© Annales des Mines La normalisation de l’informatique en ...
JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO 1 GRUPO DE … DE... · En Montpellier, en los años 1820 conoce...
33
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS MÉTODO DE SARRUS GENERALIZADO JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO 1 GRUPO DE INVESTIGACIÓN PIRÁMIDE LÍNEA MEDIOS EDUCATIVOS EN MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA 1. INTRODUCCIÓN. Desde hace unos años existe la curiosidad de saber por qué en todo texto de Algebra Lineal se encuentra “método de Sarrus válido únicamente para orden tres (3)”, de manera natural surge la pregunta: cómo es el método de Sarrus para orden cuatro (4), para orden cinco (5), y para cualquier orden arbitrario. Así pues, se trabajó en esa dirección y se presenta el método de Sarrus para orden cuatro (4) con su demostración y algunos ejemplos, el cual sigue siendo práctico para la solución usual de determinantes; adicionalmente se presenta el método para orden cinco (5) con su demostración y ejemplo, destacando que ya no es práctico aplicarlo por su extensión pues habría que solucionar veinte (20) determinantes. Finalmente se muestra como se complementaría un determinante de orden n para la aplicación del método de Sarrus y se explica cómo sería su posible desarrollo. Se aclara que estos resultados no fueron encontrados en la Bibliografía consultada ni en páginas de internet. Es bueno resaltar, que para demostrar que el método es válido para los órdenes cuatro (4) y cinco (5), se realiza comparando los resultados del método de Sarrus con el desarrollo del teorema de Laplace. 2. BIOGRAFÍA DE PIERRE FRÉDERIC SARRUS Matemático Francés, nació el 10 de marzo de 1798 en Saint-Affrique, falleció el 20 de noviembre de 1861. En1815, Sarrus dudaba entre escoger Medicina o Matemáticas para continuar su carrera. El rechazo del alcalde de Saint-Affrique de otorgarle un certificado de buena vida dados sus orígenes protestantes le obligan a optar por la facultad de Ciencias. 1 Profesor Asociado, UPTC. Licenciado en Matemáticas. Especialista en Matemática Avanzada. Magister en Educación.
Transcript of JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO 1 GRUPO DE … DE... · En Montpellier, en los años 1820 conoce...
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
MÉTODO DE SARRUS GENERALIZADO
JOSÉ FRANCISCO LEGUIZAMÓN ROMERO1
GRUPO DE INVESTIGACIÓN PIRÁMIDE LÍNEA MEDIOS EDUCATIVOS EN MATEMÁTICAS
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA
1. INTRODUCCIÓN. Desde hace unos años existe la curiosidad de saber por qué en todo texto de Algebra Lineal se encuentra “método de Sarrus válido únicamente para orden tres
(3)”, de manera natural surge la pregunta: cómo es el método de Sarrus para orden cuatro (4), para orden cinco (5), y para cualquier orden arbitrario. Así pues, se trabajó en esa dirección y se presenta el método de Sarrus para orden cuatro (4) con su demostración y algunos ejemplos, el cual sigue siendo práctico para la solución usual de determinantes; adicionalmente se presenta el
método para orden cinco (5) con su demostración y ejemplo, destacando que ya no es práctico aplicarlo por su extensión pues habría que solucionar veinte (20) determinantes. Finalmente se muestra como se complementaría un determinante de orden n para la aplicación del método de Sarrus y se explica cómo sería su posible desarrollo. Se aclara que estos resultados no fueron encontrados en la Bibliografía consultada ni en páginas de internet. Es bueno resaltar, que para
demostrar que el método es válido para los órdenes cuatro (4) y cinco (5), se realiza comparando los resultados del método de Sarrus con el desarrollo del teorema de Laplace. 2. BIOGRAFÍA DE PIERRE FRÉDERIC SARRUS
Matemático Francés, nació el 10 de marzo de 1798 en Saint-Affrique, falleció el 20 de noviembre de 1861.
En1815, Sarrus dudaba entre escoger Medicina o Matemáticas para continuar su carrera. El rechazo del alcalde de Saint-Affrique de otorgarle un certificado de buena vida dados sus orígenes protestantes le obligan a optar por la facultad de Ciencias.
1 Profesor Asociado, UPTC. Licenciado en Matemáticas. Especialista en Matemática Avanzada. Magister en Educación.
En Montpellier, en los años 1820 conoce a Gergonne y publica varios artículos y memorias en los Annales de Gergonne, una de las primeras revistas matemáticas.
En 1829 es nombrado profesor de Matemáticas en la facultad de Ciencias de Estrasburgo de la cual es decano entre 1839 y 1852. Durante esta época publica la mayoría de sus trabajos en el Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville. Sin embargo tiene problemas de salud y se retira en 1858.
Sus trabajos tratan sobre los métodos de resolución de ecuaciones numéricas y sobre el cálculo de variaciones. En 1853 resuelve uno de los problemas más complicados de la mecánica de las piezas articuladas: la transformación de movimientos rectilíneos alternativos en movimientos circulares uniformes.
Pero su celebridad entre los estudiantes de Matemáticas se explica sobre todo por una regla de cálculo de determinantes de matrices de orden 3 que lleva su nombre: la regla de Sarrus. Fue introducida en el artículo Nouvelles méthodes pour la résolution des équations publicado en Estrasburgo en 1833.
3. DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO
A continuación se plantea el desarrollo de determinantes usando el teorema de Laplace (El determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o
columna, reduciendo el problema al cálculo de un determinante de orden n-1. Para
ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por su
adjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y
columna correspondiente a dicho elemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el
número de fila y j el número de columna). La suma de todos los productos es igual
al determinante) y el método de Sarrus, para mostrar que se obtienen los mismos resultados. 3.1 DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO USANDO EL TEOREMA DE
LAPLACE.
Una forma conocida de solucionar determinantes es usando el Teorema de Laplace.
Dado
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
donde cada ija es número real, con 41 ≤≤ i y 41 ≤≤ j ,
se tiene
=
444342
343332
242322
11
aaa
aaa
aaa
a -
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
a +
444241
343231
242221
13
aaa
aaa
aaa
a -
434241
333231
232221
14
aaa
aaa
aaa
a
Solucionando cada determinante por Sarrus
343332
242322
444342
343332
242322
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
= ( ) )( 243342344322442332342342244332443322 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++−++
= 243342344322442332342342244332443322 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
343331
242321
444341
343331
242321
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
= ( ) )( 243341344321442331342341244331443321 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++−++
= 243341344321442331342341244331443321 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
333231
232221
434241
333231
232221
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
= ( ) )( 233241334221432231332241234231433221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++−++
= 233241334221432231332241234231433221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
333231
232221
434241
333231
232221
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
= ( ) )( 233241334221432231332241234231433221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++−++
= 233241334221432231332241234231433221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
En conclusión se tiene:
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
= ( )24334234432244233234234224433244332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
- ( )24334134432144233134234124433144332112 aaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
+ ( )23324133422143223133224123423143322113 aaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
- ( )23324133422143223133224123423143322114 aaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
finalmente
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
= ( )243342113443221144233211342342112443321144332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
- ( )243341123443211244233112342341122443311244332112 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
+ ( )233241133342211343223113332241132342311343322113 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
- ( )233241143342211443223114332241142342311443322114 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
3.2 DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO POR EL MÉTODO DE SARRUS. La propuesta de desarrollo se logra obteniendo cuatro (4) determinantes ampliados con la segunda, tercera y primera filas respectivamente. En el primer
determinante se deja el orden inicial, en el segundo cambia la primera columna por la segunda, en el tercer determinante la tercera columna pasa de primera y las demás se corren y en el cuarto determinante se pasa la cuarta columna de primera y las demás se corren, los signos de los determinantes van alternos, así:
Sea 14( 1)1
ii
i
+∆= − ∆∑=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
=
14131211
34333231
24232221
4434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
-
14131112
34333132
24232122
4434142
34333132
24232122
14131112
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
+
14121113
34323133
24222123
4424143
34323133
24222123
14121113
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
-
14121114
34323134
24222124
44424144
34323134
24222124
14121114
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Todos los determinantes ampliados se solucionan de la misma manera, la diagonal 1, más la semidiagonal 2, más la semidiagonal 3, menos la suma de la transversal 1, la semitransversal 2 y la semitransversal 3. (Obsérvese el rayado de
los determinantes).
