Javier Soriano Olivares - riunet.upv.es

EDITORIAL UNIVERSITAT POLITEgraveCNICA DE VALEgraveNCIA

Franciso Javier Arregui de la Cruz

Enrique Cabrera Rochera

Ricardo Cobacho Jordaacuten

Elena Goacutemez Selleacutes

Javier Soriano Olivares

2017

Apuntes de mecaacutenica de fluidos

Para referenciar esta publicacioacuten utilice la siguiente cita Arregui de la Cruz F J Cabrera Rochera E Cobacho Jordaacuten R Goacutemez Selleacutes E Soriano Olivares J (2017) Apuntes de mecaacutenica de fluidos Valencia Universitat Politegravecnica de Valegravencia copy Francisco Javier Arregui de la Cruz Enrique Cabrera Rochera Ricardo Cobacho Jordaacuten Elena Goacutemez Selleacutes Javier Soriano Olivares Disentildeo graacutefico y maquetacioacuten Javier Albert Pardo copy 2017 Editorial Universitat Politegravecnica de Valegravencia distribucioacuten Telf 963 877 012 wwwlalibreriaupves Ref 6235_01_01_01 ISBN 978-84-9048-359-6 (versioacuten impresa) Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproduccioacuten traduccioacuten y difusioacuten parcial de la presente publicacioacuten con fines cientiacuteficos educativos y de investigacioacuten que no sean comerciales ni de lucro siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV la publicacioacuten y los autores La autorizacioacuten para reproducir difundir o traducir el presente estudio o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma con fines comercialeslucrativos o sin aacutenimo de lucro deberaacute solicitarse por escrito al correo edicioneditorialupves Impreso en Espantildea

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacutenBibliografiacutea y anexos

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Capiacutetulo 1 Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

IntroduccioacutenEcuacioacuten general de la estaacutetica de fluidosFuerzas provocadas por la presioacuten hidrostaacuteticaFlotacioacuten y estabilidad de los flotadores

Capiacutetulo 2 Estaacutetica de fluidos

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Capiacutetulo 3 Descripcioacuten del movimiento de los fluidos

IntroduccioacutenTrayectoria de una partiacutecula de fluido Enfoque LagrangianoCampo de velocidades Enfoque Euleriano Otros campos de variables relacionadas con la Mecaacutenica de FluidosDiferentes sistemas de referenciaConceptos de trayectoria liacutenea de corriente tubo de corriente y liacutenea de trazaClasificacioacuten de flujos de fluidos Algunas condiciones de contornoConcepto de caudalDerivacioacuten en mecaacutenica de fluidos derivada total local y convectiva Aceleracioacuten del fluidoTeorema de arrastre de ReynoldsTeacutecnicas a emplear para el anaacutelisis de flujosBilbliografiacutea

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Capiacutetulo 4 Dinaacutemica de fluidos

IntroduccioacutenEcuaciones fundamentales de la dinaacutemica diferencialModelacioacuten matemaacutetica del reacutegimen turbulento La ecuacioacuten de ReynoldsLos coacutedigos CFDAplicacioacuten de la dinaacutemica diferencial flujo de CouetteConclusioacuten

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Presentacioacuten

IntroduccioacutenEcuacioacuten de conservacioacuten de la masaEcuaciones de conservacioacuten de la energiacuteaEcuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimientoEcuaciones de conservacioacuten del momento cineacutetico

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Capiacutetulo 5 Dinaacutemica integral de fluidos

IntroduccioacutenBalances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerradosCaacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteasPeacuterdidas de carga localizadasLiacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y totalCaracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacutenAnaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacutenAnaacutelisis estaacutetico de redesModelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacutenTransitorios hidraacuteulicosBibliografiacutea

Capiacutetulo 6 Flujo a presioacuten

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Capiacutetulo 7 Flujo en laacutemina libre

IntroduccioacutenParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de pasoCaracterizacioacuten de los diferentes flujosPendientes a definir en flujo en laacutemina libreFlujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de ManningSeccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libreCurvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libreAlgunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libreBibliografiacutea

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Capiacutetulo 8 Flujo alrededor de cuerpos

IntroduccioacutenLa teoriacutea de la capa liacutemiteLa paradoja de DrsquoAlembertFuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativoLos alveolos en las pelotas de golfFuerzas de arrastre y sustentacioacutenResistencia y sustentacioacuten en automoacutevilesBibliografiacutea

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Presentacioacuten

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia los fenoacute-menos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un estadio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es evidente De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vi-vir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto crucial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estudio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la sangre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una importan-cia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente relevancia de estos asuntos mantendraacute

Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos

Iacutendice

iquestQueacute es la Mecaacutenica de FluidosAlcance de esta asignaturaBreve introduccioacuten histoacutericaDefinicioacuten de fluidoViscosidadMoacutedulo de elasticidad volumeacutetricoOtras propiedades especiacuteficas de los fluidosConceptos y propiedades a recordarEcuaciones de estado de los fluidosConclusioacuten

Bibliografiacutea

AnexosUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)Viscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperaturaViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Introduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos 11

iquestQueacute es la mecaacutenica de fluidos

Si la Fiacutesica es la ciencia que modela e interpreta todos los fenoacutemenos naturales como por ejemplo la caiacuteda libre de un cuerpo o el batir de un peacutendulo simple la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que es-tudia los fenoacutemenos en los que de un modo u otro los fluidos participan Como sus movimientos tanto los naturales (el agua discurriendo por el cauce de un riacuteo el batir de las olas en una playa o el caacutelculo de las cargas que transmite el viento a la visera de un esta-dio) como los artificiales (por ejemplo el bombeo de agua de un acuiacutefero existente a centenares de metros de profundidad)

La importancia de esta rama de la Fiacutesica es eviden-te De una parte el agua y el aire los dos fluidos maacutes abundantes en la naturaleza que tanto el hombre como cualquier otra forma de vida posible en este planeta necesita para vivir Entender su comportamiento para manejarlos y conservarlos es sin duda un asunto cru-cial Pero la Mecaacutenica de Fluidos no es soacutelo el estu-dio de los fenoacutemenos ligados al agua o al aire Hay otros muchos fluidos de notable relevancia Como los aceites minerales en su papel de lubricantes la san-gre el medio que transporta el oxiacutegeno por el cuerpo humano o en fin el petroacuteleo o el gas natural dos de las fuentes de energiacutea maacutes utilizadas a diacutea de hoy Y otros muchos ejemplos se podiacutean citar Asiacute pues conocer su comportamiento coacutemo trasegarlos o en fin coacutemo aprovechar su movimiento natural (mediante por ejemplo un aerogenerador eoacutelico) es de una impor-tancia incuestionable que no ha hecho sino aumentar con el paso del tiempo Tendencia que la creciente re-levancia de estos asuntos mantendraacute

Los fluidos se dividen en liacutequidos y gases De entre los liacutequidos el maacutes representativo es ya se ha dicho el agua Tanto por la importancia que para el ser humano tiene como porque abunda y mucho en la Naturaleza Conviene decir que la superficie terrestre estaacute cubierta por 360106 km2 de agua (entre mares oceacuteanos riacuteos y lagos) lo que supone un 70 del total del globo te-rraacutequeo Pero conviene matizar que del total de agua presente en la Naturaleza menos del 1 es aprove-chable Un hecho que ligado al progresivo aumento de la poblacioacuten humana (en la Tierra viven ya maacutes de 7000 millones de personas) y al constante aumento de la contaminacioacuten de las aguas como consecuencia de

su creciente utilizacioacuten exige utilizar este recurso cada vez de manera maacutes eficiente otra de las razones que explican el creciente intereacutes del hombre por la Mecaacute-nica de Fluidos

Aunque el nacimiento de la moderna Mecaacutenica de Fluidos es muy reciente (acaba de cumplir cien antildeos) el hombre siempre ha sido consciente de la importan-cia del agua para la vida humana como por otra parte no podiacutea ser de otro modo Ya Tales de Mileto deciacutea hace maacutes de 2500 antildeos que todo es agua y que todo comienza con el agua La necesidad de aprender a ma-nejarla (no soacutelo es necesaria para sobrevivir tambieacuten lo es para aumentar con el riego la fertilidad de la tie-rra y asiacute multiplicar su rendimiento) ha contribuido a que la Mecaacutenica de Fluidos aplicada al agua es decir la hidraacuteulica sea una de las aacutereas de la ingenieriacutea en la que desde el primer momento el hombre evidencioacute su extraordinaria creatividad Por ello sin margen de error se puede afirmar que la historia de la Ingenieriacutea del Agua particularmente en la antiguumledad nos ha le-gado algunas de las maacutes brillantes creaciones del saber humano Asiacute lo evidencia soacutelo es un ejemplo cercano en el espacio el acueducto de Segovia Un fluido el agua que el hombre creiacutea era un elemento hasta que Lavoisier y Cavendish ya en el siglo XVII e indepen-diente uno del otro concluyeran que era un compues-to integrado por dos elementos baacutesicos como el hidroacute-geno y el oxigeno

No le va a la zaga en importancia el segundo de los fluidos el aire el gas maacutes representativo de cuantos se nos presentan de esta forma en la Naturaleza El aire rodea por completo la superficie de la tierra y como el agua tampoco el hombre puede prescindir de eacutel Con todo estando mucho maacutes accesible que el agua la historia de la ciencia del aire es decir la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los gases es mucho maacutes re-ciente Su origen acostumbra a fijarse en las uacuteltimas deacutecadas del siglo XIX En concreto en el antildeo 1876 cuan-do Riemann publica su primer artiacuteculo sobre las ondas de choque ondas que seraacuten observadas por vez pri-mera en 1887 por Mach soacutelo unos antildeos despueacutes en las trayectorias de proyectiles supersoacutenicos Finalmente ya en los albores del siglo XX la aparicioacuten en escena de la aviacioacuten le otorgaraacute el espaldarazo definitivo de manera que todas las cuestiones relacionadas con la dinaacutemica de los gases en general y de la aerodinaacutemica en particular pasa a ser el principal foco de atencioacuten de

12 Mecaacutenica de fluidos

quienes trabajan en el campo de la Mecaacutenica de Flui-dos Conviene recordar que son antildeos en los que se su-cederaacuten dos guerras mundiales en las que la aviacioacuten desempentildea un papel crucial

En resumen si como maacutes adelante se veraacute un fluido (liacutequido o gas) es un medio continuo faacutecilmente deformable la Mecaacutenica de Fluidos es la parte de la Fiacutesica que estudia su comportamiento tanto en reposo como en movimiento Conjuntamente con la rama de la Fiacutesica encargada de estudiar el comportamiento de los medios continuos riacutegidos compone un cuerpo de doc-trina maacutes amplio y general denominado Mecaacutenica de los Medios Continuos El anaacutelisis tensorial que en este campo relaciona causas (esfuerzos) y efectos (deforma-ciones) es propio de los medios continuos sean soacutelidos riacutegidos o fluidos Una modelacioacuten tensorial que las limi-taciones de tiempo dejan fuera del alcance de esta asig-natura porque las simplificaciones que se introducen en los flujos que en este curso se estudian permiten obviar-la Pero es no este el caso de los complejos flujos tridi-mensionales que siacute la exigen un campo que en paralelo con el desarrollo de los ordenadores estaacute viviendo un extraordinario esplendor Se habla de los coacutedigos CFD (Computer Fluid Dynamics) que tanto han contribuido al desarrollo de la aerodinaacutemica y a los que se haraacute re-ferencia bien que muy brevemente al contar la historia de la Mecaacutenica de Fluidos

Alcance de esta asignatura

En los nuevo grado de Ingenieriacutea en Tecnologiacuteas In-dustriales (GITI) en Ingenieriacutea Mecaacutenica (GIM) y en Ingenieriacutea de Organizacioacuten Industrial (GIOI) disentildea-dos en el marco del proceso de Bolonia esta asignatura ha quedado enmarcada en el segundo semestre del se-gundo curso del Grado Con 45 creacuteditos equivalentes a 45 horas lectivas entre clases teoacutericas y praacutecticas (tan-to las informaacuteticas como las de laboratorio) Teniendo en cuenta las praacutecticamente infinitas aplicaciones de la Mecaacutenica de Fluidos estas restricciones temporales obligan a hacer una cuidada seleccioacuten del temario a impartir tanto por lo que respecta a los asuntos a tra-tar como a la profundidad con que cada uno de ellos se aborda Por otra parte todas las decisiones que al respecto se han tomado no han ignorado el marco en que la asignatura se va a impartir los nuevos grados de Ingenieriacutea (GITI GIOI y GIM) resultado del pro-

ceso de Bolonia Porque auacuten cuando los fundamen-tos de la Mecaacutenica de Fluidos son independientes de la titulacioacuten en que se imparta eacutesta si condiciona la orientacioacuten y el eacutenfasis de cada uno de los temas que se abordan

Pues bien teniendo en cuenta las consideraciones pre-cedentes se ha dividido la asignatura en ocho bloques temaacuteticos diferentes Son

-emspIntroduccioacuten a la Mecaacutenica de Fluidos Propieda-des que caracterizan su comportamiento

-emspEstaacutetica de fluidos-emspCinemaacutetica de fluidos -emspIntroduccioacuten a la dinaacutemica de los fluidos -emspDinaacutemica integral de los fluidos -emspFlujo alrededor de cuerpos inmersos en una co-

rriente fluida-emspFlujo natural en reacutegimen de laacutemina libre-emspFlujo artificial a presioacuten

Obviamente no se presta la misma atencioacuten a todos es-tos temas Se priman las partes del temario con mayor aplicabilidad en los campos de trabajo en los que previ-siblemente desarrollaraacute su actividad profesional el futu-ro graduado en Tecnologiacuteas Industriales En particular la dinaacutemica integral de los fluidos y el flujo artificial a presioacuten Este uacuteltimo tema se enfoca sobre todo desde una perspectiva praacutectica Para ello y con el concurso de una excelente herramienta el programa de dominio puacuteblico EPANET se abordan algunos de los numerosos problemas praacutecticos propios del flujo a presioacuten De he-cho esta visioacuten ingenieril y marcadamente aplicada es la que sin descuidar los aspectos formales debe presidir la imparticioacuten de esta asignatura

Y ya centraacutendonos en este primer capiacutetulo de introduc-cioacuten los conocimientos que con su estudio el alumno debe adquirir son el concepto de fluido como medio continuo las propiedades que permiten modelar su comportamiento fundamentalmente las dos que maacutes importan para las aplicaciones que en este curso se abordan En particular la viscosidad y el moacutedulo elaacutes-tico Al tiempo se aprovecha para repasar propiedades que el alumno ya habraacute estudiado en otras asignatu-ras Entre otras la densidad el peso especiacutefico el calor especiacutefico la tensioacuten superficial y en fin la tensioacuten de vapor En cualquier caso a esta uacuteltima propiedad se le dedicaraacute atencioacuten especial pues permite introducir el


concepto de cavitacioacuten de un liacutequido un fenoacutemeno de notable importancia en el flujo a presioacuten Pero convie-ne decir que no es exclusivo de estos flujos Tambieacuten y es soacutelo un ejemplo puede presentarse en los verte-deros de presa movimiento caracteriacutestico en reacutegimen de laacutemina libre

Breve introduccioacuten histoacuterica

De acuerdo con lo expuesto la Mecaacutenica de Fluidos que se subdivide en dos grandes bloques El primero la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequidos que aplicada al movimiento del fluido maacutes relevante el agua se le denomina hidraacuteulica (alternativamente Ingenieriacutea del Agua) Si el liacutequido es aceite el teacutermino que acostum-bra a utilizarse es Oleohidraacuteulica El segundo la Mecaacute-nica de Fluidos de los gases que con un recorrido en el tiempo mucho menor no tiene un nombre sinteacutetico Se la llama simplemente Dinaacutemica de los Gases que en-tre otros cuerpos de doctrina relevantes incluye la ae-rodinaacutemica cuya relevancia se la otorga tanto el trans-porte aeacutereo como el terrestre trascendentales ambos a partir del pasado siglo XX Porque tanto los coches como los aviones se mueven inmersos en el seno del aire de la atmoacutesfera Pero claro hablar de la historia de la Mecaacutenica de Fluidos anterior al siglo XX es hablar de manera exclusiva de la historia de la hidraacuteulica Ya se ha dicho que la dinaacutemica de gases nace praacutectica-mente con Riemann allaacute por 1876

De la historia de la Mecaacutenica de Fluidos de los liacutequi-dos es decir con la Ingenieriacutea del Agua de la que como no podiacutea ser de otro modo se han escrito numerosas y excelentes croacutenicas Sin aacutenimo de ser exhaustivos en lo que sigue y por orden cronoloacutegico se citan cuatro de las maacutes relevantes La Historia de la Hidraacuteulica (Rouse e Ince 1963) El agua en la antiguumledad (Bonnin 1984) La hidraacuteulica en las civilizaciones antiguas (Viollet 2000) y maacutes recientemente La Ingenieriacutea del Agua a traveacutes de los tiempos (Cabrera y Arregui 2010) Una historia impulsada porque el hombre pero tambieacuten la agricul-tura necesita el agua No extrantildea pues que las maacutes remotas praacutecticas de riego hayan cumplido 30000 antildeos ni que las primeras obras destinadas a facilitar el consu-mo humano (como las cisternas familiares de almace-namiento de agua de lluvia) estaacuten bien documentadas desde varios milenios antes de nuestra era Unas cister-nas individuales que se fueron suprimiendo a medida

que las posibilidades de la ingenieriacutea iban en aumen-to Y asiacute hace ya dos mil antildeos en la antigua Roma se llegoacute a disponer de un sistema de acueductos con una capacidad de transporte de 600000 m3 al diacutea cantidad que contemplada hoy es ciertamente impresionante De hecho seriacutea suficiente para abastecer de agua a la Comunidad Valenciana (cinco millones de habitantes a diacutea de hoy)

Pero estando el hombre maacutes preocupado en resolver sus problemas de suministro de agua el estableci-miento de los fundamentos baacutesicos que gobiernan su movimiento se haraacute esperar Tanto que los primeros avances realmente significativos tienen lugar en el si-glo XVIII Un conocimiento que tambieacuten retrasa la ex-trema complejidad del movimiento de los fluidos en el medio natural Pieacutensese por ejemplo en las corrientes de los riacuteos o en el movimiento de las olas No puede pues extrantildear que los primeros anaacutelisis tengan un caraacutecter eminentemente experimental Una frase del gran Leonardo da Vinci (que dedicoacute notable atencioacuten a la hidraacuteulica) enunciada en los albores del siglo XVI resume un proceder que presidiraacute todos los avances en este campo hasta los albores del siglo XX Al estudiar el movimiento del agua recuerda primero la experimenta-cioacuten luego la razoacuten En efecto la historia cuenta que hasta hace unos cien antildeos todos los conocimientos que en este campo se adquirieron hasta entonces lo fueron a partir de la experimentacioacuten

Un poco antes y coincidiendo con los grandes avances de las matemaacuteticas del siglo XVIII se inicia el estudio analiacutetico del movimiento de los fluidos lo que propi-ciaraacute el nacimiento de la hidrodinaacutemica Sus princi-pales impulsores son los cuatro grandes matemaacuteticos de la eacutepoca Euler Clairaut drsquoAlambert y por encima de todos ellos Daniel Bernoulli cuya obra Hydrodyna-mica publicada en 1738 da nombre a una escuela a la que se iraacuten incorporando nombre ilustres Entre ellos Laplace y Lagrange Ya en el siglo XIX Navier y Stokes plantearaacuten con rigor las ecuaciones que gobiernan el movimiento de los fluidos En cualquier caso conviene subrayar que soacutelo preocupa el movimiento del agua El nombre de la escuela hidrodinaacutemico tomado del tiacutetulo del libro de Bernouilli asiacute lo evidencia Riemann auacuten no ha entrado en escena

Durante los siglos XVIII y XIX las dos aproximaciones al estudio de los fluidos (los hidraacuteulicos que optan por


la viacutea experimental y los hidrodinaacutemicos por la viacutea fiacute-sico matemaacutetica) avanzan de manera independiente Antes que colaborar se ignoran Y hasta llegan a des-preciarse porque unos los hidrodinaacutemicos ven en los otros los hidraacuteulicos personas carentes de todo rigor cientiacutefico mientras eacutestos piensan que los primeros ig-noran la realidad del fenoacutemeno fiacutesico Que son unos teoacutericos que no contemplan la realidad de los hechos Una de las aneacutecdotas maacutes ilustrativas del divorcio que entre ambas corrientes de investigadores existioacute es la paradoja de drsquoAlambert el fiacutesico que demostroacute por viacutea matemaacutetica que una corriente de aire no arrastra a una esfera en reposo inmersa en ella Los hidraacuteulicos constatan por viacutea experimental que este resultado no es real Que el aire arrastra a cualquier objeto que en-cuentre a su paso DrsquoAlambert formuloacute desde el punto de vista teoacuterico bien el problema pero al ignorar la vis-cosidad del aire pequentildea pero no despreciable el re-sultado que obtuvo no se correspondiacutea con la realidad

Hay que esperar a 1904 para que la hidraacuteulica y la hi-drodinaacutemica se unifiquen dando lugar a lo que hoy seconoce como Mecaacutenica de Fluidos Lo consigue al formular la teoriacutea de la capa liacutemite Ludwing Prandtl un joven alemaacuten de 29 antildeos Consiste en admitir que los fluidos como el aire poco viscosos se comportan de manera ideal en casi todo el espacio (lo que en la praacutectica equivale a ignorar el rozamiento) excepto en una pequentildea laacutemina de fluido la capa liacutemite pegada al contorno del cuerpo inmerso en el mismo en la que nunca se podraacuten ignorar los efectos viscosos Con la teoriacutea de la capa liacutemite los dos enfoques convergen y los avances de hidraacuteulicos e hidrodinaacutemicos se super-ponen quedando establecidos a partir de ese momen-to los fundamentos de esta rama fundamental de la Fiacute-sica Esta es la razoacuten por la que Prandtl es considerado el padre de la Mecaacutenica de Fluidos

Previamente (en 1827) Navier habiacutea formulado de manera completa y rigurosa los movimientos de los fluidos reales introduciendo bien que con una funcioacuten molecular que no acaboacute de concretar los teacuterminos vis-cosos en unas ecuaciones ideales conocidas desde ha-ciacutea casi un siglo (Bernouilli en 1738 habiacutea establecido en el movimiento de los fluidos ideales la proporcio-nalidad entre el gradiente de presiones y la aceleracioacuten del flujo Muy poco despueacutes seraacute Stokes quien en 1845 relacionaraacute tensiones y deformaciones introduciendo en esta expresioacuten de modo absolutamente experimen-

tal la viscosidad como paraacutemetro maacutes significativo Tan decisivas aportaciones justifican que la ecuacioacuten general vectorial del movimiento de los fluidos se de-nomine de Navier-Stokes Y tambieacuten que el stoke sea una unidad de medida de la viscosidad en particular de la viscosidad cinemaacutetica en el sistema CGS

Pero el impulso definitivo le llegaraacute a la Mecaacutenica de Fluidos ya en la segunda mitad del siglo XX de la mano de los ordenadores digitales Ello propicia un desarrollo formidable del caacutelculo numeacuterico lo que a la postre supondraacute un antes y un despueacutes en la resolu-cioacuten de problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos una de las ramas de la ciencia que maacutes provecho ha sa-cado de tan trascendental desarrollo No extrantildea por la importante componente matemaacutetica que requiere la modelacioacuten de los fenoacutemenos de esta rama de la Fiacutesi-ca Un cambio de eacutepoca que alcanza su madurez ya en las dos uacuteltimas deacutecadas del siglo pasado Los meacuteto-dos numeacutericos permiten abordar la resolucioacuten de las ecuaciones completas que modelan el movimiento de los fluidos por complejas que sean La era del CFD ha comenzado

Un cambio de eacutepoca que sobre todo evidencia el de-clive de la modelacioacuten fiacutesica en beneficio de la matemaacute-tica Porque hasta bien entrada la segunda mitad del siglo XX la complejidad que comportaba resolver analiacute-ticamente muchos problemas reales de la Mecaacutenica de Fluidos obligaba a recurrir a la modelacioacuten fiacutesica Los grandes laboratorios en los que se ensayaban modelos de cauces de riacuteo puertos vertederos bombas turbinas automoacuteviles perfiles aerodinaacutemicos de ala de avioacuten es-tructuras mecaacutenicas inmersas en una corriente de aire etceacutetera veraacuten su ocaso De los modelos se obteniacutean va-liosos resultados experimentales que posteriormente se extrapolaban a los prototipos reales Pero al compaacutes de los avances de la modelacioacuten numeacuterica los elevados costes iraacuten propiciando su declive Tanto que hoy se re-curre mucho menos a los modelos fiacutesicos y cuando ello se hace es para ajustes muy finos que permiten validar los resultados numeacutericos

En definitiva hoy la Mecaacutenica de Fluidos estaacute per-fectamente cimentada pudieacutendose abordar cualquier problema por complejo que sea En este curso sin em-bargo soacutelo se abriraacute una pequentildea rendija que aunque permite asomarse a este vasto y apasionante mundo no es maacutes que una gota de agua en el seno de un oceacutea-


no Aunque puede y debe bastar para que el alumno se haga una primera idea del alcance global de esta materia Y por supuesto debe servir para que los futu-ros ingenieros que cursen estos grados adquieran unos conocimientos de notable utilidad

Definicioacuten de fluido

Un fluido es un medio continuo (entendiendo por tal la materia sin discontinuidades y por tanto con pro-piedades fiacutesicas uniformes) faacutecilmente deformable Al respecto no conviene olvidar que la materia tiene una estructura molecular con muchos espacios vacios y que por tanto estrictamente hablando es discontinua Pero como la inmensa mayoriacutea de las longitudes repre-sentativas de los problemas ingenieriles que aborda la Mecaacutenica de Fluidos tienen un orden de magnitud muy superior al de las distancias intermoleculares la hipoacutetesis del continuo es maacutes que aceptable Para evi-denciarlo se dan dos cifras En el supuesto de un espa-cio ocupado por un fluido tan comuacuten como el aire el elemento de volumen diferencial maacutes pequentildeo que se considera es un cubo de 001 mm de lado para un volu-men total de 10-6 mm3 volumen de otra parte muy infe-rior al de una mota de polvo Pues bien en su interior caben 3middot109 moleacuteculas de aire en condiciones estaacutendar Por ello cualquier medida de una variable fluida en ese punto puede asociarse al mismo pues resulta imposi-ble identificar las discontinuidades conocidas de la materia Y si ademaacutes se considera que la longitud del cubo escogida (una centeacutesima de miliacutemetro) es muy inferior a una longitud significativa del problema (por ejemplo el diaacutemetro de una tuberiacutea que por pequentildea que sea tendraacute algunos miliacutemetros) la hipoacutetesis del continuo es maacutes que razonable De hecho y ya para concluir esta reflexioacuten previa soacutelo al estudiar la dinaacute-mica de gases muy enrarecidos puede ser incorrecta la hipoacutetesis que preside esta asignatura

Pero volviendo a la definicioacuten de fluido como medio continuo faacutecilmente deformable habraacute que concretar lo que por ello se entiende La respuesta es simple Como contraposicioacuten a soacutelido (desde la oacuteptica de la Mecaacutenica de Fluidos el otro estado posible de la ma-teria) un fluido es una materia continua que no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pequentildeo que sea Cuantificar esta relacioacuten causa (tensioacuten) ₋ efecto (deformacioacuten) no es inmediato Planteada en un con-

texto general es la expresioacuten de caraacutecter experimental que en su diacutea introdujo Stokes y a la que ya se ha he-cho referencia en el epiacutegrafe precedente Una relacioacuten tensorial integrada por nueve ecuaciones escalares que se simplifica mucho en el caso que se detalla a conti-nuacioacuten y que corresponde al conocido flujo entre dos placas paralelas y horizontales en el que no existe un gradiente de presiones Cual se veraacute en la introduc-cioacuten a la dinaacutemica diferencial da lugar a un campo de velocidades lineal particularmente sencillo

Consideacuterese la figura 1 una piscina llena de agua en reposo con un tablero de madera (placa plana supe-rior) flotando en ella La placa plana inferior es el fon-do de la piscina Si desde un borde se tira del tablero con una cuerda atada a eacutel la viscosidad del agua en contacto con el tablero haraacute que la laacutemina superior se mueva a su velocidad Es lo que se conoce por condi-cioacuten de adherencia de un fluido viscos Una condicioacuten que tambieacuten obligaraacute a que el agua en contacto con el fondo de la piscina permanezca en reposo La hipoacutete-sis de Stokes aplicada a este caso particular tan sencillo indica que el esfuerzo cortante aplicado sobre la laacutemi-na superior del agua es proporcional al gradiente li-neal de velocidades generado y donde en esta relacioacuten la viscosidad es el coeficiente de proporcionalidad

Figura 1emspRelacioacuten entre tensioacuten y deformacioacuten en el movimiento maacutes elemental de un fluido

La hipoacutetesis de Stokes caracteriza pues el comporta-miento de un fluido Cual se ha dicho es experimental y su validez se la otorga la constatacioacuten de que los re-sultados que al utilizarla se obtienen se corresponden bien con la realidad fiacutesica experimental La ecuacioacuten (11) detalla la relacioacuten lineal que corresponde a este caso El esfuerzo cortante t (cociente entre la fuerza F con que se tira de la cuerda y la superficie S del table-ro) su velocidad V0 la viscosidad del agua μ y la pro-

x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0


fundidad del agua en la piscina h Siendo el gradiente de velocidades dVdy lineal expresar la relacioacuten ori-ginal de Stokes (aplicada a este caso particular) en fun-cioacuten de los paraacutemetros caracteriacutesticos del problema V0

y h es inmediato

Si el fluido es muy viscoso opone mayor resistencia a la deformacioacuten de manera que un mismo esfuerzo cortante genera diferentes gradientes de velocidades en liacutequidos de distintas viscosidades O dicho de otro modo si en la figura 1 en lugar de agua hubiese acei-te (bastante maacutes viscoso que el agua) para desplazar el tablero a la misma velocidad habriacutea que aplicar un esfuerzo cortante (y por tanto una fuerza) mucho ma-yor El caso opuesto es el de un fluido ideal (viscosidad muy pequentildea y por tanto se deprecia) Desplazar en las mismas condiciones el tablero no exigiriacutea ninguacuten esfuerzo del mismo modo que cuando no existe fric-cioacuten entre dos superficies riacutegidas una se desliza sobre la otra sin peacuterdida alguna de energiacutea

Viscosidad

Cual se ha visto en el epiacutegrafe precedente la viscosi-dad de un fluido es la propiedad que relaciona causa (esfuerzo) y efecto (deformacioacuten) Si en la relacioacuten (11) se despeja μ y despueacutes se sustituye en cada variable las dimensiones correspondientes se obtienen las de la viscosidad

En consecuencia en el sistema internacional se expre-saraacute en kg middot m-1 middot s-1 una unidad denominada poiseuille (en honor al meacutedico franceacutes Jean Louis Marie Poiseui-lle que en 1838 por vez primera cuantificoacute el valor de la friccioacuten de un fluido circulando por una tuberiacutea en reacutegimen laminar) Se podriacutea definir como la resisten-cia a la deformacioacuten de un fluido que sometido a un

τ micro micro= =dVdy

Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus

minus minusminus minus

Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)

esfuerzo cortante puro de 1 Nm2 responde con un gra-diente de velocidades de 1 ms por metro No habiendo sido incluida en el Real Decreto 20322009 (BOE de 30 de diciembre de 2009) por el que se establecen las uni-dades legales de medida y se concretan sus simbolo-giacuteas en lo que sigue se haraacute referencia a ella utilizando la P (es decir 1 poiseuille = 1 P)

Sin embargo los fluidos habituales en ingenieriacutea pre-sentan viscosidades muy inferiores Es pues desde un punto de vista praacutectico una unidad muy grande De hecho los fluidos maacutes viscosos (los aceites pesados) tienen una viscosidad del orden de 005 P El agua unas cincuenta veces menos viscosa que los aceites tiene una viscosidad de 0001 P Esta es la razoacuten por la que acostumbra a utilizarse el poise (una abrevia-cioacuten terminoloacutegica de poiseuille) y que es la unidad en el sistema CGS (g middot cm-1 middot s-1) En su forma abrevia-da se denotaraacute como una p (1 poise = 1 p) Pero como es soacutelo diez veces inferior al poiseuille (faacutecilmente se comprueba) se usa mucho maacutes el centipoise (cp) Entre otras razones porque a temperaturas normales (20 ordmC) la viscosidad del agua es igual a 1 cp (ver la graacutefica A3 del anexo) equivalente a 0001P

Esta viscosidad μ tiene el claro significado fiacutesico re-sultado de interpretar la relacioacuten (11) Se la denomina viscosidad dinaacutemica (tambieacuten absoluta) para diferen-ciarla de la que seguidamente se define Porque al co-ciente entre la viscosidad μ y la densidad r de un flui-do se le llama viscosidad cinemaacutetica (υ = μr) La razoacuten es clara Entre sus dimensiones no figura la magnitud caracteriacutestica de la dinaacutemica la masa Soacutelo incluye las dos especiacuteficas de la cinemaacutetica es decir longitud y tiempo En efecto

Al ser muy frecuente la aparicioacuten del cociente μr en muchas de las ecuaciones de la Mecaacutenica de Fluidos resulta coacutemodo utilizar la viscosidad cinemaacutetica υ que en el sistema internacional (SI) presenta la misma singularidad que la viscosidad absoluta Su unidad el m2s es muy grande y tal vez por ello no tiene un nombre especiacutefico Siacute se le ha dado a la unidad de vis-cosidad cinemaacutetica en el sistema CGS (cm2s) En honor

υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)


al investigador britaacutenico Stokes cuya principal aporta-cioacuten ya ha sido comentada se le conoce por stoke (St) Pero pese a ser diez mil veces inferior a la unidad del SI sigue siendo muy grande por lo que se recurre a su centeacutesima parte el centistoke (cSt) que a su vez es la milloneacutesima parte de la unidad de viscosidad dinaacutemi-ca en el SI Y de nuevo (no es casualidad) la viscosidad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC coincide con esta unidad (= 1 cSt) es decir 10-6 m2s (ver la graacutefica A4 del anexo) La densidad del agua 1000 kgm3 permite verificar esta equivalencia Que la viscosidad dinaacutemica del agua es 1 cp y la cinemaacutetica 1 cSt

La viscosidad es una propiedad que caracteriza la ca-pacidad de transporte de cantidad de movimiento de un fluido (en su desplazamiento un filete fluido arras-tra al vecino) A mayor valor maacutes rozamiento y maacutes cuesta trasegar ese fluido Un rozamiento que acaba transformaacutendose en calor (el fluido se calienta) por lo que es una propiedad eminentemente termodinaacutemica Y ademaacutes es muy sensible a la temperatura En el caso de los liacutequidos decrece con ella (pieacutensese en el com-portamiento del aceite tanto el vegetal utilizado para cocinar como el mineral empleado como lubricante) Sin embargo los gases siguen una tendencia opuesta (su viscosidad aumenta con la temperatura) porque en ellos la agitacioacuten molecular es el efecto predomi-nante Las figuras 3 y 4 del anexo muestran la varia-cioacuten con la temperatura de las viscosidades cinemaacutetica y dinaacutemica de los fluidos que presentan un mayor in-tereacutes ingenieril

La variacioacuten μ = μ(T) es sencilla de modelar analiacuteti-camente En el caso de los gases se puede aproximar muy bien con relaciones potenciales (ecuacioacuten 14) de tal manera que a partir de un valor de la viscosidad μ0

(correspondiente a una temperatura T0) su evolucioacuten sigue una sencilla variacioacuten potencial En consecuen-cia conocidas la viscosidad de un gas a dos tempera-turas diferentes (lo que permite calcular el valor del exponente n que en el caso del aire es 07) su evolu-cioacuten queda determinada Subrayar tambieacuten que al ser la expresioacuten adimensional no importa las unidades que se utilicen Sin embargo las temperaturas siacute deben expresarse en K pues su relacioacuten cambia con la escala de temperaturas (absoluta o centiacutegrada) que se utiliceEn el caso de los liacutequidos su variacioacuten la proporciona el inverso de un polinomio de segundo grado (ecua-cioacuten 15) que en el caso del agua resulta la ecuacioacuten

(16) No siendo en este caso la relacioacuten adimensional hay que explicitar la unidad de medida (poises para la viscosidad y grados centiacutegrados para la temperatura en esta escala t ₋minuacutescula₋) Obviamente a la presioacuten atmosfeacuterica la ecuacioacuten soacutelo es vaacutelida en el intervalo 100 gt t gt 0 Fuera de ese rango se tendriacutea o bien hielo o bien vapor de agua

(15)

(16)

con μ en poises y t en ordmC

La gran sensibilidad de la viscosidad con la tempera-tura no encuentra un paralelismo con la otra variable termodinaacutemica por excelencia la presioacuten De hecho apenas variacutea con ella Como tampoco depende en el caso de los fluidos newtonianos del grado de defor-macioacuten es decir de cuaacutento se haya distorsionado pre-viamente Asiacute lo muestra la figura 2 que relaciona el esfuerzo cortante con el gradiente de velocidades que cuantifica la deformacioacuten del fluido De hecho es la re-presentacioacuten graacutefica de la ecuacioacuten (11) y que para los fluidos newtonianos es una recta

El comportamiento de un fluido desde la oacuteptica de la viscosidad es el que permite establecer cual se veraacute con la ayuda de la figura 2 una de las clasificaciones con mayor sentido fiacutesico Ya se ha dicho que un fluido es ideal si su viscosidad se aproxima a cero (la liacutenea ho-rizontal de la figura 2) La otra clasificacioacuten relevante (incompresible y compresible) vendraacute de la mano de la segunda propiedad por excelencia de los fluidos su moacutedulo elaacutestico el cual se veraacute en el siguiente epiacutegrafe

Conviene aclarar por queacute en un flujo tan sencillo como el que detalla la figura 1 se asimila la deformacioacuten de un fluido en el punto del espacio que se considere (un concepto muy importante que en el caso maacutes general

micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022


lo modela el valor del tensor deformacioacuten) al gradien-te de velocidades en ese punto La explicacioacuten es sen-cilla Si dos laacuteminas contiguas de fluido se mueven a diferente velocidad (imagiacutenese que estaacute formado por un conjunto de capas) las distancias entre dos puntos contiguos de esas capas se modifica lo que evidencia que el fluido se estaacute deformando Por ello en la figura 2 y a medida que se avanza positivamente sobre el eje de abscisas el fluido se estaacute deformando a mayor velo-cidad Si la relacioacuten t - dVdy es lineal con independen-cia del grado de deformacioacuten del fluido la viscosidad es contante

Figura 2emspClases de fluidos atendiendo al comportamiento de la viscosidad

En un fluido la representacioacuten de la expresioacuten simpli-ficada de Stokes (ecuacioacuten 11) siempre pasaraacute por el origen de coordenadas Recueacuterdese que por definicioacuten no puede soportar ninguacuten esfuerzo cortante por pe-quentildeo que sea Por ello cuatro de las liacuteneas represen-tadas (todas las que pasan por el origen) corresponden a fluidos Ya se ha dicho que el eje de abscisas modela el comportamiento del fluido ideal (μ = 0) En segun-do lugar la recta que pasa por el origen de pendiente constante corresponde al fluido newtoniano que deja de serlo cuando la relacioacuten no es lineal (los dos casos restantes) Si la curva vista desde el eje de abscisas es convexa este fluido no newtoniano se dilata porque a medida que se va deformando ofrece maacutes resistencia a

dvdy

Liacutem

ites d

e flu

enci

a

Gradiente de velocidad

Plaacutestico ideal de Bingham

Plaacutestico

No Newtoniano (dilatante)

Newtoniano

No Newtoniano (pseudoplaacutestico)

ζτ

seguir hacieacutendolo Es el caso de las arenas movedizas Y al contrario si cada vez es maacutes faacutecil deformar se tiene un fluido pseudoplaacutestico porque como tal se comporta (a medida que se le deforma el plaacutestico ofrece menos resistencia) Pero claro como la graacutefica pasa por el ori-gen de coordenadas sigue siendo un fluido La pulpa de papel en agua o el plasma sanguiacuteneo muestran este comportamiento La ciencia que se ocupa de los fluidos no newtonianos (algunos de ellos tienen ya se ha visto notable importancia) se llama reologiacutea

Por uacuteltimo la graacutefica tambieacuten muestra la relacioacuten t - dVdy para los plaacutesticos La diferencia con los flui-dos es clara Se necesita un esfuerzo cortante miacutenimo para que comiencen a deformarse Despueacutes ya se ha dicho cada vez es maacutes faacutecil seguir hacieacutendolo (la curva muestra su concavidad) Por uacuteltimo los plaacutesticos cuyo comportamiento una vez superado el esfuerzo cortan-te de inicio de la fluencia es anaacutelogo al de un fluido se denominan de Bingham El chocolate por ejemplo tiene este singular comportamiento

Ya para concluir conviene referirse a otras medidas de la viscosidad que con frecuencia aparecen en tratados teacutecnicos Como los segundos universales Saybolt (SUS) o los grados Engler (ordmE) Al representar la viscosidad la resistencia de un fluido a deformarse (se le llama flui-dez al inverso de la viscosidad) las primeras medidas de la viscosidad se hicieron midiendo el tiempo que tardaba en vaciarse una determinada vasija estaacutendar llena del fluido en cuestioacuten El resultado es una medi-da obviamente expresada en segundos (SUS) En oca-siones (es el caso de los grados Engler) se establece el cociente entre los tiempos de vaciado del fluido en cues-tioacuten y el del agua (ordmE) Finalmente cuando se habla de grados SAE de un aceite lubricante no se estaacute dando su viscosidad sino refirieacutendose a unas prestaciones prees-tablecidas por la SAE (Society of Automotive Engineers) de los USA No es pues una medida de viscosidad Es sencillamente una clase de lubricante

Moacutedulo de elasticidad volumeacutetrico

Algunas propiedades de la materia (la densidad el ca-lor especiacutefico o la conductividad teacutermica) son propias tanto de los soacutelidos como fluidos Otras son exclusivas de los fluidos Como la viscosidad descrita en el pre-cedente epiacutegrafe o el moacutedulo elaacutestico como ya se ha


visto Por uacuteltimo hay un tercer grupo de propiedades (la tensioacuten superficial y la presioacuten de vapor) que son especiacuteficas de una parte de los fluidos de los liacutequidos Y como acostumbra a suceder exclusividad comporta relevancia Dicho de otro modo las dos propiedades que mejor caracterizan el comportamiento de un flui-do son la viscosidad y el moacutedulo elaacutestico Tan es asiacute que cual se ha dicho permiten clasificarlos

El moacutedulo de compresibilidad volumeacutetrico cuantifica la cualidad de estos medios continuos de almacenar energiacutea elaacutestica Y asiacute al comprimir un fluido eacuteste almacena una energiacutea elaacutestica que al dejar de estar presionado devolveraacute Gracias esta propiedad y soacutelo debido a ella se pueden transportar tan faacutecilmente Porque una bomba (en el caso de un liacutequido) o un compresor (en el caso de un gas) comprimen el fluido que pasa a almacenar una energiacutea elaacutestica que se iraacute empleando tanto en vencer el rozamiento que las tube-riacuteas de transporte ofrecen a su avance como el desnivel entre dos puntos maacutes bajo el de partida maacutes alto el de llegada Y si el desnivel estaacute a favor del movimiento esta energiacutea potencial puede convertirse perfectamen-te en energiacutea elaacutestica Tal sucede en las tuberiacuteas que suministran el agua a las centrales hidroeleacutectricas

La compresioacuten del fluido le permite acumular pues una energiacutea elaacutestica que cuando se propicie iraacute poco a poco devolviendo cuando la compresioacuten disminuya Como es bien sabido un soacutelido elaacutestico se comporta de manera muy distinta De entrada tambieacuten admite la compresioacuten pero al contrario que el fluido admite una traccioacuten que por pequentildea que sea eacuteste no pue-de soportar Y tambieacuten devuelve la energiacutea cuando el esfuerzo (sea traccioacuten o compresioacuten que igual da en el soacutelido elaacutestico) al que ha sido sometido desaparece Con todo en el distinto comportamiento entre soacutelidos y fluidos hay una segunda diferencia que auacuten mar-ca maacutes la distancia entre estos dos tipos de materia Mientras el soacutelido tiene un liacutemite elaacutestico (si se alcanza pierde esta propiedad) el fluido se puede comprimir tanto cuanto se desee No tiene liacutemite elaacutestico Su com-portamiento no se veraacute modificado por la magnitud de la presioacuten a la que es sometido (aunque la modifi-cacioacuten de la presioacuten si puede cambiar cual la figura 3 evidencia su estado)

Pues bien es el moacutedulo elaacutestico quien mide la mayor o menor elasticidad (siempre a compresioacuten) de un flui-

do Por ello es la relacioacuten entre la causa (el aumento de presioacuten Δp) y el efecto la variacioacuten de volumen rela-tiva es decir la variacioacuten unitaria porcentual (y por tanto sin dimensiones) de volumen Y todo ello prece-dido por el signo menos para que el moacutedulo elaacutestico K sea un valor positivo toda vez que a un aumento de presioacuten (al comprimir es siempre positivo) le corres-ponde una disminucioacuten de volumen (siempre negati-va) En definitiva

Las unidades de K siendo el denominador adimensio-nal coinciden con las del numerador Son pues uni-dades de presioacuten (por ejemplo Nm2 o bares)

Obviamente si el moacutedulo K no es constante (es el caso de los gases cuya resistencia a la compresioacuten crece a medida que estaacuten maacutes comprimidos) la expresioacuten en forma incremental (17) no es correcta (el valor de K depende de la presioacuten) y la relacioacuten debe formularse en forma diferencial Es decir

De tal manera que la expresioacuten (18) puede utilizarse tanto para liacutequidos como para gases pero no asiacute la (17) soacutelo vaacutelida para liacutequidos Y no es que en este caso la K no dependa tambieacuten de la presioacuten Es sen-cillamente porque las mayores presiones a las que se somete un liacutequido (generalmente en las prensas hidraacuteulicas) pueden ser como mucho unos cientos de bares un valor pequentildeo comparado con el del moacute-dulo elaacutestico tiacutepico de un aceite mineral unos 15000 bares Es decir como mucho un 3 de su valor una cantidad con relacioacuten al valor de partida muy poco significativa

El inverso del modulo elaacutestico K es el coeficiente de compresibilidad α Cuanto mayor es el primero me-nor es la compresibilidad del fluido En el caso del

(17)K p= minus

∆∆forallforall

(18)K dpd

= minusforallforall


agua (Kemspemspemspemspbares) α es loacutegicamente casi cero En otras palabras el agua no es compresible lo que permite establecer la maacutes conocida clasificacioacuten de los fluidos (liacutequidos y gases) Son liacutequidos aquellos que para las presiones que en el mundo ingenieril se ma-nejan apenas se pueden comprimir (α 0) y gases los que siacute lo son pues el valor de K es muy discreto con relacioacuten a las variaciones de presioacuten a las que son so-metidos Por lo tanto su inverso es bien distinto de cero Y auacuten hay maacutes En el caso de los gases K no es soacutelo pequentildeo y variacutea con la presioacuten Tambieacuten su valor depende de coacutemo se efectuacutee la compresioacuten Es menor si eacutesta es isoterma Y se entiende Al permitir evacuar el calor generado durante el proceso de compresioacuten (soacutelo asiacute se puede mantener la temperatura del gas que evoluciona constante) se disminuye la agitacioacuten molecular y por tanto la resistencia que ofrece si se sigue comprimiendo es menor

En efecto el moacutedulo elaacutestico K de cualquier gas per-fecto coincide con la presioacuten p que soporta siempre que se comprima de manera isoterma Cuando la com-presioacuten es adiabaacutetica es sin embargo igual a γp con γ la relacioacuten de calores especiacuteficos (cpcv) Para el aire gas biatoacutemico γ = 14 En definitiva si la compresioacuten es isoterma el aire a 8 bares de presioacuten absoluta (el del interior de una rueda de bicicleta bien hinchada) es 2500 veces maacutes compresible que el agua para la que K 20000 bares Pero en el de una rueda apenas hin-chada (p = 1 bar) la relacioacuten es 20000 una relacioacuten que disminuye raacutepidamente a medida que aumenta la pre-sioacuten hecho que se constata al hinchar la rueda de la bicicleta con un bombiacuten El esfuerzo que requieren las emboladas finales es muy superior al de las iniciales una diferencia amplificada si el proceso de hinchado es el habitual mucho maacutes proacuteximo a una evolucioacuten adiabaacutetica que isoterma (se lleva a cabo en un corto espacio de tiempo)

La justificacioacuten de estos valores de K es muy sencilla Recordando que la masa la propiedad que relacio-na volumen y densidad es un invariante la relacioacuten (18) se puede reescribir en funcioacuten de la densidad resultando

(19)

20000

20000

20000

K dpd

=ρρ

Diferenciando en la ecuacioacuten de los gases perfectos la presioacuten (supuesta la evolucioacuten isoterma y por tanto la temperatura T = T0 = constante) se tiene

(110)

Combinando estas dos uacuteltimas expresiones de inme-diato se obtiene K = p Obviamente si la evolucioacuten es adiabaacutetica la expresioacuten (110) no es vaacutelida En este caso hay que utilizar la ecuacioacuten correspondiente que es

y proceder como antes El resultado que se obtiene (K = γp) ya ha sido anticipado

El moacutedulo elaacutestico juega un papel mucho maacutes relevan-te en dinaacutemica de gases (flujo compresible) que en el caso de liacutequidos Por ello no puede extrantildear que mu-chos tratados claacutesicos de la Mecaacutenica de Fluidos (entre otros el libro de White a nuestro parecer el mejor texto baacutesico de este cuerpo de doctrina de la Fiacutesica razoacuten por la cual se referencia y recomienda) posponen su definicioacuten hasta llegar a esta parte de la materia Pero tampoco conviene olvidar que el moacutedulo elaacutestico jue-ga un papel muy relevante en determinados anaacutelisis de flujos liacutequidos En concreto en los transitorios hi-draacuteulicos raacutepidos es decir en el caacutelculo del golpe de ariete Y asiacute la maacutexima sobrepresioacuten generada por el cierre brusco de una vaacutelvula en una tuberiacutea de agua es proporcional a la raiacutez cuadrada del moacutedulo elaacutestico K No extrantildea pues que en tuberiacuteas de gas (por ejemplo en una red de aire comprimido) los cierres raacutepidos de vaacutelvulas para nada preocupen El valor de K es muy pequentildeo Y con eacutel tambieacuten el del pulso de presioacuten

Otras propiedades especiacuteficas de los fluidos

Al contrario de las dos propiedades anteriores (pro-pias de todos los fluidos) hay otras que son especiacuteficas de los liacutequidos pero no de los gases En cualquier caso en dos de ellas (la constante de solubilidad de Henry y

dp d RT= ρ 0

(111)p C

ργ =


la presioacuten de vapor) intervienen de manera indirecta La tercera la tensioacuten superficial a la que seguidamente se hace referencia nada tiene que ver con los gases

La tensioacuten superficial de un liacutequido σ es la energiacutea requerida porque en los liacutequidos las fuerzas intermo-leculares asiacute lo exigen para aumentar su superficie una unidad de aacuterea En consecuencia sus unidades son las de una energiacutea por unidad de superficie (Nmiddotmm2) equivalente a fuerza por unidad de longitud (Nm) Es una propiedad extremadamente impor-tante en determinadas aplicaciones Condiciona la mayor o menor facilidad de atomizacioacuten del com-bustible en un motor diesel Tambieacuten el estudio de puentes liacutequidos (masa de agua entre dos superficies como la de una gota entre dos dedos que la tensioacuten superficial del agua impide se parta en dos) de intereacutes para medir aceleraciones en ingenieriacutea aeroespacial (condiciones de micro gravedad) Pero desde oacuteptica de las aplicaciones que aquiacute nos ocupan es una pro-piedad de escaso intereacutes praacutectico De hecho no vuelve a aparecer en todo el curso

La segunda propiedad que se comenta evaluacutea la capa-cidad (mayor o menor) de los liacutequidos de disolver un gas en su seno La enuncioacute a principios del siglo XIX Henry estableciendo que a una determinada tempera-tura la masa de gas que un liacutequido tiene capacidad de disolver (la solubilidad S del gas en el liacutequido) es pro-porcional a la presioacuten parcial p que el gas ejerce sobre el liacutequido La propiedad es la constante de proporcio-nalidad CH de la Ley de Henry

(112)

Desde la oacuteptica de esta asignatura la solubilidad de aire₋agua tiene intereacutes en el anaacutelisis del flujo de agua a presioacuten Y lo tiene porque la presencia del aire en el agua puede generar problemas si al final se llega a acu-mular en puntos especiacuteficos de la tuberiacutea (obviamente por ser el aire maacutes ligero que el agua en los puntos altos) formando una bolsa de aire atrapado Una caiacute-da de presioacuten notable en el sistema puede propiciar la liberacioacuten de aire previamente disuelto porque al disminuir la presioacuten el agua pierde parte de su capa-cidad para almacenarlo Para prevenir este fenoacutemeno lo mejor es evitar que entre aire en la fase de aspiracioacuten

S C pH=

de agua por el sistema Si ni hay aire disuelto no habraacute posibilidad de liberarlo

Figura 3emspEl diagrama p-V-T (tridimensional arriba bidimensional debajo)

Ya por uacuteltimo nos se referenciaraacute la presioacuten de vapor una propiedad que tiene notable intereacutes porque expli-ca el fenoacutemeno de la cavitacioacuten tan frecuente como perjudicial en la hidraacuteulica a presioacuten (aunque tam-bieacuten se presenta ya se ha dicho en flujos muy raacutepidos

Pres

ioacuten

Soacutelido

Punto triple (liacutenea)Volumen

Temperatura

Liacutequido

Gas

Punto criacutetico

P

V

PC

VC

Vapor

Gas

Liq-Vapor

Liacutequido


en laacutemina libre) Para explicarlo hay que recordar el diagrama p-V-T (figura 3) de un compuesto quiacutemico en general y del agua en particular El agua dependiendo de las condiciones en que se encuentre puede ser hielo (soacutelido) o fluido Este a su vez puede ser un liacutequido (el agua por excelencia) o un gas (vapor de agua) Faacutecil es imaginar que a bajas temperaturas siempre seraacute un soacutelido mientras que para valores elevados sucederaacute lo contrario La figura 3 (abajo) es un simple corte oblicuo de la representacioacuten tridimensional de la izquierda Representando en los ejes de la figura bidimensional la presioacuten y el volumen la temperatura es un paraacute-metro que permanece constante sobre las liacuteneas que atraviesan los tres estados del agua Cual se ve dentro de la campana en la que conviven dos fases (vapor y liacutequido) las isotermas son liacuteneas horizontales Con re-lacioacuten a este diagrama conviene subrayar

-emspQue a partir de un valor de la temperatura (en el caso del agua 374 ordmC) es imposible licuar el vapor Corresponde a la isoterma tangente a la campana en su veacutertice superior llamado punto criacutetico La presioacuten en este punto denominada criacutetica es 225 bares Son sobre todo por lo que a la presioacuten res-pecta unas condiciones en la praacutectica difiacuteciles de alcanzar

-emspObservar en la grafica bidimensional que la campa-na no llega hasta el eje de abscisas La figura de la izquierda (y tambieacuten el sentido comuacuten) lo aclaran A partir de 0 ordmC el agua es hielo La base de la cam-pana se corresponde praacutecticamente con la isoterma t = 0 ordmC aunque la presioacuten puede modificar ligera-mente el paso de liacutequido a soacutelido del agua La figu-ra tridimensional de la izquierda asiacute lo evidencia

Con todo no es el objeto de esta leccioacuten centrarnos en asuntos maacutes propios de la Fisicoquiacutemica que de la Mecaacutenica de Fluidos (aunque en ingenieriacutea tener una visioacuten transversal siempre es muy positivo) Porque ahora nos ocupa definir correctamente la presioacuten de vapor del agua que cual muestra la figura 4 tiene un valor que depende de la temperatura Asiacute lo explica la figura 3 Porque presioacuten de vapor (pv) es aquella a la que por estar en equilibrio el liacutequido con su propio vapor aquel hierve (Te) De este modo cada punto de la curva de la figura 4 queda definido por cada par de valores (Te-pv) que corresponden a cada una de las ho-rizontales de la figura 3 Y ello porque en la figura 3 las

isotermas devienen horizontales en cuanto los dos es-tados (liacutequido y vapor) coexisten Dicho de otro modo las dos formas posibles de agregacioacuten de la materia (liacute-quidos y gases) bajo el paraguas fluido entran equili-brio al ingresar en la campana la isoterma que seguiraacute siendo horizontal mientras permanezca dentro de ella

Cual se veraacute el agua en el interior de una tuberiacutea a presioacuten puede soportar presiones altas Pero tambieacuten puede estar sometida a presiones muy bajas (por deba-jo de la presioacuten atmosfeacuterica) Casi siempre sucede por una transformacioacuten de energiacutea de presioacuten en cineacutetica Un caso tiacutepico es el de las vaacutelvulas reductoras de pre-sioacuten Si la presioacuten baja tanto que se iguala a la presioacuten de vapor del agua a la temperatura en que se encuen-tra comienza la vaporizacioacuten o dicho con un teacutermino maacutes hidraacuteulico cavita Un efecto que cual se veraacute es muy inconveniente sobre todo por el dantildeo que genera en las partes metaacutelicas del sistema La cavitacioacuten apa-rece no soacutelo en las vaacutelvulas que reducen la presioacuten Tambieacuten en la aspiracioacuten las bombas en las heacutelices de un barco o de una turbina hidraacuteulica en un estrangu-lamiento de una tuberiacutea (tipo venturi) etceacutetera

Figura 4emspPresioacuten de vapor del agua en funcioacuten de la temperatura

El fenoacutemeno es ideacutentico al de una olla expreacutes en la que el agua comienza a hervir obviamente a los 100 ordmC pero muy pronto esta ebullicioacuten se pospone Porque

Temperatura (ᴼC)

Pres

ioacuten

de v

apor

(kPa

)

0 20 40 60 80 100

20

40

60

80

100


estando atrapado el vapor de agua que se genera al comenzar a hervir el agua (al principio ya se ha dicho a la temperatura prevista) ese mismo vapor atrapa-do por la tapadera de la olla aumenta la presioacuten que soporta el agua Y para seguir hirviendo va tener que igualarse la presioacuten de vapor a la nueva (y superior) presioacuten lo que exige un aumento de la temperatura Un proceso que de no purgarse el vapor generado provocariacutea la explosioacuten de la olla Y los alimentos loacute-gicamente a temperaturas superiores a los 100 ordmC se cuecen maacutes raacutepidamente Pues bien la cavitacioacuten es justamente el fenoacutemeno inverso El punto de ebulli-cioacuten se anticipa tanto maacutes cuanto menor sea la presioacuten que el agua soporta

Conceptos y propiedades a recordar

Hay otras propiedades que caracterizan el comporta-miento de la materia en general y de los fluidos en par-ticular En el estudio de los fluidos las maacutes importan-tes son la velocidad V la presioacuten p la densidad r (o alternativamente el peso especiacutefico γ) y en la Mecaacuteni-ca de Fluidos teacutermica (cuando hay importantes flujos de calor) la temperatura T Si el fluido es incompresi-ble (es decir si r es constante) el problema se puede resolver sin la participacioacuten de las variables teacutermicas y se dice que el problema mecaacutenico y el teacutermico estaacuten desacoplados Porque en la mecaacutenica de los fluidos de los fluidos viscosos (o reales) siempre hay una com-ponente teacutermica Porque con el fluido en movimiento la viscosidad genera friccioacuten que se disipa en calor y que en definitiva lo calienta Pero se puede resolver primero el problema mecaacutenico y despueacutes ya de mane-ra maacutes sencilla hacer lo propio con el teacutermico Asiacute se haraacute cuando en la dinaacutemica integral se comparen la ecuacioacuten de Bernouilli con la de la energiacutea Pero claro en un problema teacutermico claacutesico las ecuaciones no se desacoplan

Se veraacute que la ecuacioacuten de Bernouilli es soacutelo vaacutelida en los flujos incompresibles de los liacutequidos (moacutedulo elaacutes-tico K muy grande) Pero tambieacuten hay flujos de gases que se pueden resolver utilizando la ecuacioacuten de Ber-nouilli De hecho siempre que evolucionen de manera que las variaciones de presioacuten y temperatura (recordar la ecuacioacuten de los gases perfectos que de cualquier modo se repasa en el epiacutegrafe que sigue) sean muy pequentildeas y consecuentemente el valor de r apenas

cambie Es el caso de un circuito de aire comprimido tan habitual en la industria

Limitaciones de tiempo obligan a abordar fundamen-talmente problemas de flujos incompresibles De he-cho los uacutenicos flujos de gases no compresibles que se consideran son isotermos por lo que conocida las tem-peraturas el problema teacutermico se simplifica extraordi-nariamente de modo que apenas hay diferencia con el flujo genuinamente mecaacutenico (incompresible) De ahiacute que las propiedades que en este curso maacutes veces apa-recen son las mecaacutenicas Sus unidades sobre todo en los dos sistemas maacutes utilizados el SI y el CGS deben manejarse a la perfeccioacuten Y pese a que escribir esta frase en un texto cuya misioacuten es apoyar a alumnos que estaacuten cursando estudios de ingenieriacutea genera sonrojo la experiencia dice que en este caso es mejor pasarse que quedarse corto Hay demasiado en juego

Ademaacutes de la temperatura otras propiedades teacutermi-cas intervienen en los flujos mecaacutenicos desacoplados que a lo largo de esta asignatura se estudian Son los calores especiacuteficos a presioacuten y volumen constan-te una diferencia inexistente en el caso de liacutequidos cuyo calor especiacutefico (en singular) es praacutecticamente constante asiacute como la energiacutea interna u y la entalpiacutea h combinacioacuten de variables mecaacutenicas y teacutermicas (h = u + pr) Y obviamente la viscosidad μ el paraacuteme-tro que vincula lo mecaacutenico (genera la friccioacuten) con lo teacutermico (el rozamiento genera calor que se traduce en un aumento de temperatura del liacutequido bien que cual se veraacute inapreciable)

Las restantes propiedades teacutermicas (entropiacutea y con-ductividad teacutermica) no intervienen en ninguno de los problemas de Mecaacutenica de Fluidos que este curso aborda Pero juegan un papel clave en la Mecaacutenica de Fluidos Teacutermica Conviene insistir en ello Tampoco estaacute de maacutes (se han estudiado en termodinaacutemica) que se conozca perfectamente su significado fiacutesico Propi-cia la transversalidad del conocimiento algo muy im-portante ya se ha dicho en un buen profesional de la ingenieriacutea

Ecuaciones de estado de los fluidos

La ecuacioacuten de estado de los gases perfectos relaciona de manera muy sencilla las variables fundamentales


con las que se modela su comportamiento Cuando la masa del gas que evoluciona se refiere al nuacutemero de moles n su constante R es universal por lo que se denominaraacute Ru razoacuten por la que acostumbra a utili-zarse de este modo (ecuacioacuten 113) en los tratados de quiacutemica

Sin embargo en Mecaacutenica de Fluidos es maacutes coacutemodo expresar la masa del gas directamente en Kg en vez de referirla al nuacutemero de moles lo que tiene dos conse-cuencias De una parte la constante Ru pierde su caraacutec-ter universal y pasa a depender de la masa molecular del gas que evoluciona por lo que se denominaraacute Rg De otra la ecuacioacuten (113) se convierte en la ecuacioacuten (114)

(114)

En el caso del aire el peso molecular equivalente se ob-tiene ponderando el de los dos gases que lo componen Aproximadamente el 22 de oxigeno (peso molecu-lar de 32 gmol) mientras el restante 78 es nitroacutegeno (peso molecular de 28 gmol) Por tanto

(115)

Pero un ajuste maacutes fino de la composicioacuten del aire (el aire no soacutelo es oxigeno y nitroacutegeno) lleva a una masa molecular ligeramente superior (M = 2896 gmol) Si ademaacutes se tiene en cuenta que una atmoacutesfera es 1013 bares y por tanto 101300 Nm2 el cambio de unidades de la constante Ru al sistema internacional proporciona un valor de Rg = 287 N middot mKg middot K que es el que se utiliza en todos los flujos de aire Pero es un valor que corres-ponde al aire Porque al analizar la evolucioacuten de gas natural (metano con un peso molecular de 16 gmol) por una tuberiacutea la constante Rg de este gas seraacute casi el doble que la del aire toda vez que su masa molecular es casi la mitad

p nR R at lmol Ku uforall = =

timesT con 0 082deg

(113)

p R Tg= ρ

M g molaire = sdot + sdot =0 78 28 0 22 32 28 88

Por lo general el transporte de gases por tuberiacuteas (ga-seoductos redes urbanas de gas etceacutetera) es isotermo y cual se ha dicho se estudiaraacute maacutes adelante Ello supone que el calor que la friccioacuten genera no se tra-duce en un aumento de temperatura del fluido Bien porque no es suficiente para generar un calentamien-to significativo o bien porque ese calor va escapando por las paredes de la tuberiacutea En el extremo opuesto se encuentran los adiabaacuteticos en los que no hay flu-jos teacutermicos a traveacutes de las superficies que limitan el movimiento del fluido Todo sucede tan raacutepidamente que no hay tiempo para el intercambio de calor Con diferencia el caso maacutes notable es el flujo a traveacutes de las toberas propulsoras de un avioacuten a reaccioacuten Los tramos por los que la mezcla de gases evoluciona son muy cortos pero pese a ello la mezcla de combus-tible y oxidante tras la combustioacuten va adquiriendo gran velocidad y con ella capacidad de propulsioacuten cual se veraacute en la leccioacuten de dinaacutemica integral Y cuando la evolucioacuten no es tan raacutepida como para ser adiabaacutetica pero tampoco tan lenta como para tener un flujo isotermo se tiene el caso intermedio el del flujo politroacutepico

Todas estas evoluciones las modela la ecuacioacuten (116) complementaria de la ecuacioacuten de estado En ella γ es variable y dependiente de la mayor o menor rapidez del proceso Igual a la unidad en el flujo isotermo y a 14 en la evolucioacuten adiabaacutetica (γ = cpcv = 14 es el resul-tado de dividir los valores de los calores especiacuteficos a presioacuten y volumen constante de gases biatoacutemicos como los que integran el aire) Asiacute lo ensentildea la termo-dinaacutemica claacutesica

El flujo politroacutepico del que un ejemplo tiacutepico es la evolucioacuten de aire confinado en el interior de un calderiacuten antiariete se modela con la misma ecuacioacuten (116) si bien con valores del exponente γ comprendidos entre los dos evoluciones extremas (isoterma y adiabaacutetica) con (1 lt γ lt 14) porque aun-que al evolucionar el gas no conserva la temperatura (el flujo no es isotermo) la transmisioacuten de calor con las paredes tampoco es nula (la caracteriacutestica de los flujos adiabaacuteticos)

p Cργ = (116)


Significar que mientras los gases tienen una ecuacioacuten de estado bien establecida tal no ocurre con los liacutequi-dos Supuestos incompresibles dos relaciones

(117)

expresan y en su caso relacionan las variables sig-nificativas del flujo De hecho la primera impone la supuesta incompresibilidad del liacutequido mientras la segunda permite ligar las variables teacutermicas Estas ecuaciones de estado de los liacutequidos no deben con-fundirse con la hipoacutetesis de Stokes que relaciona cau-sa (tensiones) y efectos (deformaciones) en los flujos fluidos y de los que la versioacuten maacutes simplificada es la ecuacioacuten (11) que ha permitido definir la viscosidad

Conclusioacuten

Tras el estudio de esta leccioacuten el alumno debe saber queacute es la Mecaacutenica de Fluidos la importancia que su estudio tiene en el marco de la titulacioacuten que estaacute cur-sando la amplitud del campo cubierto por este apasio-nante cuerpo de doctrina de la Fiacutesica y sin perder esa visioacuten general conocer sus numerosas aplicaciones y tener clara la orientacioacuten que a lo largo de este curso se va a seguir Un enfoque condicionado tanto por el tiempo disponible como sobre todo por el marco que le confiere la titulacioacuten en que la asignatura se cursa En cualquier caso una visioacuten completa de esta materia la proporciona el libro de Mecaacutenica de Fluidos que se recomienda El de FM White

En cualquier caso y ya de manera maacutes concreta de-beraacute

-emspConocer las caracteriacutesticas de los fluidos y lo que les distingue de los soacutelidos

-emspRecordar las variables y conceptos tanto mecaacutenicos y termodinaacutemicos que caracterizan su comporta-miento y que permiten seguir su evolucioacuten ya estu-diadas en cursos precedentes (densidad peso espe-ciacutefico velocidad aceleracioacuten presioacuten temperatura fuerza trabajo potencia calores especiacuteficos ener-giacutea interna entalpiacutea y entropiacutea) asiacute como las unida-des fiacutesicas en las que se expresan particularmente

ρ = =Cdh c dTeρ = =Cdh c dTe

en los sistemas maacutes utilizados (SI y CGS) Este es un requisito imprescindible para avanzar con pie firme en la asignatura

-emspComprender las dos propiedades especiacuteficas de los fluidos a saber la viscosidad (mecaacutenica y cinemaacute-tica) y moacutedulo elaacutestico Tambieacuten recordar propie-dades ya vistas como la tensioacuten superficial la ca-pacidad que tiene los liacutequidos de disolver gases y sobre todo la presioacuten de vapor y el concepto de ca-vitacioacuten intriacutensecamente ligado a eacutel Y obviamente conocer a la perfeccioacuten tanto sus dimensiones como las unidades en cada uno de los sistemas

-emspRecordar las ecuaciones de estado de los fluidos tanto en liacutequidos como en gases

-emspEn definitiva haber comprendido a la perfeccioacuten todos los conceptos expuestos en esta leccioacuten y ha-ber refrescado todos los que de manera directa o indirecta aquiacute se mencionan y que no se han des-crito por haber sido ya estudiados en cursos pre-cedentes


Bibliografiacutea

Bonnnin J 1984Lrsquoeau dans lrsquoantiqueteacute Lrsquohydraulique avant notre egravereCollection de la Direction des Etudes et Recherches drsquoElectricite de France Eyrolles Paris

Cabrera E Arregui F 2010 La Ingenieriacutea y la gestioacuten del agua a traveacutes de los tiempos Aprendiendo de la historiaITA Universidad Politeacutecnica de Valencia

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Viollet PL 2000Hydraulique dans les civilisations anciennesPresses de lrsquoEcole National des Ponts et Chausseacutes Paris

White FM 2008Mecaacutenica de Fluidos 6ordf edicioacutenMc Graw Hill Interamericana Madrid

Anexos

Figura 5emspViscosidades dinaacutemicas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Figura 6emspViscosidades cinemaacuteticas de los fluidos en funcioacuten de la temperatura

Tetraclorurode carbono

Bioacutexido de carbono

1 middot 10-4

20

1 middot 10-1 Aceite SAE-10W

1 middot 10-2

GlicerinaAceite de ricinoAceite SAE-30

Aceite SAE-10W-30Mercurio

Queroseno

Agua

10

1 middot 10-3

1 middot 10-5

Octano Heptano

Hidroacutegeno

Aire Helio Metano

20 60 100 140 180 220

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

μ(N

middot s

m2 )

Vis

cosi

dad

μ(lb

-s

ft2 )

1 middot 10-2

1 middot 10-3

1 middot 10-4

4

1 middot 10-5

1 middot 10-6

2 ∙ 10-7

220

Tetracloruro de carbono


1 middot 10-6

1 middot 10-3

Aceite SAE-10W

1 middot 10-4

GlicerinaAceite SAE-30

Aceite SAE-10W-30

Mercurio

QuerosenoAgua

1 middot 10-5

1 middot 10-7

Octano

Heptano

Hidroacutegeno

Aire

HelioMetano

20 60 100 140 180

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(m

2 s

)

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(ft

2 s

)1 middot 10-2

1 middot 10-6

1 middot 10-3

1 middot 10-4

1 middot 10-5

1 middot 10-2


Tabla 1emspUnidades de las principales variables mecaacutenicas y factores de conversioacuten entre el sistema ingleacutes y el internacional (SI)

Cantidad Unidades inglesas Sistema internacional (SI) Factor de conversioacuten

Longitud pulgada miliacutemetro 1 in = 254 mm pie metro 1 ft = 03048 m milla kiloacutemetro 1 milla = 1609 km yarda

1 milla = 5280 ft1 milla = 1760 yd

Aacuterea Pulgada cuadrada Centiacutemetro cuadrado 1 in2 = 6452 cm2

Pie cuadrado metro cuadrado 1 ft2 = 009290 m2

Volumen pulgada cuacutebica centiacutemetro cuacutebico 1 in3 = 1639 cm3

pie cuacutebico metro cuacutebico 1 ft3 = 002832 m3

Galoacuten( US o Brit)

1 gal(US) = 231 in3 = 0003789 m3

1 gal (Brit) = 12 gal (US)Masa libra-masa kilogramo 1 lbm = 04536 kg slug 1 slug = 1459 kg onza 1 oz = 2835x10-3 kgDensidad slugpie cuacutebico kilogramometro cuacutebico 1 slugft3 = 5154 kgm3

Fuerza libra-fuerza newton 1lb = 4448 NTrabajo pie-libra newton-metro 1ft-lb = 1356 N-m

Presioacuten librapulgada cuadrada newtonmetro cuadrado (pascal) 1 psi = 6895 Pa

librapie cuadrado 1 psf = 4788 Pa Bar 1 bar = 105 Pa = 147 psi Pulgada de mercurio 1 psi = 2036 in Hg Pulgada de agua 1 psi = 277 in H2OTemperatura grado Fahrenheit grado Celsius degF= 95 degC+32 grado Rankine kelvin degR = 95 ordmK

Energiacutea unidad teacutermica britaacutenica (BTU) joule 1 Btu = 1055 J

caloriacutea 1 cal = 4186 J pie-libra

1 ft-lb = 1356 J1 BTU = 7782 ft-lb

Potencia caballo de fuerza watt 1 hp = 7457 W pie-librasegundo 1 ft-lbs = 1356 WVelocidad piesegundo metrosegundo 1 fts = 03048 ms Millahora 1 mph = 1467 fts

Aceleracioacuten piesegundo al cuadrado metrosegundo al cuadrado 1 fts2 = 03048 ms2

Frecuencia ciclosegundo hertz 1 cps = 1000 Hz

Viscosidad libra-segundopie cuadrado newton-segundometro al cuadrado 1 lb-sft2 = 4788 Nsm2

Stoke 1 stoke = 10-4 m2s Poise 1 poise = 01 N-sm2

Capiacutetulo 2

Estaacutetica de fluidos

Iacutendice

IntroduccioacutenUnidades

Referencias de presioacuten

Ecuacioacuten general de la estaacutetica de fluidosEcuacioacuten fundamental de la hidrostaacutetica aplicada al campo gravitatorio y fluidos incompresibles

Ecuacioacuten fundamental de la hidrostaacutetica aplicada al campo gravitatorio y fluidos compresibles

Fuerzas provocadas por la presioacuten hidrostaacuteticaFuerzas sobre superficies planas

Prisma de presiones

Fuerzas sobre superficies curvas

Flotacioacuten y estabilidad de los flotadores

Estaacutetica de Fluidos 31

Introduccioacuten

La estaacutetica de los fluidos estudia el comportamiento de los mismos en reposo Como quiera que el movi-miento por definicioacuten no existe los esfuerzos cortan-tes jamaacutes pueden estar presentes en fluidos en reposo toda vez que de haberlos creariacutean un gradiente de ve-locidades (recordar la definicioacuten de fluido en la leccioacuten precedente) que destruiriacutean el reposo del fluido

En consecuencia los esfuerzos superficiales que pue-den actuar sobre un elemento de superficie que rodea un punto del medio fiacutesico deben ser siempre normales y necesariamente de compresioacuten al no tener los flui-dos capacidad alguna para resistir la traccioacuten Ahora se veraacute como estos esfuerzos de compresioacuten son los mismos para un mismo punto cualquiera sea la orien-tacioacuten del elemento de superficie

Figura 1emspBalance de fuerzas sobre un elemento diferencial

Para justificarlo se toma en torno a un punto un ele-mento de volumen con caras planas y orientadas seguacuten dos planos del triedro y con un cierre de orientacioacuten geneacuterica dado por el aacutengulo θ Sobre dicho elemento de volumen actuacutean como uacutenicas fuerzas de superficie las presiones asiacute como un campo X que proporciona la fuerza unitaria de volumen La condicioacuten de equilibrio en reposo del elemento de volumen que se toma bi-dimensional pero cuya generalizacioacuten tridimensional seriacutea inmediata con solo tomar un tetraedro sencillo

(21)

x1

x2

θ

en

e2

e1

δx1

δx2

δS1

δSn

δS2

Xδminus

1 1P S

δminus

2 2P S

δminus

n nP S

δ δδ = 1 2

2x xV

F P S P S P S X Vn n

ur uru uru uru uru= rarr minus minus minus + =sum 0 01 1 2 2δ δ δ δ

y proyectando en las dos direcciones significativas queda

Donde se ha tenido en cuenta

(23a)

(23b)

(23c)

teniendo en cuenta que

(25a)

(25b)

y que el elemento de superficie puede ser tan peque-ntildeo como se desee entonces dx1 y dx2 tienden a cero resultando

(26)

que es lo que se queriacutea demostrar En consecuencia el es-tado de solicitacioacuten de un punto en estaacutetica viene dado por el escalar P Por el contrario en dinaacutemica es un tensor quien lo expresa integrado por su total de seis escalares

(22a)P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

(22b)

P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

δ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdot

(24)δδ δV x x

=sdot1 2

2

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

P P P Pn1 2= = =


Unidades

Las unidades de presioacuten fuerza por unidad de super-ficie en los diversos sistemas son

Tabla 1emspUnidades frecuentes

Sistema Denominacioacuten Unidades

CGS baria dinacm2 Sistema internacional Pascal Nm2

Teacutecnico kpm2

- Bar 105 Pa

Ingleacutes psi (libra por pulgada cuadrada) lbin2

- Torricelli mmHg

Todas ellas salvo el psi son muy pequentildeas por lo que se utilizan muacuteltiplos

(27)

O muacuteltiplos respecto a la presioacuten atmosfeacuterica estaacutendar

(28)

Tambieacuten es comuacuten expresar la presioacuten en muacuteltiplos de una columna de fluido como pueda ser el mercurio o el agua Las presiones referidas a las columnas de agua se utilizan habitualmente en hidraacuteulica No obstante en estos caso seriacutea maacutes propio hablar de altura de co-lumna de agua que de presioacuten y referirse a ella como Pγ siendo γ el peso especiacutefico del fluido utilizado como referencia o alternativamente con la letra H

Las equivalencias entre la presioacuten de una atmoacutesfera es-taacutendar y la presioacuten expresada en columna de mercurio son las siguientes

(29)(al mmHg frecuentemente se denomina Torricelli)

1 10 1 02 10 14 55 2 2 4 2 bar N m kp cm kp m psi= = = =

1 1 013 1013 1 033 2 atm bar milibares kp cm= = =

1 760 atm mmHg=


Se utilizan dos escalas (referencias) diferentes para la medida de la presioacuten Por un lado la presioacuten absoluta que estaacute referida a la presioacuten medida con respecto al vaciacuteo absoluto En ocasiones para aclarar que un de-terminado valor de presioacuten se mide con respecto al va-ciacuteo absoluto se antildeade un asterisco como superiacutendice

Alternativamente se utiliza frecuentemente la medida de presioacuten relativa (tambieacuten denominada presioacuten ma-nomeacutetrica) que es la presioacuten medida con respecto a la presioacuten atmosfeacuterica local

Figura 2emspReferencias de presioacuten

La presioacuten absoluta solamente puede ser positiva mientras que la presioacuten manomeacutetrica puede ser ne-gativa (lo que implica una presioacuten menor que la at-mosfeacuterica) La presioacuten atmosfeacuterica local se mide con baroacutemetros Puesto que la presioacuten atmosfeacuterica local es variable otro concepto que se utiliza frecuentemente es el de presioacuten atmosfeacuterica estaacutendar como una medi-da del valor tiacutepico de la presioacuten atmosfeacuterica Se suele adoptar un valor de 101325 Pa

Ecuacioacuten general de la estaacutetica de fluidos

Para obtener dicha ecuacioacuten se considera un elemento de volumen emspemspemspemspemspemspemsp y establecieacutendose un ba-lance integral de fuerzas

Lect

ura

loca

l bar

oacutemet

ro

P m

an 2

P a

bsol

uta

2

1 atm

P atm estaacutendar

P atm local

1

2

Vaciacuteo (P man negativa 1)

P absoluta 1

Cero absoluto (vaciacuteo completo)

1 atm = 760 mmHg = 1034 mca

δV dx dx dx= sdot sdot1 2 3


(210)

Las fuerzas que actuacutean sobre el elemento de volumen considerado se clasifican en fuerzas de volumen y de su-perficie Las fuerzas de superficie Fs por estar abordando un problema de estaacutetica uacutenicamente estaacuten constituidas por las fuerzas de presioacuten Las fuerzas de volumen Fv estaacuten condicionadas por el campo de fuerzas (por unidad de volumen) resultante sobre el elemento de volumen

(211)

Figura 3emspBalance de fuerzas en un volumen diferencial

Es decir si se expresa el campo fuerzas en teacuterminos de fuerza por unidad de volumen

No obstante si el campo de fuerzas hubiese estado re-ferido a la unidad de masa el resultado del anterior balance en un elemento de volumen hubiera resultado

(213)

F F Fs vsum sum sum= + = 0

P x x P Px

x x x X x x xvδ δ δ δ δ δ δ δ2 31

1 2 3 1 1 2 3 0minus +partpart

+ =

x3

x1

x2

δx2

δx1

δx3

x2v x1v

x3v

δ δ δ δ= 1 2 3V x x x

δ δ2 3P x x δ δ δδ

part+

1 2 3

1

PP x x xx

δ1vX V

partpart

=Px

X v1

1 (212)

partpart

=Px

Xρ1

1

Ecuaciones que vectorialmente se expresan

(214)

