Iskazna logika

7/16/2019 Iskazna logika

http://slidepdf.com/reader/full/iskazna-logika-5634f94911898 1/21

ISKAZNA LOGIKA

1. Iskazi i operacije sa iskazima

Rečenice koje imaju smisla i koje su ili tačne ili netačne ( samo jedno od ova dva )

se zovu .

Primer. "Danas je drugi oktobar." -tačan iskaz

"2+5=7" - tačan iskaz

iskazi

"2 + 4 < 5" - netačan iskaz

"Svaki paran broj veci od 4 je zbir dva prosta broja." - iskaz, ali ne znamo da li

je tačan (Golbahova hipoteza)

"Rečenica koju sada izgovaram

1 1 1 2 2

je laž." -nije iskaz.

Iskaze označavamo slovima p, q, r,..., p , q , r , ..., p , q ,....

i ili nije ako. . . onda

ako i samo ak

Od iskaza gradimo nove iskaze povezujući ih rečima " ", " ", " ", " ",

" ", koje nazivamo . Tačnost novog iskaza određujemo

n

o logičkim v

a osnovu ta

ezni

čno

cima

sti iskaza od kojih je sagrađen i značenja logičkih veznika u prirodnom jeziku.

2 5 7 2 4 5

2 5 7 2 4

redom iskaza p i q je iskaz " p ili q", u oznaci , koji je tačan

akko je bar jedan od njih tačan.

Pr imer. " ili ."- tačan iskaz

" ili

Disjunkcija p q

+ = + <

+ = + >

Ú

5

2 5 7 2 4 5

." - tačan iskaz.

redom iskaza p i q je iskaz " p i q", u oznaci , koji je tačan

akko su oba iskaza p i q tačna.

Pr imer. " i ." - netačan iskaz.

Konjunkcija p q

+ = + <

Ù

redom iskaza p i q je iskaz "ako p onda q", u oznaci

, koji je netačan akko je iskaz p tačan, a iskaz q netačan. Iskaz p je

premisa (pretpostavka), a

iskaz q je zaključak.

Pri

Implikacija

p qÞ

mer. "Iz 2 + 5 < 7 sledi 2 < 3" je tačan iskaz. Iskaz "ako je 2 < 3 onda je

2+5=7" je netačan.

1



Implikaciju p q mozemo čitati i na sledeći način:

"iz p sledi q",

"p povlači q",

"p implicira q",

"p je dovoljan uslov za q","q je potreban uslov za p".

Þ

Primer. Svakom od sledećih rečenica se tvrdi isto:(1) Ako je prirodan broj deljiv sa 4 onda je on deljiv i sa 2.

(2) Dovoljan uslov da je prirodan broj deljiv sa 2 je da je on deljiv sa 4.

(3) Potreban uslov da je prirodan broj deljiv sa 4 je da je on deljiv sa 2.

redom iskaza p i q je iskaz "p ako i samo ako q", u oznaci

, koji je tačan akko su ili oba iskaza tačna ili oba iskaza netačna. Ekvivalenciju p q možemo čitati i na sledeći

Ekvivalencija

p qÛ

Û

način:

"p je ekvivalentno sa q",

"p je potreban i dovoljan uslov za q",

"ako p onda q i ako q onda p".

p je iskaz "nije p", u oznaci , koji je tačan akko je iskaz p

netačan.

Primer. "

Negacija pØ

Nije 2=2." -netačan iskaz.

2. Sintaksa iskazne logike

Iskazna logika nastaje formalizacijom računa sa iskazima. Da bismo to uradili

potrebno je odrediti skup simbola (alfabet) koji će se koristiti za građenje formula i

pravila po kojima će se formirati formule. Sa aspekta sintakse, formule se posmatraju

isključivo kao nizovi simbola, ne uzimajući u obzir bilo kakvo njihovo (moguće)

značenje.

{ }

{ }1 2 3 ,...

Alfabet iskazne logike se sastoji od sledećih simbola:

- skup iskaznih slova (iskaznih promenljivih) ,

- skup logičkih veznika

Def

,

- skup logičkih konstan

inicij

P = p

a 1.

p

, , p

, , , ,Ù Ú Þ Û Ø

{ }

( ){ }

ti (opcionalno, logičke konstane mogu, ali ne moraju

učestvovati u građenju formula),

- skup pomoćnih simbola (zagrade i zarez).

Od ovih simbola po precizno utvrđenim pravilima grade se i

, ,

s zn

,

ka

,§ ^

e formule.

2



Iskazna slova i logičke konstante su iskazne formule.

Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A B), (A B), (A B), (A B)

i ( A) iskazne formule.

(1)

(2)

( Is

Definicija 2.

kazne form3 ule se do i ) b

Ù Ú Þ Û

Ø

jaju samo konačnom primenom pravila (1) i (2). Primer: Sledeći nizovi simbola su iskazne formule:

p, q, ... ,

(p ), ( q), ( ),

((p ) ( q)), ( (p )), (( q) ( )).

Sledeći nizovi simbola nisu iskazne formule:

Ù Ø Ú

Ù Ú Ø Ø Ù Ø Û Ú

§

§ §

§ § §

^

^

^

( ) ( ) ( )( )( )1 2 3 p q p , p , ... p p p ...Ú Þ Ù Ú Þ Þ Þ§^

( )( )( )1 2 3 1

1 2 1

1 n n n

nn i i

Da bi se izbeglo gomilanje zagrada, po dogovoru,

brišemo spoljašnje zagrade,

ako su A ,...,A iskazne formule, umesto ... A A A ... A A pišemo

A A ...A , ili još kraće A ; slično i za .

-

=

×

× Ù Ù Ù Ù Ù

Ù Ù ÚÙveznicima dajemo sledeći prioritet:×

najjače vezuje,

i slabije vezuju,

i najslabije vezuju.

Ù ÚÞ Û

( )( )( )( )( ) ( )

( )( )

Primer: Formulu p q r kraće zapisujemo p q r,dok formulu

p q zapisujemo p q, zagrada se ne sme izostaviti jer p q

znači p q .

