ISPITNI KATALOG ŠKOLSKA 2020/2021. GODINE

OSNOVNI I VIŠI NIVOANALIZA S ALGEBROM

MATURSKI ISPIT ZA SPECIJALISTIČKO ODJELJENJE MATEMATIČKE GIMNAZIJE

ISPITNI KATALOG PRIPREMILI:

prof. dr Siniša Stamatović Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet Crne Gore

prof. dr Sanja Jančić RašovićPrirodno-matematički fakultet, Univerzitet Crne Gore

mr Snežana DelićJU Gimnazija „Slobodan Škerović”, Podgorica

Vidosava Kašćelan Zavod za školstvo

Tatjana Vujošević Ispitni centar

SADRŽAJ1. UVOD 4

2. PRAVILA 5

3. OPŠTI CILJEVI ISPITA 6

4. STRUKTURA ISPITA 7

5. ISPITNI PROGRAM 9

6. PRIMJER TESTA SA UPUTSTVOM ZA BODOVANJE 16

6.1. Primjer testa 16

6.2. List za odgovore 20

6.3. Rješenja sa uputstvom za bodovanje 21

7. LITERATURA 29

Maturski ispit za učenike specijalističke gimnazije realizovaće se počev od školske 2019/20. godine. Učenici koji su se ško-lovali po programu Matematičke gimnazije, polagaće Analizu sa algebrom kao obavezan nastavni predmet (Zakon o gim-naziji:„Sl. list RCG”, br. 64/2002, 49/2007 i ”Službeni list CG”, br. 45/2010, 39/2013 i 47/2017.). Ovim Zakonom (član 38) je precizirano da se ispit iz Analize sa algebrom može polagati na osnovnom ili višem nivou.

Ispitni katalog sadrži sve potrebne informacije o obliku i sadržaju ispita. Navedeni su opšti ciljevi ispita i detaljno je opisana struk-tura ispita na osnovnom i struktura ispita na višem nivou. Cen-tralni dio kataloga čini Ispitni program koji je zasnovan na pred-metnom programu Analiza sa algebrom i koncipiran je tako da se na osnovu ispitnih ciljeva precizno definišu znanja i sposobnosti koje će se provjeravati testom. Sastavni dio kataloga je i primjer testa sa šemom za bodovanje, kao i preporučena literatura.

Ispitni katalog je namijenjen prvenstveno učenicima i nastavni-cima.

1.U

VOD

4

Datum sprovođenja ispita iz Analize sa algebrom objavljuje se u okviru školskog kalendara, prije početka školske godine u kojoj se realizuje ispit.

Ispitni materijal se pakuje u sigurnosne vrećice (PVC) i dostavlja školama na dan ispita. Materijal se otvara pred učenicima ne-posredno prije početka ispita.

Na ispitu nije dozvoljeno sljedeće ponašanje

lažno predstavljanje

otvaranje test-knjižice prije dozvoljenog vremena

ometanje drugih učenika

prepisivanje od drugog učenika/učenice

korišćenje nedozvoljenog pribora

oštećenje šifre na test-knjižici

nepoštovanje znaka za završetak ispita

Dozvoljen pribor je grafitna olovka, gumica i hemijska olovka.

Tokom ispita nije dopuštena upotreba elektronskih uređaja.

Učenikov rad mora biti napisan hemijskom olovkom. Ukoliko se zadatkom traži crtanje, može se koristiti grafitna olovka. Zadatak će se vrednovati sa nula bodova ako je netačan, zaokruženo više ponuđenih odgovora, nečitko i nejasno napisan ili nije riješen.

Nakon ispita, testovi će biti zapakovani i vraćeni u Ispitni centar, gdje će se organizovati ocjenjivanje.

2.

PRA

VILA

5

Provjera znanja i razumijevanja osnovnih pojmova iz predmeta Analiza sa algebrom definisanih nastavnim programom i ovim Katalogom

Poznavanje osnovnih elemenata teorije brojeva, algebarskih izraza, elementarnih funkcija, jednačina i nejednačina, nizova, diferencijalnog i integralnog računa, kombinatorike i binomne formule

Provjera primjene pojmova, formula, pravila, tehnika računanja, algoritama i struktura Analize i algebre na konkretnim zadacima, kao i povezanost sa drugim matematičkim pojmovima i disciplinama koje se izučavaju u toku školovanja

Provjera logičkog mišljenja, izbor odgovarajućih metoda rješavanja zadataka, upoređivanje i upotreba različitih strategija rješavanja zadataka, demonstracija originalnosti i kreativnosti u radu

Provjera sposobnosti apstraktnog mišljenja i matematičke intuicije

Uvid u nivo i kvalitet postignuća znanja i vještina iz predmeta Analiza sa algebrom

3.O

PŠTI

CI

LJEV

I IS

PITA

6

OSNOVNI NIVO Ispit traje 150 minuta. Učenici rješavaju test koji čini 15 zadataka.

