Jewria Unitary Telestwn kai Waveletsmyria.math.aegean.gr/~atsol/thesis/basilogiorgakns.pdf ·...

Θεωρια Unitary Τελεστων καιWavelets

❦

Βασιλογιωργάκης Ιωάννης

Πτυχιακη ΕργασιαΤµηµα Μαθηµατικων

Πανεπιστηµιου Αιγαιου

Επιβλέπων Τσολοµύτης Αντώνης

Σάµος 2001

Βασιλογιωργακης Α. ΙωαννηςΤελειόφοιτος του Τµήµατος Μαθηµατικών

Πανεπιστηµίου Αιγαίου

UNITARY ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ WAVELETS

ΕπιβλέπωνΤσολοµύτης Αντώνης

Πανεπιστηµιο ΑιγαιουΤµηµα Μαθηµατικων

Καρλόβασι 2001

Στοιχειοθεσία-Σχεδίαση εξωφύλλου❦

Βασιλογιωργάκης Ιωάννης

❦Typeset by TEX– Kerkis font family

��

�� "! ��# �

��$�&% ��'#�()�*��,+ � ��-�

��.��/102� %�� 3# ��$� ��/*4�5�

%16�� 7��#98#�� ()��:;��/=?� % ��4 ! �@��A

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

ΗΠτυχιακή µου Εργασία εκπονήθηκε το Ακαδηµαϊκό έτος 2000–2001, για την από-κτηση του Πτυχίου µου από το Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Αιγαίου.Ωφείλω να ευχαριστήσω την Επιτροπή, η οποία αποτελείται από τους

Ανούση Μιχαήλ, Αναπληρωτή Καθηγητή και Πρόεδρο του Τµηµατος Μαθη-µατικών

Κανδυλάκη ∆ηµήτριο, Επίκουρο Καθηγητή του Τµήµατος Μαθηµατικών

Τσολοµύτη Αντώνη

για τον χρόνο που αφιέρωσε να διαβάσει την εργασία, αλλά και για τις χρήσιµεςσυµβουλές της σε �έµατα Μεταπτυχιακών. Να ευχαριστήσω ειδικά τον κ. Καν-δυλάκη, από τον οποίο διδάχτηκα τα πλέον �ασικά µαθήµατα ώστε να καταφέρωνα διεκπεραιώσω την εργασία αυτή. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω πολύ τονκ. Τσαπόγα Γεώργιο, Επίκουρο Καθηγητή του Τµήµατος, για την πολυτιµότατη�οήθεια και συµβουλές του στις Μεταπτυχιακές µου αναζητήσεις, αλλά και γιατις πιό όµορφες αναµνήσεις από τις εξετάσεις των προπτυχιακών µου σπουδών.Τέλος, ότι και να πω �α είναι πολύ λίγο για τον καθηγητή µου, κ. Αντώνη Τσολο-µύτη, υπό την επίβλεψη του οποίου εκπόνησα την εργασία αυτή και µε τον οποίοη συνεργασία ήταν µια διαρκής µετάδοση «χαρούµενης γνώσης».

Καρλόβασι 01–10–2001 Βασιλογιωργάκης Ιωάννης

Περιεχόµενα

1 Χώροι Hilbert–Θεωρία Τελεστών 151.1 Οι χώροι `p(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Οι χώροι Lp(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Χώροι Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Ανάλυση Fourier 292.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L1( B ) . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L2( B ) . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Σειρές Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Αθροιστική του Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Wavelet Analysis 513.1 Μετασχηµατισµός Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Short-time µετασχηµατισµοί Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Ολοκληρωτικός µετασχηµατισµός wavelet . . . . . . . . . . . . . . 633.4 ∆υαδικά wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.5 Frames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6 Σειρές wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Φασµατική �εωρία unitary τελεστών 854.1 Φασµατική �εωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2 Φραγµένοι αυτοσυζυγείς τελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 ∆ιάταξη στον χώρο των συµµετρικών τελεστών . . . . . . . . . . . . 904.4 Προβολές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5 Φασµατική �εωρία unitary τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.6 Φασµατικές ιδιότητες unitary τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . 944.7 Ιδιότητες της αντιστοίχησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8 Συναρτήσεις unitary τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.9 Ιδιότητες και επέκταση της αντιστοίχησης . . . . . . . . . . . . . . 994.10Φασµατική ανάλυση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9

10 ΠΕΡΙΕΧÿΟΜΕΝΑ

Κατάλογος Σχηµάτων

1.1 cidi ≤ 1p cpi + 1qdqi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Παράθυρο Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Παράθυρο stft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 iwt παράθυρο, a1 ≤ a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1 f 6∈ K[ 0, 2π], f ∈ K[ 0, 2π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11

12 ΚΑΤÿΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜÿΑΤΩΝ

WAVELET ANALYSIS

Κεφάλαιο 1Χώροι Hilbert–Θεωρία Τελεστών

Σε αυτο το κεφάλαιο, �α αναλύσουµε–αναφέρουµε τις �ασικότερες έννοιες πάνωστις οποίες αναπτύσονται �εωρίες, όπως η Ανάλυση Fourier και τα Waveletsκαι οι οποίες είναι απαραίτητο κανείς να γνωρίζει αν �έλει να προχωρήσει στηνανάλυση.

Ξεκινάµε το κεφάλαιο �εµελιώνοντας τους χώρους `p (παρ.1.1) και Lp (παρ.1.2), αποδεικνύοντας τις σηµαντικότερες ιδιότητες και χαρακτηριστικά τους. Τέ-λος αναφέρουµε εν συντοµία τα �ασικότερα για τους χώρους Hilbert (παρ. 1.3),κλείνοντας µε το Θεώρηµα Ανοικτής Απεικόνισης 1.3.6 και κάποια Λήµµατα απότη Θεωρία Τελεστών.

1.1 Οι χώροι `p(X)Έστω X γραµµικός χώρος επί του σώµατος B , ή του C .Ορισµός 1.1.1 Καλούµε νόρµα, ‖ · ‖ µια απεικόνιση από ένα γραµµικό χώρο X στοB η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες :

1. ‖x‖ ≥ 0 και ‖x‖ = 0⇔ x = 0

2. ‖λx‖ = |λ| ‖x‖

3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Τριγωνική ανισότητα)για κάθε x, y ∈ X και για κάθε λ ∈ B (ή C αν ο χώρος είναι επί του σώµατοςC ).

Στο εξής, ένας γραµµικός χώρος X εφοδιασµένος µε µία νόρµα ‖ · ‖ �α καλείταιγραµµικός χώρος µε νόρµα και γράφουµε (X, ‖ · ‖). Η απόσταση µεταξύ δύοσηµείων x και y του X ορίζεται να είναι η d(x, y) := ‖x − y‖. Η συνάρτησηδηλαδή d : X × X → B : (x, y) → ‖x − y‖ ορίζει την µετρική που επάγεται απότην νόρµα ‖ · ‖ στον X .

Η εισαγωγή της έννοιας της νόρµας σ’ ένα γραµµικό χώρο είναι αναγκαία εάνκανείς �έλει να ορίσει αποστάσεις, να κάνει λόγο για σύγκλιση και γενικότερανα κάνει ανάλυση σ’ ένα γραµµικό χώρο. Κανείς µπορεί να παρατηρήσει ότι ηέννοια της νόρµας δεν αποτελεί παρά µια �υσιολογική γενίκευση της απόλυτηςτιµής των πραγµατικών αριθµών και των ιδιοτήτων της, οι οποίες αποµονώνονταιπροκειµένου να ορισθεί η νόρµα.

15

16 1. Χώροι Hilbert–Θεωρία Τελεστών

Παραδείγµατα χώρων µε νόρµα :(i) Οι γραµµικοί χώροι, c0 όλων των ακολουθιών που συγκλίνουν στο µηδέν,

c όλων των συγκλινουσών ακολουθιών και `∞, όλων των �ραγµένων ακολουθιώνεφοδιασµένοι µε τη νόρµα

‖x‖∞ := supn∈ D |xn |, για κάθε x = (xn)n∈ D , (1.1)

αποτελούν γραµµικούς χώρους µε νόρµα.(ii) Ο γραµµικός χώρος C[a, b] των συνεχών συναρτήσεων στο [a, b], εφοδια-

σµένος µε την νόρµα

‖f ‖∞ = supt∈[a,b]

|f (t)|, για κάθε f ∈ C[a, b], (1.2)

αποτελεί χώρο µε νόρµα.(iii) Ένα άλλο παράδειγµα χώρων µε νόρµα, αποτελούν οι χώροι `p οι οποίοι

ορίζοντε ως εξής :

`p(X) ={

(xi)i∈X ⊂ C : ∑i∈X|xi |p

1.1 Οι χώροι `p(X) 17

έχοντας ισότητα µόνον όταν di = cp−1i . Αθροίζοντας τις (1.5) ως προς i έχουµε

∑cidi ≤

1

p+

1

q= 1, (1.6)

διότι∑cpi =

∑dqi = 1. Συνεπώς λαµβάνοντας το k →∞ έχουµε την (1.3). 2

Θεώρηµα 1.1.3 (Ανισότητα Minkowski) Για οποιεσδήποτε ακολουθίες αριθµών x =(xi) και y = (yi) και για 1 ≤ p ≤ ∞ ισχύει :

‖x + y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p (1.7)

Απόδειξη : Για p = 1 και για p = ∞ το αποτέλεσµα προκύπτει άµεσα από τηντριγωνική ανισότητα στην πρώτη περίπτωση και από την ιδιότητα του supremumστην δεύτερη περίπτωση. Για 1 6= p 6=∞ έχουµε :

‖x + y‖pp =∑|xk + yk |p ≤

∑|xk + yk |p−1(|xk |+ |yk |)

=∑|xk + yk |p−1|xk |+

∑|xk + yk |p−1|yk | (1.8)

Εφαρµόζοντας την Ανισότητα Hölder για καθένα από τα παραπάνω αθροίσµατακαι χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι (p−1)q = p έχουµε ότι η ποσότητα ‖x+y‖pp,είναι µικρότερη από

(∑|xk + yk |p

)1/q(∑|xk |p

)1/p+(∑

|xk + yk |p)1/q(∑

|yk |p)1/p

.

Οπότε

‖x + y‖pp ≤(∑

|xk + yk |p)1/q

(‖x‖p + ‖y‖p). (1.9)

Τελικά διαιρώντας και τα δύο µέλη µε(∑ |xk +yk |p

)1/qκαι χρησιµοποιώντας το

γεγονός ότι 1− 1/q = 1/p έχουµε ότι ‖x + y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p . 2Έχοντας δείξει τις Ανισότητες Hölder και Minkowski µπορούµε πια να δούµε

ότι η ‖ · ‖p ορίζει όντως µία νόρµα στον `p, µιας και η ιδιότητα της τριγωνικήςανισότητας ικανοποιείται άµεσα απο την Ανισότητα Minkowski. Επίσης είναι�ανερό, ότι οι χώροι `p είναι πράγµατι γραµµικοί χώροι µε νόρµα αφού εάν x, y ∈X τότε ‖x + y‖p ≤ ‖x‖p + ‖y‖p < ∞ και συνεπώς x + y ∈ X . Οι υπόλοιπεςιδιότητες προκειµένου η ‖ · ‖p να είναι νόρµα και οι `p γραµµικοί χώροι είναιπροφανείς.

Ορισµός 1.1.4 Έστω (xn)n∈ D ⊆ X και x ∈ X . Θα λέµε ότι η ακολουθία (xn)συγκλίνει στο x, αν και µόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει N ∈ E , έτσι ώστε ‖xn−x‖X <ε για κάθε n ≥ N .

