مجيع حمتوايت هذه املذكره مأخوذه من الطبعه السادسه من كتاب مالحظه:

Precalculus Mathematics for Calculus

James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson

الباب اخلامس

الدائريهالدوال أشراق الشمس و . تلك احلركه الدوريه واليت تتكرر كثريا يف الطبيعه فمثلا و اليت تعيد نفسها مره تلو اآلخرى احلركه الدوريه فلك خربه حيه يف إن ركبت مره دوالب اهلواء

ورقه شجر يف مهب ...( و أيضاا إرتعاشمنخفض –مرتفع -منخفض –مرتفع غروهبا )كل يوم و ليله و يوم و ليله...( هو مثال حلركه دوريه كذلك ظاهره املد و اجلزر ) لفهم كيف ميكننا تعريف مثل هذه لداله تزداد قيمها مث تتناقص مث تتزايد مث تتناقص و هكذا. لتمثيل هذه احلركه حنتاج. هي حركه دوريه ميني..(-يسار-ميني -الريح ) يسار

نظر إىل شخص يركب دوالب هواء الداله ن

.الحظ أن الرسم يرتفع و يهبط إبنتظام . tيف زمن واءيوضح الرسم إرتفاع الشخص عن مركز دوالب اهل

.إبستخدام دائره الوحده بدالا من دوالب اهلواء بطريقه مماثله sineتعرف الداله املثلثيه

متطابقتني : لكن وال املثلثيه بطريقتني خمتلفيتني ودعرف الت

.كدوال معرفه على األعداد احلقيقيه كما سندرسها يف الباب اخلامس .كدوال معرفه على الزاواي كما سندرسها يف الباب السادس

.آلخرى كل الطريقتني مستقله عن اآلخرى نستطيع دراسه أي من منهما قبل اسندرس كل الطريقتني حيث أن كل منهما متطلب لتطبيقات خمتلفه و حيث أن

دائره الوحده 5.1 . تلك اخلصائص ستسخدم لتعريف الدوال املثلثيه الحقاا. 1سندرس يف هذا اجلزء خصائص الدائره اليت مركزها نقطه األصل و نصف القطر

2وهلا املعادله 1نصف قطرها من نقطه األصل تكون دائره 1النقاط اليت تبعد املسافه اجملموعه املكونه من مجيع 2 1x y .

xyو مركزها نقطه األصل يف املستوى األحداثي 1هي الدائره اليت نصف قطرها دائره الوحدهتعريف: معادله دائره الوحده هي .

2 2 1x y

3النقطه أثبت أن 1مثال 6,

3 3P

تقع على دائره الوحده؟

حيث أن احلل:

2 2

3 6 3 61

3 3 9 9

حتقق معادله دائره الوحده أي أهنا تقع عليها. Pإذن النقطه

إذا كانت النقطه : 2مثال 3 / 2,P y فأوجد األحداثي تقع على دائره الوحده يف الربع الرابع من املستوى األحداثي .y هلا؟

فسيكون لدينا تقع على دائره الوحده حيث أن النقطه احلل:

2

231

3y

أي أن

2 3 1

14 4

1

2

y

y

1هلا جيب أن يكون سالب األشاره. أي yو حيث أن النقطه تقع يف الربع الرابع فإن إحداثي

2y .

على دائره الوحده مبتدئني ابلنقطه tمسافه نقطع . دعنا عدد حقيقي tليكن : دائره الوحدهالنقط الطرفيه على 0,1 عقارب جتاه إبجتاه معاكس إل

عدداا سالباا. tعقارب الساعه إذا كان إجتاه موجباا و إبجتاه مع tالساعه إذا كان

سنصل نقطه tبعد مسافه ,P x y حمدده ابلعدد احلقيقي نقطه طرفيه هذه النقطه اليت حنصل عليها هبذه الطريقه تسمى دائره الوحده. علىt .

