21

H ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ e

Για την απόδειξη της υπερβατικότητας του e, θα χρειασθούµε κάποιες

βοηθητικές προτάσεις-λήµµατα τις οποίες παραθέτουµε:

Λήµµα IV: • (i) Εάν p πρώτος και ν φυσικός µε 1),( ≠vp (: δεν είναι πρώτοι

προς αλλήλους), τότε pv πολ= .

• (ii) Εάν όµως pv πολ≠ τότε 1),( =vp .

• (iii) Αν p πρώτος και βαp ⋅/ τότε αp /( ή )/ βp

• (iv) Αν αp |( / και )| βp / τότε αβp |/

• (v) Αν )|...|,|( 21 vαpαpαp /// τότε vαααp ...| 21/

• (vi) Αν p πρώτος και ν φυσικός µε vp > τότε pvp )!(|/

• (vii) Αν το p διαιρεί τους όρους ενός αθροίσµατος πλην ενός, τότε δεν

διαιρεί το άθροισµα.

Απόδειξη: (i) Έστω ότι 1),( >= δvp .

Τότε ⇒pδ / (επειδή p πρώτος)

1( =δ ή )1() ≠⇒ δp

pδ = (1)

Έτσι ⇒⇒ vpvδ //)1(

pv πολ=

(ii) Πρόκειται για την αντιθετοαντίστροφη πρόταση (i) άρα ισχύει.

(iii) Για την απόδειξη αυτή, θα χρησιµοποιήσουµε ένα θεµελιώδες θεώρηµα

της θεωρίας αριθµών που είναι το εξής: “Αν 1),( =βα , τότε Ù∈∃x και

Ù∈y : 1=+ yβxα ”.

Έτσι έχουµε:

Αν αβp /( και αβpαp /()| ⇒/ και )πολ pα ≠

)1),(και/()ii(

IV Λήµµα=⇒ αpαβp (2)

Όµως, από το θεµελιώδες θεώρηµα της Θεωρίας Αριθµών, υπάρχει

22

1:),( =+×∈ yαpxyx ÙÙ .

Έτσι η (2) γίνεται:

Ù∈

=+⋅= k

aypxpkαβ

1 )4(

)3(

Επιλύοµαι την (4) ως προς α και αντικαθιστούµε στην (3):

(Μπορούµε να υποθέσουµε ότι 0≠y , διότι αν 0=y , τότε 1=p και το

συµπέρασµα καθίσταται προφανές, αφού β/1 ).

Έτσι: ⇒−=⇒=⋅− )1(1 pxβkypkpβypx

⇒=+⇒−= βpxβkypxββkyp )(

βppβ /πολ ⇒= .

Οµοίως δείχνουµε ότι αν )|και/( βpαβp / τότε αp / .

Έτσι τελικά έχουµε την αποδεικτέα, δηλαδή

Αν )/( αβp τότε )/ή/( βpαp .

(iv) Πρόκειται για την αντιθετοαντίστροφη πρόταση (iii), άρα ισχύει.

(v) Η ισχύς της προτάσεως για 2=v απεδείχθη στο (iii).

Υποθέτουµε ότι: Αν )|,...,|,|( 21 kαpαpαp /// τότε

kαααp ...| 21 ⋅/ (5)

Θα δείξουµε ότι: Αν )|,|,...,|,|( 121 +//// kk αpαpαpαp τότε

121 ...| +⋅⋅/ kk ααααp (6)

Από (5) έχοµε kαααp ...| 21/ και από υπόθεση της (6) έχοµε 1| +/ kαp .

Τότε από την ισχύ της πρότασης για 2=v , έχοµε ότι 121 )...(| +/ kk ααααp

δηλαδή 121 ...| +/ kkααααp , που είναι η αποδεικτέα.

(vi) Αν vp > , είναι προφανές ότι ο p δεν διαιρεί τον v και οποιονδήποτε

µικρότερό του . ∆ηλαδή

!|1|,2|),...,1(|,|)v(

vpppvpvp /⇒//−//

Επίσης

23

p

vp

vpvpvpvp )!(|)!|,...,!|,!|()(

ςεπαναλήψει

/⇒/// .

(vii) Αν kαpαpαp |...|,| 21 και 1| +/ kap , τότε αν θέσουµε

⇒+++++= +1321 ... kk αααααM

1321 .... ++++++= kk αpπpπpπpπM ⇒

121 )...( +++++= kk απππpM . (7)

Εάν τώρα υποθέσουµε ότι Mp / , τότε πpM = και η (7) δίνει

⇒=+++− +121 )...( kk απππpπp

1121 /)...( ++ ⇒=−−−− kkk apαππππp άτοπο.

Λήµµα V: Ισχύουν:

(i) Í∈=⋅ −

∞+nex xn ,0lim

(ii) ∫ =+∞ −

0!ndxex xn , Í∈n (1)

Απόδειξη:

(i) x

nxn

exex

∞+

−

∞+=⋅ limlim . Εφαρµόζουµε τον κανόνα του de’ Hospital n φορές

και έχοµε:

01!1lim!!lim)()(limlim

1)(

)(

=∞

====>∞+∞+∞+∞+

ne

nen

ex

ex

exxnx

nn

x

n

.

(ii) Η απόδειξη θα γίνει µε επαγωγή.

• Για 0=n έχω

!0110lim][)( 00

000

0 ==+=+−=−=∫ ′−∫ =∫ = −−

∞+

∞+−+∞ −+∞ −+∞ − eeeeeex xxxxx

• Υποθέτουµε ότι η (1) ισχύει για kn = δηλαδή

∫ =⋅+∞ −

0!kex xk (2)

Θα δείξουµε ότι ∫ +=⋅+∞ −+

0

1 )!1(kex xk (3)

Πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέλη της (2) µε )1( +k και έχοµε:

24

∫ ⇒⋅+=++∞ −

0!)1()1( kkexk xk

∫ ⇒+=++∞ −

0)!1()1( kexk xk

∫ ⇒+=′+∞ −+

0

1 )!1()( kex xk

⇒+=′∫− −+∞ +∞+−+ )!1()(][0

10

1 kexex xkxk

∫ ⇒+=+−+∞ −+−+−+

∞+ 0

1011 )i()!1(0lim kexeex xkkxk

∫ +=+−+∞ −+

0

1 )!1(00 kex xk που είναι η (3).

Άρα ∫ ∈∀=+∞ −

00! Ínnex xn .

Θεώρηµα: Ο e είναι υπερβατικός.

