1

فصل اول

:مقدمه

: مروري بر حساب ديفرانسيل و انتگرال ١-١

قضاياي زير در به دست آوردن روشهاي ختمني خطا ، داراي

اثبات اين قضايا وديگر نتايج بدون مرجع . امهيت بنيادي هستند

دراين خبش را مي توان درهرآتاب حساب ديفرانسيل و انتگرال

.استاندارد يافت

],[ فرض آنيد :قضيه رول bacf ),(بر f و ∋ ba مشتق پذير باشد

)()(0هرگاه . == bfaf دراين صورت عددي چونc در ),( ba وجود دارد

)(0به طوري آه =′ cf.

],[ هرگاه :قضيه مقدار ميانگني bacf ),(بر f و ∋ ba مشتق پذير

),( در cباشد ، دراين صورت عددي چون ba موجود است به طوري آه

abafbfcf

−−

=′)()()(

],[ هرگاه :قضيه مقدار ميانگني براي انتگراهلا bacf روي g و ∋

],[ ba انتگرالپذير باشد ونيز g در ],[ ba تغيري عالمت ندهد ،آنگاه

),( در cعددي مانند ba وجود دارد به طوري آه :

∫ ∫=b

a

b

adxxgcfdxxgxf )()()()(

],[ فرض آنيد :تعميم قضيه رول bacf n∈ باشد ،هرگاه )(xf1 در+n

12نقطه متمايز ,....., xx وnx از],[ ba صفر شود ، آنگاه نقطه اي

)()(0 وجود دارد بطوري آه (a,b)در c مانند =cf n.

2

1],[ فرض آنيد :قضيه تيلور bacf n+∈ 0],[ باشد و هم چنني bax ∈

],[،آنگاه به ازاي هر bax∈ عددي مانند xξ بني x0 و x وجود دارد

:به طوري آه

)()()( xRxPxf nn +=

∑=

−=n

k

kk

n xxkxfxP

00

0)(

)(!

)()( آه در آن

))()()!1(

1)( )1(10 xnn

n fxxnxR ξ++−

+= و

مجله xRn)( و x0 ام حول n چند مجله اي تيلور درجه xPn)(ينجادرا

. ناميده مي شود xPn)(وابسته به ) يا خطاي برشي(باقيمانده

دست مي ، بهn→∞ به ازاي xPn)(سري نامتناهي آه با حدگريي از

اغلب در حـاليت آه . ناميده مي شود x0 حول fآيد سري تيلور

x0=0 باشد ، چندمجله اي تيلور ، چندمجله اي مك لورن ناميده مي

.شود

1],[ اگر :قضيه تيلور با باقيمانده انتگرال bacf n+∈ آنگاه ،

: دارمي [a ,b] در c و xبراي هرنقطه

∑=

+−=n

kn

kk xRcxcfk

xf0

)( )())((!

1)(

∫ −= +x

c

nnn dttxtfn

xR ))((!

1)( )1( آه در آن

),( فرض آنيد:قضيه تيلور دو متغريه yxf و مهه مشتقات جزيي آن

(a ,b) حول نقطه Dام در سراسر يك ناحيه مستطيلي n+1تا مرتبه

: دارمي Dپيوشته باشند ، دراين صورت در سراسر ناحيه

3

10;))(),((.

])()[()!1(

1...),(.])()[(!

1...

])())((2)[(!2

1])()[(),(),(

1

),(22

),(

≤≤−+−+∂∂

−+∂∂

−+

++∂∂

−+∂∂

−++

−+−−+−+−+−+=

+

θθθ bybaxafy

byx

axn

bafy

byx

axn

fbyfbyaxfaxfbyfaxbafyxf

nn

bayyxyxxbayx

مهگرايي٢-١

قبل از تعاريف آلي ابتدا فرض مي آنيم آه : دنباله هاي مهگرا

درصد يافنت ريشه يك معادله بغرنج يا مقدار عددي يك انتگرال

درچنني حاليت يك برنامه آامپيوتري ممكن است .معني پيچيده هستيم

12يك دنباله از اعداد حقيقي ,..., xx را اجياد آند آه به جواب

بنابراين مي نويسيم. درست نزديك شود ∞→=

nLxnlim اگر براي هر

ε مثبت يك عدد حقيقي r يافت شود به طوري آه εr) nآه

:١-١مثال ∞→

=+

nn

n 11lim

ε

4

: بنابراين . است 0.001358و در هزارمني مجله هنوز خطا حدود

11 →−−+eeex

n

n

آمي سريعرت به صفر مثال ديگري از دنباله اي آه :٣-١مثال

:مهگرا مي شود عبارتست از

21

2

2

1−

+ +−=

nn

nnn xx

xxx

: دارمي x1=15.00 و x0=20.00با انتخاب دو مقدار اوليه

64.142 =x 15.143 =x 54.033 =x 27.034 =x

يعرت مهگرا مي شود اما هنوز درحايل آه اين مثال از مثال قبلي سر

.هم مهگرايي آند است

01 →+n

n

xx

مثال بعدي دنباله اي است آه سريعًا مهگرا مي شود :٤-١مثال

:دنباله زير را درنظر مي گريمي .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

+n

nn xxx

x1

21

2

1

1

1≥n

:مجالت اين دنباله عبارتند از

000000.21 =x 416667.13 =x

500000.12 =x 414216.14 =x

414213562.12...حد عبارتست از و دنباله با سرعت زيادي به حد =

.خود مهگراست

36.02

22

1≤

−

−+

n

n

x

x

است ومثال دوم مهگرايي ٢چنني وضعييت متناظر ، مهگرايي مرتبه

طي مي باشد و مثال اول داراي خاصيت بدتر از مهگرايي خطي فوق خ

.است

5

:مرتبه هاي مهگرايي

} فرض آنيد :١-١تعريف }nx يك دنباله از اعداد حقيقي باشد آه

است اگر عدد خطيگوئيم نرخ مهگرايي حداقل . ميل آند xبه حد

: وجود داشته باشد به طوري آه Nح و عدد صحيc

6

فصل دوم

حساب آامپيوتري١-٢

گرچه علم رياضي مدام درحال گسرتش و توسعه روزافزون ميباشد ،

معهذا مسائل زيادي در عرصه خمتلف علوم وجود دارند آه به آمك

بعنوان .آناليز رياضي وراه حلهاي متعارف قابل حل نيستند

ت بسيار تعداد جمهوال دارایمثال حل دستگاههاي خطي وغريخطي آه

زياد باشند و عمال در زندگي روزمره با آن سروآار دارمي و

عمال به آمك نريوي انساني صرف غريقابل حل . بايسيت حل منائيم

معادالت .هستند وبدون استفاده از آامپيوتر مقدور نيست

فرازنده نيز از مجله مسائلي هستند آه بايسيت تقريب زده شوند

ميدانيم آه . ل گريي رادرنظر بگريمي يا بعنوان مثال انتگرا.

خيلي از انتگراهلا هستند آه فرمول هاي متعارف براي حل آا

توسعه روز . وجود ندارند و تنها راه ، حل تقرييب آا است

افزون علم آامپيوتر و دخالت مستقيم و بيش از حد آن در زندگي

ي عددي روزمره ودر مهه شاخه هاي علوم و فنون ، آاربرد روشها

چرا آه بدون دخالت .را در حل مسائل را امكان پذير ساخته است

آامپيوتر بعلت حجم زياد عمليات وزمان حل آن عمال انسان بدون

آامپيوتر قادر نيست و عمرش براي حل پاره اي مسائل آايف مني

.درصورتيكه با وجود آامپيوتر اين آار عملي است .باشد

با آامپيوتر سر وآار دارمي و ميدانيم در روند حماسبات ما

آه آامپيوتر تنها چهار عمل اصلي مجع ، تفريق ،ضرب و تقسيم را

و در اين روند حماسباتي ، با اعداد حقيقي سروآار .اجنام ميدهد

منايش اعداد الزم و ضروريست و یلذا بررسي امجايل سيستم ها.دارمي

١٦تايي ،٨وتايي ، قبل از اينكه به سيستم هاي منايش عدد د

تايي و غريه بپردازمي الزم است ابتدا در مورد سيستم دهدهي آه

7

دستگاه يا سيستم اعداد . ما به آن عادت دارمي اشاره اي بكنيم

را )3678(10 است وهر عدد را بعنوان مثال ١٠دهدهي داراي مبناي

.مي توان بصورت زير نشان داد

012310 108107106103)3678( ×+×+×+×=

١٠يعين چند مجله اي از توااي

را به صورت چندمجله اي از )6251.0(10يا : مي توان نوشت −110

432110 101105102106)6251.0(

−−−− ×+×+×+×= 43210123

10 101105102106107108109104)6251.4987(−−−− ×+×+×+×+×+×+×+×=

بنابراين عدد بصورت آلي تر در سيستم دهدهي

).......()( 321012110 mnnn dddddddddN −−−−−−=

.ير بيان مي آنيم رابصورت زm

mn

nn

n ddddddN−

−−

−−

− ×++×+×+×++×+×= 10...101010...1010)(1

10

01

11

110

. هستند ٩. تا٠ ها رقمهايي بني dمهه

يك مبناي بسيار مفيد براي آار با : مبناي دودويي ٢-٢

. مي باشد ٢آامپيوتر ، مبناي دودويي يا سيستم اعداد پايه

(Bit)آه بيت . 1,0تنها عالمت اساسي اين مبنا عبارتند از

يكي از مزاياي اصلي طرز منايش دودويي آنست آه . ندناميده ميشو

به سهولت توسط بسياري از دستگاههاي فيزيكي آه مي توانند در

بعنوان .دو حالت متفاوت از هم قرار گريند نشان داده مي شوند

را مي توان بوسيله يك ١مثال روي يك نوار آاغذي و يا آارت ،

روي نوار مغناطيسي .د را با نبودن سوراخ مشخص آر0سوراخ و

0 را با نقطه مغناطيس شده و ١يا ساير مواد مغناطيس شونده ،

را با نقطه مغناطيس نشده و يا مغناطيس شده با قطب خمالف ،

را مي توان با يك پالس ولتاژ ١دريك مدار الكرتيكي .مشخص آرد

مزيت . را با نبودن پالس يا پالس با عالمت منفي مشخص منود 0و

گر طرز منايش دودويي آنست آه بعلت وجود تنها دو عالمت قوانني دي

8

بسيار آمي براي درنظرگرفنت مهه ترآيبات ممكن در مجع وضرب وجود

000مثال جدول ضرب اساسي تنها مرآب از .دارد =× ، 01001 =×=× ،

111 . است ×=

ناي دودويي آنست آه براي نشان دادن عددهايي يك عيب اساسي مب

. با مقادير نسبتًا متوسط ، تعداد بيتهاي زيادي الزم مي شود

بنابراين براي منايش يك عدد دهدهي چهاررقمي ممكن است سيزده

30103.02log10درحالت آلي چون .رقم مبناي دودويي الزم شود يا =

NN 30103.0102 بييت تقريبًا مساوي عدد Nي آه عدد دودويي به طور=

در اين دستگاه را مي توان Nعدد . رقمي است 0.3Nدهدهي

:بصورت زير نوشت

2210112 ).......()( mnn bbbbbbbN −−−−=

عدد . بيتهاي دوتايي هستند صفر يا يك هستند nb تاmbآه درآن

ستگاه اعداد دهدهي بصورت زير حماسبه متناظر با اين عدد در د

.مي شود m

mn

nn

n bbbbbbN−

−−

−−

− ×++×+×+×+×+×= 2...222...22)(1

10

01

11

110

تبديل اعداد در سيستم دوتايي به سيستم دهدهي٣-٢

تبديل اعداد در سيستم دهدهي به دودويي٤-٢

را بر مبناي دودويي تبديل آنيد 10(0.7) عدد اعشاري :1- ٢مثال

:

K bk Nk+1

0 0.7×2

1 1 0.4×2

2 0 0.8×2

3 1 0.6×2

4 1 0.2×2

5 0 0.4×2

6 0 0.8×2

9

7 1 0.6×2

8 1 0.2×2

9 0 0.4

(0.7)10=(0.101100110…)2

اگر بعنوان مثال با ماشني حسابي آارآنيم آه هفت رقم اعشار را

:مي تواند در حافظه جاي دهد آنگاه دارمي

6953125.0)1011001.0()7.0( 210 =≈

:رتست از خطاي راند گردن عبا

0046875.0)6953125.07.0( =−

منايش اعداد در آامپيوتر5-٢

ما عادتًا با سيستم اعداد دهدهي سروآار دارمي و

آامپيوترهاي دجييتايل سيستم اعداد دهدهي را به سيستم اعدادي

با مبنايي آه قابل درك و پذيرش آامپيوتر است تبديل و در

حافظه ) باشدβمي آنيم مبنا فرض (حافظه نگه ميدارند

مي wordsآامپيوتر دجييتايل از سلوهلاي جداگانه اي آه آنرا

تعداد ارقام آه بيت خوانده wordهر . ناميم تشكيل شده است

ميشوند هبمراه عالمت مثبت يا منفي درخود نگه مي دارند تعداد

مي word lengthي شوند را آامپيوتر ذخريه مwordارقامي آه دريك

اعداد به دو .نامند و در آامپيوترهاي خمتلف متفاوت هستند

. آامپيوتر ذخريه مي شوند wordصورت در

(Floating-point)مميز شناور -٢ (Fixed-point)مميز ثابت -١

حمل اول براي اعداد صحيح و n1در منايش مميز ثابت تعداد ثابت

درنظر (binary) حمل بعدي را براي قسمت اعشاري يا n2تعداد ثابت

10

tآامپيوتر گنجايش حافظه مي گريند بطوريكه اگر فرض آنيم آه

t=n1+n2 .رقم باشد

تعداد حمدودي ابزار آالت . در اين منايش موقعيت مميز ثابت است

رقمي آه اساسًا مشارگرند از اين منايش اعداد استفاده مي آنند

غلب آامپيوترها از منايش اعداد در مميز شناور استفاده مي در ا.

:آنند آه اين منايش به چهار پارامرت زير استوار است

(e (m ,Mگنجايش حافظه وبرد رقم t وβمبناي

عمومًا بفرم زير در آامپيوتر منايش داده مي x هر عدد ناصفر

:شود

)1.2().....(. 21e

tdddx βσ=

γβ آه براي منايش عالمت عدد است ، σ=±1بطوريكه =−≤≤ 10 id

آه به نوع آامپيوتر وابسته است و داراي آمرتين eو عدد منايي

Memو باالترين مقدار است .)...( و ≥≥ 21 tddd را مانتيس مي نامند

. خوانده مي شود radix را مبنا يا βو

01 چنانچه مهواره (2.1)رابطه ≠d )1( 1 γ≤≤ d درنظر بگريمي شكل نرمال

Mem. مميز شناور ناميده مي شود را x را اندازه ممكن عدد ≥≥

.مشخص مي آند

را مني توان آنطور آه واقعًا هستند بفرم x اما مهه اعداد حقيقي

بنابراين بايسيت به نزديكرتين عدد تقريب .مميز شناور بيان آرد

منايش تقرييب ماشني حماسب باشد آه (fl(xپس فرض مي آنيم .زده شوند

. صورت مي گريد rounding و choppingبه دو صورت ممكن

مي فرض مي آنيم يك عدد حقيقي به فرم زير دار

)2.2(...)...(. 121e

ttddddx βσ +=

باشد گنجايش حافظه رقم tچنانچه فرض آنيم آامپيوتري داراي

: دارمي choppingبا استفاده از عمل

)3.2()...(.)( 21e

tchopping dddxfl βσ=

11

: بصورت زير است roundingاما منايش تقرييب آن بفرم

)5.2()4.2(

ββ

β

12

اما مي . پذيرند اما روند حماسباتي توانايي حذف آنرا ندارند

.توان تأثري وانتشار اين نوع خطارا زير نظر داشت

Truncation Error: خطاي برشي تقريب -٢

خطاي ناشي از تبديل يك مساله غريقابل حل به مسئله تقرييب

ثال با قابل حل مي باشد ، مانند گسسته سازي يك مسئله براي م

متناهي سازي يك بسط نامتناهي آه سرچشمه آن فن جانشاني سري

.تيلور حمدود شده به جاي يك تابع مي باشد

...!4!32

1432

+++++=xxxxex

xpxxpآه +=++= 1,2

1 12

چند مجله ايهاي قطع شده از بسط براي … , 2

. مي باشند x=0 به خصوص حول نقطه exتقريب

: برشي مرتبه خطاي١-٢تعريف

تقريب زده n باخطاي برشي از مرتبه hf)( به وسيله (f(hگوئيم

موجود باشد بطوري M>0 ثابت h>0مي شود اگر براي مقادير آوچك

nMhhfhfآه ≤− )( وبا )()( nhO نشان داده مي شود يعين:

)8.2()()()( nhOhfhf +=

بزرگرت باشد n خيلي آوچك است هرقدر hحــظه مي آنيد آه چون مال

.مجله خطا سريعرت به صفر ميل مي آند

Round-off Errorخطاي روند آردن اعداد -٣

اغلب حماسبات با استفاده از ماشني صورت مي گريند و چون داراي

اعداد به اجبار به صورت تقرييب درحافظه . حافظه حمدود هستند

مهچنني .ذخريه مي شوند ، يعين خطاي روند آردن غريقابل اجتناب است

وغريه بصورت اعشاري و متناهي eπ,,3/1,2مهه اعداد حقيقي مانند

13

درنظر x با عدد تقرييب xقابل منايش نيستند پس اغلب اعداد

.ي شوند گرفته مي شوند آه اين امر باعث اجياد خطا م

حتليل خطا6-٢

در استفاده از روشهاي عددي آگاه بودن از اين آه اعداد

مهراه با خطاي روند آردن مي باشند امهيت زيادي دارد ، چونكه

دريك روش عددي به آمك ماشني حماسب هزاران ويا ميليوا عمل

پس امكان دارد .حماسباتي روي اين اعداد تقرييب صورت مي گريد

ت نتايج حاصله به اندازه اي آم شود آه بطورآامل بي معين دق

بنابراين جلوگريي از انباشتگي خطا يكي از مهارهتايي است .شود

.آه بايسيت مهيشه مدنظر قرار دهيم

خطاي مطلق و نسيب٢-٢تعريف

وخطاي نسيب (ex) باشد خطاي مطلق x يك تقريب براي xفرض آنيد

(rx)بصورت زير تعريف مي شوند

xxex −= , )9.2(xxx

rx−

=

خطاي مطلق بطور ساده اختالف بني مقدار واقعي و مقدار تقرييب مي

اگر مقدار .ويل خطاي نسيب سنجش هبرتي براي خطا مي باشد .باشد

بت آوچك باشد دراينصورت حد نسx نسبت به قدر مطلق exقدر مطلق

ex/x نزديك به حد نسبت xex مي باشد آه در عمل بدليل نامعلوم /

. بيشرت مورد استفاده قرار مي گريد xبودن

آران خطاهاي مطلق و نسيب

را مني توان بطور دقيق مشخص آرد چون اغلب (2.9)عمال خطاهاي

واره بايسيت در دسرتس مني باشد از آجنا آه مهxمقدار واقعي

را نشان مي x با چه دقيت مقدار واقعي xبدانيم جواب تقرييب

14

حداقل اندازه حداآثر خطاي براي اين منظور مايل هستيم .دهد

بطوريكه از اين به بعد از آرااي خطا به جاي . را بدانيمممكن

شناور را با مميزxبنابراين اگر عدد .خطاها صحبت مي آنيم

و Choppingمنايش دهيم ، خطاي نسيب منايش با استفاده از روشهاي

Rounding بصورت زير است :

tttte

tett

et

et

ettchop

dddd

dd

dd

ddd

ddddddd

xxflx

−−++

−++

+

≤==

−=

−

βγγγββ

β

β

ββ

10000.....

........

...)(.

...)(.

...)...(.