حيث أن حميط دائره الوحده هو 2 2 1 النقطه من احلركه على الدائره مافإنه إذا بدأت نقطه 1,0 و أكملت إبجتاه معاكس إلجتاه عقارب الساعه

لتعود للنقطه 2تقطع مسافه سفإهنا طريقها 1,0 3و إ ذا قطعت ثلثه أرابع حميط الدائره أي . مره أخرى

4

فقط فإهنا ستصل النقطه 0, 1 بينما

ستصل النقطه 1,0 إذا قطعت نصف املسافه أي مسافه و ستصل النقطه 0,1 بعد مسافه قدرها4

.

tأوجد النقط الطرفيه على دائره الوحده و احملدده ابلعدد احلقيقي : 3مثال

) 3 ) )2

a t b t c t

من الشكل أدانه يتضح أن احلل:

a 3النقطه الطرفيه املقابله لـ هي 1,0

b النقطه الطرفيه املقابله لـ هي 1,0

c النقطه الطرفيه املقابله لـ/ 2 هي 0, 1 .

قد حتدد نفس النقطه الطرفيه. tالحظ ان قيم خمتلفه لـ

/اليت يددها العدد أوجد النقطه سؤال: 4t على دائره الوحده؟

الحظ أن النقطه اإلجابه: ,P x y و اليت يددها العدد/ 4 من النقطه على دائره الوحده تبعد مسافه 1,0 من النقطه اليت تبعدها مساويه للمسافه

0,1 .

yحول املستقيم و حيث أن دائره الوحده متناظره x فإنP .أي أن ستقع على هذا اخلطP 2)يف الربع األول( للدائره هي نقطه التقاطع 2 1x y yواخلط x بتعويض .x عنy حنصل على يف معادله الدائره

2 2

2

2

1

2 1

1

2

1

2

x x

x

x

x

/1يف الربع األول فإن Pو حيث أن 2x و حيث أنy x فإنy 1أيضاا ستكون مساويه لـ/ /. أي أن النقطه الطرفيه اليت حتددها 2 4 هي

1 1 2 2, ,

2 22 2P P

/مشاهبه نستطيع إجياد النقط الطرفيه املقابله لـ بطريقه 6t و/ 3t 57) انظر مترين 58 الشكل التايل يعطي النقط الطرفيه لبعض القيم اخلاصه ) . tلـ

حيث tاحملدده ابلعدد احلقيقي أوجد النقط الطرفيه 4مثال

3 5) ) )

4 4 6a t b t c t

احلل:

(a لتكنP ده بـهي النقطه الطرفيه احملد/ 4 وQ هي النقطه الطرفيه احملدده بـ/ 4 من الشكل أدانه . a جند أن إحداثياتP داثيات مطابقه إلحQ حيث أن يف املقدار و ختتلف عنها يف األشاره فقط .P فسيكون إحداثي تقع يف الربع الرابع من املستوىx هلا موجب بينما سيكون األحداثيy أي هلا سالب

أن النقطه الطرفيه املطلوبه هي 2 / 2, 2 / 2P .

(b لتكنP 3هي النقطه الطرفيه احملدده بـ / 4 وQ هي النقطه الطرفيه احملدده بـ/ 4 من الشكل أدانه . b جند أن إحداثياتP مطابقه إلحداثياتQ يف املقدار و ختتلف عنها يف األشاره فقط. حيث أنP من املستوى فسيكون إحداثي لثاينتقع يف الربع اx بينما سيكون األحداثي هلا سالبy أي هلا موجب

أن النقطه الطرفيه املطلوبه هي 2 / 2, 2 / 2P .

(c لتكنP 5هي النقطه الطرفيه احملدده بـ / 6 وQ هي النقطه الطرفيه احملدده بـ/ 6 من الشكل أدانه . c جند أن إحداثياتP مطابقه إلحداثياتQ فقط. حيث أن يف املقدار و ختتلف عنها يف األشارهP تقع يف الربع الثالث من املستوى فسيكون كل من إحداثيx و إحداثيy هلا سالبني أي أن النقطه

الطرفيه املطلوبه هي 3 / 2, 1/ 2P .

الرقم املرجعي:

رابع املستوى حنتاج دعى ابلرقم املرجعي للعدد ملساعدتنا يف إجياد النقط الطرفيه. الحظ أننا يف املثالني السابقني إلجياد نقطه طرفيه يف ربع ما من أي سنستخدم مافيما يلي فقط أن حندد النقطه الطرفيه املناظره هلا يف الربع األول.

. xو حمور tبني النقطه الطرفيه احملدده بـهو أقصر مسافه على دائره الوحده tو املرتبط بـ tالرقم املرجعي عدد حقيقي. tليكن تعريف:

إذا كانت النقطه الطرفيه تقع يف الربع األول أو الربع . tالربع الذي تقع فيه النقطه الطرفيه احملدده بـاعدان كثرياا معرفه سسي tأنه إلجياد الرقم املرجعي يوضح الشكل أعله

xأما إذا كانت النقطه الطرفيه تقع يف الربع الثاين أو الربع الثالث حيث . xى دائره الوحده حول اجلزء املوجب حملور علابلتحرك tموجب فإننا نوجد xالرابع حيث

. xحملور السالبدائره الوحده حول اجلزء ابلتحرك على tفإننا نوجد سالب

أوجد الرقم املرجعي لكل من : 5 مثال

5 7 2) ) ) ) 5.80

6 4 3a b t c d t

احلل:

5 7) ) 2

6 6 4 4

2) ) 2 5.80 0.48

3 3

a t b t

c t d t

النقط الطرفيه:إستخدام الرقم املرجعي إلجياد

سنتبع اخلطوات التاليه: tو احملدده ابلعدد Pالنقطه الطرفيه إلجياد

. tنوجد الرقم املرجعي .1

نوجد النقطه الطرفيه .2 ,Q a b احملدده بـt . هي tالطرفيه احملدده بـالنقطه .3 ,P a b .حيث يتم حتديد األشاره حسب الربع األحداثي الذي تقع فيه النقطه الطرفيه

حيث tأوجد النقطه الطرفيه احملدده ابلعدد : 6مثال

5 7 2) ) )

6 4 3a t b t c t

. 5للعداد أعله مت إجيادها يف املثال االرقام املرجعيه احلل:

(a العدد املرجعي/ 6t و هو يدد النقطه الطرفيه 3 / 2,1/ تقع يف الربع الثاين فإن tحيث أن النقطه الطرفيه احملدده بـ ( 3)أنظر اجلدول يف مثال 2

هلا موجب أي أن النقطه الطرفيه املطلوبه هي yهلا سالب و إحداثي xإحداثي

3 1,

2 2

(b العدد املرجعي/ 4t و هو يدد النقطه الطرفيه 2 / 2, 2 / تقع يف الربع الرابع t( حيث أن النقطه الطرفيه احملدده بـ 3)أنظر اجلدول يف مثال 2

هلا سالب أي أن النقطه الطرفيه املطلوبه هي yهلا موجب و إحداثي xفإن إحداثي

2 2,

2 2

(c العدد املرجعي/ 3t النقطه الطرفيه و هو يدد 1/ 2, 3 / تقع يف الربع الثالث فإن t( حيث أن النقطه الطرفيه احملدده بـ 3)أنظر اجلدول يف مثال 2

هلا سالبني أي أن النقطه الطرفيه املطلوبه هي yو إحداثي xإحداثي

1 3,

2 2

..........................................................

.......................................................

2tهي نفس النقطه الطرفيه احملدده بـ tالطرفيه احملدده بـفإن النقطه 2حيث أن حميط دائره الوحده هو 2أوt 2. عامه ميكننا مجع أو طرح أيه عدد . tإلجياد النقط الطرفيه لعدد كبري يف املثال التايل . سنستخدم هذه امللحظه tمن املرات و سنحصل على نفس النقطه الطرفيه احملدده بـ

29أوجد النقطه الطرفيه احملدده بـ: 7مثال

6t

.

حيث أن احلل:

29 54

6 6t

5هي نفس النقطه الطرفيه لـ tفإن النقطه الطرفيه لـ / 6 أي اننا طرحنا (4 من املثال رقم .)جند أن النقطه الطرفيه املطلوبه هي 6 3 / 2,1/ 2 . أنظر

الشكل أدانه.

الدوال الدائريه. 5.2 و يف هذا اجلزء سنستخدم خصائص دائره الوحده اليت درسناها سابقاا لنعرف الدوال الدائريه.الداله هي علقه أو قاعده تعني لكل عدد حقيقي عدد حقيقي آخر

تذكر انه إلجياد نقطه طرفيه ,P x y لعدد ماt فإننا سنتحرك على دائره الوحده مسافه قدرهاt مبتدئني من النقطه 1,0 سنتحرك إبجتاه معاكس إلجتاه . .عدد سالب tعدد موجب و إبجتاه مع إجتاه عقارب الساعه إذا كان tعقارب الساعه إذا كان

للنقطه yو xسنعرف اآلن عدد من الدوال إبستخدام األحداثيات ,P x y فمثلا سنعرف الداله املسماه( ساينsine ) عدد حقيقي واليت تعني لكلt

للنقطه الطرفيه yاألحداثي ,P x y ابلعدد و احملددهt . سنعرف أيضا دوال أخرى مثل ( كوساين cosine ) ( و اتجننتtangent ) و سيكنت ( seccant ( و كوسيكنت ) cosecant ) ( و كواتجننتcotangent سنعرفهم مجيعا إبستخدام )اإلحداثيات لـ ,P x y .

أي عدد حقيقي و لتكن tليكن تعريف ,P x y النقطه الطرفيه على دائره الوحده و احملدده بـهيt سنعرف .

sin cos tan 0

1 1csc 0 sec 0 cot 0

yt y t x t x

x

xt y t x t y

y x y

أوجد الدوال الدائريه السته املقابله للعدد :1مثال

) )3 2

a t b t

تذكر اجلدول احلل:

(a أعله جند أن النقطه الطرفيه احملدده بـمن اجلدول/ 3t هي 1/ 2, 3 / 2P أي أن

3 1 3 / 2sin cos tan 3

3 2 3 2 3 1/ 2

2 3 1/ 2 3csc sec 2 cot

3 3 3 3 33 / 2

(b اجلدول أعله جند أن النقطه الطرفيه احملدده بـ/ 2t هي 0,1P أي أن

1 0sin 1 cos 0 csc 1 cot 0

2 2 2 1 2 1

tanبينما 2

وsec2

غري معرفني إلن األحداثيx لـP .مساو للصفر

و اليت ميكن احلصول عليها من اجلدول يف املثال أعله و تعريف الدوال املثلثيه tيتوي على قيم الدوال الدائريه لبعض القيم اخلاصه لـاجلدول التايل

. tلبعض القيم األساسيه لـ cosو sinاجلدول التايل يتوي على طريقه سهله جداا حلفظ القيم لدوال الـ

: لذا سنحتاج إىل معرفه و حتديد نطاق كل منهم كما يليكما رأينا أعله ان بعض الدوال الدائريه غري معرفه لبعض قيم األعداد احلقيقيه

النقطه الطرفيه يددأي عدد حقيقي و tليكن ,P x y فإن

sin t y وcos t x معرفتان إلي عدد حقيقيt .

cot tx

y 1 و

csc ty

0معرفتان بشرط أن يكونy أي أنt n إلي عدد صحيحn . أي أن نطاقيهما هي اجملموعه

: ,t t n n

tan ty

x 1و

sec tx

0معرفتان بشرط أن يكونx أي أن2

t n

إلي عدد صحيحn . أي أن نطاقيهما هي اجملموعه

: n ,2

t t n

حساب قيم الدوال الدائريه:

فمثلا إذا . tالربع الذي تقع فيه النقطه الطرفيه احملدده ابلعدد و ستعتمد إشاره الداله الدائريه على سنحدد أوال إشاره الداله : نتبع اآليت حلساب قيم أخرى للدوال الدائريهكانت النقطه الطرفيه ,P x y احملدده ابلعددt سالبني لذا فإن تقع يف الربع الثالث كل إحداثييهاcsc ,cos ,sint t t وsect إشارهتم سالبه بينما ستكون

cotو tantإشاره كل من t يف مجيع األرابع للمستوى التايل سيتحوي على توضيح جلميع إشارات الدوال املثلثيه جلدولموجبه. ا.

الدوال السالبه الدوال املوجبه الربع األحداثي ال يوجد مجيعهم األولsin الثاين , csc cos,sec, tan,cot tan الثالث ,cot sin ,csc , tan ,cot cos,sec sin الرابع ,csc , tan ,cot

كر اجلمله و الشكل التالينيكطريقه سهله للحفظ تذ

كمثال ملا سبق نقاشه الحظ أن cos 2 / 3 0 2و ذلك إلن النقطه الطرفيه لـ / 3t تقع يف الربع الثاين بينما tan 4 / 3 0 إلن النقطه الطرفيه

4لـ / 3t تقع يف الربع الثالث.

إبستخدام إحداثيات النقط الطرفيه فإننا نستطيع أجياد قيم و حيث أن الدوال الدائريه معرفه tالرقم املرجعي لنوجد النقطه الطرفيه احملدده ابلعدد إستخدمنا 5.1يف اجلزء

فروق يف امكانيه ماعدا tالنقطه الطرفيه لـهلا نفس إحداثيات tفإن النقطه الطرفيه لـ tهو الرقم املرجعي لـ tإذا فرضنا أن الدوال الدائريه إبستخدام الرقم املرجعي مباشره.

. سنشرح ذلك يف املثال التايل ماعدا فرق يف اإلشاره tهلا نفس قيم الدوال الدائريه لـ tلـوال الدائريه دال لذا فإن األشارات

أوجد مايلي : 2مثال

2 19)cos ) tan )sin

3 3 4a b c

احلل:

(a 2الرقم املرجعي لـ / 3 هو/ 3 2و حيث أن النقطه الطرفيه لـ / 3 2إشاره تقع يف الربع الثاين فإنcos

3

ستكون سالبه أي أن

2 1cos cos

3 3 2

All Students Take Calculus

من اجلدول

(b الرقم املرجعي لـ/ 3 هو/ 3 و حيث أن النقطه الطرفيه لـ/ 3 فإن إشاره تقع يف الربع الرابعtan3

ستكون سالبه أي أن

tan tan 33 3

(c حيث أن 19 / 4 4 3 / 4 19احملدده بـفإن النقطه الطرفيه / 4 3هي نفس النقطه احملدده بـ / 4 . 3الرقم املرجعي لـ / 4 هو/ 4 و

3حيث أن النقطه الطرفيه لـ / 4 3تقع يف الربع الثاين فإن إشارهsin

4

أي أن ستكون موجبه

19 3 2sin sin sin

4 4 4 2

مضاعف لـ tألي tلقيم نستطيع حساب قيم الدوال الدائريه حنن . يف الواقع tب الدوال الدائريه لقيم معينه فقط من ستطعنا حساإحىت اآلن / 6 أو/ 4 أو/ 3 أو/ 2 . الدائريه لقيم آخرى لـ كيف ميكننا حساب قيم الدوالt كيف ميكننا إجياد قيمه مثلا ؟sin1.5 أحد ؟

حلسن احلظ توجد برامج جيده موضوعه يف الطرق املمكنه هي رسم الداله بعنايه فائقه و قراءه القيمه من الرسم لكن هذه الطريقه ليست دقيقه.جيب أن تكون يف وضع اآلله احلاسبه دقيقه إىل أقرب رقم يظهر على الشاشه.للدوال املثلثيه العلميه تطبق تعليمات رايضيه و تعطي قيم احلاسبات

لن نستعمل اآلله احلاسبه يف هذا املقرر. حلساب قيم الدوال بشكل صحيح.الرداين

إشاره رقم مرجعي

إشاره رقم مرجعي

من اجلدول

4بطرح

رقم مرجعي

من اجلدول

إشاره

من السهل إثبات أن

بعد التأكد من أن اآلله احلاسبه يف وضع الراداين و ابلتقريب إىل أقرب سته منازل عشريه جند أن ) للفهم فقط( : 3مثال

)sin 2.2 0.808496 ) cos1.1 0.453596

1 1)cot 28 3.553286 ) csc0.98 1.204098

tan 28 sin 0.98

a b

c d

التايل . من الشكل tو الدوال الدائريه لـ tلندرس اآلن العلقه بني الدوال الدائريه لـ

يتضح أن

sin sin

cos cos

tan tan

t y t

t x t

y yt t

x x

عامه سيكون لدينا العلقات التاليه

sin sin cos cos tan tan

csc csc sec sec cot cot

t t t t t t

t t t t t t

إحسب كل مما يلي : 4مثال

)sin ) cos6 4

a b

احلل:

1) sin sin

6 6 2

2) cos cos

4 4 2

a

b

أساسيه:متطابقات

2sinسنتبع العرف السائد و نكتب أنناالحظ .عن طريق علقات و متطابقات أساسيه. فيما يلي سنذكر أهم تلك املتطابقات مع بعضها البعض ترتبط الدوال الدائريه t

لنعين هبا 2

sin t .ابملثل لبقه الدوال الدائريه األخرى

تذكر أنه إذا كانت tألي عدد حقيقي املتطابقات األساسيه تتبع مباشره من تعريف الدوال الدائريه : األثبات ,P x y هي النقطه الطرفيه على دائره الوحده و فإن. tاحملدده بـ

sin cos tan 0

1 1csc 0 sec 0 cot 0

yt y t x t x

x

xt y t x t y

y x y

املتطابقات التبادليه

متطابقات فيثاغورث

: نتبع التايل و إلثبات متطابقات فيتاغورث

عدد حقيقي و t كنلي ,P x y هي النقطه الطرفيه على دائره الوحده و احملدده بـt . حيث أن ,P x y أي أن تحقق معادلتهاستقع عل دائره الوحده إذن

2 2 1x y الدوال الدائريه لدينا تعريف ولكن منcost x وsin t y و عليه فإن

2 2 2 2sin cos 1t t y x

2cosاملعادله أعله على طريف و إلثبات امتطابقات اآلخرى سنقسمهذا يثبت املتطابقه األوىل من متطابقات فيثاغورث t بشرط أن تكون (cos 0t ) لنحصل على

2 2

2 2 2

2 2

2 2

sin cos 1

cos cos cos

sin 11

cos cos

tan 1 sec

t t

t t t

t

t t

t t

2sinابملثل إذا قسمنا طريف معادله متطابقه فيثاغورث االوىل على t بشرط أن تكونsin 0t فسنحصل على

2 21 cot csct t

.........................................................................

................................................

. tللعدد فإننا نستطيع إجياد قيم بقيه الدوال الدائريه tتربط املتطابقات األساسيه الدوال الدائريه بعضها ببعض. فإذا عرفنا قيمه أحد الدوال الدائريه للعدد

3إذا عرفت أن : 5مثال cos

5t و أنt أي النقطه احملدده ابلعدد تقع يف الربع الرابع (t ) فأوجد مجيع قيم الدوال الدائريه اآلخرى لـستقع يف الربع الرابعt .

إبستخدام متطابقات فيثاغورث للدوال الدائريه احلل:

2 2sin cos 1t t

حنصل على

2

2 23 9 16sin 1 sin 1

5 25 25t t

أي أن

4sin

5t

4أي أن ستكون قيمته سالبه. sintيف الربع الرابع فإن tو حيث أن sin

5t نستطيع إجياد قيم بقيه الدوال الدائريه إبستخدام املتطابقات التبادليه كما .

يلي

4 3 sin 4 / 5 4sin cos tan

5 5 cos 3 / 5 3

1 5 1 5 1 3csc sec cot

sin 4 cos 3 tan 4

tt t t

t

t t tt t t

تقع يف الربع الثالث؟ tإذا علمت أن costبدالله tantأكتب : 6مثال

حيث أن احلل:

sintan

cos

tt

t

. من متطابقه فيثاغورث األوىل لدينا costبدالله sintسنحتاج فقط أن نكتب

2 2 2 2 2sin cos 1 sin 1 cos sin 1 cost t t t t t

تكون سالبه يف الربع الثالث فإن sint إشاره و حيث أن

2sin 1 cos

tancos cos

t tt

t t

.......................................................................................

.............................................

رسم الدوال الدائريه 5.3وسنعطي صوره سريعه و رسوم بعض التحويلت اهلندسيه لدواهلماcosو الـ sinتصور أفضل لسلوك الداله لذا فإننا يف هذا اجلزء سنرسم داله الـالرسم البياين لداله ما يعطى

البيانيه للدوال الدائريه اآلخرى. لرسوم ل

costو sintالرسم البياين للدالتني

انتذكر أن حميط دائره الوحده هو بشكل منتظم. و لنرى كيف يدث هذا ابلضبطأن نلحظ أن هاتني الدالتني تكرران قيمهما cosو الـ sinلرسم داليت الـمن املفيد 2 لذا فإن النقطه الطرفيه ايت يددها عدد ماt 2اليت يددها العدد هي نفس النقطهt حيث أن داليت الـ .sin و الـcos معرفتان بدالله إحداثيات النقطه

,P x y 2فإن قيمها لن تتغري إبضافه أو طرح أحد املضاعفات الصحيحه لـ

فإن nه إلي عدد صحيح مبعىن أن

sin 2 sin

cos 2 cos

t n t

t n t

حبيث pإذا وجد عدد موجب دوريهأهنا fنقول أن داله ما تعريف: f t p f t إلي عددt أصغر عدد موجب) إن وجد( يقق ذلك يسمى دوره .f . إذاf هلا الدورهp فإن الرسم البياين لـf على أي فرته هلا الطولp يسمى دوره كامله لـf .

و للحصول على الرسم 2ه طوهلا أي أن تلك قيم تلك الدوال تكرر يف كل فرت . 2هي دوال دوريه ودورهتا cosو الـ sinدوال الـحسب التعريف أعله فإن البياين هلا سنبدأ برمسها يف فرته واحده فقط.

0لرسم تلك الدوال يف الفرته 2t غري أملس. لكن هذه الطريقهو نوصل النقاط للحصول على منحىن حناول وضع جدول القيم لتلك الدوال و نعني النقاط قدللنقطه الطرفيه yهو إحداثي sintجمديه . لننظر مره آخرى و نتفحص تعريف تلك الدوال. تذكر أن قيمه ,P x yاليت يددها العدد على دائره الوحده وt

للنقطه yسنلحظ أن األحداثي ؟ tقيمه تزدادلتلك النقطه عندما yلسلوك إلحداثي لننظر ,P x y مث 1يد مع حترك النقطه على دائره الوحده ليصل يز /إىل 0من tيف الواقع إذا زادت .يكرر هذا و 1يتناقص إىل 2 فإن قيمy sin t و إذا زادت 1إىل 0تتزايد منt من/ 2 إىل فإن قيم

y sin t يوضح التغري يف داليت اجلدول التايل. 0إىل 1تتناقص منsint وcost عندما تتفريt 2إىل 0من .

sinyالرسم التايل يوضح الرسم البياين للداله t

cosولرسم أكثر دقه للدالتني , siny t y t نوجد بعض القيم لـsint وcost لقيم خاصهt كما يف اجلدول التايل

فإننا 2و حيث أن هذه الدوال دوريه دورهتا 2إىل 0سنرسم تلك الدوال يف الفرته من costو sint عن الدوال اليت نعرفها )إىل اآلن( وماتناإبستخدام معل . 2كل فرته طوهلا عن اليمني و عن اليسار يف نفس الرسم حنصل على الرسم البياين الكامل هلا بتكرار

sinyللدالتني فيما يلي سندرس بعض التحويلت اهلندسيه t وcosy t و حيث أننا أعتدان أستخدام الرمزx للرمز للمتغري يف الدوال فإننا سنستخدمx لكتابه تلك الدوال. tبدال من

. أرسم كل من الدوال التاليه 1مثال

) 2 cos ) cosa f x x b g x x

:احلل

(a 2حنصل على الرسم البياين لـ cosy x للرسم البياين لـ إىل أعلى إبزاحه أفقيهy cos x .مبقدار وحدتني

(a الرسم البياين لـ حنصل علىcosy x للرسم البياين لـ إبنعكاسy cos x حول حمورx .

............................................................

........................................

2sinyلنرسم الداله x سنبدأ برسم الدالهsin xy و نضرب كل إحداثي y 1و لرسم الداله .2هلا ابلعددsin

2y x سنبدأ برسم الداله

1هلا ابلعدد yإحداثي

2. sin xy و نضرب كل

لدوال لعامة ا

sin , cosy a x y a x

sinyقيم الدوال. جتد أدانه رسوم بيانيه للداله وهي أكرب قيمه تصل إليها هذه السعه aيسمى العدد a x لقيم خمتلفه لـa

3cosyأوجد سعه الداله : 2مثال x مث أرمسها؟

3السعه هي احلل: 3 3و أقل قيمه أتخذها هي 3أي أن أكرب قيمه أتخذها الداله هي سنبدأ برسم الداله . لرسم الدالهcosy x سنمدد الرسم رأسياا لنحصل على الرسم التايل x)راجع امللحظه يف بدايه الباب الثالث( مث نعكس حول حمور 3مبقدار

الدوال فإن 2هلا الدوره cosو الـ sinحيث أن دوال الـ

sin , cos 0y a k x y a k x k

kتكمل دوره كامله كلما x 2إىل 0تغريت من 0أي 2k x 2هذا يكافئ0 x

k

أي أن الدوال تكمل دورهتا عندما تتغريx 0من

أي 2إىل

sin , cos 0y a k x y a k x k

2هلا الدوره

k

و السعهa مبنحنيات الـى الرسوم البيانيه هلذه الدوال . تسمsine مبنحنيات الـوcosine فيما يلي بعص الرسومات البيانيه لبعض على التوايل .

تلك املنحنيات

مث أرمسها : أوجد السعه و الدوره لكل من الدوال التاليه 3مثال

1) 4cos 3 ) 2sin

2a y x b y x

احلل:

(a من صيغه الداله كما يلي حنصل على السعه و الدوره

4cos 3y x

2و الداله تتكرر كل 4أي أن السعه للداله هي / 3 .

(b 1لـ2sin

2y x 2فإن سعه الداله هي 2 2و دورهتا هي

41/ 2

يوضح الشكل التايل الرسم البياين للداله .

2الدوره 2

3 k

4السعه a

دوال البياين لل لرسم ا siny a k x b و cosy a k x b هو ببساطه رسم منحنيات الـsine و الـ cosine مبقدار مزاحه أفقياb و .0bستكون اإلزاحه إىل اليمني إذا كان 0بينما ستكون إىل اليسار إذا كانتb . يسمى العددb أي أن . اإلزاحه ان جب

.cosineو الـ sineابلصيغه العامه ملنحنيات الـ تسمى املعادالت أعله

sinالرسوم البيانيه التاليه توضح رسم الدالتني 3

y x

sinو 6

y x

3sinأوجد السعه و الدوره و جانب اإلزاحه للداله : 4مثال 24

y x

مث أرسم دوره واحده كامله للداله.

3سعه الداله هي جند أن cosine و الـ sineمبقارنه الداله ابلصيغه العامه ملنحنيات الـ احلل: 3 2هي و دورهتا

2

و جانب اإلزاحه هو

4

إىل (

5اليمني(. و ستحقق الداله دوره كامله على الفرته , ,

4 4 4 4

.

منحىن أي من الدالتني

cos sin 0y a k x b y a k x b k

2و الدوره aله املقدار / k و جانب إزاحهb

و الرسم البياين للداله على الفرته , 2 /b b k .يبني رسم دوره واحده كامله للداله

3أوجد السعه و الدوره و جانب اإلزاحه للداله : 5مثال 2cos 2

4 3y x

مث أرسم دوره كامله هلا.

كما يلي cosineو الـ sineالعامه ملنحنيات الـ احلل: سنكتب اوال الداله يف الصيغه

3cos2

4 3y x

3لنجد أن سعه الداله هي

42و دورهتا هي

2

و جانب اإلزاحه هو

3

و ستتم الداله دوره كامله على الفرته

/ 3, / 3 / 3, 2 / 3

.........................................................................

.........................................

3

واليت غالبا مايصعب رمسها يدوايا cosineو الـ sineفيما يلي سنعرض بعض الرسومات البيانيه لدوال حتتوي على دوال الـ

الرسوم البيانيه للدوال الدائريه اآلخرى 5.4 و الرسوم البيانيه هلا. cosecantو secantو cotangentو tangentسنستعرض يف هذا اجلزء سريعاا الدوال الدائريه

sineهي مقلوابت الـ secantو الـ cosecantو حيث أن داليت الـ 2هي دوال دوريه دورهتا cosineو الـ sineسنبدأ بذكر خصائصا الدوريه . تذكر أن داليت الـ . أي أن هلما الدوره cotangentو tangent. ولكن داليت 2على التوايل فستكوانن دوال دوريه دورهتا cosineو الـ

tan tan cot cot

csc 2 csc sec 2 sec

x x x x

x x x x

tanyسنرسم الداله x يف فرته طوهلا و سنختار الفرته / 2, / 2 الحظ أن tan / 2 وtan / 2 اجلدول التايل يتوي غري معرفتني .tanyعلى قيم للداله x .و حلساب القيم يف أسفل اجلدول سنحتاج إىل آله حاسبه و اليت لن نستعملها يف هذا املقرر

tanأدانه جند رسم دوره واحده كامله لـ x

cotyلداله دوره كامله لسنرسم بنفس الطريقه x يف الفرته 0, لنحصل على

secyلدوره كامله لكل من هالبياني كما الرسوم x وcscy x هي

خط تقارب رأسي

تقارب رأسيخط

فيما يلي الرسوم البيانيه هلذه الدوال يف املستوى