Tema 6 -SISTEMAS DE PARTCULAS INTERACTIVAS El modelo de Ising. Magnetismo.Aproximacin del campo molecular de Weiss y aproximacin de Bragg-Williams. Fonones en slidos. Gases clsicos no ideales. [REI-10; HUA-14; KUB-5; YEO-4]

El modelo de Ising. Ferromagnetismo.

Ferromagnetismo. El modelo de Ising.Material ferromagntico. Ej: red de tomos con momento magntico.Este material puede magnetizarse aplicando un campo magntico H.

A T>T* todos los momento magnticos estn al azar.A T

Hamiltoniano del sistema ferromagntico uniaxial bajo campo magntico (Hz):Definimos la magnetizacin por spin:

Colectivo cannico y termodinmicaTermodinmica:Energa libre de Helmholtz

Funcin de particin y variables termodinmicasEnerga del sistema = HamiltonianoEl estado microscpico del sistema es la combinacin de todos los spines:Y la funcin de particin es:Energa libre: Magnetizacin promedio:Energa: Calor especfico:

Aplicaciones del Modelo de Ising Gas de redSitios ocupados o vacos.Interaccin a primeros vecinos, -eIsing: se introduce un spin:N de partculas en una celda:N total de partculas:Interaccin:Energa total:

Y la gran funcin de particin es:Esto es el Hamiltoniano de un sistema de Ising con:Se usar el colectivo macrocannico.

Aleaciones binariasInteraccin a primeros vecinos, : vecinos AB0 : vecinos AA o BBSpines:Interaccin:Energa total:N de partculas:Aplicaciones del Modelo de Ising

Y la gran funcin de particin es:Esto es el Hamiltoniano de un sistema de Ising con:(no puedo usar GC. N cte, puedo cambiar n A y n B)Se usar el colectivo semi-macrocannico.

Modelo de Ising en 1D (cadena lineal de spines)Usamos el colectivo cannico:Si B=0 :Funciones termodinmicas:

Funciones termodinmicas:Modelo de Ising en 1D

kT/JkT/JkT/J

El modelo de Ising. (en general, 2D, 3D) 2D, red cuadrada, 4 primeros vecinosg : N de primeros vecinos.Vamos a reescribir el Hamiltoniano:Tipo de parejas de vecinos: N++, N--, N+-Esto permite escribir:Y el Hamiltoniano queda:Orden:a largo alcance: N+ , a corto alcance: N++acoplamiento spin-spin

La aproximacin de Bragg-WilliamsUsamos el colectivo cannico:La aproximacin de Bragg-Williams consiste en desarrollar un mtodo para evaluar el peso estadstico: Se cambian las variables por comodidad:

La aproximacin de Bragg-Williamsg(L) = g(N+) , por tanto es el n de formas de tomar N+ nmeros de entre N nmerosLa aproximacin de Bragg-Williams propone la siguiente relacin:As el Hamiltoniano resulta:Si N+ es grande, N++ ser grande.El orden a corto alcance surge del orden a largo alcance.Y pasamos de necesitar hallar a buscar cmo es g(L)

La aproximacin de Bragg-WilliamsY la funcin de particin es:L va de 1 a 1 en pasos de 2/NSi N es grande, Stirling.Si obtenemos lnZ ya podremos tener todas las funciones termodinmicas.

La aproximacin de Bragg-WilliamsRecordamos el concepto de la distribucin ms probable.Habr una configuracin de N+,N++ con un valor de mucho mayor que en las dems. (H N, por lo tanto Z depende exponencialmente de N)Por tanto buscamos el L que maximice Z o ln Z.Lmax es la nica variable independiente.H, T : parmetros externos del sistemaJ : interaccin spin-spin. N : n de spinesSi N, lnZ tiende a ser el valor del logaritmo del mayor sumando.

La aproximacin de Bragg-WilliamsCunto vale ese Lmax ?Solucin grfica de esa igualdad:Lmaxf(Lmax)

La aproximacin de Bragg-Williams.Aplicacin al ferromagnetismoSistema sin magnetizar: H=0. La solucin grfica da Lmax(H=0)=L0Hay solucin si la pendiente de en Lmax=0 es mayor que 1.Esto corresponde a T

La aproximacin de Bragg-Williams.Aplicacin al ferromagnetismoPor tanto, con H=0,La energa libre de Helmholtz:Si nos quedamos al orden ms bajo en el desarrollo para H pequeo:No se consideran cambios de TC por efecto de H.

Magnetizacin:La aproximacin de Bragg-Williams.Aplicacin al ferromagnetismoCalor especfico:Y podis demostrar que,

Solucin exacta del modelo de Ising en 2D: Lars OnsagerTemperatura crtica:Comportamiento en Tc, exponentes crticos:H = M 15M = t 1/8X = t -7/4 (log)C = t 0 (log)

Variaciones del modelo de IsingModelo de Potts: diferentes valores de s, para mezclas multicomponenteModelo de Heisenberg: considera como vector.Poner redes complejas: fcc, hexagonal, etc.Tener subredesInteraccin a vecinos lejanos J(r) Hacer J aleatoria, para teora de vidriosIntroducir cintica y reorientacin (dependencia con t)

Exponentes crticos

Clase de universalidadSimetra del parmetro de ordenabgdnhEjemploIsing 2Descalar, 2 componentes0 (log)1/8 (0.125)7/4 (1.75)1511/4 Adsorcin de una monocapa, H sobre FeIsing 3DEscalar, 2 componentes0.100.331.244.80.630.04Separacin de fases, orden-desordenX-Y 3DVector 2D0.010.341.304.80.660.04Superfluidos, superconductorHeisenberg 3DVector 3D-0.120.361.394.80.710.04Imanes isotroposCampo medioescalar0 (disc.)1/2131/20Potts 2D q=3escalar, q componentes1/31/9145/65/64/15Adsorcin de monocapasPotts 2D q=4escalar, q componentes2/31/127/62/32/31/4

Teoras de campo medio y transiciones de fase.

Idea GeneralSabemos resolver problemas de 1 partcula o de muchas partculas sin interaccin (gas ideal). Ahora hay que tratar con muchas partculas interaccionandoProblema: Las interacciones entre partculas hacen que sea casi imposible resolver el clculo de la funcin de particinIdea: Sustituir las fuerzas que actan sobre una partcula dada por un campo externo efectivo

Esto es un teora de campo medio.

Aproximacin de campo medioSe asume que el papel de las partculas vecinas es crear un campo molecular promedio, que acta sobre la partcula estudiada.La fuerza ejercida sobre si, debido a los vecinos y al campo externo es:El campo instantneo que acta sobre si es:Siendo su valor promediado:

Para resolver el problema usaremos la mecnica estadstica de momentos magnticos sin interaccin (desacoplados)Nmero de vecinosY se obtiene esta ecuacin para la magnetizacin media por espn:Solucin grfica de esa igualdad:m0-m0Para h=0, bJz>1 o

Comparacin entre T. Campo Medio y la solucin exacta: (para red cuadrada)Por qu este desacuerdo? No se consideran las fluctuaciones

vecinosTC, CMTC, exacta1D22J/KBNo hay2D44J/KB2.26J/KB3D66J/KB4J/KB

Exponentes crticos.Cerca de la transicin m

Susceptibilidad magntica:Desarrollamos tanh() :Los exponentes crticos son iguales a los obtenidos con la Teora de Landau: