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8/19/2019 José Alfredo, Amor Montaño, Gabriela Campero Arena, Favio Ezequiel Miranda Perea-Teoria de Conjuntos, Curso In…

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Teorıa de Conjuntos

Curso Intermedio

Jose Alfredo Amor MontanoGabriela Campero Arena

Favio Ezequiel Miranda Perea

Invierno del 2010



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A Joaquın y a Leonardo, porque hasta ellos le ganaron en existencia a este libro.

A Ofelia, quien me ense˜ n´ o a jugar con los n´ umeros naturales, a Pas-cual, quien me encant´ o con los diagramas de Venn y a Martha Elena, quien por m´ as que me resisto me recuerda diariamente que las matem´ aticas deben tener alguna utilidad terrenal.



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Indice general

Introduccion VII

1. Tipos de orden 11.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Construccion y caracterizacion de las estructuras numericas . 6

1.2.1. Caracterizacion de

,

. . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Construccion y caracterizacion de ,

. . . . . . . 10

1.2.3. Construccion y caracterizacion de

,

. . . . . . . 17


,

. . . . . . . 27

1.3. Aritmetica de tipos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. Numeros ordinales 532.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3. La induccion transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4. El teorema de enumeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5. El primer ordinal no numerable ω1 . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6. La recursion transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7. Aplicaciones de la recursion transfinita . . . . . . . . . . . . . 80

2.7.1. Los ordinales iniciales ωα . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7.2. Aritmetica ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.7.3. La jerarquıa acumulativa de los conjuntos bien fundados 84

2.7.4. Algunas pruebas interesantes . . . . . . . . . . . . . . 93

3. Numeros cardinales 1033.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.3. La jerarquıa de los alefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

v



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vi Indice general

3.4. El cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5. Aritmetica cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.5.1. Idempotencia del producto cardinal . . . . . . . . . . 1203.5.2. Sumas con un numero infinito de cardinales . . . . . . 1243.5.3. Productos con un numero infinito de cardinales . . . . 1283.5.4. El teorema de Konig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4. Cofinalidad 1394.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3. Ordinales regulares y singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.3.1. El cardinal del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.4. Exponenciacion car dinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.4.1. Resultados dependientes de la HGC . . . . . . . . . . 162

A. El lengua je de la teorıa de los conjuntos 167A.1. Definicion del lenguaje TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.2. Manejo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccion 171B.1. Axioma del conjunto vacıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171B.2. Axioma de extensionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172B .3. Axioma del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172B.4. Axioma de union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173B.5. Axioma del conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174B.6. Esquema de comprension o separacion . . . . . . . . . . . . . 174B.7. Axioma de infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175B.8. Esquema de reemplazo o sustitucion . . . . . . . . . . . . . . 176B.9. Axioma de regularidad o buena fundacion . . . . . . . . . . . 177

B.10.Axioma de eleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178B.11.Comentario historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179B.12.Comentario sobre la independencia de los axiomas . . . . . . 180

Bibliografıa 181

Indice de sımbolos 183

Indice 185



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Introduccion

La importancia de la Teorıa de Conjuntos radica en que a partir de ellase puede reconstruir casi toda la matematica clasica. Por ejemplo, se puedendefinir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades como teore-mas de la Teorıa de Conjuntos: par ordenado, relacion, funcion, particion,orden, buen orden, los numeros naturales, los enteros, los racionales, losreales, los complejos, todas las estructuras algebraicas como grupos, anillos,campos, y otro tipo de estructuras como los espacios vectoriales, los espa-cios topologicos, los espacios metricos, etc. La importancia practica de estateorıa radica en que los metodos e ideas teorico-conjuntistas son sumamente

utiles en casi todas las demas teorıas matematicas.La Teorıa de Conjuntos generalmente se estudia a partir de la axio-

matizacion de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de eleccion, denotadade ahora en adelante ZFE. Estos axiomas son considerados tradicionalmentecomo el fundamento de la matematica clasica, pues practicamente todos susenunciados, con excepcion de algunos de la teorıa de las categorıas, puedenser expresados en el lenguaje de ZFE y muchos de ellos pueden demostrarsedentro de la teorıa que se desprende de estos axiomas. Otro argumento querefuerza esta identificacion de los axiomas de ZFE con el fundamento de lamatematica clasica es la fuerte conviccion que tenemos en ellos. Creemosen ellos porque reflejan muy bien nuestros procedimientos de demostracion

cotidianos y en este sentido creemos que no nos llevar an a ninguna contra-diccion.

Este libro esta pensado como un libro de texto que cubra los temas quegeneralmente se imparten en la materia de Teorıa de Conjuntos II en laFacultad de Ciencias de la UNAM. Hemos asumido que los lectores de estelibro estan familiarizados con los temas de un primer curso de Teorıa deConjuntos: el concepto intuitivo de lo que constituye un conjunto, lo quesignifica la relacion de pertenencia, las ideas basicas de lo que es un lenguaje

vii



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viii Introduccion

formal de primer orden y el manejo del lenguaje de la Teorıa de Conjuntos(aunque una breve descripcion de estos conceptos se da en el apendice A);los conceptos conjuntistas formales de par ordenado, relacion y funcion; laconstruccion de los numeros naturales como conjuntos, el manejo de suspropiedades y la demostracion y manejo del teorema de recursion para na-turales, incluyendo sus aplicaciones para la aritmetica de dichos numeros;

las relaciones de equipotencia y dominancia entre conjuntos, los conceptosintuitivos de cardinalidad de un conjunto y de suma, multiplicaci on y ex-ponenciacion cardinal, ası como los resultados de la aritmetica cardinal quepueden ser demostrados con estos conceptos intuitivos. Tambien presupone-mos que el lector tiene una idea de la axiomatizaci on de Zermelo-Fraenkel yque conoce los axiomas basicos de extensionalidad, vacıo, par, union, sepa-racion, potencia e infinito, aunque los enunciados de estos y una descripcionde ellos se encuentran en el apendice B. Ademas, damos por sentado que ellector ha tenido un primer acercamiento con el axioma de eleccion, el lemade Zorn y el teorema del buen orden. Todos estos temas estan cubiertos demanera extensa en el libro “Teorıa de Conjuntos para estudiantes de cien-

cias” [Am05], publicado por la Facultad de Ciencias de la UNAM y del cualeste libro es la continuacion.El objetivo general de este libro es presentar un panorama amplio de las

aritmeticas ordinal y cardinal partiendo de los ordenes totales, ası como darlos elementos necesarios de la teorıa de cofinalidad para poder desarrollar,con todo rigor, los resultados mas importantes de la aritmetica cardinaltransfinita y todas las restricciones posibles para el cardinal del continuodesde la teorıa de ZFE.

El libro consta de cuatro capıtulos y dos apendices. El ob jetivo del primercapıtulo es presentar las definiciones y propiedades de los tipos de orden deordenes totales, la construccion formal de las estructuras numericas clasicas

de los numeros enteros, racionales y reales a partir de los numeros natura-les, ası como su caracterizacion como tipos de orden particulares. Se terminaeste capıtulo con conceptos de aritmetica general de tipos de orden, com-pletando con varios ejercicios. El segundo capıtulo contiene la presentacionde los ordinales y el metodo de induccion transfinita. En el se demuestra elteorema de enumeracion que caracteriza a los ordinales como tipos de ordende los buenos ordenes, vinculando este capıtulo con el anterior. Ademas, seprueban varias versiones del teorema de recursion transfinita y se dan varias



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Introduccion ix

aplicaciones del mismo, entre las que estan la definicion de las operacio-nes de la aritmetica ordinal y la jerarquıa de los conjuntos bien fundados.El tercer capıtulo esta dedicado a los numeros cardinales, definidos comoordinales iniciales. Se da la definicion formal de cardinal de un conjunto,revisando que esta definicion cumple con las propiedades elementales de laequipotencia y la dominancia entre conjuntos. Ademas, se presentan las je-

rarquıas de los alefs y de los beths, ası como resultados de la aritmeticacardinal, incluyendo las formulas de sumas y productos infinitos de cardina-les infinitos, las leyes de los exponentes generalizadas y el poderoso teoremade Konig y sus aplicaciones. El ultimo capıtulo contiene una presentacioncuidadosa del concepto de cofinalidad, la clasificacion de los cardinales enregulares y singulares, ademas de que se discute ampliamente la hipotesisdel continuo. Se presentan los resultados generales de la exponenciacion car-dinal y las simplificaciones de estos al suponer la hipotesis generalizada delcontinuo. Finalmente, quedan establecidas todas las restricciones posiblesdesde ZFE para el cardinal del continuo mostrando cuales son los cardinalesque no pueden ser el cardinal del conjunto de numeros reales. El apendice

A contiene una breve discusion del concepto de conjunto y de como mane- jar a las colecciones que no estamos seguros si son conjuntos, las llamadasclases, ademas de presentar el lenguaje formal de la Teorıa de Conjuntos.El apendice B contiene una presentacion tanto intuitiva como formal sobrecada uno de los axiomas de ZFE, ası como la justificacion de su verdadrespecto al concepto iterativo de conjunto, es decir, respecto al modelo dela jerarquıa acumulativa de los conjuntos bien fundados cuya construccionse da en el tercer capıtulo como una de las aplicaciones del teorema derecursion transfinita.



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Agradecimientos

A nuestros estudiantes y ayudantes de la materia de Teorıa de los Con- juntos II, cuyas observaciones mejoraron varias demostraciones, en especiala Alfonso Gonzalez.

A Rafael Reyes por el apoyo en dejar a este libro agradable a la vista.

A los arbitros, por sus crıticas y sus sugerencias que ayudaron a mejorarnuestro texto.

xi



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1Tipos de orden

Hay varias estructuras numericas muy conocidas en matematicas, comoson el conjunto de los numeros naturales

, el conjunto de los numerosenteros

y el conjunto de los numeros racionales

. Se puede demostrarque los conjuntos

y

(que definiremos formalmente como conjuntos eneste capıtulo) son numerables, es decir, tienen el mismo numero de elementosque los que hay en el conjunto

. Esto quiere decir que, desde el punto devista de la cantidad de elementos que tienen, no se puede distinguir entrelos conjuntos de numeros

,

y

. Sin embargo, es bastante claro que estostres conjuntos tienen un aspecto distinto. Este aspecto esta caracterizadopor como se acomodan sus elementos, es decir, hay que analizar c omo estanordenados sus elementos para ver que realmente son muy distintos. Porejemplo, en

hay un primer elemento y en

no existe, y entre cualesquierados elementos de

hay otro elemento de

, lo cual no pasa ni en

ni en

. Como ya mencionamos, en este capıtulo definiremos formalmente a losconjuntos

y

con su estructura de orden; antes definiremos lo que es untipo de orden, que es justamente lo que

,

y

no comparten.La definicion de

, en la que estan basadas las construcciones de

y

,se puede consultar en [Am05], pues es importante visualizar a

con baseen esa definicion netamente conjuntista. Tambien definiremos al conjunto

1




2 1. Tipos de orden

, cuya cardinalidad (cuantos elementos tiene) no es numerable, pero queademas tiene una caracterizacion interesante basada en su tipo de orden.

1.1. Definiciones y ejemplos

Recordamos la definicion dada en el libro [Am05] de un conjunto total-

mente ordenado para despues definir que significa que dos conjuntos total-mente ordenados tengan el mismo tipo de orden. Dada una relaci on binariar, usamos indistintamente las notaciones

x, y r o x r y para expresar

que x esta r-relacionado con y . Ademas, denotamos con dom r

al dominio

x :

y

x, y

r

de r, con im

r

a la imagen

y :

x

x, y

r

de r, y

con cam r

al campo dom

r

im

r

de r.

Definicion 1.1 Decimos que A,r

es un conjunto parcialmente ordenado

si y s´ olo si A es un conjunto y r es una relaci´ on binaria sobre A tales que

(i) Para todo a A, a, a

r; es decir, r es antirreflexiva en A, y

(ii) Para cualesquiera a, b, c A,

a, b

r y b, c

r implican a, c

r;

es decir, r es transitiva en A.

Decimos que A,r

es un conjunto totalmente ordenado o linealmente or-

denado si y s´ olo si A,r

es un conjunto parcialmente ordenado y, adem´ as,

(iii) para cualesquiera a, b A, se cumple una y s´ olo una de las siguientes

condiciones: a b o

a, b

r o

b, a

r; es decir, r es tricotomica

en A.

Para abreviar el hecho de que A,r

sea un “conjunto parcialmente ordena-do” diremos que

A, r

es un orden parcial. De manera similar, diremos que

A,r

es un orden total cuando sea un “conjunto totalmente ordenado”.

Definicion 1.2 Sean A, r

y

B, s

dos ´ ordenes totales. Decimos que

A,r

y B, s

tienen el mismo tipo de orden si y s´ olo si hay un isomorfismo entre

ellos; es decir, si existe una funci´ on biyectiva f : A

B tal que

x, y

A

x r y

f

x

s f

y

.

Esto lo denotamos como A,r

B, s

o, si queremos exhibir en la nota-

ci´ on que f es el isomorfismo, como A,r

f B, s

. Adem´ as, en este caso

decimos que A,r

y

B, s

son isomorfos.




1.1. Definiciones y ejemplos 3

Observese que no se ha definido el tipo de orden de un conjunto total-mente ordenado, sino unicamente lo que significa que dos de estos conjuntostengan el mismo tipo de orden. Como la coleccion de todos los ordenes to-tales es una clase propia, es decir, no es un conjunto1, la definicion de tipode orden no es tan sencilla. Uno de los ejercicios de esta seccion pide probarque la relacion “tener el mismo tipo de orden” es de equivalencia sobre la

clase (propia) de los ordenes totales, por lo que esta relacion induce unaparticion en clases de equivalencia (las cuales no son conjuntos). Es posi-ble entonces definir el tipo de orden de un orden total como un elementoparticular (un representante) de la clase de equivalencia correspondiente,esto se puede hacer formalmente usando el axioma de buena fundaci on2 yel llamado “truco de Scott” (vease, por ejemplo, [En77]). Sin embargo, enla seccion 2.4, podremos definir el tipo de orden de todos los ordenes totalesde cierto tipo: los buenos ordenes.

Usaremos τ , µ, ν para denotar tipos de orden. No definiremos la nocionde tipo de orden sino que daremos una definicion de la relacion “tener el

mismo tipo de orden”, ası como de las relaciones de orden y orden estrictoentre tipos de orden.

Definicion 1.3 Si llamamos τ al tipo de orden de un orden total A,r

y

µ al tipo de orden de un orden total B, s

, entonces

(i) decimos que τ µ si y s´ olo si

A,r

B, s

;

(ii) decimos que τ µ si y s´ olo si existe una funci´ on inyectiva g : A

B

tal que x, y A x r y g x

s g y y esto lo denotamos como

A,r

B, s

, o como

A,r

g B, s

;

(iii) decimos que τ µ si y s´ olo si τ µ y τ µ.

Es un ejercicio de esta seccion demostrar que la definicion de igualdad yla de orden entre tipos de orden no depende de los ordenes totales escogidos

1Vease la introduccion en el libro [Am05] para una discusion de lo que esto significaen la Teorıa de Conjuntos.

2En el apendice B se da la lista de los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccion, juntocon una explicacion de cada uno de ellos.




4 1. Tipos de orden

como representantes de cada tipo de orden. En otras palabras, se puedeprobar que la igualdad y el orden entre tipos de orden estan bien definidos.

Los siguientes son ejemplos de tipos de orden:

1. Se puede demostrar que cualesquiera dos ordenes totales finitos con lamisma cardinalidad son isomorfos. A la luz de este hecho y dado que

los numeros naturales (ordenados con la pertenencia) son precisamenteordenes totales finitos, elegimos el tipo de orden de cualquier ordentotal finito

A,r

como el numero natural n tal que

A

n. Esta

eleccion tiene sentido dado que si A

n

, entonces se cumple que A,r n,

. Ademas es la eleccion mas natural, pues se tiene unadefinicion precisa de los numeros naturales. (Vease [Am05]).

0 1 2

Figura 1.1: Tipo de orden 3

2. Siguiendo la tradicion, denotamos con ω el tipo de orden de ,

.En la seccion 1.2.1 se dara una caracterizacion de este tipo de orden.Una caracterizacion de un tipo de orden τ es un teorema que afirmaque cualquier orden total que cumpla ciertas propiedades es isomorfoa τ . Lo interesante es encontar las propiedades que debe cumplir elorden total para ser isomorfo a τ .

0 1 2 3

Figura 1.2: Tipo de orden ω

3. Denotamos con ω el tipo de orden de

, , donde n

m si y solo si

m n.




1.1. Definiciones y ejemplos 5

0123


Ejercicios

1.1.1.- Demuestre que en la parte (iii) de la definicion 1.1 sobra la afirma-cion “y solo una”.

1.1.2.- Considere la siguiente definicion: Decimos que A,r

es un conjunto

con orden reflexivo si A es un conjunto y r es una relacion binariasobre A tal que es reflexiva (para todo a

A,

a, a

r), transitiva (para cualesquiera a,b, c

A, si

a, b

r y b, c

r, entonces

a, c r), y antisimetrica (para cualesquiera a, b A, si

a, b r

y b, a

r, entonces a

b). Sea A un conjunto, demuestre lo

siguiente:

(i) Si A,r es un conjunto con orden reflexivo, entonces el orden

A,r

, con r

r

a, a

: a A

, es un orden parcial;

(ii) Si A,r

es un orden parcial, entonces el orden A,r

, con

r

r

a, a

: a

A

, es un orden reflexivo.

1.1.3.- Considere la siguiente definicion: Decimos que A,r

es un conjunto

con orden total reflexivo si A,r

es un conjunto con orden reflexivo

y para cualesquiera a, b A, a, b

r o b, a

r. Enuncie afirma-ciones similares a las del ejercicio anterior ahora con las nocionesde orden total y conjunto con orden total reflexivo y demuestrelas.

1.1.4.- Demuestre que la relacion “tener el mismo tipo de orden” es deequivalencia sobre la clase (propia) de los ordenes totales.

1.1.5.- (i) Demuestre que si A,r

es un orden total y existe n

talque

A

n, entonces

A,r

n,

, es decir, A,r

y n,

tienen el mismo tipo de orden.

(ii) Demuestre que si A,r

y

B, s

son ordenes totales tales que

son finitos y tienen la misma cardinalidad, entonces tienen elmismo tipo de orden.




6 1. Tipos de orden

1.1.6.- Demuestre que n, m n m n m

, donde es el orden

entre tipos de orden.

1.1.7.- Demuestre que n n, ,

, es decir que n n ω

(donde es la relacion de orden entre tipos de orden).

1.2. Construccion y caracterizacion de las estruc-turas numericas

Para dar una caracterizacion de

,

y, despues de haberlos construidode manera conjuntista, de

,

,

,

y

,

en terminos de como

estan ordenados sus elementos, necesitamos primero dar algunas definicio-nes.

Definicion 1.4 Sea A,r

un orden parcial. Decimos que

A, r

es un con-

junto bien ordenado o un buen orden si y s´ olo si para todo X A con

X , existe y X tal que para todo z X , y, z

r o y z.

Definicion 1.5 Sea

A,r

un orden total. Decimos que

A,r

es sin ex-tremo derecho (izquierdo) si y s´ olo si para todo a A existe b A tal que

a, b r (

b, a

r). Decimos que

A, r

es un orden total sin extremos si

y s´ olo si es sin extremo derecho y sin extremo izquierdo.


un orden total. Decimos que un subconjunto X

de A es acotado superiormente (inferiormente) si y s´ olo si existe a A tal

que para todo x X , x, a r o x a (

a, x r o a x). En este

caso decimos que a es una cota superior (inferior) de X . Decimos que un subconjunto X de A es acotado si y s´ olo si es acotado superiormente y acotado inferiormente.

Definicion 1.7 Sean

A,r

un orden total y X

A. Decimos que X tiene r-mınimo (r-maximo) si y s´ olo si existe y

X tal que para todo x

X

y, x r o y x (

x, y r o x y). En este caso decimos que y es el

r-mınimo (r-maximo) de X .


un orden total y X un subconjunto de A. De-

cimos que w A es el supremo (ınfimo) de X si y s´ olo si w es una cota

superior (inferior) de X y es el r-mınimo ( r-m´ aximo) del conjunto de las cotas superiores (inferiores).




1.2. Construccion y caracterizacion de las estructuras

numericas 7


un orden total. Decimos que A,r

es denso si y s´ olo si para cualesquiera a, b A con

a, b r, existe x A tal que

a, x

r y

x, b

r.

Definicion 1.10 Si A es un conjunto, r A2 y B

A, entonces la res-

triccion de r a B , denotada como r B, se define como

r

B

b1, b2

: b1, b2

B y

b1, b2

r

.Algunas veces simplemente escribimos

B, r , en vez de

B, r B .

1.2.1. Caracterizacion de

,

Como ya mencionamos al principio de este capıtulo la construccion delconjunto

se puede ver con detalle en varios libros, como son [Am05],[HrJe84], [En77]. Damos aquı un resumen con las definiciones y teoremasmas importantes.

Definicion 1.11 Un conjunto n es un numero natural si y s´ olo si cumple lo siguiente:

(i) n es transitivo (i.e. si x n y y

x, entonces y

n);

(ii) n,

es un buen orden;

(iii) todo subconjunto no vacıo de n tiene un -m´ aximo.

Esta definicion esta basada en una idea dada por John von Neumann deque cada numero natural sea el conjunto de los naturales anteriores, de talsuerte que el 0 es el conjunto

vacıo (pues no hay ningun numero natural

anterior a el), el 1 es el unitario del vacıo

, el 2 es el que tiene al vacıoy al unitario del vacıo

,

, ..., el sucesor de n es n

n

, etc. Todos

estos conjuntos efectivamente cumplen la definicion formal de ser numero

natural. Ademas, podemos definir la relacion “menor” en los naturales comola pertenencia, pues el comportamiento de la pertencia sobre estos conjuntoscoincide con la nocion usual del “menor”.

Para poder reunir a todos los numeros naturales en un conjunto se ne-cesita el axioma de infinito3 que afirma lo siguiente: Existe un conjuntoinfinito. Mas aun, dicho conjunto infinito es un conjunto inductivo en elsentido de la siguiente

3Vease el apendice B.




8 1. Tipos de orden

Definicion 1.12 Un conjunto A es inductivo si y s´ olo si

A y siempre que x A, x x A.

El conjunto x

x es llamado el sucesor de x y se denota s

x

.

Ası, el conjunto ω se define como la interseccion de todos los conjuntos

inductivos y existe por el axioma de infinito. Se puede demostrar entoncesque todo numero natural es un elemento de ω y que cualquier elemento deω es un numero natural; es decir, que ω

. Tambien se puede demostrarque las nociones del 0, el sucesor de un conjunto y de ω cumplen con losfamosos axiomas de Peano.

Ademas, se prueba que

,

es un orden total, por lo que es validopreguntarse como es su tipo de orden. El objetivo de esta seccion es preci-samente dar una caracterizacion de ω o de

,

en terminos de su tipo deorden, es decir, de como estan ordenados sus elementos. Esta caracterizacionutiliza uno de los teoremas mas importantes que involucra a los naturales, elteorema de recursi´ on para naturales , con el cual se pueden hacer definiciones

recursivas. La version principal de este teorema (hay varias versiones) es lasiguiente:

Teorema 1.1 Sea A un conjunto cualquiera. Sean a A y f : A

A.

Entonces existe una ´ unica funci´ on h : ω

A tal que h 0

a y h

s

n

f h

n

.

Demostraci´ on. La demostracion de este teorema puede revisarse en [Am05];alternativamente, en el capıtulo 2 demostramos una generalizacion de esteteorema (teorema 2.5)

Ahora damos la caracterizacion de ω como tipo de orden.

Teorema 1.2 Sea A,r

un buen orden no vacıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vacıo de A acotado superiormente tiene m´ aximo.Entonces

A,r

, .

Demostraci´ on. Sean A un conjunto y r A A tales que

(i) A ;

(ii) A,r

es un buen orden;

(iii) x

A

y

A

x r y

; y





numericas 9

(iv) para todo B A, si B

y

y

A

x

B

x r y

x

y

, entonces

z B w B w r z w z .

Queremos demostrar que A, r ,

.Como

A, r

es un buen orden, A

A y A

, sea a el r-mınimo de

A. Definimos f : A

A de tal forma que para cada x A,

f x el r-mınimo de y A : x r y .Como

y

A : x r y

es un subconjunto de A distinto del vacıo pues

A,r

es sin extremo derecho, la funcion f esta bien definida. Por el teorema derecursion para naturales (teorema 1.1), existe una unica funcion h :

A

tal que h 0

a y h

s

n

f

h

n

.

Observese que por la definicion de f x

,

x

A

x r f

x

. Por lo tanto,

n

h

n

r f h

n

y, como h

s

n

f

h

n

, tenemos que

n

h

n

r h

s

n

.

Veamos que h es un isomorfismo.Primero demostraremos que

n m m n h m r h n

. Lo

haremos probando que D n : m m n h m r h n es unconjunto inductivo.

Como m

m

0

, 0

D.

Supongamos que n D y demostremos que s n D. Sea m

tal quem

s

n

n

n

.

Si m n, entonces, por hipotesis de induccion, h

m

r h

n

. Por otro

lado, sabemos que h n

r h s

n

y, como r es transitiva, h

m

r h s

n

.

Si m n, entonces h m h n y, como h n

r h s n , tenemos que

h m r h s n

.Por lo tanto, s

n

D y D es inductivo.

Como h es una funcion entre ordenes totales y

n m m n h m r h n ,

por el ejercicio 1.2.3, h es inyectiva y, ademas,

n

m

m

n

h

m

r h

n

.

Falta demostrar que h es sobre, es decir, que im h

A (la imagen de h

es A). Supongamos que A im h . Como A im h A y

A,r es un

buen orden, sea p el r-mınimo de A im

h

. Entonces B

q

A : q r p

esta acotado por p y B im

h

. Ademas, B

, pues si B

, p serıa

el r-mınimo de A, es decir, a p; por lo tanto, p

a

h

0

im

h

,




10 1. Tipos de orden

contradiciendo el hecho de que p no esta en la imagen de h. Por lo tanto,B

. Tenemos que B im h A, que B y que B esta acotado

superiormente por p, entonces, por el inciso (iv) de nuestras hipotesis, existeq 0

B tal que q 0 es el r-maximo de B. Como q 0 B, q 0 r p y q 0

im h

, pues

p es el r-mınimo de A im

h

. Por lo tanto, q 0

h m

para algun m

.Observese que p es el r- mınimo del conjunto

y

A : q 0 r y

( p es el mınimo

de los r-mayores que q 0), pues si hubiera p

r p tal que p fuera r-mınimo de

y

A : q 0 r y

, entonces q 0 r p

r p y q 0 no serıa el r-maximo de B. Ası, p esel r-mınimo de

y

A : q 0 r y

. Ahora, por la definicion de f , f

q 0

p

el r-mınimo de y

A : q 0 r y

, entonces f

q 0

f h

m

h

s

m

. Por

lo tanto, p f q 0 im h , contradiciendo que p A im h

.Concluimos que im h A y, por lo tanto,

,

h A,r

.

Con este teorema hemos dado una caracterizacion de

, , pues po-

demos concluir que

,

es el unico (salvo isomorfismo) buen orden novacıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vacıo de el acotadosuperiormente tiene maximo.

1.2.2. Construccion y caracterizacion de ,

En la seccion anterior se dieron las ideas principales de la construccionde

,

y tambien una caracterizacion de

,

como tipo de orden. Elsiguiente paso es la definicion conjuntista de los numeros enteros. Antesrecordamos las definiciones de suma y multiplicacion en

.

Definicion 1.13 Sea m

. Definimos la operaci´ on sumar m usando el teorema de recursi´ on para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera.Dados m

y la funci´ on sucesor s :

, por el teorema de recursi´ on

para naturales, existe una ´ unica funci´ on m

:

tal que m

0

my

n

m

s n

s

m

n

. Ası, definimos la operaci´ on suma en

como la funci´ on

:

tal que m, n

m

n m

n

.

Definicion 1.14 Sea m

. Definimos la operaci´ on multiplicar m usandoel teorema de recursi´ on para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera.Dados 0

y la funci´ on sumar m, m :

, por el teorema de recursi´ on para naturales, existe una ´ unica funci´ on m

:

tal que m 0

0 y

n

m

s

n

m

m

n

.





numericas 11

Ası, definimos la operaci´ on multiplicacion en o producto en como la funci´ on

:

tal que m, n m

n m n .

Las notaciones de la suma en los naturales como

y de la multiplica-cion como

pueden parecer excesivas. Sin embargo, definiremos la suma y

la multiplicacion en los enteros con base en las de los naturales por lo queusamos esta notacion para evitar confusiones. Se pueden demostrar (en lamayorıa de los casos por induccion) todas las propiedades conocidas de lasuma y multiplicacion para naturales, como ser conmutativas y asociativas;que la multiplicacion se distribuye sobre la suma; las leyes de cancelacion dela suma y de la multiplicacion; la existencia de los neutros; la compatibilidadde las operaciones con el orden, etc.

Ahora, la idea de la construccion de los numeros enteros es hacer de laoperacion aritmetica de la sustraccion, que solo esta definida parcialmenteen los numeros naturales, una operacion “completa”. Despues de definir alos numeros enteros como conjunto, veremos como se extienden las opera-

ciones de suma y multiplicacion del conjunto al conjunto . Sin embargo,dejaremos las demostraciones de las propiedades de estas operaciones comoejercicios dado que estos resultados realmente pertenecen al campo del alge-bra. Mas bien nos enfocaremos en caracterizar a

,

como tipo de orden.

Existe una manera de definir la resta o sustraccion para algunos paresordenados de numeros naturales: si

m, n

es tal que m n (es decir,

n m o m n), entonces se puede demostrar que existe un unico natural

k tal que m n k, y definimos a m n como k . Pero si m, n

estal que m

n, no existe ningun numero natural k tal que m

n

k (pues

se puede demostrar que n, k

n

n

k

y entonces para cualquier k,

m n

n

k), por lo que m

n no esta definido. Si queremos definir m

n

para este ultimo caso, tendrıamos que encontrar un “nuevo” individuo quesea solucion de la ecuacion m n x. Por ahora, representamos a la restam

n o a la solucion de la ecuacion m

n

x como el par

m, n

sin dar

ninguna restriccion en cuanto a la relacion de orden que exista entre m y n.Es importante notar que siempre que m

n, la solucion de la ecuacion

m n k es unica, pero existen muchas ecuaciones distintas cuyas solu-ciones son la misma. Por ejemplo, la solucion de la ecuacion 3

1

x es la

misma que la de 7 5

y (es decir, 3

1

7

5

2). Esto quiere decir que

hay pares ordenados de numeros naturales que queremos que representen al





mismo numero entero, como es el caso de los pares 3, 1

y

7, 5

. En general,

queremos que a, b

y c, d

representen al mismo entero si la solucion de lasecuaciones a

b

x y c

d

y es la misma. Entonces podemos definir

una relacion sobre

en la que dos pares ordenados esten relacionadossi esto sucede:

a, b r

c, d

si y solo si existe k

tal que a

b

k y c

d

k.

Sin embargo, hay pares ordenados de naturales que serıa deseable que es-tuvieran relacionados y que no estan r-relacionados. Por ejemplo,

1, 2

y

2, 3

no estan r-relacionados pues no hay k

tal que 1

2

k y2

3

k, pero nuestra intuicion indica que deben representar al mismo(nuevo) individuo.

Para solucionar este problema, observese que si a, b

r c, d

, como existe

k

tal que a b

k y c d

k, sumando estas dos ecuacionesadecuadamente

a b

k

d

k c

a

d

k b

k

c

y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelacion de lasuma en los naturales, podemos definir una nueva relacion binaria sobre

de la siguiente manera:

a, b c, d si y solo si a

d b

c.

Observese que todos los pares ordenados que estan r-relacionados tam-bien estan

-relacionados, pero ademas hay nuevos pares ordenados que

sı estan -relacionados, como son

1, 2

y

2, 3

. Mas aun, se puede demos-

trar que la relacion es una relacion de equivalencia (ejercicio 1.2.7 de estaseccion), y gracias a este hecho podemos definir a los enteros como las clasesde equivalencia inducidas por

.

Escribimos a, b

como la clase de equivalencia del par ordenado

a, b

,

es decir, a, b

m, n

:

a, b

m, n

.

Definicion 1.15 Sea

a, b

:

a, b

, es decir, sea

el conjunto cociente de

m´ odulo .

es el conjunto de los numerosenteros y a sus elementos los llamamos enteros.





numericas 13

Los enteros negativos se definen como aquellos a, b

tales que a

b.

Los enteros positivos son aquellos a, b

tales que b a. Ahora definimos elorden comun en

.

Definicion 1.16 Definimos la relaci´ on binaria

sobre


a, b

c, d si y s´ olo si a

d b

c.

Se puede demostrar que

esta bien definida y que ,

es un orden

total. El tipo de orden de

,

se denota como ω

ω. En la seccion

1.3 se definira la suma de tipos de orden y se podra demostar que el tipode orden de

,

es efectivamente la suma del tipo de orden de

,

mas el de

,

(ejercicio 1.3.8). Sin embargo, por ahora ω

ω solo es una

manera de denotar el tipo de orden de ,

.

Para definir las operaciones usuales en los enteros, podemos apelar ala motivacion de su construccion. Como

a, b

y

c, d

“representan” las

soluciones de las ecuaciones a b

x y c d

y, para “representar”

a la suma de

a, b

con

c, d

se necesitan encontrar s y t de forma ques t

x

y . Por lo tanto, sumando las primeras dos ecuaciones,

a b

x

c d

y

a

c

b

d

x

y

se puede ver cual es la definicion adecuada de la suma en los enteros.

Definicion 1.17 Definimos la operaci´ on suma en

como la funci´ on

:

tal que dados a, b

,

c, d

,

a, b

c, d a

c, b

d .

De manera similar, para definir la multiplicacion de a, b

y

c, d

, sa-

biendo que a, b

y

c, d

“representan” las soluciones de las ecuaciones

a b

x y c d

y, se necesitan encontrar s y t de forma ques t

x

y . Por lo tanto, multiplicando la primera ecuacion por y ,

a

y b

y

x

y,





sumando a

d de ambos lados de la igualdad,

a

d

a

y a

d

b

y

x

y,

factorizando a del lado izquierdo de la igualdad,

a

d

y

a

d

b

y

x

y,

sustituyendo d

y por c,a

c a

d

b

y

x

y,

sumando b

d de ambos lados de la igualdad,

a

c

b

d a

d

b

d

b

y

x

y,

factorizando b del lado derecho de la igualdad,

a

c

b

d a

d

b

d

y

x

y,

sustituyendo d

y por c,

a

c

b

d a

d

b

c

x

y,

se puede ver cual es la definicion adecuada de la multiplicacion en los enteros.

Definicion 1.18 Definimos la operaci´ on multiplicacion en

como la fun-ci´ on

:

tal que dados a, b

,

c, d

,

a, b

c, d a

c

b

d, a

d

b

c .

Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicacion ası de-finidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicacion se distribuyesobre la suma. Tambien se puede demostrar que

0, 0

es neutro para la

suma y que 1, 0

es neutro para la multiplicacion. Ademas, para cualquier

entero a, b

existe un inverso aditivo

a, b

y

a, b

b, a

. De esta

manera se puede definir la operacion sustraccion (de manera completa) en

los enteros como a, b c, d a, b

c, d . Asimismo, se puede de-mostrar que las operaciones son compatibles con el orden

, es decir quela suma preserva las desigualdades, que la multiplicacion por positivos noiguales a

0, 0

tambien las preserva, y que la multiplicacion por negativos

“voltea” la desigualdad.Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en

,para cualesquiera

a, b

,

c, d

la ecuacion a, b

c, d

x tiene unaunica solucion en

, pues la motivacion para construir a los enteros fue justamente que se cumpliera esta afirmacion.





numericas 15

Mas aun, si denotamos con 0

a la clase 0, 0

y con 1

a la clase 1, 0

,

la estructura ,

,

,

, 0

, 1

resulta ser lo que en algebra se denomi-

na un dominio entero ordenado, pues, ademas de cumplir las propiedadesmencionadas, se tiene que la multiplicacion de dos enteros es 0

si y solosi alguno de los dos enteros es 0

(lo que se llama “no tener divisores decero”).

Tambien podemos definir el valor absoluto de un entero a, b

, denotadocomo

a, b

, de la siguiente manera:

a, b

a, b

si

a, b

0

,

a, b

si

a, b

0

,

y demostrar todas las igualdades y desigualdades conocidas que involucranal valor absoluto con las operaciones en

.Veamos ahora que el tipo de orden de

,

es una “extension” del

tipo de orden de ,

.

Lema 1.1

,

,

, es decir, el tipo de orden ω es menor o igual

que el tipo de orden ω

ω.

Demostraci´ on. Debemos dar una funcion inyectiva

de

en

tal que

n

m

n

m

n

m

.

Definimos

:

como

n

n, 0

.Primero demostraremos que

n m n m

n

m .

Sean n, m

tales que n m. Tenemos que

n

n, 0

y que

m

m, 0

. Como n

0 n y 0

m m por la definicion y la conmutatividad

de la suma en

, n

0 0

m y

n

m

.

Como

es una funcion entre ordenes totales que cumple que

n

m

m

n

m

n

,

por el ejercicio 1.2.3,

es inyectiva y, ademas,

n

m

m

n

m

n

.

Por lo tanto,

,

,

y ω

ω

ω.

De hecho, podemos decir que

es un morfismo inyectivo entre las es-tructuras

, ,

,

, 0, 1 y

,

,

,

, 0

, 1

, es decir que

, ademasde satisfacer que

,

,

, cumple lo siguiente:

n

m

n

m

n

m .





n

m

n

m

n

m .

0

0

.

1

1

.

Se deja como ejercicio probar que ω ω

ω, pues ω es un buen orden y

ω

ω no lo es. Por lo tanto, ω

ω

ω.

Ahora ya estamos listos para caracterizar a

,

como tipo de orden.

Teorema 1.3 Sea A,r

un orden total no vacıo sin extremos tal que todo

subconjunto no vacıo de A acotado superiormente tiene r-m´ aximo y todosubconjunto no vacıo de A acotado inferiormente tiene r-mınimo. Entonces

A,r

,

.

Demostraci´ on. Sea A, r

un orden total tal que:

(i) A ,

(ii)

a

A

b

A

c

A

b r

a

a r

c

,(iii) para todo B A, si B

y y A x B x r y x y

, entonces

w

B

x

B

x r w

x

w

, y

(iv) para todo B A, si B y

z A x B z r x z x , entonces

v

B

x

B

v r x

v

x

.

Sea p0 A y sean A

p

A : p0 r p

y A

p

A : p r p0

.Como

A,r es un orden total y no tiene extremo derecho,

p0 A , r

es un orden total y no tiene extremo derecho. Como todo subconjunto novacıo de

p0

A esta acotado inferiormente por p0, todo subconjunto novacıo de

p0

A tiene r-mınimo, por lo que p0

A , r es un buen

orden. Ademas, todo subconjunto no vacıo de p0

A acotado superior-

mente tiene r-maximo, pues esto se cumple en A,r . Por lo tanto, por elteorema 1.2,

p0 A , r es isomorfo a

, . Sea f :

p0 A

un isomorfismo.Analogamente podemos ver que

A

p0

, r

1

, , donde r

1

es la relacion inversa de r (vease el ejercicio 1.2.10 de esta seccion). Por lotanto, sea f :

A

p0 un isomorfismo.

