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EL DECIMO PROBLEMA DE HILBERT

JOSE ALBERTO VELEZ MARULANDA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASSANTAFE DE BOGOTA, D.C.

2001

EL DECIMO PROBLEMA DE HILBERT

JOSE ALBERTO VELEZ MARULANDA

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para obtener eltıtulo de

Matematico

Dirigido por:Dr. RODRIGO DE CASTRO KORGI.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICASSANTAFE DE BOGOTA, D.C.

2001

A la memoria de mi hermana,Sandra Velez (1971-1993).

4

AGRADECIMIENTOS

Agradezco en primer lugar a Dios por darme la fuerza y la salud para obtener todolo que hoy en dıa he logrado.

Agradezco a mi director de trabajo de grado Rodrigo De Castro, por proponermeel hermosısimo tema que se basa este trabajo, ademas fue quien tomo la no muyagradable tarea de corregir mis incontables errores, convirtiendo la lectura de estetexto significativamente mas agradable y entendible a la que se podıa haber hechosin sus acertadas correcciones.

Agradezco al profesor Luis Eduardo Giraldo quien realizo la funcion de leer cuida-dosamente el texto y corregir con mucha dedicacion los errores que se me escaparonen la version anterior del trabajo; ademas me hizo saber muchas sugerencias acer-tadas que permiten que este trabajo sea mucho mejor de lo que fue en el momentode la entrega.

Agradezco a mis maestros Liliana Blanco, Margarita Ospina, Vıctor Albis, MyriamMunoz, Francisco Caicedo, Oswaldo Lezama, Beatriz Villa, Ignacio Mantilla y enespecial a Andres Villaveces que ademas de ser uno de los matematicos que mas ad-miro, fue el segundo jurado de mi trabajo de grado y aporto mediante sus brillantescomentarios un valioso recurso para mejorar la version final de mi trabajo. Graciasa ellos por compartir conmigo a lo largo de todos estos anos sus conocimientos y susimpatıa.

Agradezco de manera muy especial a mis amigos y companeros: Javier Solano, Fred-dy Hernandez, Pedro Nel Maluendas, Milena Cortes y Javier Moreno, por ofrecermesu invaluable ayuda durante toda mi carrera, ademas por compartir conmigo inolvid-ables momentos que hicieron de todos estos anos una etapa muy hermosa y rica deexperiencias en mi vida. Gracias tambien a mis demas companeros que vivieron con-migo tantas anecdotas.

Agradezco finalmente a mi padre Jose Levi Velez y a mi hermana Sandra Velez, quiendesafortunadamente la intolerancia de estos tiempos no permitieron que compartieracon ella la felicidad que siento ahora.

JAV

Indice general

1

Introduccion general

“The great importance of definite problems for the progress of mathe-matical science in general ... is undeniable. ... (for) as long as a branchof knowledge supplies a surplus of such problems, it maintains its vital-ity. ... every mathematician certainly shares ..the conviction that everymathematical problem is necessarily capable of strict resolution ... wehear within ourselves the constant cry: There is the problem, seek thesolution. You can find it through pure thought... ”

David Hilbert.

Resena historica

1Las lecturas de las traducciones de los libros sobre aritmetica de Diofanto, querealizo Pierre de Fermat, fue lo que inspiro la teorıa moderna de numeros y loque hoy conocemos como el estudio de las ecuaciones diofantinas. Las ecuaciones dio-fantinas no son mas que ecuaciones que involucran polinomios en muchas variables;su caracterizacion se debe a la naturaleza de sus soluciones. Diofanto buscabasoluciones racionales, mientras que Fermat y sus sucesores se interesaban en solu-ciones enteras. Fermat esta asociado con dos importantes ecuaciones diofantinas,la denominada ecuacion de Fermat

xn + yn = zn,

que solo tiene soluciones enteras diferentes de la trivial para n ≤ 2; y la denominadaecuacion de Pell,

x2 − dy2 = k, d no es cuadrado perfecto.

1Tomado de [?].

2

INTRODUCCION GENERAL 3

El nombre de esta ecuacion se debe a un error en el estudio de la misma por partede Leonhard Euler. La ecuacion de Pell aclara significativamente la diferen-cia entre el programa original en la busqueda de soluciones racionales por parte deDiofanto y el novedoso programa de Fermat para la busqueda de soluciones en-teras. En respuesta al desafıo de Fermat, Lord Brouncker ofrece rapidamenteuna descripcion parametrica de las soluciones racionales, pero trabaja demasiadotiempo en el caso de soluciones enteras. Eventualmente, el deduce un algoritmoque permite generar soluciones enteras (un algoritmo que ya era conocido por losmatematicos hindues unos pocos siglos antes), pero nunca proporciono una pruebade la efectividad de su procedimiento, es decir, nunca probo que su algoritmo enefecto proporcionara siempre una solucion. El primero en probar la existencia desoluciones enteras de la ecuacion de Pell fue Joseph Louis Lagrange, aunquehoy en dıa se prefiere la solucion dada por Peter Gustav Lejeune Dirichlet.Lagrange con su trabajo adicionalmente fundarıa la teorıa de formas cuadraticas,un tema que se encuentra en su mayor plenitud en 1801 con la publicacion de Dis-quisitiones arithmeticae del gran matematico aleman Carl Friedrich Gauß.Gauß deseaba extender la teorıa de formas cuadraticas a mas variables, y ampli-arla a formas cubicas. El primer objetivo fue logrado en 1972 por Carl LudwingSiegel, y el segundo permanece inconcluso. En 1900 en el Congreso Interna-cional de Matematicas celebrado en Parıs, David Hilbert, con una ampliavision del nuevo siglo, propone veintitres problemas con los cuales se esperarıa quelos matematicos del siglo XX desarrollaran sus investigaciones y teorıas. El decimo enla lista, comunmente denominado “El decimo problema de Hilbert” o “Hilbert10”, pedıa un procedimiento mecanico que determinara la solubilidad o insolubili-dad de una ecuacion diofantina en los enteros. Hilbert estaba interesado en unasolucion positiva del problema. Existen varias versiones que explican el interes deHilbert:

Deseaba extender la teorıa de formas cuadraticas indefinidamente a mas vari-ables.

El pensaba que era posible eliminar los detalles y la prueba abstracta en lasolucion de problemas (solucionar el Entscheidungsproblem de Hilbert).

Fue una manifestacion de su fe en la habilidad de los matematicos para resolvertodos los problemas matematicos que el encontro y no habıa solucionado.

El decimo problema de Hilbert enuncia lo siguiente:


10. Determinacion de la solubilidad de ecuaciones diofantinas. Dada unaecuacion diofantina con un numero de incognitas arbitrario y con coeficientes enteros:Encontrar un procedimiento mecanico, que en un numero finito de pasos, determinesi una ecuacion diofantina tiene solucion en los enteros.

El siglo XX estuvo lleno de trabajos sobre ecuaciones diofantinas, pero no necesari-amente enfocados hacia la solucion del decimo problema de Hilbert. ThoralfSkolem realizo una breve monografıa de ecuaciones diofantinas en la tercera deca-da del siglo XX; otros matematicos que abordaron las ecuaciones diofantinas fueron:Thue, Siegel y Roth, quienes trabajaron en clases de ecuaciones con solo finitassoluciones.En los anos treinta se desarrollo una nueva teorıa, en un principio no relaciona-da con las ecuaciones diofantinas ni con el decimo problema de Hilbert. Ese fueel nacimiento de lo que hoy se denomina teorıa de algoritmos y la teorıa de fun-ciones calculables. Se desarrollaron varios modelos de calculabilidad que resultanequivalentes (ver [?]). Estas teorıas permitieron demostrar en anos posteriores quealgunos problemas de calculabilidad eran insolubles. Entre ellos estan el problemade la parada, y el problema de la palabra para semigrupos 2; pero el problema de lasecuaciones diofantinas era ignorado. Skolem, quien hace contribuciones a la teorıade algoritmos y a la de ecuaciones diofantinas, sugiere que se hagan investigacionessobre el decimo problema de Hilbert, aunque el nunca trabajo en ello.Alrededor de 1950 se comienza a abordar el problema de Hilbert, por medio dealgunos artıculos que impulsaban su estudio. Pero la investigacion formal comienzacon un artıculo publicado en 1961 y logra su exito en el ano de 1970 con un artıculode Yuri Matiyasevic, quien demostro que EL DECIMO PROBLEMA DEHILBERT NO TIENE SOLUCION. Las primeras contribuciones fueron real-izadas por Julia Robinson y Martin Davis. En [?], Robinson definıa que unarelacion R sobre enteros no negativos era diofantina si podıa ser escrita en la forma:

R(x0, ..., xm)⇔ (∃y0, ...., yn)[P (x0, ..., xm, y0, ...., ym) = 0],

donde P es un polinomio con coeficientes enteros e y0, ..., yn tienen como rango elconjunto de los numeros enteros. Se deseaba demostrar que, relaciones recursiva-mente enumerables son diofantinas. Es decir

Teorema 1. Toda relacion recursivamente enumerable R(x0, ..., xm) sobre enterosno negativos se puede escribir de la forma:

R(x0, ..., xm)⇔ (∃y0, ..., yn)[P (x0, ..., xm, y0, ..., yn) = 0].

2Estos problemas se pueden ver con todo detalle en [?]


Robinson demostro una forma exponencial del teorema 1, es decir, P no era unpolinomio pero contenıa una funcion exponencial y = ax. Ası, Julia Robinsondemostro que, relaciones recursivamente enumerables son exponeciales-diofantinas.En la prueba implemento sucesiones de soluciones de la ecuacion de Pell de laforma:

x2 − (a2 − 1)y2 = 1, a ≥ 2. (1)

Davis uso mas la logica matematica. La teorıa de algoritmos clasifica dos tiposde conjuntos de enteros no negativos, estos conjuntos son: conjuntos recursivos ylos recursivamente enumerables, para los cuales existe un algoritmo de enumeracion.Existen conjuntos recursivamente enumerables no recursivos. Si se lograba demostrarel teorema 1, entonces el decimo problema de Hilbert no tendrıa solucion. Lastecnicas que desarrollo Kurt Godel en la demostracion de su famoso Teoremade incompletitud (ver [?] o [?]), hace suponer que todo conjunto recursivamenteenumerable puede ser escrito en la forma:

(∃y0Q1y1 · · ·Qmym)[P (x, y0, ..., ym) = 0],

donde cada Qi es un cuantificador existencial o un cuantificador universal acotado,esto es, un cuantificador de la forma ∀yi ≤ y0. Davis simplifico esta representaciona la forma normal de Davis

(∃y∀z ≤ y∃w0 ≤ y, ..., wm ≤ y)[P (x, y, z, w0, ..., wm) = 0].

Hacia el final de los anos cincuenta, Hilary Putman y Martin Davis [?] demostra-ron, asumiendo la aun no probada existencia de progresiones aritmeticas de numerosprimos de longitud arbitraria, la no solubilidad del problema de Hilbert de la man-era exponencial-diofantina sobre los enteros no negativos. Con la ayuda de JuliaRobinson, la conjetura no probada era innecesarıa. Davis, Putman y Robinsonaplicaron las relaciones exponenciales-diofantinas de Robinson para eliminar elcuantificador sencillo acotado de la forma normal de Davis. Su prueba fue publica-da en 1961 (ver [?]). El teorema Davis-Putman-Robinson serıa una herramientafundamental para demostrar que relaciones exponeciales-diofantinas eran relacionesdiofantinas. Pero el resto de los anos sesenta fue muy poco productivo en cuan-to a la investigacion sobre el decimo problema de Hilbert se refiere. En Marzode 1970, Yuri Matijasevic, un joven matematico ruso (con tan solo 22 anos deedad) demostro que relaciones exponenciales-diofantinas eran diofantinas (ver [?]),es decir, se logro demostrar el teorema 1. Matijasevic uso como instrumento laspropiedades de divisibilidad de la sucesion de Fibonnaci.


Inmediatamente despues de la demostracion de Matijasevic surgieron nuevas prue-bas usando sucesiones de soluciones de la ecuacion de Pell (1), hechas por Davis[?], Chudnosky y Kosovskii. Existe un analisis de la demostracion de Matijase-vic de 1970 en espanol elaborada por el matematico colombiano Xavier Caicedo[?].

Observaciones

La prueba que analizaremos en este trabajo es notablemente mas corta que la de1970. Aquı veremos con detalle la prueba publicada por J.P Jones y Yuri Matija-sevic en Octubre de 1991 [?]. En la prueba se usan tambien sucesiones de solucionesde (1). La diferencia de las demas pruebas que usan dichas sucesiones, es que usamosun metodo desarrollado por Jones y Matijasevic (ver [?]): la aritmetizacion demaquinas ilimitadas de registro (concepto que veremos con detalle en el capitulo 4),modelo de calculabilidad equivalente a las maquinas de Turing (ver [?]). Veremostambien con detalle los conceptos de relacion diofantina, conjunto diofantino y fun-cion diofantina en el capıtulo 1; tambien haremos un analisis de las sucesiones desoluciones de (1) en el capıtulo 2.Nos restringiremos unicamente (a menos que se diga lo contrario) al conjunto de losenteros no negativos denotado comunmente por N.

Principio de induccion

Usaremos con frecuencia el principio de induccion matematica.

Teorema 2 (Principio de induccion matematica). Sea S un conjunto deenteros no negativos para el cual son validas las siguientes propiedades:

(a) El numero 1 pertenece a S.

(b) Si un entero k esta en S, entonces k + 1 tambien esta en S.

Entonces S = N.

La demostracion del teorema 2 hace parte de un curso de fundamentos de matematicasy no la haremos aquı. Se puede ver con detalle en [?] .


Soluciones enteras no negativas

La razon del por que nos restringimos al conjunto N se debe a los siguientes teoremas:

Teorema 3. Una ecuacion P (x1, ..., xn) = 0 tiene solucion en los enteros si y solosi la ecuacion

P ∗(x1, ...xn) =∏

(s1,...,sn)

P (s1x1, ..., snxn) = 0;

donde si = ±1 con i = 1, 2, ..., n; tiene solucion en los enteros no negativos.

Demostracion: Evidente.

Teorema 4 (Suma de los cuatro cuadrados de Lagrange). Cualquier en-tero no negativo puede expresarse como suma de los cuadrados de cuatro enteros.

La prueba de este teorema es muy tecnica y extensa para mostrarla aquı. Se puedever con detalle en [?].Ası, una ecuacion P (x1, ..., xn) = 0 tiene soluciones en los enteros no negativos si ysolo si P (z1

2 + y12 + u1

2 + v12, ..., zn

2 + yn2 + un

2 + vn2) = 0 tiene soluciones en los

numeros naturales. Luego el decimo problema de Hilbert se reduce al de solucionesen N.