Ορισµός 1.1.5 Μια ακολουθία (xn)n∈ D ⊆ X λέγεται ακολουθία Cauchy, αν καιµόνο αν για κάθε ε > 0 υπάρχει N ∈ E , ώστε ‖xn − xm‖X < ε για κάθε n, m ≥ N .Ορισµός 1.1.6 Ένας χώρος µε νόρµα X λέγεται πλήρης χώρος (ή χώρος Banach),αν και µόνο αν κάθε ακολουθία Cauchy (xn)n∈ D ⊆ X , συγκλίνει σε ένα στοιχείο xτου χώρου X .

Παράδειγµα 1.1.7 Οι χώροι `p είναι χώροι Banach για κάθε p ∈ [1,∞],


διότι αν xn = (xni )n∈ D είναι µια ακολουθία Cauchy στον `p, τότε κάθε ακολουθία(xni )n∈ D ∀i ∈ E είναι ακολουθία Cauchy στο B (ή στο C ). Συνεπώς, για κάθεi ∈ E , υπάρχει xi ∈ B ή στο C τέτοιο ώστε xni → xi καθώς n → ∞. Άν �έσουµεx = (xi)

∞i=1, τότε για κάθε k ∈ E έχουµε :

k∑

i=1

|xi |p = limn→∞

k∑

i=1

|xni |p ≤ sup ‖xn‖pp

1.2 Οι χώροι Lp(X) 19

Οι Ανισότητες Hölder και Minkowski γενικεύονται στους χώρους Lp και συγκε-κριµένα ισχύει :

Πρόταση 1.2.3 (Ανισότητα Hölder) Έστω 1p +1q = 1, f ∈ Lp(X) και g ∈ Lq(X).

Τότε fg ∈ L1(X). Ακριβέστερα∫

X

|fg|dµ ≤ ‖f ‖Lp‖g‖Lq . (1.10)

Απόδειξη : Αν p = ∞ τότε q = 1 και συνεπώς έχουµε |fg| ≤ ‖f ‖∞|g| σχεδόνπαντού, από το οποίο έπεται ότι

∫

X

|fg|dµ ≤ ‖f ‖∞∫

X

|g|dµ


και∫

X

|g(f + g)p−1|dµ ≤(∫

X

|g|pdµ)1/p(∫

X

|f + g|(p−1)qdµ)1/q

. (1.14)

Συνεπώς, αθροίζοντας τις (1.13) και (1.14) έχουµε

∫

X

|f + g|pdµ ≤(∫

X

|f + g|pdµ)1/q

[(∫

X

|f |pdµ)1/p

+(∫

X

|g|pdµ)1/p

]

∆ιαιρώντας και τα δύο µέλη µε(∫

X|f + g|pdµ

)1/qέχουµε το αποτέλεσµα. 2

Έχοντας δείξει τις δύο αυτές �ασικές ανισότητες και για τους χώρους L p(X)παρατηρούµε ότι αν f, g ∈ Lp(X), τότε και (f + g) ∈ Lp(X) λόγω της ΑνισότηταςMinkowski. Επιπλέον αν f ∈ Lp(X), τότε και af ∈ Lp(X), για κάθε a ∈ C . Οπότεο Lp(X), αποτελεί ένα διανυσµατικό χώρο επί του C κι επιπλέον η συνάρτηση‖ · ‖Lp : X → B : f → ‖f ‖Lp , είναι µια ηµινόρµα στον Lp(X) διότι αν ‖f ‖ = 0 6⇒f = 0 (Η τριγωνική ανισότητα ικανοποιείται άµεσα από την Ανισότητα Minkowskiώστε η ‖ · ‖Lp να είναι ηµινόρµα). Για να περάσουµε σ’ ένα χώρο µε νόρµα,ορίζουµε στους Lp(X) την εξής σχέση ισοδυναµίας :

f ∼ g⇔ f = g σχεδόν παντού.

Ταυτίζουµε δηλαδή τις συναρτήσεις πού διαφέρουν σ’ ένα σύνολο µηδενικού µέ-τρου. Αν και το αποτέλεσµα που παίρνουµε ορίζοντας µία τέτοια σχέση ισοδυνα-µίας στους Lp(X) είναι ένας νέος χώρος, «ο χώρος πηλίκο» του οποίου τα στοιχείαείναι κλάσης ισοδυναµίας, εµείς συνεχίζουµε να συµπεριφερόµαστε σε αυτά σαννα ήταν συναρτήσεις του Lp(X), επιλέγοντας κάθε �ορά έναν «αντιπρόσωπο» απόκάθε κλάση, µιας και η επιλογή αυτή δεν επηρεάζει τη νόρµα ‖f ‖ της κλάσης,αφού f ∼ g και συνεπώς ‖f ‖ = ‖g‖ για συναρτήσεις τις ίδιας κλάσης.

Προφανώς τώρα µια ακολουθία (fn)n∈ D ⊆ Lp(X) συγκλίνει σε µία συνάρτησηf στον Lp(X), εάν και µόνο εάν ‖fn − f ‖Lp → 0. Όµοια η (fn) είναι Cauchy εάνκαι µόνο εάν ‖fn − fm‖Lp → 0 καθώς n,m →∞. Στη συνέχεια �α δείξουµε ότι οιχώροι Lp είναι πλήρεις χώροι και �α αναφερθούµε στα πυκνά υποσύνολα τους.

Λήµµα 1.2.5 (Borel-Cantelli) Έστω (X,Ψ, µ) χώρος µέτρου και {An}n∈ D ακολου-�ία στην Ψ. Ισχύει

∞∑

n=1

µ(An) 0. Τότε

µ{x ∈ X : f (x) ≥ ε

}≤ 1ε

∫

X

fdµ. (1.16)


Απόδειξη : Έστω E ={x ∈ X : f (x) ≥ ε

}. Ισχύει ότι 0 ≤ ε KE(x) ≤ f (x) για κάθε

x ∈ X (όπου KE η χαρακτηριστική συνάρτηση του E). Συνεπώς

0 ≤ ε µ(E) ≤∫

X

fdµ ⇒ µ(E) ≤ 1ε

∫

X

fdµ. 2

Λήµµα 1.2.7 Έστω {fn}n∈ D ακολουθία στον Lp και 1 ≤ p ≤ ∞ώστε ‖fn−fn+1‖Lp ≤1/22n, n ∈ E . Τότε υπάρχει µετρήσιµη συνάρτηση f ώστε fn → f σχεδόν παντού.Απόδειξη : Θέτουµε An =

{x ∈ X : |fn − fn+1| ≥ 1/2n

}, n ∈ E . Από την

Ανισότητα Chebyshev (1.16) έχουµε ότι

µ(An) ≤ 2np∫

X

|fn − fn+1|pdµ = 2np‖fn − fn+1‖pLp <2np

22np=

1

2np.

Άρα∞∑

n=1

µ(An) ≤∞∑

n=1

1

2np n2. Συνεπώς επαγωγικά κατασκευάζεται υ-πακολουθία {fnk}k∈ D της {fn}, ώστε ‖fnk − fnk+1‖Lp < 1/22k και συνεπώς από τοΛήµµα 1.2.7 υπάρχει µετρήσιµη συνάρτηση f , ώστε fnk → f σχεδόν παντού. Τώρα‖f ‖Lp ≤ ‖fnk − f ‖Lp + ‖fnk‖Lp οπότε αρκεί να δείξουµε ότι ‖fnk − f ‖ → 0. Για κάθε


n ∈ E ισχύει |fnk − fnm |p → |fnk − f |p σχεδόν παντού καθώς το n → ∞ και άρααπό το Λήµµα Fatou

‖fnk − f ‖p =∫

X

|fnk − f |pdµ =∫

X

lim infm|fnk − fnm |pdµ

≤ lim infm

∫

X

|fnk − fnm |pdµ ≤1

222kp→ 0 (1.18)

καθώς k →∞. Εποµένως ‖fnk − f ‖Lp → 0.Για p =∞ �έτουµε

Enm ={x ∈ X : |fn(x) − fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞

}(1.19)

για n, m ∈ E . Παρατηρούµε ότι E = ⋂nm Enm . Τώρα µ(X \ E) = 0 και‖fn − fm‖∞ = sup

x∈Enm|fn(x) − fm(x)| ≥ sup

x∈E|fn(x) − fm(x)|

και αφού ‖fn − fm‖ → 0 καθώς n,m →∞ έπεται ότι

limn,m→∞

supx∈E|fn(x) − fm(x)| = 0.

Έτσι η {fn} είναι Cauchy στο E και άρα συγκλίνει στο E. Ορίζουµε f : X → C µεf (x) =

{lim infn fn(x), αν x ∈ E0, αν x 6∈ E (1.20)

Η f είναι µετρήσιµη και επιπλέον ισχύει

‖fn − f ‖∞ = ‖(fn − f ) · XE‖∞ ≤ supx∈E|fn(x) − f (x)| → 0. 2

Πρόταση 1.2.9 Το σύνολο των απλών συναρτήσεων στον Lp(X) είναι πυκνό υποσύ-νολο του Lp(X) για 1 ≤ p ≤ ∞.

Απόδειξη : Έστω f ∈ Lp(X). Θα δείξουµε ότι υπάρχει ακολουθία sn απλών συναρ-τήσεων του Lp(X), ώστε sn → f στον Lp(X). Έστω f ≥ 0. Τότε υπάρχει ακολουθίααπλών µετρήσιµων συναρτήσεων sn , ώστε 0 ≤ sn ≤ f και sn s→ f .1 Συνεπώς|sn |p ≤ |f |p και άρα sn ∈ Lp. Όµως |f − sn |p ≤ |f |p και |f − sn|p → 0 και άρα αποτο Θεώρηµα Κυριαρχηµένης Σύγκλισης του Lebesgueέπεται ότι

‖f − sn‖Lp =(∫

X

|f − sn |pdµ)1/p

→ 0.

Η γενικότερη περίπτωση έπεται από το ότι η f γράφεται σαν

f = u+ − u− + i(v+ − v−) (1.21)

όπου οι u+, u−, v+, v− είναι �ετικές συναρτήσεις του Lp. Έστω τώρα p = ∞και f πραγµατική. Κι έστω για κάθε n ∈ E διαµέριση {tn0 < tn1 < · · · < tnkn

}του[

−‖f ‖∞, ‖f ‖∞ + 1]µε λεπτότητα µικρότερη του 1/n. Τότε αν

Ani =

{x ∈

[−‖f ‖∞, ‖f ‖∞ + 1

]: tni−1 ≤ f ≤ tni

}

1∆ηλαδή η sn συγκλίνει ισχυρά στην f .


�έτουµε

sn =

kn∑

i=1

tni XAni (1.22)

για n ∈ E . Τότε οι sn είναι απλές, sn ∈ L∞ και |f − sn | < 1/n σχεδόν παντού.Άρα ‖f − sn‖∞ ≤ 1/n και συνεπώς sn → f στον L∞. Η γενικότερη περίπτωσηέπεται από τα παραπάνω. 2

Τα δύο επόµενα �εωρήµατα παρατίθοντε χωρίς απόδειξη (�λέπε [κ-ν91]).

Θεώρηµα 1.2.10 (Tietze) Έστω (X, d) µετρικός χώρος, Y κλειστό υποσύνολο του Xκαι f : X → B συνεχής συνάρτηση. Τότε υπάρχει συνεχής συνάρτηση g : X → B ,έτσι ώστε g

∣∣Y

= f και supx∈X |g(x)| ≤ supx∈X |f (x)|.