Απόδειξη: Έστω ότι ο e είναι αλγεβρικός. Τότε θα υπάρχει πολυώνυµο µε

ακεραίους συντελεστές του οποίου το e θα είναι ρίζα. Έστω

...11 ++ −

−n

nn

n xaxa 00 =+ a , Ù∈naa ,...,0 µε 0≠na το πολυώνυµο αυτό.

Ορίζουµε τους αριθµούς nMMM ,...,, 1 και nεε ,...,1 ως εξής.

dxp

enxxxΜxpp

∫−

−−=

∞ −−

0

1

)!1()])...(1[(

dxp

enxxxeMxpp

kk ∫

−−−

=∞ −−

0

1

)!1()])...(1[(

dxp

enxxxeexpp

kk ∫

−−−

=∞ −−

0 )!1()])...(1[(

Ο p παριστά ένα πρώτο αριθµό τον οποίο θα επιλέξουµε στη συνέχεια.

⇒±+=−− !...)])...(1[( nxnxx n

pnpp nxnxx )!(...)])...(1[( ++=−− .

Έτσι το Μ γίνεται:

25

dxp

ecxcxM

xnpnp

p

∫−

++=

∞−−

0

01

)!1()...(

∫−

++=

∞−−−+

0

10

1

)!1()...(

pexcxc xppnp

np

∫∫−

++−

=∞ −−∞ −−+

0

10

0

1

)!1(1...

)!1(1 dxexc

pdxexc

pxpxpnp

np

∫∑−

=∞ −+−

= 0

1

0 )!1(1 dxexc

pxap

a

np

a

όπου οι ac είναι ακέραιοι και pnc )!(0 ±= .

Αλλά από Λήµµα V(ii)

∫ =∞ −

0!kdxex xk .

Άρα

∑−

+−=

=

np

aa p

apcM0 )!1(

)!1( . (1)

Για 0=a παίρνουµε τον όρο pp nppn

ppc )!(

)1()!1()!(

)!1()!01(

0 ±=−−

±=−

+− .

Αν µάλιστα θεωρήσουµε np > , τότε ο pn )!( δεν διαιρείται µε το n, (Λήµµα

IV vi) ενώ για κάθε 0>a έχουµε τους όρους:

papapcp

apc aa )...2)(1()!1(

)!1(−+−+=

−+−

που διαιρούνται όλοι µε το p.

Άρα ο Μ, είναι ένας ακέραιος που γράφεται ως άθροισµα προσθετέων

διαιρετών µε το p, πλην ενός που δεν διαιρείται µε το p.

Άρα (Λήµµα IV, (vii)) ούτε ο Μ διαιρείται µε το p.

Θα εξετάσουµε τώρα τον kM . Έχουµε:

∫−

−−=

∞ −−

k

xppk

k dxp

enxxxeM)!1(

)])...(1[(1

∫−

−−=

∞ −−−

k

kxpp

dxp

enxxx)!1(

)])...(1[( )(1

.

26

Θέτουµε dxdukxu =⇒−=

για 0=⇒= ukx

για +∞→⇒+∞→ ux .

Άρα τα όρια ολοκλήρωσης αλλάζουν σε 0 και ∞ εποµένως

∫−

−+−++=

∞ −−

0

1

)!1()]...()...1[()( du

penkuukukuM

upp

k .

Επειδή ο παράγοντας u µέσα στην αγκύλη βρίσκεται στην k-θέση και η p-

δύναµη αυτής περιέχει τον παράγοντα pu ολόκληρη η παράσταση pp nkuukuku )]...()...1[()( 1 −±−++ −

είναι ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές, του οποίου κάθε όρος έχει

βαθµό τουλάχιστον p. pnp

npp uDuDnkuuku 1...)]...()...1[( ′++′=−+−+

όπου 1=′npD

111 ...)( −−− ++=+ ppp kuku

=−+−++ − pp nkuukuku )]...()...1[()( 1

=′++′++′++ −− )......)(...( 111 pnp

npnp

nppp uDuDuDku

pppnnp uDuDuD 1

12

1)1( ... +++ +−+

άρα

∫−

+++=

∞−+−+

0

11

21)1(

)!1()...(

dup

euDuDuDM

upppnnp

k

∫ ∫−

++−

=∞ ∞ −−

−+

0 0

11)1(

)!1(...

)!1(due

puDdue

puD u

pu

pnnp

∫ ∫−

++−

=∞ ∞ −−−+

0 01

1)1(

)!1(1...

)!1(1 dueuD

pdueuD

pupupn

np

∑−+−

∑ ∫ =−

===

∞ −+−np

aa

np

a

uapa p

apDdueuDp 11 0

V(ii)Λήµµα1

)!1()!1(

)!1(1

όπου οι aD είναι ακέραιοι.

Κάθε όρος του παραπάνω αθροίσµατος διαιρείται µε το p έτσι κάθε kM είναι

ένας ακέραιος που διαιρείται µε p.

27

Επειδή το e υποθέσαµε ότι το e είναι ρίζα του πολυωνύµου

0... 01

1 =+++ −− axaxa n

nn

n , τότε 0,0... 01

1 ≠=+++ −− n

nn

nn aaeaea .

Αντικαθιστώντας σ’αυτό τις σχέσεις

nkMεMe kkk ,...,2,1=

+=

έχουµε

⇒=+++

++ −−

− 0... 011

1 aMεMa

MεMa nn

nnn

n

⇒=+++++ −−− 0...)()( 0111 MaεMaεMa nnnnnn

0)...()...( 1101 =++++++ nnnn εaεaMaMaMa (*)

Χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα υποθέτουµε ότι 00 ||| apap /⇒> .

Άρα ο Μ και ο 0a δεν διαιρούνται µε p κατά συνέπεια (Λήµµα IV (iv)) και ο

Ma0 δεν διαιρείται µε p.

Αφού κάθε kM διαιρείται µε p, τότε ο αριθµός nnMaMa ++ ...11 διαιρείται µε

p και από Λήµµα ΙV(viii) ο αριθµός nnMaMaMa +++ ...110 δεν διαιρείται µε

p.

Ειδικότερα η επιλογή του Μ µπορεί να γίνει κατά τέτοιο τρόπο ώστε

αναγκαστικά να είναι µη-αρνητικός ακέραιος.

Για να οδηγηθούµε σε αντίφαση και να δείξουµε ότι ο e είναι υπερβατικός

αρκεί να δείξουµε ότι ο

0|...| 11 →++ nnεaεa (1)

επιλέγοντας αρκετά µεγάλο p.

Για να δείξουµε την (1) αρκεί να δείξουµε ότι 0|| →kε nk ,...,2,1=∀ .

