Esercizi svolti di grafici con i moduli e trasformati con isometrie
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ISOMETRIE NELLE
PAVIMENTAZIONI COSMATESCHE
DI SAN CLEMENTE AL LATERANO A
ROMA
Il giorno 21 aprile del 2017, la classe II°A del Liceo
Scientifico Giuseppe Peano si è recata nella Basilica di San
Clemente al Laterano per studiare le isometrie che vanno a
formare i motivi cosmateschi che ne caratterizzano il
pavimento.
•LA STORIA DELLA BASILICA1: Dietro San Clemente al
Laterano, per quanto essa, paragonata ai grandi monumenti di
Roma, possa apparire una basilica di poca importanza, si cela
una lunga storia; sotto di essa, infatti, si sono stratificate le
rovine di diverse costruzioni precedenti:
al livello più basso, vi sono i resti di
una costruzione andata distrutta
durante il noto incendio del 64 d.C.,
1 FONTI: http://www.basilicasanclemente.com/ita/index.php/storia/basilica
sovrastati da magazzini (horreum) in tufo risalenti al I secolo
d.C. (Età imperiale, successiva all'epoca neroniana), questi
ultimi affiancati dall'abitazione di un patrizio, presso la quale
era situato anche un piccolo tempio dedicato al culto Mitriaco.
Al piano subito sottostante il
terreno, si trovano quindi i resti di
una basilica costruita nel IV secolo,
in parte costituita dalle pareti del
secondo piano della suddetta
abitazione romana, la quale era già
interrata fino al soffitto del piano
inferiore. Nei pressi della basilica, in quei tempi vi era ancora
il piccolo tempio, ma il terreno che occupava fu presto (nel
395) acquistato dal clero di San Clemente e annesso alla
chiesa con la costruzione di un'abside, dato che il culto lì
praticato era adesso illegale.
Alla fine dell'XI secolo, in
seguito al sacco di Roma da
parte dei Normanni (1084),
questa basilica, a causa
delle devastazioni, era
ormai pericolante e
destinata al crollo; perciò, il
Titolare della chiesa allora
in carica Cardinal
Anastasio propose di sotterrarla e di ergerne una nuova sul
suolo che ne sarebbe stato ricavato, utilizzando come
fondamenta le frazioni di pareti della prima dissotterrate. Nel
1403 papa Bonifacio IX affidò la basilica di San Clemente
alla congregazione agostiniana di Sant'Ambrogio a Milano,
cui venne poi sottratta, in seguito alla soppressione da parte di
Urbano Vili, per mano di Camillo Pamphilj, il quale affidò la
chiesa ai Domenicani di San Sisto nel 1645. Successivamente,
nel 1677, la basilica e il convento di San Clemente vennero
assegnati ai Domenicani Irlandesi, i quali ancora oggi vi
risiedono. Nel XII secolo venne quindi costruita una nuova
basilica, di dimensioni ridotte rispetto alla precedente. Intanto,
gli edifici sotterranei su cui si erge la chiesa erano caduti
nell'oblio; solo nel 1870, in seguito agli scavi di Padre
Mulooy e Padre de Rossi, l'affascinante storia degli strati
sottostanti la basilica fu riportata alla luce.
•LA PIANTA DELLA BASILICA: A ovest il portone,
coperto da un protiro, si apre sull'ampio chiostro circondato da
un porticato, dal quale si può accedere a sud al convento, alla
sagrestia e agli scavi sottostanti, e a est all'interno della
basilica. Quest'ultima è divisa in tre navate da colonne
precedentemente appartenenti a costruzioni romane di Età
imperiale. Ai quattro vertici della pianta si trovano le cappelle
di Santa Caterina, di San Domenico, del Santissimo
Sacramento e di San Giovanni Battista; quest'ultima vede alla
sua sinistra la Cappella di San Cirillo. Sulla navata centrale,
all'altezza degli unici due fasci di pilastri, si trova la schola
cantorum (principalmente costituita da frammenti della
basilica sottostante), affiancata dai due amboni. L'imponente
abside si collega direttamente alla navata, senza transetto.
Sulla pianta sono contrassegnati i tappeti su cui si evolvono i
motivi isometrici studiati:
-GRUPPO A
-GRUPPO B
-GRUPPO C
-GRUPPO D
-GRUPPO E
•LE ISOMETRIE: Le isometrie sono movimenti rigidi che, in
quanto tali, non comportano variazioni nelle distanze che
danno precise dimensioni e forma all'oggetto, che esso sia una
figura monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale2.
L'oggetto trasformato prende il nome di IMMAGINE.
Limitandosi alle isometrie applicabili nel piano euclideo, le
tipologie sono le sottoelencate:
•TRASLAZIONI (T): Le traslazioni sono isometrie che
consistono nello spostamento vettoriale del/degli ente/i in
questione; dato un vettore v, le immagini di tutti i punti cui
viene applicata la traslazione Tv sono quindi distanti da questi
ultimi |v|, e i segmenti che congiungono tali punti alle
rispettive immagini avranno coefficiente angolare pari a
quello del vettore e stesso verso (il punto come origine e la
sua immagine come l'estremo opposto).