Θεώρηµα 1.2.11 (Lusin) Έστω X µετρικός χώρος πεπερασµένου µέτρου. Τότε γιακάθε µετρήσιµη συνάρτηση f : X → B και για κάθε ε > 0 υπάρχει g : X → Bσυνεχής, ώστε µ {x ∈ X : f 6= g} < ε και supx∈X |g(x)| ≤ supx∈X |f (x)|.

Πρόταση 1.2.12 ΈστωX χώρος πεπερασµένου µέτρου. Τότε το σύνολο των συνεχώνσυναρτήσεων στον Lp(X), όπου 1 ≤ p 0 υπάρχει F κλειστό, G ανοικτό στην Ψ έτσι ώστεF ⊂ A ⊂ G και µ(G) − ε ≤ µ(A) ≤ µ(F) + ε2– στο B ορισµένο σε µια σ άλγεβραΨ ⊃ B( B ) (όπου B( B ) η οικογένεια των Borel µετρήσιµων υποσυνόλων του B ). Τότεκαθένα από τα παρακάτω δύο σύνολα είναι πυκνό στον Lp( B ) για 1 ≤ p


1. Το σύνολο των κλιµακωτών συναρτήσεων πεπερασµένου �ορέα3 στο B .2. Το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων πεπερασµένου �ορέα στο B .

Απόδειξη : Προφανώς οι κλιµακωτές και οι συνεχείς συναρτήσεις πεπερασµένου�ορέα είναι στον L p( B ), αφού είναι �ραγµένες συναρτήσεις σε �ραγµένα δια-στήµατα τα οποία είναι πεπερασµένου µέτρου, εφ’ όσον το µέτρο είναι κανονικό.Έστω τώρα f ∈ Lp( B ) και ε > 0. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει συνάρτηση gκλιµακωτή, πεπερασµένου �ορέα, έτσι ώστε ‖f − g‖ < ε. Όµως αυτό αρκεί ναγίνει όταν η f είναι χαρακτηριστική συνάρτηση, διότι εύκολα µετά προσεγγίζεταιη f αν είναι απλή, και η προσέγγιση αυτή αρκεί από το Θεώρηµα 1.2.9. Έστωλοιπόν f = XA όπου το A µετρήσιµο υποσύνολο των πραγµατικών. Τότε µ(A)


Για τον ίδιο λόγο υπάρχει Ψ 3 G ⊃ [a, b] ανοικτό ώστε

µ(G \ [a, b]

)<

1

n + 1

( ε2M

)p. (1.25)

Έστω G = (c, d) (δηλαδή �ραγµένο). Θέτουµε

U =n⋃

i=1

((ti−1, ti)\Ki

)⋃(G \ [a, b]

). (1.26)

Επειδή το U είναι ένωση n+1 συνόλων, καθενός µέτρου µικρότερου από(ε/2M

)p,

έπεται ότι µ(U) <(ε/2M

)p. Τώρα ισχύει

B \ U = (∪ni=1Ki)⋃

(∪ni=0{ti})⋃

( B \ G),που είναι δηλαδή η ένωση 2n + 2 κλειστών συνόλων, όπου σε κάθε ένα η f είναισταθερή. Συνεπώς απο το Θεώρηµα Tietze 1.2.10, υπάρχει g : B → B συνεχήςώστε f

∣∣G \U = g∣∣G \U και supx∈ G |g(x)| < M και προφανώς η g µηδενίζεται στοB \ G. Επιπλέον

‖f − g‖pLp =∫

U

|f − g|pdµ +∫

G \U |f − g|pdµ

=

∫

U

|f − g|pdµ ≤ 2p∫

U

(|f |p + |g|p

)dµ

≤ (2M)pµ(U) < εp

από το οποίο έπεται ‖f − g‖Lp < ε. 2Παρατήρηση : Ένα σηµαντικό πόρισµα που προκύπτει από τα Θεωρήµατα 1.2.14και 1.2.12, είναι ότι κάθε συνάρτηση στους Lp(X), όπου X ένα οποιοδήποτε υ-ποσύνολο του B πεπερασµένου µέτρου (ή η πραγµατική ευθεία), προσεγγίζεταιαπό µια συνεχή συνάρτηση (πεπερασµένου �ορέα αν X = B ) ως προς τη νόρ-µα του χώρου και συνεπώς από µια διαφορίσιµη συνάρτηση αφού το σύνολο τωνπολυωνύµων είναι αριθµήσιµο και πυκνό υποσύνολο των συνεχών συναρτήσεων(το σύνολο των πολυωνύµων που µηδενίζοντε στο συµπλήρωµα ενός �ραγµένουδιαστήµατος). Είναι �ανερό λοιπόν ότι οι χώροι L P [a, b] και Lp( B ) είναι διαχωρί-σιµοι χώροι. Κλείνουµε την παράγραφο µε δύο λήµµατα τα οποία �α µας �ανούνχρήσιµα στην συνέχεια.

Λήµµα 1.2.15 Ο L1( B ) ∩ L2( B ) είναι πυκνό υποσύνολο του L2( B ).Απόδειξη : Έστω f ∈ L2( B ). Θεωρούµε την ακολουθία

gn(x) =

{f, αν |x| ≤ n0, αν |x| > n

η οποία είναι προφανώς στον L1( B ) ∩ L2( B ). Ισχύει‖gn − f ‖2L2 =

∫

G |f − gn |2dx =

∫

|x|>n|f |2dx → 0

καθώς το n →∞. 2


Λήµµα 1.2.16 Έστω f ∈ L1( B ) ώστε f ′ ∈ L1( B ). Τότε ισχύει limx→±∞ f (x) = 0.Απόδειξη : Η f λόγω της υπόθεσης γράφεται σαν

f (x) = f (a) +

∫ x

a

f ′(t)dt. (1.27)

Ισοδύναµα ισχύει

limx→+∞

= f (a) + limx→+∞

∫ x

a

f ′(t)dt. (1.28)

Προφανώς το lim∫ xa f′(t)dt =

∫∞a f

′(t)dt υπάρχει διότι

∣∣∣∣∫ x

a

f ′(t)dt

∣∣∣∣ ≤∫ +∞

−∞|f ′(t)|dt

και συνεπώς το limx→+∞ f (x) υπάρχει. Έστω λοιπόν ότι limx→+∞ f (x) = c 6= 0.Τότε υπάρχει x0 ∈ B ώστε |f (x)| > c/2 για κάθε x > x0. Συνεπώς

∫ +∞

−∞|f (x)|dx >

∫ ∞

x0

|f (x)|dx > c2

∫ ∞

x0

dx =∞

το οποίο είναι άτοπο κι αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Η απόδειξη είναι όµοιακαι για την περίπτωση όπου x → −∞. 2

1.3 Χώροι HilbertΚαλούµε χώρο Hilbert, ένα οποιοδήποτε χώρο µε εσωτερικό γινόµενο, ο οποίοςείναι πλήρης µε την νόρµα που επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο. Οι πιόσηµαντικοί χώροι Hilbert για µας �α είναι οι `2( F ), `2( E ) και 0 L2( B ), τουςοποίους µελετήσαµε στις προηγούµενες παραγράφους. Οι παρακάτω ιδιότητεςισχύουν σε κάθε χώρο Hilbert.

Θεώρηµα 1.3.1 (Cauchy-Schwartz) Για οποιαδήποτε στοιχεία x, y ενός χώρου Hµε εσωτερικό γινόµενο, ισχύει

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖ (1.29)

Αν επιπλέον ισχύει η ισότητα, τότε y = λx.

Θεώρηµα 1.3.2 (Κανόνας του παραλληλογράµµου) Για κάθε x, y ∈ H , µε H χώροHilbert ισχύει

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)

Λήµµα 1.3.3 Για κάθε x, y ∈ H , όπου H χώρος Hilbert, ισχύει

〈x, y〉 = 14

(‖x + y‖2 − ‖x − y‖2

)+

1

4i

(‖x − iy‖2 − ‖x + iy‖2

)(1.30)

Θεώρηµα 1.3.4 (Ανισότητα Bessel) Για οποιαδήποτε ακολουθία στοιχείων {en} ⊂H ενός χώρου Hilbert H και για κάθε x ∈ H , ισχύει

∑

n≥1|〈x, en〉|2 ≤ ‖x‖2 (1.31)

1.3 Χώροι Hilbert 27

Επίσης τα παρακάτω �εωρήµατα �α µας �ανούν χρήσιµα στη συνέχεια.

Ιδιότητα 1.3.5 Έστω T ∈ L(X), µε X χώρο Banach. Αν ‖T‖ < 1, τότε ο τελεστής(I − T)−1 υπάρχει και είναι �ραγµένος τελεστής από τον X → X . Επιπλέον ισχύει,

(I − T)−1 =∞∑

n=0

Tn και ‖(I − T)−1‖ ≤ 11− ‖T‖ (1.32)

Απόδειξη : Πράγµατι ‖Ak‖ ≤ ‖A‖k ≤ qk → 0, καθώς το k → ∞ µε ‖A‖ = q.Έστω Sn =

∑nk=0 A

k . Τότε η Sn είναι ακολουθία Cauchy και συνεπώς συγκλίνει.Επιπλέον, η (I − A)Sn = I − An+1 → I, καθώς το n → ∞ και Sn(I − A) → I,καθώς το n →∞ και συνεπώς, το limSn είναι ο αντίστροφος τελεστής του (I −A).2

Θεώρηµα 1.3.6 (Banach) Έστω X, Y χώροι Banach κι έστω T : X → Y ένα προςένα �ραγµένος, γραµµικός τελεστής επί του Y . Τότε, ο αντίστροφος τελεστής T−1

είναι �ραγµένος.

Θεώρηµα 1.3.7 Αν A αντιστρέψιµος τελεστής και ο B τελεστής τέτοιος ώστε ‖A −B‖ < 1/‖A−1‖, τότε και ο B είναι επίσης αντιστρέψιµος.

Απόδειξη : Πράγµατι, B = A[I−A−1(A−B)] µε A αντιστρέψιµο και (I−A−1(A−B))αντιστρέψιµο λόγω της παραπάνω Ιδιότητας (1.3.5), και συνεπώς το γινόµενο τουςείναι αντιστρέψιµο. 2

Κεφάλαιο 2Ανάλυση Fourier

2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L1( J )Ορισµός 2.1.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L1( B ) ορίζεται ως εξής

f̂ (ω) = (F f )(ω) :=∫ +∞

−∞f (x)e−iωxdx, (2.1)

για κάθε f ∈ L1( B ).Θεώρηµα 2.1.2 Έστω f ∈ L1( B ). Τότε ο µετασχηµατισµός Fourier της f ικανοποιείτις παρακάτω ιδιότητες :

(i) Η f̂ είναι οµοιόµορφα συνεχής στο B . (f̂ ∈ C∞( B ))(ii) ‖f̂ ‖∞ ≤ ‖f ‖L1( G )(iii) Αν η παράγωγος f ′ της f υπάρχει και είναι L1( B ) συνάρτηση τότε ισχύει

f̂ ′(ω) = iωf̂ (ω). (2.2)

(iv) f̂ (ω)→ 0 καθώς ω → ±∞. (Λήµµα Riemman-Lebesgue)Απόδειξη : (i) Έστω δ > 0 τυχαίο. Τότε

supω∈ G |f̂ (ω + δ)− f̂ (ω)| = supω∈G

∣∣∣∣∫ ∞

−∞f (x)e−i(ω+δ)xdx −

∫ +∞

−∞f (x)e−iωxdx

∣∣∣∣

≤ supω∈G

∫ +∞

−∞|e−iωx(eiδx − 1)f (x)|dx

=

∫ +∞

−∞|f (x)(e−iδx − 1)|dx.

Όµως0 ≤ |e−iδx − 1||f (x)| ≤ 2|f (x)|

και |e−iδx − 1||f (x)| → 0, καθώς το δ → 0+ και συνεπώς από το ΘεώρηµαΚυριαρχηµένης Σύγκλισης του Lebesgue έπεται ότι∫ +∞

−∞|f (x)(e−iδx − 1)|dx → 0

και τελικάsupω∈ G |f̂ (ω + δ)− f̂ (ω)| → 0,

29

30 2. Ανάλυση Fourier

καθώς το δ → 0+.(ii) |f̂ (ω)| ≤

∫ +∞−∞ |f (x)|dx για κάθε ω ∈ B . Άρα ‖f̂ ‖∞ ≤ ‖f ‖L1 .

(iii) Εφόσον f ∈ L1( B ) και f ′ ∈ L1( B ), έπεται από το Λήµµα 1.2.16 ότι f (x) → 0,καθώς το x → ±∞. Άρα

f̂ ′(ω) =∫ +∞

−∞f ′(x)e−iωxdx

=[f (x)e−iωx

]+∞−∞ + iω

∫ +∞

−∞f (x)e−iωxdx

= iωf̂ (x)

(iv) Έστω f ∈ L1( B ) ώστε να υπάρχει η f ′ και f ′ ∈ L1( B ). Τότε από τις ιδιότητες(ii) και (iii) ισχύει

|f̂ (ω)| = |ω|−1|f̂ ′(ω)| ≤ |ω|−1‖f ′‖L1(G ),για κάθε ω ∈ B . Άρα |f̂ (ω)| → 0, καθώς ω→ ±∞. Αν τώρα f ∈ L1( B ) τυχαία, τότεαπό το Θεώρηµα 1.2.14 υπάρχει g ∈ L1( B ) ώστε g′ ∈ L1( B ) µε ‖f − g‖L1(G ) < ε.Οπότε

|f̂ (ω)| ≤ |f̂ (ω)− ĝ(ω)|+ |ĝ(ω)| ≤ ‖f − g‖L1(G ) + |ĝ(ω)| → 0,καθώς το ω→ ±∞. 2

Όπως είδαµε λοιπόν, ο µετασχηµατισµός Fourier κάθε L1( B ) συνάρτησης απο-τελεί οµοιόµορφα συνεχή συνάρτηση στο B κι επιπλέον συγκλίνει στο µηδέν, κα-�ώς το x → ±∞. Παρόλα αυτά η µετασχηµατισµένη f̂ συνάρτηση µιας f ∈ L1( B )δεν είναι απαραίτητα στον L1( B ) όπως κανείς �α περίµενε. Παράδειγµα τέτοιαςσυνάρτησης αποτελεί η

f (x) =

{e−x , x ≥ 00, x < 0

η οποία είναι προφανώς L1( B ) συνάρτηση, ενώ ο µετασχηµατισµός Fourier f̂ (ω) =(1 + iω)−1 δεν είναι στον L1( B ) αφού

∫ +∞

−∞|f̂ (ω)|dω =

∫ +∞

−∞

1

|1 + iω|dω

και η f̂ συµπεριφέρεται όπως η |ω|−1.Έτσι λοιπόν η εικόνα του τελεστή Fourier όπως αυτός ορίστηκε στην αρχή της

παραγράφου, δεν είναι µέσα στον L1( B ), αφού όπως είδαµε στο προηγούµενο�εώρηµα F(L1( B )) = C∞( B ) 6⊆ L1( B ). Αυτό είναι ένα σηµαντικό σηµείο για τηνL1( B ) �εωρία, αφού όπως �α δούµε παρακάτω, ο αντίστροφος µετασχηµατισµόςFourier F−1 έχει νόηµα µόνο για L1( B ) συναρτήσεις. Ένα άλλο πολύ σηµαντικόκαι χρήσιµο παράδειγµα L1( B ) συναρτήσεων για την Ανάλυση Fourier αποτελούνοι Gaussian συναρτήσεις

gα(x) = e−αx2 , α > 0 (2.3)

για τις οποίες έχουµε σχηµατίζοντας τέλεια τετράγωνα

(Fgα)(ω) =∫ +∞

−∞e−αx

2

e−iωxdx

2.1 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L1( B ) 31

=

∫ +∞

−∞e

(√αx+ iω

2√α)2e−ω

2/4αdx

= e−ω2/4α

√π

α. (2.4)

Άρα τον µετασχηµατισµό Fourier των Gaussian συναρτήσεων (2.3) αποτελούν οισυναρτήσεις

ĝα(ω) =

√π

αe−ω

2/4α , α > 0. (2.5)

Ευθύς αµέσως �α δούµε την µεγάλη χρησιµότητα των Gaussian συναρτήσεων γιατην Ανάλυση Fourier.

Συνέλιξη συναρτήσεων και η συνάρτηση δέλταΟρίζουµε σαν συνέλιξη δύο συναρτήσεων f, g ∈ L1( B ) την εξής L1( B ) συνάρτηση

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f (x − y)g(y)dy. (2.6)

Η (f ∗ g) είναι πράγµατι στον L1( B ) και ισχύει‖f ∗ g‖L1(G ) ≤ ‖f ‖L1(G )‖g‖L1( G ), (2.7)

διότι

∫ +∞

−∞

∣∣∣∣∫ +∞

−∞f (x − y)g(y)dy

∣∣∣∣dx ≤∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞|f (x − y)||g(y)|dydx

=

∫ +∞

−∞|g(y)|

∫ +∞

−∞|f (x − y)|dxdy

=

∫ +∞

−∞|g(y)|dy

∫ +∞

−∞|f (x)|dx

Στην παραπάνω διαδικασία κάναµε χρήση του γνωστού από τον ΑπειροστικόΛογισµό Θεωρήµατος Fubini, το οποίο γενικεύεται για τον υπολογισµό διπλώνολοκληρωµάτων συναρτήσεων στον L1( B ) και το οποίο δεν �α δείξουµε, µιας καιπροϋποθέτει γνώσεις από χώρους και µέτρα γινόµενα και κάτι τέτοιο �α µας α-ποµάκρυνε από το �έµα µας (�λέπε [κ-ν91]). Παρόλα αυτά �α συνεχίσουµε ναχρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Fubini για L1( B ) συναρτήσεις σε όλο το κεφάλαιο.Είναι �ανερό τώρα (κάνοντας την κατάλληλη αλλαγή µεταβλητών), ότι η συνέλιξησαν πράξη στον L1( B ) είναι αντιµεταθετική και προσεταιριστική. ∆ηλαδή

f ∗ g = g ∗ f και (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) για κάθε f, g, h ∈ L1( B ).∆ιότι

(f ∗ g)(x) =∫ +∞

−∞f (x − y)g(y)dy (x − y = t)

=

∫ +∞

−∞f (t)g(x − t)dt = (g ∗ f )(t)


κι επίσης

(f ∗ g) ∗ h =∫ +∞

−∞(f ∗ g)(x − y)h(y)dy

=

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞f (x − y− t)g(t)dt

)h(y)dy

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f (x − y− t)g(t)h(y)dtdy

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞g(x − y− z)h(y)f (z)dzdy

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞g(x − y− t)h(t)f (y)dtdy

=

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞g(x − y− t)h(t)dt

)f (y)dy

=

∫ +∞

−∞(g ∗ h)(x − y)f (y)dy = (g ∗ h) ∗ f = f ∗ (g ∗ h)

Θεώρηµα 2.1.3 Έστω f, g ∈ L1( B ). Τότε ισχύει(f ∗ g)̂ (ω) = f̂ (ω)ĝ(ω). (2.8)

Απόδειξη : Προφανώς ισχύει

f̂ (ω)ĝ(ω) =

∫ +∞

−∞f (t)e−iωtdt

∫ +∞

−∞g(y)e−iωydy

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f (t)g(y)e−iω(t+y)dtdy

=

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f (x − y)g(y)e−iωydydx = (f ∗ g)̂ (ω)

το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη. 2Αν τώρα αναζητήσουµε το ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης, µια L1( B ) συνάρ-

τηση d δηλαδή, για την οποία να ισχύει f ∗ d = f , για κάθε f ∈ L1( B ), τότε απότο προηγούµενο �εώρηµα �α δούµε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατον να συµβεί. Κιαυτό διότι αν d ∈ L1( B ) τότε �α πρέπει

(f ∗ g)̂ (ω) = f̂ (ω)d̂(ω) ⇔ f̂ (ω) = f̂ (ω)d̂(ω)⇔ d̂(ω) = 1 για κάθε ω ∈ B

το οποίο έρχεται σε αντίθεση µε το Λήµµα Riemman–Lebesgue.Ας �εωρήσουµε τώρα τον τελεστή της συνέλιξης

∗ : L1( B ) × L1( B ) 7−→ L1( B )σαν πράξη στον L1( B ) 1. Όπως �α �ανεί στην συνέχεια, η αξία του ταυτοτικούστοιχείου της συνέλιξης είναι πολύ µεγάλη για την Ανάλυση Fourier, µιας και ένα

1Ο L1(K ) µε την συνέλιξη σαν πολλαπλασιασµό είναι µεταθετική άλγεβρα Banach. Βλέπε [κ-ν91]


από τα κεντρικά �εωρήµατα της, κεντρικό σίγουρα για την L1( B ) �εωρία, στηρί-

εται στην ύπαρξη αυτού του στοιχείου. Γι αυτό το λόγο �α ήταν πολύ χρήσιµο ανµπορούσαµε να προσεγγίσουµε µε κάποιο τρόπο το ταυτοτικό στοιχείο της συνέ-λιξης.

Ας υποθέσουµε ότι {dα}α>0 ⊂ L1( B ) είναι µια οικογένεια συναρτήσεων η ο-ποία προσεγγίζει το ταυτοτικό στοιχείο d, όταν α → 0+. Τότε σύµφωνα µε ταπαραπάνω, για µια τέτοια οικογένεια �α πρέπει να ισχύουν τα εξής

d̂α(ω)→ 1, (2.9)

για κάθε ω ∈ B , ή ισοδύναµα∫ +∞

−∞dα(x)e

−iωxdx → 1,

από το οποίο έπεται ότι αν ω = 0 τότε∫ +∞

−∞dα(x)→ 1, (2.10)

καθώς το α → 0+.Μια οικογένεια που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες (2.9) και (2.10) είναι

η οικογένεια των Gaussian συναρτήσεων

gα(x) =1

2√παe−x

2/4α , α > 0, (2.11)

των οποίων ο µετασχηµατισµός Fourier από την (2.5) είναι

ĝα(ω) = e−αω2 , ω ∈ B . (2.12)

Προφανώς τώραĝα(ω)→ 1, για κάθε ω ∈ B

καθώς το α → 0+ και ∫ +∞

−∞gα(x)dx = 1, (2.13)

για κάθε α > 0 αφού1

2√πα

∫ +∞

−∞e−x

2/4αdx = 1. (2.14)

Αυτό που κανείς µπορεί να παρατηρήσει για την οικογένεια {gα} είναι ότι επειδήο όγκος τής προς ολοκλήρωσης συνάρτησης f (x − y)gα(y) µε f ∈ L1( B ), συγκε-ντρώνεται γύρω από το µηδέν, καθώς το α → 0+, ’επεται ότι

∫ +∞

−∞f (x − y)gα(y)dy ' f (x)

∫ +∞

−∞gα(y)dy = f (x), α → 0+.