Od datih 15 zadataka, prvih pet su zadaci višestrukog izbora, dok su preostali zadaci otvorenog tipa.

Kod zadataka višestrukog izbora ponuđeno je više odgovora od kojih je samo jedan tačan. Učenik od ponuđenih odgovora, bira onaj za koji smatra da je tačan. Djelimičnog bodovanja nema. Tačno riješen zadatak donosi 3 boda.

Kod zadataka otvorenog tipa, od učenika se traži obrazloženje postupka rješavanja odnosno da dokažu kako su došli do rješenja. Rješenje treba da sadrži sve korake koji vode do rezultata. Prikazani rad se boduje po segmentima, to jest, dodjeljuje se odgovarajući broj bodova za postavku zadatka, tačan postupak rješavanja i tačan rezultat.

Svako tačno rješavanje zadatka nosi maksimalan broj bodova.

VIŠI NIVOIspit traje 180 minuta. Učenici rješavaju test sastavljen od 15 zadataka otvorenog tipa.

Prvi dio testa čini deset zadataka zajedničkih sa testom na osnovnom nivou. Rješavanje preostalih pet zadataka zahtijeva dublje razumijevanje ishoda ovog predmeta.

Tabela ispod daje prikaz strukture ispita na osnovnom i na višem nivou.

VRSTA ZADATKA

Broj zadataka samo za

osnovni nivo

Broj zajedničkih zadataka za

osnovni i viši nivo

Broj zadataka samo zaviši nivo

Zadaci višestrukog izbora

5 0 0

Zadaci otvorenog tipa

0 10 5

4.

STR

UK

TUR

AIS

PITA

7

Netačno riješen ili neurađen zadatak ne donosi negativne bodove.

Sadržaj predmeta Analiza sa algebrom koji se provjerava ispitom, podijeljen je na pet oblasti.

Tabela koja slijedi prikazuje procentualnu zastupljenost oblasti u testu u odnosu na ukupan broj bodova na testu.

REDNI BROJ OBLAST

ZASTUPLJENOST OBLASTI(u odnosu na

ukupan broj bodova na testu)

OSNOVNI NIVO VIŠI NIVO

I Brojevi 10 ± 5% 15 ± 5%

II Algebarski izrazi 20 ± 5% 10 ± 5%

III Elementarne funkcije; Jednačine i nejednačine 30 ± 5% 20 ± 5%

IV Nizovi;Diferencijalni i integralni račun 40 ± 5% 50 ± 5%

V Kombinatorika;Binomna formula 10 ± 5% 10 ± 5% 4.

Str

uktu

ra is

pita

8

I OBLASTBrojevi

SADRŽAJ ISPITNI CILJEVIUčenik pokazuje da umije da:

REAL

NI B

ROJE

VI

Prirodni brojevi; Cijeli brojevi; Djeljivost cijelih brojeva; Prosti brojevi; Faktorizacija prirodnih brojeva; Kongruencije; Racionalni brojevi; Iracionalni brojevi; Apsolutna vrijednost.

1. odredi ostatak pri dijeljenju prirodnog broja prostim brojem koristeći svojstva kongruencije po modulu

2. pomoću rastavljanja datih brojeva na proste faktore odredi NZD i NZS ili provjeri djeljivost jednog broja drugim

3. iz datog skupa izdvaja elemente koji su racionalni (iracionalni) brojevi

4. odredi kad je zbir, razlika, proizvod, količnik brojeva a i b racionalan (iracionalan)

KOM

PLEK

SNI B

ROJE

VI

lmaginarna jedinica; Algebarski oblik kompleksnog broja; Moduo i argument kompleksnog broja; Konjugovano kompleksni brojevi; Geometrijsko predstavljanje kompleksnog broja; Računske operacije sa kompleksnim brojevima; Trigonometrijski oblik kompleksnog broja; Moavrove formule: n-ti stepen i n-ti korijen kompleksnog broja, n ϵ N.

