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ISSN 0185-6200

MATHESIS

Enseñanza, pero no sólo aquella que se da, sino también aquella que se busca.

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MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

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Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM

MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

FINALIDAD Y NATURALEZA: Mathesis busca promover la creación de nuevo conocimiento que sea relevante —a través de la publicación de ensayos de investigación original y de proveer un foro de discusión abierta— en historia y filosofía de las ideas matemáticas. El enfoque multidisciplinario, internacional y multiétnico propone estrechar las relaciones académicas de un espectro muy amplio de colegas provenientes de una gran variedad de formaciones sociales. Mathesis no está comprometida con escuela o método alguno. No define una perspectiva, sino una disciplina. Mathesis está abierta a todos los puntos de vista, a todos los enfoques, a todos los métodos y a todos los aspectos de la historia y filosofía de las ideas matemáticas. Mathesis subyace dentro de un marco conceptual lo más amplio posible que contempla el estudio de la historia de las ideas matemáticas en todos los países del mundo (tanto las matemáticas occidentales tradicionales como las no tradicionales) y en todas las épocas (desde el origen del hombre hasta nuestros días), incluyendo etnomatemáticas, arqueoastronomía, matemáticas puras y aplicadas (y el desarrollo de los usos de ambas), escuelas de pensamiento, estilos matemáticos, estadística, probabilidad, enseñanza, ciencias actuariales, investigación de operaciones, ciencias de la computación (incluyendo política administrativa, ‘hardware’ —desde el ábaco hasta la computadora— y ‘software’ —e.g., algoritmos, lenguaje, notación y tablas—), cibernética, comunicación de las matemáticas (sistemas de información y bibliografías, entre otras), biografías de matemáticos, historiadores y filósofos, organizaciones e instituciones, historiografía, y cualquier aspecto que ilumine el desarrollo de las ideas matemáticas dentro de un contexto intelectual, cultural, político, económico y social. Desde el punto de vista filosófico, Mathesis comprende el estudio de la lógica, del método y el análisis de los conceptos matemáticos. Por su carácter multidisciplinario, Mathesis contempla el estudio de la historia y la filosofía de otras disciplinas —e.g., ciencias del hombre (antropología, psicología, pedagogía, entre otras), ciencias exactas (física, astronomía, química, y demás), ciencias naturales (biología, medicina, etc.), ciencias sociales (sociología, teoría política, relaciones internacionales, entre otras), humanidades (filosofía, leyes, etc.) y artes (literatura, pintura y escultura, y demás)— cuando su análisis, ya sea histórico o filosófico, arroje nueva luz sobre el entendimiento de los conceptos que conforman el ámbito matemático. En breve, a través de Mathesis se intenta estrechar más el apoyo mutuo entre los aspectos humanísticos de las ideas matemáticas y toda disciplina académica en la búsqueda común por una mejor comprensión del mundo que nos rodea. La revista se publica, primordialmente, en lengua vernácula, como se acostumbra en la disciplina, en un intento por profesionalizar estos estudios en los países de habla española. PERIODICIDAD: la revista se publica dos veces al año, en los meses de junio y diciembre. Cada volumen anual contiene un número aproximado de quinientas páginas.

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Información bibliográfica. Ofrece a los lectores la información bibliográfica que les permita mantenerse al día en el conocimiento de las más recientes publicaciones.

ARTÍCULOS José A. Cervera La adaptación de las matemáticas europeas en China: el Chou Suan de Giacomo Rho . . . . . . . . . 219 - 238 Francisco Omar Escamilla González Origen de los libros de matemáticas en el Real Seminario de Minería de México: Análisis de un inventario de 1799 . . . . 239 - 280 Pilar Castrillo Criado El concepto de consecuencia lógica en Bernard Bolzano . . . . . . . . . 281 - 297 FUENTES Vitruvio. Compendio de los diez libros de Arquitectura (segunda parte). . . . . . 299 - 345 PROYECTOS DE TRABAJO Roberto Martínez Villa. Historia de la teoría de representaciones, sus inicios . . 347 - 360 RESEÑAS

Eli Maor. The Pythagorean Theorem: A 4,000 - year history por Victor J. Katz . . . . . . . . . . 361 - 367

Jean Høyrup. Jacopo da Firenze’s Tractatus Algorismi and Early Italian Abbacus Culture por Celina A. Lertora . . . . . . . . 369 - 372

María Manzano y Antonia Huertas Lógica para principiantes por Atocha Aliseda . . . . . . . . . 373 - 378

INFORMACIÓN PARA AUTORES

Mathesis III 32 (2008) 219 - 238. Impreso en México. Derechos reservados © 2008 por UNAM (ISSN 0185-6200)

La adaptación de las matemáticas europeas en China:

el Chou Suan de Giacomo Rho

José A. Cervera

RESUMEN Los Jesuitas llegaron a China en los últimos años del siglo XVI. El tra-bajo de la Compañía de Jesús en China es bien conocido, y puede ser considerado como un ejemplo de la acomodación de los misioneros a una cultura muy diferente. Uno de los puntos principales de este proce-so de acomodación fue la ciencia. Me enfocaré en uno de los científicos jesuitas más importantes de los últimos años de la dinastía Ming, Gia-como Rho (1592-1638), y en su tratado matemático Chou Suan.

El Chou Suan [Cálculo con varillas] fue escrito por Rho en 1628, y fue incluido en el Xiyang Xinfa Lishu [Libro para el calendario según los nuevos métodos occidentales], una colección de tratados europeos de matemáticas y astronomía traducidos al chino y publicados en 1645 por Adam Schall von Bell (1592-1666). El Chou Suan es la adaptación de la Rabdología de John Napier (1617). En este artículo, se hace una descripción general del Chou Suan de Rho, y se compara este libro con la Rabdología de Napier como un ejemplo típico de la adaptación de las matemáticas europeas a la tradi-ción matemática china.

ABSTRACT The Jesuits arrived in China in the last years of the 16th century. The work of the Society of Jesus in China is well known, as an example of the accommodation of missionaries to a very different culture. One of the main points of this process of accommodation is science. I will fo-cus on one of the most important Jesuit scientists in the last years of Ming dynasty, Giacomo Rho (1592-1638), and his mathematical trea-tise Chou Suan. The Chou Suan [Calculus with rods] was written by Rho in 1628, and it was included in the Xiyang Xinfa Lishu [Calendar compendium according to the Western new methods], a collection of European mathematical and astronomical treatises translated into Chinese and published in 1645 by Adam Schall von Bell (1592-1666). The Chou

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Suan is the adaptation of John Napier’s Rabdology (1617). In this paper, a general survey on Rho’s Chou Suan will be given,

and it will be compared with Napier’s Rabdology as a typical example of adaptation of European mathematics to Chinese mathematical tradi-tion.

Palabras clave: China, Jesuitas, Rho, Chou Suan, varillas de Napier. Key words: China, Jesuits, Rho, Chou Suan, Napier’s rods. MSC 2000: 01A25, 01A45 Introducción: John Napier y su Rabdología No sabemos mucho de la vida de Napier.1 Nació en el castillo de Mer-chiston, cerca de Edimburgo, dentro de una familia noble. Comenzó sus estudios en casa; a los trece años perdió a su madre y fue enviado a la Universidad de Saint Andrew (Escocia). Pasó algún tiempo en el ex-tranjero, y se estableció después en Gartness, donde su padre tenía tierras y donde construyó una gran mansión. Murió, probablemente de gota, el 4 de abril de 1617 [Collette 1986, 301-302]. La contribución más importante de Napier es, por supuesto, su descubrimiento de los logaritmos.2 En 1614, aparecía su Mirifici loga-rithmorum canonis descriptio [Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos], con una tabla que contenía logaritmos con siete cifras de los valores del seno y del coseno a intervalos de un minuto, así como los de sus diferencias. Además de la tabla, en este primer libro había una breve introducción donde se explicaba el uso de los logaritmos. En 1619, dos años después de su muerte, apareció Logarithmorum Canonis Cons-tructio [Construcción del Canon de los Logaritmos] [Katz 1993, 380].3 Lo más interesante es entender el porqué de la invención de Napier. Aunque posteriormente el desarrollo del cálculo infinitesimal llevó a considerar la función logaritmo como una de las más importantes para resolver problemas diferenciales, de hecho Napier desarrolló su idea de los logaritmos exclusivamente como una ayuda para realizar cálculos

1. Para una descripción general de la vida y la obra de Napier, se puede consultar a Baron

(1981). 2. De hecho, hay otro autor que también, de forma independiente, desarrolló unas tablas

de logaritmos: el suizo Jobs Bürgi (1552-1632). Ambos métodos son distintos y parece probado que el descubrimiento se realizó de modo independiente por parte de los dos autores.

3. La idea fundamental de Napier era construir dos secuencias de números, de tal forma que cuando una creciera en progresión aritmética, la otra decreciera en progresión geométri-ca. Así, la multiplicación se podía reducir a una simple suma. Sin embargo, las dos secuen-cias inicialmente propuestas por Napier no eran totalmente satisfactorias. Fue la relación de este matemático con el escocés Henri Briggs (1561-1631), lo que llevó a la definición de los logaritmos en base decimal tal y como los conocemos actualmente.

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aritméticos, consistentes sobre todo en multiplicaciones, divisiones y raíces. En aquel tiempo, los cálculos astronómicos habían llegado a ser terriblemente largos, consumiendo la mayor parte del tiempo de los astrónomos. Así, la invención respondía a las necesidades para simpli-ficar cálculos numéricos de aplicación a la astronomía, así como a otras ciencias (las propias matemáticas, la física, la mecánica, y también el cálculo del interés compuesto, que en aquella época de desarrollo inci-piente del capitalismo se volvía cada vez más importante). Las tablas de logaritmos se difundieron rápidamente por Europa, y también por otros continentes. Los logaritmos fueron introducidos en China por el jesuita polaco Nikolaus Smogulecki (1610-1656), en 1653, en una obra realizada junto con el matemático chino Xue Fengzuo 薛鳳祚 [Li y Du 1987, 208]. El mismo espíritu que animó a Napier para el desarrollo de sus logaritmos es el que le llevó a la publicación de su Rabdología. Este libro desarrolla otra forma de cálculo rápido, sobre todo aplicado a multi-plicaciones, divisiones, y raíces cuadradas y cúbicas. Se basa en la utiliza-ción de unos prismas alargados de base cuadrada en los que están escritos números (del cero al nueve, con sus múltiplos respectivos). Mediante estos prismas, llamados comúnmente ‘varillas de Napier’ (también conocidos como ‘huesos de Napier’) las multiplicaciones y divisiones, e incluso las raíces, se pueden realizar más rápidamente por medio de sumas. Es, por tanto, un método para facilitar los cálculos engorrosos utilizados en astro-nomía o en otras ciencias, lo cual viene a constituir una técnica similar a la consulta de las tablas de logaritmos. Gracias a su disposición, las varillas de Napier transforman una multiplicación en una simple suma. El conjunto comprende diez vari-llas. Todas las caras de los prismas están grabadas, y dos caras opuestas representan los múltiplos de dos números cuya suma es nueve. Napier no sólo describió la forma de realizar las varillas en su Rabdología, sino que lanzó al comercio conjuntos de estas varillas para que pudieran ser usados por astrónomos, matemáticos o economistas. Las varillas de Napier, en su tiempo, atrajeron una gran atención, no sólo en Europa, sino también en Asia (la primera obra en chino sobre la utilización de las varillas de Napier es la de Rho, que fue escri-ta en China en 1628, tan sólo once años después de la publicación del original). Las varillas de Napier se utilizaron en Escocia durante más de un siglo en todos los cálculos que incluían multiplicaciones [Collette 1986, 303]. Sin embargo, este éxito no fue duradero, y algunas décadas después casi nadie sabía en Europa lo que eran las varillas de Napier,


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mientras que la mayoría de los matemáticos utilizaban los logaritmos para los cálculos largos y complicados. La Rabdología de Napier se divide, en realidad, en cuatro partes,1 y en ella se ofrecen varios métodos para el cálculo rápido, de los cuales el de las varillas es el más conocido. Precisamente este método se describe en el primer libro de la obra de Napier. En esta primera parte, el autor describe e ilustra perfectamente el método de las varillas para realizar multiplicaciones, divisiones, y raíces cuadradas y cúbicas. Está claro que es esta primera parte la más importante para la obra en sí, ya que ésta toma el título de este método de cálculo (en griego, ‘rhabdos’ sig-nifica ‘varilla’). Tras explicar cómo se construyen las varillas, se pasa a enseñar cómo se pueden realizar multiplicaciones y divisiones por me-dio de sumas y restas parciales, utilizando las varillas. Para la extrac-ción de raíces cuadradas y cúbicas, Napier añade dos láminas. Estos métodos se vuelven un tanto laboriosos, sobre todo en el caso de la realización de raíces cúbicas, pero en todos los casos se reducen a su-mas y restas. En el segundo libro también aparecen tablas (con algunas magnitu-des de polígonos o sólidos regulares), ejemplos y problemas generales, para mostrar la utilidad del método de las varillas para resolver cuestio-nes de distintos tipos. El apéndice subsiguiente puede ser considerado como la tercera parte de la obra. En él, Napier construye un ‘prontua-rio’, un método diferente del de las varillas, que, sin embargo, es menos general que éste primero, ya que sólo sirve para realizar multiplicacio-nes. Se basa en la construcción de varias láminas alargadas, que des-pués se disponen dentro de una caja (básicamente, es una forma semi-mecánica de realizar operaciones). En la última parte de la Rabdología se desarrolla lo que Napier llama ‘aritmética local’. Aquí, el autor desa-rrolla una aritmética en base dos, utilizándose un tablero de ajedrez para realizar las operaciones.2 La obra de Rho que aquí se estudia, el Chou Suan 籌算, sólo se ocupa de la primera de las cuatro partes de la obra de Napier, la realiza-ción de cálculos por medio del método de las varillas. El método de la caja desarrollado en el apéndice y el de la aritmética binaria de la últi-ma parte, no llegaron a introducirse en China.

1. Contamos en la actualidad con una traducción reciente de esta obra al inglés, publicada

en 1990 [Napier 1990]. Esta traducción es la que se ha consultado para realizar este trabajo.

2. La Rabdología contiene otros elementos de interés, por ejemplo es la primera obra en la que se utiliza el punto decimal tal y como se sigue utilizando hoy en día, al menos en los países anglosajones [Napier 1990, 31].


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El Chou Suan de Giacomo Rho: generalidades y fechas El Chou Suan forma parte del Xiyang Xinfa Lishu 西洋新法曆書 [Li-bro para el calendario según los nuevos métodos occidentales], fecha-do en 1645, obra que constituye la segunda edición del Chongzhen Lishu崇禎曆書 [Libro para el Calendario de la era Chongzhen], gran colección de libros de matemáticas y astronomía que fueron compilados principalmente por Rho y Adam Schall von Bell (1592-1666) entre 1631 y 1635, como base para emprender la tarea de la reforma del ca-lendario chino.1 Para empezar, hay que señalar que el Chou Suan no tuvo mucha suerte en su difusión y que prácticamente ha sido ignorado hasta la actualidad por los investigadores.2 Esto no es extraño, y se puede com-prender perfectamente si consideramos, por una parte, que es la traduc-ción de una parte de la Rabdología de Napier, un libro que, aunque en su tiempo tuvo cierto éxito, enseguida quedó en el olvido de la historia de la ciencia ante el avance de otras técnicas de cálculo más exitosas, por ejemplo los logaritmos del propio Napier. Por otra parte, a las cir-cunstancias propias de la poca circulación de la Rabdología, se une el hecho de la muerte prematura de Rho, que provocó que la figura y la obra de este misionero científico se vieran ensombrecidas por la fama que alcanzaron otros jesuitas con una carrera mucho más larga en Chi-na, por ejemplo Adam Schall von Bell. La primera pregunta que se puede hacer sobre el Chou Suan es la siguiente: ¿Cuándo fue compuesto? Podemos afirmar que probablemen-te fue escrito por el autor en 1628. Al final del prefacio del Chou Suan, aparece lo siguiente:

崇禎戊辰墓春二十日雅谷識

Eso se puede traducir como “Giacomo [Rho] lo escribió el día 20 del último mes de la primavera del año wu chen de la era Chongzhen”.

1. Fue a partir de 1630 cuando el emperador permitió a los jesuitas trabajar en el ‘Tribu-

nal de Astronomía’ de la corte de Pekín. La astronomía era considerada una ciencia importante y era controlada por el estado, debido a las concepciones filosóficas y cos-mológicas de los chinos. Lo primero que hicieron los jesuitas fue traducir una ingente cantidad de obras matemáticas y astronómicas europeas al chino, como base para su posterior utilización en la reforma del calendario chino. Hay muchas obras que tratan este tema. Entre los libros colectivos que recogen la investigación en el tema de los jesuitas en China y su contribución a la ciencia, se pueden citar el editado por Jami y Delahaye [1993] y el editado por Malek [1998].

2. Uno de los pocos investigadores que han estudiado el Chou Suan es Isaia Iannaccone, al cual debo la idea de estudiar este texto, y quien realizó varios trabajos sobre esta versión china de la Rabdología de Napier. Véase, por ejemplo, Iannaccone [1990].


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El año wu chen 戊辰 de la era Chongzhen es el primer año del reinado del último emperador de la dinastía Ming.1 En el calendario gregoriano, corresponde sin duda al año 1628 de nuestra era. A partir de ese dato tan claro, es muy razonable considerar que el Chou Suan fue escrito en 1628. Ese es el año que aparece en los distintos catálogos de las obras de los jesuitas en China que se encuentran en los acervos de Roma: el de Yu Dong [1996, 74], sobre las obras en la Biblioteca Apostólica Vaticana, y el de Chan [2002, 315], sobre las obras en el Archivo Romano de la Compañía de Jesús. Así mismo, aparece sin discusión la fecha de 1628 en algunos de los libros más connotados de historia de las matemáticas chinas, por ejemplo en Martzloff [1988, 337] y en Li y Du [1987, 211]. La duda aparece al considerar que, en 1628, Rho vivía en una zona rural de la provincia de Shanxi. Durante esa época, sólo escribió algu-nas obras de carácter puramente religioso. El resto de las obras científi-cas de Rho (la mayoría sobre astronomía) fueron compuestas entre 1631 y 1635, tras su llegada a Pekín en 1630. Así pues, probablemente el Chou Suan fue la primera obra científica de Rho, y sólo tiempo des-pués de ser escrita, fue añadida como parte del Xiyang Xinfa Lishu. Guo Shirong, en un artículo sobre las varillas de Napier en China, dice lo siguiente:

El Chou Suan fue escrito en el año wu chen de la era Chongzhen (es de-cir, el año 1628). Nótese que fue en 1629 cuando a finales de la dinast-ía Ming el liju [la ‘oficina del calendario’] empezó la reforma y la com-posición del Chongzhen Lishu, y que Luo Yagu [Giacomo Rho] entró en el liju en 1630. Por tanto, el momento en el que Luo Yagu escribió por primera vez el Chou Suan no guarda relación con el liju. Posterior-mente, debido a que empezó a participar en la composición del Chongzhen Lishu, su Chou Suan fue incluido [Guo Shirong 郭世荣 1997, 14].

Como se ve, básicamente, Guo Shirong confirma la idea anterior. Según él, la escritura del Chou Suan (en 1628) no guarda relación algu-na con el hecho de que, dos años después, Rho llegara a Pekín y empe-zara a trabajar en el proyecto que daría luz al Chongzhen Lishu. Tras haber plasmado los elementos de la discusión, se puede con-cluir que la hipótesis ‘más probable’ es que el Chou Suan fuera com-puesto (sin ninguna explicación clara) por Rho cuando éste se encon-traba en Jiangzhou, en la provincia de Shanxi; dos años después llegó a Pekín y se puso a escribir, junto con Schall, una gran cantidad de libros 1. El periodo o era del último emperador de la dinastía Ming (el emperador Sizong 思宗)

es llamado Chongzhen 崇禎. Duró entre 1628 y 1644.


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de matemáticas y astronomía que darían lugar al Chongzhen Lishu. En esta primera compilación de tratados, probablemente no estaba el Chou Suan, ya que éste no aparece como título en los memoriales al empera-dor que enumeran las obras entregadas entre 1631 y 1635. El Chou Suan sí fue incluido en el Xiyang Xinfa Lishu en 1645 cuando, tras instaurarse la nueva dinastía Qing, se editó de nuevo toda la obra, bajo la dirección de Schall. Mientras no haya nuevos elementos de juicio, creo que eso es lo más que se puede decir de la historia del Chou Suan y de su inclusión en la gran enciclopedia astronómica de principios de la dinastía Qing. Las ediciones y el título del Chou Suan Existen varias copias del Chou Suan, procedentes de las diversas edi-ciones que la obra tuvo a lo largo del tiempo; la que ha sido utilizada mayormente para la realización de este artículo procede del ARSI [Ar-chivum Romanum Societatis Iesu].1 También hay copia en la Biblioteca Apostólica Vaticana.2 Ambas copias proceden de la edición del Chou Suan que se encuentra en el Xiyang Xinfa Lishu 西洋新法曆書, de 1645. El libro de Rho también forma parte del Siku Quanshu.3 Los volúmenes 788 y 789 de esta última obra contienen todos los juan4 del Xinfa Suanshu 新法算書.5 El Chou Suan se encuentra en las páginas 337 a 356 del volumen 788, según la edición de la Imprenta Comercial de Taipei (1983). 1. Esta copia se encuentra clasificada en Jap. Sin. II, 32. En el catálogo de Chan [2002],

se encuentra su descripción entre las páginas 314 y 315. Este documento me fue pro-porcionado en formato digital por el propio archivo jesuítico.

2. Esa copia está situada en el fondo Raccolta Generale-Oriente III 235(7). En el catálo-go de Yu Dong [1996, 74] es descrita con el número de registro 221-12.

3. El Siku Quanshu 四庫全書, que se podría traducir como Libros completos de los cuatro depósitos, es la colección de libros chinos más grande que se ha hecho, y sin duda una de las colecciones más grandes de la historia de la Humanidad. La compila-ción se llevó a cabo entre 1773 y 1782, en tiempos del emperador Qianlong, siendo el editor principal Ji Yun 紀昀. De las copias originales, varias fueron destruidas a lo largo de la historia. La que mejor se conservó fue la del Palacio Imperial [Wenyuan ge 文淵閣], que ha sido reeditada parcial o totalmente en diferentes lugares y ocasiones. Hay una edición de esta copia realizada en Taipei, en la Imprenta Comercial de Taiwán [臺灣商務印書館], en 1983.

4. La palabra china juan 卷 se puede traducir como ‘volumen’ o ‘tomo’. Algunas de las obras compuestas por los jesuitas, como el propio Chou Suan, contenían sólo un juan (un tomo), otras contenían varios tomos. En la literatura en inglés o francés sobre his-toria de la ciencia china, se suele conservar el nombre chino original juan para los tra-tados de las obras científicas.

5. A partir de 1669, se hizo una nueva edición del Xiyang Xinfa Lishu, cambiando el título general a Xinfa Suanshu 新法算書 [Libro de cálculo según los nuevos métodos]. El Xinfa Suanshu se reeditó en varias ocasiones y es la obra que se incluyó en el Siku Quanshu.


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El título original en chino, como se ha visto, es Chou Suan 籌算. El carácter chou 籌 puede significar ‘cuenta’ o ‘ficha que sirve para contar’. Es muy importante que se utilice este carácter y no otro, ya que es el mismo que se usó en la China tradicional para designar las varillas que se utilizaban para contar y para realizar todos los cálculos aritméticos durante siglos. Al menos, se puede rastrear hasta el Dao De Jing 道德經 de Lao Zi 老子 el uso de estas varillas [Needham y Wang 1959, 70], lo cual quiere decir que durante 2000 años fueron utilizadas de manera común en China. Obviamente, las ‘varillas de Napier’ nunca habían sido utilizadas en China, pero en lugar de dar cualquier otro nombre a esta herramienta matemática, Rho les dio precisamente la misma palabra que se empleaba para el instrumento tradicional de los cálculos aritméticos en China.1 Esto no es casualidad: probablemente la motivación para escribir el Chou Suan era realizar un trabajo de ‘acomodación’ de las matemáticas europeas a la cultura china. Por otra parte, el carácter suan 算 significa ‘contar’ o ‘calcular’. Así, Chou Suan 籌算 se podría traducir como Cálculo mediante vari-llas para contar, o, más sencillamente, Cálculo con varillas. La obra, en total, tiene cuarenta fojas recto y verso. Empieza con el frontispicio, donde se recogen los datos generales del libro, sigue el interesante prefacio y el índice. A partir de ahí, comienza propiamente el libro. El prefacio del Chou Suan La primera ‘página’ del libro (la primera foja, que sólo tiene verso) es la que se podría llamar ‘frontispicio’. En la primera columna, pone 西洋新法曆書 [Xiyang Xinfa Lishu, Libro para el calendario según los nuevos métodos occidentales], el nombre de la colección general donde se inserta la obra, y después 法數部, que se podría traducir como “parte [dedicada a] los métodos matemáticos”. En la segunda columna, sitúa el título de este juan en particular del Xiyang Xinfa Lishu: 籌算 [chou suan]. Enseguida se habla del revisor de la obra, Xu Guangqi, del autor, Luo Yagu (Giacomo Rho), del corrector o editor, Adam Schall von Bell, y de los ayudantes chinos que tuvieron para la realización de la obra. Entre las siguientes dos fojas, se encuentra el prefacio 自序 de la obra. Éste ocupa trece columnas. Debido al interés de este fragmento del Chou Suan, a continuación doy una traducción completa del prefacio. En este artículo se publica este documento por primera vez en español.

1. Como se puede observar, el carácter chou 籌 tiene el radical de 竹 (‘bambú’), que es el

material con el que se hacían las varillas tradicionales para contar en la antigua China.