Ακριβέστερα ισχύει το παρακάτω �εώρηµα.

Θεώρηµα 2.1.4 Έστω f ∈ L1( B ). Τότεlimα→0+

(f ∗ gα)(x) = f (x) (2.15)

σε κάθε σηµείο x στο οποίο η f είναι συνεχής.


Απόδειξη : Έστω f ∈ L1( B ) µε f συνεχή στο x και ε > 0. Τότε υπάρχει n > 0 τέτοιοώστε |f (x + y) − f (x)| < ε για κάθε y ∈ B µε |y| < n. Τώρα �έτοντας dα = gαέχουµε

|(f ∗ gα)(x) − f (x)|

=

∣∣∣∣∫ +∞

−∞f (x − y)gα(y)dy− f (x)

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫ +∞

−∞f (x − y)gα(y)dy−

∫ +∞

−∞f (x)gα(y)dy

∣∣∣∣

≤∫ +∞

−∞|f (x − y)− f (x)|gα(y)dy

=

∫

|y|≥n|f (x − y)− f (x)|gα(y)dy+

∫ n

−n|f (x − y)− f (x)|gα(y)dy

≤ ε∫ n

−ngα(y)dy+

∫

|y|≥ngα(y)|f (x − y)|dy+

∫

|y|≥ngα(y)|f (x)|dy

≤ ε∫ +∞

−∞gα(y)dy+ max

|y|≥ngα(y)‖f ‖L1(G ) + |f (x)|

∫

|y|≥n/√αg1(y)dy

= ε + ‖f ‖L1(G )gα(n) + |f (x)|∫

|y|≥n/√αg1(y)dy→ 0

καθώς το α → 0+. 2Έστω τώρα x ∈ B . Θεωρούµε τα γραµµικά �ραγµένα συναρτησοειδοί

gα : C1( B ) −→ B , δ : C1( B ) −→ Bτα οποία στέλνουν την f στην (f ∗ gα) και f (x) αντίστοιχα. Τότε το Θεώρηµα 2.1.4µας εγγυάται ότι (gα ∗ f )(x) → f (x), καθώς το α → 0+ για κάθε συνάρτησηf ∈ C1( B ) και για κάθε x ∈ B και συνεπώς η οικογένεια {gα}α>0 συγκλίνει στοσυναρτησοειδές δ ασθενώς. Άρα έχουµε σύγκλιση στον δυΐκό του C1( B ), και όπωςπαρατηρούµε το ταυτοτικό στοιχείο της συνέλιξης δ έχει αξία µόνο για συνεχείςσυναρτήσεις στον L1( B ), µιας και ισχύει δ ∗ f = f για κάθε συνάρτηση f ∈ C1( B ).Το συναρτησοειδές δ λοιπόν αν και δεν είναι συνάρτηση, αφού ικανοποιεί λόγωτων (2.12) και (2.14) τις

{δ(x) = 0, για κάθε x 6= 0∫ +∞−∞ δ(x)dx = 1

το καλούµε συνάρτηση δέλτα και ορίζουµε τον µετασχηµατισµό Fourier δ̂ να είναιδ̂(ω) = 1.

Λήµµα 2.1.5 Για κάθε f, g ∈ L1( B ) ισχύει∫ +∞

−∞f (x)ĝ(x)dx =

∫ +∞

−∞f̂ (x)g(x)dx

Απόδειξη : Προφανώς τα δύο ολοκληρώµατα έχουν νόηµα αφού∣∣∣∣∫ +∞

−∞f (x)ĝ(x)dx

∣∣∣∣ ≤ ‖f ‖L1(G )‖ĝ‖∞


Επιπλέον∫ +∞

−∞f (x)

∫ +∞

−∞g(y)e−iyxdxdy =

∫ +∞

−∞g(y)

∫ +∞

−∞f (x)e−iyxdxdy

=

∫ +∞

−∞f̂ (x)g(x)dx.

Ορισµός 2.1.6 Έστω f ∈ L1( B ) τέτοια ώστε f̂ ∈ L1( B ). Ορίζουµε τον αντίστροφοµετασχηµατισµό Fourier της f να είναι

(F−1 f̂ )(x) := 12π

∫ +∞

−∞f̂ (ω)eiωxdω. (2.16)

Είµαστε τώρα έτοιµοι να αποδείξουµε το κεντρικό �εώρηµα της L1( B ) �εωρίας,αναδεικνύοντας ταυτόχρονα την αξία αυτής της προσέγγισης και της οικογένειας{gα}α>0, η οποία αποτελεί το ουσιαστικό εργαλείο για την απόδειξη του επόµενου�εωρήµατος.

Θεώρηµα 2.1.7 Έστω f ∈ L1( B ) ώστε και f̂ ∈ L1( B ). Τότε f (x) = (F−1 f̂ )(x) σεκάθε x όπου η f είναι συνεχής.

Απόδειξη : Έστω x ∈ B . Θέτουµε g(y) = 12π eiyxe−αy2 . Τότε

ĝ(y) =1

2π

∫ +∞

−∞eitxe−αt

2

e−iytdt

=1

2π

∫ +∞

−∞e−it(y−x)e−αt

2

dt

=1

2π

√π

αe−

(y−x)24α = gα(x − y)

λόγω των (2.3) και (2.5). Τώρα

(f ∗ gα)(x) =∫ +∞

−∞f (y)gα(x − y)dy

=

∫ +∞

−∞f (y)ĝ(y)dy

=

∫ +∞

−∞f̂ (y)g(y)dy

=

∫ +∞

−∞f̂ (y)

1

2πeiyxe−αy

2

dy→ f (x)

καθώς το α → 0+, όταν η f είναι συνεχής στο x. Όµως επίσης ισχύει

1

2π

∫ +∞

−∞f̂ (y)eiyxe−αy

2

dy→ (F−1 f̂ )(x)

όταν α → 0+, οπότε f (x) = (F−1 f̂ )(x). 2Κλείνουµε λοιπόν την παράγραφο, καταλήγοντας στο ότι ο τελεστής Fourier

F : L1( B ) 7−→ C∞( B ) είναι αντιστρέψιµος µόνο αν περιοριστεί η εικόνα του στονL1( B ), κι επιπλέον ισχύει f (x) = (F f̂ )(x) µόνο για τα σηµεία συνέχειας της f .


2.2 Ο µετασχηµατισµός Fourier στον L2( J )Έχοντας ορίσει και µελετήσει τον τελεστή Fourier στον L1( B ), σε αυτή την πα-�άγραφο �α επεκτείνουµε τον τελεστή Fourier από τον L1( B ) σε όλον τον L2( B ),όπου όπως �α δούµε αποτελεί έναν unitary τελεστή µε όλες τις ιδιότητες όπουαυτό συνεπάγεται.

Ξεκινάµε την παράγραφο ορίζοντας την συνάρτηση συσχέτισης µιας L2( B ) συ-νάρτησης.

Ορισµός 2.2.1 Ορίζουµε σαν συνάρτηση συσχέτισης µιας L2( B ) συνάρτησης f , τηνεξής συνάρτηση :

F(x) =

∫ +∞

−∞f (x + y)f (y)dy. (2.17)

Λήµµα 2.2.2 Η συνάρτηση συσχέτισης F ικανοποιεί τα εξής :(i) |F(x)| ≤ ‖f ‖2L2( G ) για κάθε x ∈ B .(ii) Η F είναι οµοιόµορφα συνεχής στο B . ∆ηλαδή F ∈ C∞( B ).

Απόδειξη : (i) Ισχύει

|F(x)| =∣∣∣∣∫ +∞

−∞f (x + y)f (y)dy

∣∣∣∣

≤(∫ +∞

−∞|f (x + y)|2dy

)1/2 (∫ +∞

−∞|f (y)|2dy

)1/2

= ‖f ‖2L2( G ).(ii) Έστω δ > 0. Τότε

|F(x + δ)− F(x)| =∣∣∣∣∫ +∞

−∞f (x + y+ δ)f (y)dy−

∫ +∞

−∞f (x + y)f (y)dy

∣∣∣∣

≤∫ +∞

−∞|f (x + y+ δ)− f (x + y)||f (y)|dy

≤(∫ +∞

−∞|f (x + y+ δ)− f (x + y)|2dy

)1/2‖f ‖L2( G )

=

(∫ +∞

−∞|f (y + δ)− f (y)|2dy

)1/2‖f ‖L2( G )→ 0,

καθώς το δ → 0+, διότι

0 ≤ |f (y+ δ)− f (y)|2 ≤ |f (y)|2

και |f (y+ δ)− f (y)|2 → 0. 2

Θεώρηµα 2.2.3 Έστω f ∈ L1( B ) ∩ L2( B ). Τότε ο µετασχηµατισµός Fourier f̂ της fείναι στον L2( B ) κι επιπλέον ισχύει η «Ταυτότητα του Parseval»

‖f̂ ‖2 = 2π‖f ‖2 (2.18)


Απόδειξη : Έστω {gα}a>0 η οικογένεια των Gaussian συναρτήσεων όπως αυτήορίστηκε στην (2.3). Τότε αν f ∈ L1( B ) ∩ L2( B ) ισχύει∫ +∞

−∞ĝa(x)|f̂ (x)|2dx =

∫ +∞

−∞ĝa(x)f̂ (x)f̂ (x)dx

=

∫ +∞

−∞ĝa(x)

∫ +∞

−∞f (y)eiyxdy

∫ +∞

−∞f (u)eixududx

=

∫ +∞

−∞f (y)

∫ +∞

−∞f (u)

∫ +∞

−∞ĝa(x)e

ix(u−y)dxdudy

=

∫ +∞

−∞f (y)

∫ +∞

−∞f (u)gα(u − y)dudy

=

∫ +∞

−∞gα(x)

∫ +∞

−∞f (x + u)f (u)dudx

=

∫ +∞

−∞gα(x)F(x)dx =

∫ +∞

−∞F(x − 0)gα(x)dx.

Συνεπώς από το Θεώρηµα 2.1.4 έπεται ότι

limα→0+

∫ +∞

−∞ĝa(x)|f̂ (x)|2dx = F(0)

κι από το Λήµµα Fatou ότι f ∈ L2( B ), διότι∫ +∞

−∞|f̂ (x)|2dx =

∫ +∞

−∞lima→0+

ĝa(x)|f̂ (x)|2dx

≤ lima→0+

inf

∫ +∞

−∞ĝ(x)|f̂ (x)|2dx = F(0).

Επιπλέον ισχύει ότι0 ≤ ĝa |f̂ |2 ≤ |f̂ |2

και ότι ĝa(x)|f̂ (x)|2 → |f̂ (x)|2 και συνεπώς από το Θεώρηµα ΚυριαρχηµένηςΣύγκλισης έπεται ότι

‖f̂ ‖2L2(G ) =∫ +∞

−∞|f̂ (x)|2dx

=

∫ +∞

−∞limα→0+

ĝa(x)|f̂ (x)|2dx

= limα→0+

∫ +∞

−∞ĝa(x)|f̂ (x)|2dx = F(0) = ‖f ‖2L2(G ).

2

Από το Λήµµα 1.2.15 και εκµεταλλευόµενοι το γεγονός ότι ο L1( B ) ∩ L2( B ) είναιπυκνός στον L2( B ) επεκτείνουµε τον τελεστή Fourier σε όλο τον L2( B ) διατηρώνταςσταθερή τη νόρµα του µε τον ακόλουθο τρόπο.