Para 1
∆ :
Diagonal 1 44332211 aaaa Semidiagonal 2 24433211 aaaa Semidiagonal 3 34234211 aaaa
Transver 1 44233211 aaaa Semitransver 2 34432211 aaaa Semitransver 3 24334211 aaaa
entonces:
1∆ = 243342113443221144233211342342112443321144332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
Para el segundo determinante ampliado 2
∆ :
Diagonal 1 44332112 aaaa Semidiagonal 2 24433112 aaaa Semidiagonal 3 34234112 aaaa
Transver 1 44233112 aaaa Semitransver 2 34432112 aaaa Semitransver 3 24334112 aaaa
luego:
2∆ = 243341123443211244233112342341122443311244332112 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
Para 3
∆ :
Diagonal 1 43322113 aaaa Semidiagonal 2 23423113 aaaa Semidiagonal 3 33224113 aaaa
Transver 1 43223113 aaaa Semitransver 2 33422113 aaaa Semitransver 3 23324113 aaaa
Así:
3∆ = 233241133342211343223113332241132342311343322113 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
Para el cuarto determinante ampliado 4
∆ :
Diagonal 1 43322114 aaaa Semidiagonal 2 23423113 aaaa Semidiagonal 3 33224113 aaaa
Transver 1 43223114 aaaa Semitransver 2 33422114 aaaa Semitransver 3 23324114 aaaa
Luego:
4∆ = 233241143342211443223114332241142342311443322114 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
Así se concluye que:
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
= ( )243342113443221144233211342342112443321144332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
- ( )243341123443211244233112342341122443311244332112 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
+ ( )233241133342211343223113332241132342311343322113 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
- ( )233241143342211443223114332241142342311443322114 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa −−−++
Se demostró que para orden cuatro (4) es válido el desarrollo por el método de Sarrus ya que la respuesta es la misma que la obtenida por la aplicación del Teorema de Laplace. 3.3 CASOS PARTICULARES DE DETERMINANTES DE ORDEN CUATRO DESARROLLADOS POR EL MÉTODO DE SARRUS. Ejemplo 1:
Calcule el valor del determinante
1312
1241
3021
4312
−
−
−
=
4312
1241
3021
1312
1241
3021
4312
−
−
−
−
−
-
4321
1214
3012
1321
1214
3012
4321
−
−
−
−−
−
+
4123
1412
3210
1123
1412
3210
4123
−
−
−
−−
−
-
3124
2411
0213
3121
2411
0213
3124
−
−
−
−−
−
Así:
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } { } { } { } { }
84112302280
)32(806333)15(7080082432048
7236129121230092121200728
−=−−−
=−−−−+−−−−=+−−−++−
+−−−+++−−−++−−−+−++
Luego
1312
1241
3021
4312
−
−
−
= - 84
Ejemplo 2:
Calcule el valor del determinante
1 2 3 4
4 3 2 2
1 2 3 1
3 2 1 1
− − −
−
=
1 2 3 4
4 3 2 2
1 2 3 1
3 2 1 1
4 3 2 2
1 2 3 1
1 2 3 4
− − −
−
− − −
-
2 1 3 4
3 4 2 2
2 1 3 1
2 3 1 1
3 4 2 2
2 1 3 1
2 1 3 4
− − −
−
− − −
+
3 1 2 4
2 4 3 2
3 1 2 1
1 3 2 1
2 4 3 2
3 1 2 1
3 1 2 4
− − −
−
− − −
-
4 1 2 3
2 4 3 2
1 1 2 3
1 3 2 1
2 4 3 2
1 1 2 3
4 1 2 3
− − −
−
− − −
Así:
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } { } { } { } { }
9 4 4 4 3 12 24 4 12 4 8 36 24 12 27 9 24 36
32 16 108 12 96 48 9 ( 19) 8 (24) 39 ( 21) 92 ( 156)
28 16 18 248 222
− + − − − − − − − − − − + + − + − − − + −
− − + + − − − − = − − − − + − − − − − − =
+ − − = −
entonces
1 2 3 4
4 3 2 2
1 2 3 1
3 2 1 1
− − −
−
= - 222
4. DETERMINANTES DE ORDEN CINCO
Se seguirá el mismo proceso que se utilizó para el desarrollo de determinantes de orden cuatro (4), es decir, se plantea el desarrollo de determinantes de orden cinco (5), usando el Teorema de Laplace y el método de Sarrus, para mostrar que se obtienen los mismos resultados.
4.1 DETERMINANTES DE ORDEN CINCO USANDO EL TEOREMA DE LAPLACE.
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
donde cada ija es número real, con 1 5i≤ ≤ y 1 5j≤ ≤ ,
se tiene
22 23 24 25
32 33 34 35
11
42 43 44 45
52 53 54 55
a a a a
a a a aaa a a a
a a a a
-
21 23 24 25
31 33 34 35
12
41 43 44 45
51 53 54 55
a a a a
a a a aaa a a a
a a a a
+
21 22 24 25
31 32 34 35
13
41 42 44 45
51 52 54 55
a a a a
a a a aaa a a a
a a a a
-
21 22 23 25
31 32 33 35
14
41 42 43 45
51 52 53 55
a a a a
a a a aaa a a a
a a a a
+
21 22 23 24
31 32 33 34
15
41 42 43 44
51 52 53 54
a a a a
a a a aaa a a a
a a a a
Desarrollando cada determinante por el método de Sarrus:
• Para el primer determinante:
22 23 24 25
32 33 34 35
42 43 44 45
52 53 54 55
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
22 23 24 25
32 33 34 35
42 43 44 45
52 53 54 55
32 33 34 35
42 43 44 45
22 23 24 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
23 22 24 25
33 32 34 35
43 42 44 45
53 52 54 55
33 32 34 35
43 42 44 45
23 22 24 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
+
24 22 23 25
34 32 33 35
44 42 43 45
54 52 53 55
34 32 33 35
44 42 43 45
24 22 23 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
25 22 23 24
35 32 33 34
45 42 43 44
55 52 53 54
35 32 33 34
45 42 43 44
25 22 23 24
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
= 22 33 44 55 22 43 54 35 22 53 34 45 22 43 34 55 22 33 54 45 22 53 44 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 23 32 44 55 23 42 54 35 23 52 34 45 23 42 34 55 23 32 54 45 23 52 44 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
+ 24 32 43 55 24 42 53 35 24 52 33 45 24 42 33 55 24 32 53 45 24 52 43 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 25 32 43 54 25 42 53 34 25 52 33 44 25 42 33 54 25 32 53 44 25 52 43 34( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
• Para el segundo determinante:
21 23 24 25
31 33 34 35
41 43 44 45
51 53 54 55
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
21 23 24 25
31 33 34 35
41 43 44 45
51 53 54 55
31 33 34 35
41 43 44 45
21 23 24 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
23 21 24 25
33 31 34 35
43 41 44 45
53 51 54 55
33 31 34 35
43 41 44 45
23 21 24 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
+
24 21 23 25
34 31 33 35
44 41 43 45
54 51 53 55
34 31 33 35
44 41 43 45
24 21 23 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
25 21 23 24
35 31 33 34
45 41 43 44
55 51 53 54
35 31 33 34
45 41 43 44
25 21 23 24
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
= 21 33 44 55 21 43 54 35 21 53 34 45 21 43 34 55 21 33 54 45 21 53 44 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 23 31 44 55 23 41 54 35 23 51 34 45 23 41 34 55 23 31 54 45 23 51 44 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
+ 24 31 43 55 24 41 53 35 24 51 33 45 24 41 33 55 24 31 53 45 24 51 43 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 25 31 43 54 25 41 53 34 25 51 33 44 25 41 33 54 25 31 53 44 25 51 43 34( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
• Para el tercer determinante:
21 22 24 25
31 32 34 35
41 42 44 45
51 52 54 55
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
21 22 24 25
31 32 34 35
41 42 44 45
51 52 54 55
31 32 34 35
41 42 44 45
21 22 24 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
22 21 24 25
32 31 34 35
42 41 44 45
52 51 54 55
32 31 34 35
42 41 44 45
22 21 24 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
+
24 21 22 25
34 31 32 35
44 41 42 45
54 51 52 55
34 31 32 35
44 41 42 45
24 21 22 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
25 21 22 24
35 31 32 34
45 41 42 44
55 51 52 54
35 31 32 34
45 41 42 44
25 21 22 24
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
= 21 32 44 55 21 42 54 35 21 52 34 45 21 42 34 55 21 32 54 45 21 52 44 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 22 31 44 55 22 41 54 35 22 51 34 45 22 41 34 55 22 31 54 45 22 51 44 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
+ 24 31 42 55 24 41 52 35 24 51 32 45 24 41 32 55 24 31 52 45 24 51 42 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 25 31 42 54 25 41 52 34 25 51 32 44 25 41 32 54 25 31 52 44 25 51 42 34( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
• Para el cuarto determinante:
21 22 23 25
31 32 33 35
41 42 43 45
51 52 53 55
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
21 22 23 25
31 32 33 35
41 42 43 45
51 52 53 55
31 32 33 35
41 42 43 45
21 22 23 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
22 21 23 25
32 31 33 35
42 41 43 45
52 51 53 55
32 31 33 35
42 41 43 45
22 21 23 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
+
23 21 22 25
33 31 32 35
43 41 42 45
53 51 52 55
33 31 32 35
43 41 42 45
23 21 22 25
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
25 21 22 23
35 31 32 33
45 41 42 43
55 51 52 53
35 31 32 33
45 41 42 43
25 21 22 23
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
= 21 32 43 55 21 42 53 35 21 52 33 45 21 42 33 55 21 32 53 45 21 52 43 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 22 31 43 55 22 41 53 35 22 51 33 45 22 41 33 55 22 31 53 45 22 51 43 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
+ 23 31 42 55 23 41 52 35 23 51 32 45 23 41 32 55 23 31 52 45 23 51 42 35( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 25 31 42 53 25 41 52 33 25 51 32 43 25 41 32 53 25 31 52 43 25 51 42 33( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
• Para el quinto determinante:
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
51 52 53 54
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
=
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
51 52 53 54
31 32 33 34
41 42 43 44
21 22 23 24
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
22 21 23 24
32 31 33 34
42 41 43 44
52 51 53 54
32 31 33 34
42 41 43 44
22 21 23 24
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
+
23 21 22 24
33 31 32 34
43 41 42 44
53 51 52 54
33 31 32 34
43 41 42 44
23 21 22 24
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
-
24 21 22 23
34 31 32 33
44 41 42 43
54 51 52 53
34 31 32 33
44 41 42 43
24 21 22 23
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
= 21 32 43 54 21 42 53 34 21 52 33 44 21 42 33 54 21 32 53 44 21 52 43 34( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 22 31 43 54 22 41 53 34 22 51 33 44 22 41 33 54 22 31 53 44 22 51 43 34( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
+ 23 31 42 54 23 41 52 34 23 51 32 44 23 41 32 54 23 31 52 44 23 51 42 34( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
- 24 31 42 53 24 41 52 33 24 51 32 43 24 41 32 53 24 31 52 43 24 51 42 33( )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + − − −
En conclusión se tiene:
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
=
22 33 44 55 22 43 54 35 22 53 34 45 22 43 34 55 22 33 54 45 22 53 44 35
23 32 44 55 23 42 54 35 23 52 34 45 23 42 34 55 23 32 54 45 23 52 44 35
11
24 32 43 55 24 42 53 35 24 52 33
( )
( )
(
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa
a a a a a a a a a a a a
+ + − − −
− + + − − −
+ + +45 24 42 33 55 24 32 53 45 24 52 43 35
25 32 43 54 25 42 53 34 25 52 33 44 25 42 33 54 25 32 53 44 25 52 43 34
21 33 44 55 21 43 54 35 21 53 34 45 21 43 34 55 21 33
12
)
( )
(
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a
− − − − + + − − −
+ + − −
−
54 45 21 53 44 35
23 31 44 55 23 41 54 35 23 51 34 45 23 41 34 55 23 31 54 45 23 51 44 35
24 31 43 55 24 41 53 35 24 51 33 45 24 41 33 55 24 31 53 45 24 51 43 35
25 31 43 54 25 41
)
( )
( )
(
a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
−
− + + − − −
+ + + − − −
− + 53 34 25 51 33 44 25 41 33 54 25 31 53 44 25 51 43 34
21 32 44 55 21 42 54 35 21 52 34 45 21 42 34 55 21 32 54 45 21 52 44 35
22 31 44 55 22 41 54 35 22 51 34 45 22
13
)
( )
(
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a aa
+ − − −
+ + − − −
− + + −+
41 34 55 22 31 54 45 22 51 44 35
24 31 42 55 24 41 52 35 24 51 32 45 24 41 32 55 24 31 52 45 24 51 42 35
25 31 42 54 25 41 52 34 25 51 32 44 25 41 32 54 25 31 52 44 25 51 42 34
)
( )
( )
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
− −
+ + + − − −
− + + − − −
21 32 43 55 21 42 53 35 21 52 33 45 21 42 33 55 21 32 53 45 21 52 43 35
22 31 43 55 22 41 53 35 22 51 33 45 22 41 33 55 22 31 53 45 22 51 43 35
14
23 31 42 55 23 41 52 35
( )
( )
(
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa
a a a a a a a a
+ + − − −
− + + − − −−
+ + 23 51 32 45 23 41 32 55 23 31 52 45 23 51 42 35
25 31 42 53 25 41 52 33 25 51 32 43 25 41 32 53 25 31 52 43 25 51 42 33
21 32 43 54 21 42 53 34 21 52 33 44 21 42 33
15
)
( )
(
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a
+ − − − − + + − − −
+ + −
+
54 21 32 53 44 21 52 43 34
22 31 43 54 22 41 53 34 22 51 33 44 22 41 33 54 22 31 53 44 22 51 43 34
23 31 42 54 23 41 52 34 23 51 32 44 23 41 32 54 23 31 52 44 23 51 42 34
24 31 4
)
( )
( )
(
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
− −
− + + − − −
+ + + − − −
− 2 53 24 41 52 33 24 51 32 43 24 41 32 53 24 31 52 43 24 51 42 33)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ + − − −
Es decir el resultado final del determinante de orden 5 será:
11 22 33 44 55 11 22 43 54 35 11 22 53 34 45 11 22 43 34 55 11 22 33 54 45
11 22 53 44 35 11 23 32 44 55 11 23 42 54 35 11 23 52 34 45 11 23 42 34 55
11 23 32 54 45 11 23 52 44 35 11 24 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 2 43 55 11 24 42 53 35 11 24 52 33 45
11 24 42 33 55 11 24 32 53 45 11 24 52 43 35 11 25 32 43 54 11 25 42 53 34
11 25 52 33 44 11 25 42 33 54 11 25 32 53 44 11 25 52 43 34
12 21 33 44 5
.
(
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
− 5 12 21 43 54 35 12 21 53 34 45 12 21 43 34 55 12 21 33 54 45
12 21 53 44 35 12 23 31 44 55 12 23 41 54 35 12 23 51 34 45 12 23 41 34 55
12 23 31 54 45 12 23 51 44 35 12 24 31 43 55 12 24
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + + 41 53 35 12 24 51 33 45
12 24 41 33 55 12 24 31 53 45 12 24 51 43 35 12 25 31 43 54 12 25 41 53 34
12 25 51 33 44 12 25 41 33 54 12 25 31 53 44 12 25 51 43 34
13 21 32 44 55 13 21 42 54
).