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La ciencia de las matemáticas1 se puede aplicar tanto a asuntos de gran importancia, por ejemplo para medir la superficie de la tierra o para medir el cielo2, como a asuntos triviales, por ejemplo el cálculo del dinero para cubrir las primeras necesidades.3 Todas las cosas que tengan forma y tex-tura y que puedan enumerarse por unidad, sin excepción, han sido su ob-jeto de estudio. Todas estas cosas dependen de este uso.4 Las personas que se dedican al estudio de las matemáticas son fieles a la realidad,5 no son iguales que los embaucadores que con palabras vanas engañan a la gente.6 Se caracterizan por su buen manejo del razonamiento lógico,7 en contraste con los que utilizan la fuerza para imponerse a los demás.8 Los matemáticos enriquecen su conocimiento con el tiempo,9 no como los que desorientan a la gente con palabras absurdas.10 Sin embargo, entre los di-ferentes campos del conocimiento,11 el de las matemáticas es el más difí-cil; no hay métodos sencillos para ayudarnos con ellas. Los que no tengan la determinación de realizar esfuerzos en su estudio, las abandonan para luego dedicarse a otros temas.12 En el estudio de las matemáticas, mi país13 tiene una historia muy larga. Sin embargo, el estudio de las ma-temáticas requiere tantos esfuerzos en memorizar los números y en con-centración en el estudio que a veces se convierte en una gran dificultad, resultando que mucha gente se queda en la mitad del camino y abando-

1. En chino se usan los términos 算數 (‘contar números’), que se podría traducir como

‘matemáticas’ o como ‘cálculo’, o probablemente también como ‘aritmética’. En este caso, debido al contenido general del prefacio, en el que se refiere a usos múltiples de lo que hoy conocemos como matemáticas (y no sólo a usos aritméticos o de cálculo), he preferido traducir el término como ‘matemáticas’, aunque otros autores prefieren el término de ‘aritmética’, igualmente válido (por ejemplo, Chan [2000, 315]).

2. Literalmente, ‘describir el campo y medir [o dividir] el cielo’. 3. Literalmente, ‘cosas triviales como el arroz y la sal’. 4. O bien, ‘usan este método’. 5. Un poco más literalmente, ‘Las personas que se dedican a este método, en cada paso

[poco a poco] se van acercando a la realidad’ [o ‘a la verdad’]. 6. Literalmente, ‘No son como los que usan palabras vacías y que pueden engañar a otras

personas con su lengua’. 7. Literalmente, ‘pueden declarar y discernir muy claramente’. 8. Literalmente, ‘no son como los que vencen empuñando el shuo [tipo de lanza china] y

que pueden atropellar a la gente utilizando la fuerza’. 9. Literalmente, ‘van acumulando etapa por etapa’ [‘poco a poco’]. 10. Algo más literalmente, ‘no como los que en un instante, pueden engañar a las perso-

nas con teorías absurdas’. 11. El carácter shu 術 que aparece en el texto se puede traducir como ‘arte’, pero también

como ‘técnica’ o ‘habilidad’. En este caso, está comparando a las matemáticas con otros tipos de técnicas o de saberes, por eso se puede traducir, para englobar todos esos significados, como ‘campo del conocimiento’.

12. Una traducción más literal sería ‘En estos tiempos, los que no pueden aguantar y tienen malas experiencias [en el estudio de las matemáticas] cambian y se dedican a otros campos del saber’.

13. Rho emplea el carácter bi 敝 antes de guo 國 [‘país’]. Ese carácter bi tiene un signifi-cado primario de ‘roto’, ‘estropeado’, pero en el chino clásico es usual emplearlo con el significado del posesivo ‘mío’ como muestra de modestia. Por otra parte, aunque Rho está utilizando una fuente inglesa y él es italiano, los misioneros consideran a Occidente como un país, en oposición a China.


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nan el estudio.1 Más tarde, unos sabios inventaron el uso de las varillas con el fin de facilitar el estudio.2 Después de interpretar este método, me doy cuenta de que es mucho más fácil.3 A los interesados en las ma-temáticas les gustó mucho este nuevo método.4 Muy poco después, el libro se publicó.5 Había críticos que decían que el libro se trataba sim-plemente de un juego.6 Sin embargo, considero que es un libro de un tema muy profundo, que trasciende el sentido del juego.7 Vinieron otros extranjeros, pero no trajeron libros de teorías similares.8 A mi juicio, es-te libro es una obra pionera en este ámbito.9 Por eso, digo que la teoría de este libro es sencilla, pero puede aplicarse en muchos ámbitos.10 Se la presento a ustedes para que sea un instrumento útil en su estudio de las matemáticas.11 Yagu [Giacomo Rho] lo escribió el día 20 del último mes de la primavera12 del año wu chen de la era Chongzhen.13

1. De una forma algo más literal, esa oración diría lo siguiente: ‘Hay personas con memo-

ria débil o que no pueden concentrarse en el estudio [o que hay muchas cosas que les molestan]; el aburrimiento y el sueño atacan [a esas personas]; hay muchas personas que temen a las dificultades y que abandonan’.

2. Más literalmente, ‘Después, personas talentosas establecieron un método inteligente y cambiaron esto mediante el uso de varillas’.

3. Literalmente, ‘Yo lo he traducido [o interpretado] y [veo que] es varias veces más sencillo’. 4. O también, ‘Los que aman el estudio consideraron que este método es bueno’. 5. Se refiere al libro original europeo (la Rabdología de 1617), ya que está hablando del descu-

brimiento del cálculo con las varillas de Napier en Europa, no del Chou Suan chino. 6. Esa frase de nueve caracteres (entre el tercero y el undécimo de la tercera columna de

la foja verso del prefacio) es una pregunta retórica: ‘¿No dicen los rumores que el li-bro es simplemente un juego?’

7. Literalmente, ‘Considero que el libro sí es profundo [o inteligente], un poco más profundo que un simple juego’.

8. Algo más literalmente, ‘Sin embargo [aunque] los viajeros [aquí, extranjeros] entraron [al país], no trajeron obras [de este tema]’.

9. O simplemente, ‘Este libro es anterior [a otros similares]’. 10. Toda esta parte es más literaria que otros fragmentos del prefacio. En primer lugar,

hay una pregunta retórica: 不亦未乎 (‘¿No será así?’); indica modestia. Tras decir que algunos menospreciaban el libro por parecerles un juego, al mostrar que en realidad es útil y que es un trabajo pionero, remarca en el fondo la importancia de la obra. Des-pués, el fragmento se podría traducir literalmente más o menos así: ‘Sonrío de nuevo, y digo que con este pequeño método se pueden observar [muchas cosas]’.

11. Más literalmente: ‘Por el momento, hago esto [el libro] para servir como instrumen-to’. El antepenúltimo carácter de la quinta columna del prefacio (foja verso) es chou 籌, pero en este caso no se refiere a las varillas, sino que debe ser traducido como ‘instrumento’.

12. Chan [2002, 315], basándose en este fragmento, dice que el Chou Suan está datado en el día “20.III 1628”. Sin embargo, eso daría la idea de que se habla del 20 de marzo de ese año. Eso no es lícito, ya que como se sabe muy bien, el calendario chino y el calendario gregoriano no coinciden. La fecha que aparece en el texto, estrictamente hablando, es el día 20 del mes muchun 暮春. Chun 春 es primavera, y mu 暮 indica hacia el final de un periodo. En este caso, muchun sería ‘la primavera bien avanzada’, ‘el final de la primavera’. Pero habría que hacer un cálculo astronómico retrospectivo para saber qué día fue el año nuevo chino del año 1628, y poder calcular así qué día, según el calendario gregoriano, corresponde al 20 del mes del final de la primavera. Probablemente fuera un día de abril o principios de mayo.

13. Este es el fragmento ya comentado anteriormente, al hablar de la fecha, ya que es la prueba más clara de que el Chou Suan pudo ser compuesto en el año 1628 (primer año de la era Chongzhen).


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El prefacio del Chou Suan es muy interesante desde varios puntos de vista. En primer lugar, Rho hace afirmaciones generales sobre las ma-temáticas que pueden ayudar a entender el papel de esta ciencia en la Europa de su tiempo y, más concretamente, en la Compañía de Jesús. La idea de la generalidad del uso de las matemáticas (que ‘se puede aplicar tanto a asuntos de gran importancia […] como a asuntos trivia-les’) revela la importancia de la aplicación de esta disciplina. Tras alabar la importancia del estudio de las matemáticas, Rho explica que las matemáticas no son una disciplina fácil de aprender. Y tras eso, llega la justificación del estudio del cálculo mediante las varillas y con ello de la propia elaboración del Chou Suan: Se trata de un método que puede ayudar a realizar más rápida y fácilmente los cálculos aritméti-cos. Con ello, el prefacio presenta el porqué de la obra entera. Un hecho realmente interesante es que el prefacio del Chou Suan que acabamos de ver está incluido en el apartado que el letrado chino Ruan Yuan dedica a Giacomo Rho dentro de su obra Chouren zhuan, obra clásica donde se recogen las biografías de matemáticos y astróno-mos chinos y extranjeros de todos los tiempos. En esta obra, Ruan Yuan no sólo proporciona datos de cada matemático en cuestión, sino que también se incluyen fragmentos de algunas de sus obras. En parti-cular, el fragmento dedicado a Rho [Luo Yagu] tiene once columnas de texto, de las cuales más de la mitad (seis para ser exacto) están ocupa-das por el prefacio del Chou Suan en su integridad. Entre todas las obras de Giacomo Rho, el Chou Suan se puede considerar menor, sobre todo si la comparamos con obras mucho más voluminosas que tratan de la teoría y las tablas del sol, la luna y los planetas, o con obras matemá-ticas más importantes, como el Bi li gui jie 比例規解 [Comentarios de las operaciones de proporciones] o el Ce liang quan yi 測量全義 [Tra-tado completo del arte de la medida], con sus diez juan. Sin embargo, entre los numerosos libros de Rho (incluyendo los científicos y los religiosos), con todo su contenido y sus respectivos prefacios, Ruan Yuan escogió precisamente el prefacio del Chou Suan para incluir en el apartado dedicado a Rho dentro de su influyente obra, el Chouren zhuan. Éste es un hecho verdaderamente remarcable, y que muestra que el Chou Suan, a pesar de su aparente poca importancia y de que no fue publicado en la primera versión del Chongzhen Lishu, sino en la edición posterior del Xiyang Xinfa Lishu, en realidad puede ser conside-rado como una de las obras más importantes de Rho.


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Descripción del contenido del Chou Suan: las dos primeras partes Tras el prefacio, se encuentra el índice del Chou Suan. La idea de este artículo no es traducir totalmente la obra, pero sí dar una descripción general del contenido, haciendo énfasis en algunos aspectos matemáti-cos y también en las similitudes y diferencias con respecto a la Rabdo-logía de Napier.1 La obra se divide en tres grandes partes. La primera es el Método de construcción [de las varillas] [造法]. Contiene siete capítulos o apartados: 造籌 Construcción de las varillas 分方 División en cuadrados [de las varillas] 分角 División en triángulos2 定數 Fijación de los números3 (escritura de las cifras en las caras de las varillas) 定號 Fijación de los números (señales en el lomo de las vari-llas) 平立方籌 Varillas de los cuadrados y los cubos 造匣 Construcción de la caja Esta primera parte es similar a la fuente original de Napier, aunque tiene algunas diferencias interesantes. Básicamente, en este apartado se enseña al lector a construir las varillas, que según el texto, pueden ser de diente (marfil), o de hueso, o de madera, o combinadas. La mayor diferencia con respecto al original es la forma de las varillas. Las vari-llas originales de Napier eran prismas de sección cuadrada, cosa que no ocurre con las varillas de Rho. Por decirlo más claramente: Las varillas de Napier tienen ‘cuatro caras’, ya que se escriben números con sus múltiplos en las cuatro caras rectangulares del prisma. Sin embargo, las varillas de Rho sólo tienen ‘dos caras’, ya que no son prismas rectangu-lares, sino que la sección es también rectangular. Esto hace que, para poder representar la misma cantidad de números con ambos sistemas, se requiera el doble de varillas de Rho que de Napier. Este cambio, seguramente, fue introducido por Rho para simplificar la forma de realizar la numeración de las varillas. Aunque necesariamente aumenta 1. Para ese trabajo de comparación, es suficiente con la excelente traducción de la Rabdo-

logía (originalmente en latín) al inglés de William F. Richardson [1990]. 2. La traducción que doy no es literal (algo más literal sería ‘división en ángulos’ o ‘de los

ángulos’), sino que se corresponde con la explicación del contenido del apartado en sí. 3. La traducción en los apartados cuarto y quinto, entre paréntesis (‘escritura de las cifras

en las caras de las varillas’ y ‘señales en el lomo de las varillas’) no se corresponden con lo que dice el original (定數 y 定號), sino que están tomadas de los temas tratados en cada uno de esos dos capítulos.


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el número total de varillas necesarias en un cálculo, dado que los ma-temáticos estaban acostumbrados al uso de varillas de contar para sus cálculos aritméticos, seguramente Rho consideró que sería mejor adap-tar la forma de las varillas de Napier al ambiente matemático chino de esta manera. Además de las varillas correspondientes a la tabla de multiplicar de cada dígito, también se explica cómo construir una varilla especial para los cuadrados y los cubos de los números, que se usará para la extrac-ción de raíces cuadradas y cúbicas. Esta primera parte de la obra termi-na con la descripción para construir una caja donde guardar todas las varillas. El título de la segunda parte se puede traducir como Métodos de cálculo que dependen del uso [de las varillas] [賴用算法]. Esta se-gunda parte tiene tres capítulos:

加法 Método para sumar 減法 Método para restar 命分二法 Dos métodos para escribir fracciones1

En esta segunda parte es donde el libro de Rho se separa más claramen-te del original de Napier, ya que éste no llega a mostrar ningún ejemplo de cómo se puede sumar y restar con el método de las varillas, por considerarlas operaciones demasiado fáciles y donde no hace falta utili-zar este método. Antes de empezar con la suma, Rho comienza este apartado diciendo que el uso de las varillas depende de la suma, la resta y del manejo de los números fraccionarios (o decimales), y por eso se muestran aquí. Napier, en su Rabdología, dice precisamente lo contra-rio: “Dado que estas varillas fueron inventadas con el propósito de ayudar en las operaciones aritméticas más difíciles (esto es, multiplica-ción, división, y extracción de raíces cuadradas y cúbicas), y dado que la suma y la resta se encuentran entre las capacidades de cualquier novicio, omitiré éstas y empezaré con la multiplicación” [Napier 1990, 25]. El anterior comentario de Napier parece lógico, ya que no se nece-sitan las varillas para realizar sumas o restas. ¿Por qué fue incluido entonces este apartado por Napier? Seguramente como una forma de simplificar al máximo el método. De hecho, en este apartado, no se utilizan las varillas, sino que Rho enseña a sumar y restar con pluma y papel. Hay que recordar que los matemáticos chinos no usaban el método escrito para realizar estas operaciones, sino sus propias varillas 1. En este caso, la traducción que doy se corresponde más bien con el contenido de este

apartado. El carácter fen 分 se usa para ‘dividir’, ‘repartir’, ‘fracción’, etc. Otro título para este apartado podría ser ‘Dos métodos para escribir números no enteros’.


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de contar. Por eso, Rho necesita antes de nada enseñar cómo sumar y restar de manera escrita al estilo europeo. En el tercer capítulo de esta segunda parte, Rho explica los dos métodos que se pueden utilizar para escribir números fraccionarios menores que la unidad: el usual, en el que el denominador y el numera-dor pueden ser dos números cualesquiera, y la manera decimal, en el que el denominador es una potencia de 10. Realización de operaciones aritméticas por medio de las varillas de Napier en el Chou Suan La tercera parte del libro, sin duda la más larga e importante, se puede traducir como Métodos de uso [de las varillas] [用法]. Contiene cua-tro capítulos [四條]:

乘法 Método para multiplicar 除法 Método para dividir 開平方法 Método para extraer la raíz cuadrada 開立方法 Método para extraer la raíz cúbica En cada uno de estos capítulos, Rho comienza con una explicación teórica del método, y después proporciona ejemplos. En el caso de la multiplicación, por ejemplo, tras la teoría se dan cuatro ejemplos: 83 · 4 = 332; 35 · 95 = 3325; 183 · 125 = 22875; y 683 · 300 = 204900.1 Ex-cepto los ejemplos primero y cuarto, que son más sencillos, los otros dos son de carácter práctico. Por ejemplo, en el caso de la multiplica-ción de 35 por 95, en el texto no se explica el producto de ambos núme-ros sin más, sino que se ilustra de la siguiente forma: “Un qian 錢2 de plata puede comprar 9 litros [sheng 升] y 5 decilitros [ge 合] de arroz. Si hoy tenemos 3 liang 兩 y 5 qian錢 de plata, la pregunta es: ¿qué cantidad de arroz podemos adquirir?”.3 Como un liang corresponde a 10 qian y un litro es igual a 10 decilitros, se trata de multiplicar 35 por 95. Lo interesante es que el fragmento no termina con el resultado final numérico de 3325, sino que lo que se dice exactamente es: “La cantidad de arroz es 3 dan 石 (hectolitros), 3 dou 斗 (decalitros), 2 sheng升 1. Es interesante señalar que en el original de Napier, sólo hay un ejemplo de multiplica-

ción mediante las varillas: 1615 · 365 [Napier 1990, 26-27]. Si se compara con los cuatro ejemplos que da Rho en su Chou Suan, se puede constatar que estamos en un nuevo caso que ilustra el esfuerzo de Rho por explicar su método de la mejor forma posible, para que quede muy claro para sus interlocutores chinos. Se puede decir lo mismo de las divisiones y las raíces.

2. Como medida de peso, el qian 錢 corresponde a 5 gramos (la décima parte del liang 兩, que son 50 gramos).

3. Foja 11 verso.


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(litros) y 5 ge 合 (decilitros)”. Como se puede apreciar, el ejemplo es práctico y se sitúa así en la más pura tradición matemática china.1 Después de la multiplicación, se explica el método de la división por medio de las varillas. También en este caso se comienza con una explicación teórica seguida de tres ejemplos. El primer ejemplo es el más sencillo (108 ÷ 36 = 3). Los dos siguientes (3325 ÷ 95 = 35 y 87142 ÷ 374 = 233) son de carácter práctico, al igual que los de la mul-tiplicación. Todos esos cocientes son exactos. Después, se ve un ejem-plo de una división no exacta: 87248 ÷ 374). La parte decimal del co-ciente se expresa de dos formas, mediante una fracción y mediante decimales. Los dos últimos capítulos de esta tercera parte del libro, la extrac-ción de raíces cuadradas y cúbicas, son los más complejos desde el punto de vista matemático. Igual que en los capítulos anteriores, cada apartado comienza con una explicación teórica del método (mucho más larga que en el caso de multiplicaciones y divisiones, especialmente para la extracción de la raíz cúbica). Posteriormente se dan ejemplos. En el caso de la raíz cuadrada, en el libro se explica el uso de las vari-llas de Napier para hallar 625 , 4489 , 32041 y 651249 . Todos esos casos son raíces cuadradas exactas. Por último, se estudia un caso de raíz cuadrada no exacta, que es 662749 . La raíz cuadrada de 662749 es 814 y queda un resto de 153. Rho continúa la raíz para sacar los decimales. Al final, llega al resultado de 662749 = 814.093. En cuanto a la extracción de la raíz cúbica, la larga explicación teórica ocupa casi cinco fojas enteras, recto y verso. Posteriormente, se analizan dos ejemplos, uno más o menos corto ( 3 4913 ), que da lugar a una raíz cúbica exacta de dos cifras, y otro más largo ( 3 9159899 ), que además constituye una raíz cúbica no exacta donde se llega a obtener decimales. Sin duda, el empleo de las varillas de Napier para extraer raíces cúbicas exige una gran cantidad de operaciones y muchas fojas de explicación por parte de Rho en su libro.

1. Los libros clásicos de matemáticas chinas suelen ilustrar los cálculos con ejemplos

prácticos. Por ejemplo, se considera que el libro matemático más influyente de la his-toria de China es el Jiu zhang suanshu 九章算術 [Nueve capítulos sobre las artes ma-temáticas], que consiste básicamente en una colección de problemas resueltos. A me-nudo se ha comparado esta obra con los Elementos de Euclides para dar cuenta del sentido práctico de las matemáticas chinas, muy diferente del rigor matemático, mu-chas veces sin mucha relación con los problemas comunes de la vida diaria, presente en las matemáticas griegas.


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Anexo sobre economía La última parte del Chou Suan es muy diferente de todo lo que se ha visto hasta aquí. Se trata de un anexo sobre economía, concretamente sobre el cálculo del interés. Este anexo ocupa las últimas fojas de la obra. Se divide en dos fojas y media, recto y verso, de explicación de texto, y otras dos fojas al final con tablas. El título de este apartado no coincide con el que pone en el índice. En el índice que aparece al principio del libro, se titula 子母算法附, que se podría traducir como ‘Anexo sobre los métodos para el cálculo de fraccio-nes’. Sin embargo, sería más razonable una traducción tal como ‘Anexo sobre los métodos para el cálculo del interés’, ya que precisamente sobre eso trata el apartado. De hecho, al principio del apartado, el título que se da no corresponde con el que aparece en el índice, siendo el siguiente: 算子錢法. El término zi qian 子錢 se puede traducir como ‘interés’ (referido a la economía). Entonces, la traducción del título podría ser simplemente ‘Método para el cálculo del interés’. No voy a analizar este anexo sobre economía del Chou Suan. Sin embargo, sí es interesante observar, de nuevo, el espíritu práctico que animó la obra desde el principio, y que la coloca en la línea tradicional de los libros matemáticos chinos. No sólo se ponen ejemplos concretos y prácticos para ilustrar el uso de las varillas de Napier para realizar operaciones aritméticas como la suma o la multiplicación, sino que al final del libro, en un capítulo entero considerado como un anexo, se pone en práctica el método para la resolución de un problema que pro-bablemente era habitual en aquel tiempo: el cálculo de los intereses ante un préstamo de un banco.1 Así da Rho punto final a su obra Chou Suan. El Chou Suan de Mei Wending La mayoría de los historiadores de las matemáticas chinas relacionan el título Chou Suan 籌算 con Mei Wending, y no con Luo Yagu [Giaco-

1. Hay que recordar que los métodos de cálculo rápido desarrollados en la Europa de

aquel tiempo por Napier y otros matemáticos tenían varias motivaciones: La facilita-ción de los largos y tediosos cálculos astronómicos era una de ellas, pero desde el principio otra motivación importante fue la ayuda en los cálculos relacionados con la economía. Napier vivió en una época en la que se estaba desarrollando el capitalismo mercantilista en Europa, tal y como lo conocemos hoy en día. Los economistas fueron unos de los ‘clientes’ más importantes de Napier, que escribió su Rabdología para po-der dar a conocer y vender sus varillas a quien pudiera utilizarlas. Por otra parte, desde la dinastía Song, en China había habido también un cierto desarrollo del capitalismo mercantil, el cual estaba muy presente a finales de la dinastía Ming, cuando llegaron los jesuitas a China. Así pues, es razonable que el uso de las varillas de Napier con un propósito económico se le apareciera a Rho como una buena forma de dar uso a su li-bro y al mismo tiempo de extender el número de sus potenciales lectores.


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mo Rho]. Mei Wending 梅文鼎 (1633-1721) es considerado como el matemático más influyente de su época, y por eso su Chou Suan se hizo mucho más famoso que el de Giacomo Rho. Dentro de la colección Mei shi congshu jiyao 梅氏叢書輯要 [Compendio de la colección de libros del Maestro Mei], el Chou Suan ocupa los juan números 6 y 7. En esta obra original de Mei Wending, el Chou Suan sigue inmediatamente después de otra obra más volumi-nosa, que ocupa los primeros cinco juan del Compendio: el Bi Suan 筆算 [Cálculo con pluma]. De esta forma, Mei Wending explica cómo hacer cálculos aritméticos primero de forma escrita, con pluma y papel, y después mediante el uso de las varillas.1 La diferencia más evidente entre el Chou Suan de Rho y el de Mei Wending es que éste adapta las varillas de Napier, alejándolas de la disposición original de la Rabdología. Básicamente, transforma las varillas verticales de Napier en horizontales. Los números están inscri-tos verticalmente.2 Al principio de la obra, aparecen dibujadas todas las varillas [Siku Quanshu, 1983, volumen 794, página 767]. Ahí se puede ver que, además de ser horizontales, cada varilla no está dividida en cuadrados partidos por la mitad, como en el caso de las varillas de Na-pier y de Rho, sino que los números están inscritos en pequeños semi-círculos. Los lugares donde debe haber un cero se dejan vacíos (a dife-rencia de las varillas del Chou Suan de Rho, donde se escribía el 0). En total hay diez varillas, ya que a las nueve con los múltiplos del 1 al 9 se añade una varilla con todos los espacios vacíos (equivalente a los múltiplos del cero). Conclusión: Recepción y significado del Chou Suan de Rho La Rabdología de Napier fue un libro de moderado éxito en Europa. Aunque las varillas fueron bastante usadas en Escocia durante casi un siglo, en el resto del continente su éxito se vio truncado por el desarro-llo de los logaritmos, inventados por el propio Napier. Cuando Rho y sus compañeros llegaron a China a principios de los años 20 del siglo XVII, llevaban con ellos una enorme cantidad de obras europeas sobre astronomía y matemáticas. El interés principal de los jesuitas en el plano científico, no hay que olvidarlo, era la reforma del calendario 1. Así mismo, las obras de Mei Wending están reproducidas en el Siku Quanshu

四庫全書 (1983). El Chou Suan forma parte de la gran colección titulada Li suan quan shu 歷算全書 [Libro completo de cálculo astronómico]. Concretamente, se encuentra entre las páginas 766 y 842 del volumen 794.

2. Mei Wending convirtió en vertical la escritura horizontal del cálculo escrito; proba-blemente por eso las varillas también fueron adaptadas de esa forma [Yabuuti 2000, 138-139].


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chino. Dadas todas esas circunstancias, ¿qué puede explicar que Rho adaptara la Rabdología de Napier tan pronto, y que esta obra fuera incluida en el Xiyang Xinfa Lishu en 1645? Según mi opinión, la respuesta hay que buscarla en el uso tradicio-nal de varillas para la realización de los cálculos aritméticos en la anti-gua China. Mucho antes que el ábaco, desde cientos de años atrás, los matemáticos chinos habían utilizado de manera habitual varillas para la realización de las principales operaciones aritméticas. En lugar de em-plear comúnmente el papel y la pluma, los matemáticos chinos utiliza-ban las varillas para contar y para operar, lo cual, aunque era cómodo, borraba los rastros del proceso y dificultaba la detección de posibles errores de cálculo.1 Mi hipótesis es que Rho se dio cuenta de este hecho y decidió to-mar un libro menor europeo, la Rabdología de Napier, y traducirlo (más bien adaptarlo) al chino, con la idea de que los chinos acogerían fácil-mente el método de cálculo con las varillas de Napier, ya que el uso de las varillas se encontraba totalmente dentro de su tradición matemática. Probablemente Rho realizó la obra en 1628, cuando se encontraba en Jiangzhou, en la provincia de Shanxi. Como hemos visto, parece bas-tante claro que el Chou Suan no fue incluido en un primer momento en el Chongzhen Lishu. Sin embargo, es probable que la misma idea que había tenido Rho años antes, la pudiera abrigar Schall cuando decidió que el Chou Suan fuera parte del Xiyang Xinfa Lishu, publicado en 1645. A partir de entonces el Chou Suan de Rho fue parte integrante de todas las ediciones posteriores de esta obra. Incluso es posible que Mei Wending también eligiera adaptar el Chou Suan debido al papel históri-co que habían jugado las varillas dentro del cálculo en la China tradi-cional. De hecho, como hemos visto, Mei Wending distinguió y colocó al mismo nivel el ‘cálculo con pluma’ [Bi Suan 筆算] y el ‘cálculo con varillas’ [Chou Suan 籌算]. De esta forma, el caso del Chou Suan de Giacomo Rho constituye un ejemplo perfecto para entender el auténtico alcance de la inculturación de los jesuitas. Una obra de poca relevancia y con una utilidad limitada en Europa, fue considerada como importante por los jesuitas en China. Y esto fue no tanto por su utilidad, sino por el puente cultural que podía crear entre las matemáticas europeas y las matemáticas chinas. 1. Se puede encontrar información sobre el uso de las varillas de contar por parte de los

matemáticos en la antigua China en todos los libros clásicos sobre historia de las ma-temáticas chinas. Véase, por ejemplo, Li y Du [1987], Martzloff [1988] y Yabuuti [2000].