•SIMMETRIE ASSIALI (S): Le simmetrie assiali sono
isometrie tali che, data un'asse di simmetria r (linea retta),
l'immagine A' di un punto A è l'estremo di un segmento AA'
ortogonale all'asse r e di punto medio appartenente a
quest'ultima.
2 Le figure adimensionali, in quanto prive di dimensioni, e quindi di distanze (o più propriamente, di distanze
tendenti a zero), restano, naturalmente, invariate nella forma così come le suddette ndimensionali.
•ROTAZIONI (R): Le rotazioni sono isometrie in cui, dato un
centro di rotazione O (punto) e un angolo di rotazione α,
l'immagine P' del punto P apparterrà ad una circonferenza di
centro O cui appartiene anche P stesso, tale che POP'=α.
α<0<=>la rotazione avviene in senso orario
α>0<=>la rotazione avviene in senso antiorario.
•SIMMETRIE CENTRALI (S): La simmetria centrale è un
caso particolare di rotazione in cui, essendo α=±180°, detti O
il centro di rotazione e P' l'immagine di un punto P, O, P e P'
sono allineati, e se congiunti formano un segmento PP' di
punto medio O.
Le simmetrie e le rotazioni vengono dette "isometrie
invertenti" in quanto, contrariamente alle traslazioni, pur
mantenendo invariate le forme degli enti spostati, ne alterano
l'ordine degli angoli (ad esempio, in un triangolo, un vertice
che inizialmente era il punto più alto della figura, nella sua
immagine in una simmetria di asse orizzontale sarà il più
basso).
Le isometrie possono essere composte, ossia applicate ad uno
stesso ente una dopo l'altra in molteplici combinazioni, che
non sempre godono di proprietà commutativa (ad esempio, la
composizione di una traslazione con una simmetria assiale
[S°T] non corrisponde sempre alla composizione opposta
[T°S]). Il numero di composizioni possibili è limitato.
Nelle pavimentazioni cosmatesche, soggetto di studio di
questa relazione, il "dominio fondamentale" o "modulo" è il
più piccolo frammento di motivo che, trasformato secondo
una composizione periodica di isometrie, porta allo sviluppo,
potenzialmente infinito, del motivo stesso.
•L'ARTE COSMATESCA: Tra il XII e il XIII secolo, in
Italia, ispirata allo stile bizantino, nasce dagli ingegni dei
marmisti romani, che già adoperavano le isometrie nella
creazione di opere musive su pavimenti di ville e mercati,
l'arte cosmatesca, la cui denominazione, coniata dall'architetto
Camillo Boito nel 1878, deriva dalle iscrizioni epigrafiche che
spesso accompagnano i fregi e le pavimentazioni, sulle quali
si possono leggere i nomi dei maestri artefici di esse, appunto
"Cosmatus" o "Cosmas" (Cosma di Iacopo Lorenzo e Cosma
di Pietro Mellini).3 Tali nomi, presumibilmente, hanno a loro
volta origine dall'arte da essi prodotta; infatti, i motivi
isometrici in questione rappresentano molto probabilmente il
Cosmo, in quanto le figure che si ripetono riportano spesso a
stelle, pianeti e satelliti, con i loro colori e le loro forme; la
geometria delle figure non può che essere un elogio alla
perfezione dell'Universo che senza presenza divina non
potrebbe esistere,4 connotazione che si trova, ad esempio,
anche nella danza sufica dei dervisci, il cui moto rotatorio sta
ad imitare la forma degli astri.5 Inoltre, entrando in una chiesa,
se si cammina sul "Cosmo" ci si sente fisicamente più "vicini
a Dio", in un luogo veramente sacro; questo concetto viene
ripreso con più esplicitezza nella chiesa di San Michele
Arcangelo a Napoli, il cui pavimento, rappresentante il
3 FONTE: https://it.wikipedia.org/wiki/Cosmati
4 FONTE: http://www.archeobiblio.com/cosmati4.htm
5FONTE: http://www.geometriadellinfinito.it/La_geometria_dellinfinito/Articoli/Voci/2010/7/21_La_Danza_Sufi.html
Paradiso Terrestre, è popolato da animali fantastici. Le
pavimentazioni cosmatesche, oltre a celare un profondissimo
significato esoterico, svolgono un'importante funzione
iconologica per le liturgie: mentre le “rotae", grandi cerchi (o
connessi tra loro attraverso fasce intrecciate, e in tal caso
chiamati “guilloche”, o collegati in gruppi da cinque in
armoniosi motivi detti “quinconce”) presumibilmente
rappresentanti galassie o pianeti, mostrano ai fedeli il tragitto
da percorrere (solitamente a forma di croce latina, simbolo del
cristianesimo), i “tappeti”, dei rettangoli posti per file nelle
zone non coperte dalle rotae, determinano dove i fedeli si
devono porre; questo “percorso guidato” sembra anche fare
riferimento al pellegrinaggio terrestre che precede
l’ascensione nel regno dei cieli.6
Rotae (guilloche)
Su ogni tappeto si articola un motivo isometrico, ma spesso,
anche se distanti l'uno dall'altro, è possibile trovare su più
tappeti lo stesso motivo, e anche in questo aspetto si cela
sovente un significato esoterico; non a caso, il motivo studiato
dal gruppo B presso la Basilica di San Clemente al Laterano si
ripete su tre tappeti: il numero tre, considerato "il primo
numero dispari", denota conciliazione: il triangolo viene visto
come l'unione di due punti (i vertici della base) mediante un
6 FONTE: http://matematica-old.unibocconi.it/tassellatura1/cosmati.htm
terzo punto superiore.7 E' infine interessante notare che i
marmi utilizzati per la creazione di pavimentazioni e fregi
cosmateschi provengono spesso da opere pagane spogliate in
epoca medievale; le rotae sono infatti fusti di colonne, ed è
possibile trovare frammenti di iscrizioni latine su alcune
tessere musive.