)...(....)...(.)(

21

21

21

21

21

21121

01از آجنايي آه ≠d است ودر مبناي ١/٠ حداقل مقدار خمرج آسر β

صورت آسر فوق نيز حداآثر مقدار ممكن آن . مي باشد β−1برابر

:يك است در نتيجه خواهيم داشت

)10.2(1)( 1

1ttchop

xxflx

−−− =×≤

−ββ

β

در Roundingبه روش مشابه آراني براي خطاي نسيب وقيت آه از روش

:مميز شناور استفاده منائيم بدست آورمي

)11.2(21)( 1 tround

xxflx −≤

−β

رقم بامعين درست در مبناي t را تا ,xx مي گوئيم :٣-٢تعريف

β تقريب مي زند ، اگر t بزرگرتين عدد صحيح نامنفي باشد آه به

t :ازاي آن دارمي x

xx −≤− 1

21 β

خطاي مطلق و نسيب را در حالتهاي زير بيابيم و :٥-٢مثال

ها را مشخص آنيد تعداد ارقام بامعين درست در تقريب

.)(141592.3,14.3),(000012.0,000009.0 axxbyy ====

15

:دارمي ) 2.9( باتوجه به تعريف خطاي مطلق و نسيب :(a)حل

31021000507.0141592.3/001592.0

001592.0140000.3141592.3

−×≈===

=−=−=

xe

r

xxe

xx

x

. را تا سه رقم بامعين تقريب مي زند x عدد xبنابراين

000003.0000009.0000012.0: نظري فوق دارمي : (b)حل =−=−= yyey

y عدد y را بدون رقم بامعين درست تقريب مي زند

2/1025.0000012.0000003.0 0−≤⇒=== yy ry

eyr

آمرت از y نتيجه مي گريمي آه خطاي مطلق در تقريب ey,exبا مقايسه

x است اما با مقايسه xy rr y نتيجه مي گريمي آه خطاي نسيب در ,

. است xزرگرت از بسيار ب

انباشتگي و انتشار خطا7-٢

تا اينجا دريافتيم آه اغلب اعدادي آه در ماشني ذخريه مي

اآنون به بررسي انتشار خطا در .شوند مهراه با خطا هستند

چونكه هر روش . حماسبات متوايل و در روشهاي عددي مي پردازمي

ضرب و تقسيم مي عددي ترآييب از اعمال حسابي مجع ، تفريق ،

باشد بنابراين ابتدا انباشتگي خطا در چهار عمل اصلي حسابي

سپس . را آه متأثر از خطاي روند مي باشند بررسي آنيم

تأثرياتي را آه اين خطاها بر روي حماسبه توابع دارند ، ارائه

.مي دهيم

],,,[ w باشند وy ,x تقريب اعداد ,xyفرض آنيد يك عمل +−÷×

مي خواهيم آران خطاي زير را تعيني آنيم . حسابي بني آا باشد

. )12.2()()( ywxxwyE −=

16

را اجنام ميدهد دقيق مني باشد بلكه Wزماني آه ماشني عمل

منايش Wباخطاي روند مهراه است پس عمل ماشني متناظر را با

. دارمي (2.12) به رابطه ywx و با اضافه وآم آردن ميدهيم

)13.2()]()[()]()[( ywxywxywxxwyE −+−=

W مالحظه مي آنيد درماشني دو نوع خطا براي هرعمل حسابي

اجياد مي شود ، خطاي روند آردن آه آران آن باتوجه به قطع

(2.11) و (2.10) توسط روابط (Rounding) ، گرد آردن (Chopping)آردن

قابل تعيني است و خطاي انباشتگي آه آران آن را براي چهار عمل

.اصلي بررسي مي آنيم

انباشتگي خطا در حماسبات8-٢

y ,x تقرييب براي دو عدد ,xy فرض مي آنيم دو عدد مثبت

باشد حال به انباشتگي ey ,exباشند وبه ترتيب خطاي مطلق آا

:خطا در حماسبات در ذيل مي پردازمي

بزرگرتين مقدار ممكن يا تقريب : انباشتگي خطا در عمل مجع 9-٢

xex عبارتست از y وxباال براي yey و + آوچكرتين مقدار ممكن يا +

xex برابر است با y وxتقريب پائني براي yey و− حال بيشرت −

: برابر است با y ,xمقدار ممكن حاصل مجع

)14.2()( yxyx eeyxeyex +++=+++

: برابراست با y ,xآمرتين مقدار حاصل مجع

)15.2()( yxyx eeyxeyex +−+=−+−

نتيجه ميگريمي آه خطاي مطلق حاصل مجع دو(2.15) و (2.14)از روابط

برابر است باy,xعدد

yx ee خطاي مطلق حاصل مجع= +

17

ومجع دو عدد برابر است ,xyاما طبق تعريف دارمي خطاي نسيب در

:با

xer xx = y

er yy = , yx

eer yxyx +

+=+

yxyx

yx ryxyr

yxx

ye

yxy

xe

yxxr

++

+=

++

+=+ )()(

با فرض yx

x+

=θ دارمي θ−=+

1yx

y لذا دارمي :

10,)1( ≤≤−+=+ θθθ yxyx rrr

θ→1 بسيار بزرگرت باشد نتيجه مي گريمي آه y نسبت به xاگر

xyxوآنگاه نتيجه مي گريمي آه rr بسيار y نسبت به x اما اگر +→

yyx آنگاه نتيجه مي گريمي آه θ→0آوچكرت باشد يعين rr نتيجه مي +→

گريمي آه خطاي نسيب عمل مجع مي تواند مقدار متوسط از خطاي تك تك

.هاي مجع باشد عامل

با تئجه به فرضيات قبل وبا :انباشتگي خطا در عمل تفريق 10 -٢

yxفرض اينكه : باشد دارمي <

)()( حداآثر مقدار ممكن تفريق yxyx eeyxeyex ++−=−−+

)()( حداقل مقدار ممكن تفريق yxyx eeyxeyex +−−=+−−

طاي مطلق حاصل از تفريق از روابط فوق نتيجه مي گريمي آه خ

)(عبارتست از yx ee اما خطاي نسيب +

:تفريق دو عدد عبارتست از

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++−

+=

−+

−

=−

+=−

yxyx

yxyx

ryx

yryx

xyxyx

ye

yxy

xe

yxx

yxee

r

)()(

اين رابطه مهان رابطه عمل مجع است آه داراي مضرب yxyx

− مي +

خطاي نسيب باشد اين مضرب بزرگرت از يك است و نشان مي دهد آه

18

در عمل تفريق نسبت به مجع با مضربي بزرگرت از يك متايل به

دو عدد بسيار نزديك به ,xyانباشتگي دارد ومضافًا اينكه اگر

هم باشد مضرب رابطه فوق بيكران مي شود واين خطر در عمل

لذا نتيجه مي گريمي آه دو عدد نزديك به . تفريق احتمال دارد

.م را در حماسبات نبايسيت از هم آم آنيم ه

انباشتگي خطا در عمل ضرب ١1-٢

yxxyyx حداآثر مقدار ممكن حاصلضرب eeeyexyxeyex +++=++ )())((

yxxyyx حداقل مقدار ممكن حاصلضرب eeeyexyxeyex ++−=−− )())((

از دو رابطه فوق نتيجه مي گريمي آه خطاي مطلق yxeeبا اغماض مجله

: درحاصلضرب عبارتست از

)( xy eyex +

:خطاي نسيب درعمل حاصلضرب برابر است با

xyxyxy

yx rrxe

ye

yxeyex

r +=+=+

=

نسبت ل تقسيم انباشتگي خطا در عم ١٢-٢yx

)2.16( حداآثر مقدار ممكن y

x

eyex

−+

)2.17( حداقل مقدار ممكنy

x

eyex

+−

:را درنظر مي گريمي ) 2.16(رابطه

)()(

)()(

22

22

ye

xe

yx

yx

eyeeeyexyx

eyey

eyex

ye

xe

yx

yx

eyeeeyexyx

eyey

eyex

yx

y

yxxy

y

y

y

x

yx

y

yxxy

y

y

y

x

++=−

+−−=

−

−×

+−

+−=−

+++=

+

+×

−+

ه رادرنظر مي گريمي از روابط فوق نتيجه مي گريمي آ. (2.17)رابطه

)(: خطاي مطلق درعمل تقسيم برابراست با ye

xe

yx yx +

19

yx :وخطاي نسيب در عمل تقسيم برابر است با

yx

yx rr

yx

ye

xe

yx

r +=+

=÷

)(

مي توان آران باالي انباشتگي خطاي نسيب در چهار عمل فوق را

:بصورت زير خالصه آرد

)18.2(105.0 tyxyx ryxy

ryx

xr −+ ×++

++

≤

)19.2(105.0 tyxyx ryxy

ryx

xr −− ×+−

+−

≤

)20.2(105.0 tyxyx rrr−×++≤

)21.2(105.0 tyxyx rrr−

÷ ×++≤

t دقت ماشني حساب و مبنا سيستم دهدهي فرض شده است .

جلوگريي از رشد خطا ١٣-٢

باتوجه به انباشتگي خطا در چهارعمل اصلي آه در باال

بررسي آردمي نتيجه مي شود آه از ضرب اعداد تقرييب بزرگ پرهيز

رضرب اعداد بايسيت بطريقي عمل منود آه عاملهاي لذا د.مناييم

دوم اينكه از انباشتگي خطا .ضرب به آران عدد يك حمدود شوند

در عمل تفريق نتيجه مي گريمي آه تفريق دو عدد تقريبًا هبم نزديك

.بزرگرتين منشأ اجياد خطا در حماسبات مي باشند

تابع زير را حماسبه: از بني ارقام بامعين درست :٦-٢مثال

:درنظر ميگريمي

)1()( xxxxf −+=

x رقمي درپايه دهدهي نتايج با مقادير خمتلف ٦با ماشني حساب

.درجدول آورده شده است

20

100000 10000 1000 100 10 1 X 100.000 50.0000 15.8000 4.99000 1.54340 0.414210 f(x) جواب

تقرييب158.113 49.9988 15.8074 4.98756 1.54347 0.414210 f(x) جواب

واقعي

بزرگرت مي شود خطا بيشرت مي شود x مالحظه مي آنيد آه هرقدر

به هم نزديك تر ميشوند و باعث از دست رفنت x+1 و xچون

.ارقام با معين درست مي شود

ساده مي توان ارقام بامعين دراين تابع خاص با عمليات جربي

.درست را حفظ منود

xxx

xxxxxxxxf

++=

++++

×−+

=11

111)(~

دارمي x=100حال با ماشني حساب شش رقمي با ضابطه جديد در نقطه

:

f(100) =4.98756 رقم صحيح است٦يعين جواب تا

انباشتگي خطاي نسيب در حماسبه توابع١٤-٢

مي خواهيم به اين موضوع بپردازمي . باشد x براي يك تقريبxاگر

اآنون . مي باشد (f(x تا چه اندازه تقريب مناسيب براي xf)(آه

با . نيز خطايي اجنام مي شود xf)(نشان مي دهيم در حماسبه

:استفاده از بسط تيلور دارمي

...)(!2

)()()()(2

+′′+′+=+= xfexfexfexfxf xxx

از توااي باالتر از يك ex باتوجه به آوچك بودن مقدار اآنون

ex صرف نظر مي آنيم

)()()()()()( xfexfxfxfexfxf xx ′≈′−⇒′+≅

:انباشتگي خطاي نسيب عبارتست از

21

)22.2()()(

)()(

)()()(

xxx rkrxxfxfe

xfxf

xfxfxf

=′

=′

≤′−

k را عدد حالت مي نامند ودقت نسيب ورودي يك مسئله را با دقت

گي باشد مسئله عدد بزرkاگر . نسيب خروجي آن مرتبط مي آند

x .بدوضع ناميده مي شود xfxfk)()(′

=

xbxfخطاي نسيب تابع : ٧-٢مثال را بيابيد )(=

: دارمي (2.22)با توجه به رابطه

≈⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤ xxx

f rxbbbr log ( ) xrxb)log(

xbkاگر log=ي نسيب در عدد بزرگي باشد آنگاه خطاxb بسيار

. خواهد بود xبزرگرت از خطاي نسيب در

آه بيانگر افزايش xrb>−310 آنگاه k=1000 باشد و xr≥−610يعين اگر

.خطا مي باشد

خطا در حماسبه توابع چند متغريه١٥-٢

),,...,( فرض مي آنيم 21 nxxxfz متغريه و مشتق پذير n تابعي =

nxxxفرض مي آنيم هريك از متغريهاي .باشد ,...,, داراي خطاي مطلق 21

kx∆ به ازاي nk zبنابراين خطاي مطلق تابع . باشند =2,1,...,

عبارتست از

),...,,(),...,,( 212211 nnn xxxfxxxxxxfz −∆+∆+∆+=∆

بسيار آوچك باشند ، لذا ضرب آا ∆kxه چون عمال سعي مي شود آ

بنابراين مي .و توااي باالي اين مقادير قابل چشم پوشي هستند

: را بصورت زير تقريب زد z متغريه nتوانيم خطاي مطلق تابع

k

n

k k

n

kk

kn xx

fxxfxxxdfz ∆

∂∂

≤∆∂∂

=≈∆ ∑∑== 11

21 ),...,,(

22

حال اگر فرض آنيم nk

xe kxk≤≤

∆=

1

max باشد و ezاالي خطاي مطلق آران ب

: متغريه باشد دارمي nتابع

)23.2(1∑= ∂

∂=

n

kx

kz k

exfe

را مي توان بصورت زير بدست zحال آران باالي خطاي نسيب در

.آورد

∑∑== ∂

∂=

∂∂

==n

kxn

kx

n

k k

zz kk

exxxfx

ezxf

ze

r1

211

),...,,((ln( يا

)24.2()),...,,((ln1

21∑= ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

=n

kxkn

kz k

rxxxxfx

r

: عدد حالت عبارتست از (2.24)در رابطه

∑= ∂

∂=

n

kkk

kz xxxxfx

r1

21 )),...,,((ln

),( ن باالي خطاي نسيب تابع دومتغريهآرا yxf به آساني از رابطه

:فوق مي توان نتيجه گرفت

yyxfyxf

kxyxfyxfk

rkrkryyxfyxf

rxyxfyxfr

yx

yxyy

xx

yxf

),(),(

,),(),(

),(),(

),(),(

21

21),(

==

+=+≤

), 21 kk را عدد شرطي تابع ),( yxf مي نامند .

عكس فرمول آلي خطا در توابع چند متغريه١٦-٢

ئل آاربردي گاهي نياز است آه خطاي متغريهاي يك در مسا

تابع را بطريقي حماسبه منود تا خطاي آلي تابع از مقدار مشخص و

يا به عبارت ديگر به ازاي آران باالي خطاي .معيين جتاوز نكند

يك تابع بايسيت آران باالي خطاي مطلق هرمتغري را حماسبه منائيم

ثريات يكسان متغريها عملي است اين آار با استفاده از قانون تأ.

23

kيعين بايسيت فرض آنيم آه مهه ديفرانسيل هاي جزئي .k

xxf∆

∂ را به ∂

آه در خطاي مطلق تابع شرآت دارند داراي تأثريات k=1,2,…,nازاي

:لذا دارمي .يكسان هستند

nn

nnn xx

xxfx

xxxxf

xx

xxxf∆

∂∂

==∆∂

∂=∆

∂∂ ),...,(

...,...,,(,...,,( 1

22

211

1

21

بنابراين با استفاده از

11

1

1

21 ),...,(),...,,( xx

xxfnxx

xxxfz nkn

k k

n ∆∂

∂=∆

∂∂

=∆ ∑=

2 يا2

1 ),...,( xx

xxfn n ∆∂

∂=

n تاn

n xx

xxfn ∆

∂∂

=),...,( 1

nk لذا نتيجه مي گريمي و =2,1,...,

k

nk

xxxfn

zx

∂∂

∆=∆

),...,( 1

چنانچه . را حماسبه آرده امي d حجم يك آره با قطر :٨-٢مثال

راديان 0.0016 با خطاي π≈14.3 و cm 0.0500 باخطا d=3.7000قطر آره

. آران باالي خطاي مطلق و نسيب در حجم آره را بيابيد .

حجم آره عبارتست از : حل 6

3dv π=. آران باالي خطاي مطلق در حجم

:آره

ddvvv ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ ππ

4400.8)7000.3(61

61 33 ===

∂∂ dvπ

5000.21)7000.3)(14.3(21

21 22 ===

∂∂ ddv π

30880.1)0500.0)(5000.21()0016.0)(4400.8( cmv =+=∆

24

333 5100.25)7000.3)(1400.3(6/16/1 cmdv === π

: آران باالي حطاي نسيب عبارتست از

4%0426.05100.25

0880.1≈==vr

و (r=2m)حجم استوانه اي با شعاع قاعده دو مرت : ٩-٢مثال

ميزان . حماسبه شده است m3 0.1 با خطاي مطلق (h=3m)ارتفاع سه مرت

:حل . ارتفاع را تعيني آنيد خطا در شعاع قاعده و

hrv 2π= 31.0 mv =∆

56.12)4)(14.3(

7.37)3)(2(140.3(22

12)3()2(

2

22

===∂∂

===∂∂

===∂∂

rhv

rhrv

hrv

π

π

π

: مي باشد ، لذا دارمي n=3تعداد متغريها

003.000264.06.123

1.0

001.000088.07.373

1.0

003.00027.01231.0

25

اين معيار را برآورده ناميده ميشود والگوريتمي آهپايدار

. خوانده مي شود ناپايدارنسازد ،

١ذاتا ناپايداربطورآلي مسئله ناپايداري را مي توان به

. اجياد شده دسته بندي منائيم يا٢ناپايداري واداشتهو

دسته اول زماني بروز مي آند آه مسئله بدوضع باشد ودسته دوم

در . نادرست باشد زماني رخ مي دهد آه انتخاب روش حل مسئله

:زير با ارائه مثاهلايي اين موضوع را پي مي گريمي

ريشه هاي چند مجله اي زير را آه به مثال : ١٠-٢مثال

:معروف است را درنظر مي گريمي ٣ويلكينسون

P20(x)=(x-1)(x-2)…(x-20)=x20-210x19+…+20!

حال . مي باشد ٢٠و...و٢و١ اين چندمجله اي داراي ريشه هاي

تغيري دهيم آه (23-2+210)– مي باشد را به -٢١٠ آه x19اگر ضريب

حال اگر جواهباي چندمجله اي جديد .يك تغيري بسيار آوچك مي باشد

را بيابيم ، ريشه هاي از حلاظ آمي آوچك تر چند مجله اي اخري با

دقت قابل قبويل بدست مي آيند درصورتيكه ريشه هاي از حلاظ آمي

بيشرتين تغيري در .قدار قابل مالحظه اي تغيري مي يابند بزرگرت بام

ريشه هاي شانزدهم و هفدهم اجياد مي شود آه بصورت خمتلط

81000.273000.16 i± اين تغيريات در ريشه ها به علت . مي باشد

. يا بدوضعي چند مجله اي استناپايداري ذاتي

n=2,1,...,10 . انتگرال معني زير مفروض است :١١-٢مثال

∫ +=1

0 6dx

xxI

n

n

:براي حل اين انتگرال از رابطه بازگشيت زير استفاده مي آنيم

1 Inherent 2 Induced 3 wilkinson

26

∫ :بطوريكه مي دانيم ==+=1

00 15413.0)6

7ln(6x

dxI

10,...,2,1,6/1 1 =−= − nInI nn

با استفاده از رابطه بازگشيت فوق جواهباي زير را براي مقادير

مي يابيم nخمتلف

07510.01 ≈I 04940.02 ≈I 03693.03 ≈I

02842.04 ≈I 02948.05 ≈I 01021.06 −≈I

20412.07 ≈I 09972.18 −≈I 70943.69 ≈I

15658.4010 −≈I

01449.010 جواب واقعي ≈I اين تغيري فاحش در جواب . مي باشدI10

اما مي دانيم آه انتگرال .بـعلت ناپايداري واداشته شده است

فوق خوش وضع است و داراي جواب قابل قبول و دست يافتين است ،

.اگر روش مناسب انتخاب آنيم

رابطه بازگشيت فوق را مي توان بصورت زير نيز نوشت

1,...,9,10),1(6/11 =−=− nInI nn

اختيار I10=0 آاهش مي يابد مي توان n با افزايش Inاز آجنا آه

مي nآرد و براين اساس جواهباي خمتلف زير براي مقادير خمتلف

:يابيم

01666.09 ≈I 01574.08 ≈I 01821.07 ≈I

02077.06 ≈I 02432.05 ≈I 02928.04 ≈I

03679.03 ≈I 04942.02 ≈I 07510.01 ≈I

15415.00 ≈I

است I0=0.15415در صورتيكه مي دانيم مقدار واقعي

براي بررسي بيشرت موضوع رشد خطاي روند آردن وارتباط آن

E0الگوريتم ، فرض مي آنيم آه خطايي با قدرمطلق با پايداري

در مرحله اي از حماسبات وارد مي شود ونيز قدرمطلق خطا ،پس از

27

در حاليت آه اغلب موارد . نشان داده مي شود Enعمليات بعدي با

:در عمل بروز مي آنند ، بصورت زير تعريف مي آنيم

0CEEn هرگاه :٤-٢تعريف n ثابيت مستقل از Cشد آه در آن با≈

0ECEاما هرگاه . مي ناميم خطياست ، رشد خطا را n

n به ازاي ≈

C>1 ناميده مي شود منايي باشد ، رشد خط .