Observese que, por ser f y f isomorfismos, f

0

p0

f

0

.

Se deja al lector(ejercicio 1.2.9) demostrar que para todo n, m

tal que n, m

0

, existe un unico k

tal que k, 0

n, m

y que





numericas 17

para todo n, m

tal que

n, m

0

, existe un unico k

talque

0, k n, m

. Entonces podemos ver a

como la union k, 0

: k

0, k

: k

.

Definimos g :

A de la siguiente manera:

g n, m

f

k si

n, m

0

y k, 0

n, m ,

f

k

si

n, m

0 y

0, k

n, m

.Por las observaciones anteriores, g esta bien definida y es la union de dosisomorfismos compatibles (i.e. que coinciden en los puntos que sus dominiostienen en comun). Se puede demostrar que g es un isomorfismo y, comoA

A

p0

A , tenemos que

,

g A, r

.

Con este teorema hemos dado una caracterizacion de

,

, pues po-

demos concluir que

,

es el unico (salvo isomorfismo) orden total novacıo sin extremos, y tal que todo subconjunto no vacıo acotado de el tienemınimo y maximo. Por lo tanto el tipo de orden ω

ω tiene el siguiente

aspecto:

0 1 2 3 4

1

2

3


ω


,

Al igual que como construimos

,

a partir de

,

completando laoperacion resta solo parcialmente definida en

, , construiremos

,

a partir de ,

completando la operacion division.La suma, la multiplicacion y la resta estan definidos para cualquier par

de numeros enteros, pero la division no, pues dados a, b

no siempre esposible encontrar un c

tal que a b

c (por ejemplo, si a 15 y

b 2, no existe tal c en

). Observese que hemos dejado de denotar a loselementos de

como n, m

con n, m

, pues conviene relajar la notacion.

Diremos que a

es divisible entre b

si existe c

tal que a

b

c. Queremos extender la estructura de los numeros enteros para que todoelemento a de esta estructura extendida sea divisible por cualquier elemento





b de la misma, pero tambien pretendemos que esta extension preserve todaslas reglas aritmeticas validas en

. En particular, como 0

x 0

paratodo x

, el sistema extendido tambien debe cumplir esta igualdad. Ası,la ecuacion a

0

x puede tener muchas soluciones o no tener ninguna;si a

0

, no tiene ninguna, y si a 0

, tiene una infinidad. Por esto esque nuestra estructura extendida solo cumplira que para todo elemento a ytodo elemento b

0

existe un unico x tal que a b x.

Sea

0

. Al igual que sucedio al construir

, hay pares or-denados de enteros en

que representan al mismo “cociente”. Por ejemplo,las ecuaciones 4

2

x tiene la misma solucion que la ecuacion 8 4

x yentonces queremos que 4

2 sea el mismo numero que 8

4. Ası que esta vez

tambien definimos una relacion sobre


a, b

r

c, d

si y solo si existe k

tal que a b

k y c d

k.

Sin embargo, en esta ocasion, de manera similar a como sucedio en laconstruccion de

, hay pares ordenados de enteros que serıa deseable queestuvieran relacionados y que no estan r-relacionados. Por ejemplo, 6

4 y 3

2

no estan r-relacionados pues no hay k

tal que 6 4

k y 3 2

k, peronuestra intuicion indica que deben representar al mismo (nuevo) individuo.

Para solucionar este problema, observese que si a, b

r

c, d

, como en-

tonces existe k

tal que a b

k y c d

k, multiplicando estas dosecuaciones adecuadamente

a

b

k

d

k c

a

d

k

b

k

c

y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelacion de lamultiplicacion en los enteros (observando que en el caso en que k

0

tendrıamos que a 0

y c 0

y la igualdad de la siguiente definiciontambien se cumplirıa), podemos definir la relacion binaria sobre

0


a, b

c, d

si y solo si a

d b

c.

Observese que todos los pares ordenados que estan r-relacionados tam-bien estan

-relacionados, pero ademas hay nuevos pares ordenados que

sı estan -relacionados, como son 6

4 y 3

2. Mas aun, se puede demostrar

que la relacion es una relacion de equivalencia (ejercicio 1.2.12 de esta





numericas 19

seccion), y gracias a este hecho podemos definir a los racionales como lasclases de equivalencia inducidas por

.

Denotamos la clase de equivalencia del par ordenado a, b

como a

b, es

decir, a b

c, d

:

a, b

c, d

.

Definicion 1.19 Sea

a

b :

a, b

, es decir, sea

el

conjunto de las clases de equivalencia de

m´ odulo . es el conjunto delos numeros racionales y a sus elementos los llamamos racionales.

Para definir el orden en los racionales primero debemos notar que todoracional se puede representar como la clase de equivalencia de un elemento a, b

donde b

0

, puesa

b

a

b donde b

0

o b

0

.


sobre


si b

0

y d

0

, a

b

c

d

si y s´ olo si a

d

b

c.

Se puede demostrar que

esta bien definida y que ,

resulta ser

un orden total. El tipo de orden de

,

se denota con η. Recordemos

que lo que nos interesa es construir la estructura numerica de los racionalespara despues caracterizarla como tipo de orden, por lo que ahora definimoslas operaciones usuales.

Para definir las operaciones usuales en los racionales, podemos apelar a lamotivacion de su construccion. Como a

b y c

d representan a las soluciones

de las ecuaciones a b

x y c d

y, para representar a la suma de a b

con c d se necesita encontrar s y t de forma que s

t

x

y . Por lo

tanto, multiplicando la primera ecuacion por d,

a

d

b

d

x,multiplicando la segunda ecuacion por b,

c

b b

d

y,

sumando las dos ecuaciones anteriores,

a

d

c

b

b

d

x

b

d

y ,

factorizando b

d del lado derecho de la igualdad,

a

d

c

b

b

d

x

y ,

se puede ver cual es la definicion adecuada de la suma en los racionales.





Definicion 1.21 Definimos la operaci´ on suma en como la siguiente fun-ci´ on

:

tal que dados a b, c d

,

a

b

c

d

a

d

b

c

b

d .

De manera similar, para definir la multiplicacion de a b y c

d, sabiendo

que a b y c

d representan a las soluciones de las ecuaciones a

b

x yc d

y, se necesitan encontrar s y t de forma que s t

x

y . Por lo

tanto, multiplicando las dos primeras ecuaciones,

a b

x

c d

y

a

c b

d

x

y

se puede ver cual es la definicion adecuada de la multiplicacion en los racio-nales.

Definicion 1.22 Definimos la operaci´ on multiplicacion en

como la si-guiente funci´ on

:

tal que dados a b, c d

,

a

b

c

d

a

c

b

d.

Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicacion ası de-finidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicacion se distribuyesobre la suma. Tambien se puede demostrar que 0

1 es neutro para la su-

ma y que 1 1 es neutro para la multiplicacion. Ademas, al igual que como

se cumple en los enteros, para cualquier racional a b existe un inverso adi-tivo

a b y a b a b; ası, se define la operacion sustraccion como

a b

c d

a

b

c

d

. De hecho, tambien como sucede en los enteros,

para cualesquiera a b, c

d

la ecuacion a b

c

d

x tiene una unicasolucion en . Asimismo, se pueden definir los racionales positivos comoaquellos a b tales que a b

0 1, y a los negativos como los racionales que

no son positivos ni cero. De manera similar a como sucede en los enteros, sepuede demostrar entonces que las operaciones son compatibles con el orden

, es decir que la suma preserva las desigualdades, que la multiplicaci on





numericas 21

por positivos no iguales a 0 1 tambien las preserva, y que la multiplicacion

por negativos cambia el sentido de la desigualdad.

Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en

, sepuede demostrar que para cualesquiera a

b, c

d

, si c d

0

1, la ecuacion

a b c d

x tiene una unica solucion en

, pues la motivacion para construira los racionales fue justamente que se cumpliera esta afirmacion. De hecho,por cumplir con las propiedades mencionadas, la estructura

,

,

,

, 0

, 1

donde 0

es la clase 0 1 y 1

la clase 1 1, es lo que en algebra se denomina

un campo ordenado.

Ademas, la estructura construida ,

, cuyo tipo de orden denotamos

como η, es realmente una extension de

,

, pues tomando

:

donde

p

p

1

, tenemos que

,

,

, lo cual equivale a que

ω

ω

η.

Mas aun, la funcion

es un morfismo inyectivo entre las estructurasalgebraicas

,

,

,

, 0

, 1

y

,

,

,

, 0

, 1

, es decir que

,ademas de satisfacer que

,

,

, cumple que

p

q

p

q

p

q , que

p

q

p

q

p

q , y que

0

0

y

1

1

.

Ahora cumplimos el principal objetivo de esta seccion: caracterizar a

,

como tipo de orden.

Recordemos que un conjunto A es numerable si existe una funcion bi-yectiva f :

A; este hecho lo entedemos como que A tiene la misma

cardinalidad o misma cantidad de elementos que (vease la introduccion ala seccion 1.2.4).

Lema 1.2

,

es un orden total denso, sin extremos y numerable.

Demostraci´ on. El hecho de que

,

es un orden total se deja como

ejercicio. La prueba de que

es numerable se puede ver en [Am05].

Para ver que esta estructura es sin extremos, basta ver que para todoa

b

, se tiene que a b

1

a b

a b

1

.





Para ver que

,

es denso, sean a

b, c

d

con a

b

c d.

Sin perdida de la generalidad podemos suponer que b, d

0

. Entonces

a

d

b

c

2

b

d

y se cumple que ab

a

d

b

c

2

b

d

cd

.

Por lo tanto, ,

es denso, sin extremos y numerable.

De manera que el tipo de orden η tiene el siguiente aspecto:

Figura 1.5: Tipo de orden η

En la proxima seccion veremos que, aunque en esta figura η aparentaser una lınea continua, en realidad tiene muchos huecos.

Los siguientes dos teoremas demuestran el mismo hecho: que

,

es

el unico (salvo isomorfismo) orden total denso, sin extremos y numerable.Las demostraciones de estos teoremas son distintas, pero ambas utilizan el

procedimiento conocido en ingles como el metodo “back-and-forth”. La fra-se “back-and-forth” se usa en la lengua inglesa para hablar de una accionhecha “de ida y vuelta” o “en un sentido y en el sentido inverso”. La idea deeste procedimiento consiste en construir un isomorfismo primero decidiendoa donde mandar un elemento del dominio y despues tomando un elementodel codominio para decir de cual elemento del dominio sera imagen. Estaeleccion de elementos en el dominio y el codominio se repite una cantidadnumerable de veces hasta abarcar a todos los elementos de ambos y la cons-truccion se hace de tal forma que la funcion resultante sea un isomorfismo.Entonces se llama “forth” (“ida” o “en un sentido”) a la parte del proce-dimiento en que se elige un elemento del dominio y se decide cual sera su

imagen, y se llama “back” (“vuelta” o “en el sentido inverso”) a la partedel procedimiento en que se elige un elemento del codominio y se decide decual elemento del dominio sera imagen. Teniendo en cuenta esta forma deconstruir isomorfismos podemos entender mejor las demostraciones de lossiguientes dos teoremas.

Aunque el teorema que a continuacion presentamos se debe a Cantor,el proceso “back-and-forth” es posiblemente un metodo de demostracionposterior.





numericas 23

Teorema 1.4 (Cantor) Cualesquiera dos ´ ordenes totales, densos, sin ex-tremos y numerables son isomorfos.

Demostraci´ on. Sean A,r

y

B, s

dos ordenes totales, densos, sin ex-

tremos y numerables. Como A y B son numerables, sean A

an : n ω

y B

bn : n ω

de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones

inyectivas (es decir, no repiten elementos de A o B ).

Definimos dos sucesiones cn : n ω

y dn : n ω

por recursion (veasela figura 1.6):

(i) c0 a0 y d0 b0;

(ii) sea k 0 y supongamos definidos cm y dm para toda m

k,

• si k es impar, definimos dk como b j B donde j es el mınimo

natural tal que m

k

b j

dm , y definimos ck como ai

A

donde i es el mınimo natural tal que ai guarda la misma relacion

en el orden r

con respecto a c0, c1, ... y ck

1 que la relacion queguarda dk en el orden s con respecto a d0, d1, ... y dk

1; podemosencontrar tal ai gracias a que

A,r

es denso y sin extremos.

• si k es par, definimos ck como ai A donde i es el mınimo natural

tal que m

k

ai

cm , y definimos dk como b j

B donde j esel mınimo natural tal que b j guarda la misma relacion en el ordens con respecto a d0, d1, ... y dk 1 que la relacion que guarda cken el orden r con respecto a c0, c1, ... y ck 1; podemos encontrartal b j gracias a que

B, s

es denso y sin extremos.

Claramente, cn : n A y

dn : n B. Ahora probemos que

A

cn : n

por induccion fuerte utilizando que A

an : n

.

- Si n

0, como c0 a0, a0

cn : n

.

- Supongamos que i

k

ai

cn : n

, entonces

i

k

n

ai

cn . Sea n0 el maximo n

tal que cn ai para

algun i k. Queremos demostrar que ak

cn : n

.

Si ak cn para algun n

n0, entonces ak

cn : n

.

Si n

n0

ak cn

, entonces





• si n0 es impar, n0 1 es par y por lo tanto, por la construccion de

la sucesion cn : n ω

, tenemos que ak cn0 1 cn : n .

• si n0 es par y ak cn0 1, entonces ak

cn : n

. Pero sin0 es par y ak

cn0

1, entonces n

n0

1 ak

cn y, como

n0 2 es par, por la construccion de la sucesion

cn : n

ω

,

tenemos que ak

cn0 2

cn : n

.

Por lo tanto, A

an : n

.

Analogamente se puede demostrar que B

dn : n

.

Sea h : A

B tal que n

h

cn

dn . Entonces h es un isomorfismo

y A,r

B, s

, es decir

A,r

y

B, s

tienen el mismo tipo de orden.

A

B

h

a0

b0

c0

d0

a1

b1

c1

d1

a2

b2

c2

d2

a3

b3

c3

d3

a4

b4

c4

d4

a5

b5

a6

Figura 1.6: Construccion de las sucesiones cn : n

ω

y

dn : n

ω

a

partir de las sucesiones an : n

ω

y

bn : n

ω

Por el lema y teorema anteriores sabemos que entonces

,

es el

unico (salvo isomorfismo) orden total, denso, sin extremos y numerable.Como ya djimos anteriormente, el siguiente teorema prueba esto mismo,pero la demostracion es un tanto distinta y tambien refleja el “aspecto” quetiene

,

.

Teorema 1.5 (Cantor) Todo orden total sin extremos, denso y numerable es isomorfo a

,

.





numericas 25

Demostraci´ on. Sea

,

un orden total sin extremos, denso y numera-

ble. Como

y

son numerables, sean pn : n ω

y q n : n ω

de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas.

Diremos que una funcion h de un subconjunto de

en

es un isomorfismo parcial de en si

p, p

dom

h

p

p

h

p

h p

.

Primero probaremos la siguiente afirmacion: si h es un isomorfismo par-cial de

en

tal que dom h

es finito, para cualesquiera p

y q

existe un isomorfismo parcial h p,q de

en

tal que h h p,q, p

dom

h p,q

y q im

h p,q

.Sea h pi1 , q i1 , pi2 , q i2 ,..., pik

, q ik

un isomorfismo parcial de

en

, donde pi1

pi2

...

pik. Entonces tambien q i1

q i2

...

q ik.

Sean p

y q

.

Si p dom h y q im h

, entonces definimos h p,q h.

Si p dom

h

, entonces puede suceder que p

pi1 , que pik

p, o que pir

p

pir

1 con 1

r

k. Tomamos q n

, donde n es el mınimonatural tal que q n guarda la misma relacion en el orden

con respecto aq i1

, q i2

, ... y q ik

que la relacion que guarda p en el orden

con respecto a

pi1 , pi2 , ... y pik. Es decir, q n

, donde n es el mınimo natural tal que: si p

pi1 , entonces q n

q i1 (tal q n existe pues

es sin extremo izquierdo);si pik

p, entonces q ik

q n (tal q n existe pues

es sin extremo derecho);y si pir

p

pir 1 con 1

r

k, entonces q ir

q n

q ir 1 (tal q n

existe pues

es denso).

Sea h

h

p, q n

, entonces h es un isomorfismo parcial de

en

y p dom

h

.

Si q im h

, sea h p,q h .

Si q im

h

, escribimos

h

p j1 , q j1

, p j2 , q j2

,..., p j

k

, q jk

,

p j

k

1, q j

k

1 ,

donde p j1

p j2

...

p jk

p jk

1. Entonces tambien se tiene que

q j1

q j2

...

q jk

q jk

1. Por lo tanto, puede suceder que q

q j1 ,que q jk 1

q , o que q jr

q

q jr

1 con 1

r

k. Tomamos pm

,donde m es el mınimo natural tal que pm guarda la misma relacion en elorden

con respecto a p j1 , p j2 , ... y p jk

1 que la relacion que guarda q

en el orden

con respecto a q j1, q j2, ... y q jk

1. Es decir, pm

, dondem es el mınimo natural tal que: si q

q j1 , entonces pm

p j1 (tal pmexiste pues

es sin extremo izquierdo); si q jk 1

q , entonces p jk 1

pm





(tal pm existe pues es sin extremo derecho); y si q jr

q

q jr 1 con

1 r k, entonces p jr

pm

p jr

1 (tal pm existe pues

es denso).

Sea h

h

pm, q

, entonces h es un isomorfismo parcial de

en

, p dom

h

y q

im

h

. Por lo tanto, definimos h p,q

h .Ası, hemos probado que si h es un isomorfismo parcial de

en

talque dom h

es finito, para cualesquiera p

y q

existe un isomorfismoparcial h p,q

h tal que p dom

h p,q

y q im

h p,q

.

Ahora, definimos por recursion una sucesion de isomorfismos parcialesde la siguiente manera:

h0 ,

hn 1 hn pn,qn,

donde hn pn,qn es la extension de hn que cumple pn

dom hn pn,qn

yq n im hn pn,qn

.

Finalmente si definimos h

n

hn, entonces

,

h

,

.

Ası, hemos caracterizado a

,

como tipo de orden. Ademas, pode-

mos demostrar el siguiente poderoso resultado.

Corolario 1.1 Todo orden total numerable S,

S puede sumergirse iso-

m´ orficamente en ,

, es decir, hay una funci on inyectiva S

, que preserva el orden, lo cual se denota con

S,

S

,

.

Demostraci´ on. La demostracion de este corolario es muy parecida a laprueba del teorema anterior.

Como S y

son ambos conjuntos numerables, sean S

sn : n ω

y q n : n ω

de forma que ambas enumeraciones sean sucesionesinyectivas.

Podemos demostrar que para cualquier isomorfismo parcial h de S,

S

en ,

con dominio finito y cualquier elemento s S , existe un isomor-fismo parcial hs de

S,

S

en

,

tal que h hs y s

dom

hs

.

Sea h si1 , q i1 , si2 , q i2 ,..., sik, q ik

un isomorfismo parcial de S en

, donde si1

S si2

S ...

S sik

. Entonces tambien q i1

q i2

...

q ik.

Sea s S .

Si s dom h , entonces definimos hs h.

Si s dom

h

, entonces puede suceder que s

S si1 , que sik

S s, o que

sir

S s

S sir

1 con 1

r

k. Tomamos q n

, donde n es el mınimonatural tal que q n guarda la misma relacion en el orden

con respecto a





numericas 27

q i1, q i2 , ... y q ik que la relacion que guarda s en el orden

S con respecto a

si1 , si2, ... y sik. Es decir, q n

, donde n es el mınimo natural tal que:

si s

S si1, entonces q n

q i1 (tal q n existe pues

es sin extremo izquierdo);

si sik S

s, entonces q ik

q n (tal q n existe pues

es sin extremo derecho);y si sir S

s S

sir

1 con 1

r

k, entonces q ir

q n

q ir

1 (tal q n

existe pues es denso).

Sea hs h

s, q n

, entonces hs es un isomorfismo parcial de S,

S

en

,

, h

hs y s

dom

hs

.

Ahora, definimos por recursion una sucesion de isomorfismos parciales:

h0

hn 1 hn sn donde

hn sn es la extension de hn tal que sn

dom hn sn

.

Finalmente si h

n

hn, entonces S,

S h ,

.

Entonces podemos concluir que hay una copia dentro de

,

de

cualquier orden total numerable; es decir, todo orden total numerable puedeser encajado isomorficamente en cualquier orden total numerable denso ysin extremos.


,

Todas las estructuras numericas que hasta ahora hemos caracterizadotienen la misma cardinalidad. De manera similar a como hemos definidoque dos ordenes totales tengan el mismo tipo de orden, la nocion de que dosconjuntos tengan la misma cardinalidad puede definirse sin que sea necesariodefinir el concepto de numero cardinal.

Definicion 1.23 Sean A y B conjuntos cualesquiera. Decimos que A tienela misma cardinalidad que B , o que A es equipotente a B , si y s´ olo si existe una funci´ on biyectiva f : A

B. Este hecho lo denotamos como A

B.

Se puede ver que la relacion “tener la misma cardinalidad” es de equiva-lencia sobre la clase (propia) de todos los conjuntos. Sin embargo, las clasesde equivalencia inducidas por esta relacion no siempre son conjuntos, por loque elegir un representante de cada una para definir los numeros cardinales





no puede hacerse a la ligera. En el capıtulo 3 de este libro definimos for-malmente cuales son estos numeros cardinales que representan a cada clasede equivalencia.

Por ahora, lo interesante es notar que

,

y

tienen la misma cardina-lidad, llamada, como ya mencionamos, numerable. Durante un tiempo los

matematicos se preguntaron si todos los conjuntos infinitos tenıan la mismacardinalidad, pero Cantor descubrio que existen conjuntos infinitos que noson numerables. Este descubrimiento se convirtio, segun autores como Ka-namori (ver [Ka96], en particular la nota al pie de pagina numero 6), en elorigen del desarrollo de la Teorıa de Conjuntos.

El conjunto potencia de A, P A , es el conjunto de todos los subconjun-

tos de A. Claramente, existe una funcion inyectiva g : A P A

definida

como g a

a

. Sin embargo, lo que Cantor demostro es que A no es equi-

potente con P A

(vease por ejemplo [Am05]), es decir, demostro que la

cardinalidad de P A es “mas grande” que la de A para cualquier conjunto

A. Como consecuencia de este resultado, se tiene que el conjunto infinito

P

no es numerable. Por otro lado, se puede demostrar que P

A

tienela misma cardinalidad que la del conjunto A2

f

f : A

0, 1

(vease

por ejemplo [Am05]). En particular, P

tiene la misma cantidad de ele-

mentos que el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos. El conjuntode los numeros reales, que construiremos a continuacion, es uno de los con-

juntos mas famosos en matematicas y no es numerable. Intuitivamente estoes porque al representar a los numeros reales en sistema binario obtenemosesencialmente a todas las sucesiones de ceros y unos.

Al igual que en los naturales y en los enteros, existen ecuaciones en losracionales que no tienen solucion y este hecho puede motivar la necesidad deextender la estructura numerica de los racionales. Sin embargo, a diferen-

cia de las construcciones de los enteros y racionales, que se hacen mediantela complecion de operaciones algebraicas (la resta y la division respectiva-mente), veremos que la construccion de los reales como extension de losracionales tiene una naturaleza netamente conjuntista.

Las observaciones para determinar que

,

tiene huecos han sido

conocidas desde tiempos de los griegos, aunque la problematica no estuvie-ra expresada precisamente en estos terminos. La escuela pitagorica, no sesabe si Pitagoras mismo, descubrio que no existıa ningun numero racionalcuyo cuadrado fuera el numero 2. En terminos modernos, esta escuela descu-





numericas 29

brio que la ecuacion x

x 2 no tiene solucion en . Pero lo que resulto un

golpe mas fuerte para la escuela pitagorica fue el descubrimiento de que notodos los segmentos de recta tuvieran medida racional; la terminologıa dela epoca era que habıa segmentos de recta inconmensurables, es decir, sinposibilidad de medirse. Se cree que este descubrimiento se hizo cuando seintentaba dar la razon entre el lado de un cuadrado cuyos lados fueran demedida unitaria y la diagonal de este cuadrado. A traves del teorema dePitagoras y del hecho de que ningun racional al cuadrado es 2, se descu-brio que la diagonal de este cuadrado era inconmensurable. Este hecho loentendemos en terminos modernos como que la hipotenusa de un triangulorectangulo de lado 1 mida

2 y que este numero no sea racional. A partir deese momento y durante muchos anos la mayorıa de los matematicos griegosseparo a la geometrıa de la aritmetica, hablando de segmentos inconmen-surables y considerando que el uso de los numeros para medir longitudesy areas era contrario al “idealismo platonico”. Sin embargo, los numerosracionales en forma de cocientes de enteros eran conocidos y utilizados enla Grecia Antigua. Ademas, el matematico Arquımedes uso estos numerosen su estudio de las areas y los volumenes, y sus ideas de aproximar areasy volumenes con racionales de manera sucesiva se acercan a la concepcionmoderna de los numeros reales. Este comienzo de la historia de los numerosreales puede consultarse en [BePi63].

Durante muchos siglos los matematicos utilizaron los numeros realessin que existiera una definicion exacta de ellos. Afortunadamente, la ideaintuitiva que se tenıa del sistema de numeros reales era lo suficientementeacertada como para que rara vez se llegara a conclusiones falsas. Con baseen esta concepcion informal se creo, por ejemplo, el calculo de Newton yLeibniz. No fue sino hasta finales del siglo XIX con el trabajo de Cantor y

particularmente el de Dedekind que la pregunta “¿que es un numero real?”fue resuelta.

El hecho de que

,

tenga huecos se puede formalizar con la termino-

logıa de tipos de orden: en

,

no todos los subconjuntos superiormente

acotados tienen supremo (o, equivalentemente, no todos los subconjuntosinferiormente acotados tienen ınfimo).

Es decir, la motivacion para completar a

,

es la misma de que

existen segmentos de recta cuya medida no es racional, pero el planteamientoesta en terminos de las definiciones relacionadas con el comportamiento





de los ordenes totales. Para decir cual es la longitud de un segmento derecta dado AB tomamos el conjunto S de todos los numeros racionalespositivos x tales que x es menor o igual que la distancia de A a B (medidaen terminos de un segmento unitario fijo), entonces si d es el

-maximode S , d es la longitud del segmento AB. Sin embargo, no siempre sucedeque S tenga

-maximo; por ejemplo, si AB es la diagonal de un cuadradocuyos lados miden lo mismo que el segmento unitario, podemos ver que elconjunto S

q

: 0

q y q

q

2 y que S no tiene

-maximo.Precisamente el conjunto S es un subconjunto superiormente acotado de

que no tiene supremo. Por lo tanto, la motivacion para la construccion dela estructura

,

es que sea una extension de

,

en la que todo

subconjunto superiormente acotado tenga supremo (esta afirmacion a veceses llamada el axioma del supremo).

Primero analicemos que sucede si cortamos un orden total A,r

cual-

quiera. La idea intuitiva de lo que hacemos cuando cortamos un orden totales simplemente la de cortarlo con unas tijeras cuyas navajas sean infinita-mente delgadas. La definicion formal es la siguiente.

Definicion 1.24 Una cortadura de un orden total A,r

es un par orde-

nado B, C

, donde B y C son subconjuntos ajenos no vacıos de A tales que

A B C y si b B y c C entonces b r c.

Entonces dada una cortadura B, C

de un orden total A,r

se puededar alguna de las siguientes cuatro situaciones.

1. B tiene un r-maximo y C tiene un r-mınimo, como en la figura 1.7.1;

2. B tiene un r-maximo y C no tiene un r-mınimo, como en la figura1.7.2;

3. B no tiene un r-maximo y C tiene un r-mınimo, como en la figura1.7.3; o

4. B no tiene un r-maximo y C no tiene un r-mınimo, como en la figura1.7.4.

El tipo de cortadura enumerada como la 1 se puede denominar comoun “salto”. Este tipo de cortadura no existe en

,

, pues si hubieran

B y C tales, como

,

es denso, habrıa un q

entre el r-maximo





numericas 31

de B y el r-mınimo de C , y entonces la union de B y C no podrıa ser .Sin embargo, todos los demas tipos de cortaduras pueden darse en

,

.

Las cortaduras enumeradas como la 2 y la 3 son equivalentes en el sentidode que en ambos casos el subconjunto B tiene supremo; en el caso 2, elsupremo serıa el r-maximo de B, y en el caso 3, este serıa el r-mınimo deC . El tipo de cortadura enumerada como la 4 se puede denominar comoun “hueco” y estas cortaduras son precisamente las que no quisieramos quefueran posibles en la extension

,

de

,

. Es decir, queremos que

,

sea una complecion de

,

que resulte ser un orden total en el

que las unicas cortaduras posibles sean las de tipo 2 o 3, de forma que todosubconjunto de

,

superiormente acotado tenga supremo.

1.

C B

2.

C B

3.

C B

4.

C B

Figura 1.7: Tipos de cortaduras

Construyamos entonces al sistema de los numeros reales basandonos enel trabajo de Dedekind.

Definicion 1.25 Un conjunto I es un segmento incial de

si y s´ olo si

(i)

I

,

(ii) r, s

r

s s

I

r

I

, y

(iii) r

I

q

I

q

r .





Observese que si I es un segmento inicial de , entonces el par ordenado I, I

es una cortadura de ,

. Mas aun, si I es un segmento inicial

de

, entonces I,

I

es una cortadura de tipo 3 o 4, pues por el inciso

(iii) I no tiene maximo.

Definicion 1.26 Una cortadura de Dedekind es una cortadura I,

I

donde I es un segmento inicial de

.

La idea genial de Dedekind fue la de tomar a los segmentos iniciales deracionales precisamente como los numeros reales.

Definicion 1.27 Sea

el conjunto de todos los segmentos iniciales de

,es decir,

I : I es un segmento inicial de .

es el conjunto de losnumeros reales y a sus elementos los llamamos reales.

Por lo tanto, los numeros reales son los segmentos inciales que correspon-den a las cortaduras del tipo 3 o 4. Esto es natural, pues, como ya discutimos,

las cortaduras de tipo 1 son imposibles en ,

, y las de tipo 2 son equi-valentes a las de tipo 3 y no queremos repetir individuos. De hecho podemospensar que cuando una cortadura de Dedekind es de tipo 3 el numero realque le corresponde es un racional y cuando es de tipo 4 el n umero real quele corresponde es un “individuo nuevo” o un irracional. En otras palabras,dado r

, I r q

: q

r es un segmento inicial de

(como sedemuestra en el siguiente lema) y la cortadura de Dedekind

I r,

I r

es detipo 3. Sin embargo, existen segmentos iniciales I de

, como por ejemplo

I q

: q

0 q 2

2 , tales que

r I I r y una cortadura

de Dedekind I,

I

correspondiente a esta clase de segmentos es de tipo

4. Cabe mencionar que al cortar el orden total

,

la probabilidad de

que la cortadura resultante sea de tipo 3 es mas bien baja, aunque sı puedasuceder, esto es intuitivamente (gracias a nuestro conocimiento previo dearitmetica cardinal y al hecho de que la cardinalidad de

es no numerable)porque la cardinalidad de

es numerable y la cardinalidad de sus huecoses mayor.

Es claro ahora por que dijimos en la introduccion de esta seccion que laconstruccion del conjunto

es de naturaleza netamente conjuntista, pues losnumeros reales son subconjuntos de numeros racionales y los supremos deestos subconjuntos son ellos mismos. Es decir, la manera en que Dedekind





numericas 33

decidio llenar los huecos fue definiendo al conjunto de todos los racionalesa la izquierda de un hueco como el punto que llena ese hueco.

Como por definicion P

, podemos por lo pronto afirmar que lacardinalidad de

es menor o igual que la cardinalidad de la potencia de

, esdecir que

2ℵ0 (vease [Am05] para la aritmetica cardinal involucrada).

Lema 1.3 Para todo r

, I r q

: q

r es un segmento inicial de

.

Demostraci´ on. Sea r

. Como

es sin extremo izquierdo, existe q

con q

r, por lo que I r . Claramente I r

y, como r I r, I r

.Por lo tanto,

I r

.Sea q I r y sea t

tal que t

q , entonces t

q

r y, por latransitividad de

, t I r.

Sea q I r. Como

,

es denso y q

r, existe p

tal queq

p

r. Por lo tanto, I r no tiene

-maximo.

Veremos que estos segmentos iniciales I r con r

son los correspon-dientes a los “numeros racionales en

”. Ası, reaparece el sabor conjuntistade esta construccion, pues los racionales ahora seran subconjuntos de racio-nales. Como ya discutimos, hay muchos otros segmentos iniciales que no sepueden escribir de esta forma y estos son los que llenan los huecos, es decirlos correspondientes a los numeros irracionales.

Ahora definimos el orden en

de forma que extienda el orden en

eincluya los “huecos”.


sobre


I

J si y s´ olo si I J.

Ahora veamos que es correcto hablar del tipo de orden de

,

.

Lema 1.4

,

es un orden total.

Demostraci´ on. Claramente

es antirreflexivo y transitivo, pues se defi-nio como la contencion propia entre segmentos iniciales.

Veamos que

es tricotomica. Sean I, J

tales que I J e I

J .Queremos demostrar que J

I , es decir que J I . Sea q

J . Como por





hipotesis I J , I

J

, entonces sea r

I

J . Como q, r

y

,

es un orden total, q

r o r

q . Si r

q , como q J y J es segmentoinicial de

, r J , lo que contradice que r

I

J .

Por lo tanto, q

r. Como I es segmento inicial de

y r I , q

I y

J I . Pero por hipotesis J

I , entonces J

I y J

I .

Por lo tanto, para todo I , J

sucede una de las siguientes situaciones:I

J , J

I o I J . Para ver que solo puede suceder una de estas

situaciones, basta recordar que

se definio como la contencion propia.

Denotamos con λ al tipo de orden de ,

.

Figura 1.8: Tipo de orden λ

Aunque en aparencia el tipo de orden λ se vea igual que el tipo de ordenη (figura 1.5), sabemos que son muy distintos, pues demostraremos que λ,

a diferencia de η , no tiene “huecos”.Demostremos ahora que la estructura

realmente es una extension de

.

Lema 1.5 El tipo de orden η es menor o igual que el tipo de orden λ, es decir

,

,

.

Demostraci´ on. Sea

:

definida como sigue

r

I r

q

: q

r .

Veamos que r, r

r

r

r

r

.Sean r, r

tales que r

r . Entonces para todo q I r, q

I r , pues

si q

r, como r

r , q

r . Ademas, como ya vimos antes, I r I r .Por lo tanto, I r I r y

r

r

.

Como

es una funcion entre ordenes totales y ademas se cumple que

r, r

r

r

r

r

, por el ejercicio 1.2.3,

es inyectivay, ademas,

r, r

r

r

r

r

.

Ası que,

,

,

y η

λ.





numericas 35

Por consiguiente podemos ver a los numeros racionales en como losnumeros reales I r con r

.Para ver que

,

es realmente la complecion de

,

necesitamos

las siguientes definiciones.


un orden total. Decimos que D

A es denso

en A si y s´ olo si para cualesquiera a, b A con a r b, existe d D tal que a r d r b.

Definicion 1.30 Sea A, r


A,r

es separa-

ble si y s´ olo si existe un subconjunto numerable D de A que es denso en

A.



A, r

es completo

si y s´ olo si todo subconjunto no vacıo superiormente acotado de A tiene supremo.

Primero demostraremos que

,

es denso, sin extremos, completoy separable (donde el subconjunto numerable de

denso en

sera preci-samente Q

I r : r

, que es el correspondiente a los racionales) y

despues demostraremos que es el unico salvo isomorfismo orden total conesas propiedades.

Teorema 1.6

,

es un orden total denso, sin extremos, completo y

separable.

Demostraci´ on. Por el lema 1.4 sabemos que

,

es un orden total.

Demostremos que

,

es sin extremos.

Sea I

. Como I es un segmento inicial de ,

I

, entonces sea

q I . Como ,

es sin extremo derecho, sea q con q

q .Por el lema 1.3, sabemos que I q es un segmento inicial de

por lo queI q

. Demostremos que I

I q , es decir que I I q . Sea x

I . Como

,

es orden total, x

q o q

x. Si q

x, como I es segmentoinicial y x

I , q

I , lo que contradice que q

I . Entonces x

q . Comoq

q , x

q y x I q . Por lo tanto, I I q . Ademas, q I q y q I , porlo que I

I q y

,

no tiene extremo derecho.

Ahora, sea p I , entonces p

y, por el lema 1.3, I p es un segmentoinicial de

. Demostremos que I p

I , es decir que I p I . Sea x

I p,





entonces x

p. Como I es segmento inicial de y p I , x

I . Por lo

tanto, I p I . Ademas, p I y p I p (pues p

p), por lo que I p I y

,

no tiene extremo izquierdo.

Demostremos que ,

es completo, es decir, que todo subconjunto

no vacıo superiormente acotado tiene supremo.

Sea B

tal que B

y esta superiormente acotado. Demostraremosque

B es el supremo de B . Primero veamos que

B

.

Como B

, sea I B. Entonces I es un segmento inicial de

, puesB

, e I

. Sea y I , entonces y

B y

B

.

Sea y

B. Entonces y I para alguna I

B. Como I es segmento

inicial de

, I

. Por lo tanto, y

y

B

. Para demostrar que

B

, sea I

una cota superior de B. Entonces J B J

I , es

decir, J B J I

. Por lo tanto,

B I . Como I es un segmento inicialde

, I

, por lo que

B

.

Ahora, sean p, q

tales que p

q y q

B. Entonces q J para

alguna J B. Como B

, J es un segmento inicial de

y p J . Por lo

tanto, p

B.Sea y

B, luego existe I tal que y I

B. Como I es segmento

inicial existe x I tal que y

x y x

B.

Por lo tanto,

B es un segmento inicial de

y

B

.

Claramente

B es el supremo de B, pues dado I B, I

B yentonces I

B; y dada K una cota superior de B, si y

B, y J

para alguna J B y, como K es cota superior de B, J K , por lo quey

K y

B K .

Para demostrar que

,

es separable, sea Q

I r : r

. Porel lema 1.5, sabemos que

Q

ℵ0, pues

es inyectiva y suprayectivasobre su imagen Q.

Ahora veamos que Q es denso en .Sean I, J

tales que I

J , es decir, I J . Entonces sea r

talque r

J

I . Como J es segmento inicial de

, no tiene

-maximo, seat

J con r

t. Veamos que I

I t

J .

Sea p I . Si r

p, como I es segmento inicial de y p I , r

I ,

lo que contradice que r J I . Por lo tanto, p

r y, como r

t, p I t.Como r

t, r I t, pero r

I , por lo que I

I t e I

I t. Ahora, sea p

I t, entonces p

t. Como J es segmento inicial de

y t J , p

J .

Ademas, t I t, pues t

t, y t J , por lo que I t

J e I t

J .





numericas 37

Por lo tanto, Q es denso en y

,

es separable.

El hecho de que ,

sea separable implica que es denso.

Por lo tanto,

,

es un orden total denso, sin extremos, completo y

separable.

El siguiente teorema nos da la caracterizacion de ,

como tipo de

orden.

Teorema 1.7 Cualesquiera dos ´ ordenes totales densos, sin extremos, com-pletos y separables son isomorfos.