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Origen de los libros de matemáticas en el Real Seminario de Minería de México:

análisis de un inventario de 1799

Francisco Omar Escamilla González

RESUMEN

El Real Seminario de Minería de México, fundado en 1792, fue la pri-mera institución oficial en América en la que se enseñó cálculo infinite-simal. Sus planes de estudio se inspiraron en los de las academias de minas centroeuropeas de habla alemana, donde estudió su primer direc-tor, Fausto de Elhuyar (1755-1833). En este artículo se presenta el in-ventario de los libros de matemáticas contenidos en la biblioteca del co-legio provenientes en su mayoría de colecciones particulares novohis-panas, se analiza el origen de cada uno de los libros y la influencia ger-mana en la organización de la colección.

ABSTRACT

The Royal Seminary of Mines of Mexico, founded 1792, was the first of-ficial institution in the Americas where infinitesimal calculus was taught. The students’ curriculum was inspired on those followed on the German mining academes in central Europe. Its first director, Fausto de Elhuyar (1755-1833) studied there. This paper shows an inventory of mathematics books found at its library, Most of them came from Span-ish-American private collections. There is an analysis of their origins and it is shown that there was a German influence on the organization of the collection.

Palabras clave: Real Seminario de Minería de México, minas, Velázquez de León, bibliotecas Key words: Royal Seminar of Mines of Mexico, mines, Velázquez de León, libraries MSC 2000: 01A50, 01A55, 01A74, 01A90

240 Francisco Omar Escamilla González

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Introducción Al concluir la Guerra de los Siete Años, las monarquías europeas toma-ron medidas para recuperar las pérdidas económicas generadas por el conflicto; la minería resultaba de suma importancia para dicho objetivo. Durante el siglo XVIII, la química había avanzado de manera importan-te de la mano de la farmacia y la metalurgia. Ésta última era fundamen-tal para la explotación minera y comenzó a ser estudiada en pequeñas escuelas en las regiones centroeuropeas en que se extraían metales. A partir de 1765, estas instituciones adquirieron carácter oficial, fundán-dose así las primeras academias de minas. La primera abrió sus puertas en Freiberg, Sajonia, en ese año. Cinco años más tarde comenzarían a funcionar las de Schemnitz (Hungría, parte del imperio austriaco, ac-tualmente Banská Štiavnica, República Checa) y Berlín, Prusia; poste-riormente las de San Petersburgo, Claustahl-Zellerfeld, París, Almadén y México. Aunque la constitución del Colegio de Minería de México se había contemplado desde que comenzó a funcionar el Real Tribunal de Mi-nería de Nueva España en 1777 por iniciativa del director fundador, Joaquín Velázquez de León (1732-1786); su puesta en marcha ocurrió en 1792 bajo el mando de Fausto de Elhuyar (1755-1833); un metalur-gista español que había estudiado en Freiberg y que tenía reconocimien-to entre los especialistas europeos por haber aislado el Tungsteno o Wólfram en 1784 y ser miembro fundador de la Sociedad de Laboreo de Minas [Societät der Bergbaukunde], primera en su tipo en el mundo. Elhuyar seguiría el modelo de academia de minas centroeuropeo para la redacción del plan de estudios del Real Seminario de Minería de México. En ellos, la química, la metalurgia y la mineralogía eran las materias principales, en tanto que las matemáticas y la física eran estu-diadas como ciencias auxiliares para aquéllas. Cada escuela debía tener colecciones de minerales y modelos de máquinas mineras, así como un laboratorio de química, un horno de fundición y un gabinete de física. Para complementar los estudios, se requería de una biblioteca actuali-zada. En este artículo se dará un panorama de los estudios de matemáti-cas en estas instituciones y de los libros disponibles para dicho objeti-vo. Se analizará un inventario de la biblioteca del Seminario realizado en abril de 1799. Aunque está incompleto, presenta los libros de ma-temáticas que había allí y cómo estaban ordenados. Asimismo, se de-terminará el origen de cada obra siguiendo inventarios, libros de al-macén y comprobantes de gastos de la institución.

Origen de los libros de matemática 241

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El estudio de las matemáticas en las academias de minas centroeu-ropeas La historiografía de las academias de minas se ha enfocado a estudiar las cátedras principales relacionadas con las ciencias químicas y mine-ralógicas, de tal suerte que aún no se han elaborado trabajos sobre la enseñanza de las matemáticas y la física. Por ello, los datos son muy escasos, no obstante, son suficientes para demostrar que en México tuvieron que hacerse adaptaciones, sobre todo la creación de cursos más extensos, debido a que los alumnos ingresaban con menos conocimien-tos matemáticos de lo que se esperaba. Freiberg En su cronología de la Academia de Minas de Freiberg, el historiador Otfried Wagenbreth escribe sobre la enseñanza de las diversas ciencias en la academia [Wagenbreth 1994, 58-61]. La primera materia que había de estudiarse eran las matemáticas. El primer profesor fue Johann Friedrich von Charpentier y su plan incluía ‘aritmética, geometría y trigonometría y ciencias mecánicas’. Para 1782, Johann Friedrich Lempe comenzó con ‘ejercicios prácticos de matemáticas aplicadas a la minería’ y al año siguiente añadió matemáticas puras. No se tienen más detalles del asunto. La segunda materia era la física, los profesores fueron los mismos que para matemáticas y sólo se especula que en dicha clase se explicaba un poco de mecánica, pero que de cualquier manera sólo eran estudios subordinados a la minería y la metalurgia. Fausto de Elhuyar estudió en esta institución entre los años 1778 y 1781, explica que para 1779, los cursos de matemáticas y física se dis-tribuían del modo siguiente: “Mr. Charpentier da lecciones: 1º de ma-temáticas los Miércoles y Sábados de 8 a 9 de la mañana; 2º de física de 9 á 10 los mismos días, y 3º de dibujo de 2 a 3 de la tarde” [Palacios Remondo 1992, 151-152]. Es decir, pocas eran las horas dedicadas a estas materias. Ambos profesores escribieron libros para impartir sus cátedras. Schemnitz Aunque esta institución no adquirió el rango de academia hasta 1770, los cursos se habían iniciado en 1763. Este hecho ha causado contro-versias al determinar cuál fue la primera academia de minas del mundo [Gedenkbuch 1871, 19-20]. Nikolaus von Jacquin (1717-1827), un médico que después impulsaría las ideas de Lavoisier, dio principio a los cursos de química y metalurgia que le habían sido asignados alrede-dor de 1763. En 1765 se agregó una cátedra de matemáticas impartida


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por Nikolaus Poda que incluía matemáticas, mecánica e hidráulica. Es importante hacer notar como las ciencias físico-matemáticas se encon-traban en segundo término. Hacia 1770, la emperatriz María Teresa implantó un nuevo estatuto convirtiendo a la escuela en academia, el plan de estudios era el siguiente:

1er año. Aritmética, álgebra aplicada en análisis, geometría, tri-gonometría, física, mecánica, hidrostática, hidráulica, aerometría y óptica. 2do año. Química física en general, química mineralógica y me-talúrgica especial, hornos y fundición (todo con experimentos). 3er año. Minería con clase práctica, derecho minero, economía forestal. Se incluye una clase de geometría subterránea y dibujo.

Sin embargo, no todos los alumnos tenían los conocimientos esperados:

Hasta el año de 1809, la matemática, la física y la mecánica se impart-ían como un rápido repaso a los principios “matemático-mecánicos” básicos, todos juntos en el primer año y con aplicaciones a la minería. Los conocimientos en estas ciencias se suponían ya conocidos aunque entonces entraban varios individuos en la academia que no sólo tenían pocos conocimientos prácticos en la minería, sino que no poseían ningún conocimiento científico previo, por lo que, como consecuencia natural, no podían seguir muchas de las lecciones [Gicklhorn 1963, 27-28].

En septiembre de ese año, siguiendo las necesidades de los alumnos que ingresaban, se decidió abrir un curso de preparación bajo el nombre de ‘Curso filosófico, en el que se impartían temas de lógica, matemáti-cas y física’. Para la primera, se proponía aprender ‘a plantear la argu-mentación correcta, en tanto no tuviese que ver con la ontología, la psicología y la metafísica’. En el caso de las matemáticas, se tenía: Después de un repaso rápido de la aritmética, que se supone que los alumnos entrantes ya conocían, se impartían:

a) el álgebra [Nota al pie: El cálculo diferencial e integral y toda la matemática superior permanecen como tema del estudio personal],

b) la geometría incluyendos principios de geometría esférica

c) la trigonometría, d) la planimetría, e) la estereotomía.


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México Al abrir sus puertas en 1792, el Seminario de Minería comenzó con la llamada primera cátedra, la de matemáticas. Según el plan original redactado por Fausto de Elhuyar, el contenido era el siguiente:

El primer año de las matemáticas puras, en que se comprenderá la aritmética, el álgebra, la geometría elemental, la Trigonometría plana y las secciones cónicas.

El segundo año, que después comenzó a llamarse el de ‘física’, contenía:

El segundo de la geometría práctica cuyas aplicaciones se dirigirán a las operaciones propias y usuales de la minería, comprendiendo, por consi-guiente, en ella, la que llaman geometría subterránea, y a continuación la dinámica y la hidrodinámica.1

Es decir, se pretendía impartir en dos años los que Charpentier en Frei-berg y Poda en Schemnitz en uno solo. Esto obedecía a que algunos alumnos solicitaban ingresar al Seminario apenas y conocían las opera-ciones básicas de la aritmética. Ya se vio que lo mismo habría de ocu-rrir en Schemnitz años después con la fundación del ‘curso filosófico’. Para el año de 1797, incluso se solicitó que el curso del primer año se dividiera en dos, puesto que aún duplicando el tiempo de enseñanza respecto a Europa, no era suficiente para cubrir todo el plan de trabajo [Archivo Histórico del Palacio de Minería, en adelante AHPM, 1797/VI/91/d.21]. Los catedráticos eran ambos españoles: el capitán Andrés José Rodríguez, quien había seguido los cursos de la academia de minas de Almadén, y Francisco Antonio Bataller, quien estudió en el Colegio de San Isidro en Madrid. Elhuyar había seleccionado como texto los Principios de matemá-ticas del español Benito Bails, la llamada ‘obra chica’ que era un resu-men en tres tomos de los Elementos de matemática del mismo autor, contenido en diez volúmenes. Aunque durante un tiempo se usaron los Elementos de aritmética, álgebra y geometría de Juan Justo García, las obras de Bails continuaron como el libro principal para la cátedra hasta bien entrado el siglo XIX. Con el tiempo, los catedráticos españoles serían sustituidos por otros novohispanos, que habían sido formados en el mismo Seminario de Minería. A pesar de la hegemonía del texto de Bails, los catedráticos

1. En este trabajo no se pretende hacer un análisis detallado de la cátedra de matemáticas,

sino únicamente mostrar los paralelismos que hubo con las academias de minas cen-troeuropeas y las adaptaciones que tuvieron que realizarse en México.


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consultaban de vez en cuando otros libros que se encontraban en la biblioteca del colegio. En el caso de física, al menos existe una nota en el que Manuel Ruiz de Tejada, uno de los nuevos profesores, pide la Electricidad del cuerpo humano de Pierre Bertholon para su consulta. Los impresos fueron siempre una importante herramienta de enseñanza en el Seminario, de allí la necesidad de conocer los textos disponibles para las cátedras. En el caso novohispano, se verá el origen de los tex-tos y se comentarán las bibliotecas personales a las que pertenecieron. El surgimiento de las bibliotecas ilustradas El investigador británico, William Clark, identifica dos corrientes en la formación y ordenamiento de las bibliotecas durante el siglo XVIII. La primera, es la ‘biblioteca barroca’, en la que los libros eran vistos como piezas de museo y se colocaban al lado de especimenes dignos de una Wunderkammer, como fósiles y animales disecados. Las colecciones universitarias se enriquecían con la compra o donación de las coleccio-nes de sabios, las cuales pasaban íntegramente y sin ningún cambio a la estantería de dichas instituciones. A menudo se colocaba un retrato del anterior dueño y no importaba qué orden guardaran los libros. Clark afirma que el modelo del segundo tipo de biblioteca, la ‘ilus-trada’, fue la de la Universidad de Gotinga, fundada en 1737, que ayudó a dicha institución a convertirse en la “universidad de la Ilustración alemana” [Clark 2000, 196-197]. Desde su apertura y durante todo el siglo XVIII, esta colección creció ininterrumpidamente, por lo que fue necesaria la creación de un catálogo. En 1755, se publicó un catálogo sistemático que en un principio constó de seis categorías: ‘(i) teología, (ii) leyes, (iii) medicina, (iv) filosofía, ciencias naturales, política y arte, (v) filología antigua, historia y disciplinas auxiliares, (vi) historia litera-ria’. Christian Gottlob Heyne (1729-1812), profesor de filología y di-rector de la biblioteca, agregó referencias de la ubicación física de los libros en la estantería como parte de su catálogo. Además, elaboró una lista de los autores de todos los textos y una lista de fichas con un número de identificación para cada título y una ficha bibliográfica deta-llada. A diferencia de otras bibliotecas anteriores, Gotinga tenía un pre-supuesto finito para la adquisición de libros, lo que transformó las anti-guas prácticas de coleccionismo de las bibliotecas barrocas. Clark [2000, 199-200] resume la selección de textos como sigue:

De manera diametralmente opuesta a los típicos coleccionistas privados y de la realeza, [Heyne] evitó obras raras o costosas a menos de que fueran esenciales. También evitó obras que todo mundo tuviera, obras


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populares y ediciones múltiples. En el espíritu de la Ilustración, acopió lo ‘útil’ para el público y sólo el contenido del libro importaba. Junto con el catálogo sistemático, estos hechos transformaron la esencia de las bibliotecas de lo material y visible a lo formal y racional.

Este nuevo enfoque, junto con el espíritu de especialización del cono-cimiento que representaban las academias de minas, nos ayudarán a comprender mejor la formación de las bibliotecas de dichas institucio-nes. Mediante el análisis previo de las colecciones de las escuelas ale-manas, podremos observar las similitudes existentes entre aquéllas y la mexicana. Freiberg La importancia de la química, la mineralogía y la metalurgia dentro de los planes de estudio de las academias de minas en Sajonia se refleja claramente en la división temática de la biblioteca propuesta por Abra-ham Gottlob Werner (1749-1817), director y fuerza motriz intelectual de la misma, en 1795 [Schellhass 1969, 15]. Las dos ciencias referidas ocupan casi la totalidad de las materias propuestas. Esta lista, con una pequeña modificación, será utilizada para analizar los inventarios de libros, puesto que es la más adecuada para la biblioteca especializada de una academia de minas de finales del siglo XVIII.1 Se verá también que el papel de Fausto de Elhuyar en la selección de las obras haría desapa-recer muchos libros de religión, legislación, etc. La división de Werner es como sigue: Las materias científicas en las que ha de ocuparse principalmente esta biblioteca, son:

1. Matemática, tanto matemática pura y superior, como matemá-tica aplicada, aunque ésta última sólo cuando tenga relación con la minería,

2. Física, 3. Mineralogía, 4. Técnica minera con Geometría Subterránea y maquinaria de

minas, 5. Química,

1. El utilizar encabezamientos de materia actuales resulta limitante, puesto que éstos no

reflejan los intereses particulares del colegio. Esta es una diferencia fundamental res-pecto del trabajo de Eduardo Flores Clair [Flores Clair 1994], quien realizó su análisis con materias generales de conocimiento. Esto le llevó a colocar los libros de minera-logía y metalurgia bajo el mismo rubro, mientras que en la clasificación propuesta por Werner, se hace una división más especializada, que corresponde a las materias que se enseñaban en Freiberg, y después en México.


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6. Metalurgia, con arte de ensayar o docimasia, acuñación de monedas, salinas y bosques,

7. Conocimiento de la fábrica de las montañas y los minerales (geología),

8. Geografía, desarrollada con asuntos mineralógicos y mineros, al igual que los escritos generales más importantes y de geo-grafía y estadística alemanas y sajonas,

9. Historia de la minería con historia de Sajonia, 10. Leyes mineras y conocimiento del derecho minero con algu-

nas de las obras generales de leyes más importantes, y 11. Economía, economía política y hacienda pública.

[...] Vendrían después de los once rubros anteriores, otros dos, a saber miscelánea y periódicos generales entre los que se agregar-ían otras obras generales. También podría hacerse un rubro parti-cular con historia, geografía, estadística y leyes de Sajonia y colo-carlo en un mueble propio [Schellhas 1969, 17-18].

Si bien no se ha hecho un trabajo cuantitativo sobre el acervo de la biblioteca de Freiberg a finales del siglo XVIII, es fácil darse cuenta que este esquema era respetado. Existe un catálogo de dicha colección en 1879 [Kreischer 1879]. Evidentemente el análisis de las materias de los libros hasta 1817 correspondería a las once materias propuestas, al menos diez mil de ellos son la biblioteca personal de Werner que pasó a formar parte de la colección de la academia después de su muerte. Schemnitz Apenas y se fundó la primitiva escuela de minas en 1735, ya se tenía una colección de libros. Cuando la escuela se convirtió en academia, se buscó tener los últimos libros publicados de las materias impartidas. También se recibían las principales publicaciones periódicas de ciencia minera. Al final del siglo XVIII, la academia poseía más de novecientos títulos en mil ochocientos volúmenes. Las materias principales del acervo eran “minería, geometría subterránea, salinas, economía minera, derecho minero, beneficio, ensayes y acuñación de monedas” [Zsámbo-ki 1976, 77]. También se consideraban otras, siempre y cuando tuviesen relación con las anteriores: ‘matemáticas, geometría, física, mecánica, hidráulica, químicas, ciencias de los minerales y de la tierra, maquina-ria, construcción y arquitectura’. Las disciplinas principales son simila-res a las propuestas por Werner en Freiberg. Este hecho es importante, puesto que la única academia que se formó con cierta independencia de


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la de Freiberg, fue ésta de Schemnitz. De esta manera, las dos escuelas que pusieron los lineamientos para todas las que les siguieron, desarro-llaron colecciones de libros con la misma división temática de manera independiente. Ya a mediados del siglo XIX, se añadieron en Schemnitz los estu-dios de técnico forestal. Al finalizar la Primera Guerra Mundial, la academia se trasladó a Miskolc, en Hungría y en los años cincuenta la división de ingeniería forestal se estableció más al oeste en Sopron. La bilblioteca se repartió entre ambas instituciones, pero la mayoría quedó en Miskolc. En 1976, se decidió hacer un museo para recordar a la antigua academia. Entre los proyectos realizados, se reorganizó la bi-blioteca de acuerdo a la división que tenía en 1862. Todo fue posible gracias a la existencia de diversos inventarios y descripciones. De esta manera, se adoptaron [Zsámboki 1976, 81-82] las doce materias si-guientes:

1. La parte matemática de la minería 2. Parte fisico-química de la minería 3. Parte mineralógica de la minería 4. Técnica de extracción minera 5. Técnica de beneficio 6. Salinas 7. Acuñación 8. Técnica forestal 9. Tecnología 10. Escritos científicos sobre temas diversos 11. Bibliografía 12. Mapas

A pesar de haberse agregado nuevas materias que concordaban con los avances científicos del siglo XIX y con los nuevos estudios forestales, las similitudes con la división del siglo XVIII en Schemnitz y la pro-puesta por Werner, no hay variantes sustanciales, en tanto que la clasi-ficación comienza con la aplicación de las matemáticas a la minería. Formación de la biblioteca del Real Seminario de Minería Todos los autores que han escrito sobre la colección del RSM coinciden en que fue conformada a partir de los libros de Joaquín Velázquez de León, confiscados por una deuda contraída con el Real Tribunal de Minería [AHPM, 1786/II/25/d.19]; los del fiscal de dicha institución, Juan Eugenio Santelizes Pablo; y las compras hechas en librerías de


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Europa a través del apoderado del Tribunal y en las de México. Es pertinente hacer algunas aclaraciones sobre el orden en que los libros fueron integrados al acervo y las ventas de textos hechas por particula-res como Vicente Cervantes, catedrático del Real Jardín Botánico de México, y Francisco Xavier Sarría, director de la Real Lotería, e intere-sado en la metalurgia. Eduardo Flores Clair da por sentado que la colección de Velázquez de León pasó a formar parte de la biblioteca inmediata e íntegramente [Flores Clair 1994]. No obstante su temática, todos los libros llegaron al edificio del Colegio, pero no fueron integrados a la biblioteca sino hasta 1798, como se verá más adelante. Aún cuando el director del Seminario de Minería buscó insistentemente conseguir libros en Europa, la mayoría de las obras adquiridas para la biblioteca provinieron de colecciones personales muy distintas entre sí. Por ello es necesario hacer un breve análisis de materias, fecha de impresión y procedencia las dos más importantes, la de Joaquín Velázquez de León y Eugenio Santelizes. Al estudiar una biblioteca personal siempre se llega a la paradoja de que la posesión de un libro no implica que haya sido leído por su dueño, no obstante, el historiador francés Daniel Roche, propone que el tener un libro supone una selección, intereses, pasiones e incluso man-ías y muestra que quien adquiere dicho objeto considera que además de ser leídos, ciertos libros merecen ser conservados [Roche 1988, 47]. Asimismo, propone que el análisis de un inventario por sí mismo no arroja mucha información si no se compara con otro. Intentaré estable-cer algunas relaciones de los libros llegados al Seminario de Minería según diversos aspectos intelectuales de los dueños originales y del encargado en seleccionarlos: Fausto de Elhuyar.

La biblioteca personal de Joaquín Velázquez de León1 Joaquín Velázquez de León es considerado como uno de los principales promotores de la ciencia en la Nueva España ilustrada del siglo XVIII. Abogado de profesión, mantuvo un fuerte interés en las matemáticas y la astronomía, cuyo conocimiento fue adquiriendo a través de los libros que poseía. Su posición social acomodada le permitió actuar como mecenas de otros interesados en el tema, como Antonio de León y Ga-ma y José Ignacio Bartolache. Según inventario de 1786, su biblioteca constaba de cuatrocientos cuarenta títulos en ochocientos un volúmenes aproximadamente. Los

1. Un análisis detallado de esta colección y de la del fiscal Santelizes será presentada en

otros trabajos. Aquí sólo interesa dar cuenta de los libros de matemáticas.


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libros no sólo versan sobre ciencias naturales, sino también historia, derecho, economía, literatura, religión, etc. No obstante, únicamente los libros científicos y técnicos llegarán a la biblioteca del Seminario, por lo que analizaremos únicamente esta porción que constaba de ciento ochenta y tres títulos en trescientos ochenta y cinco volúmenes. De éstos, únicamente cuarenta y cuatro pueden ser considerados como libros de matemáticas puras, aunque existen otros cuarenta y seis títulos sobre arquitectura, navegación y astronomía que pudiesen ser conside-rados como de matemática aplicada. Esto quiere decir que más de la mitad de los libros técnicos y científicos de Velázquez de León estaban enfocados a las ciencias matemáticas. Se verá que ninguna de las biblio-tecas que analizaré, tenían esta proporción y cantidad de libros sobre el tema, por lo que la mayoría de los libros de esta disciplina que llega-ron durante el siglo XVIII a la biblioteca del Seminario de Minería, provenían de su colección. Algunos de los títulos pertenecientes a Velázquez de León corres-ponderían más a un sabio del siglo XVII que a uno del XVIII. Basta analizar el inventario de libros del célebre Christiaan Huygens (1629-1695), formado tras su muerte como catálogo de venta [Moetiens 1695]. En él se encuentran las obras François Viète [4.10],1 Marino Gethaldi [4.11], la aritmética de Diofanto comentada por Bachet de Méziriac [2.5], las dos versiones de las cónicas de Apolonio comenta-das por Borelli y Claude Richard [2.6]. Velázquez de León no sólo tenía los mismos títulos, sino las mismas ediciones que Huygens. Los textos más recientes sobre matemáticas eran las obras de Benito Bails (impresas entre 1779 y 1781) [1.24], Nicolas de La Caille (impresas en los años sesenta) [1.3]. Ambas eran textos generales para el aprendizaje de las matemáticas y sus aplicaciones. La impresión con fecha más aproximada de un libro de matemática teórica era una edición holande-sa de 1761 de la Arithmetica Universalis de Isaac Newton [1.18], que incluía textos del siglo anterior. La distribución de los libros de ma-temática pura es cinco del siglo XVI; quince del XVII y veintitrés del XVIII. Una explicación de la antigüedad de los textos son los exlibris presentes en algunos de los que aún se conservan, al menos tres obras pertenecieron a sabios novohispanos del siglo XVII (Cristóbal de Gua-dalajara [4.10 y 4.11] y Carlos de Sigüenza y Góngora [2.19]), aunque 1. Este número denota la posición de la entrada correspondiente a la obra en el inventario

del Seminario de Minería de 1799 que se incluye en los anexos. En el Anexo 1 aparece un facsímil del mismo. El Anexo 2 es un listado de los libros del mencionado inventa-rio en el que se expresa el dueño original de cada obra.