Concepto de algoritmo y modelos de calculabilidad

En el decimo problema de Hilbert se pide determinar un procedimiento mecanicoque determine en un numero finito de pasos si una ecuacion diofantina tiene solu-ciones enteras o no. En realidad lo que pedıa Hilbert era un algoritmo que solucioneel decimo problema.Un algoritmo es un metodo cuya ejecucion consiste en la aplicacion, paso a paso, deciertas reglas especificadas a priori. Estas reglas deben determinar el resultado finalcompletamente. Las operaciones basicas de la Aritmetica; sumar, restar, dividir ymultiplicar son procedimientos algorıtmicos. Un algoritmo conocido es el algoritmode Euclides para deteminar el maximo comun divisor de dos enteros no negativos.Necesitamos definir las funciones calculables, existen los siguientes modelos de cal-culabilidad:

(a) Godel-Herbrand-Kleene (1936): Funciones recursivas generales definidaspor medio de una ecuacion de calculo.

(b) Church (1936): Funciones λ-definibles.


(c) Godel-Kleene (1936): Funciones µ-recursivas y funciones recursivas par-ciales.

(d) Turing (1936): Funciones calculables definidas por maquinas finitas conoci-das como maquinas de Turing.

(e) Post (1943): Funciones definidas por sistemas de deduccion canonica.

(f) Markov (1951): Funciones obtenidas por cierto algoritmo sobre un alfabetofinito.

(g) Shepherdson-Sturgis (1963): Maquinas ilimitadas de registro.

Todos los modelos anteriores de calculabilidad son todos equivalentes y determinanla clase de funciones calculables denotada por C.La demostracion de la anterior afirmacion se puede ver con todo detalle en [?]. Eneste trabajo usaremos el modelo de calculabilidad (g). En la prueba del teorema1 usaremos basicamente los resultados obtenidos en los capitulos 3 y 4. En la de-mostracion de la no solubilidad del decimo problema de Hilbert en el capitulo 5mencionaremos la Tesis de Church y usaremos el juego de T.Rado expuesto condetalle en [?]. En el capıtulo 6 veremos dos importantes consecuencias de la solucionnegativa del decimo problema de Hilbert.

Capıtulo 1

Conjuntos diofantinos

1.1. Introduccion

En este capıtulo daremos algunas definiciones y algunos ejemplos que seran valiosospara el desarrollo de los demas capıtulos. En particular, definiremos uno de los con-ceptos mas valiosos del presente trabajo, las relaciones diofantinas y consecuente-mente, los conjuntos diofantinos. Veremos, por ejemplo, que relaciones comunes so-bre los enteros como la relacion de congruencia, la divisibilidad, la coprimalidad y elorden, son diofantinas. Comenzaremos definiendo un concepto central: ecuacion dio-fantina. Cabe notar que siempre estamos hablando de enteros no negativos, por talrazon, algunos conceptos y propiedades de los numeros enteros han sido ligeramentemodificados, desde luego, sin perjudicar la esencia de los mismos1 .

1.2. Conjuntos diofantinos; ecuaciones, relaciones

y funciones diofantinas

Definicion 1.2.1. Sea P (a1, ..., am, x1, ..., xn), un polinomio con variables a1, ..., am

(parametros) y x1, ..., xn (incognitas), la ecuacion:

P (a1, ..., am, x1, ..., xn) = 0, (1.1)

1Un ejemplo de esto es la relacion de coprimalidad que se vera en paginas posteriores. Decimosque dos enteros, a y b son coprimos si su maximo comun divisor es 1, esto es equivalente a queexistan dos enteros, α y β, tales que aα− bβ = 1, debemos asegurarnos que tanto α como β seanenteros no negativos; ası esta propiedad se modifica de la siguiente manera: existen α y β talesque, aα− bβ = 1 o aα− bβ = −1.

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CONJUNTOS DIOFANTINOS 10

donde solo se consideran sus posibles soluciones enteras, se denomina ecuacion dio-fantina.

Ejemplos de ecuaciones diofantinas son:

1. x2 + 1 = 0.

2. ax2 + bx+ c = 0, donde a, b, c ∈ Z.

3. xn + yn − zn = 0.

No siempre las ecuaciones diofantinas tienen solucion. Con respecto a las ecuacionesanteriores, sabemos que la primera no tiene solucion en los reales, luego mucho menosen los enteros; la segunda puede pensarse que tiene solucion si al menos el valorb2 − 4ac es un cuadrado perfecto, de lo contrario, no tiene soluciones; y finalmente,la tercera ecuacion existen soluciones si n ≤ 2, pero por el ultimo teorema de Fermat,no existen soluciones para n ≥ 3.

Definicion 1.2.2 (Relacion diofantina). Sea A ⊆ N no vacıo, una relacion m-aria, A(a1, ..., am) sobre A, se dice diofantina si existe un polinomio P (a1, ..., am

, x1, ...., xn), tal que:

A(a1, ..., am)⇔ (∃x1, ..., xn)[P (a1, ..., am, x1, ...., xn) = 0]. (1.2)

De la anterior definicion es mas facil derivar el concepto de conjunto diofantino.

Definicion 1.2.3 (Conjunto Diofantino). Sea A ⊆ N no vacıo, A es conjuntodiofantino si existe P (a, x1, ...., xn) tal que:

a ∈ A⇔ (∃x1, ..., xn)[P (a, x1, ...., xn) = 0]. (1.3)

Tambien es mas natural la definicion de funcion diofantina.

Definicion 1.2.4 (Funcion diofantina). Una funcion de variable entera se dicediofantina si su grafo (i.e {(x, f(x)) : x ∈ dom(f)}) es diofantino.

1.3. Algunos ejemplos importantes

Veamos que algunas relaciones comunes entre los enteros no negativos son diofanti-nas.


Ejemplo 1.3.1 (Relacion de orden). Sean a, b ∈ N, observemos que la relacion deorden sobre N satisface:

a ≤ b⇔ (∃x)[a+ x = b] (1.4)

La anterior expresion es de la forma de la ecuacion (1,2), tomando como polinomioen cuestion a a+ x− b = 0, ası la relacion, ≤, es diofantina.

Ejemplo 1.3.2 (Relacion de divisibilidad). Sean a, b ∈ N, definimos la relacion dedivisibilidad sobre N como:

a | b⇔ (∃x)[ax = b] (1.5)

Analogamente al anterior ejemplo, tomamos como polinomio en la ecuacion (1,2) aax− b = 0, por lo tanto, | tambien es diofantina.

Consideremos las siguientes propiedades de los numeros enteros no negativos. SeanA,B ∈ Z, entonces son validas las siguientes afirmaciones.

A = 0 o B = 0⇔ AB = 0, A = 0 y B = 0⇔ A2 +B2 = 0 (1.6)

Ejemplo 1.3.3 (Relacion de congruencia). Sean a, b, c ∈ N, definimos la relacion decongruencia sobre N como:

a ≡ b mod c⇔ c | a− b o c | b− a

Por el ejemplo (??), esto es equivalente a:

a ≡ b mod c⇔ (∃x)[a = b+ cx o a = b− cx]

Por la propiedad (1,6) tenemos que:

a ≡ b mod c⇔ (∃x)[(a− b− cx)(a− b+ cx) = 0]. (1.7)

Ası por (1,2) , tenemos que ≡ es diofantina.

Por la propiedad (1,6) tenemos que disyunciones y conjunciones de relaciones dio-fantinas son relaciones diofantinas. Consideremos ahora la siguiente propiedad logi-ca, que nos sera util mas adelante:

(∃x)[P (x)] ∧ (∃y)[Q(y)]↔ (∃x, y)[P (x) ∧Q(y)] (1.8)

Las propiedades (1,6) y (1,8) son herramientas que nos permiten ver que muchasrelaciones sobre los enteros no negativos son diofantinas.


Ejemplo 1.3.4 (Relacion de coprimalidad). Sean a, b ∈ N, decimos que a y b soncoprimos si su maximo comun divisor es la unidad (i.e. (a,b) = 1 ). Denotemoslocomo a ⊥ b. Luego,

a ⊥ b⇔ (∃x, y)[ax− by = 1 o ax− by = −1]

Por la propiedad (1,6), la anterior expresion se transforma en:

a ⊥ b⇔ (∃x, y)[(ax− by − 1)(ax− by + 1) = 0]. (1.9)

Ası la relacion de coprimalidad, ⊥ es diofantina.

Veamos algunos ejemplos de funciones diofantinas.

Ejemplo 1.3.5 (Funcion de residuo). Sean a, b ∈ N, definimos rem(a, b), como lafuncion que devuelve el residuo de la division de a por b. Es decir:

r = rem(a, b)⇔ r ≡ a mod b y 0 ≤ r < b (1.10)

lo cual es equivalente, por (1,4) y (1,7) a:

r = rem(a, b)⇔ (∃x)[(a− bx− r)(a+ bx− r) = 0] ∧ (∃y)[b = r + y].

Usando la propiedad (1,8) tenemos que:

r = rem(a, b)⇔ (∃x, y)[(a− bx− r)(a+ bx− r) = 0 ∧ b− r − y = 0],

ası, por la propiedad (1,6) llegamos a:

r = rem(a, b)⇔ (∃x, y)[[(a− bx+ r)(a+ bx− r)]2 + (b− y − r)2 = 0].

Por lo tanto, en virtud de la definicion 1.2.4, tenemos que rem(a, b) es diofantina.

Ejemplo 1.3.6 (Funcion de cociente). Sean a, b ∈ N definimos quo(a, b), como lafuncion que devuelve el cociente de la division de a por b. Es decir:

q = quo(a, b)⇔ 0 ≤ a− qb < b (1.11)

lo cual es equivalente, por (1,4) a:

q = quo(a, b)⇔ (∃x)[b− a+ qb− x = 0],

luego, tambien por la definicion 1.2.4 tenemos que quo(a, b) es diofantina.

Capıtulo 2

La ecuacion de Pell

2.1. Introduccion

La ecuacion diofantina x2−dy2 = N , donde d y N son enteros, es comunmente cono-cida como la ecuacion de Pell. Los antiguos matematicos griegos y egipcios, fueronlos primeros en tratar casos particulares de esta ecuacion, pero Pierre de Fer-mat fue el pionero en tratarla sistematicamente. Fermat afirmo que la ecuacionpara el caso N = 1 y d > 0 donde d no era cuadrado perfecto, tenıa infinitas solu-ciones enteras x e y, pero no dio ninguna prueba. Joseph Lagrange fue el primeroque publico una demostracion de dicha observacion, usando la teorıa de fraccionescontinuas. Despues, Leonard Euler demostro que la ecuacion tenıa infinitas solu-ciones, si existıa al menos una. La ecuacion de Pell es de suma importancia en lateorıa de numeros debido a que muchas ecuaciones diofantinas pueden llevarse a unaecuacion de Pell, o a que dependa de alguna forma de ella. Por ejemplo, conocien-do la forma de las soluciones de la ecuacıon de Pell, es posible hallar todas lassoluciones enteras de la ecuacion general de segundo grado:

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0,

donde a, b, c, d, e y f , son enteros. El procedimiento es el siguiente: Agrupamos losterminos de esta manera

ax2 + (by + d)x+ (cy2 + ey + f) = 0.

Luego, la anterior ecuacion se puede ver como una ecuacion sencilla de segundogrado con discriminante

(by + d)2 − 4a(cy2 + ey + f),

13

LA ECUACION DE PELL 14

que es equivalente a

(b2 − 4ac)y2 + (2bd− 4ae)y + d2 − 4af,

el cual debe ser un cuadrado perfecto, llamemoslo z2. Ası, defininamos a

p = b2 − 4ac, q = 2bd− 4ae, r = d2 − 4af.

Luego tenemospy2 − qy + r − z2 = 0,

que de nuevo es una ecuacion de segundo grado con y como incognita. Procediendocomo antes tenemos

q2 − 4p(r − z2) = w2,

por lo tanto,w2 − 4pz2 = q2 − 4pr

que es una ecuacion de Pell, con N = q2−4pr. Luego , si conocemos las solucionesenteras de esta ecuacion, obtenemos inmediatamente las soluciones enteras de laecuacion general de segundo grado. En este capıtulo veremos el caso particular:

x2 − dy2 = 1, (2.1)

donde d no es cuadrado perfecto, es decir, no existe a ∈ Z, tal que d = a2.

Observacion 2.1.1. Si d = a2 para algun a, entonces (??) solo tiene la solucionentera trivial (x, y) = (1, 0).

Demostracion: Si d = a2 para algun a, entonces (??) puede factorizarse como:

(x+ ay)(x− ay) = 1

Luego x+ ay = 1 y x− ay = 1, ya que el producto de dos enteros es igual a uno siy solo si ambos son 1, ası tenemos el siguiente sistema:

x+ ay = 1,

x− ay = 1.

Usado regla de Cramer tenemos que:

x =(−a− a)(−a− a)

= 1,

y =(1− 1)

(−a− a)= 0.

Luego, la unica solucion es (x, y) = (1, 0).


2.2. Las soluciones de la ecuacion de Pell

Por la forma de la ecuacion (??), podemos factorizarla de la siguiente manera:

x2 − dy2 = (x+√dy)(x−

√dy) = 1.

Luego es natural trabajar sobre el domino Z[√d], donde:

Z[√d] = {α = x+

√dy ∈ R : x, y ∈ Z}.

Sea α ∈ Z[√d], si α = x+

√dy, x e y se denominan las componentes de α.

Observacion 2.2.1. Si α = x +√dy con

√d irracional, entonces los enteros x e y

son unicos.

Demostracion: Supongamos que α = x+√dy y α = w +

√dz entonces:

x+√dy = w +

√dz

y ası(x− w) +

√d(y − z) = 0

como√d es irracional, tenemos que x − w = 0 y y − w = 0, por lo tanto, x = w e

y = z.

Si α = x+√dy y β = w +

√dz, entonces:

α+ β = (x+ w) +√d(y + z)

α · β = (xw + dyz) +√d(xz + yw)

Con un poco de trabajo se puede ver que (Z[√d],+, ·) es un dominio de integridad.

Definicion 2.2.1. Si α = x +√dy, el numero α = x −

√dy, se denomina el

conjugado de α.

Definicion 2.2.2. Si α = x +√dy, el numero N(α) = x2 − dy2, se denomina la

norma de α.

Por la definicion ??, es evidente que las soluciones enteras de (??) son las compo-nentes de los α tales que cumplen N(α) = 1. En este trabajo solo consideraremoslos α ∈ Z[

√d] tales que N(α) = 1 y las componentes de α enteras no negativas.

Lema 2.2.1. Sea α, β ∈ Z[√d], α = x+

√dy y β = w +

√dz, entonces:


(1) N(α) = αα.

(2) α+ α = 2x y α− α = 2√dy.

(3) Si N(α) = 1 entonces, α = α−1.

(4) α · β = αβ.

(5) N(αβ) =N(α)N(β).

(6) N(α) = N(α).

(7) Si 1 ≤ α entonces, 1 ≤ x y 0 ≤ y.

(8) N(αn) =N(α)n.

(9) Si N(α) = 1 y N(β) = 1 entonces, x < w si y solo si y < z.

Demostracion: (1) αα = (x+√dy)(x−

√dy) = x2 − dy2 =N(α).

(2) Evidente.

(3) Por (1) tenemos que αα = 1, asi α = α−1.

(4) α · β = (xw + dyz) +√d(xz + yw) = (xw + dyz) −

√d(xz + yw), por otro

lado, αβ = (x−√dy)(w −

√dz) = (xw + dyz)−

√d(xz + yw), ası se obtiene

lo deseado.

(5) N(αβ) = α · β = αβαβ = αβαβ = ααββ =N(α)N(β).

(6) N(α) =N(x−√dy) =N(x+

√d(−y)) = x2 − d(−y)2 = x2 − dy2 = N(α).

(7) Tenemos que α es un numero real , si 1 ≤ α entonces su inverso multiplicativoα satisface que 0 < α ≤ 1, luego, por un lado tenemos que 1 < α + α = 2xde donde obtenemos que 1

2< x; ası x es positivo. Tambien tenemos que 0 =

1− 1 ≤ α− α = 2y√d, luego, 0 ≤ y, luego y es no negativo. Como N(α) = 1

entonces x2 − dy2 = 1, ası x2 = 1 + dy2 ≥ 1 + 0 = 1, sacando raız cuadradatenemos que x ≥ 1 , ası tenemos lo deseado.

(8) Usando induccion sobre n y el numeral (5).


(9) Por (7), x, y, w, z son no negativas, como N(α) = 1 y N(β) = 1, tenemos quex2 = 1+dy2 y w2 = 1+dz2, luego, si x < w elevando al cuadrado ambos lados,tenemos que 1 + dy2 = x2 < w2 = 1 + dz2, por lo tanto dy2 < dz2 ası y < z.De manera analoga se demuestra el otro sentido.

Por los numerales (7) y (9) del lema 2.2.1 se tiene que 1 ≤ α < β si y solo si1 < x < w y 0 < y < z, con N(α) =N(β) = 1. Luego este tipo de orden genera unbuen orden total para

{α ∈ R : α = x+√dy > 1, N(α) = 1, x, y ∈ Z}.

Como siempre debemos garantizar que no estamos hablando de un conjunto vacıo,por ello enuncıamos los siguientes teoremas1:

Teorema 2.2.1. Existen infinitas soluciones de la ecuacion

x2 − dy2 = k (2.2)

en los enteros no negativos , para algun k tal que |k| < 1 + 2√d.

Bosquejo de la demostracion: Primero se prueba que la desigualdad

|x− ζy| < 1

y, (∗)

tiene infinitas soluciones con ζ real no racional. Si (x, y) es una solucion de (∗) conζ =√d, entonces

|x+ y√d| = |x− y

√d+ 2y

√d| < 1

y+ 2y√d ≤ (1 + 2

√d)y,

y ası

|x2 − dy2| = |x+√dy||x−

√dy| < [(1 + 2

√d)y]

(1

y

)= 1 + 2

√d.

Existen muchas tuplas (x, y) disponibles, pero finitos enteros mas pequenos que1 + 2

√d e infinitos numeros de la forma x2 − dy2 deben tener un valor comun que

es el k del teorema.

1Para la prueba de estos teoremas se necesita teorıa de fracciones continuas. El lector puedehallar las pruebas detalladas en [?].


Teorema 2.2.2. La ecuacion (??) tiene a lo menos una solucion con y 6= 0.

Bosquejo de la demostracion: Usando el teorema ??, existe un entero k > 0 talque una de las dos ecuaciones N(α) = ±k tiene infinitas soluciones α en Z[

√d]. Como

solo existen finitas clases de residuos ( mod k) en Z[√d], alguna clase de residuo

debe contener al menos tres de esas soluciones (de hecho infinitas!). Asumamosentonces que N(α1) =N(α2) = ±k y α1 ≡ α2 mod k, pero α1 6= ±α2. Entoncesα1α2 ≡ α2α2 ≡ 0 mod k, luego β = α1α2

kes un elemento de Z[

√d]. Como

N(β) =α1α2α2α1

k2=

N(α1)N(α2)

k2= 1,

β es solucion de (??), como la segunda componente de β es cero , entonces N(β) = 1implica que β = ±1, luego

α1α2 = ±k = ±α1α1

α2 = ±α1

α = ±α1

contradiciendo nuestra hipotesis.

Por lo tanto existe un primer elemento δ = a+√db, a este real lo denominamos el

generador y a (a, b) la solucion fundamental. Por la forma de δ tenemos que:

1 < δ < δ2 < δ3 < δ4 < .... (2.3)

Ası δ genera una cadena infinita ascendente de soluciones de (??). Veamos que si αes una solucion de (??) diferente de δ, entonces α es una potencia de δ.

Teorema 2.2.3. Si α > 1 es una solucion de (??), entonces existe n ∈ N tal que:

α = δn.

Demostracion: Como α > 1 y por la minimalidad de δ tenemos que α ≥ δ; luego,si observamos la cadena (??), vemos que α debe estar en medio de ella. Por lo tantoexiste n tal que:

δn ≤ α < δn+1.

Dividiendo por δn la anterior desigualdad, tenemos que:

1 ≤ α

δn< δ


donde αδn = αδn, sea β = αδn, asi, N(αδn) =N(α)N(δn) = 1, luego β tambien es

solucion de (??) y1 ≤ β < δ.

Si β 6= 1 , entonces tendrıamos que 1 < β < δ, contradiciendo la minimalidad de δ.Ası tenemos que β = 1 , luego α

δn = 1, por lo tanto, α = δn.

2.3. Sucesiones de Lucas

Consideremos a d de la forma especial, d = a2 − 1; luego la ecuacion especial dePell es:

x2 − (a2 − 1)y2 = 1. (2.4)

Esta ecuacion tiene como solucion fundamental a (a, 1), ası el generador es a +√a2 − 1. Para ver esto, supongamos que (x1, y1) solucion de la ecuacion (??) tal

que x1 +√a2 − 1y1 ≤ a +

√a2 − 1, luego x1 ≤ a si y solo si y1 ≤ 1, como estamos

hablando siempre de enteros no negativos tenemos que y1 = 1; por lo tanto x1 = a.Sea:

Xa(n) + Ya(n)√a2 − 1 = (a+

√a2 − 1)n. (2.5)

Luego tenemos todas las soluciones de la ecuacion (??) por el teorema 2.2.3. Por suforma las sucesiones x = Xa(n) e y = Ya(n) son estrictamente crecientes.

Lema 2.3.1. Sea d = a2 − 1, entonces:

(1) Xa(n)− Ya(n)√a2 − 1 = (a−

√a2 − 1)n.

(2) Xa(n)− Ya(n)√a2 − 1 = (a+

√a2 − 1)−n.

(3) Xa(n±m) + Ya(n±m)√d = (Xa(n) + Ya(n)

√d)(Xa(m)± Ya(m)

√d).

(4) Xa(n±m) = Xa(n)Xa(m)± dYa(n)Ya(m).

(5) Ya(n±m) = Ya(n)Xa(m)±Xa(n)Ya(m).

(6) Xa(n+ 1) = aXa(n) + dYa(n).

(7) Xa(n− 1) = aXa(n)− dYa(n).

(8) Ya(n+ 1) = aYa(n) +Xa(n).

(9) Ya(n− 1) = aYa(n)−Xa(n).


(10) Xa(n+ 1) = 2aXa(n)−Xa(n− 1).

(11) Ya(n+ 1) = 2aYa(n)− Ya(n− 1).

(12) Xa(2n) = 2Xa(n)2 − 1.

(13) Ya(2n) = 2Xa(n)Ya(n).

Demostracion: (1) Aplicando el conjugado a ambos lados en (2,5) tenemos que:

Xa(n) + Ya(n)√a2 − 1 = (a+

√a2 − 1)n

Xa(n)− Ya(n)√a2 − 1 = (a+

√a2 − 1)

n

= (a−√a2 − 1)n.

(2) Por propiedades del conjugado tenemos que:

Xa(n)− Ya(n)√a2 − 1 = (Xa(n) + Ya(n)

√a2 − 1)−1

= ((a+√a2 − 1)n)−1

= (a+√a2 − 1)−n.

(3)

Xa(n±m) + Ya(n±m)√d = (a+

√d)n±m

= (a+√d)n(a+

√d)±m

= (Xa(n) + Ya(n)√d)(Xa(m)± Ya(m)

√d).

Haciendo el producto del lado derecho de la ecuacion anterior tenemos que

Xa(n±m) + Ya(n±m)√d = Xa(n)Xa(m)±Xa(n)Ya(m)

√d

+ Ya(n)Xa(m)√d± dYa(n)Ya(m)

= (Xa(n)Xa(m)± dYa(n)Ya(m))

+ (Ya(n)Xa(m)±Xa(n)Ya(m))√d.

(4) Igualando partes racionales y partes irracionales en (3), tenemos que Xa(n±m) = Xa(n)Xa(m)± dYa(n)Ya(m).


(5) Ya(n±m) = Ya(n)Xa(m)±Xa(n)Ya(m)

Observemos que Xa(1) + Ya(1)√a2 − 1 = a +

√a2 − 1, por (2,5), igualando

componentes tenemos que: Xa(1) = a e Ya(1) = 1.

(6) Ası, por (5) tenemos que:

Xa(n+ 1) = Xa(n)Xa(1) + dYa(n)Ya(1) = aXa(n) + dYa(n).

(7) Analogamente a (6) tenemos que:

Xa(n− 1) = Xa(n)Xa(1)− dYa(n)Ya(1) = aXa(n)− dYa(n).

(8) Ya(n+ 1) = Ya(n)Xa(1) +Xa(n)Ya(1) = aYa(n) +Xa(n).

(9) Ya(n− 1) = Ya(n)Xa(1)−Xa(n)Ya(1) = aYa(n)−Xa(n).

(10) Sumando las identidades (6) y (7), tenemos que

Xa(n+ 1) +Xa(n− 1) = 2aXa(n)

de donde se tiene la identidad.

(11) Analogo al numeral (10).

(12) Remplazando a m por n en el numeral (4) tenemos que:

Xa(2n) = Xa(n+ n)

= Xa(n)Xa(n) + dYa(n)Ya(n)

= Xa(n)2 + dYa(n)2

= Xa(n)2 +Xa(n)2 − 1

= 2Xa(n)2 − 1.

(13) Analogamente al numeral (12):

Ya(2n) = Ya(n+ n)

= Ya(n)Xa(n) + Ya(n)Xa(n)

= 2Ya(n)Xa(n).


Observemos que Xa(0)+Ya(0)√a2 − 1 = (a+

√a2 − 1)0 = 1, por lo tanto Xa(0) = 1

e Ya(0) = 0.Usando las identidades (10) y (11) del lema 2.3.1, encontramos una representacionrecursiva de las soluciones de la ecuacion (??) de esta manera:

Xa(0) = 1, Xa(1) = a, Xa(n+ 1) = 2aXa(n)−Xa(n− 1), (2.6)

Ya(0) = 0, Ya(1) = 1, Ya(n+ 1) = 2aYa(n)− Ya(n− 1). (2.7)

La anterior formula de recursion nos genera las sucesiones de Lucas. Las anterioresidentidades y la formula de recursion son ciertas unicamente para 2 ≤ a, pero paraa = 1, definimos a X1(n) = 1, e Y1(n) = n, para que sean validas las anterioresexpresiones para cualquier numero natural. Por ejemplo, para a > 1:

Xa(2) = 2aXa(1)−Xa(0) = 2a(a)− 1 = 2a2 − 1.

Ya(2) = 2aYa(1)− Ya(0) = 2a(1)− 0 = 2a.

Xa(3) = 2aXa(2)−Xa(1) = 2a(2a2 − 1)− a = 4a3 − 3a.

Ya(3) = 2aYa(2)− Ya(1) = 2a(2a)− 1 = 4a2 − 1.

En la tabla siguiente veremos los primeros ocho valores correpondientes a Xa(n) eYa(n) para a > 1.

n Xa(n) Ya(n)0 1 01 a 12 2a2 − 1 2a3 4a3 − 3a 4a2 − 14 8a4 − 8a2 + 1 8a3 − 4a5 16a5 − 20a3 + 5a 16a4 − 12a2 + 16 32a6 − 48a4 + 18a2 − 1 32a5 − 32a3 + 6a7 64a7 − 112a5 + 56a3 − 7a 64a6 − 80a4 + 24a2 − 18 128a8 − 256a6 + 160a4 − 32a2 + 1 128a7 − 192a5 + 80a3 − 8a

Para a = 1 tenemos que:

X1(2) = 2X1(1)−X1(0) = 2(1)− 1 = 1.

Ya(2) = 2Y1(1)− Ya(0) = 2(1)− 0 = 2.

Xa(3) = 2X1(2)−Xa(1) = 2(1)− 1 = 1.

Ya(3) = 2Y1(2)− Ya(1) = 2(2)− 1 = 3.


En la tabla siguiente podemos ver los primeros siete valores de X1(n) e Y1(n), loscuales no son muy interesantes.

n X1(n) Y1(n)0 1 01 1 12 1 23 1 34 1 45 1 56 1 67 1 7

De la primera tabla es posible intuir que para un entero fijo n, Ya(n) es un polinomioen a de grado n− 1, formalizaremos esto en el siguiente lema.

Lema 2.3.2. Sea n ≥ 1 entonces, Ya(n) es un polinomio en a de grado n− 1.

Demostracion: Por induccion sobre n. Si n = 1, entonces Ya(n) = 1, donde 1es un polinomio de grado 0 = n − 1; asi el lema es cierto para 1. Supongamosvalido el lema para n = k ≥ 1. Sea Ya(k) = bk−1a

k−1 + bk−2ak−2 + ... + b1a + b0

y Ya(k − 1) = ck−2ak−2 + ck−3a

k−3 + ... + c1a + c0, esto es cierto por hipotesis deinduccion, sea n = k+1, entonces por la identidad (11) del lema 2.3.1, tenemos que:

Ya(k + 1) = 2aYa(k)− Ya(k − 1)

. Ası

Ya(k + 1) = 2a(bk−1ak−1 + bk−2a

k−2 + ...+ b1a+ b0)

− (ck−2ak−2 + ck−3a

k−3 + ...+ c1a+ c0).

Luego

Ya(k + 1) = 2bk−1ak + (2bk−2 − ck−2)a

k−1 + ...

+ (2b1 − c2)a2 + (2b0 − c1)a− c0),

que evidentemente es un polinomio de grado k = n − 1; asi el lema es valido paratodo n.

El siguiente lema nos permitira deducir una formula de recurrencia importante.


Lema 2.3.3. Sea P (x) un polinomio con coeficientes enteros, y r ≡ s mod m,entonces:

P (r) ≡ P (s) mod m


Por definicion es evidente que:

a− b ≡ 0 mod (a− b).

Asi,a ≡ b mod (a− b).

Como Yx(n) es un polinomio en x de grado n− 1, tenemos por el lema 2.3.3 que

Ya(n) ≡ Yb(n) mod (a− b) [Regla de Congruencia]. (2.8)

Esto es valido para a, b ≥ 1, luego , si tomamos b = 1 , tenemos que

Ya(n) ≡ Y1(n) = n mod (a− 1).

