERM, Brno 2001, 58 stran.

[9] Kubáček, L. – Kubáčková, L.: Statistika a metrologie, Universita Pa-lackého v Olomouci 2000, 307 stran.

[10] Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung, Formeln zur praktishen Anwendung, Dűmmler Bonn, 1975

[11] Wolf, H.: Ausgleichungsrechnung II, Aufgaben und Beispiele zur prak-tishen Anwendung, Dűmmler Bonn, 1979

5.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny

[12] Weigel, J.: Teorie chyb a vyrovnávací počet I – Základní druhy vyrov-nání (1. část) el. adresa:...........................................…... 59 stran

a) Součet vnějších úhlů uzavřené mnohoúhelníka o vrcholech se rovná (n+2)180o.

Z lovací chyba může mít charakter pravé chyby (hodnoty), po-a zaokrouhlovaná veličina. Ve většině případů má

rouhlovací chyba charakter skutečné chyby (zaokrouhlovaná veličina je

ravé (skutečné) hodnoty můžeme považovat i různé „konstanty“

ice tri-e

5.4 Klíč

3.1

n

b) aokrouhkud je pravou hodnotou samzaokurčená s výrazně vyšší přesností než je požadavek na zaokrouhlení).

c) Za pjako je např. číslo π , které známe prakticky s libovolnou přesností aj. Většina matematicky definovaných podmínek vyžaduje splnění jakési pravé hodnoty (definované podmínky). Praxe velmi často považuje také výsledky předcháze-jících měření za jakési „pravé hodnoty“. Například katalogové souřadngonom trických bodů, výšky nivelačních bodů a jiné (tj. souřadnice bodů v dokumentaci), považujeme při výpočtech za „absolutně přesné“ a přesnost našich měření k těmto souřadnicím vztahujeme. Některé veličiny jsou prohlá-šeny za „pravé“ ze zákona. V katastru nemovitostí je závazným údajem např. výměra. Je velmi důležité si uvědomit, že měřením nemůžeme pravou hodnotu získat.

- 26 (26) -