repository.uksw.edu · Item-Total Statistics Scale Mean if Item Deleted Scale Variance if Item...

49

LAMPIRAN

50

Lampiran 1

Validitas dan Reliabilitas Instrumen Posttest

Pengujian 1

Reliability Statistics

Cronbach's Alpha N of Items

,778 31

Item-Total Statistics

Scale Mean if Item Deleted

Scale Variance if Item Deleted

Corrected Item-Total Correlation

Cronbach's Alpha if Item

Deleted

VAR00001 20,8000 24,412 ,394 ,766 VAR00002 20,6769 25,753 ,135 ,778 VAR00003 20,7077 25,148 ,270 ,772 VAR00004 20,8462 25,132 ,223 ,775 VAR00005 20,8154 25,372 ,179 ,777 VAR00006 20,7846 25,672 ,120 ,779 VAR00007 20,7538 24,970 ,288 ,771 VAR00008 20,8308 25,487 ,151 ,778 VAR00009 20,7077 24,898 ,332 ,770 VAR00010 20,7538 24,845 ,317 ,770 VAR00011 20,9538 24,170 ,409 ,765 VAR00012 20,8000 25,006 ,262 ,773 VAR00013 20,7846 24,484 ,385 ,767 VAR00014 20,9231 24,510 ,341 ,769 VAR00015 20,7692 24,774 ,326 ,770 VAR00016 20,7538 24,626 ,368 ,768 VAR00017 20,8000 25,537 ,146 ,778 VAR00018 20,6769 25,316 ,247 ,773 VAR00019 20,8615 24,715 ,308 ,770 VAR00020 20,7077 24,960 ,316 ,770 VAR00021 20,8154 24,903 ,280 ,772 VAR00022 20,9077 23,960 ,460 ,763 VAR00023 20,8000 24,225 ,437 ,764 VAR00024 20,8308 24,268 ,414 ,765 VAR00025 20,9231 24,135 ,420 ,765 VAR00026 20,7692 24,774 ,326 ,770 VAR00027 20,8000 24,600 ,352 ,768 VAR00028 20,8615 25,559 ,131 ,779 VAR00029 20,7846 26,234 -,001 ,785 VAR00030 20,7385 25,540 ,162 ,777 VAR00031 20,8308 25,362 ,177 ,777

Ket item gugur

51

a. Pengujian kedua



,793 22






Deleted

VAR00001 14,4923 17,535 ,368 ,784 VAR00003 14,4000 17,994 ,290 ,788 VAR00004 14,5385 18,377 ,139 ,797 VAR00007 14,4462 17,782 ,323 ,787 VAR00009 14,4000 17,713 ,373 ,784 VAR00010 14,4462 17,657 ,358 ,785 VAR00011 14,6462 17,232 ,407 ,782 VAR00012 14,4923 18,004 ,244 ,791 VAR00013 14,4769 17,441 ,400 ,782 VAR00014 14,6154 17,709 ,292 ,789 VAR00015 14,4615 17,627 ,357 ,785 VAR00016 14,4462 17,501 ,401 ,783 VAR00018 14,3692 18,080 ,286 ,789 VAR00019 14,5538 17,782 ,284 ,789 VAR00020 14,4000 17,775 ,354 ,785 VAR00021 14,5077 17,598 ,345 ,786 VAR00022 14,6000 17,088 ,451 ,779 VAR00023 14,4923 17,348 ,418 ,781 VAR00024 14,5231 17,472 ,372 ,784 VAR00025 14,6154 17,115 ,441 ,780 VAR00026 14,4615 17,940 ,272 ,790 VAR00027 14,4923 17,566 ,359 ,785

Ket item gugur

b. Pengujian Ketiga



,797 21

52






Deleted

VAR00001 13,8462 16,757 ,369 ,788 VAR00003 13,7538 17,251 ,277 ,793 VAR00007 13,8000 17,006 ,322 ,791 VAR00009 13,7538 16,907 ,381 ,788 VAR00010 13,8000 16,850 ,366 ,789 VAR00011 14,0000 16,563 ,382 ,788 VAR00012 13,8462 17,320 ,217 ,797 VAR00013 13,8308 16,674 ,399 ,787 VAR00014 13,9692 17,124 ,243 ,796 VAR00015 13,8154 16,809 ,369 ,788 VAR00016 13,8000 16,694 ,411 ,786 VAR00018 13,7231 17,297 ,285 ,793 VAR00019 13,9077 16,991 ,287 ,793 VAR00020 13,7538 16,938 ,372 ,789 VAR00021 13,8615 16,840 ,340 ,790 VAR00022 13,9538 16,170 ,491 ,781 VAR00023 13,8462 16,538 ,429 ,785 VAR00024 13,8769 16,641 ,388 ,787 VAR00025 13,9692 16,374 ,434 ,784 VAR00026 13,8154 17,122 ,282 ,793 VAR00027 13,8462 16,726 ,377 ,788

Lampiran 2. Uji Normalitas

a. Uji normalitas UAN

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

XA XC

N 35 30 Normal Parameters

a,b Mean 5,7429 6,3517

Std. Deviation 1,33599 1,58078 Most Extreme Differences Absolute ,109 ,088

Positive ,109 ,088 Negative -,049 -,085

Kolmogorov-Smirnov Z ,647 ,482 Asymp. Sig. (2-tailed) ,796 ,974

a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data.

53

b. Uji Normalitas Posttest

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

XA XC

N 35 30 Normal Parameters

a,b Mean 6,7709 7,0913

Std. Deviation 1,93814 2,17911 Most Extreme Differences Absolute ,165 ,148

Positive ,165 ,127 Negative -,122 -,148

Kolmogorov-Smirnov Z ,977 ,809 Asymp. Sig. (2-tailed) ,296 ,529

Lampiran 3. Uji T posttest

Independent Samples Test

Nilai

Equal variances assumed

Equal variances not

assumed

Levene's Test for Equality of Variances

F 1,090 Sig. ,301

t-test for Equality of Means

T -,628 -,622

Df 63 58,658

Sig. (2-tailed) ,533 ,536

Mean Difference -,32048 -,32048

Std. Error Difference ,51070 ,51537

95% Confidence Interval of the Difference

Lower -1,34102 -1,35186

Upper ,70007 ,71091

Lampiran 4 . Soal Posttest

Uji Kompetensi Bentuk Pangkat Dan Akar

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada lembar jawaban yang tersedia!

1. Bentuk panjang dari 4w3 adalah a. (4w) × (4w) × (4w) d. (-4w) × (−4w) × (−4w) b. 4 × 𝑤 × 𝑤 × 𝑤 e. 4 × 𝑤 × 𝑤 c. 4 × 4× 𝑤 × 𝑤 × 𝑤

54

2. Sifat perkalian bilangan berpangkat adalah

a. 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 , ( 𝑎 ≠ 0 ) d. am x an = a m+ n

b. (𝑎m )n = = am x n e. . a-n = 1

𝑎𝑛 , (a ≠ 0)

c. a0 = 1 , (a ≠ 0)

3. (43)2 sama dengan a. 212 d. 2−12 b. 26 e. 2−3

c. 21

3 4. Di antara bilangan – bilangan berikut ini manakah yang

merupakan bentuk akar adalah....

a. 𝑥2 d. 16

25

b. 2 e. 9

c. 144 5. Dari pilihan jawaban berikut manakah pernyataan yang benar?

a. p 𝑎 + q 𝑎 =pq 2𝑎 ;𝑎 ≥ 0

b. p 𝑎 - q 𝑎 =(p-q) 2𝑎 ;𝑎 ≥ 0

c. p 𝑎 × q 𝑎 =pq 𝑎 ;𝑎 ≥ 0

d. p 𝑎 × q 𝑏 = (p× q) 𝑎𝑏 ;𝑎 ≥ 0 dan 𝑏 ≥ 0

e. p 𝑎 - q 𝑎 =(p-q) 𝑎𝑏 ;𝑎 ≥ 0 dan 𝑏 ≥ 0

6. Dari pilihan jawaban berikut manakah pernyataan yang benar?

a. 𝑎−𝑛 = 1

𝑎−𝑛 d. (𝑎

𝑏)𝑛 =

𝑎n

bn ,(b≠0)

b. 𝑎0 = 0 e. p2 + q2 = (p + q)2 c. 4𝑤3 = 4𝑤 × 4𝑤 × 4𝑤

7. Dari pilihan bentuk akar berikut manakah yang dalam bentuk paling sederhana?

a. 𝑥5 d. 𝑥2

b. 1

x e.