Asi obtenemos la regla especial de congruencia de Julia Robinson:

Ya(n) ≡ n mod (a− 1). (2.9)

Las identidades de Lucas (10) y (11) del lema 2.3.1, son tambien utiles para derivarcotas sobre el tamano de Xa(n) e Ya(n).

Lema 2.3.4.(2a− 1)n < Ya(n+ 1) < (2a)n (2.10)

para 1 ≤ a y 1 < n.

Demostracion: Como 1 = 1n < n+1 = Y1(n+1) < 2n = [2(1)]n, la desigualdad esvalida para a = 1. Supongamos a > 1. Como (2a−1)2 < 4a2−1 = Ya(2+1) < (2a)2,la desigualdad es valida para n = 2. Supongamos valida la desigualdad para n = k,esto es

(2a− 1)k < Ya(k + 1) < (2a)k.


Veamos que la desigualdad es valida para n = k + 1. Usando que Ya(n) es unasucesion estrictamente creciente y la hipotesis de induccion, tenemos que:

(2a− 1)k+1 = (2a− 1)(2a− 1)k

< (2a− 1)Ya(k + 1)

= 2aYa(k + 1)− Ya(k + 1)

< 2aYa(k + 1)− Ya(k)

< 2a(2a)k − Ya(k) < (2a)k+1.

Luego

(2a− 1)k+1 < 2aYa(k + 1)− Ya(k) < (2a)k+1,

pero Ya(k + 2) = 2aYa(k + 1)− Ya(k). Ası el lema queda demostrado.

La desigualdad del lema 2.3.4 muestra que Ya(n) crece exponencialmente en n. Lasiguiente congruencia fue obtenida por Julia Robinson.

Lema 2.3.5.

Xa(n)− (a− k)Ya(n) ≡ kn mod (2ak − k2 − 1). (2.11)

Demostracion: Debemos ver que se tiene la congruencia para todo n ≥ 0 y k ≥ 0.Para n = 0, tenemos que

Xa(0)− (a− k)Ya(0) = 1 ≡ 1 = k0 mod (2ak − k2 − 1).

Para n = 1, tenemos que

Xa(1)− (a− k)Ya(1) = a− (a− k) = k ≡ k = k1 mod (2ak − k2 − 1).

Supongamos la congruencia valida para n = m ≥ 0 y veamos que la congruencia es


valida tambien para n = m+ 1.

Xa(m+ 1)− (a− k)Ya(m+ 1) = [2aXa(m)−Xa(m− 1)]

− (a− k)[2aYa(m)− Ya(m− 1)]

= 2aXa(m)−Xa(m− 1)

− 2a(a− k)Ya(m) + (a− k)Ya(m− 1)

= 2a[Xa(m)− (a− k)Ya(m)]

− [Xa(m− 1)− (a− k)Ya(m− 1)]

≡ 2akm − km−1 mod (2ak − k2 − 1)

= km−1(2ak − 1)

= km−1(2ak − k2 − 1 + k2)

= km−1(2ak − k2 − 1) + km+1

≡ 0 + km+1 mod (2ak − k2 − 1)

= km+1 mod (2ak − k2 − 1).

Luego el lema es valido para todo n.

Lema 2.3.6. Xa(n) e Ya(n) son primos relativos.

Demostracion: Por la ecuacion (2,4), tenemos que:

[Xa(n)]2 − (a2 − 1)[Ya(n)]2 = 1,

que es equivalente a

Xa(n)[Xa(n)] + [−(a2 − 1)Ya(n)]Ya(n) = 1,

luego existen enteros α = Xa(n) y β = −(a2 − 1)[Ya(n)] tales que

αXa(n) + βYa(n) = 1.

Por lo tanto, Xa(n) e Ya(n) son primos relativos.

Lema 2.3.7.Ya(n) | Ya(k ± n)⇔ Ya(n) | Ya(k). (2.12)

Demostracion: Supongamos que Ya(n) | Ya(k ± n), entonces

Ya(n) | [Ya(k)Xa(n)±Xa(k)Ya(n)],


pero tambien tenemos que Ya(n) | ∓Xa(k)Ya(n), asi

Ya(n) | {[Ya(k)Xa(n)±Xa(k)Ya(n)]∓Xa(k)Ya(n)} = Ya(k)Xa(n).

Pero Xa(n) ⊥ Ya(n), por el lema 2.3.6, luego, Ya(n) | Ya(k). Si

Ya(n) | Ya(k),

entonces Ya(n) | Ya(k)Xa(n), y como Ya(n) | ±Xa(k)Ya(n), tenemos que

Ya(n) | [Ya(k)Xa(n)±Xa(k)Ya(n)] = Ya(k ± n).

Ahora expondremos una propiedad de divisibilidad que necesitaremos mas adelante.

Lema 2.3.8.n | m⇔ Ya(n) | Ya(m). (2.13)

Demostracion: Sea m = ni + r donde 0 ≤ r < n. Entonces 0 = Ya(0) ≤ Ya(r) <Ya(n), debido a que Ya(x) es una funcion creciente. Luego Ya(n) | Ya(m) sii Ya(n) |Ya(ni + r). Por el lema anterior, Ya(n) | Ya(ni + r) sii Ya(n) | Ya(r), como Ya(r) <Ya(n), Ya(n) | Ya(r) sii Ya(r) = 0 sii r = 0 sii m = ni. Por lo tanto, Ya(n) | Ya(m) siin | m.

Lema 2.3.9 (Lema del primer descenso).

Ya(n)2 | Ya(m)⇔ nYa(n) | m. (2.14)

Demostracion: Por la ecuacion (2,5), tenemos que:

Xa(nj) + Ya(nj)√d = (a+

√d)nj = ((a+

√d)n)j = (Xa(n) + Ya(n)

√d)j.

Por el teorema del binomio tenemos que:

Xa(nj) + Ya(nj)√d =

j∑i=0

(j

i

)Xa(n)j−iYa(n)i(

√d)i.

Comparando las partes irracionales, tenemos que:

Ya(nj)√d =

j∑i impar

(j

i

)Xa(n)j−iYa(n)i(

√d)i.


Ası,

Ya(nj) = jXa(n)j−1Ya(n) + d

(j

3

)Xa(n)j−3Ya(n)3

+

j∑i impar

i≥5

(j

i

)Xa(n)j−iYa(n)i(

√d)i

Por lo tanto,Ya(nj) ≡ jXa(n)j−1Ya(n) mod Ya(n)3. (2.15)

Supongamos que Ya(n)2 | Ya(m), asi Ya(n) | Ya(m), por el lema 2.3.8, tenemos quen | m. Sea m = nj, escojamos a j el mismo de la ecuacion (2,15), la cual implicaYa(n)3 | [Ya(nj) − jXa(n)j−1Ya(n)]. Ası, Ya(n)2 | [Ya(nj) − jXa(n)j−1Ya(n)], luego,Ya(n)2 | jXa(n)j−1Ya(n), como Xa(n) ⊥ Ya(n), tenemos que Ya(n)2 | jYa(n), asiYa(n) | j, lo cual implica nYa(n) | nj = m.Ahora supongamos que nYa(n) | m; sea j = Ya(n). Luego la ecuacion (2,15), seconvertira en

Ya(nYa(n)) ≡ Ya(n)2Xa(n)Ya(n)−1 mod Ya(n)3.

luegoYa(n)3 | Ya(nYa(n))− Ya(n)2Xa(n)Ya(n)−1,

de dondeYa(n)3 | Ya(nYa(n)),

y por lo tantoYa(n)2 | Ya(nYa(n)). (2.16)

Ahora, como nYa(n) | m, por el lema 2.3.8, Ya(nYa(n)) | Ya(m), lo cual implica porla ecuacion (2,14) que

Ya(n)2 | Ya(m).

Lema 2.3.10. Para 2 ≤ a, Ya(n− 1) + Ya(n) < Xa(n).

Demostracion: Reemplacemos a n por n − 1 en la identidad (8) del lema 2.3.1;obtenemos

Ya(n) = aYa(n− 1) +Xa(n− 1).

Como 2 ≤ a, nosotros tenemos

2Ya(n− 1) ≤ aYa(n− 1) < aYa(n− 1) +Xa(n− 1) = Ya(n),


luego2Ya(n− 1) < Ya(n).

AsıYa(n− 1) < Ya(n)− Ya(n− 1),

y sumando a ambos lados Ya(n), tenemos por (9) del lema 2.3.1 que

Ya(n− 1) + Ya(n) < 2Ya(n)− Ya(n− 1) ≤ aYa(n)− Ya(n− 1) = Xa(n).

Lema 2.3.11. Ya(4ni±m) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n), e Ya(4ni+ 2n±m) ≡ ∓Ya(m)mod Xa(n).

Demostracion: De la identidad (13), del lema 2.3.1, tenemos que

Ya(2n) ≡ 0 mod Xa(n),

luegoYa(2n)Xa(m) ≡ 0 mod Xa(n).

De la identidad (12), del lema 2.3.1, tenemos que

Xa(2n) ≡ −1 mod Xa(n),

luego±Xa(2n)Ya(m) ≡ ∓Ya(m) mod Xa(n).

Por (5), del lema 2.3.1; se tiene

Ya(2n±m) = Ya(2n)Xa(m)±Xa(2n)Ya(m) ≡ ∓Ya(m) mod Xa(n).

Ahora bien,

Ya(4n±m) = Ya(2n+ 2n±m) ≡ −Ya(2n±m) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n).

Veamos queYa(4ni±m) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n),

por induccion sobre i. Por lo demostrado arriba, tenemos la congruencia para i = 1.Supongamos que es valida para i = k, es decir:

Ya(4nk ±m) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n).


Sea i = k+1, entonces, reemplazando a m por 4n±m, en la hipotesis de induccion,tenemos

Ya(4n(k + 1)±m) = Ya(4nk + 4n±m) ≡ Ya(4n±m) mod Xa(n)

≡ ±Ya(m) mod Xa(n).

Ası la congruencia es valida para todo i. Luego

Ya(4ni+ 2n±m) ≡ Ya(2n±m) ≡ ∓Ya(m) mod Xa(n).

Lema 2.3.12 (Lema del segundo descenso). Ya(k) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n) ⇔k ≡ ±m mod 2n, con 2 ≤ a y 1 ≤ n.

Demostracion: Supongamos que k ≡ ±m mod 2n, entonces, existe j, tal quek = 2nj ±m, si j es par, esto es, si j = 2i, tenemos que

Ya(k) = Ya(4ni±m) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n).

Si j = 2i+ 1, entonces

Ya(k) = Ya(4ni+ 2n±m) ≡ ∓Ya(m) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n).

Luego se tiene la primera implicacion.Supongamos ahora que Ya(k) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n), entonces, escojemos k′, talque 0 ≤ k′ ≤ n−1 y k ≡ k′ mod 2n. Escojamos tambien a m′ tal que 0 ≤ m′ ≤ n ym = ±m′ mod 2n. Luego, utilizando la direccion que ya se demostro, tenemos que

Ya(k) ≡ Ya(k′) mod Xa(n),

y asıYa(k

′) ≡ Ya(k) mod Xa(n).

Por otro lado,Ya(m) ≡ ±Ya(m

′) mod Xa(n)

y por hipotesis,Ya(k) ≡ ±Ya(m) mod Xa(n).

Por consiguiente,Ya(k

′) ≡ ±Ya(m′) mod Xa(n),


de dondeXa(n) | Ya(k

′)± Ya(m′).

Veamos que k′ = m′, si k′ 6= m′ tenemos que

0 <| Ya(k′)± Ya(m

′) |≤| Ya(k′) + Ya(m

′) | ≤ Ya(k′) + Ya(m

′)

≤ Ya(n− 1) + Ya(n) < Xa(n)

por el lema 2.3.10 . Esto contradice que Xa(n) | Ya(k′)± Ya(m

′), ası k‘ = m‘, luego:

k ≡ k′ = m′ ≡ m mod 2n.

Lema 2.3.13. n ≤ Ya(n), para todo n.

Demostracion: Como n ≤ n = Y1(n) tenemos que la desigualdad es obvia paraa = 1. Supongamos a ≥ 2. Veamos que la desigualdad es cierta razonando porinduccion sobre n. Se tiene

0 ≤ 0 = Ya(0);

es decir, la desigualdad es cierta para n = 0. Supongamos que es valida para n = k,es decir

k ≤ Ya(k).

Si n = k + 1, entonces

Ya(k + 1) = 2aYa(k)− Ya(k − 1) > 2aYa(k)− Ya(k) = aYa(k) ≥ ak ≥ k + 1.

Ası la desigualdad es valida para todo n.

Lema 2.3.14. Sea A > 1 un entero no negativo. Para que la relacion C = YA(B) seaverdadera, es necesario y suficiente que existan numeros naturales D,E, F,G,H, Ie i, tales que:

(1) D2 − (A2 − 1)C2 = 1.

(2) F 2 − (A2 − 1)E2 = 1.

(3) I2 − (G2 − 1)H2 = 1.

(4) E = (i+ 1)2C2.


(5) G ≡ A mod F .

(6) G ≡ 1 mod 2C.

(7) H ≡ C mod F .

(8) H ≡ B mod 2C.

(9) B ≤ C.

Prueba de suficiencia. Supongamos que existen D,E, F,G,H, I e i, que satis-facen las ecuaciones (1) − (9). Las ecuaciones (1) − (3), son ecuaciones de Pell,luego existen , p, q y r, tal que:

D = XA(p), E = YA(q), C = YA(p),

F = XA(q), I = XG(r), H = YG(r).

Por el lema 2.3.13, tenemos que 0 ≤ p ≤ C, y 0 ≤ B ≤ C, la idea es ver queB = p probando que B ≡ r ≡ ±p mod 2C, es decir C = YA(B), es bien definida.Supongamos 0 < C usando (4), tenemos que C2 | E, entonces YA(p)2 | YA(q), porel lema del primer descenso tenemos que pYA(p) | q, como YA(p) | pYA(p), entoncesYA(p) | q, es decir, C | q. Veamos que B ≡ r mod 2C. Por (8), tenemos que:

B ≡ H mod 2C = YG(r) mod 2C.

Por la regla especial de congruencia (2,9), tenemos que

YG(r) ≡ Y1(r) = r mod G− 1

y asıG− 1 | YG(r)− r

Por (6), tenemos que 2C | G− 1 y ası 2C | YG(r)− r. Luego YG(r) ≡ r mod 2C ypor lo tanto

B ≡ r mod 2C (2.17)

Por la regla de congruencia (2,8), tenemos que

YA(r) ≡ YG(r) mod A−G

pero, por (5), tenemos queF | A−G.


Luego por la ecuacion (2,8), tenemos que

YA(r) ≡ YG(r) mod F = H ≡ C = YA(p) mod F = YA(p) mod XA(q).

De modo queYA(r) ≡ YA(p) mod XA(q).