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
+
− − − − −
− + + +
+ + 35 13 21 52 34 45 13 21 42 34 55 13 21 32 54 45
13 21 52 44 35 13 22 31 44 55 13 22 41 54 35 13 22 51 34 45 13 22 41 34 55
13 22 31 54 45 13 22 51 44 35 13 24 31 42 55 13 24 41 52 35 13
a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ − −
− − − − +
+ + + + + 24 51 32 45
13 24 41 32 55 13 24 31 52 45 13 24 51 42 35 13 25 31 42 54 13 25 41 52 34
13 25 51 32 44 13 25 41 32 54 13 25 31 52 44 13 25 51 42 34
14 21 32 43 55 14 21 42 53 35 14 21 52
.
(
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a
− − − − −
− + + +
− + + 33 45 14 21 42 33 55 14 21 32 53 45
14 21 52 43 35 14 22 31 43 55 14 22 41 53 35 14 22 51 33 45 14 22 41 33 55
14 22 31 53 45 14 22 51 43 35 14 23 31 42 55 14 23 41 52 35 14 23 51 32 45
1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a
− −
− − − − +
+ + + + +
− 4 23 41 32 55 14 23 31 52 45 14 23 51 42 35 14 25 31 42 53 14 25 41 52 33
14 25 51 32 43 14 25 41 32 53 14 25 31 52 43 14 25 51 42 33
15 21 32 43 54 15 21 42 53 34 15 21 52 33 44 15 21 4
).
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
− − − −
− + + +
+ + + − 2 33 54 15 21 32 53 44
15 21 52 43 34 15 22 31 43 54 15 22 41 53 34 15 22 51 33 44 15 22 41 33 54
15 22 31 53 44 15 22 51 43 34 15 23 31 42 54 15 23 41 52 34 15 23 51 32 44
15 23 41 32 54
a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
−
− − − − +
+ + + + +
− − 15 23 31 52 44 15 23 51 42 34 15 24 31 42 53 15 24 41 52 33
15 24 51 32 43 15 24 41 32 53 15 24 31 52 43 15 24 51 42 33.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
− − −
− + + +
4.2 DETERMINANTES DE ORDEN CINCO POR EL MÉTODO DE SARRUS. El desarrollo se realiza obteniendo cinco (5) determinantes ampliados con la tercera, cuarta, segunda y primera filas respectivamente. En el primer determinante se deja el orden inicial, en el segundo cambia la primera columna por la segunda, en el tercer determinante la tercera columna pasa de primera y las
demás se corren y en el cuarto determinante se pasa la cuarta columna de primera y las demás se corren, igual proceso para la quinta columna, los signos de
los determinantes van alternos:
15( 1)1
ii
i
+∆= − ∆∑=
, así
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
=
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
21 22 23 24 25
11 12 13 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
12 11 13 14 15
22 21 23 24 25
32 31 33 34 35
42 41 43 44 45
52 51 53 54 55
32 31 33 34 35
42 41 43 44 45
22 21 23 24 25
12 11 13 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
13 11 12 14 15
23 21 22 24 25
33 31 32 34 35
43 41 42 44 45
53 51 52 54 55
33 31 32 34 35
43 41 42 44 45
23 21 22 24 25
13 11 12 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
14 11 12 13 15
24 21 22 23 25
34 31 32 33 35
44 41 42 43 45
54 51 52 53 55
34 31 32 33 35
44 41 42 43 45
24 21 22 23 25
14 11 12 13 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
15 11 12 13 14
25 21 22 23 24
35 31 32 33 34
45 41 42 43 44
55 51 52 53 54
35 31 32 33 34
45 41 42 43 44
25 21 22 23 24
15 11 12 13 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
Todos los determinantes ampliados se solucionan de la misma forma. Su primera columna se deja fija y las demás columnas se rotan al mismo estilo de los determinantes de orden cuatro. Así:
• Para 1
∆ se tienen los cuatro determinantes:
4 1( 1)1 11
iii
+∆ = − ∆∑=
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
21 22 23 24 25
11 12 13 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
11 13 12 14 15
21 23 22 24 25
31 33 32 34 35
41 43 42 44 45
51 53 52 54 55
31 33 32 34 35
41 43 42 44 45
21 23 22 24 25
11 13 12 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
11 14 12 13 15
21 24 22 23 25
31 34 32 33 35
41 44 42 43 45
51 54 52 53 55
31 34 32 33 35
41 44 42 43 45
21 24 22 23 25
11 14 12 13 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
11 15 12 13 14
21 25 22 23 24
31 35 32 33 34
41 45 42 43 44
51 55 52 53 54
31 35 32 33 34
41 45 42 43 44
21 25 22 23 24
11 15 12 13 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
El desarrollo es similar para los de orden cuatro, la diagonal 1, más la
semidiagonal 2, más la semidiagonal 3, menos la suma de la transversal 1, la semitransversal 2 y la semitransversal 3. (Obsérvese el rayado de los determinantes).
Para 11
∆ :
Diagonal 1 11 22 33 44 55a a a a a Semidiagonal 2 11 22 43 54 35a a a a a Semidiagonal 3 11 22 53 34 45a a a a a
Transver 1 11 22 43 34 55a a a a a Semitransver 2 11 22 33 54 45a a a a a Semitransver 3 11 22 53 44 35a a a a a
así:
11∆ =
Ahora para 12
∆ :
Diagonal 1 11 23 32 44 55a a a a a Semidiagonal 2 11 23 42 54 35a a a a a Semidiagonal 3 11 23 52 34 45a a a a a
11 22 33 44 55 11 22 43 54 35 11 22 53 34 45 11 22 43 34 55 11 22 33 54 45
11 22 53 44 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
Transver 1 11 23 42 34 55a a a a a Semitransver 2 11 23 32 54 45a a a a a Semitransver 3 11 23 52 44 35a a a a a
Luego:
12∆ =
12∆ =
Para 13
∆ :
Diagonal 1 11 24 32 43 55a a a a a Semidiagonal 2 11 24 42 53 35a a a a a Semidiagonal 3 11 24 52 33 45a a a a a
Transver 1 11 24 42 33 55a a a a a Semitransver 2 11 24 32 53 45a a a a a Semitransver 3 11 24 52 43 35a a a a a
entonces:
13∆ =
Para 14
∆ :
Diagonal 1 11 25 32 43 54a a a a a Semidiagonal 2 11 25 42 53 34a a a a a Semidiagonal 3 11 25 52 33 44a a a a a
Transver 1 11 25 42 33 54a a a a a Semitransver 2 11 25 32 53 44a a a a a Semitransver 3 11 25 52 43 34a a a a a
así:
14∆ =
14∆ =
En conclusión el resultado del primer determinante ampliado es:
1∆ =
11 23 32 44 55 11 23 42 54 35 11 23 52 34 45 11 23 42 34 55 11 23 32 54 45
11 23 52 44 35
11 23 32 44 55 11 23 42 54 35 11 23 52 34 45 11 23 42 34 55 11 23 32 54 45
11 23 52 44 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 5
11 24 32 43 55 11 24 42 53 35 11 24 52 33 45 11 24 42 33 55 11 24 32 53 45
11 24 52 43 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
11 25 32 43 54 11 25 42 53 34 11 25 52 33 44 11 25 42 33 54 11 25 32 53 44
11 25 52 43 34
11 25 32 43 54 11 25 42 53 34 11 25 52 33 44 11 25 42 33 54 11 25 32 53 44
11 25 52 43 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 4
11 22 33 44 55 11 22 43 54 35 11 22 53 34 45 11 22 43 34 55 11 22 33 54 45
11 22 53 44 35 11 23 32 44 55 11 23 42 54 35 11 23 52 34 45 11 23 42 34 55
11 23 32 54 45 11 23 52 44 35 11 24 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 2 43 55 11 24 42 53 35 11 24 52 33 45
11 24 42 33 55 11 24 32 53 45 11 24 52 43 35 11 25 32 43 54 11 25 42 53 34
11 25 52 33 44 11 25 42 33 54 11 25 32 53 44 11 25 52 43 34.