1. obavlja računske operacije sa kompleksnim brojevima

2. rješava jednačine sa kompleksnim brojevima

3. rješava zadatke u kojima se u kompleksnoj ravni prepoznaje geometrijsko mjesto tačaka - kompleksnih brojeva jednako udaljenih od dvije zadate tačke-dva kompleksna broja i geometrijsko mjesto tačaka udaljenih r od zadate tačke - kompleksnog broja

3. računa n-ti stepen i korijen kompleksnog broja

5.

ISPI

TNI

PRO

GR

AM

9

II OBLASTAlgebarski izrazi

SADRŽAJ ISPITNI CILJEVIUčenik pokazuje da umije da:

RACI

ON

ALN

I AL

GEB

ARSK

I IZ

RAZI

Algebarski razlomci. 1. odredi oblast definisanosti algebarskog razlomka

2. transformiše izraze sa algebarskim razlomcima

STEP

ENO

VAN

JE I

KORJ

ENO

VAN

JE Osnovne operacije sa stepenima čiji je izložilac cio broj; Stepena funkcija; Operacije sa korijenima; Racionalisanje; Korjena funkcija; Operacije sa stepenima čiji je izložilac racionalan broj.

1. primijeni postupak racionalisanja2. koristi svojstva stepenovanja i

korjenovanja

POLI

NO

MI

Dijeljenje polinoma; Teorema o jednakosti dva polinoma; Teorema o faktorizaciji polinoma na linearne i kvadratne faktore; Tvrđenje: ako je nula polinoma kompleksni broj tada je nula i odgovarajući konjugovano kompleksni broj; Faktorizacija polinoma; NZD i NZS polinoma; Zapisivanje polinoma pomoću djelioca, količnika i ostatka; Vietove formule.

1. podijeli dva polinoma2. faktoriše polinom u slučajevima kada

se neka nula ili više nula nalaze neposrednom

provjerom3. nađe NZD i NZS polinoma nakon

sprovedene faktorizacije4. riješi zadatke u kojima se traži

nepoznati ostatak dijeljenja5. odredi nepoznate koeficijente

polinoma uz informaciju da je polinom djeljiv nekim zadatim polinomom

6. riješi zadatke u kojima se nepoznati koeficijenti dobijaju primjenom Vietovih formula

5. Is

pitn

i pro

gram

10

III OBLASTElementarne funkcije; Jednačine i nejednačine

SADRŽAJ ISPITNI CILJEVIUčenik pokazuje da umije da:

LIN

EARN

E JE

DNAČ

INE,

N

EJED

NAČ

INE

I FU

NKC

IJE

Linearna funkcija; Linearna jednačina i nejednačina; Sistem linearnih jednačina; Gausov metod rješavanja jednačina.

1. riješi linearnu jednačinu2. riješi linearnu nejednačinu3. riješi linearne jednačine

(nejednačine) u kojima koristi definiciju apsolutne vrijednosti

4. riješi sistem linearnih jednačina sa dvije i tri nepoznate

5. diskutuje sistem linearnih jednačina sa dvije i tri nepoznate

6. crta grafik linearne funkcije7. na osnovu zadatih podataka odredi

linearnu funkciju8. primijeni linearne jednačine,

nejednačine i njihove sisteme u modelovanju situacija iz svakodnevnog života

KVAD

RATN

A JE

DNAČ

INA

I FU

NKC

IJA

Kvadratna jednačina i nejednačina; Osobine i grafik kvadratne funkcije; Sistem od jedne linearne i jedne kvadratne jednačine; Sistem od dvije kvadratne jednačine.

1. riješi kvadratnu jednačinu sa realnim koeficijentima

2. riješi jednačine koje se svode na kvadratne

3. diskutuje prirodu rješenja kvadratne jednačine

4. poznaje Vietove formule i primijenjuje ih 5. modelira realne probleme i rješava ih

primjenom kvadratne jednačine 6. riješi sistem jedne linearne i jedne

kvadratne jednačine, kao i sistem od dvije kvadratne jednačine

7. ispita tok i nacrta grafik kvadratne funkcije

8. na osnovu datih elemenata odredi kvadratnu funkciju

9. riješi kvadratnu nejednačinu 10. riješi zadatke koji se svode na rješavanje

kvadratne jednačine i nejednačine, i na traženje ekstremne vrijednosti kvadratne funkcije

5. Is

pitn

i pro

gram

11

EKSP

ON

ENCI

JALN

A I

LOG

ARI

TAM

SKA

FUN

KCIJ

A Eksponencijalna funkcija f (x) = ax, 0 < a, a < 1, a > 1;Osobine i grafik eksponencijalne funkcije; Eksponencijalna jednačina i nejednačina; Pojam logaritma; Logaritamska funkcija f (x) = loga x, 0 < a, a < 1, a > 1;Osobine i grafik logaritamske funkcije; Pravila logaritmovanja; Logaritamska jednačina i nejednačina.