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pueden ser más, que no pueden determinarse debido a la ausencia de marcas que lo confirmen. De cualquier modo, es fácil demostrar a través de estos testigos, que muchas de estas obras pasaron de mano en mano por generaciones de interesados en el tema en Nueva España. A pesar de haber sido recibidos cuando el Seminario de Minería abrió sus puertas en 1792, los libros de Velásquez de León no formaban parte de la biblioteca. Año con año, el mayordomo del colegio, José de la Llera, realizaba un inventario general. Sólo en el primero que se conserva, el de 1793, existe una lista explícita de los libros resguarda-dos en la biblioteca [AHPM, 1793/III/62/d.13, f.13-15v]. Ahí se expre-san únicamente los libros del difunto fiscal del Tribunal, Juan Eugenio Santelizes, de los que hablaremos más adelante, con un total de dos-cientos cincuenta y seis volúmenes. En ese mismo inventario, se men-ciona otro cuarto del colegio, marcado con un número uno según alguna organización desconocida, en el que estaban “los libros e instrumentos de la testamentaría de Joaquín Velázquez de León” [AHPM, 1793/III/62/d.13, f.2]. Como se indicó, los inventarios de los años sub-secuentes no detallan los títulos de los libros. Sólo se sabe que para 1794 había doscientos ochenta y ocho volúmenes [AHPM, 1794/III/70/d.3, f.10], cifra que permaneció sin cambio hasta 1796 [AHPM, 1795/IV/78/d.16, f.9 y AHPM, 1796/V/83/d.10, f.6]. Se supo-ne que existían inventarios propios de la biblioteca, de los que no se conservó alguno. Presumiblemente, Elhuyar habría querido dejar a un lado esta colección puesto que estaba compuesta mayoritariamente por textos de matemáticas, astronomía y arquitectura, que no correspondían a los estudios específicos del RSM, es decir, no cumplían con los reque-rimientos de las academias de minas centroeuropeas que el director había tomado como modelo [Escamilla 2004, 399-475]. De esta manera, los primeros libros con los que contó el RSM fue-ron los adquiridos en 1791 con motivo de la apertura del mismo, que fueron las obras de Benito Bails que serían utilizadas como texto y otros varias obras y láminas sueltas destinadas para la clase de dibujo figurativo [AHPM, 1791/IV/51/d.12], y los que vendió el fiscal Santeli-zes. La biblioteca personal de Juan Eugenio Santelizes Pablo Natural de la Nueva Galicia, Santelizes se dedicaba a la explotación minera, además de ser aficionado a las ciencias auxiliares de la minería y la metalurgia, en especial de la química. En 1793, reconociendo que su muerte estaba próxima, decidió vender sus libros para uso del Semi-nario de Minería. Los títulos fueron escogidos personalmente por El-


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huyar dejando fuera una cantidad indeterminada de obras no relaciona-das con el quehacer del Seminario [AHPM, 1793/VIII/67/d.13] e inclu-so algunas de ellas habían sido adquiridas por el fiscal, de manera más reciente, bajo influencia de aquél [Escamilla 2008]. Existen evidencias de que Santelizes formaba parte de un grupo de discusión de química en el que participaban Vicente Cervantes, Francisco Xavier de Sarría y Elhuyar, entre otros. Es claro que Santelizes no estaba tan interesado en las matemáticas y ello se refleja en su biblioteca. De los ciento vein-tidós títulos seleccionados, únicamente diecisiete se referían a matemá-ticas puras. Solo dos habían sido impresos en el siglo XVII y no había alguno del XVI. De los comprados de manera más reciente con influen-cia de Elhuyar, había tres, todos impresos en la década del ochenta. Uno de ellos, de hecho no es de matemática pura, sino de matemática aplicada a la geometría, y es la Géometrie Souterraine Jean Pierre François Guillot Duhamel, utilizado como texto en la academia de minas de París. Este no habría sido tomado en cuenta de no tratarse de una biblioteca minera. Otras compras personales Al principio, la mayoría de los libros adquiridos por compra directa iban al almacén del colegio para después ser distribuidos como pre-mios. Los primeros intentaron satisfacerse con los libros comprados en la primera gran adquisición hecha antes de fundar el colegio y los com-prados en librerías locales, pero el proceso era lento y en 1796 todavía se debían premios de 1792 [AHPM, 1796/VI/84/d.1, f.53].1 En los años subsecuentes, llegaron más libros desde Europa, pero Elhuyar también buscó adquirir otros entre sus amistades o de entre los albaceas de personajes relacionados con la minería. El 17 de octubre de 1793, José Antonio de Rojas vendió un ejemplar de la obra de física de Mussenbroeck [AHPM, 1793/IV/63/d.2]. La segunda de estas compras fue al sobrino de Santelizes en 1794, que ya fueron incluidos en la estadística del apartado anterior. El 10 de octubre de 1794, Rafael Ximeno y Planes vendió un Vignola [AHPM, 1794/VI/73/d.14]. El 15 de febrero de 1796, Esteban González, catedrático de dibujo del cole-gio, vendió unos Elementos de matemática pura de Carlos Lemaur, unas tablas de logaritmos de William Gardiner traducidas por François Callet y un juego completo del Espectáculo de la Naturaleza del Abate Pluche [AHPM, 1796/VI/84/d.1]. Todos estos libros se dieron como 1. En este documento se incluye la ‘Lista de los libros que se han de dar a los sujetos

siguientes para completarles los premios que se les dieron desde al primer año hasta el cuarto. Hoy 17 de febrero de 1796’, formada por Fausto de Elhuyar.


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premios. La situación comenzó a cambiar, puesto que Elhuyar comenzó a seleccionar algunos de los libros comprados para que se quedasen en la biblioteca. Así, la adquisición hecha el 10 de mayo de 1796 a Pedro de la Chaussé, el maquinista flamenco constructor de diversas máqui-nas del gabinete de física del colegio, que incluyó sólo el tratado de construcción de termómetros de Jean André de Luc, fue a parar en la biblioteca, donde todavía se encuentra.1 l año siguiente llegó la remesa más importante, que fue la adquirida de Vicente Cervantes, el catedrático del Real Jardín Botánico y botica-rio del Hospital de San Andrés, quien vendió veinte títulos en ochenta y cinco volúmenes el 21 de julio de 1797 [AHPM, 1797/II/87/d.1]. De importancia para el estudio de las matemáticas se incluían solamente cuatro títulos:

Autor Título Lugar Año

Bails, Benito (1730-1797) Elementos de Matemática Madrid 1779-81

Bezout, Etienne (1739-1783)

Cours de Mathématiques à l'usage des gardiens de Pavillon et de la Marine

París 1775

Duhamel, Jean Pierre François Guillot (1730-1816)

Géométrie souterraine, élémen-taire, théorique et pratique París 1787

Saury, Jean (1714-1785)

Cours complet des Mathémati-ques París 1744

La totalidad de los libros comprados a Cervantes fueron integrados a la colección el 20 de junio de 1798 [AHPM, ML-285B, f.7]. En realidad la mayoría de los títulos versaban sobre química, la principal vocación del vendedor. Casi un mes después, el 17 de agosto de 1797, Francisco Xavier Sarría vendió cuatro títulos en ocho volúmenes, y el único relevante para matemáticas fue nuevamente la mencionada obra de Duhamel [AHPM, 1795/III/77/d.1]. No obstante, por estar duplicado, no quedó en la biblioteca del Colegio. Estas últimas compras obedecieron a la apertura de la cátedra de química en 1796, que como una de las princi-pales del colegio, requería de toda la bibliografía que pudiera reunirse.

1. Jean André de Luc, Recherches sur les modifications de l'atmosphère, contenant

l'Histoire critique du Baromètre & du Thermomètre, un Traité sur la construction de ces Instruments…, París, 1784.


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Es natural que Elhuyar haya recurrido a Sarría y Cervantes, con quienes discutía temas de la materia. Durante los años de 1798 y 1799, las compras a libreros en la Ciu-dad de México bastaron para satisfacer los premios de los alumnos, pero posteriormente decidió Fausto de Elhuyar franquearles a los alum-nos dinero en efectivo en vez de los textos. De esta manera, los libros provenientes de las pocas compras personales que se hicieron después, se integraron a la biblioteca. El 22 de junio de 1803, el catedrático de física Antonio Sein vendió los dos tomos de las obras completas de Domenico Guglielmini. Este libro ya estaba en la biblioteca puesto que Velázquez de León tenía un ejemplar. El 20 de julio de 1803, se com-praron cinco títulos en seis tomos pertenecientes originalmente a Andrés José Rodríguez, primer catedrático de matemáticas del colegio y que había muerto años antes; cuatro de ellos referentes a la cátedra que había impartido [AHPM, 1803/IV/122/d.18].1

Giannini, Pedro Curso matemático para la enseñan-za de los caballeros cadetes del Real Colegio Militar de Artillería

Madrid 1779-82

Giannini, Pedro

Prácticas de geometría y trigono-metría con las tablas de los logarit-mos... para la enseñanza de los ca-balleros cadetes del Real Colegio Militar de Artillería

Segovia 1784

Guisnée Application de l'Algèbre à la Géo-métrie París 1733

Maclaurin, Colin (1698-1746)

Traité d'Algèbre et de la manière de l'appliquer París 1753

Villarreal de Berriz, Pedro Bernardo

Máquinas hidráulicas de molinos y herrerías y gobierno de los árboles y montes de Vizcaya...

Madrid 1736

La totalidad de estos libros pasó a la biblioteca del Colegio y, después de la de Velázquez de León, fue la única adquisición de libros cuyo contenido fuera matemático de manera predominante. Ordenamiento de la biblioteca

1. La venta se llevó a cabo por Sebastián Gómez Morón, albacea de Rodríguez. Dicho

personaje había formado parte del círculo de discusión sobre química encabezado por Fausto de Elhuyar y Vicente Cervantes.


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Después de estas adquisiciones y al observar Elhuyar la dificultad para conseguir obras útiles, decidió integrar algunos libros de la colección de Velázquez de León y ordenar, al parecer por primera vez, las obras por materia. Siguiendo los inventarios generales del colegio, para 1799, el espacio señalado como ‘cuarto uno’ en el que se guardaban los libros de Velázquez, formaba parte ya de las habitaciones del rector [AHPM, 1799/III/100/d.26, f.2]. Es probable que en ese año se hayan escogido los títulos útiles – según Elhuyar – para el colegio. Esta selección, está reflejada en un inventario de la biblioteca de 2 de abril de ese año, del que nos ocuparemos más adelante, y donde se demuestra que ya habían integrado los libros del difunto director [AHPM, 1799/III/100/d.23]. Esto es congruente con la presencia del sello de la biblioteca también en estos textos, pues como se verá, fue comprado y utilizado un año des-pués. El rector tuvo en su habitación el resto de los libros, los que no fueron seleccionados, tal vez hasta 1803. El inventario de ese año ya no los consigna en sus aposentos [AHPM, 1800/II/105/d.33, f.2]. Los li-bros habrían sido llevados a la biblioteca, puesto que en febrero de 1805, cuando el Santo Oficio tuvo noticia de que en la biblioteca del Colegio de Minería se resguardaba el Diccionario Filosófico de Voltai-re (que había pertenecido a Velázquez de León) entre otros; se realizó una visita de revisión a cargo del comisario de corte José Rafael Gil de Oyaga, el 9 de marzo de ese año [Archivo General de la Nación, Méxi-co, Inquisición, vol. 1426, exp.16, ff. 58-65]. Gil señala sin embargo, que de dichos libros, “ninguno pertenece a la biblioteca de este Semina-rio y aunque se hallan en la pieza misma, están tirados en el suelo, fuera de los estantes, sin sello o marca que tienen los de el uso de este Semi-nario; y están destinados a venderse”.1 A continuación, se añade una lista de los referidos libros. Todos provenían originalmente de la colec-ción de Velázquez de León y daban un total de doscientos dieciséis títulos en trescientos treinta y dos volúmenes. Sobra decir que la temá-tica de estas obras es historia, derecho, economía, religión, literatura, etc. El inventario de 2 de abril de 1799 Como ya se mencionó, las anteriores adquisiciones y los movimientos y ordenaciones que sufrieron los libros se encuentran reflejados en un documento: Titulado Catálogo de los libros existentes en la biblioteca de este colegio, formado en 2 de abril de 1799 por Dr. Don Mariano

1. Las ventas se concretarían en los años 1881 y 1882 [AHPM, 1882/III/217/d.18].


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Fernández de Castro, colegial catedrático del mismo Seminario de Miner-ía [AHPM, 1799/III/100/d.23], (ver Anexo 1). De este documento, sólo han llegado hasta nuestros días dos fojas en las que se reportan los libros que estaban contenidos en los dos primeros estantes o libreros. Allí se tenían en su mayoría los libros de matemáticas, astronomía y arquitectura, aunque la idea era tener allí los del primer tema. Este inventario comenzó a ser for-mado por Mariano Fernández de Castro, entonces catedrático de lengua latina del colegio, y ha sido poco explotado por quienes han escrito ante-riormente sobre el Real Seminario de Minería.1 Al final del contenido detallado cada estante, se aprecia que poste-rior a la época original en que se escribió el documento, se fueron agre-gando otros libros que se integraron al acervo posteriormente. Es decir, la versión original sí incluía las compras hechas antes de 1799 y que se mostraron líneas arriba. En cuanto a los libros agregados, existen algunos cuyo origen se desconoce. Por ejemplo, en el estante primero se encon-traba un segundo ejemplar del Tratado de las máquinas de a bordo de Franciso Ciscar [2.4] y los comentarios de Chirstophorus Clavius a La Esfera de Juan de Sacro Bosco [2.30]. En el segundo estante, la primera entrada adicional es “Bouguer Figura de la Tierra” [4.27], escrita presu-miblemente con letra de Fausto de Elhuyar [AHPM, 1799/III/100/d.23, f.2v].2 Al respecto, no hay algún documento: libro de almacén o compro-bante de gasto, que indique pago de dinero por ellos, por lo que podría pensarse que llegaron a la biblioteca en calidad de donación. Al final del reverso de la segunda foja —después de la entrada de la obra de Bouguer— hay otra mano, o tal vez la del mismo Fernández pero con letra descuidada, que da cinco títulos más [4.28 a 4.32] y en ese lugar se interrumpe. Estos últimos libros son justamente los vendi-dos por el albacea de Andrés José Rodríguez en 1803 que se habían mencionado anteriormente. Podemos así concluir que al final de cada estante se iban añadiendo los textos que se integraron paulatinamente al acervo y que la última fecha en que se modificó fue justamente 1803. Un facsímil del documento se añade al final del texto (Anexo 1) además de su transcripción y posible origen de cada una de las obras (Anexo 2). Cabe mencionar que la determinación del lugar y fecha de impresión de cada libro fue posible gracias a que los inventarios de las colecciones de Veláz- 1. Este documento fue publicado anteriormente por Clementina Díaz y de Ovando. El

contenido de la foja dos vuelta está transcrito antes que el del frente, lo que modifica la ubicación de los libros. En el orden que ahí se presenta, los libros de la foja dos vuelta corresponderían al estante no. 1, cuando en realidad pertenecen al segundo. La autora no lo comentó [Díaz y de Ovando 1988 I, 81 y 313-317].

2. Es fácil identificar la caligrafía del director en la ‘F’ y en la preposición ‘de’, que siempre usaba para firmar.


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quez de León y Santelizes, así como algunos de los comprobantes de gastos y los libros que aún se conservan; facilitaron la obtención de los datos. Los textos del primer estante parecen estar bien seleccionados y hay varias notas al margen en que se marca que los libros pertenecientes a otras materias, sobre todo arquitectura, fueran trasladados al lugar correspon-diente. Además, se puede ver que la clasificación iba más allá de materias generales puesto que las matemáticas están subdivididas. El frente de la primera foja comienza con cursos generales que no incluyen cálculo dife-rencial e integral, para después continuar con obras de álgebra y geometría. Entre estos se encontraban las Opuscula mathematica de Isaac Newton en tres tomos y con un símbolo de indicación se puede leer junto trasladadas [1.19]. La siguiente sección contiene otra vez cursos generales, pero que incluían nociones de cálculo diferencial e integral. Ahí se da vuelta y en el reverso de la foja continúan. Entre ellos, se ve nuevamente el símbolo de indicación que estaba junto a la mencionada obra de Newton, señalando el lugar donde correspondía y al que debía ser trasladada. Después de los Opuscula, en el lugar que ocupaban antes del tras-lado, estaban los Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del mismo autor junto con la misma leyenda de trasladados [1.20]. A partir de lo que queda del catálogo, no se puede saber cómo se habría subdi-vidido la física, donde correspondería esta obra, si es que así fue el caso. También junto a los Opuscula, pero ya en su nuevo lugar, había otros libros de geometría y aritmética que se pide se muevan al princi-pio, donde debían estar. De las demás notas se infiere solamente una sección de arquitectura. Respecto a lo contenido en el segundo estante, parece ya no haber-se tenido el mismo cuidado que para el primero, las anotaciones ya no continúan y hay obras que no son del tema y no tienen indicación para su traslado, como el tratado de arquitectura naval de Dassié [3.25] y el de navegación de Bouguer [3.24]. Aproximadamente se conserva la mitad de las obras incluidas en el inventario, ya sean completas o en tomos sueltos. En un principio, podría pensarse que todos deberían de tener el sello característico de la biblioteca (fig.1), que generalmente se ubica en uno o en varios de los lugares siguientes dentro del libro: la portada, la página del prefacio, la página 101 y la página última. El sello fue recibido en la colegio el 3 de septiembre de 1800 [AHPM, 1800/II/105/d.1, f.276],1 pero se encontró que los libros que habían llegado en octubre del mismo año o después, 1. El sello para marcar los libros de la Biblioteca del Real Seminario de Minería con las

almohadillas y demás adherentes venía en una caja de hojalata, incluía dos balitas para la tinta, un tintero de cristal y un cuchillito. Fue hecho por José de Cervantes.


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ya no lo tienen; como lo confirma un ejemplar del Examen Marítimo teórico práctico de Jorge Juan.1 En la guarda anterior presenta una nota manuscrita que dice: “Regalado al Real Seminario de Minería por Don Manuel Espinosa Teniente de Navío de la Real Armada en 8 de octubre de 1800” (este texto no se incluye en el inventario estudiado puesto que no es de matemáticas). A pesar de que sólo había pasado un mes des-pués de la adquisición del sello, el libro no lo presenta. De este modo, en las obras que entraron a la biblioteca antes de dicha fecha, es decir

las de Velázquez de León, Santelizes, Cervantes y otros ya mencionados; sí fue utilizado. Por el contrario, aquéllas de las que no se sabe su origen, como el texto de Clavius o los comprados en fecha poste-rior, como los del albacea de Andrés José Rodríguez; ya no fueron sellados.

A pesar de la falta de anotaciones en la segunda foja, gracias a las existentes en

la primera, resulta claro que Elhuyar siguió la propuesta de Werner en la clasificación de los libros: “Matemática, tanto matemática pura y superior, como matemática aplicada, aunque ésta última sólo cuando tenga relación con la minería”. Elhuyar seleccionó las obras de astro-nomía, navegación y construcción —es decir de matemáticas aplicadas pero sin relación con la minería— y las ‘trasladó’, dejando únicamente las que el sajón describía en su clasificación. De un total de ciento veintisiete entradas, únicamente cuatro no pudieron ser identificadas; veintiuna no son del tema o están repetidas según las anotaciones presentes. El análisis del origen de las obras debe ser entonces sobre cientoseis. Tal vez algunos libros del segundo estan-te también habrían debido ser trasladados; aunque sería relativamente sencillo identificar cuáles serían movidos, he decidido no dejar fuera ninguno en esta estadística. Así, siguiendo los inventarios, libros de almacén y comprobantes de gastos, el origen de los libros de matemáti-cas del Real Seminario de Minería, independientemente de la compra continua de los textos de Benito Bails, es como sigue:

1) sesenta y un de Velázquez de León 2) quince de Santelizes 3) seis de Velázquez de León o Santelizes 4) cinco de Andrés José Rodríguez

1. Se conserva en la Biblioteca “Ing. Antonio M. Anza”, Palacio de Minería.

Figura 1. Sello del RSM


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5) dos de Vicente Cervantes 6) uno de José Antonio Rojas 7) uno comprado por el Seminario en librerías en 1792 8) quince de origen desconocido.

Aquí se ve claramente lo que se había afirmado con anterioridad, más de la mitad de las obras provenían de la biblioteca de Velázquez de León por motivo de su afición a las matemáticas y sus aplicaciones. Asimismo, Elhuyar realizó varios intentos por adquirir libros acordes a lo que para él era el conocimiento moderno y apropiado para los objeti-vos del Colegio. Primero hizo de lado los libros de Velázquez y des-pués los organizó trasladando lo que no consideraba útil. No obstante, al igual que la adaptación de su plan original de estudio a la realidad novohispana, la biblioteca tuvo que adecuarse a la dificultad de obtener los textos. Conclusión Años después, cuando Elhuyar partió a España después de la declara-ción de Independencia mexicana, el director dejaría sus libros coleccio-nados durante sus viajes en Europa en los años setenta y ochenta del siglo XVIII. La abrumadora superioridad en la cantidad de libros de química, mineralogía y metalurgia sobre los de los de matemáticas, es exactamente opuesta al corpus de libros de Velázquez de León [Esca-milla 2004]. Podemos concluir entonces que en los primeros años del México independiente, la biblioteca del Colegio de Minería estaba constituida en su mayoría por las colecciones personales de los únicos dos directores que tuvo el Real Tribunal de Minería, con orígenes, formación, ideas y objetivos diferentes, pero cuyos esfuerzos unificados dieron origen a la primera institución oficial en la que se enseñaron matemáticas superiores en el país. Referencias CLARK, William. 2000. “On the Bureaucratic Plots of the Research

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Anexo 1 Catálogo de los libros existentes en la biblioteca de este colegio, for-mado en 2 de abril de 1799 por Dr. Don Mariano Fernández de Cas-tro, colegial catedrático del mismo Seminario de Minería Archivo Histórico del Palacio de Minería, 1799/III/100/d.23


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Anexo 2 Transcripción del Catálogo de los libros existentes en la biblioteca de este colegio, formado en 2 de abril de 1799 por Dr. Don Mariano Fernández de Castro, colegial catedrático del mismo Seminario de Minería. AHPM, 1799/III/100/d.23 Explicación de las columnas de la tabla:

A) Ubicación por foja, a saber: 1 = f.1; 2 = f.1v; 3 = f.2; 4 = f.2v B) Número de entrada particular de cada foja. A y B correspon-

den al número anotado en el Anexo 1. C) Anotaciones al margen del documento original D) Autor del libro E) Título del libro F) Lugar de impresión G) Año de impresión H) Número de tomos I) Tamaño del libro: octavo, cuarto, folio. J) Encuadernación, pergamino: pe; piel: pa (o pasta como se de-

cía en la época). K) Observaciones. Incluye la ubicación de algunas obras resguar-

dadas en la Biblioteca Nacional de México (BNM) o informa-ciones sobre marcas de pertenencia encontradas en los libros que todavía se conservan.

L) Idioma en que está la obra, es = español, fr =francés, lt = latín; it = italiano; gr = griego

M) Biblioteca personal de la que provino el libro, JVL = Joaquín Velázquez de León; JESP = Juan Eugenio Santelizes Pablo; AJR = Andrés José Rodríguez; FAB = Francisco Antonio Ba-taller; JAR = José Antonio de Rojas; RXP = Rafael Ximeno y Planes; VC = Vicente Cervantes. Otros números denotan la clasificación de los documentos donde se consigna su compra a librerías.

N) Impresor del libro O) Columna en que se consignan los libros aún conservados en la

Biblioteca “Antonio M. Anza” del Palacio de Minería.


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El concepto de consecuencia lógica en Bernard Bolzano

Pilar Castrillo Criado

RESUMEN La noción de consecuencia lógica siempre ha sido un objeto importante en la agenda de ls filosofía. Uno de los enfoques a consecuencia más prominentes fue propuesto por el matemático y filósofo Bernard Bolza-no (1781-1848) en su monumental Wissenschaftslehre. Las innovacio-nes conceptuales más revolucionarias están basadas sobre lo que él lla-ma el método de variación. Éste consiste en la sustitución de ideas apropiadas por variables y en el examen del valor de verdad de la pro-posición resultante. Este ensayo está dedicado a examinar si la versión de Bolzano de consecuencia lógica es adecuada filosóficamente.

ABSTRACT

The notion of logical consequence has always been an important item on the agenda of philosophy. One of the most prominent approaches to consequence was proposed by the mathematician and philosopher Ber-nard Bolzano (1781-1848) in his monumental Wissenschaftslehre. Bol-zano’s major conceptual innovations are based on what is named the method of variation. It consists in the substitution of appropriate ideas to variables and in the examination of the truth value of the resulting proposition. This paper is devoted to see whether the Bolzano´s account of logical consequence is philosophically adequate.

PALABRAS CLAVE: Bolzano, Tarski, lógica, consecuencia lógica, deducibilidad KEY WORDS: Bolzano, Tarski, lógic, logical consequence, deducibility 2000 MSC: 01A55, 03A05, 03B05, 1. Introducción Los intentos de elucidación de la noción intuitiva de consecuencia lógi-ca en términos mejor comprendidos y más claros se han sucedido a lo largo de la historia desde el momento mismo de la aparición de esta

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ciencia. Tales intentos han apelado a conceptos de muy diversa índole: se la ha definido, entre otras formas, en términos de la noción modal de necesidad, en términos de mundos posibles, por medio de la noción sintáctica de deducibilidad y utilizando conceptos de índole semántica como los de validez o satisfacción. De este último tipo es, como es sabido, la definición ofrecida por Tarski en su “Sobre el concepto de consecuencia lógica”,1 que constituye el punto de partida de nuestro actual modo de entender la consecuencia lógica, pero es también la que exactamente un siglo antes, en 1837, ofreció Bernard Bolzano (1781-1848). En esta fecha, Bolzano propuso, en efecto, explicar la relación de consecuencia lógica, a la que él denominó deducibilidad [Ableitbarkeit], en términos de la noción de preservación de la verdad por todo modo de sustituir los conceptos que él denominó ‘no-lógicos’. La teoría por él mantenida es la de que la rela-ción de deducibilidad es aquella que media entre un conjunto de premisas K y una conclusión X cuando no hay ninguna sustitución uniforme de las ideas no-lógicas que haga verdaderos a todos los miembros de K y falsa a X. Aunque la definición de Tarski no habla de proposiciones sino de ora-ciones de un lenguaje formalizado y en ella la noción de sustitución ha sido reemplazada por las más precisas de satisfacción y modelo, la teoría tars-kiana de la consecuencia lógica guarda una similitud innegable con la bol-zaniana, en la que tal vez tiene sus raíces.2 A pesar de que lo novedoso de una caracterización que apela a un aparato conceptual de índole semántica en una época en la que nadie acostumbraba todavía a servirse de tales términos, lo cierto es que la definición bolzaniana de consecuencia lógica, al igual que otras de las elucidaciones de nociones lógicas que ofreció, como las de validez o analiticidad, pasará prácticamente desapercibida, o no será objeto de la debida atención, para la historiografía clásica de la lógica. Entre las razones que explicarían esta situación, las de mayor peso se cifran, en mi opinión, en dos, una que tiene que ver con el modo en que hasta hace poco solía escribirse la historia de la ciencia en general y de la lógica en particular; la otra guarda relación con las especiales circuns-tancias que marcaron la vida de su autor. Empezando por la primera de estas razones, es preciso señalar que Bolzano no sintió el menor interés por la construcción de cálculos lógicos, manteniéndose su pensamiento 1. Este artículo fue publicado en 1936 primero en polaco y luego en alemán en Actes du

Congres International de Philosophie Scientifique, VII, Paris, 1936. La versión inglesa del mismo está recogida en Tarski 1956, págs. 408-20.