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
• Para 2
∆ :
4 1( 1)2 21
iii
+∆ = − ∆∑=
,
12 11 13 14 15
22 21 23 24 25
32 31 33 34 35
42 41 43 44 45
52 51 53 54 55
32 31 33 34 35
42 41 43 44 45
22 21 23 24 25
12 11 13 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
12 13 11 14 15
22 23 21 24 25
32 33 31 34 35
42 43 41 44 45
52 53 51 54 55
32 33 31 34 35
42 43 41 44 45
22 23 21 24 25
12 13 11 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
12 14 11 13 15
22 24 21 23 25
32 34 31 33 35
42 44 41 43 45
52 54 51 53 55
32 34 31 33 35
42 44 41 43 45
22 24 21 23 25
12 14 11 13 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
12 15 11 13 14
22 25 21 23 24
32 35 31 33 34
42 45 41 43 44
52 55 51 53 54
32 35 31 33 34
42 45 41 43 44
22 25 21 23 24
12 15 11 13 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
Para 21
∆ :
Diagonal 1 12 21 33 44 55a a a a a Semidiagonal 2 12 21 43 54 35a a a a a Semidiagonal 3 12 21 53 34 45a a a a a
Transver 1 12 21 43 34 55a a a a a Semitransver 2 12 21 33 54 45a a a a a Semitransver 3 12 21 53 44 35a a a a a
luego:
21∆ =
12 21 33 44 55 12 21 43 54 35 12 21 53 34 45 12 21 43 34 55 12 21 33 54 45
12 21 53 44 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
Para 22
∆ :
Diagonal 1 12 23 31 44 55a a a a a Semidiagonal 2 12 23 41 54 35a a a a a Semidiagonal 3 12 23 51 34 45a a a a a
Transver 1 12 23 41 34 55a a a a a Semitransver 2 12 23 31 54 45a a a a a Semitransver 3 12 23 51 44 35a a a a a
así:
22∆ =
22∆ =
para 23
∆ :
Diagonal 1 12 24 31 43 55a a a a a Semidiagonal 2 12 24 41 53 35a a a a a Semidiagonal 3 12 24 51 33 45a a a a a
Transver 1 12 24 41 33 55a a a a a Semitransver 2 12 24 31 53 45a a a a a Semitransver 3 12 24 51 43 35a a a a a
luego:
23∆ =
Para 24
∆ :
Diagonal 1 12 25 31 43 54a a a a a Semidiagonal 2 12 25 41 53 34a a a a a Semidiagonal 3 12 25 51 33 44a a a a a
Transver 1 12 25 41 33 54a a a a a Semitransver 2 12 25 31 53 44a a a a a Semitransver 3 12 25 51 43 34a a a a a
así:
24∆ =
24∆ =
En conclusión el resultado del segundo determinante ampliado de orden cinco (5) es:
12 23 31 44 55 12 23 41 54 35 12 23 51 34 45 12 23 41 34 55 12 23 31 54 45
12 23 51 44 35
12 23 31 44 55 12 23 41 54 35 12 23 51 34 45 12 23 41 34 55 12 23 31 54 45
12 23 51 44 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 5
12 24 31 43 55 12 24 41 53 35 12 24 51 33 45 12 24 41 33 55 12 24 31 53 45
12 24 51 43 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
12 25 31 43 54 12 25 41 53 34 12 25 51 33 44 12 25 41 33 54 12 25 31 53 44
12 25 51 43 34
12 25 31 43 54 12 25 41 53 34 12 25 51 33 44 12 25 41 33 54 12 25 31 53 44
12 25 51 43 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 4
2∆ =
• Para 3
∆ :
13 11 12 14 15
23 21 22 24 25
33 31 32 34 35
43 41 42 44 45
53 51 52 54 55
33 31 32 34 35
43 41 42 44 45
23 21 22 24 25
13 11 12 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
13 12 11 14 15
23 22 21 24 25
33 32 31 34 35
43 42 41 44 45
53 52 51 54 55
33 32 31 34 35
43 42 41 44 45
23 22 21 24 25
13 12 11 14 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
13 14 11 12 15
23 24 21 22 25
33 34 31 32 35
43 44 41 42 45
53 54 51 52 55
33 34 31 32 35
43 44 41 42 45
23 24 21 22 25
13 14 11 12 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
13 15 11 12 14
23 25 21 22 24
33 35 31 32 34
43 45 41 42 44
53 55 51 52 54
33 35 31 32 34
43 45 41 42 44
23 25 21 22 24
13 15 11 12 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
Para 31
∆ :
Diagonal 1 13 21 32 44 55a a a a a Semidiagonal 2 13 21 42 54 35a a a a a Semidiagonal 3 13 21 52 34 45a a a a a
Transver 1 13 21 42 34 55a a a a a Semitransver 2 13 21 32 54 45a a a a a Semitransver 3 13 21 52 44 35a a a a a
Así:
31∆ =
12 21 33 44 55 12 21 43 54 35 12 21 53 34 45 12 21 43 34 55 12 21 33 54 45
12 21 53 44 35 12 23 31 44 55 12 23 41 54 35 12 23 51 34 45 12 23 41 34 55
12 23 31 54 45 12 23 51 44 35 12 24 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 1 43 55 12 24 41 53 35 12 24 51 33 45
12 24 41 33 55 12 24 31 53 45 12 24 51 43 35 12 25 31 43 54 12 25 41 53 34
12 25 51 33 44 12 25 41 33 54 12 25 31 53 44 12 25 51 43 34.
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
13 21 32 44 55 13 21 42 54 35 13 21 52 34 45 13 21 42 34 55 13 21 32 54 45
13 21 52 44 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
Para 32
∆ :
Diagonal 1 13 22 31 44 55a a a a a Semidiagonal 2 13 22 41 54 35a a a a a Semidiagonal 3 13 22 51 34 45a a a a a
Transver 1 13 22 41 34 55a a a a a Semitransver 2 13 22 31 54 45a a a a a Semitransver 3 13 22 51 44 35a a a a a
luego:
32∆ =
32∆ =
Para 33
∆ :
Diagonal 1 13 24 31 42 55a a a a a Semidiagonal 2 13 24 41 52 35a a a a a Semidiagonal 3 13 24 51 32 45a a a a a
Transver 1 13 24 41 32 55a a a a a Semitransver 2 13 24 31 52 45a a a a a Semitransver 3 13 24 51 42 35a a a a a
entonces:
33∆ =
Para 34
∆ :
Diagonal 1 13 25 31 42 54a a a a a Semidiagonal 2 13 25 41 52 34a a a a a Semidiagonal 3 13 25 51 32 44a a a a a
Transver 1 13 25 41 32 54a a a a a Semitransver 2 13 25 31 52 44a a a a a Semitransver 3 13 25 51 42 34a a a a a
así:
34∆ =
34∆ =
13 22 31 44 55 13 22 41 54 35 13 22 51 34 45 13 22 41 34 55 13 22 31 54 45
13 22 51 44 35
13 22 31 44 55 13 22 41 54 35 13 22 51 34 45 13 22 41 34 55 13 22 31 54 45
13 22 51 44 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 5
13 24 31 42 55 13 24 41 52 35 13 24 51 32 45 13 24 41 32 55 13 24 31 52 45
13 24 51 42 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
13 25 31 42 54 13 25 41 52 34 13 25 51 32 44 13 25 41 32 54 13 25 31 52 44
13 25 51 42 34
13 25 31 42 54 13 25 41 52 34 13 25 51 32 44 13 25 41 32 54 13 25 31 52 44
13 25 51 42 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 4
En conclusión el resultado del tercer determinante ampliado de orden cinco (5) es:
3∆ =
• Para 4
∆ :
14 11 12 13 15
24 21 22 23 25
34 31 32 33 35
44 41 42 43 45
54 51 52 53 55
34 31 32 33 35
44 41 42 43 45
24 21 22 23 25
14 11 12 13 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
14 12 11 13 15
24 22 21 23 25
34 32 31 33 35
44 42 41 43 45
54 52 51 53 55
34 32 31 33 35
44 42 41 43 45
24 22 21 23 25
14 12 11 13 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
14 13 11 12 15
24 23 21 22 25
34 33 31 32 35
44 43 41 42 45
54 53 51 52 55
34 33 31 32 35
44 43 41 42 45
24 23 21 22 25
14 13 11 12 15
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
14 15 11 12 13
24 25 21 22 23
34 35 31 32 33
44 45 41 42 43
54 55 51 52 53
34 35 31 32 33
44 45 41 42 43
24 25 21 22 23
14 15 11 12 13
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
Para 41
∆ :
Diagonal 1 14 21 32 43 55a a a a a Semidiagonal 2 14 21 42 53 35a a a a a Semidiagonal 3 14 21 52 33 45a a a a a
Transver 1 14 21 42 33 55a a a a a Semitransver 2 14 21 32 53 45a a a a a Semitransver 3 14 21 52 43 35a a a a a
13 21 32 44 55 13 21 42 54 35 13 21 52 34 45 13 21 42 34 55 13 21 32 54 45
13 21 52 44 35 13 22 31 44 55 13 22 41 54 35 13 22 51 34 45 13 22 41 34 55
13 22 31 54 45 13 22 51 44 35 13 24 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 1 42 55 13 24 41 52 35 13 24 51 32 45
13 24 41 32 55 13 24 31 52 45 13 24 51 42 35 13 25 31 42 54 13 25 41 52 34
13 25 51 32 44 13 25 41 32 54 13 25 31 52 44 13 25 51 42 34.
