Instituto Tecnolgico de Aguascalientes, Ags.METODOS ENERGETICOS. Sub temas energa de deformacin en elementos simples sujetos a carga axial, transversal, flexin, y torsin. Trabajo y energa. Teorema de Castigliano.Carrera: ingeniera mecnicaSemestre: 5Docente:Ing. Martin Pedroza Sandoval. Dep. Ing. MecnicaAlumno: Omar Miranda Taveramateria: materiales 2

fecha de entrega :01 de Diciembre 2015

METODOS ENERGETICOSINTRODUCCION La relacin entre una carga aplicada a una maquina o a una estructura y las deformaciones resultantes es una parte importante de la mecnica de materiales. esta relacin carga-deformacin se puede determinar y expresar de varias maneras.la conservacin de la energa es un concepto til en muchas reas de la ciencia en la mecnica de materiales proporciona una base para manejar varios tipos de problemas. la aplicacin ms frecuente de las tcnicas energticas esta en el clculo de pendientes y de deflexiones de vigas, marcos, armaduras, y otras estructuras. las deformaciones de los miembros curvos, anlisis de cargas de impacto, y el movimiento de las armaduras son los problemas en que estas tcnicas ofrecen una clara ventaja sobre tcnicas analticas alternativas. entre otros tipos de problemas, las tcnicas energticas proporcionan mtodos alternativos de solucin.TRABAJO Y ENERGIAEl trabajo se define como el producto de una fuerza por la distancia que se mueve en la direccin de la fuerza. Por ejemplo, la siguiente Figura indica dos fuerzas actuando sobre un cuerpo. Pueden presentarse otras fuerzas, pero no se indican. El cuerpo se mueve desde la posicin (a) hasta la posicin (b). Por consiguiente, la fuerza F1 se mueve desde la posicin A1 hasta la posicin A2 , una distancia d1.

El trabajo efectuado por la fuerza F1 es F1 veces s1, ya que la fuerza la distancia deben tener la misma lnea de accin. Anlogamente, el trabajo hecho por la fuerza F2 es F2 veces s2. El trabajo puede ser positivo o negativo. el trabajo positivo ocurre cuando la fuerza y la distancia tienen el mismo sentido. El trabajo negativo ocurre cuando la fuerza y la distancia tienen sentido opuesto. En la Fig. 13.1, si el cuerpo se mueve desde (a) hasta (b), el trabajo de las fuerzas F1 y F2 es positivo. Si el movimiento es desde (b) hasta (a), el trabajo es negativo.La Fig. 13.2 (a) indica un resorte sin deformar. Cuando se aplica una fuerza P, el resorte se alarga una distancia . Supngase que la fuerza se incrementa gradualmente desde cero hasta su valor final P. La Fig. indica la grfica de la relacin entre P y .El trabajo hecho por la fuerza P es la fuerza por su distancia. Sin embargo, la fuerza cambia su magnitud desde cero hasta su valor final P1.

El cambio en el trabajo desde una posicin a la siguiente es Pd, como se indica mediante el rea elemental de la Fig. El trabajo total es la suma de cada incremento Pd, O sea:

Trabajo = Cuando la relacin P es lineal, como en la Fig. el trabajo igual a P1, que es el rea bajo la curva P.El resorte, deformado, es capaz de realizar trabajo para regresar su posicin sin deformar. Este trabajo interino se llama la energa interna de deformacin, y se le da el smbolo U. U =

La integral P dx es el rea bajo el diagrama carga-deformacin.Cuando la relacin carga-deformacin es lineal, como en la Fig. todo el trabajo externo se convierte en energa elstica de deformacin . Esta energa elstica es recuperable y hace que la estructura regrese su posicin despus de quitar la carga . La energa total de deformacin siempre es el rea bajo una curva carga-deformacin. Sin embargo , cuando se excede el lmite elstico, como en la Fig. 13.3 (b) queda en una deformacin permanente despus de que se quita la carga. Representa la energa de deformacin que se gasta en deformar permanentemente el material. Esta energa se disipa en forma de calor.

ENERGA DE DEFORMACIN PARA CARGAS AXIALES

El hecho de que el trabajo externo sea igual a la energa interna de deformacin puede usarse directamente como un mtodo para determinar deflexiones. Por ejemplo, la barra simple de la Fig. que tiene una carga Q aplicada gradualmente. Si el sistema se conserva elstico el trabajo externo es Q /2. Si podemos determinar la energa interna de deformacin de las barras AC y BC, podemos calcular la deflexin .Desarrollamos una expresin para la energa de deformacin de una barra cargada axialmente, de la siguiente manera. La Fig. indica una barra sujeta a la aplicacin gradual de una carga P. La barra experimenta un alargamiento total . La deformacin interna de un segmento de la barra, de la longitud dx (vase en la Fig. ) es igual a la fuerza promedio por el cambio de longitud de un miembro cargado axialmente esta dado por la ecuacin (2.4) como S = PL/AE. La energa interna de deformacin para el segmento dx.