Demostraci´ on. Sean A,

A y

B,

B dos ordenes totales densos, sin

extremos, completos y separables. Entonces sean DA

A y D

B B tales

que DA

es denso en A, DB

es denso en B y D

A ℵ0

DB

.

Es claro que D

A,

A

DA

y

DB

,

B

DB

son ordenes totales densos,

sin extremos y numerables, por lo tanto son isomorfos por el teorema 1.4.Sea h : D

A

D

B

un isomorfismo, entonces h es biyectiva y se cumple que

x, y

D

A x

A y

h

x

B h

y

.

Definimos la funcion f : A

B de la siguiente manera:

f a

sup

h

x

: x

D

A

x

Aa

,

donde sup denota al supremo de un conjunto. Queremos mostrar que f es elisomorfismo deseado. Primero veamos que f esta bien definida. Sea a

A.

Como DA

no tiene extremo izquierdo, h

x

: x

D

A x

A a

.

Ademas como A no tiene extremo derecho, sea a

A tal que a

A a . La

densidad de DA

en A implica que hay t D

A tal que a

A t

A a . Entonces

para todo x D

A con x

Aa, se tiene que x

A t. Ası que para todo x

D

A

con x

A a, se tiene que h x

B h t , pues x, t DA y h es isomorfismo.Por lo tanto,

h

x

: x D

A x

A a

esta acotado superiormente por

h t y, como B es completo, dicho conjunto tiene supremo y ası f esta bien

definida.

Para demostrar que f es un isomorfismo, primero demostremos que h

f D

A, es decir que

x

D

A f

x

h

x

. Sea x D

A. Tenemos que

mostrar que h x

sup

h

y

: y

D

A y

A x

def f x

. Como h

es isomorfismo, entonces y

D

A y

A x

h

y

B h

x

, por lo que

h x

es cota superior de

h

y

: y

D

A y

A x

. Ahora, sea t una





cota superior de este mismo conjunto. Si y D

A y y

A x, tenemos que

h y

B t. En particular, si y x, entonces h x

B t, por lo que se tiene

que h x

sup

h

y

: y

D

A y

A x

y h

x

f

x

.

En segundo lugar veamos que a1, a2

A a1 A

a2 f

a1 B

f a2

.Sean a1, a2

A tales que a1

A a2. Como D

A es denso en A, sean y1, y2

DA

tales que a1

A y1

A y2

A a2. Como h es isomorfismo y a1

A y1,

entonces para cualquier y DA

con y

A a1, se tiene que h y

B h y1

,por lo que h

y1

es cota superior del conjunto h

y

: y

D

A y

A a1

.Entonces se tiene que f

a1

sup h

y

: y

D

A y

A a1

B h

y1

f y1

. Por otra parte como h es isomorfismo y y1

A y2, entonces f

y1

h y1

B h y2 f y2

. Ademas, como h y2 h y : y D

A y

A a2

,entonces f y2 h y2

B sup

h y : y D

A y

A a2 f a2

.Por lo tanto, f

a1

B f

y1

B f

y2

B f

a2

y hemos probado que

a1, a2

A a1 A

a2 f

a1 B

f a2

. Mas aun, por el ejercicio 1.2.3(ver al final de esta seccion) tenemos que f es inyectiva y que

a1, a2 A a1

A a2 f a1

B f a2 .

De manera que para mostrar que f es un isomorfismo, solo falta ver que

f es suprayectiva.Sea b B. Si b D

B, entonces, como h es sobre, existe a D

A tal que

h a

b y, como h

f

DA

, entonces f a

h

a

b.

Si b D

B, entonces sea Ab

y D

A : h

y

B b

. Queremos demostrar

que b f

sup Ab

. Primero veamos que Ab ∅. Como B no tiene extremo

izquierdo, sea b0 B tal que b0 B b, por la densidad de DB en B hay

x1 DB tal que b0 B x1 B b y como h es sobre DB entonces x1 h y1

para algun y1 DA, de donde h

y1

x1 B b y por lo tanto y1 Ab.

Es decir, Ab ∅. Veamos ahora que Ab esta acotado superiormente. Como

B no tiene extremo derecho, sea b

B tal que b

B b . Por la densidad

de DB

en B, sea x0 DB

tal que b

B x0

B b . Ya que h es sobre, hay

y0 D

A con h

y0

x0 y b

B h

y0

. Ahora, dado y Ab, se tiene que

h y

B b

B h

y0

. Por lo que si y Ab, entonces y

A y0, pues h es

isomorfismo. Por lo tanto, y0 es cota superior de Ab y ası sup Ab existe.

Antes de mostrar que b f

sup Ab

, mostremos la siguiente propiedadgeneral:

z

DA

z A sup Ab

z Ab

(1.1)

En efecto, si z D

A y z

A sup Ab, como el supremo de Ab es la mınima

cota superior de Ab, entonces existe z0 Ab tal que z

A z0.





numericas 39

Puesto que h es isomorfismo se tiene que h z

B h

z0

y dado quez0 Ab, entonces h z0

B b, de donde h z

B h z0

B b y por lo tanto

h z

B b, es decir, z Ab. Por lo que se cumple la propiedad (1.1).

Continuando con nuestro objetivo, para ver que b f sup Ab

como

f sup Ab def sup

h y : y D

A y

A sup Ab

veamos primero que b

es cota superior del conjunto h

y

: y

D

A

y

A

sup Ab con lo cual

tendremos que b f

sup Ab

. Sea y DA con y

sup Ab. Tenemos dos

casos:

Si y sup Ab, entonces h

y

h

sup Ab

. Queremos mostrar queh y b. Supongamos lo contrario, es decir b

B h

sup Ab para

llegar a una contradiccion. Como DB

es denso en B, sea t0 D

B tal

que b

B t0

B h

sup Ab

. Dado que h es sobre, sea u0 D

A tal que

h u0

t0. Entonces b B

h u0 B

h sup Ab

h y

y, como h es

isomorfismo, u0 A sup Ab

y y por la propiedad (1.1), u0 Ab.

Entonces h u0

B b, es decir, t0

B b, contradiciendo que b

B t0.

Por lo tanto, h sup Ab

B b.

Si y

A sup Ab, entonces por la propiedad (1.1), y

Ab y h

y

B b.

Por lo tanto, b es cota superior del conjunto h

y

: y

D

A y

A sup Ab

y ası b sup Ab.

Finalmente veamos que b es la mınima cota superior. Sea c una cotasuperior de

h

y

: y

D

A y

A sup Ab

y supongamos para llegar a unacontradiccion que c

B b. Como D

B es denso en B, existe x

D

B tal que

c

B x

B b y puesto que h es sobre, hay y

D

A con h

y

x, de donde

c

B h y

B b y entonces y Ab, por lo que y

A sup Ab; pero como c

es cota superior de h

y

: y

D

A y

A sup Ab

, entonces h y

B c, es

decir, x B c, contradiciendo que c B x. Por lo tanto, b c y ası b es elsupremo de

h

y

: y

D

A y

A sup Ab

, es decir, b f

sup Ab

, lo cualconcluye la prueba de que f es suprayectiva.

Luego entonces f es isomorfismo y por lo tanto A,

A f

B,

B .

Como en el teorema 1.6 demostramos que

,

es un orden total den-

so, sin extremos, completo y separable, entonces, salvo isomorfismo,

,

es el unico con estas propiedades.

Ahora definimos las operaciones en

.





Definicion 1.32 Sean x, y

. Definimos lo siguiente:

(i) x

y p

q : p x q y ;

(ii) 0

q

: q

0

y 1

q

: q

1

;

(iii) x

p

: s

p

s x

;

(iv) x

y x

y

;

(v)

x

x

x ;

(vi)

x

y

0

B si x

0

y y

0

x

y

si x

0

y y

0

x

y

si x

0

y y

0

o x

0

y y

0

donde B

p

q : 0

p x

0

q y

(vii)x 1

p

: s

1

s

p s

x

si x

0

,

x

1

si x

0

;(viii)

x

0

q

: q 2

q

q x

si x

0

.

Se pueden demostrar entonces las reglas aritmeticas usuales:

y

son cerradas, conmutativas y asociativas;

distribuye a

; 0

es el neutrocon respecto a

, 1

es el neutro con respecto a

; dado x

, x

y es su inverso aditivo; dado x

con x 0

, x 1

y es su inversomultiplicativo; dado x

, x

0

;

es compatible con

, etc.Tambien se puede demostrar que la funcion

:

definida en lademostracion del lema 1.5 preserva las operaciones, es decir, que

p q

p

q

p

q , que

p

q

p

q

p

q , que

0

0

y que

1

1

.En [Am05] aparece la siguiente demostracion debida a Cantor de que

es no numerable. Esta demostracion particular utiliza la caracterizacionde

como tipo de orden (de hecho unicamente utiliza que

es un ordentotal denso, sin extremo derecho y completo). La damos aquı no solo porqueesta muy acorde con esta seccion, sino ademas porque refleja la razon porla cual

no es numerable.





numericas 41

Teorema 1.8 El conjunto es no numerable.

Demostraci´ on. Supongamos para llegar a una contradiccion que

esnumerable. Entonces

cn : n ω . Encontraremos un numero real

a

cn : n ω

.

Definimos dos sucesiones an : n

ω

y

bn : n

ω

por recursion.

(Vease la figura 1.9):

(i) a0 c0 y

b0 ck, donde k es el mınimo natural tal que a0

ck (pues

es sin extremo derecho),

(ii) an 1 ck, donde k es el mınimo natural tal que an

ck

bn(pues

es denso) y

bn 1 ck, donde k es el mınimo natural tal que an 1

ck

bn(pues

es denso).

a0

b0a1

b1a2 b2a3 b3

Figura 1.9: Construccion de las sucesiones an : n

ω

y

bn : n

ω

Como

es completo y an : n

ω

esta acotado superiormente por bn

(para cualquier n ω), sea a sup

an : n ω

.Demostraremos que a cn : n ω

.Primero veamos que

n

ω

an

a

bn .

Si hubiera un j ω tal que a

a j , como a sup

an : n

ω

, a

a j .

Por construccion, a j

a j 1. Entonces a a j

a j 1, contradiciendo quea es cota superior del conjunto an : n ω .

Si hubiera un j ω tal que b j

a, como b j es cota superior del conjunto

an : n

ω

, b j

a. Por construccion b j

1

b j y b j

1 es cota superior delconjunto

an : n

ω

, contradiciendo que a es la mınima cota superior.

Luego entonces, n

ω

an

a

bn .

Sea ci cn : n ω . Entonces puede ser que

n ω ci

an bn

ci ,

o que n

ω

an

ci

bn .

Si n

ω

ci

an bn

ci , entonces a

ci, dado que se cumple que

n

ω

an

a

bn .





Si n

ω

an

ci

bn , en particular para m

ω, am

ci

bm.Entonces ci debe ser seleccionado como a j 1 o b j 1 para algun j

m y j

m i. Es decir, ci debe ser seleccionado como elemento de alguna de

las dos sucesiones a lo mas depues de i pasos de la recursion, pues se eligesiempre el de mınimo ındice. Esto contradice que

n

ω

an

ci

bn ,

por lo que este caso no es posible.Ası se tiene que a ci para cualquier i ω, lo que contradice que

cn : n

ω

.

Por consiguiente,

es no numerable.

De lo anterior se sigue que ℵ0 . Ya habıamos mencionado anterior-

mente que, como P

,

2ℵ0 , entonces hasta ahora tenemos que

ℵ0 2ℵ0 . Para ver que

2ℵ0 razonamos de la siguiente manera.

Tomamos el conjunto de las sucesiones de ceros y unos (que son elementosde 2) restando aquellas sucesiones que a partir de cierto momento seansolo ceros. Este conjunto tiene la misma cardinalidad 2ℵ0 puesto que soloeliminamos una cantidad numerable de sucesiones. Definimos una funcionf : 2

0, 1

de forma que f

a0a1a2 . . .

0.a0a1a2 . . ., que es un real del

intervalo 0, 1

en notacion binaria. Entonces

2

0, 1

.Hemos visto que existen funciones inyectivas

:

,

:

,y

:

, de tal forma que podemos ver a los naturales como unsubconjunto de

. El siguiente teorema demuestra que el conjunto de losnumeros naturales no esta acotado superiormente en

.

Teorema 1.9

es arquimediano, es decir, r n r

n .

Demostraci´ on. Supongamos para llegar a una contradiccion que

esta acotado superiormente en

. Como

es completo, sea b sup

.

Entonces b

1

no es cota superior de (se deja como ejercicio ver queb

1

b). Por lo tanto, existe n0

tal que b

1

n0. Como

es compatible con

(ejercicio 1.2.24, inciso (viii)) y 1

1

0

(ejercicio 1.2.24, inciso (v)), b

n0

1

. Pero si n0

, se puede ver quen0

1

y esto contradice el hecho de que b sup

.Por lo tanto,

no esta acotado superiormente en

.

Ası, los naturales son “cofinales” en

, es decir, dado cualquier numeroreal, existe un natural mas grande que el real dado.





numericas 43

Ejercicios

1.2.1.- Demuestre que todo buen orden es un orden total.

1.2.2.- Demuestre que si A es finito y A, r

es un orden total, entonces

A,r es un buen orden.

1.2.3.- Sea A,r

tal que r es tricotomica en A, sea

B, s

un orden parcial

y sea f : A

B tal que x, y

A

x r y

f

x

s f y

. Demuestreque

(a) f es inyectiva, y que

(b) x, y A x r y f x

s f y .

1.2.4.- Demuestre que n

n,

,

, es decir, que el tipo deorden de cualquier natural es distinto de ω. Concluya, usando elejercicio 1.1.7, que

n n ω como tipos de orden.

1.2.5.- Demuestre que ω ω .

1.2.6.- Sea A,r

un orden total. Pruebe que

A, r

es un buen orden si y

solo si no existe una sucesion an

n ω

tal que

n

ω

an 1 r an

.Comentario: Se necesita el axioma de eleccion4 para probar una delas implicaciones, ¿cual de ellas? Tambien se necesita el teoremade recursion (teorema 1.1) para escribir con todo rigor una de lasimplicaciones.

1.2.7.- Demuestre que la relacion definida sobre

para definir

es

de equivalencia.

1.2.8.- Demuestre que

,

es un orden total sin extremos.

1.2.9.- (a) Demuestre que para todo n, m

tal que n, m

0

,existe un unico k

tal que k, 0

n, m

.

(b) Demuestre que para todo n, m

tal que n, m

0

,existe un unico k

tal que 0, k

n, m

.

4Vease el apendice B.





1.2.10.- Sea A un conjunto y r una relacion binaria sobre A. Definimos r 1

una relacion binaria sobre A de la siguiente manera: x r 1 y si y

solo si y r x. Demuestre que si A,r

es un orden total entonces

A,r 1

es un orden total.

1.2.11.- Demuestre que la funcion g definida en la demostracion del teorema

1.3 esta bien definida y es un isomorfismo.

1.2.12.- Demuestre que es una relacion de equivalencia sobre

.

1.2.13.- Demuestre que a b

a

b.

1.2.14.- Demuestre que las operaciones definidas sobre los racionales estanbien definidas.

1.2.15.- Demuestre que la suma y la multiplicacion en los racionales sonconmutativas y asociativas, y que la multiplicacion se distribuyesobre la suma.

1.2.16.- Demuestre que si a b, c d y c d 0

, la ecuacion a b c d

xtiene una solucion x

y esta es unica.

1.2.17.- Demuestre que el orden

esta bien definido.

1.2.18.- Demuestre que p

q si y solo si p 1

q 1.


:

donde

p

p

1

es un morfismo

inyectivo de

,

,

,

, 0

, 1

en

,

,

,

, 0

, 1

.


,

es un orden total.

1.2.21.- Justifique que para cualquier tipo de orden numerable τ se tieneque τ η.

1.2.22.- Demuestre que un orden total A,r

es completo si y solo si todo

subconjunto inferiormente acotado tiene ınfimo.

1.2.23.- Sea P,

P un orden total, denso y sin extremos. Demuestre que

existe un orden total denso, sin extremos y completo C,

C tal

que:

(i) P C ,




1.3. Aritmetica de tipos de orden 45

(ii) p, q

P

p

P q

p

C q

,

(iii) P,

P es denso en

C,

C y

(iv) C,

C es el unico salvo isomorfismo que cumple lo anterior.

A veces a C,

C se le llama la compleci´ on de

P,

P .

1.2.24.- Demuestre que:

(i) la operacion

es cerrada, asociativa y conmutativa;

(ii) la operacion

es cerrada, asociativa y conmutativa;

(iii) la operacion

distribuye a

;

(iv) 0

es el neutro con respecto a

y 1

es el neutro con respectoa

;

(v) si x

, entonces x

y, ademas, x es el inverso aditivo

de x;

(vi) si x

es tal que x 0

, entonces x 1

y es su inversomultiplicativo;

(vii) si x

, entonces x

y x

0

;

(viii) x,y,z

x

y

x z

y z

;

1.2.25.- Demuestre que la propiedad arquimediana enunciada en el teorema1.9 es equivalente a que

a, b

a, b

0

n

b

n

a .

1.3. Aritmetica de tipos de orden

Es interesante explorar lo que pasa cuando unimos dos ordenes totalespara formar un nuevo orden total, de forma tal que uno quede a la izquierdadel otro. Tambien es interesante hacer el producto cartesiano de dos ordenestotales para formar un nuevo orden total. Estos nuevos ordenes los definimosde la siguiente manera.

Definicion 1.33 Sean τ y µ tipos de orden representados por A,

A y

B,

B respectivamente.





Si A B

, definimos τ

µ (la suma de τ mas µ) como el tipo de

orden de A B,

A B , donde

x

A

B y si y s´ olo si

x

A y y x, y A, o

x

B y y x, y

B, o

x A y y

B.

Definimos τ µ (el producto de τ por µ; o τ , µ veces) como el tipo de orden de

A

B,

A B , donde

a1, b1

A B a2, b2

si y s´ olo si

b1

B b2, o

b1 b2 y a1

A a2.

A este orden se le llama orden antilexicografico.

Observese que al definir A B no se necesita pedir que A y B sean

ajenos. De hecho, un caso particular es τ τ denotado como τ 2.

Por otro lado, cuando escribamos τ τ estaremos asumiendo que es el

tipo de orden de la union de dos ordenes totales ajenos con el mismo tipo

de orden. Esto se puede lograr tomando un orden total

A,

A

con tipode orden τ y uniendo

A,

A con

A

,

A

, donde se cumple que

a,

A

b,

si y solo si a

A b.

Es interesante decir aquı que si τ y µ son tipos de orden finitos, τ µ

µ τ y τ µ µ τ , pero que si τ o µ son infinitos, la suma τ µ y elproducto τ

µ pueden ser diferentes a la suma µ

τ y al producto µ

τ

respectivamente (veanse los ejercicios 1.3.4, 1.3.5 y 1.3.6 de esta seccion).Las figuras 1.10, 1.11, 1.12 son ejemplos visuales de la suma y la multi-

plicacion de tipos de orden.





0, 0 1, 0 2, 0

3, 0

0, 1

Tipo de orden ω 1

0, 0

1, 0

2, 0

3, 0

0, 1

1, 1

2, 1

3, 1

Tipo de orden ω ω

0, 0 1, 0

2, 0

3, 0

4, 0

0, 1

1, 1

2, 1

Tipo de orden ω

ω

Figura 1.10: Ejemplos de suma de tipos de orden

Ejercicios

1.3.1.- Sean A,

A y

B,

B ordenes totales tales que A

B

.

Demuestre que A

B,

A

B es un orden total.

1.3.2.- Si A,

A y

B,

B son ordenes totales, demuestre que tambien

A

B,

A

B es un orden total.

1.3.3.- Sean τ , µ y σ tipos de orden. Demuestre que

(i)

τ

µ

σ

τ

µ

σ

,(ii)

τ µ σ τ µ σ ,

(iii) τ µ σ τ µ τ σ ,

(iv) τ τ

τ

2.

1.3.4.- Sean A,

A y

B,

B ordenes totales finitos. Entonces sus tipos

de orden son n y m para algunos n, m

. Demuestre que n m

m n y que n

m

m

n, donde

es la suma de tipos de orden y

es la multiplicacion de tipos de orden.





0, 0

1, 0

2, 0

3, 0

0, 1

1, 1

2, 1

3, 1

0 1

Tipo de orden ω 2

0

0 0

0

0

0 0

1

1 1

1

1

11

η

q0

q0, 0

q0, 1

q1

q1, 0

q1, 1

q2

q2, 0

q2, 1

q3

q3, 0

q3, 1

q4

q4, 0

q4, 1

q5

q5, 0 q5, 1

q6

q6, 0

q6, 1

Tipo de orden 2 η

η

ω ω ω

ωωωω

Tipo de orden ω η

Figura 1.11: Ejemplos de multiplicacion de tipos de orden





0, 0

1, 0

2, 0

0, 1

1, 1

2, 1

ω

ω

ωωω ωωω

Tipo de orden ω ω

ω

0, 0

1, 0

2, 0

0, 1

1, 1

2, 1

ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

Tipo de orden ω

ω

ω

ω

Figura 1.12: Ejemplos de suma y multiplicacion de tipos de orden





1.3.5.- Demuestre que el tipo de orden ω 1 no es igual al tipo de orden

1 ω, es decir, que en general la suma de tipos de orden no es

conmutativa.

1.3.6.- Demuestre que el tipo de orden ω 2 no es igual al tipo de orden

2 ω, es decir, que en general el producto de tipos de orden no es

comutativo.


(i) ω ω

ω,

(ii) ω ω

ω,

(iii) ω ω

ω

ω

ω

ω

ω ,

(iv) 1 ω ω ω

1,

(v) ω

1

ω

1

ω ,

(vi) ω ω

ω

ω

1.3.8.- (a) Demuestre que el tipo de orden de

,

es igual a ω .

(b) Demuestre que el tipo de orden de

0 ,

es ω ,

donde n, 0

m, 0

si y solo si m

n. Tambien demuestre

que el tipo de orden de

1 ,

es ω, donde

n, 1

m, 1

si y solo si n m.

(c) Demuestre que el tipo de orden de

,

es igual al tipo de

orden ω

ω. Es por esto que decidimos denotar al tipo de

orden de los enteros como ω

ω.

Sugerencia: Utilice al orden total

0

,

como re-presentante del tipo de orden ω y a

1 ,

como repre-

sentante del tipo de orden ω .

1.3.9.- Demuestre que los siguientes tipos de orden son todos diferentes:

(a) ω

ω,

(b) ω

ω

ω

ω

,

(c) ω

ω

ω

ω

.





1.3.10.- Encuentre un contraejemplo para justificar que no siempre

µ σ τ µ τ σ τ .

Observe que esto no contradice el inciso (iii) del ejercicio 1.3.3.

1.3.11.- Recuerde que denotamos con η al tipo de orden de ,

. De-

muestre que

(i) η η

η

η

η

η

2

2

η;

(ii) 1

η

η

η

1

η

1

η

1

η

η

1

η

η.

1.3.12.- (i) Demuestre que η η

1.

(ii) Sea f :

1, 1

definida como f x

x

x

1 , donde

1, 1

q

: 1

q q

1

y

x

x si x

0

,

x si x

0

.

Pruebe que ,

f 1, 1 ,

1,1

. Observese

que el tipo de orden de

1, 1

,

1,1

es η

1,

por lo que η η

1. Por otro lado, claramente se cumple que

1, 1 ,

1,1

,

y entonces η

1 η,

pero por el primer inciso de este ejercicio η η

1. Por lo

tanto, la relacion entre tipos de orden no es antisimetrica,

es decir, si τ y µ son tipos de orden con τ µ y µ

τ , esto

no necesariamente implica que τ µ.

1.3.13.- Describa como es el tipo de orden ω η

ω

ω

.

1.3.14.- Recuerde que denotamos con λ al tipo de orden de

,

. De-muestre que

(i) λ λ λ,

(ii) λ λ

λ.

(iii) λ λ

λ y λ

λ

λ.




2Numeros ordinales

2.1. Introduccion

Los numeros naturales se definen para formalizar el proceso de contar loselementos de conjuntos finitos. Este proceso de contar involucra ordenar alos elementos. Los numeros ordinales, como su nombre lo indica, generalizanesta formalizacion de ordenar a cualquier conjunto finito o infinito, usando elaxioma de eleccion (discutido en el apendice B), para contar sus elementos.

En la introduccion de la seccion 1.2.1 mencionamos la definicion denumero natural y discutimos brevemente su motivacion. Los numeros natu-

rales se definen de manera que representen a todas las distintas cantidadesfinitas. Al decir que n es un natural se busca que n represente a todos losconjuntos finitos con n elementos. Entonces debe elegirse un conjunto quetenga 0 elementos, uno que tenga 1 elemento, uno que tenga 2 elementos,etc. Esta eleccion se hace usando la idea de John von Neumann de quetodo natural es el conjunto de los naturales anteriores a el. Entonces el pri-mer natural, por ser el primero y por ser el conjunto de los anteriores, esnecesariamente el vacıo (esto no deberıa sorprendernos pues existe solo unconjunto con ningun elemento, por lo que este es el unico candidato para ser

53




54 2. Numeros ordinales

el natural 0). El siguiente natural, como es el conjunto de los naturales ante-riores, es el unitario del vacıo; el siguiente es el conjunto que tiene al vacıo yal unitario del vacıo, etc. Este proceso de construccion de los naturales tam-bien se puede describir de la siguiente manera: el vacıo es el primer natural ydado n un natural, el siguiente natural, usualmente llamado el sucesor de n

y denotado s n

, se obtiene agregando a n un elemento mas y este elemento

es n mismo; es decir, s n n n . Construıdos ası, los naturales resultan

ser transitivos (un conjunto x es transitivo si y

y

x

y

x

) y bien

ordenados por la pertenencia. El desarrollo formal de los numeros naturalespuede verse en [Am05]. Lo importante aquı es decir que la definicion deque un conjunto sea finito depende por completo del concepto de numeronatural.

Definicion 2.1 Un conjunto A es finito si existe un n´ umero natural n y una biyecci´ on f : n

A. Es decir, un conjunto es finito si es equipotente a

alg´ un n´ umero natural (definici´ on 1.23).

Si existe un numero natural n y una biyeccion f : n A, se dice queA tiene n elementos y estos fueron contados en el orden natural, es decir,primero el f

0 A, luego el f

1 A, etc.

Buscamos una generalizacion de estas ideas para poder contar los ele-mentos de conjuntos en general, incluso cuando tengan un numero infinitode elementos. Como los numeros naturales resultan muy adecuados paracontar los conjuntos finitos, los naturales seran ordinales. Pero necesitamosdefinir a los ordinales de tal forma que los elementos de cualquier conjuntopuedan ser contados por ellos (con la ayuda del axioma de elecci on). Dehecho, la idea de John von Neumann mencionada anteriormente es mas ge-neral: todo ordinal es el conjunto de los ordinales anteriores a el. Entonces el

siguiente ordinal depues de todos los naturales es el conjunto de todos ellos:ω, el mınimo conjunto inductivo (vease la introduccion de la seccion 1.2.1).Continuando ası, el siguiente ordinal despues de ω, su sucesor, es ω

ω

,

denotado como ω 1 (por ahora, ω

1 es solo una manera de denotar

al sucesor de ω, pero una vez definida la suma entre ordinales formalmen-te veremos que precisamente ω

1 ω ω

). El siguiente es entoncesω

1

ω

1

, denotado como ω

2, y ası sucesivamente. El siguiente

ordinal despues de todos los de la forma ω n con n

ω es el conjunto

de todos los anteriores, es decir, ω

ω n : n

ω

que normalmente se




2.1. Introduccion 55

denota como ω ω; observese que este es un “salto” similar al que hicimos

cuando construimos ω . Despues, para cada n ω, construiremos

ω n

ω

ω

. . .

ω

n veces

ω

ω

n : n

ω

ω

ω

n : n

ω

. . .

. . .

ω . . .

ω

n 1 veces

n : n

ω

.

Si continuamos ası, construiremos el ordinal denotado como

ω ω

ω

ω

ω

. . .

ω

ω

n : n

ω

ω

ω

n : n

ω

. . .

Posteriormente, el ordinal

ωω ω ω ω . . . ,

y ası sucesivamente.Debe ser claro que con esta idea cada numero ordinal es un conjunto

transitivo de ordinales, pues los elementos de sus elementos son anteriores asus elementos y por tanto anteriores a el, por lo que seran tambien elementossuyos. Ademas cada ordinal pertenece y al mismo tiempo es subconjuntopropio del siguiente. Esto nos sugiere a la relacion de pertenencia como elorden lineal entre los ordinales. Veremos que la pertenencia entre ordina-les coincide con la contencion propia y es ademas un buen orden para losordinales. Todas estas ideas intuitivas seran demostradas con todo rigor apartir de la definicion que daremos de numero ordinal.

La clase (veremos que es propia) de los numeros ordinales comparte

varias propiedades con los naturales (aunque no sea conjunto), por ejemplodemostraremos el principio del mınimo ordinal, el principio de induccionpara ordinales y el teorema de recursion transfinita que son generalizacionesde los resultados correspondientes para naturales.

Tambien veremos que dado un conjunto bien ordenado A,r

existe un

unico ordinal α y una funcion f tal que A, r f α,

(teorema de enu-meracion). Entonces podremos “contar” los elementos de A por medio delisomorfismo f y es ası como los ordinales formalizaran el proceso de contarincluso a conjuntos infinitos. Pero es aquı donde necesitamos el axioma de





eleccion pues para poder afirmar que los elementos de cualquier conjuntopueden ser “contados” por un ordinal, necesitamos que el conjunto sea bienordenable. El teorema del buen orden que afirma que todo conjunto es bienordenable es equivalente al axioma de eleccion (ver [Am05] para esta equiva-lencia; tambien en la seccion 2.7.4 veremos, como una aplicacion del teoremade recursion transfinita, que el axioma de eleccion implica el teorema delbuen orden).

Formalicemos ahora todo lo discutido.

2.2. Definiciones y propiedades

Definicion 2.2 Un numero ordinal es un conjunto transitivo bien ordenadopor la relaci´ on de pertenencia

.

La frase “α es ordinal” significa entonces lo siguiente:

y

y

α

y

α

α,

es un buen orden.

Comprobaremos que esta definicion formal coincide con la idea de Johnvon Neumann discutida arriba. Ademas, veremos durante todo este capıtuloque esta definicion es la adecuada para que se cumpla nuestro objetivo:“contar” los elementos de conjuntos infinitos por medio de los ordinales.

Los ordinales seran denotados con letras griegas minusculas α , β, γ , δ, . . .

Proposicion 2.1 Sean α, β y γ ordinales. Entonces se cumple lo siguiente:

(i) α α;

(ii) si α β y β

γ , entonces α

γ ;

(iii) no es posible que α β y β α.

Demostraci´ on.

(i) Usando el axioma de buena fundacion esta afirmacion es obvia. Sinembargo, en el caso en que α es ordinal podemos evitar su uso mediantela siguiente argumentacion.

Sea α un ordinal. Si α α, entonces hay un elemento en α, a saber α

mismo, que se pertenece a sı mismo, contradiciendo el hecho de que

sea antirreflexiva en α, es decir que

α,

sea un orden parcial. Por

lo tanto, α α.




2.2. Definiciones y propiedades 57

(ii) Sean α, β y γ ordinales tales que α β y β

γ . Entonces, como γ es

transitivo, se tiene que β γ . Por lo tanto, α γ .

(iii) Supongamos que α y β son ordinales tales que α β y β

α. En-

tonces, como α,

es orden parcial, es transitiva en α, por lo que

tendrıamos que α α, contradiciendo el inciso

i

. Por lo tanto, no es

posible que α β y β α.

Ası que la relacion de pertenencia en los ordinales es antirreflexiva, tran-sitiva y cumple que dados α y β ordinales α

β o β

α. Estos hechos

motivan la siguiente definicion.

Definicion 2.3 Definimos la relaci´ on de orden entre ordinales como si-

gue: α β si y s´ olo si α β .

Como ya discutimos anteriormente, la definicion de ordinal debe tenercomo consecuencia que los naturales sean los ordinales finitos y que ω seael primer ordinal infinito.

Proposicion 2.2 Todo n´ umero natural es un n´ umero ordinal. Adem´ as, ω

es un n´ umero ordinal.

Demostraci´ on. De acuerdo a la definicion 1.11 los naturales son conjun-tos transitivos bien ordenados por la pertenencia, por lo que todo numeronatural es un numero ordinal.

Vease, p or ejemplo, [Am05] para las demostraciones de que ω es tran-sitivo y que

ω, es un buen orden, hechos que se desprenden de que

ω

y

y es inductivo

(definicion 1.12). Por lo tanto, ω es un ordinal.

Se puede verificar que ω,

no tiene un

-maximo, por lo que ω no es

un numero natural. Entonces hemos encontrado un numero ordinal que noes natural, a saber ω . Ası que todo natural es ordinal, mas no a la inversa.

Proposicion 2.3 Sea α un ordinal. Entonces

(i) si x α, x es un ordinal;

(ii) α

β β es ordinal y β

α

; y





(iii) si x α y x es transitivo, x es un ordinal.

Demostraci´ on.

(i) Sea x α. Por ser α transitivo, x

α. Entonces

x,

es un buen

orden, pues α,

lo es y los subconjuntos de buenos ordenes son a su

vez buenos ordenes. Para ver que x es transitivo, sean z

x y y

z.Como x α, α es transitivo y z x, tenemos que z α. Ahora,como z α, α es transitivo y y z, y α. Por lo tanto, x,y,z α.Finalmente, dado que

α,

es un buen orden,

es transitiva en α,

por lo que y x. Por lo tanto, x es transitivo.

(ii) Sea α un ordinal. Por definicion β α si y solo si β

α. Ademas, por

el inciso anterior, todos los elementos de α son ordinales, por lo queα

β

β es ordinal y β

α

.

(iii) Sean α un ordinal y x un subconjunto transitivo de α. Entonces x,

es un buen orden pues α,

lo es y los subconjuntos de buenos ordenes

son a su vez buenos ordenes. Como ademas x es transitivo, tenemosque x es ordinal.

Ası, la definicion formal de ordinal realmente satisface la idea de Johnvon Neumann pues, por el inciso (ii), un ordinal es el conjunto de todos losordinales anteriores a el.

Proposicion 2.4 Sean α y β ordinales, entonces

(i) α β es un ordinal;

(ii) α β si y s´ olo si α β ;

(iii) se cumple que α β o β

α;

(iv) se cumple una y s´ olo una de las siguientes relaciones:α

β , o β

α, o α

β.

Demostraci´ on.

(i) Sean α y β ordinales. Entonces α β

α. Por otro lado, la interseccion

de conjuntos transitivos es un conjunto transitivo. Por lo tanto, por elinciso (iii) de la proposicion 2.3, α

β es un ordinal.





(ii) Sean α y β ordinales tales que α β . Entonces tenemos que β

α

∅.Como β α β y

β, es un buen orden, existe x0 β α tal que x0

es el -mınimo de β

α. Veamos que x0

α.

Como x0 es el -mınimo de β

α,

y

x0

y β

α

, es decir, dada

y x0, y

β o y

α. Como β es transitivo y x0

β , tenemos que

y

x0

y

α

, por lo que x0

α.Sea z

α. Entonces z

β y, como

es tricotomica en β y x0

β ,tenemos que x0

z o x0 z o z

x0. Ahora bien, x0

z pues z α

y x0 α. Ademas, como α es transitivo y x0

α, x0 z. Por lo tanto,

z x0 y α

x0. Entonces α

x0, por lo que α

β .

Recıprocamente, sean α y β ordinales tales que α β . Como β estransitivo, α

β . Ademas, α

β , pues α

β y

es antirreflexiva en

los ordinales.

(iii) Sean α y β ordinales. Por el inciso (i), sabemos que α β es unordinal. Supongamos que α β y que β α, entonces sean x α β yy

β

α. Por lo tanto, α

β

α y α

β

β . Entonces, por el inciso

(ii), α β

α y α

β

β , por lo que α

β

α

β , lo cual contradice

el hecho de que α β sea un ordinal. Por lo tanto, α

β o β

α.

(iv) Sean α y β ordinales. Por el inciso anterior, tenemos que α β oβ

α.

Si α β , entonces se cumple al menos una de las relaciones.

Si α β , entonces α β o β α. Por el inciso (ii), se tiene que α β

o β α. Por lo tanto, se cumple al menos una de las tres relaciones.

No es posible que se cumplan dos de las relaciones a la vez, pues es

transitiva y antirreflexiva en la clase de los ordinales.

Como, por la proposicion 2.1, la relacion de pertenencia entre ordinales esantirreflexiva y transitiva, y ademas es tricotomica por el inciso (iv) de laproposicion anterior, la clase de los ordinales esta totalmente ordenada porla pertenencia. Ademas, veamos que esta bien ordenada.

Es importante aclarar que las clases no necesariamente son conjuntos(cuando no son conjuntos las llamamos clases propias), aunque con cui-





dado podemos manejarlas como conjuntos. Vease el apendice A para unadiscusion de esto.

Teorema 2.1 (Principio del Mınimo Ordinal) Toda clase no vacıa de ordinales tiene un elemento mınimo. Es decir, si C es una clase no vacıa de ordinales, entonces se cumple que

α

C

β

C

α

β

α

β

.

Demostraci´ on. Sea C una clase no vacıa de ordinales. Veamos que

C esel elemento mınimo de C .

Por el axioma de separacion1 sabemos que

C es un conjunto , ya quedado α

C (y dicho α existe, pues C es no vacıa), podemos observar que

C β α : γ C β γ

. Ademas, como α,

es un buen orden y

C α,

C , es un buen orden. Para ver que

C es transitivo, seany

C y x y. Para todo γ

C se tiene que y

γ y que γ es transitivo, por

lo que γ

C

x

γ

, es decir, x

C . De manera que

C es un ordinal.Dado que

α C

C α , se tiene que

α C

C α o

C α .

De modo que, por la proposicion 2.4 (ii), α C

C α o

C α .

Si sucediera que α C

C α , se tendrıa que

C

C , lo cual esimposible, pues

C es un ordinal. Ası, α

C

C α

, es decir,

C C .

Ademas, como α

C

C α o

C α

, entonces

C es el mınimoordinal de C .

Una consecuencia de este teorema es el hecho de que la clase de todoslos ordinales esta bien ordenada por la pertenencia. Este hecho es una ge-neralizacion del llamado principio del buen orden para naturales, que sesabe es equivalente al principio de induccion para naturales. Mas adelanteveremos que el principio del mınimo ordinal tambien es equivalente a unageneralizacion para los ordinales del principio de induccion para naturales.

Otra consecuencia es la llamada paradoja de Burali-Forti que se llama“paradoja” por razones historicas, pero en la actualidad sabemos que no esuna paradoja. Al matematico Cesare Burali-Forti le parecio una paradoja,pues pensaba que la clase de todos los ordinales debıa ser un conjunto.Denotamos a esta clase como OR, es decir, OR

α α es un ordinal

.

Corolario 2.1 (Paradoja de Burali-Forti) La clase de los ordinales noes un conjunto.

1Vease el apendice B





Demostraci´ on. Como los elementos de un ordinal son ordinales, OR estransitivo. Ademas, por el principio del mınimo ordinal,

bien ordena a

OR. De manera que, si OR fuera conjunto, OR serıa un ordinal. Pero enton-ces OR OR, contradiciendo el inciso (i) de la proposicion 2.1. Por lo tanto,OR no puede ser conjunto.