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
entonces:
41∆ =
Para 42
∆ :
Diagonal 1 14 22 31 43 55a a a a a Semidiagonal 2 14 22 41 53 35a a a a a Semidiagonal 3 14 22 51 33 45a a a a a
Transver 1 14 22 41 33 55a a a a a Semitransver 2 14 22 31 53 45a a a a a Semitransver 3 14 22 51 43 35a a a a a
así:
42∆ =
42∆ =
Para 43
∆ :
Diagonal 1 14 23 31 42 55a a a a a Semidiagonal 2 14 23 41 52 35a a a a a Semidiagonal 3 14 23 51 32 45a a a a a
Transver 1 14 23 41 32 55a a a a a Semitransver 2 14 23 31 52 45a a a a a Semitransver 3 14 23 51 42 35a a a a a
luego:
43∆ =
Para 44
∆ :
Diagonal 1 14 25 31 42 53a a a a a Semidiagonal 2 14 25 41 52 33a a a a a Semidiagonal 3 14 25 51 32 43a a a a a
Transver 1 14 25 41 32 53a a a a a Semitransver 2 14 25 31 52 43a a a a a Semitransver 3 14 25 51 42 33a a a a a
así:
14 21 32 43 55 14 21 42 53 35 14 21 52 33 45 14 21 42 33 55 14 21 32 53 45
14 21 52 43 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
14 22 31 43 55 14 22 41 53 35 14 22 51 33 45 14 22 41 33 55 14 22 31 53 45
14 22 51 43 35
14 22 31 43 55 14 22 41 53 35 14 22 51 33 45 14 22 41 33 55 14 22 31 53 45
14 22 51 43 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 5
14 23 31 42 55 14 23 41 52 35 14 23 51 32 45 14 23 41 32 55 14 23 31 52 45
14 23 51 42 35
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
44∆ =
44∆ =
En conclusión el resultado del cuarto determinante ampliado de orden cinco (5) es:
4∆ =
• Para 5
∆ :
15 11 12 13 14
25 21 22 23 24
35 31 32 33 34
45 41 42 43 44
55 51 52 53 54
35 31 32 33 34
45 41 42 43 44
25 21 22 23 24
15 11 12 13 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
15 12 11 13 14
25 22 21 23 24
35 32 31 33 34
45 42 41 43 44
55 52 51 53 54
35 32 31 33 34
45 42 41 43 44
25 22 21 23 24
15 12 11 13 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+
15 13 11 12 14
25 23 21 22 24
35 33 31 32 34
45 43 41 42 44
55 53 51 52 54
35 33 31 32 34
45 43 41 42 44
25 23 21 22 24
15 13 11 12 14
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
-
15 14 11 12 13
25 24 21 22 23
35 34 31 32 33
45 44 41 42 43
55 54 51 52 53
35 34 31 32 33
45 44 41 42 43
25 24 21 22 23
15 14 11 12 13
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
14 25 31 42 53 14 25 41 52 33 14 25 51 32 43 14 25 41 32 53 14 25 31 52 43
14 25 51 42 33
14 25 31 42 53 14 25 41 52 33 14 25 51 32 43 14 25 41 32 53 14 25 31 52 43
14 25 51 42 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 3
14 21 32 43 55 14 21 42 53 35 14 21 52 33 45 14 21 42 33 55 14 21 32 53 45
14 21 52 43 35 14 22 31 43 55 14 22 41 53 35 14 22 51 33 45 14 22 41 33 55
14 22 31 53 45 14 22 51 43 35 14 23 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 1 42 55 14 23 41 52 35 14 23 51 32 45
14 23 41 32 55 14 23 31 52 45 14 23 51 42 35 14 25 31 42 53 14 25 41 52 33
14 25 51 32 43 14 25 41 32 53 14 25 31 52 43 14 25 51 42 33.
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
Para 51
∆ :
Diagonal 1 15 21 32 43 54a a a a a Semidiagonal 2 15 21 42 53 34a a a a a Semidiagonal 3 15 21 52 33 44a a a a a
Transver 1 15 21 42 33 54a a a a a Semitransver 2 15 21 32 53 44a a a a a Semitransver 3 15 21 52 43 34a a a a a
así:
51∆ =
Para 52
∆ :
Diagonal 1 15 22 31 43 54a a a a a Semidiagonal 2 15 22 41 53 34a a a a a Semidiagonal 3 15 22 51 33 44a a a a a
Transver 1 15 22 41 33 54a a a a a Semitransver 2 15 22 31 53 44a a a a a Semitransver 3 15 22 51 43 34a a a a a
entonces:
52∆ =
52∆ =
Para 53
∆ :
Diagonal 1 15 23 31 42 54a a a a a Semidiagonal 2 15 23 41 52 34a a a a a Semidiagonal 3 15 23 51 32 44a a a a a
Transver 1 15 23 41 32 54a a a a a Semitransver 2 15 23 31 52 44a a a a a Semitransver 3 15 23 51 42 34a a a a a
así:
53∆ =
15 21 32 43 54 15 21 42 53 34 15 21 52 33 44 15 21 42 33 54 15 21 32 53 44
15 21 52 43 34
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
15 22 31 43 54 15 22 41 53 34 15 22 51 33 44 15 22 41 33 54 15 22 31 53 44
15 22 51 43 34
15 22 31 43 54 15 22 41 53 34 15 22 51 33 44 15 22 41 33 54 15 22 31 53 44
15 22 51 43 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 4
15 23 31 42 54 15 23 41 52 34 15 23 51 32 44 15 23 41 32 54 15 23 31 52 44
15 23 51 42 34
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ + − −
−
Para 53
∆ :
Diagonal 1 15 24 31 42 53a a a a a Semidiagonal 2 15 24 41 52 33a a a a a Semidiagonal 3 15 24 51 32 43a a a a a
Transver 1 15 24 41 32 53a a a a a Semitransver 2 15 24 31 52 43a a a a a Semitransver 3 15 24 51 42 33a a a a a
entonces:
53∆ =
53∆ =
En conclusión el resultado del quinto determinante ampliado de orden cinco (5) es:
5∆ =
Así se concluye que:
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a a
= 51 2 3 4
− + − +∆ ∆ ∆ ∆ ∆
15 24 31 42 53 15 24 41 52 33 15 24 51 32 43 15 24 41 32 53 15 24 31 52 43
15 24 51 42 33
15 24 31 42 53 15 24 41 52 33 15 24 51 32 43 15 24 41 32 53 15 24 31 52 43
15 24 51 42 3
(
)
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
es decir
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
− + + − −
−
− − − + +
+ 3
15 21 32 43 54 15 21 42 53 34 15 21 52 33 44 15 21 42 33 54 15 21 32 53 44
15 21 52 43 34 15 22 31 43 54 15 22 41 53 34 15 22 51 33 44 15 22 41 33 54
15 22 31 53 44 15 22 51 43 34 15 23 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 1 42 54 15 23 41 52 34 15 23 51 32 44
15 23 41 32 54 15 23 31 52 44 15 23 51 42 34 15 24 31 42 53 15 24 41 52 33
15 24 51 32 43 15 24 41 32 53 15 24 31 52 43 15 24 51 42 33.
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
11 22 33 44 55 11 22 43 54 35 11 22 53 34 45 11 22 43 34 55 11 22 33 54 45
11 22 53 44 35 11 23 32 44 55 11 23 42 54 35 11 23 52 34 45 11 23 42 34 55
11 23 32 54 45 11 23 52 44 35 11 24 3
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + 2 43 55 11 24 42 53 35 11 24 52 33 45
11 24 42 33 55 11 24 32 53 45 11 24 52 43 35 11 25 32 43 54 11 25 42 53 34
11 25 52 33 44 11 25 42 33 54 11 25 32 53 44 11 25 52 43 34
12 21 33 44 55(
a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a
+ +
− − − − −
− + + +
− 12 21 43 54 35 12 21 53 34 45 12 21 43 34 55 12 21 33 54 45
12 21 53 44 35 12 23 31 44 55 12 23 41 54 35 12 23 51 34 45 12 23 41 34 55
12 23 31 54 45 12 23 51 44 35 12 24 31 43 55 12 24
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ + − −
− − − − +
+ + + + 41 53 35 12 24 51 33 45
12 24 41 33 55 12 24 31 53 45 12 24 51 43 35 12 25 31 43 54 12 25 41 53 34
12 25 51 33 44 12 25 41 33 54 12 25 31 53 44 12 25 51 43 34
13 21 32 44 55 13 21 42 54
).
a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
+
− − − − −
− + + +
+ +35 13 21 52 34 45 13 21 42 34 55 13 21 32 54 45
13 21 52 44 35 13 22 31 44 55 13 22 41 54 35 13 22 51 34 45 13 22 41 34 55
13 22 31 54 45 13 22 51 44 35 13 24 31 42 55 13 24 41 52 35 13 2
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
+ − −
− − − − +
+ + + + +4 51 32 45
13 24 41 32 55 13 24 31 52 45 13 24 51 42 35 13 25 31 42 54 13 25 41 52 34
13 25 51 32 44 13 25 41 32 54 13 25 31 52 44 13 25 51 42 34
14 21 32 43 55 14 21 42 53 35 14 21 52 3
.
(
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a
− − − − −
− + + +
− + + 3 45 14 21 42 33 55 14 21 32 53 45
14 21 52 43 35 14 22 31 43 55 14 22 41 53 35 14 22 51 33 45 14 22 41 33 55
14 22 31 53 45 14 22 51 43 35 14 23 31 42 55 14 23 41 52 35 14 23 51 32 45
14
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a
− −
− − − − +
+ + + + +
−23 41 32 55 14 23 31 52 45 14 23 51 42 35 14 25 31 42 53 14 25 41 52 33
14 25 51 32 43 14 25 41 32 53 14 25 31 52 43 14 25 51 42 33
15 21 32 43 54 15 21 42 53 34 15 21 52 33 44 15 21 42
).
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
− − − −
− + + +
+ + + −33 54 15 21 32 53 44
15 21 52 43 34 15 22 31 43 54 15 22 41 53 34 15 22 51 33 44 15 22 41 33 54
15 22 31 53 44 15 22 51 43 34 15 23 31 42 54 15 23 41 52 34 15 23 51 32 44
15 23 41 32 54
a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
−
− − − − +
+ + + + +
− − 15 23 31 52 44 15 23 51 42 34 15 24 31 42 53 15 24 41 52 33
15 24 51 32 43 15 24 41 32 53 15 24 31 52 43 15 24 51 42 33.
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
− − −
− + + +
Se demostró que al igual que para los determinantes de orden cuatro (4), para orden cinco (5) es válido el desarrollo por el método de Sarrus ya que la respuesta es la misma que la obtenida por la aplicación del Teorema de Laplace. 4.3 CASO PARTICULAR DE DETERMINANTE DE ORDEN CINCO
DESARROLLADO POR EL MÉTODO DE SARRUS. Se aclara que no es práctico este método si se trata de solucionar determinantes de orden mayor o igual a 5. Sin embargo para mostrar que efectivamente se puede utilizar se presenta el siguiente ejemplo.
Determinar el valor del determinante
2 2 4 4 6
4 3 2 2 1
3 2 1 4 1
1 1 1 1 1
3 2 1 1 4
− −
− −
− − Se hace el complemento agregando inicialmente la tercera fila, luego la cuarta, la segunda y la primera fila.
• Con el orden de columnas inicial dejando fija la primera columna y rotando las restantes, se obtienen los primeros cuatro determinantes ampliados.