2. El primero en señalar la similitud entre las teorías de Bolzano y de Tarski fue Scholz [1937, 407 y sig.], pero lo han hecho también otros muchos autores entre los que cabe destacar a: Berg [1962, 17], George en la introducción a su traducción de Bolzano 1837 [Bolzano 1972], Corcoran [1973] y Sebestik [1992].

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en este aspecto al margen de la dirección en que soplaban los vientos de la modernidad. Este hecho explica la escasa o nula atención que su obra merecía a los ojos de una historiografía sólo atenta a la de quienes, como es el caso de Frege, se encargaron de diseñar sistemas lógicos deductivos, en la idea de que éste es, si no el único, sí el aspecto más relevante en el proceso de constitución de la lógica moderna. Las vicisitudes de la vida de Bolzano, por otra parte, tampoco fueron las más propicias para un acercamiento a su figura y a su obra: Bolzano fue una víctima de la represión ejercida en Checoslovaquia por las autori-dades del imperio austrohúngaro del que por entonces formaba parte, ya que, en 1819, fue apartado del puesto que venía ocupando desde 1805 en la universidad de Praga como profesor de instrucción religiosa, más por sus ideas en favor de una reforma social y política que a causa de sus enseñanzas religiosas. Este cese estuvo acompañado de la prohibi-ción de enseñar y predicar en público y de difundir sus ideas. La reclu-sión que seguiría como consecuencia, aunque probablemente tuvo el efecto positivo de brindarle el ocio necesario para escribir sus obras, dificultó considerablemente la propagación y discusión de sus ideas que quedaron confinadas a un reducido círculo de íntimos. Por suerte, esto no impediría que ciertos discípulos de Brentano –especialmente Höfler, Husserl y Twardowski– se interesaran por su pensamiento y lo trans-mitieran a las generaciones que siguieron. De especial interés resulta en este sentido la labor realizada por el último de ellos en la universidad de Lvov (en alemán, Lemberg), pues entre sus discípulos figuraban algunos de los fundadores de la escuela de Varsovia, en la que tendría lugar la formación de Tarski.1 Como en el caso de Frege, el objetivo perseguido por el matemáti-co de Bohemia no es otro que el de renovar la lógica para mejor adap-tarla a las exigencias de una exposición precisa de las matemáticas. Esto le llevará a centrar sus esfuerzos en la tarea de asentar la idea de que las proposiciones de la lógica no son, como todavía las denominará Boole, “leyes del pensamiento” sino verdades objetivas totalmente independientes del hecho de que las conozcamos o no, creando así las condiciones iniciales para el desarrollo de la lógica moderna. Bolzano hace suya la tesis leibniziana de la necesidad de dotar a las matemáticas de una fundamentación lógica, si bien no llegaría a ser, como Frege, un logicista en el sentido estricto del término. El propósito de este último fue, como es sabido, poner de manifiesto que las leyes de la aritmética

1. Entre sus profesores allí cabe destacar a J. Lukasiewicz y a S. Lesniewski, dos de las

más importantes figuras de la escuela de Varsovia.


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se fundamentan en un núcleo de leyes lógicas y definiciones. Con este propósito in mente, empezará por construir una ‘escritura conceptual’ especialmente diseñada para la formalización de argumentos matemáti-cos para después ofrecer un cálculo de axiomas y reglas de inferencia en el que la relación de consecuencia es concebida en términos de la noción sintáctica de derivabilidad. Bolzano no adopta este enfoque en su caracte-rización de la relación de consecuencia sino que, como vamos a ver, trata de explicarla en términos de la idea de preservación de la verdad por toda sustitución de las ideas no-lógicas presentes en un argumento. 2. Claridad y objetivismo En el pensamiento de Bolzano concurren algunos de los rasgos que se han considerado distintivos de la filosofía austriaca a partir de entonces. El primero de ellos es el de la claridad. La mayoría de los esfuerzos intelectuales de quien habría de ser llamado ‘Maestro clarificador’ [Meis-ter des Verdeutlichens],1 se centraron no en el descubrimiento de nuevas verdades sino en el análisis de lo ya conocido y en la búsqueda de fun-damentos para posiciones aceptadas. En una carta a su amigo Romang, el filósofo checo habla de sí mismo en los siguientes términos: Si quisiera describir en una palabra la diferencia esencial entre mis ideas filosóficas y teológicas y las de otros, habría de decir que estriba en el hecho de que siempre he tenido como norma la preocupación por plantear todos mis pensamientos en un nivel más elevado de claridad y distinción del que ha sido usual hasta ahora.2 Esta preocupación por la claridad y exactitud en el uso de conceptos le llevaría a criticar, y a instar a sus discípulos a tratar de erradicar, la “espantosa confusión”3 que los ‘filosofemas’ de Kant y de Hegel habían introducido en la filosofía.

De otro lado, contrariamente a la imagen kantiana del funcionamiento de la mente humana como imponiendo su propia estructura sobre la natura-leza, Bolzano subrayó la independencia del tiempo, del espacio, de la men-te y del lenguaje de las proposiciones, así como de sus propiedades y de las relaciones lógicas que median entre ellas. Este objetivismo, junto con su preocupación por la claridad, constituye la marca de identidad de su pen-samiento, en absoluta contraposición a la filosofía preponderante en su época.

1. La expresión es debida a Hugo Bergmann, autor de la primera monografía sobre Bol-

zano [Bergmann 1909, & 53]. 2. Carta a Romang de 1847, citada en Berg [1962, 9]. 3. Esta expresión aparece en una recomendación que le hace en esta línea a su discípulo

Zimmermann [Morscher 1973, 33].


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Estos dos rasgos del pensamiento de Bolzano son ya claramente perceptibles en sus escritos acerca de los fundamentos del análisis matemático, escritos que marcan sin duda un hito en la investigación de los fundamentos de la matemática. En uno de los primeros, titulado Beiträge zu einer begründeteren Darstellung der mathematik [Contri-buciones a una presentación de las matemáticas sobre mejores funda-mentos], Bolzano distingue entre la ‘conexión objetiva’ que se mantie-ne entre juicios verdaderos cuando uno es una consecuencia del otro y nuestro ‘reconocimiento objetivo’ de dicha conexión, para subrayar la idea de que el propósito de una exposición científica no es otro que revelar la conexión objetiva entre proposiciones, poner de manifiesto su verdadera estructura lógica: En el reino de la verdad, i.e. en la suma total de todos los juicios verdaderos, prevalece cierta conexión objetiva que es independiente de nuestro reconocimiento subjetivo y accidental de la misma. Como con-secuencia de esto, algunos de tales juicios son el fundamento de otros y estos últimos son las consecuencias de los primeros. Representar esta conexión objetiva entre juicios, i.e. elegir un conjunto de juicios y dis-ponerlos uno tras otro de suerte que una consecuencia sea representada como tal y viceversa, me parece que es el objetivo que ha de perseguir-se en una exposición científica [Bolzano 1810, parte II, #2; en Ewald 1996, 191-92]. A juicio de Bolzano, la presentación lógica de un sistema deducti-vo como es el de las matemáticas no tiene por objeto esencial instar a admitir las consecuencias a quienes admiten los principios, sino poner de relieve una cierta organización sistemática que está ahí con anterio-ridad a nuestro conocimiento de la misma. Bolzano no tardará en hacer extensiva esta concepción no-psicologista de las matemáticas, que anti-cipa las obsevaciones que sobre este tema harán más tarde tanto Husserl como Frege, a la totalidad de la ciencia. En su voluminosa obra en cuatro volúmenes, publicada en 1837 bajo el título de Wissenschafts-lehre [Teoría de la Ciencia], presenta una concepción de la ciencia como un reino de proposiciones objetivamente verdaderas, que son independientes de cualquier sujeto cognoscente y que se organizan en una compleja estructura por medio de sus interrelaciones lógicas.1 1. Los contenidos de esta obra, cuyo título completo es “Teoría de la ciencia o intento de una

exposición detallada y, en lo fundamental, novedosa de la lógica con atención constante a otros autores”, se distribuyen en cinco bloques temáticos (Teoría fundamental, teoría ele-mental, teoría del conocimiento, heurística y teoría de la ciencia en sentido estricto), de los cuales sólo los dos primeros, especialmente el segundo, se ocupan de lógica en el sentido actual del término. Nos referiremos a esta obra mediante las siglas WL, seguidas de un número que se refiere al apartado correspondiente de la misma.


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La noción central de la teoría lógica que en esta obra se expone es la de ‘proposición en sí’ o proposición objetiva, noción que constituye el arma de la que el lógico checo va a valerse para establecer la objeti-vidad de la lógica y garantizar su independencia tanto de la psicología como de la epistemología.1 Entiende Bolzano por proposición en sí [Satz an sich] o proposición objetiva “cualquier aserción de que algo es o no es el caso, al margen de si alguien la ha puesto en palabras y al margen incluso de si ha sido pensada.” [WL 19]. Es decir, Bolzano distingue claramente las proposiciones de sus correlatos psicológicos (juicios), de un lado, y de sus correlatos lingüísticos, de otro. “Al hablar de una proposición enunciada distingo claramente la proposición mis-ma de su enunciación; de igual modo, cuando hablo de una proposición pensada, distingo la proposición misma del pensamiento de esa propo-sición” [WL 19]. Por otro lado, considera a las proposiciones como entidades compuestas, estructuradas, e introduce un término especial para estos componentes no-proposicionales de las proposiciones: el de ‘ideas objetivas’ [Vorstellungen an sich]. El análisis propuesto de esta noción de idea en sí o idea objetiva como un elemento componente de la proposición pone de relieve el hecho destacable de que Bolzano confiere prioridad conceptual a la noción de proposición, y no al revés, como era común en Aristóteles y sus seguidores escolásticos. Lo mismo hará Frege poco tiempo después: sus ‘pensamientos’ –noción que tantas cosas tiene en común con la proposición bolzaniana2 – son previos a los conceptos a los que se llega mediante análisis de los primeros, según resume él la diferencia entre su sistema y los construidos por Boole y sus discípulos: “Yo no parto de conceptos y los pongo juntos para for-mar un pensamiento o juicio sino que llego a las partes de un pensa-miento analizando éste” [Frege 1979, 253]. El universo bolzanianao es un universo de objetos [Gegenstände]. Unos tienen existencia o realidad fenoménica [Wirklichkeit], son reales, y otros no. Éste es el caso de las proposiciones y de sus componentes no-proposicionales, que no tienen existencia o realidad fenoménica,

1. La postulación de proposiciones objetivas o de estados de cosas (o de ambas cosas a la

vez) es un recurso del que echaron mano ampliamente otros representantes de la filo-sofía austriaca como es el caso de Marty o de Meinong, pudiendo decirse que es un rasgo característico de las teorías lógicas desarrolladas dentro de esta tradición.

2. Aunque Bolzano denomina ‘pensamiento’ a lo que para Frege no es sino una represen-tación y, en consecuencia, es para él algo subjetivo y no objetivo, como para Frege, estas diferencias terminológicas no deben llevarnos a engaño. De hecho, entre la no-ción de proposición en sí del primero y la de pensamiento del segundo existe un para-lelismo innegable. Para este paralelismo y también las diferencias entre ambos concep-tos, véase Künne 1997.


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esto es, no son elementos del orden causal, aunque unas y otros tienen lo que él denomina “objetualidad’ [Gegenstandlichkeit] [WL 19, 77, 137]. Para Bolzano una idea es objetual si y sólo si hay objetos que caen bajo ella o, como diríamos hoy, si denota algo [WL 42 y 49].1 Pero las proposiciones, además de poseer objetualidad, poseen otro rasgo importante: son los objetos portadores de los valores de verdad, así como los objetos entre los que median las relaciones lógicas, como, por ejemplo, las de compatibilidad, equivalencia o deducibilidad. Res-pecto de la naturaleza de esta última, advierte que no siempre ha sido bien entendida, ya que “ha sido descrita como una relación entre juicios (i.e. entre proposiciones pensadas y aceptadas) y se ha dicho que esta relación estriba en el hecho de que la aceptación de una proposición conlleva la aceptación de otra”, siendo así que en realidad “es una rela-ción entre proposiciones, la cual vale objetivamente” [WL 155]. Para el lógico checo, verdad y falsedad son propiedades extra-temporales de las proposiciones, aunque esta propiedad de ser portadora de los valores de verdad no puede tomarse como definitoria de lo que es una proposición debido a que nuestros actos mentales de juicio y nuestros actos de aser-ción también pueden calificarse de verdaderos o falsos por extensión del término [WL 23, 125]. Bolzano defiende, pues, la idea de que lo que constituye el objeto de la lógica es un tipo especial de objeto abstracto de índole no-psicológica y no-lingüística. Este tipo de postura, consistente en postu-lar un mundo de entidades lógicas y matemáticas abstractas, distinto del mundo real y fenoménico e independiente de nuestra vida mental, reci-be el nombre de ‘platonismo’. Esta postura no es infrecuente entre los matemáticos, pero el lógico checo es considerado unánimemente como uno de sus representantes más conspicuos. Sin embargo, Bolzano creía que con la postulación de proposiciones objetivas y de sus elementos, de la que hizo un arma para defender la idea de que el objeto de la lógi-ca no se identifica ni con el juicio ni con el resultado de una proferen-cia, no adquiría mayor compromiso ontológico que el del matemático que habla de la fórmula que genera todos los números primos o el del hombre que acepta que hay verdades que aún no conocemos.2 1. Bolzano distingue entre el concepto ‘hay’ [Es giba], que es un concepto de primer

nivel y el concepto de existencia que para él, lo mismo que para Frege, es un concepto de segundo nivel.

2. Este es uno de los temas principales de la correspondencia que mantuvo con el profe-sor Exner, su sucesor en la universidad de Praga [Bolzano 2004].


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3. La relación de deducibilidad Para poder entender la definición ofrecida por Bolzano de la noción de consecuencia lógica, a la que, como ya hemos indicado él denomina ‘deducibilidad’, es preciso empezar por describir brevemente el proce-dimiento del que se vale para caracterizar tanto las propiedades lógicas más importante de las proposiciones como las relaciones entre ellas: el método de la variación de proposiciones. El uso de la variación como instrumento metodológico por parte del filósofo checo responde a su convicción de que las propiedades lógicas más importantes de las pro-posiciones así como las relaciones lógicas fundamentales “sólo se po-nen de manifiesto cuando consideramos ciertas ideas contenidas en ellas [las proposiciones] como algo variable y observamos al tiempo el comportamiento de las proposiciones, obtenidas de la sustitución de las ideas originales por cualesquiera otras, con respecto a la verdad y la falsedad” [WL 154; Cf. WL 78]. La idea que subyace a este método es simple: reemplazando las ideas de una proposición se obtienen varian-tes de la misma que pueden resultar verdaderas o falsas. Así, si reem-plazamos, por ejemplo, en la proposición verdadera ‘Cayo es mortal’, la idea o representación ‘mortal’ por la idea ‘omnisciente’, obtenemos la proposición falsa ‘Cayo es omnisciente’. Pero si tomamos como repre-sentación variable de esa proposición la idea ‘Cayo’, entonces cada sustitución adecuada, esto es, que cumpla con el requisito de que tenga objetualidad o sea no-vacua, generará siempre una proposición verda-dera: ‘Tito es mortal’, ‘Sempronio es mortal’, etc. Una forma proposi-cional [Sätzform], o la proposición correspondiente en la que ciertas ideas se consideran variables, puede generar toda una clase de variantes de la proposición dada, variantes que, como ésta, poseen un valor de verdad [WL 127, 146].1 De acuerdo con Bolzano, dada una proposición, podríamos mera-mente indagar en si es verdadera o falsa, pero algunas propiedades importantes de las proposiciones pueden descubrirse si, además, consi-deramos los valores de verdad de aquellas proposiciones que se pueden generar a partir de ella si tomamos algunas de sus ideas componentes como variables y las reemplazamos por otras ideas cualesquiera. Pero no sólo pueden llegar a definirse mediante este método propiedades como la validez o analiticidad de las proposiciones, sino también ciertas

1. Como luego veremos, Bolzano no posee la noción de función proposicional en el sentido

propio de la expresión. Por lo demás, no siempre utiliza letras variables, sino que sólo lo hace con formas en las que todos los componentes no lógicos se consideran variables. En el resto de los casos, lo que suele hacer es escribir la proposición completa e indicar a continuación cuál o cuáles términos se van a considerar variables en ella.


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relaciones entre proposiciones o clases de proposiciones, como la com-patibilidad, la incompatibilidad, la equivalencia o la consecuencia. En el parágrafo 155 del libro II de Wissensvhaftslehre, después de haber caracterizado las relaciones de compatibilidad e incompatibilidad entre proposiciones [WL 154], ofrece Bolzano la siguiente explicación de la noción de consecuencia lógica:

Consideremos primero de todo el caso de que entre las proposiciones compatibles A, B, C, D, …, M, N, O, […] valga la siguiente relación: todas aquellas ideas resultado de la sustitución de las ideas variables i, j, … que convierten en verdades a cierta parte de esas proposiciones, a saber, A, B, C, D, … tienen también la característica de hacer verdadera a cierta otra parte de esas proposiciones, a saber M, N, O, … Esta espe-cial relación que concebimos entre las proposiciones A, B, C, D, … de un lado, y M, N, O, …, de otro, tiene una especial importancia, ya que nos sitúa en posición de inferir la verdad de M, N, O, … una vez que hemos reconocido la verdad de A, B, C, D […]. Quiero dar el nombre de deducibilidad [Ableitbarkeit] a esta relación entre las proposiciones A, B, C, D, … de un lado, y M, N, O, …de otro. En consecuencia afirmo que las proposiciones M, N, O,… son deducibles de las proposiciones A, B, C, D, … con respecto a las partes variables i, j, …, si toda clase de ideas que hace verdaderas a todas las proposiciones A, B, C, D, … cuando se las pone en el lugar de i, j,…, hace también verdaderas a to-das las proposiciones M, N, O, […]. Ocasionalmente, dado que es usual, diré que las proposiciones M, N, O,.. se siguen, o pueden ser inferidas o derivadas, de A, B, C, D […].

Lo primero que hay que destacar en esta definición es que, a pesar de que su autor la denomina con un término que hoy reservamos para el concepto sintáctico de consecuencia lógica, en ella no se apela a reglas de derivación que permitan llegar a una proposición a partir de otra u otras, sino que se echa mano del concepto de sustitución (o interpreta-ción) de ciertas ideas o conceptos variables dentro de una serie de proposiciones que preservarían la verdad en otro conjunto de ellas. El concepto que se nos está ofreciendo aquí es un concepto relativo a ciertas ideas no-lógicas, pero no a todas. No estamos, pues, todavía ante el concepto de consecuencia lógica propiamente dicho, sino ante un concepto más amplio que se corresponde bien con la práctica de nues-tras inferencias normales, en las que las conclusiones no se obtienen de las premisas únicamente en virtud de la lógica sino que dependen tam-bién de supuestos tácitos compartidos por nuestros interlocutores. Es lo que sucede, por ejemplo, con inferencias tales como ‘Cayo es un hom-bre, luego Cayo tiene un alma inmortal’, o ‘Leipzig está situada al norte de Dresde, luego las jornadas de invierno son más cortas en Leipzig que en Dresde’, la validez de las cuales dependería de la aceptación de un


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supuesto de índole teológica, en el primer caso, y de carácter geográfi-co, en el segundo [WL 223, 392].1 Un poco más adelante advierte, en efecto, Bolzano que éste no es el dominio propio de la lógica, –“nadie demandará que la lógica enseñe estos tipos de derivaciones” [WL 223], pues para que se dé implicación lógica han de ser susceptibles de variación todos los elementos no-lógicos de la proposición, no sólo algunos de ellos. Tendríamos un ejemplo de inferencia válida —prosigue Bolzano— en el modo en que la proposición ‘Cayo tiene un alma inmortal’ puede derivarse de las premisas ‘Cayo es un ser humano’ y ‘todos los seres humanos tienen almas inmortales’, en el que, junto con la idea ‘Cayo’, pueden conside-rarse variables las dos ideas ‘ser humano’ y ‘alma inmortal’. Pues para conocer que esta derivación es correcta no se necesita otra cosa que el conocimiento de la verdad general de que de dos proposiciones cuales-quiera de la forma, A es B y B es C, se puede derivar una tercera, A es C. Y esto puede verse sin saber cosa alguna acerca de la naturaleza de los seres humanos, de lo que entendemos por morir, y cosas por el esti-lo [WL 223]. Esto es, la idea expresada en esta segunda noción de deducibilidad es la de que una proposición X es una consecuencia lógica de un con-junto de proposiciones K cuando toda sustitución de todas las ideas no-lógicas bajo la cual son verdaderas las proposiciones de K es una susti-tución bajo la cual X es también verdadera.2 Estamos aquí ante un intento de clarificación del concepto intuiti-vo de consecuencia lógica en el que se trata de dar cuenta de una de las propiedades que acompañan a dicho concepto: la de la formalidad. La definición del lógico checo subraya, en efecto, la idea de que una infe-rencia válida no se apoya en otra cosa que la simple forma lógica de las proposiciones [die blosse logische Form der Sätze] [WL 223], y que, por tanto, si una proposición X es derivable del conjunto de proposicio-nes K, entonces todo argumento que tenga esa misma forma será un argumento en el que la conclusión es derivable del conjunto de las 1. Sobre la consecuencia lógica entendida en este sentido amplio en el que tienen cabida

los entimemas, véase R. George 1983. 2. En las consideraciones preliminares a la propuesta de su caracterización de la noción

de consecuencia, Tarski dice que cuando una oración X de un lenguaje formal es una consecuencia lógica de un conjunto K de oraciones, el argumento con premisa K y con-clusión X tiene la siguiente propiedad, a la que Tarski denomina F y que guarda un estre-cho paralelismo con la aproximación propuesta por Bolzano: “ Si en las oraciones del conjunto K y en la oración X, las constantes no lógicas son sustituidas de manera unifor-me por cualesquiera otras constantes no lógicas del mismo lenguajes, y si llamamos ‘K´’ al conjunto así obtenido a partir de K y ‘X´’ a la oración obtenida a partir de X, entonces la oración X´es verdadera o alguna oración de K´es falsa” [Tarski 1936, 415].


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premisas. La relación de deducibilidad, en este segundo sentido, a dife-rencia de lo que ocurre con la deducibilidad relativa, es, para Bolzano, una relación formal. El concepto de forma cobra en la obra de Bolzano un especial relieve al constituir la base de su explicación no sólo de su noción de consecuencia lógica sino también de la de verdad. Sin em-bargo, como más tarde veremos, Bolzano no concibió este concepto del mismo modo en que nosotros lo entendemos actualmente, como no podía por menos de ocurrir al no disponer de la noción de variable. La relación de deducibilidad es, para el checo, una relación entre proposiciones en sí al margen de cuál sea su valor de verdad. Este es uno de los rasgos que la distingue de otra relación, a la que denominó ‘consecuencia fundamental’ [Abfolge] y que caracterizó como una relación que media entre dos proposiciones verdaderas una de las cuales constituye el fundamento de la otra. La relación de deducibilidad —escribió en [WL 203])— media sólo, como es bien sabido, entre proposiciones en sí, pero lo hace al margen de si son verdaderas o falsas […]. La relación de consecuencia fundamental tiene en común con la de deducibilidad que media también únicamente entre proposiciones, pero difiere de la primera en que nunca media entre proposiciones falsas, sino sólo entre proposiciones verda-deras, entre verdades. Éste es, como es sabido, el modo en que Frege, preocupado por desarrollar un sistema logístico en el que probar verdades lógicas más bien que un sistema en el que deducir conclusiones a partir de premisas, concibió la relación de deducibilidad [Cf. Anotación de Frege a Jour-dain 1912, 240]. El concepto bolzaniano de deducibilidad, cuya caracterización acabamos de ver, no coincide desde el punto de vista extensional con nuestro actual concepto. Por un lado, se trata de un concepto más am-plio, que sanciona como válidas inferencias que no estaríamos dispues-tos a considerar como tales. Por otro, es más restrictivo que el concepto clásico de consecuencia lógica, al estipularse como requisito para que medie tal relación el que las proposiciones que intervienen en la infe-rencia sean compatibles entre sí. Para ver que se trata de un concepto más amplio, empecemos por considerar una proposición como ‘Hay al menos dos cosas’. De acuerdo con el criterio sustitucional introducido por Bolzano para definir la noción de analiticidad o verdad lógica, esta proposición sería una verdad lógica, pues, dado el usual modo de en-tender la negación, la expresión de identidad y el término ‘hay’, dicha proposición sería equivalente a la proposición ‘Hay dos cosas que no son idénticas’, que no contiene ideas no-lógicas ni por consiguiente


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ideas susceptibles de sustitución. Por la misma razón, argumentos como ‘hay al menos dos cosas, luego hay al menos tres cosas’ resul-tarán, dentro de esta consideración, válidos, cosa que no deja de sonar-nos un tanto extraña.1 Pero éste es un problema que no aqueja sólo a la interpretación de Bolzano sino a todo tipo de explicación de la noción de consecuencia lógica que no tome en consideración ningún otro factor más que la formalidad, esto es, que haga caso omiso del factor de la necesidad. Todas ellos habrán de considerar como válido en virtud de su forma a cualquier argumento que esté formado únicamente por proposiciones que sólo tienen términos lógicos en el caso de que ocu-rra que no tiene de hecho premisas verdaderas y conclusión falsa.2 Pero, si, por un lado, es un concepto más amplio que el concepto clásico, la deducibilidad bolzaniana es, por otro, un concepto más restrictivo merced a un requisito que Bolzano introduce en su defini-ción. Me refiero a la estipulación que hace de que para que medie esta relación entre premisas y conclusión unas y otra han de tener ideas comunes. Esto quiere decir que dos proposiciones que no tengan una idea en común no pueden ser deducibles la una de la otra. “Si dos pro-posiciones —escribe— […] no tienen un elemento constitutivo común, entonces es evidente que sean cualesquiera que sean las ideas de esas proposiciones que consideremos variables, seguirá sin producirse allí una relación de deducibilidad entre ellas” [WL 155]. Este requisito, que incorpora el criterio de relevancia al de preservación de la verdad, como actualmente hacen las lógicas de la relevancia, restringe considerablemente el número de inferencias válidas: así, por ejemplo, las inferencias que in-cluyen entre sus premisas una contradicción o las que tienen por conse-cuencia una proposición formalmente verdadera, que la lógica clásica san-ciona como válidas al margen de si premisa y conclusión comparten o no las mismas ideas, no serían válidas conforme al criterio de Bolzano. 4. Forma y modalidad En la obra de Bolzano hay un claro reconocimiento de que hay ciertas características de las proposiciones, como por ejemplo, la analiticidad, que corresponden a las proposiciones en virtud de su forma o, lo que es lo mismo, que corresponden a esquemas proposicionales más bien que a las proposiciones que puedan ejemplificarlos. Y lo mismo ocurre con la relación de derivabilidad, ya que verla como una relación entre pro- 1. Esta objeción ha sido formulada, entre otros, por Shapiro [2002, 234], que tacha de

poco confortable semejante resultado. 2. Para este escollo de cualquier interpretación de la consecuencia lógica que sólo atienda

al rasgo de la forma [Etchemendy 1990, 96-97].