5

2

c. x

2

8. Jika p= 4 dan q = 3, nilai terbesar di antara perpangkatan berikut adalah …..

a. pq d. (1

𝑞)−𝑞

b. qp e. (1

𝑝)−𝑝

55

c. (1

𝑞)−𝑝

Untuk no 9-10 sederhanakanlah menjadi bentuk yang paling sederhana dengan menggunakan teorema pangkat bulat positif

9. 5ab x 2(ab)2 =........... a. 7a2b3

d. 10(ab)3 b. 7a3b3 e. 10 ab3 c. 20 (ab)3

10. 9𝑎𝑏6𝑐12

12𝑎𝑏𝑐6 =..........

a. −3𝑏6𝑐5

𝑎 d.

3𝑏6𝑐6

4

b. −3𝑏6𝑐5 e. 3(𝑏𝑐)6

4

c. 3𝑏5𝑐6

4

11. nyatakan bentuk 5

( 𝑎+𝑏)3 ke dalam pangkat negatif

a. -5 𝑎 + 𝑏 −3 d. 5

𝑎+𝑏 −3

b. 𝑎+𝑏 −3

5−1 e. 5

𝑎−3+𝑏−3

c. 5

𝑎−3+𝑏3

12. Perhatikan sifat 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 , a ≠ 0. Jika diambil m = n maka yang

anda peroleh adalah

a. 𝑎0 = 𝑎 c. 𝑎0 = 1 e. 1

𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛

b. 𝑎0 = 0 d. 𝑎𝑛 = . 1

𝑎−𝑛

13. Dipunyai beberapa bentuk pangkat yaitu 1

𝑎2, b3, dan c−2

d2 . apabila

bentuk pangkat tersebut dinyatakan dalam bentuk pangkat negatif maka akan menjadi

a. 1

𝑎−2, b-3, dan c−2

d−2

b. 1

𝑎−2, 1

𝑏−3, dan c−2

d−2 .

c. 𝑎−2 ,1

𝑏−3 , dan c−2d−2

d. 𝑎−2 ,1

𝑏−3 , dan c−2 c−2

d−2

e. 𝑎−2 , b−3 , dan c−2 c−2

d−2

56

Sederhanakanlah dan tulislah tanpa pangkat negatif

14. 𝑎2𝑏−2

𝑎−5𝑏−1 −1

−2

a. 𝑎−14𝑏−2 d. 𝑎−14𝑏2 b. (𝑎−7)2𝑏−2 e. 𝑎14𝑏2 c. 𝑎14𝑏−2 d. 𝑎14𝑏−4

Untuk no 15 -16 Sederhakanlah bentuk akar berikut

15. 180

a. 18 10 d. 36 5

b. 6 10 e. 5 36

c. 6 5

16. ( 3x + 5)9

a. ( 3x + 5) ( 3x + 5) d. 3𝑥4 + 625 ( 3x + 5)

b. 3𝑥4 + 5 3x + 5 e. ( 3x + 5)4 ( 3x + 5)

c. 3𝑥4 + 54 ( 3x + 5)

Untuk soal no 17 –20 Selesaikanlah operasi hitung aljabar berikut

17. 12 5 - 5 + 2

a. 13 10 d. 13 10

b. 13 7 e. 10 10

c. 11 5 + 2

18. 2 8 + 18 + 1

4 32 + 200

a. 4 2 d. 10 2

b. 6 2 e. 18 2

c. 8 2

19. 3 5𝑥 (4 𝑥 - 5 ); x ≥ 0

a. 60 𝑥 + 15 𝑥 d. 12𝑥 5 - 15 𝑥

b. 12 𝑥 + 15 𝑥 e. 12𝑥 5 + 15 𝑥

c. 12 𝑥 - 15 𝑥

57

20. (1 + 2)( 3− 2 )

a. 2 d. 2 2 - 1

b. 1 + 2 2 e. 2 2

c. 1 - 2 2 21. Dari langkah langkah penyelesaian berikut pada langkah ke berapa

yang menyebabkan penyelesaian soal tersebut menjadi salah

m−1+1

m+1 =

1

𝑚+ 1

𝑚+1 Langkah 1

= 1

𝑚+

𝑚

𝑚

𝑚+1 Langkah 2

= 1+𝑚

𝑚2

𝑚+1 Langkah 3

= m+1

m2 ×

1

m+1 Langkah 4

= 1

m2 Langkah 5

a. Langkah 1 d. Langkah 4 b. Langkah 2 e. Langkah 5 c. Langkah 3

22. Penyelesaian soal no 19 akan dapat menjadi benar apabila

a. Pada Langkah 3 1+𝑚

𝑚2

𝑚+1 diganti menjadi

1

𝑚

𝑚+1

b. Pada langkah 5 = 1

m2 diganti menjadi m-2

c. Pada langkah 1 1

𝑚+ 1


2

𝑚

𝑚+1

d. Pada Langkah 3 1+𝑚

𝑚2


1+𝑚

𝑚

𝑚+1 langkah 4

menjadi m+1

m ×

1

m+1 dan langkah 5 menjadi

1

m2

e. Pada Langkah 3 1+𝑚

𝑚2


1+𝑚

𝑚

𝑚+1 langkah 4

menjadi m+1

m ×

1

m+1 dan langkah 5 menjadi

1

m

23. Jika panjang diagonal sebuah persegi adalah 8 cm, maka keliling

persegi tersebut adalah....

58

a. 13 2 cm d. 13 3 cm

b. 16 2 cm e. 20 3 cm

c. 20 2 cm

Untuk soal 24 dan 25 ubahlah bentuk pecahan bersusun menjadi bentuk pecahan yang paling sederhana

24. 𝑥−𝑥−1

1 − 𝑥−2

a. 𝑥 d. 1

b. 1

𝑥 e.

1

1+𝑥

c. 1

𝑥2

25. (𝑥−1

𝑥−1 − 𝑦−1)−1

a. −𝑦

𝑦−𝑥 d.

𝑥

𝑥−𝑦

b. 𝑦

𝑥−𝑦 e.

𝑥

𝑦−𝑥

c. 𝑦−𝑥

𝑦

26. sebuah kubus dengan panjang sisi 10 cm tentukan panjang AC

dan AG

a. 10 2 cm dan 10 3 cm d. 5 2 cm dan 5 2 cm

b. 10 3 cm dan 10 2 cm e. 20 10 cm dan 30 10 cm

c. 5 3 cm dan 5 2 cm

27. Sebuah kubus dengan panjang rusuk 8cm maka volume kubus tersebut adalah :

a. 216 cm2 d. 343 cm2 b. 512 cm2 e. 729 cm2 c. 125 cm2

59

28. Diketahui segitiga ABC siku – siku di B,

dengan AB = 2 2 cm dan BC = 4 cm, seperti diperlihatkan pada gambar disamping. Tentukanlah panjang AC dalam bentuk akar yang paling sederhana

a. 24 d. 2 12

b. 2 6` e. 6 4

c. 6 2

29. Sebuah persegi panjang mempunyai panjang ( 2 + 3 ) cm

sedangkan lebarnya ( 5 - 3 ) cm tentukan luas persegi panjang tersebut!

a. 13 3 cm2 d. 13 6 cm2

b. 3 3 cm2 e. 3 6 cm2 c. 7+3 3 cm2

30. Panjang rusuk sebuah kubus adalah (5 + 3)dm. Hitunglah luas permukaan nya. (ingat luas permukaan kubus adalah 6s2

a. (168 + 60 3) dm2 d. (168 + 60 2) dm2

b. (158 - 6 3) dm2 e. (168 - 6 2) dm2

c. (148 +60 3) dm2 31. Perhatikan langkah langkah penyelesaian menyederhanakan

pecahan bersusun berikut :

𝑥−1+ 𝑦−1

𝑥 +𝑦 =

1

x+

1

y

𝑥+𝑦 Langkah 1

=

𝑦

𝑥𝑦+

𝑥

𝑥𝑦

𝑥+𝑦 Langkah 2

=

𝑦+𝑥

𝑥𝑦

𝑥+𝑦 Langkah 3

= x+y

xy ×

1

𝑥+𝑦 =

1

xy Langkah 5

Apakah yang dapat anda simpulkan dari hasil penyelesaian tersebut?

a. Langkah – langkah penyelesaian tersebut benar b. Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan

dilakukan pada langkah 1 c. Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan

dilakukan pada langkah 2

60

d. Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan dilakukan pada langkah 3

e. Langkah – langkah penyelesaian tersebut salah dan kesalahan dilakukan pada langkah 4

LAMPIRAN 5 Kunci Jawaban

N0 JAWABAN NO JAWABAN

1. B 17. C

2. D 18. E

3. A 19. D

4. B 20. B

5. D 21. C

6. D 22. E

7. C 23. B

8. E 24. A

9. D 25. C

10. C 26. A

11. B 27. B

12. C 28. B

13. C 29. C

14. C 30. A

15. C 31. A

16. E

61

LAMPIRAN 6

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Satuan Pendidkan : SMA

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Semester : X/Gasal

Tahun Pelajaran : 2012 – 2013

Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar : 1.1 Menggunakan aturan pangkat ,akar,dan logaritma

Indikator :

Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif.

Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

I. Tujuan Pembelajaran

Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif.

II. Materi Pembelajaran

Pangkat bulat positif III. Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe

JIGSAW

IV. Lan gkah – langkah Pembelajaran

Tahap

Pembelajaran

Kegiatan

Waktu

(Menit)

Kegiatan Awal

1. Mengucapkan salam dan mengabsen siswa.

2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari

62

hari ini? 3. Guru memberikan contoh masalah

bilangan berpangkat yang berhubungan dengan kehidupan sehari – hari

Sebagai contoh Saturnus salah satu planet yang mempunyai massa 5,69 × 1026 kg (jika tidak menggunakan bilangan berpangkat pasti kita akan sulit dalam menulis massa planet ini)

4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan hari ini.

7

Kegiatan Inti

Guru membentuk kelompok siswa yang anggotanya terdiri dari 5 siswa (jumlah anggota kelompok tergantung pada subtopik yang akan dipelajari) yang bersifat heterogen, baik dari segi kemampuan,jenis kelamin,budaya, dan sebagainya. Kemudian guru menyajikan pelajaran atau materi yang akan dipelajari.

Eksplorasi

Guru bertanya jawab tentang materi prasyarat di antaranya yaitu

Bentuk – bentuk bilangan berpangkat

Menulis bentuk panjang bilangan berpangkat a3 = a × a × a a4 = a × a × a × a a5 = a × a × a × a × a . . . an = a × a × a … × a (sebanyak n kali)

Elaborasi

Siswa bekerja secara berkooperatif

10

63

sesuai dengan karakteristik jigsaw yaitu siswa bekerja secara kooperatif pada kelompok asal dan kelompok ahli untuk mempelajari materi dan menyelesaikan tugas kelompok yang ada pada LKS.

Jumlah kelompok ahli ada lima kelompok. Tiap kelompok ahli mempunyai tugas masing – masing yaitu kelompok 1 menemukan sifat perkalian bilangan berpangkat kelompok 2 menemukan sifat pembagian bilangan berpangkat , kelompok 3 menemukan sifat pemangkatan bilangan berpangkat , kelompok 4 menemukan sifat pemangkatan bentuk pecahan, dan kelompok 5 menemukan sifat pemangkatan bentuk berpangkat.

Guru memfasilitasi siswa selama berdiskusi dikelompok ahli agar dapat memahami sub topik yang dipelajari.

siswa berdiskusi di kelompok ahli hingga guru merasa yakin bahwa siswa mampu menyampaikan dan memecahkan persoalan yang menyangkut subtopik yang dipelajari agar tidak terjadi kesalahan informasi yang akan dibagikan.

Setelah berdiskusi di kelompok ahli para anggota kelompok ahli masing – masing kembali ke kelompok asal untuk membagi informasi dengan anggota kelompok asal.

Setelah informasi dibagikan guru memberikan tugas untuk dikerjakan di kelompok asal.

Siswa mempresentasikan hasil diskusi kelompok dan guru bertindak sebagai fasilitator.

Guru memberikan kuis / tes individu.

50

10

64

Konfirmasi

Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa;

memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh pengalaman belajar yang telah dilakukan;

memberikan motivasi kepada siswa yang kurang atau belum berpartipasi aktif.

10

Kegiatan Akhir

1. Memberikan informasi tentang kegiatan pertemuan berikutnya.

2. Salam penutup

3

V. Sumber / Media Pembelajaran

Sumber

Kanginan, Marthen. Matematika untuk kelas X semester 1 Sekolah Menengah Atas .Bandung: Grafindo Media Pratama,2007

Wiridikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007

Media

LKS VI. PENILAIAN HASIL BELAJAR

1. Tugas kelompok hal 16 2. Tugas individu

Sederhanakan bentuk pangkat berikut

𝑝4𝑞3

𝑝2𝑞2 2

dan 𝑎2𝑏5 4

Jawab

a. 𝑝4𝑞3

𝑝2𝑞2 2

= 𝑝8𝑞6

𝑝4𝑞4

= 𝑝8−4 𝑞6−4 = 𝑝4𝑞2

b. 𝑎2𝑏5 4 = 𝑎2 .4𝑏5.4 = 𝑎8𝑏20

65

Kalabahi, ...Agustus 2012 Mengetahui Guru Bidang studi, Peneliti David Dapa, S.Pd Imanuel Yosafat .H.M NIP.196212311994121018 NIM 202008012

66








Indikator :

Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif .

Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol.

Pecahan bersusun Sifat – sifat bentuk akar


Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat

negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif . Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol

dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol. Agar siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan pecahan bersusun. Agar siswa dapat memahami sifat – sifat bentuk akar

Materi Pembelajaran

Bentuk pangkat dan bentuk akar

67

Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe

JIGSAW

Lan gkah – langkah Pembelajaran

Tahap

Pembelajaran

Kegiatan Waktu

(Menit)

Kegiatan Awal


2. Memberitahu siswa apa yang dipelajari hari ini?

3. Guru melakuakan apersepsi mengenai sifat – sifat bilangan berpangkat bulat bulat positif,operasi hitung bilangan pecahan, dan bilangan kuadrat


5

Kegiatan Inti

Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok jumlah anggota kelompok sesuai dengan jumlah topik yang akan dipelajari.

Eksplorasi

Guru bertanya jawab tentang :

Apa yang siswa ketahui bilangan berpangkat bulat negatif dan nol

Apa yang siswa ketahui tentang pecahan bersusun

Apa yang siswa ketahui tentang bentuk akar ?

Elaborasi

Siswa bekerja secara

10

68

berkooperatif sesuai dengan karakteristik jigsaw yaitu siswa bekerja secara kooperatif pada kelompok asal dan kelompok ahli untuk mempelajari materi yang ada pada LKS.

Jumlah kelompok ahli ada empat kelompok. Tiap kelompok ahli mempunyai tugas masing – masing yaitu kelompok 1 mempelajari sifat – sifat sifat – sifat bentuk pangkat negatif kelompok 2 mempelajari bilangan berpangkat nol kelompok 3 mempelajari pecahan bersusun dan kelompok 4 mempelajari sifat – sifat bentuk akar.

Guru memfasilitasi siswa berdiskusi dikelompok ahli agar dapat memahami sub topik yang dipelajari .

Setelah berdiskusi di kelompok ahli para anggota kelompok ahli masing – masing kembali ke kelompok asal untuk membagi informasi dengan anggota kelompok asal namun sebelum kembali ke kelompok asal guru memfasilitasi kelompok ahli agar tidak terjadi kesalahan informasi yang akan dibagian.

Setelah informasi dibagikan, guru memberikan tugas untuk dikerjakan dalam kelompok kemudian guru meminta

60

69

salah satu kelompok mempresentasikan hasil diskusinya.

Guru memberikan tes individu

Konfirmasi




10

Kegiatan Akhir


4. Salam penutup

5

Sumber / Media Pembelajaran Sumber



Media

LKS PENILAIAN HASIL BELAJAR

1. Tugas kelompok hal 16 -17 2. Tugas individu

a. Sederhanakanlah (-9)0 dan -10080 x 1000

b. Nyatakan dalah bentuk positif setiap bentuk berikut 2 -5 dan −𝑥𝑦−3

c. Sederhanakanlah bentuk berikut

70

𝑏−2 − 𝑎−2

𝑎−1 + 𝑏−1

Jawab a. (-9)0 = 1

-10080 x 1000 = (-1) x (1) = -1

b. 2 -5 = 1

25 = 1

32

−𝑥𝑦−3 = −𝑥

𝑦3

c. 𝑏−2 – 𝑎−2

𝑎−1 + 𝑏−1 = 1

𝑏2 – 1

𝑎2

1

𝑎+

1

𝑏

= 𝑎2 − 𝑏2

𝑎2𝑏2

𝑎+𝑏

𝑎𝑏

= 𝑎2 − 𝑏2

𝑎2𝑏2 x 𝑎𝑏

𝑎+𝑏

= 𝑎+𝑏 (𝑎−𝑏 )


𝑎+𝑏

= 𝑎−𝑏

𝑎𝑏


71








Indikator :

Menyederhanakan bentuk akar dan melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar.


I. Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menyederhanakan bentuk akar dan

melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar. II. Materi Pembelajaran

Bentuk akar III. Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe

JIGSAW


Tahap

Pembelajaran

Kegiatan Waktu

(Menit)

Kegiatan Awal



10

72

3. Guru melakukan apersepsi mengenai sifat – sifat bentuk akar dan operasi hitung aljabar.


5. Guru menginformasikan skor awal atau skor dasar yang dimiliki siswa.

Kegiatan Inti

Guru membagi siswa menjadi beberapa kelompok jumlah anggota kelompok sesuai dengan jumlah topik yang akan dipelajari.