Επειδή n σταθερός αριθµός (βαθµός της πολυωνυµικής εξίσωσης), αν

nk ≤≤1 τότε από

kk

kkkk MMeε

MεMe −=⇒

+=

+≤−=⇒ |||||| MeMMeε kk

kk |||| MeM k

k ≤

28

∫−

−−≤⇒

−−k xppk

k dxp

enxxxeε0

1

)!1(|)])...(1[(|||

∫−

−−≤

−−n xppn dx

penxxne

0

1

)!1(|))...(1[(|

διότι από 110 −− ≤⇒≤≤ pp nxnx .

Αν |)(),...,1(|max nxxA −−= για ],0[ nx ∈ , τότε

∫−

≤∫−

≤ −−−− n x

ppnn xppn

k dxep

Anedxp

eAneε0

1

0

1

)!1()!1(|| (2)

και επειδή το ολοκλήρωµα ∫ −n xdxe0

για ωddxωddxωx −=⇒=−⇒=−

για 00 =⇒= ωx

nωnx −=⇒=

δίνει ότι

∫ ∫ <−

=−===∫−=−

−−

−−n

nn

nn

nωωn ωx

eeeeeωdeωdedxe

0

0 00

011][ . (3)

Έτσι η (2) λόγω (3) γίνεται:

)!1()(

)!1()!1(||

1

−=

−≤

−≤

−

pnAe

pAne

pAneε

pnppnppn

k

και επειδή το An ⋅ είναι σταθερά, τότε ο αριθµός )!1(

)(−p

nA p

µπορεί να γίνει

µικρότερος από οποιονδήποτε 0>ε , αν πάρουµε το p αρκετά µεγάλο (Λήµµα

ΙΙ). ∆ηλαδή 0|| >∀< εεεk . Έτσι 0→kε και ισχύει η (1).

Κατά συνέπεια, από (*) δεν µπορεί το άθροισµα δύο µη αρνητικών αριθµών να

είναι µηδέν!

29

H ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ π

Ιστορία και σκιαγράφηση της απόδειξης: Η απόδειξη π που θα παρουσιασθεί,

αφείλεται στον Lindemann και πραγµατοποιήθηκε το 1882. Εκείνη η χρονιά θα

µπορούσε να χαρακτηρισθεί ως το τέλος µιας υπερπροσπάθειας που είχε

αρχίσει απ’τους Αρχαίους Έλληνες και αναφέρετο στον τετραγωνισµό του

κύκλου µε κανόνα και διαβήτη. Είναι γνωστό, ότι το πρόβληµα ανάγεται στην

κατασκευή ευθύγραµµου τµήµατος µήκους π . Το γεγονός ότι ο π είναι

αποδειχθεί ότι ήταν άρρητος, δεν απαγόρευε την κατασκευή του µε κανόνα και

διαβήτη, αφού και οι αριθµοί 2 , 3 5 κτλ. είναι άρρητοι µεν, αλλά

κατασκευάσιµοι ευκόλως µε την βοήθεια και του Πυθαγορείου Θεωρήµατος.

Η απόδειξη της υπερβατικότητας του π έθεσε τέρµα στις προσπάθειες

τετραγωνισµού του κύκλου µε κανόνα και διαβήτη, αφού µόνο αλγεβρικοί

αριθµοί είναι κατασκευάσιµοι.

Η απόδειξη της υπερβατικότητας του π, έχει αξιοσηµείωτες οµοιότητες

µε την απόδειξη της υπερβατικότητας του e!

Βεβαίως το προηγούµενο δεν είναι και τόσο παράξενο, αν σκεφθεί

κάποιος ότι οι αριθµοί e και π δεν είναι τελείως άσχετοι, αλλά συνδέονται µε

µια εξαιρετικά απλή, όσο και όµορφη σχέση, γνωστότερη ως σχέση του Euler

δηλ. 1−=πie .

Την σχέση αυτή θα αποδείξουµε πριν την κύρια απόδειξη, αφού θα µας

χρειασθεί ως λήµµα.

Επίσης θα µας χρειασθεί και η πρόταση ότι “το γινόµενο δύο αλγεβρικών

αριθµών είναι αλγεβρικός”.

Η απόδειξη της παραπάνω βοηθητικής πρότασης, είναι αρκετά

εκτεταµένη, αοφύ προϋποθέτει θεωρία των αλγεβρικών επεκτάσεων σωµάτων.

Παρόλα ταύτα, δεν θα αφεθεί αναπόδεικτη. Όµως, η παρακολούθηση της

απόδειξης, προϋποθέτει κάποιες στοιχειώδεις γνώσεις και ορισµούς, οι οποίες

προϋποτίθενται. Αυτές είναι: Ορισµοί δακτυλίου, σώµατος και υποσώµατος.

Ορισµοί διανυσµατικού χώρου, υποχώρου, γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα

30

και γραµµικώς εξηρτηµένα. Βάση και διάσταση διανυσµατικού χώρου. Ακόµη

για την απόδειξη της υπερβατικότητας του π θα χρειασθούν και κάποιες

ιδιότητες των συµµετρικών πολυωνύµων όπως και των στοιχειωδών

συµµετρικών πολυωνύµων τις οποίες θα αποδείξουµε.

Τέλος θα χρειασθούµε µια βοηθητική συνάρτηση την

pτ

τps

cxcxpcxF )...(

)!1()( 0

1 ++⋅⋅−

= −

της οποίας µας ενδιαφέρουν οι παράγωγοι διαφόρου τάξεως (έως και p

συγκεκριµένα).

Η διαδικασία αρχίζει µε την απόδειξη του παρακάτω:

Λήµµα VI: Ισχύει η ισότητα 1−=πie (Euler)

Απόδειξη: Από σειρές Taylor για Â∈z έχουµε:

...!5!3

sin53

−+−=zzzz

...!4!2

1cos42

−+−=zzz

...!2!1

12

+++=zzez .

Θέτουµε όπου z το iz:

...!5)(

!4)(

!3)(

!2)(

!11

5432

++++++=izizizizizeiz

...!5!4!3!2

15432

+++−−+=izzizziz

−+−+

−+−= ...

!5!3...