Por el lema del segundo descenso, tenemos que

r ≡ p mod 2q

y como C | q, entoncesr ≡ p mod 2C.

Ası, por la ecuacion (2,17), tenemos que

B ≡ p mod 2C,

pero |B − p| ≤ C; luego, B − p = 0, asi B = p.

Prueba de necesidad. Supongamos C = YA(B). Sea D = XA(B), luego (1) y(9) se tienen. Sea q = BYA(B), F = XA(2q) y E = YA(2q), asi (2) se tiene. Seam = BYA(B). Como BYA(B) | BYA(B) = m, entonces, por el lema del primerdescenso, tenemos que

YA(B)2 | YA(m) = YA(BYA(B)), (2.18)

luego, C2 | YA(q). La identidad (13), del lema 2.3.1 dice que

YA(2q) = 2XA(q)YA(q).

Ası, 2XA(q)YA(q) | YA(2q), pero 2YA(q) | 2XA(q)YA(q), luego, 2YA(B)2 | YA(2q), esdecir 2C2 | E, lo cual implica que E = (i+ 1)2C2, para algun i, ası se tiene (4). SeaG = A + F 2(F 2 − A). Entonces (5) se tiene. De las ecuaciones (2) y (4), que ya setienen, se obtiene que

F 2 = 1 + (A2 − 1)E2 = 1 + (A2 − 1)(i+ 1)2(2C)(2C);

es decir,2C | F 2 − 1,

de dondeF 2 ≡ 1 mod 2C.


Ası, G = A + F 2(F 2 − A) ≡ A + 1(1 − A) = 1 mod 2C, luego (6), se tiene. SeaI = XG(B) y H = YG(B), ası (3) se tiene. De la relacion especial de congruencia(2,9), tenemos que YG(B) ≡ Y1(B) = B mod G − 1, luego G − 1 | YG(B) − B,pero por (6), que ya se tiene, tenemos que 2C | G − 1. Ası, 2C | YG(B) − B,luego H = YG(B) ≡ B mod 2C, luego (8), se tiene. De la relacion de congruencia(2,8), tenemos que, H = YG(B) ≡ YA(B) = C mod G − A. Por (5), tenemos que,F | G − A, luego F | H − C, es decir, H ≡ C mod F ; de esta manera, (7) setiene.

Capıtulo 3

Coeficientes exponenciales ybinomiales

3.1. Introduccion

En este capıtulo veremos que las relaciones ternarıas, m = kn y m =(

nk

), son

relaciones diofantinas. Con la teorıa de los capıtulos anteriores podemos ver algunosresultados.

Observacion 3.1.1. La relacion ternaria, y = Ya(n) es diofantina.

Demostracion: Por el lema 2.3.14, si y = Ya(n), para a, n, y ∈ Z con a > 1, existeD,H ∈ Z, tal que:

D2 − (a2 − 1)y2 = 1, H ≡ n mod 2y.

Es decir, por la ecuacion (1,7):

y = Ya(n)⇔(∃D)[D2 − (a2 − 1)y2 − 1 = 0] y

(∃H, x)[(H − n− 2yx)(H − n+ 2yx) = 0].

Por las propiedades (1,6) y (1,8), la anterior expresion es equivalente a:

y = Ya(n)⇔ (∃D,H, x)[(D2 − (a2 − 1)y2 − 1)2

+ (H − n− 2yx)2(H − n+ 2yx)2 = 0].

Repetimos el procedimiento para las demas variables necesarias y las juntamos demanera analoga a las ya vistas usando el lema 2.3.14 reiteradamente. Ası, en virtudde la definicion 1.2.2 , tenemos que la relacion, y = Ya(n), es diofantina.

35

COEFICIENTES EXPONENCIALES Y BINOMIALES 36

De manera analoga, podemos ver que la relacion x = Xa(n) es diofantina, usando ellema 2.3.14 y la ecuacion (2,4). Usando el procedimiento anterior podemos ver queotras relaciones son diofantinas. Saber que y = Ya(n) y x = Xa(n) son diofantinases util para ver que las relaciones m = kn y m =

(nk

)tambien lo son, usando la

ecuacion (1,10) y (1,11).

3.2. Relaciones exponenciales y binomiales

Lema 3.2.1. Si 2 ≤ k entonces, kn < (2k − 1)n.


Lema 3.2.2. Sea 1 ≤ n, 2 ≤ k. Supongamos que existe a tal que a ≥ Yk(n + 1),entonces:

kn = rem(Xa(n)− (a− k)Ya(n), 2ak − k2 − 1). (3.1)

Demostracion: De la ecuacion (2,10) y del lema 3.2.1 tenemos que:

k ≤ kn < (2k − 1)n < Yk(n) ≤ a,

luego tenemos que k < a y kn < a, ası k + 1 ≤ a, por lo tanto,

a < ak < ak + k − 1 = ak + k2 − k2 + k − 1

= ak + k(k + 1)− k2 − 1

≤ ak + ak − k2 − 1

= 2ak − k2 − 1.

Ası tenemos que kn < 2ak − k2 − 1, pero por el lema 2.3.5,

kn ≡ Xa(n)− (a− k)Ya(n) mod 2ak − k2 − 1

luego, por la ecuacion (1,10) tenemos que:

kn = rem(Xa(n)− (a− k)Ya(n), 2ak − k2 − 1). (3.2)

Por el lema 3.2.2, m = kn si y solo si, existe a tal que:

kn ≡Xa(n)− (a− k)Ya(n) mod 2ak − k2 − 1, m <a, a ≥ Yk(n) (3.3)

Por los lemas 3.2.2, 2.3.14, las ecuaciones (1,4), (1,10) y la propiedad (1,8) podemosver que la relacion exponencial m = kn es diofantina, aplicando el mismo proced-imiento de la observacion 3.1.1.


Teorema 3.2.1 (Teorema generalizado del Binomio). Sea A un anillo con-mutativo con unidad, entonces para a, b ∈ A y n ∈ N tenemos que:

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk,

(n

k

)=

n!

k!(n− k)!. (3.4)

Demostracion: La demostracion es analoga a la del caso real.

Lema 3.2.3. Sea n ≥ 0, entonces:

2n =n∑

k=0

(n

k

)(3.5)

Demostracion: Por la ecuacion (3,4) tenemos que:

2n = (1 + 1)n =n∑

k=0

(n

k

)1n−k1k =

n∑k=0

(n

k

)

Definicion 3.2.1. Sea x ∈ R, el numero [x] se denomina la parte entera de x, elcual es el mayor entero menor o igual que x.

Lema 3.2.4. Sea y = a+ x con a ∈ Z y x ∈ R, entonces:

[y] = a+ [x].


Ahora veremos que el coeficiente binomial, m =(

nk

), es una relacion diofantina.

Lema 3.2.5. Para 0 ≤ k < n y u > 2n tenemos que:(n

k

)= rem

([(1 + u)n

uk

], u

). (3.6)

Demostracion: Por la ecuacion (3,4) tenemos que:

(1 + u)n

uk=

∑ni=0

(ni

)1n−iui

uk=

∑k−1i=0

(ni

)ui

uk+

(nk

)uk

uk+

∑ni=k+1

(ni

)ui

uk

=k−1∑i=0

(n

i

)ui−k +

(n

k

)+

n∑i=k+1

(n

i

)ui−k.


Ahora, si i ≤ k− 1, es trivial ver que ui−k+1 ≤ 1, ası ui−k ≤ 1u, luego por la anterior

afirmacion y (3,5) tenemos que:

k−1∑i=0

(n

i

)ui−k ≤

k−1∑i=0

(n

i

)1

u≤ 1

u

n∑i=0

(n

i

)=

2n

u< 1. (3.7)

Por lo tanto, usando el lema 3.2.4,[(1 + u)n

uk

]=

[k−1∑i=0

(n

i

)ui−k

]+

(n

k

)+

n∑i=k+1

(n

i

)ui−k

= 0 +

(n

k

)+

n∑i=k+1

(n

i

)ui−k

=

(n

k

)+ u

n∑i=k+1

(n

i

)ui−k−1.

Ası, [(1 + u)n

uk

]≡(n

k

)mod u, (3.8)

pero es evidente que(

nk

)≤ 2n < u, ası usando (1,10) tenemos que:(

n

k

)= rem

([(1 + u)n

uk

], u

).

Por el lema 3.2.5 existe y tal que q −(

nk

)= uy, donde q =

[(1+u)n

uk

], ası, por

la ecuacıon (1,11), existe x < uk, tal que uk = (1 + u)n − quk + x, luego, uk =(1 + u)n −

[uy +

(nk

)]uk + x. Entonces (1 + u)n = yuk+1 + uk

(nk

)+ (uk − x). Por lo

tanto, m =(

nk

)si y solo si, existen u, x e y tales que:

(1 + u)n = yuk+1 +muk + (uk − x), m < u, x < uk y 2n < u. (3.9)

Por los lemas 3.2.5, 3.2.2, 2.3.14 y las ecuaciones (1,10) y (1,11), tenemos que lerelacion binomial, m =

(nk

), es diofantina. Enunciaremos un teorema que nos sera de

gran ayuda mas adelante.


Teorema 3.2.2. Sea g > 1. Entonces cada entero a > 0 se puede expresar demanera unica en la forma:

a = c0 + c1g + c2g2 + ...+ cng

n (3.10)

donde, 0 ≤ ci < g con 0 ≤ i ≤ n.

La demostracion del teorema ?? es algo extensa y tecnica. Esta prueba se puedeencontrar con todos los detalles en [?] o en [?].Cuando a ≥ 0 tiene la forma (3,10), se dice que a esta escrito en base g, a los valores cise le denominan los dıgitos de a en base g. Dada la unicidad que garantiza el teorema??, dos numeros escritos en base g son iguales si y solo si sus correspondientes dıgitosson iguales.

Definicion 3.2.2. Sean r y s dos enteros no negativos escritos en base 2 (base bina-ria). Entonces r � s si cada dıgito binario de r es menor o igual que el correpondientedıgito de s, es decir, si

r = r0 + r12 + r222 + ...+ rn2n

ys = s0 + s12 + s22

2 + ...+ sn2n

entoncesr � s⇔ ri ≤ si, para 0 ≤ i ≤ n.

La relacion, “�”, se le denomina bit masking1. Es facil ver que esta relacion es unarelacion de orden parcial, es decir reflexiva, antisimetrica y transitiva. Ademas, sir � s entonces r ≤ s. A partir de esta nueva relacion podemos definir la conjuncionlogica de dos numeros y viceversa de la siguiente manera:

a � b⇔ a ∧ b = a, (3.11)

a ∧ b = c⇔ c � a y a � a+ b− c. (3.12)

Ahora recordaremos algunas definiciones y resultados del Algebra y la Teorıa deNumeros.

1Este termino es propio de los autores del artıculo que se basa este documento. No encontre unatraduccion apropiada para este termino (Nota del autor).


Definicion 3.2.3. Sea p un primo, Zp es el conjunto definido por:

Zp = {0, 1, ..., p− 1} (3.13)

donder = {a ∈ Z : a ≡ r mod p}. (3.14)

Luego, si a ∈ r, entonces a = r. Se puede definir una suma y un producto sobre Zp

de la manera natural:

r ⊗ s = rs, r ⊕ s = r + s (3.15)

Un ejercicio clasico del algebra, es ver que (Zp,⊕,⊗) es un anillo con identidadconmutativo.

Definicion 3.2.4. Sea p un primo, Zp[x] es el conjunto de los polinomios en x concoeficientes en Zp.

Con las operaciones de suma y producto de Zp es facil ver que (Zp[x],⊕,⊗) es unanillo con identidad conmutativo.

Lema 3.2.6. Sea p primo y 0 ≤ k < p, entonces:(p

k

)≡ 0 mod p. (3.16)

Con este lema y el teorema generalizado del binomio, es facil probar el siguientelema:

Lema 3.2.7. Sean x, y ∈ Z y p primo, entonces:

(a+ b)p ≡ ap + bp mod p, (3.17)

ası (a+ b)p = ap + bp en Zp, luego esto tambien es cierto en Zp[x]

Los siguientes resultados permitiran ver que � es diofantina.

Lema 3.2.8 (H. Anton). Sea p un primo. Supongamos que 0 ≤ b < p y 0 ≤ d < p,entonces (

ap+ b

cp+ d

)≡(a

c

)(b

d

)mod p. (3.18)


Demostracion: Trabajemos en el anillo Zp[x], por la igualdad (x+ y)p = xp + yp

y por el teorema generalizado del Binomio tenemos que:

ap+b∑n=0

(ap+ b

n

)xn = (1 + x)ap+b

= (1 + x)ap(1 + x)b

= (1 + xp)a(1 + x)b

=

[a∑

j=0

(a

j

)xjp

][b∑

i=0

(b

i

)xi

].

El coeficiente de xcp+d debe ser el mismo en ambos polinomios, es decir, cuandojp+i = cp+d, entonces, (j−c)p = (d−i). Por lo tanto p | (d−i), pero 0 ≤ i ≤ b < py 0 ≤ d < p entonces d− i < p, luego d− i = 0, asi d = i, asi j = c. En consecuencia,el coeficiente de xcp+d en ambos lados son

(ap+dcp+d

)y(

ac

)(bd

), entonces

(ap+dcp+d

)=(

ac

)(bd

)en Zp[x], ası (

ap+ d

cp+ d

)≡(a

c

)(b

d

)mod p.

Teorema 3.2.3 (E. Lucas). Sea p primo, s y r enteros no negativos escritos enla forma:

r = r0 + r1p+ r2p2 + ...+ rnp

n,

ys = s0 + s1p+ s2p

2 + ...+ snpn

entonces, (s

r

)≡(sn

rn

)· · ·(s0

r0

)mod p. (3.19)

Demostracion: Por induccion sobre n. La congruencia es valida para n = 1 por ellema 3.2.8 . Supongamos valida la congruencia para n = k, y veamos que es valida


para n = k + 1.(s

r

)=

(s0 + s1p+ s2p

2 + ...+ skpk + sk+1p

k+1

r0 + r1p+ r2p2 + ...+ rkpk + rk+1pk+1

)=

(s0 + (s1 + s2p+ ...+ skp

k−1 + sk+1pk)p

r0 + (r1 + r2p+ ...+ rkpk−1 + rk+1pk)p

)≡(s1 + s2p+ ...+ skp

k−1 + sk+1pk

r1 + r2p+ ...+ rkpk−1 + rk+1pk

)(s0

r0

)mod p (Por el lema 3.2.7)

≡(s1

r1

)· · ·(sk+1

rk+1

)(s0

r0

)mod p ( Por hipoteis de induccion)

=

(s0

r0

)(s1

r1

)· · ·(sk+1

rk+1

)mod p.

La congruencia es entonces valida para n = k + 1, por lo tanto, es valida para todon.