Eksplorasi



Cara merasionalkan bentuk 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏 x

𝑏

𝑏 =

𝑎𝑏

𝑏

Beberapa pemfaktoran dasar a( b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a2 – b2 = (a +b)(a-b) a2± 2ab + b2 = (a ± b)2

Elaborasi

Siswa bekerja secara berkooperatif sesuai dengan karakteristik jigsaw yaitu siswa bekerja secara kooperatif pada kelompok asal dan kelompok ahli untuk mempelajari materi yang ada pada LKS.

Jumlah kelompok ahli ada empat kelompok. Tiap kelompok ahli mempunyai tugas masing – masing yaitu

10

60

73

kelompok 1 mempelajari mederhanakan bentuk akar, kelompok 2 mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, kelompok 3 mempelajari perkalian bentuk akar, dan kelompok 4 mempelajari pembagian bentuk akar .

Guru memfasilitasi siswa berdiskusi dikelompok ahli agar dapat memahami sub topik yang dipelajari .

Setelah berdiskusi di kelompok ahli para anggota kelompok ahli masing – masing kembali ke kelompok asal untuk membagi informasi dengan anggota kelompok asal namun sebelum kembali ke kelompok asal guru memfasilitasi kelompok ahli agar tidak terjadi kesalahan informasi yang akan dibagian.

Setelah informasi dibagikan, guru memberikan tugas untuk dikerjakan dalam kelompok.

Siswa mempresentasikan hasil kerja kelompok.

Guru memberikan tugas individu.

Konfirmasi


memfasilitasi siswa melakukan refleksi untuk memperoleh

74

pengalaman belajar yang telah dilakukan;


10

Kegiatan Akhir


6. Salam penutup

5

V. Sumber / Media Pembelajaran Sumber



Media


1. Tugas kelompok pada materi hal 17 - 18 2. Tugas Individu

a. Sederhanakanlah bentuk berikut menjadi bentuk yang paling sederhana

16𝑥6𝑦4 dan 108 b. Selesaikanlah operasi aljabar berikut

8 2 + 6 2 , 3 ( 6 + 2 3 ) , dan 96

27

Kunci jawaban

a. 16𝑥6𝑦4 = 4𝑥3 𝑦2 c. 96

27 =

16 .6

9.3

108 = 36 .3 = 4

3

6

3

= 6 3 = 4

3 2

b. 8 2 + 6 2 = (8+ 6) 2

= 14 2

3 ( 6 + 2 3 ) = 18 + 9

= 9.2 + 9

= 3 2 +3

75

Kalabahi, ...Agustus 2012

Mengetahui Guru Bidang studi, Peneliti David Dapa, S.Pd Imanuel Yosafat .H.M NIP.196212311994121018 NIM 202008012

76








Indikator :

Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif.


I. Tujuan Pembelajaran

Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat positif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat positif.


Pangkat bulat positif III. Model pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe

STAD

IV. Langkah – langkah Pembelajaran

Tahap

Pembelajaran

Kegiatan Waktu

(Menit)

Kegiatan Awal



3. Guru memberikan contoh masalah bilangan

7

77

berpangkat yang berhubungan dengan kehidupan sehari – hari Sebagai contoh

Saturnus salah satu planet yang mempunyai massa 5,69 × 1026 kg (jika tidak menggunakan bilangan berpangkat pasti kita akan sulit dalam menulis massa planet ini)



Kegiatan Inti

Guru membentuk kelompok siswa yang anggotanya terdiri dari 4 -5 siswa yang bersifat heterogen, baik dari segi kemampuan,jenis kelamin,dan sebagainya. Kemudian guru menyajikan materi yang akan dipelajari.

Eksplorasi


Bentuk – bentuk bilangan berpangkat

Menulis bentuk panjang bilangan berpangkat

a3 = a × a × a a4 = a × a × a × a a5 = a × a × a × a × a . . .

10

78

an = a × a × a … × a (sebanyak n kali)

Elaborasi

Guru membagikan materi dan bahan diskusi kelompok untuk dipelajari dan didiskusikan bersama – sama, dan saling membantu antar anggota lain dalam kelompoknya untuk menemukan sifat – sifat bentuk pangkat bulat positif (langkah – langkah ada pada Lks siswa)

Guru memfasilitasi siswa dalam memahami materi dan menyelesaikan tugas kelompok selama siswa berdiskusi seperti bertanya jawab untuk mengecek pemahaman siswa, memotivasi siswa,membantu siswa yang mengalami kesulitan, dan mengamati kerjasama tiap anggota dalam kelompok diskusi.

Salah satu kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompok didepan kelas dan guru bertindak sebagai fasilitator.

Guru memberikan kuis / tes individu .

Konfirmasi

Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat,

50

10

79

maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa;



10

Kegiatan Akhir

7. Memberikan informasi tentang materi pertemuan berikutnya.

8. Salam penutup

3


Sumber



Media


1. Tugas kelompok hal 16 2. Tugas individu

Sederhanakan bentuk pangkat berikut

𝑝4𝑞3

𝑝2𝑞2 2

dan 𝑎2𝑏5 4

Jawab

c. 𝑝4𝑞3

𝑝2𝑞2 2

= 𝑝8𝑞6

𝑝4𝑞4

= 𝑝8−4 𝑞6−4 = 𝑝4𝑞2

d. 𝑎2𝑏5 4 = 𝑎2 .4𝑏5.4 = 𝑎8𝑏20

80

Kalabahi,...Agustus 2012

Mengetahui

Guru Bidang studi, Peneliti David Dapa, S.Pd Imanuel Yosafat .H.M NIP.196212311994121018 NIM 202008012

81








Indikator :

Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif .

Menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol.

Pecahan bersusun Sifat – sifat bentuk akar


I. Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat

negatif dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat negatif . Agar siswa dapat menemukan sifat – sifat bentuk pangkat nol

dan menyelesaikan masalah bentuk pangkat nol. Agar siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan pecahan bersusun. Agar siswa dapat memahami sifat – sifat bentuk akar


Bentuk pangkat dan bentuk akar

III. Model Pembelajaran 1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe

STAD

82


Tahap

Pembelajaran

Kegiatan Waktu

(Menit)

Kegiatan Awal

Kegiatan Inti



3. Guru melakuakan apersepsi mengenai sifat – sifat bilangan berpangkat bulat bulat positif,operasi hitung bilangan pecahan, dan bilangan kuadrat


5. Guru memberikan penghargaan kepada kelompok melalui nilaipenghargaan berdasarkan perolehan nilai peningkatan individualdari nilai dasar ke nilai berikutnya setelah mereka melalui kegiatan kelompok


Guru membentuk kelompok siswa yang anggotanya terdiri dari 4 -5 siswa yang bersifat heterogen, baik dari segi kemampuan,jenis kelamin,budaya, dan sebagainya. Kemudian guru materi yang akan dipelajari.

Eksplorasi


Apa yang siswa ketahui

10

83

bilangan berpangkat bulat negatif dan nol

Apa yang siswa ketahui tentang pecahan bersusun


Elaborasi

Guru membagikan materi dan bahan diskusi kelompok untuk dipelajari dan didiskusikan bersama – sama, dan saling membantu antar anggota lain dalam kelompoknya untuk menemukan dan menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan sifat – sifat bilangan berpangkat negatif , berpangkat nol, dan mempelajari dan menyelesaikan masalah – masalah yang berhubungan dengan pecahan bersusun dan sifat – sifat bentuk akar

Guru memfasilitasi siswa dalam memahami materi dan menyelesaikan tugas kelompok selama siswa berdiskusi seperti bertanya jawab untuk mengecek pemahaman siswa, memotivasi siswa, membantu siswa yang mengalami kesulitan, dan mengamati kerjasama tiap anggota dalam kelompok diskusi.

Guru meminta salah satu kelompok siswa mempresentasikan hasil

10

50

84

Kegiatan Akhir

Penutup

diskusi kelompok didepan kelas dan guru bertindak sebagai fasilitator.


Konfirmasi





2. Salam penutup

10

7

3


Sumber


Wirodikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007

Media


1. Tugas kelompok hal 16 -17 2. Tugas individu

b. Sederhanakanlah (-9)0 dan -10080 x 1000

d. Nyatakan dalah bentuk positif setiap bentuk berikut 2 -5 dan −𝑥𝑦−3

85

e. Sederhanakanlah bentuk berikut 𝑏−2 − 𝑎−2

𝑎−1 + 𝑏−1

Jawab b. (-9)0 = 1

-10080 x 1000 = (-1) x (1) = -1

c. 2 -5 = 1

25 = 1

32

−𝑥𝑦−3 = −𝑥

𝑦3

d. 𝑏−2 – 𝑎−2

𝑎−1 + 𝑏−1 = 1

𝑏2 – 1

𝑎2

1

𝑎+

1

𝑏

= 𝑎2 − 𝑏2

𝑎2𝑏2

𝑎+𝑏

𝑎𝑏

= 𝑎2 − 𝑏2


𝑎+𝑏

= 𝑎+𝑏 (𝑎−𝑏 )


𝑎+𝑏

= 𝑎−𝑏

𝑎𝑏


86








Indikator :

Menyederhanakan bentuk akar dan melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar.