معموال رشد خطا ، غريقابل اجتناب است و عمومًا هنگامي آه

E0 , C يي آه مجله از آجنا. آوچك باشند ، نتايج قابل قبول هستندnC حيت به ازاي مقادير نسبتًا آوچك n بزرگ مي باشد بايد از ،

اين موضوع ، صرف نظر از اندازه .رشد منايي خطا اجتناب گردد

E0 در نتيجه الگوريتمي . ، منجر به خطاي ناپذيرفتين مي گردد

يل آه و در حا. مي باشد پايدارآه رشد خطي را ارائه مي دهد

. است ناپايدارالگوريتمي با رشد منايي خطا ،

…,n=2,3 رايطه بازگشيت زير به ازاي :١٢-٢مثال

21310

−− −= nnn PPP جوابي به صورت nn

n ccP )3()3/1( 21 به ازاي متام =+

. دارد c2و c1مقادير

بدست مي آورمي c2=0 و c1=1 انتخاب آنيم p1=1/3 و p0=1هرگاه

n، nnpري آه به ازاي متام مقادير بطو فرض . خواهد بود =)3/1(

آنيد آه از حساب گردآردن پنج رقمي براي حماسبه مجالت دنباله

در اين صورت .داده شده به وسيله اين معادله استفاده شده است

p0=1.0000 و p1=0.33333 خواهد بود آه نياز به تغيري ثابتها از

52 و c1=1.000به مقادير قبلي 10125.0 −×−=c دراينصورت . دارد

}دنباله } 0ˆ =∞ nnp اجياد شده بوسيله : nnnP )3(1012500.0)3/1(0000.1ˆ 5−×−=

nnnتعيني مي شود و خطاي گردآردن pP )3(1012500.0ˆ بطور منايي −=×−5

خطاهاي حاصله را در جدول زير منعكس . رشد مي آندnبرحسب

خطاي نسيب افزايش مي n نــشان مي دهد آه با افزايش آرده امي و

.يعين رابطه بازگشيت فوق ناپايدار مي باشد .يابد

28

np̂Nمقدار حماسبه شده pnمقدار واقعي خطاي نسيب 0.10000×101 0.10000×101 0

0.33333×100 0.33333×100 1 9×10-5 0.11120×100 0.11111×100 2 9×10-3 0.37037×10-1 0.37000×10-1 3 9×10-3 0.12346×10-1 0.12230×10-1 4 8×10-2 0.41152×10-3 0.37660×10-2 5 8×10-1 0.13717×10-3 0.32300×10-3 6 7×100 0.45725×10-3 -0.26893×10-2 7 6×101 0.15242×10-3 -0.92872×10-2 8

داراي جواب pn=2pn-1-pn-2 و …,n=2,3 رابطه بازگشيت زير :١٣-٢مثال

pn=c1+c2n به ازاي متام مقادير c1و c2 هرگاه . مي باشدp0=1 و

p1=1/3 انتخاب آنيم دراينصورت ثابتها c1=1 و c2=-2/3 مي باشند

.pn=1-2n/3: بطوري آه جواب بصورت زير است .

اگر با حساب گرد آردن پنج رقمي حماسبه آنيم در نتيجه

0000.1ˆ 0 =p1ˆ33333.0 و =p درنتيجه c1=1.0000 و c2=-0.66667 به اين ترتيب

npn 66667.00000.1ˆ : خطاي گردآردن عبارتست از =−n

nn pp )3/266667.0(ˆ −=−

رشد مي آند اين موضوع و پايداري رابطه nآه بطور خطي برحسب

.در جدول زير نشان داده شده است

np̂Nمقدار حماسبه شده pnمقدار واقعي خطاي نسيب 0.10000×101 0.10000×101 0

0.33333×100 0.33333×100 1 3×10-5 -0.33333×100 -0.33330×100 2

0 -0.10000×101 -0.10000×101 3 0 -0.16667×101 -0.16667×101 4

1×10-5 -0.23333×101 -0.23334×101 5 0 -0.30000×101 -0.30000×101 6 0 -0.36667×101 -0.36667×101 7

1×10-5 -0.43333×101 -0.43334×101 8

درپايان تأآيد مي آنيم آه تأثريات خطاي گردآردن را مي توان

با استفاده از حماسبات با تعداد ارقام بيشرت مانند امكان

29

ايانه هاي رقمي اختيار دقت مضاعف ويا چند برابر آه در بيشرت ر

اما مضرات استفاده از حساب با دقت .در دسرتس است ، آاهش داد

چندبرابر عبارت از اين است آه زمان حماسباتي بيشرتي صرف مي

بلكه فقط تا .گـــــردد و ديگر اينكه خطاي روند حذف مني گردد

.اجنام حماسبات بعدي به تعويق مي افتد

گردآردن ، استفاده از حساب بازه وسيله اي براي ختمني خطاي

بطوري آه درپايان بازه اي را آه شامل مقدار درست .اي است

البته بطور ايده آل اين بازه بسيار .است ، به دست آورده امي

وجواهباي ايي مي توانند با عدم قطعيت بسيار آمي .آوچك است

ه در داده شوند وليكن هزينه محل بازه ها جباي اعداد ماشيين ساد

در نتيجه فقط .طول حماسبات طوالني ممكن است روند را مشكل سازد

وقيت آه بايد اعتماد زيادي در حماسبات منظور شود مورد استفاده

.قرار مي گريد

مترين هاي فصل دوم

4)(چندمجله اي تيلور درجه چهار -١ xp را براي تابع 2

)( xxexf حول =

00طه نق =x 4.00 بيابيد و به ازاي ≤≤ x آران بااليي براي

)()( 4 xpxf . بيابيد −

با استفاده از مجله خطا در چند مجله اي تيلور خطاي موجود -٢

xxدر فرمول ≈sin آه براي تقريبًا o1sin

. رود بيابيد بكار مي

٣- o42cos 4 را با يك چند مجله اي تيلور حول/π تقريب 6-10 با دقت

.بزنيد

)()1(1هرگاه -٤ −−= xxf و x0=0 باشد چندمجله اي تيلور )(xpn راجهت

)(xf حول x0ضروري مقدار. بيابيد n را براي اين آه دقت تقريب

باشد بيابيد؟[0,0.5] در بازه 10-6

30

چند مجله اي -٥2

1)(2

2xxp [1/2,1/2-] در بازه f(x)=cos x براي تقريب =−

.استفاده آرده امي آراني براي خطاي ماگزميم بيابيد

طاي مطلق وخطاي نسيب تقريب زده باشيم ، خx را با xهرگاه -٦

.را حساب آنيد

==π: الف xx exx: ب 7.22, == ,718.2

2,414.1 :پ == xx 18)/(,9! :ت 9 == xeqx π

حساب جدا آردن سه رقمي )II(دقيق ) I(حماسبات زير را به روش -٧

اي نسيب را در حساب گردآردن سه رقمي اجنام دهيد وخط) III(و

.حساب آنيد ) III(و) II(قسمتهاي

3/15/4:الف : ب +31.

34

)11/33/1(20/3: پ )11/33/1(20/3: ت −+ −+

∑ را مي توان بوسيله eعدد -٨∞

=

=0 !

1n n

e خطاي مطلق و . تعريف منود

. حساب آنيد eقريبهاي زير از خطاي نسيب را در ت

∑:الف =

5

0 !1

n n∑: ب

=

10

0 !1

n n

باشد β در مبناي x رقمي tتقريب گرد شده xfl)(فرض آنيد آه -٩

tنشان دهيد آه .x

xflx −≤− 12/1)( β

رقمي براي حماسبه جمموع با استفاده از حسال جداآردن سه -١٠

∑=

10

1

2/1i

i 4/11...100/1 خنست بوسيله 81/1100/1...1/1 وسپس با +++ استفاده +++

چرا ؟.آدام روش دقيق تر است.آنيد

}فرض آنيد آه دنباله هاي -١١ }∞=1nnα و { }∞=1ˆ nnα به ازاي هرمقدار

2 با n≤1صحيح 1

nn

n+

=α3 و3ˆ

nn

n+

=α اگرچه . مشخص شده اند∞→=

nn 0limα و

31

∞→=

nn 0ˆlimα ويل دنباله { }nα̂ بسيار سريعرت از دنباله { }nα به اين حد

مهگرا مي شود وچرا ؟

چنانچه حماسبات را با . اعداد مثبت باشند d,c,b,aفرض آنيد -١٢

y=a+b+c+d رقم در مبناي دهدهي مجع آنيم tاحتساب گرد آردن تا

.در چه صورتي آمرتين خطا را اجياد مي آند

32

فصل سوم

حل معادالت غري خطي-٣

)(0در اين فصل درصدد يافنت ريشه معادله يك متغريه به صورت =xf

.اين معادله مي تواند به صورت صريح زير باشد .هستيم

nnnn

n axaxaxxPxf ++++== −−

11

1 ...)()(

ويا مي تواند يك تابع فرازنده x از nيعين يك چندمجله اي درجه

.باشد

)(0 را جواب معادله αعدد :١-٣يف تعر =xf 0 گويند هرگاه)( =αf

)(0چنني جوابي را ريشه يا صفر معادله =xf مي نامند .

)(0از لـــحاظ هندسي ريشه معادله =xf مقداريست براي x آه

.ها را درآن قطع مي آندx حمور (y=f(xمنودار

)(0هرگاه بتوان :٢- ٣تعريف =xf را به صورت زير بيان آنيم :

0)()()( =−= xgxxf mα

)(0 حمدود و (g(xبطوريكه ≠αg باشد آنگاهα را m ريشه تكراري f(x)

را ريشه ساده مي f(x)=0 باشد ريشه m=1بنابراين اگر .گوئيم

.ناميم

را مي توان با دو روش f(x)=0به طور آلي اگر صحبت آنبم ريشه

روشهاي مستقيم يا بعبارت . مستقيم يا روش تكراري بدست آورد

)(0ديگر روشهاي حتليلي در مهه حاالت پاسخگوي حل =xf مني باشند

لذا در اين فصل به بررسي برخي روشهاي تكراري آه جواب تقرييب .

)(0براي =xf روشهاي تكراري مبتين . را بدست مي دهند مي پردازمي

33

بر تقريبهاي متوايل هستند و با يك يا چند تقريب اوليه شروع

}مي شوند ودنباله اي از تكرارها }nx ايتًا به ريشه واقعي آه

α مهگرا هستند اجياد مي آنند .

}دنباله تكراري : ٣-٣تعريف }nx را مهگرا به ريشه واقعي α مي

ناميم هرگاه

∞→

=−

nxn 0lim α

ن يا دو خبشي روش نصف آرد-١-٣

fفرض آنيد .اين روش بر قضيه مقدار مياني استوار است

تعريف شده باشد به طوريكه عالمتهاي [a,b]تابعي پيوسته وبربازه

f(a) و f(b) بنا بر قضيه مقدار مياني ، نقطه . با هم خمالف باشند

)(0 وجود دارد به طوري آه (a,b) ، در αاي چون =αf. در حاليت آه

f(a) و f(b) خمتلف العالمه باشند وبيش از يك ريشه در بازه (a,b)

موجود باشد مي توان با حمدود آردن بازه مطمئن شد آه تنها يك

براي آساني آار فرض مي آنيم آه .ريشه در بازه موجود باشد

f(a) و f(b) خمتلف العالمه باشند ويك ريشه در [a,b] با . موجود باشد

و تعيني نيمه [a,b]استفاده از روش نصف آردن مكرر زير بازه هاي

b0=b و a0=aبراي شروع فرض مي آنيم . است αاي آه شامل ريشه

فرض مي آنيم . باشد 2

001

baw باشد در اين f(w1)=0 باشد اگر =+

هم (f(b0 يا (f(a0 با (f(w1 مي باشد واگر چنني نباشد 1w=αصورت

),( هم عالمت باشند در اين صورت (f(a0 و (f(w1عالمت است اگر 01 bw∈α

خمتلف العالمه باشند در (f(a0 و (f(w1اما اگر .b1=b0 و a1=w1آنگاه

),(اين صورت 10 wa∈α مي باشد آنگاه a1=a0و w1=b1. سپس اين عمل

تكرار مي آنيم بنابراين الگوريتم اين روش [a1,b1]را در بازه

:عبارتست از

34

n=0 وبراي [a0,b0]=[a,b]براي يك بازه اوليه

)(حماسبه آن -١مرحله 21

1 nnnn abaw −+=+

an+1=an , bn+1=wn+1 آنگاه f(wn+1)f(an)

35

مرتبه مهگرايي روش دوخبشي را مي (3.2) و (3.1)با استفاده از

.توانيم بيابيم

.يعين داراي سرعت مهگرا يي خطي است

∞→

=+

ne

e

n

n

21lim 1

روش نصف آردن مهواره مهگراست واين مزيت روش نصف آردن مي

است يعين مهگرايي آن منوط به Globalاين روش يك روش .باشد

تقريب اوليه دخلواه نيست يعين نيازي نيست آه تقريب اوليه چه

البته بايد داشته باشيم .(مقدار به ريشه واقعي نزديك باشد

f(a)f(b)

36

0026.02865.02891.01 =−=−+ nn ww

)(0104معادله ٢-٣مثال 23 =−+= xxxf اين . دارد [1,2] يك ريشه در

. بيابيد 3-10ريشه را با معيار دقت

96.92log

32log

log)(log

10

1010 ≈=−−

≥εabn

n≤10 باشد ١٠تعداد تكرارهاي الزم بايسيت حداقل برابر

: با استفاده از روش نصف آردن دارمي :حل

2)1(,14)2( −== ff

n an bn wn+1 f(wn+1) 0 1 2 3 4 5 . . . 10

1 1 1 1.25 1.25 1.3125 . . . 1.36328125

2 2 1.5 1.5 1.375 1.375 . . . 1.3671875

-------------- 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375 . . . 1.365234375

---------- 2.375 -1.79687 0.16211 -0.84839 -0.35098 . . . 0.000072

37

:مترين ها

sin2(sin4(0ريشه مثبت -١ 22 =+− xxxx را با دقت دو رقم بامعين صحيح

.بيابيد

فرمويل براي تعداد گامهايي آه در الگوريتم تنصيف اختيار -٢

00مي شود ارائه دهيد آه شامل ,, abε بوده و تضمني آند آه ريشه

a0>0. تعيني مي شود εبا دقت نسيب آوچكرت يا مساوي

. درنظر بگرييد [1.5,3.5]روش نصف آردن را با بازه -٣

ام اين روش چقدر است ؟nطول بازه در مرحله : الف

و نقطه وسط اين بازه αماآزميم فاصله ممكن بني ريشه : ب

چقدر است ؟

را 3-10 تقرييب با دقت با استفاده از روش نصف آردن جواب -٤

. بيابيد[1/2,3/2]براي معادله زير در بازه

0)2cos(2 =−−+ xx ee

6-10 با دقت 3با استفاده از روش نصف آردن ، تقرييب براي -٦

.بيابيد

0132cosبا روش نصف آردن ، تقرييب براي ريشه -٧ 2 =−+− xxxx در

3.12.1 و[0.2,0.3]بازه ≤≤ x بيابيد 5-10 با معيار دقت .

38

(Secant) روش وتري٤-٣

داراي يك [a,b] دريازه (f(x فرض مي آنيم f(x)=0براي حل معادله

را (f(xچنانچه . باشد f(a)f(b)

39

)( :حماسبه آن -٢)()( 1

11 n

nn

nnnn xfxfxf

xxxx−

−+ −

−−=

+−≥εاگر -٣ nn xx برو n=n+1 درغري اينصورت ٤ است برو به مرحله 1

.٢به مرحله

.روند را متوقف آن -٤

: منايش هندسي روش وتري ٦-٣

((xn-1,f(xn-1) و ((xn,f(xn) راباوتري آه از نقاط (f(xدر اين روش تابع

ها را xمي گذرد تقريب مي زنيم و حمل تالقي اين وتر با حمور

حال نقطه . مي باشد f(x)=0تقريب بعدي براي ريشه معادله

))(,( 11 ++ nn xfx را با هرآدام از دو نفطه فوق مي توان درنظر گرفت و

اگر وتري را درنظر بگريمي آه .وتر بني دو نقطه را رسم منود

روش حاصل را روش (f(xn+1)f(xn-1)

40

: حتليل خطا و سرعت مهگرايي روش وتري ٨-٣

نيز α باشد و f(x)=0 تقرييب براي ريشه واقعي xnفرض مي آنيم

باشد بنابراين (f(xريشه واقعي

nn ex =−α

nn ex +=α يا

11 ++ += nn ex α ويا

:با جايگزيين اين موارد در روش وتري دارمي

)()()( 1

11 n

nn

nnnn efefef

eeee +−−+

−−+−+=+

−

−+ ααα

αααα

)6.3()()()( 1

11 n

nn

nnnn efefef

eeee +−−+

−−=

−

−+ ααα

حال اگر در رابطه . معادله خطاي روش وتري است (3.6)رابطه

)3.6 ( ،)( nef +α و )( 1−− nef α با استفاده از سري تيلور حول α بسط

.دهيم دارمي

...])()([...])(21)()([

...])(21)()()[(

12

21

1

+′+−+′′+′+

+′′+′+−−=

−

−

+

ααααα

ααα

feffefef

fefefeeee

nnn

nnnn

nn

)(0 به بعد را ناديده بگريمي و چون e3nاگر توااي =αf است رابطه

.باال بصورت زير ساده مي شود

)()()(

21

))()(

21)((

122

1

21

1

αα

αα

ffeeee

ffeeee

eennnn

nnnn

nn

′′′

−+−

′′′

+−−=

−−

−

+

)()()(

211

)()(

21

1

2

1

αα

αα

ffee

ffee

eenn

nn

nn

′′′

++

′′′

+−=

−

+

)7.3()()()(

211)

)()(

21(

1

12

1

−

−+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′′

++′′′

+−=αα

αα

ffee

ffeeee nnnnnn

41

1اگر فرض آنيم )()()(

21

1 pnn و 0 Aee لذا دارمي 1+=

pnn Aee nPPn و يا =−1 eAe

11

1

−

− =

:قرار مي دهيم )3.8(اين موارد را در رابطه

npPnnP eACeAe11

.−

=

pnPn

P eACAe11

1

. +−

=

)9.3()11()

11(pn

pn

P eCAe ++−

=

بنابراين . را متحد قرار مي دهيم ) 3.9( در دو طرف enتوان

:دارمي

0111 2 =−−⇒+= ppp

p

)51(21

2411

±=+±

=p

: سرعت مهگرايي روش وتري عبارت است از

618.1)51(21

=+=p

42

با استفاده از روش وتري وروش ناجبايي ريشه معادله :٣-٣ال مث

رقم اعشار صحيح با معين بدست آوريد ٤زير را تا

0cos)( =−= xxexxf ]1,0[∈x

:حل

17798.21cos)1( −=−= ef0(1 و( =f

x0=0 , x1=1

1),()()( 1

11 ≥−

−−=

−

−+ nxfxfxf

xxxx nnn

nnnn روش وتري

31466.0)17798.2(117798.2

011,1 101

0112 =−−−

−−=

−−

−== fffxxxxn

44673.0)51987.0(17798.251987.0

131466.031466.0,2 212

1223 =+

−−=

−−

−== fffxxxxn

.به مهني طريق عمل مي آنيم متامي حماسبات در جدول زير آمده است

f(xn+1) Xn+1 n 0.51987 0.3146610.20354 0.446732

-0.42931×10-10.5317130.25928×10-2 0.5169040.30111×10-4 0.517755-0.2151×10-7 0.517766

x0=0 , x1=1 :حل باروش ناجبايي

01)0()( 0 >== fxf 017798.2)1()( 1 ==

=−−

−=

fxf

fffxxxx

استx1,x2ريشه بني

n=2 020354.0)44673.0()(

44673.0

3

212

1223

>==

=−−

−=

fxf

fffxxxx

43

باشد به ٣ برابر n لذا در مرحله بعدي وقيت x3 و x1ريشه بني

. استفاده مي آنيم x1 از x2جاي

n=3 01070802.0)(

49402.0)20354.0(17798.220354.0

144673.044673.0

14

313

1334

>×=

=+

−−=

−−

−=

−xf

fffxxxx

عوض مي x1 را با x3لذا در مرحله بعد . است x1 و x4ريشه بني

ر سراجنام حماسبات را د. آنيم و اين روند را ادامه مي دهيم

جدول زير درج مي منائيم آه نشان مي دهد روش ناجبايي داراي

.سرعت مهگرايي آند تر از روش وتري است

f(xn+1) Xn+1 n 0.51987 0.3146610.20354 0.446732

0.70802×10-10.4940230.23608×10-10.5099540.77601×10-20.5152050.25389×10-20.5169260.82936×10-30.5174870.27079×10-30.517678

