Jesús Ríos Paco Monserrat
description
Transcript of Jesús Ríos Paco Monserrat
![Page 1: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/1.jpg)
PROPUESTA DE DISEÑO DE UNA PRÁCTICA:
Una pequeña incursión en el ámbito de las funciones de dos variables:
optimización usando argumentos gráficos
Jesús Ríos
Paco Monserrat
![Page 2: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/2.jpg)
Nivel de los alumnos a los que va dirigida: 20 BACHILLERATO
Conocimientos previos:
Concepto de función y gráfica de una función (1 variable)
Familiaridad con problemas de optimización de funcionesde una variable
Familiaridad con “lugares geométricos” definidos por ecuaciones implícitas (recta, plano, circunferencia, etc.)
![Page 3: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/3.jpg)
Objetivos que se pretenden:
Mostrar cómo la Matemática ya conocida por el alumno puede aplicarse a aspectos inmediatamente identificables como “útiles” y “próximos”
Reforzar los conceptos de “función”, “gráfica” y “lugar geométrico”
Desarrollar la visión espacial
Introducir al alumno en problemas de optimización de funciones de dos variables, sin necesidad de más herramientas que una “pequeña” extensión de ciertos conocimientos previos
![Page 4: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/4.jpg)
PROBLEMA
Cálculo de las dimensiones de un envase en forma de “brick”, de 1 litro de volumen, realizado con la mínima cantidad de cartón posible.
![Page 5: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/5.jpg)
Primer enunciado del problema, expresado en términos matemáticos:
problema de optimización
Cálculo de las dimensiones de un ortoedro de 1 litro de volumen y con
superficie mínima.
![Page 6: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/6.jpg)
Función superficie:
a(x,y,z)=2(xy+xz+yz)
Condición: volumen=1
z=1/(xy)
Función objetivo:
f(x,y)=a(x,y,1/(xy))
![Page 7: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/11.jpg)
La solución parece ser:
x=1 dm y=1 dm z=1 dm
Con lo cual la superficie mínima será 6 dm2
Otra manera de constatar gráficamente el resultado es mediante la utilización de curvas de nivel:
![Page 12: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/12.jpg)
Las curvas de nivel correspondientes a la gráfica de una función f(x,y) se obtienen representando en el plano XY las curvas dadas por funciones implícitas de la forma:
f(x,y)=k
Siendo k un valor del recorrido de la función f.
![Page 13: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/17.jpg)
SOLUCIÓN AL PROBLEMA: CUBO
1 dm
1 dm
1 dm
![Page 18: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/18.jpg)
PROBLEMAS RELACIONADOS
1. Resolver el mismo problema con diferentes volúmenes e intuir cual será la solución para un volumen arbitrario v.
2. Determinar las dimensiones de un ortoedro de 6 dm2 de superficie y con volumen máximo. Fijar distintos valores para la superficie y enunciar un resultado general.
![Page 19: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/19.jpg)
Segundo enunciado del problema, en términos más “realistas”:
Teniendo en cuenta la forma en la que realmente seconstruye un envase en forma de “brick”: medianteplegado de un rectángulo.
![Page 20: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/20.jpg)
x 2y
2x+0.08
z
x2y
Anchura pestañas: 0.08 dm
Condición: volumen=1dm3 (2x+0.08) ·2y · z=1
y
y
z=1/(4 xy+0.16 y)
Función superficie: a(x,y,z)=(2y+z+2·0.08)·(4x+4y+3·0.08)
Función objetivo: f(x,y)=a(x,y, 1/(4 xy+0.16 y) )
![Page 21: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/21.jpg)
2x+0.08
z
2y
![Page 22: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/22.jpg)
![Page 23: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/23.jpg)
![Page 24: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/25.jpg)
![Page 26: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/26.jpg)
Solución aproximada:
x=0.55 dm y=0.3 dm f(0.55, 0.3)=7.9076 dm2
z=1.4124 dm
1.18 dm
1.4124 dm
0.6 dm
![Page 27: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/27.jpg)
Rectángulo áureo
Razón áurea=(1+51/2)/2=1.61803...
![Page 28: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/28.jpg)
Tercer enunciado del problema:
Cálculo de las dimensiones de un “brick” de 1 litro de volumende manera que una de sus caras es un rectángulo áureo y la superficie del rectángulo obtenido al “desplegarlo” sea mínima.
Propuesta:
Resolverlo utilizando como herramienta el programa Derive.
¿Se aproximan los “bricks” más estándar a la solución obtenida?
![Page 29: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/33.jpg)
Solución aproximada:
x=0.4577 dm y=0.3118 dm g(0.498)=7.9452 dm2
z=1.6107 dm
0.995 dm
1.611 dm
0.624 dm
![Page 34: Jesús Ríos Paco Monserrat](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022020208/56814342550346895dafb9e9/html5/thumbnails/34.jpg)