I. Tujuan Pembelajaran Agar siswa dapat menyederhanakan bentuk akar dan

melakukan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar.

II. Materi Pembelajaran Bentuk akar

III. Model pembelajaran

1. Model Pembelajaran : Model pembelajaran kooperatif tipe

STAD

87

IV. Langkah – langkah Pembelajaran

Tahap

Pembelajaran

Kegiatan Waktu

(Menit)

Kegiatan Awal



3. Guru melakukan apersepsi mengenai sifat – sifat bentuk akar dan operasi hitung aljabar.


5. Guru memberikan penghargaan kepada kelompok melalui nilaipenghargaan berdasarkan perolehan nilai peningkatan individualdari nilai dasar ke nilai berikutnya setelah mereka melalui kegiatan kelompok


7

Kegiatan Inti

Eksplorasi


Apa yang siswa ketahui tentang bentuk akar dan sifat – sifat bentuk akar?

Beberapa pemfaktoran dasar a( b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd a2 – b2 = (a +b)(a-b) a2± 2ab + b2 = (a ± b)2

10

88

Kegiatan Akhir

Elaborasi

Guru membagikan materi dan bahan diskusi kelompok untuk dipelajari dan didiskusikan bersama – sama, dan saling membantu antar anggota lain dalam kelompoknya untuk mempelajari menyederhanakan bentuk akar dengan menggunakan sifat – sifat bentuk akar, dan operasi aljabar yang melibatkan bentuk akar

Guru memfasilitasi siswa dalam memahami materi dan menyelesaikan tugas kelompok selama siswa berdiskusi seperti bertanya jawab untuk mengecek pemahaman siswa, memotivasi siswa,membantu siswa yang mengalami kesulitan, dan mengamati kerjasama tiap anggota dalam kelompok diskusi.

Guru meminta salah satu kelompok siswa mempresentasikan hasil diskusi kelompok didepan kelas dan guru bertindak sebagai fasilitator.


Konfirmasi

Guru memberikan umpan balik positif dan penguatan

55

10

89

Penutup

dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat, maupun hadiah terhadap keberhasilan siswa;




2. Salam penutup

5

3


Sumber


Wirodikromo,Sartono. Matematika SMA Kelas X . Jakarta : Erlanga,2007

Media


1. Tugas kelompok pada materi hal 17 -18 2. Tugas Individu

c. Sederhanakanlah bentuk berikut menjadi bentuk yang paling sederhana

16𝑥6𝑦4 dan 108 d. Selesaikanlah operasi aljabar berikut

8 2 + 6 2 , 3 ( 6 + 2 3 ) , dan 96

27

90

Kunci jawaban

c. 16𝑥6𝑥4 = 4𝑥3 𝑥2 c. 96

27 =

16 .6

9.3

108 = 36 .3 = 4

3

6

3

= 6 3 = 4

3 2

d. 8 2 + 6 2 = (8+ 6) 2

= 14 2

3 ( 6 + 2 3 ) = 18 + 9

= 9.2 + 9

= 3 2 +3


91

Lampiran 7 Surat Ijin penelitian Lampiran 8 Surat Keterangan Penelitian

92

Lampiran 7 Surat keterangan penelitian

93

Lampiran 9. Dokumentasi Kegiatan

94

Lampiran 10. Hasil Belajar Siswa Kelas XA

NO

Nilai NO

Nilai

Kode siswa

UN posttest Kode siswa

UN Posttest

1 A1 4,75 8,09 33 A33 6,5 5,71

2 A2 8 5,23 34 A34 5,75 4,76

3 A3 4 7,14 35 A35 5,75 5,23

4 A4 6,25 4,76

5 A5 5,75 10

6 A6 4,5 3,8

7 A7 8 5,23

8 A8 4,5 5,71

9 A9 7,5 5,71

10 A10 5,5 6,19

11 A11 5,75 3,8

12 A12 7,25 5,23

13 A13 5,25 9,52

14 A14 5,5 6,66

15 A15 6 7,61

16 A16 4,25 5,71

17 A17 5 9,52

18 A18 3,75 7,14

19 A19 5 6,66

20 A20 6 10

21 A21 5,75 8,09

22 A22 9 8,57

23 A23 4 3,8

24 A24 7 5,71

25 A25 6,5 10

26 A26 7,75 8,09

27 A27 4,25 5,23

28 A28 3,25 6,66

29 A29 5,25 6,19

30 A30 5,25 10

31 A31 6 9,52

32 A32 6,5 5,71

95

Lampiran 11 Hasil Belajar Siswa Kelas XC

NO

Nilai

Kode siswa

UN Posttest

1 C1 5,75 9,04

2 C2 4,75 4,76

3 C3 6,75 4,76

4 C4 6 6,19

5 C5 5,5 7,14

6 C6 4,5 9,52

7 C7 5,75 2,85

8 C8 7,75 10

9 C9 7,25 6,19

10 C10 4 9,52

11 C11 3,75 5,71

12 C12 8,75 9,52

13 C13 7 5,23

14 C14 5,75 4,76

15 C15 4 3,8

16 C16 3,75 8,09

17 C17 9,25 9,52

18 C18 6,5 6,19

19 C19 5,75 5,71

20 C20 8,25 8,09

21 C21 7,8 5,71

22 C22 6,75 8,57

23 C23 7,75 7,14

24 C24 5,75 7,14

25 C25 9,25 5,23

26 C26 4,75 10

27 C27 6,75 10

28 C28 7,5 9,04

29 C29 6 9,52

30 C30 7,5 3,8

96

Lampiran 12 Hasil Tes Kelas Eksperimen

Sub Yek

ITEM SOAL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

A2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0

A3 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1

A4 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0

A5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A6 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0

A7 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0

A8 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

A9 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0

A10 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

A11 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A12 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1

A13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A14 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0

A15 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0

A16 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1

A17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A18 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1

A19 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1

A20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A21 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

A22 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1

A23 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

A24 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1

A25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A26 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

A27 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1

A28 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0

A29 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1

A30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A31 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

A32 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1

A33 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

97

Sub Yek

ITEM SOAL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

A34 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0

A35 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0

Sub yek

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

Total SKOR

A1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 24

A2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 19

A3 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 21

A4 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 15

A5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31

A6 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 15

A7 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 16

A8 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 16

A9 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 16

A10

1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 20

A11

0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 16

A12

1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 17

A13

0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 27

A14

1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 21

A15

1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 24

A16

0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 20

A17

1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 29

A18

0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 19

A19

0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 18

A20

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 29

A21

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 22

A22

1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 25

A23

1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 15

98

Sub yek

Item Soal Tota

l skor

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

A24

1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 19

A25

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31

A26

1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 25

A27

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 18

A28

1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 21

A29

0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 22

A30

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31

A31

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 28

A32

0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 20

A33

0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 18

A34

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 17

A35

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 17

99

Lampiran 13 Hasil Tes Kelas Kelas Kontrol

Sub Yek

Item Soal

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

C1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1

C2 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1

C3 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0

C4 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0

C5 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1

C6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C7 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

C8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C9 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

C10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C11 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1

C12 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1

C13 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1

C14 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1

C15 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0

C16 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

C17 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C18 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1

C19 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

C20 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

C21 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1

C22 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1

C23 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1

C24 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1

C25 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1

C26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1

C29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

C30 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0

100

S u b y e k

Item Soal

To tal sk or

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

C1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 29

C2 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 16

C3 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 18

C4 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 18

C5 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 22

C6 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 29

C7 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 14

C8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 30

C9 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 20

C10 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 27

C11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 20

C12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 25

C13 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 15

C14 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 14

C15 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 15

C16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 22

C17 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 26

C18 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 20

C19 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 18

C20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 22

C21 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 20

C22 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 25

C23 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 22

C24 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 19

C25 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 18

C26 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31

C27 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 29

C28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 29

C29 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 27

C30 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 15

101

Materi

BENTUK PANGKAT DAN

AKAR

WE MATH𝑛

IMANUEL YOSAFAT

HM

102

A. Definisi pangkat bulat positif

Definisi bilangan berpangkat bulat positif telah anda pelajari di

kelas IX. Definisinya adalah sebagai berikut.

Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat menuliskan

suatu perkalian berulang dengan lebih praktis, seperti ditunjukan dalam

Contoh soal berikut.

Contoh soal 1.