روش نيوتن رافسون٩-٣

به طور آلي روش نيوتن سريعرت از روشهاي تكراري ديگر نظري

زيرا مهگرايي آن فوق خطي و از .نصف آردن يا وتري مي باشد

ت به حمض آنكه مهگرايي مؤثر واقع گردد يعين مقادير مرتبه دوم اس

دنباله روش نيوتن به اندازه آايف نزديك به ريشه واقعي باشند

مهگرايي به قدري سريع مي باشد آه فقط چند مجله ديگر از دنباله

اما متأسفانه اين روش مهيشه مهگرايي .، مورد نياز خواهد بود

وش را با ساير روشهاي آندتر در غالبًا اين ر. را تضمني مني آند

يك پيوند ترآييب به آار مي گريند تا از حلاظ عددي جامع مهگرا

(globaly).گردد

اگر اين . پيوسته باشد [a,b] در بازه (f(xفرض مي آنيم تابع

αتابع داراي مشتق مرتبه دوم پيوسته باشد واگر فرض آنيم

44

را (f(x باشد دراينصورت f(x)=0 جواب تقرييب براي xnريشه واقعي و

: با سري تيلور بسط مي دهيم xnحول

)()(21)()()()( 2 nnnnn fxxxfxxxfxf ζ′′−+′−+=

براي بدست آوردن الگوريتم . قرار دارد x و xn بني nζبه طوريكه

),()( را برحسب x مي گريمي وf(x)=0از اين رابطه ، nn xfxf مي يابيم ′

)10.3()()()(

21

)()( 2

n

nn

n

nn xf

fxxxfxfxx

′′′

−−′

−=ζ

باشد مي توان از مجله دوم صرف نظر منود و x نزديك به xnچنانچه

xn+1 را اين چنني تعريف مي آنيم :

)()(

1n

nnn xf

xfxx′

−=+ n=0,1,2,… (3.11)

ده شده براي حل داε الگوريتم روش نيوتن رافسون براي ١٠-٣

f(x)=0:

n=0براي -١

حماسبه آن -٢)()(

1n

nnn xf

xfxx′

−=+

+−≥εاگر -٣ nn xx )(≥ε يا 1 nxf روند را متوقف آن درغري اينصورت

n=n+1 برو به مرحله دوم .

: منايش هندسي روش نيوتن رافسون ١١-٣

(y=f(x تابع αصدد يافنت ريشه مطابق شكل فرض مي آنيم در

ايده اساسي روش . شروع مي آنيم x0هستيم با يك تقريب اوليه

است در ابتدا يعين خطي fنيوتن استفاده از خط مماس براي تقريب

رسم مي شود ، فرمول اين خط عبارتست ((x0,f(x0)مماس آه از نقطه

از

45

))(()()( 00000

0 xxxfxfyxfxxyy

−′+=⇒′=−−

قطع مي آند y=0 ها را در يك نقطه xاين خط حمور

0))(()( 000 =−′+ xxxfxf

حل مي آنيمxاين رابطه را براي )()(

0

00 xf

xfxx′

−=

است عني مهني روند را αاين نقطه بسيار نزديكرت به جواب واقعي

.ادامه مي دهيم

0)()(0)(0)(

)()(

.

.)()(

00

0

0

1

1

112

>′′>>′′

′−=

′−=

+

xfxfxfxf

xfxfxx

xfxfxx

n

nnn

:خطاي روش نيوتن ١٢-٣

RIبراي : ٢-٣قضيه ⊆ ، )(2 ICf هم چنني براي . مفروض است ∋

I∈α 0)( =αf اگر . باشدIxn داده شده باشد تعريف مي آنيم ∋

)()(

1n

nnn xf

xfxx′

−=+

: وجود دارد به طوري آه xn و α بني nζقطه اي مانند آنگاه ن

)12.3()()()(

21)( 21

n

nnn xf

fxx′′′

−−=− +ζαα

از قضيه فوق نتيجه مي گريمي آه خطا دريك مرحله مربع خطاي

زماني آه خطا به اندازه آايف آوچك باشد .مرحله قبل از آن است

در حقيقت اگر فرض آنيم آه .هش مي منايد سريعًا شروع به آا

روند مهگرا باشد و 0)( ≠′ αf و مهچنني ∞→=

nxn αlim آنــــگاه مـي

46

تــوانــيــم بــگــوئــيــم آـــه )()( αfxf n ′≈′ )()( و αζ ff n ′′≈′′

بــنابراين

)()(

21

αα

ffC′′′

−= , 21 )()( nn xCx −≈− + αα

بايسيت به ريشه x0اين رابطه نشان مي دهد آه تقريب اوليه

.واقعي نزديك باشد تامهگرايي حاصل شود

مضافًا اينكه مي توان با فرض اينكه روش مهگرا باشد نتيجه گرفت

:آه

)(2)(

)(lim 2

1

αα

αα

ff

xx

n

n

′′′

−=−− +

ffمشروط بر اينكه ′′′ . پيوسته باشند ,

)(0cosريشه مثبت معادله : ٤-٣مثال =−= xxxf را با استفاده از

.رقم با معين صحيح بيابيد٩روش نيوتن رافسون تا

)0(1,)/2(/2 :حل ππ −== ff

]0,/2[ براساس قضيه مقدار مياني داراي حداقل يك ريشه در π

در شكل زير نشان مي دهد آه y2=cos x و y1=xمنودار معادالت .است

.در فاصله فوق فقط يك ريشه وجود دارد

4/0با انتخاب π=x مي توان الگوريتم رافسون را براي مسئله

.فوق بصورت زير نوشت

,...2,1,0,1sin

cos)()(

)1(sin)(1sin)(cos)(cos)(

1 =+−

+=′

−=

+−=′⇒−−=′−=⇒−=

+ nxxxx

xfxfxx

xxfxxfxxxfxxxf

n

nnn

n

nnn

nn

nnn

n=0 785398163.014/sin

4/4/cos4/1sin

cos

0

0001 =+

−+=

+−

+=π

πππx

xxxx

47

n=1 739536134.01sin

cos

1

1112 =+

−+=

xxxxx

:دا در جدول زير آورده امي بقيه جواهبا

xn N

0.7853981630

0.7395361341

0.7390851782

0.7390851333

0.7390851334

با استفاده از روش نيوتن رافسون ريشه معادله :٥-٣مثال

010000753 24 =−+− xxx تا پنج رقم اعشار بدست [10-,11-] را دربازه

.آوريد

010000753)( 24 =−+−= xxxxf

f(-11)=3453 f(-10)=-1050

7564)( 3 +−=′ xxxf

: دارمي x0=-11با استفاده از

0,7564

100007533

24

1 ≥+−−+−

−=+ nxxxxxxx

nn

nnnnn

n=0 3338.107564

10000753

003

002

04

01 −=+−−+−

−=xx

xxxxx

n=1 3268.102 −=x

n xn+1

0 -10.3338

1 -10.3268

2 -10.2618

3 -10.2610

48

:مترين ها

xxxf فرض آنيد -١ cos)( 3 x2 از روش نيوتن براي يافنت x0=-1 و =−−

استفاده منود ؟x0=0آيا مي توان از .استفاده آنيد

داراي يك ريشه [1/3,2] در بازه ln(x-1)+cos(x-1)=0 فرض آنيد -٢

5-10با روشهاي وتري ناجبايي و نيوتن جواب آنرا با دقت . باشد

.بيابيد

0cos102معادله -٣ =− xx است از روش نيوتن ±3793646.1 داراي جواب

با مقادير اوليه زير 5-10براي تقريب جواهبا با دقيت در حدود

.استفاده آنيد

x0=25) ت x0=100) پ x0=-25) ب x0=-100) الف

با روش 2-10 را با معيار دقت cosx=x2 آوچكرتين ريشه مثبت -٤

.دخلواه بيابيد

با استفاده از روش نيوتن رافسون الگوريتمي براي يافنت -٥

معيار . حل آنيد N=18 بنويسيد؟ سپس براي Nريشه دوم عدد صحيح

. مي باشد 4-10دقت حل مسئله

براي -٦N3و 1

1

Nروش تكراري نيوتن رافسون بنويسيد )N اعداد

).حقيقي مثبت هستند

49

)يا تكرار ساده( روش نقطه ثابت ١٥-٣

است آه به α عددي چون gيك نقطه ثابت براي تابع داده شده

αα)( :ازاي آن g=

، f(x)=0 در اين قسمت به يافنت جواهباي تقرييب براي معادله

اينكار مي توان به طرق براي .با روش نقطه ثابت مي پردازمي

چنان بيابيم آه α با نقطه ثابت (g(xمتعدد ، تابعي چون

نقطه . gبرعكس هرگاه تابعي چون . گردد (g(x)=x-f(xبعنوان مثال

: داشته باشد دراين صورت تابع تعريف شده با αاي ثابت در

f(x)=x-g(x)ر يك ريشه دα دارد .

],[ فرض مي آنيم :٥-٣قضيه baCg∈ وبه ازاي مهه مقادير ],[ bax∈ ،

bxga ≤≤ آنگاه )(

].[ داراي حداقل يك نقطه ثابت g: الف ba∈α است .

: وجود داشته باشد به طوري آه γ>1اگر مقداري مانند : ب

)3.13 (yxygxg −≤− γ)()(

: برقرار باشد آنگاه [a,b] دربازه x,yبه ازاي مجيع مقادير

I - α منحصربفرد است .