Ú Þ Ú Þ

Þ Ù Þ Ù Þ Ù

Þ Ù

§ § §

§

3



3. Semantika iskazne logike

Semantički aspekt iskazne logike govori o značenju iskaznih formula.Da bi se pravila za određivanje istinitosne vrednosti iskazne formule precizno

formalizovala uvodi se sledeća algebarska struktura:

- dvoelemetni skup čije elemente možemo označiti sa 0 i 1 ili T i F ili i (kao što ćemo

mi učiniti) i

- jedna unarna i četiri binarne operacije na datom skupu, koje ćemo ozn it ač

^§

i sa:

, , , , . Ove operacije se zadaju tablicama:Ù Ú Þ Û Ø

{ }i unarna operacija skupa , data tablicom: ^§

Napomena : Operacije iskazne algebre označavaju se isto kao odgovarajući logički veznici,

jer su njima motivisane. Međutim, to nisu isti pojmovi: znak u iskaznoj formuli p q je zamena za veznik "i", a

Ù Ù

{ } ( )

znak u gornjoj tablici opisuje operaciju na skupu

, ,... .

Ù

^ Ù^=̂§ §

{ } { }

( )

1 2Svako preslikavanje : p , p ,... , zovemo iskaznih slova

(promenljivih). Ako je p P, za p kažemo da je vrednost iskaznog slova p u valuacij

Defini

i .

cija. valuacijaα

α α

® ^

Î

§

( )

{ }

Svakoj iskaznoj formuli A za datu valuaciju pridružujemo vrednost A iz skupa

, definisanu indukcijom po složenosti formule A, na sledeći način:

αυ

^§

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i p p ,

, ,

B C B C ,

B C B C ,

B C B C ,

B C B C ,

B B

α

α α

α α α

α α α

α α α

α α α

α α

υ α

υ υ

υ υ υ

υ υ υ

υ υ υ

υ υ υ

υ υ

× =

× ^ =̂ =

× Ù = Ù

× Ú = Ú

× Þ = Þ

× Û = Û

× Ø =Ø

§ §

4



( ) ( )( )

Za A kažemo da je vrednost formule A za valuaciju . Ako je A = ,kažemo da

je formula A tačna za valuaciju , a ako je A = da je netačna.

α α

α

υ α υ

α υ ^

§

( ) ( ) p q r s ...

Primer. Odrediti A , ako je A formula p q r i = ....

αυ αæ öç ÷Ù Þ ç ÷^ ^è ø§ §

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

p q r p q r

p q r

p q r

α α α

α α

α α α

υ υ υ

υ υ

υ υ υ

ÙØ Þ = Ù Ø Þ

= ÙØ Þ

= ÙØ Þ

= ÙØ Þ̂ ^ = ÙØ = Ù =̂̂¨ ¨ ¨ ¨

( ) ( ) ( )

( ){ }

1

1

a n

nn

Očigledno, vrednost A zavisi samo od vrednosti p ,..., p iskaznih slova

koja se pojavljuju u formuli A. Zato i pišemo A=A p ,...p . Tada formula A određuje jednu

n arnu operaciju A : ,

υ α α

− ^ ®§ { } , datu sa:^§

( ) ( )( )1 2

1 11 2

nn n

n

p p ... p ... A x ,...x A p ,...p ,gde je ,

x x ... x ...αυ αæ öç ÷= =ç ÷è ø

( ) { }n za svako x,...x , . Ovu operaciju nazivamo iskazna operacija indukovana

formulom A.

Î ^§

( ) ( ){ } { }

2. Neka je A : p q q. Dakle A = A p,q , pa ova formula definiše binarnu

operaciju A : , , . Sve kombinacije vrednosti iskaznih slova p, q i odgovarajuće

vrednosti formule A možemo prikazati tabl

Primer ÙØ Þ^ ® ^§ §

icom :

Različite formule mogu određivati istu operaciju. Na primer, formula B := p q

određuje istu operaciju kao i formula A, tj. B = A.

Þ

( )

( )

(1) Formula A je akko postoji valuacija takva da je A .

(2) Formula A je akko za svaku valuaciju važi A .

(3) Formula A je akko postoji valuacij poreci

zadovolji

tau

va

tologija

va

a

Definicija.

α

α

α υ

α υ

α

=

=

§

§

( )

( )kontradikcij

takva da je A .

(4) Formula A je akko za svaku valuaciju važia A .

α

α

υ

α υ

=̂

=̂

5

( ) ( ) ( ) ( ) pa je , , , ,

Aæ ö^ ^ ^ ^ç=ç ^è ø

¨ ̈ ¨ ¨

¨ ¨ ¨



Da je formula A tautologija označavamo sa = A .

. Formula p p je tautologija, formula p q je zadovoljiva i poreciva,

formula p p je kontradikcija.

Primer

ÚØ Ú

ÙØ

4. Tautologije

( ) Formula A je tautologija akko za svaku valuaciju važi A =

Da je formula A tautologija

.

.

Napomena. Simbol = nije simbol jezika iskazne logike, v

označavamo

eć je simbol

s

a

tzv. meta

= A

αα

υ §

jezika,

jezika kojim opisujemo iskaznu logiku.

Tautologije možemo shvatiti i kao zakone mišljenja i zaključivanja. Neke od njih koristimo

(nesvesno) i u svakodnevnom rezonovanju. Naročito ih koriste matematičari jer upućujuna pravila u dokazivanju. Navodimo najčešće korišćene tautologije, od kojih su neke poznate

i po svojim latinskim nazivima:

( )

p p

p p

p p

(1) (zakon refleksije za implikaciju)

(2) (zakon isključenja trećeg)

(3) (zakon neprotivrečnosti)

(4) (zakon dvojne negacije p p

p p p ,

)

(5) p p p (

Þ

ÚØ

Ø ÙØ

ØØ Û

Ù Û Ú Û zakon idempotencije)

( ) ( )

p p , p(6) p

p p , p p

Ú Û̂ Ù Û

Þ ̂ Û Ø Þ Û

§

§

p q q p , p q q(7) (zakoni ko p mutacije)Ù Û Ù Ú Û Ú

( )(8) (MP-modus p p q q ponens)Ù Þ Þ

( )( )(9) (MT-modus p q q p tollens)Þ ÙØ Þ Ø

( )( )(10) (Pirsov p q p zakon) pÞ Þ Þ

( ) ( )(11) (zako p p q p , p p q ni apsor p pcije)Ù Ú Û Ú Ù Û

( ) ( )(12) (zakon kontra p q q poz c je) p i iÞ Û Ø Þ Ø

( ) ( )(13) p q (De Morganovi zakoni) p q , p q p qØ Ù Û Ø ÚØ Ø Ú Û Ø ÙØ

( ) ( )(14) zakon uklanjanja imp p q l p q ikacijeÞ Û Ø Ú

( ) ( ) ( )(15) (zakon uklanjanja ekvi p q p q vaq p lencije)Û Û Þ Ù Þ

( ) ( ) ( ) ( )(16) (zakoni asocijaci p q r p q r , p q r p q jr e)Ù Ù Û Ù Ù Ú Ú Û Ú Ú

6



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q r p q p r , p q r p q(17) (zakoni distribucijr e p )Ù Ú Û Ù Ú Ù Ú Ù Û Ú Ù Ú

( ) ( ) ( )( )(18) (tranzitivnost im p pq q r p r likacije)Þ Þ Þ Þ Þ

( ) ( ) ( )(19) (tranzitivnost ekvivalencije) p q q r p r Û Ù Û Þ Û

1

Navodimo neke osobine tautologija:

Teorema . Ako je = A i = A B onda je = B. Þ

( ) ( )

( )( ) ( )

. Za proizvoljnu valuaciju važi A = i A B = . Odatle je

B = , pa je B = , za sve , tj. = B.

Dokaz α α

α α

α υ υ

υ υ α

Þ

Þ

§ §

§ § § W

[ ]( )

( )

1 1 2 1

1 1

1

n n

n n

n

. Formulu A B / p ,...B / p dobijenu zamenom iskaznih slova p ,...p

u formuli A p ,...p iskaznim formulama, redom B ,...B , zovemo formule

A p ,... p .

Definicijainstanca

[ ]1 1

2

n n

Teorema . Sve instance tautologija su takođe tautologije.

Dokaz: Neka je = A i A B / p ,...,B / p njena instanca. Tada za proizvoljnu valuaciju

postoji valuacija data sa:

α α¢

( ) ( )1

1

n

n

p ... p ... . B ... B ...α α

αυ υ

æ ö¢ ç ÷=ç ÷è ø

[ ]( ) ( )1 1 n n

Tada

A B / p ,...B / p Aα αυ υ ¢= =§

[ ]

( ) ( )( )[ ] ( )( )( ) ( )

1 1 n n Dakle = A B / p ,...B / p .

. Jedna instanca tautologije A p,q : p p q q je formula

A r / p, p r / q : r r p r p r . Prema prethodnoj teoremi

i ova formula je tautologija.

Primer

Ù Þ Þ

Ø ÙØ Ø Ù Ø Þ ÙØ Þ ÙØ

W

( ) ( )

. Formule A i B su , u oznaci akko je =Alogički ekviv B, tja .

A = B , za svaku

lentn

valuaciju

e A B,

.

Definicija

α α

υ υ α

Ûº

( ). Važi p q p q, jer je formula p q p q tautologija. Primer Þ º Ø Ú Þ Û Ø Ú

7



U iskaznoj logici se često koristi tzv. ekvivalencijska transformacija formula.

Neformalno rečeno, to je postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih

formula, tako da se u svakom koraku iskoristi Teorema 2. ili se neka potformula zameni

njoj ekvivalentnom formulom.

5. Metode za dokazivanje tautologija

I Tablični metod

{ }

( )1 n

Istinitosna vrednost date iskazne formule zavisi samo od vrednosti iskaznih slova

koja u njoj učestvuju. S obzirom da iskazna slova uzimaju vrednosti iz skupa , ,

za formulu A p ,...p (sa n

^§

2n

n

iskaznih slova) ima različitih "kombinacija" vrednosti

iskaznih slova. Ovaj postupak se sastoji u proveri istinitosne vrednosti formule u svih

2 slučajeva, što se prikazuje tablicom.

( ). Iz tablice istinitosti za formulu A : p q p q Primer Þ Û Ø Ú

zaključujemo da je ova formula tautologija.

Nedostatak ove metode je što broj vrsta tablice brzo (eksponencijalno) raste sa

porastom broja iskaznih slova u formuli.

II Svođenje na protivrečnost

( )

( ) ( ) ( )( )

Ako pronađemo valuaciju za koju je A = , onda A nije tautologija. Ako

takve valuacije nema, onda je A tautologija

. Dokažimo da je formula A : p q q r p r tautologi a

.

j . Primer

αα υ ^

Þ Þ Þ Þ Þ

( ) Pretpostavimo da postoji valuacija iskaznih slova za koju je A = . Tadaαα υ ^

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )

p q i q r p r

q r , p r

p , r

q

α α

α α

α α

α

υ υ

υ υ

υ υ

υ

Þ = Þ Þ Þ =̂

Þ = Þ =̂

= =̂

Þ =̂

¨

¨

§

( )qαυ =̂

¨

8



( ) p q = Kontradikcija.αυ Þ Þ ̂ =̂§

Dakle, ne postoji valuacija za koju je vrednost date formule jednaka , pa je ova

formula tautologija.

^

III Diskusija po iskaznom slovu

Ovaj metod se zasniva na sledećoj činjenici:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1n n n= A p ,..., p akko = A p ,..., p , i = A p ,...p , .− − ^§

( )( ) ( )( )( )( )1 2 1 2n n

Dokažimo matematičkom indukcijom po n da je formula

p p ... p p p p ... p p ... tautologija.

