Jam Iast Libro
-
Upload
sal-coronel -
Category
Documents
-
view
248 -
download
3
Transcript of Jam Iast Libro
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
1/295
Introduccin al
Anlisis de Series Temporales
___________________________
Jos Alberto Mauricio
Universidad Complutense de Madrid
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
2/295
SERIES TEMPORALES PGINA II
OBSERVACIONES PRELIMINARES
El origen de este libro es una coleccin de transparencias que prepar durante los aos 2002 a 2005 para impartir unas
30 horas de clase de la asignatura "Series Temporales", correspondiente al ltimo curso de la Licenciatura en
Economa (Especialidad en Anlisis Econmico) de la Universidad Complutense de Madrid.
En la pgina viii (despus del Contenido) figura la bibliografa (actualizada) que utilic para elaborar el programa de
mi parte de la asignatura y las transparencias.
Todos los clculos y las figuras que aparecen en este libro se han elaborado con la versin 4.1 del programa EViews
(Jul 29 2004 build). Los datos (archivos *.wf1) y los archivos de instrucciones (*.prg) utilizados se encuentran en el
archivo JAM-IAST-Datos.zip que se distribuye junto con este libro.
Agradezco sinceramente la colaboracin en muchos sentidos de Sonia Sotoca, con quien compart la docencia de
"Series Temporales" durante los aos mencionados y con quien sigo compartiendo despacho y multitud de tareas
docentes y acadmicas, espero que por mucho tiempo
ltima revisin: Marzo de 2007
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
3/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA III
CONTENIDO
1 Introduccin 1
1.1 Series temporales ............................................................................................ 11.2 Procesos estocsticos .................................................................................... 9
Procesos estacionarios....................................................................................11
Procesos no estacionarios...............................................................................12
1.3 Modelos........................................................................................................... 131.4 Aplicaciones................................................................................................... 33
2 Modelos Univariantes 42
2.1 Introduccin ................................................................................................... 422.2 Procesos estocsticos estacionarios..........................................................47
ACF PACF tericas.......................................................................................49
ACF PACF muestrales..................................................................................54
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
4/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA IV
2.3 Modelos ARMA............................................................................................... 63Estacionariedad Invertibilidad .......................................................................65
ACF PACF tericas en modelos ARMA........................................................ 67
2.4 Procesos estocsticos no estacionarios ....................................................80
No estacionariedad en varianza Transformacin de Box-Cox .....................81No estacionariedad en media Tendencias.................................................... 86
2.5 Modelos ARIMA.............................................................................................. 95
Tendencias en modelos invertibles.................................................................. 96
Tendencias en modelos no invertibles............................................................. 982.6 Elaboracin de modelos ARIMA................................................................. 100
Identificacin ..................................................................................................100
Estimacin...................................................................................................... 102
Diagnosis .......................................................................................................103Criterios de informacin .................................................................................106
Contraste de no estacionariedad de Shin-Fuller ........................................... 108
Contrastes de no invertibilidad de Davis-Chen-Dunsmuir .............................109
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
5/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA V
2.7 Previsin con modelos ARIMA................................................................... 120Previsiones puntuales Intervalos de confianza........................................... 130
Criterios de evaluacin de previsiones .......................................................... 132
2.8 Heteroscedasticidad condicional autorregresiva..................................... 138
Modelos ARCH GARCH .............................................................................139Contrastes de heteroscedasticidad condicional ............................................ 142
Previsin de la varianza condicional con un modelo GARCH(1,1)................145
3 Modelos Multivariantes Estacionarios 146
3.1 Introduccin ................................................................................................. 146
3.2 Modelos de regresin con perturbaciones ARMA ...................................159
Anlisis de intervencin .................................................................................160
3.3 Modelos de retardos distribuidos en Econometra .................................. 170
Modelos ADL.................................................................................................. 171
Modelos de correccin de error .....................................................................172
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
6/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA VI
3.4 Modelos VAR estacionarios........................................................................ 178Identificacin Estimacin Contrastes de hiptesis................................... 184
Previsin ........................................................................................................187
Funciones de respuesta a impulsos .............................................................. 191
Descomposicin de las varianzas de los errores de previsin......................193
4 Modelos Multivariantes No Estacionarios 201
4.1 Introduccin ................................................................................................. 201
4.2 Races unitarias ........................................................................................... 211
Paseo aleatorio .............................................................................................. 212
Regresin con variables explicativas no estacionarias .................................213
Regresin espuria.......................................................................................... 214
4.3 Contrastes de races unitarias....................................................................219
Contrastes DF (Dickey-Fuller) ADF ............................................................ 222
Alternativas a los contrastes ADF.................................................................. 230
4.4 Modelos VAR con races unitarias .............................................................232
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
7/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA VII
4.5 Estimacin de relaciones de cointegracin.............................................. 245
Estimacin directa.......................................................................................... 245
Estimacin a travs de un modelo de correccin de error ............................246
Inferencia en regresiones con series I(1).......................................................249
Estimacin a travs de un modelo VAR VEC.............................................2534.6 Contrastes de cointegracin ......................................................................261
Contraste de Engle-Granger..........................................................................261
Contrastes basados en un modelo VAR VEC ............................................264
Contrastes de hiptesis sobre vectores de cointegracin .............................2694.7 Elaboracin de modelos multivariantes en la prctica............................273
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
8/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA VIII
BIBLIOGRAFA
LIBROS DE TEXTO
[01] Box, G.E.P., Jenkins, G.M., Reinsel, G.C. (1994), Time Series Analysis Forecasting andControl(3rd edition), Prentice Hall.
[02] Pea, D. (2005),Anlisis de Series Temporales, Alianza.
[03] Quantitative Micro Software (2002), EViews 4 Users Guide (revised for EViews 4.1), QMS-LLC.
[04] Reinsel, G.C. (1997), Elements of Multivariate Time Series Analysis (2nd edition), Springer.
MANUALES COMPLEMENTARIOS
[05] Brockwell, P.J., Davis, R.A. (2002), Introduction to Time Series and Forecasting (2ndedition), Springer.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
9/295
CONTENIDO Y BIBLIOGRAFA
SERIES TEMPORALES PGINA IX
[06] Brooks, C. (2002), Introductory Econometrics for Finance, Cambridge.
[07] Davidson, R., MacKinnon, J.G. (2004), Econometric Theory and Methods, Oxford.
[08] Enders, W. (2004),Applied Econometric Time Series (2nd edition), Wiley.
[09] Gandolfo, G. (1997), Economic Dynamics (3rd edition), Springer.
[10] Johnston, J., DiNardo, J. (1997), Econometric Methods (4th edition), McGraw-Hill.
[11] Kennedy, P. (2003),A Guide to Econometrics (5th edition), Blackwell.
[12] Mills, T.C. (1990), Time Series Techniques for Economists, Cambridge.
[13] Mills, T.C. (1999), The Econometric Modelling of Financial Time Series (2nd edition),Cambridge.
[14] Patterson, K. (2000),An Introduction to Applied Econometrics A Time Series Approach,MacMillan.
[15] Verbeek, M. (2004),A Guide to Modern Econometrics (2nd edition), Wiley.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
10/295
SERIES TEMPORALES PGINA 1
1INTRODUCCIN
1.1 SERIES TEMPORALES
1.1.1 Definicin
Una serie temporal (o simplemente una serie) es una secuencia de Nobservaciones (datos)
ordenadas y equidistantes cronolgicamente sobre una caracterstica (serie univariante o
escalar) o sobre varias caractersticas (serie multivariante o vectorial) de una unidad
observable en diferentes momentos.
Representaciones matemticas frecuentes de series temporales univariantes:
1 2, , ..., Ny y y ; 1( )N
t ty = ; ( : 1, ..., )ty t N= , donde ty es la observacin n t(1 )t N de la
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
11/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 2
serie y Nes el nmero de observaciones de que consta la serie completa (el tamao o lalongitud de la serie). Las N observaciones 1 2, , ..., Ny y y pueden recogerse en un vector
columna 1 2[ , , ..., ]Ny y y y de orden 1N .
Representaciones matemticas frecuentes de series temporales multivariantes:
1 2, , ..., Ny y y ; 1( )N
t t=y ; ( : 1, ..., )t t N=y , donde 1 2[ , , ..., ]t t t tM y y y y ( 2)M es la
observacin n t(1 )t N de la serie y Nes el nmero de observaciones de que consta la
serie completa. Las N observaciones 1 2, , ..., Ny y y pueden recogerse en una matriz Y de
orden N M :
1 11 12 1
21 22 22
1 2
M
M
N N NM N
y y y
y y y
y y y
y
yY
y
, (1.1)
donde tjy es la observacin n t (1 )t N sobre la caracterstica o variable n j
(1 )j M , que es la misma en todo momento t.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
12/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1950 1960 1970 1980 1990 2000
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1880 1900 1920 1940 1960
1.1.2 Ejemplo Series temporales
Figura 1.1
Tasa logartmica de variacin anual del PIB real en EEUU1947 2002
(consumption.wf1)
Figura 1.2
Volumen del flujo anual del ro Nilo en Asun1871 1970
(nilo.wf1)
Observacin 1: La serie de la Figura 1.1 evoluciona alrededor de un nivel constante y presenta una variabilidad
constante alrededor de dicho nivel. Por el contrario, el nivel de la serie de la Figura 1.2 no parece constante; en
concreto, se aprecia que dicho nivel podra haber cambiado de manera permanente a partir del ao 1899.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
13/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 4
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
Figura 1.3
Inflacin interanual en EspaaEnero 1982 Diciembre 2002
(exchange-rates.wf1)
Figura 1.4
Viviendas iniciadas en EspaaEnero 1989 Diciembre 2001
(seasonal.wf1)
Observacin 2: La serie de la Figura 1.3 evoluciona alrededor de un nivel que cambia sin seguir aparentemente unpatrn concreto; por este motivo, suele decirse que dicha serie presenta una tendenciaestocstica (aleatoria) en su
evolucin temporal. El caso de la serie de la Figura 1.4 es semejante; adems, la variabilidad local de dicha serie es
tanto mayor cuanto ms elevado es su nivel local.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
14/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 5
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
1 500
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
1 500
Figura 1.5
IBEX 35 (log) al cierre en la Bolsa de Madrid2 de enero de 2002 30 de diciembre de 2003
(bolsa-madrid.wf1)
Figura 1.6
Tasa logartmica de variacin diaria del IBEX 353 de enero de 2002 30 de diciembre de 2003
(bolsa-madrid.wf1)
Observacin 3: La serie de la Figura 1.5 evoluciona alrededor de un nivel que cambia sin seguir un patrn concreto, esdecir, dicha serie presenta una tendencia estocstica. La serie de la Figura 1.6 presenta un nivel constante; sin
embargo, las desviaciones grandes (pequeas) de dicha serie con respecto a su nivel van seguidas de variaciones
grandes (pequeas), por lo que su volatilidad condicionada por su historia reciente presenta algn tipo de inercia.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
15/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 6
0
1
2
3
4
5
6
7
1920 1940 1960 1980 2000
0
4
8
12
16
1960 1970 1980 1990 2000
Figura 1.7
ndices burstiles anuales en Alemania y EEUU1920 2000
(stock-indices.wf1)
log CDAX Composite Price Index (Alemania)
log S&P 500 Composite Index (EEUU)
Figura 1.8
Tipos de inters de la deuda pblica en EEUU1960:I 2002:IV
(interest-rates-q.wf1)
Bonos a 3 aos Vencimiento fijo
Letras a 3 meses Mercado secundario
Observacin 4: Las dos series de cada figura presentan tendencias semejantes, que parecen ms previsibles (porque el
patrn en el cambio de nivel es ms claro) en las series de la Figura 1.7. Dichas series podran tener una tendencia
comn con un componente determinista, mientras que la tendencia comn de las series de la Figura 1.8 es estocstica.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
16/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 7
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
Figura 1.9
Temperatura media registrada en Madrid-RetiroEnero 1989 Diciembre 2001
(seasonal.wf1)
Figura 1.10
ndice de produccin industrial en EspaaEnero 1989 Diciembre 2001
(seasonal.wf1)
Observacin 5: La serie de la Figura 1.9 presenta reducciones (en invierno) y aumentos (en verano) sistemticos en sunivel cada 12 meses, por lo que suele decirse que dicha serie es estacional. El caso de la serie de la Figura 1.10 es
semejante (con cadas sistemticas en su nivel en agosto de cada ao); adems, la serie de la Figura 1.10 tambin
presenta (a diferencia de la serie de la Figura 1.9) una tendencia general estocstica.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
17/295
1 INTRODUCCIN 1.1 SERIES TEMPORALES
SERIES TEMPORALES PGINA 8
1.1.3 ObjetivosEl primer objetivo del anlisis economtrico de una serie temporal consiste en elaborar un
modelo estadstico que describa adecuadamente la procedencia de dicha serie, de manera
que las implicaciones tericas del modelo resulten compatibles con las pautas muestrales
observadas en la serie temporal. Despus, el modelo elaborado a partir de la serie temporalconsiderada puede utilizarse para:
Describir la evolucin observada de dicha serie, as como las relaciones contemporneas
y dinmicas entre sus componentes (en el caso de series multivariantes).
Prever la evolucin futura de dicha serie.
Contrastar (presentar evidencia emprica en favor o en contra de) alguna teora sobre
las caractersticas o variables a las que se refieren los componentes de dicha serie.
El punto de partida para elaborar un modelo a partir de una serie temporal consiste en
considerar dicha serie como una realizacin particular finita de un proceso estocstico.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
18/295
1 INTRODUCCIN 1.2 PROCESOS ESTOCSTICOS
SERIES TEMPORALES PGINA 9
1.2 PROCESOS ESTOCSTICOS
1.2.1 Definicin
Un proceso estocstico es una secuencia de variables aleatorias, ordenadas y equidistantes
cronolgicamente, referidas a una (proceso univariante o escalar) o a varias (proceso
multivariante o vectorial) caractersticas de una unidad observable en diferentes momentos.
Representaciones matemticas frecuentes de procesos estocsticos univariantes:
1 0 1 2..., , , , , ...Y Y Y Y ; ( : 0, 1, 2, ...)tY t= ; ( )tY , donde tY es una variable aleatoria
escalar referida a la unidad observable considerada en el momento t.
Representaciones matemticas frecuentes de procesos estocsticos multivariantes:
1 0 1 2..., , , , , ...Y Y Y Y ; ( : 0, 1, 2, ...)t t= Y ; ( )tY , donde 1 2[ , , ..., ]t t t tM Y Y Y Y
( 2)M es una variable aleatoria vectorial referida a la unidad observable considerada en
el momento t. El componente nmero j (1 )j M de cada tY hace referencia a una
caracterstica o variable genrica dada, que es la misma en todo momento t.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
19/295
1 INTRODUCCIN 1.2 PROCESOS ESTOCSTICOS
SERIES TEMPORALES PGINA 10
1 0 1 2 1
1 2
..., , , , , ..., , , ...
, , ...,
N N
N
+
Y Y Y Y Y Y
y y y
Proceso estocstico:
Serie temporal:
Figura 1.11Procedencia de una serie temporal observada
Observacin 1: Aunque es posible concebir ciertos experimentos controlados (repetibles varias veces bajo idnticas
condiciones de partida) que permitan obtener diferentes realizaciones particulares finitas de un proceso estocstico
(como se ilustra en la figura bajo este prrafo), en general es imposible, prohibitivamente costoso, o moralmente
inaceptable ejecutar dichos experimentos. La imposibilidad de controlar las condiciones a partir de las que sedesarrollan las actividades en las que estn implicadas las unidades observables a las que se refieren, es lo que hace
que muchos procesos estocsticos slo puedan observarse una nica vez.
Tres realizaciones posibles de un mismo proceso estocstico
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
20/295
1 INTRODUCCIN 1.2 PROCESOS ESTOCSTICOS
SERIES TEMPORALES PGINA 11
Observacin 2: En general, una serie temporal se refiere a un perodo muestral que tan slo es una parte de la historia
del proceso estocstico del que procede dicha serie; ver Figura 1.11. No obstante, si las circunstancias sociales onaturales del perodo muestral al que se refiere la serie considerada se mantienen relativamente estables despus de
dicho perodo, entonces se espera que las conclusiones obtenidas del anlisis de dicha serie sean aplicables tambin a
momentos posteriores, al menos a corto plazo. Esta idea justifica el empleo de un modelo elaborado con una muestra
dada para describir la evolucin temporal de un proceso estocstico despus del perodo muestral considerado.
Procesos estacionarios
1.2.2 Definicin
Un proceso estocstico ( )tY es estacionario cuando las propiedades estadsticas de cualquier
secuencia finita 1 2, , ..., ( 1)nt t tY Y Y n de componentes de ( )tY son semejantes a las de lasecuencia
1 2, , ...,
nt h t h t h Y Y Y+ + + para cualquier nmero entero 1, 2, ...h=
Observacin 1: Aunque en el Tema 2 se dan algunas definiciones ms concretas del concepto de estacionariedad, la
definicin anterior pone de manifiesto que cuando un proceso estocstico es estacionario, sus propiedades estadsticas
se simplifican notablemente con respecto a las de un proceso que no sea estacionario (ver Definicin 1.2.3), lo cualfacilita la descripcin de su estructura probabilstica completa a partir de una nica realizacin finita del mismo.
Observacin 2: En general, una condicin necesaria para que un proceso sea estacionario es que la esperanza
incondicional de cada uno de sus componentes exista y sea la misma a lo largo de toda la historia del proceso. De
acuerdo con esto, tan slo las series de las figuras 1.1 y 1.6 anteriores podran considerarse series estacionarias, es
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
21/295
1 INTRODUCCIN 1.2 PROCESOS ESTOCSTICOS
SERIES TEMPORALES PGINA 12
decir, series compatibles con la hiptesis de haber sido generadas por procesos estacionarios. Las series restantes de las
figuras 1.1-1.10 anteriores parecen series claramente no estacionarias.
Procesos no estacionarios
1.2.3 Definicin
Un proceso estocstico ( )tY es no estacionario cuando las propiedades estadsticas de al
menos una secuencia finita1 2, , ..., ( 1)
nt t tY Y Y n de componentes de ( )tY , son diferentes
de las de la secuencia1 2
, , ...,nt h t h t h Y Y Y+ + + para al menos un nmero entero 0h> .
Observacin 1: En general, una condicin suficiente para que un proceso sea no estacionario es que la esperanza
incondicional de algunos de sus componentes sea distinta de la de otros (ver las figuras 1.2-1.5 y 1.7-1.10 anteriores).
Al menos por este motivo, las propiedades estadsticas de un proceso no estacionario son ms complicadas que las de
un proceso estacionario. No obstante, si la no estacionariedad de un proceso puede modelizarse de alguna forma
sencilla (por ejemplo, transformando adecuadamente dicho proceso para convertirlo en uno estacionario), entonces es
posible describir su estructura probabilstica completa a partir de una nica realizacin finita del mismo.
Observacin 2: Dado que las propiedades estadsticas de un proceso no estacionario son muy diferentes de las de un
proceso estacionario, uno de los primeros pasos en el anlisis de series temporales consiste en determinar si cada una
de las series consideradas resulta o no compatible con la hiptesis de estacionariedad.
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
22/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 13
1.3 MODELOS
1.3.1 Definicin
Un modelo para un proceso estocstico es cualquier conjunto de hiptesis bien definidas
sobre las propiedades estadsticas de dicho proceso.
Observacin: En muchas ocasiones, las propiedades estadsticas sobre las que se plantea un modelo son la esperanza
(incondicional o condicional) de cada componente del proceso considerado y las covarianzas (incondicionales o
condicionales) entre cada par de componentes del mismo. Adems, este planteamiento suele hacerse de forma
indirecta, a travs de alguna expresin matemtica (explcita o implcita) para el componente genrico tY del proceso
estocstico ( )tY considerado, en lugar de a travs de alguna especificacin directa de la forma de las esperanzas y de
las covarianzas mencionadas.
1.3.2 Ejemplo Modelos univariantes
Ruido blanco ARIMA(0,0,0)
Un proceso de ruido blanco univariante es una secuencia ( )tA de variables aleatorias
escalares idntica e independientemente distribuidas con media 0 y varianza 2A
, lo cual
suele representarse como 2( ) IID(0, )t AA . Cuando cada tA sigue una distribucin
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
23/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 14
Normal, ( )tA
se denomina un proceso de ruido blanco Normal o Gaussiano, lo cual suelerepresentarse como 2( ) NIID(0, )t AA .
Modelo AR(1) ARIMA(1,0,0)
Un proceso estocstico univariante estacionario ( )tY sigue un modelo AR(1) (autorregresivo
de orden 1) cuando
1 1t t tY Y A = + + para todo 0, 1, 2, ...t= , (1.2)
donde y 1 son parmetros, 1 1 < (condicin de estacionariedad), y2
( ) IID(0, )t AA .
Modelo MA(1) ARIMA(0,0,1)
Un proceso estocstico univariante estacionario ( )tY sigue un modelo MA(1) (media mvil
de orden 1) cuando
1 1t t tY A A = + para todo 0, 1, 2, ...t= , (1.3)
donde y 1 son parmetros, 1 1 < (condicin de invertibilidad), y2( ) IID(0, )t AA .
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
24/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 15
Paseo aleatorio ARIMA(0,1,0)
Un proceso estocstico univariante no estacionario ( )tY es un paseo aleatorio cuando
1t t tY Y A = + + para todo 0, 1, 2, ...t= , (1.4)
donde es un parmetro (que en muchas ocasiones vale cero) y 2( ) IID(0, )tA
A .
Observacin 1: Un paseo aleatorio es un modelo AR(1) con 1 1 = , es decir, un modelo AR(1) no estacionario. [Ntese
que cuando 1 1 = , la ecuacin 11 0x = asociada con un modelo AR(1) tiene una raz unitaria ( 1x
= ).] Por
otro lado, un paseo aleatorio puede escribirse como t tY A = + , donde 1t t tY Y Y , de manera que un
proceso estocstico univariante no estacionario ( )tY es un paseo aleatorio cuando su diferencia regular de orden 1
1( ) ( )t t tY Y Y es un proceso estacionario2IID( , )A
[donde el parmetro puede valer cero, en cuyo caso el
proceso ( )tY sera ruido blanco].
Observacin 2: Un paseo aleatorio constituye el caso ms sencillo de lo que suele denominarse un proceso integrado de
orden 1 I(1) (es decir, un proceso no estacionario cuya diferencia regular de orden 1 es un proceso estacionario); por
extensin de esta terminologa, un proceso estacionario suele denominarse un proceso I(0). La notacin ( ) I(1)tY
significa que ( )tY es un proceso I(1) (integrado de orden 1), mientras que la notacin ( ) I(0)tY significa que ( )tY
es un proceso estacionario (integrado de orden 0).
Modelo ARCH(1)
Un proceso estocstico univariante estacionario ( )tU sigue un modelo ARCH(1) (del ingls
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
25/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 16
AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) cuando
t t tU A= , con2 2 2
1 0 1 1E [ ]tt t tU U = = + , (1.5)
donde 0 0 > , 1 0 > , 1 1 < , y ( ) IID(0, 1)tA es independiente de ( )t .
Observacin 3: Cuando ( )t
U sigue un modelo ARCH(1) como (1.5), los componentes de ( )t
U no presentan
autocorrelacin aunque no son estadsticamente independientes (porque la varianza condicional de tU es una funcin
de 1tU ). Por otro lado, la varianza incondicional de tU es constante e igual a 0 1/(1 ) , que es positiva si se
cumplen las condiciones anteriores sobre 0 y 1 .
Modelo GARCH(1,1)
Un proceso estocstico univariante estacionario ( )tU sigue un modelo GARCH(1,1) (delingls Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) cuando
t t tU A= , con2 2 2 2
1 0 1 11 1E [ ]tt t t tU U = = + + ,
donde 0 0 > , 1 0 > , 1 0 > , 1 1 1 + < y ( ) IID(0, 1)tA es independiente de ( )t .Observacin 4: Cuando ( )tU sigue un modelo GARCH(1,1), la varianza incondicional de tU es constante e igual a
0 1 1/(1 ) , que es positiva si se cumplen las condiciones anteriores sobre 0 , 1 y 1 .
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
26/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 17
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL A - RUIDO BLANCO - NIID(0,1)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL B - AR(1) - PHI1 = 0.8, MU = 0
-4
-3
-2
-1
01
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL C - MA(1) - THETA1 = 0.8, MU = 0
-4
-3
-2
-1
01
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL D - PASEO ALEATORIO - MU = 0
Figura 1.12
Series temporales simuladas a partir de varios modelos ARIMA(sim-series.wf1)
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
27/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 18
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL A
-4
-3
-2-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL B
Figura 1.13
Series temporales simuladas a partir del modelo ARCH(1) de la ecuacin (1.5)(sim-series.wf1)
Observacin 5: La serie 1501( )t tu = del Panel A se ha obtenido a partir del modelo ARCH(1) de la ecuacin (1.5) con0 1 = , 1 0.8 = y ( ) NIID(0, 1)tA (comparar con la serie del Panel A de la Figura 1.12). La serie
1502( )t ty = del
Panel B se ha obtenido a partir de la ecuacin 10.8t t ty u u= [un modelo MA(1) invertible; ver (1.3)], donde150
1( )t tu = es la serie del Panel A (comparar con la serie del Panel C de la Figura 1.12).
1 I 1 3 M
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
28/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 19
1.3.3 Ejemplo Modelos multivariantes estacionarios
Modelo ADL(1,1)
Un proceso bivariante estacionario ( )tY , [ , ]t t tY X Y , sigue un modelo ADL(1,1) cuando
0 1 1 0 1 1t t t t t Y Y X X V = + + + + , (1.6)
donde 0 1 0 1, , y son parmetros, 1 1 < , y2( ) IID(0, )t VV .
Observacin 1: Cuando 1 1 0 = = , el modelo ADL(1,1) anterior se reduce a un modelo de regresin esttico con
perturbaciones IID. Cuando 0 1 0 = = , el modelo ADL(1,1) anterior se reduce a un modelo AR(1). Cuando
1 1 0 =
, el modelo ADL(1,1) anterior se convierte en un modelo de regresin esttico con perturbaciones AR(1).Por ltimo, cuando 1 1 = y 1 0 = , el modelo ADL(1,1) anterior se convierte en un modelo de regresin esttico
entre 1t t tY Y Y y 1t t tX X X con perturbaciones IID: 0 0t t tY X V = + + .
Observacin 2: Manipulando la expresin (1.6) para un modelo ADL(1,1), puede comprobarse que dicho modelo
implica que 0 1 1 1 0(1 )( )t t t t t Y Y X X V = + + , donde 0 1 1( ) /(1 ) + , que se denomina
un modelo de correccin de error (ECM). En el ECM anterior,1 1
( )t tY X representa en qu medida1
tY y
1tX se encuentran fuera de la relacin de equilibrio a largo plazo entre ( )tY y ( )tX implcita en (1.6); dado que
1(1 ) 0 < , el trmino de correccin de error 1 1 1(1 )( )t tY X en el ECM anterior representa la
proporcin del desequilibrio (error) entre 1tY y 1tX que se corrige a travs de tY ; ver Figura 1.14.
1 INTRODUCCIN 1 3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
29/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 20
-4
0
4
8
12
16
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL A
-4
0
4
8
12
16
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL B
Figura 1.14
Series temporales simuladas a partir del modelo ADL(1,1) de la ecuacin (1.6)(sim-series.wf1)
Panel A - Serie Y Serie X. Panel B - Serie Y 2 X
Observacin 3: La serie X se ha obtenido a partir del modelo AR(1) de la ecuacin (1.2) con 1 = , 1 0.5 = y
( ) NIID(0, 1)tA . La serie Y se ha obtenido a partir del modelo ADL(1,1) de la ecuacin (1.6) con 0 2 = ,
1 0.6 = , 0 0.5 = , 1 0.3 = y ( ) NIID(0, 1)tV , lo que implica que 2 = en el modelo de correccin de error
(ECM) asociado; ver Observacin 2 en 1.3.3.
1 INTRODUCCIN 1 3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
30/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 21
Modelo VAR(1) bivariante
Un proceso bivariante estacionario ( )tY , donde 1 2[ , ]t t tY Y Y , sigue un modelo VAR(1)
(autorregresivo vectorial de orden 1) cuando
1 1 11 1,1 12 1,2 1
2 2 21 1,1 22 1,2 2
,
,
t t t t
t t t t
Y Y Y A
Y Y Y A
= + + +
= + + +
(1.7)
o bien
1 1t t t= + +Y Y A , (1.8)
donde 1 2[ , ]t t tA A A , ( ) IID( , )tA 0 (ruido blanco vectorial),2
1 11 12 1211 22 21 22 12 2
, , ,
(1.9)
y las races de la ecuacin 1 0x =I estn fuera del crculo unitario (lo cual equivale aque los autovalores de la matriz 1 de (1.8) estn dentro del crculo unitario).
Observacin 4: A diferencia de lo que ocurre en un modelo ADL(1,1) como (1.6), donde tY es una variable endgena y
tX es una variable exgena, en un modelo VAR(1) como (1.7) tanto 1tY como 2tY son variables endgenas, cuya
1 INTRODUCCIN 1 3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
31/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 22
evolucin temporal se determina de forma conjunta.
Observacin 5: El modelo VAR(1) que figura en (1.7)-(1.9) puede interpretarse como la forma reducida de un modelo
bivariante cuya forma estructural es del tipo
1 01 11 1,1 01 2 11 1,2 1
2 02 12 1,2 02 1 12 1,1 2
,
,
t t t t t
t t t t t
Y Y Y Y V
Y Y Y Y V
= + + + +
= + + + +(I)
o bien01 1 01 11 11 1,1 1
02 2 1,2 202 12 12
1,
1
t t t
t t t
Y Y V
Y Y V
= + +
que puede escribirse de manera ms compacta como
0 0 1 1t t t= + +B Y B Y V , (II)
donde 1 2[ , ]t t tV V V , ( ) IID( , )tV 0 ,
201 01 11 11 1
0 0 1 202 02 12 12 2
1 0, , , .
1 0
v
v
B B (III)
La expresin (II) suele denominarse un modelo VAR(1) estructural para el proceso ( )tY , mientras que la expresin
(1.8) se denomina un modelo VAR(1) estndar para ( )tY . Comparando (II) con (1.8), la forma estndar (reducida)de un modelo VAR(1) puede obtenerse a partir de su forma estructural mediante las relaciones 1 00
B ,1
1 10 B B , 10t t
A B V y 1 10 0 B B (que coincide con cuando 01 02 0 = = , es decir, cuando 0B = I).
Sin embargo, dado que en (III) figuran 10 parmetros y en (1.9) slo figuran 9, en general, no es posible identificar la
forma estructural asociada con un modelo VAR(1) estndar.
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
32/295
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
SERIES TEMPORALES PGINA 23
Observacin 6: Cuando 02 12 0 = = , el modelo VAR(1) estructural (I) se reduce a
1 01 11 1,1 01 2 11 1,2 1
2 02 12 1,2 2
,
,
t t t t t
t t t
Y Y Y Y V
Y Y V
= + + + +
= + +
que es un modelo ADL(1,1) como (1.6) en el que ( )tX sigue un modelo AR(1) estacionario; ver Figura 1.14.
Observacin 7: El modelo VAR(1) que figura en (1.8) puede escribirse siempre como 1t t t = +Y Y A , con
1t t t Y Y Y y 1 I (que es una matriz no singular cuando los autovalores de 1 estn dentro delcrculo unitario), lo que permite escribir el valor esperado del proceso estacionario ( )tY como E[ ]t =Y
1 (que
representa el valor de equilibrio alrededor del cual evoluciona dicho proceso).
Observacin 8: Un modelo VAR(1) estndar no es ms que un caso particular de un modelo VARMA(p,q) del tipo
0 1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t q = + + + + +
Y Y Y Y A A A A
,que es una extensin para procesos multivariantes del modelo ARMA(p,q) para procesos univariantes. Actualmente, la
popularidad de los modelos VAR es mucho mayor entre los economistas que la de los modelos VARMA; de hecho, es
muy difcil encontrar manuales de Econometra o de Anlisis de Series Temporales aplicado a la Economa en los que
se mencione siquiera la posibilidad de modelizar un proceso multivariante a travs de un modelo VARMA. Esta
posibilidad tiene ventajas muy claras sobre la modelizacin basada exclusivamente en modelos VAR (por ejemplo, una
parametrizacin ms escueta), aunque sus requisitos computacionales son generalmente ms elevados. En todo caso,es una posibilidad que no se contempla en la mayora de los programas informticos ms populares disponibles
actualmente (como EViews) para el anlisis de series temporales.
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
33/295
1 I 1.3 M
SERIES TEMPORALES PGINA 24
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL A - AUTOVALORES 0.8 Y 0.4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL B - AUTOVALORES 0.9 Y 0.5
Figura 1.15
Series temporales simuladas a partir del modelo VAR(1) de las ecuaciones (1.7)-(1.9)(sim-series.wf1)
Serie Y1 Serie Y2
Observacin 9: Se han utilizado los valores siguientes para los parmetros que figuran en (1.9):
Panel A: 10.6 0.2
0.2 0.6
=
. Panel B: 10.7 0.2
0.2 0.7
=
. Ambos paneles:0
0
=
,4 2
2 10
=
.
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
34/295
SERIES TEMPORALES PGINA 25
1.3.4 Ejemplo Modelos multivariantes no estacionarios
Cointegracin
Si un proceso bivariante ( ) I(1)tZ ( 1 2[ , ]t t tZ Z Z ) es tal que cualquier combinacin
lineal de sus dos componentes tambin es un proceso I(1), entonces no existe entre 1( )tZ y
2( )tZ relacin lineal alguna del tipo 1 0 2 2t t tZ Z V = + + que sea estable en el tiempo,
ya que en este caso ( ) I(1)tV (un proceso no estacionario). No obstante, puede que s
exista algn tipo de relacin entre 1( )tZ y 2( )tZ (dos procesos estacionarios; ver 1.3.3).
Por el contrario, si un proceso bivariante ( ) I(1)tY ( 1 2[ , ]t t tY Y Y ) es tal que existe
una combinacin lineal de sus dos componentes que es un proceso I(0), entonces sexiste
entre 1( )tY e 2( )tY al menos una relacin lineal del tipo 1 0 2 2t t tY Y U = + + que es
estable en el tiempo, ya que en este caso ( ) I(0)tU (un proceso estacionario).
En el segundo caso, se dice que1
( )t
Y e2
( )t
Y presentan cointegracin de orden (1,1)
[porque el orden de integracin de los dos procesos es 1 y existe una combinacin lineal de
ambos que es un proceso I(11) = I(0)], lo cual se representa como ( ) CI(1, 1)tY , con
vector de cointegracin 2[1, ] = [porque ( ) I(0)tY ].
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
35/295
SERIES TEMPORALES PGINA 26
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
4
6
8
10
12
1416
18
20
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
LOG( IBEX35 ) TIPO DE INTERS
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
4 6 8 10 12 14 16 18 20
TIPO DE INTERS
LOG(IBEX35)
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
RESIDUOS
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
DLOG( IBEX35 ) D( TIPO DE INTERS )
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
D( TIPO DE INTERS )
DLOG(IBEX
35)
-4
-3
-2
-1
01
2
3
4
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
RESIDUOS
Figura 1.16
Series temporales I(1) no cointegradas - no relacionadas en diferencias(bolsa-int.wf1)
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
36/295
SERIES TEMPORALES PGINA 27
5
6
7
8
9
10
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002LOG( IBEX35 ) LOG( IGBM )
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
5.2 5.6 6.0 6.4 6.8 7.2
LOG( IGBM )
LOG(IBEX35)
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002RESIDUOS
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
DLOG( IBEX35 ) DLOG( IGBM )
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
-.3 -.2 -.1 .0 .1 .2
DLOG( IGBM )
DLOG(IBEX
35)
-4
-3
-2
-1
01
2
3
4
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
RESIDUOS
Figura 1.17
Series temporales I(1) no cointegradas - relacionadas en diferencias(bolsa-int.wf1)
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
37/295
SERIES TEMPORALES PGINA 28
0
1
2
3
4
5
6
7
1920 1940 1960 1980 2000
LOG( CDAX ) LOG( SP500 )
0
1
2
3
45
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
LOG( SP500 )
LOG(CDAX)
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
1920 1940 1960 1980 2000
RESIDUOS
0
4
8
12
16
1960 1970 1980 1990 2000
BONOS 3 AOS LETRAS 3 MESES
0
4
8
12
16
0 4 8 12 16
LETRAS 3 MESES
BONOS
3A
OS
-4
-3
-2
-1
01
2
3
4
1960 1970 1980 1990 2000
RESIDUOS
Figura 1.18
Series temporales I(1) posiblemente cointegradas(Panel superior: stock-indices.wf1 Panel inferior: interest-rates-q.wf1)
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
38/295
SERIES TEMPORALES PGINA 29
Modelos para procesos no estacionarios - no cointegrados
Cuando ( ) I(1)tZ ( 1 2[ , ]t t tZ Z Z ) y sus componentes no estn cointegrados, slo tiene
sentido plantear algn modelo de relacin lineal entre 1( )tZ y 2( )tZ en trminos de sus
diferencias regulares 1( )tZ y 2( )tZ (que son procesos estacionarios; ver 1.3.3).
Plantear en este caso un modelo de relacin lineal directamente entre 1( )tZ y 2( )tZ sueledar lugar a la obtencin de relaciones espurias que carecen de sentido; ver Figura 1.16.
Modelos para procesos no estacionarios - cointegrados
Cuando ( ) CI(1, 1)t
Y (1 2
[ , ]t t t
Y Y Y ), s tiene sentido plantear algn modelo de
relacin lineal directamente entre 1( )tY e 2( )tY [por ejemplo, un modelo de regresin lineal
simple, un modelo ADL(1,1) como el que figura en (1.6), o un ECM como el que figura en
la Observacin 2 de 1.3.3, donde 1 2( ) I(0)t tY Y para algn 0 ; ver Figura 1.18].
Modelos VAR(1) con races unitarias
Si ( )tY sigue un modelo VAR(1) del tipo (1.7)-(1.9) tal que al menos uno de los dos
autovalores de 1 es igual a 1 (lo que implica que la ecuacin 1 0x =I tiene al menos
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
39/295
SERIES TEMPORALES PGINA 30
una raz unitaria), entonces ( )tY es un proceso no estacionario, cuyas caractersticas estn
determinadas por los dos autovalores 1 y 2 de la matriz 1 :
1 1 = , 2 1 < ( ) CI(1, 1)tY . Ntese que en este caso el rango de la matriz
1 I que figura en la Observacin 7 de 1.3.3 es igual a 1, lo que indica que existe
una relacin de cointegracin entre los dos componentes I(1) de ( )tY (Figura 1.19 B). 1 1 = , 2 1 = , 1 I ( ) CI(2, 1)tY . En este caso, el rango de 1 I
tambin es igual a 1, lo que indica que existe una relacin de cointegracin entre los dos
componentes I(2) de ( )tY (Figura 1.19 C) que proporciona un proceso I(1).
1 1 = , 2 1 = , 1 = I ( ) I(1)tY , pero 1( )tY e 2( )tY no estn cointegrados. Eneste caso el rango de la matriz 1 I es igual a 0, lo que indica que no existe
ninguna relacin de cointegracin entre los dos componentes de ( )tY (Figura 1.19 D).
Observacin 1: El rango de la matriz 1 I est relacionado con los autovalores 1 y 2 de la matriz 1 porque
los autovalores de 1 I son 1(1 ) y 2(1 ) .
Observacin 2: Cuando los dos autovalores de 1 estn dentro del crculo unitario ( 1 1 < , 2 1 < ), ( )tY es un
proceso estacionario (Figura 1.19 A y Figura 1.15). En este caso, el rango de la matriz 1 I es igual a 2.
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
40/295
SERIES TEMPORALES PGINA 31
-4
-3
-2
-1
0
1
2
34
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL A - AUTOVALORES 0.6 Y 0.2 - RANGO = 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
34
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL B - AUTOVALORES 1.0 Y 0.6 - RANGO = 1
Figura 1.19 (I)
Series temporales simuladas a partir del modelo VAR(1) de las ecuaciones (1.7)-(1.9)(sim-series.wf1)
Serie Y1 Serie Y2
Observacin 3 (I): Se han utilizado los valores siguientes para los parmetros que figuran en (1.9):
Panel A: 10.4 0.2
0.2 0.4
=
. Panel B: 11.2 0.2
0.6 0.4
=
. Ambos paneles:0
0
=
,4 2
2 10
=
.
1 INTRODUCCIN 1.3 MODELOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
41/295
SERIES TEMPORALES PGINA 32
-4
-3
-2
-1
0
1
2
34
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL C - AUTOVALORES 1.0 Y 1.0 - RANGO = 1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
34
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
PANEL D - AUTOVALORES 1.0 Y 1.0 - RANGO = 0
Figura 1.19 (II)
Series temporales simuladas a partir del modelo VAR(1) de las ecuaciones (1.7)-(1.9)(sim-series.wf1)
Serie Y1 Serie Y2
Observacin 3 (II): Se han utilizado los valores siguientes para los parmetros que figuran en (1.9):
Panel C: 10.8 0.4
0.1 1.2
=
. Panel D: 11 0
0 1
= =
I . Ambos paneles:0
0
=
,4 2
2 10
=
.
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
42/295
SERIES TEMPORALES PGINA 33
1.4 APLICACIONES
1.4.1 Ejemplo Previsin con modelos ARIMA univariantes
Las funciones de previsin en origenNa horizonte 1l asociadas con los modelos ARIMA
considerados en 1.3.2 son las siguientes:
Ruido blanco: E [ ] E[ ] 0N N l N l A A+ += = para todo 1l .
AR(1): ( )
1 1
10 1 1
E [ ] E [ ]N N l N N l
l i i Ni
Y Y
Y
+ +
=
= +
= + para todo 1l
.
MA(1):1E [ ] , 1,
E [ ], 1.
N N
N N l
A lY
l
+
==
>
Paseo aleatorio:1E [ ] E [ ]N N l N N l
N
Y Y
l Y
+ + = +
= +para todo 1l .
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
43/295
SERIES TEMPORALES PGINA 34
1.4.2 Ejemplo Relaciones dinmicas implcitas en un modelo ADL(1,1)
Si un proceso bivariante estacionario ( )tY ( [ , ]t t tY X Y ) sigue un modelo ADL(1,1)
0 1 1 0 1 1t t t t t Y Y X X V = + + + + ,
donde 1 1 < ,2( ) IID(0, )tV
V ,
1 1t t tX X A = + + ,
1 1 < y2( ) IID(0, )t AA [un modelo AR(1) estacionario], entonces
0
1
1
1( )
1
tt
t
xY yX x
+
=
Y , (1.10)
donde0 1
11
+
. (1.11)
El modelo ADL(1,1) anterior puede escribirse como un ECM (ver Observacin 2 en 1.3.3)
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
44/295
SERIES TEMPORALES PGINA 35
0 1 1 1 0(1 )( )t t t t t Y Y X X V = + + , (1.12)
donde el trmino 1 1( )t tY X representa en qu medida no se satisface (salvo quizs por
una constante) en el momento 1t la relacin de equilibrio a largo plazo entre los dos
componentes de ( )tY implcita en (1.10); ver Figura 1.14.
El ECM (1.12) implica que cualquier desequilibrio (error) entre 1tY y 1tX es transitorio
porque tiende a corregirse a travs de variaciones adecuadas en tY asociadas con el trmino
de correccin de error 1 1 1(1 )( )t tY X , donde 1(1 ) 0 > representa la
proporcin del desequilibrio entre 1tY y 1tX que se refleja en 1t t tY Y Y .
1.4.3 Ejemplo El tipo de cambio y la paridad del poder adquisitivo
Sea tE el tipo de cambio nominal de la moneda de un pas A con respecto a la moneda de
un pas B (por ejemplo,t
E podra ser el precio en euros de un franco suizo, medido en
euros/franco). Si tPA y tPB son dos ndices de precios referidos a los pases A y B,
respectivamente, la teora de la paridad del poder adquisitivo (PPA) (en ingls purchasing
power parity) establece la siguiente relacin de equilibrio entre tE y /t tPA PB :
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
45/295
SERIES TEMPORALES PGINA 36
PA
E PB
=
, (1.13)
donde 0 puede ser igual a 1 (PPA absoluta) o distinto de 1 (PPA relativa, que permite
ciertas incompatibilidades entre los ndices tP y tP). Ntese que (1.13) implica que
0 0ln ln ( ln )PA
E PB
= + , (1.14)
de manera que, de acuerdo con la PPA, la elasticidad a largo plazo del tipo de cambio
nominal con respecto a los precios relativos debe ser unitaria. Alternativamente, (1.14)
puede escribirse de otras dos formas:
0ln lnPB
RE EPA
= , o bien 0ln( ) lnE PB PA
= + , (1.15)
donde ( / )RE E PB PA es el tipo de cambio real a largo plazo y E PB representa
el nivel de precios a largo plazo en el pas B expresado en la moneda del pas A. La PPAenunciada en (1.14) puede contrastarse empricamente de dos formas basadas en (1.15):
Contrastar si(ln ) I(0)tRE , donde ( ) /t t t t RE E PB PA ; ver figuras 1.20 y 1.21.
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
46/295
SERIES TEMPORALES PGINA 37
-4
-3
-2
-10
1
2
3
4
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-4
-3
-2
-10
1
2
3
4
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
Si (ln ) I(1)t tE PB y (ln ) I(1)tPA , contrastar en el modelo de regresin
0 1ln( ) lnt t t t E PB PA V = + +
si 1 1 = y ( ) I(0)tV , de manera que (ln )t tE PB y (ln )tPA constituyan un proceso
bivariante CI(1,1) con vector de cointegracin igual a [1, 1] .
Figura 1.20
Tipo de cambio real ECU-Euro / Dlar EEUU (log)(exchange-rates.wf1)
Figura 1.21
Tipo de cambio real ECU-Euro / Franco Suizo (log)(exchange-rates.wf1)
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
47/295
SERIES TEMPORALES PGINA 38
1.4.4 Ejemplo La estructura temporal de los tipos de inters
La estructura temporal de los tipos de inters (ETTI) (en ingls term structure of interest
rates) es la relacin que existe entre la rentabilidad (yield, interest rate) y el plazo hasta el
vencimiento (term to maturity) de un conjunto de valores financieros comparables entre s
(por ejemplo, los distintos valores emitidos por el estado al descuento y sin cupn).Si
[ ]ntR y
[ ]mtR ( , 1n km k = > entero) representan las rentabilidades en el perodo tde dos
valores que vencen dentro de n y m perodos, respectivamente, la hiptesis de las
expectativas (HE) (expectations hypothesis) sobre la ETTI establece que
1[ ] [ ]
0
1E
kn m
tt t imi
R Rk
+=
= +
, (1.17)
es decir, que la rentabilidad a mayor plazo (n) puede expresarse como una media ponderada
de las rentabilidades futuras esperadas a menor plazo (m), ms una prima por plazo (term
premium) () que es constante. Por ejemplo, si n= 2 y m= 1 (k= 2), (1.17) queda
[2 ] [1] [1]1 112 2
E Et tt t tR R R +
= + + , (1.18)
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
48/295
SERIES TEMPORALES PGINA 39
donde[1] [1]
Et t tR R
=
. Por lo tanto, (1.18) tambin puede escribirse como
[2,1] [2 ] [1] [1] [1] [1]1 11 12 2
E Et tt t t t t tS R R R R R + + = + = +
, (1.19)
donde[2,1]tS es el diferencial (spread) en el perodo tentre los tipos de inters a plazo 2
(mayor) y a plazo 1 (menor). El diferencial entre rentabilidades para diferentes plazos de
vencimiento puede interpretarse como la pendiente de la ETTI.
A largo plazo, (1.19) implica la siguiente relacin de equilibrio entre[2 ]tR y
[1]tR :
[2,1]S = , o bien
[2 ] [1]R R = + . (1.20)
Por lo tanto, la HE sobre la ETTI enunciada en (1.18)-(1.19) para el caso n= 2, m= 1,
puede contrastarse empricamente de dos formas basadas en (1.20):
Contrastar si[2,1]
( ) I(0)tS ; ver figuras 1.22 y 1.23.
Si [2 ]( ) I(1)tR y [1]( ) I(1)tR , contrastar en el modelo de regresin
[2 ] [1]0 1 tt tR R V = + +
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
49/295
SERIES TEMPORALES PGINA 40
-4
-2
0
2
4
1960 1970 1980 1990 2000
-4
-2
0
2
4
1960 1970 1980 1990 2000
si 1 1 = y ( ) I(0)tV , de manera que[2 ]
( )tR y[1]
( )tR constituyan un proceso
bivariante CI(1,1) con vector de cointegracin igual a [1, 1] .
Observacin: Las implicaciones anteriores de la HE sobre la formacin de la ETTI pueden extenderse teniendo en
cuenta que si[2]
( )tR est cointegrado con[1 ]
( )tR , tambin deben estarlo[ 3 ]
( )tR , ...,[ ]
( )n
tR , lo que significa en ltima
instancia que todos los tipos de inters considerados deben compartir la misma tendencia estocstica.
Figura 1.22
Diferencial de la deuda pblica (EEUU) a 6 y a 3 meses(interest-rates-q.wf1)
Figura 1.23
Diferencial de la deuda pblica (EEUU) a 12 y a 3 meses(interest-rates-q.wf1)
1 INTRODUCCIN 1.4 APLICACIONES
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
50/295
SERIES TEMPORALES PGINA 41
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 20 30 40 50 60 70 80
PREVISIONES
PANEL A - SERIE TEMPORAL
1
-4
-2
0
2
4
6
8
10
10 20 30 40 50 60 70 80
PREVISIONES
PANEL B - COMPONENTES
1
1.4.5 Ejemplo Descomposicin de series temporales
Figura 1.24
Componentes de una serie temporal simulada(ch1-sim.wf1)
Componentes del Panel B: Tendencia Componente estacional Componente irregular
Observacin: La serie del Panel A es la suma de los tres componentes del Panel B, que se han obtenido de la forma
siguiente: 0.5 0.1tT t= + , 1.6sen( / 6)tS t= , 10.7t t tI I A= + , NIID(0, 1)tA ( 1, 2, ..., 50)t= .
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
51/295
SERIES TEMPORALES PGINA 42
2MODELOS UNIVARIANTES
2.1 INTRODUCCIN
2.1.1 Definicin
Un modelo univariante para un proceso estocstico univariante o escalar ( )tY es cualquier
conjunto de hiptesis bien definidas sobre ciertas propiedades tericas de las distribuciones
de probabilidad (conjuntas, marginales o condicionales) de los componentes del proceso
( )tY del que se supone procede una serie temporal observada 1( )N
t ty = .
Observacin 1: Un modelo de la estructura probabilstica completa de ( )tY consiste en una especificacin de las
distribuciones conjuntas de todos los vectores del tipo1 2
[ , , ..., ]nt t tY Y Y ( 1 2 ... ; 1, 2, ...nt t t n < < < = ) que pueden
considerarse en relacin con ( )tY . Elaborar un modelo de este tipo requiere al menos estimar el vector de medias y la
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.1 INTRODUCCIN
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
52/295
SERIES TEMPORALES PGINA 43
matriz de varianzas-covarianzas de la muestra 1 2[ , , ..., ]NY Y Y Y procedente de ( )tY ,
1
2E[ ]
N
=
Y
,
212 11
221 22
21 2
Var[ ]
N
N
N N N
=
Y
,
asociada con una serie temporal observada 1 2[ , , ..., ]Ny y y y . En conjunto, y contienen ( 1) / 2N N N+ +
parmetros distintos, que no pueden estimarse con precisin utilizando una nica serie temporal de Nobservaciones.
Por lo tanto, elaborar un modelo completo para ( )tY exige suponer alguna simplificacin sobre su estructura
probabilstica que, al menos, reduzca el nmero de parmetros distintos que contienen y .
Observacin 2: Un modelo para ( )tY suele especificarse mediante alguna expresin matemtica (por ejemplo, unaecuacin en diferencias) para tY (el componente genrico del proceso considerado), que implique unas propiedades
tericas sobre los momentos de primer y segundo orden (medias, varianzas y covarianzas) de las distribuciones
conjuntas de los componentes de ( )tY que sean compatibles con las propiedades muestrales correspondientes
observadas en una serie temporal 1 2[ , , ..., ]Ny y y y . Cuando dichas distribuciones conjuntas son Normales, sus
propiedades de primer y segundo orden caracterizan completamente la estructura probabilstica de ( )tY .
Observacin 3: Un modelo univariante se utiliza en la prctica: (i) simplemente para proporcionar una descripcin
compacta de la procedencia de los datos que conforman una serie temporal escalar, (ii) para calcular previsiones a
corto plazo de los valores futuros desconocidos de dicha serie, o (iii) como punto de partida para analizar posibles
relaciones entre dicha serie y otras series, en el contexto de algn modelo multivariante o vectorial.
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.1 INTRODUCCIN
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
53/295
SERIES TEMPORALES PGINA 44
-4
-3
-2
-10
1
2
3
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001
-4
-3
-2
-10
1
2
3
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001
2.1.2 Ejemplo
Figura 2.1
Serie no estacionaria simulada(ch2-sim.wf1)
Figura 2.2
Serie estacionaria simulada(ch2-sim.wf1)
Observacin 1: La serie de la Figura 2.1 ha sido generada por un proceso estocstico ( )tZ no estacionario tal que
1 21.5 0.5t t t t Z Z Z A = + (una ecuacin en diferencias de orden 2). La serie de la Figura 2.2 ha sido generada por
un proceso estocstico ( )tY estacionario tal que 10.8t t tY Y A= + (una ecuacin en diferencias de orden 1). En
ambos casos, ( ) NIID(0, 1)tA .
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.1 INTRODUCCIN
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
54/295
SERIES TEMPORALES PGINA 45
-4-3
-2
-1
0
1
2
3
4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001
Observacin 2: El proceso estocstico ( )tZ que ha generado la serie de la Figura 2.1 no parece tener una media que
sea constante en el tiempo; al menos por este motivo, la estructura probabilstica de ( )tZ es ms complicada que si sumedia fuera constante (como parece ocurrir con el proceso estocstico que ha generado la serie de la Figura 2.2). No
obstante, la ecuacin en diferencias 1 21.5 0.5t t t t Z Z Z A = + es equivalente a 10.5t t tZ Z A = + , donde
1t t tZ Z Z es la diferencia regular de orden 1 de tZ . La figura siguiente contiene la diferencia regular de orden
1 de la serie de la Figura 2.1:
Esta figura sugiere que la ecuacin en diferencias 1 21.5 0.5t t t t Z Z Z A = + describe un proceso estocstico no
estacionario cuya diferencia regular de orden uno ( )tZ es un proceso estacionario, similar al proceso ( )tY que ha
generado la serie de la Figura 2.2. En ambos casos, todas las propiedades relevantes de primer y segundo orden de( )tZ y de ( )tY estn contenidas en las dos ecuaciones en diferencias de orden 1 10.5t t tZ Z A = + e
10.8t t tY Y A= + ; en particular, dichas ecuaciones implican que (i) E[ ] E[ ] 0t tZ Y = = , (ii) Var[ ] 1.33tZ ,
Var[ ] 2.78tY , y (iii) Corr[ , ] 0.5k
t t kZ Z+ = , Corr[ , ] 0.8k
t t kY Y+ = (k= 1, 2, ...).
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.1 INTRODUCCIN
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
55/295
SERIES TEMPORALES PGINA 46
2.1.3 Etapas en la construccin de un modelo univariante
Identificacin: Seleccin de un modelo que implique ciertas propiedades tericas para
( )tY compatibles con las propiedades muestrales observadas en 1( )N
t ty = .
Estimacin: Asignacin de valores numricos a los parmetros del modelo.
Diagnosis: Comprobacin del ajuste del modelo a los datos utilizados.
Figura 2.3 Proceso de construccin de un modelo ARIMA univariante
Mal BienPrevisin
Identi cacinfi Estimacin
DiagnosisReformulacin
Modelos ARIMA
Serie Temporal
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
56/295
SERIES TEMPORALES PGINA 47
2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
2.2.1 Definicin
Un proceso estocstico ( )tY es estrictamente estacionario si y slo si para cualesquiera
1n momentos 1 2 ... nt t t< < < de su historia, la distribucin de probabilidad conjunta
de 1 2[ , , ..., ]nt t tY Y Y coincide con la de 1 2[ , , ..., ]nt h t h t h Y Y Y+ + + para cualquier nmero
entero 1, 2, ...h= (distinto de cero).
2.2.2 Definicin
Un proceso estocstico ( )tY con E[ ]tY < para todo 0, 1, 2, ...t= es estacionario enmedia o dbilmente estacionario de primer orden si y slo si E[ ]tY es constante (no
depende de t) para todo 0, 1, 2, ...t=
2.2.3 DefinicinUn proceso estocstico ( )tY con
2E[ ]tY < para todo 0, 1, 2, ...t= es estacionario en
autocovarianza o dbilmente estacionario de segundo orden si y slo si:
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
57/295
SERIES TEMPORALES PGINA 48
E[ ]tY y Var[ ]tY son constantes (no dependen de t) para todo 0, 1, 2, ...t= ,
Cov[ , ]t t kY Y+ depende a lo sumo de k(entero) pero no de tpara todo 0, 1, 2, ...t=
2.2.4 Definicin
Un proceso estocstico ( )tY es Normal o Gaussiano cuando para cualesquiera 1n
momentos 1 2 ... nt t t< < < de su historia, la distribucin de probabilidad conjunta de
1 2[ , , ..., ]
nt t tY Y Y es una distribucin Normal nvariante.
+ Estacionariedad en autocovarianza Normalidad Estacionariedad estricta
Figura 2.4 Estacionariedad
Observacin: En general, el tipo de estacionariedad definido en 2.2.3 es suficiente para todos los planteamientos que se
abordan en esta asignatura. En adelante, cuando se hable de estacionariedad sin calificativos se entender que se est
hablando de estacionariedad en autocovarianza. Cuando un proceso estocstico ( )tY es estacionario, suele decirse que
( )tY es un proceso integrado de orden 0, o I(0), lo que se representa como ( ) I(0)tY (aunque esta terminologa no
es del todo correcta; ver Definicin 2.4.5).
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
58/295
SERIES TEMPORALES PGINA 49
ACF PACF tericas
2.2.5 Definicin
La autocovarianza de orden k (k> 0) de un proceso ( )tY estacionario se representa con el
smbolo k y se define como Cov[ , ]k t t k Y Y + .
2 2
E[ ].
Var[ ] E[( ) ].
Cov[ , ] E[( )( )] ( 1, 2, ...).
Y t
t t YY
k t t k t Y t k Y
Y
Y Y
Y Y Y Y k
+ +
=
Media:
Varianza:
Autocovarianza de orden :k
Figura 2.5 Media, varianza y autocovarianzas de un proceso estacionario
Observacin 1: La autocovarianza de orden kde ( )tY es la covarianza entre cualquier par de componentes de ( )tY
separados entre s por un intervalo temporal o retardo k> 0 dado. Por 2.2.3, k puede depender de k, pero nodepende de los momentos concretos a los que se refieran los componentes de ( )tY considerados.
Observacin 2: Aunque k se ha definido para cualquier 0k> , tambin puede definirse la autocovarianza de orden
cero de un proceso ( )tY estrictamente estacionario como 0 Cov[ , ] Var[ ]t t tY Y Y , que es la varianza del proceso
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
59/295
SERIES TEMPORALES PGINA 50
( )tY . Por otro lado, la autocovarianza de orden kde ( )tY tambin puede definirse como Cov[ , ]k t k t Y Y , ya que
para cualquier valor de 0k dado, t kY e tY estn separados entre s por el mismo intervalo temporal (retardo) quetY e t kY+ . Considerada como una funcin del retardo k, la secuencia ( : 0, 1, 2, ...)k k = se denomina la funcin de
autocovarianza del proceso estacionario ( )tY .
2.2.6 Definicin
La autocorrelacin simple de ordenk
(k> 0) de un proceso ( )tY estacionario se representacon el smbolo k y se define como
0
Cov[ , ]
Var[ ] Var[ ]
t t k kk
t t k
Y Y
Y Y
+
+
. (2.1)
00
( 1, 2, ...) ; 1.kk k
= =Autocorrelacin simple de orden :k
Figura 2.6 Autocorrelaciones simples de un proceso estacionario
Observacin 1: La autocorrelacin simple de orden k de ( )tY es el coeficiente de correlacin lineal simple entre
cualquier par de componentes de ( )tY separados entre s por un retardo k> 0 dado. Por 2.2.3, k puede depender de
k, pero no depende de los momentos concretos a los que se refieran los componentes de ( )tY considerados.
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
60/295
SERIES TEMPORALES PGINA 51
Observacin 2: Considerada como una funcin del retardo k, la secuencia ( : 1, 2, ...)k k = se denomina la funcin de
autocorrelacin simple (ACF, del ingls AutoCorrelation Function) del proceso estacionario ( )tY . Dado que cada k es un coeficiente de correlacin, suele decirse que la ACF de ( )tY representa la duracin y la intensidad de la
memoria del proceso ( )tY .
Observacin 3: Elaborar un modelo de la estructura probabilstica completa de ( )tY requiere al menos estimar el
vector de medias y la matriz de varianzas-covarianzas de la muestra 1 2[ , , ..., ]NY Y Y Y ,
E[ ]
Y
Y
Y
=
Y
,
1 10 1 1
1 0 2 1 22
1 2 0 1 2
11
Var[ ]
1
NN
N N
Y
N N N N
= =
Y
,
asociada con una serie temporal observada 1 2[ , , ..., ]Ny y y y . En conjunto, y contienen 1 N+ parmetrosdistintos: Y , 0 , 1 , ..., 1N , o bien Y ,
2Y
, 1 , ..., 1N . Las dos matrices que figuran en la expresin anterior
suelen representarse como N (matriz de autocovarianzas de Y) y NP (matriz de autocorrelaciones de Y), de manera
que la matriz de varianzas-covarianzas de la muestra Y procedente de ( )tY es2YN N= = P .
Observacin 4: A pesar de que la hiptesis de estacionariedad simplifica notablemente la distribucin de probabilidad
de 1 2[ , , ..., ]NY Y Y Y , an no pueden estimarse con precisin 1 N+ parmetros utilizando tan slo una nicarealizacin particular de Y (una nica serie temporal 1 2[ , , ..., ]Ny y y y de Nobservaciones). La solucin a este
problema consiste en expresar la media y la funcin de autocovarianza (o la media, la varianza y la ACF) de ( )tY en
trminos de un nmero reducido de parmetros a travs de algn modelo ARMA para ( )tY ; ver Seccin 2.3.
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
61/295
SERIES TEMPORALES PGINA 52
2.2.7 Definicin
La autocorrelacin parcial de orden k (k> 0) de un proceso ( )tY estacionario se representa
con el smbolo kk y se define como el parmetro kk en la regresin
1 1 2 2 ...t k t k t kk t k t Y Y Y Y U = + + + + , (2.2)
donde ( 0, 1, ..., )t i t i Y Y Y i k = y tU es independiente de t iY para todo 1i .
Observacin 1: La regresin (2.2) anterior puede escribirse como 0 1 1 2 2 ...t k k t k t kk t k t Y Y Y Y U = + + + + + ,
donde 0 1 2(1 ... )k k k kk Z , lo que implica que t kk t k Y Y = cuando 1tY = 2tY = ... =
1t kY + = tU = 0 (es decir, kk en representa el efecto parcial o ceteris paribus de t kY sobre tY ). Por lo tanto,
kk es una medida del grado de asociacin lineal entre dos componentes cualesquiera de ( )tY separados entre s por
un retardo 1k dado (como tY e t kY ) que no es debida a la posible correlacin entre cada uno de ellos y todos loscomponentes de ( )tY que se encuentran entre ambos ( 1tY , 2tY , ..., 1t kY + ).
Observacin 2: A partir de la regresin anterior, puede comprobarse que /kk k k = A B , donde
1 2 2 11 2 2 1
1 1 3 21 1 3 22 1 4 32 1 4 3
1 2 3 1 1 2 3 1
11
11
11 ,
1
k kk
k kk
k kkk k
k k k k k k k
A B
.
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
L i B i d l i d l i i P l Ob i 3 d 2 2 6 L i A
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
62/295
SERIES TEMPORALES PGINA 53
La matriz kB es una matriz de autocorrelaciones del mismo tipo que NP en la Observacin 3 de 2.2.6. La matriz kA
es idntica a kB excepto porque la ltima columna de kB est reemplazada por el vector columna 1 2[ , , ..., ]k . Enparticular, para k= 1, 2, 3 resulta que
1 1
1 1 2
21 2 2 1 32 1
11 1 22 332
1 1 211 1 1
2 1
1
1 1
, , ,1
1 11 1
1
= = = =
de manera que los coeficientes de autocorrelacin parcial son funciones de los coeficientes de autocorrelacin simple de
un proceso estrictamente estacionario.
Observacin 3: Considerada como una funcin del retardo k, la secuencia ( : 1, 2, ...)kk k = se denomina la funcin de
autocorrelacin parcial (PACF, del ingls PartialAutoCorrelation Function) del proceso ( )tY .
11 1( 1, 2, ...) ; .
k
kk kk
= = =
A
BAutocorrelacin parcial de orden :k
Figura 2.7 Autocorrelaciones parciales de un proceso estacionario
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
63/295
SERIES TEMPORALES PGINA 54
ACF PACF muestrales
En la prctica, es imposible estimar a partir de una serie temporal 1 2[ , , ..., ]Ny y y y
de Nobservaciones, la media, la varianza, la ACF y la PACF del proceso estacionario
( )tY del que supuestamente procede dicha serie. En particular, slo en el vector de
medias y en la matriz de varianzas-covarianzas de la muestra 1 2[ , , ..., ]NY Y Y
Y asociada con la serie 1 2[ , , ..., ]Ny y y y figuran 1 + Nparmetros distintos.
No obstante, en la prctica s pueden estimarse con cierta precisin las K primeras
autocorrelaciones simples y parciales de ( )tY a partir de una serie temporal de N
observaciones, siempre que Ksea un nmero bastante ms reducido que N. Dichas estimaciones resultan muy tiles para identificar un modelo inicial para ( )tY
dentro de la clase modelos para procesos estacionarios que se describe en la Seccin 2.3.
2.2.8 Definicin
La media muestral y la varianza muestral de una muestra 1 2[ , , ..., ]NY Y Y Y asociada
con una serie temporal 1 2[ , , ..., ]Ny y y y son
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
N N
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
64/295
SERIES TEMPORALES PGINA 55
1
1
N
Y tN tY
= y 2 21
1 ( )
N
t YY N tY
= , (2.3)
respectivamente, que suelen emplearse como estimadores de la media Y y la varianza2Y
del proceso estacionario ( )tY del que procede Y.
Observacin 1: Los estimadores Y y2Y
proporcionan estimaciones numricas y y 2ys , respectivamente,
1 12 2
1 1, ( ) ,
N N
t y tN Nt ty y s y y
= =
cuando se reemplaza en (2.3) cada variable aleatoria tY por su valor observado ( 1, ..., )ty t N= .
Observacin 2: Para contrastar hiptesis sobre Y (el verdadero valor de la media de un proceso estacionario) del
estilo de Y m = frente a alternativas del tipo Y m , Y m > Y m < (donde mes un nmero dado, como 0),puede utilizarse un estadstico tbasado en que
2
1 E[ ] , Var[ ] 1 2 .YY Y Y k N k
=
= +
Por lo tanto, el estadstico 2 ( ) /( / )Y Yt m N = Y , cuyo valor calculado es2 ( ) /( / )yt y m s N = , sigue
aproximadamente una distribucin ( 1)t N .
2.2.9 Definicin
La correlacin simple muestral de orden k (k> 0) de una muestra 1 2[ , , ..., ]NY Y Y Y
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
i d i t l [ ]
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
65/295
SERIES TEMPORALES PGINA 56
asociada con una serie temporal 1 2[ , , ..., ]Ny y y y es
0
( 1, 2, ...)
k
k k
= (2.4)
(ver Figura 2.6), donde
11
1
1
( )( )
( )( ) ( 0, 1, 2, ...).
N k
k t Y t k Y Nt
N
t k Y t Y Nt k
Y Y
Y Y k
+=
= +
=
(2.5)
Observacin 1: El estimador 0 en (2.5) es el mismo estimador que 2Y en (2.3). Los estimadores k y k proporcionan estimaciones numricas kc y kr , respectivamente,
1 1
1 1( )( ) ( )( ) ( 0, 1, 2, ...),
N k N
k t t k t k t N Nt t kc y y y y y y y y k
+ = = +
=
0
( 1, 2, ...)kkc
r k
c
= = ,
cuando se reemplaza en (2.5) cada variable aleatoria tY por su valor observado ( 1, ..., )ty t N= .