!4!21

5342 zzzizz

izziz ⇒+= sincos

πiπezize πiπziz ηµσυνηµσυν +=⇒+==

⇒ 1−=πie

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΠΕΚΤΑΣΕΩΝ

31

Ορισµός 1: Έστω F σώµα. Τότε ορίζουµε ως δακτύλιο των πολυωνύµων της

µεταβλητής x:

,...2,1,0και,...,2,1,0,/...][ 01 ==∈+++= vviFaaxaxaxF iv

v

Αν 0≠va τότε ορίζεται ως βαθµός του 0...)( axaxf vv ++= ο αριθµός ν και

γράφοµε βαθµ vxf =)( ή vxf =)(deg . Ας σηµειωθεί ότι το ][xF δεν είναι

σώµα, διότι π.χ. ][xFx ∈ ενώ ][1 xFx ∉− .

Σηµείωση: Για τις ανάγκες της απόδειξής µας για το π, αρκεί κάθε φορά να

έχοµε στο µυαλό µας ότι το σώµα F είναι το σύνολο των ρητών Ð . Παρόλα

αυτά, θα δώσουµε στην συνέχεια γενικότερο ορισµό για το αλγεβρικό στοιχείο

επί σώµατος, όπως και της έννοιας βαθµού αλγεβρικού στοιχείου.

Οι γενικότεροι ορισµοί γενικεύουν και το θέµα, ενώ η θεώρηση του θέµατος

των πολυωνύµων µε ακεραίους ή ρητούς συντελεστές µπορεί να

αντιµετωπισθεί ισοδύναµα, διότι κάθε πολυώνυµο µε ρητούς συντελεστές,

µπορεί µε πολλαπλασιασµό µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών να µετατραπεί σε

πολυώνυµο ακεραίων συντελεστών ιδίου βαθµού, µε ίδιες ρίζες και να

εξακολουθεί να είναι ανάγωγο, αν αρχικά ήταν ανάγωγο.

Ορισµός 2: (γενίκευση) Έστω F υπόσωµα του Ε και Ea ∈ . αν υπάρχει

πολυώνυµο ][)( xFxf ∈ , 0)( ≠xf (: µηδενικού πολυωνύµου) µε 0)( =af ,

τότε λέµε ότι το α είναι αλγεβρικό επί του F. Αν δεν υπάρχει τέτοιο

πολυώνυµο, λέµε ότι το α είναι υπερβατικό επί του F.

Παραδείγµατα:

• Για Ð=F , Ñ=Ε , 2=α και ][2)( 2 xxxf Ð∈−= και ≠][xf µηδενικού

πολ/σµού, έχω το συµπέρασµα ότι το 2 είναι αλγεβρικό επί του Ð .

• Επίσης για Ð=F , Â=E , ia = και ][1)( 2 xxxf Ð∈+= και ≠)(xf

µηδενικού πολ/σµού, έχω το συµπέρασµα ότι )1(: −i είναι αλγεβρικός επί

του Ð .

32

Ορισµός 3: (γενίκευση) Αν ][0( xFxf ∈ , 1)(deg ≥xf , τότε το )(xf θα

λέγεται ανάγωγο επί του F αν για κάθε ανάλυση του )(xf της µορφής

)()()( 21 xfxfxf ⋅= µε ][)(),( 21 xFxfxf ∈ να έπεται ότι )(1 xf σταθερό

πολυώνυµο ή )(2 xf σταθερό πολυώνυµο.

Παραδείγµατα:

• Τα 12 +x , 1+x , 23 +x είναι ανάγωγα επί του Ð .

• Τα 12 +x , 1+x είναι ανάγωγα επί του Ñ , όµως το 23 +x δεν είναι

ανάγωγο επί του Ñ , διότι )42)(2(2 33233 +−−+=+ xxxx

• Το 1+x είναι ανάγωγο επί του Â , όµως το 12 +x δεν είναι ανάγωγο επί του

 , διότι ))((12 ixixx −+=+ και βεβαίως ούτε το 23 +x είναι ανάγωγο επί

του Â .

Ορισµός 4: (γενίκευση) Αν το α είναι ρίζα ενός αναγώγου πολυωνύµου

][)( xFxf ∈ µε vxf =)(deg , τότε το ν λέγεται βαθµός του αλγεβρικού

στοιχείου α.

Παράδειγµα:

• Το i είναι ρίζα των πολυωνύµων 12 +x και ][14 xx Ð∈− ο βαθµός όµως του

i είναι 2, διότι το 12 +x είναι ανάγωγο επί του Ð , ενώ το

)1)(1(1 224 +−=− xxx δεν είναι ανάγωγο επί του Ð .

Ορισµός 5: Αν έχω έναν διανυσµατικό χώρο V επί ενός σώµατος F, τότε το

πλήθος των στοιχείων µιας βάσης του FV λέγεται διάσταση του FV και

συµβολίζεται µε VFdim ή ]:[ FV .

Παράδειγµα:

• / 012

2 Ñ∈++= iaaxaxaV . Τότε ÑV είναι διανυσµατικός χώρος και έχει

ως βάση το ,,1 2xx . Άρα 3]:[ =Ñv .

Πρόταση 1: Αν F υπόσωµα του E, τότε το E είναι διαν. χώρος επί του F.

33

Ορισµός 6: Αν το F είναι υπόσωµα του Ε, τότε λέµε ότι το Ε είναι επέκταση

του F και γράφουµε συµβολικά FE / .

Παραδείγµατα:

• Το Ñ είναι επέκταση του Ð .

• Το Â είναι επέκταση του Ñ .

Ορισµός 7: Μια επέκταση FE / λέγεται αλγεβρική αν όλα τα στοιχεία του Ε

είναι αλγεβρικά επί του F.

Ορισµός 8: Αν FE / και +∈= ÙvFE ]:[ , τότε η επέκταση FE / λέγεται

πεπερασµένη.

Ορισµός 9: Έστω FE / και Ea ∈ . Με )(aF συµβολίζουµε την τοµή όλων

των υποσωµάτων του Ε που περιέχουν το F και το α. ∆ηλαδή το )(aF είναι το

ελάχιστο υποσώµα που περιέχει τα στοιχεία του F και το α.

Αποδεικνύεται ότι:

≠∈= 0)(],[)(),()()()( agxFxgxf

agafaF .

Γενικότερα αν ΕS ⊆ µε )(SF συµβολίζουµε την τοµή όλων των

υποσωµάτων του Ε, που περιέχουν το F και το S.

Ορισµός 10: Ένα πολυώνυµο λέγεται µονικός, όταν ο συντελεστής του

µεγιστοβαθµίου όρου του, είναι η µονάδα.

Ορισµός 11: Το πολυώνυµο )(xm το οποίο είναι µονικό, µη µηδενικό και το

ελαχίστου βαθµού που µηδενίζεται απ’το α καλείται ελάχιστο πολυώνυµο του α

επί του F.