La energa total de deformacin para toda la barra es la suma de las energas de deformacin para cada segmento:U = Conociendo la energa interna de deformacin , puede calcularse la deflexin . Ejemplo 13.1 Determina la deflexin de la estructura de dos barras de la Fig. cuando Q es igual a 40KN. El rea de la seccin transversal de cada barra es de 6*10 -4 m2, y E = 200GPA. Solucin: El trabajo externo es Q. La energa de deformacin puede calcularse a partir de la ecuacin . La fuerza interna P en cada barra se determina a partir del diagrama de cuerpo libre del punto C, como se indica en la Fig.

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, simultneamente daPAC = 32 KNPBC = 24 KNLa energa de deformacin para una barra es

La energa de deformacin para el sistema es

La deflexin puede determinarse comoTrabajo externo = Energa interna de deformacin con la siguiente formulaQ = U = (40 000)= 18.6 = 0.00093 m = 0.93 mm

ENERGA DE DEFORMACIN PARA CARGAS DEFLEXIN

El mtodo del trabajo real usado en el ejemplo siguiente tambin puede aplicarse para otros tipos de carga. Solamente necesitamos desarrollar una relacin para la energa interna de deformacin de la respuesta de la carga.La Fig. indica una viga con una carga concentrada actuando en B. El trabajo externo involucra el movimiento de la fuerza Q a travs de la deflexin de la viga. EL trabajo externo es igual a Q, La energa interna de deformacin para un segmento de longitud dx se determinan sumando la energa de deformacin dU para cada fibra que existe en dx. Primero considerando la deformacin en una sola fibra localizada a una distancia y a partir del eje neutro

El esfuerzo en esta fibra es = My/I.

La energa interna de deformacin para esta fibra es P. La fuerza P sobre la fibra se obtiene a partir de P = dA. Otra vez, el esfuerzo unitario se determina a partir de la formula de la flexin, = . Por consiguiente.

La energa interna de deformacin en esta fibra es

La energa interna de deformacin para el segmento dx es la suma de la energa de deformacin en todas las fibras de ese segmento

La energa de deformacin para toda la viga se determina sumando la energa de deformacin para cada segmento dx sobre la longitud I. }

La ecuacin determina la energa interna de deformacin por deflexin. Conociendo esta: ahora podemos calcular las deflexiones mediante el mtodo del trabajo real.EJEMPLO 13.2 Calcular la deflexin en B, en la Fig. 13.9 bajo la fuerza P = 24 klb. La viga tiene un momento de inercia I = 360plg4, y E = 30 000 klb/plg2.SOLUCIN El trabajo externo es PB. La energa interna de deformacin puede calcularse a partir de la ecuacin (13.3). El momento flexionarte interno en el segmento AB es diferente al del segmento BC. Por consiguiente, la ecuacin, puede usarse separadamente para cada segmento. segn la figura ,

La energa de deformacin en el segmento AB es

La energa de deformacin en el segmento BC es

La energa de deformacin para toda la viga es

La deflexin en el punto B puede determinarse como Trabajo extremo=energa interna de deformacin

ENERGIA DE DEFORMACION POR CARGAS CORTANTESLa influencia del esfuerzo cortante sobre la deflexin de la viga es de muy pequea magnitud, y por consiguiente se deprecia la determinacin de pendientes y deflexiones. Si queremos calcular la contribucin de los esfuerzos cortantes de la deformacin total de una viga, los mtodos energticos proporcionan una tcnica muy til..La fig. indica una viga de seccin transversal rectangular. Las cargas externas producen una fuerza cortante interna V. El esfuerzo cortante no est distribuido uniformemente sobre la seccin transversal, si no que vara segn la ecuacin como Consideramos una fibra, tal como la indica en la fig. El trabajo que se realiza mientras que la fibra de longitud dx est siendo distorsionada es Trabajo =El movimiento es igual a ya que los ngulos son pequeos, y sen .El rea de dA es igual a la bdy, segn la fig. El Angulo representa la deformacin unitaria por cortante.

/G. El trabajo hecho sobre esta sola fibra puede representarse.

La ecuacin da la energa de deformacin para un solo elemento, situado a una distancia del eje neutro. El esfuerzo cortante puede expresarse mediante la ecuacin como /lb.El momento esttico de Q del rea que queda sobre la fibra es

Sustituyendo esto en la ecuacin nos da

El trabajo para el segmento dx se determina sumando la ecuacin para todas las fibras que existen en dx.

Sustituyendo en la ecuacin , y reconociendo que A=bd,

El trabajo es la energa interna de deformacin. Integrando la ecuacin sobre la longitud, obtenemos

Para cualquier forma de seccin transversal, la ecuacin puede escribirse como

El factor K puede deducirse para cualquier seccin transversal de una manera semejante. Para un circulo, k=10/9 y para un vigueta de acero de patn ancho, K es, aproximadamente, igual a 1.