Usando la definicion de(

nk

)y que

(n+1

k

)=(

nk

)+(

nk−1

)es facil ver que:(

1

1

)= 1,

(1

0

)= 1,

(0

0

)= 1,

(0

1

)= 0 (3.20)

Lema 3.2.9. Sean r, s ∈ Z, escritos en base 2, entonces:

r � s↔(s

r

)≡ 1 mod 2. (3.21)

Demostracion: Sear = r0 + r12 + ...+ rn2n

ys = s0 + s12 + ...+ sn2n,

los valores de ri y si con 0 ≤ i ≤ n solo pueden ser 0 o 1. Haciendo p = 2 en elteorema 3.2.3 tenemos que:(

s

r

)≡(sn

rn

)· · ·(s0

r0

)mod 2.

Como r � s entonces ri ≤ si , luego no se dara el caso(

si

ri

)=(01

)= 0, por lo tanto,

todos los valores de(

si

ri

)son iguales a 1, ası(

s

r

)≡ 1 mod 2.


Del lema 3.2.9, junto con el lema 3.2.5 y la ecuaciones (1,10) y (1,11) se concluyeque, � es diofantina.

Capıtulo 4

Aritmetizacion de maquinasilimitadas de registro

“What shall we think of an engine of wood and metal which can notonly compute astronomical and navigation tables to any given extent, butrender the exactitude of its operations mathematically certain through itspower of correcting its possible errors?...”

Edgar Allan Poe, Maelzel’s Chess-Player.

4.1. Maquinas ilimitadas de registro, programas

y funciones calculables

La idealizacion matematica de un computador que usaremos todo el tiempo se de-nomina maquina ilimitada de registro (URM)1. La URM tiene un infinito numerode registros, R1, R2, R3, R4, R5, R6..., cada uno de los cuales contiene a la vez, encualquier momento, un entero no negativo o cero. Denotamos como rn el valor con-tenido en Rn. Esto puede ser representado de la siguiente manera:

R1 R2 R3 R4 R5 R6 ...r1 r2 r3 r4 r5 r6 ...

Los contenidos de los registros pueden ser alterados por la URM en respuesta aun numero finito de ciertas instrucciones. Estas instrucciones las designamos como:

1En ingles: Unlimited Register Machine.

44

ARITMETIZACION DE MAQUINAS ILIMITADAS DE REGISTRO 45

L1, L2, L3..., Ls. Describimos el funcionamiento de una URM por medio de estasinstrucciones bajo un programa, P = {L1, L2, L3, ..., Ls}. Un programa realiza lasintrucciones de manera ordenada, segun el correspondiente ındice de la instruccion.Veamos las instrucciones que usaremos de aquı en adelante.

Li SI Rj = 0, IR A Lk. (4.1)

Li+1 SINO Rj ← Rj − 1. (4.2)

Estas instrucciones comprueban que el contenido de un registro sea cero; si lo es, setransfiere a la instruccion Lk; de lo contrario, substrae 1 de dicho valor. Es evidenteque en esta intruccion nunca se substrae 1 de cero.

Instr. Comando Interpretacion Enum.Li IR A Lk Se transfiere a la instruccion Lk (4.3)Li SI 0 < Rj, IR A Lk Transferencia condicional a Lk (4.4)Li Rj ← Rj + 1 Incrementa en 1 el valor contenido en Rj (4.5)Li Rj ← Rj − 1 Decrementa en 1 el valor contenido Rj (4.6)

La URM, bajo un programa P = {L1, L2, L3, ..., Ls}, procede hasta donde sea posi-ble; la computacion se detiene unicamente cuando no existe intruccion siguiente; esdecir, la URM se detiene cuando se solicita la instruccion Lk y Lk 6∈ P o k > s.Decimos que el calculo se detiene despues de la instruccion Lk. Los valores inicialesde R1, R2, ... al comenzar el calculo de la URM se denominan, configuracion inicialo entrada de la URM. Los valores de R1, R2, R3, ..., al terminar el calculo de la URMse denominan, configuracion final o salida de la URM. . Daremos algunas notacionesque seran utiles mas adelante.

Definicion 4.1.1. Sea una URM bajo un programa P , sea r1, r2, ... una sucesionde numeros naturales, entonces:

1. P (r1, r2, ...) expresa que el calculo bajo P , tiene configuracion inicial r1, r2, ....

2. P (r1, r2, ...) ↓ expresa que el calculo P (r1, r2, ...) se detiene.

3. P (r1, r2, ...) ↑ expresa que el calculo P (r1, r2, ...) nunca se detiene.Nosotros solo consideraremos la configuracion inicial de la URM finita; estoes, solo consideraremos finitos valores de entrada. Ası la siguiente notacion nossera muy util. Sea r1, r2, ..., rn ∈ N, entonces:

4. P (r1, r2, ..., rn) es equivalente a P (r1, r2, ..., rn, 0, 0, 0, ...).


5. P (r1, r2, ..., rn) ↓ expresa que P (r1, r2, ..., rn, 0, 0, 0, ...) ↓.

6. P (r1, r2, ..., rn) ↑ expresa que P (r1, r2, ..., rn, 0, 0, 0, ...) ↑.

Ejemplo 4.1.1. Una URM que calcula el n-esimo numero de la sucesion de Fi-bonacci. Esta sucesion esta definida por medio de F0 = 0, F1 = 1, y Fx = Fx−1 +Fx−2, si x ≥ 2. Los primeros ocho valores de esta sucesion son: 0,1,1,2,3,5,8,11,.... Se han escrito dos o mas comandos en una misma instruccion para simplificar laprueba.

L1 SI R1 = 0, IR A L20.

L2 R2 ← R2 + 1, R3 ← R3 + 1.

L3 R1 ← R1 − 1.

L4 SI R1 = 0, IR A L16.

L5 R1 ← R1 − 1.

L6 R4 ← R4 + 1, R5 ← R5 + 1.

L7 R3 ← R3 − 1.

L8 SI 0 < R3 IR A L6.

L9 R4 ← R4 + 1, R2 ← R2 − 1.

L10 SI 0 < R2, IR A L9.

L11 R3 ← R3 + 1, R4 ← R4 − 1.

L12 SI 0 < R4, IR A L11.

L13 R2 ← R2 + 1, R5 ← R5 − 1.

L14 SI 0 < R5, IR A L13.

L15 SI 0 < R1, IR A L5.

L16 R3 ← R3 − 1.

L17 SI 0 < R3, IR A L16.


L18 R2 ← R2 − 1, R1 ← R1 + 1.

L19 SI 0 < R2, IR A L18.

En el ejemplo 4.1.1 el numero de registros necesarios es 5, el numero de instrucciones19, en realidad se necesitan 20 instrucciones; la instruccion 20 se usa para detenerel programa. La configuracion inicial es: en R1 esta x, el ındice del numero deFibonnaci que se quiere calcular, y en los demas registros cero; la configuracionfinal es: en R1 esta Fx, el numero de Fibonnaci correspondiente al valor inicial ycero en los demas registros. Si la configuracion inicial es P (2, 0, 0, 0, 0), tenemos losresultados resumidos en la tabla 4.1.1, los cuales se obtuvieron al implementar elprograma del ejemplo 4.1.1 en C2.Supongamos ahora que f es una funcion de Nn a N, ¿que hace que f sea calculablepor una URM?. Lo mas natural es ver si es posible calcular f(r1, ..., rn) por medio deuna URM bajo un programa P , con una configuracion inicial r1, ..., rn, 0, 0, .... Estoes, consideraremos un calculo de la forma P (r1, ..., rn) y al final consideraremos(a menos que se diga otra cosa) unicamente el valor final de R1, y los demas losignoraremos. Tambien es posible que P (r1, ..., rn) nunca se detenga. Ası, definiremosla nocion de calculabilidad de funciones parciales de Nn a N, es decir, funciones fcuyo dominio no necesariamente es todo Nn.

Definicion 4.1.2. Sea f una funcion parcial de Nn a N.

1. Suponga P un programa , y sea r1, ..., rn, b ∈ N.

a) El calculo P (r1, ..., rn) converge a b si P (r1, ..., rn) ↓ y la configuracionfinal tiene a b en R1, esto lo denotamos como P (r1, ..., rn) ↓ b

b) P URM-calcula a f si, para todo r1, ..., rn, b tenemos que: P (r1, ..., rn) ↓ bsi y solo si (r1, ..., rn) ∈ Dom(f) y f(r1, ..., rn) = b. (En particular, estodice que P (r1, ..., rn) ↓ si y solo si (r1, ..., rn) ∈ Dom(f)).

2. La funcion f es URM-calculable o URM-computable, si existe un programaque URM-calcule a f .

Ası, f es calculable o computable si es URM-calculable.

Definimos la clase de todas las funciones calculables por C, y la clase de la funcionesn-arias calculables por Cn.

2Un editor y compilador de programas. Se obtienen los mismos resultados usando Pascal, Basic,Matlab o cualquier otro compilador.


Paso Linea Ejecutada Valor R1 Valor R2 Valor R3 Valor R4 Valor R5

1 L1 2 0 0 0 02 L2 2 0 0 0 03 L3 2 1 1 0 04 L4 1 1 1 0 05 L5 1 1 1 0 06 L6 0 1 1 0 07 L7 0 1 1 1 18 L8 0 1 0 1 19 L9 0 1 0 1 110 L10 0 0 0 2 111 L11 0 0 0 2 112 L12 0 0 1 1 113 L11 0 0 1 1 114 L12 0 0 2 0 115 L13 0 0 2 0 116 L14 0 1 2 0 017 L15 0 1 2 0 018 L16 0 1 2 0 019 L17 0 1 1 0 020 L16 0 1 1 0 021 L17 0 1 0 0 022 L18 0 1 0 0 023 L19 1 0 0 0 024 L20 1 0 0 0 0

Cuadro 4.1: Datos obtenidos al ejecutar el programa del ejemplo 4.1.1 .


Es posible que se utilice otro registro como entrada-salida diferente a R1, sin embargola definicion ?? es tambien valida para este registro.Por lo tanto, la funcion f(x) = Fx, que calcula el x-esimo numero de la sucesion deFibonacci es calculable por la URM M , del ejemplo 4.1.1.

4.2. Aritmetizacion de una URM

Para aritmetizar el trabajo de una URM, usaremos los dıgitos de un numero escritoen base Q, donde Q es potencia de 2, denotemos esto como: Q pow 2.Consideremos la URM del ejemplo 4.1.1, o mas en general M , una URM con rregistros y l lıneas en su correspondiente programa. Asumamos que M calcula com-pletamente la funcion y = f(x). Observemos que las instrucciones que establecimosen la seccion 4.1 a lo sumo aumentan en 1 los valores de los registros en cada pasot; luego, si el programa ha realizado s pasos en su calculo, entonces a lo sumo seaumentaran los valores de los registros en s. Ası el valor del registro Ri, llamemoslori, sera menor o igual a ri + s. Si la configuracion inicial tiene el valor x en R1 yceros en los demas registros, entonces, cada valor en Ri sera siempre menor o iguala x+ s. Por lo tanto, el maximo valor de todos los registros es x+ s.Supongamos que M obtiene el valor de y = f(x) despues de s pasos. Sea ri,t el valoren el registro Ri en el paso t, durante el proceso del calculo. Si Q es lo suficientementegrande tal que, ri,t < Q, entonces podemos considerar los valores ri,t como dıgitos deun numero escrito en base Q. Aunque necesitamos ser mas exigentes (mas adelanteveremos la justificacion); necesitamos que 2ri,t < Q, es decir ri,t <

Q2, y usando

la propiedad del elemento maximo tenemos que x + s < Q2. Ası, necesitamos un

elemento Q que satisfaga:

x+ s <Q

2(4.7)

l + 1 < Q (4.8)

Q pow 2 (4.9)

Un excelente candidato es Q = 2x+s+l+1; ya que es lo suficientemente grande y esevidente que satisface (4, 7), (4, 8) y (4, 9). Para describir la ubicacion del la URMen el programa en cada paso, definimos:

li,t =

{1, si se ejecuto la instruccion Li en el paso t.

0, en caso contrario.


Ası, mediante las anteriores definiciones, el calculo de la maquina M despues de spasos genera numeros Rj y Li, donde:

Rj =s∑

t=0

rj,tQt

(0 ≤ rj,t <

Q

2

), (4.10)

Li =s∑

t=0

li,tQt (0 ≤ li,t ≤ 1) . (4.11)

El ındice j esta entre 1 y r, donde r es el menor numero de registros usados por laURM; y el ındice i, esta entre 1 y l, donde l es el numero de instrucciones usadaspor la URM.

Lema 4.2.1.s∑

t=0

Qt =Qs+1 − 1

Q− 1, Q 6= 1. (4.12)

La demostracion del lema 4.2.1 es un resultado facil por induccion sobre s. Usaremoseste resultado para obtener un numero I que este escrito en base Q y que tiene todossus dıgitos iguales a 1. Por el lema 4.2.1 tenemos que:

Si 1 + (Q− 1)I = Qs+1, entonces I =s∑

t=0

Qs (4.13)

Para ver el funcionamiento de la aritmetizacion de una URM, consideremos lamaquina M del ejemplo 4.1.1 que tiene r = 5 registros y l = 19 instruccionesen su programa. Comenzamos con la configuracion inicial; x = 2 en el registro R1

y cero en los demas registros. Como se aprecia en la tabla 4.1.1, el programa se hadetenido despues de s = 23 pasos y con una configuracion final: 1 en el registro R1

y cero en los demas registros. Pero F2 = 1; es decir, el programa, como se esperaba,obtuvo el resultado correcto. Durante el calculo de F2 la maquina genero los numerosR1,R2,R3,R4,R5, que representan los contenidos de los correspondientes registrosen todos los pasos en el sentido de (4,10). Estos numeros escritos en base Q, puedenverse como sigue:

R1 = 110000000000000000011222,

R2 = 001111111000000111111100,

R3 = 000011222221100001111100,

R4 = 000000000001122111000000,

R5 = 000000000111111111000000.


Observemos que el valor de R1 corresponde a la columna correspondiente a R1 enla tabla 4.1.1 y analogamente con los demas registros. Similarmente los numerosL1,L2, ...,L20, que representan las localizaciones del programa al calcular F2, en elsentido de (4,11), son generados por la URM. Estos numeros escritos en base Qpueden verse de esta manera:

L1 = 000000000000000000000001,

L2 = 000000000000000000000010,

L3 = 000000000000000000000100,

L4 = 000000000000000000001000,

L5 = 000000000000000000010000,

L6 = 000000000000000000100000,

L7 = 000000000000000001000000,

L8 = 000000000000000010000000,

L9 = 000000000000000100000000,

L10 = 000000000000001000000000,

L11 = 000000000001010000000000,

L12 = 000000000010100000000000,

L13 = 000000000100000000000000,

L14 = 000000001000000000000000,

L15 = 000000010000000000000000,

L16 = 000010100000000000000000,

L17 = 000101000000000000000000,

L18 = 001000000000000000000000,

L19 = 010000000000000000000000,

L20 = 100000000000000000000000.