Tuliskan perkalian berulang berikut dalam notasi pangkat

a. 7 × 7 × 7× 7× 7 c. 3 × 3 × 𝑥 × 𝑥 × 𝑥

b. 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 d. (10 × 𝑡) (10 × 𝑡) (10 × 𝑡)

Jawab

a. 7 × 7 × 7× 7× 7 = 75 lima faktor

b. 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 = 𝑎4 Empat faktor

c. 3 × 3 × 𝑥 × 𝑥 × 𝑥 = 3𝑥3

dua faktor tiga faktor

d. (10 × 𝑡) (10 × 𝑡) (10 × 𝑡) = (10 × 𝑡) 3

tiga faktor

Untuk a bilangan real dan n bilangan bulat positif berlaku 𝑎𝑛 = 𝛼 × 𝛼 × 𝛼 × … .𝛼

n faktor

𝑎𝑛 dibaca “ a pangkat n” disebut bilangan berpangkat (bilangan eksponen).a disebut bilangan pokok ( basis ) dan n disebut pangkat (eksponen)

103

Latihan soal 1 kerjakan soal berikut dalam buku latihan anda

Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat

a. 25 c. ( 4w)3 e. (-1)3

b. 4w3 d. 32 +42 f. (-1)4

1. Sifat – sifat bilangan berpangkat positif

Untuk mengetahui sifat – sifat bilangan berpangkat bulat positif lakukanlah kegiatan berikut .

Untuk mengetahui sifat – sifat bilangan bulat berikut, lakukanlah

kegiatan berikut.

Kegiatan 1.1

Lakukan kegiatan ini secara berpasangan di buku latihan. Kemudian kemukakan

hasilnya didepan kelas.

1. Bagaimana sifat perkalian bilangan berpangkat? Untuk mengetahuinya,

hitunglah a5 x a

3 .

Tulis a5 dan a

3 masing – masing dalam faktor a

a5 x a

3 = a x a x .. x a x a x …x a

….faktor … faktor

a5 x a

3 = a x a x.. x a

(… +….) faktor ……(1)

Hitung banyaknya faktor a dalam ruas kanan persamaan (1). Kemudian

, tulislah dalam bentuk an . jadi, a

5 x a

3 = a

…

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu perhatikan

perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real real dan m,n bilangan

bulat.

am

x an = a x a x .. x a x a xa …x a

m faktor n faktor

am

x an = a x a x .. x a

(… +….) faktor

= a …+….

Jadi, am

x an = a

…+….

104

2. Bagaimana sifat pembagian bilagan berpangkat ? untuk mengetahuinya,

hitunglah 𝑎7

𝑎3, untuk a≠0

Tulis a7 dan a

3 masing – masing dalam faktor a.

…..faktor 3 faktor ..faktor

𝑎7

𝑎3 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎𝑥…𝑎

𝑎𝑥 ..𝑥𝑎 =

𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 (𝑎𝑥𝑎𝑥 …𝑎)

(𝑎𝑥 ..𝑥𝑎 ) …..(2)

3 faktor 3 faktor

Sederhanakanlah faktor yang sama pada pembilang dan penyebut dalam ruas kanan persamaan (2). Hitung banyak faktor a yang tersisa dalam bentuk a

n .

Jadi 𝑎7

𝑎3 = a… - …

= a …

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, lakukanlah perkalian berikut dengan a sebarang bilanagn real, a ≠0, dan m,n bilangan bulat dengan m > n.

m faktor n faktor ….faktor

𝑎m

𝑎n = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎𝑥…𝑎

𝑎𝑥 ..𝑥𝑎 =

𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 (𝑎𝑥𝑎𝑥 …𝑎)

(𝑎𝑥 ..𝑥𝑎 ) …..(2)

n faktor n faktor

= a x a x .. x a = a…-…

(… -….) faktor

Jadi 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = a

… - … = a

… , m > n

3. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat? Untuk

mengetahuinya, hitung (ab)5.

Tulis (ab)5 = (ab)x(ab)x…x(ab)

…… faktor

Kumpulkan faktor a dan faktor b dalam ruas kanan secara tersendiri . (ab)

5 = axax…xa x bxbx….xb …..(3).

… faktor … faktor

105

Hitung masing – masing banyak faktor a dan banyak faktor b dalam ruas kanan persamaan (3). Kemudian, tulislah masing masing dalam bentuk a

n dan b

n.

(ab)

5 = a

…. x b

…

Apakah sifat tersebut berlaku secara umum? Untuk itu, perhatikan perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real dan n bilangan bulat. (a x b)

n = (a x b) x (a x b) x …..x (a x b)

......faktor

= axax…xa x b x b x….x b = a….

x b…

… faktor … faktor

Jadi ( a x b)n = a

…. x b

…

4. Bagaimana sifat pemangkatan bentuk pecahan? Untuk

mengetahuinya, (𝑎

𝑏)5, untuk b ≠ 0.

Tulis dalam faktor 𝑎

𝑏 ,

(𝑎

𝑏)5 =

𝑎

𝑏 x

𝑎

𝑏 x …x

𝑎

𝑏

……..faktor

Kumpulkan faktor a pada pembilang dan faktor b pada penyebut secara tersendiri. ……..faktor

(𝑎

𝑏)5 =

𝑎 𝑥 𝑎𝑥𝑎 …𝑥𝑎

𝑏 𝑥 𝑏 𝑥 ..𝑥𝑏 =

𝑎…

b… ……(4)

……..faktor

Hitunglah masing – masing banyak faktor a pada pembilang

dan banyak faktor b pada penyebut dalam persamaan (4).

Kemudian, tulislah masing – masing dalam bentuk an dan

bn.

(𝑎

𝑏)5 =

𝑎…

b…


perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real, b ≠ 0, dan n

bilangan bulat.

106

……..faktor

(𝑎

𝑏)n=

𝑎

𝑏 x

𝑎

𝑏 x …x

𝑎

𝑏 =

𝑎 𝑥 𝑎𝑥𝑎 …𝑥𝑎

𝑏 𝑥 𝑏 𝑥 ..𝑥𝑏 =

𝑎…

b… ……(4)

……..faktor ....faktor

Jadi (𝑎

𝑏)𝑛 =

𝑎…

b… , b ≠ 0.

5. Bagaimana sifat pemangkatan bilangan berpangkat?

Untuk mengetahuinya,hitunglah susah gimana sih??? td cm

becanda doang???

Tulis (𝑎2)5 dalam faktor (a)2.

(𝑎2)5 = (a)2 x (a)2 x ….x (a)2

5 faktor

= (a x a ) (a x a )...... (a x a ) ….(5)

.....…x…..faktor

Hitung banyak faktor a dalam ruas kanan persamaan

(5). Kemudian,tulislah dalam bentuk an

Jadi, (𝑎2)5 = a…..


perkalian berikut dengan a sebarang bilangan real dan m,n bilangan

bulat.

(𝑎m )n = (a)m

x (a)m

x ….x (a)m

n faktor

= (a x .. x a) x (ax .. x a) x …x ( a x .. x a) ….(5)

…..faktor …..faktor …..faktor

…..faktor

= (a x a x .. x a) = a…x….

……x…..faktor

Jadi (𝑎m )n = a…x….

107

Contoh soal 2 (tentukan operasi dari bilangan - bilangan berikut

1. 43 x 47 3. 5(x2)3 5. (3x2

y)3 , y≠0

2. 57

53 4. (3a3b2)4

Jawab:

1. 43 x 47 = 4 3+7 = 410 sifat 1

2. 5𝟕

53 = 5 7-3 = 54 sifat 2

3. 5(x2)3 = 5x2x3 = 5x6 sifat 5

4. (3a3b2)4 = 34 x (𝑎3)4 x (𝑏2)4 sifat 3

= 81 x a3x4 x b2x4 = 81a12b8 sifat 5

5. (3x2

y)3 =

(3x2)3

y3 = 33(x2)3

y3 = 27x6

y3 sifat 4 , sifat 3, dan sifat 5

108

2. Sifat Bilangan berpangkat bulat negatif .

Anda telah memahami definisi bilangan berpangkat bulat positif

bagaimana dengan definisi bilangan berpangkat bulat negatif? Untuk

memahaminya, lakukanlah Kegiatan 1.2 berikut.

Kegiatan 1.2

Lakukanlah kegiatan ini secara perseorangan di buku latihan anda.

1. Perhatikan sifat 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = a

m-n untuk a ≠ 0 dan m ≥ n.

2. Sifat pada Langkah 1 hanya berlaku untuk m ≥ n jika ditetapkan

bilangan bilangan m dan n dengan m < n

misalnya m = 5 dan n = 7 maka sifat pada langkah 1 memberikan : 𝑎5

𝑎7 = a …-…..