•LE ISOMETRIE NEI TAPPETI DI SAN CLEMENTE AL
LATERANO8: Durante l'esperienza presso la basilica, la
classe è stata divisa in gruppi che hanno studiato le isometrie
dei diversi tappeti. Per cominciare, posto un foglio di carta
lucida sul tappeto, vi hanno ricalcato il motivo, per poi
disegnarvi sopra assi di simmetria e centri di rotazione al fine
di ricavarne il dominio fondamentale.
Successivamente, riportato il motivo in
scala 1:1 e 1:10 su dei fogli F4 33x48cm,
il primo dei due disegni ricavati è stato
posto su una base di polistirolo ad alta
densità, cui sono stati applicati degli spilli
in corrispondenza dei vertici delle figure
che vanno a formare le
pavimentazioni;quindi, ricongiunti i vertici (adesso
contrassegnati dai fori prodotti dagli spilli) sulla base di
polistirolo, sono state ricavate, tagliando in corrispondenza
dei lati di ogni figura la stessa base, delle tessere imitative di
quelle prodotte originariamente dai marmisti del XII secolo.
7 FONTE: http://semplici.emozioni.forumfree.it/?t=71588283
8 La casualità dei marmi utilizzati per la creazione dell'opera musiva comporta una mancanza di simmetria nei
colori, se non a grandi linee; i colori verranno perciò distinti semplicemente tra "chiaro e scuro".
Queste ultime, sulle quali è stato applicato prima uno strato di
cementite, per renderne la superficie più liscia e simile alla
pietra, e successivamente uno di vernice del colore della
tessera originale (ricreato da alcuni degli studenti partecipanti
al progetto mescolando più tipologie di colorante concentrato
universale per pitture a base d'acqua, in percentuale cromatica
adeguata, con smalto all'acqua), sono state poi ricongiunte
per mezzo di un collante su una nuova base di polistirolo
(anch'essa colorata con della vernice grigia), a sua volta posta
all'interno di un contenitore ligneo. Quindi, per rendere più
simile alla pavimentazione originale la copia in polistirolo, le
fughe, volutamente lasciate evidenti nell'incollaggio delle
tessere, sono state riempite con reale malta nella stuccatura
finale.
Successivamente, il motivo è stato riprodotto digitalmente
mediante i programmi informatici Geogebra e CAD; il
disegno prodotto con
quest'ultimo, è stato quindi
stampato ed applicato sul
contenitore in cui già si
trovava il modello della
pavimentazione in
polistirolo, sullo spazio
restante, insieme ad una
pianta della basilica sulla quale sono state contrassegnate le
aree del pavimento decorate dai motivi studiati
rispettivamente da ogni gruppo; i disegni prodotti con
Geogebra, invece, sono stati utilizzati per l'illustrazione, su
slides e relazione, delle isometrie che portano all'evoluzione
dei motivi nei tappeti.
Segue l'illustrazione della pavimentazione studiata dal gruppo
B:
•Il motivo isometrico studiato ha origine dal modulo in figura:
•Al modulo viene applicata la simmetria Sr:
•Successivamente, il prodotto viene ruotato di ±60° su R, e
così anche la sua immagine e l'immagine di quest'ultima, per
cinque volte:9
•Il prodotto viene quindi ruotato sui baricentri dei quadrati
(M1, N1, O1, P1, Q1, R1) di ±180°:
9 Per questa fase della trasformazione, vi è un procedimento alternativo: infatti, al prodotto può essere
applicata la simmetria sull'asse s5, seguita da altre quattro simmetrie sulle immagini del segmento che, nel pentagono originale, corrisponde alla suddetta asse
•Anche i nuovi dodecagoni, così come i successivi ricavati,
vengono ruotati sui baricentri di tutti i quadrati (eccetto quelli
in comune con gli altri dodecagoni già presenti) di ±180°:
Nel motivo si riscontrano anche delle omotetie, ossia
trasformazioni in cui le distanze variano proporzionalmente: i
piccoli triangoli interni a quelli di dimensioni maggiori,
intermedi fra i quadrati, sono le immagini dei primi in
un'omotetia di centro P baricentro di entrambi e k=-½.