Primer.

Ù Ù Ù Þ Û Þ Þ Þ Þ

( ) ( )1 1 Za n = 1 formula p p p p je očigledno tautologija.Þ Û Þ

( )( ) ( )( )( )( )1 2 1 2n n Pretpostavimo = p p ... p p p p ... p p ... ,

( indukcijska hipoteza ) i dokažimo:

Ù Ù Ù Þ Û Þ Þ Þ Þ

( )( ) ( )( )( )( )1 2 1 1 2 1

1

n n

n

p p ...p p p p ... p p ...

diskusijom po slovu p .

+ +

+

= Ù Ù Þ Û Þ Þ Þ Þ

( ) ( )

( )

n+1

n+1

Za p = formula se (zbog p p i p p svodi na formulu iz

indukcijske hipoteze, pa je njena vrednost .

Za p = formula ima vrednost ,tj. .

α

α

Ù Û Þ Û

^ Û

§ § §

§

§ § §

IV Uvođenje vrednosne funkcije

{ }0 1 Definišemo funkciju : Form , takvu da jeυ ®

( ) ( ) ( ) p p qq υυ υ= ×Ù ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

odavde je p p p p p pυ υ υ υ υ= × = Ù =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )q p qq p pυ υυ −υ υ= + ×Ú

( ) ( ) ( ) ( )1 p p qq p− υυ υ υ= + ×Þ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 p q p p q q−υ −υ υυ υ= + ×Û

9

( ) ( )1 p pυ − υØ =

( ) ( )1 0 ,υ υ= ^ =¨



( ) { } ( )0 1 1Sada za proizvoljnu iskaznu formulu A možemo odrediti A , . Ako je A ,

onda je = A.

υ υ

Î =

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1 1

1 1

1

Za A : p q q p odredimo A .

A = 1 p q q + p q q p

= 1 p q q p

= 1 p q q p

= 1 p p q q p

= 1 p p q p p q

= 1 p p p q p q p q p q

= 1,

što znači da je formula A ta

Primer. υ

υ − υ υ υ

− υ − υ

− υ υ − − υ

− − υ υ υ − υ υ

− − υ υ υ υ − υ υ

− υ − υ υ υ − υ υ υ υ − υ υ

Þ ÙØ Þ Ø

Þ ÙØ Þ ÙØ × Ø

Þ ÙØ Ø

Þ × Ø

+ × ×

+

+ +

utologija.

Normalne forme

1 n

Iskazna slova i negacije iskaznih slova se nazivaju literalima.

(1) Iskazna fo konjuktivnoj normalnoj formi (KNF rmula A je u ako je oblika

C ... C , pri čemu je svaka formul

.

)

a

Definicija

Ù Ù ( )

1

1i

m i

disjunktivnoj normalnoj formi

C , i n , disjunkcija literala.

(2) Iskazna formula A je u ako je oblika

D ... D , pri čemu je svaka formula D , 1 i m, konjunkcija

(

D

l

NF

ite la

)

ra .

£ £

Ú Ú £ £

( ) ( ) Formula A : p q p r nije u KNF, niti u DNF, ali korišćenjem

poznatih tautologija lako možemo odrediti njoj logički ekvivalentnu formulu koja je

u KNF ili DNF.

Primer. Þ Ú Ø Ù

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

A : p q p q p q p q DNF

p q p p q r

p q p q r KNF

p q p q r p p KNF

Þ Ú Ø Ù º Ø Ú Ú Ø Ù

º Ø Ú Ú Ø Ù Ø Ú Ú

º Ø Ú Ù Ø Ú Ú

º Ø Ú Ù Ø Ú Ú Ù ÚØ

Svaka iskazna formula ima KNF, ali ona nije jedinstvena. Isto važi i za DNF.

10



( ) ( )

Eliminacija veznika korišćenjem ekvivalencij

:

e

Algoritam dovođenja formule na KNF

A B A B B A

· Û

Û º Þ Ù Þ

( ) ( )

Eliminacija veznika pomoću:

Dok god je moguće primenjivati:

Eliminacija višestrukih veznika pomoću:

Dok god je moguće primenjivati distributivne zakone:

A B A B , A B A B

A

A B A B

A A

· Þ

·

· Ø

·

Ø Ù º Ø ÚØ Ø Ú º Ø ÙØ

Ú

Þ º Ø Ú

ØØ º

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Analogno za DNF.

B C A B A C , A B C A C B C Ù º Ú Ù Ú Ù Ú º Ú Ù Ú

IV Svođenje na konjunktivni oblik

1 n i

i

Formula A, koja je u KNF C ,...,C je tautologija akko je svaka formula C tautologija (za 1 i n). Formula C je tautologija akko se u njoj javlja neko iskazno

slovo zajedno sa svojom negaci

£ £

jon.

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( )

A :

q

pa je formula A tautologija.

Primer.

p q q q p

p q q p

p q q p p q p

p q p q q p

Ø Þ Ø Þ Ø Þ Þ

º ØØ ÚØ Þ Ø Ú

º Ø ÚØ ÚØ Úº Ø Ù ÚØ Ú

º Ø ÚØ Ú Ù ÚØ Ú

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

B : p q r r p

p q r p q p r r r p

p q r p q r r r p .

Ú Ù Ú Ø Ù

º Ú ÚØ Ù Ú Ú Ù Ú Ø Ù Ú

º Ú ÚØ Ù Ú Ù ÚØ Ù Ú

11



Vidimo da već prva disjunkcija p q r ne sadrži iskazno slovo zajedno sa njegovom

p q r ...negacijom, pa možemo naći valuaciju za koju prva disjunkcija ima

...

vrednost , a time

α

Ú ÚØ

æ öç ÷=ç ÷^ ^è ø

^

§

i cela formula ima vrednost .^

6. Kanonske forme

{ } { }

{ }

n. Svako preslikavanje f : , , zovemo n arna operacija skupa

, ili .istinitosna funkcija

Definicija −^ ® ^

^

§ §

§

( ) ( )( ) ( )

1

1

n

n

Iz definicije vrednosti formule A p ,...,p za valuaciju , očigledno je da A

zavisi samo od vrednosti p ,..., p iskaznih slova koja se pojavljuju u formuli A.