= a… …..(1)

Sekarang, hitunglah 𝑎5

𝑎7 dengan menyatakan a5 dan a

7 dalam

perkalian berulang a

… faktor

3. 𝑎5

𝑎7 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 …𝑥𝑎

𝑎 𝑥𝑎𝑥 ..𝑥𝑎

……faktor

Sederhanakanlah faktor yang sama pada pembilang dan penyebut

diruas kanan dan tulis hasilnya

𝑎5

𝑎7 = 1

𝑎…. …..(2)

4. Ruas kiri persamaan (1) dan (2) adalah sama sehingga Anda dapat

menyamakan ruas kananya dan diperoleh a… =

1

𝑎…. ….(3)

5. Ulangi Langkah 2 sampai langkah 4 untuk nilain m dan n lainya dengan

m < n. Perhatikan persamaan (3) yang anda peroleh.

109

Dengan melakukan kegiatan 1.2,dapatkah anda memberikan

dugaan definisi bilangan berpangkat bulat negatif ? apakah dugaan

anda sama dengan kesimpulan berikut:

Coba kemukakan definisi tersebut dalam kata – kata anda sendiri

berikan hasilnya keteman anda untuk dikomentari.

Contoh soal 3 Nyatakan bilangan berpangkat bulat negatif berikut

ke bilangan berpangkat bulat positif kemudian, tentukan hasil

pemangkatannya.

1. 3-4 b. (-2)-5 c. 1

4−3

Jawab

1. 3-4 = 1

34 = 1

3 x 3 x 3 x 3 =

1

81

3-4 ≠ -34 ≠ (-4)(3)

2. (-2)-5 = 1

(−2)5 = 1

−2 x −2 x −2 x −2 x(−2) = −

1

32

3. 1

4−3 = 43 = 4 x 4 x 4 x 4 = 64

Tugas

Jika a bilangan real, a dan n bilangan positif maka

a-n = 1

𝑎𝑛 atau an = 1

𝑎−𝑛

Perhatikan sifat 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 , a ≠ 0. Sifat tersebut berlaku untuk m

> n. Jika diambil m = n, apa yang anda peroleh? Subsitusikan m = n

pada kedua ruas persamaan tersebut ( ganti m dengan n).

kemudian, sederhanakan kedua ruas.

110

Akhirnya, anda dapat merangkum sifat – sifat yang berlaku pada

bilangan berpangkat bulat, baik pangkat bilangan bulat, baik pangkat

bilangan bulat positif , nol maupun negatif, seperti berikut.

3. Pecahan bersusun

Suatu pecahan yang memiliki pembilang atau penyebut

berbentuk pecahan (memuat pangkat negatif) disebut pecahan

bersusun. Berikut ini contoh pecahan bersusun.

𝑚−1+1

𝑚+1 ,

𝑚−2−1

𝑚−2+1 , dan

𝑥−1+𝑦−1

𝑥+𝑦 . Pecahan bersusun ini dapat

dijadikan pecahan sederhana dengan menggunakan langkah – langkah

berikut.

Anda tentu saja mengingat kembali cara menyamakan penyebut

dua bilangan pecahan. Salah satu cara menyamakan penyebut adalah

dengan mengalikan kedua penyebutnya seperti berikut.

Untuk a , b bilangan real, dan m ,n bilangan bulat, berlaku:

1. am x an = a m+ n 3. ( a x b)n = an. x bm

2. 𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 4. (𝑎

𝑏)𝑛 =

𝑎n

bn ,(b≠0)

5. (𝑎m )n = am x n 6. a0 = 1 , (a ≠ 0)

7. a-n = 1

𝑎𝑛 8. an = 1

𝑎−𝑛

1. Nyatakan semua pangkat negatif pada pecahan bersusun

menjadi pangkat positif.

2. Samakan penyebut dari pecahan pembilang dan juga pecahan

penyebut.

3. Sederhanakan pecahan pembilang dan pecahan penyebut

sehingga pecahan bersusun menjadi pecahan sederhana.

111

𝑎

𝑏 +

𝑐

𝑑 =

𝑎𝑑

𝑏𝑑+

𝑐𝑏

𝑏𝑑 Menyamakan penyebut

= 𝑎𝑑+𝑐𝑏

𝑏𝑑

Contoh soal

a. 𝑚−1+1

𝑚+1 c.

𝑥−1+ 𝑦−1

𝑥 +𝑦 ,

b. 𝑚−2−1

𝑚−1+1 , d.

𝑥𝑦−2− 𝑦𝑥−2

𝑦−1 − 𝑥−1 ,

Jawab

a. m−1+1

m+1 =

1

𝑚+ 1

𝑚+1

= 1

𝑚+

𝑚

𝑚

𝑚+1

= 1+𝑚

𝑚

𝑚+1 =

m+1

m ×

1

m+1 =

1

m

b. 𝑚−2−1

𝑚−1+1 =

1

𝑚2 − 1

1

𝑚+1

= 1

𝑚2 − 𝑚2

𝑚21

𝑚 +

𝑚

𝑚

= 1−𝑚2

𝑚2

1+𝑚

𝑚 =

1− m2

m2 × m

1+m

= 𝟏+𝐦 (𝟏−𝐦)

𝐦(𝟏+𝐦) =

𝟏−𝐦

𝐦

c. 𝑥−1+ 𝑦−1

𝑥 +𝑦 =

1

x+

1

y

𝑥+𝑦 =

𝑦

𝑥𝑦+

𝑥

𝑥𝑦

𝑥+𝑦

=

𝑦+𝑥

𝑥𝑦

𝑥+𝑦 =

x+y

xy ×

1

𝑥+𝑦 =

1

xy

112

d. 𝑥𝑦−2− 𝑦𝑥−2

𝑦−1 − 𝑥−1 =

𝑥

𝑦2−𝑦

𝑥2

1

𝑦−

1

𝑥

=

𝑥𝑥2

𝑦2𝑥2−𝑦𝑦2

𝑦2𝑥2

𝑥

𝑦𝑥−

𝑦

𝑦𝑥

=

𝑥3− 𝑦3

𝑦2𝑥2

𝑥−𝑦

𝑦𝑥

= 𝑥3− 𝑦3

𝑦2𝑥2 ×𝑦𝑥

𝑥−𝑦

= 𝑥 –𝑦 (𝑥2+ 𝑥𝑦+ 𝑦2)

𝑥𝑦 ( 𝑥−𝑦)

= (𝑥2+ 𝑥𝑦+ 𝑦2)

𝑥𝑦

B. Bentuk akar dan PANGKAT PECAHAN

Dikelas VII, anda telah mempelajari Teorema Phytagoras.

Teorema tersebut menyatakan bahwa dalam segitiga siku – siku,

kuadrat dari panjang sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat dari

panjang kedua sisi siku – sikunya. Untuk segitiga siku – siku pada

Gambar 1.1, berlaku c2 = a2 + b2

Sekarang perhatikan Gambar 1.2 . Berapakah panjang sisi

miring ( hipotenusa) dari segitiga siku – siku pada gambar 1.2? Dengan

menggunakan teorema phytagoras, diperoleh

c2 = a2 + b2 = c2 = 12 + 12 = 2 c= ? b = 1

C = 2

a= 1

Gambar 1.2

Sisi miring c

Gambar 1.1

Sisi siku – siku di a

Sisi siku – siku di b

113

Tampak bahwa panjang hipotenusa dinyatakan dalam bentuk

akar. Jika anda hitung nilai 2 dengan menggunakan kalkulator, diperoleh

2 = 1,414213562...

Sekarang, hitunglah nilai dari suatu bilangan pecahan misalnya 1

3 ,

dengan kalkulator, diperoleh 1

3 = 0,33333333...

Dapatkah anda melihat perbedaan antara bilangan pecahan 1

3

dan bentuk akar 2 ketika keduanya dinyatakan dalam desimal?

Tampak bahwa 1

3 dapat dinyatakan dengan desimal berulang (angka 3

di belakang tanda koma selalu betrulang). Adapun bentuk akar 2

tidak dapat dinyatakan dalam desimal berulang, Bilangan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal berulang disebut

bilangan rasional, sedangkan bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuk pecahan atau desimal berulang disebut bilangan

irasional ( tak rasional ). Jadi, bilangan -4, - 3

5 , 0, 1,

2

3 ,

2

7 =

0,285714285714…,1

3 = 0,333333… termasuk bilangan irasional,

sedangkan bentuk akar seperti 2 , 3 , 93

adalah contoh bilangan

irasional. Contoh bilangan irasional selain bentuk akar adalah π =

3,141592654…, log 2= 0,201029995…, dan log 5 = 0,698970004…

1. PEMAHAMAN BENTUK AKAR

Dalam subbab ini , anda bekerja dengan pernyataan bentuk akar

𝑥n

dengan n bilangan bulat yang lebih besar dari 1. Adapun n disebut

indeks dan notasi disebut tanda akar. Notasi untuk akar pangkat tiga

ditulis 𝑥3

sedangkan notasi untuk akar kuadrat 𝑥2

atau lebih sering

disingkat dengan 𝑥. Selanjutnya, anda akan mempelajari tentang

bentuk akar kuadrat. Oleh karena itu, jika disebut bentuk akar, yang

dimaksud adalah bentuk akar kuadrat.