Observacin 2: La secuencia de valores numricos ( : 1, 2, ...)kr k= se denomina la ACF muestral de la serie temporal
1 2, , ..., Ny y y . La representacin grfica de la ACF muestral de una serie se denomina el correlograma de dicha serie.
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
Observacin 3: Bajo ciertas condiciones ( ) NIID(0 1 / )k N de manera que cualquier autocorrelacin simple k
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
66/295
SERIES TEMPORALES PGINA 57
Observacin 3: Bajo ciertas condiciones, ( ) NIID(0, 1 / )k N , de manera que cualquier autocorrelacin simple k
( 1k ) de ( )t
Y puede considerarse individualmentesignificativa al 5% cuando 1.96/k
r N> . Por otro lado, para
determinar si las K primeras autocorrelaciones simples de ( )tY son conjuntamente significativas (donde K es un
entero bastante ms reducido que N), suele emplearse el valor calculado del estadstico de Ljung-Box
2
1( 2)
Kk
LBk
rQ N N
N k==
,
que bajo la hiptesis nula de que 1 2 ... 0K = = = = , sigue aproximadamente una distribucin2
( )K .
2.2.10 Definicin
La correlacin parcial muestral de orden k (k> 0) de una muestra 1 2[ , , ..., ]NY Y Y Y es
el estimador MCO o MV kk del parmetro kk en el modelo de regresin (2.2) considerado
para t= 1, 2, ..., N.
Observacin 1: Otro estimador razonable para kk es el que se obtiene al evaluar el cociente de la Figura 2.7,
reemplazando en las matrices kA y kB cada autocorrelacin simple terica k por su estimador (2.4). La secuencia de
valores numricos ( : 1, 2, ...)kkr k= que se obtiene al aplicar los estimadores 11 , 22 , ... a una serie 1 2, , ..., Ny y y , se
denomina la PACF muestral de dicha serie.Observacin 2: Bajo ciertas condiciones, ( ) NIID(0, 1 / )kk N , de manera que cualquier autocorrelacin parcial kk
( 1k ) de ( )tY puede considerarse individualmentesignificativa al 5% cuando 1.96/kkr N> .
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
2 2 11 Ejemplo
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
67/295
SERIES TEMPORALES PGINA 58
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL A - RUIDO BLANCO - NIID(0,1)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
-1
0
1
1 15
-1
0
1
1 15
ACF
PACF
PANEL B - AR(1)
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL C - AR(2)
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
15 30 45 60 75 90 105 120 135 1501
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL D - MA(1)
2.2.11 Ejemplo
Figura 2.8
Funciones de autocorrelacin muestrales de varias series estacionarias simuladas(sim-ARIMA.wf1)
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
2 2 12 Ejemplo
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
68/295
SERIES TEMPORALES PGINA 59
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL A - TASA LOGARTMICA DE VARIACIN MENSUAL DEL IBEX35
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1960 1970 1980 1990 2000
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL B - DIFERENCIAL DE LA DEUDA (EEUU) A 36 Y A 3 MESES
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
1755 1785 1815 1845 1875 1905 1935 1965
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL C - MANCHAS SOLARES
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
1880 1900 1920 1940 1960
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL D - VARIACIN ANUAL DEL FLUJO DEL RO NILO
2.2.12 Ejemplo
Figura 2.9
Funciones de autocorrelacin muestrales de varias series estacionarias reales(Panel A: bolsa-int.wf1. Panel B: interest-rates-q.wf1. Panel C: sunspots.wf1. Panel D: nilo.wf1)
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
2 2 13 Ejemplo
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
69/295
SERIES TEMPORALES PGINA 60
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1960 1970 1980 1990 2000
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL B - RENTABILIDAD DE LA DEUDA (EEUU) A 36 MESES
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
-1
0
1
1 39ACF
-1
0
1
1 39PACF
PANEL D - TEMPERATURA EN MADRID-RETIRO
-4
-3
-2
-1
0
12
3
4
82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL C - TIPO DE CAMBIO REAL EURO / DLAR ( LOG )
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002
-1
0
1
1 15ACF
-1
0
1
1 15PACF
PANEL A - IBEX 35 ( LOG )
2.2.13 Ejemplo
Figura 2.10
Funciones de autocorrelacin muestrales de varias series no estacionarias reales(Panel A: bolsa-int.wf1. Panel B: interest-rates-q.wf1. Panel C: exchange-rates.wf1. Panel D: seasonal.wf1)
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
Observacin 1: Aunque la ACF y la PACF muestrales se han definido en 2.2.8-2.2.10 en relacin con una serie
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
70/295
SERIES TEMPORALES PGINA 61
temporal estacionaria, tambin pueden calcularse a partir de cualquier secuencia de datos. En particular, la ACF
muestral de una serie no estacionaria suele decrecer muy lentamente, mientras que la ACF muestral de una serie
estacional suele presentar el mismo tipo de comportamiento peridico que dicha serie. Por lo tanto, el correlograma de
una serie temporal es un instrumento visual muy til para decidir sobre la estacionariedad de dicha serie.
Observacin 2: La ACF y la PACF muestrales de una serie temporal estacionaria son dos instrumentos fundamentales
para la identificacin de un modelo ARMA inicial para el proceso estocstico ( )tY del que supuestamente procede
dicha serie. Por otro lado, la ACF y la PACF muestrales de la serie de residuos asociada con un modelo estimado
para ( )tY , tambin son dos instrumentos fundamentales en la diagnosis de dicho modelo.
2.2.14 Procesos estacionarios y series no estacionarias
Muchas series temporales (como las del Ejemplo 2.2.13) no pueden considerarse
generadas por procesos estocsticos estacionarios (es decir, son series no estacionarias),
porque presentan ciertas tendencias claras en su evolucin temporal (de manera que no
presentan afinidad hacia algn valor constante en el tiempo), porque su variabilidad no
es constante, porque son estacionales, o por varias combinaciones de estos motivos.
No obstante, muchas series temporales no estacionarias se pueden transformar de forma
adecuada para obtener series de aspecto estacionario (como las de los ejemplos 2.2.11 y
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.2 PROCESOS ESTOCSTICOS ESTACIONARIOS
2 2 12) que pueden ser utilizadas para elaborar modelos estadsticos compatibles con la
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
71/295
SERIES TEMPORALES PGINA 62
2.2.12), que pueden ser utilizadas para elaborar modelos estadsticos compatibles con la
hiptesis de estacionariedad. Estos modelos se presentan en la Seccin 2.3.
En la secciones 2.4 y 2.5 se presentan algunas tcnicas sencillas para detectar series no
estacionarias y para transformar adecuadamente dichas series (dos operaciones que se
llevan a cabo al principio de cualquier anlisis emprico), as como los modelos
estadsticos que resultan al combinar dichas transformaciones con los modelos
estacionarios de la seccin 2.3.
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.3 MODELOS ARMA
2.3 MODELOS ARMA
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
72/295
SERIES TEMPORALES PGINA 63
2.3 MODELOS ARMA
2.3.1 Definicin
Un proceso estocstico estacionario ( )tY sigue un modelo autorregresivo-media mvil de
orden (p,q), o ARMA(p,q) (del ingls AutoRegressive-Moving Averge), si y slo si
1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t p t p t t t q t q Y Y Y Y A A A A = + + + + + (2.6)
para todo 0, 1, 2, ...t= , donde 2( ) IID(0, )t AA y , 1 , 2 , ..., p , 1 , 2 , ..., q son
parmetros tales que todas las races de la ecuacin polinomial
21 21 ... 0
ppx x x = (2.7)
estn fuera del crculo unitario (condicin de estacionariedad). Un modelo ARMA(p,q)
descrito por la ecuacin (2.6) es invertible si todas las races de la ecuacin polinomial
21 21 ... 0
qqx x x = (2.8)
estn fuera del crculo unitario (condicin de invertibilidad).
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.3 MODELOS ARMA
2.3.2 Definicin
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
73/295
SERIES TEMPORALES PGINA 64
El operador de retardo se representa con el smbolo B(a veces L, del ingls Backshifto Lag
operator) y se define de acuerdo con que
1 , ( 1 entero)d
t t t t d BX X B X X d , (2.9)
donde tX es una variable (real o aleatoria) referida a un momento tdeterminado.
2.3.3 Definicin
La ecuacin (2.6) puede escribirse alternativamente como
( ) ( )t tB Y B A = + , (2.10)donde
21 2( ) 1 ...
ppB B B B (2.11)
es el operador o polinomio autorregresivo (AR) del modelo [comparar con (2.7)] y
21 2( ) 1 ...
qqB B B B (2.12)
es el operador o polinomio media mvil (MA) [comparar con (2.8)].
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.3 MODELOS ARMA
Estacionariedad Invertibilidad
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
74/295
SERIES TEMPORALES PGINA 65
Cuando un proceso estacionario ( )tY sigue un modelo ARMA(p,q) descrito por (2.6)
(2.10), la esperanza incondicional de ( )tY es
1 2
E[ ]1 ... (1)Y t
p
Y
= =
, (2.13)
donde (1) es el valor del operador AR (2.11) cuando 1B= . Por lo tanto, (2.10) puede
escribirse alternativamente como
( )( ) ( )t Y tB Y B A = , o bien ( ) ( )t tB Y B A = , (2.14)
donde E[ ]t t t t Y Y Y Y Y para todo 0, 1, 2, ...t=
La condicin de estacionariedad de un modelo ARMA enunciada en 2.3.1 garantiza que
los parmetros o pesos 0 , 1 , 2 , ... del polinomio de orden infinito
21 2 0
0
( )( ) 1 ... ( 1)
( )i
ii
BB B B B
B
= + + + (2.15)
2 MODELOS UNIVARIANTES 2.3 MODELOS ARMA
satisfacen la condicin 0 ii = < , que es suficiente para que un proceso ( )tY tal
-
7/27/2019 Jam Iast Libro
75/295
SERIES TEMPORALES PGINA 66
0i= ( )
que ( )t tY B A= sea estacionario (Teorema de Wold).
La condicin de invertibilidad de un modelo ARMA enunciada en 2.3.1 garantiza que
los parmetros o pesos 0 , 1 , 2