Αν f ∈ L2( B ) τότε υπάρχει ακολουθία {fn} ⊂ L1( B ) ∩ L2( B ) ώστε ‖fn −f ‖L2( G )→ 0, καθώς το n →∞. Από την Ταυτότητα του Parseval έπεται ότι η {f̂n}είναι Cauchy και συνεπώς υπάρχει το όριο της στον L2( B ) κι έστω f̂∞ αυτό. Τότεορίζουµε τον µετασχηµατισµό Fourier µιας L2( B ) συνάρτησης ως εξής


Ορισµός 2.2.4 Ο µετασχηµατισµός Fourier µιας L2( B ) συνάρτησης f ορίζεται ναείναι το L2( B ) όριο f̂∞ της ακολουθίας {f̂n} και συµβολίζεται µε

f̂ (ω) := limn→∞

∫ n

−ne−iωx f (x)dx. (2.19)

Αν και από την κατασκευή της f̂ για µια L2( B ) συνάρτηση f �αίνεται ότι η f̂εξαρτάται από την ακολουθία Cauchy {fn} που προσεγγίζει την f , στην πραγµα-τικότητα η f̂ εξαρτάται µόνο από την συνάρτηση f , αφού αν

‖fn − gn‖2 = ‖gn − f ‖2 → 0,

καθώς το n →∞, έπεται ότι ‖f̂n − ĝn‖2 → 0, διότι

‖f̂n − ĝn‖2 = 2π‖fn − gn‖2 ≤ 2π‖fn − f ‖2 + 2π‖gn − f ‖2 → 0,

όταν το n →∞. Συνεπώς, η f̂ είναι καλά ορισµένη.

Θεώρηµα 2.2.5 Για κάθε f, g ∈ L2( B ) ισχύει,〈f, g〉 = 1

2π〈f̂ , ĝ〉. (2.20)

Ειδικότερα ισχύει ‖f ‖L2( G ) = 1√2π‖f̂ ‖L2( G ).

Απόδειξη : Έστω h ∈ L2( B ) κι έστω {hn} τα «αποκόµµατα» της h τα οποία ορίζο-νται ως εξής :

hn(x) =

{h(x), |x| ≤ n0, διαφορετικά

Προφανώς η hn είναι ακολουθία Cauchy και ανήκει στον L1( B ) ∩ L2( B ). Τότε‖ĥ‖2 = lim ‖ĥn‖2 = lim ‖hn‖2 = ‖h‖2. Από την άλλη, από το Λήµµα 1.3.3 έπεταιότι

〈f, g〉 = 14

(‖f + g‖22 − ‖f − g‖22

)+

1

4i

(‖f − ig‖22 − ‖f + ig‖22

).

Όµως (f + g), (f − g), (f + ig), (f − ig) ∈ L2( B ) και συνεπώς〈f, g〉 = 1

4(‖f̂ + ĝ‖22 − ‖f̂ − ĝ‖22) +

1

4i

(‖f̂ − iĝ‖22 − ‖f̂ + iĝ‖22

)= 〈f̂ , ĝ〉.

2

Από τα παραπάνω λοιπόν έχουµε, ότι ο F επεκτείνεται σε όλο τον L2( B ) διατη-�ώντας τη νόρµα του και ότι η Ταυτότητα του Parseval ικανοποιείται για κάθεf ∈ L2( B ).

Πριν δείξουµε ότι οF : L2( B ) → L2( B )

είναι ισοµορφισµός και συνεπώς ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier F−1υπάρχει, οι παρακάτω παρατηρήσεις �α µας �ανούν χρήσιµες.

Λήµµα 2.2.6 Για κάθε f, g ∈ L2( B ) ισχύει∫ +∞

−∞f (x)ĝ(x)dx =

∫ +∞

−∞f̂ (x)g(x)dx (2.21)

2.3 Σειρές Fourier 39

Απόδειξη : Η απόδειξη είναι µια απλή εφαρµογή του Θεωρήµατος Fubini. 2 Γιατην συνέχεια της παραγράφου �α χρησιµοποιήσουµε τον ακόλουθο συµβολισµό :

f −(x) := f (−x). (2.22)

Η συνάρτηση f − καλείται η «ανάκλαση» της f ως προς την αρχή.

Λήµµα 2.2.7 Έστω f ∈ L2( B ). Τότεf̂ (x) = (f̂ −)(x); (f̂ −)(x) = (f̂ )−(x) (2.23)

Θεώρηµα 2.2.8 Ο τελεστής Fourier είναι ένα προς ένα κι επί απεικόνιση από τονL2( B ) στον εαυτό του. Με άλλα λόγια, σε κάθε g ∈ L2( B ) αντιστοιχεί µια και µόνοµια f ∈ L2( B ) τέτοια ώστε f̂ = g. ∆ηλαδή η

f (x) := (F−1g)(x) =: ǧ(x) (2.24)

είναι ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier της g.

Απόδειξη : Έστω g ∈ L2( B ). Τότε η g− όπως αυτή ορίστηκε στην (2.22) είναιεπίσης στον L2( B ). Θα δείξουµε πρώτα ότι η L2( B ) συνάρτηση

f (x) :=1

2π(ĝ−)(x) (2.25)

ικανοποιεί την f̂ = g σχεδόν παντού.Πράγµατι, εφαρµόζοντας τις (2.23), το Λήµµα 2.2.6, τις (2.25) και (2.23) ξανά

και την Ταυτότητα του Parseval διαδοχικά, έχουµε

‖g− f̂ ‖22 = ‖g‖22 − 2Re〈g, f̂ 〉+ ‖f̂ ‖22= ‖g‖22 − 2Re〈g, (f̂ −)〉+ ‖f̂ ‖22= ‖g‖22 − 2Re〈ĝ, (f )−〉+ ‖f̂ ‖22= ‖g‖22 − 2Re〈ĝ, f −〉+ ‖f̂ ‖22= ‖g‖22 − 2Re

〈ĝ,

1

2πĝ〉

+ ‖f̂ ‖22

=1

2π‖ĝ‖22 −

2

2π‖ĝ‖22 + 2π‖f ‖22

= − 12π‖ĝ‖22 +

1

2π‖ĝ−‖22 = 0

και συνεπώς f̂ = g σχεδόν παντού. 2

2.3 Σειρές FourierΓια κάθε p ∈ [1,∞] συµβολίζουµε µε L2(0, 2π) τον χώρο Banach όλων των µετρή-σιµων συναρτήσεων για τις οποίες ισχύει

f (x + 2π) = f (x), σχεδόν παντού στο Bκι επιπλέον ∫ 2π

0

|f |pdµ


Ορίζουµε

‖f ‖L2(0,2π) =[

1

2π

∫ 2π

0

|f (x)|pdx]1/p

, (2.27)

για p ∈ [1,∞). Με C∗[0, 2π] �α συµβολίζουµε τον υπόχωρο των συνεχών συναρτή-σεων του L∞(0, 2π) που προφανώς ικανοποιούν την σχέση f (0) = f (2π) για κάθεf ∈ C∗[0, 2π].

Στον L2(0, 2π) ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο

〈f, g〉 = 12π

∫ 2π

0

f (x)g(x)dx, (2.28)

µε f, g ∈ L2(0, 2π) οπότε και ο χώρος L2(0, 2π) γίνεται χώρος Hilbert.Οι Ανισότητες Hölder και Minkowski ισχύουν και στους χώρους L2(0, 2π) µε

την τελευταία να γενικεύεται αντικαθιστώντας το άθροισµα µε ένα ορισµένο ολο-κλήρωµα. Ακριβέστερα ισχύει

∥∥∥∥∫ b

a

|g(t, x)|dt∥∥∥∥L2(0,2π)

≤∫ b

a

‖g(t, x)‖L2(0,2π)dt,

ή ισοδύναµα

(1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣∣∫ b

a

g(t, x)dt

∣∣∣∣p

dx

) 1p

≤∫ b

a

(1

2π

∫ 2π

0

|g(t, x)|pdx) 1

p

dt. (2.29)

Να παρατηρήσουµε, ότι σε αντίθεση µε τους χώρους Lp( B ), για τους χώρουςLp(0, 2π) ισχύει

Lp(0, 2π) ⊆ Lq(0, 2π), (2.30)

αν p ≥ q, το οποίο προκύπτει εύκολα από την Ανισότητα Hölder. Ξεκινάµε µε έναορισµό.

Ορισµός 2.3.1 Αν (ck)k∈ L ∈ `2( F ), ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier F∗ ορί-

εται να είναι η σειρά Fourier που ορίζει η ακολουθία (ck). ∆ηλαδή

(F∗(ck)) (x) :=∞∑

k=−∞cke

ikx . (2.31)

Επιπλέον ορίζουµε τον αντίστροφο διακριτό µετασχηµατισµό Fourier F∗−1 µιας f ∈L2(0, 2π) να είναι οι συντελεστές Fourier της f . ∆ηλαδή

(F∗−1f

)(k) := ck(f ) =

1

2π

∫ 2π

0

f (x)e−ikxdx, k ∈ F . (2.32)

Πριν αναφερθούµε στα ητήµατα σύγκλισης της σειράς Fourier στην (2.31) καιπριν δείξουµε ότι ο F∗−1 όπως ορίστηκε στην (2.31) αποτελεί έναν ισοµετρικόισοµορφισµό από τον `2( F ) στον L2(0, 2π), οπότε και ο αντίστροφος δίνεται απότην (2.32), �α κάνουµε κάποιες χρήσιµες παρατηρήσεις για τις σειρές Fourier και


για τα µερικά αθροίσµατα τους.∆εδοµένου ότι

eix = cos x + i sin x (2.33)

sin x =eix − e−ix

2i(2.34)

cos x =eix + e−ix

2, (2.35)

η σειρά Fourier που ορίζει µια ακολουθία (ck)k∈ L ∈ `2( F ) γράφεται και ως εξής :

f (x) =∞∑

k=−∞cke

ikx =ao2

+

∞∑

k=1

ak coskx +∞∑

k=1

bk sin kx (2.36)

µε

ak = ck + c−k =1

π

∫ 2π

0

f (x) cos kxdx, k ∈ E ∪ {0} (2.37)και

bk = i(ck − c−k) =1

π

∫ 2π

0

f (x) sin kxdx, k ∈ E . (2.38)Οι σχέσεις (2.37) και (2.38) προκύπτουν εύκολα διότι

ak = ck + c−k =1

2π

∫ 2π

0

f (x)e−ikxdx +1

2π

∫ 2π

0

f (x)eikxdx

=1

π

∫ 2π

0

f (x) cos kxdx.

Η (2.38) προκύπτει µε όµοιο τρόπο. Από την άλλη για την (2.36) ισχύει

f (x) =ao2

+

∞∑

k=1

ak coskx +∞∑

k=1

bk sinkx

= co +∞∑

k=1

akeikx + e−ikx

2+∞∑

k=1

bkeikx − e−ikx

2i

= co +1

2

∞∑

k=1

(ck + c−k)(eikx + e−ikx) +

1

2

∞∑

k=1

(ck − c−k)(eikx − e−ikx)

= co +∞∑

k=1

ckeikx +

∞∑

k=1

c−ke−ikx

= co +∞∑

k=1

ckeikx +

−∞∑

k=−1cke

ikx =

∞∑

k=−∞cke

ikx .