Tada formula A određuje je

αα υ

α α

{ } { }n

dnu n arnu istinitosnu funkciju A : , , datu sa:− ^ ® ^§ §

( ) ( )( )1 2

1 11 2

je =n

n nn

p p ... p ... A x ,...,x A p ,..., p , gde ,

x x ... x ...αυ αæ öç ÷= ç ÷è ø

( ) { }( )1n

n za x ,...,x , . Istinitosnu funkciju A ćemo zvati istinitosna funkcija formule A

ili istinitosna funkcija generisana formulom A.

Î ^§

( ) ( ){ } { }

2Neka je A : p q q. Dakle, A = A p,q , pa ova formula definiše binarnu

operaciju A : , , . Istinitosnu funkciju A formule A možemo prikazati tablicom: Primer. ÙØ Þ

^ ® ^§ §

Različite formule mogu određivati istu istinitosnu funkciju. Na primer, formula B : p q

određuje istu istinitosnu funkciju kao i formula A, tj. B = A.

Þ

{ } { }nPokazaćemo da važi i obrnuto: za svaku istinitosnu funkciju f : , ,

iskazne algebre postoji iskazna formula F čija je istinitosna funkcija baš f, tj. F = f.

^ ® ^§ §

{ }. Neka je data binarna operacija f iskazne algebre sledećom tablicom:Primer ,^¨

12

( ) ( ) ( ) ( ) pa je A , , , ,æ ö^ ^ ^^ç=ç ^è ø

¨ ̈ ¨ ¨

¨ ¨ ¨



Odredimo bar jednu formulu F takvu da je F = f. Posmatrajmo one redove (vrste)

tablice u kojima funkcija f ima vrednost i pokušajmo da konstruišemo iskaznu formulu

koja će imati vrednost

§

tačno za te valuacije. Formula p q ima vrednost samo u

jednom slučaju, kada i p i q imaju vrednost , što odgovara prvoj vrsti tablice. Formula

p q će imati vrednost akko i p i q imaju vredno

Ù

Ø ÙØ

§ §

§

§

( ) ( )

st , što odgovara poslednjoj

vrsti iz tablice. Formula koja je tačna akko nastupi jedan od navedena dva slučaja je

disjunkcija navedene dve formule, tj. formula

F : p q p q .

^

Ù Ú Ø ÙØ

{ }

Pređimo sada na opšti slučaj.

Uvedimo oznake:

x = x, x = x, x ,^ Ø Î ^§¨

{ } y

Očigledno, za x, y , važi:

x = akko x = y.

Î ^¨

¨

{ } { }

( )( ) { }

( )( ) ( )11 1 1

1

Ako f: tada

f

n

nn n n

n ,..., ,n

Teorema . , , ,

x ,...,x f ,..., x ... x .α α

α αα α

Î ^

^ ® ^

= Ù Ù ÙÚ¨

¨ ¨

*

Pre nego što dokažemo gornju jednakost, navedimo kako ona izgleda u specijalnim

slučajevima, za n = 1 i n = 2.

Dokaz.

( ) { } ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11 1 1 1 1 111

Za n = 1:

f ,

x f x f x f x f x f xαα α ^Î ^= Ù = Ù Ú ^ Ù = Ù Ú ^ ÙØÚ

¨¨

¨ ¨

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

f

f 1 2 1 2 1 2 1 2

Za n = 2, gornja jednakost u razvijenom obliku postaje:

x ,x f , x x f , x x f , x x f , x x

x ,x f , x x f , x x f , x x f , x x

,

odnosno,

,

^ ^ ^ ^= Ù Ù Ú ^ Ù Ù Ú ^ Ù Ù Ú ^ ^ Ù Ù

= Ù Ù Ú ^ Ù ÙØ Ú ^ ÙØ Ù Ú ^ ^ ÙØ ÙØ

§ § § §§ § § §

§ § § §

{ }

{ }1

1

n

1 n n

Dokažimo sada jednakost ( ). Za proizvoljne ,..., , (kao vrednosti,

redom, promenljivih x ,...,x ), vrednost funkcije f je f( ,..., ) , , a izraz na desnoj

strani jednakosti ( ) pos

β β

β β

* Î ^

Î ^

*

¨

¨

taje

13



( ) { }( )( )1

1 1

1

nn n

n ,..., ,n

f ,..., ... .α α

α αα α β β

Î ^Ù Ù Ù

¨

Iz akko sledi da jeii ii ,αβ α β= =¨

1 111

n nnn

, ,...,...

, inačeα α α β α β

β βì ü= = ï ï

Ù Ù =í ý^ ï ï î þ

¨

( ) { }( )( ) ( ) ( )1

1 1 11

1

pa je

nn n n n

n ,..., ,n

f ,..., ... f ,...,B ... f ,...,B .α α

α αα α β β β β

Î ^Ù Ù =̂ Ú Ú Ú Ú =̂Ú

¨

Ukoliko funkcija f ne uzima uvek vrednost , izraz na desnoj strani jednakosti( ) se može uprostiti tako da ne sadrži simbole i .

^* ^§

{ } ( )

( )( )

1 1

11 1

1

n n

nn n

f ,..., n

Ako postoje ,... , tako da je f ,... = , tada se jednakost ( )

može napisati u obliku

f x ,...,x = x ... xα α

α α

β β β β

=

Î ^ *

Ù ÙÚ§

¨ ¨

( ) ( )( )

( )

11 1 1

1

1 1 11 1 1 1

(ako f = , onda f pa kako je y= y,

sledi da se ovakvi članovi mogu ukloniti iz disjunkcije; ako f = , onda

f

nn n n

n

n nn n n

,..., ,..., x ... x ,

,...,

,..., x ... x x ... x x ...