Corolario 2.2 Para cualquier α, α es un ordinal si y s´ olo si α es un conjunto transitivo de ordinales.

Demostraci´ on. Si α es un ordinal, entonces por definicion es un conjuntotransitivo. Ademas, por el inciso (ii) de la proposicion 2.3, α es un conjuntode ordinales.

Supongamos que α es un conjunto transitivo de ordinales. Como α esun conjunto de ordinales, por el principio del mınimo ordinal,

α, es un

buen orden. Como α es transitivo, α es un ordinal.

Definicion 2.4 Un ordinal α se llama sucesor si y s´ olo si existe un ordinal β tal que α

β

β

.

Es un ejercicio de esta seccion demostrar que si β es un ordinal, entoncesβ

β

es un ordinal, y que no hay ningun ordinal entre β y su sucesor.En adelante usaremos β

1 para denotar β β . Por ahora, β 1 es solo

una manera de denotar a este ordinal; posteriormente, cuando definamos lasuma ordinal, veremos que efectivamente β

1

β

β

.

Definicion 2.5 Un ordinal α se llama lımite si y s´ olo si α

0 y α no es sucesor.

Claramente, el ordinal 0 no es sucesor, pues ∅ β

β

para cualquier

conjunto β . En consecuencia, los ordinales se dividen en tres tipos disjuntos:el cero, los sucesores y los lımites.

Proposicion 2.5 Se cumplen las siguientes propiedades.

(i) Para todo ordinal β ,

β

1

β .





(ii) α es un ordinal lımite si y s´ olo si α es un ordinal tal que α 0 y

α α.

(iii) Todo ordinal lımite es inductivo. M´ as a´ un, α es un ordinal lımite si y s´ olo si α es un ordinal inductivo.

(iv) ω es el mınimo ordinal lımite.

Demostraci´ on.

(i) Para cualquier conjunto x, se cumple que x

x x ; pues dado

y x, hay z x x , a saber z x, tal que y z, por lo que

y

x

x

. Si ademas x es transitivo, veamos que

x

x

x.

Sea y

x

x

. Entonces hay z

x

x

tal que y

z. Si z

x,

entonces, como x es transitivo, y x; si z

x, entonces tambien se

tiene que y x.

Por lo tanto, si β es un ordinal,

β 1

β β β .

(ii) Si α es un ordinal lımite, entonces, por definicion, α

0. Ademas,claramente

α α, pues α es transitivo. Para ver que α

α,tomese β

α. Como α es un ordinal lımite, α

β

β

, y como no

existe ningun ordinal entre β y su sucesor, tenemos que β

β

α.De aquı que β

β

β

α y entonces β

α.

Inversamente, supongamos que α es un ordinal tal que

α α

0.

Si hubiera un ordinal β tal que α β 1, entonces α

β 1

;

pero entonces, por el inciso (i), α β y, como β α, tendrıamos queα

α, lo cual es absurdo. De manera que α es un ordinal lımite.

(iii) Supongamos que α es un ordinal lımite. Como la p ertenencia es tri-cotomica en OR, α

0 y α

0, se tiene que 0

α. Por otro lado,

si β α, como α

β

β

y la pertenencia es tricotomica en OR,

α β

β

o β

β

α. Como no hay ningun ordinal entre β y

su sucesor, α β β , pues β α, por lo que β β α y α esinductivo.

Supongamos que α es un ordinal inductivo. Entonces

α, de dondeα

0. Ahora, si hubiera un ordinal β tal que α

β

β

, tendrıamos

que β α; pero entonces, como α es inductivo, β

β

α, por lo que





α α, lo cual contradice que α sea ordinal. Por lo tanto, α es ordinal

lımite.

(iv) Por el inciso anterior, ω es un ordinal lımite. Ahora, sea α un ordinallımite. Por el inciso anterior, α es inductivo. Al ser ω el mınimo con-

junto inductivo con respecto a la inclusion, tenemos que ω α. Por

lo tanto, ω es el mınimo ordinal lımite.

Observe que, por el inciso (i) de la proposicion anterior, si α es un ordinalsucesor, entonces

α es el antecesor de α. Por otro lado, por el inciso (ii),una condicion necesaria y suficiente para que α sea un ordinal lımite es quesea distinto del vacıo y que

α α.

Ejercicios

2.2.1.- Demuestre que si A es un conjunto de ordinales, entonces

A es unordinal. Sugerencia: Utilice el corolario 2.2 del principio del mınimoordinal.

2.2.2.- Si X es un conjunto no vacıo de ordinales, ¿cual es el mınimo ordinalde X que el principio del mınimo ordinal asegura que existe? ¿Porque?

2.2.3.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente:

(i) α α es ordinal; y

(ii) no existe ningun ordinal β tal que α β

α

1.

2.2.4.- Sea X un conjunto. Demuestre lo siguiente:

(i)

X es el supremo (con respecto a ) del conjunto X ;

(ii) si X es un conjunto de ordinales tal que no tiene un -maximo,

entonces

X es un ordinal lımite.

2.2.5.- Sea α un ordinal y sea X α. Demuestre que si para cada γ α

existe δ X tal que γ

δ , entonces α

X .

2.2.6.- Demuestre que todo numero ordinal finito es un numero natural.





2.2.7.- Usando unicamente la definicion ω

x

x es inductivo

(vease la

definicion 1.12), demuestre que ω es un ordinal. Sugerencia: Utiliceel corolario 2.2 del principio del mınimo ordinal.

2.2.8.- ¿Es cierto que todo conjunto inductivo de ordinales es un ordinal?

Justifique su respuesta, dando prueba o contraejemplo.

2.2.9.- Sea α un ordinal. ¿Para que casos (cero, sucesor o lımite) es ciertoque α es inductivo? Justifique su respuesta.

2.3. La induccion transfinita

A continuacion presentamos el principio de induccion ordinal, tambienconocido como principio de inducci´ on transfinita . Este principio es una ge-neralizacion del principio de induccion para naturales que sabemos que es

la herramienta mas utilizada para demostrar las propiedades que cumplenlos elementos de ω .

Una de las versiones del principio para naturales es que si demostramosque el cero cumple una propiedad y cada vez que la cumpla un natural, lacumple su sucesor, entonces todos los naturales cumplen la propiedad. Estaidea esta basada en que un natural o es el cero o es el sucesor de alg unnatural. En las paginas anteriores, dividimos a los ordinales en tres tipos: elcero, un sucesor o un lımite. Entonces hay que generalizar el principio paraordinales para que tambien incluya a los ordinales lımites y este salto sepuede entender como traspasar el infinito, de ahı la palabra “transfinita” enel nombre del nuevo principio. De hecho, veremos que para probar algo conuna de las versiones del principio de induccion ordinal, se llevaran a cabotres pasos, correspondientes a cada uno de los tipos de ordinales.

Primero veamos la version generalizada del a veces llamado principiode induccion fuerte para naturales o segundo principio de induccion paranaturales, para despues ver que es equivalente al principio descrito en elparrafo anterior.

Teorema 2.2 (Principio de Induccion Ordinal) Sea φ una f´ ormula del




2.3. La induccion transfinita 65

lenguaje de la teorıa de conjuntos. Si se cumple que 2

α

OR

β

β α

φ

β

φ

α

,

entonces se tiene que

α OR φ

α

.

Demostraci´ on.

Haremos la demostracion por contrapositiva, es decir, su-pondremos que no es cierto que α

OR φ

α

y veremos que entonces no

es cierto que

α OR

β

β α

φ

β

φ

α

.

Supongamos que α

OR φ

α

. Entonces C

α

OR φ

α

es una clase no vacıa, de manera que por el principio del mınimo ordinaltenemos que

α

OR

φ

α

β

β α

φ

β

.

Observese que utilizamos el principio del mınimo ordinal para demostrarel principio de induccion ordinal. Mas aun, en el ejercicio 2.3.1 de estaseccion, se pide demostrar que estos principios son equivalentes, hecho queno debe sorprendernos pues ya sabıamos que el principio de induccion paranaturales es equivalente al principio del buen orden (en los naturales).

Ahora sı demostremos el principio de induccion transfinita que utilizalos tres tipos de ordinales. Este dice que si el cero cumple una propiedad, ycada vez que la cumple un ordinal, la cumple su sucesor, y siempre que lacumplan todos los anteriores a un ordinal lımite, el ordinal lımite la cumple,se tiene que todos los ordinales cumplen la propiedad.

Corolario 2.3 (Principio de Induccion Ordinal, segunda forma) Si φ es una f´ ormula del lenguaje de la teorıa de conjuntos, entonces se cumple que

1. φ 0

,

2. α

OR

φ α

φ

α

1

, y

3. γ

OR

γ es lımite

β

β γ

φ

β

φ

γ

,

2Como se discute en el apendice A.2 la expresion

α ORϕ abrevia a la formula

α

ord

α

ϕ

, donde ϕ es cualquier formula y ord

α

es la formula que expresa que αes ordinal. Ası manejaremos a las cuantificaciones sobre clases de ahora en adelante.





entonces se tiene que α

OR φ α

.

Demostraci´ on. Basta probar que α OR

β

β α φ β

φ α

para aplicar el teorema 2.2. Sea α OR y supongamos que

β

β α φ β

. (2.1)

Queremos mostrar que φ

α

.Si α

0, entonces, por el inciso 1 de las hipotesis, tenemos que φ

α

.

Si α β

1, entonces, como β

α, por la suposicion (2.1), se tiene

que φ β

. De aquı que, por el inciso 2 de las hipotesis, φ

β

1

. Por

lo tanto, φ α .

Si α es un ordinal lımite, entonces la suposicion (2.1) junto con lahipotesis 3 implican que φ α

.

Por lo tanto, se cumple que α

OR

β

β α

φ

β

φ

α

, lo cual,

por el teorema 2.2, lleva a la conclusion deseada.

Mas adelante, en la seccion 2.7.3, veremos que el principio de induccionordinal no solo se usa para demostrar propiedades de los ordinales, sino quetermina siendo muy util para demostrar propiedades (por lo menos de unaparte importante) de la teorıa de conjuntos en general.

Ejercicios

2.3.1.- Observe que el principio de induccion ordinal se probo usando elprincipio del mınimo ordinal. Pruebe que el principio de induccionordinal implica el principio del mınimo ordinal, es decir que ambosprincipios son equivalentes.

2.3.2.- Pruebe que la segunda forma del principio de induccion ordinalimplica el principio de induccion ordinal.

2.3.3.- Ya hemos visto que si α es un ordinal, entonces α,

es un conjuntobien ordenado. Demuestre que si α y β son ordinales tales que

α,

β,

(ver definicion 1.2), entonces α β . Sugerencia: Considere el con-

junto D

δ α

h

δ

δ

, donde h es el isomorfismo.




2.4. El teorema de enumeracion 67

2.4. El teorema de enumeracion

Recordemos del primer capıtulo que dos conjuntos totalmente ordena-dos tienen el mismo tipo de orden si son isomorfos. Tambien recordemosque no dimos una definicion precisa del tipo de orden de un conjunto total-mente ordenado, pues para esto necesitarıamos una manera de escoger un

representante de la clase (generalmente propia) de equivalencia del conjuntototalmente ordenado. En esta seccion, demostramos el teorema de enumera-cion que nos ayuda a definir de manera natural el tipo de orden para un casoparticular de conjunto totalmente ordenado: los conjuntos bien ordenados.

El teorema de enumeracion afirma que todo buen orden es isomorfo a ununico ordinal. Entonces en el caso de los conjuntos bien ordenados tenemosun candidato magnıfico para ser su tipo de orden: el unico ordinal con elcual es isomorfo. Mas aun, este teorema nos garantiza que el estudio de losbuenos ordenes es esencialmente el mismo que el estudio de los ordinales. Enparticular, esto significa que, salvo isomorfismo, hay tantos buenos ordenesnumerables como ordinales numerables. Lo mismo sucede en general, salvo

isomorfismo, hay tantos buenos ordenes no isomorfos de cierta cardinalidadcomo ordinales de esa misma cardinalidad.

Para probar este importante teorema, necesitamos primero demostrarque los conjuntos bien ordenados cumplen algunas propiedades.

Teorema 2.3 Si A,

A y

B,

B son conjuntos bien ordenados isomor-

fos, entonces el isomorfismo entre ellos es ´ unico.

Demostraci´ on. Sean f y g isomorfismos de A en B y

C

y A

f

y

g

y

.

Para llegar a una contradiccion, supongamos que C ∅. Como A,

A es

un buen orden, C tiene un

A-mınimo, digamos a0. Ası, f

a0

g a0

y

c

A

c

A a0

f c

g

c

. Como la relacion

B es tricotomica en B,

f a0

B g

a0

o g a0

B f

a0

.

Si f a0 B

g a0

, entonces, como g 1 es un isomorfismo de B en A,

g 1 f a0

A a0. La minimalidad de a0 implica que f

g 1 f a0

g

g 1 f

a0

. De aquı que f

g 1

f a0

f

a0

. Como f esinyectiva, se tiene que g 1

f

a0

a0. Pero entonces a0

A a0, lo

cual es una contradiccion a que

A es antirreflexiva en A.





Si g a0

B f

a0

, entonces, como f 1 es un isomorfismo de B en A,f 1

g a0

A a0. De manera analoga al caso anterior, utilizando la

minimalidad de a0 y la inyectividad de g, llegamos a la contradiccionde que a0 A

a0.

Por lo tanto, C ∅ y entonces f

g.

El siguiente corolario se desprende trivialmente de este teorema, dondeun automorfismo de un orden total

A,

A es un isomorfismo de

A,

A

en sı mismo.

Corolario 2.4 Si A,

A es un buen orden, entonces su ´ unico automor-

fismo es la identidad.

Para probar el siguiente lema, necesario para la demostracion del teore-ma de enumeracion, usaremos por primera vez uno de los esquemas en laaxiomatizacion de Zermelo-Fraenkel para la teorıa de conjuntos, el axioma de reemplazo. Este axioma (en realidad un esquema de axiomas) afirma que

la imagen de un conjunto bajo una correspondencia funcional es un conjunto. Llamamos funcional a una clase (quiza propia) de pares ordenadosque se comporta como funcion.3 Mas precisamente, si ϕ es una formula condos variables libres que se comporta como una funcion en el universo de losconjuntos, es decir, que cumple que

x

y

z

ϕ x, y

ϕ

x, z

y

z

,

y si a es un conjunto cualquiera, entonces la coleccion imagen de los ele-mentos de a bajo ϕ, es un conjunto. Vease el apendice B para la redaccionformal de este esquema de axiomas.

Tambien necesitamos la siguiente definicion y notacion.

Definicion 2.6 Si

A,r

es un orden parcial y c

A, entonces definimos el segmento inicial determinado por c en

A,r

, denotado por Ac, como el

conjunto y

A

y r c

.

Lema 2.1 Sea A,

A un conjunto bien ordenado. Si se cumple que

c

A

β

OR

Ac,

A

β,

,

entonces se tiene que

γ OR A,

A γ, .

3Vease el apendice A





Demostraci´ on. Supongamos que c

A

β

OR

Ac,

A

β,

.Como

A,

A es un buen orden, es claro que

Ac,

A es un buen orden. Por

el teorema anterior, dado c A el isomorfismo gc tal que

Ac,

A gc

β,

es unico; ademas, por el ejercicio 2.3.3 de la seccion anterior, el ordinalβ al que Ac es isomorfo tambien es unico. Entonces podemos definir unfuncional4 f : A

OR tal que para toda c

A, f

c

es el unico ordinal β

tal que gc : Ac,

A β,

.

Sea γ

f c

c

A

, entonces γ es una coleccion de ordinales que es

un conjunto, por el axioma de reemplazo.Veamos que γ es transitivo. Sean α y β ordinales tales que α β γ .

Entonces β f c para algun c A. Sea b g 1

c α Ac A. Afirmamosque

gc Ab :

Ab,

A

α, . (2.2)

Dado que Ab es un orden total, por el ejercicio 1.2.3, basta ver que gc Ab pre-

serva el orden y es suprayectiva sobre α. La primera afirmacion se desprendede que gc es un morfismo. Para demostrar la segunda, sea δ

α. Entonces

δ β , pues α

β . Por lo tanto, existe y

Ac tal que gc

y

δ . Resta verque y Ab, pero gc y δ α gc g 1

c α y, como gc es isomorfismo,

y

A g 1

c α

b, de donde se sigue que y

Ab. Esto prueba que gc Ab

essuprayectiva sobre α y con esto (2.2) queda demostrado. Finalmente, (2.2)implica que α

f

b

, por lo que α

γ y γ es transitivo.

Siendo γ un conjunto transitivo de ordinales, se tiene que γ es un ordinal.

Ahora afirmamos que

f : A,

A γ, . (2.3)

Por definicion de γ , tenemos que f es suprayectiva. Para mostrar la inyecti-vidad, dado que

A,

A

es un orden total, por el ejercicio 1.2.3, basta ver

que f

preserva el orden.Ya vimos que (2.2) implica que α f

b

pero tambien tenemos que

gc b

α. Entonces, si b

A c tenemos que b Ac y f

b

gc

b

f c

Por lo tanto, f preserva el orden y la afirmacion (2.3) es cierta.

Lema 2.2 Sea A,

A un buen orden. Entonces

c

A

β

OR

Ac,

A

β,

.4Vease el apendice A





Demostraci´ on. Definimos el siguiente conjunto

E

c A

β

OR

Ac,

A

β,

.

Supongamos que E ∅. Siendo

A,

A un buen orden, sabemos que E

tiene un

A-mınimo, digamos b. Entonces

z

A

z

A b

z

E

, es

decir,

z

Ab

β

OR

Az,

A

β,

. Por el inciso (iv) del ejercicio 1de esta seccion, Az Ab z, por lo que

z

Ab

β OR

Ab z,

A

β,

.

Ası, dado que Ab,

A es un buen orden, por el lema 2.1, concluimos que

γ

OR Ab,

A

γ,

, es decir, b E lo cual es una contradiccion.

Por lo tanto, E ∅ y se sigue que

c

A

β

OR

Ac,

A β,

.

De los lemas anteriores se desprende el teorema de enumeracion.

Teorema 2.4 (Teorema de Enumeracion) Todo buen orden es isomor-

fo a un ´ unico ordinal. Es decir, si

A,

A

es un buen orden, entonces existe un ´ unico ordinal γ tal que

A,

A γ,

.

Demostraci´ on. Sea A,

A

un buen orden. Por el lema 2.2, sabemos quepara todo c A, existe un ordinal β tal que

Ac,

A β,

. Entonces,por el lema 2.1, tenemos que existe un ordinal γ tal que

A,

A

γ, .

La unicidad de este ordinal es consecuencia del ejercicio 2.3.3.

Como mencionamos al principio de esta seccion, gracias al teorema deenumeracion, podemos definir formalmente el tipo de orden de un buenorden: el unico ordinal con el cual es isomorfo. Recordemos que en la seccion

1.1 elegimos como el tipo de orden de un orden total finito al natural con elcual es isomorfo (utilizando que cualesquiera dos ordenes totales finitos de lamisma cardinalidad son isomorfos). Ademas, por el ejercicio 1.2.2, sabemosque todo orden total finito es un buen orden. Entonces la definicion queahora damos incluye la convencion que habıamos hecho en esa seccion deque el tipo de orden de un buen orden finito sea el natural al cual es isomorfo.

Definicion 2.7 Sea A,

A un buen orden. El tipo de orden de

A,

A ,

denotado τ A,

A

o simplemente τ A

, se define como el ´ unico ordinal

α tal que A,

A

α, .





Ejemplo 2.4.1

τ

,

ω;

τ

a,b,c

,

a, b

,

a, c

,

b, c

3;

Sea A 0, 0

, 0, 1

. Definimos una relacion binaria r en

A de la siguiente manera:

r

,

0, 0

r

0, 1

,

para cualquier n

, n r 0, 0

, y

para cualquier n

, n r 0, 1

.

Se puede ver que entonces A,r

es un buen orden y que ademas

τ

A,r

ω ω

ω ω

, es decir, segun las convencio-nes de escritura que hicimos en la introduccion de este capıtulo,τ

A,r

ω

2.

0 1 2 3 ω ω ω


ω

ω

ω

.

Una vez que hayamos definido la suma, multiplicacion y exponenciacionde manera formal en los ordinales, podremos dar mas ejemplos de tipos deorden y compararemos estas operaciones con las correspondientes en tiposde orden, definidas en el primer capıtulo.

Ejercicios

2.4.1.- Sea A,r

un orden parcial. Demuestre las siguientes afirmaciones.

(i) Para cualquier c A, Ac A.

(ii) Para cualesquiera z, w A, si z r w, entonces Az

Aw.

(iii) Si A,r

es un orden total, para cualesquiera z, w A, siAz Aw, entonces z r w.

(iv) Para cualesquiera z, b A, si z r b, entonces

Ab z

Az.





2.4.2.- Sea X, r

un orden parcial. Dado a

X , denotamos al r-segmento

inicial determinado por a como X ra y X y r a . Pruebe lo

siguiente.

(i) X es un ordinal si y solo si

X,

es un buen orden y

a

X

X

a a

.

(ii) Si para toda a X se tiene que X ra a, entonces r X .

(iii) Si X, r

es un buen orden y para toda a

X se tiene que

X ra a, entonces X es un ordinal.

2.4.3.- Sea A,

A un conjunto bien ordenado y supongamos, como en el

lema 2.1, que c

A

β

OR

Ac,

A

β,

. Como vimosen la demostracion del lema 2.1, podemos definir f : A OR

tal que para toda c A, f

c

es el unico ordinal β que cumple

gc : Ac,

A

β, , pues sabemos que para cada c

A, gc y β

son unicos. Demuestre que para cualesquiera y, z A si y

A z,

entonces gz y gz Ay .

2.4.4.- Sea A,

A un orden total. Para propositos de este ejercicio, de-

cimos que S A es un segmento inicial de A si y solo si S es unsubconjunto propio de A tal que para cualesquiera a

A y s

S , si

a

A s, entonces a

S . ¿Es cierto que si

A,

A es un orden total

cualquiera, todo segmento inicial S de A es de la forma Ac paraalgun c

A? Justifique, dando una prueba o un contraejemplo.

2.4.5.- Sean A un conjunto transitivo, r A

A y s

B

B. Si supone-

mos que A,r B, s

, ¿es B un conjunto transitivo? Es decir, ¿lapropiedad de ser transitivo se preserva bajo isomorfismos? ¿Que su-cede en el caso en que r

s

? Justifique sus respuestas.

2.4.6.- Sea X, r

un buen orden y supongamos que el tipo de orden de

X, r

es el ordinal α. Demuestre que α es un ordinal lımite si y

solo si X ∅ y X no tiene un r-maximo.

2.4.7.- Sea A,r

un buen orden infinito. Pruebe que existe una relacion

binaria r sobre A tal que

A, r

es un buen orden y

A,r

A,r

.

2.4.8.- Sean α y β ordinales cualesquiera. Diga si las siguientes afirmacionesson verdaderas o falsas, justificando su respuesta. Recuerde que la




2.5. El primer ordinal no numerable ω1 73

notacion A B significa que A y B son equipotentes (definicion

1.23), que no es lo mismo que ser isomorfos. Ademas, decimos que A

est´ a dominado por B , denotado A

B, si hay una funcion inyectivade A en B, y denotamos por A

B el hecho de que A

B y A B.

(i) α β

α

β (vi) α β

α

β

(ii) α β α β (vii) α β α β (iii) α β α β (viii) α β α β β α

(iv) α

β α

β (ix) α

β β

α

(v) α β

α

β (x) α

β

α

β β

α

2.4.9.- Sea A un conjunto. Demuestre que existe un buen orden para A

si y solo si A es equipotente con algun ordinal. Entonces, como elaxioma de eleccion es equivalente al teorema del buen orden (queafirma que todo conjunto es bien ordenable), el axioma de elec-cion es equivalente a que todo conjunto sea equipotente con algunordinal.

2.5. El primer ordinal no numerable ω1

Sabemos que hay una infinidad de ordinales numerables, como ω, ω

1, . . . , ω n , . . ., etc. Si todos los ordinales fueran numerables, tendrıamos

queOR

ω

α : α es ordinal numerable

y, como OR es una clase propia (corolario 2.2) y ω es un conjunto, la coleccion


serıa una clase propia. Sin embargo, probaremos, usando el axioma de re-emplazo, que


sı es un conjunto. Se puede verentonces que el conjunto

ω


α : α ω o α es ordinal numerable

es transitivo y, como sus elementos son ordinales, es a su vez un ordinal.Ademas este ordinal, denotado como ω1, es el primero no numerable, pues sifuera numerable serıa un ordinal que se pertenecerıa a sı mismo. Entonces ω1

es un ordinal no equipotente a un ordinal menor que el. A los ordinales quecumplen esto les llamamos ordinales iniciales . Es claro que los naturales sonordinales iniciales y que el primer ordinal inicial infinito es ω , el segundo es





precisamente ω1, y en la seccion 2.7.1 definiremos una infinidad de ordinalesiniciales infinitos.

La idea es entonces que ω1 sea el conjunto de todos los ordinales finitoso numerables, es decir,

ω1 α

OR α

ω o α

ω

.

Equivalentemente, buscamos que ω1 sea el conjunto de los ordinales equi-potentes a algun subconjunto de ω, es decir,

ω1 α

OR

A

ω

α

A

.

Ahora sı, definimos a ω1 de la siguiente manera:

ω1 α OR B ω

B, r α,

.

Observemos que B P

ω

, y que r

P

ω

ω

, por lo que ambos son

conjuntos. Para ver que ω1 realmente es un conjunto, considerese el siguientefuncional F : P ω P ω ω ω1

F B, r

0 si

B,r

no es un buen orden, yα si B, r

es un buen orden y

B, r

α,

.

Por el teorema de enumeracion 2.4, F es un funcional, pues si B, r

es un buen orden, existe un unico ordinal α tal que B, r

α,

. Ası,

dado que P ω

P

ω

ω

es un conjunto y ω1 es la imagen bajo F deP ω P ω ω

, el axioma de reemplazo garantiza que ω1 es un conjunto.

Ahora, veamos que ω1 es un ordinal.

Proposicion 2.6 El conjunto ω1 es un ordinal.

Demostraci´ on. De lo anterior es claro que ω1 es un conjunto de ordinales.

Resta ver que ω1 es transitivo.Sean α

ω1 y β

α. Como α

ω1, hay r

ω

ω y B

ω tales

que α, B, r

. Sea h dicho isomorfismo. Como β α, se puede verque h

β es un isomorfismo entre β,

y

h

β

, r

h β . Finalmente como

h B

B

ω y r

h β ω

ω, entonces β

ω1.

Ası, ω1 es un conjunto transitivo de ordinales, y ω1 es un ordinal.

Confirmemos que ω1 es no numerable y que es el primero con esta pro-piedad.




2.6. La recursion transfinita 75

Proposicion 2.7 El ordinal ω1 es el primer ordinal no numerable.

Demostraci´ on. Sea α ω1. Entonces α es numerable, pues

α,

cam

r

, r

para algun r

ω

ω, lo que implica que α

cam

r

y clara-

mente cam

r es numerable. Por lo tanto, todos los ordinales anteriores a

ω1 son numerables.

Ahora, supongamos que existe una funcion biyectiva g : ω

ω1. Defi-niendo a r

ω

ω como

n, m

r si y solo si g

n

g

m

, tendrıamos

que ω, r

ω1,

. De la definicion de ω1, obtendrıamos que ω1

ω1, locual es una contradiccion al hecho de que ω1 sea ordinal. Por lo tanto, ω1

es no numerable.

Ejercicios

2.5.1.- Justifique que las colecciones α

OR α

ω o α

ω

y

α

OR A ω α A son iguales.

2.5.2.- Demuestre que realmente la imagen del funcional F definido en estaseccion es ω1.

2.6. La recursion transfinita

Las ideas de induccion y recursion surgen de la estructura que poseenlos numeros naturales, al ser construidos a partir de un objeto basico (elcero) mediante una funcion generadora (la funcion sucesor). La inducciony recursion se convierten en las principales herramientas para demostrar

teoremas acerca de numeros naturales y para definir funciones que tienencomo dominio a los numeros naturales, respectivamente. En la seccion 2.3generalizamos la induccion a todos los numeros ordinales, considerando aestos generados a partir del mismo cero con la operacion sucesor y la nuevaoperacion lımite ordinal.

Ahora veamos los teoremas de recursion transfinita que, de maneraanaloga a la recursion para naturales, se convierten en una poderosa he-rramienta para definir funcionales o funciones sobre todos los ordinales osegmentos iniciales de ellos. Recuerdese que llamamos funcional a una clase





(quiza propia) que se comporta como funcion. Ademas, decimos que G esun funcional del universo si es un funcional cuyo dominio5 es el universo.

Teorema 2.5 (de Recursion Transfinita, primera version) Si G es un funcional del universo, entonces podemos definir un ´ unico funcional F tal que:

1. El dominio de F es la clase OR, y

2. α

OR, F

α

G

F

α

La demostracion de este teorema requiere de algunos conceptos prelimi-nares.

Definicion 2.8 Sean t una funci´ on, G un funcional del universo y α un ordinal. Decimos que t es G, α-adecuada si y s´ olo si se cumple lo siguiente:

1. dom t

α

1, y

2. β α

t β G t β

.

La idea es que una funcion sera G-adecuada si tiene como dominio aalgun ordinal sucesor y en su dominio se comporta como el funcional F

que se puede definir segun el teorema de recursion transfinita. De hecho,la definicion de F se hace aproximandola con funciones G-adecuadas, yaque, como se vera en la demostracion de la proposicion 2.9, estas funcionesresultan ser compatibles.

Proposicion 2.8 Si t es G, α-adecuada y δ β

α, entonces t

δ

t α

δ

t β δ

.

Demostraci´ on. Como δ β

α, α

α

1, y α

1 es el dominio de t, se

tiene que t δ

t

β δ

t α

δ .

En la siguiente proposicion se demuestra que para cada ordinal α existeuna unica funcion G, α-adecuada, por lo que la definicion buscada del fun-cional F realmente se podra encontrar aproximandola por estas funciones.

5Si F es un funcional definido por una formula ϕ

x, y

entonces usamos la expresion“dominio de F ” para referirnos a la clase

x

y ϕ

x, y

. Vease el apendice A.2





Proposicion 2.9 Sea

x, y

la siguiente f´ ormula:

x OR

t

t es G, x-adecuada t

x

y

x OR

y ∅

.

Entonces

define un funcional, es decir, para todo conjunto x existe un ´ unico conjunto y tal que

x, y

.

Demostraci´ on. Si x OR, es claro que

x, y

se cumple unicamente para

y ∅.

Vamos a probar, por induccion transfinita, que para cualquier α OR

existe una unica funcion G, α-adecuada t. Entonces supongamos que paratoda β

α, existe una unica t tal que t es G, β -adecuada.

Primero, para demostrar que existe una funcion G, α-adecuada, sea T

t

t es G, β -adecuada con β

α

. Por el axioma de reemplazo, T es unconjunto, pues por la hipotesis de induccion, para cada β α existe unaunica funcion G, β -adecuada.

Afirmamos que T es un conjunto de funciones compatibles. Si t1, t2 T ,

y dom t1 β 1 y dom t2 β 2, sin perdida de la generalidad, supongamosque β 1

β 2. Entonces β 1 β 2 y dom

t1

dom t2

β 1. Probemosahora por induccion transfinita que

δ β 1 t1 δ t2 δ . Sea δ β 1 y

supongamos que γ

δ

t1

γ

t2 γ

, lo cual implica que t1 δ

t2 δ . Comot1, t2

T y G es funcional, tenemos que t1 δ

G

t1 δ

G t2 δ

t2 δ

.

Por lo tanto, T es un conjunto de funciones compatibles y

T es unafuncion.

Sea τ

T α, G

T . Como

T es una funcion, se tiene quedom

T

t T dom t

β α β

1

α, de donde se sigue que

α dom

T . Ası, τ es una funcion cuyo dominio es α

1. Finalmente,

para probar que τ es G, α-adecuada resta ver que si β α, entonces τ

β

G τ β .Si β α, entonces τ β τ α G

T G τ α G τ β . Por otrolado, si β

α, entonces sea t

T la unica funcion G, β -adecuada, que existe

por la hipotesis de induccion. Se tiene entonces que β β

1

dom

t

,

de donde τ β

t

β

G

t

β G

τ

β , la ultima igualdad se debe a quet τ . Por lo tanto, τ es una funcion G, α-adecuada.

Para demostrar que τ es la unica funcion G, α-adecuada, sea τ otrafuncion G, α-adecuada. Probaremos que

γ

α

τ

γ

τ

γ

por induccion

sobre α. Sea γ α y supongamos que

δ

γ

τ

δ

τ

δ

. Entonces





τ

γ τ

γ , lo cual implica que τ

γ

G

τ

γ G

τ

γ τ

γ

, pues G es

un funcional.

Por lo tanto, τ es la unica funcion G, α-adecuada y con esto tenemosque

x, y

es un funcional.

Procedemos a continuacion a demostrar el teorema de recursion transfi-nita.

Demostraci´ on. (Del teorema de recursion transfinita, primera version)

Sea

x, y

la formula del enunciado de la proposicion anterior. Definimos

al funcional F ası:

F x

y si y solo si x

OR x, y

.

F realmente es un funcional gracias a la proposicion anterior. Ademas, esclaro que el dominio de F es OR, y que

α

OR F α

t

α

, donde t es

la unica funcion G, α-adecuada. Veamos que si t es una funcion adecuada,entonces F

dom t

t. Sea β

dom

t

, entonces, por la unicidad de las fun-

ciones adecuadas, t β 1 es G, β -adecuada. De aquı que F

β

t

β 1 β

y, por

la proposicion 2.8, tenemos que t β t β 1 β , es decir que F β t β .De manera que si dom

t

α

1, entonces t

F

α 1, lo cual implica que

t α

F α. Como G es funcional, se tiene que G

t

α G

F

α , lo que final-

mente lleva a que F α

t

α

G

t

α G

F

α .

Para finalizar la seccion presentamos otras versiones, equivalentes, delteorema de recursion transfinita, las cuales pueden ser utiles dependiendode lo que se quiere definir recursivamente. Abusaremos de la notacion escri-biendo dom

F

incluso cuando no sepamos si F es un conjunto.

Teorema 2.6 (de Recursion Transfinita, segunda version) Sean a un

conjunto, y G y H funcionales del universo. Entonces podemos definir un ´ unico funcional F tal que:

1. dom F

OR,

2. F 0

a,

3. F s α G F α , y

4. F γ

H

F

γ , para un ordinal lımite γ .





Demostraci´ on. Veamos como definir tal F usando la primera version delteorema de recursion transfinita. Sea G definida por la siguiente formula

G

x, y

:

x

∅ y

a

x es funcion

α OR

dom x

α

1

y

G

x

α

x es funcion

γ OR

γ es lımite dom

x

γ

y

H

x

x ∅

x no es funcion dom

x

OR

y

∅

.

Es claro que G define un funcional del universo, de manera que la pri-mera version del teorema de recursion transfinita garantiza la definicion deun unico funcional F tal que dom F OR y

α OR F α G

F α . De

aquı se sigue que:

F 0

G

F 0 G 0

a, que

F

s

α

G

F

s α

G

F

s α

α

G

F

α

, y que

F γ

G

F

γ H

F

γ , si γ es lımite.

A continuacion enunciamos otras dos versiones del teorema de recursiontransfinita.

Teorema 2.7 (de Recursion Transfinita, tercera version) Sean a

un conjunto, y G y H funcionales del universo. Entonces podemos definir un ´ unico funcional F tal que:

1. dom F OR,

2. F 0

a,

3. F s

α

G

F

α

, y

4. F γ

H

F

γ

, para un ordinal lımite γ .

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio.





Teorema 2.8 (de Recursion Transfinita, cuarta version) Sea G un funcional del universo. Entonces podemos definir un ´ unico funcional F tal que:

1. dom F OR, y

2.

α

OR, F

α

G

F

α

.


Ejercicios

2.6.1.- Demuestre la tercera version del teorema de recursion transfinita.

2.6.2.- Demuestre la cuarta version del teorema de recursion transfinita.

2.6.3.- Demuestre que las cuatro versiones del teorema de recursion trans-finita son equivalentes.

2.7. Aplicaciones de la recursion transfinita

A continuacion presentamos aplicaciones importantes e interesantes delteorema de recursion transfinita. La fuerza de este teorema esta en su ca-pacidad de generalizar conceptos y definiciones. Por ejemplo, en la primeraparte de la seccion generalizamos la idea de la definicion de ω1 para verque dado un ordinal incial existe un siguiente con cardinalidad mayor. Enla segunda parte, generalizamos la suma, producto y exponenciacion de los

numeros naturales a todos los ordinales. La tercera parte corresponde a unade las aplicaciones mas importantes de este teorema, la construccion de unaclase de conjuntos en la que estan todos los conjuntos bien fundados de ma-nera jerarquizada. Esta manera de ver a los conjuntos bien fundados es unaherramienta poderosa para demostrar propiedades de estos conjuntos y paracomprender mejor como estan construıdos conjuntos que supuestamente yaconocemos. En la ultima parte damos una prueba de que el axioma de elec-cion implica el teorema del buen orden y otra de que el axioma de eleccionimplica el lema de Zorn. Estas pruebas son diferentes a las que normalmente




2.7. Aplicaciones de la recursion transfinita 81

aparecen en los libros, pues generalmente se necesita utilizar estos hechosantes de poder dar la recursion transfinita. Las hacemos aquı por su sencillezy belleza, y para mostrar el poder que el teorema de recursion transfinitatiene para facilitar algunas pruebas.

2.7.1. Los ordinales iniciales ωα

Recordemos la siguiente definicion.

Definicion 2.9 Un ordinal inicial es un ordinal que no es equipotente con ning´ un ordinal anterior a el.

Sabemos que los naturales son ordinales iniciales y que tanto ω comoω1 son ordinales iniciales infinitos. Con la tercera version del teorema derecursion transfinita, podemos definir una infinidad de ordinales inicialesinfinitos de la siguiente manera:

ω0 ω,ωβ

1 α

OR B

ωβ

r ωβ

ωβ

B, r

α,

,

ωγ

ωβ

β γ

, si γ es lımite.

Observese que la definicion de ωβ 1 es una generalizacion de la definicionvista antes de ω1, por lo que para definir cada ωβ

1 es necesario utilizar elaxioma de reemplazo. De hecho, tambien para definir cada ωγ , donde γ esun ordinal lımite, se necesita el axioma de reemplazo (¿por que?). Se dejacomo ejercicio ver que cada ωα es un ordinal.

Para demostrar que cada ωα es un ordinal inicial, necesitamos usar elteorema de Cantor-Schroder-Bernstein, que se puede encontrar en [Am05]

(donde no se utiliza el concepto de cardinal, todavıa no discutido en estelibro) o en el teorema 3.1, que demostramos en el capıtulo de cardinales.

Proposicion 2.10 Si α es un ordinal, entonces ωα es un ordinal inicial.

Demostraci´ on. La demostracion se hace por induccion sobre α.El caso en que α

0 es consecuencia de que ω no es biyectable conningun ordinal finito.

La prueba del caso en que α es sucesor es analoga a la demostracion deque ω1 es el primer ordinal no numerable y se deja al lector.





