Universidad Autonoma Del Estado De Mexico

Centro universitario valle de mexico

Israel Roa Mora

CALCULO INTEGRAL Y DIFERENCIAL

(PROYECTO DE INTEGRALES)

TURNO: MATUTINO F:23

Ing. En Sistemas y Comunicaciones

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1-……………………………….Definición d e integral

2-……………………………….Fórmulas integrales

3-………………………………Integral de una constante

4-………………………………Integral de x

5-…………………………….. Integración por partes

6-………………………………Integrales racionales

7-………………………………Integración por sustitución

8-…………………………….. Integrales trigonométricas

9-…………………………….. Integral definida

10-……………………………Función integral

11-…………………………..Teorema fundamental del cálculo

12-…………………………Regla de Barrow

13-………………………………Teorema de la media

14-……………………Área de una función y el eje de

abscisas

15-……………………Área comprendida entre dos funciones

2-FORMULAS INTEGRALES

1. La integral de una suma  de funciones es igual a

la suma de las integrales  de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La  integral del producto de una constante  por una

función es igual a la constante por la integral  de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Sean a ,  k , y C  constantes  (números reales) y consideremos

a u  como función  de x y a u'  como la derivada  de u.

3- INTEGRAL DE UNA CONSTANTE

La  integral de una constante  es igual a la constante por x.

Ejemplo

4- INTEGRAL DE X

Si la función a integrar es x , las fórmulas  de integración

son:

5-INTEGRACION POR PARTES

El método de integración por partes  se basa en la

derivada de un producto y se uti l iza para resolver

algunas  integrales de productos .

Tenemos que derivar  u  e  integrar  v' , por lo que será

conveniente que la  integral de v'  sea inmediata .

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se

eligen como u .

Las funciones exponenciales y trígonométricas del t ipo seno

y coseno, se eligen como v' .

Ejercicios

6-INTEGRALES RACIONALES

En la  integración de funciones racionales  se trata de

hallar la integral   , siendo P(x) y Q(x) polinomios.

En primer lugar, supondremos el grado de P(x) es menor

que el de Q(x), si no fuera así se dividiría.

C(x) es el cociente y R(x) el resto de la división polinómica.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor

grado que numerador, descomponemos el denominador en

factores.

7-INTEGRACION POR SUSTITUCION

El método de integración por sustitución o cambio de

variable  se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identif icar una parte de lo que se va a

integrar con una nueva variable t , de modo que se obtenga

una  integral más sencil la.

1º Se hace el  cambio de variable  y se diferencia en los

dos términos:

Se despeja u  y dx , sutituyendo en la integral:

2º Si la  integral  resultante es más sencil la, procedemos a

integrar:

3º Se vuelve a la variable inical :

8-INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

El seno y coseno del ángulo mitad  son:

Si n es par, entonces se pueden escribir sen n  y cosn  en

forma de potencias de   y   respectivamente.

Ejemplos

9- INTEGRAL DEFINIDA

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo

[a,b] de la recta real, la  integral definida  es igual al área

l imitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las l íneas

verticales x = a y x = b.

Se representa por   .

∫  es el signo de integración.

a   l ímite inferior de la integración.

b   l ímite superior de la integración.

f(x)  es el  integrando  o función a integrar.

dx  es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la

función que se integra.

10-FUNCION INTEGRAL

Sea f(t)  una función continua  en el intervalo [a, b] . A

partir de esta función se define la  función integral :

que depende del l ímite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la

variable de f, se la l lama t, pero si la referencia es a la variable

de F, se la l lama x.

Geométricamente la función integral , F(x), representa

el área  del recinto l imitado por la curva y = f(t), el eje de

abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral , F(x), también se le l lama función de

áreas  de f en el intervalo [a, b].

11-TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

La derivada de la función integral de la función

continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo  nos indica que la

derivación y la integración son operaciones inversas: si una

función continua primero se integra y luego se deriva, se

recupera la función original.

Ejemplos

Calcular la derivada de las funciones:

12- LEY DE BARROW

Isaac Barrow  (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya

aportación más importante a las Matemáticas fue la unión del

cálculo diferencial e integral.

La regla de Barrow  dice que la integral definida de una

función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la

diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x)

de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

13-TEOREMA DE LA MEDIA

El teorema de la media o teorema del valor medio

para integrales  dice que:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b],

existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

Ejemplos

1. Hallar el valor de c, del  teorema de la media , de la

función f(x) = 3x 2  en el intervalo [−4, −1].

Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se

puede aplicar el  teorema de la media .

La solución positiva no es válida porque no pertenece al

intervalo.

14- AREA DE UNA FUNCION Y EL EJE DE ABSCISAS

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la

gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El  área

de la función  viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los  puntos de corte  con con el eje OX,

haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área  es igual a la  integral definida de la

función  que tiene como límites de integración los puntos de

corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto l imitado por la curva y = 4x

− x2  y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX

para representar la curva y conocer los l ímites de integración.

En segudo lugar se calcula la integral:

2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la

curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de

abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de

abscisas.

15-AREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de

la función que está situada por encima menos el área de la

función que está situada por debajo.

Ejemplos

1. Calcular el área l imitada por la curva y = x 2  − 5x + 6 y

la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos

funciones para conocer los l ímites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

2.Calcular el área l imitada por la parábola y 2  = 4x y la

recta y = x.

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

3.Calcular el área l imitada por las gráficas de las funciones

3y =x2  e y = −x2  + 4x.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del

vértice y los puntos de corte con los ejes.

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que

nos darán los l ímites de integración.

e usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numéricade integración numéricacaso de dos o más dimensiones (