Από εδώ και στο εξής τα µερικά αθροίσµατα νι οστού �αθµού µιας σειράς Fourier�α τα συµβολίζουµε µε SN f . ∆ηλαδή ισχύει

(SN f )(x) :=N∑

k=−Ncke

ikx =ao2

+N∑

k=1

(ak coskx + bk sin kx). (2.39)


Ένα τριγωνοµετρικό πολυώνυµο µεγάλης αξίας για την Ανάλυση Fourier αποτελείτο πολυώνυµο �αθµού N

DN(x) :=1

2+

N∑

k=1

coskx =sin (N + 12 )x

2 sin x2, (2.40)

το οποίο ονοµάζεται και «Πυρήνας του Dirichlet». Μια πρώτη εφαρµογή του Πυ-�ήνα Dirichlet �αθµού N είναι ότι η συνέλιξη του µε µια συνάρτηση f δίνει ταµερικά αθροίσµατα SN f της σειράς Fourier. Ακριβέστερα ισχύει

(SN f )(x) =1

π

∫ 2π

0

f (x − t)DN (t)dt, (2.41)

διότι

1

π(DN ∗ f )(x) =

1

π

∫ 2π

0

f (t)(1

2+

N∑

k=1

cosk(x − t))dt

=ao2

+N∑

k=1

1

π

∫ 2π

0

f (t) cos k(x − t)dt

=ao2

+

N∑

k=1

( 1π

∫ 2π

0

f (t) cos kt dt coskx +1

π

∫ 2π

0

f (t) sin kt dt sin kx)

=ao2

+

N∑

k=1

(ak coskx + bk sin kx) = (SN f )(x).

Στην παραπάνω διαδικασία, στην δεύτερη ισότητα κάναµε χρήση της ταυτότητας

cos (a − b) = cosa cosb + sin a sin b.

Το ολοκλήρωµα �έβαια στην (2.41) έχει νόηµα όταν f ∈ L 1(0, 2π), αφού τότε∣∣∣∣∫ 2π

0

f (x − t)DN (t)dt∣∣∣∣ ≤ maxt∈[0,2π] |DN(t)|

∫ 2π

0

|f (t)|dt.

Θεώρηµα 2.3.2 Έστω f ∈ L2(0, 2π). Τότε η ακολουθία {ck(f )}k∈ L των συντελεστώνFourier της f είναι στον `2( F ) και ικανοποιεί την Ανισότητα Bessel

∞∑

k=−∞|ck(f )|2 ≤ ‖f ‖2L2(0,2π) (2.42)

Με άλλα λόγια, ο F∗−1 όπως ορίστηκε στην (2.32) απεικονίζει τον L2(0, 2π) µέσαστον `2( F ).Απόδειξη : Αν SN(f ) είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της σειράς Fou-rier που ορίζουν οι συντελεστές Fourier ck(f ) της f , ισχύει

0 ≤ ‖f − SN(f )‖2L2(0,2π) = ‖f ‖2L2(0,2π) − 2Re〈f, SN(f )〉+ ‖SN(f )‖2L2(0,2π). (2.43)

Όµως

〈f, SN(f )〉 =1

2π

∫ 2π

0

f (x)N∑

k=−Nck(f )eikxdx


=1

2π

∫ 2π

0

f (x)N∑

k=−Nck(f )e

−ikxdx

=1

2π

∫ 2π

0

N∑

k=−Nck(f )f (x)e

−ikxdx

=

N∑

k=−Nck(f )

1

2π

∫ 2π

0

f (x)e−ikxdx =N∑

k=−N|ck(f )|2 (2.44)

και

‖SN(f )‖2L2(0,2π) =1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣N∑

k=−Nck(f )e

ikx∣∣∣2

dx

=1

2π

∫ 2π

0

N∑

k=−Nck(f )e

−ikxn∑

k=−Ncm(f )e

imxdx

=1

2π

∫ 2π

0

N∑

k,m=−Nck(f )cm(f )e

−ikxeimxdx

=

N∑

k,m=−Nck(f )cm(f )

1

2π

∫ 2π

0

e−ikxeimxdx

=

N∑

k=−Nck(f )ck(f )

1

2π

∫ 2π

0

dx =N∑

k=−N|ck(f )|2. (2.45)

Από τις (2.43), (2.44), (2.45), έπεται ότι

N∑

k=−N|ck(f )|2 ≤ ‖f ‖2L2(0,2π),

για κάθε n ∈ E και λαµβάνοντας το n →∞, έπεται η (2.42). 2Θεώρηµα 2.3.3 (Riesz-Fisher) Έστω (ck)k∈ L ∈ `2( F ). Τότε υπάρχει συνάρτησηf ∈ L2(0, 2π) τέτοια ώστε ck = ck(f ) για κάθε k ∈ F κι επιπλέον να ισχύει ηΤαυτότητα του Parseval

∞∑

k=−∞|ck |2 = ‖f ‖2L2(0,2π). (2.46)

Συνεπώς ο F∗ απεικονίζει τον `2( F ) µέσα στον L2(0, 2π) διατηρώντας τις νόρµεςτων στοιχείων του `2( F ).Απόδειξη : Έστω

SN(x) =N∑

k=−Ncke

ikx ,

µε (ck) ∈ `2( F ). Τώρα η ακολουθία {∑Nk=−N |ck |2} είναι ακολουθία Cauchy στοB , διότι (ck) ∈ `2( F ). Όµως

‖SN − SM‖L2(0,2π) =∥∥∥∥∥

N∑

k=−Ncke

ikx −M∑

k=−Mcke

ikx

∥∥∥∥∥L2(0,2π)


≤∥∥∥−M∑

−Ncke

ikx∥∥∥L2(0,2π)

+∥∥∥

N∑

M

ckeikx∥∥∥L2(0,2π)

=

( −M∑

k=−N|ck |2

) 12

+

(N∑

k=M

|ck |2) 1

2

→ 0,

καθώς n,m → ∞, οπότε και η ακολουθία {SN}N∈ D ⊂ L2(0, 2π) είναι ακολουθίαCauchy κι έστω f ∈ L2(0, 2π) το όριο της. Τότε από την Ανισότητα Bessel ισχύει

N∑

k=−N|ck(f )− ck |2 ≤ ‖f − SN‖2L2(0,2π)

και άρα παίρνοντας n → ∞, έπεται ότι ck = ck(f ) για κάθε k ∈ F . Λόγω των(2.44) και (2.45) έπεται

‖f − SN‖2L2(0,2π) = ‖f ‖2 − 2Re〈f, SN〉+ ‖SN‖2

= ‖f ‖2 −N∑

k=−N|ck |2,

το οποίο δίνει

‖f ‖2L2(0,2π) =∞∑

k=−∞|ck |2

καθώς το n →∞ 2Έστω τώρα f ∈ L2(0, 2π) και (SN f )(x) =

∑∞k=−∞ ck(f )e

ikx . Ορίζουµε τότε τονCesaro νι οστό µέσο όρο των µερικών αθροισµάτων {SN} να είναι το τριγωνοµετρικόπολυώνυµο

σN f :=S0f + · · ·+ SN f

N + 1. (2.47)

Κατ’ ανάλογο τρόπο µε τον Πυρήνα Dirichlet όπου η συνέλιξη του µε µια f ∈L2(0, 2π) δίνει το µερικό άθροισµα SN f της σειράς Fourier

∑∞k=−∞ ck(f )e

ikx έπε-ται ότι το σN f είναι η συνέλιξη της f µε το τριγωνοµετρικό πολυώνυµο

KN(x) :=D0(x) + · · ·+ DN(x)

N + 1=

1

N + 1

sin2(N+1

2 x)

2 sin2 x2(2.48)

το οποίο ονοµάζεται Πυρήνας Fejer. ∆ηλαδή

(σN f )(x) :=1

π

∫ 2π

0

f (x − t)KN (t)dt. (2.49)

Για να δείξουµε το παρακάτω Θεώρηµα είναι χρήσιµο να εισάγουµε την έννοιατου «L2(0, 2π) modulus of continuity» :

ωp(f ; n) :=

sup0


Να παρατηρήσουµε ότι οι ωp(f ; n) και ω∞(f ; n) := ω(f ; n) είναι αύξουσες συναρ-τήσεις του n και ότι

ωp(f ; n)→ 0, καθώς το n → 0+, f ∈ Lp(0, 2π)ω(f ; n)→ 0, καθώς το n → 0+, f ∈ C∗[0, 2π] (2.51)

Θεώρηµα 2.3.4 (Weierstraß) Έστω f ∈ L2(0, 2π). Τότε

limn→∞

‖f − σN f ‖L2(0,2π) = 0. (2.52)

Με άλλα λόγια τα τριγωνοµετρικά πολυώνυµα είναι πυκνά στον L2(0, 2π).

Απόδειξη : Αρχικά παρατηρούµε ότι

1

π

∫ 2π

0

KN(t)dt = 1, (2.53)

διότι

1

π

∫ 2π

0

KN(x)dx

=1

π(π + 1)

∫ 2π

0

(1

2+

(1

2+ cos x

)+ · · ·+

(1

2+

N∑

k=1

coskx

))dx

=1

π(N + 1)

∫ 2π

0

(N + 1

2+ coskx +

2∑

k=1

coskx + · · ·+N∑

k=1

coskx

)dx

=1

π(N + 1)

(N + 1

22π +

∫ 2π

0

cos xdx +2∑

k=1

∫ 2π

0

coskxdx

+ · · ·+N∑

k=1

∫ 2π

0

coskxdx

)= 1.

Τώρα χρησιµοποιώντας την (2.29) έχουµε

‖f − σN f ‖L2(0,2π) =(

1

2π

∫ 2π

0

|f − σN f |2dx)1/2

=

(1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣f (x) − 1π

∫ 2π

0

f (x − t)KN (t)dt∣∣∣2

dx

)1/2

=

(1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣f (x) 1π

∫ 2π

0

KN(t)dt −1

π

∫ 2π

0

f (x − t)KN (t)dt∣∣∣2

dx

)1/2

=

(1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣ 1π

∫ 2π

0

[f (x) − f (x − t)]KN (t)dt∣∣∣2

dx

)1/2

≤∫ 2π

0

(1

2π

∫ 2π

0

∣∣∣∣1

π[f (x) − f (x − t)]KN (t)

∣∣∣∣2

dx

)1/2dt

=1

π

∫ 2π

0

1

2π

∫ 2π

0

|f (x) − f (x − t)|2∣∣∣∣∣

1

N + 1

sin2(N+1

2 t)

2 sin2 (t/2)

∣∣∣∣∣

2

dx

1/2

dt


=1

π

∫ 2π

0

sin2(N+1

2 t)

2(N + 1) sin2 (t/2)

(1

2π

∫ 2π

0

|f (x) − f (x − t)|2dx)1/2

dt

=1

π

∫ π

−π

sin2(N+1

2 t)

2(N + 1) sin2 (t/2)

(1

2π

∫ 2π

0

|f (x) − f (x − t)|2dx)1/2

dt

≤ 12π(N + 1)

∫ π

−π

sin2(N+1

2 t)

sin2 (t/2)ω2(f ; |t|)dt

≤ 1π(N + 1)

∫ π

0

sin2(N+1

2 t)

t2/4ω2(f ; t)dt

≤ πN + 1

∫ π

0

sin2(N+1

2 t)

t2ω2(f ; t)dt

=π

2

∫ N+12 π

0

sin2 u

u2ω2(f,

2u

N + 1

)du. (2.54)

Επιλέγουµε M > 0 τέτοιο ώστε

π‖f ‖L2(0,2π)∫ ∞

M

du

u2< ε. (2.55)

Επιπλέον παρατηρούµε ότι

ω2(f ; ·) ≤ 2‖f ‖L2(0,2π). (2.56)

Συνεπώς η (2.54) για N+12 π ≥ M και λόγω των (2.55) και (2.56) γίνεται

‖f − σN f ‖L2(0,2π) ≤π

2

∫ N+12 π

0

sin2 u

u2ω2(f,

2u

N + 1

)du

=π

2

∫ M

0

sin2 u

u2ω2(f,

2u

N + 1

)du +

π

2

∫ N+12 π

M

sin2 u

u2ω2(f,

2u

N + 1

)du

≤ π2

∫ M

0

sin2 u

u2ω2(f,

2u

N + 1

)du +

π

2

∫ N+12 π

M

1

u22‖f ‖L2(0,2π)du

≤ π2ω2(f ;

2M

N + 1

)∫ M

0

du + π‖f ‖L2(0,2π)∫ ∞

M

du

u2

< ε +Mπ

2ω2(f ;

2M

N + 1

)→ ε,

καθώς το n →∞ 2Σαν συνέπεια του Θεωρήµατος Weierstraß έχουµε το παρακάτω Θεώρηµα από

το οποίο �αίνεται ότι η Ταυτότητα του Parseval επεκτείνεται σε όλο τον L 2(0, 2π)αφού όπως �α δούµε ο

F∗ : `2( F )→ L2(0, 2π)είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός επί του L2(0, 2π).