Si α es un ordinal lımite y para todo δ α, ωδ es un ordinal inicial,

entonces supongamos que existe γ ωα tal que γ ωα. Como ωα

ωβ

β α

sup

ωβ

β α

, por la definicion del supremo, existe

β α tal que γ

ωβ . De aquı que ωα

γ ωβ . Como ωβ

ωβ 1 ωα,

ωα γ

ωβ

ωβ 1 ωα, y, por el teorema de Cantor-Schroder-Bernstein,

todos estos ordinales son equipotentes, por lo que ωβ ωβ 1, contradiciendo

la hipotesis de induccion.

Por lo tanto, para todo ordinal α, ωα es un ordinal inicial.

En el siguiente capıtulo el concepto de ordinal inicial sera fundamentaly allı demostraremos que todo ordinal inicial infinito es un ωα. Esta afirma-cion, aunque no parece sorprendente, es poderosa. Tiene el sabor, parecidoa otros eventos importantes en matematicas, en que definimos objetos quetienen una propiedad y terminamos definiendo todos los objetos que tie-nen dicha propiedad. Ası, utlizando el teorema de enumeracion, podremosconcluir que todo buen orden es equipotente a un unico ordinal inicial.

2.7.2. Aritmetica ordinal

Generalizando las operaciones aritmeticas de los numeros naturales, de-finimos las operaciones de aritmetica ordinal, utilizando el teorema de re-cursion transfinita.

Definicion 2.10 (Suma ordinal) Dados los ordinales α y β , definimos la suma ordinal α

β por recursi´ on sobre β como sigue:

α 0

α,

α

s

δ

s

α

δ

,

α γ

δ γ α

δ

sup

α

δ

δ

γ

, si γ es un ordinal lımite.

Esta definicion se justifica mediante la tercera version del teorema derecursion transfinita, la idea es que el funcional F dado por el teoremadefina la operacion “ α

”, para cada α. Los detalles se dejan al lector.

Observese que α 1

α

s

0

s

α

0

s

α

α

α

lo

cual coincide con la notacion convenida anteriormente para el sucesor deun ordinal. Tambien es claro que la suma ordinal de dos numeros naturales





coincide con la suma dada en la definicion 1.13 para los naturales. Mas aun,esta suma coincide con la suma de tipos de orden, en el caso en que lostipos de orden sean buenos ordenes, pues recuerde que el tipo de orden deun buen orden es el unico ordinal con el cual es isomorfo. Ademas, al igualque con la suma de tipos de orden, la suma ordinal no es conmutativa, comose vera en los ejercicios.

Definicion 2.11 (Producto ordinal) Dados los ordinales α y β , defini-mos el producto ordinal α

β (interpretese como α, β veces), por recursi´ on

sobre β como sigue:

α 0

0,

α s

δ

α

δ

α,

α γ

δ

γ α

δ

sup

α

δ

δ

γ


Al igual que con la suma ordinal, se puede verificar que el productoordinal de dos numeros naturales coincide con el producto dado en la defi-

nicion 1.14, y que este producto tambien coincide con el producto de tiposde orden de buenos ordenes.

Definicion 2.12 (Exponenciacion o potencia ordinal) Dados los or-dinales α y β , definimos la potencia o exponenciaci´ on ordinal αβ por recur-si´ on sobre β como sigue:

α0

1,

αs δ

αδ

α,

αγ

δ γ αδ

sup

αδ

δ

γ


Se deja como ejercicio justificar las definiciones de estas operaciones conel teorema de recursion transfinita.

Es importante mencionar aquı que algunas de las nociones intuitivas delas que hablamos en la introduccion de este capıtulo se pueden formalizarcon las definiciones de estas operaciones. Por ejemplo, no nada mas es ciertoque para cualquier ordinal α, α

1 realmente es el sucesor de α, tambien

se cumple que el siguiente ordinal despues de todos los ω n con n

ω es

realmente ω ω; al igual que se cumple que ω

n

ω

ω

...

ω

n veces

, y que

el supremo del conjunto ω

n : n

ω

es ω

ω, etc.





2.7.3. La jerarquıa acumulativa de los conjuntos bien funda-

dos

En esta seccion utilizamos el teorema de recursion transfinita para definirel universo de los conjuntos bien fundados. La motivacion para la construc-cion de este universo comienza con la famosa paradoja de Russell. Al prin-

cipio, parecerıa que podemos definir un conjunto como cualquier coleccionde objetos que hagan verdadera alguna propiedad (donde una propiedad esvista como una formula con una variable libre, escrita en el lenguaje de lateorıa de conjuntos, vease el apendice A). Es decir, se podrıa pensar quetoda propiedad define un conjunto. Sin embargo, la paradoja de Russellplantea que esta es una concepcion erronea de lo que debe aceptarse comoun conjunto. Veamos cual es esta paradoja.

Sea P x la formula x x. Si toda propiedad define un conjunto, enton-

ces el siguiente A serıa conjunto

A

x x

x

.

De aquı que A A si y solo si A

A, lo cual es absurdo. Por lo tanto, A no

es conjunto.A principios del siglo pasado, esta paradoja trajo mucha discusion sobre

la razon por la que esta idea intuitiva y simple de lo que es un conjuntofalla. La axiomatica de Zermelo Fraenkel ZFE surge en gran medida pararesponder la pregunta de cuales colecciones son conjuntos y cuales no. Elaxioma de separacion es claramente una restriccion a la idea general de quetoda propiedad define un conjunto. Ademas, en la axiomatica ZFE (la letra“E” es por el axioma de eleccion) esta un axioma llamado el axioma defundacion o regularidad. Este axioma restringe los conjuntos posibles a losllamados “bien fundados”, y puede no mencionarse, pues no es contradic-torio permitir que conjuntos “no bien fundados” existan. Veremos en esta

seccion lo que afirma el axioma de fundacion y veremos que efectivamenteimplica que todos los conjuntos son “bien fundados”. Pero ¿cuales son estosconjuntos “bien fundados”? Antes de definirlos, veamos como surgen.

Como decıamos, a la luz de la Paradoja de Russell, aparece la discusionsobre cuales son los conjuntos. Podemos encontrar una respuesta parcial aesto pensando en cierto tipo de conjuntos (los que seran los “bien funda-dos”), si en vez de preguntarnos ¿que son los conjuntos? nos preguntamos¿como se construyen los conjuntos? Ahora, una idea fundamental de Cantorsobre el concepto de conjunto es que una coleccion de objetos solo puede ser





conjunto si se puede considerar como una entidad completa. Entonces, alconstruir un conjunto por primera vez debemos disponer ya de antemano detodos aquellos objetos que han de ser sus elementos o ¿es posible construiralgo por vez primera, sin tener los elementos que lo constituyen? Esta obser-vacion nos lleva a considerar la jerarquıa acumulativa de los conjuntos bienfundados, que es una idea subyacente a la axiomatica de Zermelo Fraenkel.

Ası, debemos comenzar con una coleccion inicial de objetos BF0. Deaquı construimos una coleccion BF1 de conjuntos de elementos de BF0. Des-pues construimos la coleccion BF2 de conjuntos de elementos de BF0 BF1,y ası sucesivamente. Esta descripcion es la idea intuitiva de lo que es la

jerarquıa acumulativa de los conjuntos bien fundados. Ademas, de acuerdocon esta descripcion ningun conjunto “construido” puede ser elemento desı mismo. Ası pues, todos los conjuntos construibles a partir de un principiono se p ertenecen a sı mismos.

Ahora, para obtener precision en esta construccion, tenemos primeroque decidir cual es la coleccion BF0 que tomamos como la coleccion inicial.

Como buscamos que la teorıa de conjuntos sea tan intuitiva y sencilla comosea posible, acordamos que la coleccion BF0 sea vacıa, es decir, comenzamoscon nada6. BF0 denota el primer estrato de la jerarquıa acumulativa de losconjuntos bien fundados.

La siguiente precision que debemos hacer es hasta donde permitimos quese extienda esta jerarquıa. Como buscamos que la teorıa de conjuntos tengalas menos restricciones posibles, no queremos que haya un momento en elque ya no podamos constuir nuevos conjuntos. Ası, acordamos que no hay unultimo estrato en esta construccion. Es decir, siempre podemos dar un pasomas en la construccion de la jerarquıa acumulativa de los conjuntos bienfundados, tomando colecciones de los elementos de los estratos anteriores.

De hecho para cada ordinal α, deberıa haber un estrato correspondienteBFα, entre cuyos miembros estan los conjuntos de los estratos anteriores, es

6Hay algunas construcciones en las que se considera que BF0 sea una coleccion deobjetos a los que se llama urelementos , la palabra es de origen aleman y el prefijo “ur”se puede traducir como “primitivo” u “original”. Estos urelementos se consideran indi-visibles o que no tienen elementos, pero no son conjuntos. Para fines de la construccionde las matematicas dentro de la teorıa de los conjuntos estos objetos no-conjuntos soninnecesarios, pues los numeros, relaciones, funciones, estructuras numericas usuales, etc.pueden ser construidos sin urelementos. Ası, aquı consideramos que BF0 es una coleccionvacıa.





decir, que contenga a

β αBFβ .

Finalmente, precisemos lo que queremos decir con que “cada estrato seauna coleccion de conjuntos de elementos de los estratos anteriores”. Supon-gamos que hemos definido el estrato BFα, entonces ¿cuales conjuntos deelementos de BFα seran miembros de BFα

1? Otra vez usando el argumento

de que la teorıa de conjuntos tenga las menos restricciones posibles, escoge-mos todos los conjuntos de elementos de BFα, es decir, BFα 1 P BFα .

Es interesante mencionar aquı que estamos utilizando el axioma de po-tencia para esta construccion y este axioma afirma que existe el conjuntode los subconjuntos de un conjunto dado. Esta es la manera mas amplia deconstruir conjuntos con conjuntos dados, pero no es muy clara, pues en lanocion de subconjunto, vuelve a aparecer la nocion de conjunto. Nuestradiscusion de la paradoja de Russell tiene como consecuencia que no todapropiedad define un conjunto, pero ¿sera cierto que todo conjunto es defi-nido por una propiedad? ¿Serıa conveniente entonces decir que el estrato

BFα 1 sea el de las colecciones de elementos de BFα que esten en un con-

junto ya construido y cumplan una propiedad escrita en el lenguaje de lateorıa de conjuntos? Observe que en este caso se estarıa usando el axioma deseparacion restringiendo el de potencia para construir el siguiente estrato.Hacerlo ası, lleva a una jerarquıa llamada la de los conjuntos definibles oconstruibles, conocida como el universo L. Esta jerarquıa fue definida for-malmente por Godel y es interesante decir aquı que no se puede demostrarni refutar en ZF que todo conjunto es definido por una propiedad (vease[Ku80]). Es por esto que no se puede ni demostrar ni refutar que la jerar-quıa de los conjuntos definibles sea distinta de la de los bien fundados. Sinembargo, como es un hecho que la jerarquıa de los definibles esta contenidaen la de los bien fundados, argumentando otra vez la busqueda de la menor

restrictividad posible, acordamos que para la jerarquıa de los bien fundadosBFα

1 P BFα .

Veremos que esta construccion realmente es acumulativa, en el sentidode que si un conjunto aparece en un estrato, aparece en todos los estratosposteriores a ese estrato. Ademas, veremos que todo conjunto construido deeste modo tiene un inicio constructivo por lo que tendra necesariamente “unfondo” respecto a la relacion de pertenencia; pues si A fue formado en algunestrato, entonces sus elementos fueron formados en estratos anteriores, y loselementos de sus elementos fueron a su vez formados en estratos anteriores





a estos, y ası sucesivamente hasta llegar al conjunto vacıo. Estos son losconjuntos bien fundados.

Podemos ahora precisar que BF sera la union de todos los conjuntosformados en todos los estratos de la jerarquıa acumulativa descrita, y lellamaremos la clase de los conjuntos bien fundados. En el apendice B se dauna discusion intuitiva de que los axiomas de ZFE son verdaderos respectoa la clase BF.

Pasemos ahora a las formalidades. Denotamos, como es costumbre, aluniverso de todos los conjuntos con la letra V . Por el teorema de recursiontransfinita, mediante el conjunto vacıo y los funcionales potencia P : V

V

y union

: V V , podemos definir un unico funcional BF : OR V talque

BF 0

∅,

BF α

1

P BF

α

,

BF γ

δ

γ BF δ , si γ es lımite.

Denotamos al conjunto BF α con BFα y se le llamara el α-esimo estrato.

Ahora, definimosBF

α OR

BFα

y los elementos de BF seran los conjuntos bien fundados .Observese que la clase BF es realmente la formula

BF x

α

α es un ordinal

x

BFα .

BF es una clase propia conocida como la jerarquıa acumulativa de los conjuntos bien fundados , o jerarquıa de Von Neumann . En la figura 2.2 seda una idea grafica de los estratos de esta jerarquıa.

Observe que BF0

0, BF1

1 y BF2

2. Sin embargo, 3 BF3, pues

BF3.

Teorema 2.9 Los estratos de la jerarquıa de los bien fundados tienen las siguientes propiedades.

(i) Sea α un ordinal, entonces x

x BFα β α x BFβ

.

(ii) Sean α y β ordinales, entonces α β si y s´ olo si BFα

BFβ .

(iii) Para cualquier ordinal α, BFα es transitivo.





,

BF0

BF1

BF2

BFn 1

BFω

BFω ω

BFω1

P BFn

n ωBFn

Figura 2.2: La jerarquıa de los conjuntos bien fundados





Demostraci´ on. Se dejan como ejercicio.

Es claro que BF V . Con respecto a la contencion contraria, no hay una

respuesta general definitiva. La unica respuesta es parcial: podemos suponerque V

BF, o bien podemos suponer que V BF, y ambas suposiciones

son posibles, en el sentido de que no nos llevaran a contradicciones. Intui-tivamente, el hecho de suponer V

BF significa que todos los conjuntosestan construidos a partir de un principio. De hecho por un ejercicio de estaseccion, al considerar los elementos que pertenecen a un conjunto bien fun-dado, y los elementos que pertenecen a sus elementos y los elementos quepertenecen a los elementos que pertenecen a sus elementos, etc., llegaremosdespues de una cantidad finita de pasos, al vacıo (vease el inciso (ii) delejercicio 2.7.24). Formalizando esto, veremos que la afirmacion V

BF es

equivalente al axioma de buena fundaci´ on . Por otro lado, el hecho de supo-ner lo contrario, que V

BF, significa suponer que no todos los conjuntosdeben tener un “fondo”, sino que ademas de los conjuntos bien fundados,

hay conjuntos sin principio de construccion, es decir, dentro de los que sepueden dar cadenas infinitas descendentes de pertenencias. El ejemplo massencillo de este fenomeno es un conjunto x con la propiedad de que x x

,de esta manera se tendrıa que x

x

x

x . . ., etc. La existencia de tales

conjuntos se postula mediante ciertos axiomas incompatibles con el axiomade buena fundacion, por ejemplo el axioma de Antifundacion AFA (el desa-rrollo de la teorıa de conjuntos con este axioma puede estudiarse en [Ac88]).Es importante mencionar aquı que el axioma de buena fundacion es partede los axiomas de ZFE, es decir, la mayorıa de los libros clasicos de la teorıade conjuntos consideran que todo conjunto es bien fundado. Esto es por-que los conceptos basicos de las matematicas (las relaciones, las funciones,

los numeros naturales y demas estructuras numericas) pueden ser definidosdentro de la jerarquıa de los bien fundados. Sin embargo, la razon para queel axioma de buena fundacion siga siendo parte de la axiomatica de ZFEes la utilidad practica de trabajar solo con los conjuntos bien fundados, yno que sea creencia generalizada de los conjuntistas que todos los conjun-tos sean bien fundados. De hecho, muchos conjuntistas consideran que esun axioma de tipo restrictivo. Entonces, incluso si se incluye este axioma,puede pensarse que se esta trabajando en una seccion del universo de losconjuntos, la seccion de los bien fundados, aunque puede ser que haya con-





juntos fuera de esta seccion del universo. Veamos ahora las demostracionesformales de lo discutido.

Una de las consecuencias mas importantes de la definicion de los conjuntos bien fundados es que podemos seguir la pista de la construccion deun conjunto, al tener un registro de en que estrato se fueron construyendolos elementos que lo constituyen. Esto se da gracias a que la jerarquıa delos conjuntos bien fundados esta bien ordenada por la clase de ındices paralos estratos, es decir, por la clase de los ordinales. Si suponemos que unconjunto x pertenece a algun estrato, es decir si

β

OR

x

BFβ , enton-

ces, por el principio del mınimo ordinal, existe un ordinal mınimo α tal que

x BFα 1, de modo que α sera el mınimo ordinal tal que x BFα. El lectordebe convencerse del siguiente hecho: si un conjunto aparece por primeravez en BFβ , entonces β

α

1, para algun α; es decir, el mınimo ordinal

β tal que x BFβ es necesariamente un ordinal sucesor.

Conjuntos mas complejos que otros apareceran mas arriba en la jerarquıade conjuntos, por ejemplo ∅

BF1, n BFn

1, n

BFn 2, ω

BFω 1.

Estas consideraciones motivan la siguiente definicion.

Definicion 2.13 El rango de un conjunto bien fundado x se denota comoρ x

y se define como

ρ x

α

OR

x

BFα 1

.

Es decir, ρ x

es el mınimo ordinal α tal que x

BFα.

Proposicion 2.11 Si x y y son conjuntos tales que x y, entonces se tiene

que ρ x

ρ

y

.

Demostraci´ on. Supongamos que x y. Como y BFρ

y

, x BFρ

y

. Porel ejercicio 2.7.16, sabemos que x BFρ x 1 y que ρ x

1 es el mınimoordinal que cumple esto. Como x

BFρ y

, tenemos que ρ x

1

ρ

y

y

ρ x

ρ

y

.

Observese que el recıproco de esta proposicion no es cierto. Por ejemplo,tenemos que ρ

∅

0

2

ρ

∅

y, sin embargo, ∅

∅

.

Teorema 2.10 Se tienen las siguientes afirmaciones.





(i) Para cualquier ordinal α, BFα x

BF

ρ

x

α

, es decir,

x BFα si y s´ olo si ρ

x

α.

(ii) Para cualquier conjunto x, ρ x

ρ

y

1

y

x

.

(iii) Para cualquier ordinal α, ρ α

α.

(iv) Para cualquier conjunto x, ρ

x

ρ x

.

(v) Para cualquier conjunto x, ρ

x

y

x ρ y .

Demostraci´ on. Se deja al lector.

Probemos ahora la equivalencia entre la afirmacion V BF y el axioma

de buena fundacion o regularidad.El axioma de buena fundacion afirma que

Todo conjunto no vacıo tiene un elemento minimal con respecto a la

relaci´ on de pertenencia ,

es decir,

x

x ∅

y

y x

z

z

x

z

y

.

Para demostrar que este axioma es equivalente a que V BF, necesita-mos primero demostrar que dado un conjunto cualquiera c, existe un mınimoconjunto transitivo que lo contiene. Ser conjunto transitivo es una propie-dad que cumplen algunos conjuntos y ya hemos visto que estos conjuntostienen caracterısticas muy utiles y elegantes. A continuacion mostraremosque aunque no todo conjunto es transitivo, siempre podemos extenderlo deun modo canonico para tener un conjunto transitivo mınimo que lo contie-ne; tal conjunto se llama su cerradura transitiva . Desde luego, si el conjuntodado es transitivo, entonces su cerradura transitiva es el mismo. La cons-truccion de dicha extension se hace por recursion para naturales (recursionhasta ω ).

Teorema 2.11 (Existencia de la cerradura transitiva) Para todo conjunto A, existe un conjunto transitivo T tal que A

T . M´ as a´ un, si R es

transitivo y A R, entonces T

R. A tal conjunto se le llama la cerradura

transitiva de A y se denota con CT A

.





Es decir, x es bien fundado. Ası, todo elemento de m es bien fundado. Vea-mos que entonces m mismo es bien fundado. Dado x m, sabemos queexiste un ordinal αx tal que x

BFαx , entonces δ

x

m αx es un ordinal(es conjunto por el axioma de reemplazo y el de union). De donde m

BFδ

y m BFδ 1. Pero esto contradice el supuesto de que m

A.

Ası pues, el conjunto c no puede existir y todo conjunto es bien fundado.

Para demostrar el recıproco supongamos que todo conjunto es bien fun-dado. Sea A

∅. Mostremos que existe y

A tal que y

A

∅. Como

todo conjunto es bien fundado, A BF y existe un ordinal β tal que

A BFβ . Para todo y A, definimos f y mın

δ OR y BFδ .

Sea γ

f y y A mın

f y y A . Entonces γ OR, pues

f

y

y

A

∅. Sea y0

A tal que γ f

y0

. Ahora bien, si y0 A

∅,

habrıa z y0

A. Entonces, por la proposicion 2.11, ρ z

ρ

y0

, de dondef

z

ρ

z

1

ρ

y0

1 f

y0

γ . Pero z A y f

z

γ , lo que

contradice la minimalidad de γ .

Por lo tanto, existe y0 A tal que y0

A ∅, con lo cual se cumple el

axioma de buena fundacion.

Entonces hemos construido la clase de todos los conjuntos bien fundadosde manera jerarquizada. Esta manera de ver a los conjuntos bien fundados esuna herramienta poderosa para demostrar propiedades de estos conjuntos ypara comprender mejor como estan construidos conjuntos que teoricamenteya conocıamos. Los ejercicios 2.7.19 y 2.7.20 de esta seccion son un ejem-plo interesante de la nueva informacion que se adquiere sobre el nivel decomplejidad de ciertos conjuntos.

2.7.4. Algunas pruebas interesantes

El axioma de eleccion fue agregado a la lista de axiomas por Zermelo en1904, cuando se dio cuenta que se utilizaba para probar que para todo con-

junto existe un buen orden del conjunto. Es un axioma especial pues afirmaque ciertos conjuntos (las funciones de eleccion) existen sin dar una descrip-cion de ellos como colecciones de objetos que tengan una cierta propiedad.Por esto y por algunas de sus consecuencias contraintuitivas (como que parael conjunto de los numeros reales exista un buen orden) fue difıcil para al-gunos matematicos aceptar este axioma. Sin embargo, sus consecuencias envarias areas de las matematicas son tan necesarias y poderosas (como, por





ejemplo, que todo espacio vectorial tenga una base), que ya es poco comunencontrarse con algun matematico que no lo acepte.

El llamado teorema del buen orden afirma precisamente que para todoconjunto existe un buen orden del conjunto. Se sabe que esta aseveracion esequivalente al axioma de eleccion. Tambien se sabe que el lema de Zorn es

equivalente al axioma de eleccion. Este lema afirma que si toda cadena enun orden parcial no vacıo esta superiormente acotada, entonces en el ordenparcial existe un elemento maximal, donde una cadena es un subconjuntolinealmente ordenado del orden parcial. En esta seccion damos una pruebade que el axioma de eleccion implica el teorema del buen orden y otra deque el axioma de eleccion implica el lema de Zorn. Estas pruebas utilizanel teorema de recursion transfinita y gracias a este teorema tienen una granbelleza, ademas de ser mas rapidas y claras que las que no lo usan. Para verlas otras pruebas puede consultarse [Am05].

La pregunta respecto a para que conjuntos existe un buen orden fuediscutida desde los tiempos de Cantor, quien consideraba bastante claro

que para todo conjunto existıa un buen orden. Intuitivamente se puede daruna “demostracion” de este hecho del siguiente modo.

Sea A un conjunto cualquiera y sea b un conjunto cualquiera que nopertenece a A (sabemos que siempre existe tal b). Ahora, definimos unfuncional F que toma valores ordinales.

Sea F

0

un elemento de A si A

, yb en otro caso.

Sea F 1

un elemento de A F

0

si A

F

0

, y

b en otro caso.

Y ası sucesivamente,

sea F α

un elemento de A im F α si A im F α , yb en otro caso.

Ası, F da una lista de los elementos de A ordenados por los ordinales. Elproceso de “construccion” de esta lista terminara si y solo si F toma el valorb para algun ordinal. Pero veremos que en algun momento lo tomara, puesla coleccion de todos los ordinales es clase propia y A es un conjunto. Desdeluego, nosotros veremos como esta idea intuitiva se puede formalizar contodo rigor, usando dos hechos necesarios: el teorema de recursion transfinitay el axioma de eleccion.





Teorema 2.13 El axioma de elecci´ on implica el teorema del buen orden.

Demostraci´ on. Sea A un conjunto. Probaremos que existe r A

A

de manera que A, r

es un buen orden. Por el axioma de eleccion, sea f

una funcion de eleccion para P A ∅

. Sea c un conjunto tal que c

A,

este c existe, pues A es un conjunto. Definimos f : P A

A

c como

f

f ∅, c . Ahora, definimos el funcional G : V A c comoG

X

f

A

X

. Observese que

X A X ∅

G X c . (2.4)

Mediante la cuarta version del teorema de recursion transfinita podemosdefinir un unico funcional F : OR

A

c tal que

α

OR

F α

G

F

α

f

A

F

α

.

Demostramos las siguientes tres afirmaciones.

1. Si F α

c, entonces

β

α

F

β

c

.

Supongamos que F α c. Entonces G F α c y, por (2.4), setiene que A

F

α

∅. Si β

α, se tiene que F

β

F

α

, por lo que

A F

α

A

F

β

. De aquı que A

F

β

∅ y, por (2.4), concluimos

que F β

c.

2. Si F α

c, entonces

β, δ

α

β

δ

F

β

F

δ

.

Supongamos que F α

c. Sean β y δ con β

δ y β, δ

α. Sin perdi-

da de la generalidad, podemos suponer que β δ . Por la afirmacion 1,

F δ c, ya que δ α y F α c. Ası pues, F δ G F δ c y,por (2.4), A

F

δ

∅. Esto implica que F

δ

f

A

F

δ

A

F

δ

,

pues f

f

∅, c

, donde f es funcion de eleccion, y A

F

δ

∅.

Por lo tanto, F δ

F

δ

, pero, como β

δ , F

β

F

δ

, por lo que

F β

F

δ

.

3. Existe un ordinal β tal que F β

c.

Si se cumpliera que para todo ordinal α, F α

c, la afirmacion 2

implicarıa que OR F OR A. De aquı que, por el axioma deseparacion, F

OR serıa un conjunto, pero entonces el axioma de re-

emplazo implicarıa que OR F 1

F

OR serıa un conjunto, lo cual

es absurdo.





Por el principio del mınimo ordinal y la afirmacion 3, sea

β 0 mın

β OR F β c .

Entonces F β 0

G F

β 0

c y, por (2.4), A F

β 0

∅, lo que equivale aA

F

β 0

. Ahora, por la minimalidad de β 0, se tiene que α

β 0, F

α

c.

Como el contradominio del funcional G es A

c

, α

β 0, F

α

A. Esto

prueba que F

β 0

A. Por lo tanto, F

β 0

A y, por la afirmacion 2,F

β 0 : β 0

A.Sea r

A

A tal que

a, b

A

a r b

F 1

a

F 1

b

.

Como β 0,

es un buen orden, A, r

tambien lo es. En este caso se diceque r es el buen orden inducido por β 0 mediante F

β 0 .

Ahora, veamos la otra prueba prometida, la de que el axioma de eleccionimplica el lema de Zorn. El lema de Zorn es una afirmacion muy famosa enmatematicas por su poder y elegancia para demostrar muchos resultadosclasicos, algunos de los cuales resultan incluso ser equivalentes al lema. Como

ya mencionamos antes, este lema afirma que cualquier orden parcial no vacıocon la propiedad de que todas sus cadenas estan superiormente acotadas,tiene un elemento maximal. La idea intuitiva de esta demostracion, porreduccion al absurdo, es suponer que no hay un elemento maximal en elorden parcial dado y definir por recursion sobre OR, usando dos funcionesde eleccion, una cadena de objetos de modo que serıa una cadena-clasepropia contenida en el conjunto dado, lo cual es una contradiccion. Estaelegante demostracion vuelve a mostrar el poder del teorema de recursiontransfinita, mezclado con la fuerza del axioma de eleccion.

Teorema 2.14 El axioma de elecci´ on implica el lema de Zorn.

Demostraci´ on. Sea P,

un orden parcial no vacıo, tal que toda cadena

en P tiene cota superior en P . Observese que siempre hay cadenas en P ,pues como P

∅, hay a

P y

a

es una cadena en P .

Supongamos, para llegar a una contradiccion, que P no tiene un elementomaximal.

Por el axioma de eleccion, existe una funcion de eleccion g para el si-guiente subconjunto de P P

a

P

a es cota superior de C

C es cadena en P

.





Ahora, definamos f 1 : C

C es cadena en P

P como

f 1 C

g

a

P

a es cota superior de C

.

Como por suposicion P no tiene elemento maximal, tenemos que paracualquier q P existe r P tal que q r. De aquı que, por el axioma de

eleccion, existe una funcion de eleccion h para el siguiente subconjunto deP P

r

P

q

r

q

P

.

Sea f : C C es cadena en P

P , tal que

f C

h

r

P

f 1 C

r

.

Sea C una cadena en P . Gracias al teorema de recursion transfinita,podemos definir para cada ordinal α los siguientes elementos de P :

c0 f

C

,

cα

1

h

r

P

cα

r

,cγ f

cδ δ γ


Observese que si γ es un ordinal lımite, cγ esta bien definido, pues paracualesquiera β y α tales que β

α

γ , se tiene que cβ

cα, por lo que

cδ δ

γ

es realmente una cadena. Mas aun, se puede verificar por

induccion sobre α que si β α, entonces cβ cα y que cδ δ α

es unacadena. Ası, C Æ

cδ δ

OR es una cadena contenida en P , pero entonces

C Æ es una clase propia contenida en un conjunto, lo cual es absurdo.Por lo tanto,

P,

tiene un elemento maximal.

Ejercicios

2.7.1.- Justifique, usando la tercera version del teorema de recursion trans-finita, que el funcional ωα esta bien definido.

2.7.2.- Justifique recursivamente, utilizando el axioma de reemplazo quepara todo ordinal α, ωα es un conjunto. Depues demuestre quepara todo ordinal α, ωα es un ordinal, de manera similar a comodemostramos que ω1 lo era.





2.7.3.- Demuestre que si ωα es un ordinal inicial, entonces ωα 1 es un ordi-nal inicial. Este es el caso que no se hizo explıcito en la demostracionde la proposicion 2.10.

2.7.4.- (i) Justifique las definiciones de la suma, producto y exponencia-cion ordinal mediante la tercera version del teorema de recur-

sion transfinita.(ii) Demuestre que si α y β son ordinales, entonces α

β , α

β y

αβ son ordinales.

2.7.5.- Sean A,r

y

B, s

dos buenos ordenes, y sean α y β sus tipos de

orden, respectivamente.

(i) Demuestre que la suma de A, r

y

B, s

como tipos de orden

es isomorfa a α β .

(ii) Demuestre que el producto de A,r

y B, s

como tipos deorden es isomorfo a α β . Sugerencia: Si

A,r f α, y

B, s g β, , entonces utilice la funcion h definida comoh

a, b

α

g

b

f

a

.

2.7.6.- Considerese el buen orden

,

, donde vemos a

como la unionde los positivos con el cero,

0

, y los negativos,

, y el orden

esta definido de la siguiente manera:

p

q

p, q

0

y p

q, o p, q

y q

p, o p

0

y q

.

Pruebe que τ

,

ω ω.

2.7.7.- Pruebe las siguientes propiedades de la suma ordinal:

(i) α,β,γ

OR

α

β

γ

α

β

γ

;

(ii) α,β,γ OR

α γ β α β γ

;

(iii) α,β,γ OR

β α β γ α γ

.

2.7.8.- Pruebe las siguientes propiedades del producto ordinal:

(i) α,β,γ

OR

α

β

γ

α

β

γ

;





(ii) α,β,γ

OR

α γ

β

α

β

γ

;

(iii) α,β,γ

OR

β

α

β

γ

α

γ

.

2.7.9.- Demuestre que α,β,γ

OR

α β

γ

α

β

α

γ

.

2.7.10.- Sean α y β ordinales tales que α β . Pruebe que α γ β tiene

una solucion unica para algun ordinal γ .

2.7.11.- Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre ordinales α,

β y γ para los cuales no se cumplan y, si es posible, encuentreordinales distintos para los que sı se cumplan.

(i) α β

β

α.

(ii) α β β α.(iii) α

1 1

α.

2.7.12.- Si es posible, encuentre ordinales α, β y γ que cumplan los siguientespares de condiciones, justificando su respuesta.

(i) α γ β γ y α β . (ii) α γ β γ y α β .

2.7.13.- Para cada una de las siguientes igualdades, encuentre el mınimoordinal α que la cumpla.

(i) ω α α. (iii) ωα α.

(ii) ω α

α.

2.7.14.- Para cada uno de los siguientes ordinales α, encuentre un conjuntoA

tal que A,

A α,

.

(i) α ω

1. (iii) α

ω2.

(ii) α ω

2. (iv) α ωω.

2.7.15.- Sea A,r un buen orden. Dado z P A denotamos con αz f z

al unico ordinal (isomorfismo) tales que f z : αz,

z, r

. De-

finimos el orden sobre P A

como x y si y solo si se cumple

alguna de las siguientes condiciones excluyentes entre sı:

- x ∅ y y

∅, o

- x, y ∅ y αx αy, o

- x, y ∅, αx

αy y f x β

r f y β

, donde

β mın

δ

αx

f x δ

f y

δ .





Pruebe que P

A

,

es un orden total. ¿Es cierto que

P

A

,

es un buen orden?

2.7.16.- Verifique que para todo conjunto bien fundado x, x BFρ x 1 y

x BF ρ x

.

2.7.17.- Demuestre las siguientes afirmaciones del teorema 2.9:(i)

x

x BFα

β α

x

BFβ

.

(ii) α β si y solo si BFα BFβ .

(iii) BFα es transitivo.

2.7.18.- Demuestre las siguientes afirmaciones del teorema 2.10:

(i) Para cualquier ordinal α, BFα x BF ρ x α , es decir,

x BFα si y solo si ρ

x

α.

(ii) Para cualquier conjunto x, ρ x

ρ y 1

y x .

(iii) Para cualquier ordinal α, ρ α

α.

(iv) Para cualquier conjunto x, ρ

x

ρ x

.

(v) Para cualquier conjunto x, ρ

x

y

x ρ y .

2.7.19.- Sean x y y conjuntos. Exprese los siguientes rangos en terminos deρ

x

y/o ρ

y

:

(i) ρ P

x

; (v) ρ

x, y

;

(ii) ρ x ; (vi) ρ x y

;(iii) ρ x, y

; (vii) ρ

yx .

(iv) ρ x

y

;

2.7.20.- Calcule ρ

, ρ

, ρ

y ρ

. Sugerencia: ρ

ρ

2 .

2.7.21.- Demuestre que el axioma de buena fundacion implica que

x

x

x

.

2.7.22.- Demuestre que el axioma de buena fundacion implica que

x1, . . . , xn

x1 x2

. . . xn

x1 .

2.7.23.- Demuestre que si x BF y x es un conjunto transitivo de conjuntos

transitivos, entonces x es un ordinal.





2.7.24.- (i) Demuestre que no hay un conjunto an : n

ω

BF tal que

n ω an 1 an . Sugerencia: Vease el ejercicio 1.2.6.

(ii) Demuestre que si A BF, entonces no existe

an : n

ω

A

tal que n

ω

an

1 an

.

2.7.25.- Suponga el axioma de buena fundacion y suponga que si un conjun-to A es bien ordenable, entonces P

A

es bien ordenable. Demuestre

que entonces todo conjunto es bien ordenable.

2.7.26.- Justifique con los teoremas de recursion transfinita adecuados, losfuncionales definidos en las pruebas de los teoremas 2.13 y 2.14.

2.7.27.- Complete la demostracion del teorema 2.14, es decir, demuestre porinduccion sobre α que si β α, entonces cβ cα y que

cδ δ α

es una cadena.




104 3. Numeros cardinales

La intencion de este capıtulo es la de definir formalmente que conjuntosson los numeros cardinales, lo que traera consigo definir formalmente loque significa el tamano o numero de elementos de un conjunto, y probarque estas definiciones satisfacen todas las propiedades arriba mencionadas.Ademas, teniendo la definicion formal de numero cardinal, en la seccion3.5.1 podremos demostrar una de estas propiedades (que para todo cardinalinfinito κ, κ κ κ) sin recurrir al axioma de eleccion (cosa que sin ladefinicion es inevitable) y tambien obtendremos resultados nuevos. Esto selogra usando el concepto de numero ordinal.

Para definir a los numeros cardinales o, simplemente, cardinales debemosconsiderar la eleccion de representantes de cardinalidades. La idea intuitivase desprende del hecho de que la relacion “tener la misma cardinalidad”se comporta como una relacion de equivalencia sobre la clase propia deluniverso de los conjuntos. Sin embargo, ni siquiera la clase de equivalenciade los conjuntos que tienen la misma cardinalidad que el conjunto

∅

es

un conjunto. Es decir, ni siquiera la coleccion de todos los conjuntos queintuitivamente tienen solo un elemento es un conjunto. Ası, la eleccion deun representante para cada cardinalidad es necesaria y debe hacerse concuidado.

Para un conjunto finito es facil elegir un representante de su cardina-lidad, la eleccion natural es la del numero natural equipotente con el. Deforma que los numeros naturales son numeros cardinales. Para los conjuntosinfinitos, buscamos elegir tambien un numero ordinal, pero la eleccion no estan natural. Usando el axioma de eleccion, sabemos que todo conjunto esbien ordenable y, por el teorema de enumeracion, ese buen orden es isomor-

fo a un unico ordinal. Entonces para todo conjunto existe un ordinal conel cual es biyectable (o equipotente). Ası que suena plausible, elegir a esteordinal como el cardinal del conjunto. Sin embargo, si A es infinito, exis-ten muchas maneras de bien ordenar a A que dan como resultado buenosordenes no isomorfos, por lo que existen muchos ordinales con los cuales A

es biyectable. Entonces para definir el cardinal de A necesitamos elegir unsolo ordinal. Esto lo podemos hacer usando el principio del mınimo ordinal:eligiendo el mınimo ordinal con el cual A es biyectable. Ası, un numerocardinal es un ordinal que no es biyectable con los ordinales menores a el.






De la definicion 2.9 sabemos que un ordinal inicial es un ordinal que noes equipotente (o biyectable) con ningun ordinal anterior a el. De aquı quela definicion de un cardinal es precisamente la de ser un ordinal inicial.

Definicion 3.1 Un cardinal es un ordinal inicial, es decir, un ordinal nobiyectable con ning´ un ordinal menor.

En la definicion anterior y en adelante, debe entenderse que el ordenentre los cardinales es el mismo que el de los ordinales.

Se deja al lector verificar que cualquier numero natural es un ordinalinicial, por lo que los cardinales finitos son numeros naturales. De aquı enadelante denotaremos con κ, λ, µ a cardinales infinitos y con m, n a losfinitos.

Con CAR denotaremos a la clase de todos los cardinales infinitos, esdecir, CAR

κ : κ es un cardinal y κ ω

. Abusando de la notacion,

observese que CAR OR.


(i) Si κ y λ son cardinales tales que κ λ, entonces κ λ.

(ii) La pertenencia se comporta como un buen orden para la clase de los cardinales.

(iii) Para toda n ω, n es cardinal; ω es cardinal y para toda α

OR, ωα

es cardinal.

(iv) Si κ CAR, entonces κ es un ordinal lımite.

(v) Si α OR, α

ω y α

ω, entonces α

CAR.