α α

α α αα α

α α α α

α α

α α

^ Ù Ù Ù =̂ ^Ú

Ù Ù Ù = Ù Ù Ù = Ù Ù

¨

¨ ).nn xα

( )1 nformule A p Kan ,onsk ...,a disjun p

koja

ktivna normaln

nije kontradik

a forma (K

cija, je

DN

fo

F)

rmula oblika

Definicija.

( )( ) ( )1

1

p pnn

: A p ... p

α α

α υα =Ù Ù

¨

Iz definicije vidimo da je KDNF takva DNF kod koje se u konjunkcijama koje je čine pojavljuju

sva iskazna slova ili njihova negacija, i nijedno slovo se ne pojavljuje zajedno sa svojom

negacijom.

14



( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

jesu KDNK ,

p q r

.-

p

nisu KD

q r

NF

Primer.

p q r p q r p q r

p q p q r p q p p q

üÙØ Ù Ú Ø Ù Ù Ú ÙØ ÙØ ï ý ï ÙØ Ù þ

üÙ Ú Ø Ù Ù ï ï ÙØ ÙØ Ú Ø Ù ý ï

Ù Ù ï þ

Slično, svaku formulu koja nije tautologija možemo predstaviti u KKNF.Neka je f n-arna istinitosna funkcija. Primenom prethodne teoreme na funkciju

¬f dobijamo:

( )( ) { }

( )( )

( )( ) { }

( )

11 1 1

1 1

Primenom negacije na obe strane i De Morganovog zakona imamo da je

nn n n

n ,..., , , n

n nn ,..., , , n

f x ,...x f ,..., x ... x

f x ,...x f ,...,

α α

α α

α α

α α

α α

Î ^

Î ^

Ø = Ø Ù Ù Ù

= ÚÙ

¨

¨( )1

1n

n x ... xα αØ Ú ÚØ

Na kraju, primenom

x

i i i ii ii i

i i i i

x , x , x

x , x ,

α αα α

α α

^Ø

ì ì Ø = = ï ï Ø = = =í í

ØØ =̂ ï ï î =̂ î ¨

¨ ¨

dobijamo

( )( ) { }

( )( )11 1 1

1

nn n n

n ,..., ,n

f x ,...x f ,..., x ... xα α

α αα α Ø Ø

Î ^= Ú Ú Ú

¨

( )1 nUkoliko funkcija f uzima vrednost bar za jednu n torku ,..., , izraz na

desnoj strani se može uprostiti, tako da dobijamo

− β β^

( )( )

11 1

1

nn n

f ,..., n

f x ,...,x x ... xα α

α α

Ø Ø

=̂= Ú Ú

( )1 nformule. A p ,..., p koja

nije tautologija, je formula ob

Kanonska konjunktivna normalna forma (KKNF

l a

)

ik

Definicija

( )( ) ( )1

1

p pnn

: A p ... p

α α

α υα

Ø Ø

=̂Ú Ú

Odrediti KDNF i KKNF formule A čija je istinitosna funkcija A data sledećom

tablicom:

Primer.

15



( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A p q r p q r p q r KDNF

A p q r p q r p q r p q r p q r KKNF

−

−

º Ù Ù Ú ÙØ ÙØ Ú Ø Ù ÙØ

º Ø ÚØ Ú Ù Ø Ú ÚØ Ù ÚØ ÚØ Ù Ú ÚØ Ù Ú Ú

7. Baze iskazne algebre

Iz poslednje teoreme (kanonske forme) vidimo da se svaka operacija iskazne algebre

može predstaviti pomoću , .Ù ÚØ

( ) ( ){ } { } { }

Iz p q p q , p q p q , p q p q vidimo da svaku

operaciju iskazne algebre možemo predstaviti redom, i pomoću , , , i , .

Ù º Ø Ø ÚØ Ú º Ø Ø ÙØ Ú º Ø Þ

Ú Ø Ù Ø Þ Ø

je minimalan skup operacija pomoću kojih izražavamo

sve ostale operacije iskazne algebre.

je minimalan skup logičkih veznika pomoću koj Ba

D

za is

efini

kaznog rač

cija. Baza

Definicija

iskazne al

u

e

. na

gebr

ih

izražavamo sve iskazne formule.

{ }Skup nije baza, jer su sve formule koje od logičkih veznika sadrže samo ¬

oblika ... p (za neko iskazno slovo p), pa se ni jedna tautologija ne može izraziti na

ovaj način (formula : : :

Primer. Ø

ØØ Ø

Ø p ne generiše konstantnu istinitosnu funkciju).Ø

Definišimo binarne operacije ( Šeferova ili "ni" operacija) i ( Lukasievičeva

ili "nili" operacija):

¯

( ) ( )p qdef def

p q p q , p q- Ø Ù ¯ Ø Ú==

Tablice za operacije i : ¯

16



{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }

. Jedine binarne operacije skupa , pomoću kojih se mogu izraziti sve ostale

su i .

.Dokaz

Iz

p p p p p i p q p q p q p q p q

i činjenice da je , baza, sledi da je i baza.

:

Teorema ^

º Ø Ù º Ø º Ø º ØØ Ù º Ù

Ù Ø

¯

¨

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }

Slično, iz

p q p p p i p q p q p q p q p q

i činjenice da je , baza, sledi da je i baza.

¯ º Ø Ú º Ø ¯ ¯ ¯ º Ø ¯ º ØØ Ú º Ú

Ú Ø ¯

Pokažimo da su to jedine jednočlane baze iskazne algebre.

{ } ( )( )

( )

Neka je h baza, gde je h p,q binarna operacija pomoću koje se mogu prikazati sve

ostale. Ako je h , = , onda bi i za svaku funkciju izraženu preko h bilo

f , ,..., = , što nije uvek slučaj (recimo za

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨ ¨ ( )( ) ( ) ( )

p to ne važi). Dakle, h , = .