10. prepozna i nacrta grafik elementarne eksponencijalne i logaritamske funkcije

11. analizira svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije

12. prepozna i primijeni osnovna pravila logaritmovanja

13. riješi eksponencijalne i logaritamske jednačine

14. riješi eksponencijalne i logaritamske nejednačine

5. Is

pitn

i pro

gram

12

IV OBLASTNizovi; Diferencijalni i integralni račun

SADRŽAJ ISPITNI CILJEVIUčenik pokazuje da umije da:

NIZ

OVI

Aritmetički niz; Suma n uzastopnih članova aritmetičkog niza;Geometrijski niz; Suma n uzastopnih članova geometrijskog niza; Granična vrijednost sume n uzastopnih članova geometrijskog niza, | q | < 1, tj. suma beskonačno mnogo uzastopnih članova geometrijskog niza.Osnovni pojmovi o nizovima (definicija, zadavanje, monotonost, ograničenost, operacije);Granična vrijednost niza; Onovne teoreme o graničnim vrijednostima zbira, razlike, proizvoda i količnika nizova;Teorema o konvergenciji monotonog i ograničenog niza;Broj e; Geometrijski red.

1. riješi zadatke u kojima se koriste definicije aritmetičkog i geometrijskog niza kao i vrijednosti njihovih suma uključujući sumu beskonačno mnogo uzastopnih članova geometrijskog niza

2. primijeni osnovne teoreme o graničnim vrijednostima zbira, razlike, proizvoda i količnika nizova kao i teoremu o konvergenciji monotonog i ograničenog niza

3. prepozna geometrijski red, nađe sumu reda

REA

LNE

FUN

KCIJ

E JE

DN

E PR

OM

JEN

LJIV

E

Pojam funkcije; Način zadavanja funkcije; Pojam bijekcije; Složena funkcija; Inverzna funkcija;Domen, kodomen funkcije; Parnost i neparnost funkcije; Periodičnost funkcije, znak funkcije; Pojam granične vrijednosti funkcije; Osnovna svojstva granične vrijednosti funkcije; Lijeva i desna granična vrijednost funkcije;Značajnije granične vrijednosti funkcija;Asimptote;Pojam neprekidnosti funkcije.

1. odredi vrijednost funkcije koja je zadata tablično, grafički ili analitički

2. odredi i predstavi inverznu funkciju u konkretnim primjerima

3. odredi domen, ispita monotonost, znak, konveksnost; odredi ekstremne vrijednosti funkcije

4. ispita parnost (neparnost) funkcije, odredi osnovni period ukoliko postoji

5. računa granične vrijednosti funkcija6. odredi asimptote grafika funkcije7. utvrdi da li je data funkcija

neprekidna ili ima prekid i određuje vrstu prekida

8. dodefiniše funkciju tako da bude neprekidna u datoj tački

5. Is

pitn

i pro

gram

13

DIF

EREN

CIJA

LNI

RAČU

N

Pojam izvoda; Izvod zbira, proizvoda i količnika; Izvod elementarnih funkcija;Izvod složene funkcije; Izvod funkcije date u implicitnom obliku;Izvodi višeg reda;Lopitalovo pravilo;Maklorenova formula;Ispitivanje funkcije i crtanje grafika.

1. računa izvode2. riješi ekstremalne zadatke

primjenom diferencijalnog računa3. primijeni Lopitalovo pravilo i

Maklorenovu formulu4. primijeni diferencijalni račun pri

ispitivanju osobina funkcije

NEO

DRE

ĐEN

I IN

TEG

RAL

Pojam primitivne funkcije i neodređenog integrala; Svojstva neodređenog integrala; Tablica osnovnih integrala;Metod smjene;Metod parcijalne integracije;Integrali racionalnih, iracionalnih i trigonometrijskih funkcija.

1. riješi integrale primjenjujući osobine integrala i tablicu integrala

2. primijeni metod smjene3. primijeni metod parcijalne

integracije 4. odredi integral racionalnih funkcija 5. odredi integral nekih iracionalnih

funkcija 6. odredi integral trigonometrijskih

funkcija

OD

REĐ

ENI I

NTE

GRA

L Geometrijska interpretacija određenog integrala; Svojstva određenog integrala; Njutn-Lajbnicova formula; Pojam nesvojstvenog integrala; Računanje površine figura u ravni primjenom određenog integrala;Računanje dužine luka krive;Računanje površine i zapremine rotacionih tijela.