II- 1)( روش تكراري nn xgx 0],[ به ازاي هرتقريب اوليه اي += bax به ∋

α مهگراست .

III- و رابطه خطاي روش عبارتست از

)14.3(1 01

xxxn

n −−≤−

γγα

الگوريتم نقطه ثابت ١٦-٣

وبا فرض اينكه مي f(x)=0 الگوريتم روش نقطه ثابت براي حل

را بصورت منحصربفرد يافت و با تقريب اوليه داده (x=g(xتوان

: داده شده عبارتست از ε و معيار دقت 0xشده

50

n=0 براي -١

1)( حماسبه آن -٢ nn xgx =+

+−≥ε اگر -٣ nn xx برو n=n+1 برو به مرحله چهارم درغري اينصورت 1

به مرحله دوم

. روند را متوقف آن -٤

:وش نقطه ثابت منايش هندسي ر١٧-٣

x=g(x)

y1=x , y2=g(x)

را رسم مي آنيم و حمل تالقي اين دو منحين ريشه y2,y1دو منحين

.مورد نظر مي باشد

براي حل معادله زير يك روش نقطه ثابت مناسب : ٦-٣مثال

:بنويسيد

01tan2)( =−−= xxxf

بگريمي اگر رابطه فوق را بصورت زير درنظر :حل

1tan2 −= xx

1sec2)(1tan2)( 2 >=′⇒−=∴ xxgxg

:اما اگر 2

1tan1tan2 xxxx +=⇒+=

⎟ :يا ⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += −−

21tan)(

21tan 11 xxgxx

1)1(4

2

4)1(1

121)( 22

51

xexgدرصورتيكه −=2 باشد آنگاه مي توان نتيجه گرفت آه )(1

41)(0 ≤≤ xg 0 براي≥xبنابراين . است]

21,0[)( ∈xg بر ]

21,0[∈x از . است

است در اين بازه يك نقطه [0,1/2] پيوسته در بازه (g(xآجنا آه

[0,1/2]سته و مشتق پذير است در بازه پيوgچون .ثابت وجود دارد

1و 21

21)(

52

. ام است pلذا نتيجه مي گريمي آه سرعت مهگرايي روش مرتبه

: دنباله هاي تابعي ذيل را درنظر بگرييد :٨-٣مثال

,0 :الف 3

)3(2

2

1 ≥++

=+ xaxaxxx

n

nnn

:بn

nn xxx 21

132

+=+

مي خواهيم درصورت وجود مقدار مهگرايي ومرتبه آنرا تعيني آنيم

.

اي دنباله الف ، بر:حل الف axaxxxg

++

= 22

3 مي باشد وقيت آه )()3(

∞→n درصورت وجود نقطه ثابت آن برابر α مي باشد .aa

++

= 22

3)3(

αααα

گراست هم مهa مي باشد ، پس دنباله به a=αونتيجه مي گريمي

)()(0چنني چون =′′=′ agag 0 است و)( ≠′′′ ag مي باشد دنباله الف

. از مرتبه سوم است a=αمهگرا به

2براي دنباله تابعي ب دارمي : حل ب1

32)(

xxxg n→∞ وقيت آه =+

2د برابر نقطه ثابت آن درصورت وجو1

32

ααα مي باشد در نتيجه =+

3 3=α 3)3(0 هم چنني چون =′g 3)3(0 و ≠′′g مي باشد دنباله مهگرا به

3 . است و از مرتبه دو مي باشد 3

)(0 در حبث هاي پيش حمدوديت ≠′ αf اعمال آردمي اما اگر )(αf ′

)(مهزمان با nxf به صفر ميل آند مشكالتي در روند بكارگريي روش

نيوتن اجياد مي شود براي مرتفع ساخنت اين مشكالت تعريف زير را

:درنظر مي گريمي

53

)(0دله معاα يك جواب :٤-٣تعريف =xf ريشه تكراري مرتبه m

: بتوانيم بنويسيم α≠xناميده ميشود هرگاه به ازاي

)()()( xqxxf mα−= آه در اينجا : α→

≠x

xq 0)(lim

1],[ : ٨-٣قضيه baCf دارد اگر و فقط (a,b) در α يك ريشه ساده ∋

)(0اگر =αf0اما)( ≠′ αf

با توجه به مسائل فوق الذآر نتيجه مي گريمي آه چنانچه تابع

f(x)=0 داراي ريشه تكراري باشد روش نيوتن رافسون از حلاظ

f(x)=0بعنوان مثال چنانچه فرض آنيم .مهگرايي مشكل پيدا مي آند

)()()( : باشد يعين αريشه تكراري mداراي xqxxf mα−=

: رابصورت زير را درنظر مي گريمي xu)(تابع )()()(

xfxfxu′

=

:بنابراين دارمي

)()()()()(

)()()()()()()( 1

xqxxmqxqx

xqxxqxmxqxxu mm

m

′−+−=

′−+−−

= −

αα

ααα

خواهد داشت وچون α نيز يك ريشه (u(xلذا نتيجه مي گريمي آه

0)( ≠αq است بنابراين :

01)()()(

)(≠=

−+ mqmqq

ααααα

يك ريشه ساده از مرتبه تكراري يك دارد بنابراين مي (u(xپس

: بكاربرد يعين (u(xتوان روش نيوتن را براي تابع

n

nnn xu

xuxx′

−=+)(

1

54

مترين ها نقطه ثابت

)(032ده از عمليات جربي نشان دهيد آه با استفا-١ 24 =−−+= xxxxf

. مي باشد αبه هريك از اشكال زير داراي نقطه ثابت

)(23)()(

144323)(

)()23()()(23)(

21

233

24

4

41

21

21

4

2

cxxxgd

xxxxxg

axxxgbxxxg

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++

=

−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

وبه x0=1 در مترين اول را با انتخاب g اگر هريك از توابع -٢

1)( ؛ n=0,1,2,3ازاي nn xgx گريمي آدام تابع تقريب هبرتي را درنظر ب+=

از جواب بدست مي دهد ؟

با استفاده از روش ثابت الگوريتم مناسيب براي معادله -٣

033 24 =−− xx بيابيد و با استفاده از اين [1,2] در بازه

x0=1جواب تقرييب را حماسبه آنيد درصورتيكه 2-10الگوريتم با دقت

.باشد

از معادالت ذيل يك روش تكراري مناسب آه به جواب براي هريك -٤

مثبت معادله مهگرا شود بنويسيد و آنگاه جواب تقرييب را با دقت

. بيابيد 10-5

)(0cos10)(03)(0cos

2

2

cxxaexbxx x

=+

=−=−

nxn روش نقطه ثابت -٥ ex−

+ نشان دهيد اين . رادرنظر بگرييد 11=+

0]2,1[روش مهگراست اگر ∈x10براي رسيدن به دقت .اشد ب چند دور 5-

.تكرار الزم است

57

فصل چهارم

درونيابي-٤

در اين فصل به مسئله تقريب يك تابع داده شده بوسيله يك

رده از توابع ساده تر آه عمدًا چند مجله ايها هستند مي پردازمي

دو هدف عمده در استفاده از درونيابي با چندمجله اي هاي .

هدف اول اينست آه تابعي را بازسازي مي . درونياب وجود دارد

ويا مشتقات (يم بطور صريح داده نشده و تنها مقادير تابع آن

در جمموعه اي از نقاط معلوم مي ) مراتب معيين از تابع

نقاط را گره ها يا نقاط جدويل ويا شناسه ها ناميده . باشد

را با چندمجله هاي (f(xهدف دوم اينست آه تابع .ميشوند

عمليات عامي نظري بطوريكه. جايگزين منائيم (p(xدرونياب

پيداآردن ريشه ها ، مشتق گريي و انتگرال گريي و غريه آه براي

. عملي سازمي (p(x مدنظر مي باشد بوسيله چندمجله اي (f(xتابع

امهيت چند مجله اي ها در اينست آه توابع پيوسته رابطور

يكنواخت تقريب مي آنند براي هر تابع پيوسته و تعريف شده

زه بسته و آراندار ، يك چندمجله اي وجود دارد آه دريك با

اين نتيجه در قضيه . هرقدر خبواهيم به تابع مفروض نزديك است

.ذيل بيان شده است

) :قضيه تقريب وايرشرتاس : (١-٤قضيه

به ازاي هر . پيوسته و تعريف شده باشد [a ,b] بر fفرض آنيد آه

0>ε مانند چندمجله ايp(x) وجود دارد آه بر [a,b] تعريف شده است

],[وداراي اين ويژگي است آه به ازاي هر bax∈ ε

58

يا مقادير مراتب معيين از مشتقات ( و(f(xبر مقادير تابع ) آن

.دريك نقطه ويا در تعدادي از نقاط جدويل منطبق باشد ) .تابع

حول (f(x بسط سري تيلور تابع (p(xبعنوان مثال اگر چندمجله اي

0x ،],[0نقطه bax باشد در اين صورت∋

)1.4()()(!

1...)()(!2

1)()()()( 0002

0000 xfxxnxfxxxfxxxfxp nn−++′′−+′−+=

ناميده شود n ممكن است يك چندمجله اي درونياب درجه (p(xآنگاه

:آه در شرايط

)2.4()1(0,)()()()( 00 nkfp xkxk ==

.صدق مي منايد

xxfxx :مجله ي n

R nnn

59

xexf براي تابع :١-٤مثال با استفاده از سري تيلور حول )(=−

x0=0 يك چند مجله اي ، p(x) را تقريب بزنيد و :

از چهارمجله اول بدست آمده باشد وخطاي تقريب (p(xچنانچه : الف

. را تعيني آنيد x آمرت باشد آنگاه 6-10عد از راند آردن از ب

10براي : ب ≤≤ x در تقريب تعداد مجالتي 10-10 وبراي رسيدن به دقت

.آه الزم مي باشد بيابيد

:حل الف ,...1,0,)1()0(

)1()()()(

)(

=−=

−=⇒= −−

rfexfexf

rr

xrrx

744 :دارمي ) 4.3(بنابراين از رابطه 10524 −××06.0 لذا دارمي 10120 −×

60

بسط مي دهيم x0=1چندمجله اي هاي تيلور حول

1232چون. )(,)(,2)1()( −−− =−=