Αποδεικνύεται, ότι το ελάχιστο πολυώνυµο, είναι µονοσήµαντα ορισµένο.

Επίσης εξορισµού ][)(/)(][ xFxfafaF ∈= .

Πρόταση 2: Αν )(xf το ελάχιστο πολυώνυµο του α επί του F, τότε το )(xf

ανάγωγο.

34

Απόδειξη: Αν )()()( xhxgxf ⋅= µε ][)(,0( xFxhxg ∈ (1)

τότε 0)( =af και 0)()( =⋅ xhag απ’όπου έχοµε 0)( =ag ή 0)( =ah .

Εάν τώρα κανένα απ’τα )(),( xhxg δεν σταθερό πολυώνυµο, τότε απ’την (1)

έχοµε )(deg)(deg xfxg < και )(0(deg xfxh < πράγµα άτοπο, διότι το )(xf

είναι το πολυώνυµο ελαχίστου βαθµού µε ρίζα το α.

Άρα ένα από τα δύο )(xg και )(xh πρέπει να είναι το σταθερό και έτσι το

)(xf είναι ανάγωγο.

Πρόταση 3: Αν το )(xf είναι ανάγωγο επί του F µε ρίζα Fa ∉ , τότε το )(xf

είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του α επί του F.

Απόδειξη: Αν το )(xf δεν ήταν το ελάχιστο πολυώνυµο του α επί του F, τότε

θα υπήρχε ένα άλλο ][)( xFxg ∈ µε )(deg)(deg xfxg < και 0)( =ag .

Έτσι,λόγω της προτάσεως 2, το )(xg θα ήταν ανάγωγο επί του F .

Αυτό όµως είναι άτοπο διότι το ανάγωγο πολυώνυµο µε ρίζα το α είναι

µονοσήµαντα ορισµένο.

Πρόταση 4: Έστω FE / , Ea ∈ και α αλγεβρικό επί του F. Τότε ο

διανυσµατικός χώρος )(aF επί του F, έχει ως βάση το σύνολο

,...,,,1 12 −vaaa , όπου ν είναι ο βαθµός του αλγεβρικού στοιχείου α, επί του F.

Απόδειξη: Αν θεωρήσω το )(xm ως ελάχιστο πολυώνυµο του α επί του F, τότε

Vxm =)(deg . Επίσης τα διανύσµατα 1,...,,1 −naa είναι γραµµικώς ανεξάρτητα

επί του F.

Πράγµατι. αν 0... 1110 =++⋅+ −

−n

n ababb µε Fbi ∈ , 1,...,2,1 −= vi τότε

υποχρεωτικά )0,...,0,0,0(),...,,( 110 =−vbbb διότι διαφορετικά, το

1110 ...)( −

−+++= vv xbxbbxg θα ήταν ένα µή µηδενικό πολυώνυµο, βαθµού

µικρότερου του ν που θα είχε ρίζα το α, πράγµα άτοπο αφού ο βαθµός του α

είναι ν.

Αν τώρα ][)( xFxσ ∈ µε 1)(deg −> vxσ , τότε :][)(),( xFxτxq ∈∃ =)(xσ

35

)()()( xτxmxq +⋅ µε 0)( =xτ ή 1)(deg −≤ vxτ .

Έτσι όµως επειδή )(][ aFaF = έχω τα ,...,,1 1−vaa να παράγουν και τον χώρο

)(aF , άρα η πρόταση απεδείχθη.

Πρόταση 5: Μια πεπερασµένη επέκταση είναι αλγεβρική επέκταση.

Απόδειξη: Έστω nFK =]:[ . Έστω Kaa ∈≠ ,0 και οι δυνάµεις 10 =a ,

nz aaa ,...,, . Τα 1+n αυτά στοιχεία είναι γραµµικά ανεξάρτητα επί του F γιατί

nFK =]:[ . Άρα υπάρχουν Fcccc n ∈,...,,, 210 µε )0,...,0,0(),...,,( 10 ≠nccc

ώστε:

0... 11

2210 =⋅+⋅++⋅+⋅+ −

−n

nn

n acacacacc (1)

Ισχύει: ][...)( 11

2210 xFxcxcxcxccxf n

nn

n ∈+++++= −− και είναι µη

µηδενικό. Επίσης λόγω της (1) ισχύει 0)( =af . Άρα το α είναι αλγεβρικό επί

του F και επειδή το α είναι τυχαίο στοιχείο του ⇒K κάθε στοιχείο του Κ

είναι αλγεβρικό επί του F. Άρα η επέκταση FK / είναι αλγεβρική.

Πρόταση 6: Έστω F, E, K τρία σώµατα µε KEF ⊆⊆ . Αν οι FE / και EK /

είναι πεπερασµένες επεκτάσεις, τότε και η FK / είναι πεπερασµένη επέκταση

και ]:[]:[]:[ FEEKFK ⋅=

Απόδειξη: Έστω ,...,, 21 naaaA = µια βάση του Κ επί του Ε και

,...,, 21 nβββB = µια βάση του Ε επί του F. Θα αποδείξουµε ότι το σύνολο

,...,2,1,,...,2,1/ mjniβaM ji === είναι µια βάση του Κ επί του F.

Έστω EcacacacxKx inn ∈+++=⇒∈ ,...2211 αφού το σύνολο Α είναι

µια βάση του Κ επί του Ε.

Επίσης για κάθε ic έχουµε Fdβdβdβdc ijmimiii ∈+++= ,...2211 , αφού

το σύνολο Β είναι µια βάση του Ε επί του F.

Άρα:

∑=∑

∑=∑==== ==

mn

jiijiji

n

i

m

jjij

n

iii aβdaβdacx

,

1,11 11.

36

Άρα το Μ παράγει το Κ επί του F. Αρκεί να δείξουµε ότι τα στοιχεία του Μ

είναι γραµµικά ανεξάρτητα.

Θεωρούµε ότι:

001 1

,

1,1=∑

∑⇒∑ == ===

in

i

m

jjij

mn

jijiij aβdβad .

Επειδή το ∑ ∈=

m

jjij Eβd

1 και το σύνολο Α είναι βάση του Κ επί του Ε.

Παίρνουµε: ∑ ===

m

jjij niβd

1,...,2,1,0 .

Αλλά Fdij ∈ και το σύνολο Β είναι βάση του Ε επί του F.

Άρα: mjnidij ,...,2,1,,...,2,1,0 === .

Εποµένως το Μ είναι µια βάση του Κ επί του F. Επειδή mnM ⋅=|| ισχύει:

]:[]:[]:[ FEEKFK ⋅= .