1. primijeni Njutn - Lajbnicovu formulu 2. riješi određeni integral 3. računa površinu figura u ravni

primjenom određenog integrala 4. računa dužinu luka krive 5. računa površinu i zapreminu

rotacionih tijela 6. primijeni parcijalnu integraciju i

smjenu promjenljive na nesvojstveni integral

5. Is

pitn

i pro

gram

14

V OBLAST Kombinatorika; Binomna formula

SADRŽAJ ISPITNI CILJEVIUčenik pokazuje da umije da:

KOM

BIN

ATO

RIKA

;BI

NO

MN

A FO

RMU

LA

Pravilo proizvoda. Varijacije, permutacije i kombinacije bez ponavljanja. Varijacije, kombinacije i permutacije sa ponavljanjem. Formula uključenja-isključenja.Binomna formula. Zbir binomnih koeficijenata.

1. riješi zadatke u kojima se primjenjuje pravilo proizvoda

2. u zadacima prepoznaje modele u kojima se pojavljuju varijacije, permutacije i kombinacije bez i sa ponavljanjem i primjenjuje formule za njihovo prebrojavanje

3. riješi zadatke u kojima se primjenjuje formula uključenja-isključenja

4. nađe konkretan član u binomnom razvoju

5. nađe koeficijent uz konkretan član u binomnom razvoju

6. nađe član u binomnom razvoju koji je jednak konstanti

7. odredi broj racionalnih-iracionalnih članova u binomnom razvoju

8. riješi zadatke u kojima na osnovu podataka vezanih za neke koeficijente u binomnom razvoju nalazi n

5. Is

pitn

i pro

gram

15

Prvih pet zadataka odgovara samo primjeru testa na osnovnom nivou

U sljedećim zadacima zaokružite slovo ispred tačnog odgovora.

1. Vrijednost izraza

21 1

1 1 1 12 2 2 2

4 9 4 3

2 3

a a a a

a a a a

− −

− −

− − + + − −

,

( 30, 1,2

a a> ≠ ) je:

A. 9 B. 2a C. 9a

D. 1

2 3a − 3 boda

2. Ako je

33

33

1

1

aab

aa

−=

+ i

66

66

1

, 0, 11

aac a a

aa

−= ≠ ≠ ±

+, tada je

c izraženo u funkciji od b jednako:

A. 22

1b

b +

B. 22

1b

b−

+

C. 2 12

bb+

D. 2 12

bb+

−3 boda

6.PR

IMJE

R T

ESTA

SA

U

PUTS

TVO

M Z

A

BO

DO

VAN

JE

16

3. Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x), stP(x) ≥ 2, sa x − 1 je 3, a ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) sa x + 1 je −1. Ostatak pri dijeljenju polinoma P(x) sa x2 − 1 je:

A. 2x − 1 B. 2x + 1 C. x − 1 D. 6

3 boda

4. Data je funkcija: ( )( )

2 , je paran broj1 3, , je neparan broj2

x xf x

x x

=

−

. Kolika je vrijednost izraza ( )( )17 1f f + ?

A. 49 B. 64 C. 143

D. 197 3 boda

5. Na svakoj stranici jednakostraničnog trougla zadato je po 10 tačaka različitih od tjemena trougla. Koliko ima trouglova čija su tjemena zadate tačke?

A. 3 500 B. 3 600 C. 3 700 D. 3 800

3 boda

6.1.

Pri

mje

r tes

ta

17

Sljedećih deset zadataka su zajednički zadaci za test na osnovnom i za test na višem nivou

Zadatke koji slijede rješavajte postupno.

6. Dati su skupovi { }: 1 1A z C z i z i= ∈ − − = + + i { }: 2 2 1B z C z i= ∈ − − ≤ .

Naći minimum izraza 1 2 1 2, ,z z z A z B− ∈ ∈ .3 boda

7. Data je jednačina ( )2 22 1 2 0x a x a+ − + + = . Odrediti vrijednost realnog parametra a za koje je jedno rješenje jednačine dva puta veće od drugog.

3 boda

8. Za koje vrijednosti parametra m jednačina 2 2 3x x m− − = ima najveći broj rješenja?

3 boda

9. Riješiti nejednačinu ( ) ( ) ( )1 2 11,25 0,64x x− +< .

3 boda

10. Zadati su brojevi q i Q, 1, 1q Q< < .

Sumu 2 2 3 31 ...W qQ q Q q Q= + + + + izraziti preko s i S gdje je 2 21 ..., 1 ...s q q S Q Q= + + + = + + +

3 boda

6.1.

