İSMAİL AYGÜN 090322

EMRE BORAN 080612

MELİH BOZDEMİR 080646

Öklid'in, matematik tarihinde diğer bir çok matematikçiden daha önemli bir yeri bulunur. Bu da kendisinin 2000 yıl boyunca dünyaya matematik öğretmesidir. Kendi buluşları da olmasına rağmen en önemli çalışması olan "Elementler" kitabı kendisinden önce yapılmış olan bütün matematik çalışmalarının bir araya toplanmasından oluşur.

Hatta bu kitabı yazarken izlediği ve en iyi örneklerden biri olduğu için zaman zaman kendisine mal edilen, aksiyomatik sistem bile Aristo'nun bilimsel çalışmalarda takip edilmesi gereken yol önerisidir. Öncelikle aksiyomatik sistemlerden biraz bahsetmekte fayda vardır. Aksiyom: İspata gerek olmayan temel gerçekler anlamını taşır.

Postulat'ın aksiyomdan farkı ise aksiyomlar tüm bilimler için geçerli iken postulat'lar özel bir bilim dalı için geçerlidir. İyi bir bilimsel çalışma ne kadar az aksiyom'a ihtiyaç duyduğuna göre belirlenir. Günümüz dünyasında aralarında postulatla fark gözetilmeksizin hepsine aksiyom denmektedir. Aksiyomatik sistem içinde yazılan kitaplarda, öncelikle aksiyom ve tanımları verilir, ardından da her bir problemi ispatları verilerek çözülür.

Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, herkesin anlayacağı bir dille söylersek, her doğrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSİYOM denilen ve doğal olarak sağlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar olduğundan) mümkün değildir. Geometri de kabullenilen aksiyomların SONUÇLARI incelenir.

   Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'ı Playfair aksiyomu adıyla daha kısa ve özlü olarak; düzlemde bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel doğru çizilebilir biçiminde ifade edilmiştir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediği, yani şüphe edildiği içindir ki, aksiyom olarak değil, postulat olarak ifade edilmiştir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır.

Bolyai ve Lobacevski (B&L) V. Postulatın diğer aksiyomların sonucu olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte:

Bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel doğru çizilebilir. İfadesi alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı ortaya çıktı. Öklid aksiyomlarını sağlayan bir tek düzlem varken B&L aksiyomlarını gerçekleştiren bir çok reel model geliştirilmiştir...

Geometri ve Öklid Disi Geometrilerin Ögretimdeki Yeri ve

Önemi

Olayların algılanmasında resim, fotoğraf, grafik gibi şekillerin önemi yadsınamaz. Bir anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okutulan bir çok derste öğrencilere şunlar tekrar tekrar belirtilmektedir ki: Matematikte hiçbir kavram yoktur ki uygun bir şekille anlatılamasın.

Eğer bir konuyu iyi biliyorsanız onu uygun bir şekille açıklayabilirsiniz. Şekille açıklayamadığınız yani, geometrik yorumunu yapamadığınız bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Eğer istenirse bu konuyla alakalı sorular sorulup detayları açıklamalı bir şekilde bulunabilir.

Burada şu sorular sorulabilir: Öklid dışı geometrilerin orta öğretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasıl anlatılabilir? Mevcut eksiklikler nasıl giderilir?

Soruların kısa cevabı şu şekilde özetlenebilir:

Son sorudan baslarsak, eksikliklerin giderilmesi için öğretmen yetiştiren yüksek öğretim kurumlarında Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulması gerekir.

Son elli yılda (Metrik yaklaşımlı) aksiyom sistemi kullanılmaktadır. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metriği ile geliştirilen geometride Öklid düzlemi ile ayni nokta ve doğru kümeleri kullanılmakta, açılar da ayni yolla ölçülebilmektedir. Bunların her ikisi de 13 aksiyomdan 12 tanesini sağlamakta sadece Kenar-Açı-Kenar (KAK) aksiyomunun da aykırılık göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyici aksiyom olduğu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok başka kavramları da belirlemekte ve tanımlamakta kullanılan UZAKLIK kavramının tanımından ortaya çıktığının öğretici tarafından iyi bilinmesidir.