Θεώρηµα 2.3.5 Ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier

F∗ : `2( F )→ L2(0, 2π)


είναι ένα προς ένα κι επί τελεστής και ισχύει

∞∑

k=−∞|ck |2 =

1

2π

∫ 2π

0

|f (x)|2dx, (2.57)

για κάθε f ∈ L2(0, 2π) και ck = ck(f ).

Απόδειξη : Λόγω του Θεωρήµατος Riesz-Fisher 2.3.3, αρκεί να δείξουµε ότι ο F ∗είναι επί του L2(0, 2π). Έστω f ∈ L2(0, 2π) κι έστω (ck)k∈ L η ακολουθία τωνσυντελεστών Fourier της f . Από την Ανισότητα Bessel ισχύει

∞∑

k=−∞|ck |2 ≤ ‖f ‖2L2(0,2π).

Από την άλλη, προφανώς σN f ∈ L2(0, 2π) αφού

σN f =S0f + · · ·+ SN f

N + 1

και σN f ∈ L2(0, 2π) για κάθε N ∈ E . Επιπλέον ισχύει

(σN f )(x) =1

N + 1

(c0 +

1∑

−1cke

ikx + · · ·+N∑

−Ncke

ikx)

=1

N + 1

N∑

k=−N

[(N + 1)cke

ikx − |k|ckeikx]

=N∑

k=−N

(1− |k|

N + 1

)cke

ikx

και συνεπώς ξανά από το Θεώρηµα 2.3.3 έπεται ότι

‖σN f ‖2L2(0,2π) =N∑

k=−N

(1− |k|

N + 1

)2|ck |2. (2.58)

Έτσι

‖f ‖L2(0,2π) ≤ ‖f − σN f ‖L2(0,2π) + ‖σN f ‖L2(0,2π)

→( ∞∑

k=−∞

(1− |k|

N + 1

)2|ck |2

) 12

≤( ∞∑

k=−∞|ck |2

) 12

,

από το οποίο έπεται

‖f ‖2L2(0,2π) ≤∞∑

k=−∞|ck |2 (2.59)

και συνεπώς η (2.57). Άρα ο F∗ είναι επί του L2(0, 2π) και προφανώς λόγω της(2.57) είναι ένα προς ένα, διότι ισχύει ‖F∗(ck)‖L2(0,2π) = ‖(ck)‖`2( L ) και άραkerF∗ = {0}. 2


2.4 Αθροιστική του PoissonΞεκινάµε την παράγραφο, µε τις εξής παρατηρήσεις.

1. Υπάρχει 2π–περιοδική συνεχής συνάρτηση, της οποίας η σειρά Fourier α-ποκλίνει σε κάθε �ητό αριθµό.

2. Υπάρχει L1(0, 2π) συνάρτηση, της οποίας η σειρά Fourier αποκλίνει παντού.

3. Η σειρά Fourier καθε Lp(0, 2π) συνάρτησης, µε p ∈ (1,∞] συγκλίνει σχεδόνπαντού στην f .

Λήµµα 2.4.1 Έστω f ∈ L1( B ). Τότε η Φf συγκλίνει απολύτως σχεδόν παντούσε µια 2π περιοδική συνάρτηση και επιπλέον Φf ∈ L1(0, 2π), µε ‖Φf ‖L1(0,2π) ≤12π ‖f ‖L1(G ).Απόδειξη :

∫ 2π

0

|Φf (x)|dx =∫ 2π

0

∣∣∣∞∑

k=−∞f (x + 2kπ)

∣∣∣dx ≤∫ 2π

0

∞∑

k=−∞|f (x + 2kπ)|dx

=

∞∑

k=−∞

∫ 2π

0

f (x + 2kπ)|dx =∞∑

k=−∞

∫ 2π(k+1)

2kπ

|f (x)|dx

=

∫ +∞

−∞|f (x)|dx.

Συνεπώς, |Φf (x)|

2.4 Αθροιστική του Poisson 49

Θεώρηµα 2.4.3 Έστω f ∈ L1( B ), ώστε1. Η Φf (x) να συγκλίνει παντού σε µια συνεχή συνάρτηση και

2. η σειρά Fourier στην (2.60) να συγκλίνει παντού.

Τότε ισχύει η �όρµουλα Αθροισιµότητας του Poisson

∞∑

k=−∞f (x + 2kπ) =

1

2π

∞∑

k=−∞f̂ (k)eikx , (2.61)

για κάθε x ∈ B .

Κεφάλαιο 3Wavelet Analysis

Η ανεπαρκεια του µετασχηµατισµού Fourier κυρίως σε προβλήµατα που εµ-�ανίζονται σε κλάδους, όπως η Ανάλυση σηµάτων, οδήγησε το 1946 τονD. Gabor να εισάγει την έννοια του «περιορισµένου µετασχηµατισµού Fourier»,χρησιµοποιώντας σαν «window συνάρτηση» για τον σκοπό αυτό, µια Gaussianσυνάρτηση gα. Σε αντίθεση µε τον µετασχηµατισµό Fourier, ο µετασχηµατισµόςGabor, καταφέρνει να δώσει τοπικά �ασµατική πληροφορία µιας L 2( B ) συναρτή-σεις, ενώ περιορίζει ταυτόχρονα και τον µετασχηµατισµό Fourier της συνάρτησης,αφού ο µετασχηµατισµός Fourier µιας Gaussian συνάρτησης είναι πάλι Gaus-sian συνάρτηση. Όλοι οι µετασχηµατισµοί που �α µας απασχολήσουν σε αυτό τοκεφάλαιο �α δρουν σε µια L2( B ) συνάρτηση µε τον ίδιο τρόπο· �α την µετασχη-µατίζουν τοπικά.

Στην πρώτη παράγραφο µελετάµε τον µετασχηµατισµό Gabor, ο οποίος είναικαι ο πρώτος που εµφανίστηκε χρονικά και ο οποίος αποτελεί µια πολύ ειδική πε-�ίπτωση, αυτού που λέµε short–time µετασχηµατισµών Fourier και µελετάµε στηνπαράγραφο 3.2. Στην παράγραφο 3.3, εισάγουµε τον Ολοκληρωτικό µετασχηµατι-σµό wavelet δείχνοντας τις πολύ χρήσιµες για τις εφαρµογές ιδιότητες του και στιςπαραγράφους 3.4 και 3.5 µελετάµε αντίστροφες µεθόδους του, περιορίζοντας κά-�ε �ορά και περισσότερο το πεδίο ορισµού του, καταλήγοντας στις σειρές wavelet(παράγραφο 3.6), όπου εκεί πια παρατηρούµε την άµεση σχέση του ολοκληρωτι-κού µετασχηµατισµού wavelet µε τις σειρές wavelet, σε αντιπαράθεση µε τις δύοσηµαντικές οντότητες της Ανάλυσης Fourier, τον µετασχηµατισµό Fourier και τιςσειρές Fourier.

3.1 Μετασχηµατισµός GaborΜια έννοια που �α χρησιµοποιήσουµε συχνά στο κεφάλαιο αυτό, είναι η έννοιατης «window συνάρτησης», η οποία ορίζεται ως εξής.

Ορισµός 3.1.1 Μια µη τετριµµένη συνάρτηση ω ∈ L2( B ) καλείται συνάρτηση win-dow, αν η συνάρτηση x ω(x) ∈ L2( B ).Ενδιαφερόµαστε για τέτοιου είδους συναρτήσεις, ακριβώς επειδή ενδιαφερόµαστεγια µεθόδους οι οποίες �α µετασχηµατίζουν µια L2( B ) συνάρτηση, σε ένα τοπικόπεδίο. Για να µπορέσουµε να χαρακτηρίσουµε µια συνάρτηση σαν window συ-νάρτηση, �α πρέπει να είναι δυνατόν να καθορίσουµε το «κέντρο» και το «πλάτος»της. Το µέτρο που επιλέγουµε γι’ αυτό τον σκοπό είναι το ακόλουθο.

51

52 3. Wavelet Analysis

Ορισµός 3.1.2 Ορίζουµε το κέντρο t∗ και την ακτίνα ∆ω µιας window συνάρτησης,να είναι οι εξής ποσότητες

t∗ :=1

‖ω‖2∫ +∞

−∞x |ω(x)|2dx (3.1)

και

∆ω :=1

‖ω‖

(∫ +∞

−∞(x − t∗)2|ω(x)|2dx

)1/2. (3.2)

Συνεπώς το πλάτος µιας window συνάρτησης �α είναι 2∆ω.

Η σχέση (3.1) δίνει την δεύτερη κεντρική �οπή της ω, ενώ η (3.2) είναι η διασποράτης ω η οποία δείχνει την περιοχή µε κέντρο t∗ και ακτίνα ∆ω, µέσα στην οποίαείναι κατανεµηµένος ο κύριος όγκος της συνάρτησης. Ένα πρώτο παράδειγµα w-indow συναρτήσεων, αποτελούν οι Gaussian συναρτήσεις, τις οποίες συναντήσαµεστο προηγούµενο κεφάλαιο

gα(t) :=1

2√πa

e−t2

4a , a > 0. (3.3)

Χρησιµοποιώντας ακριβώς αυτές τις συναρτήσεις, ο «µετασχηµατισµός Gabor» ο-�ίζεται να είναι ο ακόλουθος.

Ορισµός 3.1.3 Για οποιοδήποτε a > 0 και f ∈ L2( B ), ο µετασχηµατισµός Gaborτης f δίνεται από την εξής σχέση

(Gab f ) (w) :=∫ +∞

−∞(e−iwt f (t))gα(t − b)dt (3.4)

το οποίο µας λέει, ότι ο µετασχηµατισµός Gabor περιορίζει τον µετασχηµατισµόFourier της f σε µια περιοχή του t = b. Είναι σαφές ότι οι παράµετροι a και b, κα-�ορίζουν το πλάτος και το κέντρο αντίστοιχα της window συνάρτησης gα, αλλά καιτου διαστήµατος που αποδίδεται ο µετασχηµατισµός Gabor της f . Παρατηρώνταςεπιπλέον ότι ∫ +∞

−∞(Gab f )(w)db = f̂ (w) , w ∈ B , (3.5)

το οποίο προκύπτει εύκολα από την (2.13), διότι

∫ +∞

−∞gα(t − b)db =

∫ +∞

−∞gα(x)dx = 1,

καταλήγο

Jewria Unitary Telestwn kai Waveletsmyria.math.aegean.gr/~atsol/thesis/basilogiorgakns.pdf ·...

Documents

Transcript of Jewria Unitary Telestwn kai Waveletsmyria.math.aegean.gr/~atsol/thesis/basilogiorgakns.pdf ·...