Representando cualquiera de las dos el principio fun-damental de la hidrostaacutetica Una referida a un campo de fuerzas por unidad de volumen y otra a un cam-po de fuerza por unidad de masa

Una superficie isoacutebara es el lugar geomeacutetrico de los puntos donde el escalar

(215)

es constante Puede demostrarse que el campo de fuer-zas emspoemsp es perpendicular a las superficies isoacutebaras si se tiene en cuenta que el gradiente de un campo es-calar al que se antildeade una constante no variacutea

(216)

Por tanto el vector gradiente del campo de presiones es perpendicular a las superficies isoacutebaras y por la ecuacioacuten fundamental de la hidrostaacutetica paralelo a las liacuteneas del campo de fuerzas emsp oemsp En otras palabras el campo de fuerzas intersecta a las superficies isoacuteba-ras ortogonalmente

En el caso del campo (por unidad de masa) gravitato-rio el maacutes frecuente en problemas de estaacutetica de flui-dos se tiene

(217)

Sustituyendo el valor de este campo de fuerzas en la expresioacuten de la ecuacioacuten fundamental de la hidrostaacute-tica se tiene

(218)

nabla nablaP X P Xv= =u ru uru

ρ


ρnabla nablaP X P Xv= =

u ru uruρ

P r P x y z P

( ) = ( ) = 0


ρnabla nablaP X P Xv= =u ru uru

ρ

nabla nablaP x y z P P x y z ( ) minus( ) = ( )0



ρ

X gkuru r

= minus

dP g z+ sdot sdot =ρ 0


Ecuacioacuten fundamental de la hidrostaacutetica aplicada al campo gravitatorio y fluidos incompresibles

A la hora de resolver la anterior ecuacioacuten debe tener-se en cuenta las posibles variaciones de la densidad con la presioacuten o con la coordenada z No obstante en el caso de fluidos incompresibles la densidad es invariante independientemente de las anteriores variables por lo que la resolucioacuten de la ecuacioacuten es inmediata

(219)

En el caso de la hidraacuteulica se trabaja con presiones ma-nomeacutetricas (referidas a la presioacuten atmosfeacuterica local) Por ello tomando como origen de cotas la superficie libre del fluido donde la presioacuten coincide con la pre-sioacuten atmosfeacuterica y se tendriacutea una presioacuten manomeacutetrica igual a cero resulta sencillo obtener la presioacuten en cual-quier punto del fluido

Figura 4emspCriterio de signos

En el caso de la figura anterior se toma como valores positivos del eje z los que coinciden con el sentido de la fuerza de la gravedad

Ecuacioacuten fundamental de la hidrostaacutetica aplica-da al campo gravitatorio y fluidos compresibles

En el caso de fluidos compresibles se debe tener en cuenta que la densidad puede variar tanto en funcioacuten de la presioacuten del fluido en cada punto como de su po-sicioacuten en el espacio Si se trata de un fluido ideal cuyas evoluciones se rigen por la ecuacioacuten de los gases per-fectos se tiene

dP g dz P P g z z z zP

P

z

z

int int+ sdot = rarr minus = minus minus( ) = minus minus( )ρ ρ γ0 0

000 0 0 0

Superficie libre0z gt

γP z= minus γP z= 0z gt

Ec estaacutetica(220)

Ec gases perfectos

Para realizar la integracioacuten es necesario conocer una relacioacuten adicional como por ejemplo la variacioacuten de la temperatura T en funcioacuten de la altura z para lo cual se puede utilizar una expresioacuten como la siguiente (perfil teacutermico lineal)

(221)

Siendo B una constante T la temperatura absoluta a una cota z y T0 la temperatura absoluta a cota cero De las anteriores expresiones se llegariacutea a

Sustituyendo las condiciones de contorno anterior-mente comentadas (P0 = Patm = 0 z0 = 0 ademaacutes T0 y B son conocidas) se llega a

(223)

Fuerzas provocadas por la presioacuten hidrostaacutetica

A continuacioacuten se estudiaraacute las acciones que un fluido incompresible (liacutequido) ejerce sobre las superficies in-mersas en el mismo ya sean planas o curvas

Fuerzas sobre superficies planas

Se pretende evaluar la fuerza sobre la superficie plana de la siguiente figura

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

T T B z= minus sdot0

dPP

gR

dzT

gR

dzT Bzg z

z

P

P

g z

z

= minus = minusminusintint int

00

1

0 0

(222)

ln lnPP

gR B

T BzT

P PT BzTatm g

atm1 0

01

0 1

0

=

minus

rarr =

minus

gR Bg


Figura 5emspFuerzas sobre una superficie plana

La fuerza resultante vendraacute dada por el sumatorio de un conjunto de fuerzas elementales (todas ellas ac-tuando perpendicularmente a la superficie estudiada) Por este motivo y teniendo en cuenta que se trata de una superficie plana se ha obviado el caraacutecter vectorial de la fuerza

(224)

Teniendo en cuenta la relacioacuten entre z y el eje y se tiene

(225)

Esto es la magnitud de la fuerza vertical sobre una su-perficie plana se puede calcular multiplicando la pre-sioacuten en el centro de gravedad de dicha superficie por el valor de su aacuterea

Para responder a la pregunta de cuaacutel es el punto de aplicacioacuten de dicha fuerza resultante FT se tendriacutea que igualar los momentos que producen las fuerzas elementales sobre un punto (por ejemplo el origen de coordenadas donde y = 0) con el momento que produ-ce dicha fuerza resultante aplicada a una distancia y del origen de coordenadas

GA

C

y

xxG

yG

O

y

x

yn

z

x

y

θz

Superficie libre

F dF P dA z dA F F nT T T= = sdot = sdot = minus( )intint intγ uru r

F y dA y dA Y AT G= sdot = sdot = sdot sdot sdotint intγ θ γ θ γ θsin sin sin

F z A P AT G G= =γ

(226)

Despejando

Anaacutelogamente tomando momentos con respecto al eje Y resulta

siendo Ixx e Ixy el momento inercia con respecto al eje X asiacute como el producto de inercia respecto a los ejes X e Y

Recordando el teorema de Steiner

(229)

De este modo se llega a las siguientes expresiones que permiten calcular simplemente conociendo las carac-teriacutesticas geomeacutetricas de la superficie plana el punto de aplicacioacuten de las fuerzas

Siendo

-emspyG la coordenada y del centro geomeacutetrico de la su-perficie plana

y dF F y

y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot

sdot = sdot = sdot sdotint

intintγ θ γ θsin sin 2y dF F y

y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot


intintγ θ γ θsin sin 2

yI

P AI

y Axx

G

xx

G

=sdot sdot

sdot=

γ θsin (227)

x dF F x xI

y ATxy

G

sdot = sdot rarr rarr =int (228)

I I Ay

I I Ay x

xx x x G

xy x y G G

= +

= +

2

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x

(230a)

(230b)

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x


-emspxG la coordenada x del centro geomeacutetrico de la su-perficie plana

-emspIxrsquoxrsquo momento de inercia sobre un eje paralelo al eje x y que pasa por el centro geomeacutetrico de la superficie plana

-emspIxrsquoyrsquo producto de inercia sobre unos ejes paralelos a los ejes x e y que pasan por el centro geomeacutetrico de la superficie plana

No obstante comentar que en muchas ocasiones re-sulta maacutes faacutecil calcular el momento resultante de las fuerzas hidrostaacuteticas sobre una superficie plana sobre un eje integrando en toda la superficie los momentos que producen las fuerzas elementales

En cualquier caso antes de continuar se deben realizar las siguientes consideraciones

-emspEl centro de presiones de coordenadas (xy) se en-cuentra siempre por debajo del centro de gravedad (xG yG) debido al caraacutecter estrictamente positivo del momento de inercia Ixrsquoxrsquo Solo en el caso de una su-perficie plana horizontal (el fondo de una piscina por ejemplo) el eje de interseccioacuten de la superficie libre con el plano que contiene el aacuterea en cuestioacuten se desplaza hasta el infinito y con eacutel el origen de coordenadas En consecuencia no tiene sentido la coordenada y aunque loacutegicamente coincid en las coordenadas zG y z

-emspPor otra parte como el producto de inercia Ixrsquoyrsquo pue-de ser positivo o negativo la coordenada x puede estar a la derecha o a la izquierda de xG

Prisma de presiones

En el caso particular de superficies planas la dis-tribucioacuten presiones sobre el aacuterea A es lineal con la profundidad Ello da lugar cuando el aacuterea tiene una anchura constante al denominado prisma de pre-siones aunque mejor seriacutea denominarlo de fuerzas que es finalmente lo que interesa y al que se llega por la proporcionalidad entre presiones y fuerzas que supone el tener el aacuterea una anchura contante En este caso es posible calcular el punto de aplica-cioacuten como si del centro de gravedad del triaacutengulo o trapecio se tratara

Por ejemplo en la siguiente figura se puede observar la distribucioacuten de presiones sobre una pared rectangu-lar vertical de altura h y anchura b Dicha distribucioacuten de presiones es lineal de modo que en la arista supe-rior del rectaacutengulo la presioacuten es nula (presioacuten atmos-feacuterica) mientras que en la arista inferior la presioacuten es igual a P = y middot h

Figura 6emspPrisma de presiones sobre una pared rectangular

La fuerza hidrostaacutetica sobre la pared seraacute pues

y como se puede observar la fuerza hidrostaacutetica total FT coincide con el volumen del prisma de presiones En este caso haciendo uso de las expresiones para el caacutelculo del apartado anterior o integrando directa-mente los momentos de las fuerzas elementales es po-sible obtener que el punto de aplicacioacuten de FT se situacutea en el eje central vertical de la cara rectangular y a una altura h3

La figura siguiente representa la distribucioacuten unifor-me de presiones sobre una superficie horizontal en este caso de forma irregular por hacerlo maacutes general) sumergida a una profundidad z En este caso la accioacuten hidrostaacutetica total resulta

FT

h 3

h

L

b

Superficie libre

Superficieγ h

F P A h h b h bT G= sdot = sdot

sdot sdot( ) =γ γ

212

2 (231)

F P A z AT G G= sdot = sdot sdotγ (232)


y su punto de aplicacioacuten coincide con el centro geomeacute-trico de la figura

Figura 7emspFuerzas sobre una superficie plana horizontal

El caso representado en la figura 8 es similar al de la fi-gura 6 solamente que la distribucioacuten de presiones es tra-pezoidal debido a que la arista superior de la superficie rectangular vertical se encuentra a una profundidad h1 y consecuentemente la presioacuten en los puntos de dicha arista es igual a γ middot h1 mientras que en la arista inferior se encuentra una presioacuten γ middot h2

Figura 8emspPrisma de presiones sobre una superficie plana sumergida

De nuevo se puede obtener que la fuerza hidrostaacutetica total sobre esta superficie es igual al volumen del pris-ma de presiones

= Gz z

GA

Superficie libre

γ Gz

γ=T GF z A

FT

h1

h2

h2 - h1

b

Superficie libre

Superficieγ 2h

γ 1h

En el caso de una distribucioacuten trapezoidal de presio-nes puede obtenerse el punto de aplicacioacuten de FT bien sea utilizando las expresiones (232) y (233) o por in-tegracioacuten directa de los momentos que producen las fuerzas elementales o finalmente se pueden descom-poner la distribucioacuten trapezoidal como superposicioacuten de una distribucioacuten triangular y una uniforme como muestran las figuras siguientes

Figura 9emspDescomposicioacuten del prisma de presiones

Las fuerzas hidrostaacuteticas asociadas a cada una de las distribuciones son

F P A h h h h b h h bT G= sdot =+

sdot minus( ) sdot = minus( )γ γ1 2

2 1 22

12

212

(233)

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12

= minus( )= minus( )

= +

γ

γ

2

1

1

1F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1 (234)


mientras que la altura de aplicacioacuten desde la base de la figura de cada una de las distribuciones es

de modo que la altura de aplicacioacuten y de la fuerza total FT puede obtenerse ponderando los momentos de FT1 y FT2 esto es

Finalmente es posible contemplar como caso maacutes general el de una distribucioacuten trapezoidal sobre una superficie rectangular inclinada como muestra la si-guiente figura

Figura 10emspPrisma de presiones sobre una superficie plana inclinada

y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( )

(235a)

y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( ) (235b)

y y F y FF

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot

=minus( ) + minus( )

minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

y y F y F

F

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

(236)

FTh1

h2

L

b

Superficie

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

En tal caso la fuerza hidrostaacutetica total FT sobre la su-perficie rectangular seraacute

mientras que su punto de aplicacioacuten podriacutea obtenerse de modo similar al caso anterior descomponiendo en dos dis-tribuciones de presioacuten (una triangular y otra uniforme)


A continuacioacuten se plantea el mismo problema pero sobre una superficie curva inmersa en un liacutequido La diferencia baacutesica estriba en que ahora no se puede prescindir del tratamiento vectorial al tener ahora cada una determinada orientacioacuten El planteamiento seraacute

(238)

y ahora debe proyectarse en las tres direcciones des-componiendo la fuerza elemental en sus tres compo-nentes se obtiene

(240a)

(240b)

(240c)

En las expresiones anteriores P = + γ middot h siendo h la profundidad a la que se encuentra el diferencial de su-perficieemsp en cuestioacuten Si se observa tambieacuten que el vector diferencial de superficie emspse orienta dirigido

F P A h h L bT G= =+

sdotγ 1 2

2(237)

F dF P dAA

ur ur= = minus sdotintint

(239)dF p dAdF dF i dF j dF k

dA dA i dA j dA kx y z

x y z

urur r r r

uru r r r= minus sdot= + +

= + +

= sdot = minus sdot sdot = minus sdot

= sdot = minus sdot sdot = minus

dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dF p dAdF dF i dF j dF k


x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r


hacia el fluido mientras que la fuerza elemental emspac-tuacutea dirigida hacia la superficie lo que justifica la ex-presioacuten emsp (con signo negativo por llevar sentido contrario y )

Figura 11emspFuerzas debido a la presioacuten sobre una superficie curva

En las proyecciones horizontales las aacutereas dAx y dAy estaacuten a la misma profundidad h que el aacuterea elemental Ello equivale a decir que las resultantes parciales Fx y Fy se determinan cual si de fuerzas sobre aacutereas planas se tratara y en particular sobre las superficies Ax Y Ay (proyecciones de la superficie A sobre los planos Y-Z y X-Z respectivamente)

emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp Fuerza sobre Ax emsp (241a)

emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp Fuerza sobre Ay (241b)

La componente en el eje z precisa sin embargo un tra-tamiento distinto pero no menos sencillo En efecto

(242)



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dF PdAur uru

= minusdF p dA

dF dF i dF j dF k


x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dAz

dAx

dAy

dA

h

y

x

z Superficie libre

γ=P h= minus

dF PdA

F dF p dA Fuerza sobre A

F dF p dA Fue

x x x x

y y y

= = minus sdot equiv


int int

intsup sup

sup

rrza sobre AysupintF dF p dA Fuerza sobre A

F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup

rrza sobre Aysupint

dF dF k P dA h dAdF dV f dV dV

F

z z z

z c

= sdot = minus sdot = minus sdot sdot

= minus sdot rarr = minus = minus intint

ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ

en donde se ha tenido presente el valor del elemento de volumen limitado por el aacuterea curva en cuestioacuten y la superficie libre En la expresioacuten anterior hay que tener en cuenta que el signo negativo es debi-do a que las fuerzas elementales poseen un sentido contrario al de las superficies elementales sin que ello tenga mayor implicacioacuten sobre el sentido de la fuerza Fz

Como muestra la figura 11 la componente dFz de la fuerza hidrostaacutetica elemental es proporcional a la profundidad a la que se encuentra la superficie sumergida de modo que se puede imaginar que el punto de aplicacioacuten de dicha fuerza vertical estaraacute ubicado en el centro de gravedad del volumen de agua confinado entre la superficie curva y la super-ficie libre del fluido En efecto tomando por ejemplo la coordenada x del punto de aplicacioacuten de la fuerza vertical Fz se deduce

(243)

resultando similar al que se obtendriacutea con las coorde-nadas x e y de dicho punto de aplicacioacuten

El esfuerzo vertical total Fz viene dado pues por el vo-lumen del fluido limitado por ambas superficies dicho volumen puede ser real o ficticio dependiendo de la orientacioacuten de la superficie sumergida En la figura 12 puede observarse el caso de una superficie curva sobre la cual todos los posibles elementos de superficie esta-riacutean orientados hacia arriba de modo que en este caso la componente Fz estaacute orientada hacia abajo y es igual al peso del fluido que se encuentra sobre la superficie cur-va Por el contrario la figura 12 con orientacioacuten contraria a la anterior en este caso la componente Fz estaacute orientada hacia arriba y es igual al peso del fluido que hipoteacutetica-mente se encontrariacutea encima de la superficie curva entre ella y la superficie libre del fluido

Los puntos de aplicacioacuten para las componentes hori-zontales Fx y Fy pueden obtenerse por aplicacioacuten de las expresiones del apartado anterior (fuerzas sobre superficies planas) considerando el aacuterea plana proyec-tada correspondiente a la superficie curva

x F xh dA x dV x V x xz z G Gsdot = sdot = sdot = sdot sdot rarr =int intγ γ γsup sup


Figura 12emspFuerzas verticales sobre una superficie curva

Resumiendo en este caso el sistema equivalente maacutes sencillo estaacute configurado por tres fuerzas con direc-ciones correspondientes a los ejes principales con sus correspondientes puntos de aplicacioacuten

Por uacuteltimo hay que resaltar que el caso de las fuerzas hidrostaacuteticas sobre superficies curvas es el maacutes ge-neral e incluye por supuesto la consideracioacuten de las superficies planas sumergidas en cuyo caso tambieacuten seriacutean de aplicacioacuten las expresiones obtenidas en este apartado


La primera aportacioacuten relevante en el campo de la hi-drostaacutetica es el principio de Arquiacutemedes Todo cuerpo sumergido en el seno de un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba de magnitud igual al peso del fluido que desaloja

Fz

b2

b1zx

Fx

FzFT

Superficie libre

γ 2b

γ 1b

V

b2

b1

z

x

Fx

Fz FT

Fz

Superficie libre

γ 2b

γ 1b

En la figura 13 se presenta un soacutelido inmerso total-mente en un fluido de densidad r (peso especiacutefico γ) Como ya se comentoacute en apartados anteriores al tratar-se de una superficie cerrada totalmente sumergida la resultante de las fuerzas de presioacuten que actuacutea en cual-quier direccioacuten horizontal es nula ya que son iguales en magnitud y de signo contrario aquellas que actuacutean sobre la superficie proyectada en un plano vertical de un lado y otro Lo mismo ocurre en lo que a las compo-nentes horizontales de las fuerzas se refiere en el caso de que el cuerpo esteacute parcialmente sumergido

En cuanto a la resultante vertical (seguacuten el eje z) se puede hallar por superposicioacuten de la que actuacutea sobre el hemisferio superior (vertical hacia abajo) y la que ac-tuacutea sobre el hemisferio inferior (vertical hacia arriba)

Figura 13emspBalance de fuerzas sobre un cuerpo sumergido

La magnitud de FZ1 (fuerza de superficie que actuacutea so-bre el hemisferio superior) es igual al peso del fluido que tiene encima de si dicho hemisferio (γ middot Vf1) mien-tras que para el hemisferio inferior la fuerza vertical hacia arriba que actuacutea es igual al peso del fluido que hipoteacuteticamente tendriacutea encima si se tratase de una superficie abierta (γ middot Vf2) En cualquier caso la resultan-te fuerza vertical hacia arriba (ya que γ middot Vf2 gt γ middot Vf1) es el empuje que experimenta el cuerpo sumergido

(244)

siendo V el volumen sumergido del citado cuerpo (igual al volumen del cuerpo por encontrarse este to-talmente sumergido)

xy

V

z

Vf1Vf2

Fz2

Fz1

E F F V V Vz z f f= minus = minus( ) =2 1 2 1γ γ


El punto de aplicacioacuten del empuje puede obtenerse por composicioacuten de los puntos de aplicacioacuten de cada una de las fuerzas De ello resulta que el centro de em-puje se encuentra situado en el centro geomeacutetrico del volumen sumergido (realmente se situacutea en el centro de gravedad del volumen supuesto este lleno de fluido) En nuestro caso por tratarse de un cuerpo totalmente sumergido el centro de empuje coincidiraacute con el cen-tro geomeacutetrico del cuerpo Tan solo en el caso de que el cuerpo totalmente sumergido sea perfectamente ho-mogeacuteneo coincidiraacute el centro de empuje con el centro de gravedad

En la figura 14 se observa otra forma de llegar a este resultado

Figura 14emspObtencioacuten de la fuerza de empuje sobre un cuerpo sumergido

(245)

Las condiciones que se deben cumplir para que el soacuteli-do se encuentre en equilibrio estaacutetico son que tanto la resultante de las fuerzas que actuacutean sobre eacutel como la de los momentos sean nulas

La primera implica que el peso del cuerpo sea igual al em-puje mientras que la segunda se verificaraacute cuando la liacutenea de accioacuten del empuje sea coincidente con la del peso

Si un cuerpo de volumen total Vc y peso P se encuentra totalmente sumergido para que se verifique la igual-

z

x

yβ

dA2 P2dA2

αdA1

P1dA1

V

h1

hh2

dE p dA p dA p dA p dA h h dA hdA

E hz z z z= minus = minus = minus( ) =

=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ

γ sdotsdot =int dA VS z γ



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ

γ sdotsdot =int dA VS z γ dE p dA p dA p dA p dA h h dA hdA


=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ


dad entre la fuerza de empuje y el peso el peso especiacute-fico medio del cuerpo γc

debe ser igual al peso especiacutefico del fluido en el que estaacute inmerso γ Ello es asiacute porque en tal caso al estar totalmente sumergido se verifica que V = Vc por lo que

(247)

Si γc gt γ inevitablemente el cuerpo se hundiraacute ya que al ser V = Vc el peso γc middot Vc mayor que el empuje γ middot V

En el caso de un submarino este puede permanecer en cualquier posicioacuten totalmente sumergido modificando su peso Para sumergirse maacutes toma agua incremen-taacutendose su peso que superaraacute al empuje Por el con-trario para ascender bombea agua hacia el exterior con lo que su peso disminuye por debajo del valor del empuje lo que hace que la resultante del sistema de fuerzas sea positiva

Evidentemente se estaacute considerando en todo este de-sarrollo que el peso especiacutefico del fluido γ es constante En caso de que fuera variable con la posicioacuten del soacutelido (por ejemplo con la profundidad a la que se encuentra) habriacutea que considerar esta variacioacuten

El empuje en el seno de un liacutequido es mucho mayor que en un gas debido a que el peso especiacutefico del liacute-quido es muy superior al de un gas

Si se compara agua (γ = 9810 Nm3) y aire en condicio-nes estaacutendar (γrsquo = 981 middot 122 = 1197 Nm3) se tiene que para un mismo volumen V sumergido el empuje en el agua es 8197 veces superior al empuje en el aire Por ello para levantar un peso relativamente pequentildeo mediante un globo es necesario que este tenga un vo-lumen apreciablemente grande

Analizando la segunda de las condiciones (coinciden-cia de las liacuteneas de accioacuten del peso y del empuje) es faacutecil darse cuenta de que se trata de que no exista nin-guacuten par de rotacioacuten La condicioacuten se verificaraacute siempre

γCC

PV

= (246)

E V V PC C= = =γ γ


en el caso de un cuerpo perfectamente homogeacuteneo que esteacute totalmente sumergido (el c d g coincidiraacute con el centro geomeacutetrico)

Si partiendo de una posicioacuten de equilibrio estaacutetico se desplaza el cuerpo horizontal o verticalmente mante-nieacutendolo siempre totalmente sumergido no se modifi-ca ni el sistema de fuerzas ni los puntos de aplicacioacuten (a menos que la densidad del fluido sea variable con las correspondientes coordenadas) Asiacute pues la posi-cioacuten de equilibrio es estable respecto de cualquier traslacioacuten

Figura 15emspEquilibrio de un cuerpo totalmente sumergido

A partir de una posicioacuten de equilibrio si se gira lige-ramente el cuerpo este volveraacute a la posicioacuten de equi-librio anterior en el caso de que el par que se origine sea restaurador

Figura 16emspEstabilidad de un cuerpo totalmente sumergido frente a la rotacioacuten

G

C

W

z

x

y

γ=E V

W

G

C

E

W

G

C

EPar restaurador

Estable

W

G

C

EW

G

C

E

Par vuelco

Inestable

G equiv C

Indiferente

Ello ocurre si el centro de empuje C se encuentra por encima del centro de gravedad G para la posicioacuten de equilibrio de partida En tal caso a la citada posicioacuten de equilibrio se la denomina estable

En el caso de que se encuentre en una posicioacuten de equi-librio en la que C esteacute por debajo de G esta seraacute ines-table ya que al girar el cuerpo ligeramente el par que se origina es de vuelco buscando el cuerpo una nueva posicioacuten de equilibrio

Cuando C y G coinciden la posicioacuten de equilibrio se denomina indiferente ya que el cuerpo se quedaraacute siempre en la posicioacuten en la que se deje

Se ha visto que si γc = γ el cuerpo permanece hundido a la profundidad a la que se deje (E = P) y si γc gt γ el cuerpo se hunde hasta el fondo (E lt P) Auacuten cabe otra posibilidad (γc lt γ) en la que el cuerpo quedaraacute par-ciamente sumergido En este caso solo se sumerge el volumen necesario para crear un empuje que equilibre el peso

Figura 17emspCuerpo parcialmente sumergido

En equilibrio el empuje E = γ middot V seraacute igual al peso P = γc middot Vc y como γ gt γc el volumen sumergido V seraacute menor que el volumen total del cuerpo Vc

Al igual que en el caso anterior cuando las liacuteneas de accioacuten del peso y del empuje sean coincidentes la po-sicioacuten seraacute de equilibrio

En este caso de no variar la distribucioacuten de las ma-sas en el cuerpo el c d g del mismo permaneceraacute siempre en la misma posicioacuten pero no asiacute el centro geomeacutetrico del volumen sumergido (donde estaacute apli-cado el empuje) En la figura 18 puede observarse un mismo flotador en dos posiciones de equilibrio di-

V

γ C CV

γ


ferentes Los voluacutemenes sumergidos son iguales ya que en ambos casos los empujes deben coincidir con el peso del cuerpo P (P = γ middot V1 y P = γ middot V2) Sin embar-go los centros de empuje C1 y C2 ocuparaacuten posiciones diferentes

Figura 18emspCuerpo parcialmente sumergido Diferentes centros de empuje

Para el caso de una rotacioacuten partiendo de una posicioacuten de equilibrio es condicioacuten suficiente para que eacutesta sea estable que el centro de empuje C se encuentre por encima de G En tal caso siempre existiraacute par restau-rador que llevaraacute al cuerpo a la posicioacuten de equilibrio anterior No obstante no es condicioacuten necesaria Puede darse el caso de que para una posicioacuten de equilibrio E se encuentre por debajo de G y esta sea estable Para analizar esta condicioacuten habriacutea que acudir al concepto de metacentro En el caso de que el metacentro M se encuentre por encima de G la posicioacuten de equilibrio seraacute estable y si se encuentra por debajo seraacute inesta-ble Este uacuteltimo caso es el que corresponde a la figu-ra 18 Las dos posiciones de equilibrio representadas corresponden al caso en que C estaacute por debajo de G Ademaacutes si se saca al cuerpo de la posicioacuten de equi-librio mediante una rotacioacuten eacuteste buscaraacute una nueva posicioacuten de equilibrio ya que se originaraacute un par de vuelco

Para obtener la distancia metacentrica MG en una po-sicioacuten determinada del flotador se tiene que

(248)

siendo zM la altura del metacentro M zc la altura del cen-tro de gravedad del flotador y ze la altura del centro de empuje del mismo Para la referencia de altura z se con-sidera que es creciente en el sentido vertical hacia arriba

C1

G

P

V1

C2

E

G

P

E

C2

C1

V2

MG z z z z z zM G M C G C= minus = minus( ) minus minus( )

La distancia (radio metaceacutentrico) siempre positiva en-tre el centro de empuje y el metacentro (zM ₋ zc) vale

siendo I el momento de inercia de la superficie de flotacioacuten con respecto al eje de giro y V el volumen sumergido del moacutevil Obtenieacutendose finalmente la dis-tancia metaceacutentrica MG

Si el valor de MG resulta positivo la posicioacuten del flo-tador seraacute estable frente al giro respecto de un eje si-tuado en el plano de flotacioacuten e inestable en el caso contrario Para el caso particular en que C se encuentra por encima de G entonces la resta entre zG y zc resulta negativa siendo por tanto el valor MG positivo Esto demuestra que la condicioacuten de que el centro de empuje se encuentre por encima de G es condicioacuten suficiente para generar un equilibrio estable

Frente a una traslacioacuten horizontal partiendo de una posicioacuten de equilibrio un cuerpo en flotacioacuten siempre es estable ya que no se modifican ni las fuerzas ni sus puntos de aplicacioacuten

Figura 19emspCuerpo parcialmente sumergidoPosicioacuten de equilibrio inestable frente a la translacioacuten vertical

Si la traslacioacuten es vertical no se puede asegurar que el equilibrio siempre sea estable ya que al verse modificada la posicioacuten del centro de empuje puede originarse un par de vuelco que lleve al cuerpo a otra posicioacuten de equilibrio estable diferente de la de partida (ver figura 19)

z z IVM Cminus( ) = (249)

MG IV

z zG C= minus minus( ) (250)

CG

E

PV

C

Por vuelco

PV

Elsquo gt E


En el caso de que la translacioacuten del cuerpo en flota-cioacuten sea vertical y tal que la liacutenea de accioacuten del peso y del empuje no cambian (por ejemplo en el caso de un cuerpo simeacutetrico) se puede asegurar que la posicioacuten de equilibrio es estable

Consideacuterese el caso en el que se traslada verticalmen-te un cuerpo en equilibrio (por ejemplo hundieacutendo-lo maacutes de lo que estaba) el volumen sumergido au-menta por encima del necesario (el que se encontraba sumergido en las condiciones iniciales en equilibrio) para equilibrar el peso De esta forma se genera un desequilibrio entre el empuje (que ha aumentado) y el peso P Seguiraacute sin existir par alguno ya que las liacute-neas de accioacuten del peso y del empuje continuacutean siendo coincidentes

La resultante seraacute una fuerza vertical hacia arriba de magnitud igual a la diferencia entre el nuevo empuje y el peso Como consecuencia de ello el cuerpo tenderaacute a subir a la vez que el empuje iraacute disminuyendo ya que el volumen sumergido seraacute cada vez menor

En el caso de no considerar el rozamiento del fluido con el cuerpo esta accioacuten daraacute lugar a una oscilacioacuten no amortiguada alrededor de la posicioacuten de equilibrio estable Si se considera el rozamiento (caso real) esta oscilacioacuten seraacute amortiguada llegaacutendose finalmente a la posicioacuten original

Capiacutetulo 3

Descripcioacuten del movimiento de los fluidos

IntroduccioacutenTrayectoria de una partiacutecula de fluido Enfoque LagrangianoCampo de velocidades Enfoque Euleriano Otros campos de variables relacionadas con la Mecaacutenica de FluidosDiferentes sistemas de referenciaSistemas inerciales

Sistemas no inerciales

Conceptos de trayectoria liacutenea de corriente tubo de corriente y liacutenea de trazaClasificacioacuten de flujos de fluidos Algunas condiciones de contornoClasificacioacuten atendiendo al campo de velocidades

Clasificacioacuten atendiendo a la variable tiempo

Clasificacioacuten atendiendo al reacutegimen del flujo

Condiciones de contorno a considerar

Otras clasificaciones

Concepto de caudalDerivacioacuten en mecaacutenica de fluidos derivada total local y convectiva Aceleracioacuten del fluidoTeorema de arrastre de ReynoldsTeacutecnicas a emplear para el anaacutelisis de flujos

Bilbliografiacutea

Descripcioacuten del movimiento de los fluidos 47

Sobre el fluido nos permitiraacuten deducir coacutemo es el mo-vimiento de eacuteste al igual que la aplicacioacuten de las leyes de la fiacutesica sobre un soacutelido riacutegido que puede deslizar sobre un plano inclinado nos permiten determinar la trayectoria velocidad y aceleracioacuten de la citada masa Pero en Mecaacutenica de Fluidos la aplicacioacuten de estas le-yes fundamentales resulta mucho maacutes compleja dado el caraacutecter deformable que intriacutensecamente tiene el fluido

Figura 1emspEjemplos de flujos confinado o internos

En el caso de la figura 1 interesaraacute conocer las veloci-dades del flujo asiacute como el caudal y las presiones exis-tentes en la tuberiacutea o los niveles de agua sobre el fondo del canal En el caso de una tuberiacutea el fluido puede ser un liacutequido (la instalacioacuten de agua en una vivienda) o un gas (los conductos de aire acondicionado a traveacutes de los cuales circula aire friacuteo) El flujo puede no variar con el tiempo como en el caso del caudal de agua que sale del grifo mientras se estaacute bajo la ducha o ser dependiente del tiempo como es el caso de una masa de agua que va aceleraacutendose al arrancar una bomba en una instalacioacuten de llenado de un depoacutesito En este uacuteltimo caso (flujo transitorio) la complejidad del estudio se incrementa respecto al caso estacionario (no variacutea con el tiempo)

Los flujos externos son aquellos en los que el fluido no estaacute confinado (flujo externo) o por lo menos no en

Canal Bombeo y filtrado

Conductos de aire acondicionado

Instalacioacuten de tuberiacuteas en vivienda

Introduccioacuten

Dado que la mayoriacutea de las aplicaciones relacionadas con la Mecaacutenica de Fluidos se refieren al fluido en mo-vimiento es preciso saber describir el movimiento de los fluidos En este capiacutetulo se aborda el estudio de flujos pero sin tener en cuenta las causas que los pro-vocan esto es se puede decir que se trata de introducir al alumno en la Cinemaacutetica de Fluidos

El movimiento de los fluidos se puede describir desde un enfoque lagrangiano al igual que se hace en el caso de una partiacutecula o de un soacutelido riacutegido si bien en la ma-yoriacutea de las aplicaciones se plantea un nuevo enfoque el euleriano en el que no interesa una partiacutecula en concre-to sino lo que ocurre en un punto determinado y en un instante dado independientemente de la partiacutecula que ocupe ese lugar en ese instante Para ello se introduce el concepto de campo de velocidades y por extensioacuten el de campo de temperaturas presiones o el de cualquier otra variable que tenga relacioacuten con los fluidos

Describir el movimiento de un fluido no es sencillo sobre todo si se compara con un soacutelido riacutegido Existen millones de partiacuteculas en una corriente fluida estando su movimiento regido por las leyes de la fiacutesica de ma-nera que a partir de eacutestas deducir las variables cinemaacute-ticas no resulta sencillo

Pensando en algunos tipos de flujo que cualquiera ha podido observar alguna vez Por ejemplo el flujo de agua en el interior de una tuberiacutea o a traveacutes de una vaacutelvula o una bomba Se trata de flujo interno ya que el fluido se encuentra confinado por las paredes de la conduccioacuten o del elemento (vaacutelvula o bomba) en cues-tioacuten Tambieacuten el flujo en un canal o acequia puede con-siderarse de tipo interno si bien en este caso no estaacute totalmente confinado pues el nivel de agua en el canal puede subir o bajar La aplicacioacuten de las leyes de la fiacutesica

-emspConservacioacuten de la masa-emspConservacioacuten de la cantidad de movimiento (ley de

Newton) o del momento de la cantidad de movi-miento

-emspConservacioacuten de la energiacutea-emspSegundo principio de la termodinaacutemica-emspEcuacioacuten de estado


su totalidad aunque pueden existir contornos que no pueden atravesar Por ejemplo es el caso del flujo del viento que evidentemente no puede atravesar el suelo ni un edificio pero que se ve perturbado por eacutestos El flujo puede considerarse infinito pero nos interesaraacute saber solo lo que ocurre cerca de los contornos ya que eacutestos modifican el flujo y cuaacuteles son las fuerzas que el flujo ejerce sobre el edificio Es decir interesa conocer cuaacutel es la interaccioacuten entre el flujo de aire y los objetos con los que se encuentra (suelo edificio etc) Eviden-temente a una distancia suficientemente grande de los contornos el flujo no estaraacute perturbado por eacutestos

Otro caso tiacutepico es el de un avioacuten en vuelo que se sustenta por las fuerzas que se generan sobre sus alas como consecuencia de la interaccioacuten con el viento La modificacioacuten de la velocidad del viento alrededor de las alas genera unos valores de la presioacuten en la parte inferior de las mismas superior a las presiones en la parte superior con lo que se crea una fuerza susten-tadora En el caso de un velero es la interaccioacuten entre el viento y las velas la que genera que eacuteste se mueva pero tambieacuten habraacute que tener en cuenta la accioacuten del agua sobre el casco

Un ciclista circulando por una carretera es otro caso tiacutepico de flujo externo en el que interesa analizar la in-teraccioacuten entre el viento y el ciclista que se manifiesta como fuerzas que actuacutean sobre el ciclista En este caso tambieacuten las fuerzas de rozamiento de las ruedas con el suelo y las fuerza de la gravedad (favorable o desfavo-rable) en funcioacuten de la pendiente de la carretera de-ben ser tenidas en cuenta para analizar el movimiento del ciclista Si el observador se aleja del ciclista el flujo no estaraacute perturbado por eacuteste pero si se piensa en un ciclista que circula a rueda de otro que va delante el flujo perturbado por el primer ciclista interacciona de manera diferente con el segundo ciclista

Algunos flujos son una mezcla de ambos tipos (exter-nos e internos) Por ejemplo en la interaccioacuten entre el viento y un coche El flujo del viento alrededor del co-che puede considerarse como externo y el del viento por la parte inferior de eacutel como interno ya que estaacute con-finado por el suelo del coche y el asfalto de la carretera

En este caso cuando se prueba un coche o un avioacuten a escala en un tuacutenel de viento eacuteste debe de ser lo sufi-cientemente grande como para que lejos del vehiacuteculo

el flujo no se vea perturbado (se reproducen las con-diciones reales en las que lejos del objeto el flujo no se modifica) El anaacutelisis de la interaccioacuten coche₋viento se puede medir en las cercaniacuteas del coche De esta mane-ra se reproduce en el tuacutenel de viento las condiciones reales si bien a escala pudiendo extraer conclusiones de la experimentacioacuten que probablemente no se conse-guiriacutea obtener de un estudio analiacutetico dada la comple-jidad del problema

Tambieacuten en el caso de flujos externos el flujo puede ser transitorio o permanente tomando en consideracioacuten si la velocidad del aire con relacioacuten al cuerpo es variable o no con el tiempo Por ejemplo auacuten con viento en cal-ma cuando un ciclista empieza a pedalear la veloci-dad del aire con respecto al mismo variacutea con el tiempo Cuando circula a velocidad constante se estaacute ante un reacutegimen permanente dado que la velocidad del viento respecto al moacutevil seraacute constante

Figura 2emspEjemplos de flujos externos

Trayectoria de una partiacutecula de fluido Enfoque Lagrangiano

Se tiene conocimiento (cursos anteriores ) de la cine-maacutetica y dinaacutemica del punto y del soacutelido riacutegido en la


que normalmente se utiliza el enfoque lagrangiano para describir el movimiento de las partiacuteculas o del soacutelido riacutegi-do que sometido a ciertas acciones (fuerzas y momentos) se acelera o decelera sigue una trayectoria u otra etc

En una masa de fluido existen una gran cantidad de partiacuteculas El enfoque lagrangiano para describir el movimiento del fluido exige conocer la trayectoria de la partiacutecula (posicioacuten que ocupa en el espacio en cada instante de tiempo t) asiacute como la velocidad y acelera-cioacuten de la misma para cada t

En el caso de un soacutelido riacutegido se analiza el soacutelido pero en el caso de un fluido cada una de las partiacuteculas seguiraacute una trayectoria diferente pues en un mismo punto y un mismo instante no pueden coexistir dos partiacuteculas a la vez Por lo tanto se tendraacute que elegir queacute partiacutecula se quiere estudiar La forma de identi-ficar la partiacutecula consiste en elegir un punto del es-pacio de coordenadas (x0y0z0) y escoger la partiacutecula que en un instante de tiempo dado t0 se encuentre en ese punto Evidentemente se habraacute seleccionado la partiacutecula pues en un determinado instante solo puede haber en un punto una partiacutecula El vector posicioacuten del punto seraacute

(31)

La trayectoria de la partiacutecula es el lugar geomeacutetrico de los puntos del espacio que la partiacutecula va recorriendo a lo largo del tiempo Si se hace referencia al vector posicioacuten de la partiacutecula respecto a un sistema de ejes la trayectoria vendraacute dada por

En esta expresioacuten las variables x y z son funcioacuten del tiempo (la partiacutecula va ocupando diferentes lugares a lo largo de su discurrir en el tiempo) y mediante las coordenadas de anclaje o de identificacioacuten se pre-tende determinar de queacute partiacutecula se trata (la que en t0 estaba en el punto de coordenadas (x0y0z0)) Estas uacuteltimas son valores conocidos

r x i y j z k0 0 0 0= + +

r r r t x x y z t i y x y z t j z x y z t= = + +( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

k

(32)


k

Figura 3emspMovimiento de una partiacutecula Trayectoria

La velocidad de la partiacutecula emsp se obtiene derivando la anterior expresioacuten respecto al tiempo (recueacuterdese que las variables x y z son funciones exclusivas del tiempo para la partiacutecula objeto de seguimiento)

Se denominaraacuten up vp y wp a las tres componentes del vector velocidad de la partiacutecula de manera que que-daraacute

(34)

Con

z

x

y

(t0)

z0

x0

y0

z

xy

r0

r

(t)

Movimiento de una partiacutecula en el tiempo

V dr

dtdxdti dydtj dzdtkd x x y z t

dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

(33)

V u i v j w kp p p p= + +

u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35a)

u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35b)


La aceleracioacuten de la partiacutecula emspvendraacute dada por

o bien por

Hasta ahora se ha empleado coordenadas cartesianas para describir el movimiento de una partiacutecula pero en muchos casos resulta maacutes sencillo usar coordenadas ciliacutendricas (por ejemplo en el caso de tuberiacuteas)

Figura 4emspCoordenadas ciliacutendricas

Las coordenadas ciliacutendricas son la axial z la radial r y la circunferencial θ Un punto del espacio puede ser identificado conociendo estas tres coordenadas Asi-mismo hay tres vectores unitarios en cada una de las direcciones axialemsp radialemspy circunferencialemsp(tan-gente a una circunferencias centradas en el eje z) Por lo tanto el vector posicioacuten de punto vendraacute dado por

u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 ) (35c)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(36)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(37)

θθA

rA r

PA

z

x

y

r z e r e ez r= + +θ θ



(38)

No hay que confundir el vector posicioacutenemspcon la coor-denada radial r La velocidad tambieacuten tendraacute tres componentes seguacuten los tres ejes axial radial y circun-ferencialemspemspemspemsp asiacute como la aceleracioacutenemspemspemspemsp De esta manera quedaraacute

(39)

(310)

Evidentemente se cumpliraacute que

Campo de velocidades Enfoque Euleriano Otros campos de variables relacionadas con la mecaacutenica de fluidos

Si bien las coordenadas de Lagrange permiten cono-cer la posicioacuten espacial y el estado cinemaacutetico de cada partiacutecula de fluido en Mecaacutenica de Fluidos casi siem-pre resulta maacutes interesante conocer lo que ocurre en una regioacuten determinada del espacio y en un instante de tiempo independientemente de la partiacutecula que ocupe la posicioacuten fijada en cada instante Este tipo de referencia espacial es lo que se denomina coordenadas de Euler o enfoque euleriano

Cualquiera ha podido observar como el flujo en una acequia o canal se acelera al estrecharse la seccioacuten de paso Si se observa la parte maacutes estrecha del canal se veraacute como las partiacuteculas que llegan a una velocidad



( )u u uz r

uru uru uru

θ ( )a a az r

uru uru uru

θ

V u e u e u ea a e a e a ep z z r r

p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ

(311a)

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ

(311b)u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ (311c)


moderada adquieren en esa seccioacuten una mayor ve-locidad Si nos interesa conocer las velocidades en el estrechamiento no nos importaraacute queacute partiacutecula con-creta estaacute pasando en un instante dado por el estrecha-miento sino lo que en general ocurre en esa regioacuten De alguna manera las partiacuteculas que lo atraviesan sufren esa aceleracioacuten y adquieren las propiedades cinemaacuteticas del punto del espacio en el que estaacuten en el instante en que estaacuten en ese punto del espacio Estas caracteriacutesticas del punto del espacio que se transfieren a la partiacutecula se ven reflejadas loacutegicamente en la ve-locidad y aceleracioacuten de la partiacutecula y tambieacuten en la ecuacioacuten de su trayectoria

Figura 5emspEstrechamiento en un canal

Con esta concepcioacuten lo que interesaraacute seraacute conocer las caracteriacutesticas cinemaacuteticas de cada punto del espacio en cada instante de tiempo La velocidad en cada pun-to del espacio de coordenadas (xyz) y por lo tanto vector posicioacuten

emspemspemspemspemspemsp y en cada instante de

tiempo t seraacute

(311)

Es lo que denomina Ecuacioacuten del campo de velocida-des Esta velocidad seraacute la que tendraacute la partiacutecula que en el instante t ocupe la posicioacuten del espacio (xyz) Tambieacuten puede escribirse esta expresioacuten en coordena-das ciliacutendricas

(312)

1

x

2

r xi y j zk

= + +

V V r t V x y z t u x y z t i v x y z t j w x y z= ( ) = ( ) = + + ( ) ( ) ( tt k)


V V r t V z r t u z r t e u z r t e u zz z r r= ( ) = ( ) = + + ( ) ( ) (θ θ θ θ )r t eθ θ


Asiacute en el canal antes comentado existiraacute un campo de velocidades con una magnitud diferente en los puntos de mayor anchura del canal que en los puntos donde eacuteste se estrecha (aumentaraacute la velocidad) Si el flujo del canal es estacionario de manera que no variacutean sus caracteriacutesticas con el tiempo la variable t desaparece de la expresioacuten del campo de velocidades y la velocidad solo dependeraacute del punto en el que se encuentra Si por el contrario estaacuten variando las condiciones en el canal (por ejemplo eacuteste se estaacute llenando o se estaacute manipulando una compuerta si-tuada aguas abajo que genera cambios en el flujo (maacutes o menos caudal) ademaacutes de con la posicioacuten se veraacute como el campo de velocidades variacutea a lo largo del tiempo En la figura siguiente puede verse la evolucioacuten de la velocidad (componente seguacuten x) en dos puntos situados en el cen-tro del canal en dos secciones 1 y 2

Figura 6emspEvolucioacuten de la velocidad en dos puntos del canal

Puede verse como para cada instante la velocidad va-riacutea dependiendo del punto en el que se encuentra y que para el mismo punto de medicioacuten se produce una variacioacuten de la velocidad a lo largo del tiempo cuando se efectuacutea una maniobra en la compuerta Finalmente el flujo se estabiliza tras la maniobra en otra posicioacuten de reacutegimen estacionario

1 2

1 2

t

x

Instante tA

Instante tB

tBtA

u Punto 2

Punto 1

x


Puede que en lugar de la velocidad nos interese co-nocer otras variables como presioacuten temperatura den-sidad etc De la misma manera que se ha hecho con la velocidad puede definirse un campo de presiones emspemsp de temperaturas emspemsp o de densidades emsp emsp todos ellos escalares al contrario que el campo de velo-cidades que es un campo vectorial al ser la velocidad un vector

Por ejemplo puede interesarnos conocer la evolucioacuten de la temperatura en un local para lo cual se situacutea un termostato en un lugar determinado (por ejemplo al lado de la puerta de entrada) y se registran los valores de la temperatura a lo largo del tiempo Si ademaacutes se instala otro termostato en otra ubicacioacuten del local (al lado de una ventana) el registro de temperaturas puede variar respecto al anterior de manera que en un mismo instante de tiempo las temperaturas sean diferentes

Lo mismo puede decirse del registro de presiones en la instalacioacuten de suministro de agua a un edificio A la entrada del edificio a nivel de calle el registro de pre-siones seraacute diferente al que se obtendraacute de la lectura de la presioacuten a la entrada de una vivienda situada en un sexto piso punto en el que la presioacuten siempre seraacute menor al encontrarse a una cota superior

Figura 7emspEvolucioacuten de la presioacuten en dos puntos de una instalacioacuten de suministro de agua a un edificio

Siempre es posible conocido el campo de velocida-des determinar la velocidad de cualquier partiacutecula asiacute como la ecuacioacuten de la trayectoria y de la acelera-cioacuten (paso de coordenadas de Euler a coordenadas de Lagrange) asiacute como a partir de la ecuacioacuten de la tra-

p r t( )

T r t( )

ρ( )r t

Acometida

Red distribucioacutenP = 30 mca

P = 10 mca

yectoria de una partiacutecula cualquiera conocer cuaacutel es el campo de velocidades en el que estaacute inmersa (paso de coordenadas de Lagrange a coordenadas de Euler)

Otro ejemplo estaacute relacionado con el traacutefico en una au-topista puede ayudarnos a entender la diferencia entre coordenadas de Euler y Lagrange La visioacuten del conduc-tor es claramente Lagrangiana (siente en cada momento la velocidad del vehiacuteculo la aceleracioacuten a la que lo some-te y conoce el punto de la trayectoria en el que estaacute por ejemplo con un GPS) La visioacuten del radar situado en la autopista en un punto kilomeacutetrico determinado es cla-ramente euleriana ya que solo registra los valores de la velocidad de los vehiacuteculos que pasan junto a eacutel

Diferentes sistemas de referencia

En muchas ocasiones se estudia el movimiento de los fluidos o de cualquier otro elemento material con res-pecto a uno u otro sistema de referencia El sistema de referencia puede ser inercial o no inercial en funcioacuten del movimiento de su origen de coordenadas respecto de un sistema fijo en reposo (absoluto)

Figura 8emspSistemas de referencia

Sistemas Inerciales

Se trata bien de un sistema de referencia fijo (absoluto) o de un sistema moacutevil cuyo origen se traslada respec-to a uno fijo con una velocidad rectiliacutenea y uniformeemspemsp emspemspemspemsp

Z

X

Y

x

y

z

O

or

Sistema moacutevilR

Sistema fijo

P

( )V ctesist

u ruuu=


La posicioacuten de una partiacutecula respecto del sistema fijoemspy la moacutevil seraacute

(313a)

(313b)

Evidentemente ambos vectores estaraacuten relacionados a traveacutes del vector que nos da la posicioacuten en cada ins-tante del origen del sistema moacutevil respecto al fijo emspemsp

(314)

La velocidad de la partiacutecula respecto al sistema moacutevil (velocidad relativa) seraacute

La velocidad del origen del sistema moacutevil respecto al fijo (velocidad del sistema o velocidad de arrastre)

Por lo que la velocidad de la partiacutecula respecto al sis-tema fijo seraacute

(317)

La aceleracioacuten de la partiacutecula respecto al sistema fijo seraacute igual que la aceleracioacuten respecto al sistema moacutevil ya que se desplaza respecto al fijo a velocidad rectiliacutenea constante

R X i Y j Z k r x e y e z ex y z= + + = + + R X i Y j Z k r x e y e z ex y z= + + = + +

R X i Y j Z k r x e y e z ex y z= + + = + +


r r u ruuuR r OO= +

r r u ruuuR r OO= +

V dr

dtdxdte dy

dte dz

dter x y z= = + + (315)

ru ruuu

V dOOdtsistema =

(316)

V V Vp r sistema= +

a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2 (318)

Sistemas No Inerciales

Se trata de un sistema de referencia que experimenta una aceleracioacuten respecto del sistema fijo independien-temente de que esta sea lineal angular o centriacutefuga (caso de giro con velocidad angular constante) En este caso la expresioacuten de la velocidad relativa es la misma que para el caso anterior pero la velocidad de la partiacute-cula respecto al sistema fijo seraacute

(319)

donde emspes la velocidad de rotacioacuten del sistema moacutevil La aceleracioacuten de la partiacutecula respecto al sistema moacute-vil emspse determina como en el caso anterior pero la aceleracioacuten de la partiacutecula respecto al sistema fijo seraacute

(320)

En la anterior expresioacuten

-emsp emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspes la aceleracioacuten lineal del origen del sistema moacutevil

-emspemspemspemspemsp es la aceleracioacuten angular-emspemspemspemspemsp es la aceleracioacuten normal o centriacutepeta-emspemspemsp es la aceleracioacuten tangencial-emspemspemspemsp es la aceleracioacuten de Coriolis

Conceptos de trayectoria liacutenea de corriente tubo de corriente y liacutenea de traza

El concepto de trayectoria de una partiacutecula de fluido ya ha sido presentado al comienzo de este capiacutetulo Se trata de un concepto Lagrangiano que puede definirse como el lugar geomeacutetrico de los puntos del espacio que va ocu-pando sucesivamente la partiacutecula en su desplazamiento Sustituyendo los sucesivos valores de t en la ecuacioacuten

(321)

V V V rp r sistema= + + times( )ω


a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2

a a a r r Vp sistema r r= + + times times( ) + times( ) + times( ) ω ω α ω2

r u ruuu u ruua dV dt d OP dtsistema sist= = 2 2

α ω= d dtω ωtimes times ( )rα timesr2( )

ω timesVr


k


k


se obtienen los puntos de paso de la partiacutecula que en t = t0 estaacute en el punto de coordenadas (x0y0z0) Unien-do estos puntos puede grafiarse la trayectoria Como se puede ver en la figura 3 se ha sentildealado al lado de cada punto el instante en el que la partiacutecula ocupa di-cho punto En el instante geneacuterico t la partiacutecula ocupa-raacute un punto de coordenadas geneacutericas (xyz)

Cada una de las partiacuteculas del fluido tiene su propia liacutenea de trayectoria por lo que en un campo fluido exis-ten infinitas trayectorias En el laboratorio puede visua-lizarse una liacutenea de trayectoria marcando una deter-minada partiacutecula (por ejemplo con una gota de tinta) y tomando una fotografiacutea de larga exposicioacuten durante su movimiento El efecto seriacutea semejante al que se obtie-ne al fotografiar el recorrido nocturno de un coche con una fotografiacutea de larga exposicioacuten La visualizacioacuten en laboratorio puede ayudar a estudiar patrones de flujo complicados de analizar analiacuteticamente

Se define liacutenea de corriente (LDC) como la envol-vente de los vectores velocidad para un instante dado tLCD Esto es se trata del lugar geomeacutetrico de los puntos pertenecientes a una liacutenea que es tangente en todos ellos al vector velocidad para un instante dado tLCD

Por propia definicioacuten dos liacuteneas de corriente no pue-den cruzarse en un instante dado pues ello implicariacutea que en un mismo punto del espacio y en un mismo instante de tiempo el punto en cuestioacuten tendriacutea dos velocidades diferentes

Figura 9emspLiacutenea de corriente

z

x

y

C D

A B

vC

vD

vBvA

Instante tLCD

LDC2

LDC1

Evidentemente en un mismo instante hay infinitas liacute-neas de corriente que no tienen por queacute coincidir con trayectorias dado que las velocidades de los diferentes puntos del campo de flujo pueden ser variables con el tiempo Por ejemplo en la figura 10 se representan al-gunas LDC para dos instantes de tiempo diferentes en el caso de un flujo en una superficie plana de poca pen-diente En el primer caso instante tLDC0 las LDC son rectas paralelas Si se abre un sumidero en un instante dado y se espera que se estabilice el flujo las liacuteneas de corriente cambian de forma pasando a ser las que se representan en la figura para el instante tLDC1 Se estaacuten tomando dos fotografiacuteas de las LDC en dos instan-tes diferentes y como consecuencia de que el campo de velocidades cambia con el tiempo por efecto de la apertura del sumidero las LDC no son iguales en uno y otro instante

Es importante hacer constar que las LDC no pueden visualizarse en el laboratorio (de hecho no pueden visualizarse los vectores velocidad) No obstante si el campo de velocidades no depende del tiempo las trayectorias y las LDC coincidiraacuten en cuyo caso siacute que se podraacuten visualizar al poder hacerlo con la tra-yectoria Esta coincidencia entre LDC y trayectorias se da en este caso porque cualquier partiacutecula siempre viaja en la direccioacuten de su propia velocidad por lo que cualquier otra partiacutecula que pase por el mismo punto que ha pasado la anterior tendraacute la misma tra-yectoria que la anterior al no cambiar en ese punto la velocidad con el tiempo tangente siempre al vector velocidad de la partiacutecula Por lo tanto si la velocidad no es funcioacuten del tiempo cualquier partiacutecula siempre viaja a lo largo de una LDC uacutenica que coincide con su trayectoria

x

Instante tA

Instante tB

x

LDC = Trayectoria

LDC = Trayectoria

Figura 10emspLiacuteneas de corriente y trayectorias coincidentes en un campo de velocidades dependiente de t


Existen casos en los que el campo de velocidades es funcioacuten del tiempo pero las LDC y las trayectorias coinciden Esto puede ocurrir en el caso de una tube-riacutea por la que circula un fluido en reacutegimen laminar y donde la velocidad siempre tiene una sola componen-te En la figura siguiente puede verse como las LDC y las trayectorias coinciden siendo ambas liacuteneas para-lelas al eje z (coordenadas ciliacutendricas) a pesar de ser las velocidades diferentes en un mismo punto en dos instantes distintos

Se define como tubo de corriente (TDC) al volumen encerrado por las liacuteneas de corriente que se apoyan sobre una liacutenea cerrada Es decir si se traza una liacutenea cerrada en el espacio y se tienen en cuenta solo las LDC que pasan por los puntos de esa liacutenea se obtiene un tubo de corriente Para una liacutenea cerrada de apo-yo dada el TDC siempre seraacute el mismo si no cambian las LDC con el tiempo es decir si el campo de veloci-dades no es funcioacuten del tiempo Si las LDC cambian con el tiempo tambieacuten lo haraacuten los TDC Un TDC no puede ser atravesado por el flujo Esto es asiacute porque el TDC estaacute delimitado por liacuteneas de co-rriente en su periferia (Superficie de corriente) y las LDC no pueden ser atravesadas por el flujo al ser el vector velocidad en cualquier punto de la LDC tangen-te a la misma (en un punto no puede coexistir dos ve-locidades diferentes y por lo tanto dos LDC diferentes no pueden pasar por el mismo punto)

Figura 11emspTubo de corriente

La liacutenea de traza (LDT) es el lugar geomeacutetrico de los puntos del espacio ocupados en un instante dado por partiacuteculas de fluido que en alguacuten momento anterior han pasado por un punto del espacio denominado punto de anclaje Evidentemente el punto de anclaje pertenece a la liacutenea de traza

LDC

Figura 12emspLiacutenea de traza

Es posible visualizar en el laboratorio LDT sin maacutes que marcar todas las partiacuteculas que pasan por un determi-nado punto con por ejemplo un chorro continuo de tin-ta inyecta mediante una aguja hipodeacutermica En el caso de que el campo de velocidades no variacutee con el tiempo las trayectorias y LDT coincidiraacuten dado que todas las partiacuteculas que pasan por un determinado punto tienen la misma trayectoria Asimismo tambieacuten coincidiraacuten con las LDC al ser iguales LDC y trayectorias

Figura 13emspLiacuteneas de traza coincidentes con trayectorias y LDC en un campo de velocidades que no depende del tiempo para el flujo que rodea un perfil aerodinaacutemico

Clasificacioacuten de flujos de fluidos Algunas condiciones de contorno

Los flujos de fluidos pueden clasificarse atendiendo a diversas cuestiones como las variables de las que

z

x

y

Instante tA

Instante tB

Liacuteneas de trazaPunto de anclaje


depende el campo de velocidades y el nuacutemero de com-ponentes de la velocidad el reacutegimen de circulacioacuten la consideracioacuten o no de la viscosidad o de la variacioacuten de densidad etc A continuacioacuten en los diferentes subaparta-dos de este epiacutegrafe se desarrollaraacuten estos aspectos

Clasificacioacuten atendiendo al campo de velocidades

En general el campo de velocidades consta de tres componentes (uvw) cada una de las cuales depende a su vez de las tres coordenadas del sistema de refe-rencia (xyz) y del tiempo t Tal como se ha visto en epiacutegrafes anteriores en coordenadas cartesianas seraacute

(322)

Tambieacuten puede escribirse esta expresioacuten en coordena-das ciliacutendricas en cuyo caso a las componentes se las denomina (uzuruθ) y a las coordenadas de referencia (zrθ) apareciendo tambieacuten el tiempo t

(323)

La direccionalidad de un flujo viene dada por el nuacutemero de componentes de la velocidad no nulas De uno a tres

La dimensionalidad es el nuacutemero de coordenadas es-paciales de las que depende el campo de velocidades Puede variar de 0 a 3 En el caso en que la dimensio-nalidad sea 0 al flujo se le denomina uniforme lo que implica que la velocidad es la misma en todo punto del campo de flujo Dimensionalidad 3 implica que la ve-locidad depende de las tres variables espaciales (xyz) pudiendo tambieacuten variar o no con el tiempo t Si el flu-jo no variacutea seguacuten alguna dimensioacuten se le denomina uniforme en la dimensioacuten en cuestioacuten

Cuando el flujo tiene solo dos componentes de la velo-cidad se denomina bidireccional (o plano) Ello impli-

V V r t V x y z t u x y z t i v x y z t j w x y z= = = + +( ) ( ) ( ) ( ) ( tt k)


V V r t V z r t u z r t e u z r t e u zz z r r= = = + +( ) ( ) ( ) ( ) (θ θ θ θ )r t eθ θ


ca que el desplazamiento de las partiacuteculas se realiza en un plano Por ejemplo si lo hace en el plano XY

(324)

En este caso las partiacuteculas no pueden saltar de uno a otro plano aunque las velocidades seraacuten diferentes se-guacuten el plano en que esteacuten al depender de la variable z

z

x

y

vB

uBVB

vA

uA

VA

z

x

y

vA

uA

VA

vB

uB

Tridimensional Bidimensional

VB

A B

A B

u uv v

nene

A B

A B

u uv v

==

Figura 14emspFlujo bidireccional Tridimensional (izq)emspBidimensional (der)

Si la distribucioacuten de velocidades en un flujo bidireccional es la misma en todos los planos paralelos en los que se mueve el flujo se dice que el flujo es bidireccional y bidi-mensional (dependiente de las componentes x e y) tam-bieacuten denominado bidimensional plano Por ejemplo

(325)

Tambieacuten podriacutea darse el caso de un flujo bidireccional y bidimensional pero dependiente de otras variables como x y z o z e y

El flujo unidireccional implica que la velocidad solo tie-ne una componente por lo que el flujo solo se mueve en una direccioacuten En general si la direccioacuten es la x seraacute

(326)

V u x y z t i v x y z t j= +( ) ( )

V u x y t i v x y t j= +( ) ( )

V u x y z t i= ( )


En este caso las liacuteneas de corriente y las trayectorias son coincidentes y siempre son rectas paralelas a la direccioacuten del movimiento No obstante puede ser tri-dimensional bidimensional o unidimensional En la figura siguiente se observa un caso de flujo unidirec-cional y unidimensional Se trata del flujo entre dos placas planas paralelas muy anchas (perpendiculares al papel) separadas por una pequentildea distancia h En este caso el flujo es unidireccional en x (solo existe al componente u de la velocidad) y unidimensional en y (la componente u solo depende de la variable y) Se representa el perfil de velocidades en diferentes sec-ciones entre las dos placas

Figura 15emspFlujo unidimensional y unidireccional

Hay flujos que dependiendo del sistema de coordena-das elegido tienen un grado de direccionalidad u otro Por ejemplo el flujo circular que se genera alrededor de un punto de desaguumle Lejos del mismo las liacuteneas de corriente son praacutecticamente circulares (no exacta-mente porque existiraacute una pequentildea componente de la velocidad hacia el drenaje) Evidentemente la ve-locidad de giro aumenta cuando la LDC estaacute cerca del punto de desaguumle En este caso en coordenadas car-tesianas el flujo es bidireccional (uv) y bidimensional (xy) pero en coordenadas ciliacutendricas es unidireccional (uθ) y unidimensional (la velocidad solo depende de la distancia al desaguumle r)

Figura 16emspFlujo circular

x

y

u(y) h

y

x

Vectores de velocidad

Liacuteneas de corriente

Desaguumle

θ

r

En el caso de una tuberiacutea de seccioacuten constante por la que fluya un liacutequido en reacutegimen laminar (se veraacute maacutes adelante) el flujo se analiza en coordenadas ciliacutendricas (flujo de Hagen₋Poiseuille) La uacutenica componente de la velocidad es uz por lo que el flujo es unidireccional Si el flujo no depende del tiempo a la entrada de la tuberiacutea se puede considerar que el flujo es uniforme existiendo una cierta longitud (denominada longitud de entrada) en la que el flujo estaacute en desarrollo (el perfil de velocidades de entrada se va adaptando a las condiciones que le impone la tuberiacutea) con lo que es bidimensional (depende de r y de z) Con el flujo com-pletamente desarrollado el perfil de velocidades ya no depende de z sino tan solo de r (unidimensional) ad-quiriendo la forma de un paraboloide de revolucioacuten Se representan en la figura los perfiles de velocidad en diferentes secciones de la tuberiacutea y en un corte longi-tudinal de la misma por lo que en la zona de flujo to-talmente desarrollado se observa un perfil de velocida-des paraboacutelico (el corte por un plano del paraboloide de revolucioacuten) La capa liacutemite se veraacute maacutes adelante ocupa todo el espacio de la tuberiacutea cuando el flujo estaacute completamente desarrollado

Figura 17emspFlujo de Hagen₋Poiseuille

En el anaacutelisis de flujos en muchas ocasiones se acude a simplificaciones despreciando algunas componentes de la velocidad de poca entidad y utilizando el con-cepto de velocidad media Por ejemplo en la figura siguiente aparece el perfil de velocidades aproxima-do de un flujo laminar no dependiente del tiempo en

Zona de perfil de velocidad desarrolladocompletamente (paraboloide de revolucioacuten)

z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite

Flujo en desarrollo(longitud de entrada)

Flujo totalmentedesarrollado


z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite




un conducto de seccioacuten variable (seriacutea bidireccional con uz y ur y bidimensional seguacuten z y r) La primera aproximacioacuten consiste en despreciar la componente menor de la velocidad ur (se supone que el aacutengulo de apertura del cono es muy pequentildeo) Tambieacuten se puede determinar la velocidad promedio en una seccioacuten (este concepto se trataraacute maacutes adelante al hablar de veloci-dades medias) Se trata del valor de la velocidad que multiplicada por el aacuterea transversal del conducto en cualquier seccioacuten da el mismo caudal que el real que atraviesa la seccioacuten Si se simplifica el perfil de veloci-dades suponiendo que la velocidad en cualquier sec-cioacuten es constante e igual a la velocidad promedio en la seccioacuten se obtendraacute un perfil como el que aparece en la figura derecha

Figura 18emspFlujo en un conducto de seccioacuten variable Sin sim-plificaciones (izq) Simplificado con velocidad promedio (der)


Cuando el campo de velocidades no depende de la variable tiempo se dice que es estacionario o perma-nente En general

(327)

Cuando aparece la variable tiempo se denomina no estacionario o transitorio

Pensando por ejemplo en el flujo a traveacutes de una tu-beriacutea de la instalacioacuten de suministro de agua a una vivienda Antes de abrir el grifo del lavabo el agua estaacute parada por lo que el flujo no existe Conforme se va abriendo el grifo el agua se va acelerando en el interior de la tuberiacutea hasta alcanzar la velocidad de reacutegimen permanente (flujo transitorio ya que las ve-locidades dependen del instante de tiempo en las que

V V r V x y z u x y z i v x y z j w x y z k= = = + +( ) ( ) ( ) ( ) ( )


lse midan) A partir de ese momento se ve un caudal de salida constante y las velocidades en el interior de la tuberiacutea no variaraacuten con el tiempo (reacutegimen perma-nente) Cuando se comience a cerrar el grifo las veloci-dades disminuiraacuten hasta anularse por lo que existiraacute otra variacioacuten con el tiempo (reacutegimen transitorio) En la figura siguiente puede verse un registro con el tiem-po de la velocidad en el centro de la tuberiacutea apreciaacuten-dose claramente las zonas de reacutegimen transitorio y de reacutegimen permanente

Figura 19emspEvolucioacuten de la velocidad en el centro de una tuberiacutea en funcioacuten de t

El estudio de flujos no estacionarios es maacutes sencillo que el de flujos transitorios al no intervenir en los primeros la variable tiempo Por ello en el anaacutelisis de flujo se diferencia normalmente el anaacutelisis en reacutegimen permanente y transitorio existiendo herramientas de caacutelculo diferenciadas para abordar ambos problemas En ocasiones solo interesa analizar el permanente y en otras es necesario analizar tambieacuten el transitorio por los problemas que pueden presentarse en el mismo por ejemplo al cerrar de manera brisca una vaacutelvula en una instalacioacuten en la que estaacute circulando agua a ele-vada velocidad (el ruido que se genera en las conduc-ciones al cerrar bruscamente el grifo monomando del lavabo se produce por el movimiento de las tuberiacuteas inducido por las ondas generadas como consecuencia del frenado brusco del agua)


Ademaacutes de clasificarse seguacuten las direcciones del cam-po de velocidades de las variables espaciales de las que depende (dimensiones) y de su dependencia o no con el tiempo los flujos pueden clasificarse atendien-do al reacutegimen que se establece en su movimiento en

tT PPTP

u (l s)

P Reacutegimen permanenteT Reacutegimen transitorio


-emspFlujo ideal (irrotacional no viscoso)-emspFlujo no ideal

-emspFlujo laminar-emspFlujo turbulento

En el flujo ideal se desprecia el efecto de la viscosi-dad (se supone viscosidad nula micro = 0) por lo que no existiraacuten esfuerzos cortantes En el flujo no ideal sea laminar o turbulento aparecen los esfuerzos cortantes y las tensiones tangenciales por lo que la viscosidad no se puede anular La diferencia entre ellos estriba en el mayor orden de las liacuteneas de corriente y trayectorias del flujo laminar frente al desorden del turbulento lo que se manifiesta en este uacuteltimo en pulsaciones aleato-rias de las componentes del vector velocidad

Figura 20emspFlujo alrededor de un cuerpo

El reacutegimen de flujo de un mismo fluido puede ser ideal laminar o turbulento seguacuten las circunstancias En muchas ocasiones los flujos externos pueden anali-zarse como un flujo ideal en la mayor parte del campo fluido pero deben de considerarse los efectos viscosos y las tensiones tangenciales en las cercaniacuteas de los ob-jetos que lo perturban Por ejemplo en el caso del flujo que se ve perturbado por un perfil aerodinaacutemico (figu-ra 20) hay dos zonas perfectamente diferenciadas En la zona maacutes alejada el perfil de velocidades es unifor-me por lo que el flujo puede considerarse ideal y no existen esfuerzos cortantes Conforme el flujo se acerca al cuerpo y entra en su zona de influencia las liacuteneas de corriente y las trayectorias se ven modificadas por la existencia del perfil pero se puede seguir conside-rando al flujo como ideal Alrededor del cuerpo se de-ben de considerar los efectos viscosos por lo que el perfil de velocidades no es uniforme apareciendo los

Capa liacutemite

Capa liacutemite

Zona de flujo ideal

esfuerzos cortantes En el borde de ataque (entrada al perfil) el flujo puede ser laminar mientras que en la salida puede pasar a ser turbulento La zona maacutes bien delgada en la que estos esfuerzos viscosos se manifies-tan es lo que se denomina capa liacutemite y seraacute objeto de estudio en temas posteriores

En la mayoriacutea de flujos internos o confinados los es-fuerzos cortantes se manifiestan en todo el campo de flujo por lo que debe de considerarse el efecto de la viscosidad Podriacutea decirse que la capa liacutemite ya no es una regioacuten delgada cerca de las paredes sino que se extiende a todo el flujo En la figura 17 se representa un caso de flujo confinado en el que pueden apreciarse los perfiles de velocidades asociados El reacutegimen que se estableceraacute seraacute viscoso siendo laminar o turbulen-to seguacuten las condiciones del flujo

Una caracteriacutestica importante en el flujo no ideal es que debido a los esfuerzos cortantes las partiacuteculas de fluido pueden deformarse e incluso girar mientras que en el flujo ideal este hecho no ocurre

Figura 21emspa)emspFlujo laminar entre placasb)emspFlujo laminar en un conducto circular

La visualizacioacuten de estos flujos nos permiten entender mejor sus caracteriacutesticas En el caso de flujo laminar las liacuteneas de corriente son liacuteneas praacutecticamente rectas ya que el fluido se desplaza en laacuteminas que deslizan unas sobre otras si bien con diferentes velocidades como consecuencia de los esfuerzos cortantes (las laacuteminas que van maacutes raacutepido aceleran a las que van maacutes lento

z

Velocidad de la placa superior (U0)

y

xPlaca inferior quieta


y estas uacuteltimas frenan a las primeras) En la figura an-terior puede verse unas laacuteminas de fluido desplazaacuten-dose frente a otras En el caso (a) se trata de laacuteminas planas entre dos placas la superior en movimiento y la inferior fija mientras que en el (b) se trata de prismas de seccioacuten corona circular si bien en este caso se ha dibujado un corte de la tuberiacutea por lo que la corona circular estaacute seccionada

La visualizacioacuten del flujo turbulento es mucho maacutes compleja dado que aunque el flujo neto tenga una componente principal existen componentes pulsaacutetiles en otras direcciones que complican la visualizacioacuten

Para entender mejor la diferencia entre el flujo lami-nar y turbulento puede realizarse el experimento de Osborne Reynolds Se trata de inyectar con una aguja hipodeacutermica un delgado hilo de tinta en una corriente de agua que circula por un tubo transparente Si la ve-locidad del flujo es baja puede observarse niacutetidamente el hilo de tinta que no fluctuacutea ni se deforma lo que da a entender que el reacutegimen es laminar (si se inyecta en otros puntos de la seccioacuten hilos de tinta de otros colo-res no se mezclariacutean entre ellos) Ello demuestra que la uacutenica componente de la velocidad no nula estaacute en la direccioacuten de la tuberiacutea (direccioacuten principal) Si exis-tieran componentes en otras direcciones las partiacuteculas de tinta se dirigiriacutean a otros puntos de la seccioacuten del conducto y no se veriacutea niacutetidamente la liacutenea

Figura 22emspExperimento de Osborne Reynolds

Cuando se incrementa la velocidad del flujo comien-zan a aparecer fluctuaciones en el hilo de tinta de manera que algunas partiacuteculas escapan de la liacutenea y van a parar a otros puntos Ello implica que la veloci-dad tiene otras componentes perpendiculares al flujo que hacen que algunas de las partiacuteculas se desplacen

Laminar

Transicioacuten

Turbulento

de la liacutenea Esto las situacutea en la zona de transicioacuten de reacutegimen laminar a turbulento Si la velocidad sigue aumentando las inestabilidades son maacutes frecuentes y de mayor intensidad por lo que un gran nuacutemero de partiacuteculas se desplazan a otras capas tintildeendo toda al agua circulante de manera que resulta casi imposible ver la liacutenea de tinta Toda la tinta se ha difuminado por el conducto Este desorden que hace que las par-tiacuteculas se cambien de carril es debido a que existen valores instantaacuteneos de la velocidad no nulos que fluc-tuacutean alrededor de 0 en las direcciones radial y circun-ferencial (son valores positivos y negativos con media temporal nula ya que no hay flujo neto a traveacutes de las paredes de la tuberiacutea y maacutes o menos al final el mismo nuacutemero de partiacuteculas viaja del carril 1 al 2 y viceversa

Tambieacuten en la componente de la velocidad en la direc-cioacuten principal del flujo existen fluctuaciones que hacen que el valor de la velocidad instantaacutenea en un punto no se mantenga constante a pesar de estar en reacutegimen per-manente En la figura siguiente puede observarse una graacutefica de la evolucioacuten con el tiempo de las tres compo-nentes de la velocidad en un punto del conducto tanto en reacutegimen laminar como en turbulento Se observa que en reacutegimen laminar no hay fluctuaciones y solo existe una componente En turbulento el valor medio temporal de la componente de la velocidad en la direccioacuten principal es no nulo (de hecho el agua fluye hacia el final de la tuberiacutea) pero se aprecian fluctuaciones y en las otras dos direcciones si bien los valores instantaacuteneos no son nu-los la media temporal si lo es De alguna manera puede decirse que estas fluctuaciones no aportan caudal pero generan un gasto energeacutetico que es un peaje que debe de pagar el flujo para poder circular Normalmente se abor-da el problema descomponiendo la componente de la ve-locidad instantaacutenea en cualquier direccioacuten en la suma de dos teacuterminos Uno de ellos es la media temporal de la ve-locidad instantaacutenea en un intervalo de tiempo T y el otro es una componente pulsaacutetil que recoge la informacioacuten sobre las fluctuaciones alrededor de la media temporal

(328a)

(328b)

(328c)

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ



-emspemspemsp Valor instantaacuteneo de la componente de la ve-locidad en la direccioacuten i

-emspemspemsp Media temporal de la componente de la velo-cidad en la direccioacuten i

-emspemspemsp Componente pulsaacutetil de la componente de la velocidad en la direccioacuten i

La media temporal se obtiene de

(329)

Como puede verse la media temporal para cualquier componente del vector velocidad de la componente pulsaacutetil es nula Para las componente en la direccioacuten principal la media temporal es no nula emspemspemspemsp pero para las otras dos direcciones se verifica que emspemspemspemsp por lo queemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp

Figura 23emspEvolucioacuten de las componentes de la velocidad Reacutegimen laminar (izq)emspReacutegimen turbulento (der)

El paso de reacutegimen laminar a turbulento puede ser de-terminado a traveacutes del nuacutemero de Reynolds Se trata de un nuacutemero adimensional cociente entre las fuerzas de inercia (predominante en el flujo turbulento) y vis-cosas (predominante en el flujo laminar)

u ti ( )

u ti ( )

u ti ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= sdot = +( ) sdot = ( ) sdotint int int1 1 1

0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

( ( ) )u tz neuarr 0( ( ) ( ) )u t u tr = =0 0 y θ

( ( ) ( ) )u t u tr = =0 0 y θ u t u u t ur r( ) (t) y ( ) (t)= = θ θ

( ( ) )u tz neuarr 0

t

uz(t) ur(t) y uθ(t) = 0

t

ui(t)

uz(t)

uz(t)

Reacutegimen laminar

Media temporal nula

Reacutegimen turbulento

ur(t) = uz(t)uθ(t) = uθ(t)

( )zu t

Re =sdotV L

ν

Con

-emspV velocidad-emspL Longitud caracteriacutestica-emspν Viscosidad cinemaacutetica

En el caso de conductos de seccioacuten circular V es la ve-locidad media en la tuberiacutea y la longitud caracteriacutesti-ca L es el Diaacutemetro interior del conducto D Para este tipo de flujos el reacutegimen es laminar hasta Re lt 2000 de transicioacuten para 2000 lt Re lt 4000 y turbulento para Re gt 4000 Mayores velocidades implican mayores posibilidades de reacutegimen turbulento mientras que fluidos maacutes viscosos auacuten con velocidades no bajas pueden circular en reacutegimen laminar

En el caso del agua (ν = 1 csk = 1 10-6 m2s) para ve-locidades normales de circulacioacuten (entre 05 y 2 ms) el flujo es casi siempre turbulento para los diaacutemetros normales Por ejemplo para un diaacutemetro usual en una instalacioacuten de una vivienda (D = 15 mm) y una velo-cidad de circulacioacuten de 05 ms se tiene un Re = 7500 (turbulento) Para diaacutemetros mayores el Re en el rango de velocidades especificado seraacute mayor

Tan solo en el caso de diaacutemetros muy pequentildeos (por ejemplo goteros) y velocidades muy bajas se tienereacutegi-men laminar o de transicioacuten Por ejemplo en una tube-riacutea de 4 mm con velocidad de 02 ms Re = 800

En el caso de aceite hidraacuteulico (ν = 20 csk = 20 10-6 m2s) es maacutes frecuente encontrar flujo laminar en condicio-nes usuales de circulacioacuten Asiacute por ejemplo para una tuberiacutea de diaacutemetro 50 mm con velocidad 05 ms se tendraacute Re = 1250 (laminar) y para una velocidad de 1 ms Re = 2500 (transicioacuten)

Figura 24emspPerfiles de velocidad en una tuberiacutea circularReacutegimen laminar (izq)emspReacutegimen turbulento (der)

Los perfiles de velocidad en una tuberiacutea correspon-dientes a reacutegimen laminar y turbulento se representan

z z

Reacutegimen laminar Reacutegimen turbulento

(330)


en la figura siguiente En el caso de reacutegimen turbulen-to no se han dibujado las componentes de la velocidad radial y tangencial sino tan solo la componente prin-cipal Puede apreciarse la forma que tiene el perfil de velocidad promedio en la direccioacuten principal al que se ha superpuesto la fluctuacioacuten de velocidad en un instante dado


Si se considera el flujo como no ideal en la zona de contacto con un contorno soacutelido las interacciones mo-leculares hacen que las partiacuteculas de fluido tengan la misma velocidad que el contorno Es lo que se conoce como condicioacuten de adherencia o de no deslizamien-to emspemspemspemspemspemsp En el caso de un contorno estaacutetico la condicioacuten de no deslizamiento seraacute emspemspemspemsp En va-rias de las figuras anteriores (por ejemplo 17 y 21) pue-de observarse la condicioacuten de adherencia Por ejemplo en la 21 la velocidad del fluido en contacto con la placa inferior es 0 (la placa estaacute quieta) y con la placa supe-rior es U0 (que es la velocidad de la placa) verificaacutendo-se la condicioacuten de adherencia

Cuando se considera el flujo como ideal la condicioacuten de no deslizamiento puede suprimirse para facilitar el anaacutelisis del flujo En tal caso se sustituye por otra con-dicioacuten que considera que el flujo puede deslizar por la superficie si bien no penetrar en ella Para un contorno estaacutetico ello implica que la velocidad del flujo en los puntos en contacto con la pared tiene una direccioacuten perpendicular al vector superficie del contorno en ese punto (dicho de otro modo la velocidad es tangente a la superficie en ese punto) Evidentemente como el flujo no puede penetrar en el contorno y este estaacute quie-to la componente de la velocidad normal (perpendi-cular) a la superficie es nula