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posiciones en las que se consideran variables todos los elementos cons-titutivos de las mismas excepto los conceptos no-lógicos equivale a verla, como ya hemos señalado, como una relación basada únicamente en la forma lógica. Y es que el método de la variación o sustitución, que constituye la base para la explicación de ambas nociones, tiene la virtud de que permite conferir a la lógica su carácter formal, posibilitando que se ocupe no de proposiciones concretas sino de lo que él denomina ‘formas generales de proposición’ [allgemeine Formen der Sätze]: Los teoremas [de la lógica] conciernen a toda una clase de proposi-ciones a la vez, i.e. a proposiciones algunas de cuyas partes están de-terminadas, en tanto que el resto se halla indeterminado. Así, la propo-sición ‘algunas personas tienen la piel blanca’ ocurre en lógica a lo sumo como un ejemplo, y no como el objeto de un teorema, en tanto que una clase de proposiciones como, por ejemplo, la clase determinada por las expresiones ‘Algunos A son B’ puede muy bien ser el objeto de un teorema. Si a esas clases de proposiciones las llamamos formas generales de proposición, entonces está permitido decir que la lógica se ocupa de formas más bien que de proposiciones individuales [WL 12]. Pero si es cierto que la noción de forma ocupa un lugar destacado en la obra del lógico checo, no lo es menos que se trata de una noción dista mucho de coincidir con la que hoy manejamos, como no podía ser de otro modo, dada su actitud negativa hacia el desarrollo de una escri-tura simbólica. Una de las mayores debilidades de la teoría lógica des-arrollada por Bolzano estriba, en efecto, en la estrecha vinculación que guarda con el lenguaje natural y su gramática. Partiendo del supuesto de que existe una correlación exacta entre ciertas estructuras del lenguaje natural y ciertos fenómenos lógico-semánticos, el lógico de Bohemia, a la hora de exponer su sistema, opta por el empleo de un lenguaje que podríamos calificar de semiformalizado, en la medida en que no es otro que el alemán común entreverado con algunos términos técnicos. Un primer resultado de esta opción es la postulación de un único patrón común para todas las proposiciones que son tomadas como ejemplifica-ciones de la forma canónica ‘A tiene b’, en donde ‘A’ es la idea-sujeto y se refiere a un objeto, ‘b’ es la idea-predicado que la proposición atri-buye a ese objeto y ‘tiene’ es la cópula encargada de vertebrar la propo-sición [WL 126, 127]. La decisión de contemplar todas las proposicio-nes como ejemplificaciones de este único modelo no puede ser más negativa en lo que a la distinción entre conceptos no-lógicos y concep-tos lógicos se refiere, ya que le llevará a la necesidad de expresar estos últimos mediante símbolos que en sus formas reductivas desempeñan el mismo papel que el reservado por los empleados para la expresión de


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aquéllos. Así, por ejemplo, una proposición particular como ‘Algunos A son B’ se convierte en su análisis en ‘La idea de un A que posee B es objetual (o no es vacua)’, una proposición como ‘Ningún A es B’, en ‘La idea de un A que posee B no es objetual’ y una verdad lógica como ‘Cayo es inmortal o Cayo no es inmortal’ da lugar a una paráfrasis del siguiente tenor: ‘La idea de una proposición verdadera entre las propo-siciones ‘Cayo es inmortal’, ‘Es falso que Cayo es inmortal’ tiene obje-tualidad’. Vemos, pues, que los conceptos lógicos bolzanianos se ex-presan mediante la cópula y mediante ciertos términos —‘verdadero’, ‘falso’, ‘objetual’, etc.— que pertenecen a una especie de metalenguaje empleado para hablar de las proposiciones y de sus componentes.1 Bolzano no concibe la forma lógica de una proposición como el resultado de sustituir en él de manera uniforme las expresiones no lógi-cas por letras esquemáticas, sino que identifica las formas con clases o especies de proposiciones generadas a partir de una proposición dada por variación.2 Pero, aunque así sea, la forma lógica de una proposición y de un argumento no es una cosa absoluta sino más bien algo que depende de qué términos se va a considerar como constantes lógicas. Dicho de otro modo, su caracterización de la consecuencia lógica, como cualquier caracterización general, presupone la noción de término lógi-co o, lo que es lo mismo, se basa en la posibilidad de establecer una clara línea de demarcación entre las ideas no-lógicas y los conceptos lógicos, habida cuenta de que la hipótesis formulada es la de que un conjunto de premisas K tiene por consecuencia lógica una proposición X exactamente cuando para toda asignación de ideas a las ideas no-lógicas de K que hace verdaderas a todas las proposiciones de K, X es también verdadera. Sin embargo, no contamos con una caracterización adecuada de esta noción. De hecho Bolzano, al igual que haría Tarski un siglo después, muestra un claro escepticismo acerca de la posibilidad de trazar una clara línea divisoria entre aquellos conceptos y las ideas no-lógicas susceptibles de sustitución o variación. Lo hace en el curso de la discusión del concepto de analiticidad. Allí, después de distinguir entre proposiciones analíticas en sentido amplio y proposiciones lógi-camente analíticas o analíticas en sentido estricto y de caracterizar a las primeras como aquellas “en las que intervienen ideas ajenas a la lógica” y a las segundas como aquellas en las que “los conceptos que constitu-yen la parte invariante […] pertenecen todos a la lógica”, escribe: 1. La obra lógica de Bolzano supone en este aspecto un claro retroceso respecto de la de

Leibniz que ya había advertido la necesidad de simbolizar los conceptos lógicos. 2. Bolzano hace referencia a la idea ciceroniana de que forma y especie significan lo

mismo [WL 81].


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“Desde luego semejante distinción es más bien fluctuante [hat sein Schwakendes] por cuanto que el dominio total de conceptos pertene-cientes a la lógica no está delimitado de manera tan precisa que no pueda surgir alguna controversia sobre el tema” [WL 148]. No estaba muy desencaminado Bolzano en esta apreciación. Hoy sabemos que, a pesar de los intentos hechos por proveer de criterios precisos para deli-mitar las expresiones lógicas de las no-lógicas, los principios que en último término guían a los lógicos a la hora de establecer esta distinción son generalmente pragmáticos, por lo que queda mucho espacio para concepciones divergentes respecto a qué expresiones son de aquel tipo.1 Pero ¿basta con tomar en consideración únicamente el rasgo de la formalidad? Parece que una interpretación que se limite a esto está condenada, como antes hemos visto, a considerar que cualquier argu-mento compuesto exclusivamente de proposiciones que sólo tienen términos lógicos será preservador de verdad en el caso de que no tenga de hecho premisas verdaderas y conclusión falsa. Esto no ocurre si, además de la formalidad, se toma en consideración otro rasgo: la moda-lidad. En este caso, un argumento es una consecuencia lógica de las premisas sólo en el caso de que sea imposible que las primeras sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Esto es, las interpretaciones que toman en consideración el elemento modal parten del supuesto de que si la conclusión de un argumento es consecuencia lógica de las premi-sas, esa conclusión se sigue por necesidad lógica o, lo que es lo mismo, parten del supuesto de que existe una conexión necesaria entre premi-sas y conclusión. Bolzano evita en su caracterización recurrir a la mo-dalidad, probablemente tratando de obviar las dificultades implícitas en una explicación, como la de Leibniz, de la noción de verdad lógica como aquella que es verdadera en todos los mundos posibles. Sin em-bargo, aunque la noción de necesidad no aparece de un modo explícito en su definición, su intención es explicarla por medio de la idea de generalidad. Bolzano supone, en efecto, que la relación de implicación por necesidad lógica entre un conjunto de premisas K y una conclusión X se da cuando hay un conjunto de expresiones de K y de X tal que para todo modo de sustituir tales expresiones de forma que todos los compo-nentes de K sean verdaderos, X también lo será. Que está tratando de dar cuenta de este modo de la idea de conexión necesaria se desprende del hecho de que creyó ver un claro precedente de su noción de deduci-bilidad en el modo en que Aristóteles entendió la necesidad de las im-

1. Para un análisis detallado de algunas de las cuestiones relacionadas con la noción de

constante lógica y los problemas de su delimitación [véase: Gómez Torrente 2002].


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plicaciones silogísticas correctas. “Entre las definiciones de este con-cepto halladas en otros libros una de las mejores es la de Aristóteles [Anal. Priora 24b18, y Topica 100a25, etc.]: “un silogismo es un dis-curso en el que, establecidas ciertas cosas, se sigue necesariamente algo distinto de lo ya establecido por el hecho de ser así”. Dado que no cabe duda de que Aristóteles asumió que la relación de deducibilidad puede mediar también entre proposiciones falsas, “se sigue necesariamente” no puede interpretarse de otra manera que la siguiente: que la conclu-sión deviene verdadera siempre que las premisas sean verdaderas.” [WL 155; cf. WL 129]. No está claro, sin embargo, que ambas definiciones guarden tan estrecha similitud como él pretende. Aristóteles subraya claramente el papel crucial desempeñado por la necesidad en la relación de consecuencia, en tanto que él, como ya habían hecho algunos lógicos medievales, trata de fundir la necesidad en la mera generalidad. Bolzano no se pronuncia abiertamente acerca de la condición de aprioridad de esta relación: no destaca el hecho de que si podemos conocer que un argumento exhibe la relación de consecuencia lógica podemos conocerlo a priori.1Pero aunque no establece explícitamente que las cuestiones empíricas no desempeñan ningún papel en si la rela-ción de consecuencia media o no en un caso particular, Bolzano no pone en duda el carácter apriórico o, como él prefiere decir, puramente conceptual de la lógica y de la aritmética.2 En resumen, aunque el aparato conceptual empleado por Bolzano para explicar la noción de consecuencia lógica carece del refinamiento técnico necesario para dar cuenta con exactitud de una noción de estas características, su análisis no sólo contribuyó a establecer la enorme importancia de esta noción semántica como candidato idóneo para la reconstrucción de la noción intuitiva de consecuencia sino que, dando muestras de una capacidad que sólo distingue a los mejores, anticipó algunos de los problemas con los que aún sigue debatiéndose la filosof-ía de la lógica actual.

1. Tarski sí lo hace. En su 1936 escribe: “dado que nos ocupamos aquí del concepto de

consecuencia lógica, i.e., de la consecuencia formal y, por tanto, de una relación que está determinada únicamente por la forma de las oraciones entre las que media, esta relación no puede estar influida en modo alguno por el conocimiento empírico y, en especial, por el conocimiento de los objetos a los que [… tales oraciones] se refieren” [Tarski, 1936, 414-15].

2. Bolzano propone [WL 133] la distinción entre verdades conceptuales y verdades empíricas como una reconstrucción parcial de la distinción kantiana entre conocimien-to a priori conocimiento a posteriori. Una proposición P es una proposición concep-tual si y sólo si el contenido de P abarca únicamente conceptos y una proposición P es empírica si y sólo si no es una proposición conceptual.


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Mathesis


Compendio de los diez libros de arquitectura de Vitruvio.

(Segunda parte)

Vitruvio


Historia de la teoría de representaciones, sus inicios

Roberto Martínez Villa Introducción El propósito de este ensayo es motivar a los posibles interesados a ini-ciar una discusión histórica en torno a los orígenes de un área de inves-tigación en matemáticas, en este caso en particular, la Teoría de Repre-sentaciones de Álgebras de Dimensión Finita, dentro del contexto in-ternacional y analizar el papel que han jugado algunos de los matemáti-cos mexicanos. Propondré algunas interrogantes iniciales cuyas solu-ciones no triviales podrán sugerir diversas líneas y enfoques de investi-gación. Además, en algunos casos, sugeriré algunas respuestas intuiti-vas e inocentes con el objetivo de iniciar esta discusión. Es necesario tomar en cuenta que he trabajado en esta área por más de treinta años y he seguido de cerca su desarrollo, casi desde los inicios del periodo moderno; por lo que mi punto de vista, lejos de ser objetivo, está teñido por mis propios intereses y prejuicios. Sin embargo, de manera similar a la desarrollada por Jourdain en torno a los orígenes de la teoría de conjuntos y lógica matemática,1 pretendo que algunos de los que con-tribuyeron al desarrollo de estas ideas, compartan sus reflexiones sobre los orígenes de sus intereses matemáticos y cómo evolucionaron éstos, a la par que progresó y se transformó la propia disciplina. Para iniciar

1. Philip Edward Bertrand Jourdain (1879-1919) es conocido por la comunidad matemática por

la traducción del alemán al inglés y por la introducción que realizara a los artículos sintácti-cos de Georg Cantor (1845-1918) titulados: ‘Contr ibuciones a la fundamentación de la teor-ía de los números transfinitos’ (1895-1897), publicados originalmente en el Mathematische Annalen. Jourdain, quien se había formado en Cambridge University bajo la tutela de Ber-trand Russell (1872-1970), publicó una serie de artículos sobre la reciente historia de la lógi-ca matemática y de la teoría de conjuntos. Al terminar los primeros borradores, Jourdain se los enviaba a quienes habían desarrollado las ideas ahí propuestas (e.g., Cantor, Russell, Peano, Frege, entre otros) ; y éstos eran eventualmente publicados incluyendo dichos co-mentarios, sugerencias, correcciones y críticas.

348 Roberto Martínez Villa

Mathesis

dichas cavilaciones propongo cómo punta de partida la discusión de algunas de las cuestiones siguientes:

1) ¿Cómo surge una nueva área, en este caso en particular la Teoría de Representaciones, en el contexto internacional?

2) ¿Quiénes han sido las personalidades más influyentes?

3) ¿Hasta que punto los problemas y conjeturas iniciales han motivado el desarrollo del área?

4) ¿Qué factores intervinieron en la formación de un grupo mexicano?

5) ¿Cuál fue el papel que jugaron ciertas personas y ciertas políticas científicas?

6) ¿Cómo han evolucionado las problemáticas originales?

7) ¿Cuál ha sido la aportación de las diferentes generaciones?

8) ¿Cómo se han desarrollado otros grupos en el contexto internacional y qué factores han intervenido en su desenvolvimiento?

9) ¿Cuáles han sido los aciertos y los errores?

Para establecer un primer marco conceptual, propongo establecer una cronología de la historia de la Teoría de representaciones en las siguien-tes etapas:

1) Periodo formativo, de finales del siglo XIX a 1940.

2) Periodo clásico, 1940-1970

3) Periodo moderno: 1970-2005

4) Período contemporáneo: 2005-…

A su vez dividiré el periodo moderno en tres partes:

a) Inicios 1968-1973

b) Periodo efervescente: 1974-1988

c) Periodo de consolidación: últimos veinte años.

Para proponer un marco teórico que circunscriba nuestra futura área de discusión, describiré brevemente en que consiste la Teoría de Represen-taciones de Álgebras de Dimensión Finita y mencionaré algunos de los problemas que han influido en su desarrollo. Haré una cronología del surgimiento y evolución de los conceptos y estableceré la historia de la demostración de algunos de los problemas principales. De esta manera,

Historia de la teoría de representaciones 349

III 32 (2008)

se podrá apreciar de manera más objetiva el surgimiento del grupo mexicano y algunos de sus logros dentro del contexto internacional. Curtis [1998] sugiere que los orígenes de la teoría de representa-ciones se remontan a la segunda mitad del siglo XIX, con trabajos de, entre otros, Richard Dedekind (1831-1916), George Frobenius (1849-1917) y William Burnside (1852-1927). Para 1897, Frobenius, publicó el primer trabajo de teoría de representaciones de grupos y Burnside el primer tratado en ingles de teoría de grupos. Posteriormente se unieron al proyecto: Schur (1875-1941), alumno del primero, y el alumno de Schur, Richard Brauer. También, de gran importancia para el nacimiento de la teoría de representaciones de álgebras fueron las contribuciones de Emmy Noether (1882-1935), Emil Artin (1898-1962) Richard Brauer (1901-1977). La primera enfocó la teoría de representaciones al estudio de los módulos sobre el álgebra de grupo y el último con la creación de la teoría de representaciones modulares. No fue sino hasta 1962, cuando apareció el libro de Ch. H. Curtis y I. Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, texto que habría de tener una enorme importancia en la formación de futuros investigadores en el desarrollo de la Teoría de Representaciones de Álgebras. El prefacio del libro es posible encontrar una descripción de esta rama de las ma-temáticas:

La Teoría de Representaciones es el estudio de la realización concreta de sistemas de álgebra abstracta. Se originó en el estudio de grupos de permutaciones, y álgebras de matrices [...]. Ambos Frobenius y Burnsi-de se dieron cuenta que la teoría de de representaciones de grupos iba de seguro a jugar un papel importante en la teoría abstracta de grupos finitos.

Así lo demostraron, por un lado, el teorema de Burnside: todo grupo finito G de orden pnqm, con p y q primos distintos, es soluble; y, por el otro, el teorema de Feith y Thompson [1960] sobre la solubilidad de los grupos de orden impar. Inicios de la teoría de representaciones en México Humberto Cárdenas había trabajado en cohomología de grupos y su interés por la teoría de representaciones se debía a que percibía una relación estrecha entre esta teoría y el álgebra homológica. Él y Emilio Lluis habían escrito a principios de los 70's un texto introductorio a la Teoría de Representaciones. Raymundo Bautista se había doctorado con Cárdenas sobre cohomología de grupos y era un entusiasta exposi-tor del seminario de álgebra que se llevaba a cabo todos los martes a las 11 en el Instituto de Matemáticas de la UNAM.


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Cuando en el verano de 1975, invitado por Cárdenas, Maurice Auslander visitó México, encontró un ambiente de entusiasmo por la nueva teoría y nos invitó a Raymundo Bautista y a mi a visitar la Uni-versidad de Brandeis por un periodo de dos años, donde nos tocó pre-senciar buena parte de la creación, de lo que luego sería la teoría de Auslander-Reiten. Fue Bautista quien pensó que la organización de un congreso internacional en México sería importante para consolidar un grupo en Teoría de Representaciones y convenció a Auslander de realizar la "Third International Conference on Representations of Algebras and Workshop" del 4 al 16 de agosto de 1980, en Puebla, México. La reunión fue altamente exitosa, pues para entonces la Teoría de Representaciones estaba en plena efervescencia e influiría en la forma-ción de la siguiente generación de representadores mexicanos: Francis-co Larrión, Leonardo Salmerón y José Antonio de la Peña. Problemas clásicos de la teoría de representaciones Como se mencionó más arriba, la teoría de representaciones estudia la realización concretas de estructuras abstractas, por ejemplo; dado un grupo finito G, una representación de G es un homomorfismo φ:G → G|(n,K) donde G|(n,K) es el grupo lineal de las matrices invertibles de tamaño n×n. Si denotamos por KG el álgebra de grupo, es decir KG es el K-espacio vectorial con base los elementos de G y multiplicación el pro-ducto en el grupo extendido linealmente, entonces las representaciones del grupo se corresponden con los KG-módulos de dimensión finita, por lo que es equivalente el estudio de todas las representaciones de G con el estudio de la categoría modKG de los KG-módulos de dimensión finita. La categoría modKG es Krull-Schmidt, es decir, todo módulo finitamente generado tiene una única descomposición en suma directa de módulos inescindibles. El anillo KG es un ejemplo de una K-álgebra de dimensión finita, para toda K-álgebra de dimensión finita Λ la categoría de Λ-módulos finitamente generados modΛ es Krull-Schmidt, así el objetivo principal de la teoría de representaciones sería: Encontrar todos los Λ-módulos inescindibles. Ejemplo: El álgebra de grupo KG. Se tienen dos casos: 1) La característica del campo no divide al orden del grupo: En ese caso se tiene: Teorema (W. Maschke (1858-1908)). El álgebra de grupo KG es semisimple si y sólo si la característica del campo no divide al orden del grupo. (Las álgebras semisimples de dimensión finita fueron carac-terizadas por Wedderburn en 1908).


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Teorema. Una K-álgebra de dimensión finita es semisimple si y sólo si es isomorfa a un producto finito de anillos de matrices con coeficientes en un anillo con división. En el caso semisimple los únicos módulos inescindibles son los módulos simples y estos corresponden a las co-lumnas de los anillos de matrices. 2) El campo K tiene característica un primo p que divide al orden de G. Teorema (Higman 1954). Sea K un campo de característica p y G un grupo cuyo orden es divisible por p. Entonces KG tiene sólo un número finito de inescindibles si y sólo si el p-grupo de Sylow de G es cíclico. ¿Qué pasa si el p-grupo de Sylow no es cíclico? Ejemplo: G = Z2×Z2 y K un campo de característica 2. En 1963, Krugljak demostró que las representaciones inescindibles de K(Z2×Z2) se corresponden, salvo módulos proyectivos, con las formas canónicas de los pares de matrices de Kronecker (1870) las cuales, a su vez, están relacionados con los bloques de Jordan (1870), por lo que se puede dar una lista de todos los K(Z2×Z2) módulos inescindibles. Sin em-bargo, la situación es muy diferente para primos distintos de dos, por ejem-plo, no se conocen las representaciones del grupo Zp×Zp sobre un campo de característica p con p ≥ 3. Heller y Reiner demostraron, en 1961, que este es un problema de los que hoy llamamos salvajes, es decir la clasificación de los módulos inescindibles sobre K(Zp×Zp) para un primo p≥3 implicaría la clasifica-ción de todas las representaciones inescindibles de las p matrices. El problema de clasificar los inescindibles de las tres matrices implicaría a su vez, la clasificación de los módulos inescindibles para toda álgebra de dimensión finita, según demostró Gabriel (1975). Encontramos en-tonces tres tipos de representación:

1) Álgebras de tipo de representación finita (sólo un número finito de inescindibles).

2) Álgebras de tipo de representación mansa, para cada dimensión los inescindibles se parametrizan por un número finito de curvas.

3) Álgebras de tipo de representación salvaje, la categoría de módulos inescindibles contiene los módulos inescindibles de cualquier otra álge-bra, por lo tanto se considera imposible clasificar sus módulos inescin-dibles.


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0,

KV K⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejemplo: El anillo de matrices triangulares: con K un campo y V

un K-espacio vectorial de dimensión finita es de tipo de representación finita si dimV = 1, es manso si dimV = 2 y salvaje si dimV ≥ 3. Problemas:

a) Clasificar todas las álgebras de tipo de representación finita.

b) Estudiar las álgebras mansas, clasificarlas, encontrar sus representa-ciones inescindibles.

c) Entender lo que significa ser salvaje.

Para las álgebras de grupo KG es muy fácil demostrar lo siguiente: 1) Si KG es de tipo de representación infinita, entonces existen módulos inescindibles de dimensión arbitrariamente grande. 2) Si KG es de tipo de representación infinita, entonces existe una sucesión de enteros posi-tivos: n1 < n2 <... < nk <..., tal que para cada ni existe un número infinito de módulos inescindibles de dimensión ni. La afirmación de que 1) es cierto para toda álgebra de dimensión finita, se conoce como la primera conjetura de Brauer-Thrall. La afirmación, mucho más fuerte, de que 2) es cierto para toda álgebra de dimensión finita, se conoce como la se-gunda conjetura de Brauer-Thrall. Ambas fueron formuladas explícita-mente por primera vez por Jans, quien obtuvo algunos resultados (1957). Al inicio de los años setenta, la Teoría de Representaciones de álgebras empezaba a nacer como un área independiente, separándose de la Teoría de Representaciones de Grupos y del álgebra lineal. Cronología de la Teoría de Representaciones. Periodo Formativo

Siglo XIX. 1870 Estudio de una transformación lineal, teorema de Jordan.

1870 Clasificación de pares de matrices por Kronecker.

1897 Creación de Teoría de Caracteres por Frobenius.

1897 Primer libro en ingles de Teoría de Grupos por Burnside.

1898 Teorema de Maschke.

Siglo XX 1908 Teorema de Wedderburn sobre álgebras semisimples.


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1907-1935 Trabajo de Schur, alumo de Frobenius, en representaciones de grupos.

1915-1933 Emmy Noether, anillos y módulos.

1928 Emil Artin, anillos artinianos.

Teoría Clásica 1940 Brauer, alumno de Schur, teoría de representaciones modulares.

1940 Nakayama, álgebras uniseriales.

1941 Brauer, estudio de conjeturas de Brauer-Thrall.

1954 Higman, álgebras de grupo de tipo finito en característica positiva.

1957 Jans, algunos resultados sobre conjeturas de Brauer-Thrall.

1958 Yoshii, clasificación (incompleta) de carcajes sin ciclos orienta-dos de tipo finito.

1960 Feith y Thompson, solubilidad de los grupos de orden impar.

1961 Heller-Reiner, representaciones de Zp×Zp en campo característica p > 2 (salvaje).

1962 Curtis-Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Asso-ciative Algebras.

1963 Krugjlak, representaciones de Z2×Z2 característica 2 (manso).

1966 Januz, inescindibles para álgebras de grupo en característica posi-tiva.

1968 Kupisch, inescindibles para álgebras de grupo en característica positiva.

Teoría Moderna. Inicio Teoría Moderna. 1968 Roiter, 1a Conjetura de Brauer-Thrall.