2 2 4 4 6
4 3 2 2 1
3 2 1 4 1
1 1 1 1 1
3 2 1 1 4
3 2 1 4 1
1 1 1 1 1
4 3 2 2 1
2 2 4 4 6
− −
− −
− −
− −
− − -
2 4 2 4 6
4 2 3 2 1
3 1 2 4 1
1 1 1 1 1
3 1 2 1 4
3 1 2 4 1
1 1 1 1 1
4 2 3 2 1
2 4 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− − +
2 4 2 4 6
4 2 3 2 1
3 4 2 1 1
1 1 1 1 1
3 1 2 1 4
3 4 2 1 1
1 1 1 1 1
4 2 3 2 1
2 4 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− −
2 6 2 4 4
4 1 3 2 2
3 1 2 1 4
1 1 1 1 1
3 4 2 1 1
3 1 2 1 4
1 1 1 1 1
4 1 3 2 2
2 6 2 4 4
− −
− −
− − −
− −
− −
{ } { }( 24 6 24) (96 6 6) (32 4 32) ( 64 8 8) {(32 4 8)
(16 8 8)} {(4 8 4) (2 4 16)}
{6 96} {60 ( 80)} {28 16} {16 ( 18)}
90 140 12 34 252
− + + − + − − − + − − − − + + −
− + − − + + − − −
= − − − − + − − − −
= − − + − = −
• Tomando como primera columna la segunda, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
2 2 4 4 6
3 4 2 2 1
2 3 1 4 1
1 1 1 1 1
2 3 1 1 4
2 3 1 4 1
1 1 1 1 1
3 4 2 2 1
2 2 4 4 6
− −
− −
− −
− −
− − -
2 4 2 4 6
3 2 4 2 1
2 1 3 4 1
1 1 1 1 1
2 1 3 1 4
2 1 3 4 1
1 1 1 1 1
3 2 4 2 1
2 4 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− − +
2 4 2 4 6
3 2 4 2 1
2 4 3 1 1
1 1 1 1 1
2 1 3 1 4
2 4 3 1 1
1 1 1 1 1
3 2 4 2 1
2 4 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− −
-
2 6 2 4 4
3 1 4 2 2
2 1 3 1 4
1 1 1 1 1
2 4 3 1 1
2 1 3 1 4
1 1 1 1 1
3 1 4 2 2
2 6 2 4 4
− −
− −
− −
− −
− −
{ } { }( 32 8 32) (128 8 8) ( 48 4 48) (64 12 12) {( 48 4 12)
( 16 12 12)} {( 6 8 6) ( 2 6 24)}
{8 128} { 92 88} { 40 16} { 20 28}
120 180 24 48 84
− + + − + − − − + − − + + + − − +
− − − + − − − − − − + +
= − − − − + − + − − −
= − + − + =
• Tomando como primera columna la tercera, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
4 2 2 4 6
2 4 3 2 1
1 3 2 4 1
1 1 1 1 1
1 3 2 1 4
1 3 2 4 1
1 1 1 1 1
2 4 3 2 1
4 2 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− − -
4 2 2 4 6
2 3 4 2 1
1 2 3 4 1
1 1 1 1 1
1 2 3 1 4
1 2 3 4 1
1 1 1 1 1
2 3 4 2 1
4 2 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− − +
4 4 2 2 6
2 2 4 3 1
1 4 3 2 1
1 1 1 1 1
1 1 3 2 4
1 4 3 2 1
1 1 1 1 1
2 2 4 3 1
4 4 2 2 6
− −
− −
− −
− −
− −
-
4 6 2 2 4
2 1 4 3 2
1 1 3 2 4
1 1 1 1 1
1 4 3 2 1
1 1 3 2 4
1 1 1 1 1
2 1 4 3 2
4 6 2 2 4
− −
− −
− −
− −
− −
{ } { }(128 16 128) ( 256 32 32) ( 144 12 144) (192 36 36) {(96 16 48)
(64 48 24)} {(12 32 24) (8 24 48)}
{240 320} { 276 264} {32 8} {4 16}
560 540 40 20 1120
− + − − − − − − + − − + + + − −
− − − − − + − + −
= + − − − + + − +
= + + − =
• Tomando como primera columna la cuarta, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
4 2 2 4 6
2 4 3 2 1
4 3 2 1 1
1 1 1 1 1
1 3 2 1 4
4 3 2 1 1
1 1 1 1 1
2 4 3 2 1
4 2 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− − -
4 2 2 4 6
2 3 4 2 1
4 2 3 1 1
1 1 1 1 1
1 2 3 1 4
4 2 3 1 1
1 1 1 1 1
2 3 4 2 1
4 2 2 4 6
− −
− −
− −
− −
− − +
4 4 2 2 6
2 2 4 3 1
4 1 3 2 1
1 1 1 1 1
1 1 3 2 4
4 1 3 2 1
1 1 1 1 1
2 2 4 3 1
4 4 2 2 6
− −
− −
− −
− −
− −
-
4 6 2 2 4
2 1 4 3 2
4 1 3 2 1
1 1 1 1 1
1 4 3 2 1
4 1 3 2 1
1 1 1 1 1
2 1 4 3 2
4 6 2 2 4
− −
− −
− −
− −
− −
{ } { }(128 16 32) (64 32 32) ( 144 12 36) ( 48 36 36) {(96 16 48)
(64 48 24)} {( 12 8 24) ( 8 24 12)}
{112 64} { 120 48} {32 8} {20 28}
48 72 40 8 168
+ − − + − − − − + − − − + + − −
− − − − − + + − − + +
= − − − + + + − −
= + + + =
• Tomando como primera columna la quinta, dejándola fija y rotando las restantes, se obtienen los siguientes cuatro determinantes ampliados.
6 2 2 4 4
1 4 3 2 2
1 3 2 1 4
1 1 1 1 1
4 3 2 1 1
1 3 2 1 4
1 1 1 1 1
1 4 3 2 2
6 2 2 4 4
− −
− −
− −
− −
− − -
6 2 2 4 4
1 3 4 2 2
1 2 3 1 4
1 1 1 1 1
4 2 3 1 1
1 2 3 1 4
1 1 1 1 1
1 3 4 2 2
6 2 2 4 4
− −
− −
− −
− −
− − +
6 4 2 2 4
1 2 4 3 2
1 1 3 2 4
1 1 1 1 1
4 1 3 2 1
1 1 3 2 4
1 1 1 1 1
1 2 4 3 2
6 4 2 2 4
− −
− −
− −
− −
− −
-
6 4 2 2 4
1 2 4 3 2
1 4 3 2 1
1 1 1 1 1
4 1 3 2 1
1 4 3 2 1
1 1 1 1 1
1 2 4 3 2
6 4 2 2 4
− −
− −
− −
− −
− −
{ } { }(48 96 48) (24 48 192) ( 54 72 54) ( 18 54 216) {(36 96 72)
(24 72 144)} {( 36 24 72) ( 24 72 36)}
{192 216} { 180 252} {12 48} {60 84}
408 432 60 24 924
+ + − − − − − − − − − + + + − +
− + − − − + + − − + +
= + − − − + + − −
= + + + =
Resumiendo lo anterior se tiene que:
= -252 –(84)+1120-(168)+924= 1540
5. MÉTODO DE SARRUS PARA DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO.
En general la forma de completar el determinante es agregar inicialmente la fila
(n - 2), luego la fila (n - 1), a continuación sucesivamente las filas (n - 3), (n - 4), (n - 5),…,2,1. Es decir, dado el determinante de orden n
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
)1()2()3(4321
)1()1)(1()2)(1()3)(1(4)1(3)1(2)1(1)1(
)2()1)(2()2)(2()3)(2(4)2(3)2(2)2(1)2(
)3()1)(3()2)(3()3)(3(4)3(3)3(2)3(1)3(
4)1(4)2(4)3(444434241
3)1(3)2(3)3(334333231
2)1(2)2(2)3(224232221
1)1(1)2(1)3(114131211
−−−
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
Κ
Κ
Κ
Κ
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
Κ
Κ
Κ
Κ
la forma de completarlo se presenta a continuación:
2 2 4 4 6
4 3 2 2 1
3 2 1 4 1
1 1 1 1 1
3 2 1 1 4
− −
− −
− −
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
)1()2()3(4321
)1()1)(1()2)(1()3)(1(4)1(3)1(2)1(1)1(
)2()1)(2()2)(2()3)(2(4)2(3)2(2)2(1)2(
)3()1)(3()2)(3()3)(3(4)3(3)3(2)3(1)3(
4)1(4)2(4)3(444434241
3)1(3)2(3)3(334333231
2)1(2)2(2)3(224232221
1)1(1)2(1)3(114131211
−−−
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
Κ
Κ
Κ
Κ
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
Κ
Κ
Κ
Κ
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
1)1(1)2(1)3(114131211
2)1(2)2(2)3(224232221
3)1(3)2(3)3(334333231
4)1(4)2(4)3(444434241
)3()1)(3()2)(3()3)(3(4)3(3)3(2)3(1)3(
)1()1)(1()2)(1()3)(1(4)1(3)1(2)1(1)1(
)2()1)(2()2)(2()3)(2(4)2(3)2(2)2(1)2(
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−
Κ
Κ
Κ
Κ
ΜΜΜΜΜΜΜΜΜ
Κ
Κ
Κ
Así aparecen inicialmente n determinantes ampliados, es decir el primero es el presentado anteriormente, el siguiente la segunda columna pasa de primera, enseguida la tercera pasa de primera y las demás columnas se corren( es decir la segunda columna es la primera inicial, la tercera la segunda y las demás continúan con su orden usual). Los signos de los determinantes van alternos iniciando por positivo. Su desarrollo es como aparece en el rayado.
Cada determinante de los mencionados, a su vez se soluciona de forma recursiva, es decir la primera columna ya se sabe que queda fija, entonces empiezan a rotar las segundas, si es del caso algunas segundas quedan fijas y se hacen rotar las terceras y así sucesivamente.
En total para solucionar un determinante de orden n, se solucionan !
6
n
determinantes ampliados, con 3n ≥ .