Demostraci´ on.

(i) Sean κ y λ cadinales tales que κ λ. Como κ y λ son cardinales

y κ λ, tenemos que κ

λ y λ

κ. Entonces κ

λ, pues la

pertenencia se comporta como un orden total para los ordinales.





(ii) Como los cardinales son una subclase de la clase OR y, por el principiodel mınimo ordinal, la pertenencia se comporta como un buen ordenpara OR,

tambien se comporta como un buen orden para la clase de

los cardinales.

(iii) Se deja al lector como ejercicio, verificar que todo natural es un car-

dinal. El hecho de que ω es cardinal se desprende de que sea el pri-mer ordinal infinito. Por la proposicion 2.10, sabemos que para todaα

OR, ωα es cardinal.

(iv) Sea κ CAR. Si κ fuera un ordinal sucesor, digamos κ

α

1, entonces

se puede encontrar una biyeccion de κ con el ordinal anterior, es decir,κ

α. Pero entonces α

κ y κ

α, lo cual contradice el hecho de

que κ es cardinal. Se deja como ejercicio dar la biyeccion κ α.

(v) Se deja como ejercicio.

Sin usar la definicion formal de cardinal, utilizando solo la nocion decardinalidad como la discutimos en la introduccion de este capıtulo, se pue-den demostrar varias propiedades, como por ejemplo el siguiente famosoteorema.

Teorema 3.1 (Cantor-Schroder-Bernstein) Sean A y B conjuntos cua-lesquiera. Si existen funciones inyectivas f : A

B y g : B

A, entonces

A B.

Demostraci´ on. Puede verse la demostracion que no utiliza la definicionde cardinal de este teorema en [Am05].

A este respecto es importante observar que con la definicion de cardinal,el axioma de eleccion y suponiendo cierta propiedad de la relacion de do-minancia entre conjuntos, podemos dar otra demostracion de este teorema.Recuerdese primero la definicion de la relacion de dominancia: decimos queun conjunto A esta dominado por B si existe una funcion inyectiva de A

en B, lo cual se denota como A

B. Como por el axioma de eleccion todoconjunto es bien ordenable, entonces por el teorema de enumeraci on y por elprincipio del mınimo ordinal, existen ordinales mınimos α y β con los cuales





A y B son biyectables respectivamente. Por el ejercicio 3.2.3 de esta seccionα y β son cardinales y como por el inciso (ii) de la proposici on anterior

se comporta como un buen orden para los cardinales, entonces tenemos que

se comporta como una relacion antisimetrica para los cardinales. Luego

entonces, como A

B y B

A, entonces por lo anterior α

β y queβ α.Ahora bien, si suponemos adicionalmente que

λ, κ CAR λ κ λ κ (3.1)

entonces como α β y β α entonces α β y por lo tanto A

B. Esto

concluye una demostracion de que la propiedad (3.1) implica el teorema deCantor-Schroeder-Bernstein.

Al final de esta seccion veremos que la clase de todos los cardinales es, aligual que la de los ordinales, una clase propia, por lo que no siempre sucedeque la union de una coleccion de cardinales es un cardinal. Sin embargo,

si la coleccion es un conjunto, entonces la union sı es un cardinal. Parademostrar esto, usamos una de las consecuencias del teorema de Cantor-Schroder-Bernstein que se deja al lector como ejercicio: si κ, λ y µ soncardinales tales que κ λ µ y κ µ, entonces κ λ µ.

Proposicion 3.2 La uni´ on de un conjunto de cardinales es un cardinal, es decir, si X es un conjunto de cardinales, entonces

X es un cardinal.

Demostraci´ on. Sean X un conjunto de cardinales y γ

X . Como X

es un conjunto de ordinales, por el ejercicio 2.2.1, γ es un ordinal. Si γ nofuera un cardinal, existirıa un ordinal δ γ

X tal que δ γ . En talcaso δ

X , por lo que existirıa un κ X tal que δ

κ. De esta manera

se tendrıa que δ κ γ , por lo que δ κ γ y δ γ . Ası, por el teoremade Cantor-Schroder-Bernstein, se obtendrıa que δ

κ, lo cual es una con-

tradiccion a que κ es cardinal. Por lo tanto, γ

X debe ser un cardinal.

A continuacion presentamos el teorema de Hartog, el cual asegura quepara todo conjunto A existe un cardinal mınimo que no es puede inyectaren el y que, por lo tanto, intuitivamente tiene mas elementos. Para el casoparticular en que A sea un cardinal κ, el teorema nos asegura la existencia





de otro cardinal mınimo no dominado por el y, por tanto, es el primeroestrictamente mayor que κ, es decir, es el sucesor cardinal de κ.

Teorema 3.2 (Hartog) Para todo conjunto A existe un mınimo cardinal κ no dominado por A y dominado por P

P

A

A

.

Demostraci´ on. Sean A un conjunto y κ α OR α A . Si κ es un

conjunto, entonces veamos que es un conjunto transitivo de ordinales. Seanα y β ordinales tales que β

α

κ, entonces β

α

A, por lo que β κ.

De aquı que κ es un ordinal. Por otra parte, veamos que κ es un cardinal.Sea β κ, entonces β A, por lo que β κ, pues si κ β A, κ A,lo cual implicarıa el absurdo de que κ κ. De manera que κ es un cardinaly ademas κ

A. Finalmente, si µ es un cardinal que cumple que µ

A y

tuvieramos que µ κ, entonces µ

A lo cual es una contradiccion. Por lotanto, si µ

A, κ

µ, es decir, κ es el mınimo cardinal no dominado por

A.

Por supuesto falta mostrar que κ es un conjunto, para lo cual definimosel siguiente conjunto:

W

B, r

B A, r

B

B y

B, r

es un buen orden

.

Claramente W P

A

P

A

A

. Sea F : W OR, donde F

B, r

se define como el unico ordinal α tal que B, r α,

. El teorema deenumeracion garantiza que F esta bien definida. Es claro que W es unconjunto por el axioma de separacion. Afirmamos que F

W

κ con lo

cual, por el axioma de reemplazo, habremos demostrado que κ es conjunto.

Sea F B, r F W y digamos que F B, r α. Entonces

α,

B, r

, por lo que α

B

A. De manera que F B, r

κ.

Por otro lado, si β κ, entonces β A, por lo que β B para algunB A. Supongamos que g : β B es la funcion biyectiva. Calcando elbuen orden de β a traves de g, definimos el buen orden r para B como x r y

si y solo si g 1 x

g 1

y

. Se puede verificar que efectivamente

B, r

es

un buen orden, ademas de que B, r

g

1 β,

, de donde β

F

B, r

F W

. Ası, podemos concluir que F

W

κ y que κ es un conjunto.

Finalmente, veamos que κ P P A

A

. Definimos G : κ

P P A

A

mediante G α

r

W

F

r

α

F 1

α

, es decir, G

α

es la

pre-imagen de α bajo F . La funcion G es inyectiva, pues si G α

G

β

,





entonces para toda r G

α

se tiene que

α,

B, r

β,

, de modo

que por el teorema de enumeracion, α β . La inyectividad de G atestiguala relacion κ

P P A A

.

Es interesante decir aquı que para esta demostracion del teorema deHartog no hizo falta utilizar el axioma de eleccion, comentario que, siempreque sea posible, vale la pena aclarar en cualquier teorema que asegure laexistencia de un conjunto ya que el axioma de eleccion no nos define loque afirma que existe y claramente una definicion constructiva nos da masinformacion.

Definicion 3.2 (Numero de Hartog) Dado un conjunto A, sea H A

el

mınimo cardinal no dominado por A, llamado el numero de Hartog de A,de esta forma se define un funcional H : V ω CAR que asocia a cada conjunto un cardinal que representa al siguiente tama˜ no posible al tama˜ node A. Al n´ umero de Hartog de un cardinal λ lo denotamos por λ .

El numero de Hartog de un conjunto esta bien definido por el teoremade Hartog. Ademas, observese que para definir el numero de Hartog deun conjunto no necesitamos la segunda parte del teorema (la que afirmaque el cardinal esta dominado por la potencia de la potencia del conjunto).Sin embargo, es un resultado bonito que se puede utilizar para probar unaafirmacion muy interesante: que la hipotesis generalizada del continuo, de lacual hablaremos en el capıtulo 4 (tambien vease el ejercicio 3.4.9), implicael axioma de eleccion. Para esta demostracion vease [Am89].

Proposicion 3.3 El cardinal λ es el cardinal sucesor de λ, es decir, el menor cardinal mayor que λ.

Demostraci´ on. Sea λ un cardinal. Como λ es el numero de Hartog deλ, λ

λ. Por el ejercicio 3.2.6 de esta seccion, tenemos que λ

λ. De

aquı que λ λ y, como λ es el menor cardinal con esta propiedad, λ es

el cardinal sucesor de λ.

Como prometimos, aquı esta la prueba de que la clase de los cardinaleses propia.

Proposicion 3.4 CAR es una clase propia.





Demostraci´ on. Una consecuencia del teorema de Hartog es que CAR notiene un ultimo cardinal. Si CAR fuera conjunto, entonces

CAR serıaun cardinal, por la proposicion 3.2. Ademas, para cualquier κ

CAR,tendrıamos que κ

CAR, es decir, κ

CAR para todo cardinal in-finito. Esto implica que

CAR

CAR y esto es una contradiccion a que

CAR sea ordinal. De manera que CAR no puede ser un conjunto.

Ejercicios

3.2.1.- Demuestre que todo numero natural es un cardinal y que, por ende,los cardinales finitos son los naturales. Sugerencia: Vease el lemade finitud en la pagina 69 del libro [Am05].

3.2.2.- Demuestre que si α OR, α

ω y α

ω, entonces α

CAR.

3.2.3.- Sea A un conjunto cualquiera. Sea γ la coleccion de todos los ordi-

nales equipotentes a A.(i) Demuestre que γ es un conjunto y es no vacıo.

(ii) Demuestre que el mınimo ordinal de γ es un cardinal.

3.2.4.- Dar la biyeccion requerida en la prueba del inciso (iv) de la propo-sicion 3.1

3.2.5.- Usando el teorema de Cantor-Schroder-Bernstein, demuestre que siκ, λ y µ son cardinales tales que κ

λ

µ y κ

µ, entonces

κ λ µ.

3.2.6.- Sean λ y κ cardinales cualesquiera. Diga si las siguientes afirmacio-

nes son verdaderas o falsas, justificando su respuesta. Compare susrespuestas con las del ejercicio 2.4.8 que habla de ordinales.

(i) λ κ

λ

κ (vi) λ κ

λ

κ

(ii) λ

κ

λ κ (vii) λ

κ

λ

κ

(iii) λ κ λ κ (viii) λ κ λ κ κ λ

(iv) λ κ λ κ (ix) λ κ κ λ

(v) λ κ

λ

κ (x) λ

κ

λ

κ κ

λ

(xi) λ

κ

λ κ




3.3. La jerarquıa de los alefs 111

3.3. La jerarquıa de los alefs

En esta seccion, usando el teorema de recursion transfinita, definimosuna jerarquıa de cardinales infinitos. Esto lo hacemos utilizando el numerode Hartog, es decir, en este caso el concepto de cardinal sucesor. Ademas,conseguimos algo mas poderoso: que cualquier cardinal infinito sea un car-

dinal de la jerarquıa. Por lo que, como sucede en los eventos importantesen matematicas, definimos objetos que tienen una propiedad y terminamosdefiniendo todos los objetos que tienen dicha propiedad (la de ser cardinalinfinito).

Definicion 3.3 El funcional alef ℵ : OR CAR se define mediante el

teorema de recursi´ on transfinita como sigue:

ℵ 0

ω,

ℵ α 1

ℵ α

,

ℵ γ

β

γ ℵ β , si γ es un ordinal lımite.

En adelante usaremos la notacion usual ℵα en vez de ℵ α

. A los ele-

mentos de la imagen del funcional alef se les puede llamar los alefs .La siguiente proposicion afirma que efectivamente el funcional alef arroja

cardinales infinitos.

Proposicion 3.5 Para todo α OR, ℵα CAR. Es decir, todos los alefs

son cardinales infinitos.

Demostraci´ on. Se deja al lector.

Ahora podemos demostrar que efectivamente todo cardinal infinito esun alef.

Proposicion 3.6 Se tiene que CAR ℵα

α OR

.

Demostraci´ on. En la proposicion 3.5 ya se probo que ℵα

α OR

CAR. Supongase que existe un µ CAR tal que µ ℵα para todo α OR.Sea κ el mınimo ordinal tal que es cardinal infinito y cumple esta propiedad.Sea X

ℵα ℵα κ

λ

CAR λ

κ

. Dado que ω

X , X

∅.

Analizamos dos casos. Si X tiene un ultimo elemento digamos ℵα, entonces





Definicion 3.4 Un cardinal infinito κ se llama sucesor si y s´ olo si existe un ordinal α tal que κ ℵα 1, y se llama lımite si es ℵ0 o ℵγ , para alg´ un ordinal lımite γ .

Damos las siguientes definiciones para funcionales f : OR OR. Re-

cuerde que si γ es un ordinal, supβ

γ f

β

β

γ f

β

, otra manera dedenotar este ordinal es con lımβ γ f β

, y esta manera da mayor sentido a

la palabra “continuo” en la siguiente definicion.

Definicion 3.5 Sea f : OR OR un funcional.

(i) f es monotono si y s´ olo si α, β

OR α

β

f

α

f

β

.

(ii) f es continuo si y s´ olo si para todo ordinal lımite γ , f γ

lımβ γ f

β

.

(iii) f es normal si y s´ olo si f es mon´ otono y continuo.

Observese que si f es un funcional continuo y γ es un ordinal lımite, se tieneque

f

lımβ γ

β

lım

β γ f

β

.

Los funcionales normales gozan de diversas propiedades interesantes, acontinuacion mostramos una de ellas.

Definicion 3.6 Sea f : OR OR un funcional. Un punto fijo para f es

un ordinal α tal que f α α.

Proposicion 3.7 Sea f : OR OR un funcional normal, entonces f tiene

puntos fijos arbitrariamente grandes.

Demostraci´ on. Sea α un ordinal. Definimos la siguiente sucesion por re-cursion hasta ω:

β 0 α,

β n 1 f

β n

.





Sea β

n ω β n. Veamos que β es un punto fijo de f . Para esto primerohay que notar que β es un ordinal lımite, pues

β n n ω no tiene maximo

al ser f monotona. Ası,

f β

f

n ω

β n

n ω

f β n

n

ω

β n

1

β.

La primera igualdad se da por la continuidad de f . Para ver la segunda igual-dad, basta ver que

n

ω f β n

γ

β f γ

, pues a cada f

β n

lo podemosver como un f

γ

; y que

γ β f γ

n ω f β n

, pues dado γ β , hay

n ω tal que γ

β n, por lo que f

γ

f

β n

, y

γ β f γ

n ω f β n

.

Observese que dado un ordinal α, si β es el ordinal construido en lademostracion anterior, β

mın

δ

OR f

δ

δ

α

δ

. Esto es cierto,

pues dado γ δ

OR

f

δ

δ

α

δ

, veamos que β

γ , para lo cual

basta probar por induccion sobre ω que para todo n ω, β n γ . Tenemosque β 0

α γ , pues γ

δ

OR f

δ

δ

α

δ

. Ademas, si β n

γ ,entonces, como f es monotona, β n

1 f

β n

f γ

γ . De aquı que

β γ . Por lo tanto, efectivamente β

mın

δ

OR

f

δ

δ

α

δ

.

A continuacion mostramos que el funcional ℵ es normal y, por lo tanto,de acuerdo a la proposicion anterior, existe una cantidad infinita de ordinalesα tales que ℵα

α.

Proposicion 3.8 ℵ es un funcional normal.

Demostraci´ on. Veremos que ℵ es monotono, por induccion sobre β .Si β

0, entonces para cualquier α

β , se tiene que α

0 y la

implicacion es trivialmente valida.Supongamos que

α

OR

α

β

ℵα

ℵβ . Sea α β

1, entonceshay dos casos. Si α β , entonces ℵα ℵβ ℵ

β ℵβ 1; si α β , entonces,

por la hipotesis de induccion, ℵα ℵβ

ℵ

β ℵβ 1.





Si β es un ordinal lımite γ , suponemos que α, δ

γ

α

δ

ℵα

ℵδ .

Sea α γ . Como γ es lımite, α 1

γ y, por la hipotesis de induccion, te-nemos que ℵα ℵα

1. Por otro lado, ℵα 1

β

γ ℵβ ℵγ , por definiciondel funcional alef. De aquı que ℵα ℵγ .

Ası, ℵ es monotono y ℵ es funcional continuo simplemente por como sedefinio. Por lo tanto, ℵ es un funcional normal.

Corolario 3.1 Para todo α OR, existe κ

α tal que ℵκ

κ.

Por ejemplo, si α ℵ0, hacemos κ

ℵ0,ℵℵ0

,ℵℵℵ0, . . .

.

Ejercicios

3.3.1.- Revise que la definicion del funcional alef esta bien justificada porel teorema de recursion transfinita.

3.3.2.- Demuestre la proposicion 3.5: para todo α OR, ℵα CAR.

3.3.3.- Verifique que si f : OR OR es un funcional continuo, para todoordinal lımite γ se tiene que f

lımβ γ β

lımβ γ f

β

.

3.3.4.- Sean F unc x

la formula que dice “x es funcion”, dom

x

el termino

que representa al “dominio de x”, Ord α

la formula que dice “α

es ordinal” y Lim α

la que dice que “α es ordinal lımite”. Sea

G : V V una operacion sobre el universo definida como sigue

para cualesquiera x, y:

G x

y

Func x

dom

x

0

y

ℵ0

Func x

α

Ord α

dom

x

α

1

y

f : x α

2

Func x

α

Lim α

dom

x

α

y

x α

Func

x

Func

x

α

OR dom

x

α

y ∅

.





(i) Verifique que G es un funcional.

(ii) Aplique el teorema de recursion para ordinales utilizando elfuncional G para definir una unica operacion funcional condominio OR a la cual llamaremos beth .

(iii) Diga a que son iguales 0

,

α 1

, y

γ para γ lımite.

(iv) Demuestre que es un funcional normal.

3.4. El cardinal de un conjunto

Como mencionamos en la introduccion de este capıtulo, ahora que sabe-mos la definicion de numero cardinal, podemos formalizar la idea de cardinalde un conjunto, mientras que antes solo podıamos asegurar cuando es quedos conjuntos tenıan el mismo cardinal. Debe ser clara la importancia deesto, pues ahora realmente podemos decir cual es el tamano o cual es elnumero de elementos de cualquier conjunto.

Definicion 3.7 (AE) Sea A un conjunto. El cardinal de A, denotado como

A

, es el mınimo ordinal biyectable con A.

Veremos en la siguiente proposicion que el cardinal de un conjunto real-mente es un cardinal. Ademas, veremos que para asegurar que todo conjuntotiene cardinal se necesita el axioma de eleccion. Claro que si se sabe que unconjunto es bien ordenable, el axioma de eleccion no es necesario para ase-gurar la existencia de su cardinal.


(i) Para cualquier conjunto A, A existe y es ´ unico.

(ii) Para cualquier conjunto A, el ordinal A

es un cardinal.

(iii) Para cualquier conjunto A, A

α

OR α

A

.

(iv) Si α OR, entonces

α

α. M´ as a´ un,

α

α si y s´ olo si α es

cardinal.

Demostraci´ on.




3.4. El cardinal de un conjunto 117

(i) Sea A un conjunto. Por el axioma de eleccion, existe r A2 tal que

A,r es un buen orden. Por el teorema de enumeracion, existe un

unico ordinal α tal que A,r

α,

, por lo que A

α. Entonces,

usando el principio del mınimo ordinal, podemos encontrar el mınimoordinal biyectable con A. La unicidad se sigue del hecho de que elmınimo ordinal de un conjunto de ordinales es unico.

(ii) Sea A un conjunto. Si A

no fuera un cardinal, entonces existirıa un

ordinal β A tal que

A β . Como A A , A β y β A

,contradiciendo la minimalidad de

A

.

(iii) Se deja como ejercicio al lector.

(iv) Se deja como ejercicio al lector.

En la siguiente proposicion vemos que la definicion de cardinal efecti-vamente preserva la idea de que dos conjuntos tienen la misma cantidadde elementos si y solo si tienen el mismo cardinal. Analogamente, se da loesperado para el concepto de dominancia.

Proposicion 3.10 Sean A y B conjuntos. Entonces se tiene lo siguiente.

(i) A B si y s´ olo si

A

B

.

(ii) A

B si y s´ olo si A

B

.

Demostraci´ on.

(i) Supongamos que A

B. Como

A

A y

B

B,

A

B

. Deaquı que, por el inciso (i) de la proposicion 3.1,

A B .

Recıprocamente, si A B

, entonces A A B B, de dondeA

B.

(ii) Si A B, entonces, como A A y

B B, A B

y tenemosdos casos.

Si A

B

, entonces, por el inciso (i) de la proposicion 3.1,

A

B

y, por lo tanto, A

B

.





Por otro lado, si

A

B

, entonces, por el teorema de Cantor-

Schroder-Bernstein, no puede haber una inyeccion de B

en A

. En-tonces

B

A

, es decir,

B

A

. Como

es tricotomica en los

ordinales, se tiene que A

B

.

Recıprocamente, A B

implica que A B

, que a su vez, impli-

ca que

A

B

. Ası, como

A

A y

B

B, A

B.

Ejercicios

3.4.1.- Demuestre que para cualquier conjunto A, A

α

OR α

A .

3.4.2.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente:

(i)

α

α.

(ii)

α

α si y solo si α es cardinal.

3.4.3.- Sean α y β ordinales y κ un cardinal. Demuestre lo siguiente:

(i) Si α β , entonces

α

β

.

(ii) Si α κ, entonces α κ.

(iii) Si κ α, entonces κ

α

.

(iv) Si α

β

, entonces α

β .

3.4.4.- Sean α y β ordinales. Diga si las siguientes afirmaciones son verda-deras o falsas, dando prueba o contraejemplo.

(i) Si α β , entonces

α

β

.

(ii) Si α

β

, entonces α

β .

(iii) Si β α

, entonces β α

.

3.4.5.- ¿Es cierto que si α y β son ordinales tales que α

β

, entonces

α β ? Justifique su repuesta, dando prueba o contraejemplo.




3.4. El cardinal de un conjunto 119

3.4.6.- En el ejercicio 2.4.7 se pidio probar que si A,r

es un buen orden

infinito, existe una relacion binaria r sobre A tal que

A,r

es

un buen orden y A,r

A, r

. ¿Cuantos buenos ordenes no

isomorfos se pueden definir sobre A?

3.4.7.- Sea r A

A. Definimos r

q

A

A

A, q

A, r

y BA

¯r A,r buen orden y r A A . Sea OA α OR α A .

Pruebe que BA OA y que

OA

1 si A es finito A

si A es infinito

3.4.8.- Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones:

(a) Y

Y Y

,

(b) ℵ1.

La afirmacion (a) es la famosa hipotesis del continuo (HC), que diceque no hay ningun conjunto con cardinalidad mayor que la de losnaturales y menor que la de los reales. ¿Se necesita en alguna delas pruebas del axioma de eleccion?

3.4.9.- Demuestre la equivalencia de las siguientes afirmaciones:

(a) X

A

X X

P A

,

(b) 2 A

A

.

La afirmacion (a) es la hipotesis generalizada del continuo (HGC),que es una generalizacion de la hipotesis del continuo mencionada

en el ejercicio anterior y de la cual discutiremos en el capıtulo 4.¿Se necesita en alguna de las pruebas del axioma de eleccion?

3.4.10.- Recuerde el funcional beth definido en el ejercicio 3.3.4 y que HGCes la afirmacion

a del ejercicio 3.4.9. Demuestre que HGC es cierta

si y solo si α OR ℵα

α .

3.4.11.- Sean r

y r, B

definidos como en el ejercicio 3.4.7. Defi-nimos T

r

, r

es un orden total . Es claro que B

T

.Diga si

B

T

o si

B

T

, justificando su respuesta.




3.5. Aritmetica cardinal 121

Demostraci´ on. Como κ κ

κ

0

κ

1

y κ

κ

κ

κ

, es

suficiente probar que κ h κ 0

κ 1

y κ h κ κ, lo cual es inmediato

haciendo h α

α, 0

.

Lema 3.2 Si κ y λ son cardinales tales que κ, λ 1, entonces κ

λ

κ

λ.

Demostraci´ on. Basta con mostrar que κ

0

λ

1

κ λ. Definiendo

h como

h x

α, 0

si x

α, 0

1, β

si x

β, 1

, β

0

0, 1

si x

0, 1

,

se tiene que κ

0

λ

1 h κ

λ.

A continuacion definimos un buen orden para el producto cartesiano

OR OR, ası como algunas de sus propiedades necesarias para mostrar la

idempotencia del producto de cardinales infinitos.

Definicion 3.9 Definimos el buen orden can´ onico para OR OR como si-gue: sean η un ordinal y sean α,β, γ,δ

η. El orden

η η

η

η

η

se define como α, β η γ, δ si y s´ olo si

α

β

γ

δ

α

β

γ

δ

α

γ

α

β

γ

δ

α

γ

β

δ

.

Lema 3.3 Sea η un ordinal. Se tiene lo siguiente.

1. η η, η es un buen orden.

2. Si α, β δ

η, entonces

α, β

η δ

δ . Es decir, el segmento inicial

del orden η determinado por

α, β

est´ a contenido en δ

δ .

Demostraci´ on.

1. Es directo verificar que η es un orden total y se deja como ejercicio.

Sea A η

η, A

∅. Definimos el

η-mınimo de A como sigue:





Sea α0 mın

α

β

α, β

A

, es decir, el mınimo de los maximos

de los pares de A, y sea B β, δ A β δ α0 . Definimos

β 1 mın

β

β, δ

B

, C

δ

β 1, δ

B

y δ 1

mın C .Ası pues,

β 1, δ 1

B y β 1 δ 1

α0. Se deja como ejercicio verificarque estas definiciones son buenas y que el

η-mınimo de A es β 1, δ 1

.

2. Recordemos que α, β η γ, ǫ η η γ, ǫ η α, β . Seanα, β

δ

η. Veamos que

α, β

η δ

δ . Sea

γ, ǫ

α, β

η .Hacemos un analisis de casos:

a ) Si γ ǫ

α

β , entonces γ , ǫ

max γ, ǫ

max α, β

δ . Por

lo tanto, γ, ǫ δ .

b) Si γ ǫ

α

β y γ

α, entonces γ

δ , pues α

δ . Ademas

ǫ γ ǫ max

α, β δ . Por lo tanto, γ, ǫ δ .

c ) Si γ ǫ

α

β, γ

α y ǫ

β , entonces ǫ

β

δ implica

ǫ δ , y ademas γ

α

δ , p or lo que γ , ǫ

δ .

Utilizando los lemas anteriores, estamos ya en posicion de probar nuestroobjetivo.

Teorema 3.3 Si κ es un cardinal infinito, entonces κ

κ,

κ κ,

.

Demostraci´ on. Procedemos por contradiccion. Sea κ el mınimo cardinalinfinito tal que

κ κ, κ κ, . Por los lemas anteriores, sabemos

que κ

κ κ

y que

κ

κ,

κ es un buen orden. Por el teorema de

enumeracion, existe un β OR tal que

κ

κ,

κ f β,

. Basta mostrar

que β κ para obtener una contradiccion. Observese que κ

β , puesto

que κ κ κ β β , . Supongamos ahora que κ β , en cuyo casoκ

β y κ

α

β

α

κ

es un segmento inicial de β , de manera que

f 1 κ

sera un segmento inicial de κ

κ con el orden canonico

κ. Pero

f

1 κ

κ y veremos que todo segmento inicial de κ

κ tiene cardinal

menor que κ. Sea α, δ

κ

κ. Veamos que

α, δ

κ κ.

Sea γ

α δ

1. Como κ es ordinal lımite, γ

κ y, como α, δ

γ ,

por el segundo inciso del lema anterior, se tiene que

α, δ

κ γ

γ. (3.2)





Demostraci´ on. Sean g tal que κ g κ

κ y Aα

β g

β

α, β

. El

lector debe verificar que esta es la particion buscada.

La proposicion anterior garantiza que para cualquier conjunto infinitode cardinal κ, existe una particion en κ conjuntos, cada uno de cardinal κ.

3.5.2. Sumas con un numero infinito de cardinales

En esta seccion estudiaremos sumas que involucran a un numero infinitode cardinales.

Definicion 3.10 Sea κi

i I

una familia de cardinales indexada por un

conjunto cualquiera I . Definimos la suma de dichos cardinales como

i

I

κi

i

I

κi i

.

De esta forma, la suma de cardinales se define como el cardinal de launion ajena de los mismos. A continuacion mostramos que esta es una de-finicion correcta para familias de conjuntos ajenos cualesquiera.

Proposicion 3.12 Si Ai

i I

es una familia de conjuntos ajenos dos a

dos y tales que Ai

κi para todo i I , entonces

i I

Ai

i I

Ai

i I

κi.

Demostraci´ on. Sean Ai f i κi, entonces Ai f iκi

i , si definimos

f

i α

f i

α , i

. De aquı se puede verificar que

i I

Ai

i I f

i

i I

κi

i .

En el caso de que se tengan dos familias de conjuntos ajenos indexadaspor un mismo conjunto de ındices y tales que conjuntos con el mismo ındicetienen la misma cardinalidad, podemos asegurar que las cardinalidades desu union coinciden.






i I

,

Bi

i I

son dos familias de conjun-

tos ajenos dos a dos tales que Ai Bi

para todo i I , entonces

i

I

Ai

i

I

Bi

.

Demostraci´ on. Sean Ai f i Bi, entonces se puede verificar que

i

I

Ai

i I f i

i

I

Bi.

La proposicion anterior puede generalizarse al caso de dos conjuntos deındices distintos pero equipotentes, como mostramos a continuacion.

Proposicion 3.14 Si Ai i I . B j j J


tos ajenos dos a dos con I f J y tales que Ai gi Bf i

para todo i I ,entonces

i

I

Ai

j

J

B j .

Demostraci´ on. Se puede verificar que h :

i

I Ai

j

J B j , dondeh

ai

gi ai

, es la biyeccion buscada.

La proposicion anterior se usa comunmente cuando J I y

I I .

Observese que si I

λ y

κi

i I

κα

α λ

, entonces

i I

κi

α λ

κα.

Este hecho es util para cambiar el conjunto de ındices de manera quesea un cardinal.

Las propiedades usuales de asociatividad y conmutatividad se generali-zan al caso de un numero infinito de sumandos de acuerdo a la siguiente





Proposicion 3.15 Sean κi

i λ

y

λ j : j

J

una partici´ on de λ, con

λ un cardinal infinito. Entonces

i λ

κi

j J

i λj

κi

.

Demostraci´ on. Sea Ai i λ una familia de conjuntos ajenos dos a dos,tales que

Ai

κi. Para la demostracion, basta verificar que

i λ

Ai

j J

i λj

Ai

.

La propiedad de monotonıa valida para la suma de dos cardinales tam-bien se generaliza a sumas de una cantidad arbitraria de cardinales de acuer-do a la siguiente proposicion.

Proposicion 3.16 Sean κi

i µ

,

λi

i µ

familias de cardinales tales

que κi λi para todo i µ. Entonces

i µ

κi

i µ

λi.

Demostraci´ on. Para cada i µ, sea f i : κi

λi una funcion inyectiva.Definimos f

i : κi i

λi

i como f

i ai, i

f i

ai , i

. Entonces

basta ver que

f

i :

κi i

λi i

es inyectiva.

La proposicion anterior no es valida para el menor estricto, aun si setiene que κi

λi, para toda i µ. Por ejemplo,

n

ω

2n ω

n

ω

2n

1

.

Para terminar nuestra exposicion acerca de sumas infinitas, proporcio-namos algunas formulas de utilidad.





Proposicion 3.17

i λ κ κ

λ

Demostraci´ on. Basta observar que

i λ

κ

i

κ

λ.

Veamos algunos ejemplos de sumas infinitas:

i ω 1 1

ℵ0 ℵ0.

i ω n n ℵ0 ℵ0.

i ω ℵ0 ℵ0 ℵ0 ℵ0.

i κ

κ κ κ

κ

κ

κ

i κ

κ .

En el ultimo ejemplo se observa nuevamente que, aun cuando κi λi para

todo i µ, no necesariamente se tiene que

i µ κi

i µ λi.

La proposicion anterior se generaliza como sigue.

Teorema 3.4 (Sumas infinitas) Sea κα

α λ

un conjunto de cardi-

nales indexados por λ. Si para toda α λ, κα 0 y λ ℵ0 o κα ℵ0 para

alg´ un α λ, entonces

α λ

κα λ

supα

λ

κα.

Demostraci´ on. Como κα supα λ κα,

α λ κα

α λ supα λ κα

λ supα λ κα

. Para la desigualdad contraria, como 1 κα entonces λ

α

λ 1

α

λ κα. Claramente κβ

α

λ κα para toda β λ, puesto

que κβ

α λ κα α , de manera que

α λ κα es una cota superior de

κα α

λ

. Por lo tanto, supα

λ κα

α λ κα. Finalmente se tiene queλ

supα λ κα max

λ, supα λ κα

α λ κα.

Corolario 3.4 Si λ supα λ κα con κα ℵ0 para alguna α

λ y κα

0para toda α

λ, entonces

α λ

κα sup

α λ

κα.





Veamos algunos ejemplos, que utilizan estos nuevos resultados:

n ω n ℵ0 supn ω n ℵ0 ℵ0 ℵ0.

n ω ℵn ℵ0 supn ω ℵn ℵ0 ℵω ℵω.

α ℵ1 ℵn

ℵ1

supα

ℵ1 ℵα

ℵ1

ℵℵ1

ℵℵ1.

3.5.3. Productos con un numero infinito de cardinales

A continuacion desarrollamos la aritmetica cardinal para el caso de pro-ductos infinitos.

Definicion 3.11 Dada una familia de conjuntos Ai

i I

, definimos su

producto cartesiano generalizado, denotado

i I Ai, como

i

I

Ai f : I

i

I

Ai f

i

Ai para todo i

I

.

En particular se tiene que

i

I A f f : I A .

La definicion del producto de un numero arbitrario de cardinales se sirvedel producto cartesiano generalizado.

Definicion 3.12 Sea κi

i I

una familia de cardinales indexada por un

conjunto cualquiera I . Definimos el producto de dichos cardinales como

i I

κi

i I

κi

.

La siguiente proposicion garantiza que productos cartensianos generali-zados, cuyas componentes son equipotentes, siguen siendo equipotentes.


i I

,

Bi

i I


tos tales que Ai hi Bi para todo i I , entonces

i I

Ai

i I

Bi.





Demostraci´ on. Sea H :

i I Ai

i I Bi tal que H f

: I

i I Bi,donde H f i hi f i

. El lector debe verificar que H es biyectiva.

Como corolario obtenemos el hecho de que cualquier producto de cardi-nales de conjuntos es igual al cardinal de su producto cartesiano generali-zado.

Corolario 3.5

i

I Ai

i

I Ai

.

Demostraci´ on. Se tiene que Ai Ai

, de donde

i I Ai

i I Ai

y

i

I Ai def

i

I Ai

i

I Ai

.

La proposicion 3.18 se generaliza para el caso en que las familias deconjuntos se indexan con conjuntos del mismo tamano como sigue.

Proposicion 3.19 Si Ai i I , B j j J


tos tales que I

h J y Ai

gi Bh i para todo i

I , entonces

i I

Ai

j J

B j .

Demostraci´ on. Se puede verificar que H :

i I Ai

j J B j es la bi-yeccion buscada, donde H

f

: J

j J B j , se define como H f

j

gh

1 j

f h 1 j

.

En particular, podemos utilizar como conjuntos de ındices unicamentea cardinales.

Observese que si

I

λ y

κi

i

I

κα

α

λ

, entonces

i

I

κi

α

λ

κα.

La monotonıa del producto de dos cardinales sigue siendo valida en elcaso general de acuerdo a la siguiente proposicion.

Proposicion 3.20 Si κα λα para toda α

µ, entonces se cumple que

α µ κα

α µ λα.





Demostraci´ on. Se puede demostrar de manera analoga a como se de-mostro la proposicion 3.16.

Analogamente al caso de la suma, aun cuando se tenga κα λα paratoda α

µ, la desigualdad en los productos no necesariamente es estricta.

Como ejemplo tenemos que κ κ , pero

α

κ

κ

α

κ

κ ,

puesto que

α κ

κ

α κ

κ

f f : κ κ

κκ

2κ,

α κ

κ

α κ

κ

f f : κ κ

κ

κ

2κ,

recordando que si 2 λ κ

, entonces 2κ λκ κκ κ

κ (vease[Am05]).

A continuacion probamos otras propiedades de productos infinitos. Em-pezamos mostrando que el producto cardinal no tiene divisores de cero.

Proposicion 3.21

α λ κα 0, si y s´ olo si κα

0 para alg´ un α λ.

Demostraci´ on. Como el producto cartesiano de conjuntos no vacıo es novacıo por el axioma de eleccion, tenemos que si

α λ κα 0, entonces

κα

0 para algun α λ.

Para el recıproco, observe que no existe f

: λ

0, si λ

0.

La asociatividad y conmutatividad del producto se generalizan comosigue.

Proposicion 3.22 Sean κα

α λ

con λ

CAR y λ j : j

J

una

partici´ on de λ. Entonces

α λ

κα

j J

α λj

κα

.





Demostraci´ on. Sea H :

α

λ κα

j

J

α

λjκα

definida por

H f

: J

j J

α λj

κα

,

donde H f

j

: λ j

α

λj

κα esta dada por H f

j

α

f

α

. El lector

debe verificar que H es biyectiva.

Se deja como ejercicio demostrar las siguientes igualdades de productosinfinitos:

α λ κ

α λ κ

f

f : λ

κ

κλ.

α ℵ02

2ℵ0 .

α ℵ0

ℵ0 ℵℵ0

0 2ℵ0 .

Terminamos nuestra exposicion acerca de productos infinitos con la si-guiente propiedad.

Teorema 3.5 (Productos infinitos) Sean λ ℵ0 y κα α λ

una

λ-sucesi´ on no decreciente de cardinales distintos de cero. Entonces

α λ

κα

supα λ

κα

λ.

Demostraci´ on. Como κα

supα

λ κα, por la proposicion 3.20 y el pri-mero de los ejemplos anteriores, tenemos que

α

λ

κα

α

λ

supα λ

κα

supα λ

κα

λ.

Para verificar la desigualdad contraria, sea

Aβ β

λ

una par-

ticion de λ tal que Aβ

λ

. Como κα ∅ entonces

α λ κα ∅

y

α Aβκα

∅. Por lo tanto, κα

α Aβκα para cualesquiera α

Aβ

con β λ. Ası pues,

α

Aβκα es cota superior de todos los κα con α Aβ ,

de donde supα

Aβ κα

α Aβκα para toda β

λ. Pero supα

λ κα

supα

Aβ κα, hecho que probamos enseguida. Para cualquier α

Aβ

λ, se





cumple supα λ κα κα, por lo que supα Aβ

κα supα λ κα. Para demos-

trar la desigualdad contraria, sea α0 λ. Entonces existe γ Aβ tal queα0

γ , pues en caso contrario α0 serıa una cota superior de Aβ en λ, de don-de Aβ

α0 y Aβ

α0 α0

λ, lo cual es absurdo. De modo que, comola sucesion de κα es no decreciente, se tiene que κα0

κγ

supα

Aβ κα.