Pri

mje

r tes

ta

18

11. Odrediti oblast definisanosti funkcije ( )2

2 3

1

1 log x

f xx+

=−

.

4 boda

12. Naći funkciju ( )f x za koju važi:

1 22 2 1, 1, 22 1

x xf f x x xx x− + + = − ≠ ≠ − + −

.3 boda

13. U datu elipsu čija je jednačina 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = upisati pravougaonik najveće površine.

5 bodova

14. Izračunati 2

ln

1 ln 4ln

xdx

x x x− −∫ .

4 boda

15. Zbir binomnih koeficijenata trećeg člana od početka i trećeg člana od kraja u razvijenom obliku stepena binoma ( )34 3 4

n+ iznosi 9 900.

Naći broj racionalnih članova u razvoju.4 boda

6.1.

Pri

mje

r tes

ta

19

20

6.1.

Pri

mje

r tes

taPet zadataka koji slijede rješavaju samo učenici koji su izabrali da polažu ispit na višem nivou

16. Odrediti tri prosta broja čiji je proizvod sedam puta veći od njihovog zbira.

3 boda

17. Naći ostatak pri dijeljenju polinoma ( ) sin sinnP x x x n= α − α sa polinomom ( ) 2 2 cos 1, , ,Q x x x R k k Z= − α + α∈ α ≠ π ∈ .

3 boda

18. Odrediti parametar a i dodefinisati funkciju

( )

( )

( )3

ln 1, 0

1 cos sin, 0

a xx

xf xx x

xx

+ >=

−<

tako da bude neprekidna za x = 0.

4 boda

19. Naći brojeve a, b, c za koje važi

( ) 3 3 2 13 ,cf x x x ax b o xx x

= − = + + + → +∞

Naći kosu asimptotu funkcije ( )f x za x →+∞.

3 boda

20. Koliko ima sedmocifrenih brojeva čiji je decimalni zapis abcdefg, cifre a, b, c, d, e, f, g su neparni brojevi za koje važi

a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ g?3 boda

6.2.

Lis

t za

odgo

vore

Učenici koji polažu ispit na osnovnom nivou, uz test dobijaju i list za upisivanje odgovora na zadatke višestrukog izbora. Potrebno je da se za svaki od prvih pet zadataka, na odgovarajuće mjesto pažljivo prepišu dobijeni odgovori.

21

Rješenja sa uputstvom za bodovanje1. Tačan odgovor: C

22

1 1

1 1 1 12 2 2 2

9 34 44 9 4 33 122 3

a aa a a a a aa aa a a a a a

− −

− −

− − + − − + + = + = − − − −

( ) ( )

22 24 9 4 3

2 3 1a a a

a a a a

− − ++ = − −

( )( )( )

( )( )( )

22 3 2 3 1 3

2 3 1a a a a

a a a a

− + − −+ = − −

( )

222 3 3 3 9a a a a

a+ + −

= =

2. Tačan odgovor: A

363 6 6 663

3

11 111 11

a a bab a b b a abaa

a

− − += = ⇒ + = − ⇒ =

−++

26

126

12 266

11 11 1

1 1 1 11

ba a bac

a baa b

+ −− − − = = =+ + + + −

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2

1 1 211 1

b b bcbb b

+ − −= =

++ + −

6.3.

Rje

šenj

a

22

6.3.

Rje

šenj

a3. Tačan odgovor: B

Na osnovu Bezuove teoreme imamo ( ) ( )1 3, 1 1P P= − = − .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 3, 1 1 2, 1P x x Q x ax b P a b P a b a b= − + + ⇒ = + = − = − + = − ⇒ = =

4. Tačan odgovor: B

( ) ( )117 17 3 7

2f = − =

( )( ) ( )17 1 8 64f f f+ = =

5. Tačan odgovor: C

Sve trojke zadatih tačaka, ima ih 303

, osim trojki tačaka koje se

nalaze na nekoj stranici, ima ih 10

33

, obrazuju trougao. Dakle,

traženi broj je 30 103 3700

3 3

− =

23

6.