El numero de cifras contado de derecha a izquierda, corresponde al numero de pasosque necesito el programa para detenerse; ası, el numero correspondiente al orden dela cifra es el paso del calculo de la URM de F2; por ejemplo, en el paso numero 5del calculo el valor del registro contenido en R2 es 1, y se ejecuto la instruccion L5.Ahora tenemos que la URM, M del ejemplo 4,1,1 con un valor de entrada x producela salida y = f(x) (donde y = Fx) si y solo si, existen valores L1, ....,L20,R1,R2,


R3,R4,R5, s, Q; estos ultimos valores pueden escribirse, usando los metodos de loscapıtulos 1,2 y 3, como relaciones diofantinas. Ası el calculo de y = f(x) es unarelacion diofantina.De aquı en adelante al referirnos a una URM, usaremos el termino maquina. Engeneral, una maquina M con una entrada x, produce la salida y = f(x) si y solo siexisten L1, ...,Ll+1, R1, ...,Rr,s,Q, I. Los valores l y r son constantes (por ejemplol = 19, y r = 5 en el ejemplo 4.1.1). De esta manera usamos los metodos conocidosen los capıtulos anteriores para llevar estos valores desconocidos a ecuaciones dio-fantinas, que a su vez, producen mas variables desconocidas. Los valores x e y serıanlos parametros de la ecuacion.Para forzar cualquier valor Rj a tener la forma (4,10) usamos la relacion binaria:

Rj �(Q

2− 1

)I, (j = 1, ..., r). (4.14)

Observacion 4.2.1. Si Rj �(

Q2− 1)I, Rj =

∑st=0 rj,tQ

t e I =∑s

t=0Qt entonces

0 ≤ rj,t <Q2, donde 0 ≤ t ≤ s.

Demostracion:

Rj =s∑

t=0

rj,tQt �

(Q

2− 1

) s∑t=0

Qt.

Si escribimos a rj,t y a Q2− 1 en base 2, esto es

rj,t =m∑

k=0

αt,k(j)2k

yQ

2− 1 =

n∑i=0

qi2i,

con 0 ≤ αt, k(j) ≤ 1 y 0 ≤ qi ≤ 1. Entonces

s∑t=0

(m∑

k=0

αt,k(j)2k

)Qt �

(n∑

i=0

qi2i

)s∑

t=0

Qt.

En ambos lados de esta relacion binaria tenemos dos numeros escritos en base 2. Al


expandir un poco las sumas y considerar solo el valor t = t1, tenemos que:

t1−1∑t=0

(m∑

k=0

αt,k(j)2k

)Qt +

m∑k=0

αt1,k(j)2kQt1 +

s∑t=t1+1

(m∑

k=0

αt,k(j)2k

)Qt

�

(n∑

i=0

qi2i

)t1−1∑t=0

Qt +n∑

i=0

qi2iQt1 +

(n∑

i=0

qi2i

)s∑

t=t1+1

Qt.

Supongamos m ≤ n (si m > n , no serıa valida la relacion). Entonces para t = t1,tenemos que

αt1,0(j) ≤ q0, αt1,1(j) ≤ q1, ..., αt1,m(j) ≤ qm.

Ası,

rj,t1 =m∑

k=0

αt1,1(j)2k ≤

n∑i=0

qi2i =

Q

2− 1 <

Q

2

por lo tanto

rj,t1 <Q

2.

Ahora necesitamos que la maquina realice una de las instrucciones L1, ..., Ll en cadapaso t; como l < Q, por (4,8) usamos las siguientes dos condiciones:

I =l+1∑i=1

Li, (4.15)

Li � I, (i = 1, ..., l + 1). (4.16)

Al escribir la ecuacion (4,15) en terminos de Q, tenemos que:

s∑t=0

Qt =l+1∑i=1

s∑t=0

li,tQt

=s∑

t=0

l1,tQt +

s∑t=0

l2,tQt + ...+

s∑t=0

ll+1,tQt

=s∑

t=0

(l1,t + l2,t + ...+ ll+1,t)Qt


ası, (4,16) en terminos de Q serıa:

s∑t=0

li,tQt �

s∑t=0

(l1,t + l2,t + ...+ ll+1,t)Qt

Con estas condiciones se esta garantizando que si se ejecuta la instruccion Li en eltiempo t (esto es, si li,t = 0), los demas valores lj,t, con j 6= i son todos cero; es decir,las demas instrucciones no se ejecutan. Ahora necesitamos que la maquina comienceen la instruccion L1; para esto usamos la condicion:

1 � L1 (4.17)

Para ver que esto funciona, escribimos (??) en terminos de Q. Luego

1 + 0Q+ 0Q2 + ...+ 0Qs � l1,1 + l1,2Q, ..., l1,sQs.

Por lo tanto, l1,1 = 1 y los demas valores de l1,t son ceros; ası la maquina ejecuta en elprimer paso la instruccion L1. Ahora procederemos a aritmetizar las instrucciones detipo IR A. Asumiendo que solo existe un comando de parada y que esta localizadoal final del programa, es decir en la instruccion Ll+1, entonces, la condicion para quela maquina se detenga despues de s pasos es

Ll+1 = Qs. (4.18)

Al escribir la ecuacion (??) en terminos de Q tenemos que

ll+1,0 + ll+1,1Q+ ...+ ll+1,sQs = Qs,

y podemos ver que ll+1,t = 0 para 0 ≤ t < s y ll+1,s = 1, es decir, solo se ejecuta laintruccion Ll+1 en el paso s.Para cada instruccion del tipo IR A (transferencia incondicional) de la forma Li

IR A Lk, incluimos la condicion

QLi � Lk, (4.19)

con 1 ≤ k ≤ l + 1, esto es,

li,0Q+ li,1Q2 + ...+ li,tQ

t+1 + ...+ li,sQs+1 �

lk,0 + lk,1Q+ ...+ lk,tQt + lk,t+1Q

t+1 + ...+ lk,sQs.


Luego, si se ejecuta la instruccion Li en el paso t, entonces li,t = 1. Por lo tanto,lk,t+1 = 1, y se ejecutarıa la instruccion Lk en el paso t+ 1.Este mismo metodo es util para ver que la aritmetizacion de la transferencia condi-cional, Li SI 0 < Rj, IR A Lk. (Asumamos k 6= i + 1 para evitar la trivialidad.)Aquı usamos las siguientes dos relaciones binarias:

QLi � Lk + Li+1 y QLi � Lk +QI − 2Rj. (4.20)

La primera relacion fuerza a que se ejecute la instruccion Lk o Li+1. La segundadecide cual de las dos se debe ejecutar. Para ver esto usemos el metodo utilizadoantes. Al escribir la segunda relacion de (??) en terminos de Q, tenemos que:

li,0Q+ li,1Q2 + ...+ li,tQ

t+1 + ...+ li,sQs+1 � lk,0 + lk,1Q+ ...+ lk,tQ

t

+ lk,t+1Qt+1 + ...+ lk,sQ

s

+ (Q− 2rj,0) + (Q− 2rj,1)Q+ ...

+ (Q− 2rj,t)Qt + ...+ (Q− 2rj,s)Q

s.

Ahora, suponiendo 0 < rj,t y como rj,t ≤ Q2, tenemos que

0 < Q− 2rj,t < Q.

Entonces Q− 2rj,t =∑n

i=0 αi,t(j)2i < Q; por lo tanto,

Q− 2rj,t =

(n∑

i=0

αi,t(j)2i

)Qt + 0Qt+1 < Qt+1.

Luego, si 0 < rj,t entonces el Qt+1-dıgito binario de Q − 2rj,t es cero, de aquı sededuce que si li,t = 1 el Qt+1 dıgito binario de Lk, lk,t+1 es 1 . La recıproca es ciertausando el mismo razonamiento; ası, lt+1 = 1 si y solo si 0 < rj,t. Al escribir laprimera relacion binaria en terminos de Q, tenemos que:

li,0Q+ li,1Q2 + ...+ li,tQ

t+1 + ...+ li,sQs+1 � (lk,0 + li+1,0) + (lk,1 + li+1,1)Q+ ...

+ (lk,t+1 + li+1,t+1)Qt+1 + ...

+ (lk,s + li+1,s)Qs+1.

Ası, la segunda relacion nos dice que lk.t+1 = 1 si rj,t > 0 o cero en otro caso, luegose ejecuta la instruccion Lk en el paso t + 1 si se cumple la condicion, o se ejecutaLi+1 en otro caso. Ahora es mas claro el por que era necesario que rj,t <

Q2.


Continuamos ahora con una instruccion de la forma Li SI Rj = 0, IR A Lk. Paraaritmetizar esta instruccion usamos las relaciones

QLi � Lk + Li+1 y QLi � Li+1 +QI − 2Rj. (4.21)

Si Rj = 0 en el paso t, entonces rj,t = 0, al utilizar un metodo analogo al anteriorpodemos ver que en el paso t

li,t ≤ li,t+1 + 1.

Luego, si li,t = 1 y rj,t = 0 entonces li,t+1 = 0; de aquı tenemos que lk,t+1 = 1.(Estamos asumiendo que k 6= i+ 1 para que la instruccion no sea trivial.)Ahora consideraremos instrucciones del tipo Li Rj ← Rj ± 1. Implıcitamente estaintruccion esta asociada con un comando del tipo IR A la siguiente instruccion.Luego para cada ocurrencia de ese tipo de instrucciones es necesaria la siguienterelacion:

QLi � Li+1. (4.22)

El comportamiento de esta relacion es analoga a las ya tratadas. Para finalizar,es necesario incluir para cada registro una ecuacion que encierre los valores de losregistros en cada paso t. Para tal proposito, usamos las siguientes ecuaciones de-nominadas ecuaciones de registro.

R1 + yQs+1 = QR1 + x+∑

k

QLk −∑

i

QLi, (4.23)

Rj = QRj +∑

k

QLk −∑

i

QLi, para j = 2, 3, ..., r. (4.24)

Las k-sumas estan sobre todo k para el cual existe una instruccion del tipo Lk

Rj ← Rj + 1 sobre la lınea Lk. Las i-sumas estan sobre todo i para el cual existeun comando del tipo Li Rj ← Rj − 1 sobre la lınea Li. La ecuacion de registro paraR1 es diferente de las otras ecuaciones debido a que R1 funciona como registro deentrada-salida (asumiendo funciones de una variable). Para ver como funcionan lasecuaciones de registro, usemos el programa del ejemplo 4.1.1 .En este ejemplo el numero de comandos de la forma Lk R1 ← R1 + 1 es uno y el dela forma Li R1 ← R1− 1 es dos, con s = 23. Al escribir la ecuacion de registro (??)


en terminos de Q, con x = 2 y f(2) = F2 = 1, tenemos que:

23∑t=0

r1,tQt + 1Q24 =

23∑t=0

r1,tQt+1 + 2 +QL18 −Q (L3 +QL5)

=23∑

t=0

r1,tQt+1 + 2 +

23∑t=0

(l18,t − l3,t − l5,t)Qt+1.

Si t = 0, al comparar los corresponientes dıgitos de la base Q, tenemos que r1,0 = 2;en el paso t = 4 tendrıamos que r1,4 = r1,3 + (l18,3− l3,3− l5,3) = 2 + (0− 1− 0) = 1;y en el paso t = 23, tendrıamos que 1 = r1,24 +(l18,24− l3,24− l5,24) = r1,24, ası vemosque la ecuacion de registro funciona. De esta misma manera podemos ver, en general,que la ecuacion de registro ??, muestra que el valor contenido en R1 en el paso t = 0es x e y en el paso t = s. Con las ecuaciones para los demas registros podemos verque los valores que contienen en esos pasos son cero. Si se necesitan mas registrosentrada-salida para el programa (por ejemplo m), se agregan mas ecuaciones deregistro del tipo de (??) , para R2, ..., Rm, y en vez de x se coloca x1, x2, ..., xm y dey, y1, ..., ym, segun sea el registro.

4.3. Todo conjunto recursivamente enumerable es

diofantino

Por induccion sobre t es facil ver que si la maquina M calcula la funcion f entonces,para todo x e y las relaciones y ecuaciones (4,7), (4,8), (4,9), (4,13)− (4, 24), tienensolucion en las variables desconocidas s,Q, I, R1, ...,Rr, L1, ...,Ll si y solo si f(x) =y.

Definicion 4.3.1 (Conjunto recursivamente enumerable). Un conjunto A ⊆Nm es recursivamente enumerable (r.e.) si y solo si A = ∅ o A es el rango de unafuncion calculable.

Intuitivamente A ⊆ Nn es r.e. si existe un algoritmo que genere todos los elementosde A. En particular, una relacion m-aria A, sobre Nm es diofantina si A comosubconjunto de Nm es diofantino.Ejemplos de conjuntos r.e. son: N, el conjunto de los numeros pares, 2N, y el conjuntode los numeros de Fibonacci.


Teorema 4.3.1 (Putman, Davis, Robinson, Matijasevic). Toda relacion re-cursivamente enumerable es diofantina. Esto es, toda relacion r.e. A(a1, ..., am) sobreNm puede ser representada en la forma:

A(a1, ..., am)⇔ (∃x1, ..., xn) [P (a1, ..., am, x1, ..., xn) = 0]. (4.25)

Donde P (y1, ..., ym, x1, ..., xn) es un polinomio con coeficientes en Z.

Demostracion: Los metodos de los capıtulos 1,2 y 3 nos permiten escribir lasrelaciones (ahora tomadas como condiciones) (4,7), (4,8), (4,9), (4,13)− (4, 24) comopolinomios en los valores desconocidos, s,Q, I, R1, ...,Rr, L1, ...,Ll, y mas variablesdesconocidas. Despues renombramos los valores desconocidos por x1, ..., xn, enviandotodos los terminos de las ecuaciones a un lado y usando la suma de cuadrados comoen (1,6). Ası obtenemos un solo polinomio P (x, y, x1, ..., xn) = 0, con la propiedadde que (∃x1, ..., xn) [P (x, y, x1, ..., xn) = 0] si y solo si f(x) = y. Supongamos A 6= ∅.Sea f una funcion computable como rango al conjunto A. Esto es, y ∈ A si y solosi (∃x) [f(x) = y]. Sea M una URM que calcule a f . Cuando A es una relacionunarıa, A(a1), tenemos que a1 ∈ A si y solo si (∃x) [f(x) = a1]. Por lo tanto, a1 ∈ Asi y solo si (∃x, x1, ..., xn) [P (x, a1, x1, ..., xn) = 0]. Cuando A es una relacion m-arıa, A(a1, ..., am) entonces tenemos que, (a1, ..., am) ∈ A si y solo si (∃x) [f(x) =(a1, ..., am)]. Entonces el polinomio P debe tener m copias de la ecuacion (??),reemplazando a yQs+1 por aiQ

s+1 con i = 1, ...,m. Por lo tanto (a1, ..., am) ∈ A setiene si y solo (∃x, x1, ..., xn) [P (x, a1, ..., am, x1, ..., xn) = 0]. Esto es, A(a1, ..., am) siy solo si (∃x, x1, ..., xn) [P (x, a1, ..., am, x1, ..., xn) = 0].