Λήµµα VII: Αν α και β αλγεβρικοί αριθµοί επί του σώµατος Å , τότε και το

γινόµενό τους είναι αλγεβρικός αριθµός επί του σώµατος Å .

Απόδειξη: Θεωρούµε την επέκταση ),( βαÅ . Έστω ότι ο α είναι αλγεβρικός n

βαθµού και ο β m βαθµού. Τότε ισχύουν:

maFβα =)](:),([Å και na =]:)(([ ÅÅ .

Αποδείξαµε (Πρόταση 6) ότι:

nmFaFaFβαβα ⋅=⋅= ]:)([)](:),([]:),([ ÅÅÅ

και επειδή nm ⋅ πεπερασµένος αριθµός έπεται ότι η επέκταση FβαF /),(

είναι αλγεβρική.

Επειδή το ),( βαÅ είναι σώµα, τότε θα είναι κλειστό ως προς την τάξη του

πολλαπλασιασµού. Άρα επειδή ),(),(, βαβαβαβα ÅÅ ∈⋅⇒∈ .

Εποµένως ο αριθµός βα ⋅ είναι αλγεβρικός.

Ορισµός 12: Ένα πολυώνυµο ),...,,( 21 nxxxf µεταβλητές λέγεται συµµετρικό

στις nxxx ,...,, 21 αν παραµένει το ίδιο όταν εφαρµόσουµε µια µετάθεση στις

µεταβλητές. Τα στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα είναι τα:

37

∑==

n

iixa

11

∑=< ji

ji xxa2

∑=<< kji

kji xxxa3

nn xxxa 21= ,

δηλαδή το ka είναι το άθροισµα όλων των γινοµένων από k διαφορετικά

µεταξύ τους από τα nxxx ,...,, 21 . Αποδεικνύεται ότι κάθε συµµετρικό

πολυώνυµο είναι πολυώνυµο των στοιχειωδών συµµετρικών πολυωνύµων

δηλαδή ),...,,(),...,( 2121 nn aaagxxxf = για κάποιο πολυώνυµο

],...,,[),...,,( 2121 nn xxxxxxφ Ð∈ .

(Βλέπε παρακάτω λήµµα VII(iii)).

Γενικά:

Αν )(xf είναι ένα πολυώνυµο n βαθµού µε διακριτές ρίζες nρρρ ,...,, 21 τότε:

))...()(()( 21 nρxρxρxaxf −−−=

...()...([ 31211

21 ++++++−= − ρρρρxρρρxa nn

n ...) 21 +−+ −

−n

nn xρρ

]...)1( 21 nn ρρρ−+

])1(...)1(...[ 22

11 n

nknk

knnn xxxxa aaaa −++−+−+−= −−−

όπου ∑=<<< k

kiiiiiik ρρρa

...2121... είναι το k-οστό στοιχειώδες συµµετρικό

πολυώνυµο στα nρρρ ,...,, 21 .

Εποµένως κάθε συµµετρικό πολυώνυµο των ριζών του )(xf εκφράζεται ως

πολυώνυµο των συντελεστών του πολυωνύµου )(xf .

Ορισµός 12: Έστω πολυώνυµο ),...,,( 21 nxxxf επί του σώµατος F.

Έστω nλn

λλ xxax ...2121 , nµ

nµµ xxxβ ...2121 δύο µονώνυµα. Υπάρχει ελάχιστος ακέραιος

j τέτοιος ώστε jj µλ ≠ . Λέµε ότι το nµn

µµ xxxβ ...2121 είναι µεγαλύτερο απ’το

nλn

λλ xxax ...2121 αν jj µλ > . Έτσι ορίζεται µια διάταξη στο σύνολο των

38

µονωνύµων. Ο µεγαλύτερο όρος (µονώνυµο) του ),...,,( 21 nxxxf λέγεται κύριο

όρος του πολυωνύµου.

Λήµµα VIII: Έστω ότι το πολυώνυµο ),...,,( 21 nxxxf είναι συµµετρικό και ότι

έχει κύριο όρο τον nun

uu xxax ...2121 . Τότε:

(i) nuuu ≥≥≥ ...21

(ii) Το πολυώνυµο nn un

un

uuuuα aaaa 13221121 ... −

−−−⋅ όπου naaa ,...,, 21 είναι τα

στοιχειώδη συµµετρικά πολυώνυµα των nxxx ,...,, 21 , έχει τον ίδιο κύριο

όρο µε το ),...,,( 21 nxxxf .

(iii) Το ),...,,( 21 nxxxf µπορεί να γραφεί µε την µορφή ),...,,( 21 ng aaa για

κάποιο πολυώνυµο ],...,,[),...,,( 2121 nn xxxFxxxg ∈ .

Απόδειξη:

(i) Το συµµετρικό πολυώνυµο ),...,,( 21 nxxxf µαζί µε τον κύριο όρο του

nii kn

ki

ki

kκ xxxxxa ...... 121121+

+⋅ πρέπει να έχει και τον όρο:

nii kn

ki

ki

kκ xxxxxa ...... 121121

++⋅ . Απ’τον ορισµό του κύριου όρου παίρνουµε ότι

1+≥ ii kk .

Άρα: nkkk ≥≥≥ ...21 .

(ii) Θέτουµε: 1+−= iii kkσ , 1,...,2,1 −= ni και nn kσ = . Τότε ισχύει: 0≥iσ ,

ni ,...,2,1= . Ένας όρος του nσn

σσa aaa ...2121⋅ θα είναι της µορφής

nµn

µµ xxxa ...2121⋅ , όπου κάθε iµ είναι άθροισµα ορισµένων απ’τους

µσσσ ,...,, 21 . Επειδή ο κύριος όρος πρέπει να έχει το µεγαλύτερο δυνατό

1µ , ο εκθέτης του 1x στον κύριο όρο είναι ο =++++= − nn σσσσµ ...1211

113221 )(...)()( kkkkkkkk nnn =+−++−+− − .

Όµοια για το µέρος nµn

µµ xxx ...3232 ⋅ του κύριου όρου κάνουµε τον ίδιο

συλλογισµό και βρίσκουµε ότι ο εκθέτης είναι ο nn kσσσ =+++ ...32

κ.λπ.

39

Άρα ο κύριος όρος του nkn

kkkka aaa ...322121

−−⋅ είναι ο ίδιος µε τον κύριο όρο

του ),...,,( 21 nxxxf .