Si el contorno estaacute en movimiento la componente nor-mal de la velocidad del flujo seraacute igual a la velocidad del soacutelido (velocidad relativa nula para que el fluido no penetre en el soacutelido) pudiendo existir una compo-nente tangencial del flujo

Existe otra condicioacuten que se manifiesta en el punto de contacto entra el fluido y la pared denominada condicioacuten de continuidad de temperatura y que nos dice que la temperatura del fluido seraacute la misma que

( )V Vfluido pared

u ruuuuu u ruuuu=

V fluido

u ruuuuu= 0

la temperatura de la pared del soacutelido en contacto con eacutel (Tfluido = Tpared)


1 Flujo CompresibleIncompresible

Cuando las variaciones de densidad en el campo de flu-jo son despreciables se considera al flujo como incom-presible es decir con una densidad = constante Las variaciones de densidad estaacuten muy ligadas a las varia-ciones de presioacuten y temperatura En el caso de liacutequidos estas variaciones deben de ser muy grandes para que la densidad sufra variaciones apreciables por lo que en general se admite la hipoacutetesis de Incompresibilidad

Para el caso de gases es maacutes faacutecil encontrar situaciones en las que la variacioacuten de la densidad es apreciable en cuyo caso el flujo se debe de tratar como compresible lo que complica su estudio No obstante hay muchos casos en la praacutectica en los que el flujo de un gas puede con-siderarse como incompresible Por ejemplo el flujo en conductos de ventilacioacuten o de aire acondicionado puede considerarse como incompresible dado que las variacio-nes de presioacuten y temperatura son bajas en ese tipo de ins-talaciones En esos casos se considera una densidad cons-tante e igual a la del aire en condiciones de temperatura ambiente (20 ordmC) y presioacuten atmosfeacuterica Esta densidad se puede obtener de la expresioacuten vista en el tema 1

En la que P es la presioacuten absoluta en este caso igual a la presioacuten atmosfeacuterica estaacutendar (101325 Pa) dado que la presioacuten relativa es 0 y Rg la constante del gas que para el aire es Rg = 287 (N m)(Kg K) Por lo tanto se obtiene

Tambieacuten en instalaciones de suministro de Gas natural en baja presioacuten (redes interiores de las viviendas) en las que las presiones son inferiores a 50 mbar se con-

P R T PR Tgg

= sdot sdot rarr =sdot

ρ ρ (331)

ρ =sdot +

=101325

287 20 273 151 2 3

( ) Kg m (332)


sidera al flujo incompresible Incluso en parte de las instalaciones de aire comprimido se puede analizar el flujo como incompresible si las caiacutedas de presioacuten no son importantes (evidentemente el flujo entre la entra-da del compresor y la salida del mismo es claramente compresible pero desde la salida del compresor a los puntos de consumo dependiendo del diaacutemetro de las conducciones y de las velocidades de circulacioacuten las caiacutedas de presioacuten pueden ser pequentildeas pudiendo considerarse la densidad aproximadamente constan-te) El valor de la densidad a considerar depende de las presiones y temperaturas a las que se distribuye el aire Por ejemplo a una presioacuten manomeacutetrica de traba-jo de 6 bar y una temperatura de 20 ordmC se obtendraacute una densidad para el aire de

2 Flujo Isotermo

En este caso la temperatura se mantendraacute constante en todo el flujo En la praacutectica existen muchas ocasiones tanto en liacutequidos como en gases en las que se podraacute adoptar esta hipoacutetesis porque las variaciones de tem-peratura son tales que su influencia en otras variables (densidad viscosidad etc) es despreciable

En el estudio de redes de suministro de agua por ejemplo no se tienen en consideracioacuten las variaciones de temperatura del agua en el sistema Asimismo in-cluso conducciones de gas natural en alta presioacuten no se consideran estos cambios de temperatura cuando se analiza el reacutegimen permanente a pesar de que las variaciones de presioacuten son importantes Esto es asiacute porque las conducciones intercambian continuamente calor con el medio que las rodea manteniendo la tem-peratura del gas praacutecticamente constante

Evidentemente no se puede adoptar esta hipoacutetesis en casos de por ejemplo expansiones bruscas de gases en los que estos sufren un enfriamiento importante Es el caso por ejemplo de un purgador de aire o la ex-pansioacuten brusca del aire contendido en un recipiente a presioacuten como consecuencia de un raacutepido vaciado del mismo Si esta expansioacuten es mucho maacutes lenta de ma-nera que a traveacutes de las paredes del recipiente puede

ρ =sdot +sdot +

=6 10 101325

287 20 273 158 3

53

( ) Kg m (333)

haber suficiente intercambio de calor con el ambiente puede considerarse que la temperatura se mantendraacute maacutes o menos constante durante el proceso que se po-draacute admitir como isotermo

3 Flujo Adiabaacutetico

Se admite en este caso que no hay transferencia de ca-lor Generalmente se asume esta hipoacutetesis para expan-siones bruscas de gases a traveacutes de vaacutelvulas y toberas En ocasiones se asume que el flujo es politroacutepico es decir un paso intermedio entre isotermo y adiabaacutetico

Concepto de caudal

Se define caudal volumeacutetrico al volumen de fluido que atraviesa una seccioacuten (superficie) durante una unidad de tiempo Conceptualmente implica que el caudal vo-lumeacutetrico se puede determinar midiendo el volumen de fluido que ha atravesado la superficie y dividieacuten-dolo por el tiempo que ha tardado en atravesarla Ello nos daraacute idea del caudal medio que ha atravesado la superficie durante el tiempo de medicioacuten Faacutecilmente puede determinarse el caudal medio de agua que sale por el grifo de la bantildeera Solo se tiene que coger un recipiente cuyo volumen se conozca y llenarlo con el citado grifo midiendo a la vez el tiempo que tarda en llenarse El cociente emsp seraacute el caudal medio Q

Figura 25emspConcepto de caudal

Las partiacuteculas de fluido en contacto con el aacuterea ele-mental dA llevan una velocidademsp en el instante t En el instante t + dt dichas partiacuteculas ocuparaacuten una superfi-cie elemental dA habieacutendose desplazado en el sentido

forall t

v

vn

dA

dAθ

tθ

ndA

dA

SdA

+t dtvdt

cosdA θ

vdt



de la velocidad emspuna distancia V middot dt En definitiva el volumen elemental de partiacuteculas que ha atravesado dA en el tiempo dt emsp seraacute

(334)

y el caudal volumeacutetrico elemental dQ seraacute por lo tanto

Para toda la superficie S el caudal volumeacutetrico que la atraviesa seraacute

Dado que la velocidad es la del instante t que se ha escogido el caudal asiacute calculado es un valor instantaacute-neo correspondiente al instante t No confundir con el caudal medio a lo largo de un periodo de tiempo co-mentado al comienzo de este epiacutegrafe Evidentemente si el caudal instantaacuteneo es el mismo a lo largo de todo el periodo de tiempo coincidiraacute con el caudal medio

Dimensionalmente hablando el caudal tiene unidades de volumen divididas por unidad de tiempo En el SI la uni-dad de medida del caudal volumeacutetrico es el metro cuacutebico por segundo (m3s) aunque tambieacuten son muy habituales las siguientes litrossegundo (ls) litrosminuto (lpm o lmin) litroshora (lh) m3minuto (m3min) y el m3hora (m3h)

Por otra parte el caudal o gasto maacutesico elemental dG seraacute la masa de partiacuteculas de fluido que atraviesa dA durante un tiempo dt Teniendo en cuenta queemspemspemsp

El gasto o caudal maacutesico que atravesaraacute toda la super-ficie S seraacute

d dA V dt dA V dtforall = sdot sdot = sdot sdot sdot

cosθ



cosθ

dQ ddt

dA V dA V=forall

= sdot = sdot sdot

cosθ (335)

Q dQ V dAS S

= = sdotint int

(336)

ρ = forallm

dG dmdt

ddt

dQ V dA= =forall

= sdot = sdot sdotρ ρ ρ

(337)

En el caso en que la densidad sea la misma a lo largo de toda la superficie S es posible sacar fuera de la integral con lo que quedaraacute

En el SI la unidad de medida del caudal maacutesico es el Kgs aunque tambieacuten son muy habituales el Kgminuto (Kgmin) y el Kghora (Kgh)

La velocidad media es un valor escalar igual al cocien-te entre el caudal volumeacutetrico a traveacutes de una superfi-cie y el valor de dicha superficie Corresponde al valor medio de las velocidades del fluido proyectadas en direccioacuten perpendicular a la superficie considerada

En el caso de conducciones la seccioacuten de paso es per-pendicular a las velocidades de circulacioacuten En ese caso si se conoce el valor de la velocidad media el caudal se determina aplicando simplemente la expre-sioacuten Q = Vmedia S

En el caso de una tuberiacutea de seccioacuten circular de diaacuteme-tro interior D el caudal vendraacute dado por

Cuando se usa esta expresioacuten o la anterior no se suele explicitar que es la velocidad media si bien queda cla-ro que no se puede tratar de otra velocidad

En el caso de liacutequidos se suele hablar en teacuterminos de caudal volumeacutetrico Dado que la densidad apenas va-riacutea es inmediato determinar el caudal maacutesico (G = Q )

G V dAS

= sdot sdotint ρ

(338)

G V dA QS

= sdot = sdotintρ ρ

(339)

V QS S

V dAmediaS

= = sdotint 1 (340)

Q V Dmedia= sdot

sdotπ 2

4 (341)


Para flujo de gases en los que la densidad puede variar con mayor facilidad es mejor usar el caudal maacutesico o el caudal volumeacutetrico pero referido a unas determinadas condiciones que nos permiten definir la densidad Estas son bien las condiciones normales (presioacuten atmosfeacuterica P = 101325 Pa y 0ordmC) bien las con-diciones estaacutendar (presioacuten atmosfeacuterica P = 101325 Pa y 15ordmC) Las condiciones normales se designan con una N al lado del volumen y las estaacutendar con una S Asiacute por ejemplo un caudal volumeacutetrico de 10 m3h en con-diciones normales se escribe como 10 Nm3h

Para obtener el caudal maacutesico de gas es necesario mul-tiplicar por la densidad Esta se obtendraacute tal y como se vio en el capiacutetulo 1 o en este conociendo la constante del gas la presioacuten y la temperatura

En redes de gas natural a baja presioacuten como la pre-sioacuten es muy semejante a la atmosfeacuterica el caudal vo-lumeacutetrico en condiciones normales es realmente el caudal volumeacutetrico que atraviesa las conducciones por lo que dividiendo este valor por la seccioacuten del conducto se obtendriacutea la velocidad media Pero en ocasiones se habla de caudal en condiciones normales pero el flujo estaacute circulando a media o alta presioacuten con densidades muy diferentes a la que se tiene en condiciones normales Para tener una idea clara de la masa de gas por unidad de tiempo que estaacute circulan-do y saber el caudal volumeacutetrico real de circulacioacuten es necesario realizar unas sencillas operaciones mate-maacuteticas de conversioacuten

Derivacioacuten en mecaacutenica de fluidos derivada total local y convectiva Aceleracioacuten del fluido Aceleracioacuten tangencial y aceleracioacuten normal

Concepto de derivada material o total y deri-vada local

La distincioacuten entre estos conceptos nace precisamente de la consideracioacuten de las variables de Lagrange (que hacen referencia a la partiacutecula material) y de las varia-bles de Euler (referidas en este caso a una posicioacuten del espacio) Sea una propiedad intensiva del fluido (sea velocidad presioacuten temperatura densidad etc) a la que se da un caraacutecter vectorial por mayor generalidad si bien en el caso de la presioacuten densidad o temperatu-

D tDt A

τ τ( )

= Derivada material de

ra su caraacutecter es escalar Dicha propiedad adopta para una partiacutecula concreta de fluido A el valor Bajo esta consideracioacuten (que corresponde a las coordenadas de Lagrange) la propiedad de la partiacutecula tan solo de-pende del tiempo

(342)

La derivada de la propiedad emspcon respecto del tiem-po seraacute precisamente lo que se conoce como Derivada Material de

y se califica de material precisamente porque hace referencia a la propiedad de la partiacutecula material

Para una partiacutecula concreta al variar la propiedad tan solo con el tiempo se verifica que

Sin embargo cuando la propiedad estaacute definida en

coordenadas de Euler (lo que se denomina un campo de la propiedad

)

(345)

realmente se estaacute haciendo referencia a la propiedad de la partiacutecula de fluido que en el instante t ocupa la posicioacuten del espacio definida por el vector posicioacuten

Ahora la propiedad depende tanto del tiempo como de la posicioacuten del espacio considerada La derivada con respecto del tiempo de la propiedad emspemsp ya no coincide con la derivada material de dicha propiedad y se denomina derivada local puesto que describe

τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )

= Derivada material de (343)

D tDt

ttA A

τ τ( ) ( )=

partpart

(344)

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t


coacutemo variacutea tal propiedad en una posicioacuten del espacio

y no coincide con la derivada material o Total porque depende de la posicioacuten espacial (coordenadas xyz) ademaacutes del tiempo

Si se desea calcular la derivada total para una propie-dad definida en coordenadas de Euler (el caso habitual en Mecaacutenica de Fluidos) debe tenerse en cuenta que el diferencial total de la propiedad al depender de xyzt es

De manera que la derivada material o total con respec-to al tiempo puede escribirse dividiendo la anterior expresioacuten por dt como

Pero si se tiene en cuenta que

-emspDxDt = u(xyzt) primera componente del vector velocidademspemspemsp

-emspDyDt = v(xyzt) segunda componente del vector velocidademspemspemsp

-emspDzDt = w(xyzt) tercera componente del vector velocidademspemspemsp

Se llega finalmente a la siguiente expresioacuten de la de-rivada total de la propiedad emspemsp en la que para sim-plificar se escribe en lugar de emspemsp

τ τ

= ( )r t

Derivada local de

τ τ τ=

partpart

ne( ) ( )r tt

D tDt A

(346)

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

(347)

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

(348)




τ τ

= ( )r tτ τ

= ( )r t τ τ

= ( )r t

Los teacuterminos implicados en la expresioacuten anterior son los siguientes

-emspDerivada material o total de la propiedad para la partiacutecula de fluido que ocupa la posicioacuten en el ins-tante t

-emspDerivada local de la propiedad Expresa coacutemo va-riacutea la propiedad con respecto al tiempo para una posicioacuten del espacio determinada

-emspDerivada convectiva de la propiedad Expresa coacutemo variacutea la propiedad con respecto de la posicioacuten espacial para un instante determinado t

Puede aplicarse la anterior expresioacuten a cualquier pro-piedad intensiva como se ha comentado previamente Por ejemplo en el caso de la Temperatura de una habi-tacioacuten esta puede ser para un instante dado diferente en cada uno de los puntos de la misma Es evidente que T variacutea en el espacio por lo que la derivada convectiva seraacute distinta de cero Si se observa un punto concreto y la temperatura variacutea con el tiempo se obtendraacute una derivada local no nula Si para un instante concreto la temperatura es la misma en cualquier punto del lo-cal y para otro instante es diferente a la anterior pero la misma para todos los puntos del local se obtendraacute una derivada convectiva nula El caso de derivada lo-cal nula sucede cuando la temperatura no variacutea con el

D τ τ τ τ τDt t x

uyv

zw=

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

(349)

τ τ

= ( )r t

D τ ( )r tDt

(350)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

τ ( )r tt

(351)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

+partpart

+partpart

τ τ τxu

yv

zw (352)

τ τ

= ( )r t


tiempo para ninguacuten punto del local si bien la tempera-tura en uno u otro punto puede ser diferente

Concepto de aceleracioacuten material local y con-vectiva

La aplicacioacuten de lo expuesto en el apartado anterior a la propiedad velocidad nos proporcionan de modo natural los conceptos de aceleracioacuten material o total aceleracioacuten local y aceleracioacuten convectiva Para sim-plificar la escritura de las ecuaciones se usaraacute en lu-gar de emspemsp

siendo

-emspAceleracioacuten material o total la correspondiente a la par-tiacutecula de fluido que ocupa la posicioacuten en el instante t

- emspAceleracioacuten local Expresa coacutemo variacutea la velocidad con respecto al tiempo para una posicioacuten del espa-cio determinada

- emspAceleracioacuten convectiva Expresa coacutemo variacutea la ve-locidad con respecto de la posicioacuten espacial para un instante determinado t

En coordenadas cartesianas las tres componentes del vector aceleracioacuten material o total seraacuten con



a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (353)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (354)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(355)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(356)

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D

emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp

La aceleracioacuten material o total existe siempre que la partiacutecula se acelera ello puede ser provocado por dos causas fundamentales

-emspPorque la velocidad en un punto del espacio cam-bia con el tiempo (Flujo transitorio) ello implica que existe aceleracioacuten local

-emspPorque la partiacutecula se acelera al cambiar de posi-cioacuten en el espacio auacuten trataacutendose de un flujo per-manente Por ejemplo en una tuberiacutea que se estre-cha en la que la velocidad aumenta En tal caso existe aceleracioacuten convectiva

Evidentemente se puede dar el caso de que ambas cau-sas coexistan como seriacutea la situacioacuten en un flujo transi-torio en una conduccioacuten que sufre un estrechamiento

Teorema de arrastre de Reynolds

Puede decirse que el Teorema de Arrastre de Reynolds (abreviadamente TAR) representa los conceptos de derivacioacuten material o total local y convectiva pero en este caso aplicados a propiedades extensivas de un conjunto de partiacuteculas de fluido tales como la masa la energiacutea la cantidad de movimiento o el momento de la cantidad de movimiento Es posiblemente uno de los teoremas maacutes potentes de la Mecaacutenica de Fluidos por cuanto que de eacutel se obtienen los teoremas de con-servacioacuten maacutes habituales (conservacioacuten de masa de cantidad de movimiento de energiacutea etc)

a r t a r t i a r t j a r t kx y z

( ) ( ) ( ) ( )= sdot + sdot + sdot

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357a)

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357b)a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )(357c)


Concepto de Sistema volumen y superficie de control

Sistema de control (Sist) Conjunto de partiacuteculas de fluido que en un instante dado ocupan una regioacuten del espacio denominado Volumen de control Por su pro-pia definicioacuten la masa del sistema de control es un in-variante (puesto que no cambian las partiacuteculas que for-man parte del mismo cada una de ellas con una masa mi) La masa del sistema seraacute el sumatorio de las mi del sistema Si lo pueden hacer otras propiedades como la cantidad de movimiento ya que las partiacuteculas pueden variar su velocidad por lo que lo haraacute su cantidad de movimiento (sumatorio de emspemspemspdel sistema)

Se puede expresar esto analizando el sistema de forma discreta como se ha hecho o de manera continua En este caso cada partiacutecula tiene un diferencial de masa (dm) y una cantidad de propiedad (en este ejemplo cantidad de movimiento) definida poremspemspemspemspemsp La masa del sistema seraacute

Y la cantidad de propiedad del sistema (en este ejem-plo cantidad de movimiento) seraacute

Volumen de control (VC) Regioacuten arbitraria del es-pacio que es de intereacutes para conocer las transforma-ciones que sufre un sistema de partiacuteculas cuando la atraviesa Puede ser fija y de volumen y forma cons-tante (no deformable) puede estar en movimiento y no ser deformable o bien puede estar en movimiento y cambiar ser deformable El volumen de control es una regioacuten del espacio en la que nos interesa estudiar la accioacuten del fluido normalmente en contacto con un contorno (por ejemplo en un tramo de tuberiacutea en el rodete de una bomba centriacutefuga etc) Por lo general se trabaja con un sistema de ejes situados sobre el vo-lumen de control que en caso de que este sea moacutevil

m Vi isdoturu

V r t dmuru r

( ) sdot

Masadelsistema dmSist

= int (358)

cantidaddemovimiento V r t dmSist

= int ( ) (359)

se moveraacuten con eacutel En la figura siguiente se presentan diversos casos de VC

Figura 26emspEjemplos de Volumen de control VC

En un instante dado t las partiacuteculas que hay dentro del VC que pueden ser las definidas en el sistema u otras tienen una masa total (masa del VC) y una canti-dad de propiedad del VC

La masa del VC seraacute sabiendo queemspemspemspemspemspemsp

Y la cantidad de propiedad contenida en el VC (en este caso la cantidad de movimiento) seraacute

Superficie de control (SC) Frontera o contorno del volumen de control A traveacutes de la superficie de con-trol el VC se relaciona con el resto del campo fluido producieacutendose flujos de entrada y salida al mismo asiacute como transmitieacutendose fuerzas energiacutea pares etc al VC

VC

Superficie entrada

VC Indeformable y moacutevil

VC

Superficie entrada

VC

Superficie entrada

Superficie salida

VC Indeformable y quieto

x

y

x

y

x

y

dm r t d= forallρ( )

dm r t dVC VCint int= forallρ( )

(360)

V r t dm V r t r t dVC VC

( ) ( ) ( )int int= sdot forallρ (362)


Teorema de Arrastre de Reynolds

Sea una propiedad extensiva del campo fluido (por ejemplo cantidad de movimiento energiacutea momento de la cantidad de movimiento etc) Se denominaraacute

-emspemspemspemsp Propiedad de las partiacuteculas del sistema en el instante t La propiedad masa por ejemplo es constante pero otras pueden ser variables (canti-dad de movimiento energiacutea momento de la canti-dad de movimiento etc)

-emspemsp Propiedad especiacutefica por unidad de masa en el instante temspemspemspemspemspemspemsp

emspemsp-emspSi la cantidad de propiedad de un dm en un ins-

tante t emspemsp es por ejemplo la cantidad de movi-miento emsp emspemsp la propiedad especiacutefica seraacute

emspPara todo el sistema

-emspemspemspemsp Propiedad extensiva (masa energiacutea etc) de las partiacuteculas contenidas en el volumen de control en el instante t

-emspemspemsp Propiedad especiacutefica por unidad de masa en el punto de coordenadas y en el instante t

emspPara el VC

Se ha escrito VC(t) porque el VC puede ser moacutevil o de-formable por lo que puede cambiar con el tiempo

H

H tsist

u ruuu( )

h t( )

h t dH t dmr uru( ) ( )=


h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

(363)

H t h t dmSist

Sist

( ) ( )= int (364)

H tVC

u ruuu( )

h r t( )

H t h r t dm h r t r t dVCVC t VC t

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

= = sdot forallint int ρ (365)

Supograveniendo que el sistema de partiacuteculas (sistema) se encuentra en el instante t ocupando el volumen repre-sentado en la figura siguiente (regiones I + II) Trans-currido un tiempo lo suficientemente pequentildeo Δt di-cho sistema en el instante t + Δt se encontraraacute ocupan-do una regioacuten del espacio diferente (regiones II + III)

Figura 27emspSistema de Control en los instantes t y t + Δt

Lo que se pretende es evaluar la variacioacuten en el tiempo de la propiedad extensiva para el sistema de partiacutecu-las emspemspemspen un instante t esto es

Acudiendo a la definicioacuten de derivada se observa que

(367)

V(t) V(t + Δt)I

II

III

H tsist

u ruuu( )

dH tdtSist

( )

(366)

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )

r t t dm h r t dmtt t

+ minus

forallforall +

intint ∆∆

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆


Puede utilizarse las regiones del espacio I II y III para distinguir las integrales anteriores de modo que

puesto que emspemspemspemspemspemspemsp yemspemspemspemsp se tiene queemspemspemspemspemspemspemspemsp

Los teacuterminos del liacutemite que afectan a la regioacuten II repre-sentan teniendo en cuenta queemspemspemspemspemsp emsp

El teacutermino local esto es la variacioacuten temporal de la propiedad extensiva encerrada en el volumen de con-trol VC en el instante t

Los teacuterminos del liacutemite que afectan a I y III representan

(370)

el teacutermino convectivo concretamente el flujo de la propiedademsp a traveacutes de las paredes de la superficie de control SC en el instante t

dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

(368)

forall + ∆ = +( ) II IIIt t forall = +( ) I IItforall + ∆ cap forall =( ) ( ) IIt t t


∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ (369)

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( )ddm h r t r t V r t dA

SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

H

Para deducir la anterior expresioacuten se ha tenido en cuen-ta que el caudal maacutesico emsp es como se ha visto ante-riormente

siendo dQ el caudal volumeacutetrico que atraviesa emsp un de la superficie de control y emspemspemspemspla velocidad en el instante t del punto de coordenadas situado en la SC pero estando referida a la SC esto es la velocidad relativa del flujo respecto a la SC la cual podriacutea ser moacutevil Si la velocidad respecto a una referencia abso-luta en el punto dado es emspemspemspy la velocidad de la SC respecto a la misma referencia absoluta esemspemspemsp la velocidad a tomar en consideracioacuten en la expresioacuten anterior seraacuteemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp

Finalmente el Teorema de Arrastre de Reynolds (TAR)

(372)

Donde sus teacuterminos son

-emspemspemsp Propiedad especiacutefica por unidad de masa en el punto de coordenadas y en el instante t En el caso de la primera integral se refiere a la propiedad especiacutefica del elemento de volumen emsp situado en la posicioacuten en el instante t mientras que en la se-gunda integral representa la propiedad especiacutefica

emsp referida al elemento de superficie situado en la superficie de control SC en la posicioacuten y en el instante t

-emspemspemsp Densidad del fluido en el punto de coorde-nadas y en el instante t

-emspemspemspemspemsp Velocidad en el elemento de superficie emsp situado en la superficie de control SC en la posicioacuten

dm dG ddt

dQ r t V r t dAr SC= =forall

= sdot = sdot( )ρ ρ ρ( ) ( )r u ruuuu r r

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

dm dG ddt



(371)

dm dG ddt



dm dG ddt



dm dG ddt




V tSC

u ruu( )

V r t V r t V tr SC SC ( ) ( ) ( )u ruuuu r uru r uru

= minus

dH tdt

ddt

h r t r t d h r t r t VSist

t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

= forall +int ρ ρ rr SCSC t

r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int dH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt


= sdot = sdot( )ρ ρ ρ( ) ( )r u ruuuu r rdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int


emsp y en el instante t relativa a la propia superficie de control SC

En la expresioacuten del teorema de arrastre de Reynolds se emplea la notacioacuten general VC(t) y SC(t) ya que tanto el VC como la SC pueden moverse yo deformar-se Por ejemplo en el caso del VC caso de deformarse sin moverse sus liacutemites de integracioacuten seraacuten funcioacuten del tiempo Asimismo si se mueve sin deformarse y lo hace a velocidad variable con el tiempo si se ha adoptado como sistema de referencia un Sistema fijo tambieacuten cambiaraacuten con el tiempo los liacutemites del VC y por lo tanto los liacutemites de integracioacuten seraacuten funcioacuten del tiempo

En muchas ocasiones se escribe de forma simplificada la expresioacuten del TAR no explicitando en la misma la variacioacuten espacial y temporal de la densidad la ve-locidad emspemspemsp y la densidad de propiedad En tal caso queda

(373)

Teacutecnicas a emplear para el anaacutelisis de flujos

Analizada la forma de describir el flujo procede en este punto revisar brevemente la forma de plantear los problemas de anaacutelisis de flujo para proceder a su re-solucioacuten Hay dos enfoques bien diferenciados aque-llos que modelizan mediante ecuaciones el fenoacutemeno fiacutesico (por aplicacioacuten de las leyes fundamentales de la fiacutesica que se podriacutea denominar meacutetodos fiacutesico-mate-maacuteticos y los meacutetodos experimentales

En los primeros enfoque diferencial y enfoque inte-gral o de volumen de control se establecen las ecua-ciones que modelizan el flujo (en muchas ocasiones ecuaciones diferenciales) y se procede a su resolucioacuten maacutes o menos compleja en funcioacuten de las hipoacutetesis sim-plificadoras realizadas previamente y de la forma ma-temaacutetica de dichas ecuaciones

Esta forma de plantear las ecuaciones puede darse des-de un Enfoque Diferencial que es la forma maacutes gene-

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt


= sdot = sdot( )ρ ρ ρ( ) ( )r u ruuuu r r dH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt

h d h V dASist

t VC tr SC

SC t

( )

( )

( )

= sdot sdot forall + sdot( )int intρ ρ

ral lo que permite determinar todos los detalles del flujo Sin embargo es la maacutes complicada De hecho en muchos casos se debe de recurrir a simplificaciones y a meacutetodos numeacutericos de resolucioacuten (por ejemplo en el caso de flujos turbulentos y geometriacuteas complicadas) pues analiacuteticamente no es posible resolver las ecuacio-nes que modelizan el flujo No obstante hoy en diacutea existen modelos numeacutericos de gran potencia y una dis-ciplina dentro de la Mecaacutenica de Fluidos denominada CFD (Computational Fluid Dynamics) que se basa en el uso de meacutetodos numeacutericos y algoritmos para anali-zar problemas relacionados con el flujo de fluidos No solo en temas de automocioacuten y aeronaacuteutica sino en otros campos de estudio de la Mecaacutenica de Fluidos se utilizan cada vez maacutes estos meacutetodos que permiten re-solver con suficiente aproximacioacuten flujos complejos si bien en cualquier caso es necesario proceder a la com-probacioacuten y calibrado de los modelos para asegurar la fiabilidad de los resultados obtenidos

El Enfoque Integral o Meacutetodo del Volumen de con-trol no genera tanta informacioacuten acerca de los deta-lles del flujo pero para muchas aplicaciones resulta suficientemente aproximado Se basa en analizar con unas simplificaciones previas razonables puede ser el considerar que el campo de velocidades es uniforme en cualquier seccioacuten lo que le ocurre al fluido (Siste-ma) que en un instante determinado t ocupa una re-gioacuten del espacio (Volumen de control) que se relaciona con el resto del campo fluido a traveacutes de una Superficie de control (SC) por la que entra y sale flujo y por la que el VC se ve sometido a las condiciones de contorno que le impone el campo de flujo que le rodea Tal y como en dinaacutemica del soacutelido riacutegido se aisla el soacutelido impo-nieacutendole unas condiciones de contorno (por ejemplo reacciones) en Mecaacutenica de Fluidos se aisla una regioacuten del espacio Si se pretendiera aislar a las partiacuteculas como en el caso de un soacutelido se estariacutea enfocando el problema desde un punto de vista Lagrangiano Como las partiacuteculas ocupan un espacio diferente en cada ins-tante se aplica un enfoque euleriano centraacutendonos en el anaacutelisis de lo que sucede en el instante t en el VC

Por uacuteltimo puede aplicarse un enfoque experimental (de laboratorio) para intentar resolver los problemas relacionados con el flujo Para ello se recurre en oca-siones a modelos a escala que intentan reproducir la realidad de la manera maacutes fiel posible Tras aplicar las condiciones reales de la manera maacutes aproximada se


realizan mediciones y se determinan los valores de las variables de intereacutes a escala para posteriormente y tras un tratamiento de estos valores llegar a conocer los valores reales que se produciriacutean en las mismas condiciones pero a escala 11

Antes del desarrollo de la CFD la teacutecnica experimen-tal era la uacutenica que permitiacutea resolver muchos proble-mas complejos de Mecaacutenica de Fluidos pero resultaba muy costosa econoacutemicamente Hoy en diacutea es posible utilizar meacutetodos de CFD para resolver muchos proble-mas o combinarlos con la experimentacioacuten de manera que se reduzcan de manera importante los ensayos a realizar Por ejemplo antes de elaborar un prototipo a escala 11 de un automoacutevil se trabaja con CFD para afinar su disentildeo Posteriormente se realiza un mode-lo a escala que puede ser probado en un tuacutenel de vien-to pequentildeo calibraacutendose el modelo matemaacutetico usado por la CFD para analizar mejor el flujo Finalmente si es posible se realiza un modelo a escala 11 para con-firmar los resultados Este proceso abarata considera-blemente los costes porque puede ser que con un solo modelo a escala 11 sea suficiente y que el nuacutemero de pruebas a realizar en un tuacutenel de viento grande y cos-toso sea reducido

Bibliografiacutea

Apuntes de mecaacutenica de Fluidos Tema 3Cinemaacutetica ETSII Universidad Politeacutecnica de Valencia

Gerhart P Gross R Hochstein J Ed Addison-Wes-ley 1995Fundamentos de Mecaacutenica de Fluidos Iberoamericana

Frank M White 5ordf Edicioacuten 2004Mecaacutenica de Fluidos Ed McGraw-Hill

Potter MC Wiggert DC 2002Mecaacutenica de FluidosEd Thomson

Capiacutetulo 4

Dinaacutemica de fluidos

Iacutendice

Introduccioacuten Ecuaciones fundamentales de la dinaacutemica diferencialBalance de masa o ecuacioacuten de continuidad

Balance de fuerzas Ecuacioacuten de Navier Stokes y de Euler

Balance de energiacutea Ecuacioacuten diferencial de la energiacutea

Conclusioacuten

Modelacioacuten matemaacutetica del reacutegimen turbulento La ecuacioacuten de ReynoldsLos coacutedigos CFD Aplicacioacuten de la dinaacutemica diferencial flujo de CouetteConclusioacuten

Dinaacutemica de fluidos 75

Introduccioacuten

Desde el punto de vista praacutectico en siacute mismo el estudio de la cinemaacutetica de los fluidos (como el de cualquier otra cinemaacutetica) no tiene el menor intereacutes Al fin y al cabo es el anaacutelisis del movimiento prescindiendo de las causas que lo generan lo que impide alcanzar conclu-siones soacutelidas Siacute tiene sin embargo un notable intereacutes pedagoacutegico pues tal cual ahora se veraacute permite intro-ducir de manera progresiva una serie de conceptos de gran utilidad praacutectica La dinaacutemica de los fluidos que este capiacutetulo y el proacuteximo abordan recurre constante-mente a ellos facilitando de este modo el aprendizaje del bloque maacutes importante de la asignatura

Y asiacute cuando en la dinaacutemica de fluidos se relaciona la causa (la accioacuten de un flujo de aire sobre un soacutelido) con el efecto (el arrastre que genera dicha corriente) el alumno ya se ha familiarizado con muchos de los con-ceptos que requiere el estudio de este fenoacutemeno De alguacuten modo pues la cinemaacutetica facilita el avance en la comprensioacuten de esta materia que cual se ha dicho es la maacutes importante de la asignatura Porque al fin y al cabo establece los fundamentos y plantea las leyes a partir de las cuales estudiar cualquier tipo de flujo fluido Al fin y a la postre los cuatro temas que siguen al presente

-emspDinaacutemica integral-emspFlujo externo alrededor de cuerpos-emspFlujos abiertos-emspFlujo a presioacuten

son aplicaciones especiacuteficas de la dinaacutemica de fluidos cuyos fundamentos se presentan y que como no pue-de ser de otro modo se apoyan en los principios baacutesi-cos A saber la conservacioacuten de la masa y de energiacutea y la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica de Newton (balance de fuerzas) Siendo las dos primeras propie-dades escalares cada una de ellas da lugar a una ecua-cioacuten escalar Pero al ser las fuerzas vectores su balance proporciona una ecuacioacuten vectorial y por tanto tres escalares Se tienen pues cinco ecuaciones para de-terminar las siete variables que caracterizan completa-mente cualquier flujo fluido El campo de velocidades (vector con tres componentes escalares) la densidad la presioacuten p y dos variables termodinaacutemicas que normalmente son la temperatura T y la energiacutea inter-na u Y auacuten cuando hay otras variables termodinaacutemi-

cas (como la entalpiacutea h) pueden determinarse a partir de las otras dos (T y u) En definitiva siete incoacutegnitas tres estrictamente mecaacute-nicas (las componentes del vector) dos variables que pueden considerarse puente entre lo mecaacutenico y lo teacuter-mico (densidad y presioacuten p) toda vez que estaacuten siem-pre presentes cualquiera sea el problema (mecaacutenico o teacutermico) que se resuelva Finalmente las dos restantes (T y u) genuinamente termodinaacutemicas completan el con-junto de siete incoacutegnitas Para calcularlas soacutelo se cuenta ya se ha visto con cinco ecuaciones de modo que el ba-lance incoacutegnitas (7) ₋ ecuaciones (5) no estaacute equilibrado En consecuencia para cerrar el sistema y por tanto el problema hacen falta otras dos ecuaciones adicionales Son las de estado que ligan las propiedades termodinaacute-micas y que con caraacutecter general se escriben

(41a)

(41b)

La ecuacioacuten de estado de los gases perfectos ya estudia-da (tema 1) es la versioacuten maacutes sencilla del flujo de gases mientras que si el fluido que evoluciona puede conside-rarse incompresible y la ecuacioacuten de estado adquiere la forma maacutes simple posible ( = C)

Por uacuteltimo conviene subrayar que en los flujos incom-presibles el problema mecaacutenico y el teacutermico se desaco-plan En efecto siendo la densidad conocida (y cons-tante) se tienen cuatro ecuaciones (tres escalares resul-tado de aplicar el balance de fuerzas maacutes la ecuacioacuten escalar de continuidad que proporciona el balance de materia) en las que soacutelo intervienen cuatro incoacutegnitas (tres del campo de velocidades maacutes la presioacuten) En consecuencia se puede resolver este problema sin ne-cesidad de recurrir al balance de energiacutea El problema mecaacutenico es pues independiente del teacutermico Y una vez resuelto el problema mecaacutenico la ecuacioacuten de la energiacutea aporta informacioacuten sobre las cuestiones teacutermi-cas siempre presentes en cualquier flujo real pues la viscosidad genera friccioacuten que a la postre se convierte en calor El fluido se calienta aunque en general muy poco tal cual se comprobaraacute maacutes adelante al comparar la ecuacioacuten de Bernouilli y la de la energiacutea

ρ ρ==

( )

( )p T

u u p Tρ ρ=

=

( )

( )p T

u u p T


Y ya para concluir este primer apartado subrayar que los problemas mecaacutenicos y teacutermicos estaacuten desacopla-dos en todos los problemas que en este curso se abor-dan Bien porque se supone la densidad constante bien porque cuando no se admite tal hipoacutetesis se su-pone que la evolucioacuten del gas es isoterma En este caso la ecuacioacuten de estado es p = Rg T0 (o sea p = C por lo que no se introduce ninguna variable teacutermica y bas-tan las cuatro ecuaciones mecaacutenicas para resolver el problema) Despueacutes conocidas las variables mecaacuteni-cas se recurre a la ecuacioacuten de la energiacutea para valorar aspectos termodinaacutemicos El escaso tiempo disponible impide plantear problemas en que los aspectos teacutermi-cos y mecaacutenicos estaacuten acoplados tal cual ocurre con la excepcioacuten ya hecha de los flujos isotermos en todos los problemas ligados a la dinaacutemica de gases

La relacioacuten causa efecto se establece planteando los tres balances ya referidos (masa fuerza y energiacutea) Cual se ha expuesto en el tema precedente dependiendo del volumen sobre el que se apliquen se obtendraacuten las ecuaciones que caracterizan la dinaacutemica diferencial o la integral Ya se han discutido ventajas e inconvenien-tes de cada enfoque por lo que no es menester abundar en este asunto En cualquier caso si se quiere enfatizar que son enfoques que no compiten entre siacute Antes son complementarios pues resuelven problemas muy dis-tintos Por lo general la dinaacutemica diferencial exige mu-cha menos informacioacuten de partida pero suele requerir un enorme esfuerzo para obtener resultados concretos (las caracteriacutesticas del flujo en cualquier punto del es-pacio fluido) en flujos medianamente complejos Sin embargo la dinaacutemica integral proporciona una visioacuten de conjunto con una informacioacuten globalizada referida al volumen de control finito

Puesto que a la dinaacutemica integral se le dedica el proacutexi-mo capiacutetulo el maacutes extenso del curso en lo que sigue se hace una primera aproximacioacuten a la dinaacutemica di-ferencial Tan soacutelo se presentan los resultados de los tres balances globales diferenciales se interpretan los teacuterminos que incluyen las ecuaciones se discuten las dificultades que supone integrarlas y se explica el enorme salto de calidad que para la dinaacutemica diferen-cial de fluidos ha supuesto tanto el desarrollo del caacutel-culo numeacuterico como la aparicioacuten de los ordenadores Conjuntamente son los responsables de la explosioacuten de un nuevo mundo el CFD con su infinidad de apli-caciones

Como contrapunto a los flujos complejos generalmen-te turbulentos que resuelven los coacutedigos CFD el capiacute-tulo concluye resolviendo el ejemplo maacutes sencillo de la dinaacutemica diferencial de los fluidos el flujo laminar entre dos placas planas y paralelas o flujo de Couette

Ecuaciones fundamentales de la dinaacutemica diferencial

Balance de masa o ecuacioacuten de continuidad

El primer y maacutes sencillo de los balances es el de masa Como quiera que en la mecaacutenica claacutesica la masa exis-tente en el interior del elemento de volumen seleccio-nado es un invariante aunque no lo es en la mecaacutenica relativista de la que dista un abismo dadas las bajas velocidades comparadas con las de la luz de los campos fluidos propios de la ingenieriacutea Pues bien la ecuacioacuten de continuidad (el nombre habitual del ba-lance de materia en Mecaacutenica de Fluidos) se establece imponiendo esta condicioacuten Que la materia es un inva-riante lo que se impone igualando a cero la suma de la variacioacuten de masa en el interior del volumen selec-cionado maacutes el flujo de masa neto (el saliente menos el entrante a traveacutes de la superficie que limita el volumen en cuestioacuten) Cuando el flujo de masa saliente supera al entrante la variacioacuten de masa en el interior del ele-mento de volumen disminuye ocurriendo lo contrario cuando la entrante supere a la saliente Una suma que en forma diferencial se expresa tal cual la ecuacioacuten (42) expresa

donde el primer sumando (variacioacuten local de la densi-dad en un punto geneacuterico del espacio fluido) represen-ta la variacioacuten de masa por unidad de volumen en el interior del volumen de control diferencial (centrado en el punto geneacuterico al que estaacuten referidas las variables fluidas) De otra parte el vectoremsp (cuyas unidades son ML-2 y por tanto en el Sistema Internacional SI se mide en kgm2) es el flujo unitario de masa que atravie-sa una superficie elemental (es una funcioacuten de punto) Por tanto el segundo teacutermino de la ecuacioacuten (42) la divergencia del vector es

partpart

+ nabla sdot( )ρ ρt

Vuru

nabla sdot( ) =partpart

( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

(42)


(43)

y representa el balance del flujo maacutesico a traveacutes de la su-perficie elemental que encierra el volumen diferencial O dicho maacutes coloquialmente el flujo maacutesico saliente menos el flujo entrante a traveacutes de esta superficie

Recordando coacutemo se derivan las variables fluidas la ecuacioacuten (42) admite una manera alternativa tambieacuten muy clarificadora En efecto recordando que es un operador diferencial y que la suma de la derivada local de la densidad (primer sumando) y de la convectiva en este casoemspemspemsp es la derivada total el desarrollo de (42) proporciona

O bien

Esta segunda forma de la ecuacioacuten de la continuidad (45) no permite como la precedente una interpreta-cioacuten del balance de materia efectuado sobre un espacio euleriano (el elemento de volumen) toda vez que el primer sumando es la derivada total (o material) de la densidad concepto lagrangiano ligado a la partiacutecula cuya variacioacuten de densidad se estima Cuando el flui-do es incompresible esa variacioacuten es necesariamente nula y por lo tanto tambieacuten lo es el segundo sumando de la ecuacioacuten (45) Pero al no poder serlo la densidad (no hay ninguacuten fluido de densidad cero) necesaria-mente tambieacuten lo debe ser la divergencia del vector velocidademsp emsp En consecuencia cuando la divergen-cia del campo de velocidades es nula el flujo que ese campo de velocidades representa es incompresible

La divergencia de la velocidad es igual a la dilatacioacuten unitaria de una partiacutecula fluida (asimilada a un cubo elemental) pues cada uno de sus tres sumandos pro-porciona la dilatacioacuten unitaria longitudinal de cada


( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

partpart

+ nabla( ) + nabla( ) = + nabla( ) =ρ ρ ρ ρ ρtV

V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0 (44)

DDt

Vρ ρ+ nabla( ) =

0 (45)

nabla sdotV

uno de los tres lados del cubo Por ejemplo en la direc-cioacuten x esemspemsp La dilatacioacuten unitaria volumeacutetrica se nota θ (emspemspemsp ) Obviamente en un fluido incompre-sible la densidad no cambia lo que implica que una masa concreta ocupa siempre el mismo volumen


Sobre un conjunto de partiacuteculas de fluido encerradas en un volumen elemental emsp actuacutean un conjunto de fuerzas elementales Algunas el ejemplo maacutes sencillo es el de las fuerzas de presioacuten a traveacutes de la superficie que limita el elemento de volumen (de ahiacute el nombre de fuerzas de superficie) otras como el campo gravi-tatorio son fuerzas que se aplican directamente sobre el volumen y por tanto se llaman fuerzas de volumen Al plantear la ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica (la suma de todas las fuerzas que actuacutean sobre una masa diferencial tanto las de superficie como las de volu-men es el producto de esa masa por su aceleracioacuten) se llega a la ecuacioacuten de Navier Stokes Para obtener la forma final (ver la ec 46) se ha introducido la hipoacute-tesis de Stokes que relaciona la viscosidad del fluido las causas (fuerzas de superficie representadas por las componentes del tensor de tensiones) y los efectos (de-formacioacuten de la partiacutecula elemental de fluido) Convie-ne recordar que la ecuacioacuten (11) es la expresioacuten maacutes simple de la hipoacutetesis de Stokes Y lo es porque el flujo que alliacute se contempla es el maacutes sencillo de todos el que discurre entre dos placas planas paralelas que se estudia al final de este capiacutetulo

Pues bien la ecuacioacuten de Navier Stokes la que preside toda la Mecaacutenica de Fluidos y por tanto la maacutes impor-tante de este cuerpo de doctrina de la fiacutesica es

(46)

El significado fiacutesico de cada uno de sus teacuterminos es el que sigue

-emspemsp es la aceleracioacuten del fluido

-emspemsp es la resultante de las fuerzas exteriores por uni-dad de volumen Con el fluido evolucionando en

part partu xnabla sdot = θV

δV

ρ micro micro A X p V Vminus( ) = minusnabla + nabla nabla sdot( ) + ∆

13


13

ρX


el seno de un campo derivado de una funcioacuten po-tencial U se tieneemspemspemspemsp En el caso de un campo gravitatorio la funcioacuten potencial es U = gh Alterna-tivamente (ver figura 5 U = gh)

-emsp el gradiente de presiones Cuando en una de-terminada direccioacuten disminuye se le denomina gradiente favorable pues propicia el movimiento en tal direccioacuten

-emspemspemspemspemspemsp son las peacuterdidas por disipacioacuten vis-cosa derivadas de la dilatacioacuten (siemsp emspemsp) o de la contraccioacuten si el signo es negativo En flujos in-compresibles las partiacuteculas de fluido no cambian de volumen y este teacutermino es nulo emspemspemspemspemsp El teacutermino completo emspemspemspemspemsp es el gradiente de la divergencia del vector velocidad y proporciona la direccioacuten de maacutexima dilatacioacuten Siemspemspemsp la dilatacioacuten de la partiacutecula es constante (la dilatacioacuten en una determinada direccioacuten no se altera) y al no haber desplazamiento relativo entre filetes fluidos la disipacioacuten viscosa por este concepto tambieacuten es nula

-emspemspemsp es la disipacioacuten viscosa por excelencia pre-sente siempre en cualquier fluido real

Si el fluido es ideal (micro = 0) la ecuacioacuten de Navier Stokes se simplifica notablemente porque los dos teacuterminos maacutes complejos que son los ligados a la viscosidad) se anulan quedando

(47)

o de manera maacutes compacta

Como se ha supuesto micro = 0 (no hay disipacioacuten viscosa es decir no hay peacuterdidas) la expresioacuten (48) expresa con claridad meridiana la relacioacuten causa (gradientes de los campos gravitario y de presioacuten) efecto (acelera-cioacuten del movimiento) Cuando el fluido se mueve a lo largo de una liacutenea de corriente estacionaria en el tiem-

X Uuru

= minusnabla


13

1 3 micronabla nabla sdot( )Vnabla sdot gtV 0

nabla sdot = =θV 0nabla nabla sdot = nabla( ) θV

nabla sdot =V C


13

ρ( ) A X pminus = minusnabla

A U p

+ nabla +

=

ρ 0 (48)

po y curviliacutenea (figura 1) y el movimiento se refiere a las coordenadas naturalesemspemspemsp que representan las direcciones tangencial normal y binormal los campos de velocidad y de presioacuten soacutelo dependen de la variable espacial s y se simplifican por lo que se puede escri-bir emsp emspemspemspy p = p (s t)

Figura 1emspMovimiento de un fluido ideal sobreuna liacutenea de corriente (coordenadas naturales)

En estas condiciones la aceleracioacuten total de una par-tiacutecula elemental (recueacuterdese la derivada total como suma de la local y la convectiva asiacute como la foacutermula de Frenetemspemsp emspemspemsp con Rc radio de curvatura de la tra-yectoria curviliacutenea) viene dada por la ecuacioacuten (48) vaacutelida en la direccioacuten tangencial ( )

En consecuencia la componente tangencial de la ecua-cioacuten (48) puede escribirse

O de manera maacutes compacta

( )s n b

V V s t= ( )

n

Rc

Liacutenea de corriente estacionaria

O

= V V s ( )s s s=

part part =s s n Rc

( )s n b

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

(49)

partpart

+

partpart

+partpart

+

=

sV V

t sgz p2

20

ρ(410)


Una relacioacuten que se obtendraacute directamente en la proacutexi-ma leccioacuten con un simple balance de fuerzas Si a las hipoacutetesis precedentes (flujo a lo largo de una trayec-toria curviliacutenea estacionaria emspemspemsp y fluido ideal) seantildeade la de reacutegimen permanenteemspemsp emspemspemspy la de incompresible = C la ecuacioacuten de Bernouilli expre-sada en energiacutea por unidad de volumen queda

O de manera maacutes compacta (manteniendo el teacutermino local si el reacutegimen no es estacionario) en funcioacuten del trinomio de Bernouilli

una relacioacuten que se utilizaraacute con mucha frecuencia en las lecciones posteriores sobre todo en flujos incom-presibles a traveacutes de tuberiacuteas de presioacuten


Este curso presta poca atencioacuten ya se ha dicho a los flujos de fluidos en los que el intercambio de calor es un fenoacutemeno relevante En ellos al igual que en aquellos en que las variaciones de densidad del flui-do son importantes (es decir en la dinaacutemica de gases) la ecuacioacuten de la energiacutea juega un papel esencial En cualquier caso tambieacuten en los flujos mecaacutenicos de los liacutequidos incompresibles en los que cual se ha dicho la ecuacioacuten de la energiacutea estaacute desacoplada tambieacuten aporta una informacioacuten relevante Permite identificar ya se ha dicho el destino final de las peacuterdidas por fric-cioacuten generadas por la viscosidad y que no es otro que el calentamiento del fluido

La ecuacioacuten resultante de aplicar un balance de ener-giacutea a un elemento de volumen diferencial es

partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2

20

ρ(411)

= ( )s s s

( )part part =V t 0

partpart

= rarr = + + =Bs

B V gz p C02

2

ρ(412)

partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2 0ρ

(413)

Donde el primer teacutermino representa la variacioacuten de la energiacutea total por unidad de volumen En cuanto a la significacioacuten de los teacuterminos que integran el segundo miembro es la que sigue

-emspemsp es el trabajo elaacutestico (θ recueacuterdese es el valor de la dilatacioacuten unitaria de una partiacutecula elemen-tal) Nulo en los fluidos incompresibles

-emsp la funcioacuten de disipacioacuten Proporciona la peacuterdi-da de energiacutea asimismo por unidad de volumen y por unidad de tiempo (potencia disipada por unidad de volumen) inherente al movimiento de cualquier fluido real (micro ne 0) Su valor lo detalla la relacioacuten (49)

emsp Desde la oacuteptica de los problemas que en ese curso nos preocupan es con diferencia la funcioacuten de disi-pacioacuten cuya expresioacuten en coordenadas cartesianas en el caso maacutes general es

(415)

emsp una relacioacuten que se utilizaraacute bien que muy simpli-ficada al estudiar el flujo laminar entre dos placas planas y paralelas Soacutelo sobrevive un teacutermino en concreto emspemspemspemspemspemsp

- emspemspemspemsp representa el flujo teacutermico por unidad de volumen a traveacutes de la superficie elemental que lo limita siendo k el coeficiente de conductividad teacuter-mica del fluido

Conclusioacuten

Las ecuaciones de continuidad (42) Navier Stokes (46) y energiacutea (414) gobiernan cualquier flujo fluido

ρ θDeDt

p k T= minus + + nabla sdot nabla( )Φ (414)

ρ θDeDt

p k T= minus + + nabla sdot nabla( )Φ

ρ θDeDt


Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2

Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2

Φ = part partmicro( )u y 2

nabla sdot nabla( )k T


abierto o cerrado laminar o turbulento Cual se ha di-cho para que el problema quede completamente de-terminado hacen falta dos ecuaciones adicionales (las de estado) El conjunto (en el caso maacutes general siete ecuaciones con otras tantas incoacutegnitas) es un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineal y extremadamente complejo que soacutelo se pueden resolver de manera exacta en casos muy sencillos El que se presenta al final de este capiacutetulo el flujo de Couette es el maacutes sencillo de cuantos se pueden plan-tear En cualquier caso en el epiacutegrafe que sigue se completan los conceptos sobre turbulencia expuestos en el capiacutetulo precedente para que el alumno tenga una visioacuten lo maacutes general posible de la compleja mo-delacioacuten de los flujos fluidos

Modelacioacuten matemaacutetica del reacutegimen turbulento La ecuacioacuten de Reynolds

Al describir en la leccioacuten precedente los tipos de flujo se han establecido las diferencias existentes entre los dos regiacutemenes de circulacioacuten posibles con que puede evo-lucionar los fluidos reales el laminar y el turbulento Y al tiempo se ha introducido el nuacutemero de Reynolds relacioacuten entre las fuerzas de inercia y las viscosas como paraacutemetro adimensional que nos indica cuando se pre-senta un tipo de movimiento u otro Los valores que se alliacute se daban para determinar el tipo de reacutegimen no son concluyentes (hay un intervalo 2000 lt Re lt 4000 en los que el flujo puede ser de uno u otro tipo) porque ade-maacutes del nuacutemero de Reynolds hay otros factores que auacuten cuando influyen mucho menos tambieacuten intervie-nen Entre otros la rugosidad de la tuberiacutea (un mayor valor propicia que la turbulencia aparezca antes) y el gradiente de presiones a lo largo de la direccioacuten prin-cipal del movimiento Cuando es favorable (la presioacuten disminuye en la direccioacuten de avance del fluido) el flujo es maacutes estable y la transicioacuten a la turbulencia se pos-pone Y claro estaacute un gradiente adverso propicia la turbulencia

El anaacutelisis del movimiento turbulento es uno de los capiacutetulos maacutes complejos de la fiacutesica En lo que sigue se describen muy sucintamente las directrices a seguir para modelarlo Y lo primero que conviene decir es que son plenamente vaacutelidas las ecuaciones preceden-tes (energiacutea Navier Stokes y continuidad) para efec-tuar su anaacutelisis Pero efectuar un seguimiento detalla-

do del movimiento real con un campo de velocidades tridimensional tan complejo como el que caracteriza todo reacutegimen turbulento (recordar la descripcioacuten reali-zada en el capiacutetulo anterior) es sencillamente imposi-ble Por ello seguir esta viacutea de resolucioacuten del problema no es razonable y hay que limitarse a estudiar el movi-miento del fluido a partir de sus componentes medias tanto las del vector velocidad tridimensional como del resto de variables del flujo (densidad presioacuten o temperatura) Y a tal efecto se sustituye en todas las ecuaciones que modelan el movimiento las diferentes variables por la suma de su valor medio maacutes el pulsaacutetil y a rengloacuten seguido promediarlas en el tiempo

En el caso de un fluido incompresible (y por tanto con la divergencia del vector velocidad del flujoemspemspemsp) la ecuacioacuten de la energiacutea (recordeacutemoslo) se desacopla del conjunto del sistema y soacutelo es necesario resolver de manera simultaacutenea las ecuaciones de continuidad y Navier Stokes Pues bien mientras que en funcioacuten de los valores medios del flujo la ecuacioacuten de conti-nuidad es ideacutentica a la que corresponde a la velocidad instantaacutenea (media maacutes pulsaacutetil) la de Navier Stokes soacutelo cambia en la aparicioacuten de un teacutermino adicional una fuerza de turbulencia que caracteriza estos flu-jos De tal manera que para los valores medios de las variables que caracterizan el flujo principal estas dos ecuaciones quedan

(416)

que corresponde a la de continuidad de un flujo in-compresible

Y que tras haber tenido en cuenta la ecuacioacuten (416) anulando la divergencia del vector velocidad media sumando del segundo miembro de la ecuacioacuten (417) es la misma ecuacioacuten de Navier Stokes (con = C) pero con dos uacutenicas diferencias

-emspLas variables estaacuten referidas a los valores medios del flujo

nabla =V 0

nabla =V 0

ρ microDVDt

X p V Ruru

r u ruu u ruu rminus

= minusnabla + ∆ + (417)


-emspLas componentes de la fuerza de turbulencia de-penden de los valores pulsaacutetiles del vector veloci-dad que aparecen como resultado de descomponer la velocidad instantaacutenea en media y pulsaacutetil Los teacuterminos que lo integran son del tipo emsp emsp etceacutetera

La ecuacioacuten (417) con el vector caracteriacutestico de la turbu-lencia se le denomina ecuacioacuten de Reynolds y es ya se ha dicho la de Navier Stokes adaptada a la resolucioacuten del reacutegimen turbulento Pero y es muy importante subrayar-lo hay que observar que este modo de proceder rompe el equilibrio nuacutemero de ecuaciones ₋ nuacutemero de incoacutegnitas El primero no ha cambiado (las tres correspondientes al balance de fuerzas maacutes la de continuidad en el caso de flujos incompresibles) pero siacute lo ha hecho el nuacute-mero de incoacutegnitas porque ahora el vector velocidad incluye seis (las tres medias y las tres pulsaacutetiles) y no tres como antes Las correspondientes al flujo medio aparecen en los teacuterminos habituales de Navier Stokes mientras las propias del movimiento pulsaacutetil estaacuten in-tegradas en la fuerza de turbulencia Es menester pues restituir el equilibrio (hay que aportar otras tres nuevas ecuaciones) para cerrar de nuevo el sistema razoacuten por la que este asunto es conocido como El pro-blema del Cierre una de las cuestiones que maacutes inte-reacutes ha suscitado entre los investigadores

En siacutentesis el cierre de las ecuaciones propio del mo-vimiento turbulento consiste en encontrar tres nuevas ecuaciones que relacionen las componentes medias con las pulsaacutetiles pues no se puede introducir ningu-na nueva variable De hacerlo se romperiacutea de nuevo el equilibrio Y ello se puede hacer con mayor o menor complejidad dando lugar a cierres de primer orden de segundo etceacutetera Evidentemente todas las relacio-nes que se plantean tienen un caraacutecter semiempiacuterico y la validez de las hipoacutetesis que se realizan la deben confirmar la comparacioacuten entre los resultados teoacutericos que se obtienen a partir de la resolucioacuten de las ecua-ciones con los experimentales Tan soacutelo comentar que la mayoriacutea de coacutedigos CFD que se utilizan para resol-ver estas ecuaciones y a los que seguidamente se haraacute referencia recurren al modelo de cierre de segundo orden denominado κ ₋ ε Sus detalles se detallan en cualquiera de la infinidad de trabajos dedicados al es-tudio de la turbulencia

ρ microDVDt

X p V Ruru


= minusnabla + ∆ +

ρ 2u ρuv

ρ microDVDt

X p V Ruru



Los coacutedigos CFD

La complejidad que comporta la resolucioacuten de las cua-tro ecuaciones (416) y (417) maacutes las relaciones com-plementarias correspondientes al cierre del modelo de turbulencia es enorme Pieacutensese ademaacutes en la com-pleja geometriacutea de los contornos sobre los que puede evolucionar un flujo fluido (figura 2) Pero las ecuacio-nes son las que se acaban de presentar No hay nada maacutes detraacutes que su compleja resolucioacuten Con todo la aparicioacuten de los ordenadores y el enorme desarrollo del caacutelculo numeacuterico posibilita pese a su extremada complejidad (no se olvide que son ecuaciones diferen-ciales en derivadas parciales no lineales en el marco de contornos sumamente irregulares) resolverlas nu-meacutericamente

Figura 2emspAnaacutelisis de flujos fluidos mecaacutenicos (incompresibles) mediantecoacutedigos CFD

Se lleva a cabo con los coacutedigos CFD (Computational Fluid Dynamics) cuyo desarrollo ademaacutes de unos soacute-lidos conocimientos en Mecaacutenica de Fluidos y en Meacute-todos Numeacutericos supone una enorme inversioacuten en tiempo soacutelo al alcance de empresas tan potentes como especializadas En Espantildea probablemente el paque-te CFD con mayor cota de mercado sea el FLUENT Quienes esteacuten interesados en este fascinante mundo pueden visitar la web de la NASA y en particular la paacutegina que detalla toda esta informacioacuten Estaacute presi-dida por el tiacutetulo CFD Resources at NASA Langley (httpaaaclarcnasagovtsab7CFDlarcindexhtml) Obviamente como la dinaacutemica de fluidos interviene de manera maacutes o menos directa en una infinidad de problemas ingenieriles el nuacutemero de aplicaciones es praacutecticamente ilimitado

En esencia un coacutedigo CFD es una conjuncioacuten de teacutecnicas que permiten resolver por viacutea numeacuterica tanto en el espacio como en el tiempo las ecuaciones que gobiernan el movi-miento de los fluidos para de este modo obtener una des-


cripcioacuten suficientemente detallada de cualquier campo flui-do que presente un intereacutes ingenieril En funcioacuten de que sean soacutelo flujos mecaacutenicos en los que la ecuacioacuten de la energiacutea se ha desacoplado de las cuatro ecuaciones maacutes mecaacutenicas (es el caso del flujo a traveacutes de una maacutequina hidraacuteulica o de la aerodinaacutemica de un coche ambos casos detallados en la precedente figura 2) o se estudien procesos en los que el intercambio de calor juegue un papel relevante (como en la modelacioacuten de los procesos de combustioacuten en calderas ver figura 3) en los que la ecuacioacuten de la energiacutea debe resolverse con las mecaacutenicas (e incluso si hay reacciones quiacutemi-cas como en el ejemplo de la caldera que se propone antildeadir las ecuaciones de toda la cineacutetica quiacutemica) la complejidad del sistema aumenta

Figura 3emspAnaacutelisis de flujos fluidos teacutermicos mediante coacutedigos CFD

Trayectoria de partiacuteculas (izq)emspCampo de temperaturas (der)

En esencia el anaacutelisis de un flujo mediante un coacutedigo CFD requiere cubrir tres etapas bien diferenciadas Anaacutelisis fiacutesico anaacutelisis espacial y resolucioacuten del pro-blema Cada una de estas tres etapas incluye una serie de pasos intermedios La primera de ellas el anaacutelisis fiacutesico exige concretar queacute teacuterminos de las ecuaciones hay que retener para alcanzar resultados satisfactorios y queacute modelo de cierre de la turbulencia conviene uti-lizar Obviamente mejor cuanto maacutes sencillo sea pero sin que ello suponga peacuterdida de precisioacuten en el anaacuteli-sis En definitiva en esta primera fase hay que

-emspEstablecer las hipoacutetesis de partida y justificarlas adecuadamente

-emspConcretar de las ecuaciones a resolver y modelos de turbulencia a utilizar

Concretados los aspectos relacionados con la modela-cioacuten fiacutesica se aborda la segunda etapa el anaacutelisis espa-cial del problema que en esencia consiste en concretar la discretizacioacuten inherente a todo meacutetodo numeacuterico Y se hace estableciendo un mallado cuyo detalle depen-de del intereacutes de la zona a analizar (obviamente ma-llas maacutes tupidas en las aacutereas de mayor intereacutes) Este es asunto tambieacuten de extrema importancia se estructura en tres pasos

-emspIntroduccioacuten de la geometriacutea de estudio-emspGeneracioacuten de una malla para discretizar las super-

ficies y voluacutemenes-emspEstablecimiento de las condiciones de contorno

Figura 4emspAnaacutelisis del comportamiento aerodinaacutemico de un perfil Discretizacioacuten tiacutepica

La figura 4 detalla una discretizacioacuten tiacutepica para el anaacutelisis de la aerodinaacutemica de un perfil inmerso en una corriente de aire Claramente se aprecia coacutemo la malla es maacutes tupida en las zonas de mayor intereacutes en particular la cola del perfil dadas las turbulencias que en esta zona suelen aparecer y que para aumentar la eficiencia del perfil conviene evitar a toda costa De ahiacute el mayor detalle del anaacutelisis

Concluidas las dos fases de preparacioacuten se aborda la resolucioacuten del problema propiamente dicha Son tres fases

-emspSe discretizan todas las ecuaciones de la dinaacutemica de fluidos expuestas en esta leccioacuten y cuando el


caso lo requiera se hace lo propio con las que go-biernan los procesos complementarios (transportes de masa y de calor) No conviene olvidar que las ecuaciones fundamentales aquiacute expuestas (conti-nuidad Navier Stokes o Reynolds seguacuten proceda y energiacutea) soacutelo modelan el movimiento en siacute

-emspResolucioacuten simultaacutenea utilizando meacutetodos numeacute-ricos de las ecuaciones discretizadas tanto en el tiempo como en el espacio

-emspPor uacuteltimo analizar los resultados obtenidos para distintos escenarios posibles De hecho es el redu-cido coste de la repeticioacuten de caacutelculos correspon-dientes a situaciones distintas la gran ventaja de la modelacioacuten numeacuterica sobre la fiacutesica que a diacutea de hoy en modo alguno compiten Antes bien se com-plementan pues soacutelo la comprobacioacuten experimental de los resultados permite validar estas sofisticadas teacutecnicas numeacutericas

Aplicacioacuten de la dinaacutemica diferencial flujo de Couette

Cuando el flujo es laminar la modelacioacuten se simplifica notablemente pero no tanto como para resolver cual-quier problema analiacuteticamente De hecho soacutelo se conocen unas pocas decenas de soluciones exactas de la ecuacioacuten de Navier Stokes Por ello para resolver complejos pro-blemas de flujo laminar tambieacuten se utilizan los coacutedigos CFD Con todo conviene recordar que son muy pocos los problemas reales en los que un fluido circula en reacutegimen laminar En general soacutelo los flujos de aceites muy visco-sos con bajos nuacutemeros de Reynolds en los que las fuer-zas viscosas predominan sobre las de inercia

De todos ellos el maacutes sencillo es el flujo de Couette Es el movimiento de un fluido viscoso entre dos placas planas y paralelas que de alguacuten modo reproduce el comportamiento de un aceite lubricante dispuesto en-tre dos superficies metaacutelicas planas y deslizantes Para simplificar el problema se supone que las placas tie-nen una superficie infinita pues de este modo el flujo puede considerarse bidimensional La figura 5 detalla el problema que se estudia en el cual se supone que una placa (en este caso la superior) se mueve a una velocidad U0 (el caso particular de las placas estaacuteticas corresponde a una velocidad U0 = 0) Para generalizar

el problema se suponen las placas inclinadas y un gra-diente de presiones no nulo (dpdx ne 0) Las hipoacutetesis de partida son

-emspEl reacutegimen es laminar con un Reynolds (Re = Veυ) muy bajo

-emspEl flujo es bidimensional (superficies de las placas infinitas) y estacionarioa) El campo de velocidades soacutelo depende de y esdecir emspemspemspemspb) El campo de presiones soacutelo depende de x o seap = p(x)

-emspEl flujo es incompresible (emspemspemspemspemsp) El campo de velocidades asiacute lo cumple

-emspLas uacutenicas fuerzas exteriores de volumen son las gravitatorias (U = ghemspemspemspemsp )

Figura 5emspFlujo entre placas planas y paralelas (Flujo de Couette)

Como el flujo es incompresible la ecuacioacuten (45) se simplifica resultando

(418)

La direccioacuten que presenta un mayor intereacutes es la que corresponde al eje x Siendo nula la aceleracioacuten el reacutegi-men es estacionario la precedente ecuacioacuten (418) en la direccioacuten del eje x se simplifica resultando

V u y iuru r= ( )

nabla sdot = =θV 0

X Uuru

= minusnabla

e

x

y

U0

h (potencial gravitatorio)

θ1g x y Vρ δ δ γδsdot sdot sdot sdot =

ρpart

+partpx

= timesU g h

ρδ y

δ xτ

ττ part+party

ρ micro( )A X p Vuru uru uru

minus = minusnabla + ∆

(419)ρ micropart ( )

part= minus

partpart

+partpart

gzx

px

uy

2

2


Y que recordando la incompresibilidad del fluido tambieacuten se puede escribir seguacuten

que es la ecuacioacuten diferencial en este caso particular-mente sencilla que hay que integrar para las condicio-nes de contorno que sean del caso Una ecuacioacuten que tambieacuten puede obtenerse faacutecilmente de manera di-recta aplicando un balance de fuerzas al elemento de volumenemsp emspemspemspde la figura 5 y despueacutes claro estaacute proyectar el vector peso en la direccioacuten del movimien-to x En efecto como la aceleracioacuten del flujo es nula la suma de las tres fuerzas (dos de superficie las de presioacuten y las viscosas maacutes una tercera de volumen la gravitatoria) en la direccioacuten del movimiento tambieacuten debe ser cero Se tiene

y tras tener en cuenta la hipoacutetesis de Stokes emspemspemspemspemsp (la cual tambieacuten se contemploacute obviamente al esta-blecer la ecuacioacuten de Navier) nos conduce de nuevo a (420) Asimismo se ha tenido en cuenta que la varia-cioacuten de altura en la direccioacuten del movimiento coincide con el seno del aacutengulo de las placas (dhdx = sinθ)

Su integracioacuten completa exige concretar las condicio-nes de contorno (que no iniciales pues el reacutegimen es estacionario) Con la placa inferior en reposo el campo de velocidades debe ser nulo (en y = 0 u = 0) y con la superior (y = h) en movimiento la condicioacuten de adhe-rencia exige u(h) = U0 En estas condiciones el campo de velocidades resultante es

part +( )part

=partpart

p uy

γmicro

zx

2

2 (420)

δ δx ysdot sdot1

sum( ) = = minus +partpart

sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy

x0 1δ δ τ τ τ δ

sdot minus sdot sdot sdot sdot1 1δ γ δ δ θx x y sin


sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy


sdot minus sdot sdot sdot sdot1 1δ γ δ δ θx x y sin(421)

τ micro= ( )du dy

u y U yh

ddxp h ey y

eo ( ) = minus +( ) minus

γ

micro21 (422)

El gradiente de presiones (dpdx) puede ser negativo (la presioacuten decrece en la direccioacuten de movimiento) en cuyo caso se dice que es favorable puesto que lo facilita En el supuesto de que sea negativo se denominaraacute ad-verso Y lo mismo sucede con la pendiente Si dhdx es negativo el flujo avanza en sentido de cota decreciente y la fuerza gravitatoria contribuye a su avance siendo la pendiente favorable Cuando es positivo significa que el flujo debe remontar y por lo tanto la pendiente es adversa En definitiva signos negativos en los gradien-tes de presioacuten y altura propician el movimiento lo que explica el signo negativo en la ecuacioacuten (422)

Evidentemente un flujo de Couette admite infinidad de combinaciones La maacutes sencilla es la que se pre-sentoacute para definir la viscosidad en la primera leccioacuten El gradiente de presiones es nulo (dpdx = 0) y al ser las placas horizontales planas tampoco hay gradiente geomeacutetrico (dhdx = 0) En este caso el campo de velo-cidades es lineal e igual

La potencia que se aporta al flujo corresponde al arras-tre de la placa y es igual al producto de la fuerza que a aplicar por la velocidad de la propia placa Referida la fuerza a la unidad de superficie el caacutelculo coincide con el valor de la tensioacuten cortante dτdy = micro U0e En definitiva la potencia de arrastre aportada por metro cuadrado de placa Pa es

una energiacutea que debe compensar la que disipa la vis-cosidad cuyo caacutelculo en este caso es a partir de la fun-cioacuten de disipacioacuten (ec 415) particularmente sencillo No puede ser de otro modo dado el campo de veloci-dades tan elemental (ec 423) que se tiene En efecto

u y U yeo

( ) = (423)

P UUea o= micro 0 (424)

Φ =

=

micro microdu

dyUe

2

0

2

(425)


Y que es la potencia disipada por unidad de volumen por lo que la potencia disipada Pd seraacute

Que como no podiacutea ser de otro modo coincide con la aportada

El balance de energiacutea (por unidad de tiempo) es maacutes complejo cuando ademaacutes de la potencia de arrastre y la de disipacioacuten presentes en este caso tan sencillo participan los otros dos teacuterminos que pueden interve-nir en la ecuacioacuten maacutes general los gradientes geomeacute-trico y de presioacuten De los cuatro posibles teacuterminos soacutelo uno el correspondiente a la disipacioacuten consume siempre energiacutea y actuacutea en todo flujo frenando el mo-vimiento Los otros tres teacuterminos pueden seguacuten el caso aportar o detraer energiacutea del movimiento del fluido Y asiacute un gradiente de presioacuten adverso al igual que una pendiente adversa detraen energiacutea cineacutetica al flujo (a costa claro estaacute de ganar cota y vencer una presioacuten adversa) Del mismo modo la placa puede arrastrar al fluido cuando el gradiente de velocidades en la ordenada de la placa es positivo ([dudy]y = h gt 0)tal cual sucede en el caso analizado contribuyendo asiacute al movimiento En definitiva en un balance energeacutetico global la suma de los teacuterminos de la primera columna deben igualar los de la segunda

Tabla 1emspBalance energeacutetico

Teacutermino (energiacutea por unidad de tiempo)

Contribuye al movimiento

Frena el movimiento

Potencia viscosa disipada (Ф) Siempre

Potencia aportada (o absorbida) por la placa

Si en la placa dudy gt 0

Si en la placa dudy lt 0

Potencia aportada (o restada) de presioacuten

Cuando dpdx lt 0

Cuando dpdx gt 0

Potencia aportada (o restada) gravitatoria

Cuando dhdx lt 0

Cuando dhdx gt 0

P dUe

dyUed

y

y e

= forall =

sdot sdot =int int

=

=

Φ0

0

2

02

1 1micro micro (426)

En cuanto al caacutelculo de los teacuterminos de cada fila proce-de lo que sigue De una parte las potencias disipada y de arrastre de la placa ya se han explicado por lo que no conviene insistir en ello En cuanto a las dos uacuteltimas filas que intervienen en el balance energeacutetico y que representan los dos gradientes se calculan del mismo modo multiplicando el caudal (del flujo igual en am-bos supuestos por el salto de presioacuten (Δp) correspon-diente a cada caso habido en la unidad de longitud Para el gradiente gravitatorio es la ganancia de altura (cuando el gradiente geomeacutetrico es adverso dhdx gt 0 pues en caso contrario hay una peacuterdida) convertida en salto hidrostaacutetico de presioacuten (Δp = γ middot Δh = γ middot 1 middot sinθ) En el caso del gradiente de presiones es el salto de pre-sioacuten por metro de longitud o sea Δp = p2 - p1 supuestos los puntos 1 y 2 distantes una unidad de longitud (con p1 gt p2 cuando el gradiente es favorable y por tanto ΔpΔx lt 0)

Conclusioacuten

Esta leccioacuten es una primera aproximacioacuten al vasto mundo de la dinaacutemica diferencial de los fluidos tanto en reacutegimen laminar (del que soacutelo se ha resuelto el caso maacutes sencillo) como en turbulento Un mundo apasio-nante al que soacutelo nos hemos asomado fugazmente

Capiacutetulo 5

Dinaacutemica integral de fluidos

Iacutendice

IntroduccioacutenEcuacioacuten de conservacioacuten de la masaPlanteamiento de la ecuacioacuten

Aplicaciones

Ecuaciones de conservacioacuten de la energiacuteaLa ecuacioacuten de Euler

La ecuacioacuten de Bernoulli

La ecuacioacuten de Bernoulli generalizada

La ecuacioacuten del frujo compresible isotermo

La ecuacioacuten integral de la energiacutea

Comparacioacuten entre la ecuacioacuten de Bernoulli y la ecuacioacuten de Bernoulli

Ecuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimientoFormas de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la cantidad de movimiento para sistemas inerciales

Formas de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la cantidad de movimiento para sistemas no inerciales

Ecuaciones de conservacioacuten del momento cineacutetico

Dinaacutemica integral de fluidos 89

Introduccioacuten

En el tema 3 dedicado a la cinemaacutetica de fluidos ya se establecieron las definiciones de sistema VC y SC Igualmente se presentoacute y desarrolloacute el fundamental teorema del arrastre de Reynolds

En el tema 4 se ha explicado la importancia de toda la dinaacutemica de fluidos como la parte principal de la mecaacute-nica que ya permite la resolucioacuten de problemas praacutecticos Tambieacuten se ha apuntado la existencia de dos enfoques ca-racteriacutesticos para el desarrollo de dicha dinaacutemica el dife-rencial y el integral y se han expuesto los fundamentos complejidad y una aplicacioacuten baacutesica del primero de ellos

El terreno estaacute pues preparado para poder dedicar con rigor y detalle este tema 5 que aquiacute comienza al segun-do de dichos enfoques la dinaacutemica integral El objetivo general es llegar a obtener las ecuaciones de conserva-cioacuten de cuatro propiedades extensivas caracteriacutesticas de un flujo de fluido para un volumen de control finito base de todo anaacutelisis integral y a continuacioacuten presen-tar algunas aplicaciones praacutecticas de cada una de ellas

Las cuatro propiedades en cuestioacuten son

-emspMasa-emspEnergiacutea-emspCantidad de movimiento-emspMomento cineacutetico

Las cuatro ecuaciones mencionadas reciben el nombre de conservacioacuten de cada propiedad por el hecho de que plantean el balance de esa propiedad para un flujo de fluido concreto que atraviesa un volumen de control con-creto bajo unas condiciones concretas del entorno Cada una de ellas mostraraacute coacutemo se relaciona la influencia de las condiciones exteriores al VC (las del entorno) con la variacioacuten de la propiedad del flujo a su paso por el VC

Tan soacutelo en el caso de la conservacioacuten de la energiacutea y para las condiciones especiacuteficas de las ecuaciones de Euler y Bernoulli se procederaacute a realizar un balance diferencial de fuerzas especiacutefico para la obtencioacuten de ambas ecuaciones Por el contrario para la obtencioacuten de las ecuaciones de conservacioacuten de las otras tres pro-piedades (incluyendo tambieacuten la ecuacioacuten integral de la energiacutea) el procedimiento seguido es perfectamente paralelo entre ellas Consiste tan soacutelo en aplicar el teo-

rema del arrastre de Reynolds a la propiedad a estudiar en cada caso y tener en cuenta coacutemo son tambieacuten en cada caso las particularidades de la accioacuten del entorno

Ecuacioacuten de conservacioacuten de la masa

Planteamiento de la ecuacioacuten

En este caso se aplicaraacute el Teorema de Arrastre de Rey-nolds a la propiedad masa Se trata de una propiedad escalar por lo que se elimina el siacutembolo vector de eacutesta

(51)

(52)

Por definicioacuten de sistema la masa del mismo no variacutea por lo que

(53)

El TAR queda

(54)

es decir

(55)

donde la primera integral es la masa encerrada en el volumen de control en un determinado instante t

(56)

H t m( ) =

h r t dm r tdm

( ) ( )= = 1

dm tdtSist ( )

= 0

0 1 1= sdot forall + sdot sdotint intddt

r t d r t v r t dAVC t

r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )

0 = forall + sdotint intddt


r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )

m t r t dVCVC t

( ) ( )( )

= forallint ρ


mientras que la segunda integral corresponde al flu-jo de masa que atraviesa la superficie de control en el mismo instante t

Recordando el concepto de caudal maacutesico

(57)

la ecuacioacuten de continuidad en forma integral podriacutea escribirse de manera simplificada como

(58)

El caudal maacutesico GSC(t) es neto debiendo contabilizarse como positivo el que abandona el VC y como negativo el que entra al mismo a traveacutes de la superficie de control

Entrada emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (59a)

Salida emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (59b)

Figura 1emspProducto escalar de las velocidades por el diferencial de aacuterea

Esto es asiacute dado que el producto escalar de la veloci-dad por el diferencial de aacuterea es positivo para el flujo saliente y negativo para el entrante Y esto a su vez queda reflejado en la figura 1 en la que como siem-pre el diferencial de aacuterea dA como vector va siempre hacia fuera de la SC

G t r t v r t dASC r scSC t

( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

0 = +dm tdt

G tVCSC

( )( )

v r t dAr sc ( ) lt 0

v r t dAr sc ( ) gt 0

Sup Entrada

ventn

Sup Salida

VC vsaln

sal n sal nv dA v dAsdot =

ent n ent nv dA v dAsdot = minus

entv

salv

dA

dA

Si se tienen varias entradas y salidas al VC el caudal maacutesico puede escribirse como

(510)

Como puede observarse aparece expliacutecito el signo ne-gativo delante del caudal maacutesico de entrada por lo que

(511a)

Mientras que

(511b)

Por lo tanto la ecuacioacuten de continuidad puede escri-birse como

Esta expresioacuten es maacutes intuitiva La variacioacuten con el tiempo de la masa encerrada en el VC es igual al flujo neto de masa que por unidad de tiempo atraviesa la SC Es decir

luego mVC(t) aumenta emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp(513a)

luego mVC(t) disminuye emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp(513b)

G t G t G tSC iSalidasi

iEntradas j

( ) ( ) ( )= minussum sum

G t r t v r t dAEnt j r Ent jEnt j t

( ) ( ) ( ) ( )

= sdotint ρ

G t r t v r t dASali r Sal iSal i t

( ) ( ) ( )middot( )

= int ρ

0 = + minussum sumdm tdt

G t G tVCi

Salidasij

Entradas j

( )( ) ( )

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (512)

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi

VCsum sumgt rarr gt( ) ( )( )

0

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi

VCsum sumlt rarr lt( ) ( )( )

