Verônica Yumi Kataoka

Miriam Cardoso Utsumi

Apresentação do problema (adaptado de Paterlini, 2002)

Um disco de raio r é lançado ao acaso em um chão coberto por ladrilhos quadrados de

lado ( ) 2r d≥ =l l .Qual será a probabilidade da moeda cair inteiramente dentro de um ladrilho

(figura 1)?

Objetivo geral

Estimar a probabilidade geométrica ( )p por meio da freqüência relativa ( )p̂ , utilizando a

experimentação aleatória e a simulação computacional.

Objetivos específicos

Investigar possíveis “pré-conceitos” de probabilidade geométrica por meio da aplicação de

um pré—teste;

Analisar padrões observados e esperados confrontando os resultados das experimentações

e das simulações com a probabilidade geométrica;

Discutir os conceitos de ensaio, replicação (repetição), amostra, representatividade,

parâmetro, estimador, estimativa, viés, entre outros;

Observar o fenômeno da convergência por meio da simulação computacional no AVALE;

Investigar o impacto da seqüência de ensino por meio da aplicação de um pós-teste;

Sistematizar os conceitos de probabilidade frequentista e geométrica.

B

C

A

Figura 1. Evento favorável (A) e eventos desfavoráveis (B e C) no Jogo dos Discos.Fonte: Santos, 2010

JOGO DOS DISCOS

Material necessário

• Folhas quadriculadas de lado l ou o próprio chão da sala se for de lajota (figura 2).

• Moedas de raio r ou discos de papelão de raio r .

• Cartaz em papel madeira para sistematizar os resultados.

• Fita adesiva.

• Laboratório de informática com acesso à Internet.

• Calculadora e papel milimetrado.

Figura 2. Exemplo de lajota que pode ser utilizada

Tempo estimado: Três aulas de 50 minutos cada.

Desenvolvimento da atividade no ambiente de aprendizagem papel e lápis

Antes de iniciar a SE, sugere-se que os alunos respondam um pré-teste com perguntas

já relacionadas ao experimento (figura 3). O intuito é investigar os “pré-conceitos” de

probabilidade, possibilitando, que o professor intervenha “corrigindo” possíveis erros conceituais

durante a execução do experimento. Ao final da simulação computacional é importante aplicar

também, um pós-teste com as mesmas questões (ou não) do pré-teste, para que os resultados

das duas avaliações sejam confrontados.

Antes de aplicar o pré-teste, o professor deve apresentar o problema utilizando a folha

quadriculada com a moeda ou a lajota da sala de aula com o disco de papelão.

Escola ___________________________________________________Aluno: ______________________________Série_________________1) Se você lançar uma moeda, qual a probabilidade dela não tocar uma das linhas?2) Explique como você chegou no resultado da primeira questão: 3) E se a moeda for lançada 100 vezes, em quantos lançamentos você espera que ela não toque uma das linhas?4) E se a moeda for lançada 10.000 vezes?

Figura 3. Sugestão de perguntas para o pré-teste SE Jogo dos Discos

1ª Etapa: Após a aplicação do pré-teste, o professor deve distribuir para cada dupla uma folha

quadriculada de lado l (ou marcar com fita adesiva a quantidade de lajotas para cada dupla) e

uma moeda de raio r (ou o disco de papelão) para iniciar a experimentação aleatória.

2ª Etapa: Solicitar que cada dupla lance a moeda 100 vezes (n), e a cada lançamento anote se

a moeda cairá no interior do quadrado, determinando assim o número de k sucessos. No caso

em que seja necessário formar trios, cada aluno deverá lançar a moeda 50 vezes.

3ª Etapa: Na aula seguinte, para organizar os dados da turma, o professor deverá construir uma

planilha em um cartaz grande, em papel madeira, e afixá-lo na lousa. A planilha deverá ter a

quantidade de linhas correspondentes ao número de grupos de alunos da sala e quatro colunas

para: o nome dos alunos de cada grupo, o valor de n (quantidade de lançamentos), o valor de k

(número de sucessos) e o valor da frequência relativa ( )p̂ = kn (figura 4). Cada grupo deverá

preencher no cartaz em papel madeira os seus resultados.

Grupo n k p̂

Total

Figura 4. Modelo de planilha em papel madeira para a SE Jogo dos Discos

4ª Etapa : Discutir com os alunos como determinar o valor da probabilidade ( )p , estimulando-

os a solucionar o problema sozinhos (figura 5). Em seguida, analisar coletivamente as

possíveis diferenças encontradas entre o valor de p (valor esperado) e as freqüências relativas

- p̂ (valores observados) de cada grupo, isto é, confrontar os resultados da experimentação

aleatória com a probabilidade geométrica. Os resultados do pré-teste devem ser analisados

pelo professor previamente, para que possa auxiliá-lo a fomentar as discussões nessa etapa.

Solução: Sob condições ideais pode-se supor que lançar o disco (de diâmetro d) aleatoriamente

no piso é o mesmo que lançar o seu centro aleatoriamente. Assim a probabilidade do evento

ser favorável é a mesma probabilidade de um ponto, lançado aleatoriamente dentro do

quadrado de lado l , cair dentro do quadrado de lado −l d d d

2 2 − − ÷ l ,por conseguinte, essa

probabilidade é dada pela razão entre as áreas de um quadrado de lado −l d e do quadrado de

lado l .