Öğretmen yetiştiren öğretim kurumlarında Öklid dışı geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadır. 1980 öncesi yıllarda "Eğitim Enstitüsü" adı altında öğretim yapan okulların programlarında elemanter projektif geometri dersi vardı ama okutacak öğretmen yoktu. Bugün ilköğretim ve ortaöğretimde görev yapan öğretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarıda saydığım konularda yetersiz ve donatımsız olduğu bir gerçektir.

Bunun sebebi öğretmenlerimiz değil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yükseköğretim kurumlarımız ve bizleriz. Araştırmacı bunun bilincine ilerleyen zamanlarda ulaşmıştır. Bu boşluk ve eksikliği kendi çapında gidermek için bazı gayretler içindedir. Su anki tebliğ de bu düşüncenin eseridir...

Öklid dışı geometrilerin de sadece varlığından bir kaç cümle ile söz edilir. Oysa benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlığın öğretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kısa kavramını belirlemeden uzun kavramını anlamlandıramazsınız. Yine birbirine çok benzeyen iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir.

Gelelim Öklid dışı geometrilere. Araştırmacının fikrine göre Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz edip bırakmak oldukça sakıncalıdır. Nitekim, ABD ve bazı uzak doğu ülkelerinde ortaöğretim programları Öklid dışı geometrilerden bazı örneklemelerle basitleştirilerek donatılmaktadır.

Bu sebepledir ki son 25 yılda araştırmacının derslerinde anlatmış olduğu her konuda temsili şekiller çizmeyi alışkanlık haline getirmiştir. Çünkü görmek anlamayı kolaylaştırır. (İngilizce'de "anlıyorum" anlamında da "görüyorum" ifadesinin sıkça kullanılması boşuna değildir). Ülkemizde ilk ve ortaöğretimde (hatta birkaçı hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantıları olan afin uzaylar ve diferensiyel geometri konuları incelenir.

MODELLER

Bu geometri, öklit uzayının bir alt uzayı olarak düşünülebilir. Bu durumda hiperbolik geometri aslında çift yanaklı bir hiperboloidin bir yanağının yüzeyindeki geometri olarak alınabilir. Bu çanak yüzeyini bir düzleme izdüşümleyerek çeşitli modeller oluşturulabilir.

Klein-Beltrami modeli

Eğer dik iz düşüm yapılırsa Klein-Beltrami modeli elde edilir. Bu modelde hiperbolik düzlem bir dairenin içindeki Öklidci noktalardan oluşur ve "doğrular" sınır çemberin kirişleridir. Çemberin üzerindeki noktalar geometriye dahil olmayacağından burada kesişen iki kiriş aslında paralel olacaktır, bu kirişlere yakınsak paralel doğru denir. Eğer tamamen ayrık iki kiriş ise sadece paralel ya da bazen paralel ötesi doğrular denir.

Poincaré disk modeli

Eğer hiperboloide stereografik iz düşüm uygulanırsa bu sefer oluşturulan modele Poincaré disk modeli denir. Burada geometri yine bir çemberin içinde kalan noktalardan oluşacaktır ancak doğrular bu çembere dik olan çember yayları olacaktır. Bu izdüşümün en önemli özelliği açıları ve çemberleri korumasıdır. Bu modelin analitik geometrisi için Hilbert, uçlar aritmetiğini geliştirmiştir.

Poincaré yarı-düzlem modeli 

Eğer hiperboloit XY düzlemine dik olan bir düzleme iz düşümlenirse, oluşan model Poincaré yarı-düzlem modelidir. Bu modelde hiperboloit düzlemin belli bir doğrusunun yarattığı bir yarısındaki noktalara eşlenmiştir ve doğrular bu ayıran doğruya dik olan ya öklidci ışınlardır ya da çember yaylarıdır.

Bizi dinlediğiniz için teşekkür ederiz

SORULAR:

1.) Öklid dışı kavramının ortaya çıkmasını sağlayan olay nedir ?

cvp. Bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen 2 yada fazla paralel doğru çizilebilmesi ile ortaya çıkmıştır.

2.) Son 50 yılda kullanılan aksiyom sistemi nedir?

cvp: metrik yaklaşımlı aksiyom sistemidir.

3.) dik izdüşümün yapıldığı modelin adı nedir?

cvp: Klein. beltrami modeli dir.