(iii) Θεωρούµε το πολυώνυµο

nkn

kknn axxxfxxxf aa ...),...,,(),...,,( 21

121211−⋅−=

Το ),...,,( 211 nxxxf είναι συµµετρικό πολυώνυµο και έχει κύριο όρο

µικρότερο από τον κύριο όρο του ),...,,( 21 nxxxf . Έστω nλn

λλ xxxb ...2121⋅ ο

κύριος όρος του ),...,,( 211 nxxxf .

Θεωρούµε το πολυώνυµο:

nλn

λλnn axxxfxxxf aa ...),...,,(),...,,( 21

11211212−⋅−=

το οποίο έχει κύριο όρο µικρότερο του κύριου όρου του ),...,,( 211 nxxxf .

Συνεχίζουµε µε τον ίδιο τρόπο και επειδή υπάρχουν πεπερασµένα το

πλήθος πολυώνυµα µικρότερα από τα nkn

kk xxx ...2121 η παραπάνω διαδικασία

θα τελειώσει µέτά από πεπερασµένο το πλήθος βήµατα έστω m και το

),...,,( 21 nm xxxf θα είναι ένα σταθερό πολυώνυµο Fc ∈ .

Άρα caaxxxf nn λn

λλkn

kkn ++⋅+⋅= −− .........),...,,( 2121

11121 aaaa και εάν

],...,,[.........),...,,( 21111212121

nλn

λλkn

kkn xxxFcaaxxxg nn ∈++⋅+⋅= −− aaaa

τότε: ),...,,(),...,,( 2121 nn gxxxf aaa= .

Λήµµα IX: Για την συνάρτηση

pτ

τps

cxcxpcxF )...(

)!1()( 0

1 ++⋅⋅−

= −

λαµβάνω τις παρακάτω µορφές για τις παραγώγους των διαφόρων τάξεων.

Έχουµε:

⇒++−

= − )...()!1(

)( 01 p

rrppp

s

cxcxpcxF

( )11

0 ...)!1(

)( −−+ ++−

= ppr

prpps

xcxcpcxF

Οπότε

40

])1(...)1([)!1(

)( 220

5)1( −−+ −++−+

−= pp

rprpp xpcxprpc

pcxF

])2)(1(...)2)(1([)!1(

)( 330

)2( −−+ −−++−+−+−

= ppr

prpps

xppcxprpprpcpcxF

210

)2( )2)...(2)(1([)!1(

)( +−−+− +−+−+−+−

= pprpps

p xpprpprpprpcpcxF

⇒−−++ ]2)...2)(1(... xppc pr

])!1(...)2)...(2)(1([)!1(

)( 10

)2( xpcxrpprpprpcpcxF p

rrpp

sp −+++−+−+

−= +−

])!1(...)1)(2)...(2)(1([)!1(

)( 0)1( −++++−+−+

−=− pcxrprpprpprpc

pcxF p

rrpp

sp

]0!...)1)(2)...(2)(1([)!1(

)( 11

0)( +++⋅++−+−+

−= −

− pr

rpps

p cπxrprprpprpprpcpcxF

Θεώρηµα (Lindemann): Ο πραγµατικός αριθµός π είναι υπερβατικός.

Απόδειξη: Θα το αποδείξουµε µε τη µέθοδο της εις άτοπον απαγωγής.

Έστω ότι ο π είναι αλγεβρικός, τότε και το γινόµενο iπ (όπου 2−=i ) είναι

αλγεβρικός αριθµός (Λήµµα VII). Άρα ο αριθµός iπ είναι ρίζα ενός

πολυωνύµου µή µηδενικού. Έστω ότι το πολυώνυµο αυτό είναι το )(xΦ µε

ρητούς συντελεστές και µε ρίζες τους αριθµούς: πia =1 , naaa ,...,, 32 . Είναι

γνωστό (Λήµµα VI) ότι: 01 =+πie . Εποµένως:

0)1)...(1)(1( 21 =+++ naaa eee (1)

(Αφού 011 =+ae )

Κάνοντας τις πράξεις στο 1ο µέλος της ισότητας (1) βρίσκουµε ένα άθροισµα

δυνάµεων µε βάση το e και εκθέτες αθροίσµατα της µορφής miii aaa +++ ...

21.

Για παράδειγµα ο όρος iimjiimj aaaaaaaa eeeee +++ −− =⋅ 11 1...11 .

Υπάρχει ένα πολυώνυµο που έχει ως ρίζες, όλα τα αθροίσµατα της µορφής:

miii aaa +++ ...21

, του οποίου οι συντελεστές, είναι συµµετρικά πολυώνυµα

41

των naaa ,...,, 21 και άρα πολυώνυµα των συν/τών του )(xΦ , που είναι ρητοί

αριθµοί.

∆ιαιρώντας το πολυώνυµο αυτό µε το rnx − (r το πλήθος των µη µηδενικών

εκθετών της 1) και πολλαπλασιάζοντας µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών του

)(xΦ βρίσκουµε ένα πολυώνυµο )(xf µε ακέραιους συντελεστές και ρίζες

τους µη µηδενικούς εκθέτες rβββ ,...,, 21 στο ανάπτυγµα της (1).

Έτσι η (1) αναπτύσσεται:

⇒=+++++++ 0...... 00021 eeeeee rβββ

0...21 =++++ keee rβββ όπου Í∈k . (2)

Στο ανάπτυγµα της (1) υπάρχει ο όρος 1...11⋅ . Εποµένως 0>κ . Έστω ότι:

rrrr cxcxccxxf ++++= −−

11

1 ...)( µε 0≠rc

(διότι το 0 δεν είναι ρίζα του )(xf ).

Ορίζουµε )!1(

)()(1

−=

−

pxfxcxF

pps

, όπου )1( −= prs µε p πρώτο αριθµός. (3)

Επίσης ορίζουµε: )(...)()()( )1( xFxFxFxg rps −++++′+= .

Ισχύει: rpprppxF +−=+−= 1)1()(deg και

111)1(1)3(

−+=−/++/−=−++−=−++ prprprrprpprrps .

Άρα 0)()( =++ xF rps . Επίσης )(...)()(0( )1()2( xFxFxFxg rps −+++++′=′ .

Υπολογίζουµε την:

)()()]([ xgexgexgedxd xxx ′+−= −−−

)](0([ xgxge x ′−−= −

)](...)()(

)(...)()([)1()2(

)1(

xFxFxFxFxFxFe

rps

rpsx

−++

−++−

−−−′−

++′+−=

)(xFe x−−= .

Εποµένως:

∫ ∫ ∫=−⇒−=′ −−−−−x x x yxyt dyyFegexgedyyFedttge0 0 0

0 )()0()()(])([

42

∫−=−⇒ −− x yx dyyFegxge0

)()0()( .