Luego entonces supα Aβ

κα es cota superior de κα

α λ

de don-

de supα λ κα supα Aβ

κα. Para concluir la demostracion tenemos quesupα λ κα

supα Aβ κα

α

Aβκα lo cual implica que

supα λ

κα

λ

β

λ

supα λ

κα

β

λ

α Aβ

κα

α

λ

κα.

Veamos algunos ejemplos que utilizan estos resultados:

n ω 0

n 2ℵ0 .

n ω ℵn ℵℵ0

ω .

α ω ω ℵα ℵℵ0

ω

ω.

α ℵ1

ℵα ℵℵ1

ℵ1.

Las operaciones de suma y producto de una cantidad infinita de cardina-les interactuan mediante las llamadas leyes de los exponentes generalizadas.

Proposicion 3.23 (Leyes de los exponentes generalizadas) Se cum-plen las siguientes igualdades:

1.

i

I κi

λ

i

I κλi

, que generaliza a κ µ

λ κλ

µλ.

2.

i I κλi

κ

i I λi , que generaliza a κλ

κµ

κλ

µ.

Demostraci´ on.





1. Definimos G : λ

i I κi

i I

λκi como sigue. Sea f

λ

i I κi

arbitraria y sea G f : I

i

I

λκi tal que G f i

: λ κi sedefine como G

f

i

α

f

α

i

para toda α

λ. Veamos que G

es biyectiva. Si f g, entonces existe α

λ tal que f

α

g

α

.

Por lo tanto, existe i I tal que G

f

i

α

f

α

i

g

α

i

G g

i

α

, de donde G

f

i

G

g

i

y por lo tanto G

f

G

g

.

Por lo tanto, G es inyectiva.

Por otra parte sea h

i I

λκi , es decir, h : I

i I

λκi con

h i

λκi y sea f

λ

i

I κi tal que f α i h i α κi, para todoα

λ. Ası, para cualesquiera i

I, α

λ, tenemos que G

f

i

α

f α

i

h

i

α

, es decir, para cualquier i

I, G

f

i

h

i

, de

donde G f

h y G es suprayectiva.

2. Definimos F :

i I

λi κ

i I λi i κ. Sea f

i I

λi κ , es

decir, f : I

i

I

λi κ con f i

λi κ. En tal situacion definimosF

f

:

i I λi i

κ mediante F

f

αi, i

f

i

αi

κ.Veamos que F es biyectiva. Sean f

g

i

I

λi κ . Esto implica

que existe i I tal que f

i

g

i

, de donde existe αi

λi tal queF f αi, i f i αi g i αi F g αi, i

. Esto nos lleva aque F

f

F

g

, por lo que F es inyectiva.

Por otra parte tomemos h :

i I λi i κ y f : I

i I

λi κ tal

que f i αi h αi, i . De esta forma se tiene que para cualquier

αi, i

i

I λi

i , F

f

αi, i

f

i

αi

h αi, i

, es decir,

F f

h y F es suprayectiva.

Veamos mas ejemplos de productos infinitos simplificados con ayuda delas leyes exponentes generalizadas.

0 n ω n ℵ

ℵ0

0 2ℵ0 .

0 n ω nℵ0

0 n ω n ℵ0

2ℵ0

ℵ0

2ℵ0 ℵ0

2ℵ0 .

n ω ℵn0 ℵ

n ω n

0 ℵℵ0

0 2ℵ0 .

n ω κℵn

κ

n

ω ℵn

κℵω .





n ω ℵωℵn

ℵω

n ω ℵn ℵω

ℵω

2ℵω .

n ω ℵℵnω 1 ℵ

n ω ℵn

ω 1 ℵℵωω 1

2ℵω .

3.5.4. El teorema de Konig

En ninguno de los resultados presentados en las secciones anterioresse preservan las desigualdades estrictas al sumar o multiplicar cardinales.A continuacion presentamos el teorema de Konig que es muy importanteprecisamente porque habla de un caso de preservacion del menor estricto.Mas aun, hasta donde sabemos, esta es la desigualdad estricta mas generalsobre operaciones de cardinales infinitos que se preserva.

Teorema 3.6 (Konig (AE)) Si κi i I , λi i I

son dos familias de cardinales tales que κi λi para toda i I , entonces

i

I

κi

i

I

λi.

Demostraci´ on. Sin perdida de la generalidad, sean Ai i I y

Bi i I dos

familias de conjuntos tales que Ai κi, Bi λi, Ai A j

∅ para i j

y Ai Bi. Basta ver que

i I

Ai

i I

Bi. (3.3)

Primero vamos a establecer la relacion

. Para cada i I sea ci

Bi Ai,

obtenido por el axioma de eleccion dado que Bi Ai

∅ por hipotesis.Definimos f :

Ai

Bi , con f a

i I Bi mediante

f a

ℓ

cℓ si ℓ i,

a si ℓ i.

para cualquier a Ai, i I .

f esta bien definida pues cada a

Ai pertenece a una unica Ai, porhipotesis. Veamos ahora que f es inyectiva. Sean a

a

Ai. Hay doscasos:

Si a, a

Ai, entonces f

a

i

a

a

f

a

i

. Por lo tanto,

f a

f

a

.





Si a Ai, a

A j , i

j, entonces f

a

i

a

Ai y f

a

i

ci con

ci Bi Ai. Por lo tanto, a ci y ası f a f a

.

Ahora, establecemos la relacion mostrando que para g :

Ai

Bi

arbitraria, existe una f

i I Bi tal que para toda a

i I Ai, g a

f ,

es decir, g no es sobre. Tomemos una g arbitraria y para cada i I , defina-

mos ci

g

a

i

a

Ai

Bi. De esta definicion y de las propiedades deAi y Bi, se sigue que

ci Ai Bi . Como ci Bi, tomamos mediante

el axioma de eleccion di Bi

ci, y sea f

i

I Bi, definida por f i

di.

De esta definicion es claro que f i

ci y, por lo tanto, f

i

g

a

i

para

todas i I, a

Ai. Luego entonces f

g

a

para toda a

Ai, por lo queg no es suprayectiva.

Terminamos el capıtulo y nuestra discusion acerca de aritmetica cardinalcon algunos corolarios relevantes del teorema de Konig.

Corolario 3.6 (Teorema de Cantor) Para todo cardinal κ, κ 2κ.

Demostraci´ on. Como 1 2, tenemos que

κ

i κ

1

i κ

2

2κ.

El siguiente corolario asegura que el cardinal del continuo no puede serℵω.

Corolario 3.7 ℵω 2ℵ0 .

Demostraci´ on. Supongamos que

ℵω

2ℵ0

. Como para toda n

ω, setiene que ℵn ℵω. Entonces tendrıamos que ℵn 2ℵ0 para cualquier

n ω. Ası,

ℵω

n ω

ℵn

n ω

2ℵ0

2ℵ0

ℵ0

2ℵ0 ℵ0

2ℵ0 ,

es decir, ℵω 2ℵ0 . Por lo tanto, ℵω

2ℵ0 .

Finalmente mostramos una desigualdad estricta que no involucra direc-tamente al cardinal 2.





Corolario 3.8 ℵω ℵℵ0

ω .

Demostraci´ on. Como para cualquier n ω, se tiene que ℵn ℵn 1.Entonces

ℵω

n

ω

ℵn

n

ω

ℵn 1 ℵ

ℵ0

ω .

Ejercicios

3.5.1.- Consideremos las operaciones de suma, producto y exponenciacionordinal α ord β, α ord β, αβ

ord, dadas en las definiciones 2.10, 2.11 y

2.12, ası como las operaciones respectivas para cardinales α car

β, α car β , αβ

carenunciada en la definicion 3.8. Diga si las siguientes

afirmaciones son verdaderas o falsas, dando prueba o contraejemplo.

(i) κ car λ

κ

ord λ ,

(ii) κ car λ

κ

ord λ ,

(iii) κλ

car

κλ

ord .

3.5.2.- Sean κ, λ, µ y ν cardinales. Demuestre lo siguiente.

(i) La suma y producto de cardinales es conmutativa y asociativa.

(ii) κ κ

λ.

(iii) κ λ

µ

κ

λ

κ

µ.

(iv) Si λ κ y ν

µ, entonces λ

ν

κ

µ.

(v) Si λ κ y ν µ, entonces λ ν κ µ.

(vi) Si λ 0, entonces κ κ λ.

(vii) Si λ 0, entonces κ κλ.

(viii) Si κ

1, entonces λ κλ.

(ix) Si λ κ y ν

µ, entonces λν

κµ.

(x) κλ

κµ

κλ

µ.

(xi) κλ

µ

κλ

µ .





(xii) κ

λ

µ

κµ

λµ.

3.5.3.- Sea η un ordinal.

(i) Demuestre que la relacion η dada en la definicion 3.9 es un

orden total.

(ii) Verifique que en el lema 3.3 β 1 y δ 1 estan bien definidas, y queel

η-mınimo de A es realmente β 1, δ 1

.

3.5.4.- Muestre que la particion propuesta en la proposicion 3.11 cumplecon lo afirmado en dicha proposicion.

3.5.5.- Defina una particion P

Aβ β

λ

de λ un cardinal infinito,

tal que β

λ,

Aβ

λ

P .

3.5.6.- Verifique que las funciones dadas en las demostraciones de la seccion3.5.2 cumplen con ser inyectivas o biyectivas, segun sea el caso.

3.5.7.- Verifique que las funciones dadas en las demostraciones de la seccion3.5.3 cumplen con ser inyectivas o biyectivas, segun sea el caso.

3.5.8.- Pruebe que si Ai i I

es una familia de conjuntos tales queAi

∅ para toda i I y Ai

A j ∅ para todo i

j, entonces

i I Ai

i I Ai I

3.5.9.- Demostrar las siguientes igualdades de productos infinitos:

α λ κ

α λ κ

f f : λ κ

κλ.

α ℵ0

2 2ℵ0 .

α ℵ0 ℵ0

ℵℵ0

0 2ℵ0 .

3.5.10.- Pruebe que si κi i I

es una familia de cardinales tal que κi 2

para todo i I , entonces

i

I κi

i

I κi




140 4. Cofinalidad

ficiente informacion para contestar la pregunta de si el cardinal del continuoes ℵ1 o no. Estos resultados pueden consultarse en [Ku80].

Por el axioma de eleccion, sabemos que existe algun ordinal α tal que2ℵ0

ℵα. Entre los esfuerzos que se hicieron para demostrar o refutar siα

1, estuvo la de investigar cuando dos ordinales “terminaban del mismo

modo”, concepto que definiremos en este capıtulo como el de cofinalidad.Con este concepto podremos descartar a varios ordinales α, es decir, veremosque estos ordinales no pueden cumplir la igualdad 2ℵ0

ℵα. Sin embargo,como ya discutimos en el parrafo anterior, en ZFE no se puede dar unarespuesta completa. De hecho, se sabe que los ordinales α que descartaremosen este capıtulo son los unicos que se pueden descartar con la informacionque nos dan los axiomas de ZFE.

Como es usual en matematicas, la motivacion de los conceptos muchasveces es superada y el concepto por sı solo es suficientemente interesantegracias a otras de sus consecuencias. Este es el caso del concepto de cofina-lidad que, al margen de que descarta algunos cardinales para ser el cardinaldel continuo, termina dividiendo a los ordinales en dos grandes clases (lade los regulares y la de los singulares) y el estudio de las caracterısticasde estas clases es interesante per se. Mas aun, el concepto de cofinalidadtambien contesta algunas preguntas sobre la exponenciacion cardinal, queameritan una seccion de este capıtulo. Ademas, resulta que las implicacio-nes que tiene suponer la hip´ otesis generalizada del continuo con respectoa la exponenciacion cardinal son tambien interesantes y ocupan la ultimaparte de este capıtulo. La hipotesis generalizada del continuo que, como sunombre lo dice, es una generalizacion de la hipotesis del continuo, afirmaque para todo ordinal β , 2ℵβ

ℵβ 1, es decir, 2ℵβ

ℵ

β (vease el ejercicio3.4.9).


Para dar la definicion de cofinalidad entre ordinales, primero damos lassiguientes definiciones.

Definicion 4.1 Sean A y B conjuntos tales que A

B,

es un orden

total. Decimos que A y B son -confinales si y s´ olo si

x

A

y

B x

y

y

B

x

A y

x





Definicion 4.2 Si x,

es un orden total y y

x, entonces decimos que

y es -confinal con x si y s´ olo si

z x w y z w.

La relacion de confinalidad formaliza el hecho de que dos ordenes totales“terminen igual”. Veamos algunos ejemplos.

n ω n es par y n ω n es impar son -confinales.

Si y x y y es confinal con x, entonces x y y son confinales.

ℵn

n ω

y ℵω son

-confinales.

ω es confinal con

.

Son confinales

y

,

y ω,

y

,

y

.

Sin embargo, en el caso en que los conjuntos son ordinales, el hechode que sean confinales, implica que son iguales, como se ve en la siguienteproposicion.

Proposicion 4.1 Si α y β son ordinales confinales, entonces α β .

Demostraci´ on. Sean α y β ordinales. Entonces α β o β α. En elprimer caso, como α es confinal con β , tenemos que

δ

β

γ

α δ

γ .

Por la transitividad de α, se tiene que δ α y de esta forma β

α, lo cual

implica que α β .

Analogamente, si β α, llegamos a la misma conclusion.

De manera que en ordinales no es interesante saber cu ando “terminanigual”, sino que “terminen del mismo modo”. Esto se formaliza con el con-cepto de cofinalidad (note que hemos eliminado una letra “n” de la palabraconfinalidad) que representa el “modo de terminar” de un ordinal.

Definicion 4.3 Sean α y β ordinales. Decimos que α es cofinal en β si y s´ olo si existe una funci´ on f : α

β tal que f

α

es

-confinal con β . En

tal caso se dice que f es una funcion cofinal de α en β .

Veamos algunos ejemplos.




142 4. Cofinalidad

Para cualquier ordinal β , β es cofinal en β . Una funcion cofinal es laidentidad.

ω es cofinal en ℵω. Una funcion cofinal es f n

ℵn.

ω es cofinal en ω ω. Una funcion cofinal es f

n

ω

n.

2 es cofinal en ω 4. Una funcion cofinal es f

0 ω

1, f 1

ω 3.

Definicion 4.4 Sea x,

un orden total y sea y x. Decimos que y es

no-acotado en x si y s´ olo si z x w y z w

. En caso contrario,decimos que y es acotado en x, es decir, si

z

x

w

y

w

z

.

Observemos que si y x es no-acotado en x, entonces y es confinal con

x, pero el recıproco no siempre es cierto. Por ejemplo, y ω 1, ω

2, ω 3

es confinal con ω 4 y, sin embargo, es acotado en ω

4.

Proposicion 4.2 Sean α y β ordinales y sea f : α

β . Entonces f α

es

no-acotado en β si y s´ olo si

f

α

β .

Demostraci´ on. Supongamos que f α

es no-acotado en β . Sea γ

f α

,

entonces existe δ α tal que γ

f

δ

y f

δ

β . De donde γ

β y

f α β . Por otro lado, tomese γ β . Como f α es no-acotado en β ,

δ

α, γ

f

δ

. De donde γ

f α

y β

f α

.

Para demostrar el recıproco, sea γ β

f α

. Entonces existe δ

α

tal que γ f

δ

, es decir, f

α

es no-acotado en β .

La siguiente proposicion nos da una condicion para la equivalencia entreque la imagen de una funcion entre ordinales sea no-acotada y que sea

confinal.

Proposicion 4.3 Sean α un ordinal, β un ordinal lımite y f : α β .Entonces f

α

es no-acotado en β si y s´ olo si f

α

es

-confinal con β .

Demostraci´ on. Ya observamos que, en general, si y x y y es no-acotado

en x,

, entonces y es -confinal con x. De manera que si f α

es no-acotado en β , entonces f

α

es

-confinal con β o equivalentemente f es

cofinal de α en β . Para demostrar el recıproco, supongamos que f α

es

-confinal con β y sea γ

β . Como β es lımite por hipotesis, γ

1

β .





Como f α

es

-confinal con β , existe δ

α tal que γ

1

f

δ

. Por lo

tanto, γ γ 1

f δ y, en particular, γ f δ . Ası, f α es no-acotado

en β .

Proposicion 4.4 Sean α, β y γ ordinales tales que α es cofinal en β y β

es cofinal en γ . Si existe una funci´ on f : β

γ cofinal y no decreciente,entonces α es cofinal en γ .

Demostraci´ on. Sea g : α

β una funcion cofinal. Veamos que si f : β γ

es una funcion cofinal y no decreciente, entonces f g : α

γ es cofinal en

γ .

Sea δ γ , como f es cofinal en γ , existe ε

β tal que f

ε

δ , y, como

g es cofinal en β , existe ξ α tal que g

ξ

ε. Ahora bien, como f es no

decreciente, tenemos que f g

ξ

f

ε

δ (vease la figura 4.1). Por lo

tanto, f g es cofinal en γ .

δ f ε f g ξ

γ

ε g ξ β

ξ α

f

g

Figura 4.1: Esquema de la demostracion de la proposicion 4.4

Ahora estamos listos para dar la definicion de la cofinalidad de un ordi-nal.

Definicion 4.5 Sea β un ordinal. La cofinalidad de β , denotada cf β

, es el mınimo ordinal α tal que α es cofinal en β . Es decir,

cf β

α

α cofinal en β

.




144 4. Cofinalidad

Luego entonces la cofinalidad de β es el menor ordinal α tal que existeuna funcion f : α β cuya imagen es

-confinal con β .

Proposicion 4.5 Sea β un ordinal. Se cumple lo siguiente.

(i) cf β

β .

(ii) cf

β

es un cardinal. Por lo tanto, cf

β

β

β .

(iii) cf β 1

1.

(iv) cf 0

0.

(v) cf ω

cf

ω

ω

cf

ℵω

cf ℵℵω

ω.

Demostraci´ on.

(i) Como β es cofinal en β , cf β

β .

(ii) Supongamos que γ es un ordinal tal que γ cf β , γ g cf β yf : cf

β

β es cofinal. Veamos que entonces f

g : γ

β serıa

cofinal en β , contradiciendo la definicion de cf β . Si δ β , entoncesexiste ε

cf

β

tal que f

ε

δ y, como g es sobre, existe ξ

γ tal

que g ξ

ε. Por lo tanto, f

g

ξ

f

ε

δ y f

g serıa cofinal en

β . Por lo tanto, cf β es un cardinal.

De aquı que cf β β β .

(iii) Se tiene que cf β

1

1, pues f : 1

β

1 con f

∅

β es cofinal

en β 1.

(iv) Se tiene que cf 0

0, pues la funcion vacıa es cofinal.

(v) Se tiene que cf ω

cf

ω

ω

cf

ℵω

cf ℵℵω

ω, pues las

siguientes funciones son cofinales: la identidad en ω; f : ω

ω

ω,donde f n ω n; g : ω ℵω, donde g n ℵn; y h : ω ℵℵω

,donde h

n

ℵℵn.

De la proposicion anterior se observa que la cofinalidad del cero y detodos los sucesores ya esta determinada, de modo que en adelante solo nosinteresa estudiar cofinalidades de ordinales lımite.





Corolario 4.1 cf : OR CAR

0, 1

es un funcional.

Demostraci´ on. Es claro por la definicion de cofinalidad y la proposicionanterior.

Proposicion 4.6 Si β es un ordinal cualquiera, entonces existe una fun-ci´ on f : cf

β

β tal que f es cofinal y estrictamente creciente.

Demostraci´ on. Sea β un ordinal. Si β es cero o un sucesor, la afirmacionse sigue trivialmente de la demostracion de la proposicion anterior.

Supongamos que β es lımite. Por la definicion de cf β

, existe una

funcion cofinal g : cf β

β . Entonces g

cf

β

es no-acotado en β y

g cf

β

β por las proposiciones 4.2 y 4.3. Definimos recursivamente la

funcion f : cf β β de la siguiente manera

f η

max

g

η

, sup

f

ξ

1

ξ

η

.

El lector debe justificar la existencia de f mediante el teorema de recursiontransfinita.

Veamos que si η cf

β

, efectivamente f

η

β . Claramente g

η

β .

Supongamos que sup f ξ

1 ξ η β , entonces definimos f

ξ

f ξ 1. De aquı que sup

f ξ 1

ξ η

f

η β y, por laproposicion 4.2, f

η

es no-acotado en β . De manera que f es una funcion

cofinal de η en β , contradiciendo el hecho de que η cf

β

. Por lo tanto,

sup f

ξ

1

ξ

η

β y f

η

β .

Ahora veamos que f es cofinal y estrictamente creciente. Sea α β .Entonces existe δ

cf

β

tal que g

δ

α. Como f

δ

g

δ

por construc-

cion, f δ

α y f

cf

β

es no-acotado en β (vease la figura 4.2). Por otra

parte, si ξ

η

cf

β

, entonces f

η

sup

f

γ

1

γ

η

. Por lo tanto,f η f γ

1 para toda γ η, de donde f η f ξ 1

f ξ .

Proposicion 4.7 Sean α y β ordinales. Si f : α

β es cofinal y estricta-mente creciente, entonces cf

α

cf

β

.

Demostraci´ on. Sea f : α

β cofinal y estrictamente creciente. Por de-finicion, cf

α

es cofinal en α, de donde por la proposicion 4.4, usando la

existencia de f , tenemos que cf α

es cofinal en β . Ası, cf

β

cf

α

.




146 4. Cofinalidad

δ

β

cf β

α

g

δ

f

δ

g


Ahora bien, sea h : cf β

β cofinal. Definimos j : cf

β

α,

mediante j ξ

η α f η h ξ . La funcion j esta bien de-

finida, pues f es una funcion cofinal de α en β y h ξ β , por lo que

η

α

f

η

h

ξ

∅. Veamos que j es cofinal en α. Sea γ

α, enton-

ces f γ

β . Como h es cofinal, existe ξ

cf

β

tal que f

γ

h

ξ

, de

donde, por definicion de j, f j

ξ

h

ξ

. Por lo tanto, f

j

ξ

f

γ

y,

como f es estrictamente creciente, j ξ γ (vease la figura 4.3). Ası pues j : cf β α es cofinal, de donde cf α cf β .

f γ h ξ f j ξ

β

cf β

αγ

j

ξ

f

h

j

ξ


Corolario 4.2 Para cualquier ordinal β , se tiene que cf cf

β

cf

β

.

Demostraci´ on. Se sigue de la proposicion 4.7, dado que, por la proposi-cion 4.6, existe f : cf β β cofinal y estrictamente creciente.

Corolario 4.3 Para cualesquiera ordinales α y β , se tiene que cf α

β

cf β

.





Demostraci´ on. Por la proposicion 4.7, como la funcion f : β α

β

definida como f η α η es cofinal y estrictamente creciente, cf α β

cf β

.

Para demostrar la siguiente proposicion, usamos el axioma de eleccion.

Proposicion 4.8 (AE) Se tiene que cf ω1 ω1.

Demostraci´ on. Sea f : ω

ω1. Entonces

f ω

n ω

f n

n ω

f

n

n

n ω

f

n

n

n

ω

f

n

ℵ0

supn ω

f

n

ℵ0 ℵ0

ℵ0

Para justificar la igualdad ( ), observe que si f n gn f n

, entonces

f

n

n

gn n

f

n

n

. Aquı usamos AE al elegir las

funciones gn.Para justificar la igualdad ( ), basta observar que

f

n

ℵ0 para

toda n ω, pues f n ω1.Ası pues cf ω1 ω1, pero cf ω1

es un cardinal y cf ω1 ω. Por lotanto, cf

ω1

ω1.

Proposicion 4.9 Si γ es un ordinal lımite, entonces cf ωγ cf γ .

Demostraci´ on. Definimos f : γ ωγ , donde f

α

ωα. Es claro que f es

estrictamente creciente, pues f ℵ γ y ℵ lo es. Ademas, f es no acotada,pues γ es lımite y

f γ

α

γ ωα ωγ . Ası pues, por la proposicion 4.7,se tiene que cf

ωγ

cf γ

.

Ejercicios

4.2.1.- Verifique que las funciones cofinales dadas en esta seccion realmentelo sean.

4.2.2.- Verifique que cf ω

ω

cf

ℵω

cf ω

cf

ℵℵω

ω.




148 4. Cofinalidad

4.2.3.- Muestre que cf ω1

ω

ω.

4.2.4.- Justifique la existencia del funcional f utilizado en la demostracionde la proposicion 4.6.

4.2.5.- Demuestre que cf no es un funcional monotono.

4.2.6.- Demuestre que cf no es un funcional continuo.

4.2.7.- ¿Sera cierto que si α y β son ordinales tales que α

β

, entonces

cf α

cf

β

? Justifique con prueba o contraejemplo.

4.2.8.- Demuestre que si α ω y α es lımite, entonces para toda n ω,cf

α

n.

4.3. Ordinales regulares y singulares

En esta seccion desarrollamos una clasificacion de ordinales de acuerdo

a su cofinalidad.

Definicion 4.6 Decimos que un ordinal α es regular si y s´ olo si cf α

α.

Si α no es regular, es decir, si cf α

α, decimos que α es singular.

Proposicion 4.10 Sea α un ordinal. Se cumplen las siguientes propieda-des.

(i) Si α es regular infinito, entonces α es cardinal y cf ℵα α.

(ii) cf α

es un cardinal regular.

(iii) Los ordinales 0 y 1 son regulares.

(iv) Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular.

(v) Si α es lımite y no es cardinal, entonces es singular.

Demostraci´ on. Se deja como ejercicio al lector.

De la proposicion anterior, se observa que todo ordinal no cardinal essingular y que todo cardinal finito, con excepcion del 0 y del 1, es singular.




4.3. Ordinales regulares y singulares 149

Algunos ejemplos de cardinales regulares son los siguientes: 0, 1, ω , ω1, ω2,. . . , ωα 1. Algunos ejemplos de cardinales singulares, con sus cofinalidades,son los siguientes:

Cardinal Cofinalidad

α 1 con α

0 1

ω ω ωω

ω ω

ℵω ω

ℵω1 ω1

ℵκ con κ ℵκ cf κ κ ℵκ

Para demostrar el siguiente teorema, utilizamos el axioma de eleccion.

Teorema 4.1 (AE) Para todo cardinal infinito κ, se tiene que κ es re-gular. Es decir, cualquier cardinal sucesor infinito es regular.

Demostraci´ on. Supongamos que κ es un cardinal infinito tal que κ essingular, es decir, cf

κ

κ . Por la proposicion 4.6, existe una funcion

f : cf κ

κ cofinal y estrictamente creciente. Entonces

κ

f cf

κ

ξ

cf

κ

f ξ

.

Observese que para toda ξ cf

κ

, se tiene que f

ξ

κ , de donde

f

ξ

κ y

f

ξ

κ. De esta manera hemos expresado a κ como una

union de a lo mas κ conjuntos, cada uno de cardinal menor que κ, lo cualimplica que κ

α κ κ κ

κ

κ, que es absurdo. De manera que

cf κ

κ y κ es regular.

Corolario 4.4 (AE) Todo cardinal singular infinito es lımite.

De lo anterior se observa que ω es regular y lımite, todo cardinal su-cesor infinito κ es regular y todo cardinal singular infinito es lımite, pero¿habra cardinales regulares y lımites mayores que ω? o bien ¿todo lımitemayor que ω sera singular?

En resumen, tenemos lo siguiente.




150 4. Cofinalidad

Cardinales infinitos Regulares Singulares

Sucesores ℵ1,ℵ2, . . . No hay

Lımites ω, ? ℵω,ℵℵ1, . . .

Teorema 4.2 Sea κ un cardinal infinito. La cofinalidad de κ es el menor cardinal λ tal que κ se puede escribir como una uni´ on de λ subconjuntos de κ, cada uno de cardinal menor que κ. Es decir,

1. Existe una familia Aξ

Aξ κ, ξ

cf

κ

tal que κ

ξ cf κ

Aξ

y para toda ξ cf

κ

,

Aξ

κ, y

2. Si existe una familia Aξ

Aξ κ, ξ

λ

tal que κ

ξ λ Aξ y para toda ξ λ, Aξ κ, entonces cf κ λ.

Demostraci´ on. Sea κ un cardinal infinito.

1. Sea f : cf κ

κ una funcion cofinal. Entonces

f cf

κ

κ

y definimos Aξ f ξ κ. Tenemos que f ξ κ y f ξ κ,

por lo tanto

ξ

cf

κ

f ξ

f cf κ κ. Ası, existe una familia

Aξ

Aξ κ, ξ

cf

κ

tal que κ

ξ

cf

κ

Aξ y para todaξ

cf

κ

,

Aξ

κ.

2. Supongamos que existe Aξ

Aξ κ, ξ

λ

tal que κ

ξ λ Aξ y Aξ κ para toda ξ λ.

Si κ λ, entonces cf κ κ λ.

Si λ

κ es el caso, entonces

κ κ

ξ λ

Aξ

ξ λ

Aξ λ supξ λ

Aξ λ κ

λ κ

κ.

Ası que, λ supξ

λ Aξ

κ, de donde

ξ λ Aξ

supξ

λ Aξ

κ,pues λ κ. De lo anterior, tenemos que

Aξ ξ λ forma una λ-

sucesion de elementos de κ, pues Aξ

κ. Por lo tanto, f : λ

κ esuna funcion cofinal, pues

f λ

Aξ

ξ λ

ξ λ Aξ

κ.Luego entonces, cf

κ

λ.





El siguiente corolario caracteriza a la cofinalidad de κ como el menorcardinal λ tal que κ se puede expresar como una suma de λ cardinales, cadauno de cardinalidad menor que κ.

Corolario 4.5 Sea κ un cardinal infinito. Entonces

1. Hay una familia de cardinales κξ

ξ cf

κ

tal que κ

ξ cf κ

κξ

y para toda ξ cf κ , κξ κ, y

2. Si hay una familia de cardinales κξ ξ λ

tal que κ

ξ

λ κξ y para toda ξ

λ, κξ

κ, entonces cf κ

λ.

Demostraci´ on.

1. Sean κξ f

ξ

, donde f : cf

κ

κ es una funcion cofinal. Entonces

κ κ

ξ

cf

κ

f ξ

ξ

cf

κ

f ξ

ξ

cf

κ

κξ.

La igualdad ( ) se justifica por la parte 1 del teorema 4.2. Por lo tanto,

ξ

cf

κ

κξ κ.

Por otro lado,

ξ cf κ

κξ cf

κ

supξ cf κ

κξ κ, pues cf

κ

κ

y κξ f ξ f ξ κ. Por lo tanto, supξ cf κ

κξ κ.

Al tener ambas desigualdades, se concluye que

ξ cf κ

κξ κ.

2. Supongamos que hay una familia de cardinales κξ

ξ λ

tal que

κ

ξ λ κξ y para toda ξ λ, κξ

κ. En el caso en que κ λ, se

tiene que cf κ κ λ.

Analicemos el caso en que λ κ. Tenemos que κ

ξ λ κξ

λ supξ λ κξ. Por lo tanto,

ξ λ κξ supξ λ κξ

κ, pues λ κ.

Ademas, κξ κ, por lo que κξ κ. Luego entonces se cumplen lascondiciones de la parte 2 del teorema 4.2 con

κξ

ξ λ

y, por lo

tanto, cf κ

λ.




152 4. Cofinalidad

De lo anterior se sigue que un cardinal es regular si no es union de menosque el conjuntos, cada uno de cardinal menor que el, o bien, si no es sumade menos que el cardinales menores que el.

Veamos ahora que un cardinal infinito mayor que ω que sea cardinallımite y regular es un punto fijo del funcional alef.

Proposicion 4.11 Si ℵα ω es un cardinal lımite y regular, entonces

ℵα α.

Demostraci´ on. Si ℵα es como se pide, entonces α 0 y α es ordinal lımite.

En tal caso cf ℵα

cf α

α, pero, como ℵα es regular, cf

ℵα ℵα.Por lo tanto, ℵα

α. Por otra parte, siempre se cumple que ℵα α. Por lo

tanto, ℵα α.

Observese que hay cardinales regulares mayores que ω, como por ejemploℵ1, que no son lımite. Tambien hay cardinales lımite mayores que ω, comopor ejemplo ℵω, que no son regulares (pues la cofinalidad de ℵω es ω). Siexistiera un cardinal regular, lımite y mayor que ω, ya hemos visto que tieneque ser punto fijo del funcional ℵ. Sin embargo, esta condicion necesaria noes suficiente para probar que existe un cardinal regular lımite y mayor queω. Ya demostramos que el funcional ℵ tiene puntos fijos (proposicion 3.7 yproposicion 3.8), sin embargo, es un resultado conocido, que no mostraremosaquı (vease [Ku80]), que desde ZFE no se puede probar que exista un cardinalregular lımite mayor que ω.

A continuacion presentamos algunos resultados que combinan el teoremade Konig y el concepto de cofinalidad.

Teorema 4.3 Para cualquier cardinal infinito κ se cumple lo siguiente:

(i) cf 2κ

κ,

(ii) κcf κ

κ.

Demostraci´ on.





(i) Sabemos que existe una familia de cardinales κα

α cf

2κ

tal que

2κ

α

cf 2κ

κα, donde κα 2κ para toda α cf

2κ . Entonces,

por el teorema de Konig (teorema 3.6) se tiene que:

2κ

α

cf

2κ

κα

α

cf

2κ

2κ

2κ

cf 2κ

2κ cf 2κ

.

Si cf 2κ

κ, entonces κ

cf

2κ

κ, de donde 2κ

2κ, lo cual es

absurdo. Por lo tanto, cf 2κ

κ.

(ii) Sabemos que existe una familia λα α cf κ

tal que para todaα

cf

κ

, λα

κ y κ

α

cf

κ

λα. Por lo tanto,

κ

α

cf

κ

λα

α

cf

κ

κ κcf κ .

Luego entonces κcf

κ

κ.

Corolario 4.6 Si cf λ

ℵ0, entonces λ

2ℵ0 , es decir, 2ℵ0 no puede ser

ning´ un cardinal cuya cofinalidad sea ℵ0.

Demostraci´ on. Se sigue del teorema anterior, pues cf 2ℵ0

ℵ0.

Del corolario anterior se sigue en particular que:

2ℵ0 ℵω, 2ℵ0

ℵω

ω, 2ℵ0 ℵℵω

.

Corolario 4.7 Si cf λ κ, entonces λ 2κ, es decir, 2κ no puede ser

ning´ un cardinal cuya cofinalidad sea menor o igual que κ.

Del corolario anterior se sigue en particular que:

2ℵ1 ℵω1

, 2ℵ1 ℵω, 2ℵ1

ℵω

ω.




154 4. Cofinalidad

Corolario 4.8 Si κ es un cardinal infinito, entonces κ

κcf κ

2κ.

Demostraci´ on. Por la parte 2 del teorema anterior, κ κcf κ y, como

cf κ

κ, entonces κcf

κ

κκ. De aquı se concluye que κ

κcf

κ

κκ

2κ. Luego entonces κ

κcf

κ

2κ.

4.3.1. El cardinal del continuo

El teorema de Cantor implica que 2ℵ0

ℵ0, es decir, que 2ℵ0

ℵ1.Pero hasta ahora no sabemos de cota alguna para el tamano de 2ℵ0 , lounico que sabemos, por el corolario 4.6, es que no puede ser un cardinalde cofinalidad numerable. De hecho, esto es todo lo que se puede saber deeste cardinal (asumiendo los axiomas de ZFE), pues se puede demostrar queno hay ninguna contradiccion al suponer los axiomas de ZFE y que 2ℵ0 seacualquier cardinal que no este prohibido por el corolario 4.6. Este ultimoresultado se pueden consultar en [Ku80].

Ejercicios

4.3.1.- Sea α un ordinal. Demuestre lo siguiente.

(i) Si α es regular, entonces α es cardinal y cf ℵα α.

(ii) cf α

es un cardinal regular.

(iii) Los ordinales 0 y 1 son regulares.

(iv) Cualquier ordinal sucesor mayor que 1 es singular.

(v) Si α es lımite y no es cardinal, entonces es singular.

4.3.2.- Verifique que ω ω, ℵω, y ℵω1

son singulares, dando sus cofinalidades.

4.4. Exponenciacion cardinal

Por el teorema 4.3, sabemos que κcf κ

κ, pero ¿que pasa con kλ, si

λ cf κ ?

Proposicion 4.12 Si κω

κ, entonces ω cf

κ

.




4.4. Exponenciacion cardinal 155

Demostraci´ on. Por el teorema 4.3, se tiene que κcf κ

κ. Como κω

κ,

κcf κ

κω, por lo que necesariamente cf κ ω.

El recıproco de esta proposicion no es necesariamente cierto. Un ejemploes el siguiente: cf

ℵ1 ℵ1 ω y, sin embargo, ℵℵ0

1 2ℵ0

ℵ1. ¿Que sepuede saber si se supone la hipotesis generalizada del continuo?, el lectordebe verificar que en tal caso y suponiendo cf

κ

ω, se concluye que

κω κ o κω

κ .

Teorema 4.4 (Formula de Hausdorff) Sean κ y λ cardinales infinitos.Entonces

κ

λ

κλ

κ .

Demostraci´ on. Analicemos los siguientes dos casos.

Si κ

λ, recordando que para todo µ: 2 µ λ

implica queµλ

2λ, concluimos que

κ

λ

2λ y κλ

2λ. Ademas, κ

λ

2λ

y, por lo tanto, κλ

κ

2λ

κ

2λ. Finalmente, se tiene que

κ

λ

2λ κλ

κ .

Si λ κ , veamos que

κ

λ

κλ

κ y que κλ

κ

κ

λ.

Como todo cardinal sucesor es regular, tenemos que κ

cf

κ

.

Tambien sabemos que si λ cf

µ

entonces toda funcion f : λ

µ

tiene imagen acotada en µ, es decir, λµ

γ µλγ . Entonces, como

λ κ

cf κ

, λκ

γ

κ

λγ . Luego entonces,

κ

λ

λκ

γ

κ

λγ

γ

κ

λγ

γ

κ

γ

λ

γ

κ

κλ

κλ

κ ,

donde la segunda desigualdad es valida dado que si γ κ , entonces

γ

γ

κ y por lo tanto

γ

κ, de donde

γ

λ

κλ, para todaγ

κ .

Para verificar la desigualdad contraria, observemos que, como κ κ ,

entonces κλ

κ

λ. Ademas, κ

κ

λ. Por lo tanto, se tiene queκλ

κ

κ

λ

κ

λ

κ

λ.




156 4. Cofinalidad

La formula de Hausdorff tambien puede enunciarse usando alefs de lasiguiente manera:

ℵα

1

ℵβ ℵ

ℵβ

α ℵ

α

1.

El siguiente corolario es un caso particular del resultado muy conocidoque recordamos al inicio de la demostracion de la formula de Hausdorff.

Corolario 4.9 Para cualquier cardinal infinito κ, se tiene que κ

κ

2κ.

Demostraci´ on. Tomando κ λ en la formula de Hausdorff y usando que,como 2

κ

κ , tenemos que κκ

2κ, obtenemos la igualdad deseada.

Corolario 4.10 Sea

c. Entonces

c

ℵ0

c

.

Demostraci´ on. Por la formula de Hausdorff se tiene que c

ℵ0 c

ℵ0 c

.Por lo tanto,

c

ℵ0

cℵ0

c

2ℵ0

ℵ0

c

2ℵ0 ℵ0

c

2ℵ0

c

c

c

c

.