Slično, h , = . Stoga imamo sledeća četiri slučaja za h , i h , :

Ø ^

^^ ^ ^

¨ ¨

¨ ¨ ¨

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

1 2)

3 4)

h , h , ) h h

h , h ,

h , h , ) h q h ph , h ,

^ = ^ =̂® º ® º ¯

^ = ^ =̂

^ = ^ =̂® º Ø ® º Ø^ =̂ ^ =

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

¨ ¨ ¨

{ } Kako smo u primeru pokazali da nije baza, ostaje da mora biti h ili h .Ø º º ¯

9. Metod rezolucije

21 n

i

Metod rezolucije je formulisao Alan Robinson 1965. godine.

Primenjuje se na iskazne formule koje su u KNF, tj. na formule oblika C C ... C

pri čemu je svaka formu klauzala C ( disjunkcij

Ù Ù Ù

a literala ).

( )

p r, p q r, p r - primeri klauza ,

p q, p - nisu klauze.

Primer.

r q

ÚØ Ú Ú Ø ÚØ

ÙØ Ú Þ

{ }1 2

1 2

n

n

Metodom rezolucije ispitujemo da li je formula C C ... C zadovoljiva, tj. da

li je skup klauza C ,C ,...C zadovoljiv.Klauza je zadovoljiva ako postoji valuacija za

koju je bar jedan li

Ù Ù Ù

teral te klauze tačan. Prema tome, formula u KNF je zadovoljiva ako

postoji valuacija u kojoj su sve klauze te formule tačne.

17



2

1 2

1 1 2

PRAVILO REZOLUCIJE . Neka su C i C proizvoljne klauze i p iskazno slovo. Iz klauza

C p i C p izvodimo klauzu C C , tj.Ú ÚØ Ú

1 2

1 2

CC p, p

C C

Ú ÚØ

Ú

1 2 1 2 1 2 Klauza C C se tada zove rezolventa klauza C p i C p, a C p i C p su

roditelji rezolvente.

Intuitivno,

Ú Ú ÚØ Ú ÚØ

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

C

pa iz C p C izvodimo C

C p C p, p p C ,

p, C , tj. C C .

Ú º Ø Þ ÚØ º Þ

Ø Þ Þ Ø Þ Ú

Postupak se sastoji u uzastopnoj primeni pravila rezolucije i proširivanju skupa

klauza dobijenim rezolventama. Za zadati skup klauza , primenom ovog pravila roditeljirezolvente se ne zam

K enjuju rezolventom, već se rezolventa dodaje skupu klauza (roditelji

rezolvente ostaju u skupu ).

K

K

{ }1 2 1 0 1 2

1

n n n

i i

i

Za formulu F C C ... C , gde su C ,...,C klauze, neka je C ,C ,...C

početni skup klauza. Primenom rezolucije na skup klauza dobijamo skup , tako što

skupu dodamo dobijenu+

º Ù Ù Ù =K

K K

K rezolventu.

( )i

Postupak rezolucije se zaustavlja na jedan od sledeća dva načina:

ako u nekom koraku skup klauza sadrži praznu klauzu , izvođenje se prekida i

zaključuje da je polazni skup klauza n

Wg K

1i i

ezadovoljiv, tj. formula F je nezadovoljiva;ako ne postoji mogućnost da se primeni pravilo rezolucije tako da se skupovi i

razlikuju, izvođenje se prekida i zaključuje da je početni skup+g K i K

klauza zadovoljiv, tj.

formula F je zadovoljiva.

1 2

Koristićemo sledeće oznake: niz polaznih i izvedenih klauza označavaćemo sa

C , C ,....Literale u klauzama razdvajamo zarezima. Iza oznake izvedene klauze i literala

koji je čine zapisujemo oznake klauza i literale na kojima je primenjeno pravilo rezolucije.

( ) ( ){ }

. Za formulu A početni skup klauza je

= Primenom pravila rezolucije dobijamo

Primer 1 p q r p q p r

p q r, p q, p, r .

º Ø ÚØ Ú Ù Ø Ú Ù ÙØ

Ø ÚØ Ú Ø Ú ØK

( )( )

( )

1

2

3

4

5 1 2

6 3 5

7 4 6

Dakle, skup klauza nije zadovoljiv, odnosno, data f

C : p, q,r

C : p,r

C : p

C : r

C : p,r C , q;C , q

C : r C , p;C , p

C : C , r;C ,r

Ø Ø

Ø

Ø

Ø Ø Ø

Ø

ØWK ormula nije zadovoljiva.

18



{ }

( )( )( )

1

2

3

4 1 2

5 3 4

6 2 3

. Iz skupa ne može se izvesti prazna klauza, jer

C

Primer 2 p q r, p q, p

: p, q,r

C : p,q

C : p

C : p,r C , q;C ,q

C : r C , p;C , p

C : q C , p;C , p

Ø ÚØ Ú Ø Ú

Ø Ø

Ø

Ø Ø

Ø

Ø

( ) ( )

Kako se daljom primenom pravila rezolucije ne mogu dobiti nove klauze, sledi da

je početni skup klauza zadovoljiv, pa je i formula A p q r p q p zadovoljiva.º Ø ÚØ Ú Ù Ø Ú Ù

( )

Metod rezolucije se može koristiti i za dokazivanje da je data formula tautologija.

Naime, kako važi

A je tautologija akko za svaku valuaciju važi A =α

α υ ¨

( )akko za svaku valuaciju važi A =

akko formula A nije zadovoljiva,

da bismo dokazali da je A tautolog

αα υ Ø ^

Ø

ija, dovoljno je da dokažemo da A nije zadovoljiva.Ø

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

. Dokazati da je formula

A

tautologija. Dovoljno je dokazati da formula

A

nije zadovoljiva, tj. da skup klauza

Primer 3

p r q r p q r

p r q r r p r q r p q r

º Þ Ù Þ Ù Ú Þ

Ø º Þ Ù Þ ÙØ º Ø Ú Ù Ø Ú Ù Ú ÙØ

{ }= p r, q r , p q, r Ø Ú Ø Ú Ú ØK=

( )( )( )

1

2

3

4

5 1 3

6 2 5

7 4 6

nije zadovoljiv. IzC : p, r

C : q, r

C : p, q

C : r

C : q, r, C , p;C , p

C : r C , q;C , q

C : C , r;C , r

Ø

Ø

Ø

Ø

Ø

ØW

sledi da formula ¬A nije zadovoljiva, pa je formula A tautologija.