Assim a probabilidade de a moeda cair inteiramente dentro de um ladrilho é

( ) 2 2 2 2

2

Área do quadrado menor1

Área do quadrado maior

d d d dp

− − = = = = − = − ÷ ÷ ÷

l l ll l l ll

Figura 5. Solução para o Jogo dos Discos

Aproveitar o momento para apresentar os conceitos de probabilidade geométrica,

probabilidade frequentista, ensaio, replicação (repetição), amostra, representatividade,

parâmetro, estimador, estimativa, viés, entre outros; mesmo utilizando uma linguagem informal.

Além disso, o professor pode discutir com os alunos, dependendo do ano escolar, que

este problema é um exemplo de uma aplicação prática de uma função quadrática, uma vez que

se pode variar o diâmetro do disco para determinar a curva de probabilidade, ou vice-versa,

apenas desenvolvendo a expressão de p, obtendo: ( )22

1 21 ou 1p d d d p= − + = −l

ll.

5ª Etapa - EXTRA: Com a expressão determinada, o professor pode perguntar aos alunos: qual

o valor do diâmetro que resulta em uma probabilidade de 0,4 (40%) de acerto? Solicitar aos

alunos que determinem os diâmetros, atribuindo valores de probabilidade de 0,1 em 0,1 (10%),

e em seguida, esbocem o gráfico de probabilidade de acordo com o diâmetro (figura 6). Discutir

com os alunos os resultados.

l

2= dr

d−l

Figura 6. Gráfico da probabilidade p em função do diâmetro d na SE Jogo dos Discos, utilizando como exemplo uma lajota de 30 cm.

Desenvolvimento da atividade no ambiente de aprendizagem virtual – AVALE-EB

6ª Etapa: Para começar a trabalhar com o AVALE-EB em sala de aula, inicialmente o professor

deverá cadastrar a turma, e em seguida inserir as informações que foram utilizadas no

experimento no ambiente papel e lápis, a saber: o lado do quadrado (lajota) e o diâmetro do

disco de papelão ou da moeda utilizada (figura 7). Ressalta-se que com essa opção de

cadastro, o professor pode utilizar valores diferentes de diâmetro e lado para cada uma das

suas turmas.

Figura 7. Tela de cadastro de informações da SE Jogo do Discos de acordo com o experimento realizado no ambiente papel e lápis.

7ª Etapa: Num laboratório de informática com acesso à Internet, cada grupo deverá se

cadastrar selecionando o seu professor e sua turma, e depois entrar no sistema (figura 8). O

sistema vai gerar uma entrada de dados personalizada, on-line, na qual cada grupo digita o seu

número de lançamentos (n) e de sucesso (k) e envia (figura 9). Acessando a opção turma

completa, os alunos poderão visualizar os dados de todos. (figura 10).

Figura 8. Tela de cadastro e entrada do AVALE para SE Jogo dos Discos

Figura 9. Tela de entrada de dados para SE Jogo dos Discos

Figura 10. Fragmento do banco de dados da turma completa para SE Jogo dos Discos

8ª Etapa: Após a inserção dos dados de todos os grupos, o professor pode solicitar aos alunos

que determinem algumas medidas como: a estimativa de probabilidade ( )p̂ para um

determinado grupo (opção no AVALE denominada Estimativa); as estimativas de todos os

grupos (opção no AVALE denominada Global) e a estimativa média (opção no AVALE –EB

denominada Média), isto é, a média das estimativas de todas as duplas (figura 11). Para os três

tipos de estimativas é feito uma comparação da freqüência relativa com o valor da

probabilidade geométrica ( )p .

9ª Etapa: É possível solicitar também aos alunos que gerem diferentes tipos de gráficos: barra

individual, barra média, boxplot do erro, histograma do erro e gráfico de probabilidade (Figura

12). O diferencial para o ambiente papel e lápis é a opção da simulação, em que os resultados

se referem à estimativa de probabilidade para 10.000 lançamentos, sendo possível gerar o

gráfico denominado no AVALE – EB “barra simulação”, o professor pode aproveitar os gráfico

gerado para discutir o fenômeno da convergência (Figura 13).

Figura 11. Exemplo de resultados da SE Jogo dos Discos

Figura 12. Exemplo de gráficos da SE Problema do Macarrão no AVALE-EB

Figura 13. Gráfico de barras da simulação com 10.000 lançamentos para a SE Jogo dos Discos

10ª Etapa: Após toda a discussão teórica o professor solicita aos alunos que resolvam o pós-

teste, isto é, um questionário com as mesmas questões do pré-teste, afim de investigar o

impacto da seqüência de ensino no aprendizado dos conceitos abordados na mesma.

Referência

SANTOS, G. M. dos Conceitos estatísticos no desenvolvimento de metodologias interdisciplinares de ensino. 2008. 168 f. Dissertação (Mestrado em Estatística e Experimentação Agropecuária) – Universidade Federal de Lavras, Lavras, 2008.

PATERLINI, R. R.. O Problema do Jogo dos Discos. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v. 48, pp. 13-20, 2002.