Capıtulo 5

El decimo problema de Hilbert notiene solucion

“10. Entscheidung der Losbarkeit einer diophantischen Gle-ichung. Eine diophantische Gleichung mit irgendwelchen Unbekanntenund mit ganzen rationalen Zahlkoefficienten sei vorgelegt: man soll einVerfahren angeben, nach welchen sich mittels einer endlichen Anzahl vonOperationen entscheiden lasst, ob die Gleichung in ganzen rationalenZahlen losbar ist.”

David Hilbert, Mathematische Problem.

5.1. Predicados deducibles, Tesis de Church y la

no solubilidad del problema de Hilbert

Definicion 5.1.1 (Predicados). Sea A un conjunto, una propiedad M(x1, ..., xn)que es verdadera para una n-tupla de a1, ...., an de A y es falsa para otras n-tuplasde A se denomina predicado sobre A.

Ejemplos de predicados sobre N son:

1. M(x, y) : x < y,

2. M(x, y, z) : x = yz.

59

EL DECIMO PROBLEMA DE HILBERT NO TIENE SOLUCION 60

Definicion 5.1.2 (Funcion caracterıstica de predicados). Sea M(x1, ..., xn) unn-ario predicado de numeros naturales. La funcion caracterıstica de M esta definidacomo (x = (x1, ..., xn)) :

cM(x) =

{1, si M(x) es verdadero,

0, si M(x) es falso.(5.1)

Definicion 5.1.3. Un predicado M(x) es deducible si la funcion cM(x1, ..., xn) escomputable; M(x) es indeducible si M(x) no es deducible.

Teorema 5.1.1. Un conjunto A es r.e. si y solo si existe un predicado R(x, y) talque

x ∈ A⇔ (∃y)[R(x, y)]

La demostracion del teorema ?? se puede ver en detalle en [?].

Definicion 5.1.4 (Funciones efectivamente calculables). Una funcion f de Nn

a N es efectivamente calculable si para un valor x ∈ Dom(f) se puede encontrar unalgoritmo (no necesariamente riguroso) tal que calcule el valor de y = f(x).

Observacion 5.1.1 (Tesis de Church). La clase de funciones efectivamente calcu-lables definida de manera intuitiva e informalmente, coincide con la clase C de lasfunciones URM-calculables.

Consideremos el problema de programar una maquina que devuelva el mayor numeroposible en el registro R1 y se detenga. Supongamos que la configuracion inicial delprograma P es cero en todos los registros. Sea R(l) el mayor valor generado medianteese proceso, por medio de una maquina con l instrucciones en su programa y con laconfiguracion inicial: cero en todos sus registros.

Observacion 5.1.2. Restringiendo instrucciones del tipo (4,1)− (4,2) y rechazandoparalelizacion de instrucciones1, R(l) es una funcion bien definida de l.

Observacion 5.1.3. Un conjunto finito totalmente ordenado tiene un maximo.

Observacion 5.1.4. Existen un numero finito de maquinas con l instrucciones ensu programa.

1Instrucciones del tipo Li Rj ← Rj + 1, Rk ← Rk + 1. Cada instruccion esta unicamenterelacionada con un solo registro.


La observacion ?? es cierta debido a que solo estamos considerando un maquinascon un numero finito de registros y un numero finito de instrucciones.Es trivial ver que R(1) = 1 y R(2) = 2. En la primera se utiliza un programa cuyaunica intruccion es el incremente en 1 de R1, en la segunda se utiliza dos veces estainstruccion.

Observacion 5.1.5. R(l) es una funcion estrictamente creciente en l. Esto es,R(l) < R(l + 1). Esto es facil de ver agregando la intruccion, R1 ← R1 + 1 alfinal del programa con l instrucciones.

Consideremos la siguiente relacion:

S = {(k, l) : k ≤ R(l)}. (5.2)

Ası

(k, l) ∈ S ⇔ (∃s)[Alguna URM con l instrucciones en su programa

se detiene despues de s pasos, con contenido en R1 ≥ k]. (5.3)

Esta relacion es no vacıa, ya que (1, R(1)) y (2, R(2)) pertenecen a ella.

Observacion 5.1.6. Por (??), S es r.e. .

Demostracion: Consideremos el predicado

M(k, l, s) : Alguna URM con l instrucciones en su programa se detiene despues

de s pasos, con contenido R1 ≥ k.

Este predicado es deducible, usando el siguiente algoritmo: Si existe alguna URMcon l lıneas en su programa y se detiene despues de s pasos con contenido de R1 ≥ kentonces cM(k, l, s) = 1; de lo contrario, cM(k, l, s) = 0. Ası la funcion caracterısticade M

cM(k, l, s) =

{1 si M(k, l, s) es verdadero,

0 si M(k, l, s) es falso.

es una funcion efectivamente calculable. Usando la Tesis de Church, tenemos quecM es URM-calculable; por lo tanto es calculable. Por el teorema ??, S es r.e. .

La funcion R(l) puede ser definida de la siguiente manera:

R(l) = mınk

[¬S(k + 1, l)] (5.4)


Esta funcion devuelve el menor valor de k tal que para toda maquina con l lıneasen su programa se detiene en s pasos y el contenido de R1 < k + 1.Como S es r.e., aplicamos el teorema 4.3.1 y obtenemos

S(k, l)⇔ (∃x1, ..., xn)[P (k, l, x1, ..., xn) = 0]. (5.5)

Ası,R(l) = mın

k[¬(∃x1, ..., xn)[P (k + 1, l, x1, ..., xn) = 0]]. (5.6)

Lema 5.1.1 (T. Rado). Sea f cualquier funcion calculable. Entonces, para l sufi-cientemente grande, f(l) < R(l).

Demostracion: Sin perdida de generalidad asumamos que f es una funcion cre-ciente. Sea N una maquina que calcule la funcion f . Supongamos que N tiene cinstrucciones en su programa. Sea F la maquina obtenida al adherir la instruccionR1 ← R1 + 1 al final del programa de N . Entonces F tiene c + 1 instrucciones ycalcula el valor f(x) + 1. Consideremos una maquina D con 5 instrucciones en suprograma que tenga la propiedad que comience con x en el registro R2 y cero en R1

y que coloque 2x en R1 y luego se detenga. El programa de D puede tener la forma:

L1 SI R2 = 0 IR A L6,

L2 R2 ← R2 − 1,

L3 R1 ← R1 + 1,

L4 R1 ← R1 + 1,

L5 IR A L1.

Para cada x, sea Mx una maquina que tenga la propiedad que cuando comience elcalculo, tenga a cero en R2 y al terminar tenga a x en R2. Por ejemplo, Mx puedeser tomada como una URM que tenga extrictamente x copias de la instruccionR2 ← R2 + 1 en su programa. Ahora consideremos la maquina F (D(Mx)), estanotacion significa que Mx es seguida por D y luego esta es seguida por F . F (D(Mx))tiene exactamente x+ 6 + c intrucciones en su programa. Y tiene la propiedad quepara cada x con todos sus registros cero al comenzar, produce el valor f(2x) + 1 yse detiene. Ası el mayor valor producido por esta maquina con x+6+ c intruccionesen su programa es R(x+ 6 + c) = f(2x) + 1. Luego

f(2x) < R(x+ 6 + c) (5.7)


para cada x. Cuando x ≥ 6+c entonces x+6+c ≤ 2x. Como f es creciente tenemosque

f(x+ 6 + c) ≤ f(2x). (5.8)

Sea l = x+6+ c; si l ≥ 12+12c tendrıamos x ≥ 6+ c, ası serıan ciertas para x (??)y (??). Luego

f(l) = f(x+ 6 + c) ≤ f(2x) < R(x+ 6 + c) = R(l).

El lema ha sido probado.

Teorema 5.1.2. No existe un algoritmo que resuelva el decimo problema de Hilbert.

Demostracion: Supongamos que existe un algoritmo que resuelva el decimo pro-blema de Hilbert. Es decir, supongamos que existe un procedimiento mecanicoque en un numero finito de pasos permita decidir si una ecuacion diofantina tienesoluciones enteras o no. Ası la funcion R de (??) es calculable. Por el lema ?? ten-drıamos que para l suficientemente grande, R(l) < R(l); absurdo!!. Ası el decimoproblema de Hilbert no tiene solucion.

Con este teorema hemos logrado el objetivo principal de este trabajo

Capıtulo 6

Un par de consecuencias

“Algunos matematicos han estado siempre convencidos de que demostra-ban verdades o proposiciones verdaderas; una conviccion de este tipo nopuede ser, evidentemente, mas que de orden sentimental o metafısico, yno es precisamente colocandose en el terreno de la matematica como sele puede justificar, ni siquiera como puede darsele un sentido que no laconvierta en una tautologıa.”

Nicolas Bourbaki - Elementos de la historia de lasmatematicas.

En el capıtulo 5 demostramos que no existe un algoritmo que solucione el decimoproblema de Hilbert. Aunque se trata de un resultado negativo, existen dos in-teresantes y sorprendentes consecuencias.

Teorema 6.0.3 (H. Putman). Sea f cualquier funcion calculable. Entonces existeun polinomio Q, con coeficientes enteros, tal que para cualquier par de enteros nonegativos x e y

f(x) = y ↔ (∃x0, ..., xn)[Q(x, x0, ..., xn) = y]. (6.1)

Demostracion: Como f es una funcion calculable, el grafo de f , {(x, f(x)) : x ∈dom(f)} ⊆ N2 es un conjunto r.e. Para ver esto definimos g(x) = (x, f(x)). Porser f una funcion bien definida y calculable, tenemos que g esta bien definida, escalculable y tiene como rango el grafo de f . Ası la relacion f(x) = y es diofantinapor el teorema 4.3.1; por lo tanto, existe un polinomio P que satisface

f(x) = y ↔ (∃x1, ..., xn)[P (x, y, x1, ..., xn) = 0].

64

UN PAR DE CONSECUENCIAS 65

Si P (x, y, x1, ..., xn) = 0 entonces, tomando x0 = y tenemos que P (x, x0, x1, ..., xn) =0, por lo tanto P 2(x, x0, x1, ..., xn) = 0. Luego tenemos

x0 + 1 = y + 1,

(x0 + 1)(1− 0) = y + 1,

(x0 + 1)[1− P 2(x, x0, x1, ..., xn)] = y + 1.

Ahora supongamos que y = (x0+1)[1−P 2(x, x0, x1, ..., xn)]−1; como P (x, x0, ..., xn)es no negativo, entonces 1−P 2(x, x0, ..., xn) > 0 unicamente cuando P 2(x, x0, ..., xn) =0. Ası P (x, x0, ..., xn) = 0; luego y = (x0 + 1)(1 − 0) − 1 = x0 que implicaP (x, y, x1, ..., xn) = 0. Lo que se ha demostrado es

(∃x1, ..., xn)[P (x, y, x1, ..., xn) = 0]⇔(∃x0, x1, ..., xn)[(x0 + 1)[P (x, x0, x1, ..., xn) = y + 1].

Asıf(x) = y ⇔ (∃x0, x1, ..., xn)[(x0 + 1)[P (x, x0, x1, ..., xn) = y + 1].

Sea Q(x, x0, ..., xn) = (x0+1)[1−P 2(x, x0, ..., xn)]−1. Finalmente hemos demostradoel teorema.

Para ilustrar el teorema ??, usamos la funcion f(x) = Fx qe tiene como rango elconjunto de los numeros de Fibonacci. En este caso el teorema nos garantiza laexistencia de un polinomio Q(x, x0, ..., xn), tal que para todo x e y

Fx = y ⇔ (∃x0, ..., xn)[Q(x, x0, ..., xn) = y]. (6.2)

Ası dado un numero de Fibonacci y x, su posicion en la sucesion, puede ser rep-resentado por un polinomio como funcion de x.El teorema ?? implica que todo conjunto r.e. de numeros naturales coincide con losvalores no negativos de cierto polinomio Q. En particular, es facil ver que el conjuntode los numeros primos es r.e. utilizando el algoritmo de Euclides. En consecuenciadebe existir un polinomio que genere todos los numeros primos!!!1.Otra implicacion muy importante de la solucion negativa del decimo problema deHilbert es el teorema de incompletitud de Godel demostrado en 19312.

Teorema 6.0.4 (Teorema de incompletitud de Godel). No existe un siste-ma axiomatico consistente del cual se puedan deducir todas las verdades de la ar-itmetica.

1Existe un polinomio explıcito de grado 25 en 26 variables, ver [?].2Si el lector no esta familiarizado con la logica matematica, puede consultar [?].

UN PAR DE CONSECUENCIAS 66

Demostracion: Supongamos que existe un sistema Γ consistente que deduce to-das las verdades de la aritmetica. La notacion Γ ` ψ indica que la formula de laaritmetica ψ se deduce de Γ. El concepto de deduccion formal es un proceso al-gorıtmico, en el sentido de que dada una sucesion de formulas es posible deducir sies o no es una deduccion correcta. Es posible entonces dar un algoritmo que enumeretodas las deducciones correctas. Ahora, dada una ecuacion diofantina P (x) = 0 sepuede escribir en la forma P1(x) = P2(x) en donde “P1(x) = P2(x)”pertenece allenguaje de la aritmetica. Consideremos la formula

ψ : ∃x[P1(x) = P2(x)]. (6.3)

Esta formula debe ser verdadera o falsa. Si ψ es verdadera, Γ ` ψ por hipotesis. Siψ es falsa entonces ¬ψ es verdadera, ası Γ ` ¬ψ. Como Γ es consistente, Γ no puedededucir a ψ y ¬ψ. El siguiente algoritmo resolverıa el decimo problema de Hilbert.Enumerar todas las deducciones correctas y examinar la ultima formula; detener elproceso en el momento que aparezca ψ o ¬ψ. El proceso termina pues alguna delas dos formulas es deducible; debe haber una deduccion que termina en ψ o ¬ψ.Si es ψ la que aparece, la ecuacion P (x) = 0 es soluble. Si es ¬ψ, la ecuacion no essoluble. Ası hemos encontrado un algoritmo que soluciona el decimo problema deHilbert!!, lo cual contradice el teorema 5.1.2. . Por consiguiente no existe un talsistema Γ.

Para finalizar este trabajo, Matijasevic demostro que el numero de variables delos teoremas 4.3.1 y 6.3.1 se podrıan reducir a nueve variables. La prueba de estaafirmacion fue publicada por Jones en [?].

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Indice alfabetico

Algoritmo, 8

Conjuntodiofantino, 11recursivamente enumerable, 6

Decimo problema de Hilbertenunciado de, 4

Ecuacionde Fermat, 3de Pell, 3, 4diofantina, 3, 10especial de Pell, 6, 7

Forma normal de Davis, 6Funcion

calculable, 9diofantina, 11

Juego de Rado, 9

Maquina ilimitada de registro, 7, 9Modelos de calculabilidad, 8

Principio de induccion matematica, 7

Relaciondiofantina, 5, 11

Sucesion de Fibonacci, 7

Teorema

de incompletitud, 6de los cuatro cuadrados, 8

Tesis de Church, 9

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