19



10. Hipoteze i posledice

{ } Neka je A iskazna formula i : P , valuacija iskaznih slova.α ® ^¨

( )( )model za skup iskaz

Val

nih

uacija je A akko je A = .

Valuacija je formula akko za sve A važi A =

Defin

.

icije.

model za iskaznu

Navodimo, bez

(

d

formu

okaza,

lu

teoremu kompakt

a)

(b)

n

α

α

α υ

α υÎ

¨

¨F F

osti za iskazni račun.

Teorema . Ako svaki konačan podskup skupa iskaznih formula ima model, onda i

ima model.

Uvedimo pojam semantičke rampe . Neka je skup iskaznih formula i A proizvoljna

formula.

F F

‘ F

. Formula A je ( ) skupa formula , u oznaci

akko svaka valuacija koja je model za je i model za A (tj. za svaku va

semantička logi

luaciju

za koj

čka posled

u su tačne sve formule iz

i

ca Definicija

A α

F

F

F

F ‘ , tačna je formula A). Elementi skupa su ,

a A je

hipoteze

posled .ica

F

{ } { }( )( ) ( ) ( )

{ } ( )

( ) ( )

.

(1) p, p q,q r r jer za model skupa p, p q,q r iz p = ,

p q = , q r = sledi r = .

p q ...(2) p q,r p q jer za valuaciju = važi p q ,

...

p , ali p q .

Razm

Primer

αα α

α

α α

α υ

υ υ α

α υ

υ υ

Þ Þ Þ Þ

Þ Þ

æ öç ÷/Þ Ø Ù Þ Ø =ç ÷^è ø

= Ù =̂

¨

¨ ¨ ¨

¨¨

¨

‘

‘ p

otrimo šta bi značilo da je neka formula A semantička posledica praznog skupa hipoteza:

po definiciji, za svaku valuaciju , ako je svaka formula F tačna u valuaciji , mora i

formula A da bude tačn

α αÎ Æ

( )( )

a u toj valuaciji. No, trivijalno, implikacija "ako je F onda F = " je tačna, jer je pretpostvaka "F " uvek netačna. Dakle, imamo da je A

akko za sve važi A = , tj. akko je formula A tautolog

α

α

υ

α υ

Î ÆÎ Æ Æ§

¨

‘

ija.

{ } { }1 1

1

n n

n

Umesto A pišemo A.

Ako je skup = F ,...,F konačan, onda umesto F ,...F pišemo

F ,...,F A.

U sledećoj teoremi navodimo tri važne osobine "semantičke rampe" ,

Æ‘ ‘

F ‘ A

‘

‘ tzv.

pravila o prebacivanju preko rampe.

20



1

1 1 1

1 n

n 1 n

n n n

. Neka su A,B,A ,...,A iskazne formule. Tada važi:

1. A B akko A B,

2. A ,...,A A akko A ... A A.

3. A ,...,A A akko A ,...,A A

Teorema

-

Þ

Ù Ù Þ

Þ

‘ ‘

‘ ‘

‘ ‘ A.

( )( ) { } ( )

( )

1

1

1

n

i n

n

Dokaz.

1. Dobija se iz , za n = 1

2. Neka je A ,...,A A i proizvoljna valuacija iskaznih slova. Tada

ako je A = za bar jedno i 1,2,...,n , tada A ... A = ,

pa je A ... A A = ;

α α

α

α

υ υ

υ

®

^ Î Ù Ù ^

Ù Ù Þ ¨

g

‘

( ) { }

( ) ( )

( )

1

1

1

i n

nn

ako je A = , za sve i, tj. je model za skup formula A ,...,A , tada je model

i za A (po pretpostavci), tj. A = , pa je A ... A A = .

Dakle, formula A ... A A je tautologija.

P

α

α α

υ α α

υ υ Ù Ù Þ

Ù Ù Þ

¬

¨

¨ ¨

g

{ } ( ) { } ( )( ) ( )

1

1 1

1

n

n i n

n

retpostavimo da je formula A ... A A tautologija. Neka je model za skup

formula A ,...,A . Tada je A = za sve i 1,...,n , pa je i A ... A = .

Kako je A ... A A = , sledi da je A = , tj.

α α

α α

α

υ υ

υ υ α

Ù Ù Þ

Î Ù Ù

Ù Ù Þ

§ ¨

¨ ¨

1 n

je model i za formulu A.

Dakle, A ,...,A A.

3. Slično. W

‘

( )( ) ( )

Podsetimo se da su formule A i B logički ekvivalentne A B akko je formula A B tautologija, tj. za svaku valuaciju važi A = B .α αα υ υ

ºÛ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

Teorema . A B akko A B i B A.

Dokaz. Ako A B tada A = B , pa iz A = sledi B = i iz B =

sledi A = . Dakle, A B i B A.

Neka A B i B A i proizvoljna valuacija. Tada

ako

α α α α α

α

α

υ υ υ υ υ

υ

α

υ

º

® º

¬

¨ ¨ ¨

¨

g

‘ ‘

‘ ‘

‘ ‘

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

A = onda iz A B sledi da je i B ;ako A = , onda i B = (jer bi iz B = i B A sledilo

A = , što je u kontradikciji sa pretpostavkom).

Dakle, B A .

αα α α

α

α α

υυ υ υ

υ

υ υ

^ ^

=

¨ , ¨¨

¨

g

W

=‘‘

Iskazna logika

Documents

Transcript of Iskazna logika