ENERGIA DE DEFORMACION PARA CARGAS DE TORSIONLa fig. indica una flecha circular sujeta a un par de torsin, T. El trabajo externo involucra el movimiento del par T a travs de la rotacin . El trabajo externo es 1/2T.La energa interna de deformacin dU para un segmento dx en la fig. (b) La ecuacin de el ngulo de torsin de una cara con respecto a la otra, como

La energa de deformacin para el segmento dx es

La energa de deformacin en toda la longitud de la flecha se obtiene cuando la energa de deformacin para cada segmento. Esto se convierte en

EJEMPLO 13.4 Determinar el ngulo de torsin c, en el extremo libre C de la flecha indicada. La flecha maciza AB tiene un dimetro de .100 mm la flecha maciza BC tiene un dimetro de 120 mm. El par de torsin aplicada es de 300 Nm. Supngase que G= 80 Gpa.SOLUCION El trabajo externo es , La energa interna de deformacin para los segmentos AB y BC deben calcularse separadamente debido a la variacin de J:

La rotacin en el punto C puede determinarse como trabajo externo=energa interna de deformacin

TEORIA Y APLICACION DE CASTIGLIANOse describe como el primer teorema de Castigliano proporciona una tcnica para determinar las pendientes y las deflexiones de vigas y marcas utilizando derivadas parciales de la energa interna de deformacin. Es notablemente semejante al mtodo del trabajo virtual. Podemos demostrar el primer teorema considerando la viga de la Fig. Las fuerzas P1 y P2 se han aplicado a la viga gradual y simultneamente. Por el principio del trabajo real.Trabajo extorno = energa interna de deformacin

P1, se incrementa a dP1 P2 se mantiene constante, como se indica en la fig. La deflexin en 1 se incrementa en d1 la deflexin en 2 tambin se incrementa La rapidez de la variacin de 1 con respecto a P1 es

Anlogamente, si queremos el cambio de deflexin en 2 que es producido por el cambio dP1, encontramos

El cambio total, en la ecuacin , por la adicin de dP es

El termino () se deprecia debido a que es un trmino de orden superior. La ecuacin puede entonces simplificarse usando las ecuaciones hasta obtener:

pero segn la ecuacin.

Tomando la derivada parcial con respecto a P1, obtenemos

Restando la ecuacin. de la ecuacin, obtenemos

La ecuacin es la expresin matemtica del primer teorema de Castigliano, que puede enunciarse como:" la deflexin en un punto de la estructura en el punto de la aplicacin y en la misma direccin de una fuerza aplicada se obtiene aplicando la primera derivada parcial de la energa de la deformacin total interna"Notamos que la deduccin del teorema de Castigliano uso el principio del trabajo real. Consecuentemente las limitaciones descritas en la seccin se aplican tambin, podemos determinar la deflexin en B, que est directamente debajo de la carga P, pero no podemos determinar la deflexin en ningn otro lugar tal como el punto D. Este problema puede resolverse fcilmente incorporando una carga ficticia Q en lugar donde se necesita la deflexin. Para completar la solucin hacemos y obtenemos la deflexin deseada.El teorema de Castigliano puede usarse para calcular tanto pendientes como deflexiones. El procedimiento para obtener deformaciones estructurales mediante el teorema Castigliano es como sigue:1. Se traza la estructura y a sus cargas. Si existe una fuerza concentrada (o un par real) en el lugar donde se desea hallar la deflexin (o la pendiente), dejamos esa fuerza (o el par) en funcin de la variable P. Si no existe alguna fuerza en el lugar deseado incorporamos una fuerza ficticia Q (o un par ficticio Q ) en ese punto, en el lugar donde se desea hallar la deflexin (o la pendiente). 2. Se escriben la ecuaciones par a la energa interna de deformacin U, con funcin de los valores numricos de las cargas reales y de las carga ficticia Q.3. Se determina la deflexin tomando la derivada parcial de la ecuacin para la energa de la deformacin, con respecto a Q, es decir, (o )= U/ Q.

En el paso 3 lo podamos efectuar de dos formas, Primero tendramos escribir la ecuacin para U elevando el cuadrado de los trminos P, M o T, de las ecuaciones. La operacin requiere elevar al cuadrado las expresiones para P, M o T , y despus integrar , y calcular finalmente la derivada parcial.la otra forma es diferenciar primero bajo el signo integral, y despus integrar. Cuando hacemos esto, encontramos la deflexin usando la energa de deformacin segn las acciones, para obtener

Esa es la semejanza entre estas tres ecuaciones Los ejemplos siguientes ilustran el clculo de pendientes y deflexiones mediante el teorema de Castigliano.EJEMPLO 13.9 Resolver el problema mediante el teorema Castigliano.SOLUCION Aplicamos una carago ficticia Q en el punto C, como se indica en la fig. . Las reacciones de la viga sern entonces RI=16.8+0.4Q y RD =7.2+0.6 Q.A partir de los diagramas de cuerpo libre de la fig., determinar M:

Segn al fig.

La energa interna de deformacin por flexin est dada por la ecuacin=Cuando la derivada parcial de la ecuacion. respecto a Q,

Cuando la derivada parcial de la ecuacin. respecto a Q,

Incorporando las ecuaciones. en la ecuacin siguiente obtenemos

Integrando la ecuacin. y haciendo Q=0,

Podemos observar la correlacin entre la ecuacin con Q=0 y la ecuacin correspondiente para el trabajo virtual.