Veamos algunos ejemplos, utilizando la formula de Hausdorff (F.H.) ylas igualdades ℵℵ0

1 2ℵ0 y κκ

2κ.

ℵℵ02 ℵ

1

ℵ0 F.H. ℵ

ℵ01 ℵ

1 2ℵ0 ℵ

1 2ℵ0 ℵ2.

ℵℵ1

2 ℵ

1

ℵ1 F.H. ℵ

ℵ1

1 ℵ

1 2ℵ1

ℵ

1 2ℵ1

ℵ2 2ℵ1 .

ℵℵ1

3 ℵ

2

ℵ1 F.H. ℵ

ℵ1

2 ℵ

2 2ℵ1

ℵ

2 2ℵ1

ℵ3.

Corolario 4.11 (Formula de Hausdorff generalizada) Sean α un or-dinal, λ un cardinal infinito y n

ω. Entonces

ℵλα n ℵ

λα ℵα n.





Demostraci´ on. Es por induccion sobre n y se deja al lector.

Corolario 4.12 Sean α un ordinal y n ω. Entonces

ℵℵαα

n 2ℵα

ℵα n.

Demostraci´ on. Se sigue del corolario anterior, pues ℵℵαα

2ℵα .

Corolario 4.13 (Formula de Bernstein) Sean λ un cardinal infinito y n

ω. Entonces

ℵλn

2λ ℵn.

Demostraci´ on. Tomando α 0 en la formula de Hausdorff generalizada

y observando que como λ ℵ0, ℵλ0

2λ, se obtiene la igualdad deseada.

Veamos algunos ejemplos que utilizan la formula de Bernstein:

ℵℵ1

0 2ℵ1 , ℵ

ℵ0

1 2ℵ0 , ℵ

ℵ2

0 2ℵ2 , ℵ

ℵ0

2 2ℵ0

ℵ2,

ℵℵ1

2 2ℵ1 , ℵ

ℵ2

1 2ℵ2 , ℵℵ0

3 2ℵ0

ℵ3, ℵℵ3

0 2ℵ3 ,

ℵℵ1

3 2ℵ1

ℵ3, ℵℵ3

1 2ℵ3 , ℵ

ℵ2

3 2ℵ2 , ℵ

ℵ3

2 2ℵ3 .

Corolario 4.14 Si λ y κ son cardinales infinitos tales que λ cf

κ

, en-

tonces κλ

µ κ µλ.

Demostraci´ on. Como λ cf

κ

, se tiene que λκ

γ

κλγ , por lo que

κλ

γ κ

λγ

γ κ

γ

λ

γ γ κ

γ κ

κλ

κ κλ

κλ.

Por lo tanto, κλ

µ κ µλ.




158 4. Cofinalidad

Definicion 4.7 (Hausdorff-Kuratowski) Un cardinal κ ω, lımite y

regular se llama debilmente inaccesible o inaccesible debil.

No es posible saber desde ZFE si hay cardinales debilmente inaccesibles(vease [Ku80]). Si un cardinal κ es inaccesible debil, sabemos por la pro-posicion 4.11 que κ es un punto fijo del funcional alef, es decir ℵκ

κ.

Observese que λ

ℵ0,ℵℵ0 ,ℵℵℵ0, . . . es un punto fijo de ℵ, pero no es

inaccesible debil, pues cf λ ω, por lo que es singular.

Definicion 4.8 Un cardinal infinito κ es un cardinal fuerte o lımite fuertesi y s´ olo si para todo λ

κ, se tiene que 2λ

κ.

Proposicion 4.13 Todo cardinal fuerte es un cardinal lımite.

Demostraci´ on. Si κ es fuerte y λ κ, entonces λ

2λ

κ, por lo queλ

κ y κ es cardinal lımite.

Proposicion 4.14 Un cardinal infinito κ es fuerte si y s´ olo si

µ, λ

κ, µλ

κ.


Un ejemplo de un cardinal fuerte es ω (vease la definicion del funcional en el ejercicio 3.3.4), pues si λ

ω, entonces λ n para algun n ω,

de donde 2λ

2n

2n 1 ω. Nuevamente este cardinal no es regular,

pues cf ω

ω.

Proposicion 4.15 Sean κ y λ cardinales. Si κ es fuerte y λ cf

κ

, en-

tonces κλ κ.

Demostraci´ on. Dado que λ 0, entonces κλ

κ.

Para verificar la desigualdad contraria, observemos que, como λ cf

κ

,

λκ

γ κλγ . De aquı que

κλ

λκ

γ

κ

λγ

γ

κ

γ

λ

µ

κ

µλ

κ supµ κ

µλ

κ κ

κ,




160 4. Cofinalidad

Lema 4.1 Si κ es un cardinal, entonces 2κ

2 κ

cf κ .

Demostraci´ on. Sea κ

i cf κ

κi, donde para toda i cf

κ

, κi

κ.Entonces tenemos que

2κ

2

i cf κ

κi

i

cf

κ

2κi

i

cf

κ

2 κ

2 κ

cf κ

2κ

cf κ

2κ.

Por lo tanto, 2κ

2

κ

cf

κ .

Observese que si κ es sucesor, digamos κ µ , tenemos directamenteque

2 µ

cf µ

2µ

µ

2µ

.

Proposicion 4.17 Si κ es un cardinal fuerte, entonces 2κ

κcf κ .

Demostraci´ on. Como κ 2κ, κcf

κ

2κ

cf

κ

2κ

cf

κ

2κ.

Para mostrar la desigualdad contraria, como κ es fuerte entonces 2

κ

supµ

κ 2µ

κ.

Finalmente, por el lema 4.1, tenemos que

2κ

2

κ

cf

κ

κcf

κ .

A continuacion determinamos el valor del cardinal κλ, para lo cual nosserviremos del siguiente lema.

Lema 4.2 Si κ es un cardinal lımite y λ cf

κ

, entonces

κλ

supµ

κµλ

cf

κ

.

Demostraci´ on. Sea κ

i cf κ

κi con κi κ para toda i cf κ .

Observamos que κλi

supµ

κ µλ

κλ. Entonces usando el ejercicio 3.5.10(pagina 137) y otros resultados del capıtulo tres:

κλ

i cf κ

κi

λ

i cf κ

κi

λ

i cf κ

κλi

i cf κ

supµ

κµλ





supµ κ

µλ

cf κ

κλ

cf κ

κλ.

Proposicion 4.18 Sean κ y λ cardinales infinitos. El valor del cardinal κλ

queda determinado como sigue:

(i) si κ λ, entonces κλ

2λ;

(ii) si µλ

κ para alg´ un µ κ, entonces κλ

µλ; y

(iii) si κ λ y µλ κ para toda µ κ, entonces

- si cf κ λ, entonces κλ κ, y

- si cf κ

λ, entonces κλ

κcf

κ .

Demostraci´ on.

(i) Ya se probo en la proposicion 4.16. La afirmacion es valida incluso siκ

λ , pues

λ

λ

2λ.

(ii) Supongamos que existe µ κ tal que µλ

κ. Entonces

µλ κλ

µλ

λ µλ.

Por lo tanto, κλ µλ.

(iii) Supongamos que κ λ y que µλ

κ para toda µ

κ.

Si κ es cardinal sucesor, digamos κ µ , entonces cf

κ

κ

λ y,

como µ µ

κ, µλ

κ

µ . Ası, usando la formula de Hausdorff

(teorema 4.4), tenemos queκλ

µ

λ µλ

µ

µ

κ.

Por lo tanto, κλ κ.

En el caso en que κ sea un cardinal lımite, debemos primero verificarque supµ

κ µλ

κ. Pero como para todo µ κ, µλ

κ, κ es cota

superior de donde supµ

κ µλ

κ. Por otro lado, es claro que κ

supµ

κ µ y como µ µλ para todo µ

κ entonces se tiene que

κ supµ

κ µ supµ

κ µλ. Ası, supµ

κ µλ

κ.




162 4. Cofinalidad

- Si cf κ

λ, como toda f : λ

κ es acotada, tenemos que

κλ

α

κ

λα

α

κ

α

λ

supµ κ

µλ

κ κ

κ

κ.

Por lo tanto κλ

κ.

- Si cf κ λ, como supµ

κ µλ κ, por el lema 4.2, tenemos que

κλ

supµ

κµλ

cf

κ

κcf

κ .

Corolario 4.15 Para cualesquiera κ y λ cardinales infinitos, el valor de κλ

es 2λ o κ o µcf

µ , para alg´ un µ tal que cf

µ

λ

µ.

Demostraci´ on. Por la proposicion 4.18, es claro que κλ puede ser 2λ o κ,

en cuyo caso tenemos que κλ 2λ κ y, por lo tanto, κλ 2λ κ. Ası que sino suceden los casos anteriores, entonces κλ

2λ

κ. En este caso sea µ el

mınimo cardinal tal que µλ

κλ, de donde por la proposicion 4.18 para µ

y λ, concluimos que µλ µcf µ .

El funcional guimel esta definido para los cardinales como µ

µcf µ .

Ası, el corolario anterior muestra que la exponenciacion cardinal esta deter-minada por el funcional guimel.

4.4.1. Resultados dependientes de la HGC

La demostracion de la proposicion 4.18 no requiere de la hipotesis gene-ralizada del continuo, sin embargo, esta hipotesis permite obtener resultadosmas sencillos como mostramos a continuacion.

Lema 4.3 (HGC) Sean κ, λ y µ cardinales infinitos. Entonces:

(i) κcf κ

κ ;

(ii) si µ κ y λ κ, entonces µλ κ;

(iii) si µ κ, entonces 2µ

2κ;





(iv) si 2µ

2κ, entonces µ κ.

Demostraci´ on.

(i) Sabemos que κ κcf

κ

κκ

2κ

HGC κ . Lo cual implica queκ κcf κ

κ , de donde necesariamente κcf κ

κ .

(ii) Sean µ, λ κ. Entonces µ

κ y λ

κ. Por lo tanto,

µλ

max µ, λ

max µ,λ

HGC max

µ, λ

max

µ , λ

κ.

(iii) Sea µ κ. Entonces 2µ HGC µ

κ 2κ. Por lo tanto, 2µ

2κ.

(iv) Supongase que µ κ. Entonces µ

κ o κ

µ y en cualquier caso,

por el inciso anterior, tenemos que 2µ

2κ.

Teorema 4.5 (HGC) Sean κ y λ cardinales infinitos. Entonces

κλ

κ si λ cf κ κ,

κ si cf κ

λ

κ,

λ si cf κ

κ

λ.

Demostraci´ on. Analicemos los tres casos:

1. Si λ cf κ , entonces, por la proposicion 4.16, κ κλ

κcf κ

2κ.

De aquı que, por la hipotesis generalizada del continuo y el inciso

(i) del lema 4.3, κ κλ κ

, donde una de estas desigualdades esestricta. Por otra parte,

κ κλ

λκ

γ κ

λγ

γ κ

γ

λ κ

supγ

κ γ λ κ κ κ,

donde la segunda igualdad es valida, pues λ cf κ , y l a ultima

desigualdad se da porque γ

κ y λ

κ implican

γ

λ

κ, por elinciso (ii) del lema 4.3. Por lo tanto, κ es cota superior y entoncessupγ

κ γ

λ

κ.




164 4. Cofinalidad

2. Si cf κ

λ

κ, entonces, por la proposicion 4.16, tenemos que

κ

κcf κ

κλ

2κ, de donde, por la hipotesis generalizada delcontinuo, κ

κcf κ

κλ

κ y, por lo tanto, κλ

κ .

3. Si κ λ, entonces, por la proposicion 4.16, se tiene que κλ

2λ. Por

lo tanto, la hipotesis generalizada del continuo implica que κλ λ .

Sabemos que si A y B son conjuntos tales que A B, entonces tambien

P A

P

B

. Sin embargo, el recıproco de esta afirmacion no se puede

probar en ZFE, dado que se necesitarıa demostrar que si κ y λ son cardinalesinfinitos, entonces 2κ

2λ implica que κ λ y esto puede probarse solo

bajo la hipotesis generalizada del continuo.

Ejercicios

4.4.1.- Demuestre la formula de Hausdorff generalizada: si α es un ordinal,λ es un cardinal infinito y n

ω, entonces ℵλ

α n ℵλα ℵα

n.

4.4.2.- Responda las siguientes preguntas, justificando sus respuestas.

(i) ¿Es posible que 2ℵ1 ℵℵ1

?

(ii) ¿Es posible que 2ℵ0 sea inaccesible fuerte?

(iii) ¿Si 2κ λ, entonces se tiente que λκ

2κ?

4.4.3.- Sean κ y λ cardinales infinitos. Demuestre lo siguiente.

(i) Si λ cf κ κ, entonces κ κλ κcf κ

κκ

2κ.

(ii) Si cf κ λ κ, entonces κ

κcf κ

κλ 2κ.

(iii) Si κ λ, entonces κλ

2λ.

4.4.4.- Demuestre que κ es un cardinal fuerte si y solo si para cualesquieraλ, µ

κ, se tiene que µλ

κ.

4.4.5.- Demuestre que si κ es un cardinal inaccesible fuerte y λ κ, en-tonces κλ

κ.

4.4.6.- Demuestre que ℵℵ1

ω ℵℵ0

ω 2ℵ1





4.4.7.- Demuestre que bajo la hipotesis generalizada del continuo todo car-dinal inaccesible debil es inaccesible fuerte.

4.4.8.- Suponiendo la hipotesis generalizada del continuo, demuestre quesi cf κ ω, entonces κω

κ o κω κ .

4.4.9.- Demuestre que κ es inaccesible fuerte si y solo si κ

ℵ0, κ es fuertey

λ κ κλ

κ.

4.4.10.- Demuestre que κ es inaccesible debil si y solo si κ es regular yℵκ

κ.

4.4.11.- Demuestre que κ es inaccesible fuerte si y solo si κ es regular y κ

κ.

4.4.12.- Se sabe que si A es un conjunto finito de cardinal n, entonces elnumero de funciones biyectivas f : A

A es n! ¿Que sucede si A

es infinito de cardinal κ?

4.4.13.- Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes.

(a) Si κ λ, entonces 2κ

2λ.

(b) Si 2κ

2λ, entonces κ λ.

4.4.14.- Sea κ un cardinal inaccesible. Demuestre lo siguiente.

(i) Para todo α κ, ℵα κ.

(ii) ℵκ tambien es inaccesible.

4.4.15.- Suponiendo la hipotesis generalizada del continuo, se tiene que para

todo κ cardinal infinito κcf

κ

κ

¿Sera cierto el recıproco?

4.4.16.- Considere el siguiente teorema de Silver (1975): Si λ es un cardinalsingular tal que cf

λ

ω y para todo cardinal κ

λ, 2κ

κ , entonces 2λ λ . Argumente entonces por que la hipotesis

generalizada del continuo no puede fallar por primera vez en uncardinal singular de cofinalidad no numerable.




166 4. Cofinalidad




A El lenguaje de la teorıa de los conjuntos

Una parte esencial en el estudio de cualquier teorıa es su lenguaje y enla Teorıa de Conjuntos en particular esto es muy importante por ser unateorıa tan basica y a la vez tan poderosa. Al precisar su lenguaje y, conel, las suposiciones iniciales acerca de los conjuntos y la relacion de perte-nencia, se precisan estos conceptos indefinidos, pues quedan determinadosimplıcitamente por estas suposiciones iniciales.

A.1. Definicion del lenguaje TC

El lenguaje de la Teorıa de Conjuntos (TC) es un lenguaje formal depredicados con igualdad cuyos componentes son:

Variables: a, b, c , . . . , w , x, y , z , A, B , C , . . .. Estas denotan conjuntos yexisten en una cantidad numerable.

Sımbolos logicos:

• Igualdad: .

• Negacion: .

167




168 A. El lenguaje de la teorıa de los conjuntos

• Conjuncion (y) : .

• Disyuncion (o) : .

• Implicacion (si, . . . entonces) : .

• Equivalencia (si y solo si): .

• Cuantificador universal (para todo):

.• Cuantificador existencial (existe):

.

Sımbolos no logicos: unicamente un sımbolo de predicado de dos argu-mentos,

, escrito de manera infija, cuyo significado es “ser elemento

de” o bien “pertenecer a”.

Sımbolos auxiliares: parentesis ,

.

Con estos sımbolos, formamos afirmaciones o formulas, de acuerdo a lasiguiente definicion recursiva:

Las formulas simples o atomicas son solo de las formas a

b, a

b.Siendo a, b variables cualesquiera.

Si ϕ, ψ son formulas, entonces ϕ, ϕ

ψ, ϕ

ψ, ϕ

ψ, ϕ

ψ son

formulas.

Si ϕ x

es una formula referente a una variable arbitraria x, entonces

xϕ x y

xϕ x son formulas.

Las unicas formulas del lenguaje TC son las de las formas descritasen las clausulas anteriores.

A.2. Manejo de clases

El concepto ingenuo de conjunto como coleccion determinada por unapropiedad es un concepto equivocado, pues ademas de llevar a la contradic-cion conocida como la paradoja de Russell, puede mostrarse que contradiceuna verdad logica (para mas detalles sobre esta afirmacion vease [Am05]).Si bien es claro que en ZFE solo existen los conjuntos, muchas veces surgende manera natural dentro de la teorıa, colecciones o clases tan enormes queno son conjuntos, por ejemplo, la coleccion de todos los conjuntos, la de




A.2. Manejo de clases 169

todos los ordinales o la de todos los cardinales. Podemos decir que una claseque no es un conjunto, llamada clase propia , no es un objeto de estudio dela teorıa de conjuntos puesto que no existe en la Teorıa de Conjuntos, yaque existir es sinonimo de ser un conjunto. Sin embargo, las clases propiasse pueden concebir intuitivamente y podemos hablar de ellas como si fue-ran conjuntos. Para formalizar el uso de estas colecciones en la Teorıa delos Conjuntos se puede utilizar una axiomatizacion mas general que ZFE,donde se postule la existencia de clases, como, por ejemplo, la teorıa de vonNeumann-Bernays-Godel (NBG). Sin embargo, tambien es posible hablar declases dentro de ZFE, aunque estas no existan oficialmente. La idea es quedada una formula del lenguaje TC, siempre es posible definir la colecci ondeterminada por ella. Por ejemplo, la formula x x determina a la colec-cion de todos los conjuntos, es decir al universo V . En general llamaremosclase a una coleccion determinada por una formula ϕ

x

del lenguaje TC

cuya unica variable no cuantificada o libre sea x. Esta observacion permiteincorporar un mecanismo de definicion y uso de clases dentro de ZFE demanera que toda afirmacion que involucre clases pueda reemplazarse poruna expresion del lenguaje TC equivalente a la original. Observando quedada una propiedad ϕ

x

, los objetos x que cumplen esa propiedad son

exactamente los que pertenecen a la clase determinada por esa propiedad,denotamos a dicha clase con la notacion

x ϕ x .

Una vez que se introduce la notacion para clases podemos manipularlascomo si fueran conjuntos en diversos casos. Por ejemplo, si definimos A

x

ϕ

x

y B

x

ψ

x

, entonces p odemos definir operaciones entre

clases, analogas a las operaciones con conjuntos, como sigue:

A B

x

ϕ

x

ψ

x

A B x ϕ x ψ x

A

x

ϕ x

A B

x

a

b

x

a, b

ϕ

a

ψ

b

Ademas podemos definir la relacion de pertenencia de un conjunto a unaclase, ası como las relaciones de inclusion e igualdad entre clases como:

a A

def ϕ a




170 A. El lenguaje de la teorıa de los conjuntos

A B

def x

ϕ

x

ψ

x

A B

def x

ϕ

x

ψ

x

Observese que todo conjunto es una clase pues si a es un conjunto defi-nido por la formula ϕ

x

, entonces se cumple la igualdad

a

x ϕ

x

.

Es decir, el conjunto a es la clase definida por la f ormula ϕ x . Pero

no toda clase es un conjunto, por ejemplo, la clase de todos los conjuntosV

x

x

x

, o la clase

x

x

x

, que al suponer que son conjuntos nos

llevan a la conocida paradoja de Russell, mencionada al principio de estaseccion.

Mas aun, la definicion de pertenencia solo tiene sentido entre un conjuntoa y una clase A la cual podrıa ser propia o no. No es posible definir la relacionde pertenencia entre dos clases propias.

Finalmente observamos que, como los pares ordenados son conjuntos,existen algunas clases cuyos elementos pueden ser pares ordenados exclu-sivamente, a las cuales se les llama clases relacionales o simplemente rela-cionales. Es decir, una clase R es una relacional si y solo si R

V

V .

Mas aun, una clase F es una funcional si y solo si es una relacional que secomporta como una funcion. Es decir, F es una funcional si y solo si F esuna relacional y

x

y

z

x, y

F

x, z

F

y

z

y, en tal caso, denotamos con F x al unico valor y tal que

x, y F .Para un tratamiento mas profundo acerca de clases dentro de ZFE su-

gerimos consultar [VRM00].




BLos axiomas de Zermelo-Fraenkel con

eleccion

El concepto correcto de conjunto se adquiere al establecer algunas de laspropiedades esenciales de los conjuntos y algunos de los procesos mentalescon los que construimos conjuntos. Estos seran los supuestos iniciales o axio-mas de la teorıa. En este apendice hemos hecho una descripcion detalladade los axiomas de la Teorıa de Conjuntos Zermelo-Fraenkel con el axioma deeleccion (denotada como ZFE), ası como de su significado intuitivo respectoa la interpretacion usual del concepto iterativo de conjunto en la llamada

jerarquıa acumulativa de los conjuntos bien fundados, vista en el capıtulo

3.

B.1. Axioma del conjunto vacıo

“Hay un conjunto sin elementos.”

x

y

y

x

.

171




172 B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con eleccion

Enunciado original en alem´ an: Es gibt eine Menge ohne Elemente.

Historia: fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908.

Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : el conjunto ∅ esta construi-do en el segundo estrato de la Jerarquıa sin urelementos: es la unica

coleccion posible de urelementos pues no hay urelementos.Observaciones: este axioma es constructivo en el sentido de que afirmala existencia de un conjunto definiendolo.

B.2. Axioma de extensionalidad

“Dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales.”

x

y

z

z

x

z

y

x

y

.

Enunciado original en alem´ an: Zwei Mengen, die die selben Elemente

haben sind gleich.


Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : La justificacion de este axio-ma es previa a la jerarquıa acumulativa, pues independientemente decomo este formado un conjunto, sus elementos lo determinan unıvo-camente. Este axioma es de tipo especificativo.

Observaciones: para cualesquiera x y y, el inverso del axioma de ex-tensionalidad es una verdad logica; una consecuencia inmediata deeste axioma es que implica que todos los individuos (urelementos) son

iguales, puesto que si a y b son individuos, entonces se cumple el an-tecedente del axioma y podemos concluir que a b. Otra implicacionde este axioma es que el conjunto vacıo es unico y puede denotarse sinambiguedades como ∅.

B.3. Axioma del par

“Para cualesquiera conjuntos x, y, hay un conjunto z cuyos elementos son exactamente x y y .”




B.4. Axioma de union 173

x y z w

w z w x w y

.

Este conjunto z nuevamente es unico por extensionalidad y se denotausualmente como

x, y .

Enunciado original en alem´ an: Fur alle Mengen x und y existiert eineMenge z, die genau x und y als Elemente hat.

Historia : fue propuesto por Ernst Zermelo en 1908.

Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : sean E x y E y los estratos enlos que han sido construidos x y y, respectivamente. Entonces

x, y

puede construirse en cualquier estrato posterior a E x y a E y.

Observaciones: El axioma del par implica que no hay un ultimo es-trato en la jerarquıa; en el caso en que x

y el par

x, x

se escribe

simplemente x

y se conoce como el unitario de x.

B.4. Axioma de union

“Para cualquier conjunto x existe un conjunto y, que tiene comoelementos exactamente a los elementos de los elementos de x.”

x

y

z

z y

w

w

x

z

w

.

Tal conjunto y es unico y se conoce como la union de x, denotado como

x.

Enunciado original en alem´ an: Fur jede Menge x existiert eine Menge

y, die genau die Elemente der Elemente von x als Elemente hat.


Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : puesto que los elementos delos elementos de x han sido construidos en estratos anteriores al de x,entonces

x puede construirse en el mismo estrato que x, o inclusiveen el estrato anterior.





Observaciones: Puesto que x

a, b

x

a

x

b, podemos

definir a b como

a, b . De manera que la operacion comun de

union de dos conjuntos esta plenamente justificada por los axiomas deunion y par.

B.5. Axioma del conjunto potencia

“Para cualquier conjunto x existe un conjunto y, cuyos elementos son exactamente los subconjuntos de x.”

x

y

z

z y

w

w

z

w

x

.

El conjunto y se llama el conjunto potencia de x, es unico por extensio-nalidad y se le denota como P

x

. Este axioma es constructivo.

Enunciado original en alem´ an: Fur jede Menge x existiert eine Mengey, deren Elemente genau die Teilmengen von x sind.


Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : todo subconjunto de x apa-rece en el mismo estrato que x, ası que P x

puede construirse en el

estrato siguiente.

Observaciones: La nocion de subconjunto x y puede definirse como

w w x w y de manera que el enunciado del axioma de

potencia puede simplificarse como x

y

z

z y

z

x

.

B.6. Esquema de comprension o separacion

“Para cualquiera propiedad ϕ y cualquier conjunto x existe un conjuntoy cuyos elementos son exactamente los z que son elementos de x y que cumplen ϕ”

x

y

z

z y

z

x

ϕ

z

.

Este esquema es constructivo y postula un axioma para cada formula ϕ

del lenguaje de ZFE, es decir, se postula un numero infinito numerable de




B.7. Axioma de infinito 175

axiomas. El conjunto y cuya existencia se postula y que para cada x y ϕ esunico por extensionalidad, se representa por:

y

z z

x

ϕ

z

o y

z x

ϕ

z

.

Enunciado original en alem´ an: Fur jede Eigenschaft ϕ und jede Men-ge x existiert eine Menge y, die genau die z als Elemente hat, dieElemente von x sind und fur die ϕ zutrifft.


Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : para justificar la verdad deeste axioma notese que todos los elementos de la coleccion y han sidoconstruidos en estratos anteriores al estrato en el que x fue construido(simplemente porque todos ellos son elementos de x), por tanto, y

puede construirse en el mismo estrato en el que x se construya.

Observaciones: El conjunto determinado por comprension a partir dex y de ϕ z

es un subconjunto de x, es decir,

z

z

x

ϕ

x

x.

Esta observacion justifica el nombre de separacion.

B.7. Axioma de infinito

“Existe un conjunto x que tiene al conjunto vacıo como elemento y que

para cada uno de sus elementos y, tiene como elemento al conjunto cuyoselementos son exactamente y y los elementos de y.”

x

∅ x y y x y y x

o bien

x

v

v

x

w

w

v

y

y x

z

z x

w

w

z

w

y

w

y

.





Enunciado original en alem´ an: Es existiert eine Menge x, die die leereMenge als Element enthalt, und die mit jedem ihrer Elemente y auchdiejenige Menge z als Element enthalt, deren Elemente genau y unddie Elemente von y sind.


Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : Sean E 0 el estrato en el que∅ ha sido construido, E 1 el estrato en el que

∅

ha sido construido,

E 2 el estrato en el que ∅,

∅

ha sido construido, etc. Si W es unestrato posterior a todos los E n, entonces en W puede construirse unconjunto satisfaciendo el axioma de infinito.

Observaciones: Este axioma es constructivo y afirma que hay un conjunto que tiene como elementos a los conjuntos

∅, ∅

, ∅,

∅ ,

∅, ∅

, ∅,

∅ , . . .

de manera que estamos construyendo un conjunto inductivo, el cuales claramente infinito.

B.8. Esquema de reemplazo o sustitucion

“La imagen de un conjunto bajo una relaci´ on funcional ϕ es un conjun-to.”

Mas precisamente, si ϕ es una formula con dos variables libres x y y quedefine una relacion funcional (total o parcial) en el universo de los conjuntos,es decir tal que:

x y z

ϕ x, y ϕ x, z y z

y si u es un conjuntocualquiera, entonces la coleccion imagen de los elementos de u bajo ϕ es un

conjunto. Formalmente, sea ϕ una formula del lenguaje de ZFE que tiene ax y y como variables libres. Entonces el siguiente enunciado es un axioma:

x

y

z

ϕ x, y

ϕ

x, z

y

z

u

v

z

z v

x

x u

ϕ

x, z

.

Enunciado original en alem´ an: Das Bild einer Menge unter einer funk-tionalen Eigenschaft ϕ ist eine Menge.

Historia: fue propuesto por A. Fraenkel en 1922.




B.9. Axioma de regularidad o buena fundacion 177

Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : Dados ϕ y u, asociese a cadax en u tal que

zϕ x, z el estrato E x en el cual el unico z que satis-

face ϕ x, z

ha sido construido (es posible que hubiera elementos de

u que no queden asociados con estrato alguno). Entonces v puede serconstruido en cualquier estrato posterior a todos los E x, de tal modoque los elementos de v sean exactamente todos los z que satisfacieronϕ x, z

para algun x en u.

Observaciones: Dado ϕ y u, el conjunto cuya existencia se postula serepresenta por v

z

x

x u

ϕ

x, z

. En contraste con el

esquema de separacion, notese que el esquema de reemplazo puedellevarnos fuera del conjunto u al formar el conjunto v, es decir, loselementos de v no son necesariamente elementos de u.

B.9. Axioma de regularidad o buena fundacion

“Todo conjunto no vacıo x tiene un elemento y tal que ning´ un elementode y es un elemento de x.”

x

z

z

x

y

y x

w

w

y

w

x

.

Es decir, todo conjunto no vacıo x tiene un elemento y tal que x y

∅.Otro modo de decirlo es que todo conjunto no vacıo x tiene un elementominimal respecto a la relacion de pertenencia

restringida al conjunto x.

Enunciado original en alem´ an: Jede nichtleere Menge x hat ein Ele-ment y derart, daß kein Element von y ein Element von x ist.

Historia: fue propuesto por Dimitry Mirimanoff en 1917.Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : Sean x un conjunto no vacıoy y un elemento de x construido en un estrato lo mas abajo posiblede y. Entonces y es un testigo de la verdad del axioma de regulari-dad ya que si z es un elemento de y, entonces z ha sido construidoen un estrato anterior al estrato en el que y ha sido construido, porconsiguiente z no puede ser un elemento de x, pues y fue elegido detal manera que todo elemento de x ha sido construido en un estratoigual o posterior al estrato en el que y se construyo.





Observaciones: Este axioma afirma que es una relacional bien funda-

da sobre el universo V , es decir, prohibe la existencia de cadenas cir-culares de conjuntos tales como x

y

z

x, ası como la existencia de

cadenas infinitas descendentes de conjuntos como . . . x3 x2

x1 x0.

Este axioma es claramente especificativo, pues no nos proporcionanuevos conjuntos sino que especifica que todos cumplen con ser bienfundados. En realidad es un axioma restrictivo, pues aceptarlo es equi-valente a aceptar que la jerarquıa de los conjuntos bien fundados estodo el universo de los conjuntos, es decir que V

BF.

B.10. Axioma de eleccion

“Si x es un conjunto no vacıo de conjuntos no vacıos y ajenos dos a dos, entonces existe un conjunto y que tiene exactamente un elemento en com´ un con cada elemento de x.”

x

y

y

x

y

y

x

z

z

y

y

z

y

x

z

x

y

z

u

u

y

u

z

y

z

z

x

u

u

y

u

z

w

w

y

w

z

w

u

o bien

a

a ∅

∅

a

x

y

x

a

y

a

x

y

x

y

∅

c

w

w a z w c z

u

u c v v a u v

.

Al conjunto c le llamamos un conjunto de eleccion para a.

Una version equivalente al axioma de eleccion es la afirmacion: para todoconjunto no vacıo de conjuntos no vacıos, existe una funci´ on de elecci´ on que elige un elemento de cada uno de los conjuntos no vacıos . Con masprecision: para todo conjunto no vacıo b de conjuntos no vacıos existe una

funci´ on f ,tal que f : b

b y tal que para todo x b, f

x

x.




B.11. Comentario historico 179

Enunciado original en alem´ an: Ist x eine nichtleere Menge nichtleererund paarweise elementfremder Mengen, so existiert eine Menge y , diemit jedem Element von x genau ein Element gemeinsam hat.


Justificaci´ on en la jerarquıa acumulativa : La verdad de este axiomaen la jerarquıa de los conjuntos bien fundados queda justificada ası:sea a un conjunto de conjuntos no vacıos y a jenos dos a dos. Entonceslos elementos de los elementos de a estan construidos a lo mas en elestrato que esta dos niveles antes del estrato donde esta construidoa. Entonces en el estrato inmediato anterior al de a, donde se cons-truyeron todos sus elementos, se puede construir cualquier coleccionformada por elementos de elementos de a, en particular se puede cons-truir una coleccion c que tenga exactamente un elemento de cada unode los elementos de a. Esto es posible porque cada elemento de a tieneal menos un elemento ya que ∅

a, los elementos elegidos son dis-

tintos para elementos distintos de a, pues los elementos distintos de a

son ajenos, y finalmente porque se pueden formar todas las coleccionesposibles de elementos de elementos de a.

Observaciones: El axioma de eleccion es una afirmacion muy especialdel lenguaje de la Teorıa de Conjuntos, pues afirma la existencia deun conjunto para el cual no se da una definicion, por esa razon lacaracterizacion de tal conjunto con el lenguaje es mas complicada yes solo una caracterizacion, pues no es unico el conjunto cuya existen-cia se postula. Es importante comentar que hay muchos enunciadosequivalentes al axioma de eleccion.

B.11. Comentario historico

La axiomatizacion conocida como Z esta constituida por los axiomas B1a B7 y fue propuesta por Ernst Zermelo en 1908. Es importante precisarque Zermelo incluyo al axioma de eleccion en su formulacion original (enla version de una funcion de eleccion), ya que su objetivo era demostrar elteorema del buen orden: para todo conjunto existe un buen orden , que es unode los muchos equivalentes del axioma de eleccion, sin embargo, actualmentetal axioma se considera aparte de Z y de ZF.





En 1922 A. Fraenkel propuso el esquema de reemplazo, mientras queDimitry Mirimanoff propuso en 1917 el axioma de regularidad.

La axiomatizacion conocida como ZF (Zermelo-Fraenkel) esta constitui-da por los axiomas B1 a B9 y fue presentada en su formulacion actualpor Von Neuman. A la axiomatica ZF junto con el axioma de eleccion, sele conoce como ZFC (por choice , en ingles) o como ZFE (por elecci´ on , enespanol).

B.12. Comentario sobre la independencia de los

axiomas

La axiomatizacion completa ZFE esta constituida por los axiomas B1a B10, sin embargo, los axiomas B2. Vacıo, B3. Par, y el esquema B6.

Comprension, realmente se pueden probar (son dependientes) del resto delos axiomas del siguiente modo:

1. B6. Comprension

B1. Vacıo.

2. B1. Vacıo y B5. Potencia y B8. Reemplazo B3. Par.

3. B8. Reemplazo B6. Comprension.

Ası pues, los axiomas independientes de ZFE son solo seis axiomas y unesquema:

B2. Extensionalidad (especificativo),

B4. Uni´ on (constructivo),

B5. Potencia (constructivo),

B7. Infinito (constructivo),

B8. Reemplazo (constructivo), esquema de axiomas,

B9. Regularidad (especificativo),

B10. Elecci´ on (existencial).




Bibliografıa

[Am05] J.A. Amor Montano, Teorıa de conjuntos para estudiantes deciencias, Segunda edicion, Coordinacion de Servicios Editoriales,Facultad de Ciencias UNAM, 2005

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[BePi63] R. A. Beaumont, R. S. Pierce, The Algebraic Foundations of Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1963

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[VRM00] L.M. Villegas Silva, D. Rojas Rebolledo, F.E. Miranda Perea.Conjuntos y Modelos. Curso Avanzado. UAM Iztapalapa 2000.

181




182 Bibliografıa




Indice de Sımbolos

Ac, 68

BF, 87

BFα, 87

cam, 2

CAR, 105

OR, 60cf

β

, 143

CT

A

, 91

, 73, 106

, 73dom, 2

, 12

im, 2

, 2

λ , 109

, 3

, 14

, 11

, 20

, 40

ω, 4ωα, 81ω , 4

ω1, 74

, 13

, 19

, 33

i

I Ai, 128

, 19

, 32r

1

, 44

, 7ρ

x

, 90

s x

, 61

, 13

, 10

, 20

, 40sup, 37

η, 19

λ, 34

X ra , 72

183




Indice

arquimediano, 42

automorfismo, 68

Axiomade Reemplazo, 68

de Buena Fundacion, 89, 91

de Eleccion, 93

de Infinito, 7

buen orden, 6

inducido, 96Teorema del, 94

cadena, 94cardinal, 105

del continuo, 154

innaccesible debil, 158innaccesible fuerte, 159

lımite, 113

sucesor, 109, 113

cardinalidad, 27

cerradura transitiva, 91clase, 169

propia, 169cofinal, 141

cofinalidad, 143

completo, 35confinal, 140

conjunto

bien fundado, 87

bien ordenado, 6

con orden reflexivo, 5

con orden total relfexivo, 5inductivo, 8

linealmente ordenado, 2

parcialmente ordenado, 2

totalmente ordenado, 2

complecion de, 45

sin extremo derecho, 6

sin extremo izquierdo, 6sin extremos, 6

transitivo, 7, 54

conjunto potencia, 28cortadura, 30

de Dedekind, 32

cotainferior, 6

superior, 6

denso, 7

en un orden total, 35

dominado por, 73, 106

enteros, 12

negativos, 13

positivos, 13equipotencia, 27

estrato, 87

exponenciacion

185




186 Indice

cardinal, 120

finito, 54

funcional, 68, 75, 170del universo, 76beth, 116

continuo, 113monotono, 113normal, 113

Formula de Bernstein, 157Formula de Hausdorff, 155

generalizada, 156

guimel, 162

Hartognumero de, 109

Hipotesis del continuo, 119, 139Hipotesis Generalizada del conti-

nuo, 119

idempotencia, 120ınfimo, 6isomorfismo, 2

parcial, 25

multiplicacionen los enteros, 14en los naturales, 11en los racionales, 20en los reales, 40cardinal, 120

maximo, 6mınimo, 6

natural

producto, 11suma, 10

numerable, 21numero

natural, 7

ordinal, 56

orden

buen, 6parcial, 2total, 2

ordinal, 56

exponenciacion, 83

inicial, 73, 81, 105

lımite, 61potencia, 83

producto, 83

regular, 148singular, 148sucesor, 61

suma, 82

Paradoja de Russell, 84Principio

de Induccion Transfinita, 64de Induccion Ordinal, 64

del Mınimo Ordinal, 60punto fijo, 113

racionales, 19

rango, 90reales, 32relacional, 170

relacion

antirreflexiva, 2

antisimetrica, 5campo de, 2

dominio de, 2

imagen de, 2




Indice 187

reflexiva, 5transitiva, 2tricotomica, 2

restriccion de una relacion, 7

segmento inicial

determinado por, 68segmento inicial de

, 31

valor absoluto, 15von Neumann, 7, 53, 54

ZornLema de, 94

José Alfredo, Amor Montaño, Gabriela Campero Arena, Favio Ezequiel Miranda Perea-Teoria de...

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