Αν θέσουµε xλy ⋅= (προσοχή! η µεταβλητή είναι το λ) έχουµε για τα νέα

όρια ολοκλήρωσης

=→==→=

100

λxyλy

και

∫ ⇔−=− −− 1

0)()()0()( xλdxλFegxge xλx

∫ ⇔−=−⇔⋅

−− 1

0

)πολ/ζω()()0()(

xexλx λdxλFexgxge

∫ ⋅−=−⋅⇔ −− 1

0)()0()( λdxλFeexgexgee xλxxxx

∫−=−⇔ −1

0

)1( )()0(0( λdxλFexgexg xλx .

Αν θέσουµε στη θέση του x διαδοχικώς τα rβββ ,...,, 21 , τότε παίρνουµε:

∫−=− −1

01

)1(11 )()0()( 11 λdλβFeβgeβg βλβ

∫−=−

∫−=−

−

−

1

0

)1(

1

02

)1(22

.)()0()(

)()0()( 22

λdλβFeβgeβg

λdλβFeβgeβg

rβλ

rβ

r

βλβ

rr

Προσθέτουµε κατά µέλη, χρησιµοποιώντας την ισοδύναµη σχέση της (2), ότι

keee rβββ =+++− )...( 21 Έτσι βρίσκουµε:

λdλβFeβgkβg rβλr

j

r

jrj

r )()0()(1

0

)1(

1 1∫∑ ∑−=⋅+ −

= = (**)

Ισχυρισµός: Ισχύει ότι ∑ ==

r

jj

t βF1

)( 0)( , για pt <<0 .

Πράγµατι. Αν παραγωγίσουµε την )(xF µέχρι και 1−p φορές, θα εµφανίζεται

πάντα ο παράγοντας )()( xf m µε 11 −≤≤ pm .

Αλλά 0)( =iβf , για κάθε ri ,...,2,1= . Άρα 0)()( =im βf .

Άρα ∑ ==

r

jj

t βF1

)( 0)( , για pt <<0 .

43

Αν pt ≥ η )()( xF t δεν έχει παράγοντα της µορφής )(xf m . Άρ 0)()( ≠it βF ,

pt ≥∀ . Επίσης το )()( xF t έχει παράγοντα τον αριθµό p (βλέπε λήµµα VIII).

Το ίδιο ισχύει για pt > .

Άρα για οποιοδήποτε pt ≥ το άθροισµα: )(1

jr

j

(t) βf∑=

είναι ένα συµµετρικό

πολυώνυµο των jβ βαθµού 1−≤ rp δηλαδή βαθµού s≤ . ∆ηλαδή είναι ένα

πολυώνυµο βαθµού s≤ των συντελεστών cic / . Το sc έχει τεθεί στον ορισµό

της )(xf για να κάνει αυτό το άθροισµα έναν ακέραιο.

Άρα για sp ≥ έχουµε:

∑ ==

r

jtj

t λpβf1

)( )( (*)

για κάποιο Ù∈tλ .

Άρα

∑ ∑ ++′+== =

−++r

j

r

jj

rpsjjj βFβFβFβg

1 1

)1( )](...)()([)(

∑ ∑ ∑ −++++′+== = =

r

j

r

jj

r

jjj βrpsβFβF

1 1 1)()1(...)()(

110

(*)... −++⋅++⋅+⋅= rpsλpλpλp

Ù∈⋅=+++⋅= −++ λλpλλλp rps ,)...( 110 .

Τώρα θα ελέγξουµε το )(og .

(i) Αν 2−≤ pt τότε 0)0()( =tF

(ii) Αν 1−= pt τότε pr

st ccF ⋅=)0()(

(iii) Αν pt ≥ τότε tt lpF ⋅=)0()( για κατάλληλο Ù∈tl . Παράδειγµα για

pr

sp cclpt 1−⋅=⇒= .

Τα ανωτέρω συµπεράσµατα προκύπτουν από το λήµµα ΙΧ.

Εποµένως: plccg pr

s ⋅+⋅=)0( , για Ù∈l . )...( 11 −++ +++= prppp llll .

Άρα βρήκαµε ότι το 1ο µέλος της ισότητας (**) είναι

=+⋅⋅+=+⋅⋅+⋅ klpcckλplpcckλp pr

spr

s )(

44

pr

spr

s cckpzcckpklλ ⋅⋅+⋅=⋅⋅++= )( , Ù∈z .

Ισχύουν: 0,0,0 ≠≠≠ rcck . Άρα αν πάρουµε το |)||,|,max( rcckp > , τότε

το πρώτο µέλος της σχέσης (**) είναι ένας ακέραιος που δεν διαιρείται από το

p και εποµένως είναι διάφορος από το µηδέν.

Για το δεύτερος µέλος της σχέσης (**) έχουµε:

pj

pj

ps

ppj

s

j λβfβλpcλβfλβ

pcλβF |)(|||||

)!1()()(

)!1(|)(| 111 ⋅⋅⋅

−=⋅⋅

−≤ −−−

pj

pj

p

j

s

λβfβλβp

c |)(|||||)!1(

1 ⋅⋅⋅−

= −

)(|)!1( jj

j

s

λβfββp

c⋅⋅

−≤

)!1(||

)(||−⋅

⋅≤

pβjmc

j

ps

όπου )(|sup||)(10

jλ

j λβfβjm≤≤

⋅= .

Και:

∑ ∫−⋅

⋅⋅≤∑ ∫⋅−

=

−

=

− r

j j

psβλ

jr

jj

βλj λd

pβjmceβλdλβfeβ jj

1

1

0

)1(

1

1

0

)1(

)!1(||)(||)(

∑ ∫⋅−⋅

⋅⋅=

=

−r

j

βλ

j

ps

j λdepβ

jmcβ j

1

1

0

)1(

)!1(||)(||

∫⋅∑−⋅

⋅⋅= −

=

1

0

)1(

1 )!1(|||)(||||| dle

pβjmcβ jβλr

j j

ps

j

∑−

⋅⋅≤

=

r

j

ps

pBjmc

1 )!1(|)(||| ,

όπου

λdeB jβλ

j∫= −1

0

)1(max .

Αλλά για +∞→p το ∑−

⋅⋅=

r

j

ps

pBjmc

1 )!1(|)(||| τείνει στο 0. Άρα για +∞→p το

45

πρώτο και το δεύτερο µέλος της (**) είναι άνισα. Άτοπο. Άρα το π δεν είναι

αλγεβρικός.

Εποµένως το π είναι υπερβατικός αριθµός.