Skup A je geometrijsko mjesto tačaka koje su u kompleksnoj ravni jednako

udaljene od tačaka ( )1, 1− − i ( )1,1 , tj. prava y x= − ................................ 1 bod

Skup B je krug sa centrom u tački ( )2,2 i poluprečnika 1 .................... 1 bod

Traženi minimum je ( ) ( )( )0,0 , 2,2 1 2 2 1d − = − (d je rastojanje između

tačaka) i dostiže se za 1 22 20, 2 2

2 2z z i

= = − + −

............................. 1 bod

7. 2

1 2 1 2 1 22 , 1 2 , 2x x x x a x x a= + = − ⋅ = + ................................................. 1 bod

2 22 23 1 2 , 2 2x a x a= − = +

2 21 2 23 2

a a− + =

.............................................................................................. 1 bod

( )22 8 16 0 4 0 4a a a a+ + = ⇒ + = ⇒ = − ................................................... 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

24

8.

1 bod

1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

25

Prava y = m za:m > 4 siječe grafik u dvjema tačkamam = 4 siječe grafik u tri tačke

( )0, 4m∈ siječe grafik u četiri tačke m = 0 siječe grafik u dvjema tačkamam < 0 presjeka nema.Dakle, ( )0, 4m∈ .................................................................................................... 1 bod

9.

( ) ( ) ( ) ( )1 4 11 2 1 5 41,25 0,64

4 5

x xx x

− +− + < ⇔ <

( )1 4 15 5 , 04 4

x x

x− − +

< ≥

...............................................................................1 bod

( )1 4 1x x− < − +

4 5 0x x− − >

Smjena: , 0x t t= ≥ , 2 4 5 0t t− − > ............................................................ 1 bod

( ) ( )1 5 0t t t< − ∨ > ∧ ≥ 5 5 25t x x> ⇔ > ⇔ > ................................................................................ 1 bod

10. 1 1,

1 1s S

q Q= =

− − ............................................................................................ 1 bod

1 1,s Sq Qs S− −

= = ........................................................................................... 1 bod

11 1

sSWqQ s S

= =− + −

....................................................................................... 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

26

11.

Rješava se nejednačina 22 3log 1x x+ < uz uslove 30, , 1

2x x x≠ > − ≠ −

.... 1 bod

Treba razmatrati slučajeve 0 2 3 1x< + < i 2 3 1x + >

1. Ako je 0 2 3 1x< + < , tj. 3 12

x− < < − imamo nejednačinu2 2 3x x> + pa je ( ) ( ) 3, 1 3, i , 1

2x x ∈ −∞ − +∞ ∈ − −

,

3 , 12

x ∈ − −

........................................................................................................ 1 bod

2. Ako je 2 3 1x + > , tj. 1x > − uz uslov 0x ≠ imamo nejednačinu2 2 3x x< + pa je ( ) ( ) ( )1,3 1, 1,3 , 0x x x∈ − − +∞ ⇔ ∈ − ≠

( ) ( )1,0 0,3x∈ − ................................................................................................ 1 bod

slijedi ( ) ( )3 , 1 1,0 0,32

x ∈ − − −

............................................................... 1 bod

12. 1 31 0, 12 2

xu u ux x−

= = − ⇒ ≠ ≠+ +

2 12 11uux u x x

u+

+ = − ⇔ =−

.............................................................................. 1 bod

Postavka sistema ( )

( )

1 5 121

1 521

uf u fu u

uf u fu u

+ + = −

+ + = −

................................................. 1 bod

Rješavanjem sistema se dobija

( ) ( )5 1 2 10 7 11 1 7 1131 1 1 3 1u u u uf u f u

u u u u+ + + +

− = + = ⇒ = ⋅− − − −

..................... 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

27

13.

Neka je ( ),M x y tjeme pravougaonika na luku elipse u prvom kvadrantu. Tada je površina pravougaonika 2 2 4P x y xy= ⋅ =

Kako je iz jednačine elipse 2 2by a xa

= − , to je 2 24bP x a xa

= − ... 1 bod

( )2 2

2 2

4 2b a xP

a a x

−′ =

− ............................................................................................. 1 bod

0P′ = za 2

ax = ................................................................................................ 1 bod

max02 2

a aP P P ′′ < ⇒ =

....................................................................... 1 bod

za 2

ax = dobijamo 2

by = , pa je pravougaonik MMPQ,

gdje je ,2 2

a bM ,

,2 2

a bN −

, ,2 2

a bP − −

, ,2 2

a bQ −

pravougaonik najveće površine upisan u datu elipsu .............................. 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

28

14.