1970 Cárdenas, Lluis, Módulos semisimples y representación de grupos finitos.

1971 Auslander, dimensión de representación, álgebra de Auslander.

1972 Gabriel, clasificación de carcajes sin ciclos orientados de tipo finito.

1972 Cardenas, Seminario Teoría de Representaciones


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1972 Kleiner y Gabriel, conjuntos parcialmente ordenados tipo finito.

1973 Bernstein-Gelfand-Ponomarev, versión de teorema de Gabriel-Yoshii.

1973 Donovan-Freislich y Nazarova, álgebras de carcajes sin ciclos orientados mansas.

1973 Nazarova-Roiter, 2a Conjetura de Brauer-Thrall (errores, métodos interesantes).

Teoría de Representaciones periodo efervescente 1974 International Conference on Representation of Álgebras, ICRA.

1974 Drozd, representaciones de parcialmente ordenados, similar a BGP.

1974 Auslander, la Brauer-Tharall para anillos artinianos.

1974 Gabriel tipo finito es abierto.

1974-1980 Auslander-Reiten, artículos sobre fundamentos de la teoría, posteriormente junto con Smalo y Solberg.

1975 Nazarova, parcialmente ordenados mansos.

1975 Auslander visita México.

1976 Dlab-Ringel, especies mansas.

1975 Nazarova, conjuntos parcialmente ordenados mansos.

1975-1977 Bautista y Martínez-Villa visitan Auslander.

1977 Kleiner-Roiter, categorías graduadas con diferenciación DGC.

1977 Bondarenko-Drozd, álgebras de grupo mansas.

1978 Shkabara, Carcajes mansos con una relación.

1978 Ringel y Auslander-Bautista- Platzeck-Smalo, componentes A-R de carcajes.

1979 Ringel, combinación de métodos Nazarova - Roiter y Auslander-Reiten.

1979 Brenner-Butler, generalización de funtores de BGP.

1979 Gabriel-Riedtmann, generalización de álgebras de grupo de tipo finito.

1979 Drozd, dicotomía manso-salvaje, versión incompleta.


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1980 Primera reunión internacional, ICRA en México.

1980 Kac, dimensiones de módulos inescindibles sobre álgebras de carcaj salvajes.

1980 Gabriel-Bongartz-Riedtmann, cubiertas universales en teoría de representaciones.

1980-1983 Riedtmann y Waschbüsch, álgebras autoinyectivas tipo finito.

1980 Todorov y Happel-Preiser-Ringel, funciones aditivas y subaditi-vas.

1980 Brenner-Butler, funtores de inclinación.

1981 Happel-Ringel, álgebras de inclinación.

1981 Roiter, bases multiplicativas, versión incompleta.

1981-1982 Gabriel, Bretscher-Gabriel, Martínez-V, de la Peña, bases multiplicativas álgebras estándar.

1982 Webb, componentes AR álgebras de grupo.

1983 Martínez-V y de la Peña, cubiertas universales para carcajes ordi-narios.

1983 Green, cubiertas y graduaciones.

1983 Bautista-Larrión-Salmerón, álgebras simplemente conexas since-ras.

1983 Happel-Vossieck, álgebras mínimas de tipo de representación infinita.

1983-1985 De la Peña visita a Gabriel.

1984 Bongartz, álgebras críticas simplemente conexas.

1984 Bongartz, Criterio para tipo de representación finita.

1984 Ringel, fundamentos álgebras mansas.

1985 Bautista-Gabriel-Roiter-Salmerón, versión completa bases multi-plicativas.

"Punto Cúspide de la Teoría". 1985 Bautista 2a conjetura de Brauer-Thrall.


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1985 Fischbacher, Bretscher-Todorov, algunas simplificaciones 2a Brauer-Thrall.

1986-1987 Baer-Geigle- Lenzing, álgebras preproyectivas, canónonicas y geometría.

1987 Happel, álgebras de inclinación y categorías derivadas

1987-1990 Erdmann, álgebras simétricas de tipo diédrico, semidiédrico y cuaternión generalizado.

1988 Crawley-Boevey, demostración completa dicotomía manso salva-je, estructura componentes AR álgebras mansas.

1990 De la Peña-Takane, métodos espectrales.

A finales de los 80´s se habían desarrollado las técnicas y los funda-mentos para el estudio de las álgebras de dimensión finita y se habían resuelto muchos de los problemas iniciales. Las principales técnicas que se desarrollaron fueron las siguientes:

a) Auslander, Reiten y colaboradores: álgebra de Auslander, sucesiones que casi se dividen, dual transpuesto, categoría de funtores, el radical de una categoría. equivalencia estable, categorías contravarientemente finitas, etc.;

b) Gabriel y colaboradores: métodos de geometría algebraica, carcajes, cubiertas universales y otras construcciones de topología algebraica, etc.;

c) Ringel y colaboradores: carcajes de Auslander Reiten, combinación de métodos de la escuela de Auslander y la de Roiter, álgebras de incli-nación, fundamentos para el estudio de álgebras mansas, etc.;

d) Roiter, Nazarova y colaboradores: representaciones de conjuntos parcialmente ordenados y de categorías de espacios vectoriales, pro-blemas matriciales, algoritmos, categorías graduadas con diferencia-ción, BOCS, etc.; Los teoremas más fundamentales que se resolvieron en orden cronoló-gico fueron:

1. La Conjetura de Brauer Thrall.

2. Dimensiones de módulos inescindibles sobre álgebras de carcaj sal-vajes.

3. Criterio para tipo de representación finita.


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4. Teorema de las bases multiplicativas.

5. Segunda conjetura de Brauer-Thrall.

6. Dicotomía manso salvaje, estructura componentes AR álgebras mansas.

Fue la segunda Conjetura de Brauer Thrall la que desató mayor polémi-ca. En 1975, Nazarova y Roiter anunciaron una demostración de la Segunda Conjetura y durante algún tiempo el resultado se consideró demostrado por estos autores. Sin embargo, los investigadores que trataron de leer el trabajo de Nazarova y Roiter encontraron puntos difíciles de entender y llegaron a la conclusión de que contenía errores insuperables. En el artículo que escribiera en 1979 Claus Ringel sobre las conjeturas de Brauer-Thrall, habla de la fertilidad de éstas. Es indu-dable que los esfuerzos por resolverlas generaron nuevos conceptos e ideas en teoría de representaciones, por ejemplo; los intentos de Nazo-rova y Roiter por demostrar la segunda conjetura de Brauer Thrall die-ron lugar al estudio de los conjuntos parcialmente ordenados y a las categorías de espacios vectoriales. Una demostración completa de la segunda conjetura tuvo que esperar a que avanzara la clasificación de las álgebras de tipo de representación finita, se introdujeran las cubier-tas universales y se demostrara el teorema de las bases multiplicativas. Sería Bautista (1985) el primero en dar una demostración completa. En el Segundo Congreso Internacional de Representaciones de Álgebras, Drozd presentó una demostración de la conjetura de Dono-van-Freislich (1972), llamada dicotomía manso-salvaje. La demostra-ción del teorema de Drozd que apareció publicada en ingles (1979) es muy esquemática, por lo tanto difícil de leer. En 1988 Crawley-Boevey W.W. publicó un artículo con la demostración completa de la dicotomía manso-salvaje que daba además sorprendentes resultados sobre la es-tructura de las componentes de Auslander-Reiten de una álgebra mansa. Crawley-Boevey utilizó en la demostración las ideas de Drozd y la noción de ‘bocs’ [bimodules over categories], introducida por Roiter en 1980. Durante los siguientes veinte años emergieron otras personalida-des, se atacaron otros problemas, siendo el estudio de las álgebras man-sas una de las líneas principales.

Periodo de Consolidación, últimos veinte años El séptimo ICRA que tuvo lugar en Cocoyoc, México (1994) sería la última vez en la que participaran tres de las personalidades más impor-tantes de la Teoría de Representaciones: M. Auslander, P. Gabriel, A. Roiter. Algunos de los matemáticos que han tenido más influencia


Mathesis

durante los últimos veinte años han sido: Crawley-Boevey, De la Peña, Happel, Lenzing, Rickard, Skowronski y más recientemente, Keller. Álgebras mansas. La escuela de Kiev ha contribuido de manera importante al estudio de las álgebras de tipo de representación manso. Ringel en el segundo ICRA, explicó como los métodos desarrollados en Kiev se podían com-binar con los de Boston para describir carcajes de Auslander-Reiten. Christof Geiss (1995), introdujo el método geométrico de las degenera-ciones que sería muy útil en el estudio de las álgebras mansas. La forma cuadrática asociada a un álgebra de dimensión global finita ha sido una herramienta importante para el estudio de las álgebras de tipo finito y manso. Esta forma ha sido investigada por Barot y De la Peña. Inspirados por el trabajo de Geiss y de la Peña, Larrión, Salmerón y G. Raggi, escribieron un texto sobre métodos geométricos para atacar problemas de tipo manso y salvaje. Los intentos por clasificar álgebras mansas han seguido un desarrollo paralelo al de las álgebras de tipo de representación finita. La escuela de Torun y en especial Skowronski y colaboradores, han hecho aportaciones fundamentales al estudio de las álgebras mansas, en particular al estudio de: las cubiertas universales de álgebras mansas, las álgebras fuertemente simplemente conexas y las autoinyectivas. La clasificación de álgebras mansas no se ha terminado, los resultados que se han obtenido han sido fruto del esfuerzo de más de treinta años de un grupo de representadores ubicados principalmente en: Alemania, Brasil, Canadá, Inglaterra, México, Polonia y Ucrania. Entre los líderes principales están: Assem, Cohelo, Crawley-Boevey, De la Peña, Drozd, Erdmann, Happel, Lenzing, Nazarova, Ringel, Roi-ter y Skowronski. Otros temas que han predominado en este periodo son:

1. Álgebras derivadamente mansas.

2. Álgebras preproyectivas, canónicas y relación con geometría.

3. Homotopía y homología de carcajes

4. Teoría de BOCS.

5. Aplicaciones a las álgebras de Lie y grupos cuánticos.

6. Equivalencia estable y derivada.


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7. Conjeturas homológicas.

8. Álgebras y Categorías A∞.

9. Módulos grandes.

10. Cohomología de Hochschild y variedades soporte.

11. Álgebras Koszul.

12. Álgebras de Conglomerados.

13. Dimensión de representación.

En los últimos cinco años se ve la emergencia de una generación de representadores con una nueva visión de la teoría, entre sus miembros se encuentran en México: Barot, Geiss y Mendoza.

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Victor J. Katz

Eli Maor. 2007. The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. New Jersey: Princeton University Press. ISBN-13:978-0-691-12526-8

The Pythagorean Theorem is arguably the most important elementary theorem in mathematics, at least being recognized by anyone who has studied high school mathematics. In his book by the same name, Eli Maor has presented a well-written survey of 4000 years of the history of this theorem and related mathematical ideas. In his wonderful prose, he traces the theorem from Mesopotamia in 1800 BCE through Py-thagoras, Euclid, and Archimedes in ancient Greece, François Viète around 1600 in France, and on to its relation to the space-time equa-tions in relativity theory in the early 20th century. In general, the story is a fascinating one, showing the relationship of this theorem to many areas of mathematics. It will appeal to high school teachers as well as their students and certainly can be read with pleasure by anyone at all interested in mathematics. Unfortunately, however, there are many problems with this book. Maor has failed to live up to the standard he set in several earlier works in the history of mathematics. Not only did he not use the latest schol-arship, but he has in many cases misinterpreted the mathematical and historical material, thereby misleading his readers. The first clue to the problems that this book presents is in the pref-ace, where Maor notes that the main historical sources he uses are the sixth edition (1992) of Howard Eves’ An Introduction to the History of Mathematics and David Eugene Smith’s History of Mathematics. Not that there is anything particularly wrong with either of these books, but Smith’s work was published in 1923-1925 while the 1992 edition of Eves’ work is not all that different from his original work of 1953. Thus, although there have been numerous discoveries in the history of mathematics in the last 50-80 years impacting on the history of the

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Pythagorean Theorem, Maor’s sources, and therefore Maor’s book, generally do not reflect these. The Pythagorean Theorem probably makes its first appearance in the work of the Mesopotamian scribes close to four thousand years ago. There are several extant mathematical tablets from that time that show evidence of an understanding of this theorem, although without stating it explicitly or proving it. Maor describes the tablet YBC 7289 with it square of side 30 and its diagonal of length 42; 25,35 (i.e., 42 + 25/60 + 35/3600) along with the approximation to the square root of two given as 1; 24,51,10, equivalent in decimals to 1.414212963…. Presumably, the scribe was aware that the diagonal of a square had a length equal to that value multiplied by the length of the side, a special case of the Pythagorean Theorem. But the theorem also occurs more generally in other Babylonian tablets, such as TMS 1, where the problem was to calculate the radius of a circle circumscribed about an isosceles triangle with altitude 40 and base 60. In this case, the scribe assumed the Py-thagorean Theorem for the right triangle whose hypotenuse is the radius and whose legs are half the base of the original triangle and the line segment that is the difference between the given altitude and the radius. After some manipulation, the Pythagorean Theorem equation becomes a linear equation that is easily solved. Maor does not discuss this tablet, but instead concentrates on the more famous tablet Plimpton 322, which most scholars believe includes on each of its fifteen lines two numbers b and c that are parts of Pythagorean triples, triples of numbers (a,b,c) in which c2 = a2 + b2. There has been much written about this tablet in the past sixty years since Otto Neugebauer first brought it to the world’s attention. But Maor only reports on Neugebauer’s own ideas, ideas that have been largely superseded by recent research. Thus, Maor claims that one possibility is that the tablet represents ‘history’s first trigonometric table’, a table listing the squares of the cosecants of a sequence of fifteen angles ranging from 45 degrees to about 58 degrees. Secondly, he claims that that there is ‘only one plausible explanation’ as to how the ancient scribes figured out the numbers, by applying the algorithm later discussed in Euclid’s Elements: a = 2uv, b = u2 – v2, c = u2 + v2, for appropriately chosen integers u and v. Yet modern researchers in Mesopotamian mathematics, including Eleanor Robson and Joran Friberg, have concluded, first of all, that there is no evidence of the concept of angle in that mathematics, hence no possibility of even considering a ‘trigonometric’ table. And second, they note, by actually translating the heading of one of the columns (that Maor characterizes as ‘not entirely clear’) and considering the

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general context of Mesopotamian mathematics, that the scribe calcu-lated his values by considering reciprocal pairs. In other words, if we rewrite the basic Pythagorean relationship by subtracting b2 from both sides and then dividing by a2, we get the equation w2 – z2 = 1 (where w = c/a and z = b/a), which can be factored as (w + z)(w – z) = 1, that is, as a pair of reciprocals. If one then reverses the procedure and starts with pairs of reciprocals, one can recover the Pythagorean triples [for more details, see Robson [2001] and Friberg [1981]]. Maor moves on to a discussion of Pythagoras and the Pythago-reans, dealing competently with their number theory and their presumed discovery of the incommensurability of the diagonal of a square with its side, related of course to the special case of the Pythagorean Theorem for isosceles right triangles. He then notes that we do not know what proof Pythagoras gave of the Pythagorean Theorem, speculating that it may have been similar to the one given in China a few hundred years later. (Of course, it is only tradition that allows us to believe that Py-thagoras gave any proof of the theorem at all.) Maor then looks at Euclid’s own proof (from Elements I-47) and asks why Euclid used this rather complicated argument rather than one of the simpler arguments presumably available to him. One of the standard answers is that many of these simpler arguments use proportion theory, and Euclid chose not to introduce that until later in his work. But as to why Euclid could not have used a cut and paste argument similar to that of the Chinese, Maor gives a curious answer, namely that a proof based on moving a plane figure would be ‘anathema’ to Euclid. In fact, however, Euclid did use proofs involving such motion to demonstrate two of the triangle con-gruence theorems in Book I of the Elements, although later commenta-tors criticized Euclid for so doing. Secondly, given that the Chinese proof relies on comparing the areas of certain plane figures, it is not all that different from various proofs Euclid gives in Book II. However Euclid decided on his proof, that the Pythagorean Theo-rem was proved to Greek standards now meant that it was part of the toolbox that Greek (and later Islamic) mathematicians could use in proving further theorems. Thus, Maor discusses how Archimedes used the theorem particularly in his Measurement of the Circle, in which the greatest mathematician of ancient times found the now-standard ap-proximation 22/7 to the value of π by calculating the perimeters of various polygons inscribed in and circumscribed around a circle. Maor here, however, gives a misleading impression of Archimedes’ work in that he describes his various approximations using decimals. Decimals, of course, were not used by the Greeks. And one of the fascinating parts

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of Archimedes’ calculation is that he approximated various square roots by fractions. Although we are not certain of the actual algorithm, it was probably related to algorithms used in modern times to calculate square roots and thus would have made an interesting discussion by itself. But Maor also misses a wonderful chance to enlighten students about Ar-chimedes’ work, the Method. He briefly alludes in a footnote to the rediscovery of the palimpsest in which this work is found and its sale in 1998. But what happened after that sale is such an exciting story that it certainly bears inclusion in any popular book dealing with Archimedes at all [see Netz & Noel [2007] for details]. Chapter 5 of the book is entitled “Translators and Commentators, 500 – 1500,” and deals with mathematics at the end of Greek period and then with Chinese, Indian, and Islamic mathematics. Although the three latter civilizations produced some excellent mathematicians, and even gave proofs and made use of the Pythagorean Theorem, Maor seems to adhere to the old story of the history of mathematics, that essentially nothing happened of interest in the time period he mentions besides translation and commentaries. He even repeats the discredited notion that Islamic mathematicians ‘studied, interpreted, and evaluated’ what they could find of ancient Greek mathematics and nothing else. In fact, as many recent histories of mathematics report, Islamic mathema-ticians carried on quite original research and achieved much in such fields as algebra, geometry, combinatorics, and trigonometry well be-fore Europeans. As part of Maor’s outdated historiography, he notes that Mohammed al-Khwarizmi was ‘perhaps the greatest of all Arab mathematicians’. Now al-Khwarizmi is known for writing the first algebra text and for putting together an arithmetic work that ultimately introduced Europe to the Hindu decimal-place-value system. But he was not particularly an original mathematician. There were many ‘greater’ mathematicians who wrote in Arabic. A short list would in-clude Abū ‘Alī al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039), Muhammad al-Bīrūnī (973-1055), Omar Khayyam (1048-1131), and Nasīr al-Dīn al-Tūsī (1201-1274). Curiously, even though Maor praises the Islamic mathematicians as translators of Greek mathematics, at the beginning of the chapter he notes that only six out of the thirteen books of Diophan-tus’s Arithmetica are extant, totally ignoring the four additional books that were only preserved in Arabic translations. He also repeats the misleading story that the Arab conquerors of Alexandria in 641 burned the remnants of the famous library there. In all probability, there was nothing left of the library by that time, it having succumbed to various wars and invasions in the previous six centuries.


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It is clear that Maor in writing chapter 5 did not avail himself of the plethora of new literature on the mathematics of China and India. If he had, he would have expanded this chapter considerably, because both civilizations made extensive use of the Pythagorean Theorem and even gave proofs of the result. For example, chapter 9 of the famous Chinese work Nine Chapters on the Mathematical Art, written around the be-ginning of our era and edited in the third century by Liu Hui, deals entirely with that result and its applications. And Liu Hui even supplies a proof somewhat different from the one Maor displays from the earlier Arithmetical Classic of the Gnomon. Both proofs depend on rearrang-ing parts of plane figures and do not, as Maor notes, follow from ex-plicit axioms. The Chinese did not follow Aristotle’s prescriptions for logical argument. Nevertheless, both proofs can easily be turned into ones meeting Euclidean – or modern – standards. For more details on chapter 9 of the Nine Chapters, [see Swetz and Kao 1977]. Maor him-self, however, only deals with one problem from that chapter, the prob-lem of the broken bamboo, a problem that later appears in Indian and Renaissance European mathematics as well. Maor’s treatment of Indian mathematics is also quite superficial. In his two page treatment, Maor only mentions the early appearance of the Pythagorean Theorem in the Sulvasutras and a few of the construction problems based on it. He also comments that there is no information as to the proof that they gave. Certainly, the Sulvasutras themselves do not have proofs – that was not their purpose – but in the sixteenth century Jyesthadeva (1530-1610) did give a proof of the theorem, as well as of numerous other results. His proof, like the Chinese one, depended on manipulations with geometric figures and was not a Euclidean proof. Proof notwithstanding, the Indians did make much use of the theorem. It and its applications occur in many of the standard Indian texts, in-cluding works by Aryabhata (fifth century), Brahmagupta (seventh century) and Bhaskara (1114-1185). For example, Bhaskara devoted several verses to the theorem in his Lilavati. In particular, he showed how to find the three sides of a right triangle if one knew one leg and the sum of the hypotenuse and the other leg. He then applied this result to solve the following: One monkey came down from a tree of height one hundred and went to a pond at a distance of two hundred. Another monkey, leaping some distance above the tree, went diagonally to the same place. If their total distances traveled are equal, how much is the height of the leap? [For more examples, see Plofker [2007]]. It is unfortunately indicative of Maor’s reluctance to consult new sources that he writes in a footnote to chapter 5 that he has taken his

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material from George Joseph’s Crest of the Peacock, noting further that the subject is ‘only marginally covered in most books on the history of mathematics’. In fact, several recent texts in the history of mathematics devote substantial space to Indian mathematics [see Katz [1998], [2004], [2009], Cooke [1997], [2005], Suzuki [2002]]. And even a thorough reading of George Joseph’s book would have prevented Maor from his error in a footnote on p. 96, where he fails to credit the Indian mathematician Madhava for the famous series π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + … also discovered by James Gregory and Wilhelm Leibniz. Once Maor moves on to European mathematics, his historiography seems to be freer of error, and he has wonderful chapters on Viète’s computation of an infinite product representation of 2/π, on the use of the Pythagorean Theorem to calculate curve lengths in calculus in the seventeenth century, and on the many proofs that have been given of the theorem, many of which were collected by Elisha Scott Loomis in his The Pythagorean Proposition (1927). But even in some of these later chapters there are errors. For example, in his discussion of the Law of Cosines, Maor incorrectly quotes its first appearance in Euclid’s Elements and later confuses Riemann’s doctoral dissertation with his more famous habilitation lecture. But there are also interesting discus-sions of the principle of duality in projective geometry, various nota-tions that can be used to state the Pythagorean Theorem and its gener-alizations, and the use of variations of the theorem in the theory of relativity. Interspersed among the chapters of the book are ten sidebars, short essays dealing with some interesting point, such as a trigonomet-ric proof of the theorem or the appearance of the theorem in art and literature. Despite the many historiographical errors, Maor’s book is still worth reading. It has the potential of exciting students and getting them to understand that mathematical theorems are not just dry statements given from on high. Theorems such as the Pythagorean Theorem have long histories, were developed by real people, and have had many ap-plications in all sorts of areas. But if a teacher were to suggest that students read this book, it is imperative that the teacher be aware of its imperfections so that he or she can help the students find the errors and correct them. I also hope that Maor himself would take these criticisms seriously and prepare a second revised edition taking these into ac-count.


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References COOKE, Roger. 1997, 2005. The History of Mathematics: A Brief

Course, 1st & 2nd editions. New York: John Wiley & Sons. FRIBERG, Joran. 1981. “Plimpton 322, Pythagorean triples, and the

Babylonian triangle parameter equations”. Historia Mathematica 8: 277-318.

KATZ, Victor J. 1998, 2009. A History of Mathematics: An Introduc-tion, 2nd & 3rd editions. Boston: Addison-Wesley.

———. 2004. The History of Mathematics: Brief Version. Boston: Addison-Wesley.

NETZ, Reviel and William NOEL. 2007. The Archimedes Codex: Revealing the Secrets of the World’s Greatest Palimpsest. London: Weidenfeld and Nicolson.

PLOFKER, Kim. 2007. “Mathematics in India”, in Victor J. Katz, ed., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton: Princeton University Press, pp. 385-514.

ROBSON, Eleanor. 2001. “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A reassessment of Plimpton 322”. Historia Mathematica 28: 167-206.

SUZUKI, Jeff. 2002. A History of Mathematics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

SWETZ, Frank and T. I. KAO. 1977. Was Pythagoras Chinese? Uni-versity Park, Pa.: Pennsylvania State University Press.

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Jacopo da Firenze y el Abbacus en Italia

Celina A. Lertora

Jens Høyrup, 2007. Jacopo da Firenze’s Tractatus Algorismi and Early Italian Abbacus Culture. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. Science Networks. Historical Studies. Volume 34. 482 pp. ISBN 978-3-7643-8390-9

La matemática tardomedieval y renacentista es un campo notablemente fértil en hallazgos documentales, que permiten nuevas lecturas de la historia de la disciplina. En los últimos treinta años se percibe un parti-cular interés por las relaciones entre la revolución comercial y el desa-rrollo de las matemáticas prácticas en Occidente. Los trabajos de Anna-lisa Simi, en la década de los 90, y los más recientes de Rafaella Franci y Enrico Giusti, relevaron interesantes documentos italianos de ma-temática práctica de los siglos XIV y XV, así como los de Betsabé Caunedo dieron a conocer trabajos españoles de aritmética para merca-deres, de las mismas fechas. Estos escritos constituyen una línea de interés que se añade y com-plementa a los trabajos más teóricos de los matemáticos tardomedieva-les, entre los cuales sobresale Jordano Nemorino, cuyo De numeris datis, editado por Barnabas Hughes, en 1981, constituye un referente decisivo para trabajos posteriores, incluyendo los de Høyrup, quien dedicó a Jordano y a la matemática del siglo XIII, un importante trabajo en 1988. El interés por los tratados prácticos italianos para la historia de la disciplina había sido notado ya tempranamente por Louis Karpisnki, a comienzos del siglo pasado. Las investigaciones suyas, y de otros especialistas como Eneström, recogidas en la importante publicación periódica Bibliotheca Mathematica hace precisamente un siglo, consti-tuyeron un incentivo para una tarea que ha continuado y que está lejos de ser agotada. Jens Høyrup es un investigador de reconocida trayectoria como historiador de la matemática, cuyo campo de trabajo se extiende desde

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la matemática tardoantigua a la moderna. Su interés se centra en el análisis de los procesos de transmisión del conocimiento matemático desde el antiguo Oriente hasta la configuración de la matemática mo-derna en el siglo XVII. La lectura de un artículo de Karpinski [1929], sobre el tratado de Jacobo de Florencia, señalando que presentaba un orden de casos dife-rente a otros anteriores (como el de Leonardo Fibonacci), así como la teoría de Moritz Cantor acerca de la existencia de dos tradiciones ma-temáticas italianas —la universitaria (‘clerical’) y la secular o comercial (supuestamente derivada de Leonardo)— lo motivaron a examinar más profundamente el tratado de Jacobo, dando por resultado este libro. Høyrup ha tenido en cuenta los tres manuscritos conservados (vaticano, florentino y milanés), editando el primero con traducción inglesa en paralelo. La amplia introducción ubica el tratado de Jacobo en la tradición calculista. En primer lugar, y luego de la descripción de los tres manus-critos, trata de identificar a este ‘maestro’ Jacobo, que dio fin a su trata-do en Montpellier en 1307. Luego estudia la tradición de los ‘libros de ábaco’ y sus maestros, que puede rastrearse al menos hasta 1265 en Bolonia. Revisa la hipótesis bastante aceptable de que estos tratados prácticos constituyan una vulgarización de las obras de Leonardo, con fines comerciales, especialmente en Italia, Francia y Cataluña. Examina el Livero de l’abbecho (Biblioteca Riccardiana de Florencia) manuscri-to umbrio datado ca. 1288-1290, que sigue a Fibonacci en muchos aspectos. Høyrup presenta y analiza detalladamente el contenido del tratado de Jacobo (pp. 45-186) capítulo por capítulo, veintidós en total, que contiene los siguientes temas principales: introducción a los números y lugar del cero, escritura arábiga y romana, valor posicional y tablas ejemplificativas, tablas de multiplicación, división, fracciones y sus respectivos gráficos, regla de tres, diversos tipos de cálculos, proble-mas, geometría práctica (incluyendo el problema de la cuadratura del círculo), álgebra, reglas para los cuatro grados, progresión geométrica, diversos problemas suplementarios. Más específicamente se detiene en el álgebra, estudiando sus posibles fuentes, en especial los escritos árabes, llegando a la conclusión de que no sabemos cuáles fueron los escritos de inspiración inmediata, pero ciertamente no lo fueron los escritos académicos corrientes estudiados por los historiadores de la matemática árabe. Por otra parte, también se debe investigar el ‘mundo lingüístico romance’ implicado activamente en estos trabajos. Para ello revisa la generación inmediatamente posterior, que incluye el trabajo de

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Paolo Gherardi (Montpellier, 1328), el conjunto de manuscritos cal-culísticos de Lucca (ca. 1330) y varios anónimos de Parma, de fines del s. XIV; otra tradición romancesca es la catalana-castellana de la misma época. La obra del maestro Dardi de Pisa (1344) es, según Høy-rup, el primer tratado vernáculo de álgebra que no depende de Jacobo. Finalmente, el tratado de Giovanni de Davizzo, escrito en 1424 y que contiene unas páginas de álgebra, le permite confrontarlo con el texto de Jacobo, encontrándolo más cercano que Dardi. Esto mostraría sobre todo la complejidad de la transmisión de tradiciones y que, por lo que hace a Jacobo, habría que buscar otras posibles fuentes, ampliando el área de búsqueda. La edición del manuscrito vaticano, con traducción paralela, ocupa las pp. 193-376. Incluye los simpáticos dibujos con que se ilustran los problemas. El Incipit está en latín, y el manuscrito en toscano antiguo. En la introducción ya Høyrup hace mención al uso un poco errático del idioma y las variantes de algunas palabras, tanto dentro del manuscrito como en relación a las otras dos copias. El Incipit completo es el si-guiente:

Incipit tractatus algorismi, huius autem artis novem sunt speties, silicet, numeratio, addictio, substractio, <mediatio,> duplatio, multiplicatio, di-vixio, progrexio, et radicum extractio. Conpilatus a magistro Jacobo de Florentia apud Montem Phesulanum, anno domini mºcccºvijº in mense septembris.

Este encabezamiento muestra también un bajo latín, no académico. El texto de Jacobo es sencillo y directo; la presentación, de tono religioso y exhortativo, dedica la tarea a la mayor honra de Dios; expli-ca brevemente la significación de la palabra ‘algoritmo’ y el orden que propone Boecio para el estudio de la aritmética. El estilo es docente, se dirige a un supuesto alumno tratándolo de ‘tú’, si bien con reminiscen-cias del estilo académico: ‘dovete sapere’ reiterado en los primeros capítulos, suprimido en las exposiciones y resoluciones de los proble-mas, cuya fórmula se reitera: ‘Dimi quando …’, ‘Et sappi che …’. Algunas expresiones parecen más propias de los tratados árabes que cristianos, los cuales no suelen invocar el nombre de Dios sino al prin-cipio y al final. Así, por ejemplo, el primer párrafo del capítulo diez enuncia lo que ha tratado (la multiplicación y la división) y lo que tra-tará (las fracciones y sus reglas). Y el segundo párrafo se inicia: “Pri-meramente comenzaremo nel nomi di Dio. Et diremo così, dimme quando…” [p. 230]. Cada una de las variantes que amplían un tema se introduce por ‘Ancora diremo …’ o ‘Ancora mostraremo …’. Los pro-blemas se exponen en forma práctica, constituyendo ejemplos concretos

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de asuntos de interés para mercaderas, productores, financistas. Un grupo de ellos se refiere a temas monetarios: cálculo de débitos y crédi-tos, repartición de ganancias o pérdidas entre asociados. Otro grupo son problemas de tipo técnico para uso y cálculo de materiales o de áreas. También hay problemas de cálculo en relación a ciertos actos jurídicos, como dote matrimonial o testamento. El caso del testador (analizado por Høyrup en sus variantes de otras obras) incluye una ilustración del muerto y la viuda encinta sumamente infantil y sin perspectiva, lo mis-mo que el caso del gato y la rata en la torre. En algunos casos la redac-ción está en primera persona: “Una donna me manda a uno suo giardino a coglere melarancie …” [p. 271]. El apéndice presenta la versión revisada de los manuscritos de Milán y Florencia. El libro se completa con una bibliografía especiali-zada, los índices de siglas, de fuentes citadas, de nombres personales y geográficos y de temas. En su conjunto, la obra representa un significativo aporte a la histo-ria de la transmisión de los saberes matemáticos y enriquece nuestro conocimiento del período tardomedieval, especialmente de los grupos que desarrollaron una cultura matemática comercial en Provenza y Cataluña, y que eventualmente pudieron servir de inspiración a los trabajos decisivos de los siglos XVI y XVII. Bibliografía Karpinski, Louis. 1929. “The Italian Arithmetic and Algebra of Master

Jacob of Florence, 1307”. Archeion 11: 170-177


Lógica para principiantes

Atocha Aliseda Ll.

María Manzano y Antonia Huertas. 2005. Lógica para principiantes. Madrid: Alianza Editorial. (Colección Filosofía y Pensamiento). 422 páginas.

Introducción En nuestra actividad docente de la enseñanza de la lógica deductiva en un nivel introductorio, los profesores tenemos la difícil tarea de escoger entre aquellos libros de texto que presentan la silogística aristotélica y los de corte matemático. Mientras que los primeros se dedican a presen-tar las motivaciones filosóficas de la lógica deductiva y exponen la teoría del silogismo aplicada a razonamientos cotidianos [Copi, 1972], los otros se dividen a su vez en los que favorecen un enfoque sintáctico [Suppes, 1979] y los que se inclinan por un enfoque semántico [Ender-ton, 2004]. La elección de un texto está dada principalmente por la licenciatu-ra en la cual se enseña esta materia. Por lo general, en las carreras humanísticas (principalmente en filosofía) se pasa totalmente desaper-cibido el aspecto matemático de la lógica moderna y en las carreras científicas (matemáticas y computación) no hay contacto alguno con la tradición aristotélica de esta disciplina. El libro que hoy nos ocupa tiene la virtud de ser un texto introduc-torio de lógica de amplio espectro, ya que no limita su uso a un pro-grama de estudios o a un enfoque particular. Si bien su énfasis está basado en el aspecto semántico de la lógica, ofrece también diversos cálculos para cubrir el aspecto sintáctico. Asimismo, goza de una cons-tante reflexión filosófica y de un mar de ejercicios prácticos de apoyo, contenidos en un CD.

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A continuación reproduzco una entrevista que le hice en fechas recientes a una de las autoras de este libro, la Dra. Maria Manzano de la Universidad de Salamanca. En ella podremos encontrar una descripción detallada del libro, así como respuestas a varias preguntas sobre los antecedentes, impacto y uso de este libro. Entrevista 1.- ¿Cuáles son los antecedentes que las inspiraron a escribir este libro? Este libro es uno de los resultados de nuestra investigación en didáctica de la lógica y lo escribimos tras una dilatada experiencia docente y después de haber llevado a término un proyecto de la Unión Europea de didáctica de la lógica, un proyecto ALFA de innovación y sistematiza-ción de la tarea educativa. Ese proyecto lo emprendimos en 1998 un nutrido grupo formado por decenas de investigadores de diez universi-dades europeas y latinoamericanas, así que además de nuestra opinión, contamos con la de numerosos colegas de ambos continentes. 2.- ¿Cuál es fue el objetivo al escribir este libro y a qué público está dirigido? Se trata de un libro básico de lógica, el primero que usan nuestros estu-diantes universitarios de filosofía e informática. Se caracteriza por su decidido carácter innovador, en el que se han tenido muy en cuenta las recomendaciones del ASL [Association for Symbolic Logic] expresadas en sus recomendaciones para la enseñanza de la lógica [“Guidelines for Logic Education”. Bulletin of Symbolic Logic, vol 1, 1995]. En particular, nuestro objetivo era hacer un libro con énfasis en la semántica y que ofreciera una cierta perspectiva lógica. Esto es, un libro que muestre a la lógica no sólo como herramienta, sino el porqué de la misma, el origen de los conceptos y herramientas en ella usados, una cierta reflexión filosófica. Por otra parte, nos esforzamos enorme-mente en la elaboración de ejercicios, creo que es el libro con mayor número de ejercicios de lógica originales. En cuanto al público al que está dirigido, este libro está dirigido a estudiantes de licenciatura, ya sea de Filosofía o Informática o a aque-llos interesados en aprender lógica por vez primera. En la Universidad de Salamanca, el libro lo uso en la carrera de informática, en la asignatura de Lógica Matemática, en la que dedica-mos un cuatrimestre, cuatro horas de clase a la semana. En Filosofía, por otra parte, se usa en las asignaturas de Lógica I y Lógica II, se da en dos cuatrimestres, tres horas cada semana.

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3.- Describe los contenidos del libro El libro consta de cuatrocientas veintidós páginas y lo acompaña un CD-Rom con más de dos mil ejercicios interactivos y un apéndice de noventa páginas (dos capítulos dedicados a la metalógica cuyo nivel excedía el de un curso introductorio). Consta de doce capítulos y cuatro apéndices, organizados en cuatro partes: Lógica Proposicional (capítu-los 1 a 5), Conjuntos y Diagramas (capítulos 6 a 8), Lógica de Primer Orden (capítulos 9 a 12) y Apéndices (A al D). En nuestra experiencia, para introducir al alumno en la Lógica de Primer Orden, es preciso tener nociones básicas de Teoría de Conjuntos y el momento adecuado para estudiarla es entre la Lógica Proposicional y la Lógica de Predicados. En ese mismo momento aprovechamos para introducir un lenguaje intermedio entre el Lenguaje Proposicional y el del Primer Orden, el de predicados monarios con un solo cuantificador, esto es, el de la silogística Aristotélica. Evidentemente no la usamos como procedimiento de cálculo; en vez de ello empleamos los diagra-mas de Venn, pues son mucho más efectivos y didácticos que la silogís-tica. Como ya dije, hicimos un gran énfasis en los ejercicios. Hay tres bloques: Mafia, Silogística aventurera y Acertijos fantásticos. Los enunciados de estos ejercicios son en gran parte producto de muchos años de experiencia docente y con frecuencia han sido elaborados por los propios alumnos. En particular en los ejercicios de Mafia se usa el procedimiento de los tableaux para extraer conclusiones de un conjunto de hipótesis. Por otra parte, en los ejercicios de la silogística aventurera se utilizan diagramas de Venn para solucionar argumentos de la lógica de predicados unarios. Así la enseñanza del curso se complementa con prácticas en el laboratorio. Usamos tres programas, dos de ellos elabo-rados por los propios alumnos de informática: Mafia, Diagramas de Venn y el de Tarski´s World. Otro de los aspectos que consideramos importante de este libro, es el curso de metamatemática contenido en el CD. Allí se prueban los teoremas de completud y corrección y se introduce al alumno en las demostraciones por inducción. Este material se usa sobre todo en cursos de lógica matemática. 4.- Aunque en el libro introduces varios cálculos, ¿porqué tu énfasis en los Tableaux? He probado enseñando cálculos axiomáticos, de deducción natural, de resolución, etcétera. La ventaja de los Tableaux desde el punto de vista didáctico, es que se aprenden muy fácilmente; y desde un punto de vista


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informático, su presentación conlleva a una automatización casi inme-diata. Algo similar sucede con los de Resolución, que también añadi-mos al libro. En el caso de la Lógica Proposicional este cálculo ofrece un algoritmo efectivo: o bien una prueba del teorema o bien un modelo que sirve de contraejemplo. Sin embargo, los cálculos de deducción natural, aunque son más difíciles de aprender, sirven mejor como intro-ducción a las pruebas matemáticas en la lógica como disciplina. Los cálculos de secuentes tienen además la ventaja de que las demostracio-nes de resultados metalógicos son más sencillas. Los que menos me gustan para cursos introductorios son los cálculos axiomáticos: no son fáciles de aprender y las demostraciones distan de ser intuitivas. 5.- ¿Cómo se ha recibido este libro en el mundo Iberoamericano? Está teniendo mucha aceptación, se hizo la primera reimpresión antes de acabar el primer año y ya se han hecho otras dos. Se está usando como texto recomendado en muchas universidades españolas y lati-noamericanas, en 2005-2006 aparecía en las guías de las asignaturas de Lógica de Filosofía y de Lógica Matemática (o similares) de Informáti-ca de las universidades de: Albacete, Alicante, Autónoma de Barcelona, Autónoma de Madrid, Cádiz, Carlos III, Castilla la Mancha, Complu-tense de Madrid, Granada, León, Rey Juan Carlos, Salamanca, Santiago de Compostela, Sevilla, UNED, UOC, Valencia etc. También se em-plea en algunas universidades mexicanas, argentinas, venezolanas y peruanas. 6.- ¿Cómo se compara con otros libros de lógica? La receta empleada en el libro es la siguiente: (1) Entusiasmar e impli-car al alumno (no ofender su inteligencia, hacerle descubrir las respues-tas y crear nuevo material educativo -MAFIA, SILOGÍSTICA AVEN-TURERA, ACERTIJOS FANTÁSTICOS); (2) texto ameno, de fácil lectura (estilo directo, nada enrevesado; ejemplos divertidos, interesan-tes, del mundo real); (3) en clave de futuro investigador riguroso (se apuntan los grandes temas de la lógica, se le invita a la reflexión, de-mostraciones matemáticas rigurosas de los metateoremas fundamenta-les, definiciones matemáticas precisas tras la idea intuitiva; se incluye glosario de términos); y, (4) estudio de mercado del producto (la lógica es la materia interdisciplinar por excelencia, es una herramienta apli-cable en Informática y Filosofía, posee una potente teoría que desarro-llar, mejorar y adaptar a necesidades diversas para su aplicación al lenguaje, la informática, las matemáticas, la economía, la ética, la cien-cia de la transmisión de información, etc.)

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III 32 (2008)

Nuestro libro se caracteriza por su énfasis en la semántica, cuando con frecuencia los libros introductorios están todavía muy orientados a la enseñanza del cálculo. Algo que también lo singulariza es que a lo largo de todo el libro, hay una reflexión filosófica. Por ejemplo, en el apartado “Atrapar la lógica”, se cuestiona si el conjunto de fórmulas válidas caracteriza la logicidad de un sistema. Cuando en el libro se introduce un concepto, normalmente se comienza por describirlo en su uso cotidiano y al final se suelen ofrecer dos alternativas para precisar-lo, una semántica y otra sintáctica y se hace énfasis en que ambas alter-nativas son equivalentes. Una de las ideas claves de este libro es que para definir qué es la lógica nos basamos en el concepto de consistencia en vez de en el de consecuencia, entendida la primera como compatibilidad o coherencia de creencias y la segunda como el proceso de extraer conclusiones a partir de ciertas hipótesis. Esta última se caracteriza por la imposibili-dad de encontrar una situación donde las hipótesis sean verdaderas y la conclusión falsa. Aprovecho para decir que este planteamiento no es original, pues se encuentra así en el libro Logic de Hodges. Desde esta perspectiva, el cálculo de los tableaux es el adecuado. Aunque en el libro sólo se estudia la lógica clásica, nuestra postu-ra ante la variedad de lógicas existentes es politeista, en oposición al monoteísmo de lógicos como Quine. Reconocemos que hay muchos sistemas lógicos y no debería ser objetivo ni intención de la lógica el trazar fronteras para desterrar a la mayor parte de los sistemas lógicos. Al final del primer capítulo mostramos una balanza para evidenciar que en toda lógica hay que calibrar su capacidad expresiva con su capacidad computacional; a mayor expresividad, menor capacidad computacio-nal. Somos nosotros los que decidimos qué priorizar y así usar una lógica conforme a esa elección. 7.- ¿Porqué dedican su libro a Henkin? ¿En qué influyó en el mate-rial de este libro que nos concierne? En primer lugar, Leon Henkin fue mi mentor y además de ser un lógico muy importante con contribuciones originales, él mismo era un exce-lente docente y estaba muy interesado en la enseñanza de la lógica y de la matemática, incluso en las fases previas a la Universidad. 8.- Si tuvieras la oportunidad de reescribir este libro, ¿qué quitar-ías? ¿Qué agregarías? En realidad, escribiría dos libros, uno más parecido a Lógica para Prin-cipiantes y otro en donde usara el material del apéndice y que resultara


Mathesis

un libro para enseñar a hacer demostraciones, no en el cálculo per sé, esto es, no como herramienta sino como ciencia. Bibliografía Copi, I. 1972. Introducción a la Lógica. Buenos Aires: EUDEBA.

(Traducción de la cuarta edición en inglés, 1972). Enderton, H. 2004. Una introducción matemática a la lógica. 2ª. Méxi-

co: UNAM. (Instituto de Investigaciones Filosóficas. Traducción de la segunda edición en inglés, 2001 por José Alfredo Amor).

Hodges, W. 1977. Logic. An Introduction to Elementary Logic. Middle-sex: Penguin. Suppes, P. 1979. Primer curso de lógica matemática. Barcelona: Re-

verté. (Traducción de la primera edición en inglés).

Derechos Reservados © 2008 por Mathesis/UNAM (ISSN 0185-6200) Al someter un trabajo, el autor está de acuerdo en que los derechos de éste serán transferidos a la revista Mathesis (siempre y cuando sea aceptado para su publicación; sin embargo, la transmisión de los derechos no es requerida a quienes laboran para compañías que no permitan tal asignación). Por otro lado, es responsabilidad del autor obtener cualquier permiso necesario para la publicación de su ensayo. Todos los derechos de traducción, reproducción y adaptación están reservados. No se puede reproducir total o parcialmente el contenido de la presente obra, almacenarla en un sistema de recuperación de información, grabarla o trasmitirla a través de cualquier forma o por cualquier medio, ya sea éste electrónico, electrostático, mecánico, cinta magnética, fotocopiadora, microforma o cualesquiera otras formas similares. El permiso para fotocopiar especimenes para uso individual o para uso personal o interno de clientes específicos está autorizado por el editor a individuos y bibliotecas en el entendido de que una cuota de $50.00 (en México) o $5.00 USD (en el extranjero) por ensayo sea pagada directamente a Mathesis. Este consentimiento no se extiende a otros tipos de reproducción, como copiar para distribución general, para propósitos de promoción, para crear nuevas obras colectivas o para reventa. Mientras se hace todo esfuerzo porque no se trasmitan datos, opiniones o argumentos inexactos o engañosos en esta revista, tanto el impresor como los directores desean dejar claro que lo expresado en los artículos, notas, reseñas, avisos y anuncios es responsabilidad única del autor o del anunciante; por lo mismo, los directores ejecutivos, los directores asociados, los directores consultivos, (y sus respectivos empleadores y empleados), los oficiales y los agentes tampoco aceptan responsabilidad alguna sobre las consecuencias de la información vertida en esta publicación.

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Los trabajos (original y dos copias) deben ser sometidos para publicación a los editores de Mathesis a la siguiente dirección:

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México Se sugiere a los autores conservar una copia para su propia referencia. Todo ensayo inédito se recibe bajo la condición de que éste ha sido sometido a publi-cación únicamente a Mathesis. El autor deberá indicar específicamente la sección de la revista (e.g. ‘artículos’, ‘notas educativas’, ‘proyectos de trabajo’, ‘noticias y avisos’, etc.) que considere más apropiada para su ensayo, con la única excepción de las secciones ‘ensayo-reseña’ y ‘reseñas’, cuyos trabajos son requeridos directamente por los directores.

Los originales deben presentarse con letra grande y clara, y escritos a doble espacio. Los márgenes han de ser más anchos que lo normal a fin de permitir espacio suficiente (una norma aproximada sería: sesenta y cinco golpes por línea y venticinco líneas por cuartilla) para anotar instrucciones que los directo-res indican a los impresores.

Mathesis recurre a la asesoría de árbitros, quienes indican la pertinencia de publicar o no dicho ensayo; por esta razón el nombre, afiliación y dirección del autor deben aparecer únicamente en la cubierta o carátula del ensayo para que su identidad se mantenga confidencial. Una vez dictaminado el ensayo, los editores sugerirán el mínimo de cambios (generalmente relacionados con el formato y estilo de la propia revista) para acelerar la impresión de éste.

El idioma oficial único de Mathesis es el español, aunque algunas reseñas (en número limitado) pueden ser presentadas a los editores en otras lenguas. Sin embargo, todos los autores deberán incluir, junto con su ensayo, un breve resu-men del objetivo de su artículo, en los idiomas español e inglés de una extensión máxima de doscientas palabras cada uno de ellos. Los autores también deberán anexar una ficha curricular (máximo de cincuenta palabras) donde anotarán su afiliación, formación académica, área de trabajo, títulos de algunas de sus publi-caciones más recientes y el tema de su proyecto actual de investigación.

Los autores tienen completa libertad en cuanto a la posible extensión del ensayo —en algunos casos, tal vez, sea necesario dividir el ensayo original en dos o tres partes debido a una longitud poco usual—. Las notas a pie de página deben estar numeradas en orden consecutivo y deberá reiniciar en cada página. La numeración de las notas dentro del texto central deberá aparecer con super-índices, por fuera de la puntuación.

Dentro de lo posible, en el caso de aquellas obras que ya hayan sido tradu-cidas de otras lenguas al español, el autor deberá citar la obra en español, la que quizá se encuentra más fácilmente a disposición de la mayoría de los lectores. La información bibliográfica relacionada con citas textuales ha de incluirse a través del texto entre corchetes de la siguiente manera: [Galileo 1975c II, 119], para indicar la cita tomada de la página 119 del segundo tomo de la obra de Galileo publicada en 1975. Añadimos siempre a la fecha de la publicación un caracter alfabético minúsculo para distinguir entre aquellas obras publicadas por un mismo autor en un mismo año.

Información para autores

La lista completa de referencias bibliográficas aparecerá al final del artículo en una única relación alfabética ordenada por autores y, dentro de este orden, observará un suborden cronológico. En el caso de libros, la referencia bibliográ-fica deberá contener los siguientes datos: Nombre completo del autor, primero su apellido paterno en mayúsculas, enseguida su nombre de pila; año de publi-cación con su propio caracter alfabético; título completo del libro subrayado (itálicas); lugar de edición (seguido por dos puntos) y nombre del editor (o casa impresora); a continuación, entre paréntesis, se puede incluir información adi-cional (e.g., el nombre de la colección a la que pertenece el texto, número de edición —en caso de no ser la primera— y año de publicación de ésta, entre otros). Todos y cada uno de estos datos deberán estar seguidos por un punto y seguido, con excepción del lugar de la edición.

En caso de ser una traducción deberá tratarse, dentro de lo posible, de indi-car inmediatamente la fuente original (entre corchetes y conteniendo los mis-mos datos, pero cambiando y normalizando el orden de los nombres del autor y trasladando el año de publicación a la posición final). Por ejemplo:

POINCARÉ, Henri. 1944a. Ciencia y Método. Madrid: Espasa Calpe. (Col. Austral # 409. Tercera edición, 1963). [Henri Poincaré. Science et Méthode. Paris: Flammarion. 1908].

En el caso de un artículo contenido en una revista, la referencia debe contener los siguientes datos: Nombre del autor; fecha de publicación; título del artículo, entre comillas; título de la revista subrayado (itálicas); número del volumen, (en negritas), seguido por dos puntos; y, finalmente, el número de las páginas entre las que está comprendida la mencionada referencia. Por ejemplo:

PALTER, Robert. 1987a. ‘‘Saving Newton's text: Documents, Readers, and Ways of the World’’. Studies in History and Philosophy of Science 18: 385-439.

Para el caso de un ensayo contenido en un libro o colección de ensayos deberá seguirse el modelo indicado por el siguiente ejemplo:

DAUBEN, Joseph. 1984a. ‘‘El desarrollo de la teoría de conjuntos cantoriana’’, contenido en: Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introduc-ción histórica. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 387. Traducción de Ma-riano Martínez Pérez). Pp. 235-282. [Ivor Grattan-Guinness (editor). From Calculus to Set The-ory, 1630-1910. An Introductory History. London: Duckworth. 1980].

Es también importante marcar con claridad —a fin de evitar al impresor cualquier tipo de confusión— todos aquellos símbolos, ecuaciones y fórmulas matemáticas; alfabetos poco usuales; fórmulas químicas y físicas, caracteres especiales y acentos diacríticos. También es publicable un reducido número de dibujos o esquemas, los cuales deben ser reproducibles directamente de la copia enviada por el autor; en este caso sólo es posible imprimir motivos a línea en blanco y negro y no en medio tono. El material gráfico deber estar separado del texto con la respectiva indica-ción, señalando dónde ha de ser incluido cada uno de los diagramas.

Una vez aprobada, revisada y corregida, el autor debe enviar la versión fi-nal de su ensayo impresa, y capturada en disco o CD, utilizando alguno de los siguientes procesadores de palabras para IBM-PC: Microsoft Word, Word Perfect; o enviar un archivo ‘adjunto’ dentro de un mensaje electrónico a la dirección: [email protected]

Finalmente, ya publicada la revista, el autor recibirá veinticinco sobretiros de su trabajo, sin cargo alguno, para su uso personal.

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