Apa definisi bentuk akar kuadrat? Bentuk akar (kuadrat) adalah

jika bilangan yang terdapat dalam tanda bukan bilangan kuadrat.

Berdasarkan definisi tersebut, manakah dari bilangan – bilangan

berikut yang merupakan bentuk akar: 2 , 3, 4 , 9 , 13 dan 6.

114

2. SIFAT – SIFAT BENTUK AKAR

Seperti halnya bilangan berpangkat bulat, bentuk akarpun

memiliki sifat – sifat tertentu. Anda hanya akan menyebutkan sifat –

sifat ini tanpa menurunkannya. Sifat – sifat bentuk akar ini akan

memudahkan Anda dalam melakukan operasi aljabar yang melibatkan

bentuk akar.

Dengan menggunakan sifat – sifat tersebut, Anda dapat menemukan

apakah suatu bilangan yang terdapat di dalam tanda akar merupakan

bentuk akar atau bukan, seperti pada contoh soal 4. Berikut ini.

Contoh soal 4

(Lengkapilah bentuk dibawah ini dengan menggunakan sifat – sifat

bentuk akar dan tentukan bentuk tersebut merupakan bentuk akar atau

bukan merupakan bentuk akar )

a. 8 b. 9 c. 16

25 d. 45

Jawab

a. 8 = … × … = … . . x … . . . = .... … . adalah ..........

b. 16 = ..... adalah ..........

c. 16

25 =

…...

…... =

…..

….. adalah ..........

d. 45 = … . .× …… = …… x …… .

= ..... … . . adalah ..........

1. 𝑎2 = a 3. 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏 ; a ≥ 0 dan b

2. 𝑎 × 𝑏 = a × b; a ≥ 0 dan b

115

3. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Untuk memudahkan penggunaan bentuk akar dalam operasi

aljabar, sebaiknya bentuk akar dituliskan dalam bentuk yang paling

sederhana penulisan akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat –

syarat tertentu . Syarat – syarat tersebut adalah sebagai berikut.

a) Tidak memuat faktor yang pangkatnya lebih tinggi dari satu,

contohnya

𝑥 , 𝑥 > 0 bentuk paling sederhana

𝑥3 dan 𝑥5 bukan bentuk sederhana

b) Tidak ada bentuk akar pada penyebutnya, contohnya

1

𝑥 bukan bentuk sederhana

𝑥

𝑥 bentuk paling sederhana

c) Tidak mengandung pecahan contohnya

5

2 bukan bentuk sederhana

10

2 bentuk paling sederhana

Contoh soal 5 (Agar dapat memahami menyederhanakan bentuk akar kerjakan contoh soal)

Isilah titik – titik dibawah ini!

a. 12 c. 48𝑥4y13 𝑦 ≥ 0

b. 8𝑥3 ; 𝑥 ≥ 0 d. (7𝑥 + 5)11 , 7𝑥 + 5 ≥ 0

Jawab

a. 12 = … . .× …… = … . . x … . . = ...... … . .

116

b. 8𝑥3 = 4 × … . .× … . .2× … .

= … . . 𝑥2 × … . 𝑥

= …… ……

c. 48𝑥4y13 = …… × … . 𝑥4 × (……1 × …… .12 )

= …… y12 × … . . .𝑦

= ..... 3𝑦

d. (7𝑥 + 5)11 = (… . . +⋯ . . )…. × (… . +⋯ )…

= (… . . +⋯ . . )…. × (… . . +⋯ )….

= (… . . +⋯ . . )….. … . . +⋯

4. OPERASI ALJABAR BENTUK AKAR

a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Di kelas VIII, anda telah mempelajari bahwa bentuk aljabar

hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada variabel – variabel

yang sejenis. Sebagai contoh

3a + 2a = (3+2)a = 5a

7b – 3b = (7 -3)b = 7b

3a + 2b Tidak dapat dijumlahkan karena variabel a dan b

tidak sejenis

Begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk

akar . Variabel pada bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangi jika

sejenis.

Jika p,q Є R dan a ≥ 0 maka

p 𝑎 + q 𝑎 = (p + q) 𝑎

p 𝑎 - q 𝑎 = (p - q) 𝑎

117

Contoh

3 2 + 4 2 = (..... + ......) … . . = … . . … . .

2 5 + 3 2 =..... keterangan ........................

7 5 - 2 5 + 5 = (......... -....... + ...........) … . . = … . . … . .

2 + 3 - 5 2 + 2 3= ( … . . - … . . … . . ) + ( … . . + . . … . .)

= (… .. -… ..) … . . + (… ..+… ..) … . .

= … . . … . . + … . . … . .

b. Perkalian bentuk akar

Sebelumnya telah anda ketahui bahwa 𝑎 x b = 𝑎 x b.

sifat ini tentu dapat dibalik menjadi 𝑎 x b = 𝑎 x b

Dengan definisi tersebut, anda dapat menghitung dan menyederhanakan perkalian berikut.

Contoh :

2 x 3 = … . .× … . . = … . .

2 2 x 5 3 = (… .. x… ..) … . .× … . . = … . . … . .

8 x 10 = … . .× … . . = … . . = … . .× … . .

= … . . x … . . = … . . … . .

Untuk p,q Є R , a ≥ 0, dan b ≥ 0 berlaku

p 𝑎 x q 𝑏 = pq 𝑎 × 𝑏

118

c. Pembagian bentuk akar

Sebelumnya, telah anda ketahui bahwa 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏 ; a ≥ 0 dan

b≥ 0 ini tentu saja dapat di balik menjadi 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏

Contoh

18

6=

18

6 = 3

6 40

3 5=

6

3

40

5 = 2 8 = 2 4 × 2 = 2 ( 4 x 2 ) = 2

(2 2) = 4 2

BENTUK AKAR DAN PANGKAT

Latihan Uji

Kompetensi

Bentuk pangkat positif

1. Selesaikanlah dengan menulis faktor – faktor perkaliannya

a. 53 d. ( 1

2) 3

b. –(7)3 h. (- 1

3 )3

c. (-3)4 i. (- 1

5 )0

2. Sederhanakanlah

a. (3x2)4

b. 3(x2)4

c. (5a2b)6 x a3b4

d. (2a3b2c4) x 2(ab)2

Untuk a,b Є R , a ≥ 0, dan b ≥ 0 berlaku 𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏

119

3. Selesaikanlah

a. (𝑥4

𝑥3)3 c. 6𝑥8𝑦11

2𝑥2𝑦3

b. (𝑥7𝑦4

𝑥𝑦3 )3 d. 12𝑎6𝑏5 × 𝑎7 𝑏12

3𝑎7𝑏10 ×4𝑎2𝑏7

Bentuk pangkat negatif

4. Tulislah bentuk – bentuk dibawah ini dalam bentuk pangkat positif

a. 2-6 d. 5a-8

b. 3-5 e. a-2b-3

c. 5-8 f. 4

𝑎−2

5. Tulislah bentuk – bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat

negatif!

a. ( p +q)3

b. (𝑥+𝑦)

(𝑥+𝑦)5

c. 1

𝑥3+𝑦3

6. Sederhanakanlah dan tulislah tanpa pangkat negatif

a. 𝑥−2𝑦−4𝑧2

𝑥𝑦−1𝑧−3

b. 𝑥3𝑏−3

𝑥−2𝑏−2 −1

−2

Bilangan berpangkat nol

7. Sederhanakanlah

a. 50 d. (𝑥2 − 2𝑥 − 6)0

b. 2 x (𝑎 + 2)0 e. -5(3

4)0

c. 2 + 𝑎 + 20

120

Pecahan bersusun

8. Sederhanakanlah bentuk – bentuk berikut dalam bentuk pangkat

bulat positif .

a. 𝑥−2+ 𝑦−1

𝑥−1 + 𝑦−2

b. 𝑥−2 + 𝑥−1 + 𝑥0

𝑥−4 + 𝑥−3 + 𝑥−2

Sifat – sifat bentuk akar

9. Sederhanakan bentuk berikut menjadi bentuk yang paling

sederhana.

a. 32 e. 44𝑎7𝑏5𝑐5

b. 28 d. ( 5𝑎 + 7𝑏)11

c. 80

d. 7𝑥7

Operasi aljabar bentuk akar

10. Nyatakan bentuk penjumlahan dan pengurangan di bawah ini

dalam bentuk akar yang paling sederhana.

a. 2 3 + 4 3 c. 27 + 48 - 12

b. 8 5 - 5 5 d. 2 150 - 5 54 - 7 96

soal aplikasi bentuk akar

11. sebuah kubus dengan panjang sisi 10 cm tentukan panjang AG

repository.uksw.edu · Item-Total Statistics Scale Mean if Item Deleted Scale Variance if Item...

Documents

Transcript of repository.uksw.edu · Item-Total Statistics Scale Mean if Item Deleted Scale Variance if Item...