Smjena: ln , dxx t dtx

= = ................................................................................. 1 bod

( )( )

2 2, 2 ,

1 4 5 2

tdt tdt t m dt dmt t t

= + = =− − − +

∫ ∫ ................................ 1 bod

( ) 22 2 2

22 5 2arcsin

55 5 5

m dm mdm dm mm Cm m m

−= − = − − − +

− − −∫ ∫ ∫ . 1 bod

( ) ( )2 22 ln 25 2 2arcsin 5 ln 2 2arcsin5 5

t xt C x C+ +− − + − + = − − + − +

1 bod

15. 9900

2 2n n

n

+ = − ......................................................................................... 1 bod

( ) ( )12 1 100 99 100

2n n

n n n−

= − = ⋅ ⇒ = .................................................... 1 bod

( )100100 100 2534 3 34 4

0 0

100 1003 4 3 4 3 4

k kk kn

k kk k

−−

= =

+ = ⋅ = ⋅

Σ Σ .......................... 1 bod

Broj u razvoju je racionalan ako i samo ako je broj k djeljiv sa 3 i sa 4 tj. djeljiv sa 12.

Ti brojevi su 0, 12, 24,..., 96 i ima ih 9 ........................................................... 1 bod6.

3. R

ješe

nja

29

16.

Označimo tražene brojeve sa a, b, c.

Iz traženog uslova imamo abc = 7(a + b + c).

Budući da je 7 prost broj, jedan od traženih brojeva, recimo c,

mora biti 7............................................................................................................. 1 bod

Nakon uvrštavanja c = 7 dobijamo

( ) 87 1 1 8 11

ab a b a b b ab

= + + ⇔ − = − + ⇔ = +−

................................ 1 bod

b = 2, a = 9; b = 3, a = 5; b = 5, a = 3;

Traženi brojevi su 3, 5, 7 ................................................................................. 1 bod

17.

Nule polinoma Q(x) su 1 cos sinx i= α + α i ( ) ( )2 cos sinx i= −α + −α ... 1 bod

( ) ( ) ( )1P x Q x P x ax b= + +

( ) ( ) ( )1 cos sin sin cos sin sinnP x i i n= α + α α − α + α α =

( ) ( )cos sin sin cos sin sinn i n i nα + α α − α + α α = .................................... 1 bod

( ) ( )sin 1 cos sin 0, sin 1n a ia b a b n= − − α = α + α + ⇒ = = − − α

Traženi ostatak je ( )sin 1n− − α ....................................................................... 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

30

18.

( )( )

0 0

ln 1lim lim

x x

a xf x a

x+ +→ →

+= = ................................................................ 1 bod

( ) ( )2

3 20 0 0

2sin1 cos sin sin2lim lim lim4

4x x x

xx x xf x

xx x− − −→ → →

−= = ⋅ =

⋅2

0 0

sin1 sin 12lim lim2 2

2x x

xx

x x− −→ →

⋅ =

..................................................................... 1 bod

Funkcija je neprekidna u

( ) ( ) ( )00 0

0 lim lim 0x x

x f x f x f− +→ →

= ⇔ = = ................................................... 1 bod

( )

( )

( )3

ln 11 , 01 2,2 1 cos sin

, 0

xx

xa f xx x

xx

+ >= =

−<

...................................................... 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

31

19.

( )

( )

13

2 23 1 3 1 1 1 9 11 1 1

3 2 3 31 11 ,

f x x x ox x x x

f x x o xx x

= − = − ⋅ + ⋅ − +

= − − + → +∞

Dakle, a = 1, b = −1, c = −1 ................................................................... 2 boda

Tražena kosa asimptota je y = x − 1 i grafik funkcije joj se približava odozdo .............................................. 1 bod

20. Broj koji tražimo jednak je broju 7 – kombinacija sa ponavljanjem skupa neparnih brojeva ........................................................................................ 1 bod

tj. 7 5 15 1+ −

− ............................................................................................. 1 bod

11330

4

=

................................................................................................. 1 bod

6.3.

Rje

šenj

a

32

Osnovna literatura

1. Udžbenik sa zbirkom zadataka za I razred Matematičke gimnazije (Arif Zolić, Zoran Kaldeburg, Srđan Ognjanović)

2. Udžbenik sa zbirkom zadataka za II razred Matematičke gimnazije (Srđan Ognjanović, Vladimir Mićić, Zoran Kaldeburg)

3. Udžbenik sa zbirkom zadataka za III razred Matematičke gimnazije (Zoran Kaldeburg, Vladimir Mićić, Srđan Ognjanović)

4. Udžbenik sa zbirkom zadataka za IV razred Matematičke gimnazije (Zoran Kaldeburg, Vladimir Mićić, Srđan Ognjanović)

Izdavač: Krug, Beograd

7.

LITE

RA

TUR

A

33

www.iccg.co.me