0


Aplicaciones

1 Conducciones

En este caso tanto el VC como la SC son no deforma-bles y fijas

En el caso de un fluido incompresible (r = cte) la masa encerrada dentro del VC es siempre la misma ya que el VC es fijo e indeformable

por lo que

Ello implica que

Dado que la densidad es constante se puede sacar de la integral que evaluacutea el caudal maacutesico

(517b)

Recordando la expresioacuten del caudal volumeacutetrico tanto para las secciones de entrada como de salida (para las secciones de entrada se ha calculado el moacutedulo)

(518a)

m t r t dV cteVCVC t

( ) ( )( )

= =int ρ

(514)

dm tdtVC ( )

= 0 (515)

G t G tjEntradas j

iSalidasi

sum sum=( ) ( ) (516)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

(517a)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

Q t v r t dAEnt j r Ent jEnt j t

( ) ( )( )

= sdotint

(518b)

quedaraacute

(519a)

(519b)

quedando para este caso la ecuacioacuten de continuidad

(520)

es decir el caudal volumeacutetrico de entrada es igual al de salida

En los productos escalares de las ecuaciones (518a) y (518b) tan solo se consideran las componentes de la velocidad perpendiculares a las superficies de entrada y salida por lo que puede escribirse considerando la direccioacuten n perpendicular a la superficie

(521a)

(521b)

Ademaacutes si se tiene en cuenta el concepto de velocidad media vmedia = QA se tiene

(522a)

(522b)

Q t v r t dASali r Sal iSal i t

( ) ( )( )

= sdotint

G t Q tEnt j Ent j( ) ( )= ρ

G t Q tSal i Sal i( ) ( )= ρ

ρ ρQ t Q t Q t QjEntradas j

iSalidasi

jEntradas j

iSalidas

sum sum sum= rarr =( ) ( ) ( )ii

tsum ( )


iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )

v r t dA v r t dAr Ent j r Ent j normal ( ) ( ) sdot =

v r t dA v r t dAr i r i normal ( ) ( ) Sal Sal sdot =

Q t v t AEnt j Ent j media normal Ent j( ) ( ) =

Q t v t ASali Sal i media normal Sal i( ) ( ) =


El valor de vEnt j media normal(t) se considera como positivo en esta ecuacioacuten Para simplificar la escritura se haraacute

(523a)

(523b)

Por lo tanto se puede escribir

Para el caso de una conduccioacuten con una sola entrada y una sola salida se tiene

(525)

y si la conduccioacuten es de seccioacuten constante con AEnt = ASal se tiene la igualdad de velocidades

(526)

Figura 2emspEcuacioacuten de continuidad en conducciones para flujo incompresible

v t v tEnt media normal j Ent j ( ) ( )=

v t v tSal i media normal Sal i ( ) ( )=

v t A v t Aj jEntradas j

i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (524)

v t A v t AEnt Ent Sal Sal( ) ( )=

v t v tEnt Sal( ) ( )=

Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)

( ) ( )ent ent sal salv t A v t Asdot = sdot( ) ( )ent sal ent salA A v t v tgt rarr lt

Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)

( ) ( )ent ent sal salv t A v t Asdot = sdot( ) ( )ent sal ent salA A v t v t= rarr =

Para fluido compresible en reacutegimen permanente la densidad solo variacutea en el espacio no en el tiempo ( emspemspemsp) Si el VC es fijo e indeformable al no variar la densidad con el tiempo la masa encerrada en el mismo se mantiene invariante (mVC(t) = cte) Por lo tanto se cumple que

Ello implica al igual que en el caso anterior que

En este caso se ha eliminado la variable tiempo (t) al tratarse de reacutegimen permanente

Para cada superficie de entrada o salida la densidad se mantiene constante por lo que el caudal maacutesico se puede escribir como


ρ ρ= ( )r

dm tdtVC ( )

= 0 (527)

G GjEntradas j

iSalidasi

sum sum= (528)

G t v r t dAEnt j Ent j r Ent jEnt j t

( ) ( ) ( )

= sdotintρ

(529a)

G t v r t dASali Sal i r Sal iSal i t

( ) ( )( )

= sdotintρ

(529b)


( ) ( )( )

= sdotint

(530a)


( ) ( )( )

= sdotint

(530b)


quedaraacute

(531a)

(531b)


Recordando que en el caso de una conduccioacuten

(533a)

(533b)

siendo vEnt j y vSal i velocidades medias en la direccioacuten del flujo se puede escribir


(535)

y si la conduccioacuten es de seccioacuten constante con AEnt = ASal se tiene la igualdad

(536)

G QEnt j Ent j Ent j= ρ

G QSali Sal i Sal i= ρ

ρ ρj jEntradas j

i iSalidasi

Q Qsum sum= (532)

Q v AEnt j Ent j Ent j=

Q v ASali Sal i Sal i=


i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (534)

ρ ρEnt Ent Ent Sal Sal Salv A v A=

ρ ρEnt Ent Sal Salv v=

Figura 3emspEcuacioacuten de continuidad en conducciones para flujo compresible en reacutegimen permanente

Por ejemplo en una conduccioacuten de transporte de gas natural a alta presioacuten en reacutegimen permanente en la que la densidad del mismo va disminuyendo progre-sivamente a lo largo de la conduccioacuten al hacerlo la pre-sioacuten la velocidad del gas iraacute aumentando en la misma medida Esto es asiacute ya que para mantener el caudal maacutesico al disminuir la densidad debe incrementarse la velocidad para poder transportar la misma masa de gas por unidad de tiempo

2 Depoacutesitos

Un depoacutesito es un dispositivo que permite almacenar fluidos sea en estado liacutequido gaseoso o en ambos es-tados Debe existir un flujo de entrada a traveacutes de una o varias secciones o un flujo de salida del depoacutesito o ambos En definitiva un depoacutesito es un VC en el que es posible almacenar masa es decir la masa del VC seraacute variable con el tiempo en funcioacuten del balance entre las entradas y salidas Si el depoacutesito estaacute en contacto con la atmoacutesfera la presioacuten en la parte superior del mismo seraacute la atmosfeacuterica lo que ocurre en muchos casos de almacenamiento de liacutequidos como por ejemplo en los depoacutesitos de las redes de distribucioacuten de agua En el caso de almacenamiento de gases o combinacioacuten de liacutequidos y gases los depoacutesitos deben estar aislados

VC

ρent

ρsal

Qent

Qsal

( ) ( )ent ent sal salt Q t Qρ ρsdot = sdot( ) ( )ent sal ent salQ t Q tρ ρgt rarr lt

Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)

ρent ρsal

( ) ( ) ( ) ( )ent ent ent sal sal salt v t A t v t Aρ ρsdot sdot = sdot sdot ( ) ( )ent sal ent sal ent salA A v t v tρ ρ= rarr gt lt


de la atmoacutesfera siendo estancos Se distinguen asiacute los depoacutesitos atmosfeacutericos y los depoacutesitos presurizados

Figura 4emspEsquema depoacutesito

Se partiraacute de la misma ecuacioacuten

con

(538a)

(538b)

(539a)

(539b)

En el caso maacutes general la ecuacioacuten quedariacutea

Si la densidad en el interior del recipiente (VC) es uni-forme aunque variable con el tiempo (rVC(t)) puede escribirse

(541)

Ge3(t)

mVC(t)

Gs2(t)Gs1(t)Ge2(t)

Ge1(t)

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (537)

G t t Q tEnt j Ent j Ent j( ) ( ) ( )= ρ

G t t Q tSal i Sal i Sal i( ) ( ) ( )= ρ

Q t v t AEnt j Ent j Ent j( ) ( )=

Q t v t ASali Sal i Sal i( ) ( )=

dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (540)

m t t tVC VC( ) ( ) ( )= forall sdot ρ

por lo que

quedando finalmente

Si el volumen del depoacutesito fuera constante ((t) = ) la variacioacuten con el tiempo del mismo seriacutea nula (d(t)dt = 0) por lo que quedariacutea

(544)

-emspDepoacutesitos atmosfeacutericos

En el caso de un depoacutesito abierto a la atmoacutesfera (depoacute-sito atmosfeacuterico) solo se pueden almacenar liacutequidos Si se considera como VC no todo el depoacutesito sino la porcioacuten del mismo ocupada en cada momento por el fluido el volumen del VC seraacute variable con el tiempo (VC deformable) Asimismo al considerar solo el volu-men del liacutequido la densidad seraacute constante (rVC(t) = r) Asiacute pues en este caso se tendraacute

y eliminando la densidad r de ambos lados de la ecuacioacuten

(546)

m tdt

td tdt

t d tdt

VC VCVC

( )( )

( )( ) ( )

= forall sdot + sdotforallρ

ρ (542)

forall sdot + sdotforall

= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum (543)

forall sdot = minussum sum( )( )

( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt Q t t Q tVC

jEntradas j

j i iSalidasi

ρρ ρ

ρ ρ ρsdotforall

= minussum sumd tdt

Q t Q tEntradas j

j iSalidasi

( ) ( ) ( ) (545)

d tdt

Q t Q tjEntradas j

iSalidasi

forall= minussum sum( ) ( ) ( )


Figura 5emspEsquema depoacutesito atmosfeacuterico

Figura 6emspDepoacutesitos atmosfeacutericos

Pasando dt al segundo miembro de la ecuacioacuten es po-sible integrar la misma para obtener el volumen del depoacutesito en un determinado instante t (V(t)) conoci-do el volumen del mismo V0 en un instante inicial t0 (V(t0) = V0)

(547)

V(t)

Qs (t)

Qe (t)

Depoacutesitos elevados

Depoacutesitos semienterrados

Ventilacioacuten

Aprox 5 m



Ventilacioacuten

Aprox 5 m

d t Q t Q t dtt

jEntradas j

iSalidasit

t

forall = minus

forall

forall

int sum sumint( ) ( ) ( )( )

0 0

quedando

(548)

Si el depoacutesito es de seccioacuten recta constante la ecua-cioacuten se simplifica auacuten maacutes Para una seccioacuten recta Ad y llamando z(t) al nivel de agua en el depoacutesito desde la solera (suelo del depoacutesito) se tiene V(t) = Ad middot z(t) con lo que

(549)

quedando

(550)

Figura 7emspDepoacutesitos atmosfeacutericos de seccioacuten transversal constante Ad

E integrando entre t0 y t siendo el valor inicial de la cota z0 se tiene

(551)

forall = forall + minus

sum sumint( ) ( ) ( )t Q t Q t dtj

Entradas ji

Salidasit

t

00

d tdt

A dz tdtd

forall= sdot

( ) ( )

A dz tdt

Q t Q td jEntradas j

iSalidasi


Qe (t)

Seccioacuten transversal Ad

z(t) V(t)Qs (t)

z t zA

Q t Q t dtd

jEntradas j

iSalidasit

t

( ) ( ) ( )= + minus

sum sumint0

1

0


-emspDepoacutesitos que almacenan gases

En estos casos el volumen del depoacutesito es constante por lo que la ecuacioacuten diferencial seraacute

En el caso de que el gas que llena el depoacutesito siga la ley de los gases perfectos siendo la constante del gas R y evolucione isoteacutermicamente a una temperatura T la densidad puede expresarse como

con lo que la ecuacioacuten diferencial quedariacutea

Conocidos los caudales maacutesicos de entrada y salida asiacute como las condiciones iniciales se estariacutea en dispo-sicioacuten de determinar la ley de variacioacuten de la presioacuten absoluta en el interior del recipiente con el tiempo p

VC(t)

Evidentemente en este caso cuando el caudal de en-trada es mayor que el de salida se acumula masa en el recipiente por lo que tanto la densidad del gas como la presioacuten se incrementan Si el caudal de salida es mayor que el de entrada disminuye con el tiempo tanto la densidad como la presioacuten

-emspDepoacutesitos presurizados liacutequidogas

En ocasiones se utilizan depoacutesitos presurizados para almacenar liacutequidos en contacto con un gas a presioacuten que permite mantener presurizado el liacutequido Es el caso de los extintores o de los calderines de los grupos hidropresores

(552)forallsdot = minussum sumd tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

ρ ( )( ) ( )

ρVCVCt

P tRT

( )( )

= (553)

VRT

dP tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasisdot = minussum sum

( )( ) ( ) (554)

En el caso de los grupos hidropresores una bomba de agua llena el calderiacuten comprimiendo el gas (normal-mente aire) que existe en su interior Cuando el aire ha alcanzado una determinada presioacuten como conse-cuencia de la compresioacuten a que se ha visto sometido al llenarse de agua el recipiente la bomba para A partir de ese momento el agua saldraacute del calderiacuten hacia los puntos de consumo impulsada por el gas presurizado Este se expandiraacute disminuyendo su presioacuten hasta un valor miacutenimo que activaraacute de nuevo el presostato para arrancar la bomba y reiniciar el ciclo

En estos casos se pretende que la masa de aire conte-nida en el interior del recipiente sea constante si bien este se comprimiraacute y expandiraacute Por el contrario la masa de agua en el interior del recipiente seraacute variable

En la ecuacioacuten (555)

la densidad seraacute constante en el segundo miembro de la ecuacioacuten por tratarse de agua (r = 1000 kgm3) Ge-neralmente solo existiraacute una entrada y una salida La masa encerrada en el volumen de control seraacute en cada instante la suma de la masa del agua y la masa del aire estaacute uacuteltima no dependiente del tiempo

(556)

Como el volumen del acumulador es fijo la suma de los voluacutemenes de agua y aire en cada instante se mantiene constante calderiacuten = agua(t) + aire(t) = cte lo que implica que

(557)

dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (555)

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua

calderiacuten aire( ) ( ) ( )=

forall=

forall minus forall( )= minusρ ρ ρaagua

aired tdt

forall ( )

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )


Por lo tanto la ecuacioacuten diferencial puede escribirse como

Ecuaciones de conservacioacuten de la energiacutea

La ecuacioacuten de Euler

La deduccioacuten de la ecuacioacuten de Euler comienza con un balance diferencial de fuerzas sobre una partiacutecula de fluido que se desplaza entre los puntos 1 y 2 a lo largo de una liacutenea de corriente (coordenada s) en un flujo ideal y unidimensional (figura 8)

Figura 8emspPartiacutecula de fluido

Figura 9emspBalance de fuerzas sobre la partiacutecula de fluido

minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire

agua ent agua salaire

s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )

( )aal entt Q t( ) ( )minus

minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )

( )aal entt Q t( ) ( )minus (558)

LDC (coordenada s)

dAds

dz

s

PdA

θ

ds

part + part

PP ds dAs

Peso g d g dA dsρ ρ= sdot sdot forall = sdot sdot sdot

La partiacutecula diferencial objeto del balance se plantea con forma ciliacutendrica de base dA y altura ds Sobre la misma actuacutean (figura 9) las fuerzas de presioacuten apli-cadas en cada una de sus bases asiacute como la fuerza del peso

El planteamiento del balance comienza con la segunda ley de newton aplicada en la direccioacuten de la coorde-nada s

(559)

Desarrollando el teacutermino izquierdo de la ecuacioacuten y teniendo en cuenta el sentido positivo de la coordena-da s mostrado en la figura 9 se tiene

Desarrollando el teacutermino derecho se encuentran los teacuterminos local y convectivo de la aceleracioacuten total de la partiacutecula (en la direccioacuten s)

(561)

De este modo sustituyendo en la ecuacioacuten original los teacuterminos izquierdo y derecho se llega a la expresioacuten concreta del balance diferencial de fuerzas

donde los dos teacuterminos PdA se anulan entre siacute

sum = sdotdF dm as s

sum = minus +partpart

minus sdot = minus minus

partpart

sdot minus sdot sdotdF PdA P Psds dA Peso PdA PdA P

sds dA g dsinθ ρ AA dssdot sdotsinθ



partpart


sds dA g dsinθ ρ AA dssdot sdotsinθ (560)

dm DvDt

dm a a ds dA vt

v vslocal convect= +( ) = sdot sdot

partpart

+partpart

ρ

Pda Pda Psds dA g ds dA ds dA v

tv vt

minus minuspartpart

sdot minus sdot sdot sdot sdot = sdot sdotpartpart

+partpart

ρ θ ρsin


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin (562)


A partir de la ecuacioacuten anterior la de Euler se obtiene tras

-emspDividirla por el diferencial de masa dm = dA middot ds middot r De este modo la ecuacioacuten de Euler dimensional-mente no representaraacute fuerzas sino fuerzas por unidad de masa

-emspRelacionar la direccioacuten s con la direccioacuten vertical z es decir dz = ds middot sinθ

-emspSustituir el teacutermino de aceleracioacuten convectiva por la forma

-emspReunir todos los teacuterminos en un lado de la igualdad

A modo de conclusioacuten la ecuacioacuten de Euler representa el balance de fuerzas diferenciales por unidad de masa que actuacutea sobre una partiacutecula de fluido que se mueve a lo largo de una liacutenea de corriente inmersa en un flujo ideal y unidimensional en s Es aplicable por tanto al caso de flujos permanentes y transitorios asiacute como compresibles e incompresibles Su forma definitiva es la siguiente


Como se ha visto en el capiacutetulo de cinemaacutetica uno de los tipos de flujo maacutes sencillos es el que presenta una velocidad constante a lo largo del tiempo (permanen-te teacutermino local de la aceleracioacuten nulo) y una densi-dad igualmente constante (incompresible)

La incorporacioacuten de estas dos condiciones a la ecua-cioacuten de Euler da como resultado una de las ecuacio-nes maacutes conocidas y utlizadas de toda la mecaacutenica de fluidos la ecuacioacuten de Bernoulli Como se veraacute a con-tinuacioacuten durante el desarrollo para su obtencioacuten se producen dos cambios importantes

-emspDimensionalmente se pasa de representar fuerza por unidad de masa (Euler) a energiacutea por unidad de peso (Bernoulli)

-emspAl realizar una integracioacuten a lo largo de un trayecto concreto (desde un punto 1 hasta un punto 2) a lo largo de una liacutenea de corriente se pasa de una forma diferencial (Euler) a una forma integral (Bernoulli)

v v s v s( ) ( )( )part part = part part1 2 2

1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

+partpart

=Psg dzds

vt

vs

(563)

Por tanto se puede adelantar ya que la ecuacioacuten de Bernoulli representaraacute un balance energeacutetico del reco-rrido que hace una partiacutecula de fluido entre dos pun-tos concretos a lo largo de una liacutenea de corriente e inmersa en un flujo ideal unidimensional en s perma-nente e incompresible

La obtencioacuten de la ecuacioacuten de Bernoulli parte de la integracioacuten de la de Euler entre los puntos 1 y 2 se entiende a lo largo de la liacutenea de corriente por la que se estaacute moviendo la partiacutecula

En este momento ademaacutes de la condicioacuten de flujo ideal se incorporan dos maacutes

-emspDe flujo incompresible con lo cual la densidad puede entrar dentro de la derivada de la presioacuten de la misma forma que la gravedad puede entrar en la derivada de la cota

-emspDe flujo permanente con lo cual el teacutermino corres-pondiente a la aceleracioacuten local se anula

A continuacioacuten las tres integrales separadas de los teacuterminos de presioacuten cota y velocidad pueden reunirse en una sola

Debe subrayarse que ha sido en este paso fundamental de la integracioacuten en el que la ecuacioacuten ha pasado de representar fuerzas de presioacuten gravitatorias e inercia-les a energiacuteas elaacutesticas de presioacuten potencial y cineacutetica respectivamente

Procediendo con la integracioacuten propiamente dicha se llega a la forma

(566)

1

2

1

2

1

2 2

1

21 12

0int int int intpartpart

+partpart

+partpart

+partpart

=ρPsds g z

sds v

sds v

tds (564)

1

2 2

20int

partpart

+ +

=

sP gz v dsρ

(565)

P gz v P gz vρ ρ

+ +

= + +

2

1

2

22 2


que es la ecuacioacuten de Bernoulli expresada en energiacutea por unidad de masa Dividiendo esta ecuacioacuten por la aceleracioacuten de la gravedad se concluye en

o bien

que es la versioacuten maacutes utilizada de la ecuacioacuten y repre-senta el mismo balance pero expresando la energiacutea por unidad de peso

1 El coeficiente corrector

Un inconveniente que presenta la aplicacioacuten praacutectica de la ecuacioacuten de Bernoulli tal como se ha presentado es el hecho de que debe aplicarse a una partiacutecula que se mueve a lo largo de una liacutenea de corriente entre dos posiciones desde 1 hasta 2 Esto supone un problema porque implicariacutea que el resultado de su aplicacioacuten de-penderiacutea de las condiciones especiacuteficas de la partiacutecula sobre la que se decida aplicar

La figura 10 muestra un flujo ideal permanente e in-compresible circulando entre dos secciones de una conduccioacuten 1 y 2 Para facilitar la explicacioacuten se ha su-puesto tambieacuten laminar de tal modo que los perfiles de velocidades son paraboacutelicos en ambas secciones En dicha figura se han mostrado igualmente tres liacuteneas de corriente (lsquo lsquorsquo y lsquorsquorsquo)

Como puede apreciarse directamente en la figura 10 considerando cualquiera de las dos secciones por ejemplo la 1 tanto la cota (z) como la velocidad (v) son distintas seguacuten se considere la liacutenea de corriente en 1rsquo 1rsquorsquo o 1rsquorsquorsquo Igualmente puede razonarse que la presioacuten no seriacutea la misma para cualquiera de esas tres mismas liacuteneas de corriente Por otra parte lo mismo ocurre para las tres mismas variables de las liacuteneas de corriente en la seccioacuten 2 (2rsquo 2rsquorsquo y 2rsquorsquorsquo)

P z vg

P z vgγ γ

+ +

= + +

2

1

2

22 2

(567a)

(567b)P z v

gP z v

g1

11

22

22

2

2 2γ γ+ + = + +

Figura 10emspLiacuteneas de corriente entre dos secciones 1 y 2 en un flujo (laminar permanente ideal e incompresible)

Ante la resolucioacuten del balance energeacutetico del flujo en-tre las secciones 1 y 2 mediante la ecuacioacuten de Bernou-lli presentada maacutes arriba surgiriacutea la duda praacutectica de queacute liacutenea de corriente (lsquo lsquorsquo o lsquorsquorsquo) es la que debe elegirse para aplicar tal ecuacioacuten al recorrido de la misma en-tre ambas secciones Y la respuesta praacutectica es simple ninguna de las tres

Desde un punto de vista praacutectico no puede asumirse que la resolucioacuten de un balance energeacutetico (como puede ser el mostrado para un sistema como el de la figura 10 haya de depender de la seleccioacuten de una u otra liacute-nea de corriente La solucioacuten pasa por trabajar efecti-vamente con la ecuacioacuten de Bernoulli pero utilizando los valores promedio de cada una de las variables en cada seccioacuten Es decir no se trata de tomar la veloci-dad en 1rsquo 1rsquorsquo o 1rsquorsquorsquo sino de tomar el valor promedio de la velocidad para toda la seccioacuten 1 Tomar a continua-cioacuten los valores promedios de cota y presioacuten y trasla-dar a la ecuacioacuten de Bernoulli dichos valores medios tanto en la seccioacuten 1 como en la 2 El problema surge al cuestionarse si el trabajar con los valores promedio de las variables en las secciones es equivalente a ha-cerlo con valores individuales de liacutenea de corrienteLa respuesta para las variables de cota y presioacuten es sen-cilla y afirmativa Considerando el valor promedio de ambas como el que corresponde al punto medio de la seccioacuten (1rsquorsquo eje de la conduccioacuten) se comprende faacutecil-mente coacutemo la suma de ambas variables puede consi-derarse constante para liacuteneas de corriente situadas por ejemplo por encima (1rsquo) o debajo (1rsquorsquorsquo) de la misma

Z1

Z = 0

Z1

Z1

Z2

Z2

Z2

11

1

12

2

2

2

v1

v1

v1

v2

v2

v2


Sin embargo no ocurre lo mismo con la velocidad Como ya se ha visto en el capiacutetulo de cinemaacutetica el caacutelculo de la velocidad media de una seccioacuten es sen-cillo y maacutes auacuten en el caso de un flujo laminar Sin embargo utilizar directamente tal valor de velocidad media sobre la ecuacioacuten de Bernoulli seriacutea incorrecto pues la velocidad aparece elevada al cuadrado La so-lucioacuten para poder hacerlo pasa por utilizar el denomi-nado coeficiente corrector de la energiacutea cineacutetica α De este modo la forma estricta que adopta la ecuacioacuten de Bernoulli cuando se utilizan valores promedios en las secciones es la siguiente

La definicioacuten del coeficiente α surge del caacutelculo del flu-jo de energiacutea cineacutetica por unidad de tiempo que atra-viesa una seccioacuten

-emspSimplificando el perfil real de velocidades existente en la seccioacuten a un perfil uniforme igual a la veloci-dad media ( ) el flujo de energiacutea cineacutetica que atra-vesariacutea la seccioacuten seriacutea

(569)

-emspEl flujo real de energiacutea cineacutetica que efectivamente estaacute atravesando la seccioacuten se obtiene integrando la expresioacuten anterior para la velocidad de cada punto de la seccioacuten

A partir de las dos expresiones anteriores el coeficien-te α deberaacute tomar el valor necesario para que multi-plicando el mismo al caacutelculo con el perfil uniforme se obtenga el mismo resultado que con el perfil real Es decir

P z vg

P z vg

11 1

12

22 2

22

2 2γα

γα+ + = + + (568)

ECineacuteticaTiempo g

Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ

E CineacuteticaTiempo

v dAReal

A

= int

3

2ρ (570)

Lo cual lleva a la definicioacuten

Trabajando sobre la definicioacuten anterior puede llegarse a las siguientes conclusiones

-emspEl coeficiente α siempre es mayor que la unidad-emspPara el caso de reacutegimen laminar el valor del coefi-

ciente α es aproximadamente 2-emspPara el caso de reacutegimen turbulento el valor del co-

eficiente α es aproximadamente 1

Como se veraacute maacutes adelante en el tema de flujo en pre-sioacuten y en el que es habitual el trabajo con flujos (muy) turbulentos dado que el coeficiente α tiene un valor muy cercano a la unidad eacuteste ni siquiera se explicita en la ecuacioacuten

2 El concepto de altura

Como ya se ha explicado la forma maacutes comuacuten de la ecuacioacuten de Bernoulli plantea el balance energeacutetico entre dos secciones de un flujo en forma de energiacutea por unidad de peso Aunque en un principio este tra-tamiento energeacutetico pueda resultar extrantildeo la primera vez que se estudie presenta ventajas indiscutibles de iacutendole praacutectica al tiempo que facilita la definicioacuten de nuevos conceptos en mecaacutenica de fluidos

En primer lugar cabe plantear un raacutepido anaacutelisis di-mensional de esos teacuterminos de Bernoulli expresados como energiacutea por unidad de peso

α E CineacuteticaTiempo


Unif con v

=

RReal

(571)

α =

int

13

AdAv

vA(572)

EnergiacuteaPeso

F LF

L

=

= (573)


Efectivamente la energiacutea expresada por unidad de peso tiene sencillamente dimensiones de longitud y por lo tanto sus unidades de medida seraacuten siempre unidades de longitud en cualquier sistema de unidades que se utilice Lo mismo podriacutea haberse razonado tan soacutelo re-visando la ecuacioacuten de Bernoulli y comprobando que el teacutermino de cota (z) va simplemente sumado a los otros dos Y puesto que las cotas se miden en unidades de lon-gitud lo mismo debe hacerse con los otros teacuterminos para que la ecuacioacuten sea dimensionalmente coherente

En el Sistema Internacional por tanto los teacuterminos de la ecuacioacuten de Bernoulli se expresaraacuten en metros En general y para acentuar el hecho de que dichos metros corresponden a una energiacutea por unidad de peso (de un determinado fluido) y no a una longitud estrictamente fiacutesica se denominan metros de columna de fluido mcf y no metros m a secas

Otra forma de referirse a cada uno de los teacuterminos de la ecuacioacuten de Bernoulli es con la denominacioacuten de altura Esto como se veraacute maacutes adelante se ve favo-recido por la traduccioacuten directa de una determinada energiacutea por unidad de peso a una longitud Y asiacute aten-diendo al origen energeacutetico de cada uno de los teacutermi-nos de la ecuacioacuten se identifican

-emspAltura de presioacuten debida a la energiacutea de presioacuten o elaacutestica Pγ

-emspAltura geomeacutetrica o cota debida a la energiacutea poten-cial gravitatoria z

-emspAltura cineacutetica debida a la energiacutea cineacutetica v22g

Ademaacutes de los teacuterminos individuales en siacute tambieacuten reci-ben una denominacioacuten especiacutefica agrupaciones de ellos

-emspAltura totalemspemspemspemsp Loacutegicamente la suma de los tres teacuterminos representa la energiacutea total por unidad de peso que tiene cada partiacutecula de fluido en una seccioacuten concreta Por ello dicha suma se denomina altura total y suele denotarse en muchas ocasiones con la letra B

-emspAltura piezomeacutetrica emspemsp La suma de soacutelo los teacuterminos de altura de presioacuten y cota recibe el nombre de altura piezomeacutetrica y suele denotarse con la letra H El nombre es debido a que tal es la altura que alcanza el agua en el interior de un tubo piezomeacutetrico como bien se explica en los ejemplos

( ) ( )P z v gγ + + 2 2

( )P zγ +

anexos a este capiacutetulo Ademaacutes la utilizacioacuten de la altura piezomeacutetrica en lugar de la altura total re-sulta muy praacutectica en aquellos sistemas en los que la altura cineacutetica tiene un valor despreciable fren-te al de las otras dos Esto es por ejemplo lo que ocurre en sistemas de distribucioacuten de agua en los que velocidades (altas) de 2 ms dan lugar a alturas cineacuteticas del orden de 02 mca mientras que tanto la presioacuten en la red como los desniveles del terreno pueden alcanzar las varias decenas de metros

Un uacuteltimo aspecto que cabe destacar es la represen-tacioacuten graacutefica directa que tienen las distintas alturas a lo largo de una conduccioacuten El ejemplo maacutes sencillo posible seriacutea el de una tuberiacutea horizontal de diaacutemetro constante y atravesada por un flujo incompresible permanente e ideal a 11 muestra el perfil de una tu-beriacutea asiacute Tomando un origen de cotas (z = 0) determi-nado el propio eje de la tuberiacutea (centro de cada una de las secciones de la misma) sentildeala la liacutenea de alturas geomeacutetricas o liacutenea de cotas

Figura 11emspRepresentacioacuten de las distintas alturas (I)

Puesto que el flujo es incompresible y la seccioacuten cons-tante su velocidad tambieacuten lo es asiacute como el teacutermino de altura cineacutetica en todas las secciones Por uacuteltimo siendo constantes cotas y alturas cineacuteticas y no exis-tiendo peacuterdidas energeacuteticas por friccioacuten se mantiene igualmente constante la presioacuten en todas las secciones de la red Como se aprecia en la figura 11 el orden habitual de representacioacuten es sobre la liacutenea de cotas la disposicioacuten de las alturas de presioacuten dando lugar a la liacutenea de alturas piezomeacutetricas Y sobre eacutesta las alturas cineacuteticas dando lugar a la liacutenea de alturas totales En el caso de la figura 11 y por las razones explicadas todas las liacuteneas de alturas son rectas horizontales

z

Liacutenea de cotas (eje tuberiacutea)

Liacutenea de alturas piezomeacutetricas

Liacutenea de alturas totales

H

B

Z = 0 (origen de cotas)


Un ejemplo ilustrativo viene dado por la circulacioacuten de un flujo incompresible permanente e ideal a traveacutes de un tubo venturi (conduccioacuten con un pronunciado estre-camiento en su parte central) horizontal (figura 12) El hecho de que el flujo se acelere en la zona estrecha del venturi da lugar a un aumento loacutegico de la altura cineacuteti-ca en esa regioacuten y puesto que la altura total permanece constante (ausencia de peacuterdidas energeacuteticas) y la altura geomeacutetrica tambieacuten (tuberiacutea horizontal) es el teacutermino de presioacuten el que se ve reducido en consecuencia Y tan pronto como el diaacutemetro vuelve a su valor inicial se restableceraacuten los valores de altura cineacutetica y de presioacuten

Figura 12emspRepresentacioacuten de las distintas alturas (II)

La depresioacuten que aparece en la regioacuten central de un tubo venturi tiene numerosas aplicaciones praacutecticas Una de ellas es la inyeccioacuten en la corriente que atra-viesa el venturi de alguacuten compuesto que se desee adicionar al agua (fertilizante en sistemas de riego u ozono en sistemas de depuracioacuten) Otra aplicacioacuten es la combinacioacuten de dos tubos piezomeacutetricos sobre un tubo venturi y utilizar el dispositivo completo para la medicioacuten del caudal circulante a traveacutes del mismo Este mismo caso es el que se desarrolla en otro de los ejemplos anexos a este capiacutetulo


Tal como se ha presentado hasta aquiacute la ecuacioacuten de Bernoulli soacutelo es aplicable a sistemas en los que las

Z = 0

LAG

LAP

LAT

vmaacutex vmiacutenvmiacuten

γP

z

peacuterdidas energeacuteticas sean despreciables lo cual re-duce enormemente sus posibilidades de aplicacioacuten en el campo de la hidraacuteulica de presioacuten ya que tales sis-temas se reducen a elementos de pequentildea longitud y con pocas restricciones internas al paso del fluido Tan pronto como se considerasen elementos de longitudes importantes frente a la seccioacuten de paso (tuberiacuteas de suministro) o con complicaciones en su configuracioacuten interna (vaacutelvulas) las peacuterdidas energeacuteticas que se ge-nerariacutean en la corriente fluida dejariacutean de ser despre-ciables y la ecuacioacuten de Bernoulli dejariacutea de ser opera-tiva Y lo mismo ocurririacutea en el caso contrario cuando se pretendiese estudiar elementos que en lugar de detraer energiacutea del fluido se la aportasen como es el caso de las bombas Por todo ello el tratamiento espe-ciacutefico de elementos resistivos o motrices energeacutetica-mente hablando o bien de grandes instalaciones que puedan contar con ambos tipos de elementos instala-dos en las mismas exige la modificacioacuten de la ecuacioacuten de Bernoulli para poder seguir empleaacutendola con eacutexito

De igual forma la ecuacioacuten vista hasta ahora soacutelo es aplicable al caso de un flujo en reacutegimen permanente De nuevo esta limitacioacuten puede tambieacuten solventarse para regiacutemenes transitorios sencillos (modelo riacutegido) configurando el denominado teacutermino de inercia

Las modificaciones apuntadas se plantean ahora de forma diferente Mientras que para determinar el teacuter-mino de inercia siacute se partiraacute de nuevo de la ecuacioacuten de Euler original para los teacuterminos de peacuterdidas y aportes energeacuteticos se haraacute un planteamiento bastante maacutes praacutectico En resumen se continuacutea buscando establecer el balance energeacutetico entre dos puntos 1 y 2 de un flu-jo incompresible y ahora transitorio (modelo riacutegido) a lo largo de una instalacioacuten determinada Tal instala-cioacuten ahora tambieacuten puede incluir un nuacutemero impor-tante de elementos montados en serie tanto motrices (bombas) como resistentes (tuberiacuteas vaacutelvulashellip)

1 Teacuterminos de inercia

El hecho de considerar un flujo transitorio en el que la velocidad del flujo cambie con el tiempo implica que el teacutermino de aceleracioacuten local de la ecuacioacuten de Euler ya no es nulo Tal como se ha presentado maacutes arriba dicho teacutermino es emspemsp expresado como fuerza por uni-part partv t


dad de masa Pasarlo a fuerza por unidad de peso es sencillo resultandoemspemspemsp emspemsp

Otra cuestioacuten distinta es integrarlo entre dos puntos 1 y 2 a lo largo de una liacutenea de corriente para poder calcular la energiacutea empleada en acelerar el flujo en ese trayecto La integral de la expresioacuten anterior soacutelo encuentra una solucioacuten sencilla si se antildeade la hipoacutetesis de que la variacioacuten de la velocidad no depende de la coordenada s entre 1 y 2 En otras palabras puede en-tenderse que todas las partiacuteculas ubicadas en esa liacute-nea de corriente se van a acelerar de la misma forma y al mismo tiempo o maacutes coloquialmente que todas las partiacuteculas se aceleran en bloque La consecuencia analiacutetica de esta hipoacutetesis es que el teacutermino de acele-racioacuten es constante con respecto a la integral saliendo fuera de la misma igual que la aceleracioacuten de la grave-dad y por tanto la solucioacuten esemspemspemspemspemspemspemspemsp En esta expresioacuten se entiende que dvdt es la aceleracioacuten del flujo la misma para cualquier posicioacuten entre 1 y 2 y que L1-2 es la longitud de liacutenea de corriente entre ambos puntos Esta hipoacutetesis en la que la aceleracioacuten del flujo es la misma para todas las partiacuteculas del flui-do en cada instante es la que define el denominado modelo riacutegido dentro del campo de los transitorios hidraacuteulicos

La utilizacioacuten de este teacutermino de inercia en la praacutectica de la hidraacuteulica en presioacuten presenta dos implicaciones adicionales

-emspSoacutelo tiene sentido en tramos de tuberiacutea de diaacutemetro constante y de longitud significativa En el caso de diaacutemetro no constante (ensanchamiento por ejem-plo) se invalida la hipoacutetesis de que la variacioacuten de la velocidad es la misma para todas las partiacuteculas del tramo mientras que en el caso de tuberiacuteas muy cortas es poca la masa de fluido aceleraacutendose por lo que la energiacutea empleada para ello es desprecia-ble Este es el motivo por el cual se omite el caacutelculo de este teacutermino en los accesorios de una instalacioacuten en los cuales el flujo evidentemente no se puede su-poner uniforme

-emspEl obstaacuteculo de haber resuelto el teacutermino de inercia analiacuteticamente para una liacutenea de corriente tal como se ha visto y haber de trabajar en la praacutectica con ve-locidades medias en las secciones de paso exige la utilizacioacuten de un segundo teacutermino corrector Ahora

( ) ( )1 g v tsdot part part

( ) ( )1 1 2g dv dt Lsdot sdot minus

este segundo teacutermino corrector se denota como β y estudiaacutendose de forma similar a como ya se ha presentado para el anterior α puede llegarse a la conclusioacuten de que para flujo laminar toma un valor aproximado de 43 mientras que para flujo turbu-lento se aproxima a la unidad

Con todo ello la forma del teacutermino de inercia consi-derando la existencia de ntr tramos rectos de diaacutemetro constante resulta ser

2 Teacuterminos de aportes energeacuteticos

El principal aporte energeacutetico que un fluido puede recibir al circular por una instalacioacuten es el que le pro-porcione una bomba hidraacuteulica (elemento motriz) montada en la misma Para ser compatible con la ecuacioacuten de Bernoulli y poder insertarse en la misma como un sumando maacutes tal aporte debe estar expre-sado como energiacutea por unidad de peso y asiacute se deno-mina altura de bombeo Se suele denotar como hb o bien sumatorio de hbi si existen nb bombas montadas en serie

(575)

Figura 13emspEcuacioacuten de Bernoulli aplicada a un bombeo

i

n

i

tr

gdvdtL

=sum

β

1

1(574)

h B B P z vg

P z vg

P PB = minus = + +

minus + +

minus2 1

22

22

11

12

2 1

2 2γ γ γ γ

Aspiracioacuten (1)

Q

Bancada

Motor eleacutectricoQ Impulsioacuten (2)


3 Teacuterminos de peacuterdidas energeacuteticas

Peacuterdidas energeacuteticas tambieacuten llamadas peacuterdidas de carga son aqueacutellas generadas por todos los elementos hidraacuteulicamente resistentes de la instalacioacuten En teacutermi-nos generales las peacuterdidas de carga pueden clasificar-se en tres grupos distintos

-emspPeacuterdidas por friccioacuten Eacutestas son las peacuterdidas que tiacutepicamente se producen a lo largo de las tuberiacuteas debido al rozamiento mecaacutenico de las partiacuteculas de fluido en su recorrido a traveacutes de la misma Este rozamiento se da entre unas y otras partiacuteculas de fluido pero especialmente entre las partiacuteculas de fluido y la superficie de las paredes de la conduc-cioacuten Aunque se veraacute con maacutes detalle en el capiacutetulo de presioacuten siacute cabe adelantar el caacutelculo de estas peacuter-didas por friccioacuten La forma maacutes habitual de hacer-lo es mediante la ecuacioacuten de Darcy-Weisbach

(576)

emspdonde f es el factor de friccioacuten que representa la interaccioacuten fiacutesica entre las partiacuteculas de fluido y las paredes de la tuberiacutea L y D son respectiva-mente la longitud y el diaacutemetro de la tuberiacutea y v es la velocidad media del fluido Considerando por uacuteltimo que pueden ser varias las tuberiacuteas pre-sentes en una instalacioacuten estas peacuterdidas de carga por friccioacuten se suelen representar como sumatorio de hfi donde ntb es el nuacutemero de tuberiacuteas en serie de la instalacioacuten

(577)

Figura 14emspEcuacioacuten de Bernoulli aplicada a una tuberiacutea

h f LDvgf = 2

2

h B B P z vg

P z vg

P Pf = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2

La figura 14 y su ecuacioacuten adjunta muestran coacutemo la peacuter-dida energeacutetica en una tuberiacutea horizontal se traduce en una caiacuteda de presioacuten del fluido al pasar a traveacutes de ella

-emspPeacuterdidas menores Estas peacuterdidas se producen cuando el fluido atraviesa el interior de elemen-tos accesorios de la instalacioacuten tales como vaacutelvu-las acoplamientos entradas a depoacutesitos o salidas de los mismos instrumentos de medicioacuten etc En este caso el origen de las peacuterdidas no es tanto la friccioacuten mecaacutenica con la superficie de las cavida-des internas sino maacutes bien las turbulencias que aparecen en el seno del flujo debido al recorrido maacutes o menos intrincado que eacuteste se ve obligado a seguir Aunque en magnitud estas peacuterdidas suelen ser mucho menores que las peacuterdidas por friccioacuten desde un punto de vista conceptual es importante su identificacioacuten y conocimiento ade-cuados Suelen denotarse como sumatorio de hmi siendo ne el nuacutemero de elementos en serie que ge-neran peacuterdidas menores

La figura 15 y su ecuacioacuten adjunta muestran coacutemo la peacuterdida energeacutetica en una vaacutelvula (de retencioacuten en este ejemplo) se traduce en una caiacuteda de presioacuten del fluido al pasar a traveacutes de la misma Cabe destacar que en este caso la posicioacuten horizontal o no de la vaacutelvula no afecta ya que su longitud es muy pequentildea y las co-tas de entrada y salida siempre se pueden considerar iguales

(578)

Figura 15emspEcuacioacuten de Bernoulli aplicada a una vaacutelvula de retencioacuten

-emspPeacuterdidas por turbinacioacuten De forma inversa al fun-cionamiento de una bomba puede ser una turbina

h B B P z vg

P z vg

P Pm = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2


el elemento que esteacute montado en una instalacioacuten y el que por tanto detraiga energiacutea mecaacutenica del flui-do para mover su eje A diferencia de los dos puntos anteriores la energiacutea que una turbina extrae de la corriente fluida no es una peacuterdida en teacuterminos abso-lutos ya que en su mayor parte siacute se aprovecha pos-teriormente para mover los elementos accionados por la turbina Sin embargo desde la perspectiva del fluido indudablemente supone un decremento energeacutetico y por eso debe contemplarse en esta cla-sificacioacuten Generalizando al hipoteacutetico caso de varias turbinas montadas en serie este teacutermino se denota como sumatorio de hTi donde nT seriacutea el hipoteacutetico nuacutemero de turbinas dispuestas en serie

La figura 16 y su ecuacioacuten adjunta muestran la apli-cacioacuten de la ecuacioacuten de Bernoulli sobre una turbina para estudiar la detraccioacuten energeacutetica que eacutesta realiza sobre el agua que la atraviesa

Figura 16emspEcuacioacuten de Bernoulli aplicada a una turbina

4 Configuracioacuten final de la ecuacioacuten

Revisados bien que desde un punto de vista maacutes empiacuterico que teoacuterico los distintos aportes y peacuterdidas energeacuteticas que puede tener un fluido (incompresible) en su recorrido (estacionario) entre dos puntos de una instalacioacuten y asegurando tambieacuten que todos ellos es-taacuten correctamente expresados como alturas (energiacutea por unidad de peso) su inclusioacuten en la ecuacioacuten de Bernoulli es inmediata

Asiacute la energiacutea del fluido en los puntos inicial y final del recorrido viene dada por su altura total en cada uno de ellos Es decir

1

2

emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp yemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (579)

Y entre ambos recibe aportes positivos y sufre detrac-ciones negativas por lo que la ecuacioacuten resulta ser

(580)

Aunque la ecuacioacuten anterior ya es una forma de re-presentar la ecuacioacuten de Bernoulli generalizada ha-bitualmente se adoptan algunas simplificaciones muy comunes De este modo se asume que se trabaja di-rectamente con valores promedio de las variables en todas las secciones por lo que se omite el detalle de la barra horizontal y tambieacuten se asume reacutegimen tur-bulento en el que los coeficientes α y β son iguales a la unidad De hecho y como tambieacuten se ha comentado ya en numerosas ocasiones se puede despreciar el teacutermi-no cineacutetico completo Por otro lado tambieacuten se busca que todos los teacuterminos tengan signo positivo por lo que los que corresponden a las peacuterdidas de carga se situacutean en el teacutermino de la derecha Con todo esto la forma maacutes habitual de la ecuacioacuten de Bernoulli gene-ralizada es la siguiente

5 Representacioacuten graacutefica

La ecuacioacuten de Bernoulli generalizada y aplicada so-bre grandes instalaciones admite una representacioacuten graacutefica igual que la ya vista para la forma maacutes simplifi-cada En estos casos maacutes complejos se representa uacuteni-camente la liacutenea de alturas totales (que coincide con la de alturas piezomeacutetricas si se desprecian los teacutermi-

P z vg

11

12

2γ+ +

P z vg

222

2 2γ

+ +

P z vg

h h h hgdvdtL P zB f m T

11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +

+ minus minus minus minus = + +sum sum sum sum sumvvg22

2

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +

+ + + +sum sum sum sum sum

ddvdtL

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL(581)

h B B P z vg

P z vgT = minus = + +

minus + +

1 2

11

12

22

22

2 2γ γ


nos cineacuteticos) sobre el perfil de la conduccioacuten (alturas geomeacutetricas)

La presencia de peacuterdidas de carga se traduce en el he-cho de que la liacutenea de alturas totales pierde su hori-zontalidad y en mayor o menor medida va cayendo de forma continua a lo largo de toda la instalacioacuten La figura 17 muestra una instalacioacuten caracteriacutestica de transporte de agua por gravedad entre dos depoacutesitos abiertos a la atmoacutesfera mientras la figura 18 muestra una instalacioacuten de bombeo entre otros dos depoacutesitos tambieacuten abiertos a la atmoacutesfera

Como puede comprobarse en las figuras siguientes las peacuterdidas por friccioacuten hf se muestran como descensos progresivos de la liacutenea de alturas totales a lo largo de la longitud de las tuberiacuteas que las producen mientras que las peacuterdidas menores hm en accesorios aparecen como descensos bruscos de la misma liacutenea de alturas Esto uacuteltimo es debido a que la longitud de un acce-sorio es miacutenima comparado con la de una tuberiacutea y lo mismo ocurre con el ascenso brusco que supone el aporte de la altura de bombeo hb

Figura 17emspLiacutenea de alturas totales sobre una instalacioacuten de transporte por gravedad

Figura 18emspLiacutenea de alturas totales sobre una instalacioacuten de bombeo

Vaacutelvula

T1

Liacutenea de alturas totales1

T2

2z1

z2

Δzhmv

hf2

hf1

z = 0

BombaT1


1

T2

2

z1

z2Δz

hB

hf2

hf1

Puede notarse tambieacuten en ambas figuras que siendo depoacutesitos abiertos a la atmoacutesfera los puntos iniciales y finales del recorrido la liacutenea de alturas totales arranca y termina en la superficie libre de los mismos Esto es absolutamente loacutegico ya que en depoacutesitos asiacute se asume que tanto la velocidad del agua como la presioacuten son nulas En el primer caso porque la velocidad de des-censo del agua es despreciable frente a las velocidades del flujo en la conduccioacuten y en el segundo porque se trabaja con presiones relativas De este modo la altura total del agua en un depoacutesito abierto a la atmoacutesfera queda reducida a la cota de la superficie libre en el mismo

6 Relacioacuten entre alturas y potencias

Un uacuteltimo aspecto que cabe examinar en relacioacuten con la ecuacioacuten de Bernoulli es la relacioacuten analiacutetica entre el concepto ya visto de altura y la propia definicioacuten de potencia En resumen se puede adelantar que altura y potencia son dos formas distintas de expresar una transferencia de energiacutea Asiacute si la altura representa energiacutea por unidad de peso de fluido circulante la po-tencia representa energiacutea por unidad de tiempo trans-currido Concretamente por ejemplo para el caso de una bomba que impulsa un fluido su aporte energeacuteti-co al mismo se puede expresar de dos maneras

-emspComo altura de bombeo medida en metros de co-lumna de fluido representa cuaacutentos julios estaacute trans-firiendo la bomba a cada newton de peso del agua que impulsa (unos 100 g)

-emspComo potencia (uacutetil) de bombeo medida en watios representa cuaacutentos julios estaacute transfiriendo la bom-ba al agua que impulsa durante cada segundo de funcionamiento

Para establecer la relacioacuten entre una y otra basta con aplicar las equivalencias pertinentes Teniendo en cuenta que emspemspemspemspemspemsp yemspemspemspemspemspemspemspemsp Potencia E t= ( ) Altura h E mgB= = ( )

Altura Q Emg

mgV

Vt

Potenciasdot sdot = sdot sdot =γ (582)


(583)

La ecuacioacuten del flujo compresible isotermo

Los flujos compresibles no estaacuten por completo fuera del alcance de las ecuaciones de conservacioacuten de la energiacutea planteadas hasta este punto Partiendo de la ecuacioacuten diferencial de Euler y asumiendo algunas hipoacutetesis de trabajo de marcado caraacutecter praacutectico siacute resulta posible resolver un tipo de flujo compresible sencillo se trata del denominado flujo compresible isotermo

Las condiciones de este flujo son las siguientes

-emspEl fluido circulante puede considerarse como gas perfecto

-emspEl flujo circula a traveacutes de una conduccioacuten de sec-cioacuten circular

-emspEl flujo circula en reacutegimen permanente (aceleracioacuten local nula)

-emspEs un flujo real cuyas peacuterdidas de carga siguen la ecuacioacuten de Darcy-Weisbach

La ecuacioacuten de Euler (como fuerzas por unidad de masa) para un reacutegimen permanente es la siguiente

Multiplicando por un diferencial de s se obtendriacutea la misma ecuacioacuten como energiacutea por unidad de masa

Recordando la ecuacioacuten de Darcy₋Weisbach (576) y teniendo en cuenta que eacutesta proporciona peacuterdidas de carga totales para una tuberiacutea completa en energiacutea por unidad de peso el planteamiento de este teacuter-mino en forma diferencial supone su aplicacioacuten no sobre la longitud L de la tuberiacutea completa sino

Potencia Q hB= sdot sdotγ

1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

=Psg dzds

vs

(584)

1 0ρdP gdz vdv+ + = (585)

sobre un diferencial de longitud ds Expresaacutendolo ademaacutes por unidad de masa en lugar de por unidad de peso e incluyeacutendolo ya en la ecuacioacuten de Euler eacutesta queda

(586)

Trataacutendose de gases y teniendo en cuenta la circuns-tancia de que su densidad es baja puede justificarse que el teacutermino de cota y el teacutermino cineacutetico van a ser despreciables frente a los otros dos presioacuten y peacuterdidas por friccioacuten De este modo la versioacuten simplificada de la ecuacioacuten diferencial para el flujo compresible isotermo queda

(587)

Para poder integrar entre los puntos 1 y 2 de un reco-rrido del flujo se tiene en cuenta que

-emspPara gases perfectos

-emspPara tuberiacutea de seccioacuten circularemspemspemsp emspemspemspemspemspemsp Y por lo tanto emspemspemsp emspemspemsp Ademaacutes no hay que olvidar que puesto que el flujo es permanente el caudal maacutesico es constante entre las dos secciones (no asiacute el caudal volumeacutetrico ni la densidad ni la velocidad)

-emspEl factor de friccioacuten puede considerarse constante La razoacuten es que su valor depende de la rugosidad relativa de la conduccioacuten que es constante y del nuacutemero de Reynolds El nuacutemero de Reynolds a su vez depende de la viscosidad del fluido cuya va-riacioacuten principal es con la temperatura (constante) y de forma despreciable con la presioacuten

Sustituyendo las expresiones anteriores sobre la forma simplificada de la ecuacioacuten diferencial

1 12

02

ρdP gdz vdv f

Dv ds+ + + =

1 12

02

ρdP f

Dv ds+ =

ρ = ( )P RT

G Q v D= =ρ ρ π( )2 4v G D= ( )4 2ρπ

dPPRT

fD

GPRT

Dds +

=12

4 02

2

π (588)

Es decir


Reordenando y tomando liacutemites para integrar entre 1 y 2

se obtiene la forma final de la ecuacioacuten para el flujo compresible isotermo

En caso de no haber despreciado el teacutermino potencial el resultado de todo el proceso de caacutelculo habriacutea con-ducido a la nueva versioacuten de la ecuacioacuten


Las sucesivas ecuaciones de Euler y Bernoulli presen-tadas maacutes arriba plantean balances energeacuteticos para distintos tipos de flujo (permanente o transitorio ideal o real) atendiendo uacutenicamente a las tres formas de energiacutea mecaacutenica presentes en el movimiento de un fluido (elaacutestica potencial y cineacutetica) Sin embargo cualquiera de ellas deja de ser de aplicacioacuten cuando en el movimiento del fluido intervienen otras formas de energiacutea distintas Aunque hay diversas formas de energiacutea adicionales que tambieacuten estaacuten presentes en cualquier flujo (por ejemplo a nivel molecular la ener-giacutea quiacutemica de los enlaces intermoleculares o a nivel atoacutemico la de los enlaces de las partiacuteculas que forman el nuacutecleo) de todas ellas soacutelo una tiene una importan-cia praacutectica similar a la energiacutea mecaacutenica en el mover de esta asignatura Se trata de la energiacutea teacutermica

Para incluir la energiacutea teacutermica en la ecuacioacuten del ba-lance energeacutetico y concretamente el intercambio de calor entre el fluido y el entorno es necesario partir de la consideracioacuten de un sistema fluido en movimien-to desde un punto 1 hasta otro unto 2 Las formas de

P

P L

P dP fG RTD

ds1

2 8 2

2 50

int int= minusπ

(589)

P P fGDRTL1

22

22

2 5

16 = +π

(590)

P P fGDRTL P P

g z zRT1

22

22

2 5 12

22 2 116 = + + +( ) minus( )

π (591)

energiacutea para dicho sistema que estaacuten intriacutensecamente ligadas a la propiedad masa son las siguientes

-emspEnergiacutea potencial

-emspEnergiacutea cineacutetica

-emspEnergiacutea interna Esta es la energiacutea total de las par-tiacuteculas individuales del fluido (traslacional vi-bracional y rotacional) y estaacute representada por el nivel de temperatura que tiene en cada momento Sin olvidar que esta energiacutea interna se suele definir de modo incremental aquiacute se tomaraacute de modo ab-soluto para mantener la coherencia con el resto de expresiones es decir emspemspemspemspemspemsp donde Ce es el calor especiacutefico del fluido

Por tanto la energiacutea total que tiene el sistema es la suma de las anteriores E = Ep + Ec + U y por unidad de masa resulta e = ep + ec + u = gz + (v22) + CeT Una vez bien definida la propiedad extensiva a estudiar plan-tear su variacioacuten total con el tiempo significa aplicar el teorema del arrastre de Reynolds a la misma (definidos previamente un volumen de control VC y superficie de control SC) Identificando la propiedad geneacuterica emsp como ESist la ecuacioacuten de conservacioacuten de la ener-giacutea se plantea entonces como

(592)

De este modo el teorema del arrastre de Reynolds per-mite el planteamiento de los teacuterminos local y convecti-vo de la variacioacuten de la energiacutea del flujo que atraviesa el VC o lo que es lo mismo el teacutermino derecho de la ecuacioacuten anterior

El planteamiento del teacutermino izquierdo es mucho maacutes sencillo ya que estaacute determinado por el primer princi-pio de la termodinaacutemica

La ecuacioacuten anterior muestra coacutemo para un sistema concreto la variacioacuten de su energiacutea total puede ex-presarse como la suma de los intercambios de calor (dQdt) y trabajo (dWdt) entre la masa del sistema y

E mgzp =

E mvc = ( )1 2 2

U mu mC Te= =

HSist

u ruuu

dEdt

ddt

gz v u dV gz v u vSist

VC SCr SC= + +

sdot + + +

int int

2 2

2 2ρ ρ

u rruuu u ruusdot( )dA

dEdt

dQdt

dWdt

Sist Sist Sist= +(593)


su entorno En lo que sigue el criterio de signos seraacute el mismo para ambos teacuterminos un flujo de calor o tra-bajo se consideraraacute positivo si se transfiere desde el entorno hacia el fluido y negativo si la transferencia del mismo es en el sentido inverso Con todo ello la primera forma de la ecuacioacuten integral de la energiacutea es

en la que no hay que olvidar que la variacioacuten de la energiacutea estaacute expresada en funcioacuten del tiempo Es decir cada teacutermino es una potencia

Pensando en la aplicacioacuten especiacutefica de la ecuacioacuten anterior muy general a sistemas de conduccioacuten de fluidos a presioacuten por tuberiacuteas es entonces posible exa-minar alguno de sus teacuterminos con maacutes detalle con el fin de obtener una versioacuten maacutes simplificada

Mientras que el teacutermino de potencia caloriacutefica (dQsistdt) representa sin duda la cantidad neta de energiacutea teacutermica por unidad de tiempo que atraviesa la SC en un sentido o en otro y se suele denotar directamente como (dQdt) el teacutermino de potencia mecaacutenica (dWsistdt) siacute permite un anaacutelisis maacutes detallado Asiacute dicha potencia mecaacutenica puede transferirse al sistema de dos formas distintas

(595)

-emspEl primer componente dWVCdt es la potencia me-caacutenica que se transfiere directamente al interior del VC mediante la accioacuten de un eje por ejemplo de una bomba Puede ademaacutes visualizarse dicho eje como el medio por el que se inyecta potencia en el VC y asiacute este teacutermino suele recibir la denominacioacuten de trabajo de eje y se denota como dWEjedt

-emspEl segundo componente dWSCdt representa la po-tencia mecaacutenica transferida al VC a traveacutes de la SC Maacutes concretamente es la potencia que comunican

dQdt

dWdt

ddt

gz v u dV gz v u vSist Sist

VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA

u ruuu u ruusdot( )int

dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


(594)

dWdt

dWdt

dWdt

Sist VC SC= +

al VC las fuerzas de superficie que estaacuten actuando sobre su frontera la SC Y tales fuerzas de superfi-cie pueden ser tanto las debidas a la presioacuten como las debidas a esfuerzos cortantes

(596)

La figura 19 muestra el caso de un flujo a traveacutes de una tuberiacutea de seccioacuten circular En la misma se ha marcado un VC y los distintos esfuerzos (entre pareacutentesis) que se transmiten al mismo desde el entorno a traveacutes de la SC

Figura 19emspFuerzas transmitidas a traveacutes de la SC en una conduccioacuten circular

-emspLos esfuerzos cortantes actuacutean sobre la superficie lateral del VC ciliacutendrico Las partiacuteculas que se encuen-tran sobre la misma en realidad estaacuten a velocidad cero por la condicioacuten de adherencia entre fluido y soacutelido Por lo tanto no hay potencia transmitida a las mismas por los esfuerzos cortantes y puede concluirse queemspemspemspemspemsp

-emspLa potencia transmitida por las fuerzas de presioacuten en las secciones frontales se plantea como

(597)

dWdt

dWdt

dWdt

SC SC

FuerzasPresioacuten

SC

FuerzasEsf Cortantes

= +

V = 0

VCV = 0

11P dAtimes

33P dAtimes2 2dAτ times

1dA

2dA

3dA

dWdtSC


= 0

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint


emspdonde emsp es la fuerza de presioacuten diferencial que ac-tuacutea sobre cada diferencial de aacuterea dA de cada sec-cioacuten frontal y es la velocidad relativa respecto de la SC de cada partiacutecula de fluido que atraviesa dicha SC

Como se explicaraacute con maacutes detalle en la parte del capiacute-tulo dedicada a la ecuacioacuten de conservacioacuten de la can-tidad de movimiento la mencionada fuerza de presioacuten es una fuerza externa ejercida desde el entorno sobre el VC Por ello se trata de un vector perpendicular a la SC y con su sentido dirigido hacia la misma SC Loacutegi-camente como fuerza de presioacuten su moacutedulo es igual al producto de presioacuten por aacuterea es decir dF = PdA Sin embargo cuando al diferencial de aacuterea se le da caraacutec-ter vectorial se trata de un vector perpendicular a la SC pero orientado desde la misma hacia el entorno (figura 19) Este detalle es importante porque entonces el vector fuerza de presioacuten diferencial se puede expre-sar como emspemspemspemspemspemsp Sustituyendo en la expresioacuten de la potencia transmitida por las fuerzas de presioacuten y reordenando los teacuterminos queda

Y sustituyendo finalmente en la ecuacioacuten inicial de conservacioacuten

(599)

O lo que es lo mismo

(5100)

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC

= minus sdot sdotint

dF PdAP

u ruu u ruu= minus( )

dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC

= minus sdot sdotint (598)

dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +

sdot( )int gz v u v dAr SC

SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

ddt

gz v u dV gz v u P vEje

VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int

En el caso muy habitual de flujo en reacutegimen perma-nente el teacutermino local se anula y la ecuacioacuten queda

(5101)

Si ademaacutes se asume la condicioacuten de propiedades uni-formes de todas las variables en cada seccioacuten de en-trada o salida de nuevo se llega a una expresioacuten maacutes simplificada Distinguiendo los teacuterminos correspon-dientes a secciones de salida como positivos y de en-trada como negativos el pareacutentesis sale de la integral y el producto escalar multiplicado por la densidad se visibiliza como caudal maacutesico directamente

(5102)

Para el caso referido ya de una uacutenica conduccioacuten con una uacutenica entrada y una uacutenica salida se llega a la ver-sioacuten maacutes simplificada de la ecuacioacuten

(5103)

Comparacioacuten entre la ecuacioacuten integral de la energiacutea y la ecuacioacuten de Bernoulli

Resulta muy interesante comparar la ecuacioacuten integral de la energiacutea con la ecuacioacuten de Bernoulli ya que las conclusiones que pueden extraerse al respecto aclara-raacuten mejor los conceptos que hay detraacutes de los teacutermi-nos que componen ambas Se partiraacute de la ecuacioacuten integral de la energiacutea particularizada al caso de una uacutenica conduccioacuten y en la que la seccioacuten 1 representa la entrada y la seccioacuten 2 la salida

dQdt

dWdt

gz v u P v dAEjer SC

SC

+ = + + +

sdot( )int

2

2 ρρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt

gz v u P gz v u PEje

Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2


La intencioacuten es transformar la ecuacioacuten anterior hasta dejarla de una manera lo maacutes parecida posible a la de la ecuacioacuten de Bernoulli Dicha transformacioacuten con-templa las siguientes acciones

-emspPasar los teacuterminos de la ecuacioacuten de expresar po-tencia (energiacutea por unidad de tiempo) a expresar altura (energiacutea por unidad de peso) Para ello bas-taraacute con dividir todos los teacuterminos por Gg o lo que es lo mismo multiplicarlos por el cociente (1Gg)

-emspPasar la altura total en la seccioacuten 1 (entrada) al teacuter-mino izquierdo de la ecuacioacuten

-emspPasar el teacutermino del intercambio de energiacutea teacutermica al teacutermino derecho de la ecuacioacuten El teacutermino del trabajo de eje correspondiente a la energiacutea aporta-da por una bomba efectivamente se encuentra en el teacutermino izquierdo de la ecuacioacuten de Bernoulli

La nueva versioacuten de la ecuacioacuten integral de la energiacutea es

(5105)

la ecuacioacuten anterior ya es formalmente equivalente a la de Bernoulli seguacuten se ha presentado en este tema

(5106)

Comparando ambas ecuaciones se pueden establecer dos relaciones sucesivas entre los teacuterminos de las mismas

-emspEn primer lugar se obtiene la identificacioacuten emsp hb = (1Gg) (dWejedt) En realidad esta expresioacuten no es

dQdt

dWdt

gz v u P gz v u PEje+ = + + +

minus + + +

2

2

2

12 2ρ ρ

GG

(5104)

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg

h P z vg

hB f1

11

22

22

2

2 2γ γ+ +

+ = + +

+

nueva ya que (dWejedt) es la potencia uacutetil transmitida por la bomba al fluido y ademaacutes Gg = r Qp = γ Q Asiacute esta primera identificacioacuten no es sino otra forma de mostrar la relacioacuten entre potencia y altura de bom-beo (Potencia = γ Q hb)

-emspLa segunda identidad que resulta de comparar ambas ecuaciones siacute aporta algo nuevo al anaacutelisis

emsphf = [(u2 ₋ u1)g] ₋ (1Gg) (dQdt) que se puede reescribir alternativamente como u2 ₋ u1 = (1Gg) (dQdt) + ghf Teniendo en cuenta que un incremento positivo en la energiacutea interna entre las secciones 1 y 2 como mues-tra la ecuacioacuten se traduce en un aumento de la tem-peratura del fluido la expresioacuten anterior muestra las dos posibles causas de dicho aumento una transfe-rencia (positiva) desde el entorno hacia el fluido yo la existencia de friccioacuten mecaacutenica en la circulacioacuten del fluido Se pueden identificar los casos

a) En un flujo adiabaacutetico real esto es sin intercambio de calor con el entorno toda la energiacutea mecaacutenica perdida por friccioacuten se transforma en calor que queda contenido en el fluido aumentando su tem-peratura u2 ₋ u1 = ghf

b) En un flujo isotermo real la energiacutea interna se man-tiene constante y el calor generado por la friccioacuten se transfiere iacutentegramente desde el fluido hacia el entorno ₋ (1G) (dQdt) = ghf

c) En un flujo ideal no se produciriacutea ninguacuten calor por friccioacuten y la temperatura del fluido dependeriacutea uacuteni-camente de coacutemo fuese la transferencia teacutermica con el entorno Se tendriacutea que u2 ₋ u1 = ₋ (1G) (dQdt) que directamente la segunda ley de la termodinaacute-mica para procesos reversibles

Ecuaciones de conservacioacuten de la cantidad de movimiento

La tercera propiedad de un flujo de fluido cuya conser-vacioacuten se va a estudiar es su cantidad de movimiento Se presenta en tercer lugar por una razoacuten sencilla las dos primeras ya vistas (masa y energiacutea) son propieda-des escalares mientras que las restantes cantidad de movimiento y momento cineacutetico son propiedades vec-toriales Y de estas dos uacuteltimas la formulacioacuten matemaacute-tica de la primera es maacutes breve que la de la segunda


La variacioacuten de la cantidad de movimiento de un flujo debida a las fuerzas externas que actuacutean sobre el mis-mo desde el entorno presenta una gran importancia en la mecaacutenica de fluidos aplicada ya que es el fenoacutemeno que estaacute detraacutes de accidentes como la rotura de un codo defectuosamente anclado o tambieacuten el fenoacutemeno que fundamenta toda la teoriacutea de la propulsioacuten a chorro

Puesto que la cantidad de movimiento es una propie-dad vectorial para el anaacutelisis de la misma es necesario trabajar con un sistema de referencia (SR) Y como en el presente tema el anaacutelisis de cualquier propiedad debe partir de la definicioacuten de un VC el procedimien-to que se seguiraacute es el de ligar solidariamente el VC en estudio con un SR Como tambieacuten se explicoacute en el tema 3 seguacuten sea el problema concreto a estudiar el VC maacutes adecuado para hacerlo puede

-emspEncontrarse en reposo-emspMoverse a velocidad lineal constante -emspMoverse con aceleracioacuten

Loacutegicamente el SR solidario con el VC se moveraacute de la misma manera que eacuteste y asiacute siguiendo todaviacutea lo presentado en el tema 3 se distinguen dos situaciones distintas Por una parte tanto para el primer caso (re-poso) como para el segundo (velocidad constante) se hablaraacute de un SR inercial Por otra en el tercer caso (aceleracioacuten) se tendraacute un SR no inercialEn la praacutectica puede resultar coacutemodo trabajar con dos formulaciones distintas para la conservacioacuten de la can-tidad de movimiento

-emspLa primera formulacioacuten seriacutea la adecuada para sis-temas inerciales es decir aqueacutellos en los que el VC estuviese en reposo o bien se moviese a velocidad constante (primer y segundo caso de los tres que se acaban de indicar) En cualquiera de ellos el SR solidario con el VC es el uacutenico que se utiliza para analizar el flujo Tambieacuten podriacutea trabajarse de for-ma alternativa con un SR uacutenico que en lugar de moverse solidariamente con el VC se encontrase fijo en alguacuten punto del espacio

-emspLa segunda formulacioacuten seriacutea la adecuada para sis-

temas no inerciales es decir aqueacutellos en los que el VC se moviese con aceleracioacuten (tercer caso) Aun-que este caso se explicaraacute con detalle maacutes adelan-te siacute cabe adelantar aquiacute que el SR solidario con

el VC seriacutea no inercial y no se puede utilizar para el estudio del flujo De este modo debe utilizarse ademaacutes un segundo SR fijo con respecto del cual se expresaraacute el movimiento del SR moacutevil (movimiento de arrastre)

Figura 20emspEjemplos de SR inercial fijo (izquierda) y no inercial acelerado (derecha)

La figura 20 muestra un ejemplo de cada caso A la iz-quierda para estudiar el flujo a traveacutes del codo de una tuberiacutea encerrado en su VC fijo se representa el uacutenico SR (X Y Z ₋ fijo y por tanto inercial) solidario con el mismo A la derecha para estudiar un caso baacutesico de propulsioacuten a chorro como seriacutea el de un globo que se deshincha encerrado en su VC acelerado se represen-tan los dos SR el acelerado junto con el globo (x y z ₋ no inercial) y el fijo (X Y Z ₋ inercial) Por uacuteltimo la obtencioacuten de cualquiera de las formas de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la cantidad de mo-vimiento parte de la 2ordf ley de Newtonemspemspemsp Efecti-vamente es la accioacuten de las fuerzas exteriores la causa del cambio en la cantidad de movimiento de las partiacute-culas de fluido del sistema en su paso a traveacutes del VC Y es el teorema del arrastre de Reynolds el que marca el camino a seguir para su anaacutelisis Seguacuten la formula-cioacuten general de dicho teorema presentada en el tema 3 la propiedad a estudiar que entonces se definiacutea geneacutericamente comoemsp se identifica ahora con la can-tidad de movimiento Y la propiedad geneacuterica uni-tariaemspemspemsp resulta ser por tantoemspemspemspemspemspemsp

Seguacuten la citada ley de Newton la variacioacuten de la canti-dad de movimiento del sistemaemsp es debida a la resul-tante de las fuerzas exteriores que actuacutean sobre el mismo

VCQ

Q

z

yx

z

yx

VC

0 0

Q

F ma=

h H m=

p m mv m v= = h H m=

p m mv m v= =

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum (5107)


Y el teorema del arrastre muestra coacutemo plantear el es-tudio de dicha variacioacuten deemspemspa partir de sus compo-nentes local y convectiva sobre un VC

Forma de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la can-tidad de movimiento para sistemas inerciales

Un caso sencillo para el estudio de la conservacioacuten de la cantidad de movimiento de un flujo de fluido es aqueacutel en el cual VC y SR son inerciales Por la poca complejidad cinemaacutetica que presenta un caso asiacute para el mismo basta con la reunioacuten simple de los dos teacuter-minos de la ecuacioacuten del teorema del arrastre ya pre-sentados maacutes arriba De hecho esta es la forma que se relaciona con los sistemas inerciales

En la aplicacioacuten praacutectica de esta ecuacioacuten deben tener-se en cuenta los siguientes puntos importantes

-emspAl igual que ocurriacutea en la ecuacioacuten integral de la energiacutea en la ecuacioacuten anterior aparecen tres velo-cidades Aunque para la tercera de ellas expliacutecita-mente se sentildeala que es una velocidad relativa con respecto a la SC hay que tener en cuenta que las tres son velocidades distintas entre siacute

a) La que aparece en la integral extendida al VC es la velocidad con respecto al SR (inercial) de cada una de las partiacuteculas que estaacuten dentro del VC

b) La que aparece en la integral extendida a la SC es la velocidad con respecto al SR (inercial) de cada una de las partiacuteculas que atraviesan sobre la SC

c) La emspemspque aparece en la integral extendida a la SC es la velocidad con respecto a la SC de cada una de las partiacuteculas que atraviesan la misma

Como resulta loacutegico las dos velocidades que aparecen en la integral extendida a la SC seraacuten iguales en el caso de que la SC no se mueva es decir cuando el VC sea fijo e indeformable

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

ddt

v d v v dASistr SC

SCVC

= forall + sdot( )intint r r u ruuu u ruuρ ρ (5108)

F ddt

v d v v dAExt r SCSCVC

u ruu r r u ruuu u ruu= forall + sdot( )intintsum ρ ρ (5109)

F ddt


u ruu r r u ruuu u ruu= forall + sdot( )intintsum ρ ρ

F ddt



F ddt



-emspEl teacutermino de fuerzas exteriores incluye cualquier fuerza exterior que se aplique desde el entorno sobre el VC (en realidad sobre el fluido que llena en cada momento el VC) Asiacute desde la friccioacuten entre un VC moacutevil que desliza sobre una superficie hasta la ten-sioacuten con que una cuerda tira del VC al que estaacute atada la variedad de fuerzas exteriores que se pueden en-contrar es enorme De entre todas ellas cabe propo-ner aquiacute un apunte acerca de las maacutes importantes

a) Fuerzas de presioacuten Estas fuerzas se aplican sobre las zonas de la SC a traveacutes de las cuales entra flujo al VC o sale del mismo Son debidas al hecho de que para hacer el anaacutelisis de fuerzas se estaacute separando imagi-nariamente el VC del entorno a traveacutes de esas zonas (figura 21) Puesto que esas zonas estaacuten a presioacuten (la del fluido) al realizar la separacioacuten imaginaria debe considerarse la accioacuten del entorno sobre el VC como una fuerza de presioacuten A la inversa la accioacuten del VC sobre el entorno seriacutea una fuerza igual en moacutedulo y direccioacuten pero de sentido contrario

emspAunque las fuerzas de presioacuten siempre deben con-siderarse aplicadas sobre cualquier seccioacuten de en-trada o salida de flujo se da la circunstancia muy habitual de que toman un valor numeacuterico nulo para chorros de liacutequido directamente en contacto con la atmoacutesfera y trabajando con presiones relativas

Figura 21emspFuerzas de presioacuten sobre el VC

b) Fuerza o reaccioacuten en el anclaje En los casos en que haya que asegurar que VC no se mueva del sitio por la accioacuten de fuerzas exteriores y cambios en el flu-jo esto se logra mediante alguacuten tipo de sujecioacuten normalmente mecaacutenica denominada anclaje Se

QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF

QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF


denomina fuerza o reaccioacuten en el anclaje la fuerza de sujecioacuten que ejerce sobre el VC Loacutegicamente en estos casos el VC soacutelo puede ser fijo

c) Peso La gravedad es una fuerza de volumen que se ejerce sistemaacuteticamente sobre todo objeto situado en la superficie terrestre Por lo tanto tenga influencia o no en cada sistema estudiado siempre estaacute presente

La expresioacuten general de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la cantidad de movimiento para sistemas inercia-les puede incluir las simplificaciones ya vistas en las ecuaciones de conservacioacuten previas para la masa y la energiacutea De este modo si se asume que las propieda-des son uniformes tanto en la SC como en el VC las variables pueden salir de las integrales y la ecuacioacuten se queda en la forma

(5110)

Y para el caso de un reacutegimen permanente en el cual la variacioacuten local de cualquier propiedad es nula la ecuacioacuten resulta ser

(5111)

Forma de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la can-tidad de movimiento para sistemas no inerciales

La 2ordf ley de Newton emspemspemsp soacutelo es aplicable cuando la aceleracioacuten de la partiacutecula que aparece en la mis-ma se expresa con respecto a un sistema de referencia inercial Como se ha visto ya cuando el VC estaacute fijo o se mueve a velocidad constante el SR solidario con el mismo es inercial y asiacute dicho SR se utiliza directamen-te para resolver el balance de cantidad de movimientoSin embargo cuando el VC se mueve con alguacuten tipo de aceleracioacuten el SR solidario con el mismo es no iner-cial y por tanto no se puede utilizar para el estudio Es necesario entonces utilizar un segundo SR fijo y por tanto inercial De este modo

sum sum sum=( )

+ ( ) minus ( )Fd mv

dtv Q v QExt

VC

Salidasi

Entradas jj

u ruur

r r

i

ρ ρ

sum sum sum= ( ) minus ( )F v Q v QExtSalidas i

iEntradas j

jρ ρ

F ma=

-emspEl movimiento del SR moacutevil se expresa con respec-to al SR fijo mediante su vector de posicioacuten ve-locidad emspemsp aceleracioacuten linealemspemspemsp velocidad angular emspy aceleracioacuten angular emsp emsp

-emspLa aceleracioacuten de cada partiacutecula que aparece en la 2ordf ley de Newtonemspemspemsp debe expresarse con res-pecto al SR el inercial (el fijo) y no al SR no inercial (el moacutevil solidario) Pero en este caso no se podriacutea aplicar el teorema del arrastre de Reynolds ya que la cantidad de movimiento (propiedad del flujo que se desea estudiar) se estaacute expresando con respecto a un SR ajeno al VC

La forma de solventar este inconveniente es la misma que se adopta en otras circunstancias similares Con-siste en descomponer esa aceleracioacuten absoluta de las partiacuteculas de fluido en sus tres componentes relativa arrastre y Coriolis (tambieacuten visto en el tema 3 que se recomienda revisar para entender completamente lo que se explica aquiacute) Y a continuacioacuten pasar al teacutermi-no izquierdo de la 2ordf ley de Newton las componentes de arrastre y Coriolis a modo de ficticias fuerzas de inercia Es decir desde la ecuacioacuten

(5112)

se pasa a

(5113)

donde

(5114)

Haciendo las cosas de esta manera el teacutermino emspemspya siacute se refiere solamente a la variacioacuten de la cantidad de movimiento del flujo expresada con respecto al SR so-lidario con el VC y por tanto puede pueden plantearse

RdR dtur

d R dt2 2

ωur

d dtωur

F ma=

F ma m a a aExt r a Coriolis

u ruu r uru uru u ruuuuu= = + +( )sum

F m a a maExt a Coriolis r

u ruu uru u ruuuuu uruminus +( ) =sum

m a a Fa Coriolis Inercia

uru u ruuuuu u ruuuuu+( ) =

a d Rdt

ddt

r ra = + and + and and( )ω ω ω2

2

(5115)

a vCoriolis = andω2 r (5116)




a traveacutes del mismo las componentes local y convectiva del teorema del arrastre de Reynolds Por otra parte siendo conocido el movimiento del SR moacutevil con res-pecto al SR fijo trabajar con las aceleraciones de arras-tre y de Coriolis no supone un obstaacuteculo

Por uacuteltimo trasladar todo este planteamiento sobre la ecuacioacuten ya presentada para la conservacioacuten de la cantidad de movimiento resulta sencillo si se hace con cuidado

-emspEl teacutermino de las fuerzas exteriores es el uacutenico que se mantiene inalterado emspemspemsp

-emspEl teacutermino a la derecha de la igualdademspemsp da lugar a las componentes local y convectiva Ambas expre-sadas con respecto al SR moacutevil es decir utilizando la velocidad relativa de las partiacuteculas

-emspEl teacutermino de las fuerzas de inercia debe calcularse integrando las magnitudes que lo componen sobre todas las partiacuteculas de fluido (de masa diferencial) que llenan el VC

(5118)

La ecuacioacuten completa queda por lo tanto como

Tras considerar la composicioacuten de las aceleraciones de arrastre y Coriolis se llega a la que suele denominarse como ecuacioacuten de conservacioacuten de la cantidad de mo-vimiento para sistemas no inerciales





ddt

v d v v dArVC

r r SCSC

uru uru u ruuu u ruuρ ρforall + sdot( )int int (5117)

m a a a a dm aa Coriolis a CoriolisMVC

uru u ruuuuu uru u ruuuuu+( ) = +( ) =int aa Coriolis

VC

a duru u ruuuuu

+( ) forallint ρ

sum int intminus +( ) = +F a a dV ddt

v dV vExt a CoriolisVC

rVC

rρ ρ ρ v dAr SCSC

sdot( )int

(5119)

sum minus + and + and and( ) + and

F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2

2 2ω ω ω ω ρintint int int= + sdot( )ddt

v dV v v dArVC

r r SCSC

uru uru u ruuu u ruuρ ρ

donde

-emspemspemspemspes la suma vectorial de todas las fuerzas ejer-cidas desde el entorno sobre el VC

-emsp emspemspemsp es la aceleracioacuten del SR moacutevil con respecto al SR fijo

-emspemspes la velocidad angular del SR moacutevil-emspemspemsp es la aceleracioacuten angular del SR moacutevil-emsp es el vector de posicioacuten de cada partiacutecula de flui-

do con respecto al SR moacutevil-emspemspes la velocidad relativa con respecto al SR moacutevil

de cada partiacutecula de fluido que se encuentra dentro del VC o sobre la SC (seguacuten la integral esteacute extendi-da sobre VC o SC)

-emspemspemsp es la velocidad de cada partiacutecula que atraviesa la SC con respecto de la misma

De la misma forma en que se ha visto maacutes arriba pue-den plantearse circunstancias que simplifican la ecua-cioacuten anterior Asumiendo propiedades uniformes tan-to en las secciones como en el interior del volumen de control los teacuterminos local y convectivo toman la forma ya mostrada maacutes arriba En cuanto al teacutermino correc-tor de las fuerzas de inercia queda simplificado en el caso habitual de que el movimiento del VC tenga soacutelo aceleracioacuten lineal

La forma de la ecuacioacuten bajo todas estas condiciones seriacutea

(5121)

Por uacuteltimo para un ejemplo caracteriacutestico de propul-sioacuten a chorro donde pudiesen despreciarse tanto las fuerzas externas sobre el VC como el movimiento del fluido por el interior del mismo la ecuacioacuten quedariacutea


F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC

uru uru u ruuu u ruuρ ρ (5120)


F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


d R dt2 2

ωur

d dtωur

r

ddt

v d v v dArVC

r r SCSC

uru uru u ruuu u ruuρ ρforall + sdot( )int int

ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


sum summinus =( )

+ ( ) minusF m d Rdt

d mvdt

v QExt VCVC

Salidas ii

Entradas

ρj

jv Qsum ( )ρ

2

2


siendoemspemspla velocidad lineal del VC


La uacuteltima propiedad de un flujo fluido cuya conserva-cioacuten se va a estudiar en este tema es el momento cineacutetico de un sistema que atraviesa un VC determinado Este es el fenoacutemeno fiacutesico que hay detraacutes de cualquier objeto que gire mientras es atravesado por un flujo de fluido independientemente de que el agente motriz del movi-miento sea el objeto (como en el caso de las bombas) o el fluido (como en el caso de los aspersores y las turbinas)

El momento cineacutetico es de nuevo una propiedad vec-torial cuya ecuacioacuten de conservacioacuten se va a obtener de forma paralela a la ya vista para la cantidad de movi-miento Aplicando el teorema del arrastre de Reynolds a dicha propiedad se tiene queemspemspemspemspemspemspemspemsp La propiedad unitaria es emspemspemspemsp Y la derivada con el tiempo del momento cineacutetico del sistema encuentra su causa en la suma vectorial de todos los momentos exte-riores aplicados desde el entorno sobre el VC Es decir

El desarrollo de la derivada del momento cineacutetico me-diante los teacuterminos local y convectivo es el marcado por el teorema del arrastre de Reynolds llegando a la expresioacuten

que es la forma de la ecuacioacuten de conservacioacuten del mo-mento cineacutetico para sistemas inerciales Todas las varia-bles son las mismas que las ya presentadas en el caso de la ecuacioacuten de conservacioacuten de la cantidad de movi-miento excepto que aparece ahora por primera vez y representa el vector de posicioacuten de cualquier partiacutecula

mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii

= ( ) minus ( )sum sumρ ρ (5122)

mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii

= ( ) minus ( )sum sumρ ρ

h r v= and( )H r mvSist Sist

u ruuu r r= and( )

d r mvdt

MSistExt

r ru ruuuuand( )

= sum (5123)

sum int= and( ) forall + and( ) sdot( )M ddt

r v d r v v dAExtVC

r SCS

u ruuuu r r r r u ruuu u ruu ρ ρ

CCint

(5124)

r

de fluido que se encuentre en el interior del VC o atra-vesando la SC (seguacuten la integral en la que se encuentre)

Adoptando la simplificacioacuten de propiedades unifor-mes en las secciones y en el VC resulta la forma

(5125)

Y antildeadiendo la condicioacuten de reacutegimen permanente

(5126)

En el caso de sistemas no inerciales el planteamiento tambieacuten es el mismo que el ya visto para la ecuacioacuten de la cantidad de movimiento mediante la incorporacioacuten del teacutermino corrector que ahora representaraacute pares de inercia del sistema

Simplificando propiedades uniformes de las variables en las secciones de entrada y salida asiacute como en el in-terior del VC

(5128)

sum sum=and( )

+ and( ) minusMd r mv

dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ

sum sum sum= and( ) minus and( )M r v Q r v QExtSalidas i

iEntradas j

ρ ρ j

sum minus and + and + and and( ) + and

M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr

ampur r r r r r uru2

2 2ω ω ω ω

forall = and( ) forall + and( ) sdotint intρ ρ ρd ddt

r v d r v v dVC

rVC

r r SCr uru r uru u ruuu

AASC

u ruu( )int


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int

(5127)

sum and + and + and and( ) + and

M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv

dtr v Qρ minusminus and( )

sum

Entradas jr

jr v Qρ2


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2


Y para el caso de reacutegimen permanente


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )

minus andsum sumVC Salidas i

ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj

(5129)

Capiacutetulo 6

Flujo a presioacuten

Iacutendice

IntroduccioacutenBalances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerradosCaacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteasPeacuterdidas de carga localizadasLiacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y totalCaracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacutenAnaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacutenAnaacutelisis estaacutetico de redesModelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacutenLa modelacioacuten cuasi estaacutetica

Los modelos dinaacutemicos

Transitorios hidraacuteulicosEl modelo dinaacutemico riacutegido (oscilacioacuten en masa)

El modelo dinaacutemico elaacutestico o golpe de ariete

Bibliografiacutea

Flujo a presioacuten 121

Introduccioacuten

El transporte de agua en reacutegimen de laacutemina libre ya estudiado ha sido la primera opcioacuten por la que el hombre en su afaacuten por imitar a la naturaleza siempre ha optado No en vano el transporte natural del agua (riacuteos torrentes o barrancos) o el artificial disentildeando por el hombre como reacuteplica a los anteriores (canales y acequias) tiene muchas ventajas siendo la mayor la que otorga la propia naturaleza que siempre actuacutea como motor del movimiento (es la fuerza de la gra-vedad la que mueve el agua por los cauces naturales) por lo que no hay que recurrir a fuentes energeacuteticas externas como son las bombas Tampoco las necesita claro estaacute el transporte de agua a presioacuten si el fluido se desplaza desde una cota alta a otra inferior No es pues la presencia de una fuente energeacutetica exterior el hecho diferencial entre estas dos modalidades del transporte del agua Siacute lo es que en reacutegimen de laacutemina libre el agua estaacute en contacto con la atmoacutesfera y en consecuencia no puede almacenar la energiacutea elaacutestica de presioacuten de tal manera que el trabajo que siempre hay que realizar para vencer las fuerzas de rozamiento soacutelo lo puede aportar la energiacutea potencial gravitatoria Dicho de otro modo el reacutegimen en laacutemina libre exige que el agua vaya siempre desde una cota superior a otra inferior No hay alternativa posible

En el transporte de agua en conductos cerrados la energiacutea elaacutestica que el agua almacena en forma de presioacuten le confiere una gran versatilidad al trazado El fluido ademaacutes de vencer el rozamiento que se opo-ne a su movimiento puede ganar cota a costa de per-der energiacutea de presioacuten una circunstancia clave para flexibilizar el trazado de una conduccioacuten que ya no debe ser esclava de la topografiacutea del terreno Este he-cho y la mayor operatividad que su manejo ofrece (lo que permite un uso maacutes eficiente del fluido) estaacute pro-piciando que con el paso del tiempo el transporte de agua a presioacuten esteacute ganaacutendole mucho terreno al flujo en laacutemina libre Asiacute lo evidencia tanto la progresiva transformacioacuten del riego tradicional a manta en riego localizado como los recientes trasvases de agua in-tercuencas entre los que destaca por su proximidad en el espacio y en el tiempo el Juacutecar₋Vinalopoacute en el que en la mayor parte de su trazado el transporte de agua discurre a presioacuten lo que no sucede en los que se proyectaron hace unas deacutecadas como es el caso del Tajo₋Segura

Con todo el transporte de agua a presioacuten es conoci-do desde hace varios milenios Asiacute lo confirma la que probablemente sea la tuberiacutea de presioacuten maacutes antigua un sifoacuten invertido que en tiempos de Salomoacuten el hijo del Rey David (siglo X aC) suministraba agua a Jeru-saleacuten Aunque posterior (siglo II aC) otra tuberiacutea de presioacuten maacutes conocida por las evidencias que nos han llegado es el sifoacuten que alimentaba la acroacutepolis de Peacuter-gamo en la antigua Grecia (hoy Turquiacutea) Era una tu-beriacutea de plomo de 22 cm de diaacutemetro interior con una pared de 8 cm Sometida a un reacutegimen praacutecticamente permanente soportaba una presioacuten de 20 bares (Bon-nin 1984) Con todo no abundaban este tipo de con-ducciones porque habiacutea que superar dos obstaacuteculos importantes El primero tener un acceso relativamente faacutecil a materiales capaces de soportar presiones media-namente altas Y auacuten admitiendo que se podriacutea tener habiacutea un segundo obstaacuteculo imposible de vencer La limitacioacuten de los conocimientos teacutecnicos del momento para construir tuberiacuteas de grandes diaacutemetros En cual-quier caso tuberiacuteas a presioacuten de pequentildeo diaacutemetro siacute fueron relativamente frecuentes en la antiguumledad

En cualquier caso su estudio formal se inicia cuando el uso de estas tuberiacuteas a presioacuten comienza a generali-zarse Es decir hay que esperar hasta el siglo XVIII De hecho la ecuacioacuten de Bernoulli la que por excelencia caracteriza este flujo en reacutegimen estacionario es cono-cida desde 1738 (la introduce Daniel Bernoulli en su libro Hidrodinaacutemica) A ella le seguiraacute la conocida expresioacuten de Chezy en la que por vez primera se in-troduce la resistencia a la friccioacuten bien que en flujos en laacutemina libre Su adecuacioacuten a tuberiacuteas de presioacuten es posible gracias a los posteriores trabajos de Weisbach (1845) y de Darcy (1857) Pronto culminaraacuten en la foacuter-mula universal de la peacuterdida de carga en tuberiacuteas auacuten plenamente vigente y que en su honor es conocida con el nombre de Darcy₋Weisbach Maacutes adelante se le pres-ta la atencioacuten que merece El estudio del movimiento unidimensional (una hipoacute-tesis absolutamente vaacutelida cuando el fluido se mueve confinado en el interior de una tuberiacutea) que se estudia se acostumbra a dividir en estacionario (la variable temporal no interviene) y transitorio Ambos tipos de anaacutelisis son tan necesarios como complementarios El primero estudia las condiciones de funcionamiento maacutes habituales de una instalacioacuten y por ello su di-sentildeo debe realizarse a partir de las expresiones que lo


caracterizan Y asiacute el diaacutemetro de una tuberiacutea debe se-leccionarse a partir del estudio del sistema en reacutegimen estacionario Y si como resulta cada vez maacutes frecuen-te las condiciones de servicio cambian con el tiempo para dimensionar la instalacioacuten hay que situarse en el centro de gravedad de las diferentes situaciones es-tacionarias previsibles Hay pues que identificar el marco habitual maacutes representativo al que le corres-ponden magnitudes hidraacuteulicas (caudales y presiones) constantes en el tiempo

Tambieacuten hay que caracterizar las condiciones de contorno (generalmente la cota del agua en los de-poacutesitos y las demandas) y el estado de los elementos complementarios (grado de apertura de las vaacutelvulas y velocidad de giro de las bombas entre otros datos de partida) Con todos estos datos de partida se de-termina el estado de equilibrio hidraacuteulico del sistema caacutelculo relativamente sencillo en sistemas simples y mucho maacutes complejo por la cantidad de ecuaciones que deben resolverse simultaacuteneamente en redes Por ello el artiacuteculo de Hardy Cross (1936) que introduce el meacutetodo iterativo para el anaacutelisis de sistemas comple-jos llamado por su nombre en su honor ha jugado un papel decisivo Al anaacutelisis en reacutegimen estacionario de los sistemas a presioacuten se le dedica la mayor parte del capiacutetulo

Pero como ya deciacutea el filoacutesofo griego Heraacuteclito (513 aC) nada excepto el cambio es permanente Sin embar-go como la mayoriacutea de los cambios que en la praacutectica acontecen son muy lentos casi imperceptibles hay evoluciones que pueden modelarse con ecuaciones estaacuteticas en las que la variable tiempo no interviene Un hecho que no nos puede hacer ignorar que con la mirada puesta en el medio₋largo plazo toda instala-cioacuten hidraacuteulica es un sistema dinaacutemico ya que nin-guna variable es estacionaria Todos los flujos bien de forma gradual bien repentina cambian continua-mente Desde el primer llenado de un depoacutesito hasta al final de la vida uacutetil de una instalacioacuten todo cambia con el tiempo En cualquier caso un anaacutelisis del movi-miento basado en las ecuaciones estacionarias y con la actualizacioacuten cada cierto intervalo de tiempo de las condiciones de contorno es lo que se conoce como anaacute-lisis cuasi-estaacutetico o simulacioacuten en periodo extendido una estrategia que contempla el programa EPAnet la herramienta de simulacioacuten por excelencia en el caacutelculo de redes de agua a presioacuten

Pero tambieacuten en el movimiento de los liacutequidos a presioacuten hay cambios bruscos El cierre raacutepido (o in-cluso instantaacuteneo de una vaacutelvula) el arranque (o la parada) de una bomba o la simulacioacuten de un reventoacuten en una tuberiacutea de agua generan cambios bruscos en el movimiento del fluido que requieren incluir no soacutelo la inercia del agua sino tambieacuten la elasticidad del flu-ido (representada por el moacutedulo de compresibilidad volumeacutetrico) y de las paredes de la tuberiacutea (modelada con el moacutedulo de Young del material con que se ha construido) El estudio de estos transitorios hidraacuteuli-cos tiene gran intereacutes porque es en estas circunstancias cuando el sistema en especial las tuberiacuteas suelen so-portar las mayores tensiones El objetivo principal del estudio de los transitorios hidraacuteulicos es cuantificarlas y verificar que pueden ser absorbidas por el sistema sin que la instalacioacuten corra riesgo alguno Como tambieacuten lo es si un primer anaacutelisis ha evidenciado un potencial riesgo de rotura dimensionar los elementos de pro-teccioacuten que los anule Con todo y pese a su indudable intereacutes al anaacutelisis de los transitorios hidraacuteulicos se le va a prestar poca atencioacuten Tan soacutelo los dos uacuteltimos apartados de este capiacutetulo

De hecho la mayor parte de este capiacutetulo se dedica al anaacutelisis del flujo a presioacuten en reacutegimen estacionario y con el apoyo del programa EPAnet se dan las direc-trices para estudiar el comportamiento de estos siste-mas cuando las condiciones de funcionamiento variacutean muy lentamente lo que se conoce ya se ha dicho como simulacioacuten en periodo extendido En cuanto a los tran-sitorios hidraacuteulicos soacutelo hay espacio para evidenciar el intereacutes de su estudio y presentar sus fundamentos Para ello se describen las dos formas habituales de modelar-los La primera conocida por oscilacioacuten en masa in-cluye soacutelo la inercia del agua en el sistema e ignora los efectos elaacutesticos Pero es suficientemente precisa cuan-do los cambios no son tan lentos como para despreciar la inercia del agua pero no son tan raacutepidos como para incluir la elasticidad del sistema (fluido y tuberiacuteas) La inclusioacuten de estos efectos equivale a referirse al golpe de ariete Aunque ya se ha dicho los creacuteditos asigna-dos a esta materia impiden profundizar en el anaacutelisis de los transitorios hidraacuteulicos es imprescindible presentar algunas ideas baacutesicas que cuanto menos permitan al alumno conocer la existencia de un problema concreto y saber en queacute casos se puede presentar Es sin duda la condicioacuten necesaria (aunque no suficiente) para evitar accidentes e incidentes hidraacuteulicos


Balances que presiden el analisis del flujo a presioacuten en conductos cerrados

En lo que sigue y mientras no se indique lo contrario el flujo es ademaacutes de unidimensional una hipoacutetesis que en ninguacuten momento se abandona estacionario En estas condiciones los balances que presiden el anaacute-lisis del flujo a presioacuten en conductos cerrados son el balance de materia y el de energiacutea El balance de ma-teria en flujos incompresibles tambieacuten conocido como ecuacioacuten de continuidad se ha estudiado en lecciones precedentes y coloquialmente se puede simplificar diciendo que la masa entrante es igual a la saliente En el caso de que la tuberiacutea sea simple equivale a de-cir que el caudal a traveacutes de cualquier seccioacuten recta es siempre el mismo Si el balance (figura 1) se aplica al nudo (i) vecino del (o de los) nudo(s) (j) y en el que ademaacutes confluyen un conjunto de tuberiacuteas (1 2 hellip n) la ecuacioacuten de continuidad establece que la suma de caudales que se dirigen haciacutea el nudo es igual a la suma de los que lo abandonan

Un balance de materia que adoptando un convenido de signos coherente resume la ecuacioacuten siguiente

(61)

y en la que el iacutendice j referencia todos los nudos co-nectados directamente al nudo i en tanto que se con-sidera un caudal interno En particular el criterio de signos que adopta EPAnet es funcioacuten de coacutemo se ha definido la liacutenea ij por la que discurre el caudal Y asiacute Qij es positivo cuando el fluido parte del nudo inicial y viaja hacia el final y negativo en caso contrario En el segundo miembro de la ecuacioacuten figuran las de-mandas Di de los abonados (son los caudales exter-nos) positivas cuando es el caso habitual se detrae agua de la red Esta es la situacioacuten maacutes frecuente (tan-to las demandas de los abonados como las fugas son caudales que abandonan el nudo y por tanto positi-vos) Sin embargo en el dimensionado de redes rami-ficadas puede convenir simular unos caudales circu-lando por las tuberiacuteas que no cumplen la ecuacioacuten de continuidad en un nudo en el que convergen En tal supuesto se puede introducir agua en el sistema con una demanda negativa equivalente a un apor-

Q D i Nijj

n

i=sum = =

11 2

te una posibilidad que soacutelo tiene sentido en el disentildeo de redes ramificadas En definitiva hay N ecuaciones una por cada nudo de la red de continuidad o balan-ces de materia

Figura 1emspCriterio de signos para la ecuacioacuten de continuidad en un nudo geneacuterico i

Obviamente la ecuacioacuten de continuidad tambieacuten pue-de extenderse al total de la red de manera que la suma de las demandas (y las fugas Fj si las hay) sea igual a la de los aportes (Ai) Eacutestos se determinan faacutecilmente a partir de los caudales que salen de los depoacutesitos yo embalses que alimentan el sistema De este modo esta-bleciendo el balance global de materia para el conjunto de la red se tiene

(62)

donde N es el nuacutemero de nudos total de la red mien-tras n es el de puntos desde los cuales se inyecta agua al sistema En definitiva el nuacutemero de total de ecua-ciones de continuidad que se pueden plantear es N + 1 Sin embargo la ecuacioacuten (62) se puede obtener asi-mismo sumando las N ecuaciones del sistema (61) por lo que las ecuaciones N + 1 que imponen la conserva-cioacuten de masa (continuidad) proporcionan N relaciones independientes (de las N + 1 posibles) Maacutes adelante

Qij (+)

Si (+)

n

j1

2

i

i

n

ij

N

j jA D F= =sum sum= +

1 1

( )


al contabilizar datos e incoacutegnitas se vuelve sobre este asunto

El segundo balance a aplicar es el de la energiacutea que particularizado para flujos unidimensionales y es-tacionarios se reduce a la ecuacioacuten de Bernouilli que puede establecerse entre dos secciones rectas cuales-quiera del sistema en particular entre los extremos de cada liacutenea del modelo o bien a un conjunto de ellas in-tegradas en una malla de la red Y llegados a este pun-to conviene decir que en el anaacutelisis de flujos a presioacuten el teacutermino cineacutetico del trinomio de Bernouilli acostum-bra a despreciarse Y ello por dos razones La prime-ra y maacutes importante porque es un teacutermino de valor despreciable Conviene recordar que la velocidad de circulacioacuten de un fluido incompresible por una tuberiacutea rara vez supera los 25 ms en cuyo caso el valor de la energiacutea por unidad de peso (V22g en metros) es de unos 03 m valor poco representativo (menos del 2) cuando se le compara con los por ejemplo 20 m de presioacuten (en metros de columna de agua) que como miacute-nimo requieren las redes de agua urbana o de riego Hay ademaacutes una segunda razoacuten Y es que en un nudo (el extremo de la tuberiacutea en el que se le particulariza la ecuacioacuten de Bernouilli) es imposible conocer con rigor la velocidad del flujo En estas condiciones el trinomio energeacutetico al incluir uacutenicamente la energiacutea potencial y la de presioacuten (o elaacutestica) se convierte en binomio (z + pγ) Se le denomina sencillamente altura piezomeacutetrica H La importancia de este asunto aconseja abundar en ello maacutes adelante

Teniendo presente cuanto antecede la ecuacioacuten de Bernouilli aplicada entre los puntos extremos de una tuberiacutea establece que la diferencia de energiacutea (alturas piezomeacutetricas) Hi ₋ Hj es igual a la suma de las peacuterdidas por rozamiento maacutes las peacuterdidas localizadas Una di-ferencia que altera la presencia de bombas que antildeaden (o en el caso de una turbina sustraen) energiacutea al flujo Llamando ∆Hij a la peacuterdida de carga total de esa tuberiacutea que une los nudos i y j Hbomba el aporte de energiacutea de la bomba (si existe) en el trayecto i-j se puede escribir

(63)

La caracterizacioacuten de los elementos resistentes y de las bombas se detalla en apartados posteriores Con el nom-

H H H Hi bomba j ij+ = + ∆

bre de ecuacioacuten caracteriacutestica o constitutiva del elemen-to se relaciona el caudal circulante (o alternativamente la velocidad que le corresponda) con la peacuterdida de carga (o de energiacutea) supuesto un elemento resistente o con el aporte de energiacutea en el caso de una bomba De este modo en la precedente ecuacioacuten (63) se puede sustituir ∆Hij o Hbomba por una funcioacuten del caudal de modo que la ecua-cioacuten que modela el comportamiento de una liacutenea sea en funcioacuten del elemento la que sigue

-emspEn la liacutenea soacutelo hay elementos resistentes (tuberiacutea vaacutelvulas etc) En este caso

(64)

en donde el teacutermino Rij representa aquiacute un coeficien-te de resistencia hidraacuteulica global de la liacutenea i-j dado por 8fijLijgπ2Dij

5 para un elemento tuberiacutea (ecuacioacuten de Darcy₋Weisbach) y por 8kijgπ2Dij

4 para un ele-mento vaacutelvula o cualquier otra peacuterdida de carga singular El plantear el signo de la peacuterdida de carga de la ecuacioacuten (64) en funcioacuten del caudal (y no de su cuadrado) es necesario para que tome el valor que le corresponda No conviene olvidar que en una liacutenea de una red mallada el sentido de circulacioacuten no estaacute previamente definido

-emspSi la liacutenea corresponde a un elemento bomba maacutes adelante se veraacute la ecuacioacuten queda

(65)

Caacutelculo de las peacuterdidas de carga en las tuberiacuteas

Un anaacutelisis cualitativo de la peacuterdida de energiacutea unita-ria (J = hfL) debida al rozamiento del fluido con las pa-redes de la tuberiacutea permite evidenciar su dependencia de un conjunto de paraacutemetros

-emspDos de caraacutecter geomeacutetrico que obviamente tienen unidades de longitud Por orden de importancia el diaacutemetro de la tuberiacutea (D) al que es muy sensible y la rugosidad ε la longitud media de las disconti-nuidades de la pared que la constituye (tal vez por

H H H R Q Qi j ij ij ij ijminus = =∆

H H H A BQ CQi j bombaminus = minus = minus + +( )2


ello convendriacutea hablar de aspereza de las paredes de la conduccioacuten) Y obviamente si se hace refe-rencia a la peacuterdida de energiacutea total hf en un tramo de tuberiacutea de longitud L habraacute un tercer paraacutemetro de caraacutecter geomeacutetrico que intervendraacute en su deter-minacioacuten (hf) la referida longitud L

-emspUno de caraacutecter cinemaacutetico Mayor velocidad de circulacioacuten del fluido V (que equivale a un mayor caudal Q transportado) tambieacuten genera una mayor peacuterdida de carga unitaria del sistema Si el reacutegimen de circulacioacuten del fluido es turbulento (Re gt 4000) la peacuterdida variacutea con el cuadrado de la velocidad mientras que si es laminar resulta proporcional a la primera potencia de la velocidad

-emspDos dependientes del fluido En concreto de la visco-sidad μ y del peso especiacutefico γ producto de densi-dad por la aceleracioacuten de la gravedad g es decir γ = g Alternativamente estas dos variables (μ y γ) pueden ser representadas por otras dos densidad y viscosidad cinemaacutetica (recueacuterdese = μ)

En definitiva de manera cualitativa se puede estable-cer la expresioacuten cualitativa

Algunas de estas variables intervienen en la peacuterdida de carga de manera indirecta a traveacutes del coeficiente adimensional de friccioacuten (f) Es el caso de la rugosidad y la viscosidad Otras es el caso de la velocidad y del diaacutemetro tienen mucho mayor protagonismo toda vez que de una parte influyen en el valor del coeficiente de friccioacuten y de otra tambieacuten figuran de manera expliacute-cita en la ecuacioacuten de Darcy₋Weisbach que es la que finalmente permite concretar el valor de la peacuterdida de energiacutea En definitiva

El coeficiente o factor de friccioacuten cual se ha dicho depende de cuatro variables que se pueden agrupar

(66)JhL

J D V gf= = ( )ε ν

JhL

fDVg

f= = 2

2 (67)

en dos paraacutemetros adimensionales De este modo se puede establecer

El segundo de los paraacutemetros adimensionales es el conocido nuacutemero de Reynolds Re un indicador que pondera la influencia de las fuerzas de inercia (proporcionales al cuadrado de la velocidad) con las viscosas (proporcionales a la velocidad) De otra parte el cociente entre rugosidad absoluta y diaacuteme-tro llamado rugosidad relativa εr permite valorar la influencia de la aspereza de la tuberiacutea Porque es evidente que la misma rugosidad absoluta no per-turba el flujo del mismo modo en tuberiacuteas de dife-rente diaacutemetro Cuanto mayor es su tamantildeo menos influyen las discontinuidades existentes en la pared de la conduccioacuten

Queda ya una uacutenica cuestioacuten pendiente el caacutelculo del factor de friccioacuten f Cuando el flujo es turbulento lo proporciona la ecuacioacuten (69) una relacioacuten a la que Colebrook y White llegaron por viacutea semiempiacuterica Es una expresioacuten a resolver mediante iteraciones su-cesivas toda vez que el factor de friccioacuten figura de manera impliacutecita Cual se constata figura en los dos miembros

(69)

Conviene comprobar que cuando el fluido circulante es agua el nuacutemero de Reynolds casi con seguridad indicaraacute que el reacutegimen es turbulento Al ser la viscosi-dad cinemaacutetica del agua a 20 ordmC = 10-6 m2s el nuacuteme-ro de Reynolds resulta Re = 106 D (m) V (ms) Como quiera que cuanto menor sea el diaacutemetro menor es el Reynolds la hipoacutetesis maacutes desfavorable corresponde a las tuberiacuteas maacutes estrechas que se puedan encontrar en la praacutectica las de las instalaciones interiores de una vivienda Unos 10 mm = 001 m En ellas el Reynolds resultante es 10000 V por lo que soacutelo para valores infe-riores a 04 ms seriacutea inferior a 4000 el umbral que ya no garantiza la turbulencia del flujo

f f D V fDVD f r= =

=( ) ( Re)ε ν ε

νε (68)

1 23 7

2 51 23 7

2 51f D R f fe

r= minus +

= minus +

log

log

Re

ε ε


Entre este liacutemite superior del Reynolds (4000) y el um-bral de garantiacutea del reacutegimen laminar en torno a los 2000 el flujo puede ser laminar o turbulento depen-diendo de circunstancias externas (como el nivel de las perturbaciones externas que la tuberiacutea soporte) Ya por debajo de 2000 cual se ha dicho el flujo es laminar en cuyo caso el factor de friccioacuten ya no depende de la rugosidad de la tuberiacutea siendo funcioacuten exclusiva del nuacutemero de Reynolds todo ello de acuerdo con la rela-cioacuten (610) caracteriacutestica del reacutegimen laminar conoci-da como relacioacuten de Poiseuille

La sustitucioacuten de este valor del factor de friccioacuten f en la foacutermula de Darcy₋Weisbach (relacioacuten 67) evidencia que en reacutegimen laminar la peacuterdida de carga es pro-porcional a la primera potencia de la velocidad de acuerdo con la expresioacuten (611) que sigue

razoacuten por la cual el rozamiento viscoso es el propor-cional a la primera potencia de la velocidad Sin em-bargo conviene subrayar que en un flujo turbulento y contrariamente a lo que pudiera parecer el flujo no es estrictamente hablando siempre proporcional a la velocidad Lo seriacutea si el factor de friccioacuten no depen-diese tambieacuten de la velocidad (a traveacutes del nuacutemero de Reynolds) Como quiera que al aumentar Re el factor de friccioacuten f disminuye (relacioacuten 69) es proporcional a V2-n con n tendiendo a cero a medida que la turbulen-cia aumenta y el valor de f tiende a un valor constante En la figura 2 (diagrama de Moody) se aprecia con cla-ridad la zona en la que f se independiza del valor del nuacutemero de Reynolds y soacutelo depende de la rugosidad relativa Es la parte del diagrama situada a la derecha de la zona de puntos (turbulencia completa tuberiacuteas rugosas)

La incomodidad de calcular el factor de friccioacuten f por procedimientos iterativos (relacioacuten 69) le ha otorgado

fRe VD

= =64 64ν

(610)

JhL

VDDVg gD

V kVf= = = =

64

264

2

2

2

νν

un notable protagonismo al diagrama de Moody (so-bre todo antes de que el uso de los ordenadores digi-tales se popularizara) que no es sino la representacioacuten de tal relacioacuten Cual se ve (figura 2) a partir de los dos paraacutemetros adimensionales de los que el factor de fric-cioacuten depende de inmediato se determina el valor de f En la figura se visualiza el caacutelculo para una tuberiacutea de fundicioacuten (de acuerdo con la leyenda de la figura 2 cast iron) de 600 mm de diaacutemetro con una rugosidad de 026 mm En consecuencia la rugosidad relativa seraacute 000043 Si la velocidad del fluido en la tuberiacutea es 1 ms (caudal transportado 282 ls) el nuacutemero de Reynolds es 600000 resultando un factor de friccioacuten ligeramente superior a 0017

Con el diagrama de Moody pues se soslaya con sen-cillez el tedioso caacutelculo de f por la expresioacuten de Co-lebrook y White Con todo existen excelentes simpli-ficaciones de esta expresioacuten y que permiten calcular directamente el valor del factor de friccioacuten De entre todas destaca la de Swamee y Jain (ecuacioacuten 612) que de hecho es la que utiliza EPAnet en su algoritmo de caacutelculo

(612)

La sustitucioacuten de los valores precedentes en esta ex-presioacuten proporciona efectivamente un factor de fric-cioacuten f = 00172 anaacutelogo al que se obtiene a partir del adjunto diagrama de Moody

En el diagrama de Moody (figura 2) se detallan con-viene insistir en ello cuatro zonas bien diferenciadas La primera es la que corresponde al reacutegimen laminar y viene representada por la ecuacioacuten (610) una recta debido a la escala logariacutetmica con que se representa el diagrama de Moody La segunda zona es la criacuteti-ca y corresponde al intervalo 2000 lt Re lt 4000 en que el caraacutecter del flujo no se sabe a priori cuaacutel es Ya se ha dicho que la existencia de perturbaciones externas (como vibraciones de la tuberiacutea provocadas por cargas exteriores) puede propiciar una anticipada transicioacuten al reacutegimen turbulento En cualquier caso la figura 2 asiacute lo evidencia en esta zona el factor de friccioacuten no se puede concretar

f

LogD Re

=

+

0 25

3 75 74

0 9

2

ε(611)


Tabla 1emspRugosidad de materiales

Material f Rugosidad ε (mm)

Vidrio plaacutestico 0 0Hormigoacuten 0003 - 003 09 - 9Madera 00016 05Caucho suavizado 0000033 001Tuberiacutea de cobre o latoacuten 0000005 00015Hierro fundido 000085 026Hierro galvanizado 00005 015Hierro forjado 000015 0046Acero inoxidable 0000007 0002Acero comercial 000015 0045

La tercera zona es la de transicioacuten En ella el flujo ya es turbulento pero cual se ve el factor de friccioacuten f es muy sensible al valor del nuacutemero de Reynolds (pieacutensese en la escala logariacutetmica del diagrama) disminuyendo de

manera notable su valor Es en esta zona en la que la peacuterdida de carga no es proporcional al cuadrado de la velocidad ya comentada anteriormente Por uacuteltimo se halla la zona turbulenta en la que el factor de fric-cioacuten tiende a independizarse del nuacutemero de Reynolds y praacutecticamente es funcioacuten exclusiva de la rugosidad particularmente a medida que su valor aumenta En el diagrama de Moody estaacute representada por las liacuteneas horizontales en las que el factor de friccioacuten cualquiera sea el nuacutemero de Reynolds siempre es el mismo De este modo a cada rugosidad relativa le corresponde un valor del factor de friccioacuten

Ya para concluir comentar que existen otras expresio-nes que permiten calcular el factor de friccioacuten Entre todas ellas destacan las dos que tambieacuten contempla el programa EPAnet (ver en las opciones Hidraacuteulicas el desplegable foacutermula de peacuterdidas) Ademaacutes de la Darcy₋Weisbach (que en el programa figura como

Figura 2emspenspDiagrama de Moody para el caacutelculo del factor de friccioacuten

00008

000001

00000500001000020000400006

00010002

0004000600080010015002

003004005007

008009

01

006

005

004

003

0025

002

0015

00100090008

108107106105104103

Turbulencia completa tubos rugososFlujo

laminarZona criacutetica

Zona transicioacuten

Flujo laminar

f Dε

0000001Dε =

0000005Dε =

tubos lisos

Re

f = 64 Re


D₋W) otras dos se contemplan La de Hazen Williams (H₋W en EPAnet) que es la expresioacuten que habitual-mente se utiliza en los USA y en el Reino Unidos (en EPAnet es la primera opcioacuten) Su sistema de unidades es el sajoacuten (y no en el SI habitual en toda Europa ex-cepcioacuten hecha del Reino Unido) La tercera es la de Chezy₋Manning (C₋M en EPAnet) y que es ya se ha visto la maacutes habitual en canales Pero tambieacuten se utili-za en tuberiacuteas a presioacuten

Peacuterdidas de carga localizadas

Aunque en diaacutemetros pequentildeos se pueden tender lon-gitudes notables de tuberiacuteas de plaacutestico sin necesidad de recurrir a accesorios de unioacuten (un tubo de notable longitud se enrolla en un carrete) a partir de determi-nados diaacutemetros en tuberiacuteas de plaacutestico y siempre en el resto de materiales (fundicioacuten acero hormigoacutenhellip) las conducciones se fabrican en tubos generalmente de 6 m de longitud que posteriormente hay que enla-zar con juntas y uniones para adecuar el tendido de la conduccioacuten a las necesidades del trazado A tal efecto asiacute como para cambiar de diaacutemetro se necesitan di-versos accesorios En ellos se generan peacuterdidas que se denominaraacuten localizadas

Estos elementos son absolutamente necesarios Unio-nes codos (de aacutengulos diversos) conos de reduccioacuten que permiten adecuar el diaacutemetro de la conduccioacuten a las necesidades tes que permiten dividir una tube-riacutea de notable diaacutemetro en otras de menor entidad y en fin entronques de las tuberiacuteas en los depoacutesitos de alimentacioacuten del sistema son solo algunos de la infini-dad de elementos que en la praacutectica se encuentran Y a todos estos elementos complementarios auacuten hay que antildeadir las vaacutelvulas de corte y regulacioacuten que permiten regular el flujo seguacuten interese o en fin variar el caudal circulante asiacute como otros muchos tipos de vaacutelvulas En definitiva un sistema hidraacuteulico a presioacuten lo confor-man ademaacutes de tramos rectos de tuberiacuteas un sinfiacuten de elementos complementarios y vaacutelvulas

En todos estos elementos el flujo se perturba (en ma-yor o menor medida seguacuten el elemento) y por ello se genera una peacuterdida de energiacutea localizada en sus in-mediaciones De ahiacute el nombre de peacuterdida localizada tambieacuten en ocasiones denominada perdida menor (en contraposicioacuten a las peacuterdidas por friccioacuten en las tube-

riacuteas generalmente llamadas mayores y que ya se han explicado en el epiacutegrafe precedente) Conviene con todo subrayar que el teacutermino peacuterdida menor es en al-gunas ocasiones contradictorio porque estas peacuterdidas pueden superar a las mayores Pero lo cierto es que es un teacutermino muy utilizado y que por tanto conviene conocer

Estas peacuterdidas se expresan siempre como una frac-cioacuten de altura de velocidad (V22g) lo que supone ad-mitir que en estos elementos el flujo es turbulento Si no se indica lo contrario esta fraccioacuten se refiere a la al-tura de velocidad del diaacutemetro nominal del elemento que en el caso por ejemplo de vaacutelvulas y codos estaacute bien definido Si se tiene un elemento que une dos secciones diferentes (como los estrechamientos y en-sanchamientos a la salida y llegada de las tuberiacuteas a los depoacutesitos o los conos de reduccioacuten) casi siempre viene especificado el diaacutemetro de la seccioacuten a la que estaacute referida la peacuterdida Por lo general es la seccioacuten de menor diaacutemetro y en consecuencia la de mayor velocidad Se veraacute en algunos casos (ensanchamien-to y estrechamiento bruscos) que a continuacioacuten se presentan

Figura 3emspVisualizacioacuten de turbulencias (peacuterdidas localizadas)emspEn diferentes codos de 90 ordm (izq)En contraccioacuten y ensanchamiento (der)

Las figuras 3 y 4 muestran las liacuteneas de corriente de algunos de estos elementos perturbadores del flujo En la parte derecha de la figura 3 se muestran cuatro codos de 90ordm con diferentes peacuterdidas localizadas de-pendientes de la ejecucioacuten del cono En la parte su-perior se ven codos sin aristas en los que se aprecia que el flujo presenta muchas menos turbulencias que cuando no se suprimen Y auacuten se pueden disminuir


estas peacuterdidas introduciendo perfiles que contribuyan a que el flujo se adapte mucho maacutes al contorno una solucioacuten a la que se recurre excepcionalmente en las tuberiacuteas de aspiracioacuten de las bombas en las que existe riesgo de cavitacioacuten y por tanto es necesario reducir las peacuterdidas tanto como se pueda A la izquierda de la figura 3 se muestra un estrechamiento (parte inferior) y un ensanchamiento (parte superior) Con claridad se aprecia que las peacuterdidas seraacuten mayores en este segun-do caso toda vez que las turbulencias que se generan tambieacuten lo son De hecho la modelacioacuten de las peacuterdi-das por un ensanchamiento las proporciona la relacioacuten (613) donde la seccioacuten 1 es la de aguas arriba del flujo es decir la maacutes estrecha

Por otra parte la expresioacuten que permite el caacutelculo de una contraccioacuten (Streeter 1963) es

siendo V2 la velocidad aguas abajo (la mayor pues es un estrechamiento) y Cc el coeficiente de contraccioacuten de la vena fluida dependiente de la relacioacuten de aacutereas Lo detalla la tabla 2 que fue el propio Weisbach quien hace maacutes de 150 antildeos tras un histoacuterico trabajo experi-mental la publicoacute

Tabla 2emspValor del coeficiente de contraccioacuten en diferentes estrechamientos bruscos

A2A1 01 02 03 04 05Cc 0624 0632 0643 0659 0681

A2A1 06 07 08 09 10Cc 0712 0755 0813 0892 10

Es faacutecil aplicando las expresiones (613) y (614) con-firmar que la peacuterdida de energiacutea es mayor en un en-sanchamiento que en una contraccioacuten Por ejemplo supoacutengase un brusco cambio de diaacutemetro de 200 mm a 400 mm siendo el caudal circulante de 100 ls Las

h Vg

AAe = minus

1

21

2

2

21 (613)

h Vg Cc

c

= minus

22 2

21 1 (614)

velocidades en las dos secciones correspondientes son 318 ms y 080 ms Una relacioacuten de aacutereas de 025 indica que el coeficiente de contraccioacuten de 0638 al que le co-rresponde (ecuacioacuten 614) una peacuterdida localizada en el ensanchamiento he = 029 m Sin embargo con ideacutentica relacioacuten de secciones la peacuterdida en la contraccioacuten es hc = 017 m lo que confirma numeacutericamente lo que en la figura 3b se visualiza perfectamente Conviene decir que las diferencias crecen a medida que el cambio es mayor llegando a coincidir cuando la relacioacuten de aacutereas es la unidad No puede ser de otro modo pues en este caso no hay ni ensanchamiento ni estrechamiento La seccioacuten es la misma y en consecuencia la peacuterdida me-nor como tal es nula

La figura 4 visualiza las liacuteneas de corriente para dife-rentes modos de entroncar una tuberiacutea en un depoacutesito De entre los tres casos de la izquierda claramente se observa que es el inferior el maacutes desfavorable (una co-nexioacuten oblicua que obliga al fluido a cambios de direc-cioacuten muy bruscos) mientras el maacutes favorable corres-ponde a la embocadura gradual Por uacuteltimo el entron-que recto superior se puede asimilar a una contraccioacuten brusca con una relacioacuten de aacutereas igual a 0 toda vez que A1 es el aacuterea del depoacutesito que se puede suponer (frente a A2) infinita

Figura 4emspVisualizacioacuten de las peacuterdidas localizadas en diferentes entronques depoacutesito - tuberiacutea

De otra parte las entradas de la derecha (el tubo in-gresa) en el interior del depoacutesito conocidas como co-nexiones Borda (en honor del hidraacuteulico franceacutes que las estudioacute) proporciona peacuterdidas superiores a las del


entronque enrasado al depoacutesito Las turbulencias exis-tentes asiacute lo demuestran

Con la excepcioacuten de las vaacutelvulas estos elementos com-plementarios son todos estaacuteticos por lo que una cons-tante k adimensional basta para determinar las peacuterdi-das localizadas hL que introducen (hL = k V22g) La ta-bla 3 es la que para valorar el comportamiento de algu-nos componentes incluye el manual de EPAnet Cual se ve contempla vaacutelvulas pero siempre indicando su posicioacuten Tambieacuten entre otras detalla las peacuterdidas en ensanchamiento y estrechamiento bruscos que se acaban de analizar con maacutes detalle Conviene subrayar al respecto dos puntos De una parte se constata que en efecto las peacuterdidas en un ensanchamiento superan las de un estrechamiento Y de otra que soacutelo se aportan los valores maacuteximos de estas peacuterdidas Y asiacute si en la relacioacuten (614) ₋ensanchamiento₋ se hace la seccioacuten A2 = infin (descarga en un depoacutesito) el valor de k es la unidad justo el que figura en la tabla adjunta que sigue (tabla 3)

Tabla 3emspCoeficientes de peacuterdidas menores que figuran en el manual de EPAnet

Elemento k

Vaacutelvula de globo completamente abierta 100Vaacutelvula de aacutengulo completamente abierta 50Vaacutelvula de retencioacuten tipo clapeta 25Vaacutelvula de compuerta completamente abierta 02Codo radio de curvatura pequentildeo 09Codo radio de curvatura mediano 08Codo radio de curvatura grande 06Codo (45ordm) 04Inversioacuten de sentido (curva 180ordm) 22T estaacutendar (flujo recto) 06T estaacutendar (con variacioacuten de la direccioacuten del flujo) 18Estrechamiento brusco 05Ensanchamiento brusco 10

Sin embargo y cual se ha dicho las vaacutelvulas presentan unos coeficientes de peacuterdidas menores variables con el grado de apertura siendo el valor maacuteximo de dicho coeficiente el que corresponde al de la vaacutelvula cerrada (k = infin) y el miacutenimo el de vaacutelvula abierta Unas vaacutelvulas que se pueden clasificar bien atendiendo al obturador que controla el paso del flujo a su traveacutes (compuerta ma-riposa bola globohellip) bien al cometido que se le encarga

(seccionamiento regulacioacuten reduccioacuten de la presioacuten limi-tacioacuten de caudal mantenimiento de la presioacuten etc)

Figura 5emspCoeficientes de peacuterdidas menores en funcioacuten de su apertura (vaacutelvula de mariposa)

La tabla 4 detalla numeacutericamente la misma informacioacuten

Tabla 4emspCoeficientes de peacuterdidas menoresen funcioacuten de su apertura (vaacutelvula de mariposa)

Apertura (ordm) 10 15 20 225 30 40 45k 108408 25524 9147 6009 2154 772 507

Apertura (ordm) 50 60 675 70 75 80 90k 348 182 119 105 082 065 043

Figura 6emspVaacutelvula de mariposa Central hidroeleacutectrica de Yagisawa (Japoacuten)

No hay espacio para abundar en estos detalles Pero en cualquier caso y para aclarar estos conceptos sir-

100000

90

1000

010

k

GA (ordm)

80706050403020100


va de ejemplo una de las vaacutelvulas maacutes utilizadas (la de mariposa figura 6) cuya coeficiente k en funcioacuten de su grado de apertura (medido por el aacutengulo que forma el eje del disco de obturacioacuten con la seccioacuten recta del tubo que la alberga) se da en la tabla 4 Cuando estaacute abierta (θ = 90ordm) el valor de k es miacutenimo Al comienzo del cierre el valor de k aumenta muy poco y soacutelo al final el aumen-to es significativo (observar figura 5 que la escala de ordenadas es logariacutetmica)

Finalmente conviene referirse a un modo alternativo de contabilizar las peacuterdidas localizadas de un ele-mento complementario Es la longitud equivalente Le igual al tramo de tuberiacutea ficticia que genera la misma peacuterdida de carga que el elemento en cuestioacuten Obvia-mente soacutelo tiene sentido en elementos estaacuteticos toda vez que una vaacutelvula dariacutea lugar a diferentes Le en fun-cioacuten de su grado de apertura Su caacutelculo es inmediato En efecto refiriendo ambas peacuterdidas a la velocidad de la tuberiacutea en cuestioacuten e igualando sus valores

resulta la equivalencia

Un valor que no suele ir maacutes allaacute de unas decenas de metros En efecto para la contraccioacuten brusca (k = 1) desde un depoacutesito a una tuberiacutea de 400 mm de diaacuteme-tro y con un coeficiente de friccioacuten f = 002 la longitud equivalente es 20 m Con todo y ya para concluir con-viene hacer al respecto dos comentarios En primer lu-gar que para una tuberiacutea dada (D) no hay una relacioacuten biuniacutevoca perfecta entre Le y k pues en ella interviene el coeficiente de friccioacuten funcioacuten del flujo a traveacutes del nuacutemero de Reynolds Y aunque es cierto que la horqui-lla de variacioacuten es estrecha cual se ha dicho la corres-pondencia no estaacute completamente cerrada En segun-do lugar indicar que se pueden incluir en EPAnet las peacuterdidas localizadas a lo largo de un tramo de tuberiacutea bien incluyendo el valor de k bien aumentando arti-ficialmente su longitud Esta es una solucioacuten menos

fLDVg

k Vg

e2 2

2 2= (615)

L k Dfe = (616)

recomendable pues distorsiona la realidad fiacutesica del conducto no deja de ser un modo un tanto ficticio De ahiacute que conviene utilizar siempre el valor de k Con todo en la praacutectica hay una excepcioacuten que se estudia maacutes adelante (en el epiacutegrafe caracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacuten) las vaacutelvulas de seccioacuten de paso es variable

Finalmente indicar que con las grandes posibilidades que ofrece internet hoy no tiene sentido incluir tablas con las constantes de los innumerables elementos que en un sistema hidraacuteulico a presioacuten se pueden encon-trar Y aunque hasta hace poco era muy frecuente acabar un epiacutegrafe como este antildeadiendo como anexo una infinidad de tablas y aacutebacos hoy toda esta infor-macioacuten puede encontrarse en la red

Liacutenea de altura geomeacutetrica piezomeacutetrica y total

En el transporte de fluidos a presioacuten ya se ha visto las tres formas baacutesicas de almacenar la energiacutea hidraacuteu-lica son posicional elaacutestica (o de presioacuten) y cineacutetica Ademaacutes loacutegicamente de la teacutermica cuyo papel ya se ha visto en temas precedentes en hidraacuteulica es muy menor A la suma de las tres formas baacutesicas de ener-giacutea hidraacuteulica se la denomina trinomio de Bernouilli Expresada en energiacutea por unidad de peso (unidades de longitud) es

Si durante el movimiento del fluido no hubiese que vencer un rozamiento el trinomio de Bernouilli se mantendriacutea constante Pero con friccioacuten o sin ella puede aumentar un teacutermino a costa de otro De hecho en un flujo a presioacuten el fluido puede ascender por una tuberiacutea porque la energiacutea elaacutestica que almacena se va transformando en posicional (o gravitacional) Y vice-versa si un fluido desciende por una tuberiacutea de pre-sioacuten (es el caso de una tuberiacutea forzada en un aprove-chamiento hidroeleacutectrico) parte de la energiacutea potencial que almacena se va transformando en presioacuten Estos intercambios son posibles gracias a la capacidad de al-macenar energiacutea elaacutestica tanto por parte del fluido (re-

B z p Vge = + +

γ

2

2(617)


y la altura de presioacuten (altura en EPAnet una termino-logiacutea que no es rigurosamente correcta)

Figura 7emspImpulsioacuten de perfil irregular (la propia con-duccioacuten es la liacutenea de altura geomeacutetrica)

Y no lo es porque ya se ha visto que la altura total la proporciona el trinomio de Bernouilli (relacioacuten 617) para lo que hay que sumar a la piezomeacutetrica el teacutermino cineacutetico Pero llegados a este punto convendraacute recor-dar la hipoacutetesis ya realizada de que el tercer sumando del trinomio es en la praacutectica despreciable algo que ya ha sido debidamente justificado Una liacutenea la de alturas totales que soacutelo difiere de la piezomeacutetrica en el teacutermino cineacutetico y cuyo intereacutes praacutectico es muy limi-tado En cualquier caso conviene decir que esta liacutenea (que representa la energiacutea total del fluido en una sec-cioacuten recta) es en el sentido de avance del flujo siempre decreciente o a lo sumo si no hay friccioacuten o es despre-ciable horizontal

No es este el caso de las otras dos liacuteneas previamente definidas La geomeacutetrica coincide con el trazado Y ya se ha visto que si el perfil es irregular puede ascender y descender Y tambieacuten en ocasiones la piezomeacutetrica puede ascender Supuesta una tuberiacutea horizontal con un cambio de seccioacuten tal cual nos muestra la figura 6 Dado que la variacioacuten es muy gradual se supone que las peacuterdidas por friccioacuten en el ensanchamiento son des-preciables Tampoco en el tramo de tuberiacutea que por otra parte es corto Pues bien en este caso la ralentiza-

Nudo Cota (m)Embalse 1 33Nudo 3 0Nudo 4 0Nudo 5 0Nudo 6 40Nudo 7 17Embalse 2 73

43

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 043

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 0

cueacuterdese la definicioacuten de moacutedulo de compresibilidad volumeacutetrico) como de la propia tuberiacutea cuyas paredes estaacuten constituidas por materiales elaacutesticos

En cualquier caso y antes de volver sobre los alter-nativos cambios de un tipo de energiacutea (elaacutestica) en otra (posicional) o viceversa y que caracterizan los flujos a presioacuten convendraacute referirse por un momento al cuarto modo de almacenar la energiacutea que tiene un fluido Es la teacutermica destino final de las peacuterdidas de energiacutea ocasionadas por la friccioacuten Pero como quiera que cuando el fluido es incompresible los procesos teacutermicos se desacoplan de los mecaacutenicos estos anaacute-lisis no interfieren en los del propio movimiento En hidraacuteulica en cualquier caso como el calor especiacutefico del agua es muy alto sobre todo si se tiene en cuenta las cantidades de energiacutea disipada por friccioacuten las variaciones de temperatura son ya se ha visto muy pequentildeas razoacuten por la cual en la praacutectica a estos anaacute-lisis apenas se les presta atencioacuten Soacutelo en la termo hi-draacuteulica (son los flujos propios de un reactor nuclear con el objetivo fundamental de extraer el calor que en su interior se genera) los asuntos teacutermicos adquieren el maacuteximo protagonismo Pero ello queda lejos de los objetivos de este capiacutetulo

Asiacute pues se estudian los tres modos de almacenar energiacutea que caracterizan el flujo a presioacuten Y para ello se sigue su evolucioacuten a lo largo de una conduccioacuten En primer lugar contabilizando en cada seccioacuten rec-ta el primero de los sumandos (z) para asiacute obtener la liacutenea de altura geomeacutetrica Como es loacutegico esa liacutenea coincide con el eje de la conduccioacuten Y asiacute (figura 7) la liacutenea de altura geomeacutetrica del bombeo de una tuberiacutea de perfil irregular coincide con su propio trazado

Si en cada seccioacuten recta de la tuberiacutea a la altura geomeacute-trica se le suma la altura de presioacuten del fluido en su eje se iraacute obteniendo la altura piezomeacutetrica (H = z + pγ) de la tuberiacutea Se la denomina de este modo porque es la altura hasta la que ascenderiacutea el agua en un piezoacute-metro (tubo vertical) montado en cada una de las sec-ciones rectas de la tuberiacutea De hecho agujereando una tuberiacutea con agua a presioacuten en su interior el chorro que saldriacutea tambieacuten alcanzariacutea esta altura despreciando la friccioacuten del chorro con el aire rozamiento que claro estaacute evita el piezoacutemetro EPAnet una vez ha realiza-do los calculos permite de inmediato dibujar la liacutenea de alturas piezomeacutetricas Tan soacutelo hay que sumar cota


cioacuten del flujo propicia un crecimiento de la presioacuten en el sentido de aguas abajo de manera que se obtiene una liacutenea de alturas piezomeacutetricas creciente Un caso muy bien tipificado La brusca ralentizacioacuten del flujo posibi-lita que la presioacuten se recupere y que por tanto la altura piezomeacutetrica aumente Una situacioacuten muy tiacutepica en la descarga de las vaacutelvulas reductoras de presioacuten

Figura 8emspCono de reduccioacuten como ejemplo de liacutenea de alturas piezomeacutetricas creciente

En general y salvo que haya recuperacioacuten de la pre-sioacuten a costa de energiacutea cineacutetica o una bomba que aporte energiacutea la liacutenea de alturas piezomeacutetricas siem-pre es decreciente En lo que sigue se analiza la que corresponde a la impulsioacuten de la figura 7 problema resuelto con el programa EPAnet Conviene decir que la vaacutelvula de retencioacuten que siempre debe instalarse a la salida de la bomba (especialmente cuando como en este caso el depoacutesito superior se alimenta por su par-te inferior) para centrarnos en lo que conviene no se ha representado Si se le suponen unas peacuterdidas por friccioacuten casi despreciables su contribucioacuten a la defi-nicioacuten de las liacuteneas que nos ocupan es irrelevante No interviene en la geomeacutetrica y no modifica el valor de la altura piezomeacutetrica en los nudos que interesan

Los restantes datos de la instalacioacuten (ademaacutes de las co-tas de los nudos ya detalladas y que definen la liacutenea geomeacutetrica) son los que siguen De una parte la bomba cuyo oacuteptimo de funcionamiento es Q = 200 ls y H = 50 m De otra la vaacutelvula de regulacioacuten (de mariposa como la de la figura 6 y cuyo coeficiente de peacuterdidas depen-diente de su grado de apertura detallado en la figura 5)

La liacutenea de alturas piezomeacutetricas que se muestra co-rresponde a dos situaciones diferentes En primer

1 2 1 2 1 2 1 2z z V V p p H H= rarr gtgt rarr ltlt rarr ltlt

11 1

pH zγ

= + 22 2

pH zγ

= +

1 2

lugar se simula el funcionamiento con la vaacutelvula de regulacioacuten (300 mm) completamente abierta (su cons-tante de peacuterdidas ver tabla 3 es k = 043) y despueacutes se cierra casi por completo (aacutengulo de apertura igual a 10ordm k = 108408) El resto de datos de la red (caracte-riacutesticas de las tuberiacuteas numeracioacuten de acuerdo con la figura 7) son las que se adjuntan y obviamente son los mismos en ambos casos

Tabla 5emspCaracteriacutesticas de las tuberiacuteas de la figura 7

ID Liacutenea Longitud (m)

Diaacutemetro (mm)

Rugosidad (mm)

Tuberiacutea 1 1000 400 01Tuberiacutea 1 1000 350 01Tuberiacutea 1 2000 300 01Tuberiacutea 1 3000 350 01

La liacutenea de alturas piezomeacutetricas se representa a par-tir de la solucioacuten del problema con EPAnet En efecto estableciendo Bernouilli entre el depoacutesito de cabecera nudo (1) y el nudo (3) ubicado aguas arriba de la aspi-racioacuten de la bomba y como siempre despreciando los teacuterminos cineacuteticos la diferencia de alturas piezomeacutetri-cas coincide con las peacuterdidas en ese tramo de tuberiacutea Es decir

que evidencia que la peacuterdida de carga unitaria en ese tramo J1 es igual a la pendiente de la liacutenea de alturas piezomeacutetricas de acuerdo con la relacioacuten

La figura 9 muestra como para un mismo caudal a mayor diaacutemetro de la conduccioacuten menor pendiente de la liacutenea piezomeacutetricas La pendiente maacutes suave co-rresponde a la tuberiacutea 1 (D1= 400 mm) y la maacutexima la tuberiacutea 3 (D1= 300 mm) con una pendiente intermedia en los dos tramos restantes (2 y 4) tal cual corresponde

B B H H f LDVge e p p1 3 1 3

211

1

12

( ) minus ( ) ( ) minus ( ) = (618)

H HL

fDVg

p p1 321

1

1

12( ) minus ( )

= (619)


a un diaacutemetro intermedio Conviene subrayar que la figura estaacute bien escalada en ordenadas aunque no en abscisas por lo que la figura es soacutelo orientativa Tam-bieacuten se observa como la altura que aporta la bomba queda claramente reflejada con la subida de la liacutenea de alturas piezomeacutetricas entre los nudos de aspiracioacuten e impulsioacuten (nudos 3 y 4) de la bomba Finalmente se ve como la vaacutelvula reguladora de caudal apenas in-troduce peacuterdidas en el sistema (los nudos 4 y 5 tienen praacutecticamente la misma altura piezomeacutetrica)

Figura 9emspLiacutenea de alturas piezomeacutetricas de la impulsioacuten de la figura 7 (Vaacutelvula abierta)

Finalmente la figura 10 muestra la liacutenea de alturas piezomeacutetricas pero con la vaacutelvula de regulacioacuten casi cerrada (α = 10ordm) La uacutenica variacioacuten en los datos de partida del sistema es cambiar la constante de peacuterdi-das de la vaacutelvula 6 (figura 7) desde un valor casi nulo (k = 043) a un valor notable (k = 108408) La respuesta que se obtiene es desde la oacuteptica hidraacuteulica de lo maacutes previsible La vaacutelvula introduce en el sistema una re-sistencia muy superior lo que a la postre se traduce tanto en aumentar la altura de impulsioacuten de la bomba como en una reduccioacuten del caudal La curva caracte-riacutestica de la bomba asiacute lo exige En concreto un caudal inicial de 9832 ls se reduce hasta 3204 ls La liacutenea de alturas piezomeacutetricas de la figura 10 reproduce este comportamiento Conviene subrayar que

-emspApenas hay peacuterdida de carga entre el depoacutesito in-ferior representado por un embalse y el nudo de aspiracioacuten (el caudal es ahora mucho menor)

3170 m

9434 m 9423 m9170 m

8063 m 7300 m

3300 m

z = 0

-emspLa vaacutelvula de regulacioacuten introduce una peacuterdida de carga significativa (hv = 2353 m)

-emspLa altura que genera la bomba aumenta en casi 4 m (para vencer la superior resistencia) ya que aunque la friccioacuten en las tuberiacuteas disminuye el aumento de la peacuterdida a traveacutes de la vaacutelvula compensa la dis-minucioacuten holgadamente

-emspLas pendientes de las liacuteneas piezomeacutetricas se sua-vizan notablemente como consecuencia de circular un caudal menor y por tanto la peacuterdida de carga unitaria (proporcional al cuadrado del caudal) es ahora mucho menor

Figura 10emspLiacutenea de alturas piezomeacutetricas de la impulsioacuten de la figura 7 (Vaacutelvula casi cerrada)

Otro punto merece destacarse La presioacuten que soporta en cada punto la tuberiacutea es igual a la ordenada existen-te entre la liacutenea de alturas piezomeacutetricas y la geomeacute-trica A partir de las figuras 9 y 10 se concluye que el tramo final de la tuberiacutea 4 es el que debe soportar la menor presioacuten Una informacioacuten muy relevante para

-emspPoder concretar correctamente el espesor (que no el diaacutemetro) de la conduccioacuten

-emspIdentificar los puntos conflictivos en los que la tu-

beriacutea puede entrar en depresioacuten

En efecto las presiones que soporta una tuberiacutea son po-sitivas siempre que la liacutenea de altura piezomeacutetrica dis-

3284 m

9908 m

7555 m 7524 m7392 m 7300 m

3300 m

z = 0


curra por encima de la liacutenea de altura geomeacutetrica Pero claro si la liacutenea piezomeacutetrica corta a la liacutenea geomeacutetrica y pasa a discurrir por debajo (en la figura 11 es tramo de tuberiacutea a la derecha) en esa parte de la tuberiacutea en concreto habraacute una presioacuten inferior a la atmosfeacuterica Y si la distancia entre liacuteneas llegara a superar los 1033 m el sistema jamaacutes podriacutea funcionar porque en ese punto alto antes de alcanzarla el fluido cavitaraacute y al hervir la columna liacutequida se interrumpiraacute y al tiempo el flujo se bloquearaacute En las tuberiacuteas de perfil irregular con maacutexi-mos relativos se pueden presentar estas situaciones Uno de los casos maacutes conocidos es el del sifoacuten La so-lucioacuten de estos problemas siempre pasa por aplicar el balance de energiacuteas entre los puntos inicial y final del flujo para posteriormente aplicarlo entre el punto ini-cial de partida y el punto donde se encuentra el maacutexi-mo relativo y comprobar que la presioacuten en este punto es aceptable

Figura 11emspTuberiacutea de perfil irregular conpotenciales depresiones que pueden bloquear el flujo

La adjunta figura 11 muestra una tuberiacutea de perfil irregular con un diaacutemetro constante toda vez que la liacutenea de alturas piezomeacutetricas tiene una pendiente constante Tal cual se nos muestra esa tuberiacutea ten-driacutea serios problemas para funcionar pues gran par-te de la conduccioacuten estaraacute sometida a depresiones La solucioacuten vaacutelida consistiriacutea en proyectar el primer tramo con un diaacutemetro grande de manera que la liacutenea piezomeacutetrica estuviese por encima del punto alto Y una vez alcanzado toda vez que se dispo-ne de un gran desnivel proyectar la segunda par-te de la conduccioacuten con un diaacutemetro muy inferior De este modo la liacutenea de alturas piezomeacutetricas seriacutea casi horizontal hasta llegar al maacuteximo relativo de la

Maacutex depresioacuten = -1033 m

Presiones negativas

Presiones positivas

Liacutenea de alturas geomeacutetricas


conduccioacuten y a partir de ese punto caeriacutea brusca-mente hasta alcanzar el depoacutesito inferior Alternati-vamente se puede disponer una tuberiacutea de diaacutemetro constante y una vaacutelvula parcialmente cerrada en su extremo inferior Un anaacutelisis de costes nos indicariacutea cuaacutel es la solucioacuten maacutes conveniente y que en gene-ral seriacutea la primera

Caracterizacioacuten de otros elementos de los sistemas a presioacuten

En los sistemas hidraacuteulicos a presioacuten ademaacutes de las tuberiacuteas hay otros elementos que juegan un papel muy relevante En concreto los que contempla el pro-grama EPAnet son

-emspEmbalses-emspDepoacutesitos-emspVaacutelvulas-emspBombas

Existen obviamente otros elementos Comenzando por las turbinas maacutequinas hidraacuteulicas que al contra-rio que las bombas permiten trasformar energiacutea hi-draacuteulica en energiacutea mecaacutenica Sin embargo la oacuteptica del presente curso se centra en los que incluye EPAnet El primero de ellos el embalse es el maacutes faacutecil de carac-terizar Al tener una gran capacidad de almacenamien-to su nivel con independencia del agua que salga o entre en el mismo se va a mantener siempre constante De ahiacute que el uacutenico dato relevante necesario es la altu-ra de su superficie libre Sin embargo un depoacutesito siacute puede llenarse y vaciarse De ahiacute que requiera ademaacutes del valor de su seccioacuten recta cuatro alturas Dos son de caraacutecter intriacutenseco (la cota de su solera y la altura maacutexima del depoacutesito) y otras dos funcionales (el nivel miacutenimo para garantizar la existencia de una reserva de agua y el maacuteximo hasta el que se quiera llenar) La ecuacioacuten de continuidad (caudal entrante menos saliente igual a variacioacuten de volumen por unidad de tiempo en el depoacutesito) permite en cada momento a EPAnet efectuar el seguimiento de la evolucioacuten del nivel de agua

Los siguientes elementos las vaacutelvulas son los que maacutes variantes presentan Cual se ha dicho pueden clasifi-carse atendiendo a dos criterios El primero construc-tivo y el segundo por la misioacuten que realizan Pero en


este curso preocupa su caracterizacioacuten hidraacuteulica que se lleva a cabo con la constante de peacuterdidas k cuyo va-lor cual se ha visto depende de su mayor o menor grado de apertura Es el fabricante de la vaacutelvula el responsable de proporcionar su valor Y si como en el caso de la vaacutelvula de mariposa la posicioacuten de su obturador la fija un aacutengulo lo que importa conocer es (ver figura 5) la relacioacuten k = k(θ)

Tampoco es misioacuten detallar ahora su clasificacioacuten aten-diendo al cometido que se les asigna Soacutelo se enuncian los cuatro objetivos que con maacutes frecuentemente se les encomienda Son

-emspVaacutelvulas de retencioacuten Soacutelo permiten el paso del flujo en un sentido y se instalan para evitar flujos de retorno que por ejemplo propicien el vaciado de un depoacutesito cuando se le alimenta por su parte inferior Por su singularidad EPAnet no las con-templa como tales vaacutelvulas Permite introducirlas como una tuberiacutea singular con su correspondiente constante de peacuterdidas

-emspVaacutelvulas de seccionamiento o corte Son vaacutelvulas concebidas para actuar como todo o nada general-mente para aislar un tramo de tuberiacutea una manio-bra necesaria para realizar unas obras o reparar una averiacutea Y de nuevo EPAnet no ha pensado en ellas como una vaacutelvula especiacutefica toda vez que deben incluirse una vez maacutes como parte de una tuberiacutea Dentro de sus propiedades es el mismo desple-gable Estado que permite introducir la vaacutelvula de retencioacuten el que permite cerrar el flujo de agua a traveacutes de esa conduccioacuten cualquiera sea el sentido de paso

-emspVaacutelvulas de regulacioacuten Si hay necesidad de variar el caudal de paso de agua a traveacutes de una conduc-cioacuten la forma maacutes sencilla de hacerlo es ya se ha visto en el punto anterior aumentar la resistencia del sistema De hecho su capacidad de regulacioacuten depende del peso de la peacuterdida de carga adicional introducida con relacioacuten a la del sistema Dicho de otro modo si la peacuterdida adicional que la vaacutelvula introduce tras un cierre parcial es con relacioacuten a la friccioacuten de la tuberiacutea poco significativa el caudal apenas variaraacute

-emspVaacutelvulas reductoras de presioacuten En ocasiones des-de un mismo punto de suministro se alimentan zonas de una ciudad situadas a diferentes niveles Una presioacuten excesiva tiene pocas ventajas y mu-chos inconvenientes Entre estos propiciar las ave-riacuteas en las tuberiacuteas y con ellas las fugas de agua del sistema aumentan En estas vaacutelvulas se fija el valor de la presioacuten a la salida (por ejemplo en 30 m) una denominada presioacuten de tarado (pt) y su misioacuten consiste en disipar el exceso de potencia igual a la caiacuteda de presioacuten entre la entrada (p1) y salida (p2 = pt)

multiplicada por el caudal que atraviesa la vaacutelvula Se tiene pues Pdis = (p1 ₋ p2) Q = Δp Q Obviamente si la presioacuten a la entrada es igual o inferior a la de tarado (p1 le pt) la vaacutelvula no actuacutea (no introduce peacuterdida de carga adicional alguna)

Antes de cerrar la referencia a las vaacutelvulas convendraacute decir que auacuten cuando en EPAnet se las caracteriza por la constante de peacuterdidas k la mayor parte de los ca-taacutelogos que en la praacutectica se manejan se refieren a su coeficiente de caudal Kv una constante que relaciona el caudal que atraviesa la vaacutelvula con la raiacutez cuadrada de la caiacuteda de presioacuten a su traveacutes Su determinacioacuten se realiza con un simple cambio de variables Para ello hay que recordar tanto la ecuacioacuten de continuidad (Q = VA) como que la relacioacuten entre la caiacuteda de pre-sioacuten a traveacutes de una vaacutelvula y la peacuterdida localizada a su traveacutes es (Δp = γhL) Tenieacutendolo todo en cuenta se puede escribir

Y a partir de esta uacuteltima relacioacuten es inmediato obtener la ecuacioacuten (621) que proporciona el valor del deno-minado coeficiente de caudal de la vaacutelvula KV

que representa la conductancia hidraacuteulica de una vaacutel-vula (inversa a la resistencia que ofrece)

h k Vg

p k QA gL = rarr

∆=

2 2

22 2γ(620)

Q K pk

Kv v= ∆ rarr =2 2gA

γQ K p

kKv v= ∆ rarr =

2 2gAγ

(621)


Tres comentarios importantes al respecto De una par-te que el coeficiente Kv es dimensional y por tanto funcioacuten de las unidades que se utilicen en el caudal y la presioacuten De otra que su valor a traveacutes de la constan-te k depende del grado de apertura de la vaacutelvula Y por uacuteltimo que mientras para una posicioacuten determi-nada el valor de k es el mismo para un tipo de vaacutelvula (cualquiera sea su diaacutemetro) no sucede lo mismo con kv que no soacutelo es funcioacuten de su apertura Tambieacuten es funcioacuten del tamantildeo de vaacutelvula (a traveacutes de A)

Por uacuteltimo las bombas son elementos muy utilizados en los sistemas a presioacuten Estas maacutequinas convierten la energiacutea mecaacutenica que reciben del motor eleacutectrico que las arrastra y la transforman en hidraacuteulica Desde la oacuteptica que aquiacute nos ocupa su comportamiento se con-creta con sus dos curvas caracteriacutesticas maacutes relevantes De una parte la que relaciona el caudal con la altura que genera Hb = Hb(Qb) y de otra la que conocido el caudal que trasiega nos indica cuaacutel es su rendimiento η = η(Qb) Y auacuten hay una tercera curva la que indica la potencia que absorbe la bomba del motor eleacutectrico Pa = Pa(Qb) Ocurre sin embargo que esta puede deter-minarse a partir de las dos precedentes teniendo en cuenta la relacioacuten

Una correspondencia que de inmediato se evidencia a partir de las tres curvas de una misma bomba deta-lladas por la figura 12 y que corresponden a la veloci-dad de rotacioacuten de 1450 rpm Y asiacute al punto destacado (Q = 330 m3h) le corresponde una altura de 52 m y un rendimiento del 81 En estas condiciones la potencia absorbida seraacute

Potencia que expresada en CV (0736 kw = 1 CV) pro-porciona 785 CV el valor que la graacutefica de potencia Pa proporciona Un punto el de mayor rendimiento que corresponde al destacado en la figura 12 y que se deno-

PQ H Q

QP Qb b b

b ba b=

sdot sdot ( )( ) = ( )γ

η(622)

P w kwa =sdot

sdot

=9810 330

360052

0 8157 73

(623)

mina punto de funcionamiento oacuteptimo Obviamente es el punto en que se desea trabaje la bomba

Figura 12emspCurvas caracteriacutesticas de una bomba

Como un caacutelculo analiacutetico exige disponer de las ecua-ciones que representan las curvas de las bombas y ge-neralmente los fabricantes proporcionan las graacuteficas de las curvas que determinan en sus bancos de ensayo hay que proceder a su ajuste analiacutetico Par ello se pro-ponen expresiones cuadraacuteticas del tipo

(624)

(625)

cuyos coeficientes a partir de los puntos de paso ex-perimentales de la bomba se determinan faacutecilmente utilizando el meacutetodo de los miacutenimos cuadrados No precisa tanta informacioacuten EPAnet ya que le basta con dar el punto de funcionamiento nominal de la bomba (el par de valores altura₋caudal deseado) y de modo automaacutetico proporciona la ecuacioacuten que modela de forma aproximada su comportamiento En cualquier caso si se dispone de las curvas reales de la bomba con todos sus puntos de paso conviene detallar mejor esta informacioacuten trasladaacutendola toda completa

Finalmente y ya para concluir conviene decir que cada vez es maacutes frecuente accionar bombas con motores

HPabsorb

REND

Hb (m)

Hb

η

Pa

55

45

35

80

60

Q (m3h) 100 200 300 400 500

120

60

408empty1504001450 rpm

H A BQ CQb b b= + + 2

ηb b bDQ EQ= + 2


eleacutectricos cuya velocidad de rotacioacuten puede regularse con variadores de frecuencia La figura 13 visualiza a traveacutes del paraacutemetro α (α = NN0) el comportamiento de una bomba a diferentes velocidades de giro N res-pecto a la nominal N0 Siendo el caudal que trasiega proporcional a la velocidad de giro y la altura a su cua-drado las ecuaciones que modelan su comportamien-to a partir de las curvas de partida (las que correspon-den a su velocidad nominal) las detalla la figura 13 Todos los puntos situados sobre paraacutebolas que pasan por el origen y correspondientes a distintas velocidades de giro tienen el mismo rendimiento Sobre ello se pro-fundizaraacute en la asignatura de maacutequinas hidraacuteulicas

Figura 13emspComportamiento de una misma bomba a distintas velocidades de giro

Anaacutelisis dimensionado y modelacioacuten de sistemas a presioacuten

Conviene diferenciar con claridad entre analizar di-mensionar y modelar sistemas hidraacuteulicos a presioacuten En el anaacutelisis el sistema hidraacuteulico estaacute completamente

B0

A0

A1

Paraacutebola de isorrendimientoH

H0

H1

A2

B1

B2

QQ0Q1

N0

N1

N2

Relacioacuten de velocidad de rotacioacuten

0

NN

α =

Curva caracteriacutestica con cambio de N0

QQ

α= 2

0

HH

α= 0η η=

2 2b b bH A B Q CQα α= + +

Leyes de semejanza para cambio de N

22b b

D EQ Qηα α

= +

definido y se trata de determinar sus prestaciones es decir en queacute condiciones se puede prestar un determi-nado servicio Es de intereacutes para por ejemplo saber si con una red existente se puede atender un crecimiento de la demanda determinado De alguacuten modo analizar equivale a verificar el funcionamiento de un sistema en determinadas condiciones de trabajo Sin embargo el dimensionado es el problema inverso y de alguacuten modo equivale a calcular los diaacutemetros a partir del trazado preestablecido de las tuberiacuteas de las deman-das a atender y de las condiciones en las que hay que hacerlo El objetivo final acostumbra a ser concretar los diaacutemetros de las tuberiacuteas de modo que se satisfagan las condiciones impuestas al menor coste posible Las primeras praacutecticas de EPAnet propuestas al alumno consisten fundamentalmente en analizar el compor-tamiento de sistemas a presioacuten Las uacuteltimas explican coacutemo disentildear un sistema hidraacuteulico a presioacuten

El disentildeo al estar mucho maacutes indefinido siempre es un problema maacutes complejo que el anaacutelisis En este uacuteltimo el ingeniero no toma decisiones Se limita a comprobar el funcionamiento de un sistema concreto El disentildeo sin embargo una vez tomada la primera de-cisioacuten sobre los diaacutemetros de las tuberiacuteas se debe ana-lizar si la seleccioacuten establecida cumple las condiciones de funcionamiento deseadas y si tal no es el caso mo-dificarla para ir convergiendo hacia ellas La solucioacuten que finalmente se concrete debe cumplir las condicio-nes de servicio prefijadas con el menor coste posible

Por uacuteltimo la modelacioacuten es reproducir correctamen-te por viacutea analiacutetica el comportamiento de un sistema real en funcionamiento La dificultad principal estri-ba en que con el paso de los antildeos las caracteriacutesticas de las tuberiacuteas se han modificado Su rugosidad por incrustaciones ha aumentado e incluso su diaacutemetro ha podido disminuir de manera notable (figura 14) Y claro estaacute estando las tuberiacuteas enterradas no es faacutecil adivinar cuaacutel es su estado real Y no soacutelo es complejo adivinar el estado real de la conduccioacuten Tambieacuten lo es conocer (tanto en el espacio como en el tiempo) las demandas reales de los abonados que no tienen por queacute coincidir con las supuestas inicialmente Todo ello hace que modelar matemaacuteticamente sistemas reales con muchos antildeos de funcionamiento sea una tarea compleja lejos del alcance de este curso Sobra con sa-ber en queacute consiste y en el intereacutes que tiene reprodu-cir matemaacuteticamente el comportamiento real de una


red En siacutentesis permite adoptar decisiones de notable riesgo minimizaacutendolos Por ejemplo ante una poten-cial averiacutea en la red definir el protocolo a seguir O bien las decisiones a tomar para mejorar la calidad del agua distribuida condicionada por el excesivo tiempo que transcurre desde que (tras potabilizarla) se inyecta en la red hasta que llega al grifo del abonado En cual-quier caso en lo que sigue se hace referencia soacutelo al anaacutelisis y al disentildeo de estos sistemas

Figura 14emspTuberiacutea muy envejecida tras deacutecadas de servicio

La creciente dificultad de estos tres procesos la eviden-cia EPAnet Porque mientras permite analizar sistemas hidraacuteulicos en reacutegimen estaacutetico (y como se veraacute cua-si estaacutetico) evitando realizar tediosos y en ocasiones inabordables caacutelculos sin ninguna restriccioacuten no se puede decir lo mismo del disentildeo o modelacioacuten Di-sentildear exige establecer estrategias maacutes o menos com-plejas y que con los anaacutelisis correspondientes vayan aproximando las soluciones tanteadas al objetivo de-seado Finalmente y desde la oacuteptica de la modelacioacuten EPAnet soacutelo es una herramienta soporte que permite diagnosticar hasta queacute punto las hipoacutetesis realizadas (sobre el estado real de la red las demandas etceacutetera) sirven para aproximar el modelo a la realidad

Por ejemplo el anaacutelisis del sistema de la figura 7 es el resultado de aplicar un balance de energiacutea entre los dos depoacutesitos O lo que es lo mismo de buscar la intersec-cioacuten de la curva motriz de la bomba y la resistente de la instalacioacuten lo que equivale a resolver graacuteficamente

(figura 14) el balance energeacutetico (ecuacioacuten de Bernoui-lli) aplicada al mismo Se tiene

(626)

Y teniendo en cuenta que B(1) ₋ B(2) = z2 ₋ z1 = 40 m = Hg

(desnivel geomeacutetrico a vencer) la suma de todas las peacuterdidas por friccioacuten (en tuberiacuteas vaacutelvulas y acceso-rios en general) es proporcional al cuadrado del caudal (KQ2) y por uacuteltimo la curva caracteriacutestica de la bomba puede escribirse en general como Hb = A + BQ + CQ2 y en particular tras el ajuste que EPAnet directamente proporciona cuando soacutelo se le suministra el punto oacutep-timo de la bomba (en este caso Qb = 200 ls y Hb = 50 m) Hb = 6667 ₋ 0004167 Q2 con Q en ls

Figura 15emspResolucioacuten graacutefica de la impulsioacuten detallada en la figura 7

La interseccioacuten de la curva motriz que proporciona la bomba (derecha de la ecuacioacuten 613) y de la resistencia (desnivel geomeacutetrico a superar maacutes las peacuterdidas por friccioacuten) del sistema (parte izquierda de la ecuacioacuten) es la solucioacuten a uno de los problemas de anaacutelisis maacutes simples que se pueden plantear Ya se ha visto como facilita EPAnet unos caacutelculos (en este caso la solucioacuten de la ecuacioacuten (613) a falta de concretar las peacuterdidas de carga en tuberiacuteas y vaacutelvulas de acuerdo con lo ex-puesto en los apartados anteriores de este capiacutetulo) cuya solucioacuten es 9832 ls cuando la vaacutelvula de maripo-sa que regula el flujo estaacute completamente abierta y que

B H Q B h Qbi

n

fi1 21

( ) + ( ) = ( ) + ( )=sum

Hbη

QQ0

H0

Hg

η0

P0Hr (Q)

Hm (Q)

η (Q)

hf = KQ2

Curva motriz

Curva resistente


se reduce hasta 3204 ls cuando la vaacutelvula se cierra casi por completo (α = 10ordm) Los problemas de disentildeo ya se ha dicho son maacutes com-plejos No se trata de resolver sin maacutes un problema hi-draacuteulico Previamente hay que situar la instalacioacuten en el marco en que va a funcionar lo que sin duda condicio-na su disentildeo Se ha comentado que el rango razonable de la velocidad de circulacioacuten del agua por una tuberiacutea es amplio (Vmin = 05 ms Vmax = 20 ms) valores a los que cuando se ha de trasegar un caudal Q les corresponden diaacutemetros diferentes (menor valor cuanto mayor es la inversioacuten) Pues bien disentildeo es el proceso que debe resolver la inconcrecioacuten Para ello establecidas las con-diciones de servicio a cumplir debe definirse la insta-lacioacuten maacutes econoacutemica O dicho de otro modo hay que maximizar la relacioacuten coste ndash beneficio un principio que jamaacutes el buen ingeniero debe olvidar Debe ser ca-paz de disentildear una instalacioacuten fiable y que cumpla con las exigencias requeridas al menor coste posible Por ejemplo y volviendo de nuevo al bombeo de la fi-gura 7 la tuberiacutea de impulsioacuten tiene tres diaacutemetros di-ferentes (400 mm el primer tramo 350 mm el segundo y el cuarto y 300 mm el tercero) No es una solucioacuten en principio razonable Si se ha considerado de este modo es para visualizar una liacutenea de alturas piezomeacutetricas con pendientes diferentes (pendiente hidraacuteulica) tan-to menor cuanto mayor es el diaacutemetro Pero los tres valores son en principio razonables dado que para el maacuteximo caudal circulante (9830 ls) las velocidades correspondientes son 078 ms 102 ms y 139 ms to-das ellas como no podiacutea ser de otro modo dentro del intervalo razonable Pero en la praacutectica hay que de-cidirse por uno de ellos porque ya se ha dicho no es razonable desde un punto de vista praacutectico cambiar de diaacutemetro El disentildeo precisamente consiste en decan-tarse por uno de ellos Y este debe ser el que presente la mejor relacioacuten costebeneficio

La solucioacuten debe pues optimizar todos los costes que en-tran en juego En este caso concreto los energeacuteticos y los de amortizacioacuten de la tuberiacutea supuesto que la bomba y los dos depoacutesitos son los mismos para cualquier diaacutemetro De no ser asiacute habriacutea que incluir las variaciones en el anaacutelisis En cualquier caso el anaacutelisis del problema nos conduce siempre a una situacioacuten como la que presenta la figura 16 A menor diaacutemetro maacutes friccioacuten y mayores costes energeacute-ticos asociados pero menor inversioacuten en tuberiacuteas El coste

anual total (energiacutea maacutes inversioacuten) presentaraacute un miacutenimo siempre es decir una solucioacuten ldquooacuteptimardquo

Figura 16emspConcepto de diaacutemetro maacutes econoacutemico una etapa esencial del disentildeo

Es importante aclarar que se suelen sumar los costes energeacuteticos anuales (euroantildeo) con los de amortizacioacuten de las inversiones (tambieacuten euroantildeo) que se calculan a partir del coste de inversioacuten teniendo en cuenta la amortizacioacuten de la misma a lo largo de los antildeos (Cos-tes de amortizacioacuten es igual al factor de amortizacioacuten por el coste de inversioacuten) Evidentemente el factor de amortizacioacuten menor que la unidad seraacute menor cuan-to mayor sea el plazo de amortizacioacuten mientras que los costes energeacuteticos seraacuten maacutes importantes a medi-da que aumenten las horas anuales de utilizacioacuten de la instalacioacuten Sin la menor duda que un escaso uso del bombeo (alrededor de unas 500 horasantildeo) llevaraacute la solucioacuten de la parte del menor diaacutemetro (300 mm o tal vez auacuten menos) mientras que una alta utilizacioacuten (aproximadamente 6000 horasantildeo) sin duda daraacute como solucioacuten oacuteptima el mayor diaacutemetro (400 mm)

En los ejercicios praacutecticos se presentan dos ejemplos de disentildeo basados en minimizar dentro de las dispo-nibilidades energeacuteticas la pendiente hidraacuteulica (o de las liacuteneas piezomeacutetricas llaacutemesele como se quiera) El disentildeo sobre todo el de redes ramificadas es todo un mundo sobre el que auacuten se sigue investigando En este campo no se ha dicho la uacuteltima palabra Pero las ideas aquiacute expuestas y los ejercicios praacutecticos a realizar son maacutes que suficientes para tener una primera aproxima-cioacuten a un asunto muy importante

Costesanuales(euroantildeo) Costes anuales (euroantildeo) = CE + CC

Coste conducciones y elementos anualizado (euroantildeo) (CC)

Coste energeacutetico anual(euroantildeo) (CE)

DiaacutemetroD Oacuteptimo


Anaacutelisis estaacutetico de redes

Las redes de distribucioacuten de agua a grandes nuacutecleos urbanos son sistemas hidraacuteulicos complejos cuya reso-lucioacuten manual es inabordable Por ello se presentaraacuten los fundamentos del problema de anaacutelisis en reacutegimen permanente utilizando los llamados modelos estaacuteticos o modelos de equilibrio hidraacuteulico Este tipo de mode-los permite predecir la respuesta del sistema (caudales internos que circulan a traveacutes de las tuberiacuteas y bombas asiacute como las alturas piezomeacutetricas y presiones en los nudos) a partir de su configuracioacuten y caracteriacutesticas fiacute-sicas (comportamiento e interconexioacuten de los diferentes elementos) como respuesta a un estado de funciona-miento concreto (consumos y condiciones definidas en los puntos de alimentacioacuten)

Los principales elementos que forman parte de una red hidraacuteulica tuberiacuteas depoacutesitos vaacutelvulas y bombas ya han sido estudiados Su comportamiento se descri-be con relaciones algebraicas Las tuberiacuteas y vaacutelvulas son elementos resistentes (disipan energiacutea) mientras las bombas generan energiacutea hidraacuteulica y la ceden en forma de energiacutea de presioacuten adicional al fluido La cantidad depende del caudal trasegado y la establece la curva caracteriacutestica de la bomba Hb = Hb(Qb) ya estu-diada Por otra parte los depoacutesitos tambieacuten son fuen-tes de alimentacioacuten de presioacuten al sistema Pero en este caso el aporte de energiacutea es siempre el mismo (no es funcioacuten como en el caso de las bombas del caudal) y depende de su cota De ahiacute que se consideren ele-mentos fuente de presioacuten ideal razoacuten por la que en el anaacutelisis estaacutetico un depoacutesito es un nudo del sistema de altura piezomeacutetrica conocida (la cota del nivel de agua) y el caudal de inyeccioacuten a la red la incoacutegnita

Figura 17emspEsquema fiacutesico de un sistema de distribucioacuten de agua a presioacuten

En definitiva un sistema de distribucioacuten cualquiera sea su nivel de complejidad se puede representar de

Si

modo esquemaacutetico por un conjunto de nudos y liacute-neas (figura 17) Nudos son pues tanto las uniones de dos tuberiacuteas diferentes como los depoacutesitos y embal-ses mientras las liacuteneas son ademaacutes de las tuberiacuteas las bombas y las vaacutelvulas Los consumos (de los abonados en el caso de una red de agua urbana o las necesida-des de una parcela en el caso de una red de riego) se concentran en los nudos del modelo de tal manera que el caudal que circula por una tuberiacutea es a lo largo de ella siempre el mismo De este modo una derivacioacuten de un consumo en una tuberiacutea al modificar el caudal que circula por ella (diferentes valores antes y despueacutes de la derivacioacuten) siempre generaraacute un nuevo nudo De este modo el agua fluye a lo largo de las liacuteneas y entra (por los depoacutesitos o por fuentes nodales externas de caudal) o sale (consumos flechas en la figura 17) del sistema por los nudos En las clases praacutecticas se explica coacutemo asignar los consumos a los nudos del sistema

Atendiendo a sus caracteriacutesticas topoloacutegicas un sis-tema puede ser ramificado mallado o mixto Un sis-tema ramificado se caracteriza por tener una forma arborescente y sus liacuteneas se subdividen formando ramificaciones de tal manera que dos nudos soacutelo estaacuten unidos por una tuberiacutea uacutenica Los sistemas mallados como su nombre indica se caracterizan por la existen-cia de mallas Una malla es un circuito cerrado (con origen y final en el mismo nudo) formado por varias liacute-neas Por otra parte las mallas primarias o elementales de un sistema son circuitos de liacuteneas cerrados dentro del sistema y que a su vez no contienen otros circuitos cerrados en su interior La teoriacutea de grafos permite justificar que el nuacutemero de liacuteneas (L) y nudos (N) de un sistema estaacute relacionado con el de mallas M a traveacutes de la relacioacuten

(627)

vaacutelida para cualquier red Para el caso del sistema que detalla la figura 17 se tiene N = 20 y L = 26 por lo que M = L ₋ N + 1 = 26 ₋ 20 + 1 = 7

La formulacioacuten matemaacutetica del problema de anaacutelisis estaacutetico consiste en establecer un sistema de ecuacio-nes de forma que el nuacutemero de incoacutegnitas iguale al nuacute-mero de ecuaciones independientes Se han propuesto

M L N= minus + 1


distintas formulaciones para la resolucioacuten del proble-ma que fundamentalmente difieren entre siacute en el tra-tamiento del sistema de ecuaciones Las dificultades tiacutepicas provienen de la no linealidad (las peacuterdidas de carga en una tuberiacutea son proporcionales al cuadrado del caudal) y del gran nuacutemero de ecuaciones que en general hay que resolver

Desde un punto de vista formal existen tantas ecua-ciones de la energiacutea (se aplica Bernouilli entre dos nudos consecutivos) como liacuteneas L tiene el sistema y tantas ecuaciones de continuidad como nudos N tiene la red de tal manera que conforman un conjunto de N + L ecuaciones con tantas otras incoacutegnitas De una parte los L caudales que circulan por las liacuteneas maacutes otras N incoacutegnitas una por nudo En el caso de nudos tipo depoacutesito se conoce la altura piezomeacutetrica pero no el caudal que del mismo sale mientras en los nudos convencionales el dato es el consumo y la incoacutegnita la altura piezomeacutetrica En definitiva otras tantas (L + N)incoacutegnitas de manera se tienen tantas ecuaciones independientes como incoacutegnitas La solucioacuten pues existe y es uacutenica El uacutenico requisito adicional a cumplir es que al menos debe existir un nudo generalmente es un depoacutesito de altura piezomeacutetrica conocida (o al-ternativamente que esta sea una funcioacuten conocida del caudal externo) En caso contrario se puede calcular entre cada par de nudos la diferencia de alturas pie-zomeacutetricas pero no su valor concreto

En una red ramificada se cumple L = N ₋ 1 Como el sis-tema ramificado contiene un uacutenico nudo de altura pie-zomeacutetrica conocida (el depoacutesito de cabecera) las N ₋ 1ecuaciones de continuidad correspondientes a los nudos de conexioacuten (y que constituyen un sistema de ecuaciones lineales) se resuelven independientemente del sistema de ecuaciones energeacuteticas que permiten determinar los caudales circulantes por cada una de las L = N ₋ 1 liacuteneas del sistema a partir de los datos de con-sumo en los nudos de la misma mientras que el caudal externo Si aportado por el depoacutesito se puede determi-nar directamente mediante la ecuacioacuten de continuidad o bien con un balance global de consumos y aportes O dicho de otro modo en una red ramificada los caudales circulantes por las liacuteneas se pueden determinar inde-pendientemente de las ecuaciones energeacuteticas

Por ello desde el punto de vista del caacutelculo hidraacuteulico una red ramificada es aquella en que la determinacioacuten

de los caudales que circulan por las liacuteneas se conoce con independencia de las caracteriacutesticas de las propias liacuteneas Basta con conocer los consumos de la red y la conectividad del sistema Y puesto que las caracteriacutes-ticas hidraacuteulicas de tuberiacuteas y bombas son conocidas sustituyendo los caudales obtenidos anteriormente en el sistema de ecuaciones de energiacutea constituido por L = N ₋ 1 ecuaciones se obtienen finalmente empe-zando por la altura especificada en el nudo de altura piezomeacutetrica conocida las alturas piezomeacutetricas en los restantes N ₋ 1 nudos de conexioacuten del sistema

Sin embargo la distribucioacuten de caudales en las liacuteneas de una red mallada siacute depende de sus caracteriacutesticas hidraacuteulicas Ello implica que aunque desde un punto de vista topoloacutegico un sistema con varios puntos de alimentacioacuten y sin mallas puede por su estructura arboacuterea considerarse ramificado desde el punto de vista del caacutelculo hidraacuteulico es un sistema mallado En definitiva siempre que un sistema contenga mallas o alternativamente siendo ramificado disponga de maacutes de un nudo de altura piezomeacutetrica conocida las ecua-ciones de continuidad aplicadas a los nudos que no suministran caudal combinadas con las L ecuaciones de liacutenea forman un sistema acoplado de ecuaciones no lineales que permiten determinar los L caudales in-ternos de las liacuteneas y las alturas piezomeacutetricas en los nudos de conexioacuten El caacutelculo de los caudales externos de cada uno de los nudos de altura conocida (general-mente depoacutesitos) se realiza una vez se han determi-nado los caudales de liacutenea aplicando a los mismo la ecuacioacuten de continuidad

Ademaacutes de contar con las L ecuaciones de liacutenea y N ecuaciones de nudo se pueden plantear M ecuaciones de malla Estas ecuaciones resultan de aplicar el princi-pio de conservacioacuten de la energiacutea mecaacutenica (Bernoui-lli) a un circuito cerrado Por ello la suma algebraica de las peacuterdidas de carga y de la energiacutea proporcionada al fluido a lo largo de un circuito cerrado debe ser nula Ahora bien como las L + N + M ecuaciones anteriores no son independientes para resolver el problema de anaacutelisis se han propuesto diversas alternativas que no es del caso describir (formulaciones por mallas y por nudos) Cada alternativa presenta ventajas e inconve-nientes en las que no es del caso entrar a describir En siacutentesis el anaacutelisis de redes es un problema ma-temaacuteticamente simple pero sumamente laborioso si


bien hoy en diacutea gracias al creciente uso y a la potencia de los ordenadores no presenta inconveniente alguno El hecho de que EPAnet sea un programa de dominio puacuteblico la hace particularmente sencillo En la praacutectica el verdadero problema del anaacutelisis de redes es el cono-cimiento de los datos de partida Porque de la bondad de ellos (rugosidades y diaacutemetros efectivos de sus liacute-neas distribucioacuten y evolucioacuten temporal de consumos en los nudos etc) depende la fiabilidad de cualquier modelo elaborado a partir de una red existente Pero cual se ha dicho la modelacioacuten de redes reales queda al margen de este curso

Modelaciones hidraacuteulicas de los flujos a presioacuten

La modelacioacuten cuasi₋estaacutetica

En los anaacutelisis hasta ahora descritos los valores obteni-dos (resultados de un anaacutelisis estaacutetico) tienen validez exclusivamente instantaacutenea (estado del sistema en un momento) y corresponden asiacute una fotografiacutea del sis-tema Tradicionalmente las tuberiacuteas se dimensionan por lo que a diaacutemetro (o capacidad de transporte) se refiere considerando el estado estacionario del siste-ma maacutes desfavorable y por ello los modelos estaacuteticos son una herramienta auxiliar de los modelos de disentildeo (con frecuencia dentro de un proceso iterativo)

Ahora bien centraacutendonos una vez maacutes en los sistemas de distribucioacuten de agua los consumos (y por tanto las presiones y los caudales que circulan por las tuberiacuteas del sistema) no se mantienen constantes sino que pre-sentan fluctuaciones diarias importantes Por otro lado las cotas de los niveles de agua en los depoacutesitos de regu-lacioacuten variacutean como consecuencia de la entrada y salida de agua en ellos Las estaciones de bombeo arrancan o paran las velocidades de giro de los motores que las arrastran cambian y en fin para operar adecuadamente el sistema las vaacutelvulas se accionan De hecho la gestioacuten eficiente de los sistemas exige maniobrarlos

El modelo cuasi-estaacutetico tambieacuten llamado simulacioacuten en periacuteodo extendido permite enlazar secuencialmen-te distintas fotografiacuteas instantaacuteneas estaacuteticas y por ello es de gran utilidad en el anaacutelisis de la evolucioacuten del comportamiento de los sistemas hidraacuteulicos a presioacuten siempre que y tal suele ser el caso los cambios no sean

bruscos Para ello se simula la evolucioacuten de las variables asociadas a la red (presiones niveles y caudales) en un periodo amplio de tiempo (24 horas por ejemplo) cum-pliendo el balance de masas en el sistema de acuerdo con las previsiones de consumos EPAnet permite este tipo de anaacutelisis (dentro de las opciones se programa el tiempo al que el anaacutelisis se quiere extender)

Conviene insistir en que para este anaacutelisis cuasi₋estaacuteti-co (que tambieacuten podriacutea denominarse cuasi dinaacutemico) las condiciones de contorno (como por ejemplo las demandas) deben variar con el tiempo lentamente Porque en tal caso es aceptable despreciar la inercia del agua (que soacutelo se manifiesta si la velocidad cambia bruscamente) y los efectos elaacutesticos tanto del fluido como de las paredes de la tuberiacutea pues soacutelo intervie-nen cuando los cambios de presioacuten son ademaacutes de bruscos notables Unas hipoacutetesis de trabajo vaacutelidas en redes de agua siempre y cuando no se presenten perturbaciones bruscas (el arranque o parada de una bomba un reventoacuten en una tuberiacutea relevante) Al tener que incluir inercia y efectos elaacutesticos EPAnet no pue-de analizar estos casos y hay que recurrir a programas maacutes completos como el paquete ALLIEVI del ITA

En una escala de tiempos larga (varias horas) el anaacute-lisis cuasi estaacutetico supone que los equilibrios hidraacuteu-licos se establecen de un modo casi instantaacuteneo El modelo cuasi₋estaacutetico en realidad es el resultado de superponer una secuencia de estados estacionarios a lo largo de un cierto periacuteodo de tiempo (periacuteodo de simulacioacuten) Cada solucioacuten estacionaria corresponde a un instante distinto y a un diferente estado del siste-ma Son pues las mismas ecuaciones que gobiernan el flujo en las tuberiacuteas pero tras un intervalo de tiempo transcurrido ∆t se actualizan todas las variables En este sentido la caracteriacutestica dinaacutemica se incorpora a traveacutes de un conjunto de condiciones de contorno len-tamente variables en el tiempo que cambian progresi-vamente el estado del sistema

Y asiacute la ecuacioacuten dinaacutemica que rige el llenadovaciado de un depoacutesito cuyo nivel cambia poco a poco en el tiempo cual se ha visto es

A dzdt

Q Sjj

n

iminus + ==sum

10 (628)


donde A es el aacuterea de la seccioacuten transversal del depoacute-sito z es el nivel de agua en el mismo n el nuacutemero de tuberiacuteas que convergen (divergen) en el depoacutesito y a las que estaacute asociado un caudal interno Qj De otra parte Si es la aportacioacuten (por bombeo) o la demanda (de los consumidores) al depoacutesito Estas ecuaciones de los de-poacutesitos son las que confieren el caraacutecter dinaacutemico al mo-delo cuasi₋estaacutetico cuya formulacioacuten completa es muy semejante al del anaacutelisis estaacutetico Basta con sustituir las ecuaciones nodales de continuidad aplicadas a los de-poacutesitos del problema estaacutetico por las correspondientes ecuaciones dinaacutemicas del tipo (628) Ahora los nudos en los que en el modelo estaacutetico la altura piezomeacutetrica era un dato corresponden a depoacutesitos de nivel variable

Un cambio conceptual que desde el punto de vista ma-temaacutetico conlleva a dos variaciones notables En primer lugar las ecuaciones diferenciales de los depoacutesitos y al contrario de lo que ocurriacutea en el caso estacionario se han acoplado al resto del sistema de ecuaciones (tantas como liacuteneas L y nudos de consumo puro) En segundo lugar el sistema ya no es algebraico Debe resolverse un sistema de ecuaciones algebraico₋diferencial La figura 18 resume el proceso de caacutelculo

Las dos etapas de caacutelculo que incluye son

-emspMoacutedulo de anaacutelisis estaacutetico en un determinado instante geneacuterico t en el que se dispone de un esce-nario dado de consumos en los nudos unos niveles de agua en los depoacutesitos y unos estados de los dife-rentes elementos del sistema (bombas y vaacutelvulas) este moacutedulo calcula los valores de los caudales cir-culantes por las tuberiacuteas y las alturas piezomeacutetricas en los nudos de conexioacuten del sistema

-emspMoacutedulo de integracioacuten de los caudales en los de-poacutesitos con los valores obtenidos de caudales en las liacuteneas que concurren en los depoacutesitos (modelo estaacutetico) y a partir de las curvas de demanda en los nudos y las leyes de variacioacuten del volumen de agua en los depoacutesitos se efectuacutea a traveacutes de un esquema de integracioacuten de las ecuaciones dinaacutemicas de los depoacutesitos el balance de masa en el sistema para de este modo obtener las variaciones de nivel en los depoacutesitos Este esquema de integracioacuten permite enlazar en el tiempo la secuencia de soluciones es-taacuteticas que se van obteniendo

Entrada de datost = 0

iquestIteracioacuten en el instantede caacutelculo

Figura 18emspDiagrama de bloques que sintetiza el modelo del caacutelculo del reacutegimen cuasi₋estaacutetico

Caracterizacioacuten del sistema en el instante t

-emspNiveles de depoacutesitos-emspDemandas y aportaciones-emspConsignas de los elementos de control

iquestFin del periodo de simulacioacuten

t = t + Δt

Moacutedulo de anaacutelisis estaacuteticoActualizacioacuten de

valoresMoacutedulo de integracioacuten de los caudales

en los depoacutesitos

FINSIacute

NO

NOSIacute


Este proceder ademaacutes de describir la evolucioacuten de los ni-veles de agua en los depoacutesitos y las variaciones de estado del equipamiento electromecaacutenico permite incluir (con las leyes de control en EPAnet) reglas de operacioacuten como el arranque o la parada de grupos de bombeo (o la modifica-cioacuten de su velocidad de giro) en funcioacuten de los consumos de las presiones o de los niveles de agua de los depoacutesitos etceacutetera Con las reglas de operacioacuten tambieacuten se modifican las condiciones de actuacioacuten de vaacutelvulas de control (re-guladoras reductoras de presioacutenhellip) Estos procesos en general requieren iteraciones en cada instante de caacutelculo


Cual se ha dicho el modelo dinaacutemico cuasi₋estaacutetico no incluye dos efectos clave que es menester tomar en consideracioacuten cuando los cambios que se desean mo-delar son maacutes raacutepidos Se estaacute hablando de los teacutermi-nos de inercia y elaacutestico Porque si lo que se desea es estudiar las variaciones de presioacuten a lo largo de la red debidos a los cambios de demanda o a la variacioacuten de los niveles de agua en los depoacutesitos de cabecera es evidente que estas variaciones son lo suficientemen-te lentas como para que los cambios de velocidad y de presioacuten inducidos en flujos y nudos respuestas a aquellas modificaciones sean muy discretas Por ello los efectos debidos a la inercia del agua (es un fluido de alta densidad cuyos cambios de velocidad son un consumo o un aporte ₋seguacuten el signo de la acelera-cioacuten₋ de energiacutea al conjunto del sistema) y la elastici-dad del sistema (al comprimirse tanto el fluido como la tuberiacutea almacenan una energiacutea que devuelven en cuanto la presioacuten desciende) no es necesario incluir-los en el modelo

Pero claro hay situaciones en las que los cambios de flujo son importantes y el modelo debe incluir los dos efectos precedentes (inercia y elasticidad) Es el caso de un reventoacuten en una conduccioacuten una maniobra brusca de una vaacutelvula el arranque o parada de una bomba o en fin el conocido problema de la intrusioacuten patoacutegena generada por una depresioacuten (reingreso de agua previamente fugada en la conduccioacuten) En fun-cioacuten de que se incluya uno o los dos efectos se llega a los dos modelos dinaacutemicos tradicionales que en lo que sigue se presentan El primero toma en consideracioacuten soacutelo la inercia del agua en la tuberiacutea y se le denomina modelo riacutegido (u oscilacioacuten en masa) mientras modelo

elaacutestico es el que contempla ambos efectos Tambieacuten se le denomina golpe de ariete

El primero de los modelos el riacutegido soacutelo modifica la ecuacioacuten constitutiva de las liacuteneas De tal manera que en lugar de modelarlas con la ecuacioacuten de Bernouilli utiliza la de Euler que tambieacuten ha sido estudiada con anterioridad Con todo el cambio es importante Mien-tras el balance energeacutetico de Bernouilli se establece con una ecuacioacuten algebraica el de Euler (o de Bernouilli generalizado) se realiza a traveacutes de una ecuacioacuten di-ferencial ordinaria Sin embargo las ecuaciones de continuidad nodales son las mismas que en el modelo estaacutetico El modelo elaacutestico exige el uso de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales Y tanto para el balance de energiacutea como para el de masa lo que exige resolver un sistema de ecuaciones diferenciales en de-rivadas parciales que en este curso no se llegan a plan-tear Se estudiaraacuten brevemente en el uacuteltimo apartado de este capiacutetulo

Transitorios hidraacuteulicos

Cuando el tiempo interviene en la ecuacioacuten que carac-teriza el comportamiento del elemento maacutes importan-te de los sistemas hidraacuteulicos a presioacuten las tuberiacuteas se estaacute hablando de un transitorio hidraacuteulico Ya se ha visto como en la praacutectica se pueden agrupar en dos grandes bloques El hecho diferencial desde el punto de vista fiacutesico es la consideracioacuten (o no) de los efectos elaacutesticos del sistema Una diferencia que matemaacutetica-mente se traduce en que las ecuaciones diferenciales ordinarias que caracterizan la oscilacioacuten en masa se conviertan en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

Los transitorios hidraacuteulicos ya se ha dicho se gene-ran cuando por la circunstancia que sea (arranque o parada de una bomba apertura o cierre de una vaacutel-vula reventoacuten de una tuberiacuteahellip) el cambio del movi-miento del fluido es raacutepido o muy raacutepido En el pri-mer caso los efectos elaacutesticos se van a poder despre-ciar y basta el modelo riacutegido para modelar el flujo Es el caso de la apertura instantaacutenea de una vaacutelvula y del tiempo de establecimiento de una corriente que seguidamente se analiza Sin embargo si el cambio de reacutegimen es mucho maacutes brusco para estudiarlo habraacute que recurrir a las ecuaciones del golpe de ariete En lo


que sigue se recuerda el modelo riacutegido para seguida-mente introducir muy brevemente el modelo elaacutestico o golpe de ariete Obviamente siempre en sistemas simples (una tuberiacutea sencilla) Faacutecil es comprender si las ecuaciones de las liacuteneas son maacutes complejas que en el anaacutelisis estaacutetico y ademaacutes en el golpe de ariete tambieacuten la ecuacioacuten de continuidad debe plantear-se en forma diferencial el estudio de transitorios en sistemas complejos es mucho maacutes complejo que los anaacutelisis estaacuteticos hasta ahora considerados Por ello el uso de un programa de caacutelculo como el ALLIEVI es imprescindible para su anaacutelisis

El modelo dinaacutemico riacutegido (oscilacioacuten en masa)

Pese a constituir un modelo muy uacutetil para analizar sis-temas de configuracioacuten relativamente simple el mode-lo riacutegido apenas se utiliza en la resolucioacuten de transito-rios en sistemas complejos Tradicionalmente el hecho de encontrarse a mitad de camino entre los modelos elaacutesticos y los modelos cuasi-estaacuteticos ha limitado no-tablemente su uso Cuando no se disponiacutea de un orde-nador se utilizoacute ampliamente Pero ahora claro estaacute puestos a resolver ecuaciones complejas se plantean aqueacutellas que permitan el anaacutelisis de cualquier caso pues no conviene olvidar que una oscilacioacuten en masa no es sino un golpe de ariete muy lento y por ello las ecuaciones generales en derivadas parciales engloban como un caso muy particular a las ecuaciones ordina-rias del mismo modo que estas son una extensioacuten de las algebraicas vistas en el anaacutelisis estaacutetico

El modelo dinaacutemico riacutegido supone pues un compor-tamiento dinaacutemico del elemento tuberiacutea y al tiempo admite que las variaciones de velocidad (caudal) du-rante el transitorio son suficientemente lentas como para despreciar los efectos de compresibilidad (es decir los efectos elaacutesticos) En tal caso su evolucioacuten la modela la ecuacioacuten diferencial (629) propia del mode-lo riacutegido o ecuacioacuten de Euler Estaacute aplicada entre dos puntos de una tuberiacutea distantes una longitud L

(629)

H x H x L Lg

dVdt

f LD

V Vg

I dQdt

R Q Q ( ) ( )0 0 2minus + = + = +

Carga motriz I nnercia Resistencia

en la que se ha tenido en cuenta

para de este modo evidenciar la presencia ademaacutes del teacutermino correspondiente a la friccioacuten (la resistencia de la tuberiacutea) la de la inercia de la tuberiacutea Por uacuteltimo comentar que el teacutermino cuadraacutetico se ha reescrito de manera que sea sensible a la direccioacuten del flujo toda vez que eacuteste en un transitorio se puede invertir

El ejemplo maacutes sencillo de oscilacioacuten en masa correspon-de al tiempo de establecimiento Te de una corriente Se trata (figura 19) de un depoacutesito con una vaacutelvula en su ex-tremo aguas abajo Si se abre instantaacuteneamente la veloci-dad de reacutegimen no se adquiere de manera instantaacutenea El agua en el interior de la tuberiacutea tiene una inercia notable y tarda un tiempo en alcanzar la velocidad de reacutegimen

Figura 19emspTiempo de establecimiento de una corriente ejemplo de transitorio riacutegido

Es correcto plantear la ecuacioacuten de Bernouilli una vez ha transcurrido desde que la vaacutelvula se abre el tiem-po suficiente para que la velocidad de reacutegimen se al-cance Por ello (suponiendo que el nivel de agua en el depoacutesito se mantiene constante y considerando soacutelo las peacuterdidas de friccioacuten en la tuberiacutea lo que supone despreciar todas las peacuterdidas localizadas y) se tiene

I LgA

= (630)

R f LD

= 0 0826 5 (631)

HL D f

HVg

f LDVg

VgH

f LD

= + rarr =

+

02

02

02 22

1(632)


Asiacute se obtiene la velocidad a la que el fluido se iraacute aproximando Pero es evidente que el sistema se toma un tiempo para alcanzar esa velocidad de reacutegimen La respuesta la proporcionaraacute la aplicacioacuten de Euler (o Bernouilli generalizada) ideacutentica a la precedente con dos salvedades La velocidad V(t) es variable en el tiempo y de hecho iraacute aumentando desde cero (instan-te inicial) hasta el valor de reacutegimen V0 La segunda di-ferencia y maacutes importante es la inclusioacuten en la ecua-cioacuten del teacutermino de inercia del agua De este modo y mientras se cumpla 0 le t le Te vale

cuya sencilla integracioacuten entre el instante t = 0 (al que corresponde la velocidad V = 0) y un instante geneacuterico t al que corresponde una velocidad V proporciona la solucioacuten del problema

una respuesta que indica que el tiempo de establecimiento de una corriente (hay que sustituir en 634 el valor de la velocidad V por V0) es infinito porque asiacute lo es el logaritmo de infinito y donde V0 es loacutegicamente el valor que corres-ponde al reacutegimen estacionario previamente calculado

El resultado obtenido tiene dos lecturas

-emspLa primera evidenciar que el modelo riacutegido no es del todo correcto porque ese resultado no es fiacutesica-mente admisible El modelo elaacutestico no genera esta inconsistencia

-emspSin embargo desde la oacuteptica numeacuterica el valor que se obtiene calculando el tiempo de establecimien-to Te cuando la velocidad V no es igual a V0 pero se aproxima mucho a ella (por ejemplo haciendo

emspV = 095 V0) proporciona un valor correcto e igual a

H Vg

f LDVg

LgdVdt

= + + 2 2

2 2(633)

tLVgH

V VV V

=+minus

0 0

02ln (634)

TLVgHe = 1 832 0 (635)

El modelo exacto es pues el elaacutestico No hay espacio ni tiempo para profundizar en su anaacutelisis Tan soacutelo pero no es poco se va a subrayar su intereacutes dar las ex-presiones baacutesicas la celeridad de la onda de presioacuten y el valor del pulso de Joukowsky unas expresiones que permiten tener un orden de magnitud de lo que puede suponer un golpe de ariete brusco y en fin realizar una breve y sencilla descripcioacuten que permitiraacute com-prender en queacute consiste el fenoacutemeno


Ya se ha visto que los diaacutemetros de las tuberiacuteas se di-mensionan a partir de las condiciones de servicio que habitualmente deben satisfacer Pero todas las instala-ciones en alguacuten momento deben arrancarse y pararse Y es precisamente en estos momentos cuando las con-diciones que soportan suelen ser las maacutes severas por lo que es necesario realizar su anaacutelisis para asiacute poder concretar cuaacuteles deben ser sus capacidades estructu-rales que por lo general se definiraacuten a partir de las presiones maacuteximas que deben soportar Esta informa-cioacuten clave es la que conjuntamente con el material de la tuberiacutea permite decidir cuaacutel debe ser el espesor de la conduccioacuten En siacutentesis las capacidades de las con-ducciones (diaacutemetros) se deciden siempre analizando el funcionamiento de la instalacioacuten en reacutegimen estacio-nario o a lo sumo cuasi₋estacionario Sin embargo es el golpe de ariete el que decide las maacuteximas presiones y depresiones que las tuberiacuteas deben ser capaces de soportar o lo que es lo mismo cuaacutel debe ser el espesor de las tuberiacuteas

Figura 20emspCentral hidroeleacutectrica de Sayano-Shushenskaya (Rusia) tras el accidente (izq)

Tuberiacutea colapsada por una depresioacuten en Valencia (der)

La figura 20 es la mayor evidencia de que los anaacutelisis de los transitorios son imprescindibles En su parte


izquierda muestra un accidente relativamente recien-te (fue en 2009) ocurrido en Rusia en una central hi-droeleacutectrica La causa un golpe de ariete provocado por el cierre repentino de una de las compuertas que controlaba el paso de agua de la tuberiacutea que alimen-taba la turbina nordm 2 La sobrepresioacuten y la rotura de conducciones que el cierre dejoacute la sala de maacutequinas de la central tal cual se ve en la figura 20 refleja fiel-mente lo acontecido porque el resultado fue una au-teacutentica cataacutestrofe Tan es asiacute que murieron 77 trabaja-dores mientras los dantildeos superaron los 310 millones de doacutelares unos 240 millones de euros

Pero no siempre como en el caso de la central rusa los accidentes los provocan aumentos de presioacuten Tambieacuten las depresiones pueden provocar que una tuberiacutea quede inservible La foto de la derecha de la figura 20 muestra el colapso de una tuberiacutea de acero en Valencia Sucedioacute en el 2001 como consecuencia de otro cierre demasiado raacutepido de una vaacutelvula Pero asiacute como en el caso de la central la compuerta maniobrada estaba aguas abajo de la tuberiacutea en el caso del colapso la vaacutelvula cerrada estaba aguas arriba Y ni hubieron muertos ni tampoco los dantildeos fueron tan cuantiosos Pero de lo que no cabe la menor duda es que de in-mediato el servicio quedoacute interrumpido con todos los inconvenientes que ello conlleva y que por ello el ingeniero responsable de su disentildeo debe ser capaz de anticiparse a este accidente En el caso de esta tuberiacutea colapsada bastaba con disponer una toma de aire justo aguas abajo de la vaacutelvula Su coste poco maacutes de unos centenares de euros Es la diferencia entre conocer un fenoacutemeno fiacutesico e ignorarlo

Quien proyecte tuberiacuteas a presioacuten tiene pues cuanto menos la obligacioacuten de conocer los principales funda-mentos de un fenoacutemeno gobernado por dos paraacuteme-tros baacutesicos De una parte la relacioacuten entre los cambios de velocidad propios de todo reacutegimen transitorio y las variaciones de presioacuten que como consecuencia de ellos se generan De otra la celeridad a con que los pulsos de presioacuten inducidos por los cambios de velo-cidad viajan por estas tuberiacuteas

La relacioacuten entre un cambio de velocidad ∆V y el pulso de presioacuten ∆p (de signo contrario al de la ve-locidad) en el campo de la hidraacuteulica la establecioacute Joukowsky a finales del siglo XIX Desde un punto de vista fiacutesico es muy faacutecil de comprender Cuando

la velocidad del fluido en una tuberiacutea disminuye bruscamente esa energiacutea cineacutetica no puede convertir-se maacutes que en energiacutea elaacutestica de presioacuten (al fluido detenido estaacute confinado dentro de una tuberiacutea inmo-vilizada Como la cota de la tuberiacutea y por tanto del fluido no puede cambiar esa energiacutea debe necesaria-mente transformarse en energiacutea de presioacuten elaacutestica) Una parada del fluido supone un aumento de la pre-sioacuten mientras que si el fluido arranca y por estar el sistema cerrado detraacutes de siacute deja el vacio (como en la tuberiacutea colapsada de la figura 20) lo que se genera es una depresioacuten La relacioacuten de Joukowsky es

(636)

de tal manera que cuando el fluido es detenido brusca en instantaacuteneamente (∆V = 0 - V0= -V0) resulta el maacutexi-mo pulso de presioacuten o pulso de Joukowsky igual a

(637)

expresado bien en unidades de presioacuten bien en me-tros de columna de agua Y asiacute en una tuberiacutea en la que el agua circule a una velocidad de 1 ms la sobre-presioacuten para una celeridad de la onda de presioacuten a de 1000 ms la sobrepresioacuten por golpe de ariete es de unos 100 m de columna de agua (unos 10 bar) Y se dice sobrepresioacuten porque estos pulsos se suman (con sus signos correspondientes) a las presiones ya exis-tentes en las conducciones En un arranque debido a la inercia del agua los cambios de velocidad no suelen ser tan bruscos Pero de llegar a producirse en las mis-mas condiciones pero al reveacutes claro estaacute la depresioacuten potencial que se generariacutea tambieacuten seriacutean -100 m de columna de agua capaz de colapsar cualquier tuberiacutea cuya presioacuten de funcionamiento no fuese de al menos 10 bar Hay pues que amortiguar todos estos cambios de velocidad y cuando no sea posible al menos insta-lar los dispositivos de proteccioacuten necesarios para evi-tar el accidente un asunto que obviamente queda al margen de este curso

∆ = minus ∆p a Vρ

∆ =HaVgJ 0

∆ =p aVJ ρ

(638)


La celeridad de la onda (velocidad a la que viajan las perturbaciones generadas) es sin la menor duda el paraacutemetro maacutes caracteriacutestico de estos transitorios hi-draacuteulicos Su valor depende de la elasticidad del sis-tema combinacioacuten de los dos medios elaacutesticos que intervienen en el fenoacutemeno fluido (a traveacutes de su moacute-dulo elaacutestico K visto en la primera leccioacuten) y tuberiacutea (representada por el moacutedulo de Young E del material correspondiente) Su valor es

y donde el resto de variables que intervienen son den-sidad del agua diaacutemetro y espesor de la tuberiacutea (D y e) Su valor cuando es agua el fluido que discurre por la tuberiacutea estaacute comprendido entre los 1000 ms en las tuberiacuteas metaacutelicas (las de mayor moacutedulo de Young) y unos 250 ms en las tuberiacuteas maacutes elaacutesticas (las de plaacutesti-co) Puede observarse que si el fluido es incompresible (K = infin) y el material tambieacuten (E = infin) la celeridad tiende a infinito porque los efectos elaacutesticos han desparecido Unos efectos elaacutesticos que permiten entender bien el fenoacutemeno que se describe a continuacioacuten Para ello se observa el mecanismo de transmisioacuten y reflexioacuten de las ondas de presioacuten fijaacutendonos en un sistema simple integrado por un depoacutesito de grandes dimensiones (y por tanto de nivel constante) que alimenta una tuberiacutea horizontal de caracteriacutesticas uniformes y que finaliza en una vaacutelvula que descarga en la atmosfera La vaacutel-vula tal cual detalla la figura 21a permite regular el caudal

Inicialmente la vaacutelvula estaacute totalmente abierta mien-tras por la tuberiacutea circula un caudal Q0 (velocidad me-dia V0) en reacutegimen permanente Su valor depende del nivel de agua del depoacutesito H0 Para centrarnos bien en el fenoacutemeno se desprecia la friccioacuten en la tuberiacutea lo que equivale a admitir que las oscilaciones de pre-sioacuten que se originan tras el cierre de la vaacutelvula no se amortiguan Asimismo se desprecia la altura cineacutetica del fluido por lo que resulta una liacutenea piezomeacutetrica de reacutegimen horizontal a la que corresponde una presioacuten H0 (figura 21a)

a

K

KDEe

=

+

ρ

1(639)

Si en estas condiciones se produce el cierre total e instantaacuteneo (Tc = 0) de la vaacutelvula (esta maniobra es fiacutesicamente imposible pero es el mejor ejemplo para explicar el estudio de casos reales) el caudal de des-carga tambieacuten se anula instantaacuteneamente (figura 21b) De este modo el caudal en la tuberiacutea aunque soacutelo junto a la vaacutelvula es nulo (Q = 0) Tras el cierre de la vaacutelvula se inicia un proceso que se caracteriza por la transformacioacuten alternativa (y ciacuteclica) de la energiacutea ci-neacutetica del fluido en energiacutea elaacutestica que almacenaraacuten tanto el fluido como las paredes de la propia tuberiacutea en forma de energiacutea elaacutestica de presioacuten La cantidad de energiacutea intercambiada en este proceso depende de la magnitud de la variacioacuten de energiacutea cineacutetica que el transitorio introduzca en el flujo (la causa es el decre-mento cineacutetico)

Si el liacutequido fuera incompresible y las paredes de la tuberiacutea riacutegidas toda la columna liquida aguas arriba de la vaacutelvula se detendriacutea de inmediato y en bloque posibilidad inviable desde el punto de vista fiacutesico por-que la aceleracioacuten negativa resultante seriacutea infinita Es pues necesario incluir aunque sea muy pequentildea la compresibilidad del liacutequido y la elasticidad de la tu-beriacutea De este modo cuando se produce el cierre de la vaacutelvula el anillo de fluido pegado a ella (de espesor diferencial) se detiene suacutebitamente convirtiendo su energiacutea cineacutetica (debida a la velocidad V0 que teniacutea) en energiacutea de presioacuten que se manifiesta con una sobrepre-sioacuten sobre el valor de la piezomeacutetrica de reacutegimen de valor ΔHJ (en la figura ΔH)

Esta sobrepresioacuten tiene dos efectos comprimir ligera-mente el agua reduciendo su volumen y al tiempo di-latar un poco la tuberiacutea de modo que el resto del fluido en el interior de ella no acusaraacute inmediatamente el cierre de la vaacutelvula y continuaraacute avanzando a ideacutentica veloci-dad V0 De este modo el fluido puede seguir entrando en el sistema ocupando los huecos generados tanto por el empaquetamiento del fluido como por el ensancha-miento de la tuberiacutea manifestaacutendose de este modo con claridad los efectos elaacutesticos Al proceso de compresioacuten del primer anillo de liacutequido le sigue el del siguiente de manera que a medida que transcurre el tiempo desde el instante inicial la parada y compresioacuten del fluido y la dilatacioacuten de las paredes de la tuberiacutea alcanza a los anillos de fluido que quedan en las condiciones antes descritas De este modo el fenoacutemeno de aumento de presioacuten se propaga en el sentido vaacutelvula₋deposito a la


velocidad de la onda a y que proporciona la expresioacuten (630) El fluido alejado de la vaacutelvula continuacutea movieacuten-dose sin que su velocidad se vea afectada hasta que el pulso de presioacuten que se desplaza en direccioacuten contraria le alcanza provocando su detencioacuten

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

Figura 21emspTransmisioacuten y reflexioacuten de las ondas en diferentes instantes de un ciclo (cierre instantaacuteneo de la vaacutelvula)

En resumen un observador movieacutendose con el fluido (y por tanto a su velocidad V0) observa el fenoacutemeno

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0

Cierre total e instantaacuteneo

V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=

como un pulso de presioacuten de intensidad ΔHJ (expre-sado en altura de columna de fluido) generado en el instante inicial en la vaacutelvula (tras el cierre) y se propa-ga aguas arriba de eacutesta a una velocidad finita a (cele-ridad) El fluido que queda detraacutes del frente del pulso queda en reposo a una presioacuten H0 + ΔH metros de co-lumna de agua mca (figura 21c)

Cuando el pulso u onda de compresioacuten llega en el ins-tante t = La al depoacutesito todo el fluido en la tuberiacutea se encuentra en reposo (V = 0) y bajo los efectos de la so-brepresioacuten ΔHJ mca y la tuberiacutea totalmente expandida (figura 21d) Conviene significar que en realidad res-pecto a un observador fijo la onda viaja a una veloci-dad a ₋ V0 Pero como normalmente a gtgt V0 este hecho aunque en el paacuterrafo precedente siacute se ha mencionado no suele tomarse en cuenta

Debido a que el depoacutesito (capacidad infinita) impone en el extremo aguas arriba de la tuberiacutea una condicioacuten de altura de presioacuten constante igual a H0 existe una situacioacuten de desequilibrio En consecuencia el fluido contenido en la tuberiacutea expandida inicia su retroceso hacia el depoacutesito con velocidad V0 comenzando por el que estaacute en el punto de entronque de la tuberiacutea con el depoacutesito En este punto la presioacuten del fluido retoma el valor que teniacutea antes del cierre de la vaacutelvula la pa-red del tubo recupera sus dimensiones originales y el liacutequido adquiere una velocidad igual pero en sentido contrario a la original Ello propicia que el anillo de fluido de la tuberiacutea anexo al depoacutesito empiece a mo-verse hacia el depoacutesito con velocidad V0 decayendo su presioacuten al valor que habiacutea antes del cierre (H0) y volviendo la porcioacuten de tuberiacutea que lo rodea a su es-tado normal (figura 21e) En esta fase pues se produ-ce un nuevo intercambio de energiacutea pero en sentido inverso La energiacutea elaacutestica almacenada se convierte ahora en energiacutea cineacutetica En ausencia de peacuterdidas el intercambio devuelve al fluido la velocidad ₋V0 a cos-ta claro estaacute de una reduccioacuten de la presioacuten de valor ΔHJ El efecto descrito equivale a la reflexioacuten del pulso de compresioacuten que llegando al depoacutesito se convierte en un pulso de descompresioacuten que se traslada hacia la vaacutelvula a ideacutentica celeridad a

La segunda fase se ha completado cuando en el instan-te t = 2La la onda llega a la vaacutelvula y de nuevo toda la tuberiacutea estaacute con la altura de presioacuten inicial H0 y el fluido circulando a la velocidad de reacutegimen bien que


en sentido contrario V= ₋V0 (figura 21f) De ahiacute que se denomine tiempo de fase o periodo de la tuberiacutea al periodo de tiempo que tarda la onda de presioacuten en ir y volver desde la vaacutelvula al depoacutesito (Te = 2La)

El inicio de la tercera fase lo origina la situacioacuten ines-table correspondiente al final de la fase anterior Al llegar la onda de descompresioacuten a la vaacutelvula en el ins-tante t = 2La y ser imposible una nueva aportacioacuten de flujo fluido (al estar cerrada la vaacutelvula no puede haber flujo a su traveacutes) En estas condiciones el sistema res-ponde intentando compensar la no reposicioacuten de flui-do (el que avanza no es repuesto) Y lo hace generando una depresioacuten aguas arriba de la vaacutelvula de valor ₋ΔHJ mca con respecto de la presioacuten en condiciones estaacuteti-cas Una depresioacuten que provoca la detencioacuten del flui-do en un proceso que recuerda al que siguioacute al cierre de la vaacutelvula pero con una diferencia La energiacutea cineacute-tica que corresponde a la velocidad ₋V0 se convierte en depresioacuten ₋ΔHJ de tal manera que en estas condiciones viaja hacia el depoacutesito una onda depresiva de celeri-dad a que deja tras de siacute al fluido en reposo con una presioacuten H0 ₋ ΔHJ y con la tuberiacutea contraiacuteda La vaacutelvu-la en este caso ha reflejado la onda de descompresioacuten pero sin cambiarle el signo al pulso (figura 21g)

Al llegar el pulso ₋ΔHJ al depoacutesito en el instante t = 3La (figura 21h) eacuteste al igual que hizo con la onda de com-presioacuten la refleja Pero ahora la onda que viaja hacia la vaacutelvula deja tras de siacute el fluido movieacutendose hacia la vaacutel-vula a una velocidad V0 con una presioacuten igual a la inicial y con la tuberiacutea en su estado normal (figura 21i) todo ello propiciado por la nueva inestabilidad Porque con la llegada de la onda de depresioacuten al depoacutesito cuya altura mantiene su gran volumen hay un gradiente de presiones entre la tuberiacutea y el depoacutesito El nivel de presiones en eacuteste es superior al de la tuberiacutea desequi-librio que se corrige aumentando la velocidad en la conduccioacuten Asiacute pues hay un nuevo intercambio ener-geacutetico pasando de nuevo de energiacutea elaacutestica a energiacutea cineacutetica La presioacuten en ausencia de peacuterdidas aumenta en ΔHJ y por el contrario la velocidad circulando en el sentido inicial adquiere su valor inicial V0

Transcurridos 4La segundos desde el inicio del transi-torio esta cuarta onda llega a la vaacutelvula (figura 21 j) reproducieacutendose exactamente la situacioacuten inicial del momento del cierre De nuevo comienza el proceso que en ausencia de peacuterdidas se repetiriacutea ciacuteclicamen-

te de manera indefinida y con periodo de oscilacioacuten Tp = 4La La presencia de las peacuterdidas hace que estos ciclos se amortiguumlen progresivamente hasta alcanzar el valor final de reacutegimen permanente

A partir de la precedente descripcioacuten se puede repre-sentar el historial de la altura piezomeacutetrica en cual-quier punto de la tuberiacutea En particular la figura 22 de-talla las de los puntos extremos de la tuberiacutea (depoacutesito y vaacutelvula) y la del punto medio La liacutenea horizontal re-presenta la presioacuten en el depoacutesito la liacutenea roja muestra la evolucioacuten del punto situado inmediatamente aguas arriba de la vaacutelvula mientras la liacutenea azul detalla esta evolucioacuten en el punto medio de la conduccioacuten

Figura 22emspHistoriales de alturas piezomeacutetricas junto a la vaacutel-vula (liacutenea roja) y en el punto medio de la tuberiacutea (liacutenea azul)

En definitiva la elasticidad del sistema otorga a los transitorios hidraacuteulicos elaacutesticos un caraacutecter ciacuteclico Cual se ve sobrepresiones y depresiones se suman a la presioacuten inicial y la tuberiacutea debe ser capaz de absorber la presioacuten maacutexima de cada punto y de soportar la de-presioacuten que sin duda apareceraacute si H0 lt ΔHJ

Dos asuntos confieren notable complejidad a estos fe-noacutemenos De una parte que no siempre es tan sencillo concretar la magnitud de la causa (variacioacuten de la velo-cidad) como en el cierre instantaacuteneo de una vaacutelvula en el que la velocidad pasa de ser V0 a cero Casi nunca es un dato directo Por ejemplo en la parada de una bom-ba conocer coacutemo va a ir disminuyendo la velocidad no es inmediato Todo depende de coacutemo se genera el transitorio Este caacutelculo de las condiciones de contor-no reales es seguacuten el caso muy diferente La segunda complejidad sobre todo en sistemas complejos (redes) es consecuencia de la dificultad de contabilizar coacutemo se transmite la perturbacioacuten al llegar a un nudo concreto

H

t

VaacutelvulaPunto medio

Nivel depoacutesito

ΔH

La

2La

3La

4La

5La

6La

7La

8La

0


Y no soacutelo coacutemo se transmite Tambieacuten coacutemo rebota En el ejemplo analizado se han descrito las dos interaccio-nes maacutes sencillas tuberiacutea₋depoacutesito y tuberiacutea₋vaacutelvula cerrada Pero en la praacutectica el nuacutemero de situaciones que se pueden encontrar son praacutecticamente infinitas

Por ello el anaacutelisis de estas situaciones reales y el di-mensionado de los sistemas de proteccioacuten que eviten que sobrepresiones o depresiones causen accidentes como los mostrados en la figura 20 debe llevarse a cabo con todos los conocimientos y las herramientas necesa-rias Obviamente queda fuera del alcance de este curso baacutesico profundizar en su estudio Con todo quien en alguacuten momento tenga necesidad de estudiar todas es-tas cuestiones puede recurrir tanto a libros especializa-dos (Abreu y col 2011) como a potentes herramientas informaacuteticas cual el programa ALLIEVI del ITA

Bibliografiacutea

Abreu JM Cabrera E Espert V Garciacutea-Serra J Sanz F 2011Transitorios hidraacuteulicos Del reacutegimen estacionario al golpe de arieteUniversidad Politeacutecnica de Valencia

Bonnin J 1984Lrsquoeau dans lrsquoantiqueteacute Lrsquohydraulique avant notre egravere Direction des Etudes et Recherches drsquoElectricite de France Eyrolles Paris

Cross H 1936 Analysis of flow in networks of conduits or conductors University of Illinois Bulletin 286 1936

Streeter VL 1963Mecaacutenica de los FluidosEdiciones del Castillo

Capiacutetulo 7

Flujo en laacutemina libre

Iacutendice

IntroduccioacutenParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de pasoSeccioacuten rectangular

Seccioacuten trapecial

Seccioacuten circular

Caracterizacioacuten de los diferentes flujosPendientes a definir en flujo en laacutemina libreFlujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de ManningSeccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libreSeccioacuten rectangular



Curvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libreConductos circulares

Secciones cerradas no circulares

Algunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libreOnda de gravedad

Curva de remanso

Resalto Hidraacuteulico

Bajantes verticales en laacutemina libre

Bibliografiacutea

Flujo en laacutemina libre 155

Introduccioacuten

El movimiento de fluidos en cauces o conductos par-cialmente llenos en los cuales el flujo presenta una superficie liacutemite superior en contacto directo con la atmoacutesfera se denomina flujo en laacutemina libre Este mo-vimiento solamente lo pueden experimentar los liacutequi-dos pues los gases tienden a difundirse y a escaparse del conducto si eacuteste no es cerrado De entre las aplica-ciones yo situaciones que presentan este tipo de flujo cabe destacar las siguientes

-emspFlujo en riacuteos y cauces naturales -emspTransporte de agua por canales y acequias-emspSistemas de evacuacioacuten de aguas (conductos cerra-

dos parcialmente llenos con circulacioacuten a presioacuten atmosfeacuterica) bien sean de pluviales o de residuales

La diferencia baacutesica y fundamental entre este modo de transporte de liacutequido y la conduccioacuten por tuberiacuteas a presioacuten estaacute en el hecho de que el fluido no puede almacenar energiacutea elaacutestica (energiacutea de presioacuten) por lo que el liacutequido solamente dispondraacute de las energiacuteas potencial y cineacutetica No cabe la posibilidad en conse-cuencia de que el fluido ascienda por una conduccioacuten abierta desde una cota inferior hasta una cota superior salvo cuando por inercia sube una pequentildea rampa du-rante un corto periodo de tiempo

Sin embargo y respecto del flujo a presioacuten en la ma-yor parte de los casos el estudio del flujo en laacutemina libre es comparativamente maacutes complejo La razoacuten baacutesica de esta dificultad radica en el hecho de que el flujo en laacutemina libre presenta una gran disparidad de secciones de paso figura 1 mientras que en flujo a pre-sioacuten las secciones de paso son praacutecticamente siempre circulares (en sistemas de ventilacioacuten se utilizan en ocasiones conductos rectangulares)

No se puede olvidar por uacuteltimo que en ocasiones las conducciones de alcantarillado de una zona urbana a menor cota pasan a ser indeseablemente conductos a presioacuten haciendo saltar las trapas de los pozos de registro Este caso se puede dar en episodios de llu-via fuerte cuando la alcantarilla ha de transportar un gran caudal y su seccioacuten de paso es insuficiente En es-tas situaciones se producen problemas de flujo mixto coexistiendo en una misma conduccioacuten tramos de flujo en laacutemina libre y tramos con flujo a presioacuten

Figura 1emspDiferentes tipos de secciones de paso con flujo en laacutemina libre

Paraacutemetros relacionados con la seccioacuten de paso

Para un conducto en laacutemina libre la seccioacuten de paso depende de la forma del conducto y de la altura del liacutequido alcanzada en dicho conducto Tomando como base la figura 2 los paraacutemetros relacionados con la sec-cioacuten de paso son

CircularTrapecialRectangular

b

θy

T

b

y

T

y D

Figura 2emspParaacutemetros relacionados con la seccioacuten de paso en conductos en laacutemina libre

-emspAncho de solera b en conductos rectangulares y tra-peciales

-emspAacutengulo de inclinacioacuten de las paredes laterales θ en conductos trapeciales

-emspDiaacutemetro interior del conducto D en conductos circulares

-emspCalado y en cualquier tipo de conducto-emspLongitud del contorno superior de la seccioacuten de paso

en contacto con la atmoacutesfera o tirante T en cualquier tipo de conducto En conducto rectangular T = b

-emspSeccioacuten de paso A la cual depende del calado y y de la forma del conducto

-emspPeriacutemetro mojado p o periacutemetro de la seccioacuten del conducto en contacto con el liacutequido circulante

Circular Ovoide Combinada

TrapecialRectangularNatural


-emspRadio hidraacuteulico Rh o relacioacuten entre la seccioacuten de paso y el periacutemetro mojado Rh = Ap

Seccioacuten rectangular

Seccioacuten de paso emspemspemspA = b middot yemspemspemspemspemspemspemspemspemsp(71)

Periacutemetro mojado emsp p = b + 2yemspemspemspemspemspemspemspemsp (72)

Radio hidraacuteulico emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (73)

Como se ha visto el valor de los paraacutemetros tales como ti-rante seccioacuten de paso periacutemetro mojado y radio hidraacuteu-lico para conductos rectangulares resulta muy sencillo de obtener Sin embargo para otros tipos de secciones como la trapecial o la circular el caacutelculo de estos paraacutemetros es un poco maacutes complejo aunque siempre respondiendo a determinadas relaciones geomeacutetricas


Tiranteemspemspemsp emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp(74)

Seccioacuten de paso emsp emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp emsp (75)

Periacutemetro mojado emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (76)

Radio hidraacuteulicoemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp emsp(77)


(78)

R b yb yh =

sdot+ 2

T b y= +

2tan θ

A b y y= sdot +

2

tanθ

p b y= +

2sinθ

R Aph =

α =minusarccosD yD

2

las expresiones anteriores resultan

Tirante emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (79)

Seccioacuten de paso emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp (710)

Periacutemetro mojado emsp emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp emsp (711)


El caso de seccioacuten circular llena con flujo en laacutemina li-bre corresponderiacutea a la situacioacuten en la cual el liacutequido ocupa toda la seccioacuten de paso con presioacuten atmosfeacuterica en la arista superior de la seccioacuten El radio hidraacuteulico en este caso valdraacute

O sea para una seccioacuten circular llena el radio hidraacuteu-lico es la mitad del radio interior de la tuberiacutea o la cuarta parte de su diaacutemetro

Caracterizacioacuten de los diferentes flujos

Aun no siendo estrictamente cierto aunque en algunos casos praacutecticamente lo es el flujo en laacutemina libre se va a considerar como unidimensional Esto es la variable espacial x o distancia a lo largo del eje del conducto es la uacutenica coordenada significativa a la hora de analizar el problema De este modo en sentido espacial todas las variables que intervienen en el fenoacutemeno soacutelo va-riacutean con x aunque variando tambieacuten en algunas oca-siones con el tiempo

Por lo tanto en el caso maacutes general y = y (x t) A = A (x t) V = V (x t) y asiacute con las demaacutes variables del flujo

T D y y= sdot minus2 2

A D= minus

2

42

2α αsin

p D= sdotα

R Dh = minus

sdot

4

1 22

sin αα

RAp

RR

R Dh ll

ll

ll = =

sdotsdot sdot

= =π

π

2

2 2 4(713)


Evidentemente existen relaciones que ligan estas va-riables entre siacute Por ejemplo mediante la ecuacioacuten de continuidad se puede relacionar la velocidad media con el caudal circulante y la seccioacuten de paso

(714)

Tambieacuten se puede determinar la seccioacuten de paso A(xy) el periacutemetro mojado p = p(xy) el radio hidraacuteulico Rh = Rh(xt) y el tirante T = T(xt) conociendo la forma y dimensiones del cauce por el que discurre el fluido asiacute como el calado y = y(xt) en cada seccioacuten e instante de tiempo Las expresiones (71) a (712) nos indican el procedimiento a seguir

Cuando el caudal circulante no depende del tiempo se produce un reacutegimen permanente mientras que cuando siacute depende del tiempo el reacutegimen es transi-torio En caso de reacutegimen permanente si las varia-bles del flujo no dependen de x el flujo se denomina uniforme mientras que en caso de que siacute dependan el flujo se denomina variado En flujo uniforme y per-manente todas las variables del flujo se mantienen constantes a lo largo del cauce En caso de flujo per-manente y variado y seguacuten la rapidez con que variacutee el flujo a lo largo del conducto se puede observar tanto un flujo gradualmente variado como un flujo raacutepidamente variado

El esquema anterior es resumen de esta clasificacioacuten de flujos representados graacuteficamente los diferentes ti-pos de flujos en reacutegimen permanente en la figura 3

V x tQ x tA x t

( ) = ( )( )

Reacutegimen Permanente Q = cte

Uniformey = cte V = cte

Gradualmente Variado (RGV)Variado

y = y (x) V = V (x) Raacutepidamente Variado (RRV)

Reacutegimen Transitorio Q = Q (xt) y = y (xt) V = V (xt)

Figura 3emspDiversos tipos de flujo en reacutegimen permanente en el interior de un canal

Por otra parte en laacutemina libre los flujos se clasifican en subcriacuteticos o supercriacuteticos seguacuten el nuacutemero de Froude del flujo el cual representa una relacioacuten entre las fuer-zas de inercia y las gravitatorias El nuacutemero de Froude se calcula mediante la expresioacuten

la cual aplicada al caso de seccioacuten rectangular queda

Con Fr lt 1 el flujo es subcriacutetico y con Fr gt 1 el flujo es supercriacutetico Obviamente el flujo es criacutetico con Fr = 1

En laacutemina libre la celeridad de la onda de gravedad es la velocidad a la cual se transmite una perturbacioacuten como puede ser por ejemplo una onda superficial Su valor es

con lo que el nuacutemero de Froude quedariacutea

Solera

RGV RRV RGV RU RGV RRV RGV

x

Fr V Tg A

=sdot

sdot

22

(715)

Fr Vg y

=sdot

22

(716)

c g AT

= (717)

Fr Vc

=2

2

2 (718)


Con ello en flujo subcriacutetico c gt V de donde se de-duce que la perturbacioacuten se puede transmitir hacia aguas arriba con velocidad c ₋ V Pero en flujo su-percriacutetico c lt V por lo que en este caso la perturba-cioacuten no se puede transmitir hacia agua arriba Estas situaciones van a hacer que algunas caracteriacutesticas del flujo sean diferentes en uno y otro caso aunque estas diferencias no se contemplaraacuten en el presente tema

Pendientes a definir en flujo en laacutemina libre

El principio fiacutesico del funcionamiento de una conduc-cioacuten en laacutemina libre se basa en que la energiacutea poten-cial disponible por la inclinacioacuten del canal se invierte en vencer las peacuterdidas por rozamiento que aparecen cuando circula un determinado caudal Esto que es rigurosamente cierto cuando se observa un reacutegimen uniforme perfectamente establecido no es cierto en otra clase de flujos en los que puedan intervenir ade-maacutes efectos inerciales derivados de la aceleracioacuten del fluido En cualquier caso es una idea a tener presente para entender con sencillez el comportamiento de un flujo en laacutemina libre

x

y

Solera

ZZ0

Origen de cotas

Superficie libre

S0

Sw

Figura 4emspPendientes que cabe definir en una conduccioacuten en laacutemina libre

Profundizando maacutes en esta idea puede decirse que en toda conduccioacuten abierta y tomando como referencia la figura 4 cabe definir tres pendientes

-emspPendiente de solera del canal S0 Se corresponde con la pendiente geomeacutetrica del fondo de la conduccioacuten

-emspPendiente de la laacutemina de agua Sw Es la variacioacuten por unidad de longitud de la conduccioacuten de la su-perficie libre del agua en el canal De acuerdo con la figura 4

-emspPendiente motriz o pendiente hidraacuteulica S Es la variacioacuten por unidad de longitud de la conduc-cioacuten de la energiacutea del fluido por unidad de peso E Por lo tanto si

emsppues la presioacuten sobre la superficie libre del liacutequido a la cota Z es la atmosfeacuterica la pendiente hidraacuteulica responde a la expresioacuten

El signo menos aparece en las tres expresiones para que las correspondientes pendientes sean positivas ya que tanto las cotas como la energiacutea disminuyen en el sentido positivo de las x (sentido hacia aguas abajo)

Tambieacuten cabe sentildealar que en la definicioacuten de las pen-dientes se aproxima el seno del aacutengulo de inclinacioacuten de la solera a su tangente dado el escaso valor de este aacutengulo de inclinacioacuten Por ello el valor del calado y se puede tomar sin introducir un error excesivo tanto vertical como perpendicular a la solera del canal

Para el reacutegimen uniforme y permanente tanto la pen-diente de solera como el calado y la velocidad son constantes a lo largo del canal por lo que se cumple

SdZdx

= minus00 (719)

S dZdxw = minus (720)

E Z Vg

= +2

2(721)

S dEdx

ddx

Z Vg

= minus = minus +

2

2(722)


lo que corresponde en este caso a la igualdad de las tres pendientes

(724)

Obviamente cuando se produce la igualdad entre las tres pendientes es porque el reacutegimen es uniforme estaacute perfectamente establecido y se produce de manera que la energiacutea potencial que se va perdiendo se invier-te en vencer las peacuterdidas por friccioacuten en el canal para el caudal que se establece

Flujo uniforme y permanente Ecuacioacuten de Manning

En anteriores apartados se ha hablado de los diferen-tes tipos de flujo que se pueden establecer en laacutemina libre pero lo que auacuten no se ha comentado es coacutemo determinar los paraacutemetros del flujo en funcioacuten de las caracteriacutesticas del mismo Si se pretende llevar a cabo esta determinacioacuten en el caso maacutes simple que corres-ponde al reacutegimen uniforme y permanente se precisa de una ecuacioacuten que ligue las variables

-emspVelocidad de circulacioacuten o caudal trasegado-emspMaterial que constituye el revestimiento de las pa-

redes del canal o estado del cauce-emspGeometriacutea de la seccioacuten recta del canal de caracte-

riacutesticas uniformes-emspPendiente de la solera del canal (en este caso emspS0 = Sw = S)

La expresioacuten maacutes usual en este caso es la ecuacioacuten de Manning aceptada por la praacutectica totalidad de espe-cialistas como la maacutes adecuada para el caacutelculo del flujo

minus = minus = minusdZdx

dZdx

dEdx

s (723)

S S Sw= =0

uniforme y permanente en canales de caracteriacutesticas asimismo uniformes Esta expresioacuten tiene la forma

o bien multiplicando ambos miembros por la seccioacuten de paso A queda

(726)

en donde

-emspn coeficiente de Manning dependiente del revesti-miento del canal o cauce de su estado de conservacioacuten de la geometriacutea de la seccioacuten y del grado de llenado (generalmente esta uacuteltima variacioacuten no se considera)

-emspS0 pendiente de solera del canal Generalmente se expresa en tanto por cien o en tanto por mil aun-que en las expresiones (722) y (723) se debe intro-ducir su valor en tanto por uno (desnivel en metros por cada metro de longitud de conduccioacuten)

-emspV Velocidad media de circulacioacuten por el canal en ms-emspQ Caudal circulante por el canal en m3s-emspA Seccioacuten recta realmente ocupada por el liacutequido

en el canal en m2-emspRh radio hidraacuteulico correspondiente a la seccioacuten A

en m

Las expresiones (725) y (726) se utilizan tambieacuten en otro tipo de regiacutemenes (RGV RRV) sin maacutes que sustituir la pendiente de solera S0 por la pendiente hidraacuteulica S

El coeficiente de Manning n viene tabulado en la bi-bliografiacutea existente reproducieacutendose en la tabla 1 al-gunos de sus valores caracteriacutesticos Son comuacutenmente aceptados valores de n entre 0013 y 0015 en redes de alcantarillado

VnR Sh= sdot

1 2 30

1 2 (725)

QnA R Sh= sdot sdot

1 2 30

1 2


Tabla 1emsp Valores del coeficiente de Manning n

Superficie Oacuteptimo Bueno Mediano Malo

Tubo de hierro fundido sin recubrir 0012 0013 0014 0015Tubo de hierro fundido recubierto 0011 0012 0013Tubo de hierro forjado comercial negro 0012 0013 0014 0015Tubo de hierro forjado comercial galvanizado 0013 0014 0015 0017Tubos de vidrio y latoacuten lisos 0009 0010 0011 0013Tubos soldados y de barra lisos 0010 0011 0013Tubo de acero en espiral y roblonado 0013 0015 0017Tubo vitrificado para alcantarillas 0010 0013 0015 0017Tubo de drenaje de arcilla comuacuten con juntas abiertas 0011 0012 0014 0017Mamposteriacutea de ladrillo vitrificado 0011 0012 0013 0015Ladrillo con mortero de cemento alcantarillas de ladrillo 0012 0013 0015 0017Superficies de cemento sin arena 0010 0011 0012 0013Superficies de mortero de cemento 0011 0012 0013 0015Tubo de hormigoacuten 0012 0013 0015 0016Tubo de duelas de madera 0010 0011 0012 0013Canalones de tablones acepillados 0010 0012 0013 0014Canalones de tablones sin acepillar 0011 0013 0014 0015Canalones de tablones con listones 0012 0015 0016Canales revestidos de hormigoacuten 0012 0014 0016 0018Superficie de cascote de cemento 0017 0020 0025 030Superficie de cascote 0025 0030 0033 0035Superficie de piedra labrada 0013 0014 0015 0017Canaloacuten semicircular de metal liso 0011 0012 0013 0015Canalones semicirculares de metal ondulados 00225 0025 00275 0030

Acequias y reguerasemspTierra en liacutenea recta y uniforme 0017 0020 00225 0025emspExcavadas en roca liso y uniforme 0025 0030 0033 0035emspExcavados en roca mellado e irregular 0035 0040 0045emspAcequias moderadamente serpenteantes 00225 0025 00275 0030emspCanales dragados en la tierra 0025 00275 0030 0033emspCanales de lecho pedregoso aacutespero con maleza en los bancos de tierra 0025 0030 0035 0040emspFondo de tierra maacutergenes de cascote 0028 0030 0033 0035

Cursos de aguas naturalesemsp1) Limpio maacutergenes rectas sin escalones ni vados o bolsas profundas 0025 00275 0030 0033emsp2) Como el anterior pero con algunos matorrales y piedras 0030 0033 0035 0040emsp3) Serpenteantes algunas balsas y bancos de arena limpio 0033 0035 0040 0045emsp4) Como el anterior escalones maacutes profundos secciones y penn-dientes menos eficaces 0040 0045 0050 0065

emsp5) Como el 3 algunos materiales y piedras 0035 0040 0045 0050emsp6) Como el 4 tramos pedregosos 0045 0050 0055 0060emsp7) Tramos de riacuteo perezosos maacutes bien enmalezados o con balsas muy profundas 0050 0060 0070 0080

emsp8) Tramos muy enmalezados 0075 0100 0125 0150

Valores utilizados correctamente en los proyectos


Seccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libre

Si se supone un conducto con una forma de seccioacuten de-terminada por ejemplo rectangular o trapecial (figura 2) Para este conducto se fija el coeficiente de Manning n la pendiente de solera S0 la seccioacuten recta A ocupa-da por el liacutequido y la forma geomeacutetrica de la seccioacuten pero se consideran como variables los paraacutemetros di-mensionales de dicha seccioacuten Por ejemplo y como se indica en la figura 5 para la forma rectangular la mis-ma seccioacuten A se podriacutea obtener con diferentes valores del ancho de solera b middot y del calado y a condicioacuten de que A = b middot y Lo mismo se podriacutea decir de una forma trapecial cuya seccioacuten A ocupada por el liacutequido se po-driacutea obtener aplicando la expresioacuten (75) con diferentes valores del ancho de solera b del aacutengulo de inclinacioacuten de las paredes laterales θ y del calado y

Figura 5emspDimensiones de secciones rectangulary trapecial para definicioacuten deseccioacuten maacutes eficiente

En estas condiciones y para una forma de seccioacuten de-terminada se definiraacute la seccioacuten maacutes eficiente de un conducto en laacutemina libre a las dimensiones que de-beraacute tener la seccioacuten para transportar el maacuteximo cau-dal habiendo fijado los valores de n S0 y A Tomando como referencia la ecuacioacuten de Manning (726) para igualdad de otros paraacutemetros el caudal maacuteximo se ob-tendraacute cuando el conducto posea el radio hidraacuteulico maacuteximo Si se aplica este criterio a los tipos de seccioacuten definido se obtiene lo siguiente

Rectangular Seccioacuten A1 = Seccioacuten A2

Trapecial Seccioacuten A1 = Seccioacuten A2

b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2



b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2


Para una seccioacuten rectangular la seccioacuten maacutes eficiente se obtendraacute maximizando el valor del radio hidraacuteulico

emspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemspemsp

sujeto a la condicioacuten

(728)

El radio hidraacuteulico se maximiza cuando se cumple

Por ello la seccioacuten rectangular maacutes eficiente es aquella en la cual el ancho de solera es igual a dos veces el cala-do La seccioacuten maacutes eficiente proporciona tambieacuten la ve-locidad maacutexima como se deduce de la expresioacuten (728)


Para la seccioacuten trapecial la forma maacutes eficiente se ob-tiene tambieacuten maximizando el radio hidraacuteulico


R b yb yh =

sdot+ sdot2

(727)Maximizar

A b y cte= sdot =

b y y A R yh= sdot = =2

2 2 (729)

Rb y y

b yh =sdot +

+

2

2tan

sin

θ

θ

(730)Maximizar

(731)A b y y cte= sdot + =2

tanθ


Al ser la seccioacuten A constante maximizar el radio hi-draacuteulico equivale a minimizar el periacutemetro mojado Asiacute a partir de la expresioacuten (731) el problema se redu-ce a minimizar p de la forma

Derivando el periacutemetro mojado p respecto de θ y res-pecto de y e igualando a cero ambas expresiones la seccioacuten trapecial maacutes eficiente se obtiene para

lo cual quiere decir que la seccioacuten trapecial maacutes efi-ciente es la de un semiexaacutegono


En el caso de seccioacuten circular no se puede hablar pro-piamente de seccioacuten maacutes eficiente pues la forma de-pende solamente del diaacutemetro D Pero en este caso lo que se puede hacer es fijando los valores de n S0 y D calcular el calado para obtener la velocidad maacutexima o el caudal maacuteximo pues el calado es diferente en uno y otro caso

En un conducto circular y teniendo en cuenta la ex-presioacuten (725) si se fijan los valores de n S0 y D la velocidad maacutexima se obtiene con el radio hidraacuteulico maacuteximo (ver expresiones (78) y (712))


A partir de esta expresioacuten la velocidad maacutexima se ob-tiene para

p b y Ay

y y= + = minus +

2 2sin tan sinθ θ θ

(732)Minimizar

θ = = sdot =60 32

2ordm A y R yh (733)

Maximizar R D siendo D yDh = minus

sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α (734)

R D siendo D yDh = minus

sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α

(735)

Por otra parte si lo que se pretende es obtener el caudal maacuteximo a partir de la expresioacuten (726) y teniendo en cuen-ta (78) (710) y (712) se deberaacute maximizar la expresioacuten

(736)

Asiacute el caudal maacuteximo se obtiene para

(737)

Las relaciones (735) y (737) las cuales indican con queacute calado relativo se obtiene velocidad o caudal maacuteximo en un conducto circular con flujo en laacutemina libre se han obtenido por consideraciones geomeacutetricas admi-tiendo que el coeficiente de Manning es constante e independiente del grado de llenado del conducto Sin embargo en la realidad dicho coeficiente depende del grado de llenado por lo que los resultados indicados son solamente valores aproximados En el siguiente apartado se veraacute la forma de obtener estos valores en casos reales a partir de las llamadas curvas de llenado

Curvas de llenado en conductos circulares en laacutemina libre

Conductos circulares

En conductos circulares y debido a la dificultad que presenta el caacutelculo del calado a partir de la ecuacioacuten de Manning utilizando las expresiones (710) y (712) para la seccioacuten de paso y el radio hidraacuteulico la solucioacuten de estas ecuaciones se presenta de modo graacutefico mediante las llamadas curvas de llenado figura 6 Estas curvas representan las relaciones ppll AAll RhRhll VVll y QQll en funcioacuten del calado relativo yD siendo los valores

α = rarr = sdot2 245 0 812 rad y D

A R D Dhsdot = minus

minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2

sin sin arccα α α

αα oosD y

Dminus 2Maximizar


minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2



con subiacutendice ll los que se obtienen para seccioacuten cir-cular llena pero trabajando en laacutemina libre y el resto de variables p periacutemetro A aacuterea Rh radio hidraacuteulico V volumen y Q caudal

(738)

(739)

Las curvas de llenado que se presentan en la figura 6 se obtienen por consideraciones geomeacutetricas y aplicando la ecuacioacuten de Manning habiendo supuesto que el coe-ficiente de Manning n no variacutea con el grado de llenado Sin embargo y como ya se ha comentado este coeficien-te cambia con el grado de llenado aumentando al prin-cipio conforme aumenta la seccioacuten de paso para luego disminuir En la figura 7 se presenta la forma que ad-quieren las curvas de llenado en caso de conducto de seccioacuten circular teniendo en cuenta la variacioacuten de n con el calado relativo yD En este caso los valores reales de velocidad maacutexima y caudal maacuteximo se obtienen res-pectivamente para las relaciones yD = 083 e yD = 097

Como puede apreciarse en las figuras siguientes el funcionamiento a maacuteximo caudal (gasto) no se origina para la conduccioacuten circular completamente llena y tal como se dedujo en la ecuacioacuten (737) el calado asocia-do al caudal maacuteximo es proacuteximo a 094 middot D

En lugar de las curvas de llenado para seccioacuten circular que se acaban de ver una alternativa es utilizar la tabla de Thorman y Franke para obtener QQll y VVll en fun-cioacuten del calado relativo yD las cuales se presentan en la tabla 2 Esta tabla se ha obtenido teniendo en cuenta la friccioacuten del aire ocluido la cual presenta la veloci-dad maacutexima para la relacioacuten yD = 0713 mientras que el caudal maacuteximo se obtiene a seccioacuten llena (yD = 1)

Vn

D Sll =

sdot

14

2 3

01 2

Qn

D D Sll =sdot

sdot

sdot

14 4

2 2 3

01 2π

Figura 6emspCurvas de llenado para conducto circular en laacutemina libre Coeficiente de Manning constante e independiente del

grado de llenado


grado de llenado

00

02

04

06

08

10y D

p pll A All Rh Rhll V Vll Q Qll

02 04 06 08 010 1200

Gasto

Aacuterea

Periacutemetro

Velocidad

Radio hidraacuteulico

02

04

06

08

1

0 02 04 06 08 1 12

1211 13 14

Rela

cioacuten

entr

e ca

lado

y di

aacutemet

ro

n variante con el calado

Caudal

Aacuterea

Velocidad


n constanteIndependiente de n


Tabla 2emspTabla de Thormann y Franke Variaciones del caudal y de la velocidad en funcioacuten de la altura de llenado

QQll hD vvll

0001 0023 0170002 0032 0210003 0038 0240004 0044 0260005 0049 0280006 0053 0290007 0057 0300008 0061 0320009 0065 0330010 0068 0340011 0071 0350012 0074 0360013 0077 0360014 0080 0370015 0083 0380016 0086 0390017 0088 0390018 0091 0400019 0093 0410020 0095 0410021 0098 0420022 0100 0420023 0102 0430024 0104 0430025 0106 0440026 0108 0450027 0110 0450028 0112 0450029 0114 0460030 0116 0460031 0118 0470032 0120 0470033 0122 0480034 0123 0480035 0125 0480036 0127 0490037 0129 0490038 0130 0500039 0132 0500040 0134 0500041 0135 0510042 0137 0510043 0138 0510044 0140 0520045 0141 0520046 0143 0520047 0145 0530048 0146 0530049 0148 0530050 0149 0540051 0151 0540052 0152 0540053 0153 0550054 0155 0550055 0156 055

QQll hD vvll

0056 0158 0550057 0159 0560058 0160 0560059 0162 0560060 0163 0570061 0164 0570062 0166 0570063 0167 0570064 0168 0580065 0170 0580066 0171 0580067 0172 0580068 0174 0590069 0175 0590070 0176 0590071 0177 0590072 0179 0590073 0180 060074 0181 060075 0182 060076 0183 060077 0185 0610078 0186 0610079 0187 0610080 0188 0610081 0189 0620082 0191 0620083 0192 0620084 0193 0620085 0194 0620086 0195 0630087 0196 0630088 0197 0630089 0199 0630090 0200 0630091 0201 0640092 0202 0640093 0203 0640094 0204 0640095 0205 0640096 0206 0650097 0207 0650098 0208 0650099 0210 0650100 0211 0650105 0216 0660110 0221 0670115 0226 0680120 0231 0690125 0236 0690130 0241 070135 0245 0710140 0250 0720145 0254 0720150 0259 073

QQll hD vvll

0155 0263 0740160 0268 0740165 0272 0750170 0276 0760175 0281 0760180 0285 0770185 0289 0770190 0293 0780195 0297 0780200 0301 0790210 0309 0800220 0316 0810230 0324 0820240 0331 0830250 0339 0840260 0346 0850270 0353 0860280 0360 0860290 0367 0870300 0374 0880310 0381 0890320 0387 0890330 0394 0900340 0401 0910350 0407 0920360 0414 0920370 0420 0930380 0426 0930390 0433 0940400 0439 0950410 0445 0950420 0451 0960430 0458 0960440 0464 0970450 0470 0970460 0476 0980470 0482 0990480 0488 0990490 0494 1000500 0500 1000510 0506 1000520 0512 1010530 0519 1010540 0525 1020550 0531 1020560 0537 1020570 0543 1030580 0550 1030590 0556 1030600 0562 1040610 0568 1040620 0575 1040630 0581 1050640 0587 1050650 0594 105

QQll hD vvll

0660 0600 1050670 0607 1060680 0613 1060690 0620 1060700 0626 1060710 0633 1060720 0640 1070730 0646 1070740 0653 1070750 0660 1070760 0667 1070770 0675 1070780 0682 1070790 0689 1070800 0697 1070805 0701 1080810 0705 1080815 0709 1080820 0713 1080825 0717 1080830 0721 1080835 0725 1080840 0729 1070845 0734 1070850 0738 1070855 0742 1070860 0747 1070865 0751 1070870 0756 1070875 0761 1070880 0766 1070885 0777 1070890 0775 1070895 0781 1070900 0786 1070905 0791 1070910 0797 1070915 0802 1060920 0808 1060925 0814 1060930 0821 1060935 0827 1060940 0834 1050945 0841 1050950 0849 1050955 0856 1050960 0865 1040965 0874 1040970 0883 1040975 0894 1030980 0905 1030985 0919 1020990 0935 1020995 0955 1011000 1000 100



Figura 8emspSecciones cerradas no circulares utilizadas en redes de alcantarillado

A

Q

vRh

A

Q

v02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

D

D

D

R = D

Ovoide

R = 0167D

0208D

R = 033D

R = 033D

R = 1042D

R = 125D

D

R = 0547D

R = 133D

R = 133D

D

R = 1559D

R = 1001D

R = 05005D

Semieliacuteptica

Herradura

Arco de tres centros

yD

yD

yD

yD

D

D

D

D

A

Q

vRh

A

Q

v

Figura 9emspCurvas de llenado para conductos cerrados no circulares

Relacioacuten entre paraacutemetros hidraacuteulicos del segmento de llenado y de la seccioacuten llena


A pesar de que la mayoriacutea de los conductos cerrados que se utilizan en alcantarillado son de seccioacuten recta circular se dispone tambieacuten de otro tipo de seccio-nes con geometriacutea distinta de la circular tales como ovoide herradura arco de tres centros y semieliacuteptica cuyas caracteriacutesticas geomeacutetricas se presentan en la figura 8 En cuanto al valor de los paraacutemetros hidraacuteu-licos maacutes importantes a seccioacuten llena eacutestos aparecen reflejados en la tabla 3

Tabla 3emspParaacutemetros hidraacuteulicos para secciones cerradas no circulares llenas

Tipo de seccioacuten

Paraacutemetros hidraacuteulicos de las secciones llenas

Aacuterea Periacutemetro mojado


Ovoide 0510 middot D2 2643 middot D 0193 middot DSemieliacuteptica 0783 middot D2 3258 middot D 0240 middot DDe herradura 0913 middot D2 3466 middot D 0263 middot DDe arco de tres centros 0786 middot D2 3193 middot D 0246 middot D

Es importante destacar que los conductos de seccioacuten ovoidal resultan especialmente interesantes debido a que la geometriacutea de su seccioacuten recta transversal les confiere una mayor resistencia mecaacutenica a la rotura que a los conductos circulares

Anaacutelogamente a los conductos de seccioacuten circular existen curvas de llenado para los conductos cerrados no circulares que recogen las relaciones entre los pa-raacutemetros hidraacuteulicos maacutes importantes con relacioacuten a los mismos valores para seccioacuten llena En la figura 9 se puede ver la forma de estas curvas de llenado

Algunos fenoacutemenos que se producen en el flujo en laacutemina libre

Se ha estado viendo hasta ahora el comportamiento del flujo en laacutemina libre en las condiciones de reacutegimen uniforme y permanente Este es uno de los diversos casos de flujo que se pueden presentar y que en rea-lidad va a suceder muy pocas veces pues en la mayor parte de los casos el flujo cambia con el tiempo debido a las circunstancias cambiantes en que se presenta Se

puede pensar por ejemplo en una red de colectores de aguas residuales donde el caudal circulante es diferen-te de unos puntos a otros y de unos instantes a otros pues todo depende de coacutemo vayan descargando sus aguas residuales los diferentes puntos de consumo Y ello por no hablar de los colectores de aguas pluviales cuyos caudales transportados dependen del espacio y del tiempo en razoacuten de la variabilidad espacial y tem-poral de la intensidad de lluvia en la cuenca aportan-te Ello justifica que cuando se disentildean canales o con-ductos de transporte de aguas en laacutemina libre se haga uso de las condiciones maacutes desfavorables las cuales corresponden a los caudales maacuteximos a transportar Y los caacutelculos se llevan a cabo en condiciones de flujo uniforme y permanente por la facilidad de aplicacioacuten de la ecuacioacuten de Manning

Sin embargo existen muchos fenoacutemenos en el flujo en laacutemina libre cuyo estudio teoacuterico presenta diferentes grados de complejidad y a los cuales no se va a pres-tar atencioacuten especial en razoacuten de los liacutemites impuestos al presente tema De todas maneras se presentaraacute a continuacioacuten algunos de ellos a nivel descriptivo re-mitieacutendose a las personas interesadas en su estudio a la bibliografiacutea especializada

Ondas de gravedad

Todos hemos visto desplazarse una pequentildea perturba-cioacuten en forma de onda superficial hacia aguas arriba o hacia aguas abajo de un canal Esta onda se mueve a una velocidad c respecto del flujo denominada celeri-dad la cual para canal rectangular y onda de pequentildea amplitud responde a la expresioacuten

(740)

Cuando el fluido estaacute en movimiento la velocidad de la onda respecto de un observador fijo en las proximi-dades del canal seraacute la combinacioacuten de la velocidad del flujo y la celeridad de la onda (V ₋ c hacia aguas arriba y V + c hacia aguas abajo) Asiacute y seguacuten lo indica-do en la figura 10 si el flujo es criacutetico (Fr = 1) la veloci-dad del fluido y la de la onda son iguales por lo que el observador ve quieta la onda que intentase remontar el canal Si el flujo es subcriacutetico (Fr lt 1) la onda remonta

c g y= sdot( )1 2


aguas arriba pues su velocidad es mayor que la de la corriente En flujo supercriacutetico (Fr gt 1) la onda se desli-zaraacute hacia aguas abajo sin poder remontar el flujo Por ello y en el orden praacutectico observando la evolucioacuten de la onda seraacute posible identificar el tipo de flujo

Figura 10emspEvolucioacuten de una onda de gravedad desde la perspectiva de un observador estaacutetico en funcioacuten de los

distintos regiacutemenes de circulacioacuten

Curva de remanso

En reacutegimen de laacutemina libre el flujo uniforme se alcan-za cuando las caracteriacutesticas geomeacutetricas del canal per-manecen aproximadamente constantes producieacutendo-se la igualdad de pendientes S = Sw = S0

FR lt 1 C gt V

C - Vla onda remonta

Subcriacutetico

FR equiv 1 C = V

C ndash V = 0la onda estaacute quieta

Criacutetico

FR gt 1 C lt V

V - Cla onda se desplazaaguas abajo

Supercriacutetico

Cuando la pendiente motriz S no es igual a la geomeacute-trica S0 se establece un flujo gradualmente variado siempre y cuando la curvatura de las liacuteneas de corrien-te no sea excesiva (para simplificar en las expresiones de caacutelculo se supone que eacutestas son rectiliacuteneas)

En el caso del reacutegimen permanente y gradualmente variado las caracteriacutesticas del flujo variacutean de seccioacuten en seccioacuten pero permanecen constantes en el tiempo Para este reacutegimen se denomina curva de remanso a la forma que describe la superficie libre del liacutequido lo lar-go de la longitud del canal Las curvas de remanso se presentan por ejemplo cuando el calado en un canal va aumentando hasta conseguir nivel suficiente para que el agua supere un obstaacuteculo como puede ser una presa o un aliviadero figura 11 o bien descargue por debajo de una compuerta parcialmente abierta

Figura 11emspCurva de remanso introducida por una presa

El intereacutes que presenta el conocimiento de un reacutegimen de estas caracteriacutesticas es evidente Una de las aplica-ciones maacutes notables es el anaacutelisis de la curva de reman-so que nos permita ver la influencia que la instalacioacuten de una presa pueda tener en las tierras que como con-secuencia de ello van a ser anegadas

Resalto hidraacuteulico

Una de las formas en que el reacutegimen pasa de super-criacutetico a subcriacutetico pero en forma brusca es mediante el resalto hidraacuteulico figura 12 el cual se produce con gran peacuterdida energeacutetica Un caso tiacutepico es el que se ori-gina cuando una compuerta descarga un cierto caudal a traveacutes de una pequentildea abertura en su parte inferior Aguas arriba de la compuerta se origina una carga hi-draacuteulica H que da lugar a la evacuacioacuten del caudal cir-culante por el canal a una velocidad V1 elevada y con un calado discreto y1 para los cuales se admite que el nuacutemero de Froude Fr1 gt 1 siendo el flujo supercriacutetico

h

x

yyr ys

S0 lt Sc


Figura 12emspFormacioacuten del resalto hidraacuteulico a la salida de una compuerta con abertura inferior

Sin embargo si la pendiente S0 del canal es pequentildea eacutesta seraacute totalmente insuficiente para mantener la ele-vada velocidad V1 al ser muy grandes las peacuterdidas co-rrespondientes a dicha velocidad El flujo trata por lo tanto de adaptarse a las condiciones permanentes que impone la pendiente del canal Estas condiciones son para el caso que se establezca flujo uniforme justo a la salida del resalto velocidad V2 y calado y2 con Fr2 lt 1 (reacutegimen subcriacutetico)

Pues bien el cambio de reacutegimen supercriacutetico (debido a la velocidad impuesta a la salida de la compuerta por la carga hidraacuteulica H) a subcriacutetico (impuesto por la pen-diente de solera S0 del canal) se efectuacutea bruscamente dando lugar a lo que se conoce como resalto hidraacuteulicoLos resaltos hidraacuteulicos disipan tanta maacutes energiacutea cuanto mayor sea el nuacutemero de Froude del flujo su-percriacutetico Es particular si Fr1 estaacute comprendido entre 20 y 80 la energiacutea disipada oscila entre el 45 y el 70 pudiendo alcanzar valores de hasta el 85 con nuacuteme-ros de Froude superiores a 80 Haciendo una analogiacutea entre el flujo en un canal y el flujo compresible en un conducto a presioacuten el resalto hidraacuteulico equivale a la onda de choque con paso de flujo supersoacutenico a flujo subsoacutenico


El flujo que se establece en los colectores y bajantes verticales de aguas pluviales yo residuales de los edi-ficios se puede considerar como flujo en laacutemina libre cuando el descenso del agua se produce en contacto con el aire a presioacuten atmosfeacuterica Sin embargo para este caso no es de aplicacioacuten la ecuacioacuten de Manning pues el flujo es muy distinto del que se establece en conductos en laacutemina libre de pendiente reducida

Hy1

y2

V1

V2

Pendiente S0 pequentildeoFR2 lt 1

Figura 13emspDisposicioacuten del flujo de agua en bajantes verticales

Experiencias de laboratorio han demostrado que el flujo de agua en conductos verticales depende esen-cialmente del caudal Para caudales pequentildeos el agua corre totalmente adherida a la superficie interior de la tuberiacutea figura 13 con aire atmosfeacuterico en la parte central Pero al crecer el caudal el agua sigue adherida hasta un liacutemite alcanzado el cual y debido a la resis-tencia del aire el agua termina formando una bola cilindro o pistoacuten que desciende a seccioacuten llena Con ello la presioacuten del aire bajo del pistoacuten puede aumen-tar hasta que dicho pistoacuten termina fragmentaacutendose en porciones de liacutequido que caen de manera maacutes o menos individualizada Estos cambios de forma dan lugar a raacutepidas oscilaciones de presioacuten en el sistema de evacuacioacuten de aguas los cuales pueden llegar in-cluso a descebar los sistemas de sellado en inodoros y desaguumles

Para no alcanzar presiones excesivas en las conduccio-nes de desaguumle es necesario dimensionar las bajantes para un caudal tal que la superficie ocupada por el agua en su descenso no sea nunca superior a un tercio de la seccioacuten transversal de la tuberiacutea

Tras la conexioacuten de un ramal horizontal con la bajante vertical el agua se acelera por la fuerza de la grave-dad y raacutepidamente forma una laacutemina alrededor de la superficie interna de la tuberiacutea Esta corona circular de agua y el alma de aire en su interior continuacutean ace-leraacutendose hasta que las peacuterdidas por rozamiento con la pared interior del conducto igualan a la fuerza de la gravedad Desde ese momento la velocidad de caiacuteda alcanza un valor constante (conocido como velocidad terminal) mientras no se produzca el efecto pistoacuten

Tuberiacutea vertical

Aire

Agua en flujovertical por el interior de la tuberiacutea


La velocidad terminal y la distancia desde el punto de entrada del agua hasta el punto en que se alcanza dicha velocidad se pueden expresar respectivamente mediante las siguientes foacutermulas experimentales

(742)

donde

-emspVt velocidad terminal en ms-emspLt distancia terminal en m-emspQ caudal en ls-emspD diaacutemetro interior de la bajante en mm

El caudal de agua que circula por la bajante en las con-diciones de la figura 13 puede expresarse en funcioacuten del diaacutemetro interior D de la tuberiacutea y de la relacioacuten r entre la seccioacuten transversal de la laacutemina de agua y la

seccioacuten transversal de la tuberiacutea mediante la foacutermula experimental de Dawson y Hunter

(743)

donde el diaacutemetro D se expresa en mm y el caudal Q en ls Para el disentildeo de las bajantes la relacioacuten de aacutereas r se toma entre 13 y 14

Al pie de la bajante vertical la laacutemina de agua circula pe-gada a la pared a la velocidad terminal mencionada an-teriormente (valores del orden de 3 a 45 ms) figura 14 mientras que en el tramo horizontal o albantildeal la velocidad es mucho menor usualmente inferior a 1 ms Durante un corto recorrido despueacutes del codo como maacuteximo unas 10 veces el diaacutemetro de la tuberiacutea el agua fluye en reacutegi-men que posiblemente sea supercriacutetico Debido a que la pendiente de la tuberiacutea horizontal no es suficiente para mantener este flujo la velocidad va disminuyen-do y el calado va aumentando hasta que dicho flujo pasa bruscamente a subcriacutetico mediante un resalto hi-draacuteulico si eacuteste es el flujo en reacutegimen permanente en la

V QDt =

10

0 4

(741)

L Vt t= sdot0 17 2

Q r D= sdot sdot sdotminus3 15 10 4 5 3 8 3

conduccioacuten horizontal En ocasiones el caudal puede ser suficientemente grande para llenar toda la seccioacuten de esta uacuteltima tuberiacutea

Figura 14emspFlujo de transicioacuten entre bajante vertical y albantildeal horizontal

D

Aprox 10D

Flujosupercriacutetico

Salto hidraacuteulico Colector

Flujo subcriacutetico en reacutegimen permanente

BajanteAguaAire


Bibliografiacutea

Arochas S 1983 Cloacas y drenajes Teoriacutea y disentildeo Ediciones Vega srl Caracas (Venezuela)

Grupo Mecaacutenica de Fluidos 1999 Instalaciones interiores de fontaneriacutea y saneamiento Apuntes del curso del mismo nombre editados por el Grupo Mecaacutenica de Fluidos de la Universidad Politeacutec-nica de Valencia

Metcalf-Eddy 1977 Tratamiento y depuracioacuten de las aguas residualesEd Labor SA Barcelona

Potter MC Wiggert DC 2002 Mecaacutenica de fluidos (3ordf ed)Ed Thompson Meacutexico

UD Mecaacutenica de Fluidos 1991 Estaciones de bombeo de aguas pluviales yo residualesEd Generalitat Valenciana Conselleria drsquoInduacutestria Comerccedil i Turisme

White FM 2008 Mecaacutenica de fluidos (6ordf ed)Ed Mc Graw Hill Madrid

Capiacutetulo 8

Flujo alrededor de cuerpos

Iacutendice

IntroduccioacutenLa teoriacutea de la capa liacutemiteLa paradoja de DrsquoAlembertFuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativoLos alveolos en las pelotas de golfFuerzas de arrastre y sustentacioacutenResistencia y sustentacioacuten en automoacuteviles Los coeficientes de arrastre en automoacutevilesFuncionamiento del DRSFuerzas debidas a flujos externos en otros cuerposEl desastre del puente de Tacoma NarrowsEl efecto Magnus las costuras de los balones y la separacioacuten de la capa liacutemiteVelocidad terminal

Bibliografiacutea

Flujo alrededor de cuerpos 185

Introduccioacuten

El estudio de los flujos externos alrededor de cuerpos sumergidos en fluidos establece los principios baacutesi-cos de la aerodinaacutemica Esta parte de la mecaacutenica de fluidos tiene una gran importancia para las ingenie-riacuteas aeronaacuteutica y naval (en cuyo caso se denomina hidrodinaacutemica) Sin embargo tambieacuten la tiene para el ingeniero industrial pues afecta a las fuerzas que experimenta cualquier objeto que se mueva a traveacutes de un fluido (como un automoacutevil o un nadador) el mo-vimiento de un fluido alrededor de los aacutelabes de una turbina o un aerogenerador o incluso aquellos cuerpos alrededor de los cuales se mueven los fluidos (como un estadio o un puente)

El estudio de este tipo de flujos resulta sumamente complicado Por ello la resolucioacuten de los problemas de ingenieriacutea derivados de los mismos suele conllevar la utilizacioacuten de la dinaacutemica de fluidos computacional (CFD ndash Computational Fluid Dynamics) o la utiliza-cioacuten de datos experimentales obtenidos en laboratorio (tuacutenel de viento)

Figura 1emspPerfiles de velocidad en torno a la capa liacutemite generada por una placa plana

La teoriacutea de la capa liacutemite es la tercera alternativa para estudiar los flujos externos Formulada por Prandtl (1904) simplifica el problema del flujo externo a un cuerpo dividieacutendolo en dos zonas la primera cercana al cuerpo donde la viscosidad juega un papel impor-tante (en la figura 1 zona gris en la que las velocida-des tienen un perfil creciente de forma paraboacutelica) y una segunda zona en la que el flujo estaacute plenamente desarrollado (turbulento) Los efectos viscosos son importantes en la primera zona mientras que resultan despreciables a efectos de la resolucioacuten del problema en la segunda al ser el gradiente de velocidades nulo

u0 u(y)

Los flujos con nuacutemeros de Reynolds bajos tienen poca importancia en aplicaciones relacionadas con la inge-nieriacutea y presentan una mayor dificultad a la hora de su resolucioacuten mediante el acoplamiento de la capa liacutemi-te Afortunadamente la mayoriacutea de las aplicaciones reales de la ingenieriacutea se dan en flujos con nuacutemero de Reynolds elevados

La teoriacutea de la capa liacutemite

La teoriacutea enunciada por Prandtl permite calcular los efectos viscosos cerca de las paredes de un soacutelido para posteriormente acoplar estos efectos al resto de flujo no viscoso En otras palabras definir matemaacuteticamen-te la interaccioacuten entre las zonas viscosas y no viscosas del flujo

No existe una teoriacutea simple para realizar este acopla-miento en flujos con nuacutemeros de Reynolds inferiores a 1000 La resolucioacuten de los problemas con este tipo de flujos se suele acometer mediante modelos numeacutericos (CFD)

El espesor de la capa liacutemite puede definirse como el lugar geomeacutetrico de los puntos donde la velocidad u (hellip) alcanza el 99 del valor de la velocidad exterior U (White 2008)

En el caso de cuerpos con un perfil aerodinaacutemico y esbelto y que es paralelo a la direccioacuten del flujo el es-pesor de la capa liacutemite es muy pequentildeo y el gradiente de velocidades permite alcanzar la velocidad exterior raacutepidamente (desde la velocidad nula relativa en las paredes del cuerpo ndashcondicioacuten de adherenciandash)

En estos casos el modelo de Prandtl es capaz de re-solver adecuadamente el acoplamiento entre las zonas viscosas y turbulentas del flujo realizando una predic-cioacuten adecuada de la realidad

Sin embargo en el caso de cuerpos romos y que pre-sentan una mayor superficie opuesta al flujo el espe-sor de la capa liacutemite continuacutea siendo pequentildeo pero en la realidad existe un desprendimiento de la misma Este desprendimiento tiene lugar en la zona en la que la presioacuten se vuelve a incrementar


Figura 2emspDesprendimiento de la capa liacutemite en una esfera creando una estela en la parte posterior

La teoriacutea para determinar en este caso la interaccioacuten entre las zonas viscosa y no viscosa no estaacute bien de-sarrollada y es necesario recurrir a medidas experi-mentales para afrontar este tipo de problemas Asiacute pues en el caso de los problemas relativos a flujos externos la experimentacioacuten y el uso de CFD es fun-damental

Fuerzas sobre cuerpos sumergidos en un fluido con movimiento relativo

Un cuerpo sumergido en un fluido con un movimiento relativo al mismo estaacute sujeto a fuerzas en funcioacuten de la interaccioacuten con el mencionado fluido Las fuerzas que experimenta un cuerpo sin movimiento sumergido en un fluido ya fueron estudiadas en el capiacutetulo relativo a la estaacutetica de fluidos

Capa liacutemite

A los efectos de las fuerzas que experimenta el cuerpo es independiente si el movimiento es del fluido del cuerpo o de ambos De hecho seraacute la velocidad rela-tiva entre cuerpo y fluido la que determinaraacute en parte la magnitud de las fuerzas resultantes De esta manera es posible estudiar en un tuacutenel de viento los esfuerzos a los que haraacute frente un coche en movimiento simple-mente creando un flujo de aire cuya velocidad sea la misma que la velocidad relativa coche-viento que se encontraraacute en la realidad

Por lo tanto pese a que en muchas ocasiones se ha-ble en teacuterminos de resistencia (cuando es el objeto el que avanza contra el fluido) o de arrastre (cuando es el fluido el que se mueve en direccioacuten hacia el objeto) lo cierto es que el caacutelculo de las fuerzas y sus magnitudes son completamente equivalentes

Durante mucho tiempo se creyoacute que el origen de la re-sistencia al avance de un cuerpo en un fluido era uacuteni-camente consecuencia de la viscosidad del mismo Sin embargo el aire es un fluido praacutecticamente ideal (y por tanto con una viscosidad casi nula) y es bien sabido que genera una resistencia notable en cuanto la velocidad aumenta de un cuerpo que avanza en dicho medio

Durante un tiempo la mecaacutenica de fluidos no fue ca-paz de explicar este hecho faacutecilmente comprobable de

La paradoja de DrsquoAlembert

Jean-Baptiste le Rond drsquoAlembert planteoacute una interesante cuestioacuten en 1752 Si un cuerpo simeacutetrico (una esfera o un cilindro) se moviacutea con velocidad uniforme a traveacutes del flujo potencial de un fluido incompresible e ideal la resistencia teoacuterica a su avance seriacutea nula Sin embargo la observacioacuten praacutectica evidenciaba lo contrario

Los fallos en la teoriacutea de la mecaacutenica de fluidos llevaron a los ingenie-ros hidraacuteulicos a dudar de su utilidad Incluso cuando Saint-Venant desarrolloacute el concepto de viscosidad que explicaba la disipacioacuten de energiacutea en un fluido mediante fuerzas tangentes se dudaba que fuera suficiente explicacioacuten para la resistencia al avance de por ejemplo una esfera

No fue hasta que Prandtl enuncioacute su teoriacutea de la capa liacutemite en 1904 que se admitioacute que la estela creada tras el cuerpo generaba una diferencia de presiones que resultaba en una fuerza resistente al avance Fue en ese momento cuando nacioacute la mecaacutenica de flui-dos moderna reuniendo de nuevo los campos de la hidraacuteulica y la mecaacutenica de fluidos

Figura 3emspJean-Baptiste le Rond drsquoAlembert (Wikipedia)


manera experimental Fue Prandtl en 1904 el que con la teoriacutea de la capa liacutemite logroacute dar explicacioacuten a este fenoacute-meno y aportoacute las bases para caracterizarlo fiacutesicamente

Las causas de las fuerzas que experimenta un cuerpo en el seno de un fluido pueden clasificarse en dos tipos en funcioacuten de su origen

-emspResistencia de friccioacuten Es resultado de las tensio-nes tangenciales de origen viscoso y por tanto se origina en aquellas zonas dentro de la capa liacutemite en la que dichos esfuerzos son significativos En un flujo con nuacutemero de Reynolds bajo (laminar) se trata de la principal causa de la resistencia al avance Tan solo con recordar la definicioacuten de vis-cosidad es faacutecil establecer que su magnitud seraacute consecuencia del valor de la viscosidad del gra-diente de velocidades y de la superficie de contac-to cuerpofluido

-emspResistencia de presioacuten Su origen es totalmente distinto al de la resistencia de friccioacuten Se origina en la diferencia de presiones entre la superficie de ataque del cuerpo (la que primero entra en contac-to con las partiacuteculas de fluido) y zona de la estela posterior al mismo La fuerza resultante es la que se opondraacute al avance del cuerpo (resistencia) o lo arrastraraacute con el flujo (arrastre)

Dado que la resistencia de presioacuten depende en gran medida de la separacioacuten de la capa liacutemite una mayor adherencia de dicha capa al cuerpo representaraacute una menor resistencia al avance La capa liacutemite es maacutes re-sistente a la separacioacuten en tanto en cuanto el flujo sea maacutes turbulento

Cualquier cuerpo sumergido en una corriente fluida experimenta una serie de fuerzas y momentos que de-penden del movimiento relativo con respecto al fluido y su geometriacutea Un objeto sin simetriacutea alguna experi-mentaraacute fuerzas en las tres direcciones del espacio

Con tal de establecer una terminologiacutea comuacuten se suele tomar como direccioacuten de referencia aquella que sigue la corriente del fluido sin perturbar con direccioacuten po-sitiva en el sentido aguas abajo (se considera siempre el movimiento relativo fluido₋cuerpo por lo que en el caso de que el fluido esteacute en reposo y el movimiento

corresponda al cuerpo el sentido positivo seraacute en con-tra de dicho movimiento)

La fuerza que se opone al avance del cuerpo en el flui-do (y por tanto seguacuten el sentido positivo del eje recieacuten definido) se denomina resistencia o arrastre (drag en ingleacutes) La fuerza perpendicular a la resistencia en la direccioacuten opuesta a la aceleracioacuten de la gravedad se denomina sustentacioacuten (lift en ingleacutes) y puede ser ne-gativa (es decir sumarse al peso del objeto) Las fuer-zas perpendiculares a las dos anteriores se denominan fuerzas laterales

El momento alrededor del eje de resistencia se deno-mina momento de balanceo el de cabeceo (o picado) es el momento en torno al eje lateral mientras que el momento de giro en torno al eje de sustentacioacuten es el momento de guintildeada

En el caso de objetos simeacutetricos con respecto al pla-no formado por los ejes de sustentacioacuten y arrastre la fuerza lateral y los momentos de balanceo y guintildeada desaparecen Este es el caso de coches trenes barcos y aviones (aunque en los aviones mediante el uso de flaps y alerones es posible modificar la simetriacutea y por tanto los tres momentos)

Figura 6emspFuerzas y momentos en un cuerpo sumergido en una corriente fluida uniforme

Por ello en nuestro caso se estudiaraacuten fundamental-mente en las fuerzas de arrastre y sustentacioacuten

Sustentacioacuten

GuintildeadaResistencia o arrastre

Balanceo

Fuerza

CabeceoVelocidad relativa de flujo sin alterar


Fuerzas de arrastre y sustentacioacuten

Tal y como se comentaba anteriormente el caacutelculo las fuerzas a las que se ve sometido un cuerpo inmerso en una corriente fluida son debidas a fenoacutemenos que tan solo pueden resolverse mediante el uso de CFD o teacutecnicas experimentales De hecho en la vida real los equipos de Foacutermula 1 recurren a estas dos herramien-tas para intentar adivinar coacutemo afectaraacuten las mejoras aerodinaacutemicas en sus coches a los valores de dichas fuerzas Sin embargo incluso con las grandes mejoras que la informaacutetica ha proporcionado en cuanto la ca-pacidad de caacutelculo de los procesadores los datos obte-nidos en el tuacutenel de viento siguen siendo los que maacutes

se acercan a la realidad (pese a que nunca garantizan proporcionar informacioacuten fiable al 100)

Por ello el caacutelculo de las fuerzas de resistencia y sus-tentacioacuten se basa en una foacutermula empiacuterica que tiene en cuenta los principales factores que determinan su valor

-emspSuperficie (A) En funcioacuten de la cantidad de superfi-cie caracteriacutestica del cuerpo (por ejemplo la superfi-cie frontal a la hora de calcular la resistencia al avan-ce) seraacute maacutes difiacutecil avanzar Un ciclista de mayor altura ofrece una mayor resistencia al viento porque opone una mayor superficie Por lo general se utili-za el aacuterea frontal el aacuterea en planta (para superficies como alas) o el aacuterea mojada (para embarcaciones)

Figura 5emspInfluencia de la rugosidad de una esfera en la separacioacuten de la capa liacutemite

Separacioacuten

Estela fina

Capa liacutemite laminar


Estela gruesa

Esfera lisa

SeparacioacutenCapa liacutemite turbulenta

Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa


Los alveolos en las bolas de golf

En los oriacutegenes del golf las bolas eran fabricadas artesanalmente con piel cosida rellena de plumas (feathery) Con la llegada a mediados del siglo XIX del caucho las bolas pasaron a fabricarse mediante un proceso de mol-deado naciendo la llamada ldquogutta-perchardquo Pronto los jugadores descubrieron que conforme las bolas de caucho

La razoacuten de que las bolas de golf vuelen maacutes lejos al tener alveolos es la misma por la cual una esfera rugosa tiene mejor penetracioacuten en un fluido que una esfera lisa Los alveolos consiguen generar turbulencia en el flujo y por lo tanto retrasar la separacioacuten de la capa liacutemite con lo que disminuyen la estela y la resistencia de presioacuten tal y como muestra la figura 5

En cualquier caso la aerodinaacutemica del vuelo de las bolas de golf es maacutes compleja e incluye los efectos en el vuelo (similares a los de otros depor-tes) que se comentan posteriormente

comenzaban a rayarse y presentar imperfecciones alcanzaban una mayor distancia en los golpes En ese momento comenzaron a aparecer disentildeos que incluiacutean patrones y relieve en la superficie de las bolas quedando como el maacutes eficiente el disentildeo con alveolos u hoyuelos (dimples) que se utiliza en la actualidad

Figura 4emspEvolucioacuten de las bolasde golf (shutterstock)


-emspVelocidad relativa del flujo (V) Cuanto mayor sea la velocidad mayor la resistencia De hecho la resis-tencia se incrementa con el cuadrado de la velocidad

-emspDensidad (r) Un fluido maacutes denso generaraacute maacutes resistencia

-emspNuacutemero de Reynolds El Nuacutemero de Reynolds es un factor clave cuando la resistencia es fundamental-mente de forma (y por lo tanto a velocidades bajas) y tambieacuten es determinante en la resistencia de presioacuten

-emspGeometriacutea del cuerpo Es evidente que la forma del cuerpo ejerceraacute una gran influencia en el moacutedulo y la direccioacuten de la fuerza que el fluido genera sobre el mismo

Estos dos uacuteltimos factores (Reynolds y la geometriacutea del cuerpo) se tienen en cuenta mediante unos coe-ficientes denominados coeficiente de arrastre (CD) y coeficiente de sustentacioacuten (CL) ₋obseacutervese como las letras hacen referencia a las denominaciones de las fuerzas en ingleacutes (drag y lift)₋ Por lo general dichos coeficientes suelen facilitarse a nuacutemeros de Reynolds que se entienden normales para aplicaciones praacutecticas (aunque es habitual encontrar graacuteficas de los coeficien-tes en funcioacuten del nuacutemero de Reynolds)

Estos coeficientes se determinan de manera experi-mental y son propios de cada cuerpo En ocasiones los coeficientes reciben denominaciones relacionadas con los ejes de coordenadas cartesianos (Cx Cy)

La expresioacuten general para el caacutelculo de la fuerza de arrastre de un cuerpo en una corriente de fluido uni-forme es

Mientras que de manera anaacuteloga el caacutelculo de la sus-tentacioacuten seraacute

(81)F C AVD D=

12

2ρ

F C AVL L=12

2ρ (82)

El uso de los coeficientes de arrastre y sustentacioacuten es muy comuacuten en ingenieriacutea y es incluso habitual ver referenciado el de arrastre en revistas de divulgacioacuten (sobre todo en lo concerniente al sector del automoacutevil)

En teacuterminos generales la resistencia de un cuerpo con aristas es generalmente elevada e independiente del nuacutemero de Reynolds al provocar una separacioacuten de la corriente Por ello los disentildeos maacutes aerodinaacutemicos suelen tener formas redondeadas

Resistencia y sustentacioacuten en automoacuteviles

Los coeficientes de arrastre en automoacuteviles

Los coeficientes CD y CL son habituales en los cataacutelogos de fabricantes y revistas especializadas de automoacutevi-les Un coeficiente de arrastre pequentildeo implica una menor resistencia de avance del coche (a igualdad del resto de factores como tamantildeo y velocidad) y permite el ahorro de combustible

Por ello la reduccioacuten del coeficiente de arrastre y de la superficie frontal del vehiacuteculo supone un paraacutemetro importante de disentildeo en especial cuando el consumo es un factor criacutetico (como viene sieacutendolo por regula-cioacuten en los uacuteltimos antildeos) Asiacute el Volkswagen XL1 (cuya fabricacioacuten estaacute anunciada para 2013) presenta un CD de tan solo 0186 La primera gran evolucioacuten en la aerodinaacutemica de los vehiacuteculos de gran consumo se produjo con la crisis del petroacuteleo de 1973

Como se puede apreciar en algunos de los coches maacutes veloces de la tabla 1 los coeficientes de arrastre pue-den parecer muy elevados La razoacuten de estos CD que en el caso de un Foacutermula 1 superan la unidad es la necesidad de influenciar el valor de la sustentacioacuten en el disentildeo de estos coches y de generar incluso fuer-zas verticales descendentes (downforce) Es decir una fuerza descendente que les permita el agarre en curva Dicha fuerza tiene como contrapartida un aumento del arrastre Los grandes disentildeos logran generar fuerzas descendentes sin por ello perjudicar la resistencia (y por tanto la velocidad punta)

En el caso del F1 el coche se configura para maximizar el downforce -sustentacioacuten negativa- o minimizar la resisten-cia en funcioacuten de las caracteriacutesticas del circuito o incluso


de la parte del circuito por la que se circule El DRS (Drag Reduction System) consiste en que mover el ala trasera para conseguir reducir el arrastre ₋drag₋ precisamente cuando se quiere maximizar la velocidad punta y no es necesario un agarre tan elevado (en rectas)

Tabla 1emspCoeficientes de arrastre en diversos automoacuteviles

CD Modelo Antildeo

007 Nuna (ganador de la World Solar Challenge) 2001-7

0186 Volkwagen XL1 20130195 General Motors EV1 1996025 Honda Insight 1999026 Mercedes Clase E 026028 Porsche 997 Carrera 2002029 Peugeot 308 2007032 McLaren F1 1992033 Lamborgini Murcielago 2001035 BMW Z4 2006037 Ferrari F50 1996048 Volkswagen Beetle 1938052 Seat 600 1957057 Hummer H2 2003

07ndash15 Coche de Foacutermula 1 -

Funcionamiento del DRS

Los ingenieros tratan de hallar soluciones de compro-miso que en algunos casos extremos llegan a sacrificar el coeficiente de arrastre forzando resistencias extre-mas (un CD de 15) a cambio de obtener un especta-cular coeficiente de sustentacioacuten CL (negativo) de ₋52 Esta es la llamada configuracioacuten de maacutexima carga

La mayoriacutea de los turismos presentan sin embargo una sustentacioacuten positiva (fuerza ascendente) que ha su-puesto que alguacuten modelo pasara tristemente a la histo-ria por su facilidad para despegar a altas velocidades cuando los pesos no estaban bien repartidos (como los modelos de competicioacuten en torno a 1950)

Algunos deportivos de produccioacuten en serie tambieacuten incorporan elementos aerodinaacutemicos moacuteviles como el Porsche 996 Carrera para reducir la sustentacioacuten posi-tiva a altas velocidades

Tabla 2emspVariacioacuten de la fuerza de sustentacioacuten en un Porsche 996 carrera con el uso del aleroacuten trasero

Sustentacioacuten

delantera (a 250 Kmh)

Sustentacioacuten trasera

(a 250 Kmh)Aleroacuten normal 64 kgf 136 kgf

Aleroacuten extendido 5 kgf 14 kgf

En cualquier caso es conveniente recordar que los co-eficientes de arrastre y sustentacioacuten son una simplifi-cacioacuten ingenieril para hallar unas fuerzas resultantes que en realidad son la consecuencia de complejas dis-tribuciones de presiones en la superficie de los cuerpos estudiados

Figura 7emspCoeficientes de fuerza vertical y de presioacuten total resultado de estudiar mediante CFD

un Foacutermula 1 (Cedidas por HRT 2010)


Un estudio maacutes detallado del problema (por ejemplo mediante el uso de CFD o de infinidad de sensores en un tuacutenel de viento) es necesario para comprender exactamente lo que sucede en un caso complejo La figura 4 muestra un ejemplo real del resultado de estu-diar mediante CFD un coche de Foacutermula 1

En la parte superior de la figura (CpZ) se puede apre-ciar como las fuerzas a las que se ven sometidas las distintas partes del coche variacutean en funcioacuten de su geo-metriacutea y del flujo de aire que circula por cada parte del mismo En concreto las zonas verdes y azules son aquellas en las que la distribucioacuten de presiones gene-ra una fuerza negativa (hacia abajo) mientras que los tonos amarillos y rojos demuestran una sustentacioacuten positiva Como puede apreciarse los elementos aerodi-naacutemicos (aleroacuten frontal y trasero) estaacuten especialmente disentildeados para que se genere una sustentacioacuten negati-va que permita un paso por curva a mayor velocidadEstas fuerzas son el resultado de la distribucioacuten de presiones representada por el coeficiente CpT (parte inferior de la figura) y de las superficies sobre las que se generan dichas presiones El CpT nos muestra como las presiones maacutes altas se producen entre otros en las superficies que generan una mayor oposicioacuten a la cir-culacioacuten libre del fluido y que en funcioacuten de su vectorsuperficie generaraacuten arrastre (parte frontal de las rue-das) o arrastre + sustentacioacuten (aleroacuten trasero)

Fuerzas debidas a flujos externos en otros cuerpos

Pese a la popularidad de los estudios aerodinaacutemicos en el campo de la automocioacuten el estudio de las fuerzas que generan los fluidos en cuerpos sumergidos en los mis-mos supone un campo de gran intereacutes en la ingenieriacutea

Los edificios suponen grandes obstaacuteculos para la cir-culacioacuten de las corrientes atmosfeacutericas Si bien la den-sidad y las velocidades del viento podriacutean hacer supo-ner que las fuerzas unitarias debidas a las diferencias de presiones sobre los edificios no son muy grandes las grandes superficies que se oponen a dichas diferen-cias de presiones pueden generar fuerzas de magnitud muy considerable

Estos efectos son especialmente notables en edificios con gran altura En concreto la intensidad de la presioacuten generada por el viento en edificios depende de

-emspForma del edificio-emspVelocidad del viento (moacutedulo y direccioacuten)-emspDensidad del aire

La magnitud de la accioacuten del viento es tal en los grandes rascacielos que en funcioacuten de su forma puede que osci-len notablemente Las dos torres del World Trade Center oscilaban lateralmente 1 m en diacuteas de viento Los arqui-tectos permiten esta flexibilidad hoy en diacutea a los grandes rascacielos precisamente para dotarlos de mayor resis-tencia incluso frente a terremotos y es habitual el uso de amortiguadores de masa para controlar el balanceo

La figura 8 muestra diversas fases del disentildeo del edi-ficio Vela en Barcelona comenzando por la maqueta que se utilizariacutea en el tuacutenel de viento y el estudio me-diante CFD

Figura 8emspMaqueta simulacioacuten en tuacutenel de viento y campo de presiones en modelo CFD del edificio Vela en Barcelona

(Cornejo et al 2008)

Sin embargo el moacutedulo de las fuerzas generadas sobre las estructuras construidas no es el uacutenico factor a te-ner en cuenta Los efectos dinaacutemicos de la interaccioacuten vientoedificio pueden tener gran importancia Asiacute la aparicioacuten de voacutertices y los efectos derivados de la tur-bulencia pueden tener tambieacuten gran importancia

Con independencia de las normativas existentes (como el Coacutedigo Teacutecnico de la Edificacioacuten de 2006) que pro-


porcionan valores maacuteximos de fuerzas a considerar debido a la accioacuten del viento el estudio de edificios singulares debe ser realizado con el apoyo de modelos de CFD o del tuacutenel de viento

El desastre del puente de Tacoma Narrows

Figura 9emspColapso del puente de Tacoma Narrows el 7 de Noviembre de 1940

El caso del puente de Tacoma Narrows es amplia-mente conocido por su impacto posterior en el disentildeo de puentes La estructura que en su diacutea fue el tercer puente maacutes largo de sus caracteriacutesticas colapsoacute bajo un viento constante de tan solo 70 Kmh El puente entroacute en uno de sus modos naturales de resonancia oscilando notablemente y colapsando en tan solo una hora El hecho de que exista registro documental en imaacutegenes del evento lo convierte en un caso de estudio claacutesico en ingenieriacutea

Otras estructuras menos convencionales pueden pre-sentar tambieacuten problemas aerodinaacutemicos destacando los problemas con viseras voladizos y grandes super-ficies planas expuestas al viento (por ejemplo grandes carteles publicitarios)

Especial mencioacuten merecen para los ingenieros de la rama industrial el disentildeo de naves industriales en las que las acciones del viento sobre las cubiertas dada la ligereza de las mismas debe ser tenida en cuenta (me-diante la aplicacioacuten de la normativa existente)

La accioacuten del viento (y de otros fluidos) estaacute presente en muacuteltiples aplicaciones praacutecticas en la vida real que deben ser tenidas en cuenta La siguiente tabla propor-ciona coeficientes de arrastre para diversos cuerpos

Tabla 3 Valores tiacutepicos de coeficientes de arrastre de diversos cuerpos (diversas fuentes)

Cuerpo CD CDmiddotA (m2)

Boeing 747 0031Esfera lisa 01Bala 0295Bola de golf 04Esfera rugosa 048Bola de tenis 065Ciclista 07 051Ciclista en competicioacuten 03Tren aerodinaacutemico (5 vagones) 85

Camioacuten y remolque (deflector sobre la cabina) 076

Antena paraboacutelica (lado convexo) 095

Camioacuten con remolque (sin deflector) 096

Esquiador 1Paracaiacutedas 12Empire State Building 13Antena paraboacutelica (lado coacutencavo) 142

Torre Eiffel 19

Velocidad terminal

Una aplicacioacuten simple pero ilustrativa del caacutelculo de la resistencia al avance de un cuerpo en el aire es la llamada velocidad terminal o velocidad liacutemite Esta velocidad es la maacutexima que un cuerpo puede alcan-zar en el seno del fluido cuando se ve sometido a una fuerza constante

Dado que la fuerza de resistencia viene dada por

F C AVD D=12

2ρ (83)


El efecto Magnus las costuras de los balones y la separacioacuten de la capa liacutemite

Los efectos son muy importantes en algunos deportes jugados con pelotas esfeacutericas La existencia de dichos efec-tos es faacutecilmente explicable mediante los principios presentados en este tema La base fundamental de cualquier efecto (despreciando cambios en la forma esfeacuterica de la pelota) es la rotacioacuten que se le imprime alrededor de uno de sus ejes Esta rotacioacuten aparece en deportes como el fuacutetbol tenis golf o beisbol Este fenoacutemeno conocido como el ldquoefecto Magnusrdquo ya fue observado por Newton viendo partidos de tenis en la Universidad de Cambridge

Figura 9emspEfecto Magnus

F

V Una explicacioacuten simplificada similar a la que justifica la sustentacioacuten en el ala de un avioacuten es que al producirse una rotacioacuten la velocidad relativa del aire con respecto de uno de los lados de la pelota seraacute mayor que la del lado opuesto lo que generaraacute una diferencia de presio-nes Dicha diferencia de presiones generaraacute una fuerza de sustentacioacuten o lateral (cuya direccioacuten seraacute perpen-dicular a la rotacioacuten y la velocidad de traslacioacuten y por tanto determinada por el producto vectorial de w y el vector velocidad V La fuerza Magnus seraacute tambieacuten pro-porcional a dicho producto y puede incluso calcularse con la foacutermula para la sustentacioacuten ya estudiada (con un CL dependiente de la rotacioacuten y el nuacutemero de Reynolds)

El efecto Magnus justifica la trayectoria de las pelotas de tenis de mesa que debido a su masa son suscepti-bles de efectos notables

Sin embargo los efectos en los disparos en fuacutetbol (incluyendo el raacutepido descenso de la ldquofolha secardquo) y los aparentemente caprichosos efectos en los lanzamientos de beisbol no encuentran justificacioacuten en la sencilla descripcioacuten del efecto Magnus Es necesario recurrir a la teoriacutea de la capa liacutemite y la asimetriacutea que a veces presentan las costuras de dichas pelotas que generan que la separacioacuten de la capa liacutemite se presente de manera asimeacutetrica

Tal y como se aprecia en la figura el desprendimiento de la capa liacutemite en la pelota se produce justo en las costuras De hecho al igual que en una pelota de tenis la costura es uacutenica y asimeacutetrica seguacuten ciertos ejes lo que aprovechan los pitchers para variar el efecto al ele-gir determinados ejes de rotacioacuten de la bola

Figura 11emspSeparacioacuten de la capa liacutemite en unapelota de beisbol en rotacioacuten

La diferencia en las estelas creadas por el desprendimiento asimeacutetrico de la capa liacutemite y por tanto de intercam-bio de cantidad de movimiento justifican la aparicioacuten de fuerzas perpendiculares a la traslacioacuten que modifican la trayectoria

Por ello las diferencias de comportamiento entre distintos modelos de baloacuten de fuacutetbol (tema recurrente) pue-den atribuirse no solo a diferencias en peso de los mismos si no tambieacuten a las piezas que conforman el baloacuten y los patrones de costura lo que explicariacutea que los efectos cambiaran radicalmente de un baloacuten a otro


Bibliografiacutea

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Cornejo M Lacoma L Holman D 2008Analisis de acciones de viento en edificios singulares Apli-cacion al Hotel Vela de Barcelona

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La resistencia que ofrece el fluido al avance del cuer-po se incrementa con el cuadrado de la velocidad Ello quiere decir que con independencia de la magnitud de la mencionada fuerza siempre habraacute un determinado valor maacuteximo de la velocidad que se alcanzaraacute al equi-librarse las fuerzas motriz y de resistencia

En la praacutectica esto implica que por ejemplo en los medios de transporte ante la potencia desarrollada por un determinado motor la velocidad maacutexima que desarrolla viene en gran medida determinada por la aerodinaacutemica del vehiacuteculo (y la magnitud de la fuerza de resistencia)

Por otra parte y para el caso de objetos en caiacuteda libre en la atmoacutesfera (y otros fluidos) es posible plantear la velocidad terminal de caiacuteda del objeto que seraacute aque-lla en la que la fuerza de resistencia se iguale con el peso

De manera adicional en aquellas condiciones en las que no sea despreciable por su magnitud (dependien-do entre otros de la densidad del fluido y la del cuer-po) habraacute que tener en cuenta la fuerza de empuje que ejerza el fluido

Por uacuteltimo es conveniente destacar que dado que la resistencia es funcioacuten de la densidad del fluido y que la densidad del aire disminuye con la altura la resis-tencia aumentaraacute conforme el objeto se acerque a la tierra por lo que objetos lanzados desde gran altura una vez hayan alcanzado la velocidad terminal iraacuten reduciendo dicha velocidad liacutemite conforme disminu-ya su altura

(84)Peso C AV EmpujeD= +12

2ρ

Portada

Creacuteditos

Iacutendice

Presentacioacuten


Iacutendice





Viscosidad


Otras propiedades especiacuteficas de losfluidos



Conclusioacuten

Bibliografiacutea

Anexos


Iacutendice

Introduccioacuten

Unidades







Prisma de presiones




Iacutendice

Introduccioacuten




Sistemas Inerciales










2 Flujo Isotermo


Concepto de caudal


Concepto de derivada material o total y derivada local

Concepto de aceleracioacuten material local y convectiva





Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten



Balance de fuerzas Ecuacioacuten de Navier Stokesy de Euler


Conclusioacuten




Conclusioacuten


Iacutendice

Introduccioacuten



Aplicaciones

1 Conducciones

2 Depoacutesitos
















Iacutendice

Introduccioacuten














Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten
















Ondas de gravedad

Curva de remanso



Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten












Velocidad terminal

Bibliografiacutea

Para referenciar esta publicacioacuten utilice la siguiente cita Arregui de la Cruz F J Cabrera Rochera E Cobacho Jordaacuten R Goacutemez Selleacutes E Soriano Olivares J (2017) Apuntes de mecaacutenica de fluidos Valencia Universitat Politegravecnica de Valegravencia copy Francisco Javier Arregui de la Cruz Enrique Cabrera Rochera Ricardo Cobacho Jordaacuten Elena Goacutemez Selleacutes Javier Soriano Olivares Disentildeo graacutefico y maquetacioacuten Javier Albert Pardo copy 2017 Editorial Universitat Politegravecnica de Valegravencia distribucioacuten Telf 963 877 012 wwwlalibreriaupves Ref 6235_01_01_01 ISBN 978-84-9048-359-6 (versioacuten impresa) Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproduccioacuten traduccioacuten y difusioacuten parcial de la presente publicacioacuten con fines cientiacuteficos educativos y de investigacioacuten que no sean comerciales ni de lucro siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV la publicacioacuten y los autores La autorizacioacuten para reproducir difundir o traducir el presente estudio o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma con fines comercialeslucrativos o sin aacutenimo de lucro deberaacute solicitarse por escrito al correo edicioneditorialupves Impreso en Espantildea


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143

145

152



155

155

156

158

159

161

162

166

170



173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten



Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1


Iacutendice


Bibliografiacutea
















































x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0



y h es inmediato


Viscosidad




Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus


Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)





υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)







(15)

(16)





micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022





dvdy

Liacutem

ites d

e flu

enci

a



Plaacutestico


Newtoniano


ζτ
















(17)K p= minus

∆∆forallforall

(18)K dpd

= minusforallforall





(19)

20000

20000

20000

K dpd

=ρρ


(110)






dp d RT= ρ 0

(111)p C

ργ =





(112)


S C pH=




Pres

ioacuten

Soacutelido


Temperatura

Liacutequido

Gas

Punto criacutetico

P

V

PC

VC

Vapor

Gas

Liq-Vapor

Liacutequido










Temperatura (ᴼC)

Pres

ioacuten

de v

apor

(kPa

)

0 20 40 60 80 100

20

40

60

80

100















(114)


(115)



timesT con 0 082deg

(113)

p R Tg= ρ





p Cργ = (116)



(117)


Conclusioacuten











Bibliografiacutea






Anexos





1 middot 10-4

20


1 middot 10-2



Queroseno

Agua

10

1 middot 10-3

1 middot 10-5

Octano Heptano

Hidroacutegeno

Aire Helio Metano

20 60 100 140 180 220

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

μ(N

middot s

m2 )

Vis

cosi

dad

μ(lb

-s

ft2 )

1 middot 10-2

1 middot 10-3

1 middot 10-4

4

1 middot 10-5

1 middot 10-6

2 ∙ 10-7

220



1 middot 10-6

1 middot 10-3

Aceite SAE-10W

1 middot 10-4


Aceite SAE-10W-30

Mercurio

QuerosenoAgua

1 middot 10-5

1 middot 10-7

Octano

Heptano

Hidroacutegeno

Aire

HelioMetano

20 60 100 140 180

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(m

2 s

)

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(ft

2 s

)1 middot 10-2

1 middot 10-6

1 middot 10-3

1 middot 10-4

1 middot 10-5

1 middot 10-2











1 gal(US) = 231 in3 = 0003789 m3







1 ft-lb = 1356 J1 BTU = 7782 ft-lb






Capiacutetulo 2


Iacutendice






Prisma de presiones




Introduccioacuten





(21)

x1

x2

θ

en

e2

e1

δx1

δx2

δS1

δSn

δS2

Xδminus

1 1P S

δminus

2 2P S

δminus

n nP S

δ δδ = 1 2

2x xV





(23a)

(23b)

(23c)


(25a)

(25b)


(26)


(22a)P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

(22b)

P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

δ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdot

(24)δδ δV x x

=sdot1 2

2

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

P P P Pn1 2= = =


Unidades





Teacutecnico kpm2

- Bar 105 Pa


- Torricelli mmHg


(27)


(28)






1 760 atm mmHg=








Lect

ura

loca

l bar

oacutemet

ro

P m

an 2

P a

bsol

uta

2

1 atm

P atm estaacutendar

P atm local

1

2


P absoluta 1


1 atm = 760 mmHg = 1034 mca



(210)


(211)




(213)


P x x P Px



+ =

x3

x1

x2

δx2

δx1

δx3

x2v x1v

x3v

δ δ δ δ= 1 2 3V x x x


part+

1 2 3

1

PP x x xx

δ1vX V

partpart

=Px

X v1

1 (212)

partpart

=Px

Xρ1

1


(214)



(215)


(216)



(217)


(218)


ρ



u ru uruρ

P r P x y z P

( ) = ( ) = 0



ρ




ρ

X gkuru r

= minus





(219)







P

z

z


000 0 0 0




Ec gases perfectos


(221)



(223)





dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ


dPP

gR

dzT

gR

dzT Bzg z

z

P

P

g z

z


00

1

0 0

(222)

ln lnPP

gR B

T BzT

P PT BzTatm g

atm1 0

01

0 1

0

=

minus

rarr =

minus

gR Bg




(224)


(225)



GA

C

y

xxG

yG

O

y

x

yn

z

x

y

θz

Superficie libre



F z A P AT G G= =γ

(226)

Despejando




(229)


Siendo


y dF F y

y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot



y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot



yI

P AI

y Axx

G

xx

G

=sdot sdot

sdot=

γ θsin (227)

x dF F x xI

y ATxy

G


I I Ay

I I Ay x

xx x x G

xy x y G G

= +

= +

2

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x

(230a)

(230b)

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x









Prisma de presiones







FT

h 3

h

L

b

Superficie libre

Superficieγ h


sdot sdot( ) =γ γ

212

2 (231)








= Gz z

GA

Superficie libre

γ Gz

γ=T GF z A

FT

h1

h2

h2 - h1

b

Superficie libre

Superficieγ 2h

γ 1h






2 1 22

12

212

(233)

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1 (234)






y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( )

(235a)

y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( ) (235b)

y y F y FF

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

y y F y F

F

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

(236)

FTh1

h2

L

b

Superficie

Superficie libre

γ 2h

γ 1h





(238)


(240a)

(240b)

(240c)



sdotγ 1 2

2(237)

F dF P dAA




x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r








(242)



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dF PdAur uru

= minusdF p dA

dF dF i dF j dF k


x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dAz

dAx

dAy

dA

h

y

x

z Superficie libre

γ=P h= minus

dF PdA


F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup


F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup

rrza sobre Aysupint


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ



(243)











Fz

b2

b1zx

Fx

FzFT

Superficie libre

γ 2b

γ 1b

V

b2

b1

z

x

Fx

Fz FT

Fz

Superficie libre

γ 2b

γ 1b





(244)


xy

V

z

Vf1Vf2

Fz2

Fz1






(245)




z

x

yβ

dA2 P2dA2

αdA1

P1dA1

V

h1

hh2



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ




=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ




(247)







γCC

PV

= (246)








G

C

W

z

x

y

γ=E V

W

G

C

E

W

G

C

EPar restaurador

Estable

W

G

C

EW

G

C

E

Par vuelco

Inestable

G equiv C

Indiferente









V

γ C CV

γ






(248)


C1

G

P

V1

C2

E

G

P

E

C2

C1

V2









MG IV


CG

E

PV

C

Por vuelco

PV

Elsquo gt E






Capiacutetulo 3










Bilbliografiacutea









Introduccioacuten























(31)



r x i y j z k0 0 0 0= + +


k

(32)


k




(34)

Con

z

x

y

(t0)

z0

x0

y0

z

xy

r0

r

(t)


V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

(33)


u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35a)

u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35b)



o bien por




u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 ) (35c)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(36)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(37)

θθA

rA r

PA

z

x

y




(38)


(39)

(310)







( )u u uz r

uru uru uru

θ ( )a a az r

uru uru uru

θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ

(311a)

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ


d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ (311c)






tiempo t seraacute

(311)


(312)

1

x

2

r xi y j zk

= + +








1 2

1 2

t

x

Instante tA

Instante tB

tBtA

u Punto 2

Punto 1

x







p r t( )

T r t( )

ρ( )r t

Acometida


P = 10 mca






Sistemas Inerciales


Z

X

Y

x

y

z

O

or

Sistema moacutevilR

Sistema fijo

P

( )V ctesist

u ruuu=



(313a)

(313b)


(314)




(317)





r r u ruuuR r OO= +

r r u ruuuR r OO= +

V dr

dtdxdte dy

dte dz

dter x y z= = + + (315)

ru ruuu

V dOOdtsistema =

(316)

V V Vp r sistema= +

a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2 (318)



(319)


(320)






(321)



a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2




ω timesVr


k


k







z

x

y

C D

A B

vC

vD

vBvA

Instante tLCD

LDC2

LDC1



x

Instante tA

Instante tB

x

LDC = Trayectoria

LDC = Trayectoria







LDC






z

x

y

Instante tA

Instante tB






(322)


(323)









(324)


z

x

y

vB

uBVB

vA

uA

VA

z

x

y

vA

uA

VA

vB

uB


VB

A B

A B

u uv v

nene

A B

A B

u uv v

==



(325)



(326)

V u x y z t i v x y z t j= +( ) ( )

V u x y t i v x y t j= +( ) ( )

V u x y z t i= ( )






x

y

u(y) h

y

x



Desaguumle

θ

r





z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite




z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite








(327)










tT PPTP

u (l s)








Capa liacutemite

Capa liacutemite

Zona de flujo ideal






z


y








Laminar

Transicioacuten

Turbulento



(328a)

(328b)

(328c)

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ







(329)




u ti ( )

u ti ( )

u ti ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )




t


t

ui(t)

uz(t)

uz(t)


Media temporal nula



( )zu t

Re =sdotV L

ν

Con








z z


(330)








( )V Vfluido pared

u ruuuuu u ruuuu=

V fluido

u ruuuuu= 0








P R T PR Tgg


ρ ρ (331)

ρ =sdot +

=101325

287 20 273 151 2 3

( ) Kg m (332)



2 Flujo Isotermo




ρ =sdot +sdot +

=6 10 101325

287 20 273 158 3

53

( ) Kg m (333)




Concepto de caudal




forall t

v

vn

dA

dAθ

tθ

ndA

dA

SdA

+t dtvdt

cosdA θ

vdt




(334)








cosθ



cosθ

dQ ddt

dA V dA V=forall

= sdot = sdot sdot

cosθ (335)

Q dQ V dAS S

= = sdotint int

(336)

ρ = forallm

dG dmdt

ddt

dQ V dA= =forall


(337)








G V dAS

= sdot sdotint ρ

(338)

G V dA QS


(339)

V QS S

V dAmediaS

= = sdotint 1 (340)

Q V Dmedia= sdot

sdotπ 2

4 (341)








D tDt A

τ τ( )



(342)






)

(345)



τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


D tDt

ttA A

τ τ( ) ( )=

partpart

(344)

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t











τ τ

= ( )r t

Derivada local de

τ τ τ=

partpart

ne( ) ( )r tt

D tDt A

(346)

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

(347)

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

(348)




τ τ

= ( )r tτ τ

= ( )r t τ τ

= ( )r t







uyv

zw=

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

(349)

τ τ

= ( )r t

D τ ( )r tDt

(350)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

τ ( )r tt

(351)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

+partpart

+partpart

τ τ τxu

yv

zw (352)

τ τ

= ( )r t





siendo







a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (353)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (354)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(355)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(356)

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D









( ) ( ) ( ) ( )= sdot + sdot + sdot

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357a)

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357b)a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )(357c)







m Vi isdoturu

V r t dmuru r

( ) sdot


= int (358)


= int ( ) (359)







VC

Superficie entrada


VC

Superficie entrada

VC

Superficie entrada

Superficie salida


x

y

x

y

x

y



(360)













emspPara el VC


H

H tsist

u ruuu( )

h t( )



h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

(363)

H t h t dmSist

Sist

( ) ( )= int (364)

H tVC

u ruuu( )

h r t( )


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )






(367)

V(t) V(t + Δt)I

II

III

H tsist

u ruuu( )

dH tdtSist

( )

(366)

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆







(370)


dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

(368)



∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ (369)

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

H




(372)






dm dG ddt



∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

dm dG ddt



(371)

dm dG ddt



dm dG ddt



dm dG ddt




V tSC

u ruu( )


= minus

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int dH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt



dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int





(373)





dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt



dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt

h d h V dASist

t VC tr SC

SC t

( )

( )

( )








Bibliografiacutea





Capiacutetulo 4


Iacutendice




Conclusioacuten



Introduccioacuten






(41a)

(41b)



ρ ρ==

( )

( )p T

u u p Tρ ρ=

=

( )

( )p T

u u p T










partpart


Vuru


( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

(42)


(43)



O bien




( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0 (44)

DDt

Vρ ρ+ nabla( ) =

0 (45)

nabla sdotV





(46)





δV


13


13

ρX







(47)



X Uuru

= minusnabla


13



nabla sdot =V C


13


A U p

+ nabla +

=

ρ 0 (48)






( )s n b

V V s t= ( )

n

Rc


O

= V V s ( )s s s=

part part =s s n Rc

( )s n b

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

(49)

partpart

+

partpart

+partpart

+

=

sV V

t sgz p2

20

ρ(410)








partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2

20

ρ(411)

= ( )s s s

( )part part =V t 0

partpart

= rarr = + + =Bs

B V gz p C02

2

ρ(412)

partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2 0ρ

(413)





(415)



Conclusioacuten


ρ θDeDt


ρ θDeDt


ρ θDeDt


Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2

Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2










(416)




nabla =V 0

nabla =V 0

ρ microDVDt

X p V Ruru







ρ microDVDt

X p V Ruru



ρ 2u ρuv

ρ microDVDt

X p V Ruru




































(418)


V u y iuru r= ( )

nabla sdot = =θV 0

X Uuru

= minusnabla

e

x

y

U0



ρpart

+partpx

= timesU g h

ρδ y

δ xτ

ττ part+party




part= minus

partpart

+partpart

gzx

px

uy

2

2






part +( )part

=partpart

p uy

γmicro

zx

2

2 (420)

δ δx ysdot sdot1


sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy




sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy



τ micro= ( )du dy

u y U yh

ddxp h ey y


γ

micro21 (422)





u y U yeo

( ) = (423)


Φ =

=

micro microdu

dyUe

2

0

2

(425)








Frena el movimiento






Cuando dpdx lt 0

Cuando dpdx gt 0


Cuando dhdx lt 0

Cuando dhdx gt 0

P dUe

dyUed

y

y e

= forall =

sdot sdot =int int

=

=

Φ0

0

2

02



Conclusioacuten


Capiacutetulo 5


Iacutendice


Aplicaciones











Introduccioacuten












(51)

(52)


(53)

El TAR queda

(54)

es decir

(55)


(56)

H t m( ) =

h r t dm r tdm

( ) ( )= = 1

dm tdtSist ( )

= 0



r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )



r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )

m t r t dVCVC t

( ) ( )( )

= forallint ρ




(57)


(58)







( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

0 = +dm tdt

G tVCSC

( )( )



Sup Entrada

ventn

Sup Salida

VC vsaln



entv

salv

dA

dA


(510)


(511a)

Mientras que

(511b)






iEntradas j



( ) ( ) ( ) ( )

= sdotint ρ


( ) ( ) ( )middot( )

= int ρ


G t G tVCi

Salidasij

Entradas j

( )( ) ( )

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (512)

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi


0

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi


0


Aplicaciones

1 Conducciones



por lo que

Ello implica que


(517b)


(518a)


( ) ( )( )

= =int ρ

(514)

dm tdtVC ( )

= 0 (515)

G t G tjEntradas j

iSalidasi

sum sum=( ) ( ) (516)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

(517a)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ


( ) ( )( )

= sdotint

(518b)

quedaraacute

(519a)

(519b)


(520)



(521a)

(521b)


(522a)

(522b)


( ) ( )( )

= sdotint




iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )


iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )







(523a)

(523b)



(525)


(526)





i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (524)



Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)


Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)







ρ ρ= ( )r

dm tdtVC ( )

= 0 (527)

G GjEntradas j

iSalidasi

sum sum= (528)


( ) ( ) ( )

= sdotintρ

(529a)


( ) ( )( )

= sdotintρ

(529b)


( ) ( )( )

= sdotint

(530a)


( ) ( )( )

= sdotint

(530b)


quedaraacute

(531a)

(531b)



(533a)

(533b)



(535)


(536)



ρ ρj jEntradas j

i iSalidasi

Q Qsum sum= (532)




i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (534)





2 Depoacutesitos


VC

ρent

ρsal

Qent

Qsal


Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)

ρent ρsal






con

(538a)

(538b)

(539a)

(539b)



(541)

Ge3(t)

mVC(t)

Gs2(t)Gs1(t)Ge2(t)

Ge1(t)

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (537)





dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (540)


por lo que

quedando finalmente


(544)




(546)

m tdt

td tdt

t d tdt

VC VCVC

( )( )

( )( ) ( )


ρ (542)


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum (543)


( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt Q t t Q tVC

jEntradas j

j i iSalidasi

ρρ ρ

ρ ρ ρsdotforall

= minussum sumd tdt

Q t Q tEntradas j

j iSalidasi

( ) ( ) ( ) (545)

d tdt

Q t Q tjEntradas j

iSalidasi






(547)

V(t)

Qs (t)

Qe (t)



Ventilacioacuten

Aprox 5 m



Ventilacioacuten

Aprox 5 m

d t Q t Q t dtt

jEntradas j

iSalidasit

t

forall = minus

forall

forall


0 0

quedando

(548)


(549)

quedando

(550)



(551)



Entradas ji

Salidasit

t

00

d tdt

A dz tdtd

forall= sdot

( ) ( )

A dz tdt


iSalidasi


Qe (t)


z(t) V(t)Qs (t)

z t zA

Q t Q t dtd

jEntradas j

iSalidasit

t

( ) ( ) ( )= + minus

sum sumint0

1

0







VC(t)





G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

ρ ( )( ) ( )

ρVCVCt

P tRT

( )( )

= (553)

VRT

dP tdt

G t G tVCj

Entradas ji


( )( ) ( ) (554)





(556)


(557)

dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (555)

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )








minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )


minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )


LDC (coordenada s)

dAds

dz

s

PdA

θ

ds

part + part

PP ds dAs




(559)



(561)






partpart





partpart



dm DvDt

dm a a ds dA vt


partpart

+partpart

ρ


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin (562)














1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

+partpart

=Psg dzds

vt

vs

(563)









(566)

1

2

1

2

1

2 2

1

21 12


+partpart

+partpart

+partpart

=ρPsds g z

sds v

sds v

tds (564)

1

2 2

20int

partpart

+ +

=

sP gz v dsρ

(565)

P gz v P gz vρ ρ

+ +

= + +

2

1

2

22 2



o bien






P z vg

P z vgγ γ

+ +

= + +

2

1

2

22 2

(567a)

(567b)P z v

gP z v

g1

11

22

22

2

2 2γ γ+ + = + +




Z1

Z = 0

Z1

Z1

Z2

Z2

Z2

11

1

12

2

2

2

v1

v1

v1

v2

v2

v2





(569)



P z vg

P z vg

11 1

12

22 2

22

2 2γα

γα+ + = + + (568)


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


v dAReal

A

= int

3

2ρ (570)












Unif con v

=

RReal

(571)

α =

int

13

AdAv

vA(572)

EnergiacuteaPeso

F LF

L

=

= (573)











( ) ( )P z v gγ + + 2 2

( )P zγ +





z




H

B








Z = 0

LAG

LAP

LAT


γP

z


















(575)


i

n

i

tr

gdvdtL

=sum

β

1

1(574)

h B B P z vg

P z vg

P PB = minus = + +

minus + +

minus2 1

22

22

11

12

2 1

2 2γ γ γ γ

Aspiracioacuten (1)

Q

Bancada






(576)


(577)


h f LDvgf = 2

2

h B B P z vg

P z vg

P Pf = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2




(578)



h B B P z vg

P z vg

P Pm = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2








1

2



(580)




P z vg

11

12

2γ+ +

P z vg

222

2 2γ

+ +

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL(581)

h B B P z vg


minus + +

1 2

11

12

22

22

2 2γ γ







Vaacutelvula

T1


T2

2z1

z2

Δzhmv

hf2

hf1

z = 0

BombaT1


1

T2

2

z1

z2Δz

hB

hf2

hf1







Altura Q Emg

mgV

Vt



(583)












1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

=Psg dzds

vs

(584)

1 0ρdP gdz vdv+ + = (585)


(586)


(587)






1 12

02

ρdP gdz vdv f

Dv ds+ + + =

1 12

02

ρdP f

Dv ds+ =

ρ = ( )P RT

G Q v D= =ρ ρ π( )2 4v G D= ( )4 2ρπ

dPPRT

fD

GPRT

Dds +

=12

4 02

2

π (588)

Es decir








P

P L

P dP fG RTD

ds1

2 8 2

2 50

int int= minusπ

(589)

P P fGDRTL1

22

22

2 5

16 = +π

(590)

P P fGDRTL P P

g z zRT1

22

22

2 5 12

22 2 116 = + + +( ) minus( )

π (591)






(592)




E mgzp =

E mvc = ( )1 2 2

U mu mC Te= =

HSist

u ruuu

dEdt

ddt


VC SCr SC= + +

sdot + + +

int int

2 2

2 2ρ ρ


dEdt

dQdt

dWdt







(595)



dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


(594)

dWdt

dWdt

dWdt

Sist VC SC= +


(596)





(597)

dWdt

dWdt

dWdt

SC SC

FuerzasPresioacuten

SC


= +

V = 0

VCV = 0

11P dAtimes


1dA

2dA

3dA

dWdtSC


= 0

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint





(599)


(5100)

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC


dF PdAP


dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC


dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int


(5101)


(5102)


(5103)



dQdt

dWdt


SC

+ = + + +

sdot( )int

2

2 ρρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2







(5105)


(5106)



dQdt

dWdt


minus + + +

2

2

2

12 2ρ ρ

GG

(5104)

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg

h P z vg

hB f1

11

22

22

2

2 2γ γ+ +

+ = + +

+





















VCQ

Q

z

yx

z

yx

VC

0 0

Q

F ma=

h H m=


p m mv m v= =

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum (5107)











dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

ddt

v d v v dASistr SC

SCVC


F ddt



F ddt



F ddt



F ddt








QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF

QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF





(5110)


(5111)



sum sum sum=( )


dtv Q v QExt

VC

Salidasi

Entradas jj

u ruur

r r

i

ρ ρ


iEntradas j

jρ ρ

F ma=




(5112)

se pasa a

(5113)

donde

(5114)


RdR dtur

d R dt2 2

ωur

d dtωur

F ma=







a d Rdt

ddt


2

(5115)










(5118)







ddt

v d v v dArVC

r r SCSC




VC

a duru u ruuuuu

+( ) forallint ρ



rVC


sdot( )int

(5119)


F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


donde









(5121)



F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC



F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


d R dt2 2

ωur

d dtωur

r

ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


sum summinus =( )


d mvdt

v QExt VCVC

Salidas ii

Entradas

ρj

jv Qsum ( )ρ

2

2








mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii


mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii



u ruuu r r= and( )

d r mvdt

MSistExt

r ru ruuuuand( )

= sum (5123)


r v d r v v dAExtVC

r SCS


CCint

(5124)

r



(5125)


(5126)



(5128)

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ


iEntradas j

ρ ρ j


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int

(5127)


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2




M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj

(5129)

Capiacutetulo 6


Iacutendice





Bibliografiacutea


Introduccioacuten















(61)


Q D i Nijj

n

i=sum = =

11 2




(62)


Qij (+)

Si (+)

n

j1

2

i

i

n

ij

N


1 1

( )





(63)





(64)





(65)













(66)JhL

J D V gf= = ( )ε ν

JhL

fDVg

f= = 2

2 (67)




(69)


f f D V fDVD f r= =

=( ) ( Re)ε ν ε

νε (68)

1 23 7

2 51 23 7

2 51f D R f fe

r= minus +

= minus +

log

log

Re

ε ε






fRe VD

= =64 64ν

(610)

JhL

VDDVg gD

V kVf= = = =

64

264

2

2

2

νν



(612)



f

LogD Re

=

+

0 25

3 75 74

0 9

2

ε(611)









00008

000001

00000500001000020000400006

00010002

0004000600080010015002

003004005007

008009

01

006

005

004

003

0025

002

0015

00100090008

108107106105104103




Flujo laminar

f Dε

0000001Dε =

0000005Dε =

tubos lisos

Re

f = 64 Re
















A2A1 01 02 03 04 05Cc 0624 0632 0643 0659 0681

A2A1 06 07 08 09 10Cc 0712 0755 0813 0892 10


h Vg

AAe = minus

1

21

2

2

21 (613)

h Vg Cc

c

= minus

22 2

21 1 (614)









Elemento k







Apertura (ordm) 10 15 20 225 30 40 45k 108408 25524 9147 6009 2154 772 507

Apertura (ordm) 50 60 675 70 75 80 90k 348 182 119 105 082 065 043



100000

90

1000

010

k

GA (ordm)

80706050403020100






fLDVg

k Vg

e2 2

2 2= (615)

L k Dfe = (616)






B z p Vge = + +

γ

2

2(617)







43

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 043

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 0












11 1

pH zγ

= + 22 2

pH zγ

= +

1 2




Diaacutemetro (mm)

Rugosidad (mm)






211

1

12

( ) minus ( ) ( ) minus ( ) = (618)

H HL

fDVg

p p1 321

1

1

12( ) minus ( )

= (619)






3170 m

9434 m 9423 m9170 m

8063 m 7300 m

3300 m

z = 0










3284 m

9908 m

7555 m 7524 m7392 m 7300 m

3300 m

z = 0






Presiones negativas

Presiones positivas




















h k Vg

p k QA gL = rarr

∆=

2 2

22 2γ(620)

Q K pk


γQ K p

kKv v= ∆ rarr =

2 2gAγ

(621)






PQ H Q

QP Qb b b

b ba b=

sdot sdot ( )( ) = ( )γ

η(622)

P w kwa =sdot

sdot

=9810 330

360052

0 8157 73

(623)




(624)

(625)



HPabsorb

REND

Hb (m)

Hb

η

Pa

55

45

35

80

60

Q (m3h) 100 200 300 400 500

120

60

408empty1504001450 rpm


ηb b bDQ EQ= + 2






B0

A0

A1


H0

H1

A2

B1

B2

QQ0Q1

N0

N1

N2


0

NN

α =


QQ

α= 2

0

HH

α= 0η η=



22b b

D EQ Qηα α

= +










(626)





B H Q B h Qbi

n

fi1 21

( ) + ( ) = ( ) + ( )=sum

Hbη

QQ0

H0

Hg

η0

P0Hr (Q)

Hm (Q)

η (Q)

hf = KQ2

Curva motriz

Curva resistente


















Si



(627)



M L N= minus + 1




















A dzdt

Q Sjj

n

iminus + ==sum

10 (628)













t = t + Δt




FINSIacute

NO

NOSIacute
















(629)

H x H x L Lg

dVdt

f LD

V Vg

I dQdt

R Q Q ( ) ( )0 0 2minus + = + = +







I LgA

= (630)

R f LD

= 0 0826 5 (631)

HL D f

HVg

f LDVg

VgH

f LD

= + rarr =

+

02

02

02 22

1(632)









H Vg

f LDVg

LgdVdt

= + + 2 2

2 2(633)

tLVgH

V VV V

=+minus

0 0

02ln (634)

TLVgHe = 1 832 0 (635)













(636)


(637)



∆ =HaVgJ 0

∆ =p aVJ ρ

(638)





a

K

KDEe

=

+

ρ

1(639)






a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)



V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=















H

t


Nivel depoacutesito

ΔH

La

2La

3La

4La

5La

6La

7La

8La

0




Bibliografiacutea





Capiacutetulo 7


Iacutendice










Curva de remanso



Bibliografiacutea


Introduccioacuten











b

θy

T

b

y

T

y D
























(78)

R b yb yh =

sdot+ 2

T b y= +

2tan θ

A b y y= sdot +

2

tanθ

p b y= +

2sinθ

R Aph =

α =minusarccosD yD

2












A D= minus

2

42

2α αsin

p D= sdotα

R Dh = minus

sdot

4

1 22

sin αα

RAp

RR

R Dh ll

ll

ll = =

sdotsdot sdot

= =π

π

2

2 2 4(713)



(714)




V x tQ x tA x t

( ) = ( )( )












Solera


x

Fr V Tg A

=sdot

sdot

22

(715)

Fr Vg y

=sdot

22

(716)

c g AT

= (717)

Fr Vc

=2

2

2 (718)





x

y

Solera

ZZ0

Origen de cotas

Superficie libre

S0

Sw










SdZdx

= minus00 (719)


E Z Vg

= +2

2(721)

S dEdx

ddx

Z Vg

= minus = minus +

2

2(722)



(724)









dZdx

dEdx

s (723)

S S Sw= =0



(726)

en donde





en m



VnR Sh= sdot

1 2 30

1 2 (725)

QnA R Sh= sdot sdot

1 2 30

1 2

















b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2



b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2





(728)






R b yb yh =

sdot+ sdot2

(727)Maximizar

A b y cte= sdot =


2 2 (729)

Rb y y

b yh =sdot +

+

2

2tan

sin

θ

θ

(730)Maximizar


tanθ










p b y Ay

y y= + = minus +


(732)Minimizar

θ = = sdot =60 32



sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α (734)


sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α

(735)


(736)


(737)







minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2Maximizar


minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2




(738)

(739)




Vn

D Sll =

sdot

14

2 3

01 2

Qn

D D Sll =sdot

sdot

sdot

14 4

2 2 3

01 2π


grado de llenado


grado de llenado

00

02

04

06

08

10y D


02 04 06 08 010 1200

Gasto

Aacuterea

Periacutemetro

Velocidad


02

04

06

08

1

0 02 04 06 08 1 12

1211 13 14

Rela

cioacuten

entr

e ca

lado

y di

aacutemet

ro


Caudal

Aacuterea

Velocidad





QQll hD vvll

0001 0023 0170002 0032 0210003 0038 0240004 0044 0260005 0049 0280006 0053 0290007 0057 0300008 0061 0320009 0065 0330010 0068 0340011 0071 0350012 0074 0360013 0077 0360014 0080 0370015 0083 0380016 0086 0390017 0088 0390018 0091 0400019 0093 0410020 0095 0410021 0098 0420022 0100 0420023 0102 0430024 0104 0430025 0106 0440026 0108 0450027 0110 0450028 0112 0450029 0114 0460030 0116 0460031 0118 0470032 0120 0470033 0122 0480034 0123 0480035 0125 0480036 0127 0490037 0129 0490038 0130 0500039 0132 0500040 0134 0500041 0135 0510042 0137 0510043 0138 0510044 0140 0520045 0141 0520046 0143 0520047 0145 0530048 0146 0530049 0148 0530050 0149 0540051 0151 0540052 0152 0540053 0153 0550054 0155 0550055 0156 055

QQll hD vvll

0056 0158 0550057 0159 0560058 0160 0560059 0162 0560060 0163 0570061 0164 0570062 0166 0570063 0167 0570064 0168 0580065 0170 0580066 0171 0580067 0172 0580068 0174 0590069 0175 0590070 0176 0590071 0177 0590072 0179 0590073 0180 060074 0181 060075 0182 060076 0183 060077 0185 0610078 0186 0610079 0187 0610080 0188 0610081 0189 0620082 0191 0620083 0192 0620084 0193 0620085 0194 0620086 0195 0630087 0196 0630088 0197 0630089 0199 0630090 0200 0630091 0201 0640092 0202 0640093 0203 0640094 0204 0640095 0205 0640096 0206 0650097 0207 0650098 0208 0650099 0210 0650100 0211 0650105 0216 0660110 0221 0670115 0226 0680120 0231 0690125 0236 0690130 0241 070135 0245 0710140 0250 0720145 0254 0720150 0259 073

QQll hD vvll

0155 0263 0740160 0268 0740165 0272 0750170 0276 0760175 0281 0760180 0285 0770185 0289 0770190 0293 0780195 0297 0780200 0301 0790210 0309 0800220 0316 0810230 0324 0820240 0331 0830250 0339 0840260 0346 0850270 0353 0860280 0360 0860290 0367 0870300 0374 0880310 0381 0890320 0387 0890330 0394 0900340 0401 0910350 0407 0920360 0414 0920370 0420 0930380 0426 0930390 0433 0940400 0439 0950410 0445 0950420 0451 0960430 0458 0960440 0464 0970450 0470 0970460 0476 0980470 0482 0990480 0488 0990490 0494 1000500 0500 1000510 0506 1000520 0512 1010530 0519 1010540 0525 1020550 0531 1020560 0537 1020570 0543 1030580 0550 1030590 0556 1030600 0562 1040610 0568 1040620 0575 1040630 0581 1050640 0587 1050650 0594 105

QQll hD vvll

0660 0600 1050670 0607 1060680 0613 1060690 0620 1060700 0626 1060710 0633 1060720 0640 1070730 0646 1070740 0653 1070750 0660 1070760 0667 1070770 0675 1070780 0682 1070790 0689 1070800 0697 1070805 0701 1080810 0705 1080815 0709 1080820 0713 1080825 0717 1080830 0721 1080835 0725 1080840 0729 1070845 0734 1070850 0738 1070855 0742 1070860 0747 1070865 0751 1070870 0756 1070875 0761 1070880 0766 1070885 0777 1070890 0775 1070895 0781 1070900 0786 1070905 0791 1070910 0797 1070915 0802 1060920 0808 1060925 0814 1060930 0821 1060935 0827 1060940 0834 1050945 0841 1050950 0849 1050955 0856 1050960 0865 1040965 0874 1040970 0883 1040975 0894 1030980 0905 1030985 0919 1020990 0935 1020995 0955 1011000 1000 100




A

Q

vRh

A

Q

v02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

D

D

D

R = D

Ovoide

R = 0167D

0208D

R = 033D

R = 033D

R = 1042D

R = 125D

D

R = 0547D

R = 133D

R = 133D

D

R = 1559D

R = 1001D

R = 05005D

Semieliacuteptica

Herradura


yD

yD

yD

yD

D

D

D

D

A

Q

vRh

A

Q

v

















Ondas de gravedad


(740)


c g y= sdot( )1 2





Curva de remanso


FR lt 1 C gt V


Subcriacutetico

FR equiv 1 C = V


Criacutetico

FR gt 1 C lt V


Supercriacutetico







h

x

yyr ys

S0 lt Sc







Hy1

y2

V1

V2







Aire




(742)

donde




(743)



V QDt =

10

0 4

(741)

L Vt t= sdot0 17 2




D

Aprox 10D




BajanteAguaAire


Bibliografiacutea







Capiacutetulo 8


Iacutendice


Bibliografiacutea


Introduccioacuten





u0 u(y)














Capa liacutemite
























Sustentacioacuten


Balanceo

Fuerza









Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa


Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa

















(81)F C AVD D=

12

2ρ

F C AVL L=12

2ρ (82)












CD Modelo Antildeo









Sustentacioacuten





































Torre Eiffel 19

Velocidad terminal



F C AVD D=12

2ρ (83)





F









Bibliografiacutea


















2ρ

Portada

Creacuteditos

Iacutendice

Presentacioacuten


Iacutendice





Viscosidad





Conclusioacuten

Bibliografiacutea

Anexos


Iacutendice

Introduccioacuten

Unidades







Prisma de presiones




Iacutendice

Introduccioacuten




Sistemas Inerciales










2 Flujo Isotermo


Concepto de caudal








Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten





Conclusioacuten




Conclusioacuten


Iacutendice

Introduccioacuten



Aplicaciones

1 Conducciones

2 Depoacutesitos
















Iacutendice

Introduccioacuten














Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten
















Ondas de gravedad

Curva de remanso



Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten












Velocidad terminal

Bibliografiacutea


8

12

13

15

16

18

20

23

23

25

27

7




31

32

34

40



47

48

50

52

53

55

57

65

67

71

72



75

76

80

81

83

85

Presentacioacuten


89

89

97

112

116




121

123

124

128

131

135

138

141

143

145

152



155

155

156

158

159

161

162

166

170



173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten



Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1


Iacutendice


Bibliografiacutea
















































x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0



y h es inmediato


Viscosidad




Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus


Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)





υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)







(15)

(16)





micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022





dvdy

Liacutem

ites d

e flu

enci

a



Plaacutestico


Newtoniano


ζτ
















(17)K p= minus

∆∆forallforall

(18)K dpd

= minusforallforall





(19)

20000

20000

20000

K dpd

=ρρ


(110)






dp d RT= ρ 0

(111)p C

ργ =





(112)


S C pH=




Pres

ioacuten

Soacutelido


Temperatura

Liacutequido

Gas

Punto criacutetico

P

V

PC

VC

Vapor

Gas

Liq-Vapor

Liacutequido










Temperatura (ᴼC)

Pres

ioacuten

de v

apor

(kPa

)

0 20 40 60 80 100

20

40

60

80

100















(114)


(115)



timesT con 0 082deg

(113)

p R Tg= ρ





p Cργ = (116)



(117)


Conclusioacuten











Bibliografiacutea






Anexos





1 middot 10-4

20


1 middot 10-2



Queroseno

Agua

10

1 middot 10-3

1 middot 10-5

Octano Heptano

Hidroacutegeno

Aire Helio Metano

20 60 100 140 180 220

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

μ(N

middot s

m2 )

Vis

cosi

dad

μ(lb

-s

ft2 )

1 middot 10-2

1 middot 10-3

1 middot 10-4

4

1 middot 10-5

1 middot 10-6

2 ∙ 10-7

220



1 middot 10-6

1 middot 10-3

Aceite SAE-10W

1 middot 10-4


Aceite SAE-10W-30

Mercurio

QuerosenoAgua

1 middot 10-5

1 middot 10-7

Octano

Heptano

Hidroacutegeno

Aire

HelioMetano

20 60 100 140 180

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(m

2 s

)

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(ft

2 s

)1 middot 10-2

1 middot 10-6

1 middot 10-3

1 middot 10-4

1 middot 10-5

1 middot 10-2











1 gal(US) = 231 in3 = 0003789 m3







1 ft-lb = 1356 J1 BTU = 7782 ft-lb






Capiacutetulo 2


Iacutendice






Prisma de presiones




Introduccioacuten





(21)

x1

x2

θ

en

e2

e1

δx1

δx2

δS1

δSn

δS2

Xδminus

1 1P S

δminus

2 2P S

δminus

n nP S

δ δδ = 1 2

2x xV





(23a)

(23b)

(23c)


(25a)

(25b)


(26)


(22a)P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

(22b)

P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

δ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdot

(24)δδ δV x x

=sdot1 2

2

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

P P P Pn1 2= = =


Unidades





Teacutecnico kpm2

- Bar 105 Pa


- Torricelli mmHg


(27)


(28)






1 760 atm mmHg=








Lect

ura

loca

l bar

oacutemet

ro

P m

an 2

P a

bsol

uta

2

1 atm

P atm estaacutendar

P atm local

1

2


P absoluta 1


1 atm = 760 mmHg = 1034 mca



(210)


(211)




(213)


P x x P Px



+ =

x3

x1

x2

δx2

δx1

δx3

x2v x1v

x3v

δ δ δ δ= 1 2 3V x x x


part+

1 2 3

1

PP x x xx

δ1vX V

partpart

=Px

X v1

1 (212)

partpart

=Px

Xρ1

1


(214)



(215)


(216)



(217)


(218)


ρ



u ru uruρ

P r P x y z P

( ) = ( ) = 0



ρ




ρ

X gkuru r

= minus





(219)







P

z

z


000 0 0 0




Ec gases perfectos


(221)



(223)





dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ


dPP

gR

dzT

gR

dzT Bzg z

z

P

P

g z

z


00

1

0 0

(222)

ln lnPP

gR B

T BzT

P PT BzTatm g

atm1 0

01

0 1

0

=

minus

rarr =

minus

gR Bg




(224)


(225)



GA

C

y

xxG

yG

O

y

x

yn

z

x

y

θz

Superficie libre



F z A P AT G G= =γ

(226)

Despejando




(229)


Siendo


y dF F y

y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot



y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot



yI

P AI

y Axx

G

xx

G

=sdot sdot

sdot=

γ θsin (227)

x dF F x xI

y ATxy

G


I I Ay

I I Ay x

xx x x G

xy x y G G

= +

= +

2

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x

(230a)

(230b)

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x









Prisma de presiones







FT

h 3

h

L

b

Superficie libre

Superficieγ h


sdot sdot( ) =γ γ

212

2 (231)








= Gz z

GA

Superficie libre

γ Gz

γ=T GF z A

FT

h1

h2

h2 - h1

b

Superficie libre

Superficieγ 2h

γ 1h






2 1 22

12

212

(233)

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1 (234)






y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( )

(235a)

y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( ) (235b)

y y F y FF

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

y y F y F

F

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

(236)

FTh1

h2

L

b

Superficie

Superficie libre

γ 2h

γ 1h





(238)


(240a)

(240b)

(240c)



sdotγ 1 2

2(237)

F dF P dAA




x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r








(242)



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dF PdAur uru

= minusdF p dA

dF dF i dF j dF k


x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dAz

dAx

dAy

dA

h

y

x

z Superficie libre

γ=P h= minus

dF PdA


F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup


F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup

rrza sobre Aysupint


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ



(243)











Fz

b2

b1zx

Fx

FzFT

Superficie libre

γ 2b

γ 1b

V

b2

b1

z

x

Fx

Fz FT

Fz

Superficie libre

γ 2b

γ 1b





(244)


xy

V

z

Vf1Vf2

Fz2

Fz1






(245)




z

x

yβ

dA2 P2dA2

αdA1

P1dA1

V

h1

hh2



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ




=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ




(247)







γCC

PV

= (246)








G

C

W

z

x

y

γ=E V

W

G

C

E

W

G

C

EPar restaurador

Estable

W

G

C

EW

G

C

E

Par vuelco

Inestable

G equiv C

Indiferente









V

γ C CV

γ






(248)


C1

G

P

V1

C2

E

G

P

E

C2

C1

V2









MG IV


CG

E

PV

C

Por vuelco

PV

Elsquo gt E






Capiacutetulo 3










Bilbliografiacutea









Introduccioacuten























(31)



r x i y j z k0 0 0 0= + +


k

(32)


k




(34)

Con

z

x

y

(t0)

z0

x0

y0

z

xy

r0

r

(t)


V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

(33)


u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35a)

u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35b)



o bien por




u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 ) (35c)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(36)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(37)

θθA

rA r

PA

z

x

y




(38)


(39)

(310)







( )u u uz r

uru uru uru

θ ( )a a az r

uru uru uru

θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ

(311a)

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ


d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ (311c)






tiempo t seraacute

(311)


(312)

1

x

2

r xi y j zk

= + +








1 2

1 2

t

x

Instante tA

Instante tB

tBtA

u Punto 2

Punto 1

x







p r t( )

T r t( )

ρ( )r t

Acometida


P = 10 mca






Sistemas Inerciales


Z

X

Y

x

y

z

O

or

Sistema moacutevilR

Sistema fijo

P

( )V ctesist

u ruuu=



(313a)

(313b)


(314)




(317)





r r u ruuuR r OO= +

r r u ruuuR r OO= +

V dr

dtdxdte dy

dte dz

dter x y z= = + + (315)

ru ruuu

V dOOdtsistema =

(316)

V V Vp r sistema= +

a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2 (318)



(319)


(320)






(321)



a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2




ω timesVr


k


k







z

x

y

C D

A B

vC

vD

vBvA

Instante tLCD

LDC2

LDC1



x

Instante tA

Instante tB

x

LDC = Trayectoria

LDC = Trayectoria







LDC






z

x

y

Instante tA

Instante tB






(322)


(323)









(324)


z

x

y

vB

uBVB

vA

uA

VA

z

x

y

vA

uA

VA

vB

uB


VB

A B

A B

u uv v

nene

A B

A B

u uv v

==



(325)



(326)

V u x y z t i v x y z t j= +( ) ( )

V u x y t i v x y t j= +( ) ( )

V u x y z t i= ( )






x

y

u(y) h

y

x



Desaguumle

θ

r





z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite




z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite








(327)










tT PPTP

u (l s)








Capa liacutemite

Capa liacutemite

Zona de flujo ideal






z


y








Laminar

Transicioacuten

Turbulento



(328a)

(328b)

(328c)

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ







(329)




u ti ( )

u ti ( )

u ti ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )




t


t

ui(t)

uz(t)

uz(t)


Media temporal nula



( )zu t

Re =sdotV L

ν

Con








z z


(330)








( )V Vfluido pared

u ruuuuu u ruuuu=

V fluido

u ruuuuu= 0








P R T PR Tgg


ρ ρ (331)

ρ =sdot +

=101325

287 20 273 151 2 3

( ) Kg m (332)



2 Flujo Isotermo




ρ =sdot +sdot +

=6 10 101325

287 20 273 158 3

53

( ) Kg m (333)




Concepto de caudal




forall t

v

vn

dA

dAθ

tθ

ndA

dA

SdA

+t dtvdt

cosdA θ

vdt




(334)








cosθ



cosθ

dQ ddt

dA V dA V=forall

= sdot = sdot sdot

cosθ (335)

Q dQ V dAS S

= = sdotint int

(336)

ρ = forallm

dG dmdt

ddt

dQ V dA= =forall


(337)








G V dAS

= sdot sdotint ρ

(338)

G V dA QS


(339)

V QS S

V dAmediaS

= = sdotint 1 (340)

Q V Dmedia= sdot

sdotπ 2

4 (341)








D tDt A

τ τ( )



(342)






)

(345)



τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


D tDt

ttA A

τ τ( ) ( )=

partpart

(344)

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t











τ τ

= ( )r t

Derivada local de

τ τ τ=

partpart

ne( ) ( )r tt

D tDt A

(346)

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

(347)

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

(348)




τ τ

= ( )r tτ τ

= ( )r t τ τ

= ( )r t







uyv

zw=

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

(349)

τ τ

= ( )r t

D τ ( )r tDt

(350)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

τ ( )r tt

(351)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

+partpart

+partpart

τ τ τxu

yv

zw (352)

τ τ

= ( )r t





siendo







a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (353)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (354)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(355)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(356)

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D









( ) ( ) ( ) ( )= sdot + sdot + sdot

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357a)

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357b)a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )(357c)







m Vi isdoturu

V r t dmuru r

( ) sdot


= int (358)


= int ( ) (359)







VC

Superficie entrada


VC

Superficie entrada

VC

Superficie entrada

Superficie salida


x

y

x

y

x

y



(360)













emspPara el VC


H

H tsist

u ruuu( )

h t( )



h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

(363)

H t h t dmSist

Sist

( ) ( )= int (364)

H tVC

u ruuu( )

h r t( )


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )






(367)

V(t) V(t + Δt)I

II

III

H tsist

u ruuu( )

dH tdtSist

( )

(366)

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆







(370)


dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

(368)



∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ (369)

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

H




(372)






dm dG ddt



∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

dm dG ddt



(371)

dm dG ddt



dm dG ddt



dm dG ddt




V tSC

u ruu( )


= minus

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int dH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt



dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int





(373)





dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt



dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt

h d h V dASist

t VC tr SC

SC t

( )

( )

( )








Bibliografiacutea





Capiacutetulo 4


Iacutendice




Conclusioacuten



Introduccioacuten






(41a)

(41b)



ρ ρ==

( )

( )p T

u u p Tρ ρ=

=

( )

( )p T

u u p T










partpart


Vuru


( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

(42)


(43)



O bien




( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0 (44)

DDt

Vρ ρ+ nabla( ) =

0 (45)

nabla sdotV





(46)





δV


13


13

ρX







(47)



X Uuru

= minusnabla


13



nabla sdot =V C


13


A U p

+ nabla +

=

ρ 0 (48)






( )s n b

V V s t= ( )

n

Rc


O

= V V s ( )s s s=

part part =s s n Rc

( )s n b

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

(49)

partpart

+

partpart

+partpart

+

=

sV V

t sgz p2

20

ρ(410)








partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2

20

ρ(411)

= ( )s s s

( )part part =V t 0

partpart

= rarr = + + =Bs

B V gz p C02

2

ρ(412)

partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2 0ρ

(413)





(415)



Conclusioacuten


ρ θDeDt


ρ θDeDt


ρ θDeDt


Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2

Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2










(416)




nabla =V 0

nabla =V 0

ρ microDVDt

X p V Ruru







ρ microDVDt

X p V Ruru



ρ 2u ρuv

ρ microDVDt

X p V Ruru




































(418)


V u y iuru r= ( )

nabla sdot = =θV 0

X Uuru

= minusnabla

e

x

y

U0



ρpart

+partpx

= timesU g h

ρδ y

δ xτ

ττ part+party




part= minus

partpart

+partpart

gzx

px

uy

2

2






part +( )part

=partpart

p uy

γmicro

zx

2

2 (420)

δ δx ysdot sdot1


sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy




sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy



τ micro= ( )du dy

u y U yh

ddxp h ey y


γ

micro21 (422)





u y U yeo

( ) = (423)


Φ =

=

micro microdu

dyUe

2

0

2

(425)








Frena el movimiento






Cuando dpdx lt 0

Cuando dpdx gt 0


Cuando dhdx lt 0

Cuando dhdx gt 0

P dUe

dyUed

y

y e

= forall =

sdot sdot =int int

=

=

Φ0

0

2

02



Conclusioacuten


Capiacutetulo 5


Iacutendice


Aplicaciones











Introduccioacuten












(51)

(52)


(53)

El TAR queda

(54)

es decir

(55)


(56)

H t m( ) =

h r t dm r tdm

( ) ( )= = 1

dm tdtSist ( )

= 0



r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )



r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )

m t r t dVCVC t

( ) ( )( )

= forallint ρ




(57)


(58)







( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

0 = +dm tdt

G tVCSC

( )( )



Sup Entrada

ventn

Sup Salida

VC vsaln



entv

salv

dA

dA


(510)


(511a)

Mientras que

(511b)






iEntradas j



( ) ( ) ( ) ( )

= sdotint ρ


( ) ( ) ( )middot( )

= int ρ


G t G tVCi

Salidasij

Entradas j

( )( ) ( )

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (512)

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi


0

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi


0


Aplicaciones

1 Conducciones



por lo que

Ello implica que


(517b)


(518a)


( ) ( )( )

= =int ρ

(514)

dm tdtVC ( )

= 0 (515)

G t G tjEntradas j

iSalidasi

sum sum=( ) ( ) (516)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

(517a)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ


( ) ( )( )

= sdotint

(518b)

quedaraacute

(519a)

(519b)


(520)



(521a)

(521b)


(522a)

(522b)


( ) ( )( )

= sdotint




iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )


iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )







(523a)

(523b)



(525)


(526)





i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (524)



Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)


Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)







ρ ρ= ( )r

dm tdtVC ( )

= 0 (527)

G GjEntradas j

iSalidasi

sum sum= (528)


( ) ( ) ( )

= sdotintρ

(529a)


( ) ( )( )

= sdotintρ

(529b)


( ) ( )( )

= sdotint

(530a)


( ) ( )( )

= sdotint

(530b)


quedaraacute

(531a)

(531b)



(533a)

(533b)



(535)


(536)



ρ ρj jEntradas j

i iSalidasi

Q Qsum sum= (532)




i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (534)





2 Depoacutesitos


VC

ρent

ρsal

Qent

Qsal


Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)

ρent ρsal






con

(538a)

(538b)

(539a)

(539b)



(541)

Ge3(t)

mVC(t)

Gs2(t)Gs1(t)Ge2(t)

Ge1(t)

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (537)





dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (540)


por lo que

quedando finalmente


(544)




(546)

m tdt

td tdt

t d tdt

VC VCVC

( )( )

( )( ) ( )


ρ (542)


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum (543)


( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt Q t t Q tVC

jEntradas j

j i iSalidasi

ρρ ρ

ρ ρ ρsdotforall

= minussum sumd tdt

Q t Q tEntradas j

j iSalidasi

( ) ( ) ( ) (545)

d tdt

Q t Q tjEntradas j

iSalidasi






(547)

V(t)

Qs (t)

Qe (t)



Ventilacioacuten

Aprox 5 m



Ventilacioacuten

Aprox 5 m

d t Q t Q t dtt

jEntradas j

iSalidasit

t

forall = minus

forall

forall


0 0

quedando

(548)


(549)

quedando

(550)



(551)



Entradas ji

Salidasit

t

00

d tdt

A dz tdtd

forall= sdot

( ) ( )

A dz tdt


iSalidasi


Qe (t)


z(t) V(t)Qs (t)

z t zA

Q t Q t dtd

jEntradas j

iSalidasit

t

( ) ( ) ( )= + minus

sum sumint0

1

0







VC(t)





G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

ρ ( )( ) ( )

ρVCVCt

P tRT

( )( )

= (553)

VRT

dP tdt

G t G tVCj

Entradas ji


( )( ) ( ) (554)





(556)


(557)

dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (555)

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )








minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )


minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )


LDC (coordenada s)

dAds

dz

s

PdA

θ

ds

part + part

PP ds dAs




(559)



(561)






partpart





partpart



dm DvDt

dm a a ds dA vt


partpart

+partpart

ρ


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin (562)














1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

+partpart

=Psg dzds

vt

vs

(563)









(566)

1

2

1

2

1

2 2

1

21 12


+partpart

+partpart

+partpart

=ρPsds g z

sds v

sds v

tds (564)

1

2 2

20int

partpart

+ +

=

sP gz v dsρ

(565)

P gz v P gz vρ ρ

+ +

= + +

2

1

2

22 2



o bien






P z vg

P z vgγ γ

+ +

= + +

2

1

2

22 2

(567a)

(567b)P z v

gP z v

g1

11

22

22

2

2 2γ γ+ + = + +




Z1

Z = 0

Z1

Z1

Z2

Z2

Z2

11

1

12

2

2

2

v1

v1

v1

v2

v2

v2





(569)



P z vg

P z vg

11 1

12

22 2

22

2 2γα

γα+ + = + + (568)


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


v dAReal

A

= int

3

2ρ (570)












Unif con v

=

RReal

(571)

α =

int

13

AdAv

vA(572)

EnergiacuteaPeso

F LF

L

=

= (573)











( ) ( )P z v gγ + + 2 2

( )P zγ +





z




H

B








Z = 0

LAG

LAP

LAT


γP

z


















(575)


i

n

i

tr

gdvdtL

=sum

β

1

1(574)

h B B P z vg

P z vg

P PB = minus = + +

minus + +

minus2 1

22

22

11

12

2 1

2 2γ γ γ γ

Aspiracioacuten (1)

Q

Bancada






(576)


(577)


h f LDvgf = 2

2

h B B P z vg

P z vg

P Pf = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2




(578)



h B B P z vg

P z vg

P Pm = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2








1

2



(580)




P z vg

11

12

2γ+ +

P z vg

222

2 2γ

+ +

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL(581)

h B B P z vg


minus + +

1 2

11

12

22

22

2 2γ γ







Vaacutelvula

T1


T2

2z1

z2

Δzhmv

hf2

hf1

z = 0

BombaT1


1

T2

2

z1

z2Δz

hB

hf2

hf1







Altura Q Emg

mgV

Vt



(583)












1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

=Psg dzds

vs

(584)

1 0ρdP gdz vdv+ + = (585)


(586)


(587)






1 12

02

ρdP gdz vdv f

Dv ds+ + + =

1 12

02

ρdP f

Dv ds+ =

ρ = ( )P RT

G Q v D= =ρ ρ π( )2 4v G D= ( )4 2ρπ

dPPRT

fD

GPRT

Dds +

=12

4 02

2

π (588)

Es decir








P

P L

P dP fG RTD

ds1

2 8 2

2 50

int int= minusπ

(589)

P P fGDRTL1

22

22

2 5

16 = +π

(590)

P P fGDRTL P P

g z zRT1

22

22

2 5 12

22 2 116 = + + +( ) minus( )

π (591)






(592)




E mgzp =

E mvc = ( )1 2 2

U mu mC Te= =

HSist

u ruuu

dEdt

ddt


VC SCr SC= + +

sdot + + +

int int

2 2

2 2ρ ρ


dEdt

dQdt

dWdt







(595)



dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


(594)

dWdt

dWdt

dWdt

Sist VC SC= +


(596)





(597)

dWdt

dWdt

dWdt

SC SC

FuerzasPresioacuten

SC


= +

V = 0

VCV = 0

11P dAtimes


1dA

2dA

3dA

dWdtSC


= 0

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint





(599)


(5100)

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC


dF PdAP


dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC


dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int


(5101)


(5102)


(5103)



dQdt

dWdt


SC

+ = + + +

sdot( )int

2

2 ρρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2







(5105)


(5106)



dQdt

dWdt


minus + + +

2

2

2

12 2ρ ρ

GG

(5104)

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg

h P z vg

hB f1

11

22

22

2

2 2γ γ+ +

+ = + +

+





















VCQ

Q

z

yx

z

yx

VC

0 0

Q

F ma=

h H m=


p m mv m v= =

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum (5107)











dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

ddt

v d v v dASistr SC

SCVC


F ddt



F ddt



F ddt



F ddt








QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF

QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF





(5110)


(5111)



sum sum sum=( )


dtv Q v QExt

VC

Salidasi

Entradas jj

u ruur

r r

i

ρ ρ


iEntradas j

jρ ρ

F ma=




(5112)

se pasa a

(5113)

donde

(5114)


RdR dtur

d R dt2 2

ωur

d dtωur

F ma=







a d Rdt

ddt


2

(5115)










(5118)







ddt

v d v v dArVC

r r SCSC




VC

a duru u ruuuuu

+( ) forallint ρ



rVC


sdot( )int

(5119)


F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


donde









(5121)



F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC



F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


d R dt2 2

ωur

d dtωur

r

ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


sum summinus =( )


d mvdt

v QExt VCVC

Salidas ii

Entradas

ρj

jv Qsum ( )ρ

2

2








mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii


mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii



u ruuu r r= and( )

d r mvdt

MSistExt

r ru ruuuuand( )

= sum (5123)


r v d r v v dAExtVC

r SCS


CCint

(5124)

r



(5125)


(5126)



(5128)

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ


iEntradas j

ρ ρ j


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int

(5127)


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2




M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj

(5129)

Capiacutetulo 6


Iacutendice





Bibliografiacutea


Introduccioacuten















(61)


Q D i Nijj

n

i=sum = =

11 2




(62)


Qij (+)

Si (+)

n

j1

2

i

i

n

ij

N


1 1

( )





(63)





(64)





(65)













(66)JhL

J D V gf= = ( )ε ν

JhL

fDVg

f= = 2

2 (67)




(69)


f f D V fDVD f r= =

=( ) ( Re)ε ν ε

νε (68)

1 23 7

2 51 23 7

2 51f D R f fe

r= minus +

= minus +

log

log

Re

ε ε






fRe VD

= =64 64ν

(610)

JhL

VDDVg gD

V kVf= = = =

64

264

2

2

2

νν



(612)



f

LogD Re

=

+

0 25

3 75 74

0 9

2

ε(611)









00008

000001

00000500001000020000400006

00010002

0004000600080010015002

003004005007

008009

01

006

005

004

003

0025

002

0015

00100090008

108107106105104103




Flujo laminar

f Dε

0000001Dε =

0000005Dε =

tubos lisos

Re

f = 64 Re
















A2A1 01 02 03 04 05Cc 0624 0632 0643 0659 0681

A2A1 06 07 08 09 10Cc 0712 0755 0813 0892 10


h Vg

AAe = minus

1

21

2

2

21 (613)

h Vg Cc

c

= minus

22 2

21 1 (614)









Elemento k







Apertura (ordm) 10 15 20 225 30 40 45k 108408 25524 9147 6009 2154 772 507

Apertura (ordm) 50 60 675 70 75 80 90k 348 182 119 105 082 065 043



100000

90

1000

010

k

GA (ordm)

80706050403020100






fLDVg

k Vg

e2 2

2 2= (615)

L k Dfe = (616)






B z p Vge = + +

γ

2

2(617)







43

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 043

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 0












11 1

pH zγ

= + 22 2

pH zγ

= +

1 2




Diaacutemetro (mm)

Rugosidad (mm)






211

1

12

( ) minus ( ) ( ) minus ( ) = (618)

H HL

fDVg

p p1 321

1

1

12( ) minus ( )

= (619)






3170 m

9434 m 9423 m9170 m

8063 m 7300 m

3300 m

z = 0










3284 m

9908 m

7555 m 7524 m7392 m 7300 m

3300 m

z = 0






Presiones negativas

Presiones positivas




















h k Vg

p k QA gL = rarr

∆=

2 2

22 2γ(620)

Q K pk


γQ K p

kKv v= ∆ rarr =

2 2gAγ

(621)






PQ H Q

QP Qb b b

b ba b=

sdot sdot ( )( ) = ( )γ

η(622)

P w kwa =sdot

sdot

=9810 330

360052

0 8157 73

(623)




(624)

(625)



HPabsorb

REND

Hb (m)

Hb

η

Pa

55

45

35

80

60

Q (m3h) 100 200 300 400 500

120

60

408empty1504001450 rpm


ηb b bDQ EQ= + 2






B0

A0

A1


H0

H1

A2

B1

B2

QQ0Q1

N0

N1

N2


0

NN

α =


QQ

α= 2

0

HH

α= 0η η=



22b b

D EQ Qηα α

= +










(626)





B H Q B h Qbi

n

fi1 21

( ) + ( ) = ( ) + ( )=sum

Hbη

QQ0

H0

Hg

η0

P0Hr (Q)

Hm (Q)

η (Q)

hf = KQ2

Curva motriz

Curva resistente


















Si



(627)



M L N= minus + 1




















A dzdt

Q Sjj

n

iminus + ==sum

10 (628)













t = t + Δt




FINSIacute

NO

NOSIacute
















(629)

H x H x L Lg

dVdt

f LD

V Vg

I dQdt

R Q Q ( ) ( )0 0 2minus + = + = +







I LgA

= (630)

R f LD

= 0 0826 5 (631)

HL D f

HVg

f LDVg

VgH

f LD

= + rarr =

+

02

02

02 22

1(632)









H Vg

f LDVg

LgdVdt

= + + 2 2

2 2(633)

tLVgH

V VV V

=+minus

0 0

02ln (634)

TLVgHe = 1 832 0 (635)













(636)


(637)



∆ =HaVgJ 0

∆ =p aVJ ρ

(638)





a

K

KDEe

=

+

ρ

1(639)






a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)



V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=















H

t


Nivel depoacutesito

ΔH

La

2La

3La

4La

5La

6La

7La

8La

0




Bibliografiacutea





Capiacutetulo 7


Iacutendice










Curva de remanso



Bibliografiacutea


Introduccioacuten











b

θy

T

b

y

T

y D
























(78)

R b yb yh =

sdot+ 2

T b y= +

2tan θ

A b y y= sdot +

2

tanθ

p b y= +

2sinθ

R Aph =

α =minusarccosD yD

2












A D= minus

2

42

2α αsin

p D= sdotα

R Dh = minus

sdot

4

1 22

sin αα

RAp

RR

R Dh ll

ll

ll = =

sdotsdot sdot

= =π

π

2

2 2 4(713)



(714)




V x tQ x tA x t

( ) = ( )( )












Solera


x

Fr V Tg A

=sdot

sdot

22

(715)

Fr Vg y

=sdot

22

(716)

c g AT

= (717)

Fr Vc

=2

2

2 (718)





x

y

Solera

ZZ0

Origen de cotas

Superficie libre

S0

Sw










SdZdx

= minus00 (719)


E Z Vg

= +2

2(721)

S dEdx

ddx

Z Vg

= minus = minus +

2

2(722)



(724)









dZdx

dEdx

s (723)

S S Sw= =0



(726)

en donde





en m



VnR Sh= sdot

1 2 30

1 2 (725)

QnA R Sh= sdot sdot

1 2 30

1 2

















b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2



b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2





(728)






R b yb yh =

sdot+ sdot2

(727)Maximizar

A b y cte= sdot =


2 2 (729)

Rb y y

b yh =sdot +

+

2

2tan

sin

θ

θ

(730)Maximizar


tanθ










p b y Ay

y y= + = minus +


(732)Minimizar

θ = = sdot =60 32



sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α (734)


sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α

(735)


(736)


(737)







minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2Maximizar


minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2




(738)

(739)




Vn

D Sll =

sdot

14

2 3

01 2

Qn

D D Sll =sdot

sdot

sdot

14 4

2 2 3

01 2π


grado de llenado


grado de llenado

00

02

04

06

08

10y D


02 04 06 08 010 1200

Gasto

Aacuterea

Periacutemetro

Velocidad


02

04

06

08

1

0 02 04 06 08 1 12

1211 13 14

Rela

cioacuten

entr

e ca

lado

y di

aacutemet

ro


Caudal

Aacuterea

Velocidad





QQll hD vvll

0001 0023 0170002 0032 0210003 0038 0240004 0044 0260005 0049 0280006 0053 0290007 0057 0300008 0061 0320009 0065 0330010 0068 0340011 0071 0350012 0074 0360013 0077 0360014 0080 0370015 0083 0380016 0086 0390017 0088 0390018 0091 0400019 0093 0410020 0095 0410021 0098 0420022 0100 0420023 0102 0430024 0104 0430025 0106 0440026 0108 0450027 0110 0450028 0112 0450029 0114 0460030 0116 0460031 0118 0470032 0120 0470033 0122 0480034 0123 0480035 0125 0480036 0127 0490037 0129 0490038 0130 0500039 0132 0500040 0134 0500041 0135 0510042 0137 0510043 0138 0510044 0140 0520045 0141 0520046 0143 0520047 0145 0530048 0146 0530049 0148 0530050 0149 0540051 0151 0540052 0152 0540053 0153 0550054 0155 0550055 0156 055

QQll hD vvll

0056 0158 0550057 0159 0560058 0160 0560059 0162 0560060 0163 0570061 0164 0570062 0166 0570063 0167 0570064 0168 0580065 0170 0580066 0171 0580067 0172 0580068 0174 0590069 0175 0590070 0176 0590071 0177 0590072 0179 0590073 0180 060074 0181 060075 0182 060076 0183 060077 0185 0610078 0186 0610079 0187 0610080 0188 0610081 0189 0620082 0191 0620083 0192 0620084 0193 0620085 0194 0620086 0195 0630087 0196 0630088 0197 0630089 0199 0630090 0200 0630091 0201 0640092 0202 0640093 0203 0640094 0204 0640095 0205 0640096 0206 0650097 0207 0650098 0208 0650099 0210 0650100 0211 0650105 0216 0660110 0221 0670115 0226 0680120 0231 0690125 0236 0690130 0241 070135 0245 0710140 0250 0720145 0254 0720150 0259 073

QQll hD vvll

0155 0263 0740160 0268 0740165 0272 0750170 0276 0760175 0281 0760180 0285 0770185 0289 0770190 0293 0780195 0297 0780200 0301 0790210 0309 0800220 0316 0810230 0324 0820240 0331 0830250 0339 0840260 0346 0850270 0353 0860280 0360 0860290 0367 0870300 0374 0880310 0381 0890320 0387 0890330 0394 0900340 0401 0910350 0407 0920360 0414 0920370 0420 0930380 0426 0930390 0433 0940400 0439 0950410 0445 0950420 0451 0960430 0458 0960440 0464 0970450 0470 0970460 0476 0980470 0482 0990480 0488 0990490 0494 1000500 0500 1000510 0506 1000520 0512 1010530 0519 1010540 0525 1020550 0531 1020560 0537 1020570 0543 1030580 0550 1030590 0556 1030600 0562 1040610 0568 1040620 0575 1040630 0581 1050640 0587 1050650 0594 105

QQll hD vvll

0660 0600 1050670 0607 1060680 0613 1060690 0620 1060700 0626 1060710 0633 1060720 0640 1070730 0646 1070740 0653 1070750 0660 1070760 0667 1070770 0675 1070780 0682 1070790 0689 1070800 0697 1070805 0701 1080810 0705 1080815 0709 1080820 0713 1080825 0717 1080830 0721 1080835 0725 1080840 0729 1070845 0734 1070850 0738 1070855 0742 1070860 0747 1070865 0751 1070870 0756 1070875 0761 1070880 0766 1070885 0777 1070890 0775 1070895 0781 1070900 0786 1070905 0791 1070910 0797 1070915 0802 1060920 0808 1060925 0814 1060930 0821 1060935 0827 1060940 0834 1050945 0841 1050950 0849 1050955 0856 1050960 0865 1040965 0874 1040970 0883 1040975 0894 1030980 0905 1030985 0919 1020990 0935 1020995 0955 1011000 1000 100




A

Q

vRh

A

Q

v02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

D

D

D

R = D

Ovoide

R = 0167D

0208D

R = 033D

R = 033D

R = 1042D

R = 125D

D

R = 0547D

R = 133D

R = 133D

D

R = 1559D

R = 1001D

R = 05005D

Semieliacuteptica

Herradura


yD

yD

yD

yD

D

D

D

D

A

Q

vRh

A

Q

v

















Ondas de gravedad


(740)


c g y= sdot( )1 2





Curva de remanso


FR lt 1 C gt V


Subcriacutetico

FR equiv 1 C = V


Criacutetico

FR gt 1 C lt V


Supercriacutetico







h

x

yyr ys

S0 lt Sc







Hy1

y2

V1

V2







Aire




(742)

donde




(743)



V QDt =

10

0 4

(741)

L Vt t= sdot0 17 2




D

Aprox 10D




BajanteAguaAire


Bibliografiacutea







Capiacutetulo 8


Iacutendice


Bibliografiacutea


Introduccioacuten





u0 u(y)














Capa liacutemite
























Sustentacioacuten


Balanceo

Fuerza









Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa


Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa

















(81)F C AVD D=

12

2ρ

F C AVL L=12

2ρ (82)












CD Modelo Antildeo









Sustentacioacuten





































Torre Eiffel 19

Velocidad terminal



F C AVD D=12

2ρ (83)





F









Bibliografiacutea


















2ρ

Portada

Creacuteditos

Iacutendice

Presentacioacuten


Iacutendice





Viscosidad





Conclusioacuten

Bibliografiacutea

Anexos


Iacutendice

Introduccioacuten

Unidades







Prisma de presiones




Iacutendice

Introduccioacuten




Sistemas Inerciales










2 Flujo Isotermo


Concepto de caudal








Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten





Conclusioacuten




Conclusioacuten


Iacutendice

Introduccioacuten



Aplicaciones

1 Conducciones

2 Depoacutesitos
















Iacutendice

Introduccioacuten














Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten
















Ondas de gravedad

Curva de remanso



Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten












Velocidad terminal

Bibliografiacutea


89

89

97

112

116




121

123

124

128

131

135

138

141

143

145

152



155

155

156

158

159

161

162

166

170



173

173

174

174

175

176

177

182

Presentacioacuten



Presentacioacuten 7

Capiacutetulo 1


Iacutendice


Bibliografiacutea
















































x

F

Solera piscina

y Tablero

h u(y)

V0

u = 0



y h es inmediato


Viscosidad




Vh

0 (11)

microτ

=

= =minus minus


Vh

MLT LLT L

ML T0

2 2

1 11 1 (12)





υmicro

ρ =

= =minus minus

minusminusML T

MLL T

1 1

32 1 (13)







(15)

(16)





micromicro

=

TT

n

0 0

(14)

micromicro

=+ +

02A Bt Ct

micro =+ +

0 01781 0 0337 0 00022





dvdy

Liacutem

ites d

e flu

enci

a



Plaacutestico


Newtoniano


ζτ
















(17)K p= minus

∆∆forallforall

(18)K dpd

= minusforallforall





(19)

20000

20000

20000

K dpd

=ρρ


(110)






dp d RT= ρ 0

(111)p C

ργ =





(112)


S C pH=




Pres

ioacuten

Soacutelido


Temperatura

Liacutequido

Gas

Punto criacutetico

P

V

PC

VC

Vapor

Gas

Liq-Vapor

Liacutequido










Temperatura (ᴼC)

Pres

ioacuten

de v

apor

(kPa

)

0 20 40 60 80 100

20

40

60

80

100















(114)


(115)



timesT con 0 082deg

(113)

p R Tg= ρ





p Cργ = (116)



(117)


Conclusioacuten











Bibliografiacutea






Anexos





1 middot 10-4

20


1 middot 10-2



Queroseno

Agua

10

1 middot 10-3

1 middot 10-5

Octano Heptano

Hidroacutegeno

Aire Helio Metano

20 60 100 140 180 220

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

μ(N

middot s

m2 )

Vis

cosi

dad

μ(lb

-s

ft2 )

1 middot 10-2

1 middot 10-3

1 middot 10-4

4

1 middot 10-5

1 middot 10-6

2 ∙ 10-7

220



1 middot 10-6

1 middot 10-3

Aceite SAE-10W

1 middot 10-4


Aceite SAE-10W-30

Mercurio

QuerosenoAgua

1 middot 10-5

1 middot 10-7

Octano

Heptano

Hidroacutegeno

Aire

HelioMetano

20 60 100 140 180

0 20 40 60 80 100 120Temperatura ˚C

Temperatura ˚F

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(m

2 s

)

Vis

cosi

dad

cine

mrsquoa

tica

ν(ft

2 s

)1 middot 10-2

1 middot 10-6

1 middot 10-3

1 middot 10-4

1 middot 10-5

1 middot 10-2











1 gal(US) = 231 in3 = 0003789 m3







1 ft-lb = 1356 J1 BTU = 7782 ft-lb






Capiacutetulo 2


Iacutendice






Prisma de presiones




Introduccioacuten





(21)

x1

x2

θ

en

e2

e1

δx1

δx2

δS1

δSn

δS2

Xδminus

1 1P S

δminus

2 2P S

δminus

n nP S

δ δδ = 1 2

2x xV





(23a)

(23b)

(23c)


(25a)

(25b)


(26)


(22a)P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

(22b)

P x P x X x x

P x P x X x xn

n

1 2 2 11 2

2 1 1 21 2

20

20

δ δδ δ

δ δδ δ

minus +sdot

=

minus +sdot

=

δ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdotδ δ

δ δ

δ δ

S x e

S x e

S l en n

1 2 1

2 1 2

uru uru

uru uru

uru uru

= minus sdot

= minus sdot

= sdot

(24)δδ δV x x

=sdot1 2

2

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

δ δ θδ δ θ

x lx l

1

2

= sdot= sdot

cossen

P P P Pn1 2= = =


Unidades





Teacutecnico kpm2

- Bar 105 Pa


- Torricelli mmHg


(27)


(28)






1 760 atm mmHg=








Lect

ura

loca

l bar

oacutemet

ro

P m

an 2

P a

bsol

uta

2

1 atm

P atm estaacutendar

P atm local

1

2


P absoluta 1


1 atm = 760 mmHg = 1034 mca



(210)


(211)




(213)


P x x P Px



+ =

x3

x1

x2

δx2

δx1

δx3

x2v x1v

x3v

δ δ δ δ= 1 2 3V x x x


part+

1 2 3

1

PP x x xx

δ1vX V

partpart

=Px

X v1

1 (212)

partpart

=Px

Xρ1

1


(214)



(215)


(216)



(217)


(218)


ρ



u ru uruρ

P r P x y z P

( ) = ( ) = 0



ρ




ρ

X gkuru r

= minus





(219)







P

z

z


000 0 0 0




Ec gases perfectos


(221)



(223)





dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ

dPdz

g

P R T

dPdz

PR T

gg

g

= minus

=

= minus

ρ

ρ


dPP

gR

dzT

gR

dzT Bzg z

z

P

P

g z

z


00

1

0 0

(222)

ln lnPP

gR B

T BzT

P PT BzTatm g

atm1 0

01

0 1

0

=

minus

rarr =

minus

gR Bg




(224)


(225)



GA

C

y

xxG

yG

O

y

x

yn

z

x

y

θz

Superficie libre



F z A P AT G G= =γ

(226)

Despejando




(229)


Siendo


y dF F y

y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot



y dA y dA P A yT

G

sdot = sdot



yI

P AI

y Axx

G

xx

G

=sdot sdot

sdot=

γ θsin (227)

x dF F x xI

y ATxy

G


I I Ay

I I Ay x

xx x x G

xy x y G G

= +

= +

2

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x

(230a)

(230b)

y yIy A

x xIy A

Gx

G

Gx y

G

= +

= +

x









Prisma de presiones







FT

h 3

h

L

b

Superficie libre

Superficieγ h


sdot sdot( ) =γ γ

212

2 (231)








= Gz z

GA

Superficie libre

γ Gz

γ=T GF z A

FT

h1

h2

h2 - h1

b

Superficie libre

Superficieγ 2h

γ 1h






2 1 22

12

212

(233)

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

FT

FT1

FT2

y

h2

h1

1

12

2

Superficie libre

γ 2h

γ 1h

( )γ minus2 1h h

( )minus2 113

h h ( )minus2 112

h h

= +1 2T T TF F F = +

1 1 2 2T T TF y F y F y

F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1F h h b

F h h h bF F FT

T

T T T2

2

2 1

1 2

12


= +

γ

γ

2

1

1

1 (234)






y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( )

(235a)

y h h

y h h

1 2 1

2 2 1

1312

= minus( )

= minus( ) (235b)

y y F y FF

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

y y F y F

F

h h b h h h b

h h h

T T

T

=sdot + sdot


minus( ) +

1 1 2 22 1

3

1 2 1

2

2 1 2

13

12

12

γ γ

γ hh b

yh h h h h

h h

1

2 1

2

1 2 1

2 1

13

( )=


+

(236)

FTh1

h2

L

b

Superficie

Superficie libre

γ 2h

γ 1h





(238)


(240a)

(240b)

(240c)



sdotγ 1 2

2(237)

F dF P dAA




x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r








(242)



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dF PdAur uru

= minusdF p dA

dF dF i dF j dF k


x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r



x y z

urur r r r


= + +



dF dF i p dA i p dA

dF dF j p dA j

x x

y

ur r uru r

ur r uru rpp dA

dF dF k p dA k p dA

y

z z

sdot


ur r uru r

dAz

dAx

dAy

dA

h

y

x

z Superficie libre

γ=P h= minus

dF PdA


F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup


F dF p dA Fue

x x x x

y y y



int int

intsup sup

sup

rrza sobre Aysupint


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ


F

z z z

z c



ur rγ

γ γ γsupsup

zz V= minusγ



(243)











Fz

b2

b1zx

Fx

FzFT

Superficie libre

γ 2b

γ 1b

V

b2

b1

z

x

Fx

Fz FT

Fz

Superficie libre

γ 2b

γ 1b





(244)


xy

V

z

Vf1Vf2

Fz2

Fz1






(245)




z

x

yβ

dA2 P2dA2

αdA1

P1dA1

V

h1

hh2



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ




=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ



=2 2 1 1 2 2 1 1 2 1cos cosβ α γ γ




(247)







γCC

PV

= (246)








G

C

W

z

x

y

γ=E V

W

G

C

E

W

G

C

EPar restaurador

Estable

W

G

C

EW

G

C

E

Par vuelco

Inestable

G equiv C

Indiferente









V

γ C CV

γ






(248)


C1

G

P

V1

C2

E

G

P

E

C2

C1

V2









MG IV


CG

E

PV

C

Por vuelco

PV

Elsquo gt E






Capiacutetulo 3










Bilbliografiacutea









Introduccioacuten























(31)



r x i y j z k0 0 0 0= + +


k

(32)


k




(34)

Con

z

x

y

(t0)

z0

x0

y0

z

xy

r0

r

(t)


V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

V dr


dtid y x

p = = + + = +

( ) (0 0 0 00 0 0 0 0 0 ) ( )y z tdt

jd z x y z t

dtk

+

(33)


u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35a)

u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 )

(35b)



o bien por




u u x y z t dxdt

d x x y z tdt

v v x y z

p p

p p

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0 ttdydt

d y x y z tdt

w u x y z t dzdt

d z xp p

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00 yy z tdt

0 0 ) (35c)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(36)

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

adVdt

dudtidvdtjdwdtk

a d rdt

d

pp p p p

p

= = + +

= =

o bien por

2

2

22

2

2

2

2

2

20 0 0

2

20 0 0x

dti d ydt

j d zdtkd x y z t

dtid x y z

+ + = +( ) ( ) ( )t

dtjd x y z t

dtk2

20 0 0

2

+

(37)

θθA

rA r

PA

z

x

y




(38)


(39)

(310)







( )u u uz r

uru uru uru

θ ( )a a az r

uru uru uru

θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ


p z z r r

= + +

= + +θ θ

θ θ

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ

(311a)

u u z r t dzdt

d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ


d z z r tdt

u u z r

z z

r r

= = =

=

( )( )

(

0 0 00 0 0

0 0 0

θθ

θ tt drdt

d r z r tdt

u u z r t ddt

d z

)( )

( )(

= =

= = =

0 0 0

0 0 00

θ

θ θ θθ θ

rr tdt

0 0 )θ (311c)






tiempo t seraacute

(311)


(312)

1

x

2

r xi y j zk

= + +








1 2

1 2

t

x

Instante tA

Instante tB

tBtA

u Punto 2

Punto 1

x







p r t( )

T r t( )

ρ( )r t

Acometida


P = 10 mca






Sistemas Inerciales


Z

X

Y

x

y

z

O

or

Sistema moacutevilR

Sistema fijo

P

( )V ctesist

u ruuu=



(313a)

(313b)


(314)




(317)





r r u ruuuR r OO= +

r r u ruuuR r OO= +

V dr

dtdxdte dy

dte dz

dter x y z= = + + (315)

ru ruuu

V dOOdtsistema =

(316)

V V Vp r sistema= +

a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2 (318)



(319)


(320)






(321)



a a d rdt

d xdt

e d ydt

e d zdt

eP r x y z= = = + + 2

2

2

2

2

2

2

2




ω timesVr


k


k







z

x

y

C D

A B

vC

vD

vBvA

Instante tLCD

LDC2

LDC1



x

Instante tA

Instante tB

x

LDC = Trayectoria

LDC = Trayectoria







LDC






z

x

y

Instante tA

Instante tB






(322)


(323)









(324)


z

x

y

vB

uBVB

vA

uA

VA

z

x

y

vA

uA

VA

vB

uB


VB

A B

A B

u uv v

nene

A B

A B

u uv v

==



(325)



(326)

V u x y z t i v x y z t j= +( ) ( )

V u x y t i v x y t j= +( ) ( )

V u x y z t i= ( )






x

y

u(y) h

y

x



Desaguumle

θ

r





z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite




z

z

Entrada

Regioacutencentral

Capaliacutemite








(327)










tT PPTP

u (l s)








Capa liacutemite

Capa liacutemite

Zona de flujo ideal






z


y








Laminar

Transicioacuten

Turbulento



(328a)

(328b)

(328c)

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

z z z

r r r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= +

= +

= +θ θ θ







(329)




u ti ( )

u ti ( )

u ti ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )

u tTu t dt

Tu t u t dt

Tu t dti z

T

i i

T

i

T


0 0 0

++ ( ) sdot = + =

=

int1 0

00Tu t dt u t u ti

T

i i( ) ( ) ( )




t


t

ui(t)

uz(t)

uz(t)


Media temporal nula



( )zu t

Re =sdotV L

ν

Con








z z


(330)








( )V Vfluido pared

u ruuuuu u ruuuu=

V fluido

u ruuuuu= 0








P R T PR Tgg


ρ ρ (331)

ρ =sdot +

=101325

287 20 273 151 2 3

( ) Kg m (332)



2 Flujo Isotermo




ρ =sdot +sdot +

=6 10 101325

287 20 273 158 3

53

( ) Kg m (333)




Concepto de caudal




forall t

v

vn

dA

dAθ

tθ

ndA

dA

SdA

+t dtvdt

cosdA θ

vdt




(334)








cosθ



cosθ

dQ ddt

dA V dA V=forall

= sdot = sdot sdot

cosθ (335)

Q dQ V dAS S

= = sdotint int

(336)

ρ = forallm

dG dmdt

ddt

dQ V dA= =forall


(337)








G V dAS

= sdot sdotint ρ

(338)

G V dA QS


(339)

V QS S

V dAmediaS

= = sdotint 1 (340)

Q V Dmedia= sdot

sdotπ 2

4 (341)








D tDt A

τ τ( )



(342)






)

(345)



τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

τ τA A turu uru

= ( )

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


D tDt

ttA A

τ τ( ) ( )=

partpart

(344)

D tDt A

τ τ( )


D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

D tDt A

τ τ( )


τ τ

= ( )r t











τ τ

= ( )r t

Derivada local de

τ τ τ=

partpart

ne( ) ( )r tt

D tDt A

(346)

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

D

ττ τ τ τ

=part

part+

partpart

+part

part+

part( ) ( ) ( )x y z tt

Dt x y z tx

Dx x y z ty

Dy (( )x y z tz

Dzpart

(347)

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

D τ τ τ τDt

x y z tt

x y z tx

DxDt

x y z ty

DyDt

=part

part+

partpart

+part

part( ) ( ) ( )

++part

part

τ ( )x y z tz

DzDt

(348)




τ τ

= ( )r tτ τ

= ( )r t τ τ

= ( )r t







uyv

zw=

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

(349)

τ τ

= ( )r t

D τ ( )r tDt

(350)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

τ ( )r tt

(351)

τ τ

= ( )r t

τ τ

= ( )r t

partpart

+partpart

+partpart

τ τ τxu

yv

zw (352)

τ τ

= ( )r t





siendo







a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (353)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D (354)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(355)

τ τ

= ( )r t

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D(356)

a VDt

Vt

Vxu V

yv V

zw= =

partpart

+partpart

+partpart

+partpart

D









( ) ( ) ( ) ( )= sdot + sdot + sdot

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357a)

a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )

(357b)a r t ut

uxu u

yv u

zw

a r t vt

vxu v

yv

x

y

( )

( )

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+partpart

+partvvzw

a r t wt

wxu w

yv w

zwz

part

=partpart

+partpart

+partpart

+partpart

( )(357c)







m Vi isdoturu

V r t dmuru r

( ) sdot


= int (358)


= int ( ) (359)







VC

Superficie entrada


VC

Superficie entrada

VC

Superficie entrada

Superficie salida


x

y

x

y

x

y



(360)













emspPara el VC


H

H tsist

u ruuu( )

h t( )



h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

h t dH t

dmdmV tdm

V t( ) ( ) ( ) ( )= = =

(363)

H t h t dmSist

Sist

( ) ( )= int (364)

H tVC

u ruuu( )

h r t( )


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )






(367)

V(t) V(t + Δt)I

II

III

H tsist

u ruuu( )

dH tdtSist

( )

(366)

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆

dH tdt

H t t H tt t

hSist

tt

Sist Sist

t

( ) ( ) ( )

=+ minus

=rarr rarr∆ ∆

∆∆ ∆0 0

1lim lim (( ) ( )

( )( )


+ minus

forallforall +

intint ∆∆







(370)


dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

dH tdt

h r t t dm h r t dm

t

hSist

tt

IIII

( )( ) ( ) (

=+ minus

+rarr

intint∆

∆

∆0lim

rr t t dm h r t dm

tIIII

) ( )+ minus

intint ∆

∆

(368)



∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

tddt

h rrarr

+ minus

=intint

0lim

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

t dm ddt

h r t r t dVC tVC t

= forallintint

ρ (369)

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

H




(372)






dm dG ddt



∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

∆

∆

∆t

IIII

h r t t dm h r t dm

th r t

rarr

+ minus

=intint

0lim


SC tr SC

SC t( )

( )

( ) ( ) ( )int int= sdot( )

ρ

dm dG ddt



(371)

dm dG ddt



dm dG ddt



dm dG ddt




V tSC

u ruu( )


= minus

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int dH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )intdH t

dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt



dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int





(373)





dH tdt

ddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dm dG ddt



dtddt


t VC t

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )


r t dA( )

( ) sdot( )int

dH tdt

ddt

h d h V dASist

t VC tr SC

SC t

( )

( )

( )








Bibliografiacutea





Capiacutetulo 4


Iacutendice




Conclusioacuten



Introduccioacuten






(41a)

(41b)



ρ ρ==

( )

( )p T

u u p Tρ ρ=

=

( )

( )p T

u u p T










partpart


Vuru


( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

(42)


(43)



O bien




( ) +partpart

( ) +partpart

( )ρ ρ ρ ρV

xu

yv

zw

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0

partpart


V DDt

V 0 (44)

DDt

Vρ ρ+ nabla( ) =

0 (45)

nabla sdotV





(46)





δV


13


13

ρX







(47)



X Uuru

= minusnabla


13



nabla sdot =V C


13


A U p

+ nabla +

=

ρ 0 (48)






( )s n b

V V s t= ( )

n

Rc


O

= V V s ( )s s s=

part part =s s n Rc

( )s n b

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

A DVDt

V Vs

Vt

V Vss V s

sVt s

V= =

partpart

+partpart

=partpart

+partpart

+

partpart

=partpart

2

2

+

partpart

+Vts VRn

c

2

(49)

partpart

+

partpart

+partpart

+

=

sV V

t sgz p2

20

ρ(410)








partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2

20

ρ(411)

= ( )s s s

( )part part =V t 0

partpart

= rarr = + + =Bs

B V gz p C02

2

ρ(412)

partpart

+partpart

+ +

=

partpart

+partpart

=Vt s

V gz p Vt

Bs

2 0ρ

(413)





(415)



Conclusioacuten


ρ θDeDt


ρ θDeDt


ρ θDeDt


Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2

Φ =partpart

+

partpart

+

partpart

+

partpart

+partpart

2 1

2

2 2 2 2

micro ux

vy

wz

wy

vz

++partpart

+partpart

+

partpart

+partpart

minuspartpart

+part1

212

23

2 2uz

wx

vx

uy

ux

vmicropartpart

+partpart

y

wz

2










(416)




nabla =V 0

nabla =V 0

ρ microDVDt

X p V Ruru







ρ microDVDt

X p V Ruru



ρ 2u ρuv

ρ microDVDt

X p V Ruru




































(418)


V u y iuru r= ( )

nabla sdot = =θV 0

X Uuru

= minusnabla

e

x

y

U0



ρpart

+partpx

= timesU g h

ρδ y

δ xτ

ττ part+party




part= minus

partpart

+partpart

gzx

px

uy

2

2






part +( )part

=partpart

p uy

γmicro

zx

2

2 (420)

δ δx ysdot sdot1


sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy




sdot + minus + +

partpart

F p p p

xx y

yy



τ micro= ( )du dy

u y U yh

ddxp h ey y


γ

micro21 (422)





u y U yeo

( ) = (423)


Φ =

=

micro microdu

dyUe

2

0

2

(425)








Frena el movimiento






Cuando dpdx lt 0

Cuando dpdx gt 0


Cuando dhdx lt 0

Cuando dhdx gt 0

P dUe

dyUed

y

y e

= forall =

sdot sdot =int int

=

=

Φ0

0

2

02



Conclusioacuten


Capiacutetulo 5


Iacutendice


Aplicaciones











Introduccioacuten












(51)

(52)


(53)

El TAR queda

(54)

es decir

(55)


(56)

H t m( ) =

h r t dm r tdm

( ) ( )= = 1

dm tdtSist ( )

= 0



r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )



r scSC t

ρ ρ( ) ( ) ( )( )

( )

m t r t dVCVC t

( ) ( )( )

= forallint ρ




(57)


(58)







( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

0 = +dm tdt

G tVCSC

( )( )



Sup Entrada

ventn

Sup Salida

VC vsaln



entv

salv

dA

dA


(510)


(511a)

Mientras que

(511b)






iEntradas j



( ) ( ) ( ) ( )

= sdotint ρ


( ) ( ) ( )middot( )

= int ρ


G t G tVCi

Salidasij

Entradas j

( )( ) ( )

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (512)

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi


0

Si G t G tdm t

dtjEntradas j

iSalidasi


0


Aplicaciones

1 Conducciones



por lo que

Ello implica que


(517b)


(518a)


( ) ( )( )

= =int ρ

(514)

dm tdtVC ( )

= 0 (515)

G t G tjEntradas j

iSalidasi

sum sum=( ) ( ) (516)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ

(517a)


( ) ( ) ( )( )

= sdotint ρ


( ) ( )( )

= sdotint

(518b)

quedaraacute

(519a)

(519b)


(520)



(521a)

(521b)


(522a)

(522b)


( ) ( )( )

= sdotint




iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )


iSalidasi

jEntradas j

iSalidas


tsum ( )







(523a)

(523b)



(525)


(526)





i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (524)



Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)


Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)







ρ ρ= ( )r

dm tdtVC ( )

= 0 (527)

G GjEntradas j

iSalidasi

sum sum= (528)


( ) ( ) ( )

= sdotintρ

(529a)


( ) ( )( )

= sdotintρ

(529b)


( ) ( )( )

= sdotint

(530a)


( ) ( )( )

= sdotint

(530b)


quedaraacute

(531a)

(531b)



(533a)

(533b)



(535)


(536)



ρ ρj jEntradas j

i iSalidasi

Q Qsum sum= (532)




i iSalidasi

( ) ( )sum sum= (534)





2 Depoacutesitos


VC

ρent

ρsal

Qent

Qsal


Aent

VC

Asal

vent(t) vsal(t)

ρent ρsal






con

(538a)

(538b)

(539a)

(539b)



(541)

Ge3(t)

mVC(t)

Gs2(t)Gs1(t)Ge2(t)

Ge1(t)

dm tdt

G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

( )( ) ( )= minussum sum (537)





dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (540)


por lo que

quedando finalmente


(544)




(546)

m tdt

td tdt

t d tdt

VC VCVC

( )( )

( )( ) ( )


ρ (542)


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum


= minussum( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt d t

dtt Q t t QVC

VC jEntradas j

j i i

ρρ ρ ρ (( )t

Salidasisum (543)


( ) ( ) ( ) ( )td t

dtt Q t t Q tVC

jEntradas j

j i iSalidasi

ρρ ρ

ρ ρ ρsdotforall

= minussum sumd tdt

Q t Q tEntradas j

j iSalidasi

( ) ( ) ( ) (545)

d tdt

Q t Q tjEntradas j

iSalidasi






(547)

V(t)

Qs (t)

Qe (t)



Ventilacioacuten

Aprox 5 m



Ventilacioacuten

Aprox 5 m

d t Q t Q t dtt

jEntradas j

iSalidasit

t

forall = minus

forall

forall


0 0

quedando

(548)


(549)

quedando

(550)



(551)



Entradas ji

Salidasit

t

00

d tdt

A dz tdtd

forall= sdot

( ) ( )

A dz tdt


iSalidasi


Qe (t)


z(t) V(t)Qs (t)

z t zA

Q t Q t dtd

jEntradas j

iSalidasit

t

( ) ( ) ( )= + minus

sum sumint0

1

0







VC(t)





G t G tVCj

Entradas ji

Salidasi

ρ ( )( ) ( )

ρVCVCt

P tRT

( )( )

= (553)

VRT

dP tdt

G t G tVCj

Entradas ji


( )( ) ( ) (554)





(556)


(557)

dm tdt

t Q t t Q tVCj

Entradas jj i i

Salidasi

( )( ) ( ) ( ) ( )= minussum sumρ ρ (555)

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

m t m m tdm tdt

dm tdt

tdtVC aire agua

VC aguaagua

VC( ) ( )( ) ( ) ( )

= + rarr = =forall

ρρ

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )

dm tdt

d tdt

d tdt

VCagua

aguaagua


forall=


aired tdt

forall ( )








minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )


minusforall

= minus rarrforall

=ρ ρ ρaguaaire


s

d tdt

Q t Q td t

dtQ

( )( ) ( )


LDC (coordenada s)

dAds

dz

s

PdA

θ

ds

part + part

PP ds dAs




(559)



(561)






partpart





partpart



dm DvDt

dm a a ds dA vt


partpart

+partpart

ρ


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin


tv vt

minus minuspartpart


+partpart

ρ θ ρsin (562)














1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

+partpart

=Psg dzds

vt

vs

(563)









(566)

1

2

1

2

1

2 2

1

21 12


+partpart

+partpart

+partpart

=ρPsds g z

sds v

sds v

tds (564)

1

2 2

20int

partpart

+ +

=

sP gz v dsρ

(565)

P gz v P gz vρ ρ

+ +

= + +

2

1

2

22 2



o bien






P z vg

P z vgγ γ

+ +

= + +

2

1

2

22 2

(567a)

(567b)P z v

gP z v

g1

11

22

22

2

2 2γ γ+ + = + +




Z1

Z = 0

Z1

Z1

Z2

Z2

Z2

11

1

12

2

2

2

v1

v1

v1

v2

v2

v2





(569)



P z vg

P z vg

11 1

12

22 2

22

2 2γα

γα+ + = + + (568)


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


Vt

Q Av v v

Unif con v

= = =

2 2 3

2 2 2γ ρ ρ


v dAReal

A

= int

3

2ρ (570)












Unif con v

=

RReal

(571)

α =

int

13

AdAv

vA(572)

EnergiacuteaPeso

F LF

L

=

= (573)











( ) ( )P z v gγ + + 2 2

( )P zγ +





z




H

B








Z = 0

LAG

LAP

LAT


γP

z


















(575)


i

n

i

tr

gdvdtL

=sum

β

1

1(574)

h B B P z vg

P z vg

P PB = minus = + +

minus + +

minus2 1

22

22

11

12

2 1

2 2γ γ γ γ

Aspiracioacuten (1)

Q

Bancada






(576)


(577)


h f LDvgf = 2

2

h B B P z vg

P z vg

P Pf = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2




(578)



h B B P z vg

P z vg

P Pm = minus = + +

minus + +

minus1 2

11

12

22

22

1 2

2 2γ γ γ γ

P1 P2








1

2



(580)




P z vg

11

12

2γ+ +

P z vg

222

2 2γ

+ +

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg


11 1

12

22 22

1γ

α βγ

α+ +


2

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL

P z vg

h P z vg

h h hgB f m T

11

12

22

22

2 21

γ γβ+ +

+ = + +


ddvdtL(581)

h B B P z vg


minus + +

1 2

11

12

22

22

2 2γ γ







Vaacutelvula

T1


T2

2z1

z2

Δzhmv

hf2

hf1

z = 0

BombaT1


1

T2

2

z1

z2Δz

hB

hf2

hf1







Altura Q Emg

mgV

Vt



(583)












1 12

02

ρpartpart

+ +partpart

=Psg dzds

vs

(584)

1 0ρdP gdz vdv+ + = (585)


(586)


(587)






1 12

02

ρdP gdz vdv f

Dv ds+ + + =

1 12

02

ρdP f

Dv ds+ =

ρ = ( )P RT

G Q v D= =ρ ρ π( )2 4v G D= ( )4 2ρπ

dPPRT

fD

GPRT

Dds +

=12

4 02

2

π (588)

Es decir








P

P L

P dP fG RTD

ds1

2 8 2

2 50

int int= minusπ

(589)

P P fGDRTL1

22

22

2 5

16 = +π

(590)

P P fGDRTL P P

g z zRT1

22

22

2 5 12

22 2 116 = + + +( ) minus( )

π (591)






(592)




E mgzp =

E mvc = ( )1 2 2

U mu mC Te= =

HSist

u ruuu

dEdt

ddt


VC SCr SC= + +

sdot + + +

int int

2 2

2 2ρ ρ


dEdt

dQdt

dWdt







(595)



dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


dQdt

dWdt

ddt


VC

+ = + +

+ + +

int

2 2

2 2ρ ρ rr SC

SC

dA


(594)

dWdt

dWdt

dWdt

Sist VC SC= +


(596)





(597)

dWdt

dWdt

dWdt

SC SC

FuerzasPresioacuten

SC


= +

V = 0

VCV = 0

11P dAtimes


1dA

2dA

3dA

dWdtSC


= 0

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint





(599)


(5100)

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

dF vSC

FuerzasPresioacuten

P r SCSC

= sdotint

dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC


dF PdAP


dWdt

P v dASC

FuerzasPresioacuten

r SCSC


dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

Pv dA ddt

gz v u dVEjer SC

SC VC

+ minus sdot = + +

int int

u ruuu u ruu 2

2ρ ++ + +


SC

2

2ρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int

dQdt

dWdt

ddt


VCr+ = + +

+ + + +

int

2 2

2 2ρ

ρρ SSC

SC

dAu ruuu u ruu

sdot( )int


(5101)


(5102)


(5103)



dQdt

dWdt


SC

+ = + + +

sdot( )int

2

2 ρρ

u ruuu u ruu

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt

gz v u P G gzEje

Salidas i ii

Entradas j

+ = + + +

minus +sum sum

2

2 ρvv u P G

jj

2

2+ +

ρ

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2

dQdt

dWdt


Salida Entr

+ = + + +

minus + + +

ρ ρ

aada

G

2

2 2

2







(5105)


(5106)



dQdt

dWdt


minus + + +

2

2

2

12 2ρ ρ

GG

(5104)

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg Gg

dWdt

P z vg

u ug G

Eje11

12

22

22

2 1

21

21

γ γ+ +

+ = + +

+

minusminusggdQdt

P z vg

h P z vg

hB f1

11

22

22

2

2 2γ γ+ +

+ = + +

+





















VCQ

Q

z

yx

z

yx

VC

0 0

Q

F ma=

h H m=


p m mv m v= =

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum (5107)











dpdt

FSistExt

u ruuuu ruu

= sum

dpdt

ddt

v d v v dASistr SC

SCVC


F ddt



F ddt



F ddt



F ddt








QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF

QQ VC

VC

QQPs

Pe

psF

psF

peF

peF





(5110)


(5111)



sum sum sum=( )


dtv Q v QExt

VC

Salidasi

Entradas jj

u ruur

r r

i

ρ ρ


iEntradas j

jρ ρ

F ma=




(5112)

se pasa a

(5113)

donde

(5114)


RdR dtur

d R dt2 2

ωur

d dtωur

F ma=







a d Rdt

ddt


2

(5115)










(5118)







ddt

v d v v dArVC

r r SCSC




VC

a duru u ruuuuu

+( ) forallint ρ



rVC


sdot( )int

(5119)


F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


donde









(5121)



F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC



F d R

dtddt

r r v dVExt rVC

u ruur r

r r r r r uru2


v dV v v dArVC

r r SCSC


d R dt2 2

ωur

d dtωur

r

ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


ddt

v d v v dArVC

r r SCSC


sum summinus =( )


d mvdt

v QExt VCVC

Salidas ii

Entradas

ρj

jv Qsum ( )ρ

2

2








mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii


mdvdt

v Q v QVCVC

Entradas jj

Salidas ii



u ruuu r r= and( )

d r mvdt

MSistExt

r ru ruuuuand( )

= sum (5123)


r v d r v v dAExtVC

r SCS


CCint

(5124)

r



(5125)


(5126)



(5128)

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ

sum sum=and( )


dtr v QExt

VC

Salidas ii

Entrada

ρss j

jr v Qsum and( ) ρ


iEntradas j

ρ ρ j


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int


M r d R

dtr r vExt r

u ruuuu rr


2 2ω ω ω ω


r v d r v v dVC

rVC


AASC

u ruu( )int

(5127)


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2

ω ω ω ω

=and( )

+ and( )

sum

VC

r VC

Salidas ir

i

d r mv


sum

Entradas jr

jr v Qρ2




M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj


M r m d R

dtddt

r r vExt r

2

2 2ω ω ω ω

= and( )


ri Entradas j

rr v Q r vρ ( )

ρQj

(5129)

Capiacutetulo 6


Iacutendice





Bibliografiacutea


Introduccioacuten















(61)


Q D i Nijj

n

i=sum = =

11 2




(62)


Qij (+)

Si (+)

n

j1

2

i

i

n

ij

N


1 1

( )





(63)





(64)





(65)













(66)JhL

J D V gf= = ( )ε ν

JhL

fDVg

f= = 2

2 (67)




(69)


f f D V fDVD f r= =

=( ) ( Re)ε ν ε

νε (68)

1 23 7

2 51 23 7

2 51f D R f fe

r= minus +

= minus +

log

log

Re

ε ε






fRe VD

= =64 64ν

(610)

JhL

VDDVg gD

V kVf= = = =

64

264

2

2

2

νν



(612)



f

LogD Re

=

+

0 25

3 75 74

0 9

2

ε(611)









00008

000001

00000500001000020000400006

00010002

0004000600080010015002

003004005007

008009

01

006

005

004

003

0025

002

0015

00100090008

108107106105104103




Flujo laminar

f Dε

0000001Dε =

0000005Dε =

tubos lisos

Re

f = 64 Re
















A2A1 01 02 03 04 05Cc 0624 0632 0643 0659 0681

A2A1 06 07 08 09 10Cc 0712 0755 0813 0892 10


h Vg

AAe = minus

1

21

2

2

21 (613)

h Vg Cc

c

= minus

22 2

21 1 (614)









Elemento k







Apertura (ordm) 10 15 20 225 30 40 45k 108408 25524 9147 6009 2154 772 507

Apertura (ordm) 50 60 675 70 75 80 90k 348 182 119 105 082 065 043



100000

90

1000

010

k

GA (ordm)

80706050403020100






fLDVg

k Vg

e2 2

2 2= (615)

L k Dfe = (616)






B z p Vge = + +

γ

2

2(617)







43

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 043

1

2

T1 T2

T3 T4

5

6

7

5 6z = 0












11 1

pH zγ

= + 22 2

pH zγ

= +

1 2




Diaacutemetro (mm)

Rugosidad (mm)






211

1

12

( ) minus ( ) ( ) minus ( ) = (618)

H HL

fDVg

p p1 321

1

1

12( ) minus ( )

= (619)






3170 m

9434 m 9423 m9170 m

8063 m 7300 m

3300 m

z = 0










3284 m

9908 m

7555 m 7524 m7392 m 7300 m

3300 m

z = 0






Presiones negativas

Presiones positivas




















h k Vg

p k QA gL = rarr

∆=

2 2

22 2γ(620)

Q K pk


γQ K p

kKv v= ∆ rarr =

2 2gAγ

(621)






PQ H Q

QP Qb b b

b ba b=

sdot sdot ( )( ) = ( )γ

η(622)

P w kwa =sdot

sdot

=9810 330

360052

0 8157 73

(623)




(624)

(625)



HPabsorb

REND

Hb (m)

Hb

η

Pa

55

45

35

80

60

Q (m3h) 100 200 300 400 500

120

60

408empty1504001450 rpm


ηb b bDQ EQ= + 2






B0

A0

A1


H0

H1

A2

B1

B2

QQ0Q1

N0

N1

N2


0

NN

α =


QQ

α= 2

0

HH

α= 0η η=



22b b

D EQ Qηα α

= +










(626)





B H Q B h Qbi

n

fi1 21

( ) + ( ) = ( ) + ( )=sum

Hbη

QQ0

H0

Hg

η0

P0Hr (Q)

Hm (Q)

η (Q)

hf = KQ2

Curva motriz

Curva resistente


















Si



(627)



M L N= minus + 1




















A dzdt

Q Sjj

n

iminus + ==sum

10 (628)













t = t + Δt




FINSIacute

NO

NOSIacute
















(629)

H x H x L Lg

dVdt

f LD

V Vg

I dQdt

R Q Q ( ) ( )0 0 2minus + = + = +







I LgA

= (630)

R f LD

= 0 0826 5 (631)

HL D f

HVg

f LDVg

VgH

f LD

= + rarr =

+

02

02

02 22

1(632)









H Vg

f LDVg

LgdVdt

= + + 2 2

2 2(633)

tLVgH

V VV V

=+minus

0 0

02ln (634)

TLVgHe = 1 832 0 (635)













(636)


(637)



∆ =HaVgJ 0

∆ =p aVJ ρ

(638)





a

K

KDEe

=

+

ρ

1(639)






a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)



V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = V0

H0 V = V0H0

t = 0 Q = 0


V = 0H0

ΔH

Lta

=

ΔH

V = V0

H0

a0 Lt

alt lt

V = 0

V = 0V = -V0

H0

a2L Lta alt lt

-ΔH

V = -V0

H0

2Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=

V = 0H0

-ΔH

3Lta

=

-ΔH

V = -V0

H0

a2 3L Lta alt lt

V = 0

V = 0V = V0

H0

a3 4L Lta alt lt

ΔH

V = V0

H0

4Lta

=















H

t


Nivel depoacutesito

ΔH

La

2La

3La

4La

5La

6La

7La

8La

0




Bibliografiacutea





Capiacutetulo 7


Iacutendice










Curva de remanso



Bibliografiacutea


Introduccioacuten











b

θy

T

b

y

T

y D
























(78)

R b yb yh =

sdot+ 2

T b y= +

2tan θ

A b y y= sdot +

2

tanθ

p b y= +

2sinθ

R Aph =

α =minusarccosD yD

2












A D= minus

2

42

2α αsin

p D= sdotα

R Dh = minus

sdot

4

1 22

sin αα

RAp

RR

R Dh ll

ll

ll = =

sdotsdot sdot

= =π

π

2

2 2 4(713)



(714)




V x tQ x tA x t

( ) = ( )( )












Solera


x

Fr V Tg A

=sdot

sdot

22

(715)

Fr Vg y

=sdot

22

(716)

c g AT

= (717)

Fr Vc

=2

2

2 (718)





x

y

Solera

ZZ0

Origen de cotas

Superficie libre

S0

Sw










SdZdx

= minus00 (719)


E Z Vg

= +2

2(721)

S dEdx

ddx

Z Vg

= minus = minus +

2

2(722)



(724)









dZdx

dEdx

s (723)

S S Sw= =0



(726)

en donde





en m



VnR Sh= sdot

1 2 30

1 2 (725)

QnA R Sh= sdot sdot

1 2 30

1 2

















b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2



b1

y1

Seccioacuten A1

b1

y1

θ1y2

Seccioacuten A2

b2

θ2

Seccioacuten A1

y2

b2

Seccioacuten A2





(728)






R b yb yh =

sdot+ sdot2

(727)Maximizar

A b y cte= sdot =


2 2 (729)

Rb y y

b yh =sdot +

+

2

2tan

sin

θ

θ

(730)Maximizar


tanθ










p b y Ay

y y= + = minus +


(732)Minimizar

θ = = sdot =60 32



sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α (734)


sdot

=

minus4

1 22

2sin arccosαα

α

(735)


(736)


(737)







minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2Maximizar


minus

sdot

=2 3

2 2 3

42

2 41 2

2


αα oosD y

Dminus 2




(738)

(739)




Vn

D Sll =

sdot

14

2 3

01 2

Qn

D D Sll =sdot

sdot

sdot

14 4

2 2 3

01 2π


grado de llenado


grado de llenado

00

02

04

06

08

10y D


02 04 06 08 010 1200

Gasto

Aacuterea

Periacutemetro

Velocidad


02

04

06

08

1

0 02 04 06 08 1 12

1211 13 14

Rela

cioacuten

entr

e ca

lado

y di

aacutemet

ro


Caudal

Aacuterea

Velocidad





QQll hD vvll

0001 0023 0170002 0032 0210003 0038 0240004 0044 0260005 0049 0280006 0053 0290007 0057 0300008 0061 0320009 0065 0330010 0068 0340011 0071 0350012 0074 0360013 0077 0360014 0080 0370015 0083 0380016 0086 0390017 0088 0390018 0091 0400019 0093 0410020 0095 0410021 0098 0420022 0100 0420023 0102 0430024 0104 0430025 0106 0440026 0108 0450027 0110 0450028 0112 0450029 0114 0460030 0116 0460031 0118 0470032 0120 0470033 0122 0480034 0123 0480035 0125 0480036 0127 0490037 0129 0490038 0130 0500039 0132 0500040 0134 0500041 0135 0510042 0137 0510043 0138 0510044 0140 0520045 0141 0520046 0143 0520047 0145 0530048 0146 0530049 0148 0530050 0149 0540051 0151 0540052 0152 0540053 0153 0550054 0155 0550055 0156 055

QQll hD vvll

0056 0158 0550057 0159 0560058 0160 0560059 0162 0560060 0163 0570061 0164 0570062 0166 0570063 0167 0570064 0168 0580065 0170 0580066 0171 0580067 0172 0580068 0174 0590069 0175 0590070 0176 0590071 0177 0590072 0179 0590073 0180 060074 0181 060075 0182 060076 0183 060077 0185 0610078 0186 0610079 0187 0610080 0188 0610081 0189 0620082 0191 0620083 0192 0620084 0193 0620085 0194 0620086 0195 0630087 0196 0630088 0197 0630089 0199 0630090 0200 0630091 0201 0640092 0202 0640093 0203 0640094 0204 0640095 0205 0640096 0206 0650097 0207 0650098 0208 0650099 0210 0650100 0211 0650105 0216 0660110 0221 0670115 0226 0680120 0231 0690125 0236 0690130 0241 070135 0245 0710140 0250 0720145 0254 0720150 0259 073

QQll hD vvll

0155 0263 0740160 0268 0740165 0272 0750170 0276 0760175 0281 0760180 0285 0770185 0289 0770190 0293 0780195 0297 0780200 0301 0790210 0309 0800220 0316 0810230 0324 0820240 0331 0830250 0339 0840260 0346 0850270 0353 0860280 0360 0860290 0367 0870300 0374 0880310 0381 0890320 0387 0890330 0394 0900340 0401 0910350 0407 0920360 0414 0920370 0420 0930380 0426 0930390 0433 0940400 0439 0950410 0445 0950420 0451 0960430 0458 0960440 0464 0970450 0470 0970460 0476 0980470 0482 0990480 0488 0990490 0494 1000500 0500 1000510 0506 1000520 0512 1010530 0519 1010540 0525 1020550 0531 1020560 0537 1020570 0543 1030580 0550 1030590 0556 1030600 0562 1040610 0568 1040620 0575 1040630 0581 1050640 0587 1050650 0594 105

QQll hD vvll

0660 0600 1050670 0607 1060680 0613 1060690 0620 1060700 0626 1060710 0633 1060720 0640 1070730 0646 1070740 0653 1070750 0660 1070760 0667 1070770 0675 1070780 0682 1070790 0689 1070800 0697 1070805 0701 1080810 0705 1080815 0709 1080820 0713 1080825 0717 1080830 0721 1080835 0725 1080840 0729 1070845 0734 1070850 0738 1070855 0742 1070860 0747 1070865 0751 1070870 0756 1070875 0761 1070880 0766 1070885 0777 1070890 0775 1070895 0781 1070900 0786 1070905 0791 1070910 0797 1070915 0802 1060920 0808 1060925 0814 1060930 0821 1060935 0827 1060940 0834 1050945 0841 1050950 0849 1050955 0856 1050960 0865 1040965 0874 1040970 0883 1040975 0894 1030980 0905 1030985 0919 1020990 0935 1020995 0955 1011000 1000 100




A

Q

vRh

A

Q

v02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

02

04

06

08

0 04 08 12

10

02 06 10

D

D

D

R = D

Ovoide

R = 0167D

0208D

R = 033D

R = 033D

R = 1042D

R = 125D

D

R = 0547D

R = 133D

R = 133D

D

R = 1559D

R = 1001D

R = 05005D

Semieliacuteptica

Herradura


yD

yD

yD

yD

D

D

D

D

A

Q

vRh

A

Q

v

















Ondas de gravedad


(740)


c g y= sdot( )1 2





Curva de remanso


FR lt 1 C gt V


Subcriacutetico

FR equiv 1 C = V


Criacutetico

FR gt 1 C lt V


Supercriacutetico







h

x

yyr ys

S0 lt Sc







Hy1

y2

V1

V2







Aire




(742)

donde




(743)



V QDt =

10

0 4

(741)

L Vt t= sdot0 17 2




D

Aprox 10D




BajanteAguaAire


Bibliografiacutea







Capiacutetulo 8


Iacutendice


Bibliografiacutea


Introduccioacuten





u0 u(y)














Capa liacutemite
























Sustentacioacuten


Balanceo

Fuerza









Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa


Separacioacuten

Estela fina



Estela gruesa

Esfera lisa

















(81)F C AVD D=

12

2ρ

F C AVL L=12

2ρ (82)












CD Modelo Antildeo









Sustentacioacuten





































Torre Eiffel 19

Velocidad terminal



F C AVD D=12

2ρ (83)





F









Bibliografiacutea


















2ρ

Portada

Creacuteditos

Iacutendice

Presentacioacuten


Iacutendice





Viscosidad





Conclusioacuten

Bibliografiacutea

Anexos


Iacutendice

Introduccioacuten

Unidades







Prisma de presiones




Iacutendice

Introduccioacuten




Sistemas Inerciales










2 Flujo Isotermo


Concepto de caudal








Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten





Conclusioacuten




Conclusioacuten


Iacutendice

Introduccioacuten



Aplicaciones

1 Conducciones

2 Depoacutesitos
















Iacutendice

Introduccioacuten














Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten
















Ondas de gravedad

Curva de remanso



Bibliografiacutea


Iacutendice

Introduccioacuten












Velocidad